Capitolul 1

Integrala definita (Riemann).Primitive

1.1 Functii integrabile

Definitia 1.1.1. Fie un interval ınchis si marginit [a, b].

1. Se numeste diviziune a intervalului [a, b] o multime de puncte ∆ ={x0, x1, . . . , xn} ⊂ [a, b] astfel ıncat

a = x0 < x1 < x2 < ⋅ ⋅ ⋅ < xn−1 < xn = b.

2. Lungimea celui mai mare subinterval de forma [xi, xi+1], i = 0,1, . . . , n − 1al unei diviziuni ∆ se numeste norma diviziunii:

∥∆∥ = max0≤i≤n−1

(xi+1 − xi)

3. Daca ın fiecare subinterval [xi, xi+1] al unei diviziuni ∆ alegem cate unpunct xi ≤ ξi ≤ xi+1, i = 0,1, . . . , n− 1, aceste puncte se numesc puncteintermediare ale diviziunii ∆.

4. Se numeste suma Riemann a functiei f ∶ [a, b] → R corespunzatoarediviziunii ∆ si punctelor intermediare ξi, i = 0, . . . , n − 1 urmatoareasuma:

σ∆(f) =n−1∑i=0f(ξi)(xi+1 − xi)

Din punct de vedere geometric, sumele Riemann corespunzatoare uneifunctii pe un interval aproximeaza aria subgraficului acestei functii atuncicand diviziunea este foarte fina (norma este suficient de mica).

4

Definitia 1.1.2. Spunem ca functia f ∶ [a, b] → R este integrabila Rie-mann pe [a, b] daca pentru orice sir de diviziuni ∆n cu norma tinzand catre0 si orice alegere a punctelor intermediare corespunzatoare ξni , sirurile core-spunzatoare de sume Riemann σ∆n(f) au o limita finita comuna I. Aceastavaloare I se numeste integrala definita a functiei f pe intervalul [a, b] sise noteaza cu

∫b

af(x)dx.

Daca f este o functie integrabila pe [a, b], atunci definim

∫a

bf(x)dx = −∫

b

af(x)dx,

avand consecinta imediata ca ∫a

a f(x)dx = 0.De asemenea, se poate vedea usor ca daca f este o functie constanta

f(x) = C pe [a, b], atunci

∫b

af(x)dx = C(b − a).

Teorema 1.1.1. Functia f este integrabila pe [a, b] daca si numai dacaexista un numar I ∈ R cu proprietatea ca pentru orice ε > 0, exista δ > 0astfel ıncat oricare ar fi diviziunea ∆ cu ∥∆∥ < δ si punctele intermediare

corespunzatoare ξi sa avem ∣σ∆(f) − I ∣ < ε. In acest caz, I = ∫b

a f(x)dx.

Teorema 1.1.2. Fie f ∶ [a, b] → R. Daca f este integrabila pe [a, b], atuncif este marginita pe [a, b]:

∃m,M ∈ R, m = infa≤x≤b

f(x), M = supa≤x≤b

f(x).

Definitia 1.1.3. Fie f ∶ [a, b]→ R marginita si ∆ o diviziune a lui [a, b].

1. Se numeste suma Darboux inferioara corespunzatoare lui f si di-viziunii ∆ suma

s∆(f) =n−1∑i=0mi(xi+1 − xi), unde mi = inf

x∈[xi,xi+1]f(x), i = 0,1, . . . , n − 1

2. Se numeste suma Darboux superioara corespunzatoare lui f si di-viziunii ∆ suma

S∆(f) =n−1∑i=0Mi(xi+1 − xi), unde Mi = sup

x∈[xi,xi+1]f(x), i = 0,1, . . . , n − 1

5

Daca m = infa≤x≤b

f(x), M = supa≤x≤b

f(x), atunci avem:

m(b − a) ≤ s∆(f) ≤ σ∆(f) ≤ S∆(f) ≤M(b − a)

pentru orice puncte intermediare corespunzatoare diviziunii ∆.

Teorema 1.1.3 (Criteriul de integrabilitate Darboux). O functie marginitaf este integrabila pe [a, b] daca si numai daca pentru orice ε > 0, exista δ > 0astfel ıncat oricare ar fi diviziunea ∆ cu ∥∆∥ < δ sa avem S∆(f)− s∆(f) < ε.

Teorema 1.1.4 (Integrabilitatea functiilor monotone). Fie f ∶ [a, b]→R. Daca f este monotona pe [a, b], atunci este integrabila pe [a, b];

Demonstratie. Presupunem ca f este crescatoare si nu este constanta (functiileconstante sunt integrabile), deci f(a) < f(b). Fie acum o diviziune ∆ a in-tervalului [a, b]. Avem

f(xi) ≤ f(x) ≤ f(xi+1), ∀xi ≤ x ≤ xi+1, i = 0, . . . , n − 1

deci mi = f(xi) si Mi = f(xi+1). Atunci

S∆ − sδ =n−1∑i=0(f(xi+1) − f(xi))(xi+1 − xi)

Pentru ε > 0 alegem δε = εf(b)−f(a) si obtinem ca pentru ∥∆∥ < δε,

S∆−sδ <n−1∑i=0(f(xi+1)−f(xi))

ε

f(b) − f(a)= ε

f(b) − f(a)

n−1∑i=0(f(xi+1)−f(xi)) = ε

de unde conform criteriului lui Darboux rezulta ca f este integrabila.

Teorema 1.1.5 (Integrabilitatea functiilor continue). Fie f ∶ [a, b] →R. Daca f este continua pe [a, b], atunci este integrabila pe [a, b].

Demonstratie. Fie o diviziune ∆ a intervalului [a, b]. Deoarece f este con-tinua pe intervalul compact [xi, xi+1], este marginita si ısi atinge marginile,deci exista x′i, x

′′i ∈ [xi, xi+1] astfel ıncat f(x′i) = mi, f(x′′i ) = Mi, pentru

i = 0, . . . , n − 1. Atunci

S∆ − sδ =n−1∑i=0(f(x′′i ) − f(x′i))(xi+1 − xi)

Fie acum ε > 0. Deoarece f este continua pe [a, b], este si uniform continuape [a, b], deci exista δε > 0 astfel ıncat

∣x′ − x′′∣ < δε⇒ ∣f(x′) − f(x′′)∣ <ε

b − a

6

Daca alegem diviziunea ∆ cu ∥∆∥ < δε, obtinem

S∆ − sδ <n−1∑i=0

ε

b − a(xi+1 − xi) =

ε

b − a

n−1∑i=0(xi+1 − xi) = ε

de unde conform criteriului lui Darboux rezulta ca f este integrabila.

