Capitulo 3 Funcoes Exponenciais e Logaritmicas

CAPÍTULO 3 – FUNÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS

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CAPÍTULO 3 - FUNÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS

UM POUCO DE HISTÓRIA

Como termo matemático, a palavra "função" foi introduzida por Leibniz em

1694, para descrever quantidades relacionadas a uma curva, tais como a inclinação

da curva ou um ponto específico dela, esta mesma palavra foi posteriormente usada

por Euler em meados do século XVIII para descrever uma expressão que envolve

vários argumentos. Tais funções, inicialmente tidas como puramente imaginárias e

chamadas genericamente de "monstros", foram já no final do século XX, identificadas

como importantes para a construção de modelos físicos de fenômenos tais como o

movimento Browniano.

Durante o Século XIX, os matemáticos começaram a formalizar todos os

diferentes ramos da matemática. Weierstrass defendia que se construísse o cálculo

infinitesimal sobre a Aritmética do que sobre a Geometria, o que favorecia a definição

de Euler em relação à de Leibniz. Mais para o final do século, os matemáticos

começaram a tentar formalizar toda a Matemática usando Teoria dos conjuntos, e eles

conseguiram obter definições de todos os objetos matemáticos em termos do conceito

de conjunto. Foi Dirichlet quem criou a definição "formal" de função do modo como a

conhecemos hoje1.

O aparecimento dos logaritmos ocorreu no começo do século XVII, quando já

era premente a necessidade de facilitar os trabalhosos cálculos trigonométricos da

Astronomia e da Navegação. A ideia básica era substituir operações muito

complicadas, como multiplicação e divisão, por operações mais simples, como adição

e subtração. Os principais inventores dos logaritmos foram o suíço Joost Biirgi (1552-

1632) e o escocês John Napier (1550-1617), cujos trabalhos foram produzidos

independentemente um do outro2.

1 Texto adaptado do site http://www.coladaweb.com/matematica/funcao, acessado em 15/11/2011

2 Texto retirado do trabalho “Logaritmos e Terremotos: Aplicação da escala logarítmica nos abalos

sísmicos”, Cynthia Adeline Pinheiro Henrique, UNIMESP – Centro Universitário Metropolitano de São Paulo, Novembro/2006

http://www.coladaweb.com/matematica/funcao


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VAMOS RECORDAR?

Para compreendermos melhor as funções exponenciais precisamos lembrar a

definição de potência e de algumas de suas propriedades.

DEFINIÇÃO DE POTÊNCIA DE EXPOENTE NATURAL

Seja b um número real diferente de 0 e n um número natural. A potência de base b e

expoente n, que é representada por , é um número real e satisfaz as seguintes

relações:

i.

ii.

iii.

Para expoentes inteiros, de acordo com a nossa definição, podemos observar que

⏟

, em outras palavras, o número é resultado

da multiplicação do número b por ele mesmo n vezes.

PROPRIEDADES

É importante lembrarmos que os expoentes também podem ser números reais, como

por exemplo √ ou , que podem resultar em números racionais ou irracionais. As

propriedades listadas abaixo servem para todo número real m e n, desde que a e b

sejam números reais diferentes de 0.

1)

2)

3) ( )

4) (

)

5) ( )


3

EXEMPLOS

a)

b)

c) √ √ √ √ √

d) (

)

FUNÇÃO EXPONENCIAL

O conto abaixo é uma história fictícia, mas é interessante para começarmos a

entender o que é uma função exponencial e suas características.

Diz a lenda que em um dia de inverno, um rei solicitou aos seus súditos que lhe

inventassem um novo jogo, a fim de diminuir o seu tédio. Aquele que inventasse o melhor jogo

teria direito a ter um desejo realizado pelo Rei. Um dos seus súditos inventou, então, o jogo de

xadrez. O Rei ficou maravilhado com o jogo e viu-se obrigado a cumprir a sua promessa.

