Capitolul 1. Calcule matematice fundamentale în Matlabiulianaiatan.synthasite.com/resources/cap1.pdf · cifre semnificative ale lui x. Standardul IEEE (Institute of Electrical and

REZOLVAREA UNOR PROBLEME DE MATEMATICĂ APLICATĂ ÎN INGINERIE CU MATLAB

1

Capitolul 1. Calcule matematice fundamentale în Matlab

1.1. Noţiuni de bază în Matlab

MATLAB este un pachet de programe de o performanţă remarcabilă care are o vastă

aplicabilitate atât în domeniul ştiinţei cât al ingineriei.

Pentru lansarea în execuţie a programului se acţionează dublu click pe pictograma

Matlab de pe Desktop sau se selectează StartAll Programs Matlab.

În Figura 1.1 se observă apariţia a patru tipuri de ferestre cu care lucrează Matlab.

Fig. 1.1. Ferestrele din Matlab 7.9.

Ferestrele din Matlab 7.9 sunt:

1. fereastra de comenzi Command Window;

2. fereastra Command History în care sunt stocate comenzile lansate în execuţie în

fereastra de comenzi;

3. fererastra Workspace, ce prezintă variabilele curente din memorie cu numele,

valoarea şi tipul acestora;

4. fereastra Current Folder, care afişează conţinutul directorului curent, împreună cu

subdirectoarele şi fişierele acestuia.


2

Dintre funcţiile utilizate pentru controlul general al Matlab-ului 7.9 menţionăm:

help: listează help-ul din Matlab în fereastra de comenzi;

help help: oferă informaţii despre funcţia help;

help nume funcţie: furnizează informaţii “on-line” despre funcţia

intitulată nume funcţie;

Scriind în dreptul prompter-ului (simbolul ) din Matlab comanda help dec2base,

lansată în linia de comandă se permite obţinerea informaţiilor despre funcţia dec2base.

doc nume funcţie: afişează documentaţia html corespunzătoare funcţiei

nume funcţie în browser-ul Help;

which nume_funcţie: permite localizarea funcţiei nume_funcţie;


3

iskeyword: listează cuvintele cheie din Matlab;

lookfor keyword: listează toate comenzile şi funcţiile care conţin

cuvântul cheie keyword;

who: listează variabilele curente din memorie;

whos: listează variabilele curente din memorie, alături de

dimensiunea şi tipul acestora;

clear listă_variabile: şterge din memorie variabilele existente în lista

precizată;

clear all: şterge din memorie variabilele existente în lista

precizată;

save nume_fişier

listă_variabile:

salvează variabilele utilizate într-o sesiune de lucru

sau enumerate în listă, într-un fişierul binar

nume_fişier.mat;

load nume_fişier

listă_variabile:

încarcă variabilele enumerate în listă (sau toate

variabilele din nume_fişier) din nume_fişier, în

sesiunea de lucru;

lastwarn returnează ultimul mesaj de avertizare (warning

message) semnalat de MATLAB;

lasterr returnează ultimul mesaj de eroare (error message)

semnalat de MATLAB;

helpbrowser: deschide browser-ul Help din Matlab 7.9.

Comanda helpbrowser poate fi înlocuită cu selectarea din meniul Help a opţiunii

Product Help:


4

Pentru a obţine informaţii “on-line” despre toate funcţiile din Matlab 7.9 şi despre

operatorii utilizaţi de acest program vom accesa:

Help Product Help FunctionsAlphabetical List.

Matlab 7.9 utilizează următorii operatori aritmetici (algebrici) între doi scalari:

Nume operator Forma algebrică Forma Matlab 7.9

Adunarea yx yx

Scăderea yx yx

Înmulţirea yx yx

Împărţirea la dreapta yx : yx /

Împărţirea la stânga xy : yx \

Ridicarea la putere yx yx^

Matlab 7.9 utilizează următorii operatori relaţionali:

Nume operator Forma algebrică Forma Matlab 7.9 Funcţia echivalentă

Mai mic yx yx lt(x,y)

Mai mare yx yx gt(x,y)

Mai mic sau egal yx yx le(x,y)

Mai mare sau egal yx yx ge(x,y)

Egal yx yx eq(x,y)

Diferit yx yx ~ ne(x,y)


5

Ordinea operaţiilor din Matlab 7.9 este aceeaşi cu cea a operaţiilor aritmetice, cunoscute

din matematica elementară, adică se efectuează întâi operaţiile cuprinse în paranteze, apoi

ridicarea la putere, înmulţirea şi împărţirea, adunarea şi scăderea. Ordinea prestabilită a

operaţiilor în calculul unei formule poate fi modificată prin utilizarea parantezelor ( ).

