1

CAPITULO 3.- Representaciones de Fourier para señales.

3.1 Introducción.3.2 Señales periódicas en tiempo discreto: la serie de Fourier

en tiempo discreto.3.3 Señales periódicas en tiempo continuo: la serie de Fourier.3.4 Señales no periódicas en tiempo discreto: la transformada

de Fourier en tiempo discreto3.5 Señales no periódicas en tiempo continuo: la transformada

de Fourier3.3.6 Propiedades de las representaciones de Fourier

3.1 Introducción.Análisis de Fourier :Representación de señales utilizando senoides complejas

Senoides complejas y respuesta en frecuencia de sistemas LTI

( ))(arg)()(

.)()(;)()(

)(

ωω

ωτω

ω

ω

ττωωjHtj

jtj

tj

ejHty

frecuenciaenrespdehjHejHty

complejasenoidaletx

+

−∞

∞−

=

⇒==

=

∫

( ) ( ))(arg)(][

][)(;)(][

][

Ω+ΩΩ

∞

−∞=

−ΩΩΩΩ

Ω

=

==

=

∑jeHnjj

k

kjjnjj

nj

eeHny

ekheHeeHny

enx

2

Ejemplo Circuito RC : Respuesta en frecuencia

0,)(1)(1

≥∀=−

ttueRC

tht

RC

11

1

1)(

+=

+=

RCjRCj

RCjHωω

ω ( )22 1

1)(

RC

RCjH+

=ω

ω

( )RCjH ωω arctan)(arg −=

Figure 3.4 (p. 198)(a) General eigenfunction Ψ(t) or Ψ[n] and eigenvalue λ. (b) Complex sinusoidal eigenfunction ejωt and eigenvalue

H(jω). (c) Complex sinusoidal eigenfunction ejΩn and eigenvalue

H(ejΩ).

ke

tjet ωψ =)( )()( ttH λψψ =

kk eAe kλ=

tjM

kk

keatx ω∑=

=1

)( tjM

kkk

keyHaty ωω∑=

=1

)()(

)(tλψ)(tψ

][nψ ][nλψ

λω =)( jH

Función característica de HFunción propia

Valor característicoValor propio

Problema de valorescaracterísticos

Vector característico de A Valor característico

kλ

3

Representaciones de Fourier para cuatro clases de señales

Transformada de Fourier en tiempo discreto (DTFT)

Serie de Fourier en tiempo discreto

(DTFS)Discreta

Transformada de Fourier (FT)

Serie de Fourier(FS)Continua

No periódicaPeriódicaPropiedad de tiempo

Señales periódicas: representaciones mediante las series de Fourier

DTFS : Periodo fundamental de x[n] : N FS : Periodo fundamental de x(t) : T

Nπ20 =Ω⇒

Tπω 20 =⇒

4

3.2 Señales periódicas en tiempo discreto:la serie de Fourier en tiempo discreto (DTFS).

njk

NkekXnx 0][][ Ω

=∑= njk

Nnenx

NkX 0][1][ Ω−

=∑=

Nπ2

0 =Ω

][arg][][

kXkXkX Representación en el dominio de la frecuencia

Espectro de magnitud de x[n]Espectro de fase de x[n]

][][0:

kXnxDTFS Ω

↔

1,...,1,0 −= NN 12

,...,2

−−=NNN

][][1][1][1][ 0000)( kXenxN

eenxN

enxN

NkX njk

Nn

njknjN

Nn

nNkj

Nn

====+ Ω−

=

Ω−Ω−

=

Ω+−

=∑∑∑

X[k] y x[n] : evaluar en computadora (únicas)

X[k],x[n] : par DTFS

Problema 3.48

njk

kenx

NkX 0

8

8][1][ Ω−

−=∑=

Utilice la definición de los coeficientes de la DTFS para evaluar la representación DTFS para la señal :

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

3176cos][ ππ nnx

njjnjjnjnjeeeeeenx 17

2)3(317

2)3(3317

6317

6

21

21

21][

ππππππππ−−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

172,17 0π

=Ω=N

njk

NkekXnx 0][][ Ω

=∑=

88,0

321

321

][ 3

3

≤≤−

−=

=

=−

kkotros

ke

ke

kXj

j

π

π

5

Problema 3.2Encontrar la representación en el dominio de la frecuencia dela señal descrita en la figura

x[-n]=-x[n] : simetría impar ; N=5 , Ω0=2π/5

531,0760,0

0

760,0531,0

5252

545205254522

2

232,05

)54(51]2[;276,0

5)52(

51]1[

2,051]0[

276,05

)52(51]1[;232,0

5)54(

51]2[

)52(151

211

21

51][

]2[]1[]0[]1[]2[51][

51][

jj

j

jj

jkjk

jkjkjjkjknjk

n

esenjXesenjX

eX

esenjXesenjX

ksenjeekX

exexexexexenxkX

=+==+=

==

=−=−=−=−

+=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ −+=

+++−+−==

−−

−

−−−

−=∑

ππ

ππ

πππ

πππππ

Problema 3.2 (cont.)