1.2 Proprietati ale functiilor integrabile

1. Daca f si g sunt integrabile pe [a, b] si α,β ∈ R, atunci αf + βg esteintegrabila pe [a, b] si

∫b

a(αf(x) + βg(x))dx = α∫

b

af(x)dx + β ∫

b

ag(x)dx;

2. Daca f si g sunt integrabile pe [a, b], atunci si fg, fg , f

g sunt integrabile

pe [a, b] (daca sunt bine definite);

3. Daca f si g sunt integrabile pe [a, b] si f(x) ≤ g(x), ∀x ∈ [a, b], atunci

∫b

af(x)dx ≤ ∫

b

ag(x)dx;

4. Daca f este integrabila pe [a, b], atunci si ∣f ∣ este integrabila pe [a, b]si avem

∣∫b

af(x)dx∣ ≤ ∫

b

a∣f(x)∣dx;

5. Teorema de medie: daca f si g sunt integrabile pe [a, b] si daca g ≥ 0,atunci exista µ ∈ [m,M], unde m = inf

a≤x≤bf(x), M = sup

a≤x≤bf(x), astfel

ıncat

∫b

af(x)g(x)dx = µ∫

b

ag(x)dx;

Demonstratie.

m ≤ f(x) ≤M ⇒mg(x) ≤ f(x)g(x) ≤Mg(x)

Integrand pe [a, b] gasim

∫b

amg(x)dx ≤ ∫

b

af(x)g(x)dx ≤ ∫

b

aMg(x)dx

7

de unde

m ≤ ∫b

a f(x)g(x)dx

∫b

a g(x)dx´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶

µ

≤M

6. Daca f este continua si g este integrabila si pozitiva pe [a, b], atunciexista ξ ∈ [a, b] astfel ıncat

∫b

af(x)g(x)dx = f(ξ)∫

b

ag(x)dx

7. Daca f este continua pe [a, b], atunci exista ξ ∈ [a, b] astfel ıncat

∫b

af(x)dx = f(ξ)(b − a)

8. Proprietatea de ereditate: Daca f este integrabila pe [a, b], atunci feste integrabila pe orice subinterval [a′, b′] ⊂ [a, b];

9. Proprietatea de aditivitate: Daca f este integrabila pe [a, b] si c ∈ [a, b],atunci

∫b

af(x)dx = ∫

c

af(x)dx + ∫

b

cf(x)dx;

10. Daca f este integrabila pe [a, c] si [c, b], atunci f este integrabila pe[a, b].

11. Daca f este o functie impara integrabila pe [−a, a], atunci

∫a

−af(x)dx = 0;

12. Daca f este o functie para integrabila pe [−a, a], atunci

∫a

−af(x)dx = 2∫

a

0f(x)dx.

13. Daca f si g sunt egale pe [a, b] cu exceptia unui numar finit de puncte,iar una dintre ele este integrabila pe [a, b], atunci si cealalta este inte-grabila pe [a, b] si integralele lor sunt egale.

8

1.3 Primitive

Definitia 1.3.1. Fie f ∶ I → R unde I este un interval de numere reale. Senumeste primitiva a lui f pe I o functie F ∶ I → R cu proprietatea ca estederivabila si

F ′(x) = f(x), ∀x ∈ I.

Urmatoarea teorema arata ca daca o functie admite o primitiva, atunciaceasta nu este unica:

Teorema 1.3.1. Fie f ∶ I → R si F o primitiva a lui f . Atunci oricare ar fiC ∈ R, functia G ∶ I → R definita prin

G(x) = F (x) +C, ∀x ∈ I

este de asemenea o primitiva a lui f . Mai mult, orice alta primitiva a lui fpe I este de aceasta forma.

Asadar daca avem o primitiva a unei functii f , putem obtine o infinitatede alte primitive prin adaugarea unei constante arbitrare reale, lucru careeste datorat faptului ca derivata oricarei functii constante este nula.

Definitia 1.3.2. Multimea tuturor primitivelor unei functii f ∶ I → R senoteaza cu

∫ f(x)dx

si se numeste integrala nedefinita a functiei f .

Din teorema anterioara deducem ca

∫ f(x)dx = {F (x) +C ∣ F primitiva a lui f si C ∈ R}

Teorema 1.3.2. Exista urmatoarele integrale nedefinite:

1. ∫ xαdx = xα+1

α+1 +C, x ∈ [0,∞), α ≠ −1;

2. ∫ 1xdx = ln ∣x∣ +C, x ∈ R ∖ {0};

3. ∫ axdx = ax

lna +C, x ∈ R, a > 0, a ≠ 1;

4. ∫ exdx = ex +C, x ∈ R;

5. ∫ sinxdx = − cosx +C, x ∈ R;

6. ∫ cosxdx = sinx +C, x ∈ R;

9

7. ∫ 1cos2 xdx = tgx +C, x ∈ R ∖ {(2k + 1)

π2 ;k ∈ Z} ;

8. ∫ 1sin2 x

dx = − 1tgx +C, x ∈ R ∖ {kπ;k ∈ Z};

9. ∫ 1x2+a2dx =

1aarctg

xa +C, x ∈ R, a ≠ 0;

10. ∫ 1x2−a2dx =

12a ln ∣

x−ax+a ∣ +C, x ∈ R, a > 0, ∣x∣ ≠ a;

11. ∫ 1√a2−x2

dx = arcsin xa +C, x ∈ (−a, a), a > 0;

12. ∫ 1√x2+a2

dx = ln(x +√x2 + a2) +C, x ∈ R;

13. ∫ 1√x2−a2

dx = ln ∣x +√x2 − a2∣ +C, x ∈ (−∞,−a) ∪ (a,∞), a > 0.

