Capitolul 2 Conceptul de Sistem. Proprietati Interne Si Externe Ale Sistemelor

Conceptul de sistem. Proprietăţi interne şi externe ale sistemelor

2.1 Conceptul de sistem – definiţii, exemple

Conceptul de sistem a apărut ca noţiune într-o formă primară în filozofia antică. Afirmând că “întregul este mai mult decât suma părţilor care îl compun”, Aristotel a dat practic o primă definiţie de natură sinergetică noţiunii de sistem, noţiune care în cursul istoriei ştiinţei s-a dezvoltat şi a evoluat, ajungând la o formă generală acceptată în prezent.

În 1950 Ludwig von Berthalanffy a pus bazele teoriei sistemelor. În accepţiunea lui sistemul poate fi definit ca o reuniune de elemente în interacţiune/interdependente, care acţionează în vederea realizării unui obiectiv comun, prin utilizarea unui ansamblu de resurse materiale, energetice, financiare, informaţionale şi umane.

Conceptul de sistem se utilizează frecvent în diferite domenii ale economiei, tehnicii, în natură şi în societate. Există astfel sisteme de afaceri, informatice, biologice, educaţionale, de producţie, sociale ş.a. Ceea ce au comun aceste sisteme este numărul relativ mare de elemente care le compun, şi care interacţionează, inclusiv cu mediul din care fac parte, în vederea realizării unui anumit scop/obiectiv, care poate fi o lege a naturii, sau un obiectiv stabilit de către om.

De exemplu: pentru un sistem de afaceri scopul îl reprezintă realizarea unui profit maxim. Pentru un sistem productiv diferitele elemente care îl compun, între care există relaţii de natură tehnologică, financiară, fluxuri informaţionale, materiale şi interumane, îşi propun obţinerea unor produse şi valorificarea acestora pe piaţă, în scopul obţinerii unui profit care să permită reluarea ciclului de producţie pe o treaptă superioară.

În cazul unui sistem biologic între elementele care îl compun există interacţiuni slabe, sau puternice, îndreptate spre realizarea unui scop, anume menţinerea în viaţă a sistemului.

În cazul sistemelor economice şi tehnice, scopul apare ca fiind determinat de către om, ca factor decizional, înaintea construirii sistemului.

O definiţie riguroasă a conceptului de sistem a fost dată de Zadeh /66/, care afirma că sistemul reprezintă un set parţial interconectat de obiecte abstracte A1, A2, A3, . . .An, numite componentele sistemului. Ele pot fi orientate sau nu.

2

Analiza, diagnoza şi evaluarea sistemelor din economie

Obiectul abstract este reprezentat de setul de variabile, împreună cu relaţiile ce le caracterizează. Obiectul abstract poate fi identificat prin mulţimea relaţiilor de intrare-ieşire. Un sistem reprezintă o entitate fizică în care există o colecţie de obiecte convenabil aranjate şi cuplate funcţional, iar legăturile cu exteriorul sunt realizate prin intermediul mărimilor de tip cauză u, numite variabile de intrare, şi a celor de tip efect y, numite variabile de ieşire.

Sistemele economice sunt sisteme dinamice, adică sisteme la care variabila endogenă independentă este timpul.

Definiţia 1. Se numeşte sistem un model fizic realizabil al dependenţei y de u, dacă există o cauzalitate u → y, dar nu există o cauzalitate inversă, y → u.

Un astfel de concept se numeşte informaţional, sau concept de black – box /60/. El nu presupune cunoaşterea apriorică a modului cum depinde y de u, nici a modului cum se realizează efectiv cauzalitatea dintre y şi u. Punctul sensibil al acestui concept îl constituie cauzalitatea care poate fi probată doar pe cale experimentală.

Definiţia 2. Se numeşte sistem un model fizic realizabil al unei structuri de elemente a căror funcţionalitate poate fi caracterizată prin legi deja evidenţiate /60/.

Un astfel de concept presupune cunoaşterea completă a tuturor elementelor ce compun un sistem şi a legăturilor funcţionale între ele, adică a structurii sistemului. Deşi principial, un astfel de concept poate defini un sistem, este imposibil să se cunoască întreaga structură a sistemului pe de-o parte, din cauza complexităţii lui, iar pe de altă parte, din cauza numărului mare de legi care acţionează în sistem.

Definiţia 3. Se numeşte sistem un model fizic realizabil al dependenţei y în funcţie de u, dacă se cunoaşte parţial structura sistemului S suficient de bine pentru a demonstra cauzalitatea /60/.

Acest concept are şi avantajul unei ameliorări autoinstruibile a procesului de cunoaştere. Se presupune că se dau seturile u şi y şi este evidenţiată calitativ cauzalitatea. Este deci posibilă obţinerea modelului, adică a sistemului de structură S.

Fiecare sistem pentru a-şi atinge scopul primeşte intrări (input-uri) din mediu şi produce ieşiri (output-uri) pentru mediu, în urma unor procese ce au loc în sistem.

Observarea unui sistem, depinde de observatorul sistemului, care introduce un anumit grad de subiectivitate în descrierea acestuia. Astfel, acelaşi sistem poate fi descris în moduri diferite de observatori diferiţi. Dacă diferenţele ce pot apare în cazul descrierii sistemelor tehnice de către observatori diferiţi, dar cu aceeaşi pregătire, sunt minime, pentru sistemele economice, mai complexe, mai puternic supuse perturbaţiilor, modul de percepţie al acestora de către observatori individuali introduce un grad de incertitudine mai mare. Analistul de sistem trebuie să aleagă o anumită viziune asupra sistemului, proprie sistemului lui de valori şi să exploreze implicaţiile viziunii sale asupra sistemului, ca obiect al analizei. Această percepţie, proprie analistului, se cuantifică prin conceptul „w” şi este exprimată

Conceptul de sistem. Prorietăţi interne şi externe ale sistemelor

prin definiţia de bază / rădăcină a sistemului, care reprezintă esenţa sistemului /22,69/.

Definiţia de bază / rădăcină a sistemului reprezintă mai mult decât o simplă reformulare a obiectivelor sistemului, deoarece ea înglobează şi punctul de vedere al analistului care face descrierea sistemului, existând astfel posibilitatea ca pentru un sistem dat să avem mai multe astfel de definiţii.

De exemplu, în cazul unei firme un contabil va evidenţia elementele financiare, inginerul - elementele de producţie, tehnologul - elementele tehnologice, informaticianul - informaţiile şi fluxul acestora. Analistul de sistem va avea în vedere consultarea tuturor acestor opinii şi evidenţierea a ceea ce este relevant pentru sistem, din punctul de vedere al intrărilor şi ieşirilor, a proceselor de transformare şi a obiectivelor globale urmărite.

Un sistem, în sens formal, poate fi reprezentat printr-un oct-uplu de entităţi:

S = (T, U, Ω, X, Y, Γ, ϕ, η) unde:

T – mulţimea de valori ale variabilei de timp t; U - mulţimea de valori ale variabilelor de intrare u; Ω - clasa de funcţii ce descriu evoluţiile admisibile ale variabilelor de

intrare; ω - evoluţia variabilelor de intrare admise, ω∈Ω. Astfel se definesc:

ω = u(t) / t∈T Ω = ω : T→ u.

Funcţiile ω sunt exterioare sistemului, structura acestuia neputând să le influenţeze.

X - mulţimea de valori pe care le pot lua variabilele de stare ale sistemului; Y - mulţimea valorilor pe care le pot lua variabilele de ieşire y ale

sistemului, aceste valori fiind determinate de variabilele de intrare şi de structura sistemului;

Γ - clasa de funcţii care descriu evoluţiile admisibile ale variabilei de ieşire y; γ - evoluţia admisibilă a variabilelor de ieşire, γ∈Γ:

γ = y(t)/ t∈T, y∈Y Γ = [γ : T→ y] ϕ - funcţia de tranziţie care defineşte lanţul de modificări ale stării iniţiale a sistemului ϕ : T∗T∗X∗Ω→X

η - funcţia de ieşire, care defineşte evoluţia variabilei de ieşire, ca rezultat al modificării stării sistemului: y(t ) = η( t, x(t)) η : T∗X→Y, unde cu „∗” am notat produsul cartezian a două mulţimi.


Factorizarea tranziţiei cauzale ”intrare-ieşire” prin intermediul noţiunii de stare este redată sugestiv de diagrama din figura 2.1.

ϕ - defineşte efectul interior la un moment t ≥ t0 ca rezultat al stării anterioare desfăşurate în intervalul (t0, t) sub acţiunea unei cauze ω.

η - defineşte transformarea instantanee din interior spre exterior. Relaţia y(t) = η(t, x(t)) arată că este suficient să cunoaştem perechea

iniţială pentru a cunoaşte efectul ulterior în prezenţa oricărei cauze. De exemplu, pentru un sistem bancar avem următoarea interpretare a oct-

uplului : U - mulţimea valorilor de intrare poate fi reprezentată de mulţimea

clienţilor (persoane fizice şi juridice), felul cererii (depunere, retragere), valoarea depusă sau retrasă;

Ω - este reprezentată de suma de bani maximă ce poate fi retrasă sau depusă într-o zi, sau de rata dobânzii;

Y - variabilele de ieşire, sunt reprezentate de debitele şi creditele evidenţiate în sistemul bancar şi grupate pe clienţi, tip de tranzacţii, rapoarte de sinteză pentru factorii de decizie;

Γ - clasa admisibilă a evoluţiei variabilelor de ieşire, este reprezentată de legislaţia bancară referitoare la creditele acordate sau normele stabilite pentru alte tipuri de tranzacţii;

X - vectorul de stare poate fi reprezentat de masa monetară existentă în bănci la diferite momente de timp, fluctuaţiile cursului valutar zilnic, numărul de tranzacţii zilnice încheiate avantajos etc.

Variabilele de comandă sunt determinate de factorii decizionali ai băncii privind acordarea unor priorităţi, în funcţie de tipul tranzacţiei, fidelitatea clientului, scopul tranzacţiei.

Un alt exemplu: pentru subsistemul de programare şi ordonanţare a producţiei dintr-o unitate productivă, vom avea următoarea semnificaţie a acestor entităţi:

U - este reprezentată de lista produselor ce urmează a fi prelucrate şi de caracteristicile acestora (sortiment, dimensiune, timpi de prelucrare, transport date de livrare) etc.;

ωu(t)

x(t

φ(t, t0, x0, ω)

γ y(t)

η(t, x(t))

Fig. 2.1 Diagrama tranziţiei cauzale intrare-ieşire


Ω - poate fi reprezentată de tehnologia de fabricaţie a acestor produse, legile după care pot varia timpii de transport a acestor produse, legea de distribuţie a duratelor operaţiilor etc.;

X - vectorul de stare este reprezentat de indicele de realizare a normelor de producţie în diferite momente de timp, volumul producţiei neterminate, fazele de realizare a produsului în diferite perioada de timp;

Y - variabilele de ieşire sunt reprezentate de numărul de produse realizate şi succesiunea lor, datele de livrare, volumul rebuturilor, beneficiul obţinut etc;

Γ - este reprezentată de numărul de rebuturi admisibile, capacitatea de utilizare a maşinilor în funcţie de volumul producţiei contractate, modul cum beneficiul depinde de volumul producţie şi cheltuielile de resurse.

Variabilele perturbatoare sunt date de volumul timpului de muncă neutilizat, indicele de respectare a normelor tehnologice, intervalul de timp în care a existat ruptură de stoc etc.

Noţiunea de sistem are un caracter relativ, în sensul că orice sistem poate fi descompus într-un număr de subsisteme şi de asemenea, poate fi privit ca un subsistem în cadrul altuia, de ordin superior. Astfel, de exemplu, dacă ne referim la o întreprindere, secţiile reprezintă subsisteme, iar atelierele sunt subsisteme în cadrul secţiilor. La rândul său întreprinderea reprezintă un subsistem în raport cu macrosistemul economiei naţionale.

În acest context descompunerea sistemului în subsisteme şi legăturile între acestea trebuie privite atât din punct de vedere al factorului timp, cât şi al factorului spaţiu, ceea ce implică o structurare pe nivele ierarhice şi pe secvenţe temporale.