531,0760,0

0760,0531,0

232,0]2[;276,0]1[2,0]0[;276,0]1[;232,0]2[

jj

jjj

eXeXeXeXeX

==

==−=− −−

6

Ejemplo 3.5 (Inversa de DTFS)Determine la señal en el dominio del tiempo x[n] a partirde los coeficientes DTFS descritos en la figura :

N=9 , Ω0=2π/9

( ) ( ) 1394cos43296cos2][

212][][ 963294394396324

4

92

−−+−=

++−+== −−−−

−=∑

ππππ

πππππππππ

nnnx

eeeeeeeeekXnx njjnjjnjjnjj

k

njk

3.3 Señales periódicas en tiempo continuo: la serie de Fouriera) FS exponencial

[ ] [ ] ;)(1;)( 00

0dtetx

TkXekXtx tjkTtjk

k

ωω −∞

−∞=∫∑ ==

Tπω 20 =⇒FS : Periodo fundamental de x(t) : T

[ ]kXtxFS 0;

)(ω

↔

][arg][][

kXkXkX Representación en el dominio de la frecuencia

Espectro de magnitud de x[n]Espectro de fase de x[n]

FS exponencial

X[k],x[n] : par FS

7

Ejemplo 3.9 (Cálculo directo de coeficientes FS)Determine los coeficientes FS para la señal x(t) descrita en la figura :

πππω === 2220 T

[ ]

[ ]

[ ])24

1

)1()24

1)2(2

121

21

4

24

20

)2(2

0

)2(2

0

2 |

π

π

π

π

πππ

jkekX

eejk

kX

ejk

dtedteekX

jk

tjktjktjkt

+−

=

−+

=

+−

===

−

−−

+−+−−− ∫∫

Ejemplo 3.12 (Inversa FS)Encuentre la señal en el dominio del tiempo x(t) correspondientea los coeficientes FS : ( ) 20

21][ πjkk

ekX =

Suponiendo que el periodo fundamental es T=2 ππω ==⇒ T20

( ) ( )

( ) ( )

)20/cos(453)(

1)2/1(11

)2/1(11)(

21

21)(

21

21)(

)20()20(

20

1

20

0

20

1

20

0

ππ

ππππ

ππππ

ππππ

+−=

−−

+−

=

+=

+=

+−+

−−∞

=

∞

=

−∞

−=

−∞

=

∑∑

∑∑

ttx

eetx

eeeetx

eeeetx

tjtj

tjljl

l

ltjkjk

k

k

tjkjk

k

ktjkjk

k

k

8

Ejemplo 3.13 (FS para una onda cuadrada)Determine la representación FS de la onda cuadrada x(t) descrita en la figura :

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

[ ] ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛==⇒=

=

===⇒=

≠=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=

≠−

===

→−

−

−−

−

−−

−

∫

∫∫

TTksenc

TT

kTTksenkX

T

TkTksenkX

TT

TkTksen

TTdt

TkXk

kTk

Tksenjee

TkkX

keTjk

dteT

dtetxT

kX

k

T

T

TjkTjk

TT

tjkT

T

tjktjkT

T

0000

0

00

0

0

00

0

0

0

00

0

0

2/

2/

222

)/2(22

)(2

2)(2lim;210

0,)(22

2

0,11)(1

0

0

0000

0

0

00

0

00 |

πππω

ωω

ωω

ωω

ω

ωωω

ωωω

Ejemplo 3.13 (cont.)T0/T=1/4

T0/T=1/16

T0/T=1/64

5050],[ ≤≤− kkX

Al decrecer T0/T la energía en cada periodo de la señal onda cuadrada se concentra alrededorde un estrecho intervalo de tiempo.

La energía en la representaciónFS esta distribuida en un anchointervalo de frecuenciasEl primer cruce por cero :T0/T=1/4 k=2T0/T=1/16 k=8T0/T=1/64 k=32

9

3.3

Con bastante frecuencia en el análisis de Fourier aparece la formafuncional :

uusenusenc

ππ )()( =

El máximo de la función es la unidad en u=0El cruce por cero ocurre en los valores enteros de uLóbulo principal de la función senc : parte de la función entre los

cruces por cero en u=+1 y u=-1Lóbulos laterales : resto de lóbulos

1)0( =senc0,0)( ≠= kkusenc

3.3 Señales periódicas en tiempo continuo:la serie de Fourier

b) FS trigonométrica

[ ] ( )

∑

∑∑

∑∑

∞

=

∞

=

∞

=

−

∞

=

−∞

−∞=

=

≠==

+=+

+=

=−++==

=−

00

10

1

1

)cos(][)(

,0],[2][]0[]0[

)cos(][2]0[2

][2]0[)(

][][]0[)(

][][

00

000

k

mm

tjmtjm

m

tjmtjmtjk

k

tkkBtx

entonceskkXkByXBsi

tmmXXeemXXtx

emXemXXekXtx

kXkX

ω

ωωω

ωωω

10

3.3 Señales periódicas en tiempo continuo:la serie de Fourier

b) FS trigonométrica

[ ] [ ] ;)(1;)( 00

0dtetx

TkXekXtx tjkTtjk

k

ωω −∞

−∞=∫∑ ==

[ ]

( )][][)()(2][

][][)cos()(2][,0

)(1]0[

)(][)cos(]0[)(

0 0

0 0

0

100

kXkXjdttksentxT

kA

kXkXdttktxT

kBk

dttxT

B

tksenkAtkkBBtx

T

T

T

k

−−==

−+==≠

=

++=

∫

∫

∫

∑∞

=

ω

ω

ωω

exponencial :

