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DISEO DE CONTROLADORES
Contenido
1.
COMPENSACIN DE ADELANTO
Mejorar la respuesta transitoria readaptando el LGR del sistema original
El cero del compensador de adelanto readapta el lugar geomtricode las races, mientras que el polo se ubica lo suficientementelejos a la izquierda para no influir en la parte readaptada por el cero
Redes en adelanto pueden ser realizados por elementos electrnicos
Compensador electrnico
0
() = 4132 + 111 + 122 = +1
+ 1 = 22
11 < 1
Red de adelanto
Red de adelanto el polo esta a la izquierda del cero.
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
10.50.780.890.9450.9720.986
0.995
0.999
0.50.780.890.9450.9720.986
0.995
0.999
123456
Pole-Zero Map
Real Axis
Imag
inar
y Ax
is
ceropolo
Root Locus
Real Axis
Imag
inar
y Ax
is
-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.50.760.86
0.94
0.985
0.160.340.50.640.760.86
0.94
0.985
0.511.525
System: sysGain: 0.416Pole: -1 + 0.815iDamping: 0.775Overshoot (%): 2.12Frequency (rad/sec): 1.29
0.160.340.50.64
Tcnicas de compensacin de adelanto basadas en el enfoque del lugar geomtrico de las races.
El enfoque del lugar geomtrico de las races es muy poderoso en el diseo cuando se dan las especificaciones en trminos de las cantidades en el dominio del tiempo, tales como:
Factor de amortiguamiento relativo Frecuencia natural no amortiguada
O los parmetros: Sobrepaso mximo Tiempo de levantamiento Tiempo de asentamiento
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4Step Response
Time (sec)
Ampl
itude
El procedimiento de diseo del compensador
1. Graficar el lugar de races del sistema2. A partir de las especificaciones de desempeo, determine la ubicacin
deseada para los polos dominantes en lazo cerrado3. En el grafico del LGR, compruebe si el ajuste de la ganancia puede o no
por s solo producir los polos en lazo cerrado convenientes. Si no, calculela deficiencia angular
4. Suponga que el compensador de adelanto y determine el cero y polocorrespondiente
5. Verifique que se hayan cumplido todas las especificaciones de desempeo, si no cumple reajustar la ubicacin del cero y polo, y repetir los pasos.
() = + 1 + 1
se determina a partir del requerimiento de la ganancia en lazo abierto. (condicin magnitud)
Ejemplo 2.1
Dada la funcin de transferencia de lazo abierto de un sistema
Se desea modificar los polos en lazo cerrado para obtener una frecuencia natural no amortiguada y un factor de amortiguamiento relativo
Solucin La funcin de transferencia de lazo abierto y lazo cerrado del sistema son:
Lugar de races
Respuesta en el tiempo
= 4( + 2)
4 / 0.5 = 4
( + 2) = 42 + 2()() = ()1 + () = 4( + 1 + 3)( + 1 3)
Lugar geomtrico de races y respuesta en el tiempo del sistemaRoot Locus
Real Axis
Imag
inar
y Ax
is
-1.6 -1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
0.140.220.320.420.56
0.74
0.9
0.25
0.5
0.75
1
1.25
1.5
1.75
0.25
0.5
0.75
1
1.25
1.5
1.75
0.070.140.220.320.420.56
0.74
0.9
0.07
System: sysGain: 1Pole: -1 + 1.73iDamping: 0.5Overshoot (%): 16.3Frequency (rad/sec): 2
0 1 2 3 4 5 60
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4Step Response
Time (sec)
Ampl
itude
A partir de los polos dominantes de LC del sistema:
Expresamos en funcin de sus parmetros:
Obteniendo para el sistema:
De las especificaciones de desempeo obtenemos las especificaciones para el sistema compensado:
Los polos deseados de lazo cerrado compensado (no pertenecen al LGRdel sistema)
()() = 4( + 1 + 3)( + 1 3)
= 1 3polos del sistema
= 1 2 = 0.5 = 2 / = 0.5 = 4 /
= 2.0000 .4641 polos deseados
El sistema tiene los polos con las siguientes caractersticas y deben cumplir las especificaciones de desempeo:
