Capitulo II. Grafica de Una Ecuacion y Lugares Geometricos Parte III

Geometría

Analítica Plana

I.Sistemas de coordenadas

II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos

III. La línea recta

IV. Ecuación de la circunferencia

V. Transformación de coordenadas

VI. La parábola

VII. La elipse

VIII. La hipérbola

Geometría Analítica Plana

http://www.licimep.org/MateFisica.htm

Problemas resueltos de Matemáticas y de

Física

•En particular, hay una sección dedicada a la Geometría Analítica, que tiene 81 problemas resueltos

•En esa sección hay problemas del Lehmann. En particular, del capítulo II hay 15 problemas resueltos



http://speckle.inaoep.mx/~jjbaezr/

Página del doctor Javier Baez. Donde

están las presentaciones



¿Qué es la Geometría Analítica?

Es el estudio de la geometría

usando los principios del

álgebra y viceversa.

Es la unión de la geometría

y el álgebra

¿Qué es la Geometría Analítica?

Ecuaciones en dos

variables

Figuras

geométricas en el plan

o

Gracias al sistema

coordenado, al plano

cartesiano

Que establece una correspondencia biunívoca, uno a

uno, entre los puntos del plano y

los pares ordenados de

números reales

Abscisa

Ordenada

Plano cartesiano

,x y

x

y


Gráfica de una ecuación y lugares geométricos

Dos problemas fundamentales de la Geometría Analítica

Dada una ecuación,

interpretarla geométricam

ente

Dada un figura geométrica,

determinar su ecuación

Dos problemas fundamentales de la Geometría Analítica



Primer problema fundamental: La gráfica de una

ecuación

Definición 1: El conjunto de los puntos,

y solamente de aquellos puntos, cuyas

coordenadas s

gráfica de la e

atisfagan una ecuación

, =0

se llama o, bien,

su

cuación

lugar geométr co .i

f x y

Primer problema fundamental:

La gráfica de una ecuación

Definición 2: Cualquier punto cuyas

coordenadas satisfacen la ecuación

, =0

pertenece a la gráfica de la ecuación.

f x y

Primer problema fundamental:

La gráfica de una ecuación

Características de la ecuación

El conjunto solución de la ecuación,

formado por los puntos ordenados,

debe pertenecer al conjunto de los

números reales.

Intersección con los

ejes

Construcción de la

curva

Extensión de la curva

Asíntotas

Simetría

Cálculo de

coordenadas


Gráfica de una ecuación y lugares geométricosSegundo problema

fundamental: Encontrar la

ecuación de un lugar geométrico

Consideremos ahora el segundo

problema fundamental de la

Geometría Analítica:

Dada una figura geométrica,

o la condición que deben cumplir

los puntos de la misma, determinar

su ecuación.

Segundo problema fundamental: Encontrar la ecuación de un

lugar geométrico

Una figura geométrica , tal como una curva ,

generalmente se da por su definición.

Por definición de un objeto entendemos una

descripción de ese objeto, de tal naturaleza

que sea posible identificarlo de una manera

definida entre todos los demás objetos de su

clase.


lugar geométrico

Debemos observar cuidadosamente lo que implica

este enunciado: expresa una condición necesaria y

suficiente para la existencia del objeto definido.


lugar geométricoPor definición de un objeto entendemos una descripción de

ese objeto, de tal naturaleza que sea posible identificarlo de

una manera definida entre todos los demás objetos de su clase.

Así , consideremos que estamos definiendo

una curva plana del tipo por medio de

una propiedad , que únicamente posee .

Entonces, entre todas las curvas planas,

una curva es del tipo si y solamente

C

P C

C si

posee la propiedad .P


lugar geométrico

Como un ejemplo especifico, consideremos una

curva plana muy conocida: la circunferencia.


lugar geométrico

Definimos una circunferencia como

una curva plana que posee la

propiedad única , que todos

sus puntos están a igual distancia

de un punto fijo en su plano.

P


lugar geométrico

Esto significa que toda circunferencia

tiene la propiedad , y reciprocamente,

toda curva plana que tenga la

propiedad es una circunferencia.

