61

CAPÍTULO 2SEÑALES

2.1 INTRODUCCIÓN

La importancia del estudio de las señales, se debe a que los circuitos son alimentados(estimulados) por fuentes que poseen diversas formas de onda.Estas formas de onda representan las diferentes señales que pueden imponerse a los circuitos. Estosúltimos se comportarán de manera diferente según las señales que los alimenten.

Durante el desarrollo se analizarán varios tipos de estas señales. En la primera parte se analizará elcomportamiento de los elementos básicos de los circuitos cuando son alimentados por estímulos concualquier forma de onda. En la segunda parte se analizarán los métodos de resolución de circuitosutilizando estímulos de valor constante, también llamados estímulos de corriente continua (C.C.). Estosestímulos, al facilitar el análisis de los circuitos, facilitan la comprensión de los métodos de resolución decircuitos que se verán en esta sección. Por último se realizará un estudio específico de los circuitosalimentados por estímulos sinusoidales, por la importancia y gran uso de este tipo de señal también llamadaCorriente Alterna (C.A.).

Una señal es continua si no cambia de sentido o polaridad en el periodo de tiempo analizado, aún cuandose haga cero en algún, o algunos, instantes. Caso contrario es clasificado como alterna. Debemos enfatizarque estrictamente esta clasificación es independiente de la ley de variación que tenga; en la jerga técnicasuele entenderse como continua a aquella que, además, es constante y como alterna aquella que, además,es senoidal simétrica, pero esto es un hecho particular.

Señal continua Señal alterna

La segunda clasificación es de constante o variable, siendo constante aquella que no cambia de valor nisentido en el tiempo y variable en el caso contrario. De hecho una señal constante sólo puede ser continuaaunque una continua puede ser constante o variable.

t

f(t)

0

t

f(t)

0

62

Dentro de las variables podemos clasificar a su vez en periódicas o en aleatorias. Periódica es aquella señalen la que puede reconocerse una ley de variación que se repite a intervalos iguales, matemáticamentepodemos indicar que f(t) = f(t+T) donde T es el período. Aleatoria es aquella en la que no se encuentra unperíodo de repetición. Esta clasificación es independiente del hecho de ser continua o alterna.Para dar una idea mejor del tipo de señal a la cual nos estamos refiriendo se indica el nombre que mejor seaproxima a la forma del gráfico representativo. Así es como tenemos ondas sinodales, o armónicas, ondascuadradas, diente de sierra, etc.

2.2 DEFINICIONES GENERALES.

2.2.1 SEÑAL: Magnitud física portadora de información y que varía en función del tiempo. Existen diversasclasificaciones de las señales que estimulan al sistema, entre estas podemos distinguir:

Señal De Entrada: Son señales que estimulan al sistema. Existen dos tipos:

Excitación: Es una entrada sobre la que se puede actuar, o sea que se puede fijar a voluntad. Medianteellas se intenta que el sistema actúe en una forma deseada.

Perturbación: es una entrada indeseable sobre la cual no se tiene control, pero que está presente ycondiciona la evolución del sistema, (por ejemplo las descargas atmosféricas, mal estado de las conexiones,etc.)

Señal De Salida: Señal que entrega el sistema en los terminales considerados de salida. Pueden ser:

Respuesta: Variable asociada a los atributos del sistema en los que se está interesado directamente.

Variables Internas (o salidas suprimidas): Son las que, estando condicionadas por las entradas, no son deinterés particular para el observador; relacionan la entrada con la salida.

Otra clasificación de las señales está relacionada con su comportamiento en el tiempo; de esta formaobtenemos las siguientes señales:

Periódicas: Es aquella señal que se reproduce idénticamente al cabo de un determinado período de tiempollamado ciclo o período.

Este se define como un conjunto de estados o valores por los cuales pasa una magnitud o fenómeno en unorden determinado que se repite.

t

f(t)

0

t

f(t)

0

TT

63

Donde T es el periodo en segundos.

Ciclo: La parte de la onda comprendida en el intervalo t a (t+T), se denomina ciclo de dicha onda.Frecuencia: la inversa del periodo se denomina frecuencia y se representa por f.

Se ve que la frecuencia es igual al número de ciclos de una onda que tiene lugar en la unidad de tiempo. Suunidad es el Hertz.

Ángulo de Fase: Si )( tf es una función periódica y 1t es un valor constante, )( 1ttf será también unafunción periódica, la diferencia entre los instantes en que sucede cada fase será 1t . A ese intervalo sedenomina Angulo de fase o diferencia de fase. Si 1t es positivo entonces )( 1ttf se dice que va en atraso de

)( tf en la cantidad 1t .

