Capitulo 3. Distribuciones de Los Intervalos de Tiempo

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD

ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS TECNOLOGÍAS E INGENIERÍAS

CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 208022-TELETRAFICO

CAPITULO 3: DISTRIBUCIONES DE LOS INTERVALOS DE TIEMPO La distribución exponencial es la distribución temporal más importante de la teoría del teletráfico.

Al combinar en serie intervalos temporales distribuidos exponencialmente, se obtiene una clase de

distribuciones denominadas distribuciones de Erlang. Al combinarlos en paralelo, se obtiene una

distribución hiperexponencial. Al combinar las distribuciones exponenciales en serie y en paralelo,

posiblemente con retroalimentación, se obtienen distribuciones de tipo fase, lo que constituye una

clase muy general de distribuciones. Las distribuciones de Cox son una sub categoría importante

de las distribuciones de tipo fase. Se observa que una distribución arbitraria se puede expresar

mediante una distribución Cox, lo que puede utilizarse en modelos analíticos en forma

relativamente sencilla. Por último, también se estudian otras distribuciones temporales que se

emplean en la teoría del teletráfico. Se ofrecen algunos ejemplos de observaciones de tiempos de

vida.

Lección 11: Distribución exponencial En la teoría de teletráfico esta distribución también se denomina distribución exponencial negativa.

En principio, se puede utilizar cualquier función de distribución con valores no negativos para

modelar un tiempo de vida. Sin embargo, la distribución exponencial tiene algunas características

propias que hacen que esta distribución se califique para utilización analítica y práctica. La

distribución exponencial desempeña un papel fundamental entre todas las distribuciones de tiempo

de vida.

Esta distribución se caracteriza por un parámetro único, la intensidad o régimen λ:

La función gamma viene defina por:

Si se reemplaza t por λt y se obtiene el ν-ésimo momento, se tiene:




Figura 5.1 − En diagramas de fase todo intervalo de tiempo distribuido exponencialmente se

ilustra como una casilla con la intensidad. La casilla significa así que uncliente que llega a

la misma sufre el retardo de un intervalo de tiempo distribuido exponencialmente antes de

dejar la casilla La distribución exponencial es muy apropiada para describir intervalos de tiempo físicos (véase la

figura 6.2). La característica más importante de la distribución exponencial es su falta de memoria.

La distribución del tiempo residual de una conversación telefónica es independiente de la duración

real de la conversación, y es igual a la distribución del tiempo de vida total (3.11):

Si se quita la masa de probabilidad del intervalo (0, x) a partir de la función densidad y se

normaliza la masa residual en (x, ∞) a la unidad, la nueva función de densidad se hace congruente

con la función de densidad original. La única función de distribución continua que tiene esta

propiedad es la distribución exponencial, mientras que la distribución geométrica es la única

distribución discreta que tiene esta propiedad. En la figura 3.1 se muestra un ejemplo con la

distribución de Weibull en la que esta propiedad no es válida. Para k = 1 la distribución de Weibull

se hace idéntica a que la distribución exponencial. Por tanto, el valor medio del tiempo de vida

residual es m1,r = m y la probabilidad de observar un tiempo de vida en el intervalo (t,t + dt),

teniendo en cuenta que se produzca después de t, viene dado por:

es decir es independiente del tiempo real t.

11.1 Mínimo de k variables aleatorias distribuidas exponencialmente

Se supone que dos variables aleatorias X1 y X2 son mutuamente independientes y están

distribuidas exponencialmente con intensidades λ1 y λ2, respectivamente. Una nueva variable

aleatoria X se define como:




La función de distribución de X es:

Esta función de distribución propiamente dicha es también una distribución exponencial con

intensidad (λ1 y λ2).

Con la hipótesis que el primer evento (más pequeño) sucede en el tiempo t, la probabilidad que

la variable aleatoria X1 se realice primero viene dada por:

es decir independiente de t. (No es necesario integrar todos los valores de t.)

Esos resultados pueden ser generalizados a k variables e integrar el principio básico de la

simulación técnica denominada método de la ruleta, una metodología de simulación de Monte

Carlo.

11.1.2 Combinación de distribuciones exponenciales

Si una distribución exponencial (es decir, un parámetro) no puede describir los intervalos de

tiempo con detalle suficiente, se ha de tener que utilizar entonces una combinación de dos o más

distribuciones exponenciales. Conny Palm introdujo dos clases de distribuciones: pronunciada y

plana. Una distribución pronunciada corresponde a un conjunto de distribuciones estocásticas con

exponencial independiente dispuestos en serie (véase la figura 5.2), y una distribución plana

corresponde a distribuciones exponenciales dispuestas en paralelo (véase la figura 5.4). Esta

estructura corresponde naturalmente a la configuración de procesos de tráfico en redes de

telecomunicación y datos.