P

P


lugar geométricoDefinimos una circunferencia como una curva plana

que posee la propiedad única , que todos sus puntos

están a igual distancia de un punto fijo en su plano.

P

Para una curva , dar la condición que deben

cumplir sus puntos es dar una ley a la cual

deben obedecer todos los puntos de la curva.

Esto significa que todo punto de la curva

debe satisfacer la ley particular de la curva.


lugar geométrico

De acuerdo con esto se define

frecuentemente una curva como

el lugar geométrico descrito por

un punto que se mueve siguiendo

una ley específica.


lugar geométrico

Así, una circunferencia puede definirse como

el lugar geométrico de un punto que se mueve

en un plano de tal manera que su distancia a

un punto fijo de ese plano es constante.


lugar geométricoDe acuerdo con esto se define frecuentemente una

curva como el lugar geométrico descrito por un

punto que se mueve siguiendo una ley específica.

Un lugar geométrico no debe satisfacer necesariamente

una sola condición; puede satisfacer dos ó más

condiciones. Podemos tener una curva que sea el lugar

geométrico de un punto que se mueve de tal manera

que:

1 ) Pasa por un punto dado.

2) Se conserva siempre a una distancia constante de una

recta dada.


lugar geométrico

Definición:

Una curva es el lugar geométrico de

todos aquellos puntos, y solamente de

aquellos puntos, que satisfacen una o

más condiciones geométricas dadas.


lugar geométrico

i) Se debe observar que esta definición implica

que la condición o condiciones dadas sean

necesarias y suficientes para la existencia de

la curva.

ii) Esta definición debe también compararse

con la definición 1 del artículo 14:


lugar geométrico

Definición 1: El conjunto de los

puntos, y solamente de aquellos

puntos, cuyas coordenadas

satisfagan una ecuación

, =0

se llama gráfica de la ecuación

o su lugar geométrico.

f x y

Definición:

Una curva es el lugar

geométrico de todos

aquellos puntos, y

solamente de aquellos

puntos, que satisfacen

una o más condiciones

geométricas dadas.

Hasta ahora hemos estudiado

el problema desde un punto

de vista puramente geométrico.

Consideraremos ahora la

interpretación analítica.


lugar geométrico



Ecuación de un lugar

geométrico

Ecuación de un lugar geométrico

Estudiaremos ahora el problema de la

determinación de la ecuación de un

lugar geometrico en el caso que la

interpretación analítica de la condición

o condiciones geometricas definen el

lugar geométrico.


El método es el indicado claramente

por las dos definiciones previas

siguientes:

Definición 1: El conjunto de los

puntos, y solamente de aquellos

puntos, cuyas coordenadas

satisfagan una ecuación

, =0

se llama gráfica de la ecuación

o su lugar geométrico.

f x y

Definición:

Una curva es el lugar

geométrico de todos

aquellos puntos, y

solamente de aquellos

puntos, que satisfacen

una o más condiciones

geométricas dadas.


Combinando estas dos definiciones

tenemos una nueva:

Definición:

Se llama ecuación de un lugar geométrico plano a una

ecuación de la forma

, 0

cuyas soluciones reales para valores correspondientes

de e son todas coordenadas de aquellos puntos,

y solam

f x y

x y

ente de aquellos puntos, que satisfacen la

condición o condiciones geométricas dadas que

definen el lugar geométrico.



Nótese que esta definición expresa

una condición necesaria y suficiente

para que , 0 sea la ecuación

de un lugar geométrico.

f x y


De acuerdo con esto, el procedimiento

para obtener la ecuación de un lugar

geométrico es esencialmente como sigue :

Definición:

Se llama ecuación de un lugar geométrico plano a una ecuación de la forma

, 0

cuyas soluciones reales para valores correspondientes de e son todas

coordenadas de aquellos puntos, y s

f x y

x y

olamente de aquellos puntos, que

satisfacen la condición o condiciones geométricas dadas que definen el

lugar geométrico.