= 0.5 = 2 / = 0.5 = 4 /
() = + 1 + 1
LGR del sistema y el polo deseado para el sistema compensado
-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0
-3
-2
-1
0
1
2
3
40.060.120.190.270.360.5
0.66
0.88
0.060.120.190.270.360.50.66
0.88
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
0.5
1
1.5
2
2.5
3
Root Locus
Real Axis
Imag
inar
y Ax
isx
PD
= 0.5 = 2 /
= 0.5 = 4 /
xPolo deseado
Polos de LC
Determinar la deficiencia angular a partir de la FTLA al polo deseado
A partir de la ecuacin:
La deficiencia angular:
-3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
0.460.6
0.76
0.92
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
0.070.150.240.340.460.6
0.76
0.92
0.070.150.240.34
Pole-Zero Map
Real Axis
Imag
inar
y Ax
is
PD
4
( + 2)=2+2 3
= 180(2 + 1)= 120 90 = 210= 180(2 + 1) = 210 180 = 30
= = 30
El compensador a disear es compensador en adelanto para la deficiencia angular hallada
Determinar las ubicaciones del cero, el polo y la ganancia delcompensador de adelanto, existe varias posibilidades para elegirtales ubicaciones- Mtodo de la bisectriz- Ubicacin debajo del polo deseado- Ubicado cancelando un polo o cero
() = + 1 + 1
A partir de la deficiencia angular, utilizando el mtodo de bisectriz
Construimos en la figura Por geometra podemos determinar
la ubicacin del polo y cero
La FT del compensador:
Donde: -6 -5 -4 -3 -2 -1 00
1
2
3
4
5
60.160.340.50.64
0.76
0.86
0.94
0.985 1
2
3
4
5
Pole-Zero Map
Real Axis
Imag
inar
y Ax
is
polo cerox o
Polo deseado
x
= 30 2 = 15
bisectriz: = 5.4641: = 2.9282 = + 1
+ 1 = + 2.9282 + 5.4641 = 0.3415 = 0.5359
Funcin de transferencia del sistema compensado
La ganancia K se calcula a partir de la condicin de magnitud, evaluada en PD
El valor de K y Kc
= 4
=22 3 = + 2.9282 + 2 + 5.4641=22 3 = 1
= 18.9282 = 18.92824 = 4.7321
= + 1 + 1 = + 2.9282 + 5.4641
= + 2.9282 + 2 + 5.4641
La funcin de transferencia LA del sistema compensado queda:
La funcin de transferencia de lazo cerrado:
= 4.7321 + 2.9282 + 5.4641 4 + 2 = 18.9282 + 55.42563 + 7.46412 + 10.9282()() = 1 + = 18.9282 + 2.92823 + 7.46412 + 10.9282 + 18.9282 + 55.4256
La grafica del LGR races del los sistemas no compensado y compensado
-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0
-3
-2
-1
0
1
2
3
40.060.120.190.270.360.5
0.66
0.88
0.060.120.190.270.360.50.66
0.88
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
0.5
1
1.5
2
2.5
3
Root Locus
Real Axis
Imag
inar
y Ax
is
sys ncsys c
La grafica de la respuesta en el tiempo de los sistemas no compensado y compensado
0 1 2 3 4 5 60
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
Step Response
Time (sec)
Ampl
itude
lclcc
En simulink
num(s)
s+5.4641Transfer Fcn2
4
s +2s2
Transfer Fcn1
4
s +2s2
Transfer Fcn
Step1
Step
Scope
En Labview
Ejemplo 2.2
Disee un compensador de adelanto tal que los polos dominantesen lazo cerrado se ubiquen en = 2 2 3 . La funcin detransferencia de lazo abierto es:
Solucin: La FT de lazo abierto:
La FT de lazo cerrado:
= 5(0.5 + 1)
= 5(0.5 + 1) = 10.5 5(0.50.5 + 10.5) = 10( + 2) = 102 + 2
() = 1 + = 102 + 2 + 10
El procedimiento de diseo del compensador
1. Graficar el lugar de races del sistema2. A partir de las especificaciones de desempeo, determine la ubicacin
deseada para los polos dominantes en lazo cerrado3. En el grafico del LGR, compruebe si el ajuste de la ganancia puede o no
por s solo producir los polos en lazo cerrado convenientes. Si no, calculela deficiencia angular
4. Suponga que el compensador de adelanto y determine el cero y polocorrespondiente
5. Verifique que se hayan cumplido todas las especificaciones de desempeo, si no cumple reajustar la ubicacin del cero y polo, y repetir los pasos.
