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Cap. 36: Interferencia
Principio de Huygens: Cada punto de un frente de onda es una fuente de frentes de onda secundarios…
1 1BC v t= λ = ∆
2 2AD v t= λ = ∆
1θ2θA
B
C
D
1θ
2θ
1 1,v n
2 1
2 1
v v
n n
<
>
1v t∆
2v t∆
( ) 1 1
2 2
1vv
λ=
λ
Si el medio 1 es el vacío, entonces λ1= λ , v1=c. Usando λ2= λn y v2=v, tenemos:
( )2
n
n
cn
v
n
λ= =
λλ
λ =
1θ2θA
B
C
D
1θ
2θ
1 1,v n
2 1
2 1
v v
n n
<
>
1v t∆
2v t∆
Podemos re-escribir la ecuación (1) en la forma
1 2
1 2
v v=
λ λ
Como v/λ = f, tenemos
1 2f f=
o sea, la frecuencia es independiente del medio.
1θA
B
C
D
1θ
2θ
1 1,v n
2 1
2 1
v v
n n
<
>
1v t∆
2v t∆
Derivación de la ley de Snell a partir del Principio de Huygen:
11
22
1 1
2 2
1 21 2
1 1 2 2
sin
sin
sinsin1 1sin sin
,
sin sin
v tACv tACvv
v vUsando n c v tenemos
n n
∆θ =
∆θ =
θ=
θ
θ = θ
=
θ = θ
Vimos anteriormente que cuando una onda se mueve de un medio de índice de refracción n1 hacia un medio de índice n2, la frecuencia se mantiene constante y el largo de onda cambia. Si por ejemplo n2>n1, el largo de onda se reduce. Cuando las ondas salen de los dos medios, tienen el mismo largo de onda. Sin embargo, en general , tendrán una diferencia en fase. Esta diferencia determina como interfieren las ondas si se encuentran en un punto común.
2λ
1λ 1n
2n
2 1n n>
2λ
λ
λ
L
Sea δ la diferencia en fase, en términos de λ. Asumiendo que n2>n1, tenemos:
( )2 1N Nδ = − λ
donde N1 y N2 representan el número de largos de onda en los medios 1 y 2, respectivamente. Tenemos que
1,2i
ii
n
i
L L LnN i
n
= = = =λλ λ
( )
2 12 1
2 1
/Ln Ln
N N
Ln n
δ λ = − = −λ λ
⎡ ⎤δ = − λ⎢ ⎥
⎢ ⎥λ⎣ ⎦
Sea φ la diferencia en fase en términos de radianes. Sabemos que una diferencia en fase δ = λ corresponde a una diferencia en ángulo igual a 2π. Podemos conseguir el equivalente angular de cualquier δ haciendo una proporción:
22
δ λ=
ϕ ππ
ϕ = δλ
Ver ejemplo 36-1.
Ejemplo:
En la figura, dos ondas de luz (representadas por los rayos) tienen un largo de onda de 550 nm antes de entrar a los medios 1 y 2. También tienen igual amplitud y están en fase. El medio 1 es aire y el medio 2 es un bloque plástico transparente de índice de refracción 1.6 y espesor 2.6 µm. Calcula la diferencia en fase de las ondas emergentes en términos de largo de onda, radianes y grados.
( )
( )
( )
2 1
6
9
2.6 101.6 1.0
550 10
2.84 0.84
20.84 1.68
5.3 302.4
Ln n
ó
rad
−
−
⎡ ⎤δ = − λ⎢ ⎥
⎢ ⎥λ⎣ ⎦⎡ ⎤×⎢ ⎥δ = − λ⎢ ⎥×⎣ ⎦
δ = λ λ
πφ = λ = π
λφ = =
θsind
sin
0, 1, 2,
d m
m
θ = λ
= ± ± …
La banda iluminada número m está a una distancia y del centro de la pantalla. Podemos calcular yusando la aproximación de ángulos pequeños:
Interferencia constructiva ocurre cuando:
y
tan sinyL
y Lm y m
L d d
θ = ≈ θ
λ λ≈ ∴ =
Interferencia destructiva ocurre cuando:
1sin
2d m
⎛ ⎞⎟⎜θ = + λ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠
La banda obscura número m está a una distancia ydel centro de la pantalla, dada por:
12L
y md
⎛ ⎞ λ⎟⎜= + ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠
Cálculo de intensidad
1E
2E
E1 0 sinE E t= ω
( )2 0 sinE E t= ω + φ
( )1 2 0 0sin sinE E E E t E t= + = ω + ω + φ
Usando
tenemos( ) ( )1 1
sin sin 2 cos sin2 2
α + β = α − β α + β
0 02 cos sin sin2 2 2
E E t E t⎛ ⎞ ⎛ ⎞φ φ φ′⎟ ⎟⎜ ⎜= ω + = ω +⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠
0
0 0
sin2
2 cos2
E E t
E E
⎛ ⎞φ′ ⎟⎜= ω + ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠φ′ =
Vemos que cuando la constante de fase es 0 o un múltiplo par de π, la amplitud resultante es el doble (figura de arriba).