Valoarea expresiei 3 5 se calculează scriind-o în Matlab astfel:

ci nu sub forma:

Operaţiile logice cu scalari în MATLAB sunt:

Nume operator Forma Matlab 7.9

and (şi) and(x,y)

x&y

or(sau) or(x,y)

x|y

not(negaţie) not(x)

~x

exlusive or(sau exclusiv) xor(x,y)

Exemplul 2. 1. Să se verifice operaţiile logice pentru .1,0 ba

Sintaxa necesară pentru a apela o funcţie în MATLAB este:

[argumente returnate]=nume_funcţie(argumente de intrare)


6

Vom prezenta câteva funcţii din Matlab 7.9 utilizate în calcule matematice

fundamentale:

abs(x): determină modulul unui număr real sau complex x;

angle(z): determină argumentul numărului complex z;

acos(x): calculează ;arccos x

asin(x): calculează ;arcsin x

base2dec('strn',base): converteşte nr. strn din baza base în baza 10;

Exemplul 1. 1. Să se scrie numărul 6562 din baza 7 în baza 10 .

[th,rho]=cart2pol(x,y): transformă coordonatele carteziene (x,y) în coordonate

polare (unghiul th este returnat în radiani);

[x,y]=pol2cart( th,rho): transformă coordonatele polare (th,rho) în coordonate

carteziene (unghiul th este dat în radiani);

[th,phi,r]=cart2sph(x,y,z): transformă coordonatele carteziene (x,y,z) în

coordonate sferice (unghiurile th şi phi sunt returnate

în radiani)

Exemplul 1. 2. Determinaţi coordonatele sferice ale punctului 12,4,3 P .

[x,y,z]=sph2cart(th,phi,r): transformă coordonatele sferice (th,phi,r) în

coordonate carteziene (unghiurile th şi phi sunt date


7

în radiani);

complex(a,b): Construieşte forma algebrică ibaz a numărului

complex z ;

conj(z): determină conjugatul numărului complex z;

real(z) returnează partea reală a numărului complex z;

imag(z) returnează partea imaginară a numărului complex z;

cos(x): calculează ;cos x

cot(x): Calculează xcot

dec2base(d,base): converteşte numărul d din baza 10 în baza base;

dec2bin(d): converteşte numărul d din baza 10 în baza 2;

dms2degreees([d m s]): converteşte în grade un unghi dat în grade (d=degree),

minute (m=minutes), secunde(s=seconds)

Exemplul 1. 3. Transformaţi în grade unghiul de 547157 .

degtorad(d): converteşte în radiani un unghi dat în grade;

tan(x): calculează xtg ;

Exemplul 1. 4. Calculaţi 43.113tg .

isprime(x): testează dacă un număr este prim; funcţia returnează

valoarea 1 în caz afirmativ şi 0, altfel;

gcd(x,y) returnează cel mai mare divizor comun pentru x şi y;

lcm(x,y) returnează cel mai mic multiplu comun pentru x şi y;

rem(a,b) determină restul împărţirii lui a la b;

factor(a) descompune un număr în factori primi;

log(x): calculează xln ;

log2(x): calculează ;log2 x


8

log10(x): calculează ;log10 x

pow2(x): calculează ;2x

rats(d): aproximează d printr-o fracţie raţională;

Exemplul 1. 5. Să se scrie sub formă de fracţii raţionale numerele:

.6,5,4,3,2 6543

exp(x): calculează ;e x

floor(x): rotunjeşte valoarea lui x către ; funcţia matematcă

corespunzătoare este [x]= partea întreagă a lui x;

ceil(x): rotunjeşte valoarea lui x către ;

round(x): rotunjeşte valoarea lui x către cel mai apropiat întreg;

fix(x): rotunjeşte valoarea lui x către 0;

Exemplul 1. 6. Să se aproximeze cu un număr întreg numărul 5489089765.0x

folosind funcţiile de rotunjire de care dispune Matlab 7.9.


9

sin(x): calculează xsin ;

sqrt(x): calculează x ;

unitsratio(to, from): converteşte unităţi de măsură pentru lungimi şi

unghiuri;

Matlab 7.9 dispune de funcţia unitsratio, pe care nu o au versiunile precedente versiunii

Matlab 7.0. Unitsratio recunoaşte următorii identificatori pentru convertirea unităţilor de

lungime: metrul- „m‟, centimetrul- „cm‟, milimetrul- „mm‟, micronul- „micron‟, kilometrul-

„km‟, mila nautică- „nm‟, piciorul- „ft‟, inch- „in‟, yard- „yd‟, mila internaţională- „mi‟, etc.

Unitsratio recunoaşte următorii identificatori pentru convertirea unghiurilor: gradul-

„deg‟, radianul- „rad‟; 1 rad corespunde unghiului pentru care raportul dintre lungimea arcului

şi rază este egal cu 1.