Chamou, então, o inventor do jogo e disse que ele poderia pedir o que desejasse. O astuto

inventor pediu então que as 64 casas do tabuleiro do jogo de xadrez fossem preenchidas com

moedas de ouro, seguindo a seguinte condição: na primeira casa seria colocada uma moeda e

em cada casa seguinte seria colocado o dobro de moedas que havia na casa anterior. O Rei

considerou o pedido fácil de ser atendido e ordenou que providenciassem o pagamento. Tal foi

sua surpresa quando os tesoureiros do reino lhe apresentaram a suposta conta, pois apenas

na última casa o total de moedas era de 9223372036854775808 (é igual a 263

), sem falar que o

valor que seria entregue ao inventor seria a soma das moedas de todas as casas. O Rei estava

falido!3

O que o Rei não sabia, era que o astuto inventor, se aproveitou do fato de que dobrar a

quantia de moedas de uma casa em relação a anterior, faria com o que o resultado crescesse

muito rápido. Se observarmos o pedido do inventor, e tentarmos esquematizar a quantidade de

moedas por cada casa teríamos a seguinte sequência (1, 21, 2

2, 2

3, ... , 2

61, 2

62, 2

63), e

considerando que 20=1, podemos representar os elementos desta sequência pela expressão

2n-1

, onde n é o número da casa. Podemos chamar esta expressão de função exponencial e

representa-la por f(x)=2x-1

, onde f(x) representa o total de moedas presentes na casa de

posição x.

3 Texto adaptado do site http://www.coladaweb.com/matematica/funcao, acessado em 15/11/2011

http://www.coladaweb.com/matematica/funcao


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DEFINIÇÃO - FUNÇÃO EXPONENCIAL

Dado um número real b, tal que e , chamamos de função exponencial de

base b a função de R em R, representada por f(x)=bx que associa para cada valor real

de x um único valor real para .

Assim como na maioria das funções, podemos adequar o domínio a um subconjunto

dos números reais de acordo com as nossas necessidades, e podemos dizer que

funções do tipo f(x)=A+B.b(C.x+D), também são funções exponenciais, mas para explorar

melhor suas características, vamos considerar primeiro apenas funções como na

definição e outros casos serão vistos nos exemplos.

PROPRIEDADES

1- Na função exponencial f(x)=bx, se x=0 => f(0)=b0, isto é, o par ordenado (0,1)

pertence ao gráfico da função para todo b ϵ R+-{0,1}.

2- Para analisarmos o comportamento do gráfico de uma função exponencial,

vamos analisar alguns exemplos separados em dois casos:

I. Para valores de b > 1:

O que podemos perceber? Quanto maior o valor de x, maiores são os

resultados para f(x).

II. Para valores de 0 < b < 1:


5

O que podemos perceber? Quanto maior o valor de x, menores são os


3- A função exponencial f(x)=bx é injetora, pois admitindo que a propriedade dois

é valida para qualquer função, temos que dados dois números reais x1 e x2 tais

que x1 >x2 temos que:

I. Se b>1 implica em f(x1) > f(x2)

II. Se 0 < b < 1 implica em f(x1) < f(x2)

Portanto se x1 x2, temos que f(x1) f(x2), logo f(x) é injetora.

Algumas conclusões:

1- O gráfico intercepta o eixo das ordenada no ponto de coordenada (0,1).

2- Na função exponencial, como o valor da base b é restrito aos números reais

positivos, implica que a função f(x)=bx é sempre maior do que zero para

qualquer x ϵ R.

3- Pela propriedade 2 temos:

I. Se b>1, a função é crescente.

II. Se 0<b<1, a função é decrescente.

GRÁFICOS

Neste tópico, vamos analisar o comportamento do gráfico das funções exponenciais,

partindo das conclusões e propriedades que estudamos até agora.

