CAPITULO 7 Estudio de Circuitos en Régimen Transitorio Teoría de Circuitos I

CAPITULO 7

Estudio de Circuitos en Régimen Transitorio

Teoría de Circuitos I

Estudiaremos el comportamiento dinámico de los circuitos cuando se producen perturbaciones, originadas por apertura o cierre de llaves, o por variaciones súbitas en la alimentación.

Circuito Dinámico: Incluye Capacitores, Inductores, o ambos. La energía no se disipa en forma de calor, sino que queda almacenada en el campo eléctrico (en C) o magnético (en L).

El comportamiento de las formas de onda de tensión y corriente quedará definido por ecuaciones diferenciales cuyo orden depende del número de almacenadores que tenga el circuito.

Propiedades básicas de los capacitores e inductancias invariantes en el tiempo

• Memoria:

i(t) C v(t)

0

0 0

0 0

0

Si conocemos el valor ( ) con t , luego:

1 1 1( )

t t t

t t

v t t

v t i d i d v t i dC C C

Considerando ( ) 0

1( )

t

v

v t i dC

+

v(t) L

i(t)

0

0

Por dualidad, para el inductor tendremos:

1( )

t

t

i t i t v dL

Condiciones

iniciales

• Memoria: Las condiciones inciales son equivalentes, desde el punto de vista externo, a los siguientes cicuitos:

C

C v1

v0

i

+

-

+

-L

ii1

i0

i

Es importante tener en cuenta la polaridad/sentido de circulación de la condición inicial para el modelo !!!

• Continuidad:

Propiedades básicas de los capacitores e inductancias invariantes en el tiempo

is(t)vC(t)

+

-

C = 5 F

is

vc(t) (V)

(a) t(s)

10

-10

01 2 3

(b)

(c)

t(s)

01 2 3

2

(A)

Si la forma de onda de corriente ic(t) en un capacitor lineal ( ten-sión vL(t) en un inductor ) permanece acotada en un intervalo ce-rrado [ta, tb], entonces la tensión vc(t) en el capacitor ( corriente iL(t) en un inductor ) es una función continua en el intervalo abierto (ta, tb).

• Continuidad: Una forma de demostrar matemáticamente esta propiedades a partir de las relaciones VA de los respectivos elementos

CAPACITOR INDUCTOR

( )( ) C

C

d v ti t C

dt

( )( ) L

L

d i tv t L

dt

0 0Segunda ley de conmutación ( ) ( )C Cv t v t

Para que exista la derivada la tensión vC(t) en el capacitor y la corriente iL(t) en un inductor deben variar en forma continua.Luego,

0 0Primera ley de conmutación ( ) ( )L Li t i t

Por LKT sabemos que:

Planteo de ecuaciones en regímenes transitorios

vS(t) : Excitación o función forzante (puede ser cte o vble en el tiempo)

Las ecuaciones diferenciales por sí mismas, no permiten obtener la so-lución real del problema, sino que deben complementarse con las con-diciones iniciales, o condiciones de conmutación vistas anteriormente.

S R L

S

v t v t v t

di tv t R i t L

dt

+

R L

vs(t)

i(t)

EDO lineal de primer orden

Problema de

condiciones iniciales

- Sistema de ecuaciones diferenciales

- Condiciones Iniciales

Como ya sabemos la solución para una variable cualquiera x(t) para una ecuación diferencial lineal tendrá la forma:

Régimen transitorio, libre y forzado

Para los circuitos se puede demostrar que la ecuación homogénea aso-ciada sólo puede tener raices reales negativas o complejas con parte real negativa y las soluciones serán del tipo:

h px t x t x t Solución

Homogénea

Solución

Particular

k t

k t

e

e sen t

o sus combinaciones lineales

lim 0ht

x t

Solución Homogénea

o de Régimen Libre

Solución Homogénea

o de Régimen Libre

Solución Particular

o de Régimen Forzado

Respuesta en

Régimen Transitorio= +

Circuitos constituidos por resistencias e inductancias o resistencias y capacitores. Gráficamente,