Aperiódicas: o también acíclicas, son señales que no se repiten en el tiempo. Se considera que superíodo es infinito.

T

Señal Periódica Señal Aperiódica

Valor Instantáneo: Valor en un instante determinado de una señal o variable que depende del tiempo.

Tf

1

64

2.2.3 MAGNITUDES ASOCIADAS A LAS SEÑALES

VALOR MEDIO: Es la media aritmética de los valores instantáneos de una señal, durante un intervalo detiempo t2 - t1. Si la señal es periódica, el intervalo no es más que el período mismo de dicha señal.En general:

Para una señal periódica

Por otra parte, si el valor medio de una función periódica es cero, la función es alterna. Es por esto que a loscircuitos cuyas corrientes son sinusoidales se les llama circuitos de corriente alterna.También se pude calcular como el área comprendida bajo la curva para un ciclo.

Las señales periódicas en las cuales el valor medio es diferente de cero se denominan señalespulsantes

Vm

VALOR EFICAZ (o valor RMS, Root Mean Square): Se define como la raíz cuadrada de la media de loscuadrados de los valores instantáneos alcanzados en un lapso t2-t1:

Este valor es de gran importancia ya que desde el punto de vista de las corrientes industriales esmuy utilizado. Se representa con la letra mayúscula del símbolo de la variable de que se trate; por ejemplo(V=220V) Eléctricamente, los valores medios y eficaces son muy utilizados. Su interpretación es lasiguiente:

Valor Medio: La carga eléctrica transportada por una corriente i(t), en el intervalo t2-t1, se iguala con la quetransportaría en el mismo lapso una corriente de valor constante IM, llamado valor medio de la corriente i(t).

Valor Eficaz: La energía que disipa una corriente i(t) en una resistencia R, durante el lapso t2-t1, se identificacon la que disiparía, en iguales condiciones, una corriente constante de valor IRMS , definido comovalor eficaz de la corriente i(t) en el lapso t2-t1

VALOR MAXIMO: Es el mayor valor positivo o negativo de la onda y se designa por la letra MayúsculaMaxMaxMax PIE ,, (Amplitud del valor máximo, o también llamado valor Pico).

VALOR PICO A PICO: Es la diferencia algebraica entre picos positivos(o Negativos).

= 12 − 1 ( )= 1 ( )

= 12 − 1 ( ( ))

65

VALOR EFICAZ DE UNA SERIE TRIGONOMETRICA: De acuerdo con la identidad de Parseval, la función:

...)32(...)32( 3213210)( wtSenbwtSenbsenwtbwtCosawtCosaCoswtaaY t

Tiene un valor eficaz de:

2 2 2 2 2 2 20 1 2 3 1 2 3

1 1      ....     ....

2 2rmsY a a a a b b b

2 2 2 2 2 2 20 1 2 3 1 2 3    ....     ....rmsY a A A A B B B

Donde nA es el valor eficaz de Cosnwtan y nB es el valor eficaz de Sennwtbn .

Ejemplo de Aplicación:

En el último estudio de calidad de la energía realizado por el estudiante Jacinto Vergaray, el equipo demedición registró los siguientes componentes armónicos de Tensión:

VoltwtsenwtSenwtSenwtSenI t )11(10)5(15)3(20)(13.311)(

¿Cuál es el valor eficaz de la onda distorsionada?

FACTOR DE FORMA: Es la relación que existe entre el valor Eficaz y el Valor medio de una onda dada, yse utiliza para realizar pruebas dieléctricas, se expresa de la siguiente manera:

Medio

eficaz

V

VFF

Para una onda en la que el valor medio sea cero, se calculara para el semiperiodo, es decir este valor mediose calcula para la onda rectificada en un periodo.

FACTOR DE CRESTA O AMPLITUD: Es la relación que existe entre el máximo valor de la onda (amplitud)y el valor Eficaz, se expresa de la siguiente manera:

Max

Eficaz

VFC

V

66

2.3 ANÁLISIS DE SEÑALES.

2.3.1 Funciones singulares: Escalón, Rampa e Impulso.

Se analizarán tres tipos de funciones básicas, representables matemáticamente en forma simple y quesirven para construir un gran número de ondas. Se denominan singulares porque no tienen derivadasfinitas de todos los órdenes. Estas señales sólo pueden concebirse en sistemas idealizados.