Exemplo 1 - f(x)=2x

Primeiro montamos uma tabela de valores pra esta função e marcamos os pontos

correspondentes aos valores obtidos no gráfico:


6

Ligando os pontos, temos uma curva que representa o gráfico desta função. Perceba

que quanto mais pontos colocarmos no gráfico será mais fácil de perceber o

comportamento crescente do gráfico desta função. Se não ficou claro, tente você

calcular esta função para valores de x iguais a -5, -4, 4 e 5 e coloque os pontos

correspondentes (junto com os anteriores) num gráfico desenhado no seu caderno.

Exemplo 2 – f(x) = (1/2)x

Agora que já construímos o primeiro gráfico, podemos proceder da mesma maneira

com este e outros exemplos.


7

Tanto no primeiro (função exponencial crescente), quanto no segundo exemplo

(função exponencial decrescente), temos que a curva se aproxima muito do eixo das

abscissas (ou da reta y=0), porém ela nunca intercepta, pois não existe valores para x,

tal que 2x ou (1/2)x seja igual a 0. Esta reta y=0 é chamada de assíntota da função

exponencial, ela é determinada pelos pontos da função que se aproximam muito desta

reta mas não a tocam, em outras palavras, ela funciona como uma divisão, implicando

que o gráfico da função sempre fica acima ou abaixo desta reta.

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

1- Construa o gráfico da função f(x) = 2x + 2 e compare com a função f(x) = 2x

veja o que acontece e identifique a assíntota da função f(x) = 2x + 2.

Podemos perceber pelo gráfico acima que a curva da função f(x) = 2x + 2, nada mais é

do que uma translação na vertical da função f(x) = 2x. A assíntota da função f(x) = 2x

+2 é a reta y = 2.


8

2- Construa o gráfico da função f(x) = 2x – 2 e identifique a assíntota.

Neste caso, comparando a função f(x) = 2x – 2 com a função f(x)= 2x , percebemos que

f(x) = 2x – 2, é também uma translação na vertical da função f(x) = 2x.

A assíntota da função exponencial f(x) = 2x – 2, é a reta y = -2

EXERCÍCIOS

1) Se f (x) = 9x (x ϵ R), calcule:

a) f(1/2)

b) f(5/2)

c) f(-3/2)


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2) Se f(x)=(1/4)x em R, para que valor de x tem-se f(x) = 64 ?

3) Classifique as funções exponenciais abaixo quanto a crescentes ou

decrescentes:

a) f(x)=(√ )

b) f(x)=( )

c) f(x)=( )

d) f(x)=(√

)

4) Construa o gráfico das funções exponenciais abaixo e identifique a

assíntota de cada uma delas.

a) f(x) = (1/2)x

b) f(x) = ( ½)x + 1

c) f(x) = ( ½)x - 2

5) Construa uma tabela de valores para cada função exponencial abaixo, em

seguida faça o gráfico de cada uma delas num único plano cartesiano.

a) f(x) = 3x

b) f(x) = 2.(3x)

c) f(x) = 3.(3x)

d) O que aconteceu com os gráficos dos itens b e c em relação aos do

item a?

e) o que aconteceu com a assíntota de cada uma das funções acima?

6) Construa, com o auxilio de uma tabela de valores, o gráfico das funções

f(x)=2x-2 e g(x)=2x+3. Comparando os gráficos obtidos com o da função

h(x)=2x, podemos dizer que houve um deslocamento horizontal em relação

a este último?


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APLICAÇÕES E CURIOSIDADES

JUROS COMPOSTOS

Quando decidimos por investir em uma caderneta de poupança, o modo que o

banco credita os juros para o valor que você investiu é dado por uma relação que

chamamos de juros compostos. Se todo mês o valor da taxa de juros i for constante,

então podemos dizer que:

M = C.(1+i)t, onde M é o montante final, C o capital investido inicialmente, i é taxa de

juros em porcentagem e t o tempo de aplicação.