In general, orice functie continua admite primitive. Urmatoarea teoremaarata proprietatea de linearitate a integralei nedefinite, care, ımpreuna cu teo-rema anterioara, ajuta la gasirea primitivelor functiilor obtinute prin sumareasau ınmultirea cu o constanta a functiilor elementare.

Teorema 1.3.3. Fie f, g ∶ I → R si α,β ∈ R. Daca f si g admit primitive peI, atunci si αf + βg admite primitive pe I si avem:

∫ (αf + βg)(x)dx = α∫ f(x)dx + β ∫ g(x)dx.

De asemenea, daca o functie admite primitive, atunci are proprietatea luiDarboux, ınsa nu este neaparat continua.

In sectiunea urmatoare prezentam diverse alte metode de integrare, careımpreuna cu primitivele functiilor elementare ajuta la gasirea primitivelorunor functii mai complicate.

1.4 Metode de integrare

Teorema 1.4.1 (metoda integrarii prin parti). Fie f, g ∶ I → R cu derivatede ordinul 1 continue pe I. Atunci:

∫ f(x)g′(x)dx = f(x)g(x) − ∫ f ′(x)g(x)dx.

Demonstratie. Din ipoteza avem ca functiile fg′ si f ′g sunt continue, deciintegralele ∫ f(x)g′(x)dx si ∫ f ′(x)g(x) au sens. Avem (fg)′ = f ′g+fg′ deci

∫ (f ′(x)g(x) + f(x)g′(x))dx = ∫ (f(x)g(x))′dx = f(x)g(x) +C

10

deci

∫ f(x)g′(x)dx = f(x)g(x) +C − ∫ f ′(x)g(x)dx

= f(x)g(x) − (∫ f ′(x)g(x)dx −C)

= f(x)g(x) − ∫ f ′(x)g(x)dx

Teorema 1.4.2 (metoda schimbarii de variabila). Fie functiile u ∶ I → Jderivabila si f ∶ J → R care admite primitiva F . Atunci:

∫ f(u(x))u′(x)dx = F (u(x)) +C, ∀x ∈ I.

Demonstratie. Avem ca F este derivabila, deci functia F (u(x)) este deriv-abila si are loc

(F (u(x))′ = F ′(u(x))u′(x) = f(u(x))u′(x)

adica functia F (u(x)) este o primitiva a lui f(u(x))u′(x) deci

∫ f(u(x))u′(x)dx = F (u(x)) +C

Daca notam y = u(x), atunci avem dy = u′(x)dx, iar integrala devine

∫ f(u(x))u′(x)dx = ∫ f(y)dy = F (y) +C = F (u(x)) +C.

Aplicand teorema anterioara functiilor elementare din teorema 1.3.2, obtinem:

1. ∫ u(x)αu′(x)dx =u(x)α+1α+1 +C, u(x) ∈ [0,∞), α ≠ −1;

2. ∫ 1u(x)u

′(x)dx = ln ∣u(x)∣ +C, u(x) ∈ R ∖ {0};

3. ∫ au(x)u′(x)dx = au(x)

lna +C, a > 0, a ≠ 1;

4. ∫ eu(x)u′(x)dx = eu(x) +C;

5. ∫ sinu(x)u′(x)dx = − cosu(x) +C;

6. ∫ cosu(x)u′(x)dx = sinu(x) +C;

7. ∫ 1cos2 u(x)u

′(x)dx = tgu(x) +C, u(x) ∈ R ∖ {(2k + 1)π2 ;k ∈ Z} ;

11

8. ∫ 1sin2 u(x)u

′(x)dx = − 1tgu(x) +C, u(x) ∈ R ∖ {kπ;k ∈ Z};

9. ∫ 1u(x)2+a2u

′(x)dx = 1aarctg

u(x)a +C, a ≠ 0;

10. ∫ 1u(x)2−a2u

′(x)dx = 12a ln ∣

u(x)−au(x)+a ∣ +C, a > 0, ∣u(x)∣ ≠ a;

11. ∫ 1√a2−u(x)2

u′(x)dx = arcsin u(x)a +C, u(x) ∈ (−a, a), a > 0;

12. ∫ 1√u(x)2+a2

u′(x)dx = ln(u(x) +√u(x)2 + a2) +C;

13. ∫ 1√u(x)2−a2

u′(x)dx = ln ∣u(x) +√u(x)2 − a2∣ + C, u(x) ∈ (−∞,−a) ∪

(a,∞), a > 0.

1.4.1 Primitivele functiilor rationale

Definitia 1.4.1. Se numeste fractie simpla (sau ireductibila) o functierationala de forma

A

(x − a)n, x ≠ a sau

Ax +B(x2 + bx + c)n

, n ∈ N, b2 − 4c < 0.

Teorema 1.4.3. Fie o functie rationala f ∶ I → R, f(x) = P (x)Q(x) al carei

numitor se descompune ın factori ireductibili

Q(x) = (x − a1)k1 . . . (x − al)kl(x2 + b1x + c1)m1 . . . (x2 + bnx + cn)mn .

cu b2j − 4cj < 0, ∀j = 1, . . . , n. Atunci f(x) se poate descompune ın mod unicca o suma de fractii simple de forma:

f(x) =R(x) +l

∑i=1( Ai1x − ai

+ Ai2(x − ai)2

+ ⋅ ⋅ ⋅ + Aiki(x − ai)ki

)+

+n

∑j=1(Bj1x +Cj1x2 + bjx + cj

+Bj2x +Cj2(x2 + bjx + cj)2

+ ⋅ ⋅ ⋅ +Bjmj

x +Cjmj

(x2 + bjx + cj)mj)

unde R(x) este un polinom, mai precis catul ımpartirii lui P (x) la Q(x).

Folosind teorema de mai sus si proprietatea de linearitate a integraleinedefinite, putem scrie orice primitiva a unei functii rationale ca o suma deprimitive de fractii simple, care pot fi calculate folosind metodele de integrareprezentate in sectiunea anterioara.

