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57
CAPTULO 1
MODELO LINEAL GENERAL
1.1. INTRODUCCIN
Este captulo est dedicado a estudiar, desde el punto de vista
economtrico, un
modelo que es lineal en las variables originales o en
transformaciones de las mismas y
que tiene un nmero de variables explicativas superior a dos.
Ejemplo1.1: Como ilustracin, tomaremos uno de los ejemplos ms
repetidos en la
Econometra Aplicada: la funcin de produccin Cobb-Douglas. En su
forma ms
simple el modelo puede escribirse como:
Qt = A Kt Lt e
ut t = 1, ..., T (1.1)
en donde:
Qt = cantidad producida en el periodo t.
Kt = servicios de capital utilizados en el periodo t.
Lt = servicios de trabajo utilizados en el periodo t.
A, y son parmetros y ut es una variable que llamaremos
perturbacin aleatoria.
Tomando logaritmos, el modelo (1.1) puede escribirse como:
yt = 1x1t + 2 x2t + 3 x3t + ut (1.2)
en donde:
yt = log Qt, x2t = log Kt y x3t = log Lt
x1t toma siempre el valor 1; es lo que llamaremos la constante
del modelo.
Los T datos recogidos para las tres variables pueden referirse a
la experiencia de
una empresa en una serie de periodos, a la experiencia de un
sector en diferentes
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58
periodos, a todo un pas en un periodo temporal o a varias
empresas o sectores en un
mismo periodo.
Nosotros, en este trabajo, vamos a utilizar los datos contenidos
en el Cuadro 1.1.
Son datos anuales de Estados Unidos para el periodo 1899-1922 y
son los utilizados por
Cobb y Douglas (1928) para estimar por primera vez este tipo de
funcin de
produccin. Los datos corresponden a la produccin (Y), el stock
de capital (K) y el
trabajo (L).
CUADRO 1.1. Datos para el ejemplo 1.1
OBS. Y K L LY LK LL 1899 100.0000 100.0000 100.0000 4.6052
4.6052 4.6052 1900 101.0000 107.0000 105.0000 4.6151 4.6728 4.6540
1901 112.0000 114.0000 110.0000 4.7185 4.7362 4.7005 1902 122.0000
122.0000 118.0000 4.8040 4.8040 4.7707 1903 124.0000 131.0000
123.0000 4.8203 4.8752 4.8122 1904 122.0000 138.0000 116.0000
4.8040 4.9273 4.7536 1905 143.0000 149.0000 125.0000 4.9628 5.0039
4.8283 1906 152.0000 163.0000 133.0000 5.0239 5.0938 4.8903 1907
151.0000 176.0000 138.0000 5.0173 5.1705 4.9273 1908 126.0000
185.0000 121.0000 4.8363 5.2204 4.7958 1909 155.0000 198.0000
140.0000 5.0434 5.2883 4.9416 1910 159.0000 208.0000 144.0000
5.0689 5.3375 4.9698 1911 153.0000 216.0000 145.0000 5.0304 5.3753
4.9767 1912 177.0000 226.0000 152.0000 5.1761 5.4205 5.0239 1913
184.0000 236.0000 154.0000 5.2149 5.4638 5.0370 1914 169.0000
244.0000 149.0000 5.1299 5.4972 5.0039 1915 189.0000 266.0000
154.0000 5.2417 5.5835 5.0370 1916 225.0000 298.0000 182.0000
5.4161 5.6971 5.2040 1917 227.0000 335.0000 196.0000 5.4250 5.8141
5.2781 1918 223.0000 366.0000 200.0000 5.4072 5.9026 5.2983 1919
218.0000 387.0000 193.0000 5.3845 5.9584 5.2627 1920 231.0000
407.0000 193.0000 5.4424 6.0088 5.2627 1921 179.0000 417.0000
147.0000 5.1874 6.0331 4.9904 1922 240.0000 431.0000 161.0000
5.4806 6.0661 5.0814
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El objetivo de este captulo es dar respuesta a cuestiones del
siguiente tipo:
- Qu procedimientos deben de utilizarse para, teniendo en cuenta
los datos y
toda la evidencia disponible, determinar si el modelo escrito en
(1.2) es o no
empricamente razonable?
- Podra aceptarse un modelo en el que se incorporara la hiptesis
de
rendimientos constantes?
- Cul es el mejor procedimiento para estimar los parmetros del
modelo?
1.2. MODELO E HIPTESIS.
El modelo economtrico que vamos a estudiar esta constituido por
las
siguientes hiptesis:
Hiptesis 1: Para el periodo t-simo podemos escribir:
yt = 1 x1t + + k xkt + ut t = 1, 2,.T.
En forma matricial el modelo puede escribirse como:
y = X + u (1.3)
en donde:
=
=
=
=
T
2
1
k
2
1
kTT2T1
2k2212
1k2111
T
2
1
u
uu
u;;
xxx
xxxxxx
X;
y
yy
y MML
MMMMLL
M
Salvo que se indique lo contrario siempre supondremos que la
primera columna
de X tiene todos sus elementos igual a uno.
A la combinacion lineal de los regresores la llamaremos parte
sistemtica del
modelo, mientras que ut es la parte aleatoria o perturbacin
aleatoria. Esta distincin
entre parte sistemtica y parte aleatoria es muy til porque pone
de manifiesto que los
factores relevantes que explican el comportamiento de la
variable endgena quedan
-
60
recogidos en la parte sistemtica mientras que la parte aleatoria
recoge el efecto
conjunto de aquellos factores que influyen sobre la variable
dependiente pero no
determinan una pauta identificable y estable que resulte til
para explicar el
comportamiento de la variable dependiente.
Hiptesis relativas a la Parte Sistemtica.
Hiptesis 2. Las variables explicativas no son estocsticas. Esta
hiptesis hay que
situarla en el marco de muestreo que siempre acompaa a la
evaluacin de todo modelo
economtrico. Esta evaluacin esta basada en lo que ocurrira si el
clculo de los
estadsticos se repitiera muchas veces generando los datos en
cada caso. Decir que las
variables explicativas no son estocsticas equivale a decir que,
en las sucesivas
repeticiones, esos valores se mantendrn constantes. En este
sentido, algunos autores
hablan de X como si fuera una matriz de diseo.
Hiptesis 3. El rango de la matriz X es k. Este supuesto excluye
la posibilidad de que
una de las variables pueda expresarse como una combinacin lineal
de las k-1 restantes
variables explicativas. En este caso decimos que no hay
multicolinealidad exacta.
