Capítulo III - Los Números Naturales

1Los Nmeros Naturales

1. Conjuntos Inductivos

Definicin Sea Se dice que es si se cumlpen simultneamente las inductivo dos condiciones siguientes:

Ejemplo En cada caso, determine si el conjunto es inductivo o no.

1.-

Solucin es inductivo pues:

) , as,

Si entonces . Por lo tanto:

2.-

Solucin Este conujunto claramente es inductivo.

3.-

Solucin es no es inductivo pues: pero

24.- es impar

Solucin

no es inductivo pues es impar, por lo tanto, , pero:

no es impar, por lo tanto, no pertenece a

Ejercicios

En cada caso, determine si es inductivo o no. Justifique.

1.-

2.-

3.- es impar

4.- 2 es par 2

Teorema Sean , Si y son inductivos, entonces, y son inductivos.

Demostracin

Para

) Como y son inductivos, entonces,

entonces

Sea entonces:

3 Para

) Como y son inductivos, entonces,

entonces

Sea entonces:

Notacin Se denota por al conjunto de todos los conjuntos inductivos, es decir: = es inductivo .

Definicin Se define el conjunto de los , que denotaremos por , Nmeros Naturales como la interseccin de todos los conjuntos inductivos.

Se anota, =

Teorema El conjunto es inductivo.

Demostracin

Tarea

Observacin Se puede asegurar que es el "menor" conjunto inductivo.

4Teorema Si es inductivo, entonces, .

Observacin

Este teorema permite determinar la veracidad de proposiciones del tipo

Ejemplo Sea es mltiplo de

Demuestre que

Demostracin

Por definicin , por lo tanto, se debe demostrar que , para lo cual se demostrar que es inductivo:

pues es mltiplo de

Sea , luego es mltiplo de

Se debe probar que , es decir, que:

es mltiplo de . se tiene que

Como es mltiplo de y es mltiplo de , entonces es mltiplo de , por lo tanto:

Asi, es inductivo, por lo tanto

5Ejemplo

Demuestre que

1.-

2.-

3.-

4.-

Teorema Sean es una funcin proposicional en la variable , y

, entonces son equivalentes las siguientes

afirmaciones: 1. es inductivo 2.

3. es

2. Principio de Induccin completa

Sea es una funcin proposicional en la variable , .

Si las proposiciones: 1. 2.

son verdaderas, entonces, la proposicin es

6Ejemplo Demuestre usando Induccin que:

Demostracin

Sea

se tiene que

i.-

no es necesario hacerlo)

ii.- Sea tal que es

es decir es

Por Demostrar que : es

es decir es Dem.

luego, es Verdadera.


luego, es verdadero que:

7Ejemplo Demuestre usando Induccin que:

es mltiplo de

Demostracin

Sea es mltiplo de

Se tiene que : 1. luego es mltiplo de


2. Sea tal que

es mltiplo de sea Verdadera.

Por Demostrar que : es Verdadera. es decir : : es mltiplo de

como es mltiplo de , entonces tambin lo es, adems es mltiplo de . Por lo tanto:

es mltiplo de

asi, es luego, es ., luego es verdadero que:

es mltiplo de

8Ejemplo

Demostrar que

Demostracin

Sea

se tiene que es tambien es claro que es

supongamos que es verdadero para algn por demostrar que es verdadero es decir Dem. luego es verdadero

luego

Ejercicios

Demostrar por induccin que

1.-

2.- es mltiplo de

9 Principio de Induccin a partir de

Sea es una funcin proposicional en la variable , y sea .

Si las proposiciones: 1. 2.

son verdaderas, entonces, la proposicin es

Ejemplo

Determinar los tal que

Solucin

Sea se tiene que

supongamos para P.D. Dem.

por otro lado, se tiene que ya que

lo cual claramente es verdadero para

luego es

con lo cual se cumple que

es

10

3. Sucesiones de Nmeros Reales

Definicin

Se llama a toda correspondencia queSucesin de Nmeros Reales asocie a cada nmero natural un nico nmero real .

Las sucesiones de Nmeros Reales se denotan por .