12

1.4.2 Schimbari de variabila uzuale

Schimbari de variabila trigonometriceFie o primitiva de forma

∫ R(sinx, cosx)dx,

unde R este o functie rationala de doua variabile. Pentru astfel de primitivese poate folosi schimbarea de variabila t = tg x

2 , pentru care avem:

sinx = 2t

1 + t2, cosx = 1 − t2

1 + t2, dx = 2

1 + t2dt.

Alte schimbari de variabila trigonometrice se pot folosi ın una din urmatoarelesituatii:

I. Daca R(sinx, cosx) este impara ın sinx, adica

R(− sinx, cosx) = −R(sinx, cosx)atunci se poate folosi schimbarea de variabila t = cosx.

II. Daca R(sinx, cosx) este impara ın cosx, adica

R(sinx,− cosx) = −R(sinx, cosx)atunci se poate folosi schimbarea de variabila t = sinx.

III. Daca R(sinx, cosx) este para atat ın sinx cat si ın cosx sau se poatescrie sub forma R1(tgx), atunci se poate folosi schimbarea de variabilat = tgx, pentru care avem:

sin2 x = t2

1 + t2, cos2 x = 1

1 + t2, dx = 1

1 + t2dt.

Integrale binomeO integrala binoma este o integrala nedefinita de forma

∫ xm(a + bxn)pdx

unde a, b ∈ R si m,n, p ∈ Q. Pentru astfel de integrale folosim urmatoareleschimbari de variabila:

1. daca p ∈ Z, folosim x = tr unde r este cel mai mic multiplu comun alnumitorilor lui m si n;

2. daca p ∉ Z, dar m+1n ∈ Z, atunci folosim a+bxn = ts unde s este numitorul

lui p;

3. daca m+1n ∉ Z, dar

m+1n + p ∈ Z, atunci folosim ax−n + b = ts unde s este

numitorul lui p.

13

Substitutiile lui EulerPrimitivele de forma

∫ R (x,√ax2 + bx + c)dx

unde R este o functie rationala de doua variabile, se reduc la primitive defunctii rationale cu ajutorul uneia din urmatoarele schimbari de variabila:

1.√ax2 + bx + c =

√ax + t daca a > 0;

2.√ax2 + bx + c = tx +

√c daca c > 0;

3.√ax2 + bx + c = t(x − λ) unde λ este o radacina a lui ax2 + bx + c, cu

b2 − 4ac > 0.

1.5 Metode de calcul al integralelor definite

Teorema 1.5.1 (Formula Leibnitz-Newton). Fie f ∶ [a, b]→ R o functieintegrabila. Daca F este o primitiva a lui f , atunci

∫b

af(x)dx = F (b) − F (a).

Demonstratie. Fie ∆n un sir de diviziuni ale intervalului [a, b] cu ∥∆n∥→ 0.Aplicand teorema lui Lagrange pe fiecare subinterval [xi, xi+1], i = 0, . . . , n−1,avem ca exista ξi ∈ [xi, xi+1] astfel ıncat

F (xi+1) − F (xi) = F ′(ξi)(xi+1 − xi) = f(ξi)(xi+1 − xi), i = 0, . . . , n − 1

Atunci suma Riemann corespunzatoare diviziunii ∆n si punctelor intermedi-are ξi este

σ∆n(f) =n−1∑i=0f(ξi)(xi+1 − xi) =

n−1∑i=0(F (xi+1) − F (xi)) = F (b) − F (a)

Trecand la limita cu ∥∆n∥→ 0, gasim

∫b

af(x)dx = F (b) − F (a).

Corolar 1.5.1. Fie f ∶ [a, b]→ R o functie integrabila care admite primitive.Atunci functia

G ∶ [a, b]→ R, G(x) = ∫x

af(t)dt

este o primitiva a lui f .

14

Demonstratie. Fie F o primitiva a lui f . Atunci conform teoremei anterioareavem G(x) = F (x) − F (a), de unde prin derivare obtinem

G′(x) = F ′(x) − 0 = f(x)

deci G este o primitiva a lui f .

Teorema 1.5.2 (formula de integrare prin parti). Daca f si g sunt douafunctii care au derivatele de ordin 1 continue pe [a, b], atunci

∫b

af(x)g′(x)dx = f(x)g(x)∣ba − ∫

b

af ′(x)g(x)dx.

Teorema 1.5.3 (formula de schimbare de variabila). Fie f ∶ [a, b]→ R con-tinua si u ∶ [α,β]→ [a, b] cu derivata continua pe [α,β] si u(α) = a, u(β) = b.Atunci

∫b

af(x)dx = ∫

β

αf(u(t))u′(t)dt.

1.6 Aplicatii ale integralei definite

1. Fie f ∶ [a, b] → R integrabila si pozitiva. Atunci aria subgraficului luif este

A = ∫b

af(x)dx;

2. Fie f, g ∶ [a, b]→ R doua functii integrabile astfel ıncat f(x) ≥ g(x), ∀x ∈[a, b]. Atunci aria suprafetei dintre graficele lui f si g este

A = ∫b

a(f(x) − g(x))dx;

3. Fie f ∶ [a, b]→ R o functie integrabila pozitiva, cu derivata de ordinul 1continua pe [a, b]. Atunci aria suprafetei obtinute prin rotirea graficuluilui f ın jurul axei Ox este

A = 2π∫b

af(x)

√1 + f ′2(x)dx;

4. Fie f ∶ [a, b] → R o functie integrabila si pozitiva. Atunci volumulcorpului obtinut prin rotirea graficului lui f ın jurul axei Ox este

V = π∫b

af 2(x)dx.

15

1.7 Exercitii

1. Sa se calculeze limita sirului

Sn =1

n2

n

∑k=1

√n2 − k2

R: Sn = 1n ∑

nk=1

√1 − ( kn)

2 = ∫1

0

√1 − x2dx = π

4 .

2. Se considera o functie f ∶ [0,1]→ R integrabila, astfel ıncat pentru oriceinterval deschis (x′, x′′) ⊂ [a, b], exista cel putin un punct ξ ∈ (x′, x′′)astfel ıncat f(ξ) = 1

1+ξ . Sa se arate ca ∫1

0f(x)dx = ln 2.

R: ∫1

0f(x)dx = ∫

1

0

dx

1 + x= ln 2.

