INGENIERIA MECANICA ELECTRICA ( UNA )

Mtodos Numricos

Captulo I

Introduccin y Errores

Ing. Julio Fredy Chura Acero Semestre 2015-I

Objetivo: Adquirir una nocin fundamental de la importancia del papel que desempean los mtodos numricos. Tambin conocer y aplicara conceptos de lenguajes de programacin.

INTRODUCCCION Los mtodos numricos son tcnicas mediante las cuales es posible formular problemas matemticos de tal forma que puedan resolverse usando operaciones aritmticas. Ya que antes los ingenieros solo contaban con ciertos mtodos, por ejemplo usaban mtodos analticos pero solo con estos pueden encontrarse una clase limitada de problemas. Adems se usaban soluciones graficas limitadas solo a 3 dimensiones o menos. Y se utilizan calculadoras donde aun as que son adecuadas los clculos manuales son lentos y tediosos; resultando equivocaciones.

Hoy en da al usar la computadora para obtener soluciones se pueden aproximar los clculos sin tener que recurrir a tcnicas lentas, aunque las soluciones analticas son muy valiosas ya que proporcionan una mayor comprensin.

IMPORTANCIA DE LOS METODOS NUMERICOS 1. Los mtodos numricos son herramientas poderosas para la solucin

de problemas, aumentando la habilidad de quien los estudia para resolver problemas.

2. En el transcurso de la carrera se usaran software disponibles comercialmente. Pero el uso inteligente de estos depende del conocimiento de la teora bsica de cada uno de ellos.

3. Hay problemas que no se pueden plantear con software comerciales, entonces si conoces los mtodos y la programacin tendrn la capacidad de disear sus propios programas.

IMPORTANCIA DE LOS METODOS NUMERICOS (contina.)

4. Los mtodos numricos son un vehculo eficiente para aprender a servirse de las computadoras. Ya que un camino para aprender programacin es escribir programas de computadora, y as implementaran los mtodos numricos para resolver problemas difciles. Y demostrara como la computadora sirven para su desarrollo profesional. 5. Los mtodos numricos son un medio para reforzar la comprensin de las matemticas. Esta alternativa aumenta su capacidad de comprensin y entendimiento en la materia.

ALGORITMOS

Las tcnicas numricas se acompaan por material relacionado con su implementacin efectiva en computadoras. Se proporcionan algoritmos en mtodos. Un algoritmo es un mtodo para resolver un problema. Es la secuencia de pasos lgicos necesarios para llevar a cabo una tarea especifica, como la resolucin de un problema.

Resolucin de un problema

Problema Diseo del algoritmo

Programa de computadora

Los pasos para la resolucin de un problema son: 1. Diseo del algoritmo que describe la secuencia ordenada de pasos. 2. Expresar el algoritmo con un programa en un lenguaje de

programacin adecuado. 3. Ejecucin y validacin del programa por la computadora. Los algoritmos son independientes tanto del lenguaje de

programacin en que se expresen como de la computadora que los ejecute. En cada algoritmo se puede expresar diferente pero deber tener el mismo resultado.

Tambin los algoritmos son particularmente tiles en el caso de problemas sencillos o para especificar las tareas de una larga programacin.

Ejemplo 1: Un cliente ejecuta un pedido a una fabrica. La fabrica examina en su banco de datos la ficha del cliente, si el cliente es solvente entonces la empresa acepta el pedido; en caso contrario, rechazara el pedido. Redactar el algoritmo correspondiente. 1- Inicio 2- Leer el pedido. 3- Examinar la ficha del cliente. 4- Si el cliente es solvente, aceptar pedido; en caso contrario, rechazar pedido. 5- Fin.

1.3 TIPOS DE DATOS Un dato es la expresin general que describe los objetos con los cuales opera una computadora. Los datos se clasifican en: simples (sin estructura) y compuestos (estructurados)

DATOS

Simples

Compuestos

Numricos (integer, real), Lgicos (boolean), Carcter(char, string).

Estticos

dinmicos

Array, registro archivo, conjunto, cadena.

Lista, lista enlazada, rbol, grafo.