Hiptesis 4. Asintticamente se tiene que:
X XT
xT
x xT
x xT
x xT
xT
x xT
x xT
x xT
xT
Q
t t t t kt
t t t t kt
kt t kt t kt
' =
12
1 2 1
1 2 22
2
1 22
L
LK K K K
K
(1.4)
en donde Q es una matriz de constantes finitas. Esta hiptesis es
muy importante
porque lo que se esta suponiendo es que los promedios de
cuadrados y de productos
cruzados giran en torno a constantes. Aunque, como ya hemos
dicho, las observaciones
no son estocsticas el comportamiento que siguen es como si
procedieran de un proceso
estocstico estacionario. A veces, esta hiptesis se formula como:
XX=O(T) queriendo
decir que basta dividir los trminos de la matriz por T para que
los trminos de la
matriz tiendan a expresiones finitas bien definidas.
Hiptesis relativas a la Parte Aleatoria
-
61
Hiptesis 5. La esperanza matemtica de cada perturbacin aleatoria
es cero
Eut = 0 t = 1, 2, .,T
Esta hiptesis indica que aunque dentro de ut se da cabida a
muchos factores que
influyen sobre yt , el efecto conjunto de todos ellos no tiene
un signo definido.
Hiptesis 6. No existe ninguna correlacin entre perturbaciones
correspondientes a
periodos temporales diferentes:
E u ut s = 0 t s s, t = 1, 2,,T
Si hubiera correlacin entre perturbaciones correspondientes a
diferentes
periodos, entonces, dada la informacin de un periodo, podra
utilizarse para predecir el
comportamiento de la perturbacin en otro periodo, identificndose
as una pauta entre
los factores recogidos en lo que se llama perturbacin
aleatoria.
Hiptesis 7. La varianza es la misma para cada una de las
perturbaciones aleatorias. Es
decir,
E ut2 2= t
Esto quiere decir que la dispersin de los efectos de los
factores recogidos en ut
es la misma sea cual sea el periodo. Si la dispersin fuera
diferente entonces podra
decirse que la perturbacin aleatoria esconde algo relevante que
puede ser utilizado
explicitamente para dar cuenta del comportamiento de la variable
dependiente.
Vectorialmente, la Hiptesis 5 puede escribirse como:
Eu
EuEu
EuT
=
=
=
1
2
00
0
0M M (1.5)
y las Hiptesis 6 y 7,
-
62
Var u Euu
Eu Eu u Eu uEu u Eu Eu u
Eu u Eu u Eu
T
T
T T T
( ) '= =
=
=
12
1 2 1
2 1 22
2
1 22
2
2
2
0 00 0
0 0
KK
M M O MK
KK
M M O MK
= 2IT (1.6)
Hiptesis 8. El vector de perturbaciones aleatorias sigue una
distribucin normal T-
variante con vector de medias cero y matriz de varianzas y
covarianzas igual a 2IT . Podemos escribir :
u~N[0, 2IT ] (1.7)
A partir de estas hiptesis puede derivarse la distribucin de
probabilidad de los
elementos de y.
Resultado 1.1. El vector y, de T elementos, se distribuye
como:
y~N[X, 2IT ] (1.8)
Prueba:A partir de la Hiptesis 8 la distribucin de probabilidad
de u puede escribirse
como:
f (u) = }( ) exp{ ' ( )2 12
2 212 2 1
T
T TI u I u
La regla que permite obtener la funcin de distribucin de una
variable que es
transformacin de otra variable puede escribirse como:
f(y) = f (u) uy
(1.9)
en donde uy
es el Jacobiano que adopta la forma siguiente:
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63
uy
uy
uy
uy
uy
uy
uy
uy
uy
uy
T
T
T T T
T
=
=
1
1
1
2
1
2
1
2
2
2
1 2
1 0 00 1 0
0 0 1
K
KM M O M
K
KK
M M O MK
Por lo tanto, la funcin de probabilidad de y puede escribirse
como:
f (y) = )}Xy()'Xy(2
1exp{I)2( 221
T22
T
(1.10)
Ejemplo1.1. (Continuacin). Veamos el significado de las hiptesis
en el marco del
modelo escrito en (1.2). Tal como aparece en (1.2), lo que se
indica es que los nicos
determinantes relevantes que explican la produccin son el
trabajo y el capital usando
una relacin con elasticidad constante. Cumpliendose las Hiptesis
5, 6 y 7 se garantiza
que los factores recogidos en la perturbacin aleatoria no dan
cuenta de nada relevante.
Tambin parece cumplirse la Hiptesis 3 ya que es difcil que
exista una relacin lineal
exacta entre los dos inputs. Ms difcil de sostener es la
Hiptesis 4, ya que tanto el
producto como los inputs parecen seguir una pauta creciente bien
definida.
1.3. ESTIMADORES MNIMO CUADRTICO ORDINARIOS. (MCO)
El vector de estimadores MCO de es el siguiente:
$ ( ' ) ' = X X X y1 (1.11)
A este vector le corresponde la siguiente suma de cuadrados de
los residuos:
S u u utT= = $ $`$21
(1.12)
en donde $u es el vector de residuos MCO definido como:
= Xyu (1.13)
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64
A continuacin, vamos a demostrar que al vector de estimadores
MCO le
corresponde el menor valor de la suma de los cuadrados de los
residuos. Previamente
vamos a demostrar el siguiente resultado.
Resultado1.2. El vector de residuos MCO escrito en (1.13) es
ortogonal con todas las
colmnas de la matriz X.
Prueba: La expresin (1.11) puede escribirse en forma de
ecuaciones normales:
y'XX'X = (1.14)
o, equivalentemente, como:
( ) 0Xy'X = (1.15) llegndose as al resultado.
Resultado1.3. Sea un vector de estimadores cualquiera de y u el
correspondiente vector de residuos. Entonces la suma de cuadrados
de residuos de este vector de
estimadores siempre supera la que corresponde al vector MCO
escrita en (1.12).
Prueba: El vector de residuos correspondiente a puede escribirse
como:
u = y - X = y - X $ + X( $ - ) = $u + X( $ - ) (1.16)
Por lo tanto, la suma de cuadrados de estos residuos es la
siguiente:
u u u u X X u X = + + ' $ ' $ ( $ )' ' ( $ ) $ ' ( $ ) 2
y teniendo en cuenta (1.15) se llega a:
u u u u X X = + ' $ ' $ ( $ )' ' ( $ ) (1.17)
Esta es la llamada Identidad Fundamental. Al resultado se llega
teniendo en
cuenta que, por la Hiptesis 3, la matriz X'X es definida
positiva.