() = + 1 + 1
se determina a partir del requerimiento de la ganancia en lazo abierto. (condicin magnitud)
Paso 1. Graficar el lugar de races del sistema
-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0
-3
-2
-1
0
1
2
3
40.060.120.190.270.360.5
0.66
0.88
0.060.120.190.270.360.50.66
0.88
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
0.5
1
1.5
2
2.5
3
Root Locus
Real Axis
Imag
inar
y Ax
is
-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0
-3
-2
-1
0
1
2
3
40.060.120.190.270.360.5
0.66
0.88
0.060.120.190.270.360.50.66
0.88
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
0.5
1
1.5
2
2.5
3
Root Locus
Real Axis
Imag
inar
y Ax
is
Paso 2. A partir de las especificaciones de desempeo, determine la ubicacin deseada para los polos dominantes en lazo cerrado
Dato
Paso 3. Ajuste de la Ganancia produce los polos deseados Calcule la deficiencia angular
= 2 .4641 xPolos deseados
Deficiencia angular
A partir de la ecuacin:
La deficiencia angular:
-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0
-3
-2
-1
0
1
2
3
40.060.120.190.270.360.5
0.66
0.88
0.060.120.190.270.360.50.66
0.88
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
0.5
1
1.5
2
2.5
3
Root Locus
Real Axis
Imag
inar
y Ax
is
10
( + 2)=2+2 3
= 180(2 + 1)x
90 120
= 120 90 = 210= 180(2 + 1)= 210 + = 180(2 + 1)
= = 30 = 30
Paso 4. Suponga que el compensador es en adelanto y determine el polo y cero correspondiente
Si la deficiencia angular es:
El cero = 2 El polo = 4
() = + 1 + 1
-5 -4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0
-3
-2
-1
0
1
2
3
40.120.240.360.480.620.76
0.88
0.97
0.120.240.360.480.620.76
0.88
0.97
12345
Root Locus
Real Axis
Imag
inar
y Ax
is
x
= = 30 30x
El compensador queda:
El sistema compensado es:
Ganancia , utilizamos la condicin de magnitud en el PD (2 +.4641)
Obtenemos
= + 1 + 1 = + 2 + 4
= ( + 2)( + 4) ( + ) = 1 + 4 10 = 1( + 4) = 10 = 1( + 4)
2+3.4641 = 116 = 1 = 16 = 1.6
El sistema compensado queda:
= ( + 1) + 1 10 + 2= 1.6 ( + 2)( + 4) 10 + 2 = 16( + 4) = 162 + 4
La grafica del LGR del sistema compensado:
Root Locus
Real Axis
Imag
inar
y Ax
is
-5 -4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0
-3
-2
-1
0
1
2
3
40.120.240.360.480.620.76
0.88
0.97
0.120.240.360.480.620.76
0.88
0.97
12345
System: sysGain: 0.995Pole: -2 + 3.45iDamping: 0.501Overshoot (%): 16.2Frequency (rad/sec): 3.99
sncsc
Respuesta en el tiempo del sistema no compensado y el compensado
0 1 2 3 4 5 60
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
Step Response
Time (sec)
Ampl
itude
sncsc
Ejemplo 2.3
Considere un sistema con una planta inestable, como el de la figura
Se desea lo siguiente: Factor de amortiguamiento relativo del sistema en lazo cerrado sea Frecuencia natural no amortiguada sea
= (1 + ) = 110000(2 1.1772)
= 0.7 = 0.5 /.
G(s)Gc(s)
El procedimiento de diseo del compensador
1. Graficar el lugar de races del sistema2. A partir de las especificaciones de desempeo, determine la ubicacin
deseada para los polos dominantes en lazo cerrado3. En el grafico del LGR, compruebe si el ajuste de la ganancia puede o no
por s solo producir los polos en lazo cerrado convenientes. Si no, calculela deficiencia angular
4. Suponga que el compensador de adelanto y determine el cero y polocorrespondiente
5. Verifique que se hayan cumplido todas las especificaciones de desempeo, si no cumple reajustar la ubicacin del cero y polo, y repetir los pasos.
() = + 1 + 1
se determina a partir del requerimiento de la ganancia en lazo abierto. (condicin magnitud)
Solucin Paso 1. Graficar el lugar de races del sistema La funcin de transferencia de lazo abierto del sistema
La funcin de transferencia de lazo cerrado del sistema
= 110000 2 1.1772 = 0.00012 1.1772()() = 1 + = 0.0001( + 1.0849)( 1.0849)
La grafica del LGR y respuesta en el tiempo del sistema sin compensar
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
0.50.640.76
0.86
0.94
0.985
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
0.160.340.50.640.76
0.86
0.94
0.985
0.160.34
Root Locus
Real Axis
Imag
inar
y Ax
is
0 2 4 6 8 10 12 140
200
400
600
800
1000
1200Step Response
Time (sec)
Ampl
itude
Paso 2. A partir de las especificaciones de desempeo, determine la ubicacin deseada para los polos dominantes en lazo cerrado
Dato
Paso 3. Ajuste de la Ganancia produce los polos deseados. Calcule la deficiencia angular-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
0.50.640.76
0.86
0.94
0.985
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
0.160.340.50.640.76
0.86
0.94
0.985
0.160.34
Root Locus
Real Axis
Imag
inar
y Ax
is xPolos deseados
= 0.7 = 0.5
1,2 = 1 21,2 = 0.35 .3570
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
0.50.640.76
0.86
0.94
0.985
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
0.160.340.50.640.76
0.86
0.94
0.985
0.160.34
Root Locus
Real Axis
Imag
inar
y Ax
is
Deficiencia angular
A partir de la ecuacin:
La deficiencia angular:
0.0001
2 1.17720.350.3570 = 180(2 + 1)
x
25.90
166.03
= 166.0295 25.9065= 191.936 = 180(2 + 1) = 191.936 180 = 11.936
= = 11.936
PD
Paso 4. Suponga que el compensador de adelanto y determine el cero y polo correspondiente. La deficiencia puede ser dada por:
Compensador PD.