Exemplul 1. 7. Determinaţi câţi metri are 1 yard.

Exemplul 1. 8. Câţi inci au 0.254 m?

Exemplul 1. 9. Determinaţi câte grade are un radian.

vpa(A, n): Afişează variabila A cu o precizie de n cifre. Valoarea

implicită pentru n este egală cu 32;

Exemplul 1. 10. Să se calculeze cu 14 zecimale valoarea fracţiei:

.37008959


10

Instrucţiunea

>> x=9

constituie o instrucţiune de atribuire în Matlab; apăsând tasta Enter se va afişa

x =

9

În cazul când utilizăm punct şi virgulă la sfârşitul instrucţiunii de atribuire nu se va mai

afişa rezultatul execuţiei instrucţiunii respective.

Expresiile ce conţin variabila x vor utiliza numărul introdus, care este memorat în

variabila x.

>> 1+x

ans =

10

Matlab-ul face distincţie între literele mari şi mici; de aceea, x şi X sunt variabile

distincte.

Din punct de vedere al formatului extern de afişare a numerelor pe ecran, Matlab 7.9

pune la dispoziţia utilizatorului funcţia format, a cărei sintaxă este:

format(‘type’) sau format type.

Calculatorul stochează un număr real finit ,x sub forma:

,0,1.01 121 amaaax teset

s (1.1)

unde:

1,0s ;

2Ν, semnifică baza considerată de calculatorul respectiv;


11

m reprezintă mantisa, lungimea sa t fiind numărul maxim de cifre ia ,

,10 ia care sunt memorate;

0,0,, ULULe constituie exponentul.

Numerele reprezentate sub forma (1.1) sunt denumite numere în virgulă mobilă,

deoarece poziţia punctului zecimal nu este fixă.

Cifrele paaa 21 (cu tp ) sunt primele p cifre semnificative ale lui .x

Standardul IEEE (Institute of Electrical and Electronics Engineers) stabileşte că

reprezentarea datelor în dublă precizie (double) se realizează pe 64 de biţi (8 bytes):

1 bit pentru semn (S);

11 biţi pentru exponent (E);

52 biţi pentru bază (fracţie=F)

iar în reprezentarea în simplă precizie (single) se utilizează 32 biţi, astfel:

S E E E E E E E E F F F F

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30 31

Reprezentarea numerelor fără semn este asemănătoare reprezentării datelor cu semn dar

presupune alocarea bitului corespunzător semnului, pentru fracţie.

Alte tipuri de date (clase) numerice existente în Matlab 7.9 (pe lângă double şi single)

sunt:

int8(x): converteşte elementele lui x în numere întregi, cu

semn, reprezentate pe 8 biţi;







uint8(x): converteşte elementele lui x în numere întregi, fără







12



Determinarea intervalului de valori specific fiecărei clase se poate obţine cu ajutorul

funcţiilor:

intmin (‘clasa_int’): returnează cea mai mică valoare din clasa de întregi

clasa_int;

intmax (‘clasa_int’): returnează cea mai mare valoare din clasa de întregi

clasa_int;

realmin (‘clasa_real’): returnează cea mai mică valoare din clasa reală

clasa_real;

realmax (‘clasa_real’): returnează cea mai mare valoare din clasa reală

clasa_real.

Observaţia 1. 1.

Clasa_int 64intu,32intu,16intu,8intu,64int,32int,16int,8int

Clasa_real .singledouble,

În MATLAB avem:

.1024

1021

53

2

U

L

t

Principalele formate de afişare sunt:

Valoarea

pentru

type

Rezultat Exemplu

long 15 cifre semnificative pentru double (numere

reprezentate în dublă precizie) şi 7 pentru single

(numere reprezentate în simplă precizie). Se

observă că celor 53 de cifre semnificative din baza

2 le corespund cele 15 cifre semnificative în baza

10, pe care le afişează formatul long în MATLAB.


13

long e formatul long, în notaţie ştiinţifică

long g 15 cifre

short 4 cifre semnificative

short e

formatul short, în notaţie ştiinţifică

short g 5 cifre semnificative

bank număr cu 2 zecimale

rat fracţie


14

Observaţia 1. 2.

(i) Notaţia ştiinţifică are următoarea semnificaţie:

0.3595.105955.3001e5955.3 1

(ii) Dacă se doreşte afişarea unui rezultat cu orice precizie trebuie utilizată funcţia vpa.

Pe lângă tipurile (clasele) numerice, Matlab 7.9 posedă şi clasele:

strings: variabilele de tip string se folosesc pentru a stoca

mesaje;

arrays: tablouri multidimensionale;

cell arrays: tablouri de celule- utilizate pentru gruparea datelor de

tipuri diferite într-o singură variabilă, exprimată cu { };

objects: obiecte- folosite în programarea orientată pe obiect.

