Upload
lamnga
View
216
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
ADC/FCTUC/Cap51
Capítulo 5
COMPORTAMENTO DE
SISTEMAS NÃO LINEARES
ADC/FCTUC/Cap52
Indice
5.1 Sistemas Lineares• Equilibrio de sistemas lineares
5.2 Sistemas Não Lineares• Estabilidade Local
• Dependencia de condições iniciais
5.3 Linearização
5.4 Introdução ao Caos
ADC/FCTUC/Cap53
Indice
5.1 Sistemas Lineares• Equilibrio de sistemas lineares
5.2 Sistemas Não Lineares• Estabilidade Local
• Dependencia de condições iniciais
5.3 Linearização
5.4 Introdução ao Caos
ADC/FCTUC/Cap54
Estados equilibrio Sistemas Lineares
Pólos “estáveis” - SPE• Reais (op=1)• Complexos (op=2)
Limiar estabilidade (eixo imaginário)• Imaginários (op=3)
Pólos “instáveis” – SPD• reais (op=4)• Complexos (op=5)
ADC/FCTUC/Cap55
Pêndulo
ADC/FCTUC/Cap56
Espaço de fase / órbita
Órbita: espaço multidimensional, cujas coordenadas representam a “posição” de cada partícula do sistema.• Define um e um só estado do sistema.
Espaço de fase: não desenhamos apenas uma órbita em particular, mas o conjunto de todas as órbitas possíveis do sistema• Dependente do estado inicial
ADC/FCTUC/Cap57
Estados de equilíbrio de sistemas lineares
Nós
Nó estável (poço-sink, attractor):
Nó instável (fonte-source,
repelling)
ADC/FCTUC/Cap58
Estados de equilíbrio de sistemas lineares
Focosx ' = y y ' = - 3 x + y + u
u = 0
-1 -0.5 0 0.5 1
-1
-0.5
0
0.5
1
x
y
x ' = v v ' = - (k x + d v)/m
m = 1d = 1
k = 3
-1 -0.5 0 0.5 1
-1
-0.5
0
0.5
1
x
v
Foco estável (poço-sink, atractor)
Foco instável (fonte-source, repelling):
ADC/FCTUC/Cap59
Estados de equilíbrio de sistemas lineares
Centrox ' = y y ' = - 3 x + u
u = 0
-1 -0.5 0 0.5 1
-1
-0.5
0
0.5
1
x
y
ADC/FCTUC/Cap510
Estados de equilíbrio de sistemas lineares
Ponto SelaQuase todas as órbitas na vizinhança de um ponto sela se aproximam até uma distância mínima, que varia de órbita para órbita, após o que se afastam cada vez mais. As excepções são apenas quatro órbitas, que no exemplo da figura correspondem às direcções 4 rectas
ADC/FCTUC/Cap511
Estados de equilíbrio de sistemas linearesx ' = - 2 x + uy ' = - 3 y + u
u = 0
-1 -0.5 0 0.5 1
-1
-0.5
0
0.5
1
x
y
x ' = 2 x + uy ' = 3 y + u
u = 0
-1 -0.5 0 0.5 1
-1
-0.5
0
0.5
1
x
y
x ' = y y ' = - 3 x + y + u
u = 0
-1 -0.5 0 0.5 1
-1
-0.5
0
0.5
1
x
y
x ' = y y ' = - 3 x + u
u = 0
-1 -0.5 0 0.5 1
-1
-0.5
0
0.5
1
x
y
x ' = v v ' = - (k x + d v)/m
m = 1d = 1
k = 3
-1 -0.5 0 0.5 1
-1
-0.5
0
0.5
1
x
v
x ' = A x + B y + uy ' = C x + D y + u
C = - 2u = 0
B = 2D = - 3
A = 2
-6 -4 -2 0 2 4 6-6
-4
-2
0
2
4
6
x
y
Nó estável (poço-sink, attractor): Foco estável (poço-sink, atractor)
Nó instável (fonte-source, repelling) Foco instável (fonte-source, repelling): Um centro
Ponto sela
ADC/FCTUC/Cap512
Pêndulo
Na imagem estão traçadas órbitas com diferentes cores que podem ser identificadas como 3 regimes distintos na dinâmica do pêndulo:
Não se considera atrito em qualquer dos três casos.
ADC/FCTUC/Cap513
Pêndulo
Órbitas verdes: Pêndulo libertado sem velociade inicial
As órbitas são fechadas (cada linha verde corresponde a uma dada altura inicial) identificando um movimento periódico.
ADC/FCTUC/Cap514
Pêndulo
Órbitas vermelhas: A energia inicial que écomunicada ao pêndulo é suficiente para que este consiga subir até à altura máxima, e continuar a girar a partir desse ponto.