A partir de la deficienciaangular, el aporte del cero:
El cero esta ubicado
= (1 + ) = = 11.936
-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.50.220.420.60.740.84
0.92
0.965
0.99
0.220.420.60.740.84
0.92
0.965
0.99
0.511.525
Root Locus
Real Axis
Imag
inar
y Ax
is x
o
= 2.0388166.03
25.90
El compensador PD dado
El sistema compensado es
Ganancia K, de la condicin de magnitud en PD
= ( + 1) .= (0.4906)( + 2.0388) . = ( + 2.0388)2 1.1772 = 0.4906
= ( + 2.0388)2 1.17720.350.3570 = 1
= 1 + = ( + 1) = 2.0388PD
= (0.4906)/10000
Obtenemos
El compensador
El sistema compensado
= 0.7 = 14268.24 = 1 + = + 1= 14272(0.4906) + 2.0388
= 7001.8432 + 2.0388 = ( + 1) 110000 2 1.1772= 7001.8432 + 2.0388 0.00001
2 1.1772
Funcin de transferencia de LA del sistema compensado
Funcin de transferencia de LC del sistema compensado
= 1.4273(1 + 0.496)2 1.1772 = 0.72 + 1.42732 1.1772()() = 1 + = 0.72 + 1.42732 + 0.72 + 0.2501
La grafica del LGR del sistema no compensado y compensado:
-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.50.84
0.92
0.965
0.99
0.220.420.60.740.84
0.92
0.965
0.99
0.511.525
0.220.420.60.74
Root Locus
Real Axis
Imag
inar
y Ax
is
sncsc
Respuesta en el tiempo del sistema no compensado y el compensado
0 5 10 15 20 25 30 35-1
0
1
2
3
4
5
6x 10
13
Step Response
Time (sec)
Ampl
itude
sncsc
Respuesta en el tiempo del sistema compensado
0 2 4 6 8 10 12 14 16 180
1
2
3
4
5
6Step Response
Time (sec)
Ampl
itude
Ejemplo 2.4
Considere el sistema de la figura. Disee un compensador tal que los polos dominantes en lazo cerrado se ubiquen en = 1
Solucin La funcin de transferencia de lazo abierto del sistema
La funcin de transferencia de lazo cerrado del sistema
= 12()() = 1 + = 12 + 1
G(s)Gc(s)
La grafica del LGR y respuesta en el tiempo del sistema sin compensar
-1.5 -1 -0.5 0-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
0.30.40.540.68
0.82
0.94
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
0.090.190.30.40.540.68
0.82
0.94
0.090.19
Root Locus
Real Axis
Imag
inar
y Ax
is
0 50 100 150 200 2500
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1Step Response
Time (sec)
Ampl
itude
-1.5 -1 -0.5 0-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
0.30.40.540.68
0.82
0.94
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
0.090.190.30.40.540.68
0.82
0.94
0.090.19
Root Locus
Real Axis
Imag
inar
y Ax
is
Paso 1. Graficar el lugar de races del sistema Paso 2. Ubicacin deseada para los polos dominantes en lazo
cerrado Dato
Paso 3. Ajuste de la Ganancia produce los polos deseados.
Calcule la deficiencia angular
xPolos deseados
1,2 = 1 1
-1.5 -1 -0.5 0-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
0.30.40.540.68
0.82
0.94
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
0.090.190.30.40.540.68
0.82
0.94
0.090.19
Root Locus
Real Axis
Imag
inar
y Ax
is
Deficiencia angular
A partir de la ecuacin:
La deficiencia angular:
12
=1+1
= 180(2 + 1)x
90 120
= 135 135 = 270= 180(2 + 1) = 270 180 = 90 = = 90
PD
-3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.50.20.40.560.70.810.9
0.955
0.988
0.20.40.560.70.810.9
0.955
0.988
0.511.522.535
Root Locus
Real Axis
Imag
inar
y Ax
is
Paso 4. Suponga que el compensador es de adelanto, determine el polo y cero correspondiente
Si la deficiencia angular es:
El cero = 0.5 El polo = 2.9969
() = + 1 + 1
= = 90x
x
El compensador queda:
El sistema compensado es:
Ganancia , utilizamos la condicin de magnitud en el PD (1 +)
Obtenemos
= + 1 + 1 = + 0.5 + 3
= ( + 0.5)( + 3) 12 = ( + 0.5)2 ( + 3) = ( + 0.5)2 ( + 3)
1+1
= 1 = 4
El sistema compensado queda:
= ( + 1) + 1 12 = 4 ( + 0.5)( + 3) 12= 4( + 0.5)
2( + 3) = 4 + 23 + 32
Funcin de transferencia de LA del sistema compensado
Funcin de transferencia de LC del sistema compensado
()() = 1 + = 4 + 23 + 32 + 4 + 2
= ( + 1) + 1 12 = 4 ( + 0.5)( + 3) 12= 4( + 0.5)
2( + 3) = 4 + 23 + 32
La grafica del LGR del sistema no compensado y compensado:
-3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.50.20.40.560.70.810.9
0.955
0.988
0.20.40.560.70.810.9
0.955
0.988
0.511.522.535
Root Locus
Real Axis
Imag
inar
y Ax
is
sncsc
respuesta en el tiempo del sistema no compensado y el compensado
0 50 100 150 200 250 3000
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
Step Response
Time (sec)
Ampl
itude
sncsc
Respuesta en el tiempo del sistema compensado
0 1 2 3 4 5 60
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4Step Response
Time (sec)
Ampl
itude
-1.5 -1 -0.5 0-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
0.30.40.540.68
0.82
0.94
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
0.090.190.30.40.540.68
0.82
0.94
0.090.19
Root Locus
Real Axis
Imag
inar
y Ax
is
Paso 1. Graficar el lugar de races del sistema Paso 2. Ubicacin deseada para los polos dominantes en lazo
cerrado
Paso 3. Ajuste de la Ganancia produce los polos deseados.