Ejemplo 3.13 (FS trigonométrica para una onda cuadrada)

[ ] [ ] )cos()(ˆ;)cos()(

0)()(2][

)/2(2)cos()(2][,0

2111)(1]0[

00

00

0 0

00 0

000 0

0

tkkBtxtkkBtx

dttksentxT

kA

kTTksendttktx

TkBk

TTdtdt

Tdttx

TB

j

kj

k

T

T

T

TT

TT

ωω

ω

ππω

∑∑

∫

∫

∫∫∫

=

∞

=

−

==

==

==≠

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +==

Tπω 20 =

4/1/;2;1 00 === TTTT πω

11

Figure 3.25b-3 (p. 226)(b) J = 3. (c) J = 7. (d) J = 29.

(e) J = 99.

3.4 Señales no periódicas en tiempo discreto: La transformada de Fourier en tiempo discreto (DTFT)De manera intuitiva deduciremos DTFT a partir de DTFS, describiendo una señal no periódica como el límite de una señal periódica cuyo periodo N se acerca a infinito.

( )Ω↔ jDTFT

eXnx ][( ) Ω= Ω

−

Ω∫ deeXnx njjπ

ππ21][

( ) nj

n

j enxeX Ω−∞

−∞=

Ω ∑= ][ Representación en el dominio de la frecuencia

Si x[n] duración infinita, ha de ser absolutamente sumable para que exista la DTFT :

∞<∑∞

−∞=nnx ][

Si x[n] no es absolutamente sumable, pero tiene energiafinita, la DTFT converge en un sentido de error cuadráticomedio, pero no converge puntualmente

∞<∑∞

−∞=

2

][n

nx

La señal escalón unitario u[n] no cumple las condiciones anteriores

12

Ejemplo 3.17 Secuencia exponencialEncuentre la DTFT de la secuencia x[n]=αnu[n]

( ) ( )

( )

( )( )

( ) imparseneX

parsen

eX

senjeXrealessi

eeeenueX

j

j

j

jn

njnj

n

nnj

n

nj

;cos1

arctanarg

;cos21

1

cos1

1cos1

1:

1,1

1][

2222

00

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

Ω−Ω

−=

Ω−+=

Ω+Ω−=

Ω+Ω−=

<−

====

Ω

Ω

Ω

Ω−

∞

=

Ω−Ω−∞

=

Ω−∞

−∞=

Ω ∑∑∑

αα

αααα

ααα

αα

ααα

( ) nj

n

j enxeX Ω−∞

−∞=

Ω ∑= ][

Figure 3.29 (p.232) Ejemplo 3.17 (cont.)The DTFT of an exponential signal x[n] = (α)nu[n]. (a)

Magnitude spectrum for α = 0.5. (b) Phase spectrum for α = 0.5. (c) Magnitude spectrum for α = 0.9. (d) Phase spectrum for α = 0.9.

13

Ejemplo 3.19 Función senc en tiempo discreto

( )π<Ω<

<Ω=Ω

WW

eX j

,0,1 ( )ΩjeX; está especificada sólo para : ππ <Ω<−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛==

==⇒=

≠==Ω=

→

−ΩΩ

−∫

πππ

ππ

πππ

WnsencWWnsenn

nx

WWnsenn

xn

nWnsenn

enj

denx

n

WW

njnjW

W

)(1][

)(1lim]0[0

0),(1|2

121][

0

π=p

π− π

( ) Ω= Ω

−

Ω∫ deeXnx njjπ

ππ21][

Ejemplo 3.20 DTFT del impulso unitario : δ(t)

( ) 1][ == Ω−∞

−∞=

Ω ∑ nj

n

j eneX δ 1][DTFT

n ↔δ

Ejemplo 3.21 Inversa DTFT del espectro impulso unitario : δ(Ω)( ) ππδ <Ω<−Ω=Ω ,)(jeX

πδ

ππ

π 21)(

21][ =ΩΩ= Ω

−∫ denx nj utilizando la propiedad de filtrado de la función impulso

ππδπ

<Ω<−Ω↔ ,][21 DTFT

( ) ∑∞

−∞=

Ω −Ω=k

j keX )2( πδ

14

3.5 Señales no periódicas en tiempo continuo : La transformada de Fourier (FT)

∫∞

∞−= ωω

πω dejXtx tj)(

21)(

∫∞

∞−

−= dtetxjX tjωω )()(

( )ωjXtxFT↔)(

representación en el dominio de la frecuencia

La convergencia puntual está garantizada en todos los valores de texcepto en aquellos correspondientes a discontinuidades si x(t) satisface las CONDICIONES DE DIRICHLET : (para señales no periódicas)1.- x(t) es absolutamente integrable.2.- x(t) tiene un número finito de máximos, mínimos y

discontinuidades locales en todo intervalo finito.3.- el tamaño de cada discontinuidad es finito.

