Cap 2 - Límites Y Derivadas - Pag 82-171

5/14/2018 Cap 2 - L mites Y Derivadas - Pag 82-171 - slidepdf.com

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LIMITES Y DERIVADAS

La idea de un limite se ilus-

tra mediante l ineas secantes

que se aproxirnan a una li-

nea tangente.

En la Presentacion preliminar del cdlculo (pagina 2) vio de que manera la idea de lfm

sustenta las diversas ramas del calculo. Por 10 tanto, resulta adecuado empezar nuestr

estudio de calculo investigando los lfrnites y sus propiedades. Clase especial de limite

que se usa para hallar tangentes y velocidades, da lugar a la idea central del calculo

diferencial: la derivada.

82



~~~~~~~~~ 2.1 LA TANGENTE Y LOS PROBLEMAS DE LA VELOCIDAD

(a)

(b)

F IG U R A 1

y

F IG U R A 2

X 1111'(,

2 3

1.5 2.5

1.1 2.1

1.01 2.011.001 2.001

X 111/,(,

0 1

0.5 1.5

0.9 1.9

0.99 1.99

0.999 1.999

x

En esta secci6n se analiza como surgen los lfmites cuando intenta hallar la tangente a

curva 0 la velocidad de un objeto.

PROBLEMA DE LA TANGENTE

La palabra tangente se deriva de la palabra latina tangens, la cual significa "tocar", Dete modo, una tangente a una curva es una lfnea que toea la curva. i,De que manera se p

de precisar esta idea?

Para un circulo, podria seguir la idea de Euclides y decir que una tangente es una li

que pasa a traves de ese circulo una vez y s610 una vez como en la figura l(a). Para cur

mas complicadas, esta definici6n es inadecuada, En la figura l(b), se muestran dos rec

I y t, que cruzan por un punto P de una curva C. La recta I interseca C solo una vez, p

es evidente que no se parece a 10que consideramos una tangente. Por otra parte, la rec

parece una tangente pero interseca C dos veces.

Para ser especificos, considere el problema de intentar hallar una recta tangente ta

parabola y =;(-en el ejemplo siguiente.

~ E J E M P L O ! Encuentre una ecuaci6n de la linea tangente a la parabola y =2 en el

punto P(l, 1).

S O L U C ! O t l Tan pronto conozca su pendiente In podra hallar la ecuaci6n de la recta tangen

t. La dificultad es que conoce s610 un punto P, de t, en tanto que necesita dos puntos pa

calcular la pendiente. Pero puede calcular una aproximacion para m si elige un punto

cercano Q(x, x2) de la parabola (como en la figura 2) y ca1cula la pendiente mpQ de la

lfnea secante PQ .

Elija x # 1, de modo que Q ,p P. Por 10tanto

m-e=

x -I

Por ejemplo, para el pun to Q(1.5, 2.25)

2.25 - 1 1.25ml'Q =---- =-- =.5

1.5 - 1 0.5

Las tablas en eI margen muestran los valores de I11I'Q para varios valores de x cercan

a 1. Entre mas cerca esta Q de P, mas 10 esta x de 1 y, por 10 que se ve en las tablas

1nPQ esta mas pr6xima a 2. Esto sugiere que la pendiente de la recta tangente t debe

ser m=.

Se dice que la pendiente de la recta tangente es ellimite de las pendientes de las

rectas sec antes y , simb6licamente, expresamos esto al escribir

x2 - 1lfm =x-I x-I

y

Si supone que, en efecto, la pendiente de la recta tangente es 2, use la forma punto-pen

diente de la ecuaci6n de una linea (vease el apendice B) para escribir la ecuaci6n de la re

tangente que pasa por (1 , 1) como

y - 1=2(x - 1) o y=2x-1



84 1 1 1 1 CAPiTULO 2 LiMITESY DERIVADAS

F IG U R A 3

I i : i I 1 I 3 EnVisua 12.1 puede ver como

funciona el proceso en la figura 3 para

funciones adicionales.

I Q

C J . O O 100,00

0.Q2 BI.B7

0.04 67.03

0,06 54.88

0.08 44.93

0.10 36.76

F IG U R A 4

En la figura 3 se ilustra el proceso de tender hacia el Ifrnite que se presenta en

ejernplo. Conforme Q se aproxirna a Palo largo de la parabola, las rectas secant

correspondientes giran en torno a P y se acercan a la recta tangente f.

Q se aproxima a P desde la derecha

x

y

pj! /

Q se aproxima a P desde la izquierda

Muchas funciones que se encuentran en las ciencias no se describen mediante una

cion explfcita: se definen por rnedio de informacion experimental. En el ejemplo siguie

indica como estimar la pendiente de Ja recta tangente a la grafica de ese tipo de funcio

I i . ' ! i i E jEMPLO 2 La unidad de destello (jiash) de una carnara funciona po r el almacena-

miento de carga en un capacitor y su Iiberacion repentina al disparar la unidad. L

datos que se muestran aJ margen describen la carga Q que resta en el capacitor (rne

en microcoulornbs) en el tiempo t (rnedido en segundos despues de que la unidad d

destello ha sido apagada). Use los datos para dibujar la grafica de esta funci6n y est

la pendiente de la recta tangente en el punto donde t=,04. [Nota: la pendiente de

recta tangente representa la corriente electrica que circula del capacitor al bulbo

flash (medida en microamperesj.]

S O l U C I O N En la figura 4 esta la informacion que se proporcion6 y se usa para dibujar

curva que se aproxirne a la grafica de la funcion,

Q (m icrocoulombs)

l O O

r-,90

-)O

70 ~ p

I-.0~ I

50 ~B C-"'" I

= - : : i0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 I (segundos)



R /111'/:

10'{)0. 100.(0) -824.25

10.02, 81.g7) ~742.00

10.06. 54.88) ~607.S0

10.08.44.93) ~552.50

10. J 0, 36.76) -504.50

! f i i i E I s ig nif ic ad o I lsi co d e l a r esp ue st a d el

ejemplo 2 es que la cor ri en te e l e ct ri ca que

f lu ve d el ca pac ito r a l f oc o d el f l a s h despues

de 0.04 de segundo es d e cas i d e -670

m i c roampe res

La Tor re e N e n T oron to e s el e dific io au tce s-

tab le m as alto del mundo en la actualidad.

SECCION 2.1 LA TANGENTEY LOS PROBLEMAS DE LAVELOCIDAD 1 1 1 1

A partir de los puntas P(O.04, 67.03) y R(O.OO,100.(0) de la grafica la pendiente de

recta secante es

100.00 - 67.03/JlI'U = =824.25

0.00 - 0.04

En la tabla que aparece a In izquierda se muestran los resultados de calculos similares p

las pendientes de otras rectas secantes. Con base en esa tabla cnbe esperar que la pendie

de la recta tangente en t=.04 se encuentre en algun valor entre -742 y -607.5. De

heche, el promedio de las pendientes de las dos rectas secantes mas proximas es

~(-742 - 607.5) =674.75

De esa man era, mediante este metoda estirna la pendiente de la recta tangente

como -675.

Otro metoda es trazar una aproximacion a la recta tangente en P y rnedir los Iad

del triangulo ABC como en la f igura 4. Esto da una estimacion de la pendiente de

recta tangente como

I AB I 8004 - 53.6---= - =670

I B C I 0.06 - 0.02

EL PROBLEMA DE LA VELOC IDAD

Si observa el velocfmetro de un automovil al viajar en el trafico de la ciudad, puede ver

Ia aguja no permanece inmovil mucho tiempo; es decir, la velocidad del auto no es cons

te o AI observar el velocfrnetro, supone que el vehfculo tiene una velocidad definida en c

memento, Wero como se define la velocidad "instantrinea"? Investigue el ejemplo de

pelota que cae.

~ E jEMPLO 3 Suponga que se deja caer una pelota desde la plataforma de observacion

de 1'1Torre CN en Toronto, 450 m pOl'encima del nivel del suelo. Encuentre la velocidde la pelota una vez que transcurren 5 segundos.

S O l U C 1 0 N A traves de experimentos que se llevaron a cabo cuatro sigJos arras, Galileo des

brio que Ia distancia que recorre cualquier cuerpo que cae libremente es proporcional

cuadrado del tiempo que ha estado cayendo. (En este modelo de caida libre no se consid

la resistencia del aire.) Si la distancia recorrida despues de t segundos se denota median

set ) y se mide en metros, en tal caso 141ey de Galileo se expresa can la ecuacion