Régimen transitorio en circuitos de primer orden

Aplicando T. de Thevenin o de Norton podemos reemplazar N, tal que:

N

iC

vcCN

vL

iL

L

vcC

iC

++

vth(t)

Rth

vL

L

+

iN(t)

iL

GN

Aplicando LKT en la malla Aplicando LKC en un nudo

( ) ( ) ( )C C th

th th

d v t v t v t

dt R C R C

( ) ( ) ( )L L N

N N

d i t i t i t

dt G L G L Ecuación de

Estado

Cuando la red N contiene solo fuentes de continua, vth(t) = Vth y iN(t) = iN son constantes podemos escribir

Circuitos alimentados con fuentes de valor cte. Método de inspección

Pero como ya sabemos esta ecuación tendrá una solución de la forma:

Para el caso del capacitor, x(t)= Vc(t):

( ) ( ) ( )d x t x t x t

dt

libre forzadax t x t x t

/1 /

1

tc libre t

cc forzada fuente

v t k ev t k e v

v t V v

(0)conocida x

1 1(0) ( ) (0) ( )c cv k v k v v Reemplazando

en ( )cv t

La evolución de la variable de estado ( vC(t) o iL(t) ) queda unívocamente determinada por tres parámetros: estado inicial x(0), estado final o de equilibrio x(), y constante de tiempo

Circuitos alimentados con fuentes de valor cte. Método de inspección

/0 tx t x x x e

El método puede usarse para hallar la tensión entre cualquier par de nudos j y k, o la corriente en cualquier rama j, en una red lineal de primer orden alimentada por fuentes de continua.

Observación:Solo puede utilizarse en circuitos donde el equivalente de Thevenin o Norton exista y posea Rth 0 o GN 0 respectivamente.

Propiedades de las ondas exponenciales

/0 tx t x x x e

La evolución de la variable de estado ( vC(t) o iL(t) ) queda tendrá un comportamiento estable o no dependiendo de la constante de tiempo

Diremos que es estable si la solución homogénea tiende asintóticamen-te a cero cuando t tiende a infinito. Caso contrario, podrá ser inesta-ble o marginalmente estable.

Caso estable > 0

Propiedades de las ondas exponenciales

ec. homogenea asoc ?

+

-++

-

vx

v2 H1, 1 vx

2 W

i(t)

1,1

1,1 2 2 2 0

x x Lv t v t v t

di ti t i t

dt

Por LKT :

-

(0 ) 10 Ai

• Caso marginalmente estable

• Caso inestable < 0

1 2

11 1

2 0

1

c c

tc

c

v t R i t v t

dv tv t RC i d

dt C

Por LKT :

2

1 11 2

2

1c cdv t d v tRC i t

dt dt C

Derivando

21 1 11

1 22

c c cdv t d v t dv tCRC

dt dt C dt

1 F2 F

v1v2

+

--

+

v1 v23/8 W

1

2

(0 ) 12 V

(0 ) 0 V

c

c

v

v

i(t)

C1C2

Cálculo del tiempo transcurrido entre dos instantes dados

A partir de la ecuación deducida para el metodo de inspección sabemos que cualquier punto de la evolución verifica que:

x(t0+)

?

0

0

it t

ix t x x t x e

Con lo cuál podemos calcular el intervalotranscurrido entre 2 instantes planteando esta ecuación para 2 instantes, diviendo miembro a miembro y tomando el logaritmo. Así, se obtiene que:

22 1 2 1

1

lnx t x

t t con t tx t x

L

R

i(t)

S

E

Con C.I. nulas, por el método de inspección:

0R

tLE E

i t i eR R

i t

Si a su vez i(0) = 0, tenemos:

1tE

i t eR

Representación gráfica de la respuesta

Luego, por la ley de Ohm:

1t

Rv t R i t E e

/

t

L

di tv t L E e siendo L R

dt

Representación gráfica de la respuesta

0

1

cuanto mayor la relación más rápido llega al valor final

t t

t

d i tE E Ri t e e

R dt R L

d i t E

dt L

iR

vR

vL

t0

E

E/R

u, i

0,37

t

libre

libre

Ei t e

R

E Ei t e

R R

: constante de tiempo

( tiempo que tarda la ilibre, en reducirse a un valor

igual a 1/e )

Determinación gráfica de t

+

E

r f

S

R

L i = R + r

E = ) 0( i = ) 0( i inicial

f

+-

Aplicando inspección y suponiendo que transcurrió un tiempo largo antes de cerrar S, tenemos:

ifinal = 0

Luego, la evolución temporal en la malla que se cortocircuito será:

/

t

f

Ei t e

r R

con L R

vX (t) 4 W 0,8 H

i(t)

16 V

+

3.vX(t)

–

6 W

3 W

Pag 16 Ej 1) Determinar la corriente i(t) y la tensión vx(t) para t 0, siendo i(0-) = 1 A

Pag 17 Ej 5) En el siguiente circuito, la llave se abre en t = 0, exci-tando la red con un escalón de corriente IDC. Obtener y graficar v0(t).

IDC

+

C

vo(t)

–

R2

R1 t=0

Régimen transitorio en circuitos de 2do orden

iC iR iL +

-

viL0

+

-

vC0 R LC +

vC0

-

iL0

LR

Ci

- Respuesta libre:

Hallar v(t) debido a la liberación de energía almacenada en L, en C o en

ambas

Hallar i(t) debido a la liberación de energía almacenada en L, en C o en

ambas

- Respuesta forzada:

+

-

vR LCI

t = 0

I

LR

Ci

+

V

t = 0


+

vs

vR vL

vCC

R L

i+ - -

-

+

+

Por LKT en la malla tenemos:

2

2

L R C S

c cc S

u t u t u t v t

d u t d u tLC RC u t v t

dt dt

cC

LL

L C R

d u ti t C

dtd i t

u t Ldt

i t i t i t

Como tenemos ahora una EDO de orden 2 necesitaremos 2 condicio-nes iniciales, que podrán ser independientes o depenmdientes


- Calculo de respuesta libre

0c lib c lib c libLC u t RC u t u t

2 1 0LC RC

El polinomio asociado resulta:

1 21 2

t tc libu t K e K e

LCL

R

L

R

LC

LCRCRC 1

222

4)( 2

2,1

02

2

Ojo, vale solo para serie RLC

Circuitos de 2do orden RLC paralelo

Por LKC en el nudo:

0

2

2

0

1 10

1 10

C R L

tc

C C

C cC

i t i t i t

d u tC u t u d

dt R L

d u t d u tC u t

dt R dt L

cC

LL

L C R

d u ti t C

dtd i t

u t Ldt

u t u t u t

iC iR iL +

-

viL0

+

-

vC0 R LC

2 1 0L

LCR

02

2 2

1,2

/ / 4 1 1 1

2

L R L R LC

LC RC RC LC


1. Si > 0 > 0 ambas raíces son reales, negativas y distintas y la respuesta se denomina sobreamortiguada, estando representada por la suma de dos exponenciales decrecientes, con constantes de tiempo 1 y 2

0 5 10 15 20 250

2

4

6

8

10

12

14

16

0 5 10 15 20 25-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

tt eKeKtx 2121


2. Si = 0 ambas raíces serán reales e iguales, y se dice que la respuesta posee amortiguamiento crítico

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

tetKKtx 21


3. Si 0 < < 0 ambas raíces son complejas conjugadas una de otra, y la respuesta se denomina subamortiguada, estando representada por una senoide que decae exponencialmente.