Dintre variabilele şi constantele predefinite din Matlab 7.9 menţionăm:

Exemplul 1. 11. Evaluaţi expresia complexă:

hex hexazecimal

ans variabilă creată automat atunci când unei expresii nu i-a fost asignat un nume; ans

este abrevierea cuvântului answer;

realmax cea mai mare valoare reală pozitivă, care poate fi folosită în calcule, adică este

egală cu ;10486231581.79769313 308=1-L

realmin cea mai mică valoare reală pozitivă, care poate fi folosită în calcule, adică are

valoarea ;1085072012.225073851 308 tU

intmax cea mai mare valoare întreagă pozitivă, care poate fi folosită în calcule, adică este

egală cu 2147483647;

intmin cea mai mică valoare întreagă pozitivă, care poate fi folosită în calcule, adică este

egală cu -2147483648;

inf variabilă ce semnifică ;

pi PI 3.1415926535897....;

i sau j variabile folosite pentru introducerea numerelor complexe;


15

.1

21

i

i

Caracterele speciale specifice pentru Matlab 7.9 sunt:

1.2. Definirea tablourilor în Matlab

În Matlab 7.9 definirea tablourilor se poate face prin una din următoarele modalităţi:

1. introducerea listei de elemente componente

2. generarea lor cu ajutorul unor instrucţiuni şi funcţii

3. crearea de fişiere cu extensia .m

4. încărcarea lor din fişiere de date externe.

În cazul primei metode de definire a unui tablou (introducerea listei de elemente

componente), cea mai utilizată dintre toate, elementele unei linii dintr-un tablou sunt separate

prin spaţiu sau virgulă iar liniile se separă prin punct-virgulă.

Elementele tabloului sunt cuprinse între paranteze drepte şi pot fi atât numere reale sau

complexe cât şi orice expresie din Matlab 7.9.

Comanda

eps constituie toleranţa la eroare pentru operaţiile în virgulă mobilă efectuate în Matlab

şi are valoarea egală cu 016;e-2.22042 521 t

nan Variabilă care reprezintă un Not-a-Number .

% este utilizat pentru scrierea unui comentariu;

[ ] perechea de parenteze drepte este necesară definirii tablourilor;

’ apostrof, folosit în două scopuri: pentru transpunerea tablourilor şi respectiv ca

delimitator pentru şiruri de caractere;

; simbolul punct şi virgulă are dublă utilitate: separator de instrucţiuni (nu afişează

rezultate intermediare) şi pentru liniile unei matrice;

permite continuarea scrierii unei instrucţiuni pe linia următoare.


16

produce matricea de numere reale:

iar comanda

furnizează matricea complexă:

În cazul în care componentele unui vector constituie o reţea echidistantă, tabloul

unidimensional poate fi generat printr-o instrucţiune de atribuire, utilizând variabile de

interval, definite astfel:

v=v1:v2:v3,

unde:

v1 reprezintă valoarea iniţială a lui v;

v2 constituie incrementul (pasul);

v3 semnifică valoarea finală a lui v.

Dacă termenul v2 este omis, atunci pasul implicit este 1.

Exemplul 1. 12. Să se genereze un vector ale cărui componente iau valorile cuprinse

în intervalul ],3.1,0[ cu pasul 0.1.


17

Pentru a extrage o submatrice dintr-o matrice se utilizează caracterul special “:”. Spre

deosebire de Mathcad unde este posibilă numai extragerea unor blocuri adiacente dintr-o

matrice, MATLAB-ul permite selecţia şi a unor blocuri neadiacente.

O matrice A poate fi transformată într-un vector coloană folosind comanda

A(:),

care are drept rezultat, concatenarea coloanelor matricei A.

Exemplul 1. 13. Se consideră matricea

34.71278

78547.5

79.007.4

39971

A .

Se cere:

a) Transformaţi matricea A într-un vector coloană b ;

b) Să se extragă din matricea A , submatricea

378

787.5D ,

ce constă din elementele situate pe ultimele două linii şi coloanele 1 şi 4 ale

matricei A .


18

În MATLAB se poate realiza simplu concatenarea pe:

orizontală: [A B]

cat(2,A,B)

horzcat(A,B);

verticală: [A; B]

cat(1,A,B)

vertcat(A,B)

a două (sau mai multe) matrice A şi B, de dimensiuni adecvate.

Exemplul 1. 14. Să se concateneze pe orizontală şi respectiv verticală matricele:

.654

321,

654

321

BA

Un tablou tridimensional se numeşte tensor şi reprezintă o succesiune, în adâncime, de

matrice, denumite paginile tabloului.