set) = 4.9r2

La dificultad para hallar la velocidad despues de 5 s es que trata con un solo ins

tante (t =), de modo que no interviene un intervale, Sin embargo, puede tener un

aproxirnacion de 141antidad deseada calculando la velocidad promedio durante elbreve intervale de una decima de segundo, desde t= hasta t=.1:

carnbio en la posicionvelocidad promedio =------!-----

tiempo transcurrido

s (S .l) - s (5)

0.1

4.9(5.1)" - 4.9(5)" _ /_-'-__C_ __ _:_:'_ - 49,49 m s

0 .1



86 IIII CAPiTULO 2 LlMITES Y DERIYADAS

En la tabla siguiente se muestran los resultados de calculos similares de la veloci

promedio durante periodos sucesivamente cada vez mas pequefios

Intervale de tiempo Velocidad promedio (m/s)

5 ~ t ~ 6 53.9

5~f,s;5.1 49.49

5 ~ f,s ; 5 .0 5 49.2455 ~ t ~ 5.01 49.049

5 ~ t ~ 5.001 49.0049

Parece que conforme acorta el periodo, la velocidad promedio se aproxima a 49 m/ s.

velocidad instantanea, cuando t=, se define como el valor limite de estas velocidad

promedio, durante periodos cada vez mas cortos que se inician en t=. En estos term

la velocidad (instantanea) despues de 5 s es

v=9 m/s

Quiza sienta que los calculos que se utilizan en la soluci6n de este problema son m

mejantes a los que se aplicaron can anterioridad en esta secci6n para hallar tangente

hecho, existe una relaci6n intima entre el problema de la tangente y el de halIar velocid

Si dibuja la grafica de la funci6n distancia de la pelota (como en la figura 5 ) y conside

puntos p ea, 4 .9a2) y Q(a + h , 4 .9 (a + h)2) de la grafica, en tonces la pendiente de la

secante PQ es

/nPQ =

4.9(a + h)2 - 4.9a2

(a + h ) - a

10 cual es 10 mismo que la velocidad promedio durante el periodo [a , a + h ]. Por 10

la velocidad en el instante t = a (ellfmite de estas velocidades promedio a medida

tiende a 0) debe ser igual ala pendiente de la recta tangente en P (el limite de las pend

de las rectas secantes).

F IG URA 5

s

o

pendiente de la tangente

=velocidad instantanea

Los ejemplos 1 y 3 hacen ver que para resolver problemas de tangentes y de v

dades, debe ser capaz de hallar lfrnites. Despues de estudiar los metodos para calcu

mites en las cinco secciones siguientes, en la secci6n 2.7 regresara a los problem

hallar tangentes y velocidades.



SECC]ON 2.1 LA TANGENTE Y LOS PROBLEMAS DE LAVELOCIDAD III!

_~ EJERCICIOS

1. Un dep6sito contiene 1000 galones de agua que se drenan desde

la parte inferior en media hora. Los valores que aparecen en la

tabla rnuestran el volumen V de agua que resta en el tanque (en

galones) una ve z que transcurren t minutos.

1 (min) 5 10 15 20 25 30

v (gall 694 444 250 [11 28 0

(a) Si P es el punta (15,250) en la grafica de V, encuentre las

pendientes de las rectas secantes PQ cuando Q es el punta

en la grafica can 1=, 10,20,25 Y 30.

(b) Estime la pendiente de la recta tangente en P promediando

las pendientes de dos rectas secantes.

(c) Use una grafica de la funci6n para estimar la pendiente de

la recta tangente en P. (Esta pendiente representa la canti-

dad a la que fluye el agua desde el tanque despues de 15

minutos.)

2. Se usa un monitor cardiaco para medir la frecuencia cardiaca

de un paciente despues de una cirugfa. Elste recopila el mime-

ro de latidos cardiacos despues de Iminutos, Cuando se si-

ulan 105 datos de la tabla en una grafica, la pendiente de In

recta tangente representa la frecuencia cardiaca en latidos

par minuto.

I(min) 36 38 40 42 44

Latidos curdiacos 2530 2661 2806 2948 3080

EI monitor estima este valor calculando la pendiente de una

recta secante. Use los datos para estimar la frecuencia cardiaca

del paciente, despues de 42 minutes. usando la recta secante

entre los puntos

(a) t=6 Y I= 42

(c) 1=40 Y t = 42

(b ) t = 38 Y 1= 42

(d) t = 42 y t=4

l,Cuales son sus conclusiones?

r n EI punta p ( I,n esta sabre la curva y = x] (I + x).(a) Si Q es el punta (x, x/(1 + x» , use su calculadora para

hallar la pendiente de la recta secante PQ (correcta hasta

seis cifras decimales) para los valores de x que se enumeran

a continuaci6n:

(I) 0.5

(v) 1.5

(iii) 0.99

(vii) 1.01

(ii) 0.9

(vi) 1.1

(iv) 0.999

(viii) 1.001

(b) Mediante los resultados del inciso (a) conjeture el valor de

la pendiente de la recta tangente a la curva en p ( I, D .(c) Usando la pendiente del inciso (b) encuentre la ecuaci6n de

la recta tangente a la curva en P(I, D .

4. EI punto P(3, 1) se encuentra sobre la curva y =.jx - 2

(a) Si Q es el punto (x,..jx - 2), mediante una calculadora

determine la pendiente de la secante PQ (con seis

cifras decimales) para los valores siguientes de .r:

(i) 2.5 (ii) 2.9 (iii) 2.99 (iv) 2.999

(v) 3.5 (vi) 3.1 (vii) 3.01 (viii) 3.001

(b) Par medio de los resultados del inciso (a), conjeture el valor

de la pendiente de la recta tangente en P(3, 1).

(c) Mediante la pendiente del inciso (b), halle una ecuaci6n

la recta tangente a la curva en P(3, I).

(d) Trace la curva, dos de las rectas secantes y la recta tange

[JJ Si se lanza una pelota en el aire con una velocidad de

40 pies/s, su altura en pies, despues de t segnndos, se

expresa par y = 40t - 16t2•

(a) Encuentre la velocidad promedio para el periodo que

inicia cuando t= y dura:

(i) 0.5 seg (ii) 0.1 seg

(iii) 0.05 seg (iv) 0.01 seg

(b) Estime la velocidad instantanea cuando t = 2.

6. Si se lanza una roca hacia arriba en el planeta Marte can u

velocidad de 10 mis, su altura en metros t segundos despu

se proporciona mediante y = lO t - 1.8612.

(a) Hallar la velocidad promedio en los intervalos de tiempo

que se proporcionan:

(i) [1,2] (ii) [I, 1.5]

(iv) [1,1.01] (v) [1,1.001]

(iii) [t,1.1]

(b) Estimar la velocidad instantanea cuando t = 1.

7. La tabla exhibe la posicion de un ciclista.

I (segundos) 0 I 2 3 4 5

s (metros i 0 1.4 5. 1 10 .7 17 .7 25.8

(a) Hallar la velocidad promedio para cada periodo:

(i) [1, 3] (il) [2, 3] (iii) [3, 5] (iv) [3,4]

(b) Use la grafica de s como una funcion de t para estimar

velocidad instantanea cuando t=.

8. EI desplazamiento (en centfrnetros) de una particula de at

hacia adelante en una lfnea recta se conoce por la ecuacion

de movimiento s= sen 1Tt + 3 cos 1Tt, donde t se mide

segundos.

(a) Encuentre la velocidad promedio durante cada peri ado:

(i) [1,2] (ii) [I, 1.1J

(iii) [I,1.01] (iv) [1,1.001]

(b) Estimar la velocidad instantanea de la particula cuando

t=.

[]J EI punto P(l, 0) esta sobre la curva y =en(I01T/x}.

(a) Si Q es el punta (x, sen(101T/x», encuentre la pendiente

la recta secante PQ (correcta hasta cuatro cifras decimal

para s = 2, 1.5, 1.4, 1.3, 1.2, 1.1,0.5,0.6,0.7,0.8 y 0.9

i,Parece que las pendientes tienden a un limite?

tt l (b) Use una grafica de la curva para expliear par que las

pendientes de las rectas secantes del inciso (a) no esta

cercanas a la pendiente de la recta tangente en P.

(c) Mediante la seleccion de rectas secantes apropiadas, est

la pendiente de fa recta tangente en P.



Luego de vel' en la seccion anterior como surgen los lfmites cuando desea hallar la ta

te a una curva 0 la velocidad de un objeto, dirija su atencion hacia los lfmites en gen

los metodos numericos y graficos para calcularlos.

lnvestigue el cornportamiento de la funcion j'definida porf(x) =2- X + 2 para

res cercanos a 2. En la tabla siguiente se dan los valores de f(x) para valores de x cera 2, pero no iguales a 2.