SE vern los datos simples: DATOS NUMERICOS. Es el conjunto de valores numricos. Se pueden presentar en: Tipo numrico entero (integer). Tipo numrico real (real) Enteros: es un subconjunto finito de los nmeros enteros. (5,6,4,20,1340,etc) Se denominan en ocasiones nmeros de punto o coma fija. Reales: es un subconjunto de los nmeros reales. Siempre tienen un punto decimal y pueden ser negativos o positivos. Consta de una parte entera y una decimal. Y se pueden representar con notacin exponencial. En donde la mantisa (parte decimal) al numero real y el exponente (parte potencial) el de la potencia de 10. mantisa 36.75201 exponente 18

1836.75201 10x

DATOS LOGICOS(BOOLEANOS): El tipo lgico, es aquel dato que solo puede tomar uno de dos valores: CIERTO O VERDADERO (true) y FALSO (false). DATOS TIPO CARCTER Y TIPO CADENA El tipo carcter es el conjunto finito y ordenado de caracteres que la computadora reconoce. Un dato tipo carcter contiene un solo carcter. Ejemplos: Caracteres alfabticos ( A,B,C,D,E) (a,b,c,d,e) Caracteres numricos (1,2,3,5,6) Caracteres especiales ( +,-,*,/,;, , $......) Una cadena(string) de caracteres es una sucesin de caracteres que se encuentran delimitados por una comilla o dobles comillas, segn el tipo de lenguaje de programacin. La longitud de una cadena de caracteres es el nmero de ellos comprendidos entre los separadores o limitadores. Ejemplo: Hola Mortimer 8 de octubre de 1980

CONSTANTES Y VARIABLES

Constantes: es una partida de datos que permanecen sin cambios durante todo el

desarrollo de un algoritmo o durante la ejecucin de un programa.

Variable: en una partida de datos que puede cambiar durante el desarrollo del

algoritmo o ejecucin del programa. (enteras, reales, carcter, lgicas y de

cadena).

EXPRESIONES ARITMETICAS

Operadores Operador Matlab

Significado

-.^, ** ^ Exponenciacin

+ + Suma

- - Resta

* / *, / Multiplic. Y divisin

div Divisin entera

mod Modulo resto

Reglas de prioridad: 1. Parntesis, primero los mas internos. 2. Exponenciacin de izquierda a derecha 3. Multiplicacin y divisin, e izquierda a derecha. 4. Suma y resta de izquierda a derecha. Ejemplos: 3+6*14 = 3+84 = 87 8+7*3+4*6 = 8+ 21 + 24 = 53 -4*7+2^ 3 / 4 5 = -28 + 8/4 5 = -28 + 2 5 = -31 Expresar axb = a*b 5.(x+y) = 5* (x+y) a+b = a^2+b^2

OPERADORES RELACIONALES

OPERADORES LOGICOS

Operador Matlab Significado

< < Menor que

> > Mayor que

= == Igual que

= Mayor o igual que

~ = No igual

operador Smbolos matlab Significado

no(not) ~ Negacin

y (and) & Conjuncin

o (or) / Disyuncin

SENTENCIAS DE ASIGNACION, LECTURA Y SALIDA. La sentencia de asignacin es el modo de darle valores a una variable. Se

representa con el smbolo de . Puede cambiar el smbolo de acuerdo a cada

lenguaje. Pero se vera para redactar un logaritmo en sencillos programas.

A 5 significa que la variable A se le asignado el valor 5.

La accin de asignar es destructiva, ya que el valor que tuviera antes de la

asignacin se pierde y se reemplaza por el nuevo valor. Ejemplo:

A 25

A 134

A 5

Cuando se ejecutan el valor ultimo que toma A ser 5.

TIPOS DE EXPRESIONES DE ACCIONES DE ASIGNACION

Asignacin aritmtica

3 14 8

1 14.5 8

2 0.75*3.4

1/ 2

AMN

TER

TER

COCIENTE TER TER

AMN tomara el valor de 25

COCIENTE es (14.5+8)/(0.75*3.4)

Asignacin lgica Supngase que M,N Y P son variables tipo lgico. Asignacin de cadena La expresin que se evala es: x 12 de octubre de 1980 Esta asigna a x el valor 12 de octubre de 1980.

8 5

(7 12)

7 6

M

N Mo

P

Al evaluar las operaciones, las variables tomaran los valores: falso, verdadero, verdadero.

En las asignaciones no se pueden asignar valores a una variable de un tipo diferente del suyo. Se presentara un error si se trata de asignar valores de tipo carcter a una variable numrica o un valor numrico a una variable tipo carcter. ASIGNACION DE LECTURA Y SALIDA. La operacin de entrada permiten leer determinados valores y asignarlos a determinadas variables. Esta entrada se conoce como de lectura (read). La operacin de salida se denomina escritura (write). Ejemplo : LEER (A,B,C) Representa la lectura de 3 valores de entrada a las variables A, B Y C. ESCRIBIR (hola ingenieros) Visualiza en pantalla el mensaje hola ingenieros.