Exemplo:

A quantia de R$ 1000,00 foi aplicado em uma instituição bancária durante 3 anos a

uma taxa de rendimento de 1,5% ao mês, no sistema de juros compostos.

a) Qual será o saldo no final de 12 meses?

b) Qual será montante final após os 3 anos?

Resolução:

a) Após 12 meses:

M = ?

C = 1000

i = 1,5% = 0,015 (taxa unitária)

t = 12 meses.

M = C.(1+ i)t

M = 1000.(1+0,015)12

M = 1000.(1,015)12

M = 1000.(1,195618)

M = 1195,61

Após 12 meses verifica-se que o saldo será de R$ 1195,61.

b) Montante após 36 meses.

M = ?

C = 1000

i = 1,5% = 0,015 (taxa unitária)

t = 36 meses.


11

M = C.(1+ i)t

M = 1000.(1+0,015)36

M = 1000.(1,015)36

M = 1000.(1,709139)

M = 1709,13

Logo, após 3 anos o montante será de R$ = 1709,13.

EXERCÍCIOS

1- Pedro fez um investimento em uma caderneta de poupança de R$ 2500,00

com uma taxa de juro de 2% ao mês.

a) Qual o capital após um ano?

b) Quanto tempo Pedro precisa deixar depositado para que o valor do capital seja

o dobro do valor aplicado?

c) Qual o rendimento após dois anos?

2- Após o inicio de um experimento o número de uma cultura é dado pela

expressão N(t)=600.4t, onde t é o tempo em horas, e N é o número de bactérias.

a) Qual o número de bactérias após 3 horas?

b) Quanto tempo após o início do experimento a cultura terá 19200 bactérias?

A CONSTANTE DE EULER

Existe uma importantíssima constante matemática denominada por e. O

número e é um número irracional e positivo. Este número é denotado por e em

homenagem ao matemático suíço Leonard Euler (1707-1783), um dos primeiros a

estudar as propriedades desse número.

O valor deste número é de aproximadamente 2,71828182.

Se x é um número real, podemos definir a função exponencial, escrita como a

potência de base e com expoente x, isto é: f(x)=ex.

O CRESCIMENTO POPULACIONAL4

Em 1798, Thomas Malthus, no trabalho "An Essay on the Principle of

Population" formulou um modelo para descrever a população presente em um

4 Texto adaptado do site http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/medio/expolog/exponenc.htm,

acessado em 15/11/2011

http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/medio/expolog/exponenc.htm


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ambiente em função do tempo. Considerou N=N(t) o número de indivíduos em certa

população no instante t. Como hipótese, Malthus tomou que os nascimentos e mortes

naquele ambiente eram proporcionais à população presente e a variação do tempo

conhecida entre os dois períodos. Chegou à seguinte equação para descrever a

população presente em um instante t:

N(t)=N(0).ert, onde N(0) é a população presente no instante inicial t=0 e r é uma

constante que varia de acordo com a espécie de população analisada.

É evidente que o gráfico correto desta função depende dos valores de N(0) e

de r. Mas sendo uma função exponencial, a forma do gráfico será semelhante ao da

função f(x)=k.ex, onde k é um número real constante.

Este modelo supõe que o meio ambiente tenha pouca ou nenhuma influência

sobre a população. Desse modo, ele é mais um indicador do potencial de

sobrevivência e de crescimento de cada espécie de população do que um modelo que

mostre o que realmente ocorre.

Como exemplo, consideremos uma colônia de bactérias se reproduzindo de

acordo com este modelo. Se num certo instante havia 200 bactérias na colônia, e após

12 horas encontrarmos 600 bactérias. Quantas bactérias haverá na colônia após 36

horas desta última contagem?

No instante inicial havia 200 bactérias, então N(0)=200, após 12 horas havia

600 bactérias, então N(12) = 600 = 200.er.12, logo er.12 = 600/200 = 3, assim para

determinarmos o valor após 36 horas da ultima contagem, devemos descobrir qual o

valor para da função para t=48.