3. Se considera o functie f ∶ [0,2] → R, f(x) = { x, x ∈ [0,1]x2 + 1, x ∈ (1,2] . Sa

se arate ca f este integrabila si sa se calculeze integrala sa.

R: ∫2

0f(x)dx = ∫

1

0xdx + ∫

2

1(x2 + 1)dx = 23

6.

4. Sa se demonstreze inegalitatea:

1

2< ∫

12

0

dx√1 − x2n

< π6

R: 1 ≤ 1√1 − x2n

≤ 1√1 − x2

⇒ 1

2= ∫

12

0dx ≤ ∫

12

0

dx√1 − x2n

≤ ∫12

0

1√1 − x2

=π

6.

5. Sa se calculeze limn→∞(n4∫

n+1

n

xdx

1 + x5).

R: Din teorema de medie avem ca exista ξ ∈ [n,n + 1] astfel ıncat

In = ∫n+1

n

xdx

1 + x5= ξ

1 + ξ5⇒ n5

1 + (n + 1)5≤ n4In ≤

n4(n + 1)1 + n5

de unde conform teoremei clestelui rezulta limn→∞

n4In = 1.

6. Sa se calculeze ∫1

−1

arctgx

ex + e−xdx.

R: functia arctgxex+e−x este impara, deci integrala este 0.

16

7. Sa se arate ca functia g ∶ [a, b] → R, g(x) = { 1, x ≠ a+b2

−1, x = a+b2

, este inte-

grabila dar nu admite primitive.R: g difera de functia constanta 1 pe [a, b] doar ın x = a+b

2 , deci esteintegrabila, ınsa nu admite primitive deoarece nu are proprietatea luiDarboux.

8. Sa se arate ca functia

f(x) = { 2x sin 1x2 −

2x cos

1x2 , x ∈ [−1,0) ∪ (0,1]

0, x = 0

admite primitive dar nu este integrabila.R: O primitiva a lui f este

f(x) = { x2 sin 1

x2 , x ∈ [−1,0) ∪ (0,1]0, x = 0

dar f nu este integrabila deoarece nu este marginita.

9. Folosind integrarea prin parti, sa se calculeze integralele:

(a) ∫ lnxdx(b) ∫ (x3 + 5x2 − 2)e2xdx(c) ∫ x2 cos 2xdx(d) ∫ eax sin bxdx, a, b ∈ R(e) ∫ x2arctg 3xdx

R:

(a) x lnx − x(b) (12x3 +

74x

2 − 74x −

18) e2x

(c) (2x2 − 1) sin 2x4 + x cos 2x2

(d) a sin bx−b cos bxa2+b2 eax

(e) x3

3 arctg 3x −x2

18 +ln(9x2+1)

162

10. Sa se calculeze integrala

Im = ∫π2

0sinm xdx, m ∈ N

R: Im = m−1m Im−2, I0 = π

2 , I1 = 1.

17

11. Folosind prima metoda de schimbare de variabila, sa se calculeze:

(a) ∫ xe−(x2+1)dx

(b) ∫ e1x

x2 dx

(c) ∫ x+arccosx√1−x2

(d) ∫ dxx(1+ln2 x)

(e) ∫ cos2√xdx

R:

(a) −12e−(x2+1)

(b) −e 1x

(c) − sin t − t2

2 , t = arccosx(d) arctg t, t = lnx(e) t2

2 +t2 sin 2t +

14 cos 2t, t =

√x

12. Sa se calculeze primitivele urmatoarelor functii rationale:

(a) 1(x+a)(x−b)

(b) x2−5x+9x2−5x+6

(c) 1x3+1

(d) 1(x2+1)2

(e) 1x(x+1)2

R:

(a) 1a+b ln ∣

x−bx+a ∣

(b) x + 3 ln ∣x−3x−2 ∣

(c) 12 ln(x2 − x + 1) −

√3arctg 2x−1√

3

(d) 12(arctgx + x

x2+1)

(e) ln ∣ xx+1 ∣ +1x+1

13. Sa se calculeze primitivele:

(a) ∫ 1sinxdx

(b) ∫ sin2 x cos3 xdx

18

(c) ∫ sin3 xcos4 xdx

(d) ∫ 11+sin2 xdx

(e) ∫ 12+sinx cosxdx

14. Sa se calculeze urmatoarele integrale binome:

(a) ∫√x(1 + 3

√x)2dx

(b) ∫ x√1+ 3√

x2dx

(c) ∫ 1

x4√1+x2

dx

15. Sa se calculeze primitivele:

(a) ∫ dx

x+√x2+x+1

(b) ∫ xdx

(x−1)√1+x−x2

(c) ∫ x√−x2 + 4x + 5dx

(d) ∫ x√−x2+3x+4

dx

16. Sa se calculeze aria subgraficului functiei f ∶ [4,9]→ R, f(x) =√x√x−1 .

R: 72 + ln 2.

17. Sa se calculeze aria suprafetei dintre graficele functiilor f(x) = e−x sig(x) = ex pentru x ∈ [0,1].R: e + 1

e − 2.

18. Sa se afle aria suprafetei de rotatie determinata de functia

f ∶ [0, 1√3]→ R, f(x) = 2

√1 − x2.

R: 2√3

3 π [√2 + ln(1 +

√2)]

19. Sa se calculeze volumul corpului de rotatie determinat de functia

f ∶ [0,2]→ R, f(x) = 2x − x2

R: 16π15

19

Capitolul 2

Integrale improprii si cuparametru

2.1 Integrala improprie de primul tip

Definitia 2.1.1. Fie f ∶ [a,∞) → R o functie integrabila pe orice intervalcompact de tipul [a, b], b > a. Integrala ∫

∞a f(x)dx se numeste integrala

improprie de primul tip. Daca limb→∞∫

b

af(x)dx exista si este finita vom

spune ca integrala improprie ∫∞a f(x)dx este convergenta si avem

∫∞

af(x)dx = lim

b→∞∫b

af(x)dx

Daca limita de mai sus nu exista sau este infinita, atunci integrala improprie

∫∞a f(x)dx este divergenta.