Această structurare pe nivele ierarhice permite punerea în evidenţă a funcţionării fiecărui subsistem în parte, a intercorelării lui cu celelalte subsisteme şi, deci, a posibilităţii luării unor măsuri de ordin organizatoric şi decizional, care să conducă la funcţionarea mai bună a întregului. Dacă privim această structurare din punct de vedere al factorului spaţiu, vom distinge o ierarhizare pe diferite nivele a subsistemelor, iar dacă privim din punct de vedere al factorului timp, atunci constatăm că aceste sisteme sunt de tip discret (analog sistemelor cu eşantionare din tehnică), în sensul că atât transmiterea semnalelor de comandă la nivelele inferioare, cât şi recepţionarea efectelor lor, la nivelele superioare, se face la anumite intervale de timp. Sunt studiate relaţiile (legăturile, conexiunile) dintre subsisteme în raport cu resursele existente şi obiectivele acestora şi apoi recompuse şi integrate într-un sistem global, a cărui proiectare sau reproiectare, în scopul obţinerii unei eficienţe sporite, constituie obiectivul şi totodată finalitatea analizei de sistem.


2.2 Elemente ale sistemului, relaţii şi obiective

Conceptul de sistem este fundamentat pe trei idei esenţiale: • evidenţierea unei mulţimi de elemente aflate în relaţii reciproce,

inclusiv în relaţii cu mediul, relaţiile respective fiind materializate în tranzacţii, schimburi informaţionale, fluxuri decizionale ş.a., care oferă sistemului o anumită autonomie;

• orice sistem trebuie privit ca fiind alcătuit dintr-o mulţime de subsisteme aflate în interacţiune, fapt ce asigură coerenţa sistemului;

• elementele componente ale unui sistem / subsistem sunt supuse unor modificări mai mult sau mai puţin relevante în timp, dinamica sistemului vizând atingerea unui anumit scop.

Putem spune că un sistem este descris prin elementele, relaţiile şi obiectivele sale privite în perspectivă dinamică şi în interacţiune cu mediul din care face parte.

Elementele sistemului Elementele componente ale sistemului sunt obiecte abstracte, sau

evenimente, adesea putând fi ele însele sisteme, în accepţiunea dată de Churchman acestui concept. Potrivit acestei accepţiuni, un sistem poate fi conceput ca un subsistem în cadrul altui sistem, care îl înglobează (acesta fiind mai complex) sau se poate descompune într-un număr de subsisteme. Se pune astfel problema găsirii unor elemente primare, simple, despre care putem afirma că nu mai conţin alte subsisteme sau, în celălalt sens al abordării, existenţa unui suprasistem care să le includă pe cele existente, iar el să nu mai fie inclus într-un alt sistem de ordin superior. Evident că răspunsul la cele două întrebări este negativ, şi că numai în mod abstract, imaginativ, din necesităţi teoretice de cercetare, vom considera existenţa acestor două cazuri - limită de sistem.

În acest context, descompunerea unui sistem în subsisteme se face până la un nivel de la care mai departe acest lucru nu mai este posibil, sau faptul în sine nu mai este relevant şi nici util scopului analizei. Elementele la care ne oprim sunt cunoscute în T.G.S. (Teoria Generală a Sistemelor) sub denumirea de black boxes (cutii negre).

Descompunerea sistemelor se face, de obicei având în vedere două criterii şi anume:

• criteriul ce vizează scopurile analizei (goal analysis); • criterii ce au în vedere comportamentul sistemului (behavior analysis). Exemplu: pentru un sistem productiv, ilustrat în figura 2.2, se evidenţiază

subsistemul de aprovizionare, subsistemul de marketing, subsistemul de desfacere, subsistemul de cercetare - dezvoltare, subsistemul financiar- contabil, de personal, subsistemul de revizii - reparaţii, subsistemul de producţie şi subsistemul de conducere şi organizare. Acesta din urmă reprezintă subsistemul cel mai important, având rolul de coordonator al întregului sistem. Dacă, mai departe, descompunem


aceste subsisteme, de exemplu cel de producţie, vom avea secţii, ateliere, posturi de lucru.

Pentru un sistem bancar se pun în evidenţă subsistemele de trezorerie, de plăţi curente, de credite, de clienţi, de operaţiuni externe (comerciale, necomerciale), de contabilitate, de corespondenţi bancari, de organizare resurse, juridic, economic, administrativ, secretariat şi protocol, de control.

De subliniat că mulţimea de elemente neconectate între ele nu va reprezenta nimic în contextul unui proces de analiză a sistemelor. Este necesară deci şi evidenţierea structurii conexiunilor dintre aceste elemente.

Relaţii între elementele sistemului Relaţiile între elementele sistemului influenţează elementele sistemului,

limitând comportamentul acestuia. Elementele unui sistem sunt conectate în timp şi în spaţiu, prin intermediul unor fluxuri informaţional-decizionale şi a unor fluxuri de resurse materiale, umane, energetice, tehnologice etc. într-o varietate de moduri, realizând aşa-numitele relaţii de tip conexiuni, care pot fi de natură fizică, logică, temporală, cauzală, interne şi externe.

Observarea acestor conexiuni este în mod evident supusă principiului incertitudinii şi depinde de nivelul şi tipul de specializare ale observatorului. Altfel, un economist va evidenţia conexiunile financiar-contabile, relaţiile de vânzare, un inginer relaţiile tehnologice, un informatician fluxul de informaţii; analistul de sistem ce are o policalificare asumată, va trebui să pună în evidenţă aspectele relevante ale tuturor acestor tipuri de conexiuni, din punctul de vedere al obiectivelor urmărite.

Conexiunile între diferitele subsisteme ale unui sistem permit să se evidenţieze:

- modul de interconectare al acestor subsisteme (liniar, ierarhic); - intervalul în care se execută schimbul de informaţii; - modul de coordonare şi subordonare a subsistemelor; - tipul de legături şi gradul de flexibilitate.

Subsistem forţă de muncă

Subsistem revizii- reparaţii

Subsistem aprovizionare

Subsistem cercetare-dezvoltare

Subsistem desfacere

Nivel tactico-strategic

Nivel operativ

Subsistem marketing

Subsistemul programării

operative a producţiei - ordonanţare-

Subsistem urmărire

INTRĂRI

Fig. 2.2 Interconexiunile dintre subsistemele unei unităţi productive


Avem, astfel, legături discrete sau continue, legături logice sau fizice, legături cu suport tranzacţional etc.

Este important a sublinia că în sistemele economice aceste legături sunt de tip discret, asemenea sistemelor cu eşantionare din tehnică. Perioada de eşantionare (adică intervalul când se culeg şi se transmit informaţiile), în sistemele economice este de obicei mai mare decât în cele tehnice, dar depinde de tipul sistemului. Este necesar ca ea să fie bine aleasă, deoarece, altfel, se pot pierde informaţii importante privind funcţionarea sistemului analizat.

În cazul unui sistem bancar modul de interconectare al compartimentelor este specificat de legislaţia în vigoare, inclusiv de regulamentele interioare cum ar fi: legea de constituire a societăţilor comerciale, regimul decontărilor valutare interne sau externe.

Trebuie subliniată necesitatea observării acestor conexiuni în timp, deoarece datorită caracterului dinamic al evoluţiei sistemului şi al mediului, ele se pot schimba.

Mulţimea conexiunilor de intrare constituie în general suportul unor restricţii care determină varietatea ieşirilor sistemului. Restricţiile îndeplinesc adesea o funcţie similară cu aceea a obiectivelor, din punctul de vedere al evaluării. Când se face distincţie între obiective şi restricţii se are în vedere că restricţiile au un caracter mai stabil decât obiectivele. Ele au rolul de a îngusta domeniul alternativelor realizabile (ieşirilor) din sistem.

Conexiunile dintre sisteme influenţează structura acestuia. Trebuie remarcat faptul că performanţa sistemului, privită ca nivel posibil al realizării obiectivelor, este influenţată de ansamblul conexiunilor dintre elementele sale componente.

Efectul total al interacţiunilor şi interdependenţelor din cadrul unui sistem este neaditiv în raport cu efectele locale ale elementelor componente.

Funcţionarea de ansamblu a sistemului, pe baza conexiunilor sale, asigură conform principiului sinergiei, un efect global mai mare decât cel obţinut prin simpla însumare a efectelor specifice subsistemelor componente. De aici apare necesitatea investigării conexiunilor interne şi externe ale sistemului în vederea realizării unui proiect performant.

Conexiunile sistemului cu mediul sunt relevate de mulţimea elementelor care alcătuiesc vectorul de intrare (input-uri) şi vectorul de ieşire (output-uri). Complexitatea conexiunilor la nivel de sisteme este dată de complexitatea rezultatului compunerii conexiunilor interne, existente între elementele sistemului şi între subsistemele acestuia, cu conexiunile externe, existente între subsisteme şi mediu, respectiv între sistem şi mediul acestuia. Obiectivele sistemului

Scopul oricărui sistem este realizat prin intermediul îndeplinirii obiectivelor sale. Obiectivele ideale sunt cele mai uşor de identificat în analiza şi diagnoza sistemelor. În general în sistemele economice complexe obiectivele nu


sunt clare. În analizarea obiectivelor trebuie luate în considerare şi alternativele sau consecinţe nedorite care rezultă din acestea. De obicei, în sistemele economice nu se urmăreşte un singur obiectiv, ci o multitudine de obiective.

Apar, astfel, mai multe probleme legate de aceste obiective şi anume: - structurarea lor pe nivele ierarhice; - agregarea sau descompunerea acestora; - modul prin care se ajunge la realizarea lor; - stabilirea factorilor perturbatori ce pot influenţa obiectivele; - ordonarea obiectivelor pe baza unor criterii; - stabilirea măsurilor de performanţă ce evaluează aceste obiective; - evaluarea consecinţelor obiectivelor şi reformularea acestora dacă este

cazul. În cazul sistemelor economice complexe, alcătuite dintr-o mulţime de

subsisteme, este necesară o organizare într-o structură ierarhică a obiectivelor, ţinând seama de priorităţi, de structura internă a sistemului şi de impactul cu mediul. În stabilirea obiectivelor subsistemului este necesar de a se stabili atât obiectivele interne sistemului, cât şi cele externe. Factorii decizionali sunt influenţaţi de factorii omologi de la sistemele conexe cu care conlucrează şi care pot duce la schimbarea obiectivelor.

Obiectivele pot fi schimbate şi ca urmare a evaluării consecinţelor. Obiectivele de nivel înalt, cum sunt cele de stabilire a politicilor, sunt adesea formulate de factorii decizionali în mod vag pentru a satisface cât mai multe grupuri de interese. Analiştii de sistem, prin decizii de grup, trebuie să selecteze aceste obiective. Obiectivele de pe nivelele inferioare trebuie să le satisfacă pe cele de pe nivelele superioare, în sensul înlăturării unor contradicţii majore între ele.

Agregarea şi descompunerea obiectivelor sunt probleme legate pe de o parte, de necesitatea stabilirii obiectivelor relevante, esenţiale pentru întreg sistemul, de necesitatea de a stabili un indice de performanţă complex, o valoare sau o funcţie de utilitate, iar pe de altă parte, de necesitatea realizării practice a lor, ceea ce nu poate fi îndeplinit cu succes decât dacă se determină subobiectivele problemei.

Pentru agregarea obiectivelor este necesară stabilirea unei ordonări a acestora. Aceasta poate fi obţinută prin fixarea unei ordonări iniţiale, luând în considerare experienţa factorilor decizionali de pe diferite nivele ierarhice. Sensul agregării este dat de parcurgerea ierarhiei acestora de la nivelele inferioare către cele superioare prin executarea succesivă a unor schimbări, fără a afecta obiectivul global al sistemului. La agregarea obiectivelor se are în vedere că ele pot fi transformate în restricţii cu excepţia celui de pe cel mai înalt nivel.

Adeseori este mai convenabil să se renunţe la agregare, prezentându-i factorului decizional lista obiectivelor şi a consecinţelor, astfel ca acesta, pe baza experienţei şi a intuiţiei să realizeze alegerea dorită.

Obiectivele, care sunt atinse prin alte obiective, pot fi eliminate, dacă se folosesc reguli de dominanţă. Descompunerea obiectivelor ţine seama şi de


structura sistemelor, de modul lor de conectare, precum şi de mijloacele specifice utilizate pentru atingerea lor.

Realizarea obiectivelor implică specificarea modului de abordare şi rezolvare a problemelor formulate, adică specificarea modelelor, algoritmilor, procedurilor de calcul necesare a fi utilizate, pentru a ajuta factorii decizionali în alegerea alternativelor. Este greu să se obţină optimul pentru toate obiectivele, dar se poate obţine o soluţie satisfăcătoare.