SENTENCIAS DE SELECCIN Y REPETICION

Instruccin de seleccin: Permiten que la seleccin de tareas alternativas en

funcin de los resultados de diferentes expresiones condicionales. Nos

permiten hacer una pregunta o probar una condicin para determinar que

pasos se ejecutaran a continuacin.

si no

condicin

Accin F2 Accin F1

FORMA GENERAL DE LA INSTRUCCIN IF: If expresin lgica instrucciones end

SENTENCIAS DE SELECCIN Y REPETICION

Instruccin de repeticin: Instrucciones que permiten la repeticin de

secuencias de instrucciones de un numero determinado o indeterminado de

veces.

Acciones

condicin falsa

verdadera

ARREGLOS Un arreglo(matriz o vector) es un conjunto finito y ordenado de elementos homogeneos, es decir del mismo tipo de datos. El subindice de un elemntos desinga su posicion en la ordenacion del vector. El numero de elementos de un vector se denomina rango del vector. Ejemplo: Consideremos un vector x de ocho elementos Operaciones basicas con vectores.

X[1] X[2] X[3] X[4] X[5] X[6] X[7] X[8]

14.0 12.0 8.0 7.0 6.41 5.23 6.15 7.25

Acciones Resultados

Escribir (X[1]) Visualiza el valor de X[1] O 14.0

X[4] = 45 Almacena el valor 45 en X[4]

SUMA = X[1] + X[3] Almacena en suma 22.0.

SUMA= SUMA + X[4] Aade en la variable suma el valor 67.0

X[5] = X[5] + 3.5 Suma 3.5 a 6.41 es X[5] igual a 9.91

X[6] = X[1] + X[2] Almacena la suma en x[6] el valor 26

Arreglos con Matlab. Ejemplo: A= [2 5 6] B= [2 3 5] Multiplicacion seria: C= A.*B; C= [4 15 30 ]

Operacin Forma alegebraica

Matlab

Suma a+b a + b

Resta a-b a b

Multiplicacion a x b a.*b

Division a/b a./b

ezponenciacion a a.^n

Tambien Matlab se aplica con matrices con filas y columnas: D= [1:5; - 1: - 1;-5]; P= D-*5 Q= D.^3; D= [ 1 2 3 4 5] [ -1 -2 -3 -4 -5] P= [ 5 10 15 20 25] [-5 -10 -15 -20 -25] Q= [ 1 8 27 64 125] [-1 -8 -27 -64 -125]

ERRORES Entender el concepto de error es importante para usar en forma efectiva los mtodos numricos. Los estudiantes y pasantes de ingeniera luchan para limitar este tipo de errores en su trabajo porque pueden resultar costosos y catastrficos en algunas ocasiones. Entonces debemos resolver problemas con aproximaciones o estimar los errores. Los errores asociados con los clculos y medidas se pueden caracterizar observando su exactitud y precisin. La exactitud se refiere a que tan cercano esta el valor calculado con el verdadero. Y la precisin que tan cercano esta un valor individual medico con respecto a otros. Los mtodos numricos deben ser lo suficientemente exactos para que cumplan con los requisitos de un problema de ingeniera.

Antes de ver los tipos de errores, veremos el concepto de cifras significativas que son aquellas que pueden sr usadas en forma confiable. Por ejemplo, los nmeros 0.00001845 y 0.001845 tienen cuatro cifras significativas. El concepto de cifras significativas tienen dos implicaciones en el estudio de mtodos numricos. 1. Los mtodos numricos obtienen resultados aproximados. Se debe

desarrollar criterios para especificar que tan precisos son los resultados obtenidos. Una manera de hacerlos es con las cifras significativas.

2. Ciertas cantidades como , 7, , representan nmeros especficos, no se pueden expresar con un numero finito de dgitos. Por ejemplo:

= 3.141592653589793238462643 hasta el infinito. Debido a que las computadoras retienen un numero finito

de cifras significativas, tales nmeros jams se podrn representar con exactitud.

Los errores asociados con los clculos y medidas se pueden caracterizar observando su exactitud y precisin. EXACTITUD: se refiere a que tan cercano esta el valor calculado o medido con el valor verdadero. PRECISION: se refiere a que tan cercano esta un valor individual medido o calculado con respecto a otros. Los mtodos numricos deben ser lo suficientemente exactos para que cumplan los requisitos de un problema particular.