In mod similar se pot defini integralele improprii:

∫a

−∞f(x)dx = lim

b→∞∫a

−bf(x)dx

∫∞

−∞f(x)dx = lim

b→∞∫a

−bf(x)dx + lim

b→∞∫b

af(x)dx = ∫

a

−∞f(x)dx + ∫

∞

af(x)dx

Teorema 2.1.1. Fie a > 0. Atunci integrala improprie

∫∞

a

1

xαdx

este convergenta pentru α > 1 si divergenta pentru α ≤ 1.

20

Demonstratie. Functia f ∶ [a,∞) → R, f(x) = 1xα este continua pe orice

interval de tipul [a, b], b > 0, deci este integrabila pe orice astfel de interval.Pentru α < 1 avem:

∫∞

a

1

xαdx = lim

b→∞∫b

ax−αdx = lim

b→∞

x−α+1

−α + 1∣b

a

= limb→∞( b

1−α

1 − α− a

1−α

1 − α) =∞ (2.1)

Pentru α = 1 avem:

∫∞

a

1

xdx = lim

b→∞∫b

a

1

xdx = lim

b→∞lnx∣ba = lim

b→∞(ln b − lna) =∞ (2.2)

Pentru α > 1 avem:

∫∞

a

1

xαdx = lim

b→∞∫b

ax−αdx = lim

b→∞

x−α+1

−α + 1∣b

a

= limb→∞( b

1−α

1 − α− a

1−α

1 − α) = a

1−α

α − 1(2.3)

Din (2.1), (2.2) si (2.3) rezulta ca integrala este divergenta pentru α ≤ 1si convergenta pentru α > 1.

2.1.1 Convergenta integralei ın cazul functiilor pozi-tive

Daca functia f ∶ [a,∞)→ R este pozitiva pe [a,∞), atunci integrala

Φ(b) = ∫b

af(x)dx

este o functie monoton crescatoare pe [a,∞). Problema existentei limitei fi-nite lim

b→∞Φ(b) se reduce atunci la marginirea acestei functii (fiind crescatoare,

limita exista, ea fiind ∞ sau finita ın cazul ın care functia este marginita).Astfel, pentru convergenta integralei ∫

∞a f(x)dx, unde f ≥ 0 pe [a,∞), este

necesar si suficient ca integrala Φ(b) sa fie marginita superior:

∫b

af(x)dx ≤M, ∀b ∈ (a,∞)

Daca aceasta conditie nu este ındeplinita, atunci integrala improprie dataare valoarea ∞. Pe aceasta se bazeaza urmatorul criteriu de comparatiepentru integrale improprii de primul tip din functii pozitive:

Teorema 2.1.2. Fie f, g ∶ [a,∞) → R doua functii astfel ıncat f, g ≥ 0 pe[a,∞). Daca exista limita

limx→∞

f(x)g(x)

= l ∈ [0,∞]

atunci:

21

1. Daca l <∞ si integrala improprie ∫∞a g(x)dx este convergenta, atunci

si ∫∞a f(x)dx este convergenta

2. Daca l > 0 si integrala improprie ∫∞a g(x)dx este divergenta, atunci si

∫∞a f(x)dx este divergenta

Corolar 2.1.1. Daca ın conditiile teoremei de mai sus obtinem 0 < l < ∞,atunci cele doua integrale au aceeasi natura.

Alegand ın particular functia g ∶ [a,∞) → R, a > 0, g(x) = 1xα obtinem

urmatorul criteriu de convergenta:

Teorema 2.1.3. Fie f ∶ [a,∞)→ R astfel ıncat f ≥ 0 pe [a,∞). Atunci

1. Daca ∃α > 1 astfel ıncat limx→∞

xαf(x) <∞, atunci ∫∞a f(x)dx este con-

vergenta

2. Daca ∃α ≤ 1 astfel ıncat limx→∞

xαf(x) > 0, atunci ∫∞a f(x)dx este diver-

genta

2.1.2 Convergenta integralei ın cazul general

Teorema 2.1.4 (Criteriul lui Abel). Fie f, g ∶ [a,∞) → R doua functiiastfel ıncat

1. Integrala improprie ∫∞a f(x)dx este convergenta

2. Functia g este monotona si marginita.

Atunci integrala improprie ∫∞a f(x)g(x)dx este de asemenea convergenta.

Teorema 2.1.5 (Criteriul lui Dirichlet). Fie f, g ∶ [a,∞) → R douafunctii astfel ıncat

1. Functia f este integrabila pe [a, b], ∀b > a si

∣∫b

af(x)dx∣ ≤M, ∀a < b <∞

2. Functia g este monotona si limx→∞

g(x) = 0.

Atunci integrala improprie ∫∞a f(x)g(x)dx este convergenta.

22

2.2 Integrala improprie de al doilea tip

Definitia 2.2.1. Fie f ∶ [a, b) → R o functie integrabila pe orice inter-val compact de tipul [a, c], ∀c ∈ (a, b) si pentru care lim

x↗bf(x) = ∞. In-

tegrala ∫b

a f(x)dx se numeste integrala improprie de al doilea tip.

Daca limc↗b ∫

c

af(x)dx exista si este finita vom spune ca integrala improprie

∫b

a f(x)dx este convergenta si avem

∫b

af(x)dx = lim

c↗b ∫c

af(x)dx

Daca limita de mai sus nu exista sau este infinita, atunci integrala improprie

∫b

a f(x)dx este divergenta.

Definitia 2.2.2. Fie f ∶ (a, b] → R o functie integrabila pe orice inter-val compact de tipul [c, b], ∀c ∈ (a, b) si pentru care lim

x↘af(x) = ∞. In-

tegrala ∫b

a f(x)dx se numeste integrala improprie de al doilea tip.

Daca limc↘a∫

b

cf(x)dx exista si este finita vom spune ca integrala improprie

∫b

a f(x)dx este convergenta si avem

∫b

af(x)dx = lim

c↘a∫b

cf(x)dx

Daca limita de mai sus nu exista sau este infinita, atunci integrala improprie

∫b

a f(x)dx este divergenta.

Teorema 2.2.1. Integrala improprie

∫b

a

1

(b − x)λdx

este convergenta pentru λ < 1 si divergenta pentru λ ≥ 1.