Evidenţierea factorilor perturbatori ce pot influenţa atingerea obiectivelor, reprezintă o etapă importantă şi necesară în analiza şi diagnoza sistemelor (ADS). Există factori perturbatori ce pot proveni din mediul intern sau extern al sistemului.

De exemplu, lipsa unor aprovizionări conform graficului stabilit în sistemul de stocuri, poate conduce la întârzieri în livrare, cu costuri de penalizare mari. Este deci necesară o dimensionare corectă a nivelului stocului şi a perioadelor de reînnoire a acestuia.

Pentru ordonarea obiectivelor este necesară găsirea unei scale comune, ceea ce este dificil de realizat. Metodele care apelează la funcţiile multiobiectiv şi teoria utilităţii sunt elemente care pot fi folosite în acest scop.

În evaluarea măsurilor de performanţă a obiectivelor se ţine seama de specificul sistemului analizat, pentru a determina pragul de eroare admis şi cel mai adecvat mod de cuantificare ce trebuie folosit.

În cazul observării şi alegerii obiectivelor, principiul incertitudinii îşi face simţită prezenţa, pregătirea şi subiectivitatea factorului uman jucând un rol important şi în acest caz.

De exemplu: Dacă managerul unei firme productive doreşte să-şi mărească vânzările de produse cu 15%, el trebuie să cunoască efectele acestei decizii pe piaţă şi în interiorul sistemului său. Acest obiectiv major se descompune într-o serie de subobiective ce trebuie analizate atât din punct de vedere al impactului cu mediul (piaţa) cât şi al efectelor implicate în diferitele compartimente (aprovizionare, marketing, personal, tehnologic etc.) ce concură la realizarea produsului.

Sesizarea consecinţelor negative provenite din aplicarea acestor obiective, cum ar fi imposibilitatea vinderii întregii producţii estimate sau scăderea fondurilor atrase de pe piaţă, pot conduce la reformularea obiectivelor; de exemplu, volumul să fie crescut doar cu 10 % şi rata dobânzii să fie crescută cu un nivel mai mic.

Analog într-o bancă, o decizie privind ridicarea ratei dobânzii trebuie privită atât din punct de vedere al efectelor pe termen lung şi scurt pentru bancă, cât şi pentru piaţa unde aceasta îşi desfăşoară activitatea.

2.3 Proprietăţi externe ale sistemelor utilizate în analiză şi diagnoză

Identificarea tipului de sistem sau subsistem ce caracterizează o unitate economică, precum şi a proprietăţilor acestora, reprezintă o etapă importantă în analiza şi diagnoza sistemelor, întrucât ele joaca un rol important în faza de


proiectare a blocului de comandă şi control. Blocul de comandă include modelul şi algoritmul ce vor asigura conducerea eficientă a sistemului respectiv, iar alegerea acestuia depinde de tipul de sistem analizat, de proprietăţile lui. Blocul de control trebuie să sesizeze abaterile de la obiectivele propuse şi să determine mărimile de corecţii necesare, astfel ca sistemul să realizeze performanţele propuse cu abateri minime. Din aceste considerente cunoaşterea proprietăţilor sistemelor joacă un rol important în analiza şi diagnoza sistemelor. Proprietăţile sistemelor pot fi clasificate în proprietăţi externe şi interne.

Aceste proprietăţi sunt generate de relaţia sistemului cu mediul. Ele au în vedere netrivialitatea intrărilor (orice sistem are cel puţin o intrare) şi a ieşirilor (orice sistem are cel puţin o ieşire) precum şi proprietatea de concatenare a intrărilor şi ieşirilor.

2.3.1 Dinamicitatea

Dinamicitatea este proprietatea generală a sistemelor care surprinde transformările ce au loc în timp în interiorul sistemului, între acesta şi mediul său, punând în evidenţă ca parametru de bază variabila timp. Un sistem dinamic cu structura liniară poate fi descris prin ecuaţiile de intrare – stare - ieşire de forma:

x& (t) = A • x(t) + B • u(t) y (t) = C • x(t) + D • u(t)

unde: A - operatorul blocului efector; B - operatorul blocului de intrare-stare; C - operatorul blocului de stare-ieşire; D - operatorul blocului de intrare-ieşire.

După modul cum este măsurata variabila timp, avem sisteme discrete, la care cunoaşterea stării sistemului se face la anumite intervale de timp şi sisteme continue în care starea sistemului este cunoscută în orice moment. Sistemele economice sunt sisteme discrete deoarece starea acestora se testează la anumite intervale de timp (de exemplu pentru un sistem productiv starea tehnică a utilajelor, starea stocurilor etc.), şi aceste sisteme sunt sisteme dinamice fapt evidenţiat de evoluţia în timp a structurii şi a comportamentului acestora.

De această proprietate trebuie să se ţină seama la alegerea modelului şi a algoritmului care vor fi utilizate în blocul de comandă/conducere a sistemului respectiv.

2.3.2 Caracterul parţial deschis sau închis al sistemelor

Această caracteristică permite sistemului să se poată organiza printr-un

schimb de resurse de natură informaţională, materială, energetică cu mediul şi să-şi sporească ordinea interioară, ceea ce conduce la scăderea entropiei. Sistemele


complexe au capacitatea de a achiziţiona entropie negativă din mediu, ceea ce conduce la încetinirea procesului de dezorganizare a acestora.

Shannon a definit entropia ca măsură a nedeterminării, sau ca măsură a informaţiei, dată de relaţia:

k

n

kkn ppAH log)(

1∑

=

−=

unde: nAAA ,..., 21 reprezintă un câmp finit de evenimente;

nppp ,...,, 21 reprezintă probabilităţile de realizare a acestor evenimente. Dacă suntem într-un moment anterior desfăşurării experimentului entropia

măsoară nedeterminarea pe care o avem, iar dacă suntem într-un moment posterior, entropia măsoară cantitatea de informaţie pe care o obţinem.

Dacă ne referim la un sistem compus din mai multe subsisteme avem relaţia:

S = S1 U S2 U....U Sn

şi atunci putem preciza că entropia întregului sistem este egală cu suma entropiilor subsistemelor componente.

H(S) = H(S1) + H(S2) + ... + H(Sn)

∑=

=n

iiSHSH

1

)()(

Dacă toate componentele au entropia scăzută, atunci întregul sistem va

avea o entropie scăzută. Prin definiţie, starea entropică este proprietatea generală a sistemelor cibernetice de a conţine în interiorul lor perturbaţii care se opun finalizării scopului.

Proprietăţile entropiei

1. H(p1,p2,...,pn) ≥ 0, adică entropia este întotdeauna o mărime nenegativă.

Demonstraţie: Semnul minus din faţa sumei din formula lui Shannon compensează faptul

că valorile log pk , pentru 1 ≤ k ≤ n sunt negative, ca urmare a faptului că probabilităţile pk sunt numere cuprinse între 0 şi 1. Orice măsură trebuie să aibă proprietatea de a fi nenegativă şi entropia, ca măsură a nedeterminării, prezentă în orice sistem, se bucură de această proprietate.

Această proprietate semnifică prezenţa în orice sistem a unui anumit grad de dezorganizare, provenit din existenţa obiectivă a unei probabilităţi de întrerupere a unui proces sau de abatere a lui faţă de desfăşurarea normală.


De exemplu, dacă la un post de lucru exista o probabilitate ca operaţia să fie executată cu eroare de 0,05%, atunci entropia, la acest loc de muncă, va fi calculată astfel:

H = - 0,95•log(0,95) - (1- 0,95)•log(1- 0,95) = 0,196 unde: pn = 0,95 - reprezintă probabilitatea ca operaţia să se execute fără eroare.

Se observă că H(p1,p2,...,pn) = 0 dacă pi = 1 şi pk = 0, k ≠ i. Practic această relaţie nu se aplică la sistemele cibernetico-economice

decât în mod teoretic, deoarece există întotdeauna o probabilitate de eroare datorită existenţei perturbaţiilor.

2. H(p1,p2,...,pn) ≤ )1,1,.....1(nnn

H : altfel spus, entropia este maximă

când probabilităţile de realizare a evenimentelor sunt egale.

Demonstraţie:

Folosim inegalitatea lui Jensen unde: n

ppx kkk1, * ==

( ) ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛≤ ∑∑

==

n

1kk

*kk

n

1k

*k xpfxfp ,

unde:

x1,x2,...,xn sunt valori arbitrare ale argumentului funcţie convexe y = f(x) pe intervalul [a,b];

p1*,p2*,...,pn* sunt numere nenegative a căror sumă este egală cu 1.

Fie f(x) = - x logx

1,1log1log11111

=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−≤− ∑∑∑∑

====k

n

kk

n

kk

n

kkk

n

kpp

np

npp

n

rezultă:

n1

•H ( p1,p2,….,pn ) ≤ n1

log n1

= log n

Dar H(n1

,...,n1

) = nn

n

k

1log11

∑=

− = - nn

log n1

= log n

de unde rezultă inegalitatea dată.


Interpretare: în sistemele cibernetico-economice, când riscul privind posibilitatea de întrerupere a unui proces, este maxim (de exemplu sisteme tehnologice înlănţuite) aceasta implică, în cazul avariei, degradarea întregului sistem.

3. Hn+1(p1,p2,...,pn, 0) = Hn(p1,p2,...,pn), cu alte cuvinte, entropia unui câmp de probabilitate nu se schimbă dacă se adaugă un eveniment cu o probabilitate nulă.

Demonstraţie:

11

1

1

== ∑∑=

+

=

n

kk

n

kk pp .

Deoarece pn+1•log (pn+1) = 0, din formula entropiei rezultă:

H(p1,p2,...,pn, 0) = H(p1,p2,...,pn, pn+1) =

( )nk

n

kknnk

n

kkk

n

kk pppHpppppppp ,...,,loglogloglog 21

1

111

1

1

1

1

=−=−−=− ∑∑∑+

=++

+

=

+

=

Interpretare: dacă avem un anumit câmp de probabilitate cu n evenimente elementare, nedeterminarea acestui câmp nu se modifică dacă adăugăm un al n+1-lea eveniment cu probabilitatea egală cu 0.

Această proprietate este importantă în cibernetica economică şi se aplică la reuniunea sistemelor discrete sau la combinarea sistemelor tehnologice înlănţuite cu procese discrete de aşteptare.

Exemplu: Să considerăm o linie în flux (S1), cu operatorii (Q11,…,Q1n), asociată cu un depozit de semifabricate (S2), care precede linia, cu operatorii (Q21,…,Q2n). Dacă probabilităţile de avarie a liniei sunt: (p11, p12,…, p1n), ip1 ≥ 0,

ni ,1)( =∀ cu propietatea 11

1 =∑=

n

iip , iar probabilităţile de avarie a depozitului

sunt: (p21,…,p2n) cu ip2 = 0, ni ,1)( =∀ (adică depozitul nu întrerupe fabricaţia),

atunci sistemul de producţie este privit ca o reuniune de sisteme U2

1=

=i

iSS , iar

entropia sistemului este în acest caz H(S) = H(S1) deoarece entropia depozitului este nulă, H(S2) = 0.


Entropia de legătură Fie An şi Bm două câmpuri de evenimente:

An = Ak , kp ≥ 0, 11

=∑=

n

kkp ;

Bm = Bl , 0≥lkq , 11

=∑=

n

klkq , m,l 1=

unde, lkq reprezintă probabilitatea de realizare a unui eveniment Bl din câmpul de probabilitate Bm dacă în câmpul de probabilitate An are loc evenimentul Ak.

Entropia câmpului finit Bm condiţionat de producerea unui eveniment elementar Ak din câmpul An va fi:

Hm(Bm/Ak) = -∑=

m

lklq

1• log lkq ,

iar entropia câmpului de probabilitate Bm condiţionat de întreg câmpul An va fi:

Hm(Bm/An) = -∑=

n

kkp

1• Hm(Bm/Ak).

Această condiţionare este reprezentată prin entropia de legătură (sau de

corelaţie) ce apare adesea în sistemele cibernetico-economice.

Evident, dacă câmpurile de probabilitate sunt independente, atunci:

lkq = lq n,k 1= , m,l 1= ,

Hm(Bm/Ak) = Hm(Bm) = - ∑=

m

llq

1• log lq .

Probabilitatea de a se realiza concomitent evenimentele Ak şi Bl va fi πkl = kp • lkq .