Mediante la combinación de distribuciones pronunciada y planas se obtiene una aproximación

arbitrariamente buena para cualquier función de distribución (véase la figura 5.7). Los diagramas

de las figuras 5.2 y 5.4 se denominan diagramas de fase.

Figura 5.2 - Mediante la combinación de k distribuciones exponenciales en serie se obtiene

una distribución pronunciada (ε ≤ 2). Si todas las distribuciones k son idénticas (λ1 = λ), se

obtiene entonces una distribución Erlang-k




Figura 5.3 − Distribuciones Erlang-k con valor medio igual a uno. El caso k = 1 corresponde

a una distribución exponencial (funciones de densidad)

Lección 12: Distribuciones pronunciadas

Las distribuciones pronunciadas también se denominan distribuciones hiperexponenciales o

distribuciones Erlang generalizadas con un factor de forma en el intervalo 1 < ε ≤ 2. Esta función de

distribución generalizada se obtiene convolucionando distribuciones exponenciales k (véase la

figura 5.2). Aquí sólo se considera el caso en el que todas las distribuciones exponenciales k son

idénticas. Se obtiene entonces la siguiente función de densidad que se denomina distribución

Erlang-k.




(4.10) Mediante las ecuaciones (3.31) y (3.32) se pueden obtener los momentos siguientes;

El i-ésimo momento no central es:

La función de densidad se calcula en el § 6.2.2. El tiempo de vida residual medio m1,r(x) para x ≥ 0 será menor que el valor medio:

Con esta distribución se tiene dos parámetros (λ , k) disponibles para ser estimados por

observación. El valor medio se mantiene a menudo fijo. Para estudiar la influencia del parámetro k

en la función de distribución, se normalizan todas las distribuciones Erlang-k al mismo valor medio

como la distribución Erlang-1, es decir la distribución exponencial con 1/λ medio, reemplazando t

por kt o λ por kλ:




Se observa que el factor de forma es independiente de la escala de tiempos. La función de

densidad (4.15) se ilustra en la figura 5.3 para diferentes valores de k con λ = 1. El caso k = 1

corresponde a la distribución exponencial. Cuando k → ∞ se obtiene en un intervalo de tiempo

constante (ε = 1).

Resolviendo la ecuación f' (t) se halla el valor máximo con la siguiente expresión:

Las distribuciones pronunciadas se denominan así debido a que las funciones de distribución aumenta de 0 a 1 más rápidamente que la distribución exponencial. En teoría de teletráfico se utiliza a veces el nombre distribución de Erlang para la distribución de Poisson truncada.

Lección 13: Distribuciones planas La función de distribución general es en este caso una suma ponderada de distribuciones

exponenciales (distribución compuesta) con un factor de forma ε ≥ 2:

donde la función de ponderación puede ser discreta o continua (integral de Stieltjes). Esta clase de

distribución corresponde a una combinación en paralelo de las distribuciones exponenciales

(véase la figura 5.4). La función de densidad se denomina función monótona completa debido a los

signos alternados (Palm, 1957 [84]).




Figura 5.4 − Mediante la combinación de distribuciones exponenciales k en paralelo y

seleccionando la derivación número i con la probabilidad pi, se obtendrá una distribución

hiperexponencial, que es una distribución plana (ε ≥ 2)

El tiempo de vida residual medio m1,r(x) para toda x ≥ 0 es mayor que el valor medio:

13.1 Distribución hiperexponencial

En este caso, W(λ) es un valor discreto. Supóngase que se tengan los siguientes valores dados:

λ1, λ2, ... , λk,

y que W(λ) tenga incrementos positivos:

p1, p2, ... , pk donde

Para cualquier otro valor, W(λ) es constante. En este caso (4.20) resulta:

Los valores medio y el factor de forma se pueden hallar con las ecuaciones (3.36) y (3.37) (σi =

m1,i = 1/λi):




Si n = 1 o todas las λi son iguales, se tendrá una distribución exponencial.

Esta clase de distribución se denomina distribución hiperexponencial y se puede obtener

combinando n distribuciones exponenciales en paralelo, donde la probabilidad de elegir la i-ésima

distribución viene dada por pi. La distribución se denomina plana pues su función de distribución

de 0 a 1 aumenta más lentamente que la distribución exponencial.

En la práctica, es difícil estimar más que uno o dos parámetros.

El caso más importante es para n = 2 (p1 = p, p2 = 1 – p):

Los problemas estadísticos surgen aun cuando se tratan tres parámetros. Por consiguiente, para

aplicaciones prácticas se escoge usualmente λi= 2λpi y se reduce así la cantidad de parámetros a

sólo dos:

El valor medio y el factor de forma resultan:

Para esta elección de parámetros las dos derivaciones tiene la misma contribución para el valor

medio. En la figura 5.5 se ilustra un ejemplo.