Cuando es π, la amplitud resultante es cero (figura de abajo).
2
0
220
0
20
4 cos2
4 cos2
mEIc
EI
c
I I
=µ⎛ ⎞ φ⎟⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜µ⎝ ⎠
φ=
El ángulo de fase es
2sin2sin
dd
φ π=
θ λπ
φ = θλ
Una onda viajando de un medio de índice de refracción n1 hacia un medio de índice n2, sufre un cambio en fase al reflejarse si n2>n1.
2⎛ ⎞λ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠
En general, la diferencia en fase total δT entre la onda 1 y la onda 2 es:diferencia en fase diferencia en fase debido a distancia
debido a reflexión extra recorrida por onda 2T
T R D
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜δ = +⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠δ = δ + δ
Si la incidencia es casi normal, entonces δD≈2L. En la figura vemos que la onda 1 sufre un cambio en fase de 180° (o λn/2), mientras que la onda 2 no sufre cambio en fase. Esto quiere decir que
02 2n n
R
⎛ ⎞λ λ⎟⎜δ = − = −⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠Para que ocurra interferencia constructiva, la diferencia en fase total δT debe ser igual a 0λn, 1λn, 2λn, 3λn, etc. Por lo tanto,
0 ,1 ,2 , 22
2 0 , 1 , 2 ,2 2 2
12 , 3 , 5 , 0, 1, 2,
2 2 2 2
nn n n
n n nn n n
n n nn
L
L
L m m
λλ λ λ = − +
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞λ λ λ⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜= λ + λ + λ +⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞λ λ λ ⎟⎜= = + λ =⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠
Podemos escribir λn en términos del largo de la onda en aire:
airen n
λλ =
Usando esta relación, la condición para interferencia constructivapuede escribirse ahora en la forma
12
21
2 0, 1, 2, 3,2
n
aire
L mn
Ln m m
⎛ ⎞ λ⎟⎜= + ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠⎛ ⎞⎟⎜= + λ =⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠
Similarmente la condición para interferencia destructiva es:
2 0, 1, 2, 3,aireLn m m= λ =
Ejemplo 36-4:
Se usa luz blanca de intensidad uniforme para iluminar la superficie de una película (lámina delgada) de agua con espesor L=320 nm. ¿Para qué largos de onda la luz reflejada será más brillante? Nota: El largo de onda de la luz visible fluctúa entre 400 nm y 690 nm.
Idea central: Luz reflejada brillante significa que las ondas reflejadas en las superficies 1 y 2 están en fase, o sea, interfieren constructivamente. La ecuación a usar es:
12 0, 1, 2, 3,
2 aireLn m m⎛ ⎞⎟⎜= + λ =⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠
20, 1, 2, 3,1
2
aire
Lnm
mλ = =
+
( )( )2 320 1.33 851.21 12 2
aire
nm nm
m mλ = =
+ +
El único valor de m que nos da un valor de λ en el espectro visible es m=1. El valor correspondiente de λ es 567.5 nm.
En la figura vemos que tanto la onda 1 como la 2 sufren un cambio en fase de 180° (o λn/2). Por lo tanto, la fase δRdebido a la reflexión es:
02 2n n
R
⎛ ⎞λ λ ⎟⎜δ = − =⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠Para que ocurra interferencia constructiva, la diferencia en fase total δT debe ser igual a 0λn, 1λn, 2λn, 3λn, etc. Por lo tanto,
0 ,1 ,2 , 0 2
2 0, 1, 2,
n n n
n
L
L m m
λ λ λ = +
= λ =
2 0, 1, 2,aireLn m m= λ =En términos de λaire tenemos:
Similarmente la condición para interferencia destructiva es:1
2 0, 1, 2, 3,2 aireLn m m
⎛ ⎞⎟⎜= + λ =⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠
Ejemplo 36-5:
El lente de una cámara (n=1.5) está cubierto con una pintura de índice de refracción n=1.38. Asumiendo que el largo de onda promedio de la luz en aire es 550 nm, determina el espesor mínimo L que debe tener la lámina de pintura para eliminar la reflexión de luz en el centro del espectro visible.