19

Fig 1.2. Tensor cu 3 linii, 4 coloane şi 3 pagini.

Exemplul 1. 15. Generaţi în Matlab 7.9 tensorul reprezentat în Fig. 1.2.

Elementele

unui vector x pot fi identificate prin notaţia ix , semnificând componenta a i-a din

vectorul x , ni ,1 , n fiind numărul total de componente;

1

2

1 2 3 5

4 5 6 8

7 8 9 0

10 1 13 2

14 5 16 -1

-7 2 19 11

0 11 17 0

-4 51 1 6

6 -2 92 4

3


20

unei matrice A pot fi identificate prin notaţia jiA , , semnificând elementul aflat în

A , la intersecţia dintre linia i şi coloana j , mi ,1 , nj ,1 , m fiind numărul de

linii iar n numărul de coloane ale matricei A ;

unui tensor T pot fi identificate prin notaţia kjiT ,, , semnificând elementul aflat

în T , la intersecţia dintre linia i , coloana j şi pagina k , mi ,1 , nj ,1 , pk ,1

m fiind numărul de linii, n numărul de coloane şi respectiv p numărul de pagini

ale tensorului .T

Matlab 7.9 utilizează următorii operatori aritmetici (algebrici) pentru matrice:

Nume operator Forma algebrică Forma Matlab 7.9

Adunarea YX YX

Scăderea YX YX

Înmulţirea YX YX

Înmulţirea element cu element jiYjiX ,, YX .

Împărţirea la dreapta 1YX YX /

Împărţirea la dreapta element cu element jiYjiX ,/, YX /.

Împărţirea la stânga YX 1 YX \

Împărţirea la stânga element cu element jiXjiY ,/, YX \.

Ridicarea la putere pX , p scalar pX ^

Ridicarea la putere a fiecărui element pjiX , , p scalar pX .^

Transpunerea tX 'X

Observaţia 1. 3.

(i) Produsul a două matrice este posibil dacă şi numai dacă numărul coloanelor

matricei X este egal cu numărul liniilor matricei .Y

(ii) Transpunerea unui tablou, ce are componente numerice (ci nu simbolice) se

realizează folosind operatorul apostrof.

(iii) MATLAB returnează un mesaj de eroare atunci când se încearcă efectuarea

unor operații cu matrice, care au dimensiuni incompatibile.


21

Matlab 7.9 utilizează următorii operatori relaţionali (de comparaţie) pentru matrice:

Nume operator Forma algebrică Forma Matlab 7.9 Funcţia echivalentă

Mai mic BA BA lt(A,B)

Mai mare BA BA gt(A,B)

Mai mic sau egal BA BA le(A,B)

Mai mare sau egal BA BA ge(A,B)

Egal BA BA isequal(A,B)

eq(A,B)

Diferit BA BA ~ ne(A,B)

Operaţiile logice cu matrice (se efectuează element cu element) în MATLAB sunt:

Nume operator Forma Matlab 7.9

and (şi) and(A,B)

A&B

or(sau) or(A,B)

A|B

not(negaţie) not(A)

~A

exlusive or(sau exclusiv) xor(A,B)

Dintre funcţiile folosite de Matlab 7.9 pentru generarea tablourilor menţionăm:

diag(v): generează o matrice diagonală din vectorul v;

diag(A): returnează vectorul ce are drept componente

elementele de pe diagonala principală a matricei A;

diag(v,m): formează o matrice pătratică A, de dimensiune

,mabsn având elementele vectorului v situate pe a

m-a diagonală, de deasupra diagonalei principale


22

(m>0) a lui A ( n fiind lungimea lui v); dacă m este

un număr întreg negativ, atunci se consideră

elementele vectorului v situate pe a m-a diagonală, de

dedesubtul diagonalei principale a lui A.

Exemplul 1. 16. Generaţi matricea

a) ;

0000

3000

0200

0010

A

b) tridiagonală .

6800

3570

0246

0013

B

eye(n): generează o matrice unitate cu n linii şi n coloane;

eye(m,n): generează o matrice unitate cu m linii şi n coloane;

ones(n): generează o matrice de unu-ri cu n linii şi n coloane;

ones(m,n): generează o matrice de unu-ri cu m linii şi n coloane;

rand(m,n): generează o matrice ale cărei elemente sunt numere

aleatoare, cu distribuiţie uniformă în intervalul 1,0 ;

randn(m,n): generează o matrice ale cărei elemente sunt numere


23

aleatoare, cu distribuiţie normală, de medie 0 şi

varianţă 1;

tril(A): extrage partea inferior triunghiulară a matricei A;

triu(A): extrage partea superior triunghiulară a matricei A;

Exemplul 1. 17. Să se extragă partea inferior şi respectiv superior triunghiulară a

matricei:

.

