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ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA

CAPÍTULO 6. EL V POSTULADO DE EUCLIDES Y SUS

CONSECUENCIAS

Introducción

Posiblemente ninguna proposición suscitó jamás una polémica tan grande, en la Geometría

Euclidiana, como el conocido V Postulado de Euclides sobre las rectas paralelas. Las críticas

surgieron desde la misma noción original que Euclides presentó sobre la definición de rectas

paralelas. Muchos matemáticos en distintas épocas y culturas presentaron “demostraciones” de

este Axioma y en consecuencia lo clasificaban como un teorema más de la teoría. De éstas

muchas presentaban problemas en la estructura lógica que en su época no fue posible identificar

y otras, con mejor suerte, resultaron ser proposiciones lógicamente equivalentes a dicho

Postulado. Este hecho se presentó desde la misma época de Euclides entre los griegos, en los

matemáticos de la cultura árabe, alcanzó el renacimiento y finalizó en el Siglo XVIII.

Se requirió de los avances en la consolidación de las teorías formales del método axiomático, de

la aceptación de los teoremas de existencia y de otras estructuras abstractas para resolver este

problema hacia mediados del siglo XIX. Siendo muchos los matemáticos que en diferentes formas

participaron en este problema, quedaron finalmente en la memoria de este evento histórico, los

nombres y las obras de Gauss, Lobachevsky y Riemann, los cuales trabajando sobre los estudios

de Jerónimo Saccheri y de la equivalencia probada por Playfair del V Postulado de Euclides con

el Postulado de la existencia única de la paralela por un punto exterior a una recta, establecen la

existencia de nuevos sistemas geométricos consistentes.

La original polémica se salda con resultados invaluables en la construcción del conocimiento

matemático como lo son entre otros: La demostración de la imposibilidad de demostrar el V

Postulado de Euclides como un teorema más de la teoría por cuanto es realmente un Axioma de

la misma.

El establecimiento de la generación de nuevas geometrías perfectamente consistentes,

cambiando el V Postulado, las que se conocen como Geometrías no Euclidianas o también como

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la relatividad de éste Postulado, han permitido el desarrollo de modelos de aplicación

fundamentales en la Física.

Objetivos Específicos.

1. Presentar el V Postulado de Euclides en su versión original y demostrar su

equivalencia con el Postulado planteado por Playfair.

2. Destacar la importancia histórica y el alcance en la matemática generada por la

proposición original de Euclides y el surgimiento de las Geometrías no Euclidianas.

3. Retomar el problema planteado en el objetivo 4 del capítulo anterior y como esta

pregunta se relaciona con el problema central de la existencia del V Postulado como un

Axioma.

4. Llamar la atención sobre la grandeza y el genio imperecedero de Euclides quien, con

los elementos disponibles en su época, pudo garantizar la existencia de este Axioma y

construir un sistema dentro de la Geometría que, posteriormente con los refinamientos

necesarios, ha sido adoptado por la Matemática como elemento vital en su estructura.

5. Mostrar los recíprocos del Teorema de los ángulos alternos internos y de sus corolarios

y precisar como resultados tan conocidos como, la suma de los ángulos interiores de un

triángulo, y otros igualmente importantes dependen del V Postulado.

6. Señalar como el Postulado de Playfair ha pasado en la práctica a ser identificado como

el Axioma de paralelismo en la Geometría Euclidiana por su sencillez y relación directa

con la relación de paralelismo.

7. Concluir que completados en su presentación todos los Axiomas en la Geometría

Euclidiana, ya es posible obtener todos los resultados conocidos en esta teoría, los cuales

se continuarán construyendo.

8. En el Anexo 2 del texto presento algunos modelos de las Geometrías no Euclidianas

para ser analizados por el estudiante.

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6.1 V POSTULADO DE EUCLIDES (V.P.E.)

Figura 94.

O sea: Si , l y r se intersectan en .

El quinto postulado de Euclides (V.P.E.) tiene y entre muchas proposiciones equivalentes, una

de fundamental importancia, conocida como El Postulado de la Paralela única de Playfair.

180 t

Si dos rectas l y r se intersectan con una secante t y determinan con ella en el semiplano

, dos ángulos colaterales interiores cuya suma sea menor que 180º, entonces las dos

rectas se intersectan en algún punto del semiplano . (Figura 94).

t

t

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6.2 EL POSTULADO DE LA PARALELA ÚNICA DE PLAYFAIR.

Por un punto exterior una recta pasa una paralela a la recta y sólo una.

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6.3 NOTA HISTORICA

El quinto postulado causó un trastorno considerable desde la época de los griegos. Muchos

geómetras pensaron que tal vez podría deducirse como teorema a partir de los restantes

axiomas o postulados. Euclides mismo trató de evitarlo mientras pudo, pues no lo utilizó en

sus demostraciones sino hasta que llegó a la proposición 120. Durante más de 2.000 años

fueron ofrecidas diferentes demostraciones del postulado, pero cada una se basaba en una

suposición equivalente al mismo.

Los esfuerzos realizados, sin embargo, condujeron a que en la primera mitad del siglo XIX, se

inventara una geometría que difería radicalmente de la de Euclides. Antes de este hecho se

pensaba que existía solo una geometría posible, puesto que se daba por sentado que la

coherencia de la geometría estaba asegurada por el espacio físico al que interpretaba

plenamente y cuyo fundamento se encontraba en el mundo tal como se percibe y en el cual se

asumía que no pueden darse contradicciones. Fue después de Riemann que empezó a

plantearse la posible falta de coherencia de los sistemas de verdades contenidos en la

geometría.

La independencia del postulado de las paralelas quedó establecida cuando fué demostrada la

compatibilidad de las otras geometrías donde el V Postulado se negaba o cambiaba por otro.