Ejemplo

Considere las siguientes sucesiones de nmeros reales . En cada caso, determine: , , .

a) ; b)

c) ;

Solucin

a)

,

b)

,

c)

,

11

Observacin

Sea sucesin de nmeros reales:

a) El primer trmino de la sucesin es b) El simo trmino de la sucesin es

c)

Ejemplo

Dada la sucesin determine: +

a) El primer trmino

b) El cuarto trmino

c) El - simo trmino ,

d) El + - simo trmino ,

Solucin Sea , luego:

+

a) , b) + +

c) +

d) +

12

4. Sucesin definida por recurrencia

Definicin

Se dice que la sucesin est , si definida por recurrencia

el trmino de lugar se obtiene a partir de los trminos

anteriores, segn una cierta ley de formacin.

Ejemplo Para la sucesin en que

, , , a) Determine b) Conjeture una frmula no recursiva para c) Demuestre su conjetura usando induccin

Solucin a) b) Note como es posible escribir los cinco primero trminos de esta

sucesin:

13

Por lo tanto, se puede conjeturar que:

Por ejercicio anterior, se sabe que

por lo tanto:

c) Sea

Se tiene que:

1. lo cual es verdadero por la definicin de la sucesin.

2. Sea tal que sea Verdadera.

Se debe demostrar que: es Verdadera.

Por definicin de la sucesin se tiene que:

Adems, al asumir que es verdadera, se tiene que: , por lo tanto:

Asi, es verdadero.

Luego, es Verdadera.

14

Ejemplo

Dada la sucesin donde ;

, , , a) Determine b) Conjeture una frmula no recursiva para c) Demuestre su conjetura usando induccin

Solucin a) , , b) se tiene que:

Por lo tanto, se puede conjeturar que: c) Sea Se tiene que: 1. por la definicin de la sucesin.

2. Sea tal que sea Verdadera. Se debe demostrar que: es Verdadera. Dem. Se sabe que:

pero , Por lo tanto: Luego, es verdadero. Por lo tanto, es Verdadera.

15

Ejemplo Dada la sucesin donde ;

, , , a) Determine b) Conjeture una frmula no recursiva para c) Demuestre su conjetura usando induccinSolucin a) ,

,

b) se tiene que:

Por lo tanto, se puede conjeturar que:

c) Sea Se tiene que:

1. es por la definicin de la sucesin.

2. Sea tal que sea . Se debe demostrar que: es Verdadera. se sabe que Dem con ,

Por lo tanto: Luego, es verdadero. Por lo tanto, es Verdadera.

16

Ejercicios

Dada la sucesin definida por recurrencia, conjeture una formula no recursiva y demuestrela por induccin ,si:

1.-

2.-

3.-

4.-

5.-

Observacin

La sucesin definida por recurrencia como:

;

se conoce con el nombre de "Sucesin de Nmeros Factoriales".

Notacin:

Ejemplo

Definicin

17

5. Progresiones Aritmticas

Definicin Sean y nmeros reales, .

Se llama (P.A.) de primer trmino yProgresin Aritmtica

diferencia a toda sucesin tal que

Observacin

se le llama trmino general de la progresin aritmtica.

Ejemplo Considerando la progresin aritmtica de primer trmino y

diferencia . Escriba su trmino general, y adems, escriba los seis

primeros trminos de la progresin aritmtica.

Solucin De la informacin, se obtiene que y , por lo tanto:

18

Observacines

1. Se tiene que De lo cual Por tanto, 2. Si denota la suma de los primeros trminos de la P.A. se tiene que : + + + ... + + + + ... + tambien, se tiene que + .... por lo tanto tenemos que + + + ... +

+ ....

con lo cual, sumando se tiene es decir

=

3. se tiene que = =

= luego

19

Ejemplo Considere la progresin aritmtica cuyos primeros trminos son:

a) Calcule la suma de los primeros trminos b) Determine qu lugar ocupa el nmero en la progresin

aritmtica c) El nmero es un trmino de la progresin aritmtica?

Solucin

En la progresin, y la diferencia constante entre trminos consecutivos es

a) =

b) Sea tal que , luego:

Por lo tanto, el nmero se encuentra en el lugar

c) Supongamos que existe tal que , luego:

Pero , por lo tanto, el nmero no es un trmino de la progresin aritmtica dada.

20

Ejemplo

Calcule la suma de los primeros trminos las la progresin aritmtica

sabiendo que el sexto trmino es y el dcimo trmino es . Solucin Se sabe que: y . Si y son el

primer trmino y la diferencia, respectivamente, de la progresin

aritmtica, entonces: y

Luego, resolviendo el sistema de ecuaciones:

se tiene que

con lo cual =

Ejemplo En una progresin aritmtica se tiene que la suma de sus primeros

cuarenta trminos es , y el trmino de lugar es .