Estas órbitas correspondem a círculos completos
A sua velocidade angular nunca se anula
ADC/FCTUC/Cap515
Pêndulo
Órbita azul: Regime limite de fronteira
O pêndulo é lançado exactamente com a energia necessária para poder chegar ao ponto de altura máxima, que atinge com velocidade nula..
ADC/FCTUC/Cap516
torsão, nulaK=0
suporte, sem atrito, B=0
L, comprimento
θposição angular m,
massa total
m.gm.g.L.senθ
θ ' = ω ω ' = - sin(θ) - D ω
D = 0
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
θ
ω
Pêndulo
ADC/FCTUC/Cap517
Indice
5.1 Sistemas Lineares• Equilibrio de sistemas lineares
5.2 Sistemas Não Lineares• Estabilidade Local
• Dependencia de condições iniciais
5.3 Linearização
5.4 Introdução ao Caos
ADC/FCTUC/Cap518
x ' = (x - 1 ) 2 - uy ' = (y - 2 ) 2 - u
u = 1
-2 -1 0 1 2 3 4
-1
0
1
2
3
4
5
x
y
•2
1 1 2
•2
2 2
( -1)
( - 2)
x x u y x
x x u
= − =
= −Exemplo com 4 singularidades
ADC/FCTUC/Cap519
x ' = (x - 1)2 - uy ' = (y - 2)2 - u
u = 1
-2 -1 0 1 2 3 4
-1
0
1
2
3
4
5
x
y
Estável ou instável ?
Estabilidade localDependencia condições iniciais
ADC/FCTUC/Cap520
presa ' = (a - b predador) presa predador ' = (p presa - c) predador
b = 0.01p = 0.005
a = 0.4c = 0.3
0 20 40 60 80 100 120
0
10
20
30
40
50
60
70
80
presa
pred
ador
Modelo de Lotka-Volterra
1 1 21
1 1 22
•
•
= −
= − +
x ax bx x
x cx px x
Incerteza nas condições iniciais …
ADC/FCTUC/Cap521
Indice
5.1 Sistemas Lineares• Equilibrio de sistemas lineares
5.2 Sistemas Não Lineares• Estabilidade Local
• Dependencia de condições iniciais
5.3 Linearização5.4 Introdução ao Caos
ADC/FCTUC/Cap522
Linearização em torno dos estados de equilíbrio
Série de Taylor
1 1 11 1
( ,...) ( , )
+ termos de ordem superior= =
∂ ∂+ ∆ = + ∆ + ∆
∂ ∂∑ ∑n m
i ii s i s k k
k kk k
f ff x x f x x u
x u
1 1 11 1
( ,...) g ( ,...)
+ termos de ordem superior= =
∂ ∂+ ∆ = + ∆ + ∆
∂ ∂∑ ∑n m
i ii s i s k k
k kk k
g gg x x x x u
x u
ADC/FCTUC/Cap523
1 1
1
1 ( , )
...
... ... ...
...S S
n
n n
n x u
f f
x x
A
f f
x x
∂ ∂⎡ ⎤⎢ ⎥∂ ∂⎢ ⎥
= ⎢ ⎥⎢ ⎥∂ ∂⎢ ⎥⎢ ⎥∂ ∂⎣ ⎦
1 1
1
1 ( , )
...
... ... ...
...S S
m
n n
m x u
f f
u u
B
f f
u u
∂ ∂⎡ ⎤⎢ ⎥∂ ∂⎢ ⎥
= ⎢ ⎥⎢ ⎥∂ ∂⎢ ⎥⎢ ⎥∂ ∂⎣ ⎦
1 1
1
1 ( , )
...
... ... ...
...S S
n
p p
n x u
g g
x x
C
g g
x x
⎡ ⎤∂ ∂⎢ ⎥∂ ∂⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥∂ ∂⎢ ⎥⎢ ⎥∂ ∂⎣ ⎦
1 1
1
1 ( , )
...
... ... ...