La función escalón no es absolutamente integrable

∫∞

∞−∞<dttx )(

Ejemplo 3.25 Pulso rectangularConsidere el pulso rectangular descrito en la figura y definido como : Encuentre la FT de x(t)

0

00

,0,1

)( TtTtT

tx>≤≤−

=

El pulso rectangular x(t) es absolutamente integrable, siempre que

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

<

>==

==⇒=

≠=−

===

→

−−

−

−∞

∞−

− ∫∫

πωω

ωωπωω

ωωωω

ωω

ω

ωωωω

ωωω

ω

ωωω

0

0

0

0

000

0

2)(

0)(,

0)(,0)(arg;)(2)(

2)(2lim)0(0

0),(2|1)()(

0

0

0

0

TTsencjX

Tsen

Tsen

jXTsenjX

TTsenjX

Tsenej

dedetxjX TT

tjT

T

tjtj

15

Ejemplo 3.25 (cont.)

ωωω )(2)( TsenjX =

Si To aumentaseñal x(t) se dispersa en elorigen en el dominio t

Si π/To disminuyeseñal X(jω) se dispersa en elorigen en el dominio ω

Ejemplo 3.27 Impulso unitarioEncuentre la FT de x(t)=δ(t)

1)()( == ∫∞

∞−

− ωδω ω detjX tj

X(t) no satisface las condiciones de Dirichlet, a pesar de ello

∞<<∞−↔ ωδ ;1)(FT

t

Ejemplo 3.28 Inversa FT de un espectro impulso Encuentre la inversa FT de )(2)( ωπδω =jX

1)(221)( == ∫

∞

∞−ωωπδ

πω detx tj

)(21 ωπδFT↔

16

3.6 Propiedades de las representaciones de Fourier3.6.0 Perioricidad3.6.1 Linealidad3.6.2 Simetría – Señales reales e imaginarias3.6.2 Simetría – Pares e impares3.6.3 Corrimiento en el tiempo3.6.4 Corrimiento en frecuencia3.6.4 Escalamiento3.6.5 Diferenciación e integración, sumatoria y dif.3.6.6 Convolución y modulación3.6.7 Filtrado. Modulación en frecuencia3.6.8 Relación de Parseval3.6.9 Dualidad3.6.10 Producto tiempo-ancho de banda

Frecu-enciaContinua (ω,Ω)Discreta (k)

Periódica (k,Ω)

Discreta [n]

No periódica

(k,ω)

Continua (t)

No periódica (t,n)Periódica (t,n)Tiempo

[ ] tjk

k

ekXtx 0)( ω∑∞

−∞=

=

[ ] dtetxT

kX tjkT0

0)(1 ω−∫=

Tπω 20 =⇒x(t) periodo T

Serie de Fourier Tranformada de Fourier

Serie Fourier Tiempo Discr. Tranf. Fourier Tiempo Discr.

njk

Nnenx

NkX 0][1][ Ω−

=∑=

njk

NkekXnx 0][][ Ω

=∑=

Nπ2

0 =Ω⇒x[n] y X[k] periodo N

( ) Ω= Ω

−

Ω∫ deeXnx njjπ

ππ21][

( ) nj

n

j enxeX Ω−∞

−∞=

Ω ∑= ][

( )ΩjeX tiene periodo 2π

∫∞

∞−= ωω

πω dejXtx tj)(

21)(

∫∞

∞−

−= dtetxjX tjωω )()(

3.6.0 Perioricidad

Tabla

17

3.6.1 Linealidad

][][][][][][

)()()(][][][

][][][)()()(

)()()()()()(

0

0

;

;

kbYkaXkZnbynaxnz

ebYeaXeZnbynaxnz

kbYkaXkZtbytaxtz

jbYjaXjZtbytaxtz

DTFS

jjjDTFT

FS

FT

+=↔+=

+=↔+=

+=↔+=

+=↔+=

Ω

ΩΩΩ

ω

ωωω

3.6.2 Simetría – Señales reales e imaginarias puras

a) x(t) Real

Representación Forma compleja Forma rectangular

][][

)()(

][][

)()(

*

*

*

kXkXDTFS

eXeXDTFT

kXkXFS

jXjXFT

jj

−=

=

−=

−=

Ω−Ω

ωω

[ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] [ ] kXkX

kXkXeXeX

eXeXkXkX

kXkXjXjX

jXjX

jj

jj

−−=−=

−=

=

−−=−=

−−=−=

Ω−Ω

Ω−Ω

ImImReRe

)(Im)(Im)(Re)(Re

ImImReRe

)(Im)(Im)(Re)(Reωω

ωω

18

3.6.2(cont.) Simetría – Señales reales e imaginarias puras

[ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] [ ] kXkX

kXkXeXeX

eXeXkXkXkXkXjXjX

jXjX

jj

jj

−=−−=−=

−−=

−−=−−=−=−−=

ΩΩ

ΩΩ

ImImReRe

)(Im)(Im)(Re)(Re

ImImReRe

)(Im)(Im)(Re)(Re

ωωωω

b) x(t) Imaginaria pura

Representación Forma compleja Forma rectangular

][][

)()(

][][

)()(

*

*

*

kXkXDTFS

eXeXDTFT

kXkXFS

jXjXFT

jj

−−=

−=

−−=

−−=

Ω−Ω

ωω

3.6.2(cont) Simetría – Pares e impares

)()()(

)()()()(

)(

**

*

ωττ

ω

τω

ωωω

jXdexdtetx

dtetxdtetxdtetxjX

tjtj

tjtjtj

==−−=

===⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=

∫∫

∫∫∫∞

∞−

−∞

∞−

−−

∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−

−

)()(;)()(* txtxtxtx −=−=⇒c) x(t) valores reales y simetría impar

La única manera de que la condición X*(jω)=X(jω) se cumpla es que X(jω) sea real.