~~~~~~~~~~ liMITE DE UNA FUNCION

f(xj

tiende a

4

F I G U R A 1

y=x2-.r+ 2

A rnedida que x tiende a 2

.r

x j(x) . v f(x)

1.0 2.000000 3.0 8.000000

1.5 2.750000 2.5 5.750000

1.8 3.440000 2.2 4.640000

1.9 3.710000 2.1 4.310000

1.95 3.852500 2.05 4.152500

1.99 3.970100 2.01 4.030100

1.995 3.985025 2.005 4.015025

1.999 3.997001 2.00! 4.003001

A partir de la tabla y de Ia grafica de f (una parabola) que se ilustra en la figu

es claro cuando x esta eercana a 2 (por cualquiera de los dos lados de 2), f(x) 1

a 4. De heche, parece posible aeercar los valores def(x) a 4 tanto como desee si

una x 10 suficientemente cerca de 2. Expresa este hecho al decir: "el limite de la

cion f(x) =2

- X + 2, cuando x tiende a 2, es igual a 4". La notacion para est

presion es

lim (x2

- x + 2) = 4.\'-).2

En general, se usa Ia siguiente noracion

IT ] D E F I N I C I O N Escriba

Ifrn/(x) = L.1i:-'a

que se expresa como: "el limite de f(x) cuando x tiende a a, es igual a L"

si puede acercar arbitrariamente los valores de f(x) a L (tanto como desee) escogien

do una x 1 0 bastante cerca de a, pero no igual a a.

En terrninos generales, esto afirrna que los valores def(x) se aproximan eada ve

al mimero L cuando x se aeerea a a (desde cualquiera de los dos lados de a) pero x

(En la secei6n 2.4 se proporciona una definicion mas exacta.)

Una notacion alternativa para

Ifmf(x) =LX-·~(I

es f(x) ->L x->auanda

que suele leerse "f(x) tiende a L cuando x tiende a a" .



y

o a

(a)

F IG UR A 2 lim j(x) =L en lo s tre s c as os,r-a

x<1 fix)

0.5 0.666667

0.9 0.526316

0.99 0 .S02S13

0.999 0.S002S0

0.9999 0 .SOO025

x>l fix)

1.5 OAOOOOO

l.l 0.476190

l.01 0.497512

LOOI OA99750

l.0001 0.499975

SECCJON 2.2 LIMITEDEUNA FUNCI6N IIII

Advierta la frase "pero x ~ a" en Ia definicion de limite. Esto signifiea que al hal

el limite de j(x) cuando x tiende a a, nunea eonsider6 x=. De hecho, incluso no

neeesario que j(x) este definida cuando x=a. Lo iinico que importa es c6mo esta

finidaj cerca de a.

En la figura 2 se muestran las graficas de tres funciones. Observe que en la parte

j(a) no esta definida y , en la parte (b),j(a) ~ L. Pero en cada easo, sin importar 10 q

sueeda en a, es verdadero que lfmx_aj(x) = L.

yA y

x o a xx

(b) (c)

x-IE J E M P L O I Conjeture el valor de lim, .

x~1 x- - I

S O L U C I O N Advierta que la funei6nj(x) = (x - l)/(r - 1 ) no esta definida cuando x=

pero eso no importa porque la definicion de Ifm.<-,aj(x) dice que considere valores de

pr6ximos a a pero diferentes de a.

En las tablas que apareeen al margen izquierdo se proporcionan los valores de j(x

(correetos hasta seis cifras decimales) para valores de x que tienden a 1 (pero no so

iguales a 1). Con base en los valores de las tablas, suponga que

x-Ilfm, =0.5x'I

x- - 1

El ejemplo 1 se ilustra mediante la grafica dejde Ja figura 3. Cambie ahora ligerame

te el valor de J, dandole un valor de 2 cuando x = 1 y denominando a la funcion resultan

como g.

{

x-I

g(x) = ; 2 - 1

si x ¥ = 1

si x=1

Esta nueva funcion g todavfa tiene el mismo limite conforme x tiende a 1 (vease la figura

y y

2

x-I

Y =x2-1 y=g(x)

---~

i

o --~1·- xx

FIG UR A 3 F IG UR A 4



90 1 1 1 1 CAPiTULO 2 LiMITES Y DERIVADAS

v t~ + 9 ~ JI

f~

: : t o .OOO5 0.16800

::to .OOO I 0.20000

::'::0.00005 0.00000

: : to .OOOOI 0.00000

WVNrstewDI t ca t cu lus .ocm

Para una explicacion m as detallada de

por que en ocasiones Ins calculadoras dan

valores falsos, vease el sitio en la red.

D e un clie en Additional Topics y luego en

Lies M y Calculator and Computer Told

Me. En particular, refierase a la seccion

Hamada The Perils a/Subtraction.

0.2

~ 0.1 - - - -(a) [-5, 5] POf [-0.1, 0.3]

F IG U R A 5

Jt2+9 - 3E JEMPLO 2 Estime el valor de lim , .

I~O t:

W L U C I O N En la tabla se enumeran los valores de la funci6n para varios valores de

canos a O .