Cualquier geometría cuyos axiomas contradicen alguno de los de Euclídes, es llamada no

Euclidiana. La primera de ellas que se creó es la llamada Geometría Lobachvsquiana. Gauss

(1777-1855) en Alemania, Bolyai (1802-1860) en Hungría y Lobachevsky (1793- 1856) en

Rusia, plantearon independientemente la forma de Playfair (1748-1819) del postulado,

considerando tres posibilidades: Por un punto exterior a una recta, pueden trazarse más de

una, únicamente una, o ninguna paralela a la recta. Suponiendo la infinidad de la recta el

tercer caso fue eliminado. Estableciendo una geometría compatible con la primera hipótesis,

los tres matemáticos realizaron extensos desarrollos geométricos y trigonométricos. Debido a

la prioridad de Lobachevsky en la publicación, la geometría así construida recibió su nombre.

En 1854 Riemann (1826 - 1866) demostró que si se descarta la infinitud de la recta, entonces,

con algunas ligeras modificaciones de los postulados restantes, se podría desarrollar una

geometría compatible con la tercera hipótesis. Al trabajo de Riemann se debe una

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generalización considerable del concepto de espacio, que ha encontrado aplicaciones en la

teoría física de la relatividad.

Aunque Gauss y Riemann tenían la plena convicción de que estas nuevas geometrías eran tan

coherentes como la euclidiana, fue en el año de 1868 que el matemático italiano Eugenio

Beltrami (1835-1900) demostró la plena consistencia de una geometría no euclidiana

utilizando los modelos de curvatura constante, de la seudoesfera y del interior de una esfera

unitaria n-dimensional, llamado también modelo de Beltrami-Klein.

En el año 1900 David Hilbert logra reducir la coherencia lógica de la geometría euclidiana a

la de la aritmética. Nace el formalismo y la teoría de los sistemas formales con una clara

herencia en el procedimiento como se ha desarrollado la fundamentación de las geometrías.

El hecho de lograr que la geometría se independizara de la física, trajo como consecuencia la

independencia también de la matemática. Desde los griegos, en el Medioevo, pasando por

Kant e incluyendo al mismo Gauss, el concepto de verdad de la matemática, se fundamentaba

en el concepto de verdad del mundo real. La existencia de las geometrías no euclidianas obligó

a explorar la coherencia interna o consistencia de las matemáticas en unos fundamentos más

profundos y totalmente abstractos.

En síntesis el descubrimiento de las geometrías no euclidianas no solo liberó a la geometría de

su molde tradicional, sino que modificó considerablemente los conceptos de la matemática en

general y condujo a un estudio profundo de los fundamentos de esta materia y a un desarrollo

más amplio del método axiomático.

El desarrollo de la geometría Euclidiana, con el quinto postulado suprimido, recibe el nombre

de Geometría Absoluta, contiene las proposiciones que son comunes a las geometrías de

Euclides y de Lobachevsky.

En el anexo N°2 se describen algunos modelos de geometrías no euclidianas e invito al lector a

profundizar en este apasionante tema.

En la proposición que sigue, se demuestra la equivalencia del V.P.E. con el postulado de la

paralela única de Playfair.

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6.4 EQUIVALENCIA ENTRE EL V.P.E Y EL POSTULADO DE PLAYFAIR

Demostración.

Asumamos que se cumple el postulado de la paralela única de Playfair, es decir,

que para toda recta l y todo tal que: y .

Sean l y m dos rectas dadas y t una secante tal que:

.

Vamos a probar, para tener el V.P.E., que l y m se cortan en el semiplano . (Ver Figura 95).

Figura 95

Es claro que .

Como , entonces . Luego por el axioma de

construcción del ángulo, tal que: . Por tanto, .

rlP ! rP lr //

º18021

t

º18031

º18021 3121 32

BC ! 2ˆ ,'ˆ' mBBCBB BCm //

TEOREMA 31.

El V.P.E. es equivalente al postulado de la paralela única de Playfair.

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Ahora B está en l; y . Pero por el postulado de Playfair, por B solo pasa una

paralela

a m. Por tanto, toda recta r que pase por B corta a m. Como l pasa por B y es distinta a r corta a

m.

Veamos ahora que se cortan en . Supongamos que se cortan en . (Ver Figura 96). En el

triángulo , es ángulo exterior del triángulo , luego, por T. .E., .

Contradicción, ya que teníamos que . Por lo tanto l y m se cortan en el semiplano .

Figura 96.

Supongamos ahora que es valido el V.P.E. Sea l una recta dada y .

Sea t la perpendicular por P a l y r la perpendicular por P a la recta t.

Figura 97.

rB mr //

t 1

'BBA

2 'BBA

32

32 t

lP

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Por el teorema de los ángulos alternos internos, ya tenemos que . Bastará con demostrar

que toda otra recta que pase por P corta a l.

Sea pues n otra recta que pasa por P, n distinta a r. Llamemos al ángulo agudo que hace n

con t.

Por tanto y por el V.P.E. n y l se cortan del lado en que se forma el

ángulo agudo.

Vamos a estudiar ahora algunas consecuencias del V.P.E. o de su equivalente, el postulado de

la paralela única de Playfair.

Demostración.

Supongamos y que S corta a la recta l en un punto A.

Por tanto la recta S es distinta a la recta l. Veamos que S corta a r.

En efecto, sí S no cortara a r se tendría , con S pasando por A. En conclusión

tendríamos dos rectas pasando por A (S y l) ambas paralelas a r. Luego, por el Postulado

de Playfair se tendrá que . Contradicción, ya que S es distinta a l.

Demostración.