d) x(t) valores reales y simetría par )()(;)()(* txtxtxtx =−=⇒

)()()(

)()()()(

)(

**

*

ωττ

ω

τω

ωωω

jXdexdtetx

dtetxdtetxdtetxjX

tjtj

tjtjtj

−=−=−=

===⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=

∫∫

∫∫∫∞

∞−

−∞

∞−

−−

∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−

−

Luego para que X*(jω)=-X(jω) necesariamente X(jω) es imaginariopuro.

19

3.6.3 Corrimiento en el tiempo

][][

)(][

][)(

)()(

000

0

000

0

;

0

0

;

0

0

kXennx

eXennx

kXettx

jXettx

njkDTFS

jnjDTFT

tjkFS

tjFT

Ω−Ω

ΩΩ−

−

−

↔−

↔−

↔−

↔−

ωω

ω ω

3.6.4 Corrimiento en frecuencia

][][

)(][

][)(

))(()(

0

;

)(

0

;

000

000

kkXnxe

eXnxe

kkXtxe

jXtxe

DTFSnjk

jDTFT

nj

FStjk

FTtj

−↔

↔

−↔

−↔

ΩΩ

Γ−ΩΓ

ωω

γ γω

20

3.6.4 Escalamiento : TF

)()(;)()( atxtzjXtxFT

=↔ ω

)(1)()( ωω jZa

jXa

tzatxFT

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛↔=

Reproducir a velocidad más alta (a>1), comprimimos señal de tiempo.En el dominio de la frecuencia se expande, más agudos.

Ejemplo 3.48 Escalamiento a un pulso rectangular

Considere el pulso rectangular definido como :(ver ejemplo 3.25)

Su tranformada de Fourier es :

Si T0=1. Calcular la Transformada de Fourier de y(t)=x(t/2) .

0

00

,0,1

)( TtTtT

tx>≤≤−

=

)(2)( 0TsenjX ωω

ω =

)2(2)2(222)2(2

21

211)( ω

ωω

ωωωω sensenjXjXjY ===⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛=

1,01,1

)( ><

=tt

tx2,02,1

)( ><

=tt

ty

21

Figure 3.71 (p. 301)Application of the FT scaling property in Example 3.48. (a) Original time signal. (b) Original FT. (c) Scaled time

signal y(t) = x(t/2). (d) Scaled FT Y(jω) = 2X(j2ω).

3.6.4 Escalamiento : FSsi x(t) tiene periodo fundamental T (ω0),

z(t) tiene periodo fundamental T/a (aω0)

][][)()(0;

kXkZtzatxaFS

=↔=ω

La operación de escalamiento cambia simplemente elespaciamiento armónico de (ω0) a (a ω0)

][)(0;

kXtxFS ω

↔

22

3.6.4 Escalamiento : DTFT , DTFS

][)(0;

kXppnx z

pDTFS

z

Ω

↔

ninformaciódeperdida⇒>∈∀= 1;,][][ pZppnxnz

Zpnquemenosanxz ∈= ,0][

)()( / pjz

DTFT

z eXpnx Ω↔

Problema 3.803;,0][ =∈= pZ

pnquemenosanxzDada la señal de la figura :

a) Demostrar que la DTFT de z[n]=xz[pn] es :b) De la DTFT de w[n] y prop. escalamiento, calcule la DTFT de f[n]c) Si xz[n] es periódica (N), z[n]=xz[pn] es periódica (N/p) demostrar :

][][ kpXkZ z=

][][ pj

zj eXeZ

ΩΩ =

23

Problema 3.80 (cont.)

][][

][1

][1][

2;][1][

1

0

1

0

0'0

1

0

0

0

'0

kpXkZ

elxN

p

epnxN

pkZ

pp

Nenzp

NkZ

z

N

n

jklz

pnlpN

n

jknpz

pN

n

jkn

=

=

==

Ω==Ω=

∑

∑

∑

−

=

Ω−

=−

=

Ω−

−

=

Ω− π

a) ][][][][][ Ω∞

−∞=

∞

−∞=

Ω−Ω−=∞

−∞=

Ω−Ω

∑ ∑∑ ==== j

r n

njz

rjz

prn

n

np

j

zpj

z eZepnxeprxenxeXsuma r impar

( )

Ω−Ω

Ω−Ω

−=↔=

−=↔=

22

9.011)(

,0,]2[][

9.011)(][9.0][

jj

DTFT

jj

DTFTn

eeF

imparnparnnwnf

eeWnunwb)

c)

Frecu-enciaContinua (ω,Ω)Discreta (k)

Periódica (k,Ω)

Discreta [n]

No periódica

(k,ω)

Continua (t)

No periódica (t,n)Periódica (t,n)Tiempo

[ ] tjk

kekXtx 0)( ω∑

∞

−∞=

=

[ ] dtetxT

kX tjkT0

0)(1 ω−∫=

Tπω 20 =⇒x(t) periodo T

Serie de Fourier Tranformada de Fourier

Serie Fourier Tiempo Discr. Tranf. Fourier Tiempo Discr.