Pasos para obtener la ecuación de un lugar

geométrico1. Se supone que el punto ,

de coordenadas ( , ),

es un punto cualquiera que satisface la

condición ó condiciones dadas, y, por tanto,

un punto del lugar geométrico.

P

x y


geométrico2. Se expresa, analíticamente,

la condición o condiciones

geométricas dadas,

por medio de una ecuación o ecuaciones

en las coordenadas variables e . x y


geométrico

3. Se simplifica, si hace falta,

la ecuación obtenida en el paso

anterior 2 de tal manera que

tome la forma

( , ) 0f x y


geométrico

1 1

1 1

1 1

4. Se comprueba el reciproco:

Sean ( , ) las coordenadas de cualquier punto que satisfacen

( , ) 0, de tal manera que la ecuación ( , ) 0 es

verdadera.

Si de la ecuación ( , ) 0 se puede

x y

f x y f x y

f x y

1 1

deducir la expresión

analítica de la condición o condiciones geométricas dadas,

cuando se aplica al punto , , entonces , 0 es la

ecuación buscada del lugar geométrico.

x y f x y


geométrico

Nótese que en el paso 1 al tomar

como un punto cualquiera del lugar

geométrico, estamos considerando

todos los puntos de ese lugar geométrico.

P


geométricoEn la práctica generalmente se omite

el paso 4, ya que la repetición del

trabajo del paso 3 al paso 2 es,

en casi todos los casos, inmediata.

Pasos para obtener la ecuación de un lugar geométrico1. Se supone que el punto , de coordenadas ( , ), es un punto cualquiera

que satisface la condición ó condiciones dadas, y, por tanto, un punto del

lugar geométrico.

2. Se expresa, analíticamente, la c

P x y

ondición o condiciones geométricas dadas,

por medio de una ecuación o ecuaciones en las coordenadas variables e .

3. Se simplifica, si hace falta,la ecuación obtenida en el paso anterior 2 de

tal mane

x y

1 1

1 1

ra que tome la forma ( , ) 0

4. Se comprueba el reciproco: Sean ( , ) las coordenadas de cualquier punto

que satisfacen ( , ) 0, de tal manera que la ecuación ( , ) 0 es

verdadera. Si de la

f x y

x y

f x y f x y

1 1

1 1

ecuación ( , ) 0 se puede deducir la expresión

analítica de la condición o condiciones geométricas dadas, cuando se aplica al

punto , , entonces , 0 es la ecuación buscada del lugar geométr

f x y

x y f x y

ico.

Ecuación de un lugar geométrico.

Ejemplo 1. La circunferencia

Encuentra la ecuación del lugar geométrico

de todos los puntos que están a una distancia

1 del origen.



Encuentra la ecuación del lugar geométrico

de todos los puntos que están a una distancia

1 del origen.



¿Cuál es el lugar geométrico?

Encuentra la ecuación del lugar geométrico de todos

los puntos que están a una distancia 1 del origen.



-1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

-1.0

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

x

y

Pasos para obtener la ecuación de un lugar geométrico1. Se supone que el punto , de coordenadas ( , ), es un punto cualquiera

que satisface la condición ó condiciones dadas, y, por tanto, un punto del

lugar geométrico.

2. Se expresa, analíticamente, la c

P x y

ondición o condiciones geométricas dadas,

por medio de una ecuación o ecuaciones en las coordenadas variables e .

3. Se simplifica, si hace falta,la ecuación obtenida en el paso anterior 2 de

tal mane

x y

1 1

1 1

ra que tome la forma ( , ) 0

4. Se comprueba el reciproco: Sean ( , ) las coordenadas de cualquier punto

que satisfacen ( , ) 0, de tal manera que la ecuación ( , ) 0 es

verdadera. Si de la

f x y

x y

f x y f x y

1 1

1 1

ecuación ( , ) 0 se puede deducir la expresión

analítica de la condición o condiciones geométricas dadas, cuando se aplica al

punto , , entonces , 0 es la ecuación buscada del lugar geométr

f x y

x y f x y

ico.


geométrico1. Se supone que el punto ,

de coordenadas ( , ),

es un punto cualquiera que satisface la

condición ó condiciones dadas, y, por tanto,

un punto del lugar geométrico.