Determine:

a) Su primer trmino. b) La suma de los primeros trminos de posicin par. c) La suma de los primeros trminos de posicin impar.

Ejemplo Considere la progresin aritmrica de primer trmino y diferencia . Determine:

a) Su sptimo trmino. b) La suma de los primeros trminos . c) La suma de los primeros trminos de posicin par. d) La suma de los primeros trminos de posicin impar.

21

Ejercicios

1.- Una persona comienza un trabajo en el cual el monto de su pago mensual est en P A Sabiendo que el dcimo mes recibi $36443 y el dcimo quinto mes recibi $54223 Determine : a) El monto del pago correspondiente al dcimo sexto mes . b) En qu nmero de mes recibe un pago de $82671 ? c) Cuntos aos trabaj , si en total recibi $1368009 ? d) Cunto recibi el ltimo mes ?

2.- Una persona se compromete en pagar una deuda en 30 cuotas las cuales estn en P.A.. Si la primera cuota es de $ 3500 y la tercera de $ 4350. Determine : a) El valor de la dcima cuota. b) El monto de la deuda. c) Qu cuota tiene un valor de $ 11575 . d) Cuntas cuotas le faltan por pagar si en la actualidad debe $ 182875 .

3. Sabiendo que el quinto trmino de una progresin aritmtica es , y que el dcimo octavo trmino ms el doble del dcimo trmino es . Determine a) El trigsimo trmino b) Si es un trmino de la P.A. c) Cuntos trminos se deben sumar para obtener ?

4.- En una P.A. el sexto trmino es 7 y la suma de sus ocho primeros trminos es 38 Determine : a) El trmino general de la P.A. b) n tal que S 728 n c) La posicin del trmino de valor . 292 d) La suma de los 30 primeros trminos de posicin impar.

22

6. Progresiones Geomtricas

Definicin Sean y .

Llamaremos (P.G.) de primer trmino yProgresin Geomtrica

razn , a toda sucesin tal que

Observacin se le llama trmino general de la progresin geomtrica.

Ejemplo Escriba el trmino general de la progresin geomtrica de primer

trmino y razn , y adems determine los seis primeros trminos de dicha progresin.

Solucin

Si y , entonces el trmino general de la progresin geomtrica es:

Ejemplo Con la progresin geomtrica de primer trmino y razn , escriba

los siete primeros trminos de ella.

Solucin como y , entonces ,

,

,

23

Observacin

1. Se tiene que

De lo cual,

En consecuencia, ;

2. Si denota la suma de los primeros trminos de la P.G. se tiene que = + + + ... + = + + + ... + = + + + ... + es decir, se tiene que = + + + ... +

= + + + ... +

en donde, restando se tiene

es decir:

=

24

Ejemplo Considere la progresin geomtrica cuyos primeros trminos son:

a) Calcule la suma de los primeros trminos de la progresingeomtrica.

b) Determine qu lugar ocupa el nmero en la progresin geomtrica.

c) El nmero es un trmino de la progresin geomtrica? Solucin En la progresin geomtrica, se tiene que y . Luego:

a) =

b) luego ocupa el dcimo lugar

c) luego es un termino de la P.G. , es

Ejemplo Calcule la suma de los primeros trminos de la progresin

geomtrica, sabiendo que el cuarto trmino es y el sptimo trminoes .

Solucin

Sea la P.G. tal que y entonces, se tiene que :

6 6

con lo cual : luego se tiene que

=

25

Ejercicio

1.- En una progresin geomtrica su tercer trmino es ; y la suma del quintoy del sptimo trminos es . a) Determine el vigsimo trmino.

b) Calcule la suma de los primeros trminos.

c) Calcule la suma de los primeros trminos de posicin par.

d) Calcule la suma de los primeros trminos de posicin impar.

2.- Determinar tres nmeros en P.G. tales que, su producto sea 1, y la suma entre el triple del primero el doble del segundo y el cudruple del tercero sea 6

3.- Se sabe que la razn de una progresin geomtrica es , y que la suma delsptimo y octavo trminos es .

a) Determine el dcimo quinto trmino.

b) Calcule la suma de los primeros trminos de la P.G.

c) Calcule la suma de los primeros trminos de posicin impar de laP.G.