V I: + 9 - JI12

::tI.O 0.16228

::+:0.5 0.16553

::'::0.1 0.16662

:to.05 0.16666

:: to.Ot 0 .16667

A rnedida que t tiende a 0, los valores de la funci6n parecen acercarse a 0.1666666 ..

por consiguiente, supone que

J t 2 + 9 - 3Ifm 7

1--0 t: 6

En el ejemplo 2, l,que habrfa sucedido si hubiera tornado valores incluso mas pe

de t? En la tabla al margen se muestran los resultados que se obtuvieron con una c

dora; usted puede ver que parece suceder alga extrafio.

Si intenta realizar estos calculos en su caIculadora podrfa obtener valores diferente

llegara un momento en que obtendra el valor 0, si reduce t 10 suficiente. l,Significa e

la respuesta en realidad es 0, en lugar de ~? No, el valor dellfmite es ~,como se dem

~ en la secci6n siguiente, EI problema es que las calculadoras dan valores falsos

'/t2 + 9 esta muy cercana u 3 cuando t es pequefio. (De hecho, cuando t es 10 su

temente pequefio, el valor para J [ 2 + 9 de una calculadora es 3.000 ... hasta el mimdtgitos que la calculadora es capaz de llevar.)

Algo similar sucede cuando intenta trazar la grafica de la funcion

del ejemplo 2 en una ca1culadora graficadora 0 en una computadora. Las partes (a

de la figura ilustran graficas bastante exactas de f y, cuando se usa el modo de tr

cuenta COnel), puede estirnar con facilidad que el Ifmite es alrededor de ~. Pero si

un acercamiento muy grande, como en las partes (c) y (d), obtiene graficas inexacta

vez mas debido a problemas con la sustraccion.

0.2

0.1

(b) [-0.1,0.1] por [-0.1,0.3] (c) [-10-6,10-6] por [-0.1,0.3] (d) [-10-7, 1O~7J por [ -0



:: 1.0

·: : :05

c . : : : O A

:::0.3

.:':0.2

:::0.1

:::0.05

.':0,01

:':0,005

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0.[)9999583

0.99999983

S IS TE M A S A LG EB MK m P A M (O M PU T A D OM

L os s is te m as a lg eb ra ic os p ar a c om p uta do ra

{ C A S : c om pu te r a lg eb ra s ys te m s, C A S I t ienen

com and as q ue c alcu la n Ifm ite s. En virtud d e

la s d if ic ulta de s q ue S8 d em ostraro n en los

e jem plos 2 , 4 Y 5, no en cue ntra n lo s Ifm ite s

p or e xp erim en la ci6 n n um eric a. s in o q ue a pli-

c an ts cn ic as m as e !a bo ra da s, c om o e l c alc ulo

d e series i n f in i t a s . S i t i en e acceso a un C A S ,

u s e el com a nd o 1 fmite, c a l c u Ie lo s lim i t e s de

lo s e jem plos de e sta seccion y com prue be su s

respuestas a lo s e je rc ic io s d e este capitulo,

SECCION 2.2 LIMITE DE UNA FUNCION IIII

senx~ EjEt,1PlO :5 Encuentre el valor de lim -- .

..(-1-0 X

)OlUCIOH La funci6nf(x) =sen x)/x no esta definida cuando x =O.Con una calculado

(y recordando que si x E IR , sen x quiere decir el seno del angulo cuya medida en radia

es x), construya la tabla siguiente de valores, correcta hasta ocho cifras decirnales. A p

tir de la tabla a la izquierda y de Ia grafica de la figura 6, suponga que

sen xlfm-- =IX-cl'O X

De hecho, esta conjetura es correcta, como se probata en el capitulo 3 mediante la

aplicacion de un argumento geometrico.

yA

F IG U R A 6

-1

sen ,ry=~

x

o

W

4 lnvestigue lfm sen -,x-.. X

SOLUC!OIIUna vez mas, la funci6nf(x) = sen(w/x) no esta definida en O . Si se evah ia la

funci6n para algunos valores peguefios de x, resulta

f( 1) = sen tr =0

fW = sen 3w = 0

1(0.1) =en lOw= 0

f(D =en2w= 0

f(i)= sen4w =0

1(0.01)=en lOOw=0

De manera analoga,f(O.OOl) = f ( O . O O O l ) =O.Con base en esta informaci6n, podrfa

sentirse tentado a presumir que

, whmsen- =,(-·0 X

~ pero en esta ocasion SLl conjetura es erronea. Advierta que aun cuandof(1/n) = sen rutt =

para cualquier entero n, tambien se cumple que f(x) =1 para un numero infinito de valo

de x que tienden a 0, La grafica de f se da en la figura 7.

y

y = sent 17Ix)

x

F IG U R A 7



Las lfneas discontinuas cerca del eje y indican que el valor de sen( 1r/x) oscila

y -] a menudo infinitarnente cuando x se aproxima a O. (Vease el ejercicio 39.)

Ya que el valor dej(x) no se aproxima a un numero fijo cuando x se aproxima

92 1 1 1 1 CAPiTULO 2 LfMITES Y DERIVADAS

, cos 5x.r .r +--

10000

1 1.000028

0.5 0.124920

0.1 0.001088

0.05 0.000222

0.01 0.000101

. cos 5x.v ...+. \ l O O O O

0.005 0.00010009

0.001 0.00010000

~ IF IG U R A 8

I' tt1m sen - no existe,\'~,.{) x

EJEMPLO 5 Encuentre lim ( x 3 + COos5 X )..,-0 1 0

~ O L U C I 6 u Como antes construya una tabla de valores. A partir de la primera tabla qu

rece en el margen

, ( 3 cos s x )1 1 n x + --- =,-·0 10000

Pero si perseveran con valores mas pequefios de x, la segunda tabla sugiere que

(" cos 5 X ) I

lim .r' + -- =.000100 =-.--.<->0 10 000 10 000

Mas adelante vera que lfm,,_>ocos 5x = Y en tal caso se concluye que el limi

es 0.0001.

~ Los ejemplos 4 y 5 ilustran algunos de los riesgos en la suposicion del valor de un

Es facil suponer un valor err6neo, si se usan valores inapropiados de x, pero es diffc

cuando suspender el calculo de valores, Y, como hace ver el analisis que sigue al ejem

veces las calculadoras y las computadoras dan valores erroneos. Sin embargo, mas

se desarrollan metod os infalibles para calcular lfmites.

~ E jEMPLO 6 La funci6n de Heaviside H se define por

H(t) =e SI t < 0

si i » 0

[Esta funcion recibe ese nombre en honor al ingeniero electricista Oliver Heavi

(1850-1925) y se puede usar para describir una corriente electrica que se hace c

en el instante t=O.J En la figura 8 se muestra su grafica.

Conforme t se acerca a 0 desde la izquierda, H(t) tiende a O.Cuando t se aproxim

desde la derecha, H(t) tiende a L No existe un ruimero tinico al que H(t) se aproxim

cuando t tiende a O.POl'consiguiente, 1fmi~o H(t) no existe,

L1MITES LATERALES

En el ejemplo 6 se via que H(t) tiende a 0 cuando t 1 0 hace a 0 desde la izquierda

esa funcion tiende a 1 cuando t 10 hace a 0 desde la derecha, Se indica simbolicamen

situacion escribiendo

lfrn H(t) =(-·o~

y

El simbolo "I~ W" indica que solo se consideran valores de t menores que O.Del

modo "t ~ 0+" indica que solo se consideran valores de t mayores que O.