P

x y




geométricas dadas,



1 1 1 2 2 2

2 2

2 1 2 1

Teorema 2. La distancia , entre dos

puntos ( , ) y ( , ), está dada

por la formula:

d

P x y P x y

d x x y y

La distancia entre dos puntos




geométricas dadas,





2 2

2 2

La distancia del punto , generico

al origen es

Esa distancia siempre es igual a 1.

Por lo tanto, la ecuación es

1x

P x

y

y

d x y


geométrico

3. Se simplifica, si hace falta,

la ecuación obtenida en el paso

anterior 2 de tal manera que

tome la forma

( , ) 0f x y



2 2 1x y

2 2

Se simplifica la ecua

1

ción,

0x y


geométrico

1 1

1 1

1 1

4. Se comprueba el reciproco:

Sean ( , ) las coordenadas de cualquier punto que satisfacen

( , ) 0, de tal manera que la ecuación ( , ) 0 es

verdadera.

Si de la ecuación ( , ) 0 se puede

x y

f x y f x y

f x y

1 1

deducir la expresión

analítica de la condición o condiciones geométricas dadas,

cuando se aplica al punto , , entonces , 0 es la

ecuación buscada del lugar geométrico.

x y f x y



1 1 1

2 21 1

2 21 1

2 2

1 1 1

1 1

Sea , un punto que satisface la ecuación;

es decir, 1 0 es verdadera.

Entonces

1

1

que es la condición geo

, , 1

métrica.

P x

d

y

x y

x y

x y

P x y O


geométrico.Ejemplo 2

14. Un punto se mueve de tal manera que su

distancia al punto 2,4 es siempre igual a

su distancia al eje aumentada en 3.

Encuentra la ecuación del lugar geométrico.

A

Y

Ecuación de un lugar geométrico.Ejemplo 2

Ejercicio 14, grupo 8, capítulo II. Página 54

14. Un punto se mueve de tal manera que su distancia al punto

2,4 es siempre igual a su distancia al eje aumentada en 3.


A Y

Ecuación de un lugar geométrico. Ejemplo 2

Sea , un punto genérico y arbitrario

del lugar geométrico.

La especificación del lugar geométrico se

escribe, en términos algebráicos, como

, , 2,4 , , 3

P x y

d P x y A d P x y Y




A Y

2 2

Ahora

, , 2,4 , , 3

es

2 4 3

d P x y A d P x y Y

x y x


2 2 2

2 2 2

2 2 2

Elevando al cuadrado:

2 4 3

Desarrollando los cuadrados:

4 4 8 16 6 9

Pasando todo al primer miembro:

4 4 8 16 6 9 0

x y x

x x y y x x

x x y y x x

2 22 4 3x y x


2 2 24 4 8 16 6 9 0x x y y x x

2

2

2 2

Reduciendo términos semejantes:

8 0

8 10 11 0

4 4 16 96x y y

y y x

x x x





A Y

2

La ecuación del lugar geométrico es:

8 10 11 0y y x


21 1 1

21 1

2 2 21 1 1 1 1 1

2

1 1

2 2

1 1 1

2 2

1 1 1

1 1 1 1 1

21 1

1

2

8 10 11 0

8 0

4 4

4

8 16 6 9

2 4 3

2 4 3

, , 2,4 , ,

16 94 6

3

y y x

y y

x x y y x x

x y x

x y x

d P x y A

x

d P x y Y

xx x

2 8 10 11 0y y x


2 8 10 11 0y y x




geométrico. Ejemplo 323. Dos de los vértices de un triángulo son

los puntos fijos (-1,3) y (5,1). Hallar la

ecuación del lugar geométrico del tercer

vértice si se mueve de tal manera que la

pendiente del lado es si

A B

C

AC��

empre el doble

de la del lado .