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65
Derivemos ahora las propiedades del vector de estimadores MCO
escrito en
(1.11).
Resultado1.4. El vector de estimadores MCO es insesgado.
E $ = (1.18)
Prueba: Sustituyendo (1.3) en (1.11) se obtiene:
$ = + ( ' ) 'X X X u1 (1.19)
y teniendo en cuenta las Hiptesis 2 y 5 el resultado sigue:
E $ = + ( ' ) 'X X X Eu1 =
Resultado1.5. La matriz de varianzas y covarianzas del vector de
estimadores MCO
viene dada por:
Var
Var Cov CovCov Var Cov
Cov Cov Var
X X
k
k
k k k
( $)
( $ ) ( $ , $ ) ( $ , $ )( $ , $ ) ( $ ) ( $ , $ )
( $ , $ ) ( $ , $ ) ( $ )
( ' )
=
=
1 1 2 1
2 1 2 2
1 2
2 1
KK
M M M MK
(1.20)
Prueba: La matriz de varianzas y covarianzas se define como:
( ) ( )( )'- EVar = = E [ ]kk2211kk
22
11
KM
=
=
2kk22kk11kk
kk222
221122
kk1122112
11
)(E))((E))((E
))((E)(E))((E))((E))((E)(E
KMOMM
KK
-
66
Utilizando (1.19) podemos escribir:
( )( ) ( ) ( ) 1'1' X'XXuuX' X'XE- E = y utilizando la Hiptesis
2 y el resultado escrito en (1.6) se llega a:
( ) ( ) ( ) ( ) 1211 X'XX'XX'Euu'XX'XVar == llegndose as al
resultado.
Resultado 1.6. (Teorema de Gauss-Markov). El vector de
estimadores MCO de , $ , es el mejor estimador lineal insesgado en
el siguiente sentido: cualquier otro estimador,
, que sea tambin combinacin lineal de los elementos del vector y
e insesgado tiene una matriz de varianzas y covarianzas que excede
la de $ en una matriz semidefinida positiva.
Prueba: Suponer que A es una matriz kT de constantes y, sin
prdida de generalidad, el estimador lo escribimos como:
= [A+ 'X)X'X( 1 ] y (1.21)
Por la propia definicin, los estimadores son funcin lineal de
los elementos de y.
Sustituyendo (1.3) en (1.21) se llega a:
= [A+ 'X)X'X( 1 ] [X + u] = (AX+I) + Au + u'X)X'X( 1
Tomando esperanzas
E = (AX + I)
Para que sea insesgado se debe cumplir que:
AX = 0 (1.22)
La matriz de varianzas y covarianzas es:
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67
Var( ) = E [A+ 'X)X'X( 1 ] uu' [A+ ]'1 'X)X'X( = 2 2 1AA X X' (
' )+ utilizando (1.22) en los productos cruzados. Podemos
escribir:
Var( ) - Var( $ ) = 2AA'
y el resultado sigue por ser 'AA semidefinida positiva.
Resultado 1.7. Sea w un vector de k constantes. Entonces se
tiene que:
Var( w Var w' $) ( ' ) (1.23)
Prueba: Utilizando el Resultado 1.6 podemos escribir:
Var w( ' ) = [ ]122 )X'X('AA'w + w 2 1w X X w'( ' ) cumpliendose
el resultado.
Hasta ahora, los resultados se han derivado sin utilizar la
Hiptesis 8 que trata de
la normalidad de las perturbaciones aleatorias. Si aadimos esta
hiptesis llegamos al
siguiente resultado.
Resultado 1.8. Suponer que se cumplen las ocho hiptesis
comentadas en la seccin
anterior. Entonces la distribucin de probabilidad de $ viene
dada por:
$ ~N[ , 2 1( ' )X X ] (1.24)
Prueba: A partir de (1.19) se ve que los elementos de $ son
igual a los correspondientes elementos de ms una combinacin lineal
de variables que son normales llegndose al resultado.
Los momentos primero y segundo han sido ya derivados en los
Resultados 1.4 y
1.5, respectivamente.
Ejemplo 1.1. (Continuacin). A partir de los datos contenidos en
el Cuadro 1.1
se suelen calcular algunos estadsticos que nos informan acerca
del tipo de variables que
estamos tratando.
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68
En primer lugar, podemos dar cuenta de algunas caractersticas
univariantes
referidas a las variables en logaritmos.
CUADRO 1.2. Caractersticas Univariantes
Variable y x2 x3
Valor Mximo 5.48 6.06 5.29
Valor Mnimo 4.61 4.60 4.60
Media 5.07 5.35 4.96
Desviacin Tpica 0.27 0.50 0.20
Asimetra -0.12 0.03 0.10
Apuntamiento -1.06 -1.15 0.85
Coefici. de Variacin 0.05 0.08 0.04
Otra informacin interesante se refiere a las correlaciones entre
las variables.
CUADRO 1.3. Correlaciones entre las variables.
y x2 x3
y 1 0.95 0.96
x 2 1 0.91
x 3 1
Los estimadores MCO de utilizando (1.11) son los siguientes:
=
=
=
tt3
tt2
t
1
2t3t2t3t3
t3t22
t2t2
t3t2
3
2
1
yxyx
y
xxxxxxxx
xxT
=24 12855 11910
69345 639 92592 02
121866554160594
017730 230508073
1. .. .
.
.
.
.
...
=
-
69
Notar que el valor de la elasticidad que corresponde al factor
trabajo (0.8073) es
bastante mayor que el correspondiente al capital (0.2305).
A continuacin, vamos a derivar algunos resultados para aquellos
casos en que
el tamao muestral tiende a hacerse grande. (Marco
Asinttico).Comenzaremos
presentando algunas definiciones que completan las presentadas
en el Anexo 1.
Definicin1.1. Sea $ un estimador de . Se dice que $ es un
estimador consistente asintticamente normal de cuando: i) es
consistente y ii) T ( ) converge en distribucin a N(0,) en donde es
una matriz definida positiva con elementos finitos.
Definicin 1.2. Sean $ y dos estimadores consistentes y
asintticamente normales con matrices de varianzas y covarianzas de
las correspondientes distribuciones
asintticas iguales a y , respectivamente. Entonces se dice que $
es asintticamente eficiente respecto a si es semidefinida
positiva.