FUNCIÓN ESCALÓN μ (t): Se define como:

Físicamente se puede lograr un escalón unitario si se aplica un volt de tensión en una red, cuando en t=0 secierra un interruptor.

FUNCIÓN RAMPA r (t):

FUNCION IMPULSO δ(t) (DELTA DE DIRAC):

Una forma de definir el impulso es la siguiente:

0 Para t ≤0μ (t) = 1 Para t ≥ 0

? Para t = 0

Se define como:

r (t)= t μ (t) = 0 para t≤ 0t para t ≥0

1

t

t

0,1

0,0)( t

tt

1

t

)(t

67

2.3.2 Funciones Sinusoidales

La siguiente figura representa dos señales sinusoidales. En la figura se pueden reconocer sus principalescaracterísticas:

Donde se puede detallar que:

, es el ángulo de desfasaje entre los dos tipos de onda presentados., es el periodo de la onda.

y son las amplitudes (valores Máximos) de las ondas.

CLASIFICACIÓN LAS SEÑALES DE ACUERDO CON SU VARIACIÓN EN EL TIEMPO.

Denominamos señal a toda tensión, corriente y, eventualmente, potencia con la que trabajamos oanalizamos en nuestros circuitos. Conceptualmente no hay diferencia con lo que denominamos ruido, yaque la separación está sólo en el hecho de ser deseada o no.La clasificación de las señales se hace según distintos aspectos. La primera que puede indicarse es teneren cuenta si cambia o no de sentido o polaridad en el intervalo considerado, en función de ello decimos que:

Onda completa rectificada Onda semi-rectificada

2.4 FORMAS DE ONDAS

En el análisis de circuitos tratamos con corrientes y tensiones que varían con el tiempo. El símbolomatemático que expresa la relación funcional entre corriente y tiempo en un dipolo a-b es iab. Y esta relaciónentre esta función y el tiempo puede especificarse bien analíticamente por medio de expresionesmatemáticas o por medio de gráficas.

1A

Tf

2A

fT

1A 2A

68

2.4.1 PRINCIPALES FORMAS DE ONDA

Onda Rectangular, es aquella que tiene el siguiente comportamiento:

Onda Triangular, es aquella que tiene el siguiente comportamiento:

Onda diente de Sierra, es aquella que tiene el siguiente comportamiento:

2

2A

V

AV

Medio

rms

0

Medio

rms

V

AV

2

3A

V

AV

Medio

rms

2

3A

V

AV

Medio

rms

69

Onda Rectificada, es aquella que tiene el siguiente comportamiento:

Onda Completa, es aquella que tiene el siguiente comportamiento

A

V

AV

Medio

rms

2

A

V

AV

Medio

rms

22

T

70

SEÑALESPROBLEMAS RESUELTOS

PROBLEMA Nº 01

En la figura la forma de la onda de tensión de la resistencia se muestra

R =100 Ω, L= 10H

a) Hallar la forma de onda de la tensión y corriente total aplicadab) Hallar la forma de onda del Voltaje en la inductanciac) Hallar la forma de la onda de la fuente de alimentación.

Resolución:

a) Hallando el voltaje en la resistencia y la corriente

De acuerdo a la grafica el periodo de la onda es T=2s, en tal sentido la expresión analítica de la onda detensión en la resistencia será:

21;2010

10;10)( tt

ttV t

Suponiendo que el circuito se encuentra conectado a la fuente de alimentación por un tiempo muy largo,asumiremos que no hay influencia del estado transitorio, por lo tanto las respuestas producto de la señal dealimentación V serán:

21;2.01.0

10;1.0)()()()( tt

tt

R

Viii t

LRt

71

b) Hallando el voltaje en la inductancia

Sabemos que el voltaje en la inductancia está dado por la siguiente expresión:

21;1

10;1)(

t

t

dt

diLV t

L

c) La fuente de alimentación tendrá el siguiente comportamiento:

21;1910

10;110)( tt

ttVVV tRL

La forma de la onda de la tensión total será:

PROBLEMA Nº 02

En el circuito de la figura se conoce la forma de onda de la corriente por el Amperímetro A4. Determinar lalectura de los amperímetros: A1, A2, A3. (Diodos ideales).

Resolución:

72

Lectura de A1:Valor medio

I(t) = t 0 < < 22 − t 1 < < 20 2 < < 4I( )medio = 14 tdt + (2 − t)dt + 0dt

Resolviendo I( )Medio = 1El valor de A2 es el mismo por ser la misma onda pero corrida entonces, su valor medio es igual al de A1.