njk

Nnenx

NkX 0][1][ Ω−

=∑=

njk

NkekXnx 0][][ Ω

=∑=

Nπ2

0 =Ω⇒x[n] y X[k] periodo N

( ) Ω= Ω

−

Ω∫ deeXnx njjπ

ππ21][

( ) nj

n

j enxeX Ω−∞

−∞=

Ω ∑= ][

( )ΩjeX tiene periodo 2π

∫∞

∞−= ωω

πω dejXtx tj)(

21)(

∫∞

∞−

−= dtetxjX tjωω )()(

24

3.6.5 Diferenciación e integración, sumatoria y diferencia

Diferenciación en el tiempo

∫∞

∞−= ωω

πω dejXtx tj)(

21)( )()(

21)(; ωωωωπ

ω ω jXjdejXjtxdtd tj == ∫

∞

∞−

[ ] tjk

kekXtx 0)( ω∑

∞

−∞=

= [ ] ][)(; 000 kXjkekXjktx

dtd tjk

kωω ω == ∑

∞

−∞=

)()( ωω jXjtxdtd FT

↔

][)( 0

; 0

kXjktxdtd FS

ωω

↔

La diferenciación destruye cualquier componente dc de x(t): 0)0(0 =jXj

No periódica :

Periódica :

El valor promedio de la señal diferenciada sea cero : 0)0(0 0 =Xj ω

FT:

FS:

3.6.5 Diferenciación e integración, sumatoria y diferencia (cont.1)

Diferenciación en frecuencia

)()( ωω

jXddtxjt

FT↔−No periódica :

∫∞

∞−

−= dtetxjX tjωω )()( ( )∫∞

∞−

−−= dtetxjtjXdd tjωωω

)()(;

( ) nj

n

j enxeX Ω−∞

−∞=

Ω ∑= ][

La diferenciación no se aplica a cantidades de valor discreto: FS, DTFS

( ) ( ) nj

n

j enxjneXdd Ω−

∞

−∞=

Ω ∑ −=Ω

][

)(][ Ω

Ω↔− j

DTFTeX

ddnxjnNo periódica :

FT:

DTFT:

25

3.6.5 Diferenciación e integración, sumatoria y diferencia (cont.2)

Sumatorio y diferencia

∑∑∞

−∞=Ω−

Ω∞

−∞=

−Ω+−

↔=k

jj

jDTFT

kkeX

eeXnykx )2()(

1)(][][ 0 πδπ

Integración

∑∫−∞=

∞−=↔=

−−=↔=

n

k

tkxnydxty

nynynxtydtdtx

][][)()(

]1[][][)()(

ττ

( ) )(1)(][ ΩΩ−Ω −=↔ jjjDTFT

eYeeXnx

ππδπ <Ω<−Ω+−

=↔ Ω−

ΩΩ ),()(

1)()(][ 0j

j

jj

DTFTeX

eeXeYny

)()0()(1)( ωδπωω

ττ jXjXj

dxFTt

+↔∫ ∞−

3.6.5 Diferenciación e integración, sumatoria y diferencia (resumen)

∑∑∞

−∞=Ω−

Ω∞

−∞=

−Ω+−

↔k

jj

jDTFT

kkeX

eeXkx )2()(

1)(][ 0 πδπ

)()0()(1)( ωδπωω

ττ jXjXj

dxFTt

+↔∫ ∞−

)()( ωω jXjtxdtd FT

↔

][)( 0

; 0

kXjktxdtd FS

ωω

↔

)()( ωω

jXddtxjt

FT↔−

)(][ Ω

Ω↔− j

DTFTeX

ddnxjn

26

3.6.6 Convolución y modulaciónConvolución de señales no periódicas

[ ]