Portanto, N(48) = 200.e48r = 200.(e12r)4 = 200.34 = 200.81 = 16200 bactérias.

É importante observar, que não foi necessário descobrirmos o valor de r, pois

neste caso foi possível fatorar o expoente de acordo com a necessidade do problema,

mas se quiséssemos descobrir esse valor, poderíamos utilizar funções logaritmos,

assunto que vamos estudar a seguir.


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VAMOS RECORDAR?

Assim como no estudo das funções exponenciais, precisamos recordar a definição de

logaritmos e de algumas de suas propriedades para compreendermos melhor as

funções logarítmicas.

DEFINIÇÃO DE LOGARITMO

Dados a e b dois números reais tais que b>0 e b 1 e a>0. Chamamos de logaritmo de

a na base b, o número real c representado por:

E satisfaz as seguintes relações:

i.

ii.

Observe que pela nossa definição, o logaritmo nada mais é do que o expoente de uma

potência de base b que resulta no número real a, em outras palavras, estamos apenas

reescrevendo o expoente em termos da base da potência.

PROPRIEDADES

As propriedades abaixo são validas para todos os números reais de acordo com a

definição de logaritmo.

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)


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EXEMPLOS

a)

b)

c)

d)

FUNÇÃO LOGARÍTMICA

Vamos voltar ao nosso conto sobre o rei e seu súdito inventor, para

imaginarmos uma saída possível para o rei e começarmos a observar o

comportamento de uma função logarítmica.

O rei espantando com o valor do pagamento proposto pelo inventor do jogo, tratou logo

de procurar por outro súdito que fosse tão esperto quanto o primeiro. E logo encontrou um

súdito que veio com a seguinte solução: ao invés de pagar a soma das quantias de moedas em

cada casa, o rei deveria propor que o inventor recebesse pela soma do número de vezes em

que as moedas dobravam sempre em relação a primeira casa. O rei, apesar de ter ficado

deslumbrado com o jogo e prometido ao astuto inventor que realizaria o desejo que quisesse,

não queria ficar pobre, e logo ordenou que o inventor recebesse de acordo com a proposta

deste segundo súdito. O rei estava salvo!

O que aconteceu? Lembre-se que o inventor propôs que o rei colocasse uma moeda

na primeira casa e dobrasse o valor a cada casa, formando assim a seguinte sequência de

valores: 1,2,22,2

3,...,2

63. Ao somar o número de vezes que as moedas dobram, não estamos

somando a quantia de moedas em cada casa, mas sim o expoente de cada uma destas

potências de base dois, ou seja, formando a sequência: 0,1,2,3,...,63, cuja soma é igual a

2016, um valor muito menor do que a soma das moedas de cada casa.

Como podemos escrever o expoente de cada uma destas potências em termos de

logaritmos na base 2, temos que a expressão , onde n é a quantia de moedas numa

determinada casa, representa a quantidade de vezes que dobramos o valor de uma moeda.

Poderíamos escrever uma função f(x) = , onde f(x) representa esta quantia de vezes que

dobrou as moedas em relação ao número de moedas x.


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DEFINIÇÃO - FUNÇÃO LOGARÍTMICA

Dado um número real b, tal que e , chamamos de função logarítmica de

base b a função de R em R, representada por f(x) = que associa para cada

valor real de x>0 um único valor real para .

Do mesmo modo que observamos nas funções exponenciais, podemos adequar o

domínio das funções logarítmicas a um subconjunto dos números reais maiores do

que zero de acordo com as nossas necessidades. E podemos afirmar que funções do

tipo f(x)=A+B. ( ) também são funções logarítmicas, mas para explorar

melhor suas características, vamos considerar primeiro apenas funções como na

definição e outros casos serão vistos nos exemplos.

