Cap03 Tableaux Prop

7/21/2019 Cap03 Tableaux Prop

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bserve que podemos relacionar a aplicaão das regras de infer(ncia com os

passos do algoritmo de obtenão de forma normal disjuntiva da seguinte

forma- o resultado das regras que bifurcam pode ser considerado como a

disjunão das fórmulas sobre 2s quais as regras são aplicadas3 o resultado

das regras podem ser considerados como os passos de eliminaão dos

conectivos → e ↔ e da movimentaão do¬

para o

interior das fórmulas.

4ejamos através de um exemnplo a relaão da aplicaão das regras com a

obtenão de uma forma normal disjuntiva.

$onsidere a fórmula 5→[(6∨7/∧89. Aplicando:se o algoritmo para

obtenão de forma normal disjuntiva podemos obter a fórmula ¬ 5 ∨ 6 ∧8/

∨ (7 ∧8/.

Agora, comeando com a fórmula 5→[(6∨7/∧89 e aplicando:se as regras

de tableaux podemos obter a seguinte árvore-

#. 5→[(6∨7/∧89

¬

P (6∨7/∧8 regra 1 em #

6 ∨7 regra A em (6∨7/∧8

S' R regra 1 em (6∨7/

As fórmulas grafadas em cada ramo correspondem aos literais que ocorrem

em cada disjunto da fórmula normal disjuntiva de ¬ 5 ∨ 6 ∧8/ ∨ (7 ∧8/.

sistema de tableaux vai ser utili&ado de forma refutacional, isto é para

determinarmos se uma fórmula é válida, iniciamos um tableau com sua

negaão e teremos a resposta positiva se for poss!vel obtermos um tableau

fec%ado.

Exemplo #

;eterminar que 5 → (6 → 5/ é válida por tableau

#. ¬( 5 → (6 → 5 //

<. 5 regra tipo A,#/=. ¬(6 → 5/ regra tipo A,#/

>. 6 regra tipo A,=/

?. ¬ 5 regra tipo A,=/

tableau acima é fec%ado só tem um ramo e neste se encontram 5 e ¬5/

<



Exemplo <

mesmo para (5 ∨ 6 / → (¬ 5 ∧ ¬ 6 /

#. ¬ ( (5 ∨ 6 / → (¬ 5 ∧ ¬ 6 //

<. . ¬ (5 ∨ 6 / / regra A, #/

=. ¬(¬ 5 ∧ ¬ 6 / regra A, #/>. ¬ 5 regra A, </

?. ¬ 6 regra A, </

@

B. ¬¬5 ¬¬6 regra 1, =/

tableau acima é fec%ado tem dois ramos , num temos ¬ 5 e¬ ¬5, e no

outro ¬ 6 e ¬ ¬6/

Exemplo =

mesmo para 5 → ( 6 → (5 ∧ 6 //

#. ¬ (5 → ( 6 → (5 ∧ 6 ///

< . 5

= ¬ ( 6 → (5 ∧ 6 ///

> 6

?. ¬(5 ∧ 6 ///

@

B ¬ 5 ¬6

5ara evitarmos um nCmero desnecessário de bifurca)es na árvore é uma

boa %eur!stica sugerida por 8mullDan/ usar primeiro as regras que não

bifurcam tipo A/, sempre que poss!vel.

5ode:se mostrar que o sistema de tableaux é refutacionalmente correto e

completo, isto é, se existe um tableau fec%ado para α, então ¬α é uma

tautologia e, se α é uma tautologia então existe um tableau fec%ado para ¬α.

método do tableaux pode tambem ser usado para responder Γ "α?.

1asta obtermos um tableau fec%ado para ¬α em que as fórmulas de

Γ podem ser usadas em qualquer ramo do tableau.

Exemplo

FA→1, ¬A→$, $→1G"1 H

+ableau para ¬1 usando fórmulas de FA→1, ¬A→$, $→1 G.

1. ¬1

=



2. A→1 em Γ

=. ¬A 1 regra 1 em >

I

4. ¬A→$ em Γ

?. ¬¬A $ regra 1 em ? I

B. $→1 em Γ

7. ¬$ 1 regra 1 em B

I I

>

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