)()()()(*)()(

)(21)()(

21)(

)()(21)(

21)()(

)(21)(;)()()(*)()( )(

ωωω

ωωπ

ωωωπ

ωωττπ

τωωπ

τ

ωωπ

ττττ

ωω

ωτωτωω

τω

jXjHjYtxthty

dejYdejXjHty

dejXdehddeejXhty

dejXtxdtxhtxthty

FT

tjtj

tjjjtj

tj

=↔=

==

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡==

=−−==

∫∫

∫ ∫∫ ∫

∫∫

∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−

−∞

∞−

∞

∞−

−

∞

∞−

−∞

∞−

)()()(][*][][)(][

)(][ ΩΩΩ

Ω

Ω

=↔=⇒↔

↔ jjjDTFT

jDTFT

jDTFT

eHeXeYnhnxnyeHnh

eXnx

3.6.6 Convolución y modulación (cont. 1)

Modulación , señales no periódicas

)(*)(21)()()()(

)(21)(

)(21)(

ωωπ

ω

ηηπ

υυπ

η

υ

jZjXjYtztxty

dejZtz

dejXtx

FT

tj

tj

=⎯→←=

=

=

∫

∫∞

∞−

∞

∞−

∫ −ΩΩΩ

ΩΩΩ

Ω

Ω

=⊗⇒

⊗=⎯⎯ →←=⇒↔

↔

π

θθ θπ

π

2

( )()()()()2(

)()(21)(][][][

)(][

)(][

deZeXeZeXperiódicanconvolució

eZeXeYnznxnyeZnz

eXnx

jjjj

jjjDTFT

jDTFT

jDTFT

27

3.6.6 Convolución y modulación (cont. 2)

Convolución , señales periódicas

][][][)()()(

)()()()()(

/2; kZkXTkYtztxty

dtzxtztxty

TFS

T

=⎯⎯⎯ →←⊗=

−=⊗= ∫π

τττ

∑=

−=⊗

⊗=⎯⎯⎯⎯ →←=

Nm

NDTFS

mkZmXkZkXkZkXkYnznxny

][][)()()()()(][][][ /2; π

][][][][][][

][][][][][

/2; kZkXNkYnznxny

knzkxnznxny

NDTFS

NK

=⎯⎯⎯⎯ →←⊗=

−=⊗= ∑=

π

Modulación , señales periódicas

∑∞

−∞=

−=

=⎯⎯⎯ →←=

m

TFS

mkZmXkZkX

kZkXkYtztxty

][][][*][

][*][][)()()( /2; π

3.6.6 Convolución y modulación (resumen)

][][)()( ; kZkXTtztx FS⎯⎯ →←⊗ ω

)()(][][ 0; kZkXnznx DTFS ⊗⎯⎯⎯ →← Ω][][][][ 0; kZkXNnznx DTFS⎯⎯⎯ →←⊗ Ω

][*][)()( 0; kZkXtztx FS⎯⎯ →← ω

)()(][*][ ΩΩ↔ jjDTFT

eHeXnhnx

)()()(*)( ωω jXjHtxthFT↔

Convolución Modulación

)(*)(21)()( ωωπ

jZjXtztx FT⎯→←

)()(21][][ ΩΩ ⊗⎯⎯ →← jjDTFT eZeXnznxπ

28

3.6.7 Filtrado. Modulación en el dominio de la frecuencia

)()()()(

1)(

)()()()(*)()(

ωωωω

ω

ωωω

jYjHjYjH

jX

jXjHjYtxthty

inv

FT

==

=↔=

Filtros : pasa baja, pasa alta, pasa banda y atenua banda

222 )()()( ωωω jXjHjY =

dBeH j )(log20 Ω

dBjH )(log20 ω

Espectro de energía :

22

222 )()(2

1)()(21)( ccccc jXjHjXjHjY ωωωωω ==

dBjHdBdBjHdBdBjH )(log203)(log202

1log20)(2

1log20 ωωω +−=+=

)()()()(

1)(

)()(][*][

ΩΩΩΩ

Ω

ΩΩ

==

↔

jjinvjj

j

jjDTFT

eYeHeYeH

eX

eHeXnhnx

Figure 3.53 (p. 263)Frequency response of ideal continuous- (left panel) and discrete-time (right panel) filters. (a) Low-pass characteristic.(b) High-pass characteristic. (c) Band-pass characteristic.

29

Figure 3.54 (p. 264)RC circuit with input x(t) and outputs yc(t) and yR(t).

)(1)()(

)()()(

)(1)(

tueRC

tth

tytxty

tueRC

th

RCt

R

CR

RCt

c

−

−

−=

−=

=

δ

Dibujar la respuesta en frecuencia de ambos sistemas

1)(;

11)(

+=

+=

RCjRCjjH

RCjjH RC ω

ωωω

ω

Figure 3.55a&c (p. 265)RC circuit magnitude responses as a function of normalized frequency ωRC.

(a) Frequency response of the system corresponding to yC(t), linear scale.

c) Frequency response of the system corresponding to yC(t), dB scale.

b) Frequency response of the system corresponding to yR(t), linear scale. (d) Frequency response of the system corresponding to yR(t), dB scale, shown on the range from 0 dB to –25 dB.

30

Figure 3.55b&d (p. 265)

3.6.8 Relación de ParsevalLa energía o potencia se conserva en le representación de Fourier

Energía de una señal no periódica x(t) :

RayleighdeenergíadeTeoremadjXdttx

txtxtxdttxEx

:)(21)(

;)()()(;)(

22

*22

ωωπ ∫∫

∫∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−

=

==

señalladeenergíadeespectrojH ⇒2)( ωnormalizado por 2π

Energía : señales no periódicas en el dominio del tiempoPotencia : señales periódicas en el dominio del tiempo ( sobre un

periodo normalizado)

31

3.6.8 Relación de Parseval (cont.)

∑∑

∫∑

∫ ∑

∫∫

==

Ω∞

−∞=

∞

−∞=

∞

∞−

∞

∞−

=

Ω=

=

=

NkNn

jn

T k

kXnxN

DTFS

deXnxDTFT

kXdttxT

FS

djXdttxFT

22

2

22

22

22

][][1

)(21][

][)(1

)(21)(

ππ

ωωπ

Frecu-enciaContinua (ω,Ω)Discreta (k)

Periódica (k,Ω)

Discreta [n]

No periódica

(k,ω)

Continua (t)

No periódica (t,n)Periódica (t,n)Tiempo

[ ] tjk

k

ekXtx 0)( ω∑∞

−∞=

=

[ ] dtetxT

kX tjkT0

0)(1 ω−∫=

Tπω 20 =⇒x(t) periodo T

Serie de Fourier Tranformada de Fourier

Serie Fourier Tiempo Discr. Tranf. Fourier Tiempo Discr.