Totalitatea acestor evenimente (Ak, Bl) formează un nou câmp de probabilitate finit cu n × m evenimente pe care îl notăm An × Bm.

Pe acest câmp avem entropia: Hnm(An × Bm) = Hn(An) + Hm(Bm/An)


Dacă câmpurile sunt independente,

Hnm(An × Bm) = Hn(An) + Hm(Bm)

ceea ce se exprimă prin faptul că entropia sistemului este egală cu suma entropiilor subsistemelor componente între care nu există condiţionări.

De asemenea, rezultă că, dacă avem două câmpuri finite de probabilitate An şi Bn, cunoaşterea rezultatelor primului experiment poate doar să micşoreze nedeterminarea celui de-al doilea câmp sau să lase neschimbată această nedeterminare dacă cele două câmpuri de evenimente sunt independente.

Rezultă că: Hm(Bm/An) ≤ Hm(Bm)

adică gradul de neterminare al unui câmp de probabilitate condiţionată este mai mic decât gradul de probabilitate al câmpului necondiţionat pe care îl conţine.

Demonstraţie: Aplicăm inegalitatea lui Jensen:

∑αk

k • f(xk) ≤ f( ∑αk

k • xk), cu αi pozitive ∑αk

k = 1.

Pentru f(x) = - x log x, xk = lkq , kp * = kp , vom avea:

∑=

n

kkp

1• lkq • log lkq ≥ (( ∑

=

n

kkp

1• lkq ) • log(∑

=

n

kkp

1• lkq )) = lq •log lq

deoarece: ∑=

n

kkp

1• lkq = lq , însumând după l avem succesiv:

(∑=

n

kkp

1) ∑

=

m

l 1lkq log lkq ≥ ∑

=

m

llq

1• log lq ,

-Hm(Bm/An) ≥ - Hm(Bm) ⇒ Hm( Bm / An) ≤ Hm(Bm).

Dacă evenimentele sunt independente avem:

Hmn(An × Bm) ≤ Hn(An) + Hm(Bm). Această proprietate se aplică la sistemele discrete înlănţuite, la ceea ce vom

numi entropia de legătură. Pentru reducerea entropiei sistemului se poate acţiona pe două căi, şi anume:

• prin modificarea structurii operatorilor, adică stabilirea unei partiţii convenabile de subsisteme astfel ca ele să conţină o entropie minimă (reducerea entropiei de legătură);


• prin reducerea entropiei din cadrul fiecărui subsistem în parte ce compune sistemul.

Entropia este o măsură şi pentru realizarea reglajului sistemului. Fie ieşirea unui sistem cibernetic:

Y = AR

A±1

şi Y’= Z(H)AU ⇒ Y ± Y’= AR

A±1

± Z(H)AU

Dacă punem condiţia ca eroarea să fie nulă, Y - Y’ = 0, rezultă:

R = ± [1 ± Z(H)] / Z(H)•A.

unde: Z(H) este funcţia entropică a sistemului; R – blocul de reglare; A – structura operatorilor ce caracterizează sistemul; Y – ieşirea sistemului; R − reprezintă efortul intern pentru a compensa starea entropică a

sistemului. Starea entropică a unui sistem nu este constantă, ea se modifică continuu în

timp. Între modificarea în timp a structurii operatorilor A (performanţa pozitivă a

sistemului) şi entropia H (performanţa negativă a sistemului), există o interdependenţă. Astfel valoarea stării entropice poate creşte într-o anumită proporţie, în timp ce structura operatorială se poate îmbogăţi mult mai rapid, poate stagna sau chiar regresa.

De aici decurge posibilitatea creşterii eficienţei în funcţionarea unui sistem pe calea diminuării entropiei sau a schimbării proporţiilor între aceasta si structura operatorială a sistemului respectiv. Funcţia de eficienţă se exprimă în funcţie de variaţia stării entropice, astfel:

ψ(t) =)t(H)t(H)t(A)t(A

0

0

−−

.

Dacă funcţia de eficienţă ψ(t) < 0 rezultă că sistemul analizat este de tip regresiv, dacă ψ(t) = 0, este staţionar, iar dacă ψ(t) > 0, este de tip evolutiv.

Raportul între entropie şi gradul de organizare al sistemului

Sistemele economice sunt sisteme evolutive; creşterea entropiei în aceste sisteme poate avea loc ca urmare a uzurii mijloacelor tehnice sau a uzurii morale, a scăderii capacităţii de muncă a personalului, dar şi ca urmare a rapidităţii cu care pătrunde progresul tehnic.


Căile prin care progresul tehnic constituie o sursă de perturbaţie, de creştere a entropiei sistemului sunt următoarele:

• creşterea entropiei introdusă de forţa de muncă al cărui grad de calificare rămâne în urma noilor inovaţii tehnice şi informaţionale introduse;

• creşterea entropiei tehnologiei în sistemele complexe şi care nu sunt bine controlate.

Folosirea unei metode de calcul a entropiei în sistemele cibernetico-economice creează posibilitatea de a introduce un criteriu nou de a compara eficienţa în funcţionarea acestor sisteme.

Între entropia sistemului şi gradul acestuia de organizare există o legătură. în sensul că gradul de organizare al unui sistem este dat de relaţia:

G(S) =)(

0

SHH

,

unde: H0 - entropia unui sistem perfect organizat; H(S) - entropia sistemului.

H0 =

∑

∑

=

=m

ii

m

ioii

m

H

1

1

α

α

+ ∑=

m

i 1H(S0 / Soi) ;

H(S) =

∑

∑

=

=m

ii

m

iii

m

SH

1

1)(

α

α + ∑

=

αm

1ii H(S / Si) ,

unde:

Σ H(S0 / Soi) – suma entropiilor de legătură a sistemelor componente; Σ H0i - suma entropiilor sistemelor componente ale sistemului etalon; Σ H(Si) - suma entropiilor subsistemelor componente ale sistemului; αi - coeficienţi de ponderare a importanţei subsistemelor ţinând seama de

contribuţia entropiei fiecărui subsistem la obţinerea performanţelor globale ale sistemului.


Raportul entropie-decizie

Eficienţa mecanismului de conducere dintr-un sistem cibernetico-economic depinde şi de calitatea deciziilor ce se iau. Există o strânsă legătură între calitatea deciziilor şi nivelul entropic al sistemului.

Sistemele cibernetice adaptive pot fi considerate acele sisteme în care adaptarea se face prin deciziile luate de factorii responsabili de pe diferitele nivele ierarhice într-un anumit interval de timp. Se pune problema stabilirii locului de unde se culeg şi acurateţii datelor necesare ce servesc procesului decizional. În acest caz se ţine seama de pragul de entropie maxim admis, de momentul de timp când se culeg aceste date şi de mărimea intervalului de colectare a lor, pentru a nu pierde informaţii semnificative privind funcţionarea sistemului.

Apare astfel o entropie “hard” legată de organizare şi o entropie “soft”, legată de nivelul de calificare a personalului şi a produselor soft folosite.

Exemple. Pentru o unitate productivă, reducerea entropiei se poate realiza prin organizarea producţiei în flux sau a unor linii automate în secţiile de montaj şi a unui sistem informaţional-decizional eficient sprijinit pe tehnica modernă de calcul.

Într-un sistem comercial, utilizarea unor reţele de PC-uri la toate nodurile decizionale precum şi a unor metode adecvate ( de prognoză, de statistică în domeniul marketingului), pot conduce la scăderea stării entropice.

Într-un sistem financiar-bancar, rapiditatea culegerii informaţiilor, sporirea gradului de încredere şi a intuiţiei factorilor decizionali, constituie căi de reducere a stării entropice.

2.3.3 Complexitatea sistemelor

Această importantă trăsătură a sistemelor apare datorită unui ansamblu de cauze şi anume:

• număr mare de elemente ce compun sistemul; • comportament nedeterminat al subsistemelor; • necesitatea de a răspunde la perturbaţii cu caracter nedeterminat; • orientarea sistemelor spre înfăptuirea unei multitudini de scopuri. Complexitatea are o dublă determinare, una obiectivă (ţinând seama de

specificitatea sistemului analizat) şi o alta subiectivă, ţinând seama de experienţa şi abilitatea observatorului. Complexitatea sistemelor are o mare importanţă în analiza de sistem atât din punct de vedere al abordării lui în faza de analiză cât şi în ceea ce priveşte soluţiile propuse în faza de proiectare. În studierea complexităţii unui sistem trebuie avută în vedere teoria complexităţii elaborată de Coock (’71 ), Karp (’72 ), Knuth (’73 ), şi dezvoltată ulterior de Fischer, Lenstra şi Grotschel. Pe baza acestei teorii problemele pot fi împărţite în două mari clase: probleme polinomiale (P) şi probleme nepolinomiale (NP).


Clasa problemelor polinomiale este clasa problemelor ce pot fi rezolvate în timp polinomial, în funcţie de datele de intrare al problemei.

Clasa problemelor nepolinomiale este clasa problemelor rezolvate prin reluarea polinomială iterativă. Knuth a identificat existenţa în clasa problemelor nepolinomiale a aşa numitelor probleme nepolinomiale complete. Pentru a explica această noţiune se introduce conceptul de reductibilitate a unei clase de probleme.

O clasă de probleme P’ se poate reduce la clasa P şi se notează ( P’∝ P) dacă pentru orice exemplu din P’ se poate construi în timp mărginit polinomial un exemplu din P, astfel ca, rezolvând exemplul din P se rezolvă exemplul din P’. Adică reductibilitatea lui P la P’ implică faptul că P’ poate fi considerat ca un caz special al lui P.

O clasă de probleme P’ este nepolinomial completă dacă P’ ∈ NP şi P’∝P pentru orice P ∈ NP. Nepolinomialitatea completă a unei clase de probleme dovedeşte inexistenta unui «algoritm bun» şi în general constituie o justificare pentru folosirea unui algoritm aproximativ (algoritmi convergenţi dar la care se impune ca restricţie de oprire timpul) şi a unor algoritmi euristici.

Cercetările din acest domeniu concretizate prin lucrările lui Grotschel, Lovaz, Schriver-Kachian arată că complexitatea unei probleme trebuie privită din trei puncte de vedere şi anume:

• din punct de vedere al timpului de calcul în care trebuie rezolvată problema;

• din punct de vedere al organizării şi reprezentării datelor şi a memoriei ocupate;

• din punct de vedere al reprezentării preciziei datelor în calculator şi a acurateţii cu care vrem să obţinem o anumită soluţie.

Se arată că un algoritm poate fi polinomial în timp, dar nepolinomial din punct de vedere a necesităţilor de memorie. Creşterea memoriei are loc pe de o parte datorită creşterii preciziei cu care vrem să obţinem un anumit rezultat, iar pe de altă parte, dorinţei de a scurta timpul de calcul. De asemenea, timpul de calcul este afectat de precizia obţinerii unui rezultat şi de necesităţile de memorie folosite.

Dacă complexitatea problemei nu permite rezolvarea ei printr-un algoritm exact, atunci există două direcţii de cercetare şi anume:

• generarea unor margini inferioare cât mai penetrante obţinute prin relaxarea problemei şi utilizarea lor într-o schema aproximativă;

• utilizarea unor algoritmi euristici, la care gradul polinomului să fie cât mai mic şi care dau o margine superioară la soluţia problemei.

Când cele două aproximări se întâlnesc este dovedită optimalitatea problemei. Adeseori, complexitatea tipului de problemă indică faptul că o problemă nu

poate fi rezolvată printr-un algoritm exact, dar utilizând particularităţile problemei se poate construi un algoritm special care să conducă la o soluţie optimă.

O schemă de aproximare pentru o problemă P este un algoritm care pentru orice exemplu al lui P şi un anumit grad de acurateţe, calculează o soluţie F*(I), care să respecte condiţia:


dacă F*(I) > 0 este soluţia optimă atunci F(I) - F*(I) < ε.

În algoritmii aproximativi ε este fixat pe când la cei euristici nu este cunoscut aprioric.

Legat de dezvoltarea teoriei complexităţii din ultimii ani, în lucrările lui M. Demange şi V. Paschos, apar noi noţiuni ce permit o tratare mai bună a acestor tipuri de probleme.

Se asociază astfel un grad de rezoluţie fiecărei probleme ce permite evidenţierea nivelului de dificultate şi se defineşte o « ierarhie » care descrie structura internă a problemelor NP-complete. De asemenea prin utilizarea noţiunii de « instanţe dificile » se ilustrează pe de o parte ce determină ca o problemă să fie dificilă şi pe de altă parte căile pentru obţinerea unei rezoluţii mai bune.