2AC BC

BC

m m��

��

Pasos para obtener la ecuación de un lugar geométrico. Ejemplo 3

1,3A

5,1B

C

2

AC BCm m��

1

2

Solución:

Sea ( , ) un punto cualquiera del lugar geométrico.

3La pendiente del lado es

11

La pendiente del lado es 5

Segun el problema, , debe satisfacer la

condición geomé

P x y

yAP m

xy

BP mx

P x y

��

��

1 2trica 2m m

23. Dos de los vértices de un triángulo son los puntos fijos (-1,3) y (5,1).

Hallar la ecuación del lugar geométrico del tercer vértice si se mueve de

tal manera que la pendiente del lado es

A B

C

AC��

siempre el doble de la del lado .BC��

1 2

La condición geométrica especificada,

que la pendiente del lado es siempre

el doble de la del lado ; es decir, que

2

se expresa analíticamente como

3 1=2

1 5

AP

BP

m m

y y

x x

��

��

23. Dos de los vértices de un triángulo son los puntos fijos (-1,3) y (5,1).

Hallar la ecuación del lugar geométrico del tercer vértice si se mueve de

tal manera que la pendiente del lado es

A B

C

AC��

siempre el doble de la del lado .BC��

Simplificamos ahora la expresión que

expresa la condición analíticamente,

3 12 0

1 53 5 2 1 1

01 5

3 5 15 2 2 2 20

1 5

y y

x xy x y x

x x

xy x y xy x y

x x

3 1=2

1 5

y y

x x

3 5 15 2 2 2 20

1 5

7

7 17 0

170

1 5

7 17 0

xy x y xy x y

x x

xy x y

x x

x y

xy y

y x

x

3 1=2

1 5

y y

x x

1 1 1

Nos falta comprobar ahora el recíproco, el punto 4

de los pasos que hemos especificado; es decir,

si un punto ( , ) satisface la ecuación

7 17 0

entonces satisface la condición geométrica,

que la

P x y

xy x y

pendiente del lado es siempre el doble de

la del lado .

AP

BP

��

��

1 1 1

1 1 1 1

1 1 1 1

1 1

Como el punto ( , ) satisface la ecuación

7 17 0

tenemos

7 17 0

Dividimos ambos lados de la ecuación,

7 170

1 5

P x y

xy x y

x y x y

x y x y

x x

1 1 1 1

1 1

1 1 1 1

1 1

1 1 1 1 1 1 1 1

1 1

1 1 1 1

1 1

1 1 1 1 1 1 1

1

13 3 5 5 15 1

7 170

1 5

Y ahora separamos las fracciones

7 170

1 5

3 5 15 2 2 2 20

1 5

( 5)( 3) 2( 1)( 1)0

1 5

( 5)(

5

x y x y

x x

x y x y

x x

x y x y x y x y

x x

x y y x

x x

x

x y x y x x y y

y

1 1 1

1 1

3) 2( 1)( 1)0

1 5

y x

x x

1 1 1 1

1 1

1 1 1 1

1 1 1 1

1 1

1 1

1 1

1 1

1 2

( 5)( 3) 2( 1)( 1)0

1 5

( 5)( 3) ( 1)( 1)2 0

1 5 1 5

3 12 0

1 5

3 12

5

2

1

m m

x y y x

x x

x y y x

x x x x

y y

x x

y y

x x

7 17 0xy x y




geométrico. Ejemplo 4

2

2

( - 3)² ( -1)² ( / 2)

( - 3)² ( -1)² / 4

( - 3)² ( -1)² / 4 0

(3 / 4) ² - 6 ² - 2 10 0

(3 / 4) ² - 6 ² - 2 10 0

x y x

x y x

x y x

x x y y

x x y y

2 3 4 5 6 7

-1

0

1

2

3

x

y(3 / 4) ² - 6 ² - 2 10 0x x y y




geométrico. Ejemplo 5

5. Un punto se mueve de tal manera que su

distancia al punto 2,3 es siempre igual a 5.

Hallar la ecuación de su lugar geométrico y

dar una interpretación geométrica.