njk

Nnenx

NkX 0][1][ Ω−

=∑=

njk

NkekXnx 0][][ Ω

=∑=

Nπ2

0 =Ω⇒x[n] y X[k] periodo N

( ) Ω= Ω

−

Ω∫ deeXnx njjπ

ππ21][

( ) nj

n

j enxeX Ω−∞

−∞=

Ω ∑= ][

( )ΩjeX tiene periodo 2π

∫∞

∞−= ωω

πω dejXtx tj)(

21)(

∫∞

∞−

−= dtetxjX tjωω )()(

32

3.6.9 Dualidad

∞<<∞−↔ ωδ ;1)(FT

t

Dualidad de FT

)(21 ωπδFT↔

Figure 3.73 (p. 307)Duality of rectangular pulses and sinc

functions.

33

3.6.9 Dualidad (resumen)

FT )()( ωjFtf FT⎯→← )(2)( ωπ −⎯→← fjtF FT

DTFS ][][ /2; kXnx NDTFS ⎯⎯⎯⎯ →← π ][1][ /2; kxN

nX NDTFS −⎯⎯⎯⎯ →← π

)(][ Ω⎯⎯ →← jDTFT eXnx ][)( 1; kxeX FSj −⎯⎯→←ΩDTFT y FS

3.6.10 Producto tiempo-ancho de banda

Ancho de banda :¿contenido de frecuencia significativa de la señal?“frecuencia a la cual el espectro de magnitud es veces su valor de pico”. Si x(t) está centrada en el origen y es paso bajas :Duración de una señal = Td Ancho de banda = Bw

2/1

21

2

22

)(

)(

dttx

dttxtTd

∫∫

∞

∞−

∞

∞−=2

1

2

22

)(

)(

ωω

ωωω

djX

djXBw

∫∫

∞

∞−

∞

∞−= 21

≥wd BT

principio deincertidumbre

34

Problema 3.48Calcule los coeficientes del DTFS de la señal :

Por inspección

Problema 3.49

Dado los coeficientes del desarrollo DTFS, generar la señal

Por inspección

35

Problema 3.50Calcule los coeficientes del FS de la señal :

Por inspección

Problema 3.51

Dado los coeficientes del desarrollo FS, generar la señal

36

Problema 3.52

Calcular la DTFT de la señal :

Problema 3.52 (cont.)

37

Problema 3.53

Calcular la la inversa dea)

)( ΩeX

c)

Problema 3.54Calcular la TF de la señal :

38

Problema 3.55

a)

b)

Calcular la inversa FT de X(jω)

Frecu-enciaContinua (ω,Ω)Discreta (k)

Periódica (k,Ω)

Discreta [n]

No periódica

(k,ω)

Continua (t)

No periódica (t,n)Periódica (t,n)Tiempo

[ ] tjk

k

ekXtx 0)( ω∑∞

−∞=

=

[ ] dtetxT

kX tjkT0

0)(1 ω−∫=

Tπω 20 =⇒x(t) periodo T

Serie de Fourier Tranformada de Fourier

Serie Fourier Tiempo Discr. Tranf. Fourier Tiempo Discr.

njk

Nnenx

NkX 0][1][ Ω−

=∑=

njk

NkekXnx 0][][ Ω

=∑=

Nπ2

0 =Ω⇒x[n] y X[k] periodo N

( ) Ω= Ω

−

Ω∫ deeXnx njjπ

ππ21][

( ) nj

n

j enxeX Ω−∞

−∞=

Ω ∑= ][

( )ΩjeX tiene periodo 2π

∫∞

∞−= ωω

πω dejXtx tj)(

21)(

∫∞

∞−

−= dtetxjX tjωω )()(

39

Problema 3.57a) Calcular la señal en el dominio del tiempo a partir de su representación en el dominio de la frecuencia.

Periodo fundamental en el dominio del tiempo T=1

discreto y no periódico periódico y continuo⎯⎯ →← π2;FS

Problema 3.58b) Calcular la señal en el dominio del tiempo a partir de su representación en el dominio de la frecuencia.

discreto y periódico discreto y periódico⎯⎯⎯⎯ →← 5/2; πDTFS

40

Problema 3.58c) Calcular la señal en el dominio del tiempo a partir de su representación en el dominio de la frecuencia.

continuo y no periódico continuo y no periódico⎯⎯→←DT

Problema 3.58

Utilice la tabla de transformadas y las propiedades para calcular la FT

41

Problema 3.60

Utilice la tabla de transformadas y las propiedades para calcular la DTFT

Problema 3.68bDetermine la respuesta en frecuencia y la respuesta al impulsopara el sistema definido por la siguiente ecuación diferencial :

42

Problema 3.68cDetermine la respuesta en frecuencia y la respuesta al impulsopara el sistema definido por la siguiente ecuación diferencial :

Problema 3.73

Utilizar la descomposición en fracciones simples para calcularla transformada inversa de Fourier de :

43

Problema 3.74

Utilizar la descomposición en fracciones simples para calcularla transformada inversa de Fourier en tiempo discreto de :