Lectura de A3:

I(t) = 0 0 < < 2t − 2 2 < < 34 − t 2 < < 4Resolviendo

Irms = 14 (t − 2) dt + (4 − t) dtIrms = 0.91

Esta es la forma de onda quedetecta el amperímetro A1 luego deser rectificada.

Recordar que en el primer pulso dealimentación para el intervalo de 1sa 2s, los diodos D1 y D2 conducen.

Esta es la forma de onda quedetecta el amperímetro A1 luego deser rectificada.

Recordar que en el primer pulso dealimentación para el intervalo de 2sa 4s, los diodos D3 y D4 conducen.

73

PROBLEMA Nº 03

Tenemos una función de onda triangular, como se muestra en la figura, en el cual tenemos su periodo deT = 9.73ms y su Valor pico = 9.20V

TtTAtT

A

TtTAtT

A

TttT

A

tf

4/3,44

4/34/,24

4/0,4

)(

Hallar:a) El valor valor pico (Vpp)b) Valor medio (me)c) valor eficaz (RMS)

Resolución:

Cálculo del Valor Pico a Pico:

AAAVpp 2)(

Cálculo del Valor Eficaz:

T

Mediot dttfT

f0

)( )(1

)...(442441 4/3

4/ 4/3

4/

0

)(

T

T

T

T

T

Mediot dtAtT

AdtAt

T

Adtt

T

A

Tf

82444

4/

0

24/

0

4/

0

ATI

t

T

Adtt

T

Adtt

T

AI

tTT

ATATtAt

T

AdtAt

T

AII

T

T

T

T

T

t

4/3

4/

4/3

4/

24/3

4/

22

424

0 II

4

34

16

924

2

444

22

4/34/3

2

4/3

TTA

TT

T

AtA

t

T

AdtAt

T

AIII

T

T

T

T

T

T

ATIII8

1

74

)(, enIIIyIII

088

1)(

ATAT

Tf Mediot

0)( Mediotf

Cálculo del Valor Eficaz:

T

RMS dttfT

f0

22 )(1

)...(244

2/

1)(

2/

1 4/

0

2/

4/

222/

0

22

T T

T

T

RMS dtAtT

Adtt

T

A

Tdttf

Tf

4/

0

24/

0

3

2

22

12

)(

3

)(164T TTA

It

T

Adtt

T

AI

2/

4/

22

22

22/

4/

2

)(4)(16)(16

24T

T

T

T

dtAtT

At

T

AdtAt

T

AII

2/

4/

2

2/

4/

222/

4/

3

2

2

)(42

)(16

3

)(16 T

T

T

T

T

T

tAt

T

At

T

AII

TATATA

II 222

)(2

)(3

12

)(7

)(enIIyI

3

)()(1

2

3

12

7

12

1

2/

1 222 ATA

Tf RMS

AA

ARMS 577.03

PROBLEMA Nº 04El voltaje senoidal tiene la siguiente forma: )6010002(200 tsenV está en la grafica mostrada,determine el tiempo 1t .

75

Resolución:Sabemos que: wt , donde:

= ángulo desplazado en radianesW= velocidad angularT= tiempo

Como w es constante entonces podemos afirmar que: ctet

w

Además de la expresión de onda de tensión se tiene que: 10002w ,

Reemplazando enw

T2

, se tendrá que T =0.001s

Entoncesxt3

001.02

, despejando tendremos que: sxtx41066.6

Con ello como el periodo total es T=0.001, entonces sxtTt x4

1 1033.3

PROBLEMA Nº 05

Una onda completa senoidal rectificada está cortada a 0.707 de su valor máximo como indica la figura hallarlos valores medios y eficaces de dicha función.

Resolución:Como podremos observar en la grafica, la función tiene periodo y estará definida por:

wtwtSenY

wtY

wtwtSenY

Y

m

m

m

t

4

3;)(

4

3

4;707.0

40;)(

)(

Una Vez definida la función procedemos a calcular el valor medio, de la siguiente manera:

Sabemos:

76

i

)(mst8642

10

10

T

t dtYT

Ymed0

)(

1 , con ello se tendrá:

YmwtdwtsenYmwtdYmwtdwtsenYmYmed 54.0)())(()()707.0()())((1 4

0

43

4 43

2

A su vez el valor eficaz estará dado por la siguiente expresión:

Sabemos:

T

t dtYT

Yrms0

2)(

1 , con ello se tendrá:

4

0

43

4 43

222 )())(()()707.0()())((1

wtdwtsenYmwtdYmwtdwtsenYmYrms

mYYrms2341.0 0.584rmsY Ym

PROBLEMA Nº 06Por una bobina pura de autoinducción igual a mHr3 circula una corriente cuya forma de onda esrepresentada en la figura. Dibujar la grafica de la tensión V(t) y de la potencia instantánea P(t) ¿ Cual es lapotencia media P?