1. Reflexiva: Es claro que .

2. Simétrica: También es claro que si , entonces .

lr //

º180º90º90º901

rl //

rS //

lS

ll //

rl // lr //

TEOREMA 32. Teorema de Proclo.

Si dos rectas distintas son paralelas, toda secante que intersecta a una de ellas

intersecta a la otra, siempre y cuando las tres sean coplanarias.

TEOREMA 33.

El paralelismo entre las rectas es una relación de equivalencia, o sea que es: Reflexiva,

simétrica y transitiva.

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3. Transitiva: Supongamos que y con l, r y s todas distintas. Veamos

que .

Razonemos por reducción al absurdo.

Figura 98.

Si , l y s se cortarán en A (Figura 98) y por A se tendrían dos paralelas distintas l y s a r, lo

que contradice el axioma de la paralela única.

Por tanto, .

Demostración.

Figura 99.

rl // sr //

sl //

sl //

sl //

TEOREMA 34.

Si dos rectas distintas son paralelas, toda perpendicular a una de ellas lo es a la otra

siempre y cuando las tres sean coplanarias.

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Supongamos y sea en A . Es claro que n corta a l en A.

Luego por el teorema 32, n corta a r. Llamemos B el punto donde n corta a r. (Figura 99).

Veamos que es recto. Razonemos por reducción al absurdo, esto es, supongamos que

no es recto.

1. Si es agudo, entonces r y l harían con la secante n una pareja de ángulos

colaterales interiores de un mismo lado cuya suma sería menor que 180º y por el

V.P.E. r y l se cortarían, contradicción ya que por hipótesis .

2. Si es obtuso, entonces es agudo y las dos rectas se cortarían del lado de

llegándose de nuevo a una contradicción. Por lo tanto, es recto.

Demostración.

Figura 100.

Sean x, y dos rectas que se cortan en O. Tomemos y . Sean por A y

por B. (Figura 100). Demostremos que m y n se cortan. Razonemos por reducción al

absurdo.

rl // ln lA

ABC ˆ

ABC ˆ

ABC ˆ

rl //

ABC ˆ ABC ˆ'

'C ABC ˆ

OXA OYB OXn

OYm

COROLARIO.

Las rectas perpendiculares a dos rectas que se intersectan, todas ellas coplanarias

también se intersectan.

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Si m y n no se cortaran, serían paralelas; es decir, . Pero , entonces

(por teorema anterior). (1).

Ahora, por hipótesis . (2).

En (1 ) y (2) se tienen dos rectas perpendiculares a una tercera, luego se concluye que

, lo que es una contradicción.

Recuérdese que habíamos demostrado en el teorema 25 que "si dos rectas determinan con una

secante una pareja de ángulos A.I. congruentes, las rectas son paralelas". El reciproco de este

enunciado lo daremos en la siguiente proposición.

nm // nOX mOX

mOY

OYOX //

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6.5 TEOREMA RECÍPROCO DEL TEOREMA DE LOS ÁNGULOS ALTERNOS

INTERNOS

Demostración.

Sean y t una secante cualquiera que corta a l en B y a r en A. (Figura 101).

Sea O punto medio de

Figura 101.

Bajemos desde O, .

Como y , entonces, .

Así que si llamamos Q al punto de encuentro de con r, se tendrá que es recto.

Ahora: (Hip ángulo agudo). Luego lo que demuestra el

teorema.

AB

lOH

lOH rl // rOH

OH AQO ˆ

AQOHBO

QAOHBO ˆˆ

TEOREMA 35. Recíproco del teorema de los ángulos alternos internos.

Dadas dos rectas distintas y paralelas, los ángulos alternos internos, que determinan

con cualquier secante común son congruentes.

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Presento ahora dos proposiciones cuya demostración la dejo al lector.

COROLARIOS.

1. Dadas dos rectas distintas y paralelas los ángulos correspondientes que

determinan con cualquier secante común son congruentes.

2. Dadas dos rectas distintas y paralelas los ángulos alternos externos que

determinan con cualquier secante común son congruentes.

TEOREMA 36.

1. Dos ángulos que tengan sus lados respectivamente paralelos, o son congruentes o

son suplementarios.

2. Dos ángulos que tengan sus lados respectivamente perpendiculares, o son

congruentes o son suplementarios.

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6.6 CONGRUENCIA DE LOS SEGMENTOS OPUESTOS, DETERMINADOS

POR LA INTERSECCIÓN DE DOS PARALELAS, CON OTRAS DOS

PARALELAS.

Figura 102

Demostración.

Determínese el segmento AC y demuéstrese que ∆ABC ≅ ADC.

El valor de la constante establecida en el Corolario 1 se llama la distancia entre las

rectas paralelas l y r y se designa por d(l,r).

TEOREMA 37.

Si dos rectas distintas y paralelas son intersectadas por otras dos rectas distintas y

paralelas, los segmentos opuestos que se determinan son respectivamente

congruentes (Figura 102).

COROLARIO 1.

Si entonces, para todo punto P perteneciente a l, la distancia del punto P a r es

constante.

rl //

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COROLARIO 2.

Si tres o más rectas distintas y paralelas determinan segmentos congruentes en una

secante común, determinaran segmentos congruentes en cualquier otra secante

común.

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6.7 SUMA DE LOS ÁNGULOS INTERIORES EN UN TRIÁNGULO

Demostración.

Sea trazada por C.

Como y secante, entonces: .

Como y secante, entonces: .

Figura 103.

Además es claro . Luego: .

ABl //

ABl // BC2

ABl // AC 1

A B

C

2

l

18021 º180

TEOREMA 38.

La suma de los ángulos interiores de todo triángulo vale 180º.