Definicin 1.3. Se dice que un estimador consistente y
asintticamente normal es
asintticamente eficiente si lo es con respecto a cualquier
estimador consistente y
asintticamente normal que se considere.
Resultado 1.9. Una condicin suficiente para que un estimador
consistente y
asintticamente normal sea asintticamente eficiente es que su
matriz de varianzas y
covarianzas asinttica sea igual al lmite de la cota inferior de
Crmer-Rao.
Prueba: Ver Theil (1971, Seccin 8.4).
Establecidas estas definiciones veamos ahora como se comportan
los
estimadores MCO de en este marco asinttico.
Resultado 1.10. El vector de estimadores MCO de es consistente
pudiendose escribir:
plim $ = (1.25)
-
70
Prueba: El vector $ sigue una distribucin de probabilidad
k-dimensional con vector de medias y matriz de varianzas y
covarianzas igual a 2 1( ' )X X . Utilizando la Hiptesis 4 se tiene
que:
lim Var limT
X XT
QT
=
= =(
$) [ ' ] . 2 1
10 0
El sesgo cero y varianza que tiende a cero asintticamente son
condiciones
suficientes para la convergencia en probabilidad tal como puede
verse en el Anexo 1.
Resultado 1.11. El estimador $ es asintticamente normal en el
siguiente sentido:
T( $ ) N Q( , )0 2 1 (1.26)
Prueba: Para cualquier tamao muestral, la distribucin de T( $ )
es:
)',0(1
2
TXXN
A partir de aqu el resultado sigue utilizando la Hiptesis 4.
Tambin puede demostrarse que $ es asintticamente eficiente.
Nosotros presentaremos este resultado en el apartado dedicado a los
estimadores mximo-
verosmiles.
Comentadas las propiedades de los estimadores MCO de los
parmetros de
posicin, a continuacin, analizamos las propiedades del estimador
MCO del parmetro
de dispersin que es la varianza de la perturbacin aleatoria para
lo cul derivamos,
primero, las propiedades estocsticas del vector de residuos MCO
escrito en (1.13).
Resultado 1.12. El vector de residuos MCO, $u , puede escribirse
como:
$u = Mu (1.27)
en donde M = I - X 'X)X'X( 1 es una matriz simtrica e
idempotente de rango T-k.
-
71
Prueba: A partir de (1.13) se tiene:
Muu)M(XMyyX'X)X(X'yu 1 =+===
por ser : 0XX)XX'X)X(X'(IMX 1 ===
Resultado 1.13. La esperanza y matriz de varianzas y covarianzas
de $u vienen dados, respectivamente, por:
E( $u )=0 (1.28)
y Var ( $u )=2M (1.29)
Prueba:
E( $u ) = ME(u) = 0
MM)E(uu'MM)E(Muu')'uuE()uVar( 2====
Resultado 1.14. La esperanza de la suma de los cuadrados de los
residuos MCO es
igual a (T-k) 2 , es decir:
E( $ ' $u u ) = 2 (T-k) (1.30)
Prueba:
E( $ ' $u u ) = ( )MMu'uE = ( )Mu'uE = ( )( )'MuutrE = ( )( )(
)'uuEMtr = = 2 trM = 2 (T-k)
por ser: tr(M) = rango(M) = T-k
Establecidas las propiedades del vector de residuos MCO,
examinaremos, a
continuacin, las propiedades del estimador MCO de 2 definido
como:
kT
u
kTuu
T
1t
2t
2
==
= (1.31)
-
72
Resultado 1.15. El estimador MCO de 2 escrito en (1.31) se
distribuye como:
)kT(kT
~ 22
2 (1.32)
en donde 2(T-k) es una variable chi-cuadrado central con T-k
grados de libertad.
Su esperanza matemtica es:
E( $2 ) = 2 (1.33)
y su varianza:
VarT k
Var T kT k
( $ )( )
( ( )) 24
22
42= = (1.34)
Prueba: para demostrar (1.32) hay que tener en cuenta que
Muu'k)(T 2 = .
Por ser M una matriz idempotente de rango (T-k), es posible
escribir:
*2 kT*22
*21 v...vvMuu' +++= (1.35)
en donde cada una de las variables *jv sigue una distribucin
Normal con media cero y
varianza 2; adems, todas ellas son independientes entre s.
Dividiendo ambos lados de (1.35) por 2 se tiene que:
2 kT22
212 v...vv
Muu'+++=
en donde ahora las jv son variables normales tipificadas
independientes entre s.
Por lo tanto: 2Muu'
2(T-k), y el resultado sigue.
Para obtener (1.33) hay que tener en cuenta que: E(2(T-k)) =
T-k.
-
73
Por ltimo, respecto a (1.34) basta recordar que:
Var(2(T-k))=2(T-k), por lo
que: VarT k
Var T kT k
( $ )( )
( ( )) 24
22
42= =
Resultado 1.16: El estimador $2 de 2 es insesgado
Prueba: resultado obtenido en (1.33).
Alternativamente, la insesgadez podra demostrarse utilizando el
Resultado 1.14.
Resultado 1.17: $ y $2 son independientes.
Prueba: En el Resultado 1.15 hemos visto que $2 depende de una
forma cuadrtica de u cuya matriz es M. Por otra parte, a partir de
(1.19) podemos escribir:
uXX)X(- 1 = y como se cumple que 0MXX)X( 1 = , esto garantiza la
independencia.
Resultado 1.18: El estimador $2 es un estimador consistente de
2.
Prueba: $2 es insesgado para cualquier tamao muestral. Adems, a
partir de (1.34) se tiene que:
0kT
42lim)2Var(lim TT
==
Como ya hemos indicado para $ , la insesgadez y el lmite cero de
la varianza son condiciones suficientes para la consistencia del
estimador.
Se puede definir una matriz que sea la estimacin de la matriz de
varianzas y
covarianzas de $ escrita en (1.20) como 12 X)X( . Por los
Resultados 1.16 y 1.18 esta estimacin ser insesgada y
consistente.
-
74
Resultado 1.19: El estimador $2 es asintticamente normal
con:
)(T 22 ) N(0,2 4 (1.36)
Prueba: Ver Fomby, Hill y Johnson (1984) (Teorema 4.3.2).