4.- El segundo y quinto trminos de una progresin geomtrica son y , respectivamente. La suma del sptimo y el dcimo trminos de una progresin aritmtica es . Sabiendo que la suma de los once primeros trminos de la progresin geomtrica multiplicada por la diferencia de la progresin aritmtica es : a) Determine el trigsimo trmino de la progresin geomtrica.

b) Es un trmino de la progresin aritmtica.

c) Calcule la suma de los primeros trminos de posicin par de laprogresin aritmtica.

26

Observacin

Dados la sucesin de nmeros : Diremos que dichos nmeros estan en: 1.- Progresin Aritmtica ssi 2.- Progresin Geomtrica ssi

Ejemplo

1.- Sea una P.A. de primer trmino 1 y tal que los n n trminos de lugares2 5 y 16 estn en P.G..

Determinar : a) El trmino general de la P.A. b) La suma de los 40 primeros trminos.

2.- Determinar tres trminos en P.G. tales que sumen 70 y cuatro veces el primero cinco veces el segundo y cuatro veces el tercero estn en P.A..

3.- Determinar tres nmeros en P.G. tales que, su producto sea 1 y la suma entre el triple del primero el doble del segundo y el cudruple del tercero sea 6

4. Una cierta sustancia se descompone y pierde 20% de su peso cada hora. Sihay originalmente 300 gramos de la sustancia, cunto quedar despus desiete horas?

5. Daniela invierte US$1000 al 8% de inters compuesto anual en una cuenta deahorro. Determine la cantidad en su cuenta al final de 6 aos.

6. Un cierto tipo de bacterias se duplica cada hora. Si al principio hay 1000bacterias, cunto tiempo tomar para que el nmero de stas llegue a 64000?

7. la poblacin de cierto pas es de 217,3 millones. Si la poblacin crece a unritmo de 6% anual, calcule:

a) La poblacin en 12 aos b) El nmero de aos para que la poblacin se duplique

27

7. SUMATORIAS

Sea una sucesin de nmeros reales. con

El smbolo

denota la suma de los primeros trminos de la sucesin

Es decir

En general denota la suma desde el trminos al de la sucesin

Es decir

Ejemplo

Dada la sucesin tal que se tiene que

y el valor de dicha suma es

Ejemplo

Calcule

Solucin

Por frmula anteriormente vista, se tiene que:

ya que

28

Ejemplo

Si , calcule .

Solucin

La sucesin a considerar corresponde al trmino general de una Progresin Geomtrica. Luego,

Ejemplo

Calcule

Solucin

Ejemplo

Calcule

Solucin

Ejemplo

Calcule

Solucin

29

8. Consecuencias de la notacin

Sean , sucesiones de nmeros reales.

con ; Se tiene que

1.

luego

Ejemplo

Calcule

Solucin

2.

luego

30

Ejemplo

Calcule

Solucin

3. ;

Ejemplo

Calcule

1

Solucin

4.-

es decir

Ejemplo

Calcule 8

40

Solucin

8 8

40 40 40

31

Ejemplo

Calcule

Solucin

5. Si se tiene que

es decir

32

Ejemplo

Calcule si

Solucin

6. se tiene que

ya que

en general, se cumple que

s 1

( )+( )

33

Ejemplo

Calcule

Solucin

Ejemplo

Calcule

Solucin

6. Se tiene que

es decir ( Suma Telescpica)

34

Ejemplo

Calcule

Solucin Si entonces , luego: +1

Ejemplo

Calcule

Solucin

sea con lo cual

luego

Ejemplo

Calcule

Solucin es claro que el problema ya tiene una formula, en este caso la vamos a

deducir de otra manera.

Se tiene que

luego

35

es decir

pero (telescpica)

por lo tanto, se tendra que

es decir

con lo cual

de donde

Ejemplo

Calcule

Solucin

considerando lo visto en el ejemplo anterior, se tiene que

luego

es decir

pero (telescpica)

36

por lo tanto, se tendra que

es decir

con lo cual

de donde

luego

es decir

por lo tanto, se tiene :

Ejemplo

Calcular 5

30

Solucin

5

30

37

Ejemplo

Calcule

Solucin

se tiene que :

luego

restando :

es decir

con lo cual

Ejemplo

Calcule

Solucin

Ejemplo

Calcule

Solucin

38

9. Productorias

Sea una sucesin de nmeros reales. con

El smbolo

denota el producto de los primeros trminos de la sucesin

Es decir

En general

denota el producto desde el trminos al de la sucesin

Es decir,

Ejemplo

1.- Si se tiene que :

2.

3.