Calcule la deficiencia angular
Otro mtodo
xPolos deseados
1,2 = 1 1
-1.5 -1 -0.5 0-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
0.30.40.540.68
0.82
0.94
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
0.090.190.30.40.540.68
0.82
0.94
0.090.19
Root Locus
Real Axis
Imag
inar
y Ax
is
Deficiencia angular
A partir de la ecuacin:
La deficiencia angular:
12
=1+1
= = 180(2 + 1)x
90 120
= 135 135= 270 = 180(2 + 1) = 270 180 = 90 = = 90
PD
-3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.50.20.40.560.70.810.9
0.955
0.988
0.20.40.560.70.810.9
0.955
0.988
0.511.522.535
Root Locus
Real Axis
Imag
inar
y Ax
is
Paso 4. Suponga que el compensador es de adelanto, determine el polo y cero correspondiente
Si la deficiencia angular es:
El cero =0 El polo = 2
() = + 1 + 1
= = 90x
x
El compensador queda:
El sistema compensado es:
Ganancia , utilizamos la condicin de magnitud en el PD (1 +)
Obtenemos
= + 1 + 1 = + 2
= ( + 2) 12 = 1 ( + 2) = 1 ( + 2)
1+1
= 1 = 4.4721
El sistema compensado queda:
= ( + 1) + 1 12 = 4.4721 ( + 2) 12= 4.4721
( + 2) = 4.47212 + 2
Funcin de transferencia de LA del sistema compensado
Funcin de transferencia de LC del sistema compensado
()() = 1 + = 4 + 23 + 32 + 4 + 2
= ( + 1) + 1 12 = 4 ( + 0.5)( + 3) 12= 4( + 0.5)
2( + 3) = 4 + 23 + 32
La grafica del LGR del sistema no compensado y compensado:
-3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.50.20.40.560.70.810.9
0.955
0.988
0.20.40.560.70.810.9
0.955
0.988
0.511.522.535
Root Locus
Real Axis
Imag
inar
y Ax
is
sncsc
Respuesta en el tiempo del sistema no compensado y el compensado
0 50 100 150 200 250 3000
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2Step Response
Time (sec)
Ampl
itude
Respuesta en el tiempo del sistema compensado
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4Step Response
Time (sec)
Ampl
itude
Ejemplo 2.5
Disee un compensador tal que cumpla con las especificaciones, sila funcin de transferencia de lazo abierto es:
Sobre impulso 25% Tiempo de establecimiento 4 Solucin: La FT de lazo abierto:
La FT de lazo cerrado:
= 4( + 1)
= 4( + 1) = 42 +
() = 1 + = 42 + + 4 =
-1.5 -1 -0.5 0-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
0.060.110.180.260.360.48
0.66
0.86
0.5
1
1.5
2
0.5
1
1.5
2
0.060.110.180.260.360.48
0.66
0.86
Root Locus
Real Axis
Imag
inar
y Ax
is
La grafica del LGR y respuesta en el tiempo del sistema sin compensar
Step Response
Time (sec)
Ampl
itude
0 2 4 6 8 10 120
0.5
1
1.5
System: lcTime (sec): 1.63Amplitude: 1.44
System: lcTime (sec): 7.99Amplitude: 1.02
De la FT de lazo cerrado, los polos son:
El factor de amortiguamiento y la frecuencia natural no amortiguada son:
De acuerdo a las especificaciones y = 41,2 = 1 .93
= 0.46 = 2.17 = 12 = 4 = 4
= 0.2 = 0.45 = 2.22
Polo deseado
= 1 2 = 1 1.982
Paso 1. Graficar el lugar de races del sistema Paso 2. Ubicacin deseada para los polos dominantes en lazo
cerrado
Paso 3. Ajuste de la Ganancia produce los polos deseados
Calcule la deficiencia angular
-1.5 -1 -0.5 0-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
0.060.110.180.260.360.48
0.66
0.86
0.5
1
1.5
2
0.5
1
1.5
2
0.060.110.180.260.360.48
0.66
0.86
Root Locus
Real Axis
Imag
inar
y Ax
is
= 1 1.982
Deficiencia angular
A partir de la ecuacin:
La deficiencia angular:
4
( + 1)=1+1.982 = 180(2 + 1)= 116.77 90 = 206= 180(2 + 1)
= 206.77 180 = 26.77 = = 26.77
-1.5 -1 -0.5 0-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