Lección 14: Distribuciones de Cox

Mediante la combinación de distribuciones planas y pronunciadas se obtiene una clase de

distribución general (distribuciones de tipo de fase) que se pueden describir con fase exponencial

tanto en serie como en paralelo (por ejemplo una matriz k × l). Para analizar un modelo con esta

clase de distribuciones, se puede aplicar la teoría de los procesos de Markov, de la que se tienen

herramientas eficaces como el método de fase. En el caso más general se puede permitir la

realimentación entre las fases.




Sólo se considerarán distribuciones de Cox como las que se muestran en la figura 5.6 (Cox, 1955

[18]). Estas distribuciones también aparecen con el nombre de distribución de Erlang con

derivaciones.

Figura 5.5 − Función de la (frecuencia de) densidad para tiempos de ocupación

observándose líneas en una central local durante las horas cargadas. (Central 0163, 27/5-6/6 1975.)




Figura 5.6 − Distribución de Cox en una distribución Erlang generaliza que tiene

distribuciones exponenciales tanto en serie como en paralelo. El diagrama de fase es equivalente a la figura 5.7

Figura 5.7 − Diagrama de fase de una distribución de Cox (véase la figura 5.6)

El valor medio y la varianza de esta distribución de Cox (véase la figura 5.7) se encuentran en las fórmulas:

donde:

El término qi(1 – ai) es la probabilidad de salir después de alcanzar la i-ésima fase. El valor medio

se puede calcular con la simple expresión siguiente:

donde m1,i = qi/λi, es el i-ésimo valor medio relacionado con la fase. La varianza es:




que se puede expresar así:

La adición de dos variables aleatorias con distribución Cox produce otra variable con distribución

Cox, es decir esta clase es cerrada de acuerdo con la operación de adición.

La función de una distribución de Cox se puede expresar como la suma de funciones

exponenciales:

donde

y

14.1 Prueba polinomial Las siguientes propiedades tienen importancia para aplicaciones posteriores. Si se considera un

punto en el tiempo escogido al azar dentro de un intervalo de tiempo con distribución de Cox, la

probabilidad que este punto esté dentro de la fase i viene dada por:

Si este experimento se repite y veces (independientemente), la probabilidad que la fase i se

observa yi veces está dada por la distribución multinomial ( = distribución polinomial):

donde




y

Estas expresiones (4.38) se denominan coeficientes multinomiales. Por la propiedad de "falta de

memoria" de las distribuciones (fases) exponenciales se tiene plena información acerca del tiempo

de vida residual, cuando se conoce el número de la fase real. 14.2 Principios de descomposición

Figura 5.8 − Una distribución exponencial con intensidad λ es equivalente a la distribución

de Cox mostrada (Teorema 4.1) Los diagramas de fase constituyen una herramienta útil para analizar las distribuciones de Cox. La

siguiente es una característica fundamental de la distribución exponencial (Iversen y Nielsen, 1985

[43]):

Teorema 4.1 Una distribución exponencial con intensidad λ se puede descomponer en una

distribución Cox de dos fases, donde la primera tiene una intensidad m > λ y la segunda una

intensidad λ (véase la figura 5.8).

El Teorema 4.1 muestra que una distribución exponencial es equivalente a una distribución de

Cox homogénea (homogénea significa que tiene iguales intensidades en todas las fases) con

intensidad m y un número infinito de fases (véase la figura 5.8). Se observa que las probabilidades

de derivaciones son constantes. La figura 5.9 corresponde a una suma ponderada de

distribuciones Erlang-k donde los factores de ponderación están geométricamente distribuidos.




Figura 5.9 − Una distribución exponencial con régimen λ se transforma por descomposición

sucesiva en una distribución compuesta de distribuciones Erlang-k homogéneas con los

parámetros μ > λ, donde los factores de ponderación siguen una distribución geométrica

(cociente p = λ/m).

Figura 5.10 − Con una distribución hiperexponencial con dos fases λ1 > λ2 puede ser

transformada a una distribución de Cox-2. Conforme al Teorema 4.1 una distribución hiperexponencial con l fases es equivalente a una

distribución de Cox con el mismo número de fases. El caso l = 2 se muestra en la figura 5.10.

Se tiene otra propiedad de las distribuciones de Cox (Iversen y Nielsen, 1985 [43]):

Teorema 4.2 En cualquier distribución de Cox se pueden ordenar las fases, tal como λi ≥ λi+1.

Mediante el empleo de los diagramas de fase es sencillo ver que cualquier intervalo de tiempo

exponencial (λ) se puede descomponer en distribuciones de tipo de fase (λi), donde λi ≥ λ.