) ' A

4

y=g(x)

o

FIGURA 10

2 3 4 5

SECCION 2.2 LIMITEDEUNA FUNCION 1 1 1 1

[ [ ] D E F IN I C IO N Escriba

lim f(x) =L, , , . . . . _ _ . _ , , _ ( l ~

se lee el limite izquierdo de f(x) cuando x tiende a a [0 el limite de f(x) cuando

x se acerca a a desde la izquierdaJ es igual a L, si puede aproxirnar los valores

de f(x) a L tanto como quiera, escogiendo una x 10 bastante cerca de a pero menor

que a.

Advierta que la definicion de 2 difiere de la 1s610 en que x debe ser menor que a.

manera analoga, si requiere que x sea mayor que a, obtiene: "el limite por la derech

def(x) cuando x tiende a a es igual a L" y escribe

Asi, el sfrnbolo "x -0> a+" significa que considere solo x >a. En la figura 9 se ilustran es

definiciones

_ v . .. .

o x

L J(x)Jlx)

o_to a s

FIGURA 9 (b) lim j(x) =L~_"{l+

(a) Ifm J(x) =Lt-U

• Al comparar la definicion 1 can las definiciones de los limites laterales, se cumple

siguiente

si y solo si lfrn f(x) = L y lim f(x) =LX-)-a- X~)(,+

ill Ifm f(x) =Lx=o a

~ EJEMPLO 7 En la figura 10 se muestra la grafica de una funcion g. UseIa para dar lo

valores (si existen) de los lfrnites siguientes:

(b) lfm g(x).\,-,.2+

(c) Ifm g(x).t:-~2

(d) lfrn g(x)x-5~

(D 11m g(x)x-·5

(e) lim g(x)x - . - - - - : - - s +

x W l U C I O I I A partir de la grafica es claro que los valores de g(x) tienden a 3 cuando x tiend

a 2 desde la izquierda, pem se acercan a 1 cuando x se aproxirna a 2 desde la derecha.Por consiguiente

(a) lim g(x) =.1'-:.-2-

y (b) lfm g(x) = 1. \ : - - - = - - 2 +

(c) Como los limites poria izquierda y par la derecha son diferentes, can base en (3)

concIuye que Ifmx~2 g(x) no existe

La grafica muestra tambien que

(d) lim g(x) =x-5-

y (e) lfrn g(x) =2x~~5ct-



(f) En esta ocasion los limites por la izquierda y la derecha son los mismos y, de es

modo, con base en (3)

94 1 1 1 1 CAPiTULO 2 UMITESY DERIVADAS

: : : 1

::0.)

: . ' : : 0 . 2

:'.:0.1

:.'::O()

:'.:O.ill: .- O ,{ )O I

.; }

25

1(1)

400

10000

1000000

y

I1'=~r .r-

l fmg(x) =2x->~

A pesar de este hecho, observe que g(5) r'2.

LlMITES INFINITOS

IEjEI' ljPLO 8 Halle lfrn -? si existe.

X~~O x '"

} O L U ( I ( m Conforme x se aproxima a 0, x" tambien se aproxima a 0 y 1 /x 2 se hace muy

grande. (Yea la tabla en el margen.) De hecho,al verla grafica de la funcion j'(x) =

que se muestra en la figura 11 , parece que los valores de f{x) se pueden aumentar en

arbitraria, si se escoge una x 10 suficientemente cerca de O . De este modo los valore

f(x) no tienden a un mimero, de tal manera que Ifmx~o (l/x2) no existe.

Para indicar la clase de comportamiento que se muestra en el ejernplo 8, util

notacion

[i]Esto no quiere decir que se considere 00 como un mimero. N i siquiera significa que

mite existe. Simplemente expresa 1a manera particular en la eual ellfmite no existe:

puede ser tan grande como guste llevando a x 10 suficientemente cerca de O .

En general, se eseribe simbolicamente

lim f(x) = co

x-oa

para indiear que los valores def(x) se vuelven mas'y mas grandes, es decir (se "increm

sin limite") a medida que x se acerca mas y mas a a.

F I G U R A I I

\

\ 0

~,

F I G U R A 1 2

lim j(x) =co.\-(/

yA

x=a

[1 J I)EFINICI6~~ Seafun funci6n definida en ambos lados de a, excepto posibl

mente en a misma. Par 10 tanto,

lim f(x) =o. t . . . - - . - ' J - t l

quiere decir que los valores def(x) se pueden hacer arbitrariamente grandes (tan

grandes como uno quiera) haciendo que x se acerque suficientemente a a, pero n

es igual que a.

Otra notacion para lim x-, " f(x) =0 es

f(x) -;. 00 cuando

Recuerde que el simbolo co no es un mimero, pero la expresion Ifm,_"f(x) =0 se

con frecuencia como

x "el lfrnite def(x) cuando x tiende a a es el infinito"

o bien, "f(x) se vuelve infinita euando x se aproxima a a"

a bien, "f(x) se incrementa sin limite cuando x tiende a a"

Esta definicion se ilustra en la figura 12.



l1i A I d ec ir q ue u n pume ro es " nega ti vo m uy

g ra nd e" s ig nif ic a q ue e s n eg ativo p era s u

m a g nit ud ( va lo r a b so lu to ) e s c o ns id e ra ble .

y

x=a

FIGU RA 13

lfm fix) =-00

, t . . .. (1

x

(a) lim f(x) =(j)

FIG UR A 14

S EC C ION 2.2 LIM ITE DE UNA FUN C ION 1 1 1 1

Un tipo similar de Ifrnite, para el caso de funciones que manifiestan valores negati

muy grandes cuando x tiende a a, se presenta en la definicion 5 y se ilustra en la figura

r n DEFINICION Seafuna funcion definida en ambos lados de a, e xce pto p osib le -

mente en a misma. Por 10 tanto,

lim f(x) =- 00

.I,..~(I

.v significa que los valores de f(x) se pueden hacer de manera arbitraria grandes y

negativos al dar valores a x que esten muy cerca de a, pero sin que lleguen a ser

iguales a a.

EI sfmbolo lfm..-,,f(x)=-00 quiere decir "el limite def(x) cuando x tiende a a e

infinito negative" 0 bien, ''f(x) decrece sin limite cuando x tiende a a". Como ejem

tiene

lim ( - J , ) =00.\'~o x ....

Definiciones similares se pueden dar para los lfrnites infinitos laterales

lim f(x) =ox_",,-

lim f(x) =0

x-.a+

lfrn f(x) =cox-'a-

lim f(x) =00

x-a""'-

sin olvidar que "x ---l> a:" significa que considera solo valores de x que sean menores

Q y, de igual manera, "x ---l> a+" quiere decir que considera s610 x > Q. Ejemplos de e

cuatro casos se presentan en la figura 14.

y y

o a

(b) lim flx) =co.>;-(1+

(e) lim f(x) =-co (d) Ifm f(x) =-00

,\ -11+

r n DEFINICION. La recta x = a se llama asintota vertical de la curva y =(x ) si

par 10 menos uno de los siguientes enunciados es verdadero

lfm f(x) = 00

x~nlim f(x) =0

x-~a-lim f(x) =00

.\'-)-(1+

lim f(x) =00

.\·-;Ol

Ifm f{x) =00

;(-)-(1-

POl' ejemplo, el eje y es una asfntota vertical de la curva y =1/x2 por

Ifmx~o (1/x2) =0. En la figura 14, Ia recta x= es una asfntota vertical en cada

de los cuatro casos mostrados. En general, es muy iitil conocer las asfntotas vertica

para trazar las graficas.