Resolución:

Como el valor de L = mHr3 , la expresión analítica de la forma de onda de corriente instantánea será:

103t5+50-;10ms< t<8

10-;ms8< t<6

t10310-50;ms6< t<4

10;ms4< t<2

t1035;ms2< t<0

)(ti

Además sabemos que en una bobina la tensión está dada por la siguiente expresión:

77

dt

diLe Lt )(

Las tensiones correspondientes son:

(a) vdt

txdx

dt

diLVL 15

)105(103

33

(b) vdt

dx

dt

diLVL 0

)10(103 3

(c) vdt

txdx

dt

diLVL 30

)101050(103

33

(d) vdt

dx

dt

diLVL 0

)10(103 3

(e) vdt

txdx

dt

diLVL 15

)10550(103

33

Los valores de la potencia instantánea correspondientes son:

(a) txtxiVP ttt33

)()()( 1075)105(15

(b) 0)10(0)()()( ttt iVP

(c) txtxiVP ttt33

)()()( 103001500)101050(30

(d) 0)10(0)()()( ttt iVP

(f) txtxiVP ttt33

)()()( 1075750)10550(45

Tensión Instantánea V(t) , en la Bobina

i

864

2

15

30

10

)(mst

78

La potencia media P es nula y se puede comprobar calculando el área bajo la curva.

PROBLEMA Nº 07

Dada la señal, calcular el valor pico, valor medio, valor eficaz, el Factor de Forma (FF) y el Factor de cresta(FC).

Resolución:

Vpp = Am – (-Am) = 2.Am = 10

Cálculo del valor medio:

0

1( )

T

Sme S t dtT

T2T

5

5

0

Potencia Instantánea P(t), en la Bobinai

)(mst86

42

150

300

10

150

300

79

/ 2

0 / 2

1( ) ( )

T T

T

Sme S t dt S t dtT

0Sme

0

1( )

T

S me S t dtT

S me Am

5S me

22

0

1( )

5

1

1

T

f

S S t dtT

S Am

fc

f

PROBLEMA Nº 08

Dada la señal calcular el valor pico pico, valor medio, valor medio del modulo, valor eficaz, el Factor deForma (FF) y el Factor de Cresta (FC).

Resolución:

2.5 0 / 2( )

2.5 / 2

senwt t TS t

senwt T t T

0

) 2 5

1) ( ) 0

T

a Vpp Am u

b Sm S t dtT

/ 2

0 0

1 1) ( ) ) 2.5 0.636 2.5 1.59

/ 2

T T

c S me S t dt S me senwtdt S me xT T

22

0

1) 2.5

T

d S senwt dtT

2 . 5

2.5

0 2

80

/ 2 / 22 2 2 2

0 0

1 6.25(2.5) (1 cos 2 )

/ 2

T T

S sen wtdt S wt dtT T

/ 2

2

0

2

6.25cos(2 )

2

4.41875

TTS wt dt

T

S

max 2eficaz

valorFC

valor

1.76459ff

PROBLEMA Nº 09

En la figura mostrada, se tiene una red alimentando a un motor de inducción que se representa por uncircuito serie R-L. (R=5 , L=22.971mH).Se conoce la forma de onda de voltaje ( )V t , W = 377rad/seg. Yes posible hacer variar la magnitud de entre 0 y, / 2 de acuerdo a la potencia media que deseamossuministrar al motor, se sabe que cuando =0, la potencia media suministrada al motor es 605 Vatios, sepide hallar:

El valor máximo de V(t)Lectura del voltímetro, y el factor de aislamiento, cuando / 3

Resolución:

CIRCUITO RL

Representamos el voltaje en función del tiempo para un periodo:

2( )t s

81

0 0

( )( )

0

( ) 2

m

m

t

V sen wt tV t

t

V sen wt t

Calculamos la potencia media, para 0 , la forma de onda es totalmente sinusoidal:

( ) ( ). ( ) ...(2)donde P t v t i t Potencia instantánea

0

1( ) ...(1)