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6.8 TEOREMA DEL ÁNGULO EXTERIOR (SEGUNDA VERSIÓN)

Demostración.

(1)

(2)

Figura 104.

De (1) y (2) se tiene que: .

º180

º180

B

CA

COROLARIO 1.

Todo ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los ángulos interiores no

adyacentes a el.

COROLARIO 2.

En todo triángulo rectángulo los ángulos agudos suman 90º

COROLARIO 4.

Si dos triángulos tienen dos pares, de ángulos respectivamente congruentes entonces

los otros dos ángulos son respectivamente congruentes.

COROLARIO 3.

En un triángulo equilátero cada ángulo mide 60°. Materia

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6.9 TEOREMA DE LA PARALELA MEDIA EN UN TRIÁNGULO

Demostración.

Figura 105.

i) Sean M y N puntos medios de y respectivamente.

Demostremos que: y que .

Prolonguemos tal que: .

Los triángulos y son congruentes por L-A-L.

Luego los ángulos:

(1)

(2)

(3)

AC CB

ABMN // ABMN2

1

MN NTMN

CNM

BNT

1

1

BTCM

TEOREMA 39. Paralela media de un triángulo.

i) El segmento que une los puntos medios de dos lados de un triángulo es

paralelo al tercer lado y tiene por medida su mitad.

ii) Si por el punto medio de un lado de un triángulo se traza una paralela a un

lado, dicha paralela biseca al tercer lado.

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Pero de (1), las rectas y son paralelos por hacer ángulos alternos congruentes con

la secante .

Determinemos , entonces por el teorema recíprocos de los ángulos alternos

internos; y por lo tanto .

En consecuencia:

(4)

(5)

Y así como N es un punto medio de MT entonces de (4) se concluye que y de

(5) por el T. A. I. se concluye que .

ii) Sea el triángulo , M punto medio de . , por N tracemos una paralela a

. Tenemos: ya que: , (por

correspondientes) y . Entonces, .

Figura 106.

Demostración.

mediana del triángulo rectángulo , con ángulo recto .

TB CA

MT

AT 'ˆˆ

TABAMT

ABMT

BATATM ˆˆ

ABMN2

1

ABMN //

CBA

AC ABMN //

AC NBTCNM

BTNNMC ˆˆ TNBBCA ˆˆ

MCNTAM NBCN

AM CAB

BAC ˆ

COROLARIO.

En todo triángulo rectángulo la mediana relativa a la hipotenusa es la mitad de la

hipotenusa.

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Sea D el punto medio de AB, entonces por teorema anterior y por lo tanto

es recto.

Figura 107.

Luego el triángulo es isósceles. . De aquí concluimos que: y

como M es punto medio de se tiene que: .

Figura 108.

Demostración.

Sea la mediana relativa a y además . Demostremos que el ángulo

A es recto.

Como , es isósceles y por lo tanto: .

CAMD //

BDM ˆ

BMA

ABMBAM ˆˆ MBAM

BC MCBMAM

AM BC AMMCBM

AMBM BMA

1

TEOREMA 40.

Si el pie de una mediana de un triángulo equidista de los vértices, el triángulo es

rectángulo.

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Como , es isósceles y por lo tanto: .

Luego: . Pero .

Por tanto: .

y .

Demostración

Sea con recto y . Ver figura 109.

Designemos por M el punto medio de la hipotenusa BC y determinemos la mediana , luego

por el corolario del teorema de la Paralela Media y en el triángulo isósceles ABC,

.

Luego por la suma de los ángulos interiores en el , se tiene que , esto

equivale a afirmar que este triángulo es equilátero y en consecuencia ,

concluyéndose que .

Figura 109.

AMMC CMA

2

Am ˆ18021 21ˆ Am

AmAm ˆ180ˆ

º1802 Am º90ˆ Am

CBA

BAC ˆ 60ˆBCAm

AM

MCAM

60ˆˆ BCAmCAMm

AMC 60ˆCMAm

ACMCAM

BCAC2

1

A

CM

B

TEOREMA 41. Relación 30°-60°-90° en un triángulo rectángulo.

Un triángulo rectángulo tiene un ángulo con medida 60° (respectivamente 30°) sí y

sólo si uno de los catetos es igual a la mitad de la hipotenusa.

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6.10 PROPIEDADES DE LOS PUNTOS NOTABLES DE UN TRIÁNGULO.

Demostración de 1

Sean , bisectriz de , bisectriz de . (Ver figura 110).

Figura 110.

intersecta al en el punto T,

por el Teorema de la barra transversal.

(1).

intersecta al en el punto P,

por el Teorema de la barra transversal.

(2).

Determinemos , ,

Teorema perpendicular única

ABC AK CAB ˆ BS CBA ˆ

AK BCInt

AS ATInt

ACPH 1 ABPH 2

BCPH 3

TEOREMA 42. Puntos notables del triángulo.

En todo triángulo se cumple:

1. Las bisectrices se intersectan en un punto interior del triángulo que se denomina

Incentro, este punto equidista de los lados del triángulo. (Incentro: Centro de la

circunferencia inscrita en el triángulo).

2. Las medianas se intersectan en un punto interior del triángulo que se denomina

Baricentro (o centroide); este punto se encuentra sobre cada mediana a una

distancia de del vértice y a sobre el extremo de ésta sobre el lado

respectivo.

3. Las mediatrices se intersectan en un punto (no necesariamente al interior del

triángulo) que se denomina Circuncentro; este punto equidista de los vértices del

triángulo. (Circuncentro: centro de la circunferencia circunscrita en el triángulo).

4. Las rectas que contienen las alturas de un triángulo se intersectan en un punto (no

necesariamente al interior del triángulo) que se denomina Ortocentro.