PROPRIEDADES

1- Na função logarítmica f(x) = se f(x)=0 , isto é, o par

ordenado (1,0) pertence ao gráfico da função para todo b ϵ R+-{0,1}.

2- Para analisarmos o comportamento do gráfico de uma função logarítmica,

vamos analisar alguns exemplos separados em dois casos:

I. Para valores de b > 1:

x f(x) = x f(x) =

1/8 -3 1/27 -3

1/4 -2 1/9 -2

1/2 -1 1/3 -1

1 0 1 0

2 1 3 1

4 2 9 2

8 3 27 3

O que podemos perceber? Quanto maior o valor de x, maiores são os


Se você não entendeu os resultados da tabela, utilize uma calculadora

científica para realizar os cálculos dos valores para estas funções.


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II. Para valores de 0 < b < 1:

x f(x) = x f(x) =

1/8 3 1/125 3

1/4 2 1/25 2

1/2 1 1/5 1

1 0 1 0

2 -1 5 -1

4 -2 25 -2

8 -3 125 -3

O que podemos perceber? Quanto maior o valor de x, menores são os


3- A função logarítmica f(x) = é injetora, pois admitindo que a propriedade

dois é valida para qualquer função, temos que dados dois números reais x1 e x2

tais que x1 >x2>0 temos que:

III. Se b>1 implica em f(x1) > f(x2)

IV. Se 0 < b < 1 implica em f(x1) < f(x2)

Portanto se x1 x2, temos que f(x1) f(x2), logo f(x) é injetora.

Algumas conclusões:

1- O gráfico intercepta o eixo das abcissas no ponto de coordenada (1,0).

2- Na função logarítmica, como o domínio da função são os números reais

maiores do que zero, implica que a função o gráfico da função f(x) =

estará sempre ao lado direito do eixo das ordenadas (cujos pontos

possuem sempre coordenada no x maior do que zero).

3- Pela propriedade 2 temos:

I. Se b>1, a função é crescente.

II. Se 0<b<1, a função é decrescente.


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GRÁFICOS

Neste tópico, vamos analisar o comportamento do gráfico das funções logarítmicas,

partindo das propriedades e conclusões que estudamos até agora.

Exemplo 1 - f(x) =

Primeiro montamos uma tabela de valores pra esta função e marcamos os pontos

correspondentes aos valores obtidos no gráfico:

x f(x) =

1/8 -3

1/4 -2

1/2 -1

1 0

2 1

4 2

8 3

Ligando os pontos, temos uma curva que representa o gráfico desta função. Perceba

que quanto mais pontos colocarmos no gráfico será mais fácil de perceber o

comportamento crescente do gráfico desta função. Se não ficou claro, tente você

calcular esta função para valores de x iguais a -1/32, -1/16, 16 e 32 e coloque os

pontos correspondentes (junto com os anteriores) num gráfico desenhado no seu

caderno.

x

y


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y

x

Exemplo 2 – f(x) =

Agora que já construímos o primeiro gráfico, podemos proceder da mesma maneira

com este e outros exemplos.

Observe que não marcamos o último ponto no gráfico, pois com a escala que

utilizamos não é possível representar pontos com coordenadas no eixo x maiores do

que 30.

Tanto no primeiro (função logarítmica crescente), quanto no segundo exemplo (função

logarítmica decrescente), temos que a curva se aproxima muito do eixo das ordenadas

(reta x=0) para valores de x muito próximos de 0, porém ela nunca intercepta, pois não

existe valores para x, tais que . Esta reta x=0 é chamada de assíntota da

função logarítmica, ela é determinada pelos pontos da função que se aproximam muito

desta reta, mas não a tocam, em outras palavras, ela funciona como uma divisão,

implicando que todos os pontos do gráfico da função sempre ficam do mesmo lado em

relação a esta reta.

x f(x) =

1/125 3

1/25 2

1/5 1

1 0

5 -1

25 -2

125 -3


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EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

3- Construa o gráfico da função f(x) = ( ) e compare com a função

g(x) = veja o que acontece e identifique a assíntota da função f.