39

9. Consecuencias de la notacin

Sean , sucesiones de nmeros reales.

con ; Se tiene que

1. ..

ms s

.. s s

m m

es decir

m m m

Ejemplo

Calcule

12

Solucin

12 12

2.

m

es decir

m

en general

s

m( )

40

Ejemplo

Calcule

26

Solucin

2626 26

Ejemplo

Calcule

Solucin

Ejemplo

Calcule

Solucin

3. ;

41

Ejemplo

1

4.

1

es decir

si

1

Ejemplo

Calcular

Solucin

42

5. Si se tiene que

es decir

Ejemplo

Calcule si

Solucin

43

6. se tiene que

5

32

ya que

5

32

en general

Ejemplo

Calcule

Solucin

lo cual en este caso no es conveniente ,por ello consideremos:

6.

es decir (producto telescpico)

44

Ejemplo

Calcule

Solucin

Si , entonces, ( . Por lo tanto:

Ejemplo

Dada la sucesin

Calcule:

a) b) c)

1 5 1

80 30 82

Solucin

a)

1 1

80 80

1

80

1 1

80

1 1

80

1

80

45

b)

5 5 5

30 30 30

5 5

30 30

5 5

30 30

5 5

c)

1 1 1 1 1

82 82 82 82 82

46

11. Teorema del binomio

Notacin:

Definicin

Sean tales que

Se define el , como el nmero naturalcoeficiente binomial entre y

Ejemplo Calcule:

a) , b) , c)

d) , e)

Solucin

a)

b)

c)

d)

e) no esta definido, pues

47

Observacin

Si tales que En la siguiente tabla se presenta el desarrollo de para 1 1 1 1 1 1 1 1 Observacin

Los coeficientes binomiales satisfacen, entre otras, las siguientes propiedades :

a) para todo

b) Lema de Stieffel

Demostracin a) es decir

b)

48

Teorema Teorema del binomio

Sean tales que y Entonces,

Ejemplo

En el desarrollo de , determine, si existe:

a) El noveno trmino b) El coeficiente del octavo trmino c) El trmino que contiene a d) El trmino independiente de

Solucin

a) El noveno trmino se obtiene con , por lo tanto, el noveno trmino es:

b) El coeficiente del octavo trmino ( es:

c) El trmino que contiene a , se obtiene cuando :

luego, el trmino es:

49

d) El trmino independiente de se obtiene cuando:

luego, el trmino es:

Ejemplo


a) El quinto trmino b) El coeficiente del quinto trmino c) El trmino que contiene a d) El trmino independiente de

Solucin

a) Utilizando , se obtiene el quinto trmino el cual es:

b) El coeficiente del quinto trmino es

c) El trmino que contiene a , se obtiene cuando:

como , entonces no existe trmino que contenga a .

50


Por lo tanto, el trmino independiente de es:

Ejemplo


a) El noveno trmino b) El coeficiente del dcimo trmino c) El trmino que contiene a d) El trmino independiente de

Solucin

a) El noveno trmino ( ) es:

b) El coeficiente del dcimo trmino ( es:

51

c) Para obtener el trmino que contiene a , debe ocurrir que:

Por lo tanto, el trmino buscado es:


como , entonces no existe trmino independiente de .

Observacin

como , si

se tiene en particular que

es decir

Ejemplo

1.-

2020 20

2.-

1 0

3.-

52

Ejemplos

1.- Dado el binomio :( (

Determine : a). El coeficiente de

b). El termino independiente de c). El coeficiente de

2.- Dado el binomio : ,con

a). Encontrar si se sabe que la suma de loscoeficientes del segundo y tercer termino es igual a 55 b). Encuentre la suma de los coeficientes del cuarto y septimo termino c). Determine el trmino independiente de d). Determine el coeficiente de

3.- Dado el binomio

Determine : a). El coeficiente de

b). El termino independiente de c). El coeficiente de

4.- Calcular:

a).

b).