7987

8654

5321

A

vander(v): generează o matrice Vandermonde pe baza

elementelor din vectorul v;

Exemplul 1. 18. Generaţi matricea Vandermonde:

1525125625

141664256

1392781

124816

11111

A .


24

zeros(n): generează o matrice nulă cu n linii şi n coloane;

zeros(m,n): generează o matrice nulă cu m linii şi n coloane.

Observaţia 1. 4.

(i) Transformarea numerelor r distribuite uniform pe intervalul 1,0 în numerele x

distribuite uniform pe intervalul ba, se realizează prin intermediul relaţiei

rabax .

(ii) Transformarea numerelor r distribuite normal N 1,0 în numerele x distribuite

normal 2,N se realizează prin intermediul relaţiei

rx .

Vom prezenta câteva funcţii din Matlab 7.9 utilizate în calcule cu tablouri.

dot(x,y): calculează produsul scalar al vectorilor x şi y ;

cross(x,y): calculează produsul vectorial al vectorilor x şi y ;

Exemplul 1. 19. Calculaţi produsul vectorial al vectorilor

kjiu 23 , kjv 4 .

length(x): returnează lungimea vectorului x;

[m,n] = size(X): returnează dimensiunea m x n a matricei X;

ndims(A) determină numărul de dimensiuni ale matricei A;

funcţia este echivalentă cu length(size(A));


25

isvector(v) returnează o valoare egală cu 1 dacă v este un vector şi

0 în caz contrar;

isscalar(v) verifică dacă argumentul său v este un scalar sau nu;

isreal(v) testează dacă argumentul său v este real sau nu;

isfinite(v) verifică dacă argumentul său v este finit sau nu;

isinf(v) verifică dacă argumentul său v este infinit sau nu;

isempty(v) verifică dacă argumentul său v este vid sau nu;

all(x) testează dacă toate componentele unui vector sau

matrice x sunt nenule;

all(x op_ relaţional a) testează dacă toate componetele vectorului x

îndeplinesc condiţia dată ca argument în raport cu ;a

all(A op_ relaţional a) testează dacă toate coloanele matricei A conţin

elemente care îndeplinesc condiţia indicată ca

argument în raport cu ;a

any(x) testează dacă vreun element al vectorului sau matricei

x este nenul;

any(x op_ relaţional a) testează dacă vreo componentă a vectorului x

îndeplinşte condiţia dată ca argument în raport cu ;a

any(A op_ relaţional a) testează dacă vreo coloană a matricei A conţine

elemente care îndeplinesc condiţia indicată ca

argument în raport cu ;a

u=find(x op_ relaţional a): returnează în u indicii elementelor din vectorul x, care

respectă condiţia precizată ca argument, în raport cu

;a

[u,v]=find(X op_ rel a): returnează indicele liniei (vectorul u) şi al coloanei

(vectorul v) matricei argument ,X care conţin

elementele care respectă condiţia precizată ca

argument, în raport cu ;a

Exemplul 1. 20. Să se determine indicii elementelor din vectorul

186176.0 x ,

a căror valoare este egală cu 1 .


26

sort(x): sortează în ordine crescătoare componentele

vectorului x;

[y,I]= sort(x): returnează în vectorul y elementele sortate în ordine

crescătoare ale vectorului x iar în I, indicii elementelor

sortate;

sort(x,’descend’): Sortează în ordine descrescătoare elementele

vectorului x;

Exemplul 1. 21. Să se sorteze în ordine descrescătoare elementele vectorului

7820176.0 x ,

cu precizarea indicelui fiecărui element.

Observaţia 1. 5. Specific pentru Matlab 7.9 este opţiunea descend a funcţiei sort;

pentru versiunile precedente lui Matlab 7.0, sortarea poate fi realizată numai în ordine

crescătoare, neeexistând această opţiune.

min(v): determină cel mai mic element al vectorului v;

min(A) : determină cel mai mic element de pe fiecare coloană a

matricei A;

max(v) : determină cel mai mare element al vectorului v;

max(A) : determină cel mai mare element de pe fiecare coloană a

matricei A;


27

sum(v): calculează suma elementelor vectorului v;

sum(A): calculează suma elementelor de pe fiecare coloană a

matricei A;

prod(v): calculează produsul elementelor vectorului v;

prod(A): obţine produsul elementelor de pe fiecare coloană a

matricei A;

mean(x): calculează media aritmetică a componentelor vectorului x;

mean(A): calculează media aritmetică a elementelor de pe fiecare

coloană a matricei A;

std(x): calculează deviaţia standard a setului de date conţinute în

vectorul x;

std(A): calculează deviaţia standard a elementelor de pe fiecare

coloană a matricei A;

corrcoef(x,y): furnizează coeficientul de corelaţie dintre vectorii x şi y.