0 5 10 15 20 25-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

( ) costdx t K e t


4. Si = 0 y o > 0 la respuesta será sin pérdidas, es decir, una senoide pura con una frecuencia angular de oscilación igual a o

0 5 10 15-3

-2

-1

0

1

2

3

tKtx 0cos

Análisis solución completa RLC serie

h px t x t x t

Al igual que para primer orden la solución completa puede pensarse como la superposición de la respuesta libre y la forzada:

• Régimen sobreamortiguado

> o > 0 ambas raíces son reales y distintas 1 ≠ 2

a) Análisis respuesta libre

tt eKeKti 2121

0210 LiKKi

0000000 CLLLCR vRivvvv


• Régimen sobreamortiguado

b) Análisis respuesta forzada (c.i. nulas)

tt eKeKti 2121

2121 00 KKKKi

EvvvvE LLCR 0000

0 5 10 15-1

0

1

2

3

4

5

6

vR(t)

vL(t)

E

vC(t) ?

Pag 24 Ej 2) Luego de haber estado en la posición 1 un tiempo sufi-cientemente largo, la llave L conmuta en t=0 a la posición 2.

Hallar y graficar la evolución vC(t) para t 0.


• Amortiguamiento crítico

= o ambas raíces reales e iguales 1= 2 =


1 2( ) ti t K K t e 1

2

R

L LC


EvvvvE LLCR 0000

1(0) 0i K

0 5 10 15-10

-5

0

5

10

15

20

25

30

35

40

vR(t)

vL(t)

E

Determinar la tensión de salida vc(t) para t>0 seg.

Suponer que el circuito ha alcanzado el régimen permanente en t = 0-.

+

W FW

0,8H

t = 06 V

vc

+

-

Forma general de las constantes de integración para regimen libre

tt eKeKti 2121

1 2 1 2

0 1 1 2 2

(0) (0) 1

0 0 2L C

i K K K i K

v Ri v K K

• Regimen Sub o Sobreamortiguado

01 2 0

1 2

02 1 0

2 1

1

1

LC

LC

iK v

C

iK v

C

1 2 0 02 1

2 1 0 01 2

1

1

L C

L C

K R i v

K R i v

Reemplazando (1) en (2), tenemos:

Para la tensión en el capacitor:

1 21 2

1 2 1 2

1 1 2 2

( )

(0) (0) 1

0 0 2

t tc

c c

C

u t K e K e

u K K K u K

i C K K i

Reemplazando (1) en (2), tenemos:


• Regimen subamortiguado

0 < < o raíces complejas conjugadas 12 = - j d


01 2 0

1 2 *1 2

02 1 0

2 1

1

1

LC

LC

iK v

CK K

iK v

C

Como ya sabiamos:

Trabajando matemáticamente y utilizando la igualdad de Euler:

1 21 2

t tcu t K e K e

*1 1

1 2 1 2

cosd dj t j t tc d du t K e K e e A t B sen t

con A K K B j K K



tseneBti

Ai

tBsentAeti

dt

ddt

000Como

cos

dd

LdL

LL

LCLR

L

E

L

uBBLu

dt

tidLtu

EuEtututu

0

0

0 :malla laen LKTPor

tseneL

Eti d

t

d

022

0

20

con

1

2

d

LCL

R

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

i(t)

C = 0,1 F L = 0,1 H E = 10 VR = 0,1 WR = 1 WR = 2 WR = 5 WR = 10 W

Pag 32 Ej 2) La llave en el siguiente circuito se abre en t = 0 seg, luego de haber permanecido cerrada un tiempo suficientemente largo.Calcular iL(t) para t 0.

En t = 0 seg las llaves S y S´ están en la posición 1. En t = 1 mseg conmutan a la posición 2. Calcular la evolución temporal de vR(t)

W

1F

+ W10V vR(t)

+

W W

20V1H

1 2

12S

S´t=0 t=0

Pag 32 Ej 4) En t = 0 los almacenadores están descargados y la llave en la posición 1. El sistema evoluciona hasta t = 0,5 s y la llave conmuta a la posición 2. Calcular y graficar cualitativamente iL(t) para t 0.

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