Demonstratie. Functia f ∶ [a, b) → R, f(x) = 1(b−x)λ este continua pe orice

interval de tipul [a, c], ∀c ∈ (a, b), deci este integrabila pe orice astfel deinterval.

Pentru λ < 1 avem:

∫b

a

1

(b − x)λdx = lim

c↗b ∫c

a(b − x)−λdx = lim

c↗b

(b − x)−λ+1λ − 1

∣c

a

=

= limc↗b((b − c)

1−λ

λ − 1− (b − a)

1−λ

λ − 1) = (b − a)

1−λ

1 − λ(2.4)

23

Pentru λ = 1 avem:

∫b

a

1

b − xdx = lim

c↗b ∫c

a

1

b − xdx = lim

c↗b− ln(b − x)∣ca = limc↗b (− ln(b − c) + ln(b − a)) =∞

(2.5)Pentru λ > 1 avem:

∫b

a

1

(b − x)λdx = lim

c↗b ∫c

a(b − x)−λdx = lim

c↗b

(b − x)−λ+1λ − 1

∣c

a

=

= limc↗b((b − c)

1−λ

λ − 1− (b − a)

1−λ

λ − 1) =∞ (2.6)

Din (2.4), (2.5) si (2.6) rezulta ca integrala este convergenta pentru λ < 1si divergenta pentru λ ≥ 1.

Criteriul de comparatie pentru integrale improprii de al doilea tip seenunta la fel ca si cel de la integrale improprii de primul tip, ınlocuind ∞ cub. Aplicand acest criteriu pentru g(x) = 1

(b−x)λ obtinem:

Teorema 2.2.2. Fie f ∶ [a, b)→ R astfel ıncat f(x) ≥ 0, ∀x ∈ [a, b). Atunci

1. Daca ∃λ < 1 astfel ıncat limx↗b(b − x)λf(x) < ∞ atunci ∫

b

a f(x)dx este

convergenta

2. Daca ∃λ ≥ 1 astfel ıncat limx↗b(b − x)λf(x) > 0 atunci ∫

b

a f(x)dx este

divergenta

In mod asemanator se gasesc rezultatele:

Teorema 2.2.3. Integrala improprie

∫b

a

1

(x − a)λdx

este convergenta pentru λ < 1 si divergenta pentru λ ≥ 1.

Teorema 2.2.4. Fie f ∶ (a, b]→ R astfel ıncat f(x) ≥ 0, ∀x ∈ (a, b]. Atunci

1. Daca ∃λ < 1 astfel ıncat limx↘a(x − a)λf(x) < ∞ atunci ∫

b

a f(x)dx este

convergenta

2. Daca ∃λ ≥ 1 astfel ıncat limx↘a(x − a)λf(x) > 0 atunci ∫

b

a f(x)dx este

divergenta

24

2.3 Metode de integrare

Teorema 2.3.1 (Teorema de integrare prin parti). Fie f, g ∶ [a, b)→ Rderivabile cu derivata continua pe intervalul [a, b) unde b poate fi si ∞. Daca

exista si este finita limx→b

f(x)g(x), atunci daca una din integralele ∫b

a f(x)g′(x)dx,

∫b

a f′(x)g(x)dx este convergenta, rezulta ca si cealalta este convergenta si

∫b

af(x)g′(x)dx = lim

x→bf(x)g(x) − f(a)g(a) − ∫

b

af ′(x)g(x)dx

Teorema 2.3.2 (Teorema de schimbare de variabila). Fie u ∶ [a, b) →[α,β) (unde b si β pot fi si ∞) cu u(a) = α, lim

x→bu(x) = β si f ∶ [α,β) → R.

Daca f este continua si u este strict crescatoare, derivabila si cu derivata con-tinua pe [a, b), atunci daca una din integralele ∫

β

α f(t)dt, ∫b

a f(u(x))u′(x)dxeste convergenta, atunci si cealalta este convergenta si cele doua integralesunt egale:

∫β

αf(t)dt = ∫

b

af(u(x))u′(x)dx

2.4 Integrale cu parametru

Definitia 2.4.1. Fie f ∶ [a, b] × Y → R si functiile α(y), β(y) ∶ Y → [a, b].

Daca integrala ∫β(y)

α(y)f(x, y)dx exista pentru orice y ∈ Y , atunci spunem ca

functia

I ∶ Y → R, I(y) = ∫β(y)

α(y)f(x, y)dx

se numeste integrala cu parametru.

Teorema 2.4.1. Fie functia f ∶ [a, b] × Y → R continua pe [a, b], ∀y ∈ Y .Daca exista g(x) = lim

y→y0f(x, y), unde y0 este un punct de acumulare al lui Y

si daca f(x, y) converge uniform catre g(x) pe [a, b] ın punctul y0, atunci

limy→y0

I(y) = limy→y0∫

b

af(x, y)dx = ∫

b

a[ limy→y0

f(x, y)]dx = ∫b

ag(x)dx.

Teorema 2.4.2. Fie functia f ∶ [a, b] × [c, d] → R continua de ambele vari-

abile. Atunci integrala I(y) = ∫b

a f(x, y)dx este o functie continua pe [c, d].

Teorema 2.4.3. Fie functia f ∶ [a, b]×[c, d]→ R continua de ambele variabilecu derivata partiala f ′y(x, y) continua de ambele variabile pe [a, b] × [c, d].

25

Daca functiile α(y), β(y) ∶ [c, d]→ [a, b] au derivate continue pe [c, d] atunci

functia I(y) = ∫β(y)

α(y)f(x, y)dx este derivabila pe [c, d] si

I ′(y) = ∫β(y)

α(y)

∂f

∂y(x, y)dx + β′(y)f(β(y), y) − α′(y)f(α(y), y)

Corolar 2.4.1. Daca α(y), β(y) sunt functiile constante a si b, atunci

I ′(y) = ∫b

a

∂f

∂y(x, y)dx

Teorema 2.4.4. Fie functia f ∶ [a, b] × [c, d] → R continua ın raport cuambele variabile. Atunci avem:

∫d

c[∫

b

af(x, y)dx]dy = ∫

b

a[∫

d

cf(x, y)dy]dx

Demonstratie. Vom demonstra egalitatea mai generala

∫t

c[∫

b

af(x, y)dx]

´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶F (y)

dy = ∫b

a[∫

t

cf(x, y)dy]

´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶G(x,t)

dx

pentru t ∈ [c, d]. Vom considera ambii membri ai egalitatii de mai sus cafunctii de t si le vom deriva ın raport cu t.