Exemplul 1. 22. Se consideră datele referitoare la înălţime (în inches) şi vârsta (în

ani) pentru 19 indivizi (N.H. Bingham, John M. Fry, 2010) :

x(vârsta)=(14, 13, 13, 14, 14, 12, 12, 15, 13, 12, 11, 14, 12, 15, 16, 12, 15, 11, 15),

y(înălţime)=(69, 56.5, 65.3, 62.8, 63.5, 57.3, 59.8, 62.5, 62.5, 59.0, 51.3, 64.3, 56.3, 66.5,

72.0, 64.8, 67.0, 57.5, 66.5).

a) Calculaţi mediile aritmerice corespunzătoare celor două serii de valori observate, adică

., yx


28

b) Determinaţi varianţa (dispersia) a x- valorilor observate, adică media lui .2

xx

c) Aflaţi covarianţa dintre x şi y, definită ca media lui .yyxx

d) Determinaţi coeficientul de corelaţie r, ce este măsura numerică a puterii de asociere

dintre variabila independentă x şi variabila dependentă y.

Observaţia 1. 6.

(i) Corelaţia exprima gradul de potrivire al relaţiei liniare. Dreapta de regresie are

ecuaţia bxay ˆ , unde:


29

x

y

S

Srb , xS şi yS fiind deviaţiile standard (deviaţia standard este rădăcina

pătrată din valoarea varianţei) corespunzătoare valorilor lui x şi respectiv y;

xbya

y constituie valoarea estimată a lui y şi reprezintă valoarea lui y obţinută folosind

dreapta de regresie.

(ii) Coeficientul de corelaţie nu depinde de unităţile de măsură ale caracteristicilor.

1.3. Definirea funcţiilor în Matlab

Ca orice mediu de programare, Matlab 7.9 lucrează fie în modul linie de comandă, fie

cu programe conţinute în fişiere.

O funcţie poate fi definită în Matlab 7.9 trei moduri:

A. modul clasic (întâlnit şi în versiunile precedente), adică într-un fişier de tip

function; acesta poate fi construit selectând: File New Function M-file.

Sintaxa necesară definirii unei funcţii într-un fişier M-file este:

function [lista argumentelor returnate de funcţie]=nume_funcţie(lista

argumentelor de intrare)

corpul funcţiei;

end

B. în linia de comandă (facilitate care nu este posibilă la variantele precedente lui

Matlab 7.0), folosind:

a) @ pentru a crea funcţii anonime;

Sintaxa de definiţie a unei funcţii anonime, în linia de comandă, în Matlab

7.9 este:

nume_funcţie=@(var1,…,varn) expresie_funcţie

b) funcţii inline.

Structura unei funcţii inline este:

nume_funcţie=inline(‘expresie_funcţie’,’var1,…,varn’)

Funcţiile definite în linia de comandă sunt echivalente celor definite într-un M-file.

Numele funcţiei definită într-un fişier de tip function coincide cu numele acelui M-file.

Exemplul 1. 23. Definiţi în linia de comandă a Matlab-ului (atât ca funcţie anonimă

cât şi ca funcţie inline) şi respectiv ca M- function, funcţia


30

xxxf2

3sin22sin

şi apoi calculaţi f .

Cazul I) Funcţia este considerată funcţie anonimă.

Cazul II) Funcţia este funcţie inline.

Cazul III) Funcţia este definită într-un fişier de tip function (intitulat f.m).

Funcțiile definite pe ramuri

22

11

condexpr

condexprxf


31

pot fi reprezentate în Matlab 7.9 astfel:

2211 condexprcondexpr .

Matlab 7.9 dispune de funcții predefinite, care realizează următoarele operații cu

funcții matematice:

compose(f(x),g(x)): compunerea funcțiilor f(x) și g(x);

Exemplul 1. 24. Se consideră aplicațiile liniare:

21,: xxff

.1,: 2xxfg

Să calculeze gf și .fg

inverse(f(x)): returnează inversa funcției f(x).