4- Construa o gráfico da função f(x) = ( ) e identifique a assíntota.

EXERCÍCIOS

7) Se f(x) = (x ϵ R e x>0), calcule:

d) f(27)

e) f(√ )

f) f(1/3)

8) Se f(x) = , para que valor de x tem-se f(x) = 64?

Perceba que o gráfico f é

resultado de um deslocamento de

2 unidades para a direita em

relação ao gráfico de g.

A assíntota da função f é a reta

x=2.

Se compararmos a função f com a

função g(x) = 𝑥, temos que f é

resultado de um deslocamento na

horizontal de 3 unidades para a

esquerda.

A assíntota da função f é a reta x=-

3.


20

9) Classifique as funções logarítmicas abaixo quanto a crescentes ou

decrescentes:

e) f(x) = √

f) f(x) =

g) f(x) =

h) f(x) =

10) Construa o gráfico das funções logarítmicas abaixo e identifique a assíntota

de cada uma delas.

a) f(x) = ( )

b) f(x) = ( )

c) f(x) = ( )

11) Construa uma tabela de valores para cada função logarítmica abaixo, em

seguida faça o gráfico de cada uma delas num único plano cartesiano.

a) f(x) =

b) f(x) =

c) f(x) =

d) O que aconteceu com os gráficos dos itens b e c em relação aos do

item a?

e) o que aconteceu com a assíntota de cada uma das funções acima?

12) Construa, com o auxilio de uma tabela de valores, o gráfico das funções

f(x) = e g(x) = . Comparando os gráficos obtidos com

o da função h(x) = , podemos dizer que houve um deslocamento

vertical em relação a este último?


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APLICAÇÕES E CURIOSIDADES

JUROS COMPOSTOS

Se desejarmos obter o tempo para que uma determinada aplicação atinja certo

valor, temos que resolver uma equação exponencial, mas nem sempre é fácil

determinar o resultado necessário sem o auxilio dos logaritmos. Vamos ver num

exemplo:

A quantia de R$ 2000,00 foi investida em uma aplicação com juros de 20% ao

ano, quantos anos seriam necessários para que a aplicação triplicasse?

Dados e .

Resolução:

Sabemos que M = C.(1+ i)t, onde M = 3.2000, C = 2000 e i = 20% = 0,2.

Substituindo na equação dos juros compostos temos:

( ) ( )

( ) ( )

( )

Logo, após 6 anos o valor investido será triplicado.

EXERCÍCIO

1- João fez um investimento em uma caderneta de poupança de R$ 500,00 com

uma taxa de juros compostos de 0,5% ao mês. Dados e

a) Calcule o capital após um ano, supondo que ele não faz nenhum outro deposito

além do inicial.

b) Quanto tempo João precisa deixar o dinheiro aplicado para que o montante

atinja R$ 5000,00?

A ESCALA RICHTER5 Em 1935, para comparar os tamanhos relativos dos sismos, Charles F. Richter, sismólogo americano, formulou uma escala de magnitude baseada na amplitude dos

5 Texto retirado do trabalho “Logaritmos e Terremotos: Aplicação da escala logarítmica nos abalos

sísmicos”, Cynthia Adeline Pinheiro Henrique, UNIMESP – Centro Universitário Metropolitano de São Paulo, Novembro/2006