Ejemplo 1.1. (Continuacin) . El estimador MCO de la varianza lo
calculamos
utilizando (1.31):
0,0033809921
0,070982kT
uu 2 ===
La estimacin de la matriz de varianzas y covarianzas viene dada
por:
= 0,02100,00830,00400,05950,01990,1886
X)(X' 12
Suponer ahora que el modelo escrito en (1.3) lo particionamos
como:
y = X11 + X22+u (1.37)
en donde 1 tiene k1 elementos y 2 tiene k2 elementos con k1+k2 =
k. Vamos a derivar la forma que adopta el estimador MCO de 2.
Resultado 1.20: El subvector de estimadores MCO, $2 , puede
escribirse como:
yMX)XM(X 1'2
121
'22
= (1.38)
con '11
1'11T1 X)X(XX-IM
=
Prueba: Primero, reescribimos las ecuaciones normales escritas
en (1.14) particionadas
conforme a (1.37):
yXXXXX '122'111
'1 =+
yXXXXX '222'211
'2 =+
-
75
Se trata de dos bloques, el primero con k1 relaciones y el
segundo con k2
relaciones. A partir del primer bloque se obtiene:
22'1
-11
'1
'1
-11
'11
XX)X(X-yX)X(X =
y sustituyendo a $1 en el segundo bloque:
yXXXXX)X(XXX-yX)X(XXX '222'222
'1
-11
'11
'2
'1
-11
'11
'2 =+
que tambin puede escribirse como:
yMX)XM(X 1'2221
'2 =
Basta premultiplicar ambos lados de esta expresin por la inversa
de )XM(X 21'2
para llegar a (1.38).
Lo que indica (1.38) es que $2 no es otra cosa que la regresin
de M1y sobre M1X2, es decir, la regresin de aquella parte de y no
explicada por X1 sobre aquella
parte de X2 no explicada por X1. Es importante destacar que al
mismo resultado se
llegara haciendo la regresin de y sobre M1X2. Estos resultados
explican que si una de
las variables explicativas del modelo es una constante, el
vector de estimadores MCO
del resto de las (k-1) variables explicativas obtenido
utilizando las desviaciones con
respecto a las medias de todas las variables sea el mismo que el
que se obtena
utilizando variables no centradas.
1.4. ESTIMADORES MXIMO-VEROSMILES ( MV ).
Los estimadores MV de y 2 son aquellos que maximizan el valor
que toma la funcin de verosimilitud. Esta funcin es la misma
escrita en (1.10) pero tomndola
como funcin de y 2 condicionada sobre unos valores dados de X e
y. Para reflejar este cambio la escribiremos como:
L( , 2 /y , X) = ( ) ( ) ( )2 12
2 212
2
T
TI y X y Xexp'
-
76
y su logartmo:
l( , 2 /y , X) = T T y X y X2
22
12
22log( ) log ( )' ( ) (1.39)
Veamos ahora la forma que adoptan el gradiente y la matriz
hessiana de
segundas derivadas.
Resultado 1.21. El gradiente de la funcin de verosimilitud
definida en (1.39) toma la
forma siguiente:
d( , 2 ) = ( )
l
l
X y X X
T u u
(.)
(.)
' '
'2
2
2 4
1
2 2
=
+
(1.40) - (1.41)
La matriz hessiana de segundas derivadas es:
D ( ) ( )
+=
X-y )'Xy(12T.
)Xy('X1X'X1
,64
422 (1.42)
Prueba: Teniendo en cuenta que :
( ) ( ) += X'X'X'y2y'yXy'Xy y utilizando las reglas estandar de
derivacin vectorial se llega a:
)'2'2(2
1(.)2
XXyXl =
llegndose as a (1.40). Para obtener (1.41) basta derivar (1.39)
respecto a 2 .
l T y X y X(.) ( )' ( )
2 2 42 2= +
Respecto a las segundas derivadas,usando (1.40) se tiene
que:
-
77
2
2l X X(.)
''=
La segunda derivada cruzada puede escribirse como:
2
2 41l X y X X(.) ( ' ' )= +
y, por ltimo, la segunda derivada respecto a 2 se obtiene usando
(1.41):
l T(.)
( )2 2 4 621= ( ) ( ) XyXy '
Resultado 1.22. Los estimadores MV de y 2 vienen dados por:
~ ( ' ) ' = X X X y1 (1.43)
~~' ~2 = u uT
(1.44)
Prueba: La condicin necesaria para maximizar la verosimilitud es
que los elementos
del gradiente sean cero. Es decir:
0)~X'Xy'X(~1
2 =
)~Xy()'~Xy(~21
~2T
42 + = 0
A partir del primer bloque de k relaciones se obtiene que:
= ~X'Xy'X
de donde se deriva (1.43).
La ltima relacin puede escribirse como:
~' ~~u u T2 =
-
78
llegndose a (1.44).
Hay que destacar que el estimador MV de coincide con el
estimador MCO coincidencia que no se da con los estimadores de 2 .
Por lo tanto, las propiedades del estimador MV de son las mismas
que las ya comentadas para el estimador MCO.
Respecto a las propiedades de ~2 , hay que tener en cuenta que
puede escribirse como:
~ $ 2 2= T kT
(1.45)
A partir de esta expresin vamos a derivar las propiedades del
estimador MV.
Resultado 1.23. El estimador MV de 2 se distribuye como:
~2 2
2
TT k( ) (1.46)
Su esperanza matemtica es:
E 22 =TkT~ (1.47)
y su varianza:
Var ( )~ ( ) 2 422= T kT (1.48) Prueba: Teniendo en cuenta
(1.45) basta utilizar el Resultado 1.15.
Teniendo en cuenta que el factor que multiplica a $2 en (1.45)
tiende a 1 conforme T tiende a infinito entonces las propiedades
del estimador MV son las mismas
que las del estimador MCO. Es decir, ~2 es consistente y la
distribucin asinttica de T(~ ) 2 2 es igual a N(0, 2 4 ).
-
79
Por ltimo, vamos a demostrar que tanto los estimadores MCO como
los MV
son asintticamente eficientes de acuerdo con lo establecido en
el Resultado 1.9.
Primeramente, tenemos que definir el lmite de la Cota Inferior
de Cramer-Rao.