1

3030 2

c). ( ) k =

4040k

53

12. Variaciones,Permutaciones Combinaciones y Arreglos

Principios fundamentales de conteo

Principio aditivo

Supngase que una actividad puede hacerse de dos formas, donde estas dos formas no pueden ser realizadas simultneamente, es decir, dicha actividad se puede hacer de la primera forma o de la segunda forma. Si la primera forma se puede efectuar de maneras, y la segunda forma puede hacerse de maneras, entonces la cantidad de maneras en que puede ser efectuada la actividad es

Ejemplo

El comit ejecutivo de una empresa tiene que tomar una decisin para la posible expansin a otra regin del pas, para lo cual asigna a once de sus empleados a dos comits. El primer comit tendr cinco miembros que investigar los posibles resultados favorables de tal expansin. Los restantes empleados constituirn un segundo comit para analizar el impacto medio ambiental. Si antes de tomar una decisin el comit ejecutivo decide hablar con uno solo de los empleados designados. De cuntas maneras puede escoger a este empleado?Solucin

El empleado escogido puede pertenecer al primer comit, formado por personas, o del segundo comit, formado por personas, por lo tanto, la eleccin puede hacerse de maneras.

Ejemplo

La biblioteca de una Universidad tiene libros de Administracin y libros de Matemtica. De cuntas maneras un estudiante puede elegir un texto en alguno de los temas?Solucin El texto a elegir puede ser de Administracin o de Matemticas, por lo tanto, el libro se puede elegir de maneras.

54

Principio multiplicativo

Si un procedimiento se puede descomponereen dos etapas, y si la primera etapa se puede realizar de maneras y por cada una de ellas, la segunda etapa se puede realizar de maneras entonces el procedimiento total se puede realizar de :

Ejemplo El director de teatro de una escuela debe seleccionar a una dama y a un varn para la obra final de temporada, y escoger de un grupo constituido por mujeres y hombres que han cumplido todas las exigencias. De cuntas maneras podr escoger una mujer y un hombre para que interpreten los roles protagnicos?

Solucin

La dama puede seleccionarse de de formas y el hombre de formas, por lo tanto, la pareja puede elegirse de maneras.

Ejemplo

De cuntas formas se pueden repartir dos premios entre personas, sabiendo que ambos premios:

a) No se pueden conceder a una misma persona?b) Se pueden conceder a una misma persona?

Solucin

a) El primer premio puede repartise entre personas, y el segundo premio slo puede repartirse entre personas (la persona que recibi el primer premio no puede recibir el segundo premio). Por lo tanto, los dos premios se pueden repartir de formas.

b) Cada premio puede repartirse de formas, por lo tanto ambos premios pueden repartirse de formas.

55

Definicin

Dada una una coleccin de objetos , llamaremos Variacion a cada uno de los ordenamientos que se pueden formar con dichos objetos considerandolos todos o bien, slo algunos de ellos Diremos que una Variacin es de orden , si contiene de los objetos. El nmero de Variaciones de orden que se pueden formar con objetos diferentes esta dado por la frmula:

Observacin

El nmero de Variaciones de objetos tomando de ellos, se obtiene como una aplicacin del principio multiplicativo.

Ejemplo

Cul es el nmero de Variaciones que se pueden hacer con las letras de la palabra PERMUTA,

a) si se toman solo letras de la palabra?b) si se toman las siete letras de la palabra?

Solucin

a) palabras. 37

Note que al escribir la permutacin como , se aprecia la aplicacin del principio multiplicativo.

b) palabras. 77

56

Ejemplo

En una fila que tiene sillas. De cuntas maneras se pueden ordenar alumnos en esta fila?

Solucin

Se deben ordenar de los alumnos en la sillas y los restantes alumnos quedaran de pie, lo cual se puede hacer de maneras.

Observacion

1.- Dos Variaciones cualquiera de una coleccin de objetos distintos ,difieren en el nmero de objetos o bien en el orden de los objetos

2.- En una Variacin son importante los objetos que participan,el nmero de objetos que participan, como tambien el orden de dichos objetos

Ejemplo

Dados los nmeros

1.- Cuantos nmeros de tres digitos se pueden formar ?

2.- Cuantos nmeros de cinco digitos se pueden formar ?

Solucin

1.-

es decir , se pueden formar nmeros

2.-


57

Ejemplo

Dados los nmeros

1.- Cuantos nmeros de cinco digitos se pueden formar, si dichos nmeros deben comenzar con el nmero ?

2.- Cuantos nmeros de cinco digitos se pueden formar, si dichos nmeros no pueden comenzar con el nmero ?

3.- Cuantos nmeros de seis digitos se pueden formar, si dichos nmeros no deben contener el nmero ?