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registros das estações sismográficas. O princípio básico da escala é que as magnitudes sejam expressas na escala logarítmica, de maneira que cada ponto na escala corresponda a um fator de 10 vezes na amplitude das vibrações. Por isso é usado o logaritmo de base 10, onde ele classifica cada grau da escala em 1,2,3... em vez de falar 10,100,1000.... o que dificultaria mais o processo para o cálculo. No entanto o modo de classificá-lo através da escala usada é bem fácil de trabalhar, correspondendo assim a que se houver um abalo de magnitude 4,0 ele será dez vezes maior que o de magnitude 3,0, cem vezes maior que a 2,0, mil vezes maior que a 1,0. É importante relatar que cada ponto na escala de magnitude corresponde a uma diferença da ordem de 30 vezes na energia liberada. Ou seja, um abalo de magnitude 4 libera 30 vezes mais energia que o de magnitude 3. A escala Richter é uma escala logarítmica a magnitude de Richter corresponde ao logaritmo da medida da amplitude das ondas sísmicas de tipo P(pressão máxima) e S(superficial) a 100 Km do epicentro. Existem várias fórmulas diferentes para se calcular a magnitude Richter, dependendo do tipo da onda sísmica medida no sismograma. Magnitude e energia podem ser relacionadas pela fórmula descrita por Gutenberg e Richter em 1935: Log E = 11,8 + 1,5M, onde, E = energia liberada em ergs (1 erg = 10-7 J) e M = magnitude do terremoto.


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RELAÇÃO ENTRE AS FUNÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS

A função logarítmica f(x) = é a função inversa da exponencial g(x) = bx.

Lembrando que duas funções f e g são inversas, quando para todo x

pertencente ao domínio de g, temos que f(g(x))=x e o domínio de f tem que ser igual a

imagem de g. Sabendo isso vamos provar a afirmação anterior?

Sabemos que o domínio da função g é um conjunto formado pelos números

reais e que g é uma função injetora, logo como b é sempre um número real maior do

zero e diferente de 1, a imagem desta função será os números reais maiores do que

zero. Por definição, o domínio da função f é formado pelo conjunto dos números reais

positivos, que coincide com a imagem da função g. Agora basta provarmos que

f(g(x))=x: ( ( )) ( ) .

Podemos afirmar que a função g também é inversa da função f, mas vamos

deixar para que você demonstre! Como dica, basta seguir a mesma lógica que

usamos no parágrafo anterior.

Para ficar mais claro esta relação, observe os gráficos abaixo das funções f(x)

= e g(x) = 2x.

Observe que os pontos A e C são simétricos aos pontos B e D em relação a

reta y=x, ou seja as coordenadas dos pontos do gráfico da função g são inversas em

relação aos da função f.


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EXERCÍCIOS DE VESTIBULAR

Questão 1 – IME 2012

Questão 2 – FUVEST 2011

Questão 3 – UNICAMP 2011


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QUESTÃO 4 – VUNESP 2011

QUESTÃO 5 – VUNESP 2012

GABARITO

QUESTÃO 1 2 3 4 5

ALTERNATIVA A B A E B


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REFERÊNCIAS

Goular, Márcio Cintra. Matemática no Ensino médio, volume 1 – São Paulo: Scipione,

1999.

Iezzi, Gelson. Coleção Fundamentos de Matemática Elementar, volume 2 – São

Paulo: Atual, 1985.

Apostilas de matemática do curso pré-vestibular ETAPA, ano 2011.

Sites (acessados em 15/11/2011):

Função exponencial - http://pt.wikipedia.org/wiki/Função_exponencial

Aplicações de uma função exponencial -

http://www.brasilescola.com/matematica/aplicacoes-uma-funcao-exponencial.htm

Resoluções de questões de vestibulares - http://www.etapa.com.br/etaparesolve/

Softwares:

GeoGebra - http://www.geogebra.org/cms/

Winplot - http://math.exeter.edu/rparris/winplot.html

http://pt.wikipedia.org/wiki/Função_exponencial

http://www.brasilescola.com/matematica/aplicacoes-uma-funcao-exponencial.htm

http://www.etapa.com.br/etaparesolve/

http://www.geogebra.org/cms/

http://math.exeter.edu/rparris/winplot.html

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Capitulo 3 Funcoes Exponenciais e Logaritmicas