0.060.110.180.260.360.48
0.66
0.86
0.5
1
1.5
2
0.5
1
1.5
2
0.060.110.180.260.360.48
0.66
0.86
Root Locus
Real Axis
Imag
inar
y Ax
is
x
90 116.77
-4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
0.975
0.140.280.420.560.70.82
0.91
0.975
0.511.522.533.54
0.140.280.420.560.70.82
0.91
Root Locus
Real Axis
Imag
inar
y Ax
is
Paso 4. Suponga que el compensador de adelanto y determine el polo y cero correspondiente
Si la deficiencia angular es:
Mtodo bisectriz El cero = 1.4659 El polo = 2.6630
() = + 1 + 1 x
= = 26.7730
xcero
polo
El compensador queda:
El sistema compensado es:
Ganancia , utilizamos la condicin de magnitud en el PD (1 +1.982)
Obtenemos
= + 1 + 1 = + 1.47 + 2.66
= + 1.47 + 2.66 4( + 1)= 4( + 1.47)( + 2.66)( + 1) = ( + 1.47)( + 2.66)( + 1) = 4 = ( + 1.47)( + 2.66)( + 1)
1+1.982 = 1 = 5.58 = 4 = 1.39
El sistema compensado queda:
= ( + 1) + 1 4 + 1= 1.39 ( + 1.47)( + 2.66) 4 + 1 = 5.56 ( + 1.47)( + 2.66)( + 1)
La grafica del LGR del sistema no compensado y compensado:
-3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.50.60.72
0.86
0.96
0.10.220.340.460.60.72
0.86
0.96
0.511.522.53
0.10.220.340.46
Root Locus
Real Axis
Imag
inar
y Ax
is
sys Gsys CG
Respuesta en el tiempo del sistema no compensado y el compensado
Step Response
Time (sec)
Ampl
itude
0 2 4 6 8 10 120
0.5
1
1.5
System: lcTime (sec): 1.65Amplitude: 1.44
System: lccTime (sec): 1.53Amplitude: 1.25
Ejemplo 2.6
Disee un compensador tal que cumpla con las especificaciones, sila funcin de transferencia de lazo abierto es:
Sobre impulso 40% Tiempo de establecimiento 5 Solucin: La FT de lazo abierto:
La FT de lazo cerrado:
= 102 + 2
= 102 + 2 = 10( .4242)
() = 1 + = 102 + 12
0 50 100 150 200 250 300 350 4000
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8Step Response
Time (seconds)
Am
plitu
de
La grafica del LGR y respuesta en el tiempo del sistema sin compensar
-4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5-3
-2
-1
0
1
2
3
0.97
0.120.260.40.520.660.8
0.9
0.97
0.511.522.533.54
0.120.260.40.520.660.8
0.9
Root Locus
Real Axis (seconds -1)
Imag
inar
y A
xis
(sec
onds
-1)
De acuerdo a las especificaciones = 0.4 y = 5 = 12 = 4 = 4
= 0.28 = 2.85
Polo deseado
= 1 2 = 0.80 2.74
-4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5-3
-2
-1
0
1
2
3
0.97
0.120.260.40.520.660.8
0.9
0.97
0.511.522.533.54
0.120.260.40.520.660.8
0.9
Root Locus
Real Axis (seconds -1)
Imag
inar
y A
xis
(sec
onds
-1)
Paso 1. Graficar el lugar de races del sistema Paso 2. Ubicacin deseada para los polos dominantes en lazo
cerrado
Paso 3. Ajuste de la Ganancia produce los polos deseados
Calcule la deficiencia angular
= 0.80 2.74
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5-3
-2
-1
0
1
2
3
0.150.230.320.440.58
0.74
0.92
0.5
1
1.5
2
2.5
0.5
1
1.5
2
2.5
0.070.150.230.320.440.58
0.74
0.92
0.07
Root Locus
Real Axis (seconds -1)
Imag
inar
y A
xis
(sec
onds
-1)
Deficiencia angular
A partir de la ecuacin:
La deficiencia angular:
10
2 + 20.802.74 = 180(2 + 1)= 100.68 122.82 = 223.5= 180(2 + 1)
= 223.5 + 180 = 43.5
= = 43.5
x
= 43.5 100.68 122.82= 180(2 + 1)
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0-3
-2
-1
0
1
2
30.180.360.520.660.780.88
0.95
0.985
0.180.360.520.660.780.88
0.95
0.985
123456
Root Locus
Real Axis
Imag
inar
y Ax
is
Paso 4. Suponga que el compensador de adelanto, determine el polo y cero correspondiente
Deficiencia angular :
Mtodo bisectriz El cero = 1.54 El polo = 5.29
() = + 1 + 1
= = 43.5PD
x