Definiţia 1. O problemă elementară sau o instanţă I este un program matematic de forma:

I:⎪⎩

⎪⎨

⎧

∈∈

1,0

)(

xCx

xoptU.

O problemă de optimizare NP (respectiv NP completă) este un ansamblu

de instanţe care trebuie să răspundă la întrebarea: pentru M dat, există x’∈ C astfel ca U(x’) θ M ? unde, θ este „≥” (sau „≤”) dacă optimul este maxim (respectiv minim) şi el reprezintă în mod exact ansamblul de instanţe al unei probleme NP (respectiv NP complete).

Cunoaşterea metodelor exacte pentru rezolvare este importantă, deoarece atunci când nu pot fi direct aplicate, pot fi folosite în scheme aproximative sau în combinaţii cu metode euristice.

2.3.4 Caracterul aleator (stohastic)

În mediile economice reale nu există sisteme deterministe, în care probabilitatea de realizare a evenimentelor este egală cu 1, ci doar sisteme ce au un caracter aleator/stohastic. În cazul sistemelor economice caracterul stohastic este determinat de modalitatea prin care un sistem îşi alege dintr-o mulţime de stări posibile o anumită stare. Alegerea acestei stări depinde de o serie de factori şi anume:

• obiectivele sistemului; • modalitatea de interacţiune între elementele sistemului, între acesta şi

mediu; • tipurile de decizii luate şi aplicate în conducerea sistemelor.


Incertitudinile ce acţionează asupra sistemului pot fi de natură cantitativă când se cunosc probabilităţile viitoare, dar distribuţia lor este necunoscută.

Incertitudinile calitative se referă la situaţii în care nu doar distribuţia este necunoscută dar şi probabilităţile viitoare sunt necunoscute.

Există situaţii în care se cunosc forma şi trendul unei alternative cu diferite grade de certitudine şi incertitudine şi situaţii în care aceste elemente sunt calitativ incerte. Acest din urmă caz poate fi ilustrat prin situaţile explozive unde pot apare variaţii foarte rapide de trecere de la o stare la alta.

Se face distincţie între situaţiile în care incertitudiniile sunt “hard” când fenomenele respective urmează un lanţ stohastic caz în care se poate realiza o predictibilitate a ieşirilor acestor procese şi situaţiile “soft” în care predictibilitatea fenomenelor este necunoscută.

Teoria catastrofelor şi matematica haosului sunt instrumente utile analizei de sistem în acest caz.

Atunci când variabilele de importanţă critică dintr-un sistem prezintă incertitudini calitative, problema este mai dificilă de abordat, gradul de incertitudine a diferitelor variabile depinzând şi de timpul avut la dispoziţie.

Caracterul aleator este specific sistemelor de stocare, de aşteptare, de producţie, decizionale, în care intrările în sistem, procesele (servirii, prelucrării) şi ieşirile din sistem urmează diverse legi statistice ( Poisson, exponenţiale, normale, gamma etc).

2.3.5 Autoreglarea Capacitatea de autoreglare este proprietatea unui sistem cibernetic de a

reacţiona cu mijloace proprii la perturbaţii. Un astfel de sistem este alcătuit din trei subsisteme şi anume:

• subsistemul efector- ce realizează transformarea intrărilor în ieşiri; • subsistemul de comandă – care realizează conducerea proceselor din

sistem ; • subsistemul de reglare - ce are rolul de a sesiza abaterile de la ieşirile

propuse şi a genera mărimi de intrare menite să corecteze aceste abateri.

În figura 2.3 se poate urmări componenţa unui sistem cu autoreglare. Blocul de comandă conţine din punct de vedere informaţional-decizional

modelul şi algoritmul ce realizează conducerea blocului efector şi este reprezentat de factorii decizionali ce conduc sistemul.

Blocul de reglare este reprezentat de sistemul de urmărire ce sesizează abaterile de la performanţele impuse şi transmite eroarea pentru realizarea corecţiilor.


Blocul efector este reprezentat de componentele fizice ale sistemului luat

în considerare.

De exemplu, pentru o unitate productivă, blocul de reglare este format pe de o parte de piaţă, iar pe de altă parte de factorii de decizie de pe diferite nivele ierarhice.

Reglarea se poate realiza şi prin schimbarea structurii în cazul sistemelor adaptive, cu învăţare sau prin schimbarea comenzilor de intrare (fig. 2.4).

Caracterul informaţional-decizional al sistemelor cu autoreglare Informaţia reprezintă elementul de bază al oricărui proces de reglare, mai

ales în sistemele complexe în care forma calitativ superioară a acesteia îmbracă aspectul deciziei, al alegerii unei variante/alternative, care corespunde obiectivelor sistemului.

Pentru manipulare şi utilizarea eficientă a informaţiilor se evidenţiază un subsistem numit « unitate de resursă informaţională (URI) ».

Unitatea de resursă informaţională are rolul de a sesiza „simptomele” unei funcţionări incorecte a informaţiei în cadrul sistemului. Ea pune în evidenţă următoarele aspecte ale fluxului de informaţii din sistem:

• supraîncărcarea sistemului cu informaţii;

Bloc de comandă

Bloc efector Sistem condus

Bloc de reglare

u

p

y

Fig. 2.3 Sistem cu autoreglare

Sa

Sb u Y

Cj

Sa

Sbu Y

Cj

Fig. 2.4 Sistem adaptiv după intrare şi după structură


• transferul incorect al informaţiilor decizionale; • stabilirea incorectă a responsabilităţilor privind prelucrarea şi

utilizarea informaţiilor. Unitatea de resursă informaţională trebuie să aibă o serie de caracteristici

şi anume: • informaţia furnizată de aceasta să fie disponibilă la momentul potrivit,

să fie corectă, să fie relevantă, credibilă, să fie uşor percepută şi utilă; • utilizarea resursei informaţionale trebuie să aducă avantaje legate de

costul culegerii prelucrării şi transmiterii informaţiei în sistem. Unitatea de resursă informaţională este în esenţa un sistem adaptiv cu

învăţare care creşte, se menţine şi se protejează printr-o serie de subsisteme specializate. Ca orice sistem URI îndeplineşte o serie de funcţii legate de culegerea, accesul, mentenanţa, controlul şi distribuţia informaţiilor.

Unitatea de resursă informaţională este un sistem dinamic care evoluează în timp şi aceasta evoluţie a sa este influenţată de doi factori şi anume: inovarea tehnologică şi difuzarea tehnologică.

Prin inovare tehnologică înţelegem apariţia unor noi sisteme de prelucrare şi distribuire a informaţiilor de la tipul bazelor de date folosite până la modelele şi algoritmii ce prelucrează aceste date în scopul atingerii obiectivelor sistemului cu maximum de eficienţă.

Inovarea tehnologică presupune: • conştientizarea utilizatorilor de existenta acestei inovaţii; • formarea unei atitudini faţă de această inovaţie; • luarea unei decizii privind adoptarea sau neadoptarea inovaţiei; • implementarea acesteia. Difuzarea tehnologică are loc pe baza modelului Gibson şi Nelson care

presupune parcurgerea mai multor etape şi anume: iniţierea, controlul, mentenanţa, dezvoltarea şi reproiectarea informaţiilor. Difuzarea tehnologică, adică răspândirea ei, este facilitată prin:

• nivelul educaţional al celor ce o utilizează; • susţinerea ei de către factorii de decizie ai sistemului; • existenţa unor subsisteme decizionale descentralizate; • caracterul prietenos şi prin transparenţa acesteia; • obiectivele sistemului; • modalităţile de interacţiune între elementele sistemului, între acestea

şi mediu; • tipurile de decizii luate şi aplicate pentru conducerea sistemului.

Pentru construirea unui model decizional trebuie să se ţină seama de tipul şi natura deciziilor ce se iau. Aceste decizii pot fi incompatibile în sensul că nu pot fi adoptate simultan datorită unor restricţii de natură fizică şi logică şi decizii compatibile care pot fi concurente, independente, complementare. Procesul de


analiză de sistem implică o serie de etape legate de construirea unui model decizional, şi anume:

• definirea setului de decizii/variante; • definirea efectelor şi consecinţelor previzibile ale acestor decizii; • evaluarea efectelor în funcţie de un set de criterii; • agregarea acestor efecte pe baza unor reguli; • adoptarea deciziei.

Agregarea se poate face în raport cu un criteriu de valoare, în raport cu stările mediului, cu deciziile luate de sisteme similare. Se poate face o agregare în funcţie de variabila de timp, sau în funcţie de utilitate.

În ceea ce priveşte valorizarea consecinţelor poate fi făcută prin modalităţi calitative sau cantitative, ceea ce presupune asocierea unor valori numerice.

Alegerea alternativelor poate fi făcută prin decizii individuale sau de grup şi se pot alege soluţii satisfăcătoare sau optime. Metodele de evaluare pot fi de tip cost-beneficiu sau cost-eficacitate.

2.4 Proprietăţile funcţional – interne ale sistemelor

Aceste propietăţi depind de structura sistemului, de natura intercondiţionărilor dintre elementele ce compun sistemul. În continuare vom prezenta succint aceste proprietăţi.

2.4.1 Accesibilitatea

Un sistem este m-accesibil la intrare şi n-accesibil la ieşire dacă acceptă m variabile de intrare (u1,…,um) şi dacă determină n variabile de ieşire (y1,y2,....,yn) /60/.

În acest sens accesibilitatea este determinată de numărul finit de variabile de intrare şi ieşire. Dacă m = n = 1 rezultă că sistemul este monoaccesibil.

Un sistem este m multivariabil la intrare şi n mutivariabil la ieşire dacă este m+n accesibil. Pentru ca un sistem să existe trebuie să îndeplinească următoarele condiţii de accesibilitate:

• să fie cel puţin monovariabil la intrare şi ieşire (m ≥ 1, n ≥ 1); • să fie cel puţin finit multivariabil la intrare şi ieşire (m, n finite). Nerespectarea primei condiţii conduce la trivialitatea intrării şi/sau a ieşirii,

iar neîndeplinirea celei de-a doua condiţii la nerespectarea proprietăţii de finititudine.

Accesibilitatea unei stări xτ presupune existenţa unei intrări u(t0,τ) care să conducă sistemul din starea x0 în starea xτ .

Definiţia 2. Starea x∈Dτ se numeşte τ accesibilă din starea x0 dacă există un moment finit t0 < τ şi se cunoaşte comanda admisibilă u(t0, τ), care să realizeze


transformările necesare trecerii sistemului din starea iniţială x0 în starea finală xτ în intervalul τ - t0. Dacă acest lucru este adevărat pentru toţi x0 şi τ, starea este complet accesibilă.

Accesibilitatea unei stări într-un sistem economic presupune deci recunoaşterea elementelor ce au contribuit ca sistemul să se găsească în această stare pornind dintr-o stare iniţială x0. Această proprietate este importantă în proiectarea blocului de control dintr-un sistem, unde rolul acestuia este jucat de sistemul de urmărire, care sesizează stările sistemului pe parcursul transformărilor pe care acesta le execută şi evidenţiază cauzele ce le-au produs.

De exemplu, pentru un sistem productiv, accesibilitatea unei stări, fie ea o fază de prelucrare a unui produs la momentul τ, implică recunoaşterea intrărilor ce au dus sistemul în această fază (materii prime, tehnologii de fabricaţie). Ea este utilă în analiza efectuată de factorii decizionali pentru a determina cauzele unei anumite stări a sistemului şi a lua măsurile de corecţie necesare.

Dualul acestui concept este detectabilitatea ieşirii yθ din starea xk adică determinarea cauzelor ce au dus la obţinerea ieşirii la momentul θ, cunoscând starea sistemului la momentul de timp k.

2.4.2 Controlabilitatea

Controlabilitatea sistemului se defineşte ca proprietatea acestuia prin care, cunoscând mărimile de intrare şi starea la momentul t, să putem determina starea la momentul următor, fie el t1, ca urmare a evoluţiei intrării în perioada [t, t1], cu t1 > t.

Un sistem este global controlabil dacă dându-se un set de variabile de stare x(t)∈X; t∈T există o clasă de intrări [uq] = [ωq(t)]∈[Ω; t∈T] ce o cauzează cu cel mai mare timp tf finit ce determină o singură funcţie de ieşire γ(t0, tf) ∈ Γ, în care:

Γ - reprezintă clasa de funcţii admisibile de ieşire; Ω - reprezintă clasa de funcţii admisibile de intrare. Prin clasa de funcţii(ω q) se înţelege o submulţime de funcţii ω(t0,tf)

echivalente pe un singur element j al mulţimii ω = (0, ω1…ωj…ωm) ceilalţi fiind nuli, ce determină o singură funcţie de ieşire.