Definicin 1.4. La Cota Inferior de Cramer-Rao se define
como:
I ( ) ( )[ ] , 2 1 1 = ED Asintticamente, el concepto relevante
es el lmite de la expresin:
lim( )I
T
, 2 1
(1.49)
Resultado 1.24. La Matriz de Informacin en este caso viene dada
por:
I ( ) ,'
22
2
1 00
2=
X XT (1.50)
y el lmite escrito en (1.49):
( )
limI
TQ
T
=
, 21
2 1
40
0 2 (1.51)
Prueba: Teniendo en cuenta la matriz de segundas derivadas
escrita en (1.42) el
resultado (1.50) sigue teniendo en cuenta que:
E ( ) 44 1Xy'X1 = 0Eu'X =
E ( ) ( ) =+=
+ 6464u'Eu
2TXy'Xy
2T
462
4 2TT
2T
=+=
-
80
En lo que respecta a (1.51), basta tener en cuenta la Hiptesis 4
y las reglas
estandar de convergencia.
Examinando las distribuciones asintticas derivadas para los
estimadores MCO
y MV se ve que todos ellos son asintticamente eficientes.
1.5. ESTIMADORES DE LOS MNIMOS CUADRADOS RESTRINGIDOS
(MCR). ERROR DE ESPECIFICACIN.
Los estimadores MCR de , que llamaremos $R , son aquellos que
minimizan la suma de cuadrados de los residuos cumpliendo una serie
de restricciones especificadas a
priori sobre los parmetros.
Escribimos las restricciones como:
R = q (1.52)
En donde R es una matriz r.k , y rango r, siendo r el nmero de
restricciones; q
es un vector de r constantes.
Resultado 1.25. El vector de estimadores MCR que minimiza la
suma de cuadrados de
los residuos cumpliendo al mismo tiempo las restricciones
escritas en (1.52) es el
siguiente:
( ) ( )[ ] ( )+= Rq'RX'XR'RX'X 111R (1.53) Prueba: Como ya hemos
indicado, el estimador MCR debe ser tal que:
)Xy()'Xy(min sujeto a R =q
La funcin lagrangiana para este problema de optimizacin es:
L= ( ) ( ) ( )qR'2Xy'Xy
-
81
En donde es un vector con r Multiplicadores de Lagrange. Las
condiciones necesarias para la optimizacin se obtienen igualando a
cero las derivadas con respecto
a y :
0'R2X'X2y'X2L R =+= (1.54)
qR'
LR ==
(1.55)
A partir de (1.54) se obtiene que:
( ) += 'RX'X 1R (1.56) Premultiplicando todos los trminos de
(1.56) por R y, teniendo en cuenta (1.55)
se llega a:
( ) += 'RX'XRRq 1 y despejando :
[ ] )Rq('R)X'X(R 11 = Sustituyendo este estimador en (1.56) se
llega al resultado escrito en (1.53).
A la hora de evaluar las propiedades de este estimador hay que
distinguir dos
situaciones segn las restricciones se cumplan realmente o no.
Con este fin
escribiremos:
= qR
Si las restricciones se cumplen entonces 0= y, si no se cumplen,
0 .
Comencemos suponiendo que las restricciones se cumplen.
Resultado 1.26. En el caso en el que 0= , el estimador MCR es
insesgado.
-
82
Prueba: Teniendo en cuenta (1.19), podemos escribir:
( ) u'XX'XRRR 1+= = q + ( ) u'XX'XR 1 Por lo tanto,
= Rq - ( ) u'XX'XR 1 Introduciendo este resultado y el escrito
en (1.19) en (1.53) obtenemos:
( ) += u'XX'X 1R
- ( ) [ ] [ ]u'X)X'X(R'R)X'X(R'RX'X 1111 = = + [ ]
u'X)X'X(R}'R)X'X(R{'R)X'X(I 1111 (1.57) Recordando la Hiptesis 2 y
que R es una matriz de constantes se tiene que:
E == E R
Resultado 1.27. La matriz de varianzas y covarianzas del
estimador MCR viene dada
por:
( ) [ ]11'1'12R )X'X(R}R)X'X(R{RIX'X)(Var = (1.58) Adems, se
cumple que:
Var ( ) Var ( ) C R = en donde C es una matriz semidefinida
positiva.
Prueba: Teniendo en cuenta (1.57) se tiene que:
Var ( ) ( )( ) == 'RRR E = u'X)X'X}(R)'R)X'X(R('R)X'X(I{E
1111
-
83
( ) ( ) ( )( ){ } = RRXXRRXXXu 1111 '''XX'-I '' = 1111212
)X'X(R}'R)X'X(R{'R)X'X()X'X( =
= Var C)(
en donde C= 11112 )X'X(R}'R)X'X(R{'R)X'X(
sta matriz es semidefinida positiva porque ( ) 1X'X es definida
positiva y R tiene rango fila completo.
Tambin en este caso sera posible demostrar un resultado similar
al de Gauss-
Markov. Es decir, el estimador MCR es el mejor estimador lineal
e insesgado en el
sentido de que es el estimador que tiene la menor varianza
dentro de la clase de los
estimadores que son lineales en y y q e insesgados.
En el caso en que las restricciones no sean correctas, es decir,
cuando 0 , entonces el estimador MCR es sesgado aunque mantiene la
misma matriz de varianzas y
covarianzas.
Resultado1.28. En el caso en que 0 , entonces el estimador MCR
tiene la siguiente esperanza matemtica:
=RE + 111 }'R)X'X(R{'R)X'X( (1.59)
Prueba: Basta obtener la esperanza de (1.53) teniendo en cuenta
que:
E =
y E(q-R ) = q-R =
En este caso ya no podemos decir que, en general, siempre el
estimador MCR es
mejor que el estimador MCO. Para compararlos habra que prestar
atencin al error
cuadrtico medio.
-
84
A continuacin, vamos a derivar una serie de resultados que se
cumplen
siempre cualquiera que sea el valor .
Sea Ru el vector de residuos MCR definidos como:
Ru = y- RX (1.60)
Resultado 1.29. La suma de los cuadrados de los residuos MCR es
siempre mayor que
la de los residuos MCO pudiendose escribir:
)(X'X)'(u'uuu RRR'R += (1.61)
Prueba: Basta aplicar el Resultado 1.3 utilizando la expresin
(1.17).