...S S
m
p p
m x u
g g
u u
D
g g
u u
⎡ ⎤∂ ∂⎢ ⎥∂ ∂⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥∂ ∂⎢ ⎥⎢ ⎥∂ ∂⎣ ⎦
Definindo os Jacobianos
ADC/FCTUC/Cap524
( , ) ( , )
( ) ( , ) ( , )
( , ) ( , )
s s s s s s
s s s s s s
s s s s s s
x f x u y g x u
x x f x x u u y y g x x u u
x x f x u A x B u y y g x u C x D u
•
• •
• •
= =
+ ∆ = + ∆ + ∆ + ∆ = + ∆ + ∆
+ ∆ = + ∆ + ∆ + ∆ = + ∆ + ∆
Substituindo na série de Taylor
•
x A x B u
y C x D u
∆ = ∆ + ∆∆ = ∆ + ∆
ADC/FCTUC/Cap525
•
1 1 2 1 2
•
2 2 1 2
- 2
( - )
x x x u y x x
x x x x
= + =
=
1 1
1s Sx u⎡ ⎤
= ⎢ ⎥⎣ ⎦
Exemplo
2 2 1
2 1
[1,1]
[1,1]
1 1 B=[-2]
2
[ ] D=[0]
⎡ ⎤= ⎢ ⎥− +⎣ ⎦
=
Ax x x
C x x
2 2
0s Sx u⎡ ⎤
= ⎢ ⎥⎣ ⎦
2 2 1
2
[2,0]
[2,0]1
1 1 B=[-2]
2
[ ] D=[
0]
⎡ ⎤= ⎢ ⎥− +⎣ ⎦
=
Ax x x
C x x
u=1
ADC/FCTUC/Cap526
1 1
1s Sx u⎡ ⎤
= ⎢ ⎥⎣ ⎦
1 1 B=[-2]
1 1
[1 1] D=[0]
A
C
⎡ ⎤= ⎢ ⎥−⎣ ⎦
=
2 2
1s Sx u⎡ ⎤
= ⎢ ⎥⎣ ⎦
1 1 B=[-2]
0 2
[2 1] D=[0]
A
C
⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦
=
eig(A) = [ -1.411.41]
eig(A) = [ 12 ]
ADC/FCTUC/Cap527
Os estados de equilíbrio são um pontos sela e um nó instável
x1 ' = x1 + x2 - 2 ux2 ' = x2 (x1 - x2)
u = 1
-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
x1
x2
Depende das condições iniciais!Alcançam que ponto de equilibrio?
ADC/FCTUC/Cap528
Indice
5.1 Sistemas Lineares• Equilibrio de sistemas lineares
5.2 Sistemas Não Lineares• Estabilidade Local
• Dependencia de condições iniciais
5.3 Linearização
5.4 Introdução ao Caos
ADC/FCTUC/Cap529
Definição de Caos
Existem, falsas noções sobre o caos, • a mais comum é a de que a teoria do caos é sobre
desordem
CAOS: • estudo de sistemas dinâmicos não-lineares.
ADC/FCTUC/Cap530
Definição de Caos
Teoria do caos: consiste no estudo de sistemas aparentemente estocásticos, que são na realidade determinísticos.
Determinístico no sentido que o estado num determinado isntante k pode ser determinado a partir do instante esatdo no isntante anterior (k-1)
Os sistemas caóticos os sistemas que apresentam um comportamento impredizível a longo prazo originado por um sistema não-linear dinâmico determinístico devido àdependência sensível das condições inicias.
ADC/FCTUC/Cap531
E.N. Lorenz em 1992 :
“Predictability: Does the Flap of a Butterfly’s Wings in Brazil set off a Tornado in Texas ?”
Caos !!!!...
ADC/FCTUC/Cap532
Bifurcações e caos
1 (1 ) [0,1]k k kx Ax x x+ = − ∈
ADC/FCTUC/Cap533
Bifurcações e caos
1 (1 ) [0,1]k k kx Ax x x+ = − ∈
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Geraçao
Pop
ulaç
ao
A=2,8
1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Geraçao
Pop
ulaç
ao
A=3
A=2,8 A=3
ADC/FCTUC/Cap534
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Geraçao
Pop
ulaç
ao
A=3,5
A=3,5
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Geraçao
Pop
ulaç
ao
A=3,3
A=3,3
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Geraçao
Pop
ulaç
ao
A=3,55
A=3,55
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Geraçao
Pop
ulaç
ao
A=3,6
A=3,6
Período 2 Período 4
Período 8 Caos !!!
ADC/FCTUC/Cap535
Bifurcações
ADC/FCTUC/Cap536
ADC/FCTUC/Cap537
O delta de Feigenbaum
1
1
n nn
n n
A A
A Aδ −
+
−=
−
4,66920161...limn
nδ→∞
=
ADC/FCTUC/Cap538
• A representação de estado aplica-se de igual modo aos sistemas lineares e não lineares, variantes ou invariantes.
• No caso linear obtém-se uma representação matricial. As propriedades dinâmicas do sistema são dependentes dos valores próprios da matriz de estado, tal como são dependentes dos pólos da função de transferência na representação no domíniocomplexo
• Os sistemas não lineares podem ter zero, um ou vários estados de equilíbrio para a a mesma entrada. Alcançam um ou outro conforme as condições iniciais.
• Aproximando as funções de estado e de saída pela série de Taylornos pontos de equilíbrio, desprezando os termos de ordem superior à primeira, obtém-se um sistema linearizado.
Conclusão