2x 2xEjEM PlO 9 Determine Ifm -- y lim --.

x->3+ X - 3 x-+3- X - 3

96 1 1 1 1 CAPiTULO 2 LfMITESY DERIVADAS

y

S O L U C I O I I Si x esta en Ia vecindad de 3 , pero es mayor que 3 , entonces e l denominad

x - 3 es un ruirnero positivo pequefio y 2x esta cercano a 6. Asi, el cociente 2x/(x

es un ruimero positivo grande. En estos terminos, ve intuitivamente que

2xlim --- =0

.<-+3+ X - 3

De manera similar, si x esta cerca de 3 pero es mas pequefia que 3, entonces x - 3

mimero negativo pequefio , pero 2x es an n un rnirnero positivo, cercano a 6. De esa ma

2x/(x - 3) es desde el punto de vista numerico un mimero negativo grande. Por esto

2xlim --- =00

.,-+3~ X - 3

La grafica de la curva y =2x/(x - 3) se ilustra en la figura 15 . La recta x = es

asintota vertical.

EjEMPLO 10 Determine las asintotas verticales def(x) =an x.

3 0 T X

2 S O l U C I O N Puesto que

senxtanx =-

cos x

hay asfntotas verticaies potenciales donde cos x= . En efecto, como cos x --:> 0+ cu

x --:> (71/2t y cos x --:> O~ cuando x --:> (7T/2t, en vista de que sen x es positiva cuan

esta cerca de 7T/2 ,

lfrn tan x=0

x-+("./2f-

lfm tan x=-00

'< -+(1T/2)+

5

x

y

Esto demuestra que la recta x =7T/2 es una asintota vertical. Un razonamiento simi

muestra que las rectas x =2n+-l)7T/2 , donde n es un entero, son asintotas verticalde f(x) = tan x. La grafica de la figura 16 10 confirma.

Otro ejemplo de una funcion cuya grafica tiene una asfntota vertical es la funci6n

ritmo natural y=n x. A partir de la figura 17

Ifm lnx =-00

. 1 : - - " " 0 +

y de este modo Ia recta x=, el eje y, es una asintota vertical. En efecto, 10 mism

cumple para y =og" x siempre que a > 1. (Vease figuras II y 12 de Ia seccion 1.

1. Explique con sus propias palabras que se quiere dar a en tender

mediante la ecuaci6n

2. Explique que se quiere dar a entender con

FIGURA 15

FIGURA 16

y=tanx

y

FIGURA 17

El eje y es una asfntota vertical

de la funci6n logaritmo natural.

-@ l EJERCICIOS

lfmf(x) =...2

lfm f(x) =,T~ ...I-

y Ifrn f(x) = 7),'-,.1+

&Esposible que se curnpla esta proposici6n y todaviaj(2) = 3? De

una explicacion.

En esta situacion &esposible que Iim.,~d(x) exista?

De una explicaci6n.



3. Explique el significado de cada una de las expresiones

siguientes,

(a) lim f(x) = 00

x~~~J(b) Urn f(x) =-""

x-+4+

r n Para la funcion f cuya grafica se proporciona, establezca el valor

de cada cantidad, si existe. Si no la bay, explique por que.

(a) lim j'(»)cr~O

(b) Ifrn f(x).1;:-3-

(c) Ifm f(x)_"1:-3+

(d) lfrn f(x)x-)o,3

(e) f(3)

y

- 4

/-'"

21 " ' - . _ V-r-,

0 2 4 ,\

5. Use I a g r af ic a de f que se proporciona para estableeer el valorde cada cantidad, si existe, Si no existe, explique por que.

(a) lfrn f(x).r-»l "

(b) lfrn f{x).o;~"i+

(c) lfrn f(x).T--I

(d) lim f(x)x~5

(e) f(5)

y

~4 -:

/

r--i - . /

0 2 4 .\

6. Para la funcion 1 1 , euya graf ica se da, determine el valor de cada

cantidad, si existe, En caso que no exista explique par que.

(a) lfrn hex) (b) Ifrn hex) (e) lfrn hex).1"---'>--3- x ........3+ x ......-3

(d) h(-3) (e) Ifm hex) (f) lfrn hex)_t-O- .\'"-0+

(g) lfrn hex ) (b) h(O) (i) Ifm hex)_1:-0 ,T~)o2

(j) h ( 2 ) (k) Ifm hex) (1 ) Ifm hex),"(-5+

.; ,....,.5-

yII v- - - -

/ /

~

\

/ \I I -, I

V I-4 -:2 0 / 2 4 ?

I

SECCION 2.2 LiMITE DE UNA FUNCJON 1 1 1 1

7. Para la funci6n g euya gnifica se proporciona, establezca

valor de eada cantidad, si acaso existe. Si no existe, expliq

la raz6n.

(a) lim ge t ) (b) Ifm g( t ) (c) lim ge t )1->0- 1~)oO+ I~·O

(d) lfm ge t ) (e) Lim ge t ) ( D lim ge t )1-~2- .1.:-;00+ t-~2

(g) g(2) (h) I fmg( t )t-~4

r

- 4/

- 2 II V

\ /~ / 2 4 r

)

8. En el caso de l a f un c io n R euya grafica se r n ue st ra , e st ab l ez casiguiente,

(a) lfm R (x),"\"-..2

(b) lim R (x)x-"'5

(c) lfrn R(x) (d) lfrn R(x)~-~3- x-...~l+

(e) Las ecuaciones de las aslntotas verticales.

\ Iy ...

_ I

\ J\I

I

k II \ i,

I <, /1 I'-J

r - . . .-3 0"",, 2 5 . \j

\ I I\ I \ 1 1

II I

9. En el caso de la funcionj' euya grafica se muestra, establezca

siguiente.

(a) lim f(x).T~~-7

(b) lim f(x)):--3

(c) lim f(x);r-~O

(e) lim f(;r).t-~6'"

(D Las ecuaciones de las asintotas verticales.

y I

J I 1 \1\ / \

\ I\ \ -.. I . . . . . . .

-7 -3 1 0 \ '\ 6 I x1 \ ( I\ I I \

10. Un paciente recibe una inyeccion de 150 rng de un medic

mento cada 4 horas. La grafica muestra la cantidad j'(r} d



98 1 1 1 1 CAPITULO 2 LlMITES Y DERIVADAS

medicamento en el torrente sangufneo, despues de t horas.

y

y explique el significado de estos limites laterales,

I{t)

4 8 12 16

30 0

15 0

o

~ I T I J Use la grafica de la funci6nf(x) = 1/(1 + el/x ) para estable-

cer el valor de cada lfrnite, si es que existe. 51 no existe de

la razon.

(a) lim f (x),'(-,0-

(b) lim f (x)1:-0+

(c) Ifm f{x).\ '~"'o

12. Trace la graf ica de la funcion siguiente y iisela para determinar

los valores de a para los cuales existe Jim,_."f(x) si:

{

2-X six<-I

.«x)=x si - I,,;;<

x - 1)2 si x;?: 1

13-16 Trace la grafica de un ejemplo de una funcion f que cumpla

con todas las condiciones dadas.