(Posteriormente se estudiarán las propiedades asociadas a este punto como lugar

geométrico y respecto a la proporcionalidad).

32

31

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“bajada” desde un punto exterior. (3).

propiedad de la bisectriz

. (4).

propiedad de la bisectriz

. (5).

transitividad de (4) y (5).

(6).

es bisectriz de , de (6)

propiedad de la bisectriz.

Figura 111.

En consecuencia , corresponde a la intersección de las tres bisectrices y

equidistan de los tres lados.

Demostración de 3.

Sean , mediatriz de , mediatriz de (Ver figura 112).

intercepta a en un punto P. corolario del Teorema 34.

Figura 112.

Determinemos los segmentos , y . (Ver figura 113).

propiedad de la bisectriz . (1).

propiedad de la bisectriz . (2).

21 PHPH

AT

32 PHPH

BS

31 PHPH

CP BCA ˆ

ABCIntP

ABC MK AB NS BC

MK NS

PA PB PC

PBPA PM

PCPB PN

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transitividad de (1) y (2). (3).

P está sobre la mediatriz de de (3) propiedad de la mediatriz.

Figura 113.

En consecuencia P corresponde a la intersección de las tres mediatrices y equidista de los tres

vértices.

PCPA

AC

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6.11 EJERCICIOS PROPUESTOS

Temas: Consecuencias del V.P.E..

Problemas generales.

1. En la figura t es secante a y a respectivamente.

Determinar cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas y cuáles son falsas.

En el caso de que una afirmación sea falsa, construya un contraejemplo adecuado.

1.1 Si y son suplementarios entonces .

1.2 Si entonces .

1.3 Si entonces .

1.4 Si entonces .

1.5 Si entonces .

1.6 Si entonces .

1.7 Si y entonces .

1.8 Si y entonces .

2. En cada una de las figuras siguientes determinar el valor de x, si es posible en función

de las hipótesis dadas. Tenga presente la coherencia y consistencia de sus

argumentaciones.

1l 2l

21 // ll

18021 // ll

21 // ll ˆˆ

ˆˆ 21 // ll

21 // ll ˆˆ

21 // ll ˆˆ

21 // ll ˆˆ

21 // ll '' tl 1

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2.1

2.2

2.3

2.4 C está entre B y D. AD=AC=BC.

2.5

2.6 C está entre B y D. BC=AC.

BCPQ //

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2.7 AB=AC, AE=AD, D está entre B y C.

E está entre A y C.

2.8 D es punto medio de

3. En el , D está entre B y C, E está entre B y D; los ángulos así definidos.

De acuerdo con esto, la única relación verdadera es:

3.1 .

3.2 .

3.3 .

3.4 .

3.5 .

4. Demuestre que si dos rectas y una transversal forman ángulos colaterales interiores

suplementarios, dichas rectas son paralelas. Demuestre el recíproco.

BC

ABC

A

CDEB

Mate

rial e

duca

tivo

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5. Sobre los lados de un ángulo agudo se toman segmentos . Desde A se

baja una perpendicular sobre en P, desde B se traza en Q. Esas

rectas se cortan en l. Demostrar:

5.1 .

5.2 .

5.3 Compara los segmentos , , y .

5.4 Demostrar que el punto l está sobre la bisectriz del ángulo y que

en su punto medio.

6. Demuestre que si las mediatrices de los lados de un triángulo, se intersectan en un

punto del tercer lado, el triángulo es rectángulo. Demuestre además, el recíproco de

esta proposición.

7. Demostrar que las alturas correspondientes a los lados congruentes de un triángulo

isósceles, son congruentes y que el segmento que une los pies de dichas alturas es

paralelo a la base.

8. Demuestre que las medianas de un triángulo concurren en un punto que divide cada

mediana en dos segmentos, uno de los cuales mide el doble del otro.

9. Demuestre que las rectas que contienen las alturas de un triángulo, se interceptan en

un punto.

10. Si un triángulo tiene dos medianas congruentes, entonces es isósceles.

11. Demostrar que el segmento que une los pies de las medianas correspondientes a los

lados congruentes de un triángulo isósceles, es paralelo a la base.

12. Hipótesis: A, B, C, D son colineales.

; ; .

YOX ˆ OBOA

AP OB OABQ

BQAP

OQOP

lA lB lQ lP

YOX ˆ

ABOl

BNAM DNCM CDAB

Materia

l edu

cativ

o

Uso no

comerc

ial


.

Tesis:

a. .

b. ; .

13. Demostrar que los segmentos que unen los puntos medios de los lados de un

triángulo, determinan cuatro triángulos congruentes.

14. Demostrar que si uno de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo mide 30°, el

cateto opuesto a este ángulo tiene por medida la mitad de la medida de la hipotenusa.

Demuestre además el recíproco de este enunciado.

15. Se tiene que: OA=OB; , ; ;

.

Demuestre que: .

Sugerencia: Trace por P la recta paralela a .

16. Demostrar que en todo triángulo equilátero, la suma de las distancias de un punto

interior a los tres lados del triángulo, es constante. Sugerencia: Utilice el problema

anterior.

17. Las bisectrices de los ángulos de la base de un triángulo isósceles forman al

intersectarse un ángulo cuya medida es tres veces la medida del ángulo del vértice.

Calcular la medida de cada ángulo del triángulo.

18. En el problema anterior considere las alturas correspondientes a los lados

congruentes del triángulo, en vez de las bisectrices.

0 BNCM

NOMOMA ˆˆ

BNAM // ADMN //

ABP OAPC OBPD

OBAM

AMPDPC

OB

Materia

l edu

cativ

o

Uso no

comerc

ial


19. Considere: ; . M y N son

puntos medios de y respectivamente.