:0.80 2.74
El compensador queda:
El sistema compensado es:
Ganancia , utilizamos la condicin de magnitud en el PD (0.8 +2.74)
Obtenemos
= + 1 + 1 = + 1.54 + 5.29
= + 1.54 + 5.29 102 + 2 = 10( + 1.54)( + 5.29)(2 + 2)= ( + 1.54)( + 5.29)(2 + 2) = 10 = ( + 1.54)( + 5.29)(2 + 2)
0.8+2.74 = 1 = 12.14 = 10 =1.21
El sistema compensado queda:
= ( + 1) + 1 102 + 2= 1.21 + 1.54
+ 5.29 102 + 2 = 12.14 + 1.54 + 5.29 (2 + 2)
La grafica del LGR del sistema compensado:
Root Locus
Real Axis (seconds -1)
Imag
inar
y A
xis
(sec
onds
-1)
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
0.030.0650.10.150.20.28
0.42
0.7
2.5
5
7.5
10
12.5
15
17.5
2.5
5
7.5
10
12.5
15
17.5
0.030.0650.10.150.20.28
0.42
0.7
Respuesta en el tiempo del sistema compensado
0 50 100 150 200 250 300 350 4000
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8Step Response
Time (seconds)
Am
plitu
de
0 1 2 3 4 5 6 7 80
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4Step Response
Time (seconds)
Am
plitu
de
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0-3
-2
-1
0
1
2
30.180.360.520.660.780.88
0.95
0.985
0.180.360.520.660.780.88
0.95
0.985
123456
Root Locus
Real Axis
Imag
inar
y Ax
is
Paso 4. Suponga que el compensador solo es un cero
Deficiencia angular:
Aadimos un cero
() = + 1 = = 43.5
PD
1 = 43.5 = 3.68
0.8 + 2.74
El compensador queda es:
El sistema compensado es:
Ganancia , utilizamos la condicin de magnitud en el PD (0.8 +2.74)
Obtenemos
= + 3.68 102 + 2 = 10( + 3.68)(2 + 2)= ( + 3.68)(2 + 2) = 10 = ( + 3.68)(2 + 2)
0.8+2.74 = 1 = 1.64 = 10 =0.164
= + 3.68
El compensador queda:
El sistema compensado es:
= 0.164 + 3.68 = 0.164 + 3.68 102 + 2 = 1.64 + 6.042 + 2
Lugar de racesRoot Locus
Real Axis (seconds -1)
Imag
inar
y A
xis
(sec
onds
-1)
-14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2-6
-4
-2
0
2
4
60.84
0.92
0.965
0.99
0.220.420.60.740.840.92
0.965
0.99
246810124
0.220.420.60.74
Respuesta escaln
0 50 100 150 200 250 300 350 4000
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8Step Response
Time (seconds)
Am
plitu
de
0 1 2 3 4 5 6 7 80
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4Step Response
Time (seconds)
Am
plitu
de
Si variamos el valor ; podemos bajar el error en estado estacionario
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.40
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4Step Response
Time (sec)
Ampl
itude
Paso 4. Suponga que el compensador
Deficiencia angular:
Aadimos un doble cero
= = 43.5c1,2 = 21.75
= 7.67
= + 1 2
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0-3
-2
-1
0
1
2
3
0.992
0.220.440.620.760.860.93
0.97
0.992
12345678
0.220.440.620.760.860.93
0.97
Root Locus
Real Axis
Imag
inar
y Ax
is
El compensador queda es:
El sistema compensado es:
Ganancia , utilizamos la condicin de magnitud en el PD (0.8 +2.74)
Obtenemos
= + 7.67 2 102 + 2 = 10 + 7.67 2(2 + 2)= + 7.67 2(2 + 2) = 10 = + 7.67 2(2 + 2)
0.8+2.74 = 1 = 0.12 = 10 =0.012
= + 7.67 2
El compensador queda:
El sistema compensado es:
= 0.012 + 7.67 2 102 + 2= 0.122 + 1.84 + 7.062 + 2
= 0.012 + 7.67 2
Lugar de races
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1-6
-4
-2
0
2
4
60.120.260.40.520.66
0.8
0.9
0.97
0.120.260.40.520.660.8
0.9
0.97
12345678
Root Locus
Real Axis (seconds -1)
Imag
inar
y A
xis
(sec
onds
-1)
Respuesta escaln, podramos ajustar k
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.20.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1.1