La exactitud se refiere a que tan cercano esta el valor calculado o medido del valor verdadero.

La precisin se refiere a que tan cercanos se encuentran, unos de otros, diversos valores calculados o medidos.

Aumenta la exactitud

Au

men

ta l

a p

reci

si

n

Los errores asociados con los clculos y medidas se pueden caracterizar observando su exactitud y precisin. EXACTITUD: se refiere a que tan cercano esta el valor calculado o medido con el valor verdadero. PRECISION: se refiere a que tan cercano esta un valor individual medido o calculado con respecto a otros.

Los mtodos numricos deben ser lo suficientemente exactos para que cumplan los requisitos de un problema particular.

Definiciones de Error Los errores numricos general con el uso de aproximaciones para representar las operaciones y cantidades matemticas. Estos incluyen errores de truncamiento que resultan de representar aproximadamente un procedimiento matemtico exacto, y los errores de redondeo que se producen cuando los nmeros tienen un limite de cifras significativas que se usan para representar nmeros exactos. Para los dos tipos de errores, la relacin entre el resultado exacto o verdadero y el aproximado esta dada por: VALOR VERDADERO = APROXIMACION + ERROR E (valor exacto del error) = VALOR VERDADERO APROXIMACION Para sealar un error relativo porcentual verdadero se expresa como: E = VALOR VERDADERO - AROXIMACION 100% VALOR VERDADERO

Ejemplo de calculo de errores: Supngase que se tiene que medir la longitud de un puente y de un

remache, obtenindose 9,999 y 9 cm respectivamente. Si los valores verdaderos son 10,000 y 10 cm, calclese: a) El error b) El error verdadero (relativo porcentual) Solucin: a) E = VALOR VERDADERO APROXIMACION Medicin del puente E = 10,000 9,999 = 1 cm Medicin del remache E = 10 9 = 1 cm b) E = valor verdadero - aproximacin 100% valor verdadero Error para el puente = 0.01% = 10%

1*100%

10000

1*100%

10

Por lo tanto, aunque ambas medidas tienen un error de 1 cm, el error relativo porcentual del remache es mucho mas grande. Se puede concluir que se ha hecho un buen trabajo en la medicin del puente, mientras que la estimacin para el remache deja mucho que desear.

2. Calcule los dos tipos de errores en las aproximaciones siguiente donde las primeras cantidades son los valores exactos y los segundas son las aproximaciones. a) p= , q = 22/7 b) m = , n = 3.1416 c) a= , b= 2.718

a) E= valor verdadero aproximacin E= 3.141592654 3.142857143 = 0.00126448925 = 1.26448925x E = valor verdadero aproximacin / valor verdadero *100% = 3.141592654 3.142857143 / 3.141592654 *100% = 0.040249% b) E= 3.141592654 3.1416 = 0.0000073464 Ev = 0.0000073464 / 3.141592654 * 100% = 0.000233843% c) E= 2.718281828 2.718 = 0.00028182845 Ev= 0.00028182845 / 2.718281828 *100% = 0.010367889%

310

Ejemplo Supngase que x= 5/7 y y= 1/3, y que se usa el truncamiento a 5 cifras para los clculos aritmticos donde intervienen x y y. f1(x) = 0.71428 x10 y f1(y)= 0.33333x10. Operacin Resultado Valor real Error

absoluto Error relativo

x+y 0.10476x10 22/21

x-y 0.38095x10 8/21

x*y 0.23809x10 5/21

y/x 0.21428x10 15/7

40.190 10x

50.238 10x

50.524 10x

40.571 10x

4

5

4

4

0.182 10

0.625 10

0.220 10

0.267 10

x

x

x

x

En las situaciones reales es a veces dificil contar con tal informacin. En estos casos, normalizar el error es una alternativa, usando la mejor estimacin posible del valor verdadero, esto es: Ea =( ERROR APROXIMADO / VALOR APROXIMADO) * 100% Ciertos mtodos numricos usan un esquema iterativo para calcular resultados. Tales mtodos se hace una aproximacin con base en la aproximacin anterior. Este proceso se repite varias veces o de forma iterativa para calcular en forma sucesiva mas y mejores aproximaciones. El error se calcula: a = Los signos de las ecuaciones pueden ser positivos o negativos. Tambin el denominador puede ser menor que cero. Cuando se realizan clculos no importa el signo, mas bien su valor absoluto porcentual sea menor que su tolerancia porcentual prefijada s. Se puede demostrar que si el siguiente criterio se cumple, puede tenerse la seguridad que el resultado es correcto en al menos n cifras significativas.