1.4. Aplicaţii propuse

1. Determinaţi numărul complex z cunoscând partea sa reală şi partea imaginară:

.5Im

2Re

z

z

2. Să se calculeze expresiile următoare:

a) 33 25172517


32

b) 53

74

53

74

c) 37266 e35log

36

7log7log A

d) 33221 xxxM , pentru 4x

e) 32 111 zzzN , pentru iz

f)

33

1

1

1

1

i

i

i

i

g)

35log2 3

5

3

5

ln 2 3 sin5

2log 1 cos log arccos

ln( ) 1 2

ee

tge

h) 2

13

3

2

x

xxF , pentru 1x

i) 53log xB , pentru 7x

j) xxxx cossin

1

)ctgtg2( , pentru 5

x ;

k) xxxxC 7cos5cos3coscos 4444 , pentru .8

x

3. Calculaţi:

a) 324221

b)

4

3loglog

3

1

2

1

c) 777

d) 331 i

e) 39.320coslg

f) 7362ctg

4. Determinaţi valoarea expresiilor următoare:


33

a) 1

2arcsin

22

x

xu

, pentru 2.2x

b) xee

xxxxx sin2

cossin

, pentru 6.1x

c) 2

2

1

1

zz

zz

, pentru iz

5. Verificaţi dacă:

a) 3x este soluţie a ecuaţiei xxxx 6543 ;

b) 331 347347 x este soluţie a ecuaţiei 01433 xx ;

c) iu 11 este soluţie a ecuaţiei 03212 ixix ;

d) 8

71

x şi

22

212

x sunt soluţii ale ecuaţiei 0sin

7

3cos xx .

6. Să se efectueze următoarele operaţii:

a) 22 1111110000110000010

b) 66 1442:12201200 .

7. Determinaţi câţi radiani reprezintă unghiul de 547157 .

8. Să se genereze:

a) o matrice identitate 77x ;

b) o matricea nulă 1010x ;

c) o matrice aleatoare 1110x cu elemente distribuite uniform şi normal.

9. Să se sorteze în ordine crescătoare elementele vectorului

7820176.0 x ,

cu precizarea indicelui fiecărui element.

10. Se consideră matricea

104

320

011

C .

Calculaţi:

a) ttt CC ,

b) 323 I142 CCC .


34

11. Se consideră matricele:

2

0

1

a ,

83

51

90

B ,

111

107

014

C , 720 d .

Verificaţi care dintre următoarele produse au sens şi în acest caz efectuaţi-le: Ba , ad , da ,

dB , Bd ,CB , BC , dC , Cd , aC , Ca , 2C , dBC , dCB , adC , adBC , adCa , 2a .

12. Găsiţi matricea A când:

a)

11

122I

1A ;

b)

22

01

12

011

A .

13. Să se formeze matricea

33

22

11

A pe baza vectorilor

3

2

1

u şi

3

2

1

v .

14. Să se determine indicii elementelor din matricea

33

31X

a căror valoare este mai mare sau egală cu 3 .

15. Fie matricea

02376.05

32431A .

Să se extragă din matricea A submatricea

2376.0

43B .

16. Se consideră vectorul

x=[3.24 2 5 3 4.5 7 6.67 8.95 4.34 2.12],

ce conţine rezultatele obţinute prin N=10 determinări experimentale. Să se calculeze

abaterea medie pătratică a acestor rezultate, folosind formula


35

1

2

11

2

NN

xxN

sigma

N

ii

N

ii

.

17. Calculaţi 5.2,1f cu ajutorul unei funcţii Matlab 7.9, definită în linia de comandă,

pentru:

22, yxyxf .

18. Verificaţi cu ajutorului Matlab-ului dacă:

.0

1

1

1

bac

cab

cba

19. Testaţi dacă vectorii următori sunt coplanari:

kjia 52 , kjib 2 , kjic 194 .


36

1.5. Bibliografie

1. N.H. Bingham, John M. Fry, Regression. Linear Models in Statistics, Springer, New

York, 2010.

2. D.G. Duffy, Advanced Engineering Mathematics with Matlab, Chapman & Hall/CRC,

2003.

3. M. Ghinea, V. Fireţeanu, Matlab: Calcul numeric- Grafică-Aplicaţii, ed. Teora, Bucureşti,

1998.

4. I. Iatan, Îndrumător de laborator în Matlab 7.0, Ed. Conspress, Bucureşti, 2009.

5. I. Iatan, B. Sebacher, Aplicaţii de laborator în Mathematica şi Mathcad, Ed. Conspress,

Bucureşti, 2014.

6. A. Jeffrey, Advanced Engineering Mathematics, Harcourt/Academic Press, 2002.

7. N. Martaj, M. Mokhtari, Matlab R2009, Simulink et Stateflow pour Ingénieurs,

Chercheurs et Etudiants, Springer, 2010.

8. C. Moler, Experiments with MATLAB, http://www.mathworks.com/moler, 2011.

9. A. Quarteroni, F. Saleri, Scientific Computing with Matlab and Octave, Springer, 2006.

10. D. Xue, Y.Q. Chen, Solving Applied Mathematical Problems with Matlab, Taylor &

Francis Group, 2009.

http://www.mathworks.com/moler

Documents

Capitolul 1. Calcule matematice fundamentale în Matlabiulianaiatan.synthasite.com/resources/cap1.pdf · cifre semnificative ale lui x. Standardul IEEE (Institute of Electrical and