Referente a la figura 5.11 se observa que el régimen fuera de los estados macro (rectángulo en

línea de trazos) es independiente de λ del estado micro. Cuando el número de fase k es finito y no

hay realimentación la fase final debe tener régimen λ.




Figura 5.11 − Esta distribución de tipo de fase es equivalente a un exponente único cuando

pi . λi = λ. Así λi ≥ λ como 0 < pi ≤ 1

14.3 Importancia de la distribución de Cox

Las distribuciones de Cox han atraído la atención durante los últimos años pues son de gran

importancia debido a las siguientes propiedades:

a. La distribución de Cox se puede analizar utilizando el método de fases.

b. Se puede tener una distribución arbitraria aproximadamente bien con una distribución de Cox.

Si una propiedad es válida para una distribución de Cox será también válida para cualquier

distribución de interés práctico.

Con las distribuciones de Cox se pueden obtener resultados con métodos elementales que

previamente requerían matemáticas muy avanzadas.

En la conexión con aplicaciones prácticas de la teoría, se han utilizado los métodos para estimar

los parámetros de la distribución de Cox. En general, hay 2k parámetros en un problema

estadístico sin resolver. Normalmente, se puede elegir una distribución de Cox especial (por

ejemplo, distribución Erlang-k o hiperexponencial) y aproximarse al primer momento.

Por simulación numérica en computadoras utilizando el método de la ruleta, se obtienen

automáticamente las observaciones de los intervalos de tiempo como distribución de Cox con las

mismas intensidades en todas las fases.

Lección 15: Otras distribuciones temporales En principio, cada distribución que tiene valores no negativos, se puede utilizar como distribución

temporal para describir los intervalos de tiempo. Pero en la práctica, se trabaja principalmente con

las distribuciones mencionadas anteriormente.

Se supone que el parámetro k en la distribución de Erlang-k (Ec. 4.8) toma valores reales no

negativos y obtiene la distribución gamma:




El valor medio y la varianza vienen dados por las ecuaciones (4.11) y (4.12). Otro ejemplo de una distribución también conocida en la teoría de teletráfico es la distribución de Weibull:

Con esta distribución se puede, por ejemplo, obtener la intensidad de fin de vida dependiente del tiempo (3.14):

Esta distribución tiene su origen en la teoría de la fiabilidad. Para k = 1 se tiene la distribución

exponencial.

Más adelante, se tratará un conjunto de distribuciones discretas que también describe el tiempo de

vida, tal como la distribución geométrica, distribución de Pascal, distribución binomial, distribución

de Westerberg, etc. En la práctica, los parámetros de distribuciones no son siempre constantes.

Los tiempos (de ocupación) del servicio se pueden relacionar físicamente con el estado del

sistema. En sistemas hombre-máquina el tiempo del servicio cambia en razón de la actividad

(disminuye) o inactividad (aumenta). De la misma manera, los sistemas electromecánicos

funcionan más lentamente durante periodos de carga elevada en razón que la tensión diminuye.

Para algunas distribuciones que se aplican ampliamente en la teoría de puesta en fila, se utilizan

las siguientes notaciones abreviadas:

M ~ Distribución exponencial (Markov),

Ek ~ Distribución de Erlang-k,

Hn ~ Distribución hiperexponencial de orden n, D ~ Constante (Determinística),

Cox ~ Distribución de Cox,

G ~ General = atribución arbitraria.

15.1 Observaciones de la distribución de tiempo de vida

En la figura 5.5 se muestra un ejemplo de los tiempos de ocupación observados desde una central

telefónica local. El tiempo de ocupación comprende el tiempo de señalización y, si la llamada se

responde, el tiempo de conversación. En la figura 6.2 se muestra la observación y los periodos




entre llegadas de llamadas a una central telefónica de tránsito durante una hora.

Desde sus comienzos, la teoría de teletráfico ha sido caracterizada por una fuerte interacción entre

teoría y práctica, y han habido excelentes posibilidades para efectuar mediciones.

Erlang [12] presentó en 1920 un informe sobre los resultados de una medición en las que se

registraron 2 461 tiempos de conversación en una central telefónica de Copenhague (1916). Palm

(1943 [81]) analizó el campo de mediciones de tráfico, de manera teórica y práctica, y efectuó

amplias mediciones en Suecia.

Se han llevado a cabo numerosas mediciones en sistemas de computación. Mientras que en

sistemas telefónicos rara vez se tiene un factor de forma mayor que 6, en tráfico de datos se

observan factores de forma mayores que 100. Este es el caso, por ejemplo para transmisión de

datos, donde se envían algunos caracteres o bien una gran cantidad de datos. Las mediciones

extensas más recientes han sido efectuadas y modeladas utilizando modelos de tráfico similares

(Jerkins y otros, 1999 [51]).

Documents

Capitulo 3. Distribuciones de Los Intervalos de Tiempo