1. Se supone que el punto P, de coordenadas ( , ) es un

punto cualquiera que satisface la condición o condiciones

dadas, y , por tanto, un punto del lu

Sea entonces

gar geométri

, un pu

c

nto genera

o.

l P x y

x y

y arbitrario del

lugar geométrico.

2. Se expresa , analíticamente , la condición o

condiciones geometricas dadas, por medio de

una ecuación o ecuaciones en las coordenadas

variables y .

En este caso esa condición se escribe

, , 2,3 5d P x y A

x y

2 2

que se expresa como

2 3 5x y

2 2

2

2 2

2

2 2

2 2

3. Se simplifica , si hace falta , la ecuación

obtenida en el paso 2 de tal manera que

tome la forma

En este caso

2 3 5

2 3 25

4 4 6 9 25

4 4 6 9 25

, 0

4 2

0

6 1 0

x y

x y

x x y y

x x

f

y x y

x

x

y

y y

1 14 . Se comprueba el reciproco : Sean , las coordenadas de

ctialquier punto que satisfacen (1) de tal manera que la ecuación

es verdadera . Si de (2) se puede deducir la expresi6n analitica de la

cond

x y

2 2

1 1

2 2

1 1

2 21 1 1 1

2

1

1

1

1

ición o condiciones geometricas dadas, cuando se aplica a1 punto

( , y ) , entonces (I) es la ecuación buscada del lugar geométr

En este caso

2 3 5

2 3 25

4 4 6 9 25

ic

4

o.

x y

x y

x x y y

x

x

x

21 1

2 21 1 1 1

4 6 9 25 0

4 6 12 0

y y

x y x y

Pasos para obtener la ecuación de un lugar geométrico. Ejemplo 5

2 2

Construir la gráfica de la

ecuación

4 6 12 0x y x y

2 2

2

Intersecciones con los ejes

Eje :

Hacemos 0 en la ecuación

4 6 12 0,

y obtenemos

4 12 0

La factorizamos

6 2 0

Las intersecciones del eje son 6 y 2

X

y

x y x y

x x

x x

X

2 2

2

2

Intersecciones con los ejes

Eje :

Hacemos 0 en la ecuación

4 6 12 0,

y obtenemos

6 12 0,

La resolvemos

6 6 4 1 12 6 36 48

2 1 2

6 84 6 4 21 6 2 213 21

2 2 2

Las intersecciones del eje son 3

Y

x

x y x y

y y

y

Y

21 y 3 21

Simetrías

No tiene

2 2

2 2

2 2

2

Extensión

En el eje :

Despejamos como función de ,

de 4 6 12 0,

6 36 4 4 12 6 4 16 84

2 2

6 4 4 21 6 2 4 21

2 2

3 4 21

X

y x

x y x y

x x x xy

x x x x

y x x

Asíntotas

No tiene

2 2 4 6 12 0x y x y

2,3




geométrico. Ejemplo 6Hallar la ecuación del lugar geométrico

de un punto que se mueve de tal manera

que siempre equidista de dos puntos

dados ( 1 ,2) y (4, 1 ).A B

Hallar la ecuación del lugar geométrico



dados ( 1 ,2) y (4, 1 ).A B

Pasos para obtener la ecuación de un lugar geométrico. Ejemplo

6

La ecuación buscada es

5 3 6 0x y

Hallar la ecuación del lugar geométrico



dados ( 1 ,2) y (4, 1 ).A B

5 3 6 0x y



Un punto se mueve de tal manera que su distancia

del eje es siempre igual a su distancia del punto

4, 0 . Hallar la ecuación de su lugar geométrico.

Y


Sea ( , ) un punto cualquiera del lugar geométrico.

Sea el pie de la perpendicular de al eje ,

según el problema, debe satisfacer lacondición

geométrica

P x y

B P Y

P

PB PA




Y


2 2

22 2

2 2 2

2

4

4

8 16

8 16 0

PB PA

x x y

x x y

x x x y

y x




Y


2 8 16 0y x


1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

x

y 2 8 16 0y x

Documents

Capitulo II. Grafica de Una Ecuacion y Lugares Geometricos Parte III