T

medP P t dtT

Hallando, en el circuito R – L serie, en el circuito inductivo la tensión adelanta a la corriente un ángulo :

m

m

2 2

2 2m

2 2m m

( ) I ( )

( ) ( ) : 0

:

( ) . ( ) . ( )

( ) ( ) .I ( )

: .I I

i

v v

v i

m

m

I t sen wt

V t V sen wt en estecaso

desfase

V t Z I t R w I t

V t V sen wt R w sen wt

donde V R w Z

El desfasaje es:

-3377 22.971.10: ( ) ( ) 70.90

3

wLdesfase arctg arctg

R

Calculando la impedancia del circuito:

2 2 2 3 2( ) (5) (377*22.971*10 ) 10Z R wL Z

Sabemos que:

2

cos( ) cos( )2 2

m m mmed

V I Z IP

( )V t

R

L

( )I t

82

210: 605 cos(70.9) 19.23

2m

med m

IDATO P w I A

Donde para W = 377rad/seg, por lo tanto:

Tenemos la función:

( ) ( )mv t V sen wt , para encontrar su valor máximo

4 1( ) cos( ) 0

2m

nv t V w wt t

, para n entero

m

4 1 4 1( ) ( ) .I 192.3

2 2m m

n nv V sen w V Z V

,

Es el valor máximo que puede tomar:

La lectura del voltímetro está dada por el valor eficaz:

2

0

23 32 2 2 2 2

03 3

2 22 2 2

4

3 3

1: ( )

10 192.3 ( ) 0 ( 192.3 ( ))

1 192.3 1 cos(2 ) 1 cos192.3 ( ) ( 110 ( ))

2

T

rms

rms

rms

De la relación V V t dtT

V dt sen wt dt dt sen wt dtT

wtV sen wt dt sen wt dt dt

T T

3

4

3 3

(2 )

2

wtdt

22

4

3 3

2

192.3 (2 ) 4 (2 )[( ) (2 ) ]

2 3 2 3 2

192.3 (2*377* ) (2*377* /3) 4 (2*377*2 ) (2*377*4 /3)[( ) (2 ) ]

2*2 3 2*377 3 2*377

110.99

rms

rms

rms

sen wt sen wtV T

T w w

sen sen sen senV

V V

Con este dato hallamos el factor de aislamiento o factor de cresta, para / 3 :

83

192.31.733

110.99p m

C Ceficaz RMS

V V VF F

V V V

PROBLEMA Nº 10.

Si el voltímetro de bobina móvil de la figura lectura 148.35 voltios; para la forma de onda que se muestra,

a) Calcular el factor de forma de la onda. (Tomar valor medio solo para medio ciclo)b) Si se cambiara el voltímetro de bobina móvil por uno de hierro móvil, ¿Cuál será su lectura?

Resolución:

a) El factor de forma esta dado por:

medio

eficazf V

VF

Hallando el valor medio para medio ciclo )0( Primero obtenemos los ángulos de corte de la onda senoidal ya que tenemos la función:

rad

xx

3

º60 180

)10778.2(377

1

31

rad

xx

 

º180 180

)10333.8(377

2

32

84

rad

xx

3

4

º240 180

)10111.11(377

3

33

rad

xx

 2

º360 180

)10666.16(377

4

34

El valor medio para medio ciclo:

AV

AwtCos

AV

wtdwtSenA

wtdwtASenV

wtdwtASenwtdwtASenV

m

m

m

m

477.02

3)(

)()(1

)()(1

3/

3/3/

0

2

1

1

De la lectura del voltímetro:

311

477.035.148

A

A

Hallando el valor eficaz:

2

3/43/

22

2

3/4

2

3/

22

0

22

)(2

)2(1)(

2

)2(1

2

)()()()(2

1

)()(1

wtdwtCos

wtdwtCosA

V

wtdwtASenwtdwtASenV

wtdwtASenT

V

rms

rms

T

rms

AV

AAV

SenSenSenSenA

V

wtdwtCoswtdwtdwtCoswtdA

V

rms

rms

rms

rms

634.0

)338(242

3

3

4

4

)3

8()4(

2

1)

3

42()

3

2()2(

2

1

34

)()2()()()2()(4

222

22

2

3/4

2

3/43/3/

22

85

329.1477.0

634.0

A

A

V

VF

medio

eficazf

b) Cuando cambiemos el voltímetro de bobina móvil por uno de hierro móvil:

voltsV

xFVV

MHIERROrms

fmMHIERROrms

 16.197.) (

.) (

PROBLEMA Nº 11

Sea la función de onda:

tf Vp Sen wt Cos wt

Cuya gráfica es:

Hallar el valor medio y eficaz de la onda.