13 . lfrn f (x) = 2, Ifm f (x) = -2, f (1) = 2.1;-~I- .t-~I+

14 . Iim f (x) = 1, lim f (x) = -1, Ifm f (x) = 0,.T-~O- >~r-c ·o+ .,,~~2~

lfrn f (x) = I, f (2) = I, f rO) no e st a d ef in id ax-~2-t

rn Iirn f (x) =, lim f (x) = 2, Ifm fex) = 2,X-" ' : \+ x~*3~ x-~~2

f(3) = 3, f(-2) =

16 . Ifm f (x) =, Ifm f (x) =, lfrn f (x) =3,:r-:o-I .10- ..4- x-~4+

f (1) =, f (4 ) = -]

17-20 Suponga el valor del lfrnite (siempre y cuando exista) eva-

luando la funci6n en los rnimeros dados (con seis cifras decimales).

x2 - 2x17 . Ifm 0 ,x =.5,2.1,2.05,2.01, 2.005, 2.001,

<-.2 x- - X - 2

1.9, 1.95, 1.99, 1.995, 1.999

x2 - ?18 . Ifm ~ -',,-.-I x- - X - 2

x = 0, -0.5, -0.9, -0.95, -0.99, -0.999,

-2, -1.5, -1.1, -1.01, -1.001

e"-]-x19 . Ifm ? , X = : !: I , :!:0.5, :!:0.1, :!:0 .05, :!:O.O

"~o x-

20 . llm xln(x + x2), x=I,0.5, 0.1,0.05,0.0],0.005,0.001x~~o+

21-24 Mediante una tabla de valores estime el valor del lfrnit

dispone de una calculadora 0 de una computadora para grafica

usela para confirmar graficamente sus resultados.

Jx + 4 - 221 . Ifm - '- -- --

X-~O x

tan 3x22 . lfm--

. ,- ·0 tan 5x

x6 - 123 . Ifm -10--

x-ol X - I

9X- 5'

24 . lfm---.,-·0 x

25-32 Determine el lfmite infinito.

25 .x+ 2

26 .x+ 2

lim -- Ifm --,-.-.1+ X + 3 _ " . . . .. , ~ ~ J - x+ 3

?- x e e l '

!ill !~ ~ 1; - 1 ) 228 . lim

(x - W.,;-.5-

29 . lim In(r - 9) 30. lim cotx,t-~3+ ,1.:-';;' -

31 . 32.r - 2>:

lfrn xcscx Ifm~X2 - 4x + 4- ..2:7- .T~-'2-

I ]33 . Determine Ifm -, -- y lim -}--

,,--I X' - I .,~I· X - I

(a) evaluandof(x) =/(x 3- 1) para encontrar valores d

x que se aproximen a 1 desde la izquierda y desde la

derecha.

(b) planteando un razonamiento como en el ejemplo 9 y

(e) a partir de la grafica de!

34 . (a) Determine las asintotas verticales de la funci6n

x2 + IY = 3x - 2x2

(b) Confirme su respuesta del inciso (a) graficando l a f u nc io

~ (a) Estime el valor del limite Hm,,-_o(1 + X)I/.' hasta cinccifras decimales. i,Le resulta familiar este ruimero?

~ (b) Ilustre el inciso (a) dibujando la funci6n y = (I + X)I

~ 36 . (a) Grafique la funcionj'(x) =tan 4x)/x y realice un acerc

miento hacia el punto donde la grafica cruza el eje y, e

el valor de Ifmx-.of(x).

(b) Verificar su respuesta del inciso (a) evaluando j'(x) p

valores de x que se aproximan a cero.



SECCION 2.3 CALCULO DE LiMITES UTILIZANDO LAS LEYESDE LOS LiMtTES 1 1 1 1

37. (a) EvaJUe la funci6nf(x) =" - (2"/1000) para x =,0.8,

0.6, 0.4, 0.2, 0.1 Y0.05 Yconjeture el valor de

(b) Evaluef(x) para x = 0.04, 0.02, 0.01, 0.005, 0.003 y 0.001.

Conjeture de nuevo.

38 . (a) Evahie hex) = (tan x - x)/:2 para x = 1,0.5,0.1,0.05,om y 0.05

tan x - x(b) Conjeture el valor de lim 3

.T-O X

(c) Evahie h(x) para valores cad a v ez mas pequefios de x hasta

que finalmente Ilegue a valores 0 para hex) . i,At'in esta seguro

de que 10que conjetur6 en el inciso (b) es correcto? Expli-

que por que obtuvo valores 0 en algun mornento. (En la

seccion 4.4 se explicara un rnetodo para evaluar ellfmite.)

(d) Dibuje la funci6n II en el rectangulo de visualizaci6n

[-I, 1] por [0, I]. A continuaci6n haga un acercamiento

hasta el punto en que la grafica cruza el eje y para estimar

ellfmite de lI(x) conforme x se aproxima a O.P rosiga can el

acercamiento hasta que observe distorsiones en la grafica

de h. Compare con los resultados del inciso (c).

rn 39. Grafique la funci6nf(x) = sen(7T/x) del ejemplo 4 en el rec-

tangulo de visi6n [-I,1] par [ - 1, I]. Despues efectue varias

veces un acercamiento hacia el origen. Comente el compor

miento de esta funci6n.

40. En la teorfa de la relatividad, la masa de una particula co

velocidad V es

III 0

m = .J ' / '- v- C"

donde m« es la masa de la partfcula en reposo y c es la rapi

de l a lu z, l.Que sucede cuando v --i> c'"!

E E l 41 . Estime mediante una grafica las ecuaciones de todas las asfn

verticales de la curva

y = tan(2 sen x)

Luego determine las ecuaciones exactas de estas asintotas.

E E l@ Z J (a) Use evidencia numerica y grafica para conjeturar el v

dellfmite.