Solucin

1.-


2.-


3.- 20160 es decir , se pueden formar 20160 nmeros 68 82

Definicin

Dada una una coleccin de objetos, llamaremos Permutacin a cada uno de ordenamientos que se pueden formar con dichos objetos considerandolos todos El nmero de Permutaciones que se pueden formar con objetos diferentes esta dado por la frmula:

Observacin

El nmero de Permutaciones de objetos , se obtiene como un caso particular de las Variaciones.

58

Ejemplo

Dadas las letras de la palabra " segundo "

1 Cuantas palabras de siete letras se pueden formar ?.-

2.- Cuantas palabras de siete letras se pueden formar, si las vocales deben quedar juntas ?

3.- Cuantas palabras de siete letras se pueden formar, si las vocales deben quedar juntas y las consonantes deben quedar juntas ?

Solucin

1.- , es decir se puden formar palabras

2.- , es decir se puden formar palabras 5

3.- , es decir se puden formar palabras

Observacin

Dos permutaciones cualquiera tienen los mismos objetos, pero difieren en el orden de los objetosDefinicin

Dado una conjunto de objetos, llamaremos Combinacin a cada uno de los subconjuntos que se pueden formar con los objetos de dicho conjunto. Diremos que una Combinacin es de orden si es un subconjunto de orden con . El nmero de Combinaciones de orden que se pueden formar de un conjunto de objetos, esta dado por la frmula:

Observacin

59

Ejemplo

a) En un examen de Humanidades, un estudiante debe responder a preguntas cualesquiera de preguntas que tiene el certamen, De cuntas maneras puede selecionar las preguntas a responder?

b) Si el estudiante tiene que responder a cuatro preguntas de las siete primeras y a tres de las ltimas. De cuntas maneras puede seleccionar las preguntas?

Solucin

a) La seleccin de las preguntas a responder, sin importar el orden en la cual las responda, se puede hacer de maneras.

b) Aplicando el principio multiplicativo, la cantidad de formas de seleccionar las preguntas a responder es .

Observacin

1.- Dos Combinaciones difieren en a lo menos un objeto o bien, en el nmero de objetos

2.- En las Combinaciones no importa el orden de los objetos, si importan los objetos que contiene

Ejemplo

Dado el conjunto Cuantos subconjuntos de cardinalidad 6 se pueden formar ?

Solucin

, es decir se pueden formar 462 subconjuntos

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Ejemplo

Dados los nmeros : 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9

1.- De cuantas formas es posible seleccionar nmeros ?

2.- Cuanto nmeros de cuatro digitos de pueden formar ?

3.- Cuanto nmeros de cuatro digitos de pueden formar, si los digitos pares que contenga deben quedar juntos ?

4.- Cuanto nmeros de cuatro digitos de pueden formar, si los digitos pares que contenga deben quedar juntos y los impares tambien deben quedar juntos ?Solucin

1.- , es decir de 126 maneras

2.- es decir de 3024 nmeros

3.- Por casos ya que para permutarlos hay que saber cuantos pares contiene cada seleccin

sin par : un par : 4! dos pares : 3! 2! 5 4 5 4 51 3 2 2 tres pares : 2! 3! cuatro pares : V 3 1 44 5 4 es decir se pueden formar tantos nmeros como :

4! 3! 2! 2! 3! V 5 4 5 4 5 4 51 3 2 2 3 1 4

4.- Por casos ya que para permutarlos hay que saber cuantos pares contiene cada seleccin

sin par : un par : 2! 3! dos pares : 2! 2! 2! 5 4 5 4 51 3 2 2 tres pares : 2! 3! 2! cuatro pares : V 3 1 44 5 4 es decir se pueden formar tantos nmeros como :

2! 3! 2! 2! 2! 2! 3! 2! V 5 4 5 4 5 4 51 3 2 2 3 1 4

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Permutaciones con repeticin

Dada una una coleccin de objetos de los cuales, son iguales y de un primer tipo, son iguales y de un segundo tipo, ...., son iguales y de un

-simo tipo, donde entonces el nmero de

permutaciones de los objetos dados viene dado por la frmula:

Ejemplo

Cul es el nmero de maneras en que se pueden distribuir monedas de pesos y monedas de pesos entre jvenes de tal forma que a cada uno de ellos le corresponda una sola moneda?

Solucin

Las monedas de un mismo valor pueden considerarse como objetos de un mismo tipo, por lo tanto, las monedas pueden repartirse de formas

Ejemplo

Cul es el nmero de permutaciones posibles con las letras de la palabra INTERNET ?