; ; ; .

Demuestre que:

; ; .

20. Dado un triángulo equilátero ABC, sobre los lados , y se toman los puntos

A’, B’, C’ respectivamente, de tal manera que: . Demuestre que el

triángulo A’B’C’ es equilátero y que los lados de este triángulo son perpendiculares a

los lados del triángulo ABC.

21. Dado el triángulo ABC cualquiera, se construyen los triángulos equiláteros ABC’, ACB’,

BCA’, estando los puntos A’, B’, C’ en el exterior del triángulo ABC. Demostrar que

.

22. En un triángulo se une al punto medio M de con los pies de las alturas H y

H’ bajadas desde B y desde C, respectivamente. Demostrar:

22.1 Si es isósceles.

22.2 Calcular sus ángulos en función de los ángulos del triángulo ABC.

22.3 y .

22.4 Considerando el triángulo demuestre que el segmento que une los

pies de las alturas bajadas desde H y H’ es paralela a .

23. En un triángulo ABC rectángulo en A se traza la altura relativa a la hipotenusa y

desde H se llevan y . Se une D con E y se llama M el punto medio

de la hipotenusa.

23.1 Demostrar que .

ACAB BCP

BP PC

BPDM PCEN ABD ACE

ACDP // ABPE // EPDPAD ˆˆ

AB BC CA

ABCCBBAA3

1'''

''' CCBBAA

ABC BC

'MHH

CHHA ˆ'ˆ BHHA ˆ'ˆ

'AHH

BC

AH

ABHD ACHE

AMDE

Materia

l edu

cativ

o

Uso no

comerc

ial


23.2 Sea P el punto medio de . Demostrar que y la paralela a por B se

cortan sobre la recta .

24. Las bisectrices exteriores del triángulo ABC se cortan formando el triángulo EFG.

24.1 Calcule los ángulos del triángulo EFG en términos de los ángulos del triángulo

ABC.

24.2 Demostrar que las bisectrices interiores del triángulo ABC pasan por E, F y G

respectivamente.

24.3 Demostrar que las bisectrices interiores del triángulo ABC son las alturas del

triángulo EFG.

25. En la figura se tiene y son exteriores al . y son sus

bisectrices respectivas. ; . Demostrar:

25.1 .

25.2 .

25.3 N está sobre la bisectriz de .

26. Problema general de aplicación.

En el diagrama se muestra la ubicación de dos predios (1) y (2) demarcados por dos

líneas de fronteras y respectivamente. Estas líneas se cortan en un punto O

situado sobre la laguna. Los propietarios de estos predios se disputan la propiedad del

predio (3), situado entre ambas líneas. Después de largas discusiones han acordado

como línea demarcadora o limítrofe sobre el predio (3), aquella formada por los

puntos que equidistan de y .

AB PM DE

AH

XBC ˆ YCB ˆ ABC BN CN

AXNH AYNP

2

90ˆ CNBm

CPACBHAB

CAB ˆ

CA DB

CA DB

Materia

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cativ

o

Uso no

comerc

ial


Un estudiante de geometría propone la siguiente construcción para determinar la línea de

demarcación acordada entre los propietarios.

i. .

ii. .

iii. y se determina .

iv. .

v. : Mediatriz de .

El estudiante afirma que satisface las condiciones pactadas por los propietarios para la

línea de demarcación.

Pregunta: Justifique si esta construcción propuesta por el estudiante es o no adecuada.

DBT

CATK //

'TSTS 'SS

PCASS '

LM PS

LM

Materia

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cativ

o

Uso no

comerc

ial


6.12 EJERCICIOS RESUELTOS

Ilustración N° 1

En cada una de las dos figuras siguientes determinar el valor de 𝑋, en función de los términos

dados:

a) Uno de los procedimientos a seguir es:

1. Determinemos 𝐶𝐵 y designemos

𝐶𝐵 ∩ 𝐴𝐷 = {𝑘}

2. 𝑋 = 𝛼 + 𝑚 ; Teorema

desigualdad triangular (2° versión)

en ∆𝐴𝐵𝑘

3. 𝑚 = 𝜃 + 𝛺; ¿por qué?

4. 𝑋 = 𝛼 + 𝛽 + 𝛺; sustitución de 3 en 2.

b) Información dada:

i. ∆𝐴𝐵𝐶,

ii. 𝐶 está entre 𝐵 y 𝐷

iii. 𝐴 está entre 𝑇 y 𝐵

iv. 𝐵𝐶 ≅ 𝐴𝐶 ≅ 𝐴𝐷

v. 𝑚 =50°

Calcular 𝑚

1. 𝑚 =50°; de iv. consecuencia del triángulo isósceles.

2. ≅ ; de iv. consecuencia del triángulo isósceles.

)(AkB

)(AkB

)(B

)(TAD

)(CAB

ACD

D

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3. 𝑚 =100°; Teorema suma ángulos interiores en ∆𝐴𝐵𝐶, de v. y 1.

4. 𝑚 =100°; de 2 y 3 propiedad de la medida.

5. 𝑋 = 150°; Teorema suma ángulos interiores en ∆𝐴𝐵𝐷, de v. y 4.

Observación:

Aunque se tiene “aparentemente la solución para la 𝑚 ”; este problema con la

información suministrada conlleva a una contradicción; esto es, en su estructura hay una

inconsistencia. Obsérvese que a pesar de que el procedimiento aplicado es coherente, si se

suman las medias de los ángulos interiores en el ∆𝐴𝐶𝐷, sin , ésta es mayor que 180° y en

consecuencia esto es absurdo.