1.2Step Response
Time (seconds)
Am
plitu
de
Paso 4. Suponga que el compensador
Deficiencia angular:
Ubicacin del doble cero
1 + 2 = 43.51 + 2 106.28 = 43.5
1 + 2 = 149.781,2 =74.89
= 1.54
= 1 + 1 2
-4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5-3
-2
-1
0
1
2
3
0.97
0.120.260.40.520.660.8
0.9
0.97
0.511.522.533.54
0.120.260.40.520.660.8
0.9
Root Locus
Real Axis
Imag
inar
y Ax
is
0.8 + 2.74
El compensador queda es:
El sistema compensado es:
Ganancia , utilizamos la condicin de magnitud en el PD (0.8 +2.74)
Obtenemos
= = 1 + 1.54 2 102 + 2= 10 + 1.54 2 (2 + 2) = + 1.54 2(2 + 2) = 10 = + 1.54 2(2 + 2)
0.8+274 = 1 = 2.32 = 10 =0.232
= 1 + 1.54 2
El compensador queda:
El sistema compensado es:
= 0.32 + 1.54 2 102 + 2 = 0.32 + 1.54 2
Lugar de racesRoot Locus
Real Axis (seconds -1)
Imag
inar
y A
xis
(sec
onds
-1)
-10 -8 -6 -4 -2 0 2-6
-4
-2
0
2
4
60.160.340.50.640.760.86
0.94
0.985
0.160.340.50.640.760.86
0.94
0.985
24680
Respuesta escaln, se podra ajustar K para una mejor respuesta
0 1 2 3 4 5 60
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4Step Response
Time (seconds)
Am
plitu
de
Ejemplo 2.5
DISEO DE CONTROLADORESContenidoCOMPENSACIN DE ADELANTONmero de diapositiva 4Tcnicas de compensacin de adelanto basadas en el enfoque del lugar geomtrico de las races.El procedimiento de diseo del compensadorEjemplo 2.1Nmero de diapositiva 8Nmero de diapositiva 9Nmero de diapositiva 10Nmero de diapositiva 11Nmero de diapositiva 12Nmero de diapositiva 13Nmero de diapositiva 14Nmero de diapositiva 15Nmero de diapositiva 16Nmero de diapositiva 17Nmero de diapositiva 18Nmero de diapositiva 19Nmero de diapositiva 20Ejemplo 2.2El procedimiento de diseo del compensadorNmero de diapositiva 23Nmero de diapositiva 24Nmero de diapositiva 25Nmero de diapositiva 26Nmero de diapositiva 27Nmero de diapositiva 28Nmero de diapositiva 29Nmero de diapositiva 30Ejemplo 2.3El procedimiento de diseo del compensadorNmero de diapositiva 33Nmero de diapositiva 34Nmero de diapositiva 35Nmero de diapositiva 36Nmero de diapositiva 37Nmero de diapositiva 38Nmero de diapositiva 39Nmero de diapositiva 40Nmero de diapositiva 41Nmero de diapositiva 42Nmero de diapositiva 43Ejemplo 2.4Nmero de diapositiva 45Nmero de diapositiva 46Nmero de diapositiva 47Nmero de diapositiva 48Nmero de diapositiva 49Nmero de diapositiva 50Nmero de diapositiva 51Nmero de diapositiva 52Nmero de diapositiva 53Nmero de diapositiva 54Otro mtodoNmero de diapositiva 56Nmero de diapositiva 57Nmero de diapositiva 58Nmero de diapositiva 59Nmero de diapositiva 60Nmero de diapositiva 61Nmero de diapositiva 62Nmero de diapositiva 63Ejemplo 2.5Nmero de diapositiva 65Nmero de diapositiva 66Nmero de diapositiva 67Nmero de diapositiva 68Nmero de diapositiva 69Nmero de diapositiva 70Nmero de diapositiva 71Nmero de diapositiva 72Nmero de diapositiva 73Ejemplo 2.6Nmero de diapositiva 75Nmero de diapositiva 76Nmero de diapositiva 77Nmero de diapositiva 78Nmero de diapositiva 79Nmero de diapositiva 80Nmero de diapositiva 81Nmero de diapositiva 82Nmero de diapositiva 83Nmero de diapositiva 84Nmero de diapositiva 85Nmero de diapositiva 86Nmero de diapositiva 87Nmero de diapositiva 88Nmero de diapositiva 89Nmero de diapositiva 90Nmero de diapositiva 91Nmero de diapositiva 92Nmero de diapositiva 93Nmero de diapositiva 94Nmero de diapositiva 95Nmero de diapositiva 96Nmero de diapositiva 97Nmero de diapositiva 98Nmero de diapositiva 99Ejemplo 2.5