Solucin

En esta palabra, la letra se repite veces, la letra dos veces y la letra tambin veces. Por lo tanto, la cantidad de palabras que se pueden formar permutando las letras de la palabra es

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Ejemplo

Dados los nmeros

1.- Cuantos nmeros de 12 digitos se pueden formar ?

2.- Cuantos nmeros de 12 digitos se pueden formar , si los digitos pares deben quedar juntos ?

3.- Cuantos nmeros de 12 digitos se pueden formar , si los digitos pares deben quedar juntos y los digitos impares tambien ?

4.- Cuantos nmeros de 6 digitos se pueden formar ?

Solucin

1.- se pueden formar tantos nmeros como :

2.- se pueden formar tantos nmeros como :

3.- se pueden formar tantos nmeros como : 2! 6720 8

4.- por casos segn digitos repetidos,considerando los nmeros dados, se tiene

caso I 4 I , 2 I : ; caso II 4 I , 2D : 25

caso III 3 I , 3 I : ; caso IV 3 I , 2 I , 1D : 2 1 1 12 2 2 43 3 3 2

caso V 3 I , 3D : ; caso VI 2 I , 2I , 2I : 1 3 32 5 33 2 2 2

caso VII 2 I , 2I , 2D : ; caso VIII 2 I , 4D : 2 2 1 43 4 3 52 2 2

caso IX 6D : 66

con lo cual se tiene que se pueden formar tantos nmeros como la suma de los nmeros de los casos

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Ejercicios

1. Dados los digitos : 1,2,3,4,5,6,7,8,0

a). Cuntos nmeros de 6 digitos se pueden formar

b). Cuntos nmeros de 9 digitos se pueden formar,si los digitos pares deben quedar juntos

c). Cuntos nmeros de 6 digitos se pueden formar que no terminen en 8

d). Cuntos nmeros de 6 digitos se pueden formar,si los digitos pares que contenga deben quedar juntos

2.- Se tienen 5 libros de Matemticas ,4 de Economa y 7 de Costos, todos diferentes :

a). De cuntas maneras diferentes es posible regalar a una persona 4 de estos libros?

b). De cuntas maneras diferentes es posible ubicar estos libros en un estante ,si los libros de una misma especialidad deben quedar juntos?

c). De cuntas manera se pueden seleccionar 7 libros de modo que 3 sean de Matemticas,1 de Economia y 3 de Costos?

3.- Dados los digitos :4,4,3,3,5,5,5,7,8,9.Determine:

a). Cuntos nmeros de 10 digitos se pueden formar

b). Cuntos nmeros de 10 digitos se pueden formar,si los digitos impares que contenga deben quedar juntos

c). Cuntos nmeros de 5 digitos se pueden formar

d). Cuntos nmeros de 5 digitos se pueden formar,si los digitos pares que contenga deben quedar juntos

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4.- Dadas las letras de la palabra CONSTRUCCION. Determine:

a). Cuntas palabras de 12 letras se pueden formar

b). Cuntas palabras de 12 letras se pueden formar,si las vocales deben quedar juntos y las consonantes deben quedar juntas

c). Cuntas palabras de 5 letras se pueden formar

d). Cuntas palabras de 5 letras se pueden formar,si las vocales que contenga deben quedar juntas

5. Si a un baile hay invitados mujeres y hombres. De cuntas maneras es posible formar parejas para iniciar un baile? (Se entiende que una pareja se forma con un hombre y una mujer).

6 Cuntos helados de dos porciones en un cono, se pueden vender si hay sabores disponibles? (Importa el orden arriba, abajo).

7. Hay dos cajas una con bolitas de cristal y otra con de acero. De cuntas formas es posible sacar una bolita?

8. Cuntos nmeros menores que 6.574 se pueden formar con los nmeros : 1, 2, 4, 5, 6, 7, 8 ?

9. Se tienen 3 libros de Fsica, 2 de Matemtica, 1 de Administracin y 1 de Economa, todos distintos. De cuntas maneras distintas es posible seleccionar: a) 4 de ellos ? b) 4 de ellos y ordenarlos en un estante ? c) 4 de ellos y ordenarlos en un estante, si los de una misma especialidad deben quedar juntos ?

10. En una tienda necesitan contratar 3 cajeros y 10 vendedores. Para ocupar estos cargos se presentan 50 postulantes. Todos ellos pueden ser vendedores, pero slo 15 cumplan con los requisitos para ser cajeros. De cuntas maneras es posible hacer la eleccin?

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Capítulo III - Los Números Naturales