actual - aproximacion previa 100%

actual

aproximacion

aproximacion

s = (0.5 x ) % Estimacin del error por mtodos iterativos. En matemticas, a menudo se pueden representar las funciones mediante una serie infinita. Por ejemplo la funcin exponencial se puede calcular usando: Mientras mas trminos se agreguen a la serie, la aproximacin se acercara mas al valor de . A esta ecuacin se le llama expansin en series de Maclaurin. Ejercicio: Estimar el valor de , Despus de que se agregue cada termino, calclese los errores relativos porcentuales real y aproximado. El valor real de = 1.648721271. Agrguense trminos hasta que el valor absoluto del error aproximado a sea menor al criterio preestablecido s, que contempla 3 cifras significativas.

210

n

2 3 41 ......

2! 3! 4!x x xxe x

xe

0.5e

0.5e

SOLUCION: Se puede emplear la ecuacin Es = (0.5 x ) % , para determinar el criterio de error que asegura un resultado correcto en al menos 3 cifras. s = = 0.05% Se agregaran trminos a la serie hasta que Ea sea menor que 0.05%. para x= 0.5 = 1 + 0.5 = 1.5 Esto representa el error relativo verdadero porcentual = (1.648721271 1.5 / 1.648721271) *100% = 9.02% Determinar una estimacin aprox. Del error dada por: Ea = (1.5 - 1 / 1.5) *100% = 33.3% Como a < s no se cumple, los clculos continan hasta que se cumpla.

210

n

2 3(0.5 10 )%x

0.5e

Trminos Resultado a

1 1 39.3

2 1.5 9.02 33.3

3 1.625 1.44 7.69

4 1.45833333 0.175 1.27

5 1.648437500 0.0172 0.158

6 1.648697917 0.00142 0.0158

Despus de 6 trminos se cumple la condicin. Al agregan mas cifras significativas se acerca mas al resultado deseado.

Errores de Redondeo Se originan debido a que la computadora puede guardar un numero fijo de cifras significativas durante el calculo. Porque estas usan representacin en base dos y no pueden representar numero exactos en base diez. Regla de redondeo: Se conservan las cifras significativas y el resto se descarta. El ultimo digito que se conserva se aumenta en uno si el primer digito descartado es mayor de 5. De otra manera se deja igual. Si el primer digito es 5 entonces el ultimo digito retenido se incrementa el 1, solo si es impar. Errores de Truncamiento Son aquellos que resultan al usar una aproximacin en lugar de un procedimiento matemtico exacto. Para esto se hace uso de la serie de Taylor la cual da una formulacin para predecir el valor de una funcin x+i, en trminos de la funcin y sus derivadas alrededor del punto xi.

Donde es un valor cualquiera de x que se encuentra en xi y xi+1. Ejemplo: Usar trminos en la serie de Taylor de cero a cuarto orden para aproximar la funcin: Desde xi = 0 con h= 1. Predecir el valor de la funcin en x i+1 = 1. F(0) = 1.2 F(xi) = 1.2 F(1) = 0.2 Error de truncamiento = valor verdadero aproximacin = 0.2 1.2 = 0.2 F (0) = F(xi+1) = 1.2 0.25h = 1.2 0.25 = 0.95 Et = 0.2-0.95 = -0.75.

4 3 20( ) 0.1 0.15 0.5 0.25 1.2f x x x x x

3 2( ) 0.4(0.0) 0.45 1.0(0.0) 0.25 0.25f x x

n=2, se evala la segunda derivada en x=0 F(0) = F(xi+1) = 1.2 0.25h 0.5h = 1.2 0.25 0.5 = 0.45 Et= 0.2 0.45 = -0.25. n=3 , se evala la tercera derivada en x=0 F(0) = -2.4(0.0) 0.9 = -0.9 F(xi+1) = 1.2- 0.25h-0.5h -0.15h = 1.2 0.25 0.5 - 0.15 = 0.3 Et = 0.2 0.3 = -0.1 N=4 F(0)= -2.4 F(xi+1) = 1.2 0.25h 0.5h -0.15h -0.1h = 1.2 -0.25-0.5-0.15-0.1 = 0.2 Et= 0.2- 0.2 = 0 En la cuarta derivada produce un aproximacin exacta en xi+1 = 1.

2( ) 1.2(0.0) 0.9(0.0) 1.0 1.0f x