Pentru controlabilitatea globală este suficientă observaţia asupra diverselor valori simultane ale variabilelor de ieşire şi intrare.

Controlabilitatea parţială implică executarea unui experiment asupra sistemului. Un sistem este parţial controlabil în cazul în care existenţa variaţiei variabilei de intrare pe componenta j conduce la o componentă de ieşire nulă:

[ωq] j ⇒ Γ ∋ γs = γs: γs = ∅ t ∈ [t0; tf]

y = γ(t) γ ∈Γ γ = (γ1,γ2,…,γj,…,γn) γj = 0, unde γs reprezintă o anumită evoluţie admisibilă de ieşire.


Se spune că un sistem parţial controlabil este decompozabil în α sisteme global controlabile şi sistemul se numeşte α parţial controlabil ( α = 1,2,…,n).

Determinarea numărului α de sisteme global controlabile în care se poate descompune un sistem parţial controlabil se face astfel: se alcătuiesc combinaţii fără repetiţii Cm

j , mj ,1= ale componentelor funcţiei de intrare ω = (ω1,ω2,…,ωm)

şi combinaţii Cni, ni ,1= ale componentelor funcţiei de ieşire γ = (γ1,γ2,…γn) şi se

caută apoi perechile dintre cele două grupe de combinaţii pentru care un membru al combinaţiei de funcţii de intrare implică pe toţi membrii combinaţiei funcţiilor de ieşire.

Notând cu αj numărul de perechi ce corespund, în sensul arătat, la combinaţia de ordinul j a intrării cu combinaţii de la ieşire, rezultă un număr total de perechi α egal cu:

∑=

=m

ii

1

αα .

În realitatea economică nu există sisteme global controlabile ci doar parţial controlabile. Controlabilitatea sistemului este asigurată de controlabilitatea fiecărei componente în parte şi presupune cunoscute obiectivele, resursele şi domeniul intrărilor admisibile.

De exemplu, într-un sistem productiv ne referim la controlabilitatea secţiilor, atelierelor, posturilor de lucru, iar într-un sistem comercial la controlabilitatea magazinelor, a reţelei de aprovizionare şi a celor de desfacere.

Cunoaşterea controlabilităţii unui sistem implică existenţa unei astfel de strategii în blocul de comandă care să facă faţă fluctuaţiilor obiective ce intervin în desfăşurarea fluxului de activităţi ale sistemului.

În cazul unui sistem productiv aceasta înseamnă să se determine ce efecte vor avea lipsa unor muncitori, a unor materiale asupra stării sistemului (coeficient de utilizare a maşinilor, indicele rebuturilor, volumul producţiei neterminate). De aici rezultă că blocul de comandă, reprezentat prin modulul de programare a producţiei, trebuie astfel conceput încât să ţină seama de aceste variaţii pentru a putea estima care va fi efectul în interiorul sistemului şi totodată să permită o actualizare rapidă a datelor şi o rulare a programului de ordonanţare a producţiei cu aceste date pentru determinarea noilor stări din sistem.

În cazul unui sistem comercial, controlabilitatea implică studierea variaţiilor vectorului de intrare pe un interval de timp (număr clienţi, cantităţi şi tipuri de produse cumpărate) pentru a determina ce se va întâmpla în sistem în acest caz (cum variază stocurile de produse, care trebuie să fie perioadele de aprovizionare, cum va fi implicat personalul).

Pentru proprietatea de controlabilitate timpul este privit de la prezent (τ) către viitor (t) şi mulţimea stărilor controlabile formează un con cu vârful în x(t0) şi baza în mulţimea stărilor controlabile (fig.2.5).


Diferenţa între accesibilitate şi controlabilitate constă în felul în care este privită variabila timp. Pentru proprietatea de accesibilitate timpul este privit de la momentul trecut t0 către prezent τ.

Mulţimea stărilor accesibile dintr-o stare x0 este un con τ de accesibilitate cu vârful în x(t0) şi cu baza în mulţimea stărilor accesibile Dε(τ).

2.4.3 Observabilitatea

Observabilitatea se defineşte ca proprietate a sistemului prin care cunoscând mărimile de intrare şi ieşire, să se deducă traiectoria de stare, adică succesiunea de stări prin care acesta a trecut.

Definiţia 3. Un sistem, pentru ca să existe, trebuie să fie observabil, adică fiind cunoscut vectorul de intrare u şi vectorul de ieşire y definiţi prin ω∈Ω şi γ∈Γ pe mulţimea ordonată a timpului T, se poate deduce cel puţin o variabilă x de stare internă.

Cunoaşterea sistemului de stări prin care a trecut sistemul se realizează pe doua căi şi anume:

- pe de o parte cu ajutorul modelelor ce simulează funcţionarea sistemului prin cunoaşterea structurii sale;

- prin sistemul de urmărire care realizează cunoaşterea nivelului real al parametrilor.

Acest sistem de urmărire trebuie proiectat şi implementat atfel încât să se transmită atât stările atât semnificative ale sistemului, cât şi cele ce au rezultat în urma acţionării unor perturbaţii. În acest sens studierea şi alegerea intervalelor şi a momentelor de culegere a datelor trebuie făcută cu atenţie în scopul realizării unei compatibilităţi între observabilitatea furnizată de model şi cea dată de sistemul de urmărire.

Dε(t0) Dε(τ)

Dε(t0)

Dε(τ)

t0→τ(t0 trecut) τ - prezent t - viitor

Fig 2.5 Spaţiul stărilor accesibile şi controlabile


Se impune, deci o corelare între momentele de actualizare a datelor modelului şi a fenomenelor ce au loc în sistem.

Având în vedere proprietăţile de controlabilitate şi de observabilitate, spaţiul stărilor Cn, poate fi descompus în patru subspaţii şi anume:

- subspaţiul stărilor controlabile şi observabile M1; - subspaţiul stărilor controlabile şi neobservabile M2; - subspaţiul stărilor necontrolabile şi observabile M3; - subspaţiul stărilor necontrolabile şi neobservabile M4;

Cn = M1 ⊕ M2 ⊕ M3 ⊕ M4

Dacă descriem sistemul prin ecuaţiile de intrare-stare-ieşire:

x& = Ax + Bu y = Cx + Du

atunci vom putea reprezenta acest sistem ca în figura 2.6.

Avantajul descrierii prin ecuaţia de stare este că în acest mod se poate

descrie şi partea necontrolabilă a sistemului. Un sistem descris prin ecuaţia intrare-stare-ieşire este complet observabil

dacă şi numai dacă matricea de observabilitate Q0* definită de

Q0

* = (C*,A*C*…(An-1)*C*) are rangul n sau acoperă întreg spaţiul stărilor Cn /60/, unde cu “∗” s-a notat operatorul de transpunere matriceal.

Cunoaşterea acestei proprietăţi este importantă pentru faza de proiectare în stabilirea modelului, a determinării variabilelor şi parametrilor.

y B

A

C

D

u x x'

Fig. 2.6 Sistem reprezentat prin ecuaţia de stare


2.4.4 Sensibilitatea

Proprietatea de sensibilitate a unui sistem se referă la posibilitatea pe care o au componentele vectorului de stare de a răspunde sau nu la anumite modificări ale intrărilor.

Această proprietate este foarte importantă în proiectarea sistemelor de conducere. Aceste sisteme vor avea performanţe mai bune cu cât sensibilitatea va fi mai apropiată de sensibilitea totală, existând posibilitaea influenţării stărilor prin comenzi.

Sensibilitatea apare ca o consecinţă a controlabilităţii parţiale; un sistem este total sensibil în sensul larg, dacă o variaţie infinit de mică a variabilei de intrare , pe una sau mai multe componente ale sale, determină o variaţie infinit de mică la o variabilă de stare, pe una sau mai multe componente.

Definiţia 4. Un sistem va fi parţial sensibil dacă admite o submulţime nevidă de funcţii de intrare ωα ∈ Ω, conţinute în nucleul funcţiei de tranziţie a stărilor. Dacă submulţimea ωα este vidă atunci sistemul este complet sensibil. Dacă submulţimea ωα umple toată mulţimea ω ( ωα = ω ) sistemul va fi zero sensibil.

Sistemele parţial sensibile sunt în general cele care au o structură neliniară. În sistemele cu structură ierarhică prin creşterea numărului de nivele creşte viteza de prelucrare, dar scade sensibilitatea acestora. În proiectarea subsistemului de control din cadrul unui sistem complex este important de a se ţine seama de această proprietate.

De exemplu, la o centrală nucleară este necesar să fie sesizate orice abateri cât de mici în funcţionarea sistemului de la standarele normale fixate pentru a lua din timp măsurile necesare, adică sistemul de control trebuie să aibă o sensibilitate foarte mare.

2.4.5 Stabilitatea

Stabilitatea sistemelor este o proprietate deosebit de importantă de care trebuie să se ţină seama în analiză şi diagnoză, întrucât pe baza ei se poate aprecia posibilitatea de realizare practică a sistemelor a căror modele sunt proiectate şi apoi implementate.

Stabilitatea sistemului poate fi studiată prin: • ecuaţiile intrare-stare-ieşire:

)t(x& = Ax(t) + Bu(t)

y = Cx(t)

• prin matricea de transfer care se obţine aplicând transformata Laplace asupra ecuaţiei intrare-stare-ieşire:


sx(s) - x(0) = Ax(s) + Bu(s) x(s) = [ sI – A ]-1x0 + [ sI – A ]-1 Bu(s)

y(s) = C [ sI – A ]-1x0 + C [ sI – A ]-1 Bu(s)

pentru x0 = 0, avem:

y(s) = C [ sI – A ]-1 Bu(s) de unde rezultă matricea de transfer a sistemului:

H(s) = C [ sI – A ]-1 B

Schimbarea bazei spaţiului stărilor nu modifică matricea de transfer care este un invariant în raport cu alegerea bazei respective (matricea de transfer descrie funcţionarea sistemului) /60/. Aplicând transformata în z de forma z = Tx vom avea:

zT-1 = AT-1z + Bu ⇒ z = TAT-1 + Tbu

y = CT-1z dacă notăm:

A1 = TA-1T, B1 = TB, C1 = CT-1 şi înlocuind aceste notaţii în funcţia de transfer:

H1(s) = C1[ sI – A1]-1 B1 avem:

H1(s) = CT-1 [sI – TAT-1]-1 TB = C [sI – TAT-1]-1T-1TB =

= C [ sT – TA ]-1 TB = C[ T-1(sT – TA) ] -1 B =

= C [ sI – A ]-1 B adică:

H1(s) = H(s).

Această proprietate este importantă în studiul stabilităţii stării sistemelor.

Definiţia 5. Stabilitatea sistemului se defineşte ca proprietatea acestuia ca pentru variaţii mari ale intrărilor să corespundă variaţii mici ale ieşilor.

Sistemul îşi dovedeşte această proprietate de stabilitate când unele solicitări interne sau externe tind să scoată sistemul dintr-o stare de echilibru, iar odată cu eliminarea ei, el revine din nou la starea de echilibru.


Să considerăm un sistem care se bucură de proprietăţile de observabilitate şi controlabilitate.

Fie intrarea u(t) = 0 cu t ∈ [ t0; tf ] şi x(t0) = 0; rezultă că x(t) \ t∈[ t0; tf ] = x(t0).

Se defineşte această situaţie ca echilibru staţionar. În figura 2.7 sunt ilustrate grafic stabilitatea şi instabilitatea sistemului.

Sistemul este stabil liber dacă la momentul t0 şi având starea x0 ( la care s-a ajuns în urma aplicării unei variaţii salt asupra mărimii de intrare) , sistemul revine singur la valoarea stării iniţiale xf = 0 ,când încetează acţiunea ce l-a propulsat în acea stare.

Intervalul tf – t0 se defineşte ca regimul tranzitoriu al sistemului, el putând lua diverse valori de timp funcţie de natura sistemului.

Definiţia 6. Un sistem se numeşte asimptotic stabil liber dacă în condiţiile stabilităţii libere ajunge la starea x(tf) = 0 pentru un timp tf foarte mare chiar infinit.

Stabilitatea liberă rezultă nu din observarea fenomenului, ci din experimentarea unui model fizic realizabil.