Resolución:

Hallando el Valor Medio (Vmed):

( )

0

1 T

med tV f dtT

Como:

2w

T

1

2

w

T

86

Entonces:

2

( )

0 0

1

2

T

med t

wV f dt Vp Sen wt Cos wt dt

T

2 2 2

0 0 02 2med

Vp VpV Sen wt Cos wt d wt Sen wt d wt Cos wt d wt

2 2

0 01 1 0 0

2 2med

Vp VpV Cos wt Sen wt

0medV

Hallando el Valor Eficaz (VRMS):

2

( )

0

1 T

RMS tV f dtT

Como:

2w

T

1

2

w

T

Entonces:

2

22

( )

0 0

1

2

T

RMS t

wV f dt Vp Sen wt Cos wt dt

T

2

2 2 2

0

2 ( ) ( )2RMS

wV Vp Sen wt Cos wt Sen wt Cos wt dt

2 22 2

0 0

1 2 ( ) ( ) 1 (2 )2 2RMS

Vp VpV Sen wt Cos wt d wt Sen wt d wt

2 2 22 2

0 0 0

1 (2 ) 2 2 2 24 4RMS

Vp VpV Sen wt d wt d wt Sen wt d wt

2 2

2 2

002 (2 ) 2 0 1 1

4 4RMS

Vp VpV wt Cos wt

87

2 2

24 2RMS

Vp VpV

21

2 2RMS

VpV

PROBLEMA Nº 12

La corriente de placa de un triodo que trabaja como oscilador toma la forma general mostrada en la figura:

a) ¿Cuál es el valor de la frecuencia de oscilación ilustrada?b) ¿Cuál es el valor medio de la corriente pulsante?c) ¿Cuál es el valor eficaz de la corriente pulsante?

Resolución:

Tenemos:( ) = = 2( ) = = 4( ) = = 10 − 2( ) = = 0a) Según la figura para determinar la frecuencia diremos que f = 1/t

Siendo t = 41012 segundos

4

4

1 10833.3

12 10 12f ciclos

1 22 7

Amperios

seg410

88

b) Valor Medio

I medio:

T

dttiT 0

)(1

Según las ecuaciones del gráfico se tendrá:

2 3 5 12

m

0 2 3 5

1I 2 4 (10 2 ) 0

12edio tdt dt t dt

mI 1edio A

c) Valor Eficaz

2

0

1I

T

eficaz i dtt

2 3 5 122 2 2 2

0 2 3 5

1I (2 ) 4 (10 2 ) 0

12eficaz t dt dt t dt dt

I 1,77eficaz Amperios

PROBLEMA Nº13

Hallar el valor medio de la función representada por:

89

Resolución:

El periodo de la función para este caso es 2.0T

Luego, en la grafica se tienen tres partes, primero una curva de función exponencial, luego una funciónconstante y por ultimo otra curva exponencial.

Aproximando 010 e , se tiene:

2.0;20

;10

0;)1(20

)(

2)1.0(100

21

1100

tte

ttt

tte

tyt

t

Luego, se reemplaza 10)( ty en las ecuaciones de las funciones curvas para hallar los puntos de t enque la función es constante, entonces, para la primera curva se tiene:

100

)2ln(100

)2/1ln(

)5.0ln(100

)5.0ln()ln(

5.0

15.0

)1(2010

1

1

1

100

100

100

100

1

1

1

1

t

t

t

e

e

e

e

t

t

t

t

Luego para la segunda curva:

100

10)2ln(

1.0100

)2ln(100

)2/1ln(

100

)5.0ln(1.0

)1.0(100

)5.0ln(

)1.0(100)5.0ln(

)ln()5.0ln(

5.0

2010

2

2

2

2

2

)1.0(100

)1.0(100

)1.0(100

2

2

2

t

t

t

t

t

e

e

e

t

t

t

90

Entonces la función )(ty quedaría como sigue:

2.0100

10)2ln(;20

100

10)2ln(

100

)2ln(;10

100

)2ln(0;)1(20

)(

)1.0(100

100

te

t

te

ty

t

t

Aplicando la fórmula del valor medio:

T

med dttyT

ty0

)(1

)(

Reemplazando los valores, se tiene:

55)1010(

5

1

100

2020

2.0

1)(

100

2010

100

2020

2.0

1)(

2010)1(202.0

1)(

)1.0(10010

12

100

1

2.0)1.0(100

0

100

2.0 )1.0(100

0

100

21

2

2

1

1

2

2

1

1

tt

med

t

tt

t

tt

med

t

tt

t

t tmed

eett

etty

et

etty

dtedtdtety

Reemplazando los valores de 1t , 2t y haciendo valer la aproximación 010 e

693.5)(

5)2ln()(

5

5)2ln(

2.0

1)(

10

11

10

1

5

)2ln(

2.0

1)(

5

5.01

10

21)2ln(2

2.0

1)(

51

5

1

10

1

5

)2ln(

2.0

1)(

5)

10

)2ln(10)2ln((

5

1

100

)5.0(20

5

)2ln(

2.0

1)(

5)

10

)2ln(

10

10)2ln((

5

1

100

20

5

)2ln(

2.0

1)(

)2ln(

)100

1010)2ln((100

)1.0100

10)2ln((100

)2ln(

ty

ty

ty

ty

ty

ety

ety

eety

med

med

med

med

med

med

med

med

91

PROBLEMA Nº 14

Hallar el tiempo de desfase, con respecto al origen de las ordenadas, para que la onda representadacumpla que su valor eficaz sea la mitad de su valor máximo (valor de cresta).

Resolución:

Sabemos que:

TtT

TtTV

TtT

tV

f p

p

t

3/2;0

3/23/;

3/;3/

)(

)(

Además:

T

tRMS dtfT

V0

2)(

1

Entonces:

T

tRMS dtfT

V

2)()(

1

3/

3/2

23/2

3/

2

2

03/

)(

)(

1 T T

T

T

T

pp

RMS dtdtVdtT

tV

TV

92

3/ 3/2

3/

22

3/

)(

)(

T T

T

pRMS dtdt

T

t

T

VV

3/3/2

3

)(

3/

1

)(

3/3

2

2

TTt

TT

VV

T

pRMS

33

)3/(

)(

2TT

T

VV p

RMS

39

4

)(

3

3/

)(

2

2

T

T

VV

TT

T

VV

pRMS

pRMS

Pero tenemos la premisa que :

2p

RMS

VV

, por lo tanto:

239

4

)(

2pp

RMS

VT

T

VV

439

4

)(

222 pp

RMS

VT

T

VV

4

1

39

4

)(

1

T

T ;tenemos:

27273648 TT

3/7

37

T

T

PROBLEMA Nº15

Un voltímetro de bobina móvil tiene una lectura de 148.35 voltios, para la forma de onda que se muestras sepide: Calcular el factor de forma de la onda. Si se cambia el voltímetro por uno de hierro móvil, cuál sería su lectura.

93

Resolución:Aquí vemos que la forma de onda es una onda senoidal rectificada que sufrió un “disparo” por un dispositivoelectrónico de potencia.Recordemos entonces la señal de la red (senoidal) V (t):

f = 60 Hz. Y como f = 1/T , entonces T = 16.66 mseg.

Sin embargo para el cálculo de los valores eficaces y medios en ondas senoidales, tenemos que considerarla función del voltaje como V(wt):

f = 60 Hz. Entonces wt = 2 (periodo respecto al ángulo)

Se tiene esta analogía:(wt) (t)

2 16.66 ms. (T)

8.33 ms.

Entonces haciendo una analogía con la onda propuesta:

(wt) (t)

8.33 ms. (T)

2.77 ms.

Calculando, tenemos:

= 0.333

94

Con todo esto, tenemos la fórmula del valor medio para hallar el voltaje máximo:

T

avg wtdwtvT

V0

)()(1

0

)()()(01

wtdwtsenVwtdV pavg

)cos()/1( wtVV pavg

1148.35 ( )[cos( ) cos(0.333 )]

1148.35 ( )[cos( ) cos(0.333 )]

:

310.497

avg p

p

p

V V

V

despejamos

V V

Ahora, conociendo el voltaje máximo calculamos el valor eficaz:

T

rms wtdwtvT

V0

2 )()(1

0

2222 )()()(01

wtdwtsenVwtdV prms

)(2

)2cos(1)/( 22 wtd

wtVV prms

2

)()()2/( 22 wtsen

wtVV prms

2 2

2 2

1( / 2 )[ 0.333 (0.666 )]

2( / 2 )[2.5289]

:

196.985

rms p

rms p

rms

V V sen

V V

reemplazando

V V

Calculando el factor de forma (FF):

196.985

148.351.328

eficaz

medio

ValorFF

Valor

FF

FF