Intrucat f este continua ın raport cu ambele variabile, din teorema 2.4.2rezulta ca functiile F (y) si G(x, t) sunt continue ın raport cu y, respectiv x.

Derivand membrul stang ın raport cu t, obtinem:

d

dt(∫

t

cF (y)dy) = F (t) = ∫

b

af(x, t)dx (2.7)

Derivand membrul drept ın raport cu t si aplicand teorema 2.4.3, obtinem:

d

dt(∫

b

aG(x, t)dx) = ∫

b

a

∂G

∂t(x, t)dx = ∫

b

af(x, t)dx (2.8)

Din (2.7) si (2.8) rezulta ca cele doua functii de variabila t difera doarprintr-o constanta, iar cum pentru t = c ambele sunt nule, rezulta ca suntegale pentru orice t ∈ [c, d].

26

2.4.1 Integrale improprii cu parametru

Definitia 2.4.2. Fie f ∶ [a,∞)×[c, d]→ R. Spunem ca integrala cu parametru

I(y) = ∫∞

af(x, y)dx, y ∈ [c, d]

este (simplu) convergenta daca exista limita

limb→∞∫

b

af(x, y)dx.

Daca limita de mai sus are loc uniform ın raport cu y ∈ [c, d], spunem caintegrala este uniform convergenta.

Teorema 2.4.5. Fie f ∶ [a,∞) × [c, d] si g ∶ [a,∞)→ R astfel ıncat

1. ∣f(x, y)∣ ≤ g(x), ∀x ∈ [a,∞), y ∈ [c, d]

2. ∫∞a g(x)dx <∞

Atunci ∫∞a f(x, y)dx este uniform convergenta.

Teorema 2.4.6. Fie f ∶ [a,∞) × [c, d] → R o functie continua de ambelevariabile. Daca integrala

I(y) = ∫∞

af(x, y)dx

este uniform convergenta, atunci I(y) este o functie continua pe [c, d].Teorema 2.4.7. Fie f ∶ [a,∞) × [c, d]→ R continua de ambele variabile, cuf ′y(x, y) continua de ambele variabile, si cu proprietatile

1. I(y) = ∫∞a f(x, y)dx uniform convergenta

2. ∫∞a

∂f∂y (x, y)dx uniform convergenta

Atunci I(y) este derivabila si

I ′(y) = ∫∞

a

∂f

∂y(x, y)dx

Teorema 2.4.8. Fie f ∶ [a,∞) × [c, d] → R continua de ambele variabile cuproprietatile

1. ∫∞a f(x, y)dx uniform convergenta

2. ∫∞a (∫

d

c f(x, y)dy)dx convergenta

Atunci avem:

∫∞

a(∫

d

cf(x, y)dy)dx = ∫

d

c(∫

∞

af(x, y)dx)dy

27

2.4.2 Integralele lui Euler

Definitia 2.4.3. Integralele cu parametru

Γ(p) = ∫∞

0xp−1e−xdx

B(p, q) = ∫1

0xp−1(1 − x)q−1dx

se numesc integralele lui Euler.

Teorema 2.4.9. Integralele lui Euler sunt convergente pentru p, q > 0 sisatisfac urmatoarele proprietati:

1. Γ(1) = 1, Γ (12) =√π

2. Γ(p + 1) = pΓ(p)

3. B(p, q) = B(q, p)

4. B (12 ,12) = π

5. B(p, q) = Γ(p)Γ(q)Γ(p+q)

Urmatoarele integrale pot fi reduse la integrale Euler:

1. ∫∞0 xpe−axdx

2. ∫∞0 x2ne−x

2dx

3. ∫π2

0 sinm x cosn xdx

4. ∫1

0dx

(1−xm)1n

5. ∫∞0

xm−1

(1+x)ndx

28

2.5 Exercitii

1. Sa se studieze convergenta integralelor:

(a) ∫∞0

√x3

1+x2dx;

(b) ∫∞1

arctgxx dx;

(c) ∫∞1

dx

2x+(x2+1)13 +5

;

(d) ∫∞0

x52

1+x2dx

(e) ∫∞1

dx

x√1+x2

;

(f) ∫∞0

dx1+x4 ;

(g) ∫∞0

xdx

(x5+1)12;

(h) ∫∞0

dx

x2+ 3√x4+1

(i) ∫2

0dx

x√2−x ;

(j) ∫1

0dx

3√1−x2

;

(k) ∫1

0dx

4√1−x4

(l) ∫1

0dx

x3+3x2 ;

(m) ∫π2

0 ctgxdx;

(n) ∫2

1dxlnx

2. Sa se calculeze urmatoarele integrale improprii:(a) ∫

∞0

dx1+x2 ;

(b) ∫0

−∞dx

1+x2 ;

(c) ∫∞−∞

dx1+x2 ;

(d) ∫1

01√1−x2

dx;

(e) ∫0

−11√1−x2

dx;

(f) ∫1

−11√1−x2

dx;

(g) ∫∞0

arctgx1+x2 ;

(h) ∫∞−∞

dxx2+4x+9 ;

(i) ∫∞1

dxx lnx ;

(j) ∫∞1

√x

(1+x)2dx;

(k) ∫∞1

dx

x√x2+1

;

(l) ∫∞0 e−ax sin bxdx, a > 0

3. Sa se calculezeπ

∫0

dxa+cosx , a > 0 si apoi, considerand pe a ca parametru,

sa se calculezeπ

∫0

dx(a+cosx)2 .

R:π

∫0

dxa+cosx =

π√a2−1

;π

∫0

dx(a+cosx)2 = πa(a2 − 1)

− 32

4. Sa se calculeze1

∫0

xb − xalnx

dx

R: ln 1+b1+a .

29