Resultado 1.30. Sea w un vector de k constantes. Entonces se
tiene que:
)'w(Var)'w(Var R (1.62)
Prueba: Podemos escribir:
w)}(Var)(Var{'w)'w(Var)'w(Var RR = =
0Cw'w =
por ser C semidefinida positiva tal como se ha demostrado en el
Resultado 1.27
Cuando se imponen r restricciones sobre lo que se est indicando
es que los k parmetros no pertenecen a un espacio de k dimensiones
sino a otro de k-r. Esto
significa que los k parmetros pueden expresarse en funcin de
otros k-r parmetros que
llamaremos libres, pudiendose escribir:
= H (1.63)
en donde H es una matriz k (k-r) de constantes y es el vector de
(k-r) parmetros libres.
Introduciendo esta expresin en el Modelo Lineal General se
tiene:
-
85
uZuXHuXy +=+=+=
El estimador MCO de es: y'Z)Z'Z( 1= ; el estimador restringido
de viene dado por:
y'Z)Z'Z(H 1R=
Una aplicacin directa de este resultado es la siguiente:
Particionemos 0=R como:
0RR 2211 =+ (1.64)
en donde R1 es r.r con rango mximo y la particin de se
corresponde con la particin de R.
Apartir de (1.64) se tiene:
221
11 RR =
y sustituyendo en el modelo particionado
uXuXRRXuXXy 222221
112211 +=++=++=
en donde: 221
11 XRRXX +=
El estimador MCR toma la forma siguiente.
=
yX)XX(yX)XX(RR
'1'
'1'2
11
R (1.65)
En el caso en que las restricciones slo afecten a 1 entonces el
estimador MCR es:
= yX)XX(0
'2
12
'2
R (1.66)
-
86
Ejemplo 1.1. (Continuacin). Se va a estimar el modelo imponiendo
la hiptesis de
rendimientos constantes que puede escribirse como:
132 =+
En este caso los elementos de la expresin (1.52) son:
R = ( 0 1 1 ) y q = 1
Teniendo en cuenta que:(q-R ) = (1-1.0378) = -0.0378, aplicando
(1.53) se obtiene:
=
=74587.25413.01454.
R3
R2
R1
R ; 0032565,02R =
La matriz de varianzas y covarianzas viene dada por:
=0016994.00016994.00016994.00006692.00006692.0000399.0
)(raV R
Alternativamente, estos estimadores se pueden calcular
utilizando (1.65). En
este sentido hay que tener en cuenta que considerando la
hiptesis de rendimientos
constantes el modelo puede escribirse como:
tt32t22t11t ux)1(xxy +++=
o bien
tt3t22t11t3t u)xx(xxy ++=
Por lo que las estimaciones sern:
-
87
=
=
=
=
25413.01454.
570109.1750703.2
637141.5450255.924
)xx)(xy()xy(
)xx()xx(T
1t3t2t3t
t3t1
2t3t2
t3t2
R2
R1
Vamos a terminar este captulo haciendo referencia al concepto de
error de
especificacin. El anlisis del error de especificacin se refiere
a aquellas situaciones en
las que se estudian las consecuencias que, sobre las propiedades
de ciertos estadsticos,
tiene el considerar un modelo diferente al que genera los
datos.
El anlisis del error de especificacin abarca una amplia gama de
casos dentro
de la Econometra. Nosotros prestaremos atencin a dos casos
particulares: la omisin
de variables relevantes y la inclusin de variables
suprfluas.
Considerar los dos modelos siguientes:
y = 111 uX + (1.67)
y = uXX 2211 ++ (1.68)
En donde, como ya hemos dicho, X1 tiene k1 y X 2 tiene k 2
regresores.
Nuestro interes es estimar 1 .
Resultado 1.31. (Variables Relevantes Omitidas). Supongamos que
el modelo que ha
generado los datos es el escrito en (1.68) pero que, para
estimar 1 , utilizamos el modelo escrito en (1.67). Entonces el
estimador resultante es sesgado.
Prueba: Se trata de un caso particular del Resultado 1.28. El
estimador MCR en este
caso es:
y'X)X'X( 11
11R1= = ++ 2211111 X'X)X'X( u'X)X'X( 1111
Por lo tanto, su esperanza es:
E = R1 2211111 X'X)X'X( + (1.69)
-
88
siendo el sesgo:
E R1 2211111 X'X)X'X( =
El signo y tamao del sesgo depender del tamao y signo de los
elementos de
la matriz: 211
11 X'X)X'X( y de los de 2 . Hay que tener en cuenta que los
elementos
de esta matriz son las estimaciones de los coeficientes de la
regresin de X 2 sobre X1 .
Cada columna son los elementos de la columna correspondiente en
X 2 . Por ejemplo, si
slo se excluye una variable entonces esa matriz ser un vector de
k1 elementos. El
primer elemento de este vector ser la estimacin del coeficiente
de la primera variable
de X1 en la regresin de la variable excluida sobre X1 . Si 2 y
esa estimacin son del mismo signo entonces el sesgo ser positivo;
si tienen diferente signo el sesgo ser
negativo.
Hay que destacar que aunque el estimador es sesgado, su matriz
de varianzas y
covarianzas es menor que la del estimador que no comete el error
de especificacin
tal como puede verse en el Resultado 1.27. Por lo tanto, puede
haber situaciones con
poca evidencia en las que puede estar justificado el uso del
estimador que omite
variables consideradas como relevantes.
Resultado 1.32. (Inclusin de Variables Suprfluas). Suponer que
el modelo que ha
generado los datos es el escrito en (1.67) pero que para estimar
1 utilizamos el modelo escrito en (1.68). El estimador resultante
es insesgado pero tiene una varianza mayor
que la que corresponde al estimador que no comete el error de
especificacin.
Prueba: Utilizando el Resultado 1.20 podemos escribir:
yM'X)XM'X( 211
1211=
en donde: 21
2222 'X)X'X(XIM=
A partir del modelo escrito en (1.67), podemos escribir:
1211
1211111211
1211 uM'X)XM'X()uX(M'X)XM'X( +=+=
-
89
de forma que:
E 11 =
Por lo demostrado en el Resultado 1.27 se ve que la matriz de
varianzas y
covarianzas de 1 supera a la del estimador que no comete el
error de especificacin.
Ejemplo 1.1. (Continuacin) Vamos a aproximar el error de
especificacin
que se comete si tratamos de estimar el coeficiente del factor
trabajo sin considerar la
variable capital. Es decir, se trata de estimar:
tt33t11t uxxy ++=
Las estimaciones que se obtienen son:
=
=
2913.13313.1
yxy
xxT
tt3
t1
2t3
t3
R3
R1
y la estimacin de la matriz de varianzas y covarianzas:
=
005692.028252.14043.
raVR3
R1 ; 005294.02R =
Destacar que la elasticidad estimada para el trabajo es muy
superior a la
obtenida anteriormente . Esto puede explicarse a partir de
(1.69), ya que tanto la
correlacin entre X1 y X 2 como el signo de 2 son positivos.