Quiero con este tipo de problema en particular, llamar la atención en el sentido de que el

hecho de obtener una “solución” no es condición suficiente para considerar que un problema

ha sido resuelto; es necesario además garantizar que la coherencia de los argumentos de

soporte está a la par con la consistencia de todos los resultados parciales, y en consecuencia

con el resultado final que se generan durante el proceso demostrativo.

Ilustración N° 2

Demuestre el siguiente teorema:

Procedo a demostrar la implicación de izquierda a derecha.

)(ACD

)(D

)(TAD

CAD

Una recta secante determina con las dos rectas intersectadas ángulos colaterales

interiores suplementarios si y solo si las rectas intersectadas son paralelas.

Materia

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i. 𝑡 secante a 1 y a 2

ii. y colaterales

interiores.

iii. 𝛼 + 𝛽 = 180°

Tesis: 1 // 2 .

Demostración

1. Determinemos , tal que y son alternos internos, definición de ángulos alternos

internos.

2. 𝜃 + 𝛽 = 180° ; medida de ángulos suplementarios.

3. 𝛼 + 𝛽 = 𝜃 + 𝛽 ; transitividad de iii. y 2.

4. 𝛼 = 𝜃; ley cancelativa en la suma, en 3.

5. 1 // 2; de 4 y 1, Teorema A.I.

Nota:

Este resultado que corresponde a un corolario del teorema de los ángulos alternos internos,

tiene múltiples aplicaciones, en particular en el Capitulo 8, específicamente en las

propiedades por equivalencia de los cuadriláteros convexos especiales.

Ilustración N° 3

Demuestre el siguiente teorema.

Hipótesis

En todo triángulo las mediatrices se intersectan en un punto, no necesariamente en el

interior al triángulo. Este punto equidista de los vértices del triángulo y se denomina

circuncentro.

.

Materia

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i. ∆𝐴𝐵𝐶

ii. 𝑀1𝐾 mediatriz de 𝐴𝐵 .

iii. 𝑀2𝑊 mediatriz de

𝐵𝐶 .

Nota:

Demostraré inicialmente que las dos mediatrices se intersectan posteriormente que la tercera

mediatriz pasa por el punto de intersección de las dos primeras.

Demostración

1. 𝑀1𝑘 𝐴𝐵 ; punto medio de 𝐴𝐵 , con 𝑀1𝑘 𝜋𝐴,𝐵,𝐶 ; de ii. definición mediatriz.

2. 𝑀1𝑘 𝐵𝐶 ; punto medio de 𝐵𝐶 , con 𝑀2𝑤 𝜋𝐴,𝐵,𝐶; de iii. definición mediatriz.

3. 𝑀1𝑘 ∩ 𝑀2𝑤 = {0}; de i. 1 y 2 Corolario Si dos rectas se intersectan y cada una de ellas

es perpendicular a otra recta, todas ellas coplanarias, entonces las dos últimas

también se intersectan.

4. Determinemos 𝑂𝐴 , 𝑂𝐵 y 𝑂𝐶 ; definición segmentos.

5. 𝑂𝐴 ≅ 𝑂𝐵 ; de ii. propiedad de la

mediatriz.

6. 𝑂𝐵 ≅ 𝑂𝐶 ; de iii. propiedad de la

mediatriz.

7. 𝑂𝐴 ≅ 𝑂𝐶 ; de 5 y 6 transitividad.

8. ∆𝑂𝐴𝐶 es isósceles; de 7, definición

triángulo isósceles.

Hipótesis

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9. Existe 𝑂𝑍 única, 𝑂𝑍 𝐴𝐶 ; Teorema perpendicular única “bajada”.

10. 𝑂𝑍 ∩ 𝐴𝐶 = {𝑀3}; de 9, designación.

11. 𝑂𝑀3 es altura en ∆𝐴𝑂𝐶 ; de 10 definición de altura.

12. 𝑂𝑀3 es mediatriz de 𝐴𝐶 ; de 11 y 8; propiedades de los segmentos notables en el

triángulo isósceles.

13. Las tres mediatrices se intersectan en un mismo punto; de 3 y 12.

14. 𝑂𝐴 = 𝑂𝐵 = 𝑂𝐶; de 5 y 6 propiedad de la medida.

Ilustración N°4

En un triángulo isósceles, la suma de las distancias desde un punto cualquiera del tercer lado,

a los lados congruentes, es igual a la medida de la altura asociada a uno cualquiera de los lados

congruentes.

i) ∆ 𝐴𝐵𝐶 isósceles

ii) 𝐴𝐵 ≅ 𝐴𝐶

iii) 𝑃𝜖 𝐵𝐶

Hipótesis iv) 𝑃𝑄 ⊥ 𝐴𝐵

v) 𝑃𝑆 ⊥ 𝐴𝐶

vi) 𝐵𝐻 ⊥ 𝐴𝐶

vii) 𝑃𝑄 ∩ 𝐵𝐻 = {𝑇}

Tesis: 𝐵𝐻 = 𝑃𝑄 + 𝑃𝑆

Demostración.

1. Tracemos 𝑃𝐾 ∥ 𝐴𝐶 . V P.E.

2. 𝑃𝐾 intercepta a 𝐵𝐻 en un punto único. ¿Por qué?

3. Designemos el punto anterior por 𝐹.

4. 𝐵𝐻 ∥ 𝑃𝑆 , teorema de los ángulos alternos internos de las hipótesis v) y vi).

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Hipótesis

Hipótesis

5. 𝑃𝐾 ⊥ 𝑃𝑆 y 𝑃𝐾 ⊥ 𝐵𝐻 . Teorema: toda perpendicular a una de dos paralelas, es

perpendicular a la otra, de 1) y las hipótesis v) y vi).