Definiţia 7. Un sistem instabil liber sau la limita stabilităţii este forţat stabil dacă există o clasă de funcţii de intrare ωb∈ω care să-l conducă de la o stare iniţială x(t0) pentru care s-a verificat limita stabilităţii într-o stare finală x(tf) = 0 cu tf finit.

Propietatea de stabilitate liberă ca o condiţie de existenţă a unui subsistem nu trebuie verificată asupra modelelor unor fenomene naturale, acestea făcând parte din realitatea obiectivă deci nu pot fi decât stabile. Stabilitatea liberă trebuie însă verificată la sistemele create de factorul uman, întru-cât la acestea se poate întâlni instabilitatea ca o consecinţă a alegerii incorecte a elementelor ce alcătuiesc sistemul.

Stabilitatea forţată se referă la o clasă restrânsă de funcţii de intrare. Cum în general un sistem este supus unor intrări aleatoare, rezultă că există o mare

tt

stabilitate

tf , xf = 0

t0, x0 tf t0,x0

instabilitatz z

Fig. 2.7 Reprezentarea stărilor de stabilitate şi instabilitate ale unui sistem

x


probalitate ca să nu respecte clasa de funcţii ce crează forţarea şi deci să apară instabilitatea.

Se poate vorbi de o stabilitate cuplată în cazul existenţei mai multor sisteme ce nu sunt independente ci funcţionează cuplate parţial la intare şi la ieşire.

Definiţia 8. Mai multe sisteme se numesc stabil cuplate dacă fiind cuplate la intrare şi la ieşire se pot găsi sisteme echivalente monovariabile la intrare şi ieşire, cuplate numai la ieşire şi la care funcţiile de intrare ca şi funcţiile de intrare-ieşire echivalente să fie univoce şi calculabile din cele ale sistemelor originale.

În cazul sistemelor economice vorbim mai ales de stabilitatea cuplată, întrucât orice sistem economic este format în esenţă dintr-o reuniune de sisteme. Sistemul îşi dovedeşte proprietatea de stabilitate în condiţii limită.

De exemplu, pentru un sistem productiv sau comercial, dacă se întrerupe aprovizionarea pe o perioadă de timp şi dacă sistemul nu ar fi stabil, ar însemna ca la ieşire să nu avem produse. Stabilitatea sistemului de programare operativă, într-un sistem productiv sau comercial, presupune găsirea unei variante admisibile şi eficiente când perturbaţiile împiedică realizarea programului stabiliti iniţial şi deci asigurarea continuităţii fluxului de activităţi ce se desfăşoară în sistem.

Exemplificarea ieşirii sistemului din starea de echilibru poate fi făcută pe o unitate economică în care se face o investiţie. În acest caz sistemul iese din starea de echilibru înscriindu-se pe o traiectorie ascendentă de creştere. După o perioadă de timp când investiţia este asimilată de sistemul economic respectiv, prin punerea ei în funcţiune, au loc o serie de procese de refacere a stării de echilibru, dar noua stare de echilibru este diferită de cea anterioară. Se spune că sistemul se află într-o stare de echilibru dinamic care reprezintă o succesiune de echilibre statice.

2.4.6 Finitudinea

Un sistem, ca model fizic realizabil, este complet determinat dacă se cunoaşte intrarea u şi ieşirea y pentru t∈ (t0,tf ) ⊂ T, de unde rezultă o structură S.

Astfel concepută, noţiunea de sistem se bazează pe o discretizare a fenomanelor observabile şi din această cauză rezultă în mod natural că observaţia nu se poate face decât la un număr finit de variabile.

Finitudinea unui sistem reprezintă proprietatea acestuia de a fi finit cu referinţă directă la spaţiul intrărilor, ieşilor şi stărilor.

Finitudinea unui sistem este o metapropietate, fiind imposibil de determinat toate componentele variabilelor de intrare şi de ieşire dintr-un sistem. Nu se poate spune că numărul acestor componente este finit. Necesitatea apare din însăşi procesul de cunoaştere, astfel se poate admite aprioric că un fenomen din natură este dependent de un număr de variabile care, în asamblu alcătuiesc variabila de intrare independent de altele.


2.4.7 Adaptabilitatea

Adaptabilitatea reprezintă propietatea unui sistem observabil şi controlabil care mai poate satisface unele condiţii suplimentare.

Definiţia 9. Un sistem este adaptabil dacă se poate evidenţia în interiorul său o variabilă c la care, pe mulţimea ordonată a timpului t ⊂ [t0,tj] ⊂ T, este posibilă o variaţie impusă cj = δj(t). Variabila c se numeşte variabilă de adaptare iar funcţia δj capătă denumirea de “funcţie de adaptare” sau criteriu de adaptare.

Adaptabilitatea rezultă ca o proprietate particulară la unele sisteme şi se rezumă la două condiţii principale şi anume : există în sistem variabila c, iar mulţimea CJ se poate obţine. Adaptabilitatea nu este o condiţie de existenţă a unui sistem şi o proprietate a acestor sisteme.

Definiţia 10. Un sistem este adaptabil cu restricţii dacă prin adaptabilitate se menţin funcţiile de ieşire γ ′ j∈ Γ′ = Γ∪δ; adaptabillitatea fără restricţii defineşte un sistem adaptabil la care γ ′ j∈ Γ′ = Γ ′′ ∪δ, unde Γ′ ≠ Γ ′′ .

Definiţia 11. Un sistem este subadaptabil dacă satisfacerea criteriului de adaptare este numai parţială şi anume pentru anumite valori ale variabilei de adaptare sau ale variabilei independente de timp (subadaptabilitate pe porţiuni) /60/.

Adaptabilitatea unui sistem permite descompunerea acestuia în două subsisteme, unul de bază şi altul adjunct, ce realizează adaptarea cu aceeaşi intrare şi ieşirea y şi respectiv c, cu obligaţia ca c = jc (fig. 2.8).

Proprietatea de adaptabilitate presupune controlabilitatea totală a sistemului adjunct. La adaptarea după stuctură sistemul de adaptare este unic (fig. 2.9).

S1

S2

uY

C

C

S1=T, X1,U, Ω, Γ, Y1, φ1, η1 S2=T, X2, U, Ω, ∆, C, Y2, , φ12,η2 δ (t) =c = cj∈ C δ ∈ ∆

Fig.2.8 Sistem adaptabil după intrare


Modificarea structurii interne a unor sisteme, respectiv a unor conexiuni,

pentru a face faţă schimbărilor din mediu poartă denumirea de autoadaptabilitate. Înfiinţarea unui serviciu de marketing în majoritatea unitaţile economice în

condiţiile economiei de piaţă, sau a unor compartimente de cercetare-dezvoltare într-o companie pentru a face faţă concurenţei pieţii, a unor fuziuni cu alte societăţi, reprezintă exemple de autoadaptabilitate.

2.4.8 Compozabilitatea şi decompozabilitatea sistemelor

Aceste proprietăţi arată posibilitatea unui sistem de a se compune dintr-un număr finit de subsisteme şi de a se descompune conform obiectivelor urmărite într-un număr finit de subsisteme. Limita de compozabilitate o reprezintă sistemul cu o singură componentă de intrare şi ieşire. Ea este importantă în analiza şi diagnoza sistemelor pentru faza de proiectare şi reproiectare a sistemului.

Modul de compunere sau descompunere a sistemelor se poate face după scheme liniare, ierarhice sau mixte, funcţie de obiectivele urmărite şi de tipul dependenţelor.

O structură ierarhică se defineşte ca având următoarele caracteristici: aranjare verticală a sistemelor (subsistemelor);

• prioritate în acţiune sau dreptul de intervenţie al sistemului de ordin superior;

• dependenţa subsisemelor de ordin superior de performanţele sistemelor de pe nivelele inferioare.

O structură ierarhică implică: • integrarea, adică posibilitatea reproiectării şi reconstruirii în ansamblu

a sistemului;

S0 = T, Xα, C,∆, Ψ, Y3 ,φ3 ,η3 Ψ = Ψ:T→Z c ∈ C δ (t) = c = cj ∈ C

S1

S2

u Y

C

S0

Cj

Fig. 2.9 Sistem adaptabil după structură


• limitări în constuirea modelelor, ceea ce implică o structurare a modelelor datorită limitărilor de memorie şi alcătuirea unei ierarhii de subprobleme unde vor fi aplicate aceste modele;

• o utilizare mai bună a resurselor, prin realizarea unui control la nivelul fiecărui subsistem şi a sistemului în ansamblu;

• flexibilitate, adică posibilitatea schimbării rapide a unor conexiuni sau introducerea altora noi.

În asfel de sisteme apare necesitatea unei probleme de coordonare şi uneia de specializare.

Coordonarea implică pe de-o parte, stabilirea regulilor de operare, iar pe de altă parte, includerea lor în cadrul organizaţiei.

Specializarea este legată de conceptul de funcţie a unui sistem, prin funcţie înţelegând modalitatea practică prin care un sistem (subsistem) îşi realizează scopul.

A coordona subsistemele înseamnă a le influenţa să funcţioneze armonios şi aceasta este sarcina unităţii de pe nivel superior (unitatea majoră). Atingerea scopului înseamnă găsirea unei soluţii pentru problema de decizie a sistemului.

Pentru un sistem la care conducerea se realizează prin două nivele vom avea o unitate de comandă C0 coordonatoare aflată pe nivel superior şi n unităţi de comandă inferioare Ci aflate pe nivelul doi, ce acţionează asupra procesului P (sistemul efector ce realizează transformarea intrărilor în ieşiri). În figura 2.10 se pot urmări aceste legături.

În acest proces se evidenţiază intrarea coordonatoare R vectorul de comandă mi de la unităţile de control Ci, clasa de funcţii de intrare Ω provenite din mediu, vectorii de reacţie zi, şi wi (de la proces şi de la unităţile de pe nivelele inferioare de comandă Ci) ce conţin informaţii despre proces şi respectiv despre unităţile de comandă Ci.

R

Cn

wi

C0

C1 Ci

R

w1

R wn

P Ω Y

m1 mi m zn

C0 : W →R P : Ω × M →Y CI : R× zi →mI

Fig. 2.10 Sistem ierarhic pe două nivele

z1 zi


Procesul P poate fi privit ca o compunere de n subprocese (P1,…,Pn) fiecare sub controlul unei unităţi de comandă Ci (aflată pe nivel inferior). Considerând că descompunem procesul (sistemul condus) într-o serie de procese elementare P1,...,Pn care sunt procese necuplate, legătura între ele este realizată de blocul H (fig. 2.11). P

Implementatorul (decodorul) H modifică ieşirea unităţii de decizie asfel ca ea să fie acceptabilă altui subsistem Pi, el realizează funcţia de cuplare a proceselor prin mărimea ui.

De exemplu, dacă avem un proces complex cum ar fi o linie de oţelărie-forjă-laminare dintr-un combinat metalurgic, atunci secţiile de oţelărie, forjă, laminare reprezintă subprocesele necuplate, conducerile la nivelul secţiilor sunt reprezentate de blocurile de comandă de pe nivelul doi, respectiv C1, C2 ,C3 iar directorul liniei împreună cu serviciul de programare a producţiei la nivelul liniei este reprezentat de blocul Co, iar deciziile acestora de intrarea R.

Pentru fiecare subproces Pi există o transformare care cuplează procesele Hi defintă de:

Hi : M x R → Ui şi P : M xU x Ω unde:

H(m,y) = ( H1(m,y), ..., Hn(m,y)) - reprezintă funcţia de cuplare a subproceselor (ea determină modul după care se descompune procesul şi se alege astfel încât să fie cât mai simplă);

Ω = [ω:T→Y] – este transformarea prin care sunt date intrările din mediu; P şi P - reprezintă procesele cuplate respectiv subprocesele necuplate,

dacă sunt adevărate condiţiile: Y = P (m, H(m,y), ω) ⇔ Y = P (m,ω) pentru toţi (m,y, ω) din M x Y x

Ω;

Y = P (m ,u, ω) ⇒ u = H(m,y).

Se defineşte funcţia de interfaţă a intrărilor K astfel (fig. 2.12):

u m P

H

ω Y P1

Pn

m1 u1,ω

mn un,ω

Y1

Yn

Fig. 2.11 Sisteme necuplate şi blocul de adaptabilitate

H

H

m

Yu

un

H

mn


K : M × ω → U, şi K(m,ω) = H(m, P (m,ω)), unde: K - reprezintă funcţia de interacţiune a subproceselor şi poate fi considerată ca un subsistem care generează interacţiunile între subprocesele Pi.