-
90
EJERCICIOS
1.1) Sea X una variable que se distribuye normalmente con media
y varianza 2 .Suponer que se han obtenido independientemente dos
muestras aleatorias simples a partir de X, de tamaos T1 y T2 ,y con
medias muestrales X1 y X2 .
1). Un investigador pretende estimar y propone como estimadores
alternativos
$ = +X X1 22
y ~ = ++T X T X
T T1 1 2 2
1 2
Comparar las propiedades de ambos estimadores.
2). En una etapa posterior pretende estimar 2 y propone los
siguientes estimadores:
21 XX , X X1 22
2+
,
X X12
22
2+
Comparar las propiedades de los tres estimadores.
1.2) Considerar una muestra aleatoria simple de T elementos
obtenida a partir de un
poblacin con media y varianza 2 .Se pide:
Var( XXi ) , E ( X Xj ) , E [ X X Xi j( )] , E [ X X Xj( )]
Cov [ ( ), (X X X Xi j )]
1.3). Suponer que la variable y est relacionada con la variable
x segn el modelo:
y x ui i i= + + 0 1 ui ~ iid N(0, 2 ) i=1,2 .n (1) Un
investigador agrupa las observaciones en G grupos y toma el
promedio de las dos
variables en los grupos considerando el modelo
y x ug g g= + + 0 1 , uu
nggj
j
n
g
g
= =
1 , n n n nG1 2+ + + =...... (2)
en donde y x ug g g, , son los promedios respectivos.Se
pide:
1). Derivar las propiedades de ug .
-
91
2). Derivar las propiedades del estimador de los mnimos
cuadrados ponderados )( *
de 1 a partir del modelo (2).
=
2
*
)(
))((
i
i
i
i
i
i
zx
zx
zy
.
3). Comparar las propiedades del estimador definido en 2) con
las del estimador MCO
de 1 definido a partir de (1).
1.4). Suponer que el proceso generador de datos es: y x ut t t=
+ +
en donde u t es una perturbacin aleatoria que cumple las
hiptesis ideales.
Obtener la esperanza y varianza de los siguientes
estimadores:
a). =
t
t
xy
1 c). =
t
t
xTy 2
b). Txy
t
t=3 d ). T
xy
t
t=
*
*
4
Las variables con asterisco representan desviaciones con
respecto a la media.
1.5). Supongamos el modelo:
y x x u= + + 1 1 2 2 en donde u cumple las hiptesis habituales y
suponemos que las variables estn medidas
en desviaciones respecto a sus medias. Los parmetros 1 y 2 son
estimados utilizando MCO y estimadores restringidos suponiendo: 1
=2 = . Se pide: 1). Demostrar que los estimadores restringidos
equivalen a una media ponderada de los
estimadores MCO.
2). Demostrar que el estimador insesgado ms eficiente de
coincide con la media ponderada en caso de que se cumpla la
restriccin.
-
92
1.6). Partiendo del modelo con dos variables y x x u= + + 1 1 2
2 , en el que suponemos que las variables estn medidas en
desviaciones respecto a sus medias,
interpretar grafcamente:
1). El valor estimado de y y las estimaciones MCO de 1 y 2 . 2).
Un caso en que la estimacin de 1 sea mayor que uno y otro en que
dicha estimacin sea menor que cero.
3). El coeficiente de correlacin mltiple.
4). Los coeficientes de correlacin parcial.
5). El valor del estadstico F para el contraste de
significatividad de x2 .
1.7). Para el modelo y X u= + se tiene la siguiente
informacin:
X X' =
2 11 2
; X y' =
21
; 2 1=
Se pide:
1). Obtener las estimaciones MCO de y calcular la covarianza
entre $1 y $2 .
2). Calcular los estimadores restringidos de 1 y 2 con la
restriccin 2 =0.Calcular la covarianza entre $1R y $2R .Obtener la
diferencia entre la suma de cuadrados de los residuos restringidos
y la de los residuos MCO. En caso de que $1 y $1R no difieran tiene
alguna utilidad la informacin de que 2 =0?. 3). Interpretar
grficamente la estimacin de dado que: 2 =0. Repetir lo anterior
para 1 2 0+ = . 4). Demostrar que los estimadores restringidos de 1
y 2 dado: 1 2 0+ = se pueden obtener a partir de la regresin de y
sobre ( )x xt t1 2 . 5). Obtener la prediccin puntual MCO y por
intrvalo de ( )pyEy py con un nivel de confianza del 95% suponiendo
que para el periodo extramuestral se sabe que xp = ( , )2 1 .
-
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1.8) Suponer el siguiente modelo:
y x x ut t t t= + + 1 1 2 2 )I,0(N~u T2 con:
( )
=4111
31XX ' X y' =
11
2 1=
1). Escribir las ecuaciones normales, calcular los estimadores
MCO, $ , y su matriz de varianzas y covarianzas
2). Se estima el modelo con la restriccin 2 = 0. Calcular los
estimadores restringidos, $R , su matriz de varianzas y covarianzas
y la diferencia entre la suma de los cuadrados de los residuos
restringidos y la de los residuos MCO.
3). Suponer que se quiere estimar por intrvalo la relacin ' en
donde: ' = (1 , 0). Adoptando un nivel de significacin del 5% se
pide determinar la amplitud de los intrvalos correspondientes a los
estimadores MCO y restringidos.
1.9). Suponer que el modelo que genera los datos es: ttt uxy +=
en donde la perturbacin cumple las hiptesis ideales. Considerar los
siguientes tres estimadores:
= 21
t
tt
xyx ,
=t
t
xy
1 y = 2*
**
3
t
tt
xyx
en donde las variables con asterisco son desviaciones con
respecto a las medias.
1). Obtener el sesgo y la varianza de los tres estimadores.
2). Demostrar que =),( 21 Cov 0)( 1 >Var y que el coeficiente
de correlacin entre 1 y 2 es: [ ]212112 )(/)( VarVar= . Demostrar
que si se define
21)1( += el valor de que minimiza la varianza de este estimador
es 1.
3). Demostrar que =),( 32 Cov 0 y que la combinacin de estos dos
estimadores que minimiza la varianza es .)1( 13
2122
212 =+=
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