6. 𝐹𝐻 = 𝑃𝑆 Teorema: segmentos de paralelas entre paralelas.

7. Teorema: Recíproco de los ángulos alternos internos; (ángulos

correspondientes entre paralelas).

8. Propiedad de triángulo isósceles, de la hipótesis ii).

9. transitividad entre 7 y 8.

10. ∆ 𝑄𝐵𝑃 ≅ ∆ 𝐹𝑃𝐵¿Por qué?

10' 𝐵𝐹 ≅ 𝑃𝑄 de 10. ¿Por qué?

11. 𝐵𝐻 = 𝐵𝐹 + 𝐹𝐻 Postulado de adición en la medida de segmentos.

12. 𝐵𝐻 = 𝑃𝑄 + 𝑃𝑆 Sustitución de 6 y 10' en 11.

Problema derivado:

Utilice el resultado anterior para demostrar el teorema siguiente que establece una propiedad

importante del triángulo equilátero. "En todo triángulo equilátero, la suma de las distancia de

un punto interior a los tres lados del triángulo es constante."

Ilustración N°5

En el ∆ 𝐴𝐵𝐶 de la figura se tiene:

i) 𝑀 punto medio de 𝐵𝐶 .

ii) 𝐵𝐻 ⊥ 𝐴𝐶 , 𝐶𝐻′ ⊥ 𝐴𝐵 (Alturas).

Demuestre:

1. ∆ 𝑀𝐻𝐻′ es isósceles.

2. Calcule los ángulos interiores del ∆ 𝑀𝐻′𝐻 en función de los ángulos interiores

del ∆ 𝐴𝐵𝐶.

FPB

C

C

ABP

FPB

ABP

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3. Demuestre que y .

4. Considerando el ∆ 𝐴𝐻𝐻′ demuestre que el segmento que une los pies de las alturas

bajadas desde 𝐻 y 𝐻′ es paralela a 𝐵𝐶 .

Demostración.

1. ∆ 𝐵𝐻′𝐶 es rectángulo, de la hipótesis ii).

2. 𝐻′𝑀 ≅ 𝐵𝑀 ≅ 𝑀𝐶 ; de 1) y la hipótesis i). Corolario, propiedad de la mediana asociada

a la hipotenusa.

3. ∆ 𝐵𝐻𝐶 es rectángulo, de la hipótesis ii).

4. 𝐻𝑀 ≅ 𝐵𝑀 ≅ 𝑀𝐶 de 3) y la hipótesis i). (Razones análogas a 2).

5. 𝐻′𝑀 ≅ 𝐻𝑀 transitividad de 2) a 4) y en consecuencia, ∆ 𝑀𝐻𝐻es isósceles.

6. , propiedad del triángulo isósceles de 5)

7. Designemos: , ,

8. Por la suma de los ángulos interiores en el ∆ 𝐻𝑀𝐻′ y de 6) se tiene:

𝑚 ( ) = 180° − 𝑚 ( ) − 𝑚 ( ) = 2𝛽 + 2𝛾 − 180°

= 2𝛽 + 2𝛾 − 180°

= 2𝛽 + 2𝛾 − (𝛼 + 𝛽 + 𝛾) ¿Por qué?

𝑚 ( ) = 𝛽 + 𝛾 − 𝛼

HAH '

BCA

'AHH

ABC

'MHH

HMH'

BAC

ABC

ACB

'HMH

MBH '

CMH

'HMH

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9. 𝑚 ( ) = 𝑚 ( ) de 6)

10. 2𝑚 ( ) + 𝑚 ( ) = 180° suma de ángulos interiores en el ∆ 𝐻𝑀𝐻′

11. 𝑚 ( ) = 𝑚 ( ) =𝛼+𝛽+𝛾−(𝛽+𝛾−𝛼)

𝛼2= 𝛼 ¿Por qué?

Esto es: 𝑚 ( ) = 𝑚 ( ) = 𝑚 ( )

12. 𝑚 ( ) = 180° − 𝑚 ( ) − 𝛽 = 180° − 𝛼 − 𝛽 = 𝛾 ¿Por qué?

13. 𝑚 ( ) = 180° − (𝛼 + 𝛾) = 𝛽 ¿Por qué?

Esto es: 𝑚 ( ) = 𝛾 y 𝑚 ( ) = 𝛽 .

Es importante observar cómo se expresan estos ángulos, en términos de los ángulos

interiores del ∆ 𝐴𝐵𝐶 y su distribución relativa porque podemos utilizar el problema

resuelto hasta este punto, para dar solución a la cuarta tesis. Es una forma recursiva que

hace muy interesante este problema. Centremos la atención en el ∆ 𝐴𝐻𝐻′.

14. Sean: 𝐻′𝑇 y 𝐻𝑇′ alturas en el ∆ 𝐴𝐻𝐻′, Si tomamos a 𝑀′ como el punto medio de

𝐻𝐻′ , puede observarse que se tienen las condiciones del problema inicial en el ∆ 𝐴𝐵𝐶

'MHH

HMH'

'MHH

'HMH

'MHH

HMH'

'MHH

HMH'

BAC

HAH '

HMH'

HAH '

HAH '

'AHH

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y podemos, en consecuencia, utilizar los resultados ya probados, lo que nos permite

concluir:

15. ¿Por qué?

16. ¿Por qué?

17. 𝑇′𝑇 ∥ 𝐵𝐶 Corolario teorema de los ángulos alternos internos de 16.

TAT'

'AHH

TAT'

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CAPÍTULO 6. EL V POSTULADO DE EUCLIDES Y …ingenieria2.udea.edu.co/.../descargas/06.pdf · 4. Llamar la atención sobre la grandeza y el genio imperecedero de Euclides quien, con