În analiză se ia în considerare funcţia de cuplare H sau funcţia de interacţiune K.

De exemplu în cazul combinatului metalurgic pe linia oţelării-forjă-laminor funcţia de interacţiune între secţia oţelărie şi forjă este reprezentată din punct de vedere material de cantitatea şi tipurile de oţel ale ţaglelor şi între secţia de forjă şi laminor de produsele forjate ce vor intra în laminor iar din punct de vedere informaţional - decizional de schimbul de informaţii privind programele de producţie a celor trei secţii.

Subsistemul de comandă Vom considera sistemul de conducere la nivel superior compus din

unitatea de decizie D0 şi implementatorul (decodorul) C0 conectat în cascadă care modifică ieşirea unităţii de decizie pentru a o face acceptabilă altui sistem (figura 2.13).

H

Pω

m

Yu

K

Fig.2.12 Subsistemul de interfaţă a intrărilor

D0

C0

X0

Wi

RFig.2.13 Subsistemul de decizie de pe nivelul superior

D0 : W→ X0 C0 : W×X0→R


Se consideră că se asociază cu unitatea superioară (majoră) de conducere, o familie de probleme de decizii D0(w), w∈W, cu setul de decizii astfel că pentru ∀ w∈W ⇒ X0 = D0(W) să fie o soluţie.

Dacă considerăm sistemele de comandă Ci de pe nivelul inferior vom avea următoarele relaţii (fig. 2.14):

ci : R × zi→ mi - decodorul de pe nivelul inferior; di : R × zi→ xi - unitatea de decizie de pe nivelul inferior; mi = ci (zi di(R, zi)) - mărime de comandă ce acţionează asupra

subproceselor; f01:xi×zi×R→ wi - adaptor între unităţile de pe nivel superior şi cele de pe

nivele inferioare. Unităţii de decizie di îi este asociată o familie de probleme de decizii Di(R,

zi) cu setul de decizii astfel încât pentru fiecare pereche (Ri,zi), ieşirea x i= di((R, zi) este soluţia problemei Di(R,zi). Fiecare unitate di îşi selectează din intrarea coordonatoare R informaţiile specifice ei.

Decodorul generează intrările de comandă adaptate pentru subprocesul i, ce sunt determinate în funcţie de decizia xi şi informaţia de reacţie zi provenită de la proces.

Pentru a formaliza conceptul de coordonare este necesar să introducem o problemă de decizie adiţională, cu ajutorul căreia să evaluăm cu succes coordonarea. Avem două probleme şi anume: o coordonare relativă la problema de decizie a unităţii superioare şi alta relativă la problema de decizie în ansamblu (generală).

di

C1

F0i

mi zi

wi

R

xi

Fig 2.14 Subsistemul de decizii de pe nivel inferior


Fie P(X,D) predicatul definit pentru toate perechile (X,D) unde D este o problemă de decizie şi X soluţia acestei probleme. Luăm în considerare ipoteza că reacţiile către unitatea superioară de comandă D0 şi către unităţile inferioare Di sunt fixate. Predicatul P(X,D) este adevărat dacă exită o problemă de decizie D şi X este soluţia sa.

Fie D0 problema de decizie a unităţii superioare pentru fiecare intrare coordonatoare R, Di(R) problemele de decizii corespunzătoare pentru unităţile inferioare şi ( )RD setul acestor probleme D(R), D2 (R), ..., Dn(R) cu soluţiile x1,..., xi, ..., xn.

În aceste condiţii se pot defini următoarele tipuri de coordonări:

a) Coordonarea relativă la problema de decizie a unităţii superioare

(∃R)(∃x) [P( X, D (R)) şi P(R, D0)] (1).

Deci această coordonare cere să existe soluţii la problema de decizie a unităţii superioare pentru intrarea coordonatoare R şi setul D (r) a problemelor de decizii inferioare să aibă de asemenea soluţie. Dependenţa problemelor de decizie superioară de ieşirile unităţilor inferioare de decizie se exprimă asfel:

P(R D0) ⇔ (∃x)[Q0(R,x)], R ∈ ℜ, unde:

- Q0(R,x) este un predicat definit pe toate perechile (R,x) în spaţiul definit de R×X;

- X= X1×X2×…×Xn este produsul cartezian al soluţiilor unităţilor de

decizie inferioare;

- ℜ reprezintă mulţimea intrărilor coordonatoare.

Această condiţie ne arată că intrarea coordonatoare R rezolvă problema de decizie a unităţii superioare dacă există o decizie corespunzătoare a unităţii inferioare x, astfel că această condiţie exprimată prin predicatul Q(R, x) să fie satisfăcută.

b) Coordonarea referitoare la problema de decizie în ansamblu

Problema de decizie în ansamblu este definită ca o regulă în termenii procesului în ansamblu, deci mulţimea deciziilor poate fi considerată ca mulţimea de comenzi M.

Informaţia de reacţie este fixată, intrările de control (comandă) aplicate procesului în ansamblu depind de unităţile de decizie a unităţilor inferioare deci intrările de comandă pot fi exprimate ca o transformare ΠM : X→ M.


Spunem că problemele de decizii minore (de pe nivel inferior) sunt coordonate relativ la problema de decizie în ansamblu dacă este adevărată relaţia:

(∃R)(∃x)[P(x, D (R)) şi P(Πm(X1,D))], (2) adică coordonatorul (sistemul major de comandă) poate influenţa unităţile inferioare astfel că acţiunile lor care rezultă să satisfacă problema de decizie în ansamblul ei.

Postulatele de consistenţă Pentru a realiza o coordonare a problemei de decizie trebuie să existe o

compatibilitate între problemele de decizie de pe nivel superior şi cele de pe nivel inferior precum şi între cele de pe nivel superior cu problema de decizie în ansamblu (ce cuprinde şi procesul), fapt asigurat de repetarea a trei postulate de consistenţă. Realizarea cu succes a activităţilor de conducere a sistemului (cu două nivele) necesită ca scopurile subsistemelor să fie armonios îmbinate.

Există trei feluri de astfel de scopuri şi anume: referitoare la întreg ansamblu, la unitatea superioară de decizie şi la unităţile inferioare de decizie.

Armonia între aceste scopuri este asigurată de respectarea principiilor de consistenţă care sunt exprimate logic prin următoarele propoziţii. I. Unităţiile de decizie minore sunt singurele subsisteme în legătură directă

cu procesul. Scopul global este atins prin acţiunea unităţilor minore de decizie astfel încât tebuie să fie adevărată/respectată relaţia (2);

II. Unitatea de decizie majoră afectează, prin coordonare, comportarea unităţilor de decizii minore, dar pe o cale prin care aceasta să-şi realizeze propriul scop. Va trebui satisfăcută relaţia (1);

III. Problema este definită în termenii procesului în ansamblu. Pentru consistenţa (compatibilitatea) problemelor de decizii, coordonarea unităţilor de decizie inferioare relativ la problema de decizie superioară, trebuie să fie suficient de apropiată de problema de decizie în ansamblul ei. Relaţia de consistenţă este dată de:

(∀R) (∀x) [P( x , D (R)) şi Q0(R,x)] ⇒ [P(x`, D (R) şi PM(x), D)]

Postulatul arată că problemele de decizie ale unităţilor minore (inferioare)

sunt coordonate faţă de problema de decizie în ansamblu, numai dacă ele sunt coordonate faţă de problema de decizie a unităţilor superioare.

Postulatele de consitenţă şi necesitatea pentru coordonare ne indică doar ce proprietăţi trebuie să aibă problema de decizie superioară. Dacă problemele de decizie a unui sistem cu două nivele sunt consistente, obiectivul sistemului în ansamblul lui este realizat când unitatea de decizie din blocul de comandă a unităţii superioare, coordonează unităţile de decizie din blocul de comandă a unităţilor inferioare, relativ la propriile sale obiective.


Aceste cerinţe ale postulatelor de consistenţă ne ajută să formulăm problema de sinteză structurală şi ele impun cerinţe şi asupra strategiilor pe care le va folosi coordonatorul, întru-cât nu se ştie cu exactitate ce informaţii va primi acesta.

Se formulează câteva principii care specifică diferite strategii pentru coordonator. Acţiunea coordonatorului este de a influenţa unităţile de decizie minore astfel ca interacţiunile rezultate să fie satisfăcătoare pentru întreg sistemul.

Există trei căi prin care interacţiunile pot fi gestionate:

1. Predicţia interacţiunii Intrările coordonatoare pot implica şi o predicţie a intrărilor de interfaţă .

Fiecare intrare coordonatoare, R∈ ℜ furnizează predicţiile α1R,…,αn

R a intrărilor de interfaţă, ce vor apare în sistem după aplicarea intrărilor de comandă (control). Succesul coordonării unităţilor inferioare depinde de acurateţea predicţiei intrărilor de interfaţă. Acest principiu este sintetizat prin relaţia:

(∀R) (∀x) ∃ [P(x, D (R)) şi K[∏M (x)) = αiR] ⇒ P[ (ΠM ( x), D]

Principiul arată că problema de decizie în ansamblu este rezolvată de

intrarea de comandă m = Πu (x), în timp ce problemele de decizie inferioare sunt rezolvate de intrarea x şi de intrările de interfaţă previzionate αi

R.

2. Principiul echilibrării interacţiunii (decuplării) Acest principiu presupune că este folosită decuplarea interacţiunii.

Succesul în coordonarea unităţilor de decizie inferioare poate fi evaluat în legătură cu discrepanţele care apar între interacţiunile actuale şi cele dorite. El este dată de relaţia:

(∀R) (∀x) ∃ P[x, D (R) şi K(ΠM(x)) = ΠU(x)] ⇒ P(ΠM(x),D)

Acest principiu arată că intrarea de comandă m = ΠM(x) rezolvă problema de decizie în ansamblu, în timp ce x rezolvă problemele de decizii a unităţii inferioare şi intrările de interfaţă dorite uR = ΠU(x) echilibrează intrările din interfaţa actuală u = K(m), ce apar când intrarea de comandă m = ΠM(x) este aplicată procesului.

3. Principiul estimării interacţiunii Acest principiu presupune ca, coordonatorul să precizeze domeniul în care

intrările de interfaţă pot varia. Succesul coordonării depinde de acurateţea estimării. El este exprimat astfel:

(∀R)(∀x) ∃P(x, D (R) şi K(ΠM(x)∈UR) ⇒ P(ΠM(x),D)


Problemea de decizie în ansamblu este rezolvată de intrarea de comandă m = ΠM(x) ori de câte ori problemele de decizie ale unităţilor inferioare sunt rezolvate de soluţiile x şi intrările de interfaţă αR sunt precizate corect

UR- reprezintă domeniul estimat unde vor varia intrările de interfaţă. Intrarea de interfaţă selectată de unitatea de decizie inferioară ca parte a deciziei X este dată de transformarea:

ΠM : X→U Fiecare intrare coordonatoare R din ℜ specifică setul:

UR = U1

R ×…x UnR ⊆ U.

De exemplu, în cazul unui combinat metalurgic problema de coordonare în

ansamblul ei se referă la întreg combinatul incluzând şi celălalte subsisteme auxiliare (aprovizionare, desfacere, financar etc.). Coordonarea la nivelul unităţii superioare este asigurată de deciziile luate de directorul liniei, iar coordonarea la nivelul unităţilor minore este asigurată de deciziile ce se iau la nivelul secţiilor, ce au propriile lor obiective. Fiecare secţie, dacă n-ar exista coordonarea referitoare la unitatea majoră, ar fi tentată să-şi rezolve doar propriile obiective.

Aceasta ar însemna că secţia de oţelării şi-ar ordona succesiunea elaborării şarjelor doar din punctul de vedere al obţinerii eficienţei maxime la cuptoare fără a ţine seama de succesiunea prelucrării la forjă, sau laminare care ar implica altă ordine a elaborării şarjelor.

Coordonarea la nivelul ansamblului are în vedere onorarea contractelor şi obţinerea unui profit maxim, dar şi îndeplinirea unor deziderate sociale cum ar fi creşterea veniturilor angajaţilor pentru a asigura o motivaţie mai puternică a muncii ceea ce implicit conduce la creşterea profitului unităţii în viitor.

Documents

Capitolul 2 Conceptul de Sistem. Proprietati Interne Si Externe Ale Sistemelor