(b) i,Que tan cerca de I tiene que estar x para asegurar qu

la funei6n del inciso (a) este dentro de una distancia

respecto de su lfrnite?

~~~~~~~~g22~.3~CALCULO DE LfMITES UTILIZANDO LAS LEYES DE LOS LlMITES

En la seccion 2.2 usc calculadoras y graficas para suponer los valores de los lfmites,

fue claro que esos metodos no siempre conducen a la respuesta correcta. En esta sec

aplicara las siguientes propiedades de los limites, conocidas como leyes de los limites,ra calcularlos,

lfmf(x).\ 0

LEYES D E LOS LiMIT ES Suponga que c es una constante y que los lfmites

1. Ifm Ef(x) + g(x)] =im f(x) + lim g(x)X~(l :'(--"(1 X~(/

2. lim [f(x) - g(x)] = 11m f(x) - lim g(x)X~a J:-~a .1:----:0(1

3 . lim [cf(x)] = Iim f(x)X~(J x=-r a

4 . lim [f(x)g(x)] =frn f(x) • lim g(x)X-"Jo(i ;(-)(1 x___,,(/

existen. En tal caso

" f(x) lfrn f(x)S. lim -- =->a si lfrn g(x) #- 0

x-ro a g(x) lim g(x) .,-.");~a

y lim g(x)x-"'a



Estas leyes se pueden expresar en forma verbal como sigue

1 . El limite de una suma es la suma de los limites.

2 . Ellfmite de una diferencia es la diferencia de los lfrnites.

3 . Ellimite de una constante multiplicada por una funcion es la constante multiplic

por el lfrnite de la funci6n

4 . El limite de un producto es el producto de los lfmites.

5. El lfmite de un cociente es el cociente de los lfmites (siempre que el limitedenominador no sea cero).

Es facil creer que estas propiedades son verdaderas. Por ejemplo, sif(x) e st a c e rc an

y g(x) 10 esta de M, resulta razonable concluir que f(x) + g(x) esta cercano a L +M. Esuna base intuitiva para creer que Ia ley 1 es verdadera. En la seccion 2.4 aparece una d

cion preeisa de limite; la cual se utilizara para demostrar esta ley. Las demostraciones d

leyes restantes se proporcionan en el apendice F .

100 1 1 1 1 cAPiTULO 2 LiMITESY DERIVADAS

lE Y D E L A S U M A

lE Y D E L A D IF E R EN C I A

L E Y D E M U L T IP lO C ON S T A N T E

L E Y D EL P R OD U C T O

L E Y D E L C O C IE N T E

y

f

V <,/

/i'-/1

)\

' - - h 0 ;L .\

- - - - .g -- -. . . ._

t--.

F IG U R A 1

EJEMPlO I Use las leyes de los lfrnites y las graficas defy 9 de In figura 1 para eval

los lfrnites siguientes, si existen.

(a) lim [lex) + 5g(x)]):~!>-2

(b) Ifm [J(x)g(x)]x~)1

, f(x)(c) hm-(-)

,,~ ;; 9 x

S O L U C I O N

(a) A partir de las graficas defy g,

lfrn f(x) =1x~)--2

y Ifm g(x) = -1;(--2

Por 10 tanto,

lfm [j(x) + 5g(x)] =lim f(x) + lim [5g(x)],t-:~~2 .\'~ -2 x-:o-~:2

(por la Icy I)

= lfm f(x) + 5 lfrn g(x),'(-:0--2 . ~ - , - - - ' J - - 2

(por la ley 3)

= 1 + 5(-1) = -4

(b) Observe que lim ..-.If(x) =. Pero lfm .r -vlg(x) no existe porque los Ifmites po

izquierda y por Ia derecha son diferentes:

lim g(x) =2.r-e t "

lim g(x) =-1x-"!-i+

De suerte que no es posible usar la ley 4 para el limite deseado. Pero puede usar la l

para los Iimites laterales:

lfm [f(x)g(x)] = . (-2) =4.r ~I- lim [f(x)g(x)] = 2. (-1) = -2x-»"l'

los limites Izquierdo y derecho no son iguales, asf lim,_1 [f(x)g(x)] no existe.

(c) Las graficas muestran que

lim f(x) = 1 .4x-2

y lim g(x) =0.t-)o2

Ya que ellfmite del denominador es 0, no puede aplicar la ley 5 . Ellfmite dado no e

porque el denorninador se aproxima a cero en tanto que el numerador tiende a un rnir

no cera.



L E Y D E L A P Q T E N C IA

L E Y D E L A R A iz

SECCION 2.3 CALCULO DE LiMITES UTlLlZANDO LAS LEYESDE LOS UMITES 1 1 1 1

Si aplica la ley del producto repetidas veces, con g(x) ={x) , obtiene la ley siguie

en d o n d e 11 e s un entero positivo

En la aplicacion de estas seis leyes de los lfrnites, necesita usar dos lfrnites especi

7. lim c= 8. Ifmx =.1:-:;(1

Estos lfrnites son evidentes desde un punta de vista intuitivo (establezcalos verbalm

o dibuje y = y y =), pero demostraciones en terrninos de la definicion precisa se

en los ejercicios de la seccion 2.4.

Si en la ley 6 pone ahora f{x) = y aplica la Ley 8, obtiene otro limite esp

litH.

9. lim x" =".t-~a

donde n es un entero positivo

Se cumple un limite similar para las rafces, como sigue. (En el caso de las rafces

dradas la demostracion se delinea en el ejercicio 37 de la seccion 2.4.)

10. lim if): = 10 donde 11 es un entero positivo

(Si n es par, considere que a > 0.)

De modo mas general, tiene la siguiente ley, que es verificada como una consecuenc

la ley 10 en la secci6n 2.5.

1 1 '. ~ ~ ~ #W = 1 ~ ~ r ; ; ,ex) donde IIes un entero positivo

[Si 1 1 es par, suponga que ! ~ r ; ; ,(x ) > O.J

E JE t< lP LO 2 Evaltie los Ifrnites siguientes y justifique cada paso.

(a) lfrn ( 2 X 2 - 3x + 4)x-- ';o5

x3 + 2 X 2 -(b) lim

.<-·-2 5 - 3x

S O l U C l O N

(a) 11m ( 2 X 2 - 3x + 4 ) =im ( 2 X 2 ) - lim (3x) + lfrn 4x-~5 x~)-5 x~)5 x-:.-5

(por las ley es 2 y I)

= lim x2 - 3 lim x + lim 4x~)5 ;(--=0.5 . l '~:o-5

(por In 3)

=(52 ) - 3 (5) + 4 (por las 9 , g Y 7}

= 39



(b) Empiece con la ley 5, pero su aplicacion solo se justifica pIenamente en la

etapa final, cuando los lfrnites del numerador y del denominador existen, y este

ultimo no es O .


[ NEW TON Y lO S UM liE S

Isaac New ton nac i6 e l d ia de Navldad, en

16 42, e l a iio en qu e m uri6 G alileo . C ua nd o

ingreso a la U n iv e r s id a d de C am bridg e. en

16 61. n o sa bra m ucho de rn ate ma ticas , p ero

aprend io can rap idez leyenda a Eudides y

D es ca rte s y asisii endo a las confe renc ia s de

Is aa c Ba rro w. C am brid ge s e c erro d ebid o a la

plag a de 1 6 6 5 Y 1 6 6 6 . Y New ton reg reso ac a s a a re flex ion ar en 1 0 que ha b la aprend ido.

Es os d os a iio s fu ero n a so mb ro sa me nte p ro du c-

tivo s po rq ue h iza cu atra d e su s p rin ci pa l es

descubr im ientos: 1 ) s u re pre se nta ci6 n d e

fun cio nes com o su ma s d e se rie s in fin ita s, in -

c luyendo e! te or em a d el b in om io ; 2) s u t ra b a jo

sa bre e l c alc ulo d ife ren cia l e in teg ra l; 3) s us

le ye s d e I m o vi m ie nto y Ia ley de la gravita ci6 n

u nive rs al y 4) s us e xp erim en to s d el p r i s r n a

ace rca de la natu ra leza de la lu z y d e l c ol or .

Deb ido a c ierto tem ar a la con trove rs ia y a la

e ritiea , se m os tr6 ren ue nte a p ub licar sus

descubrim ien tos y no fue s ino hasta 1687. a

i n s t a n c i a s de l a s n o n o r n o H a lle y, q ue p ub lic a

P r i n ci p ia M a t h em a t ic a . En este traba jo , e I t r a -

ta do c ie ntif ic o m ils 9 ra n de ja rn as e sc rito . N e w -

ta n exp uso su vers io n d el c a l c u l o y 1 0 u sa p ara

in ve stig ar la m e c a n i c a , l a d in a r n ie a d e f lu id o s

y e l m ovim ie nto o nd ula to rio . as i co mo p ara

exp licar e l m ovim i ento de los p lane tas y de los

cometas.

L a s in ic io s d el c a Icu lo se en cu en tra n en las

o pe ra cio ne s p ara h alla r la s a re as y l os v ol um e -

n es q ue re aliza ro n lo s a ntig uo s e ru dito s g rie -

ga s, c om o Eu do xo y Arq uim ed es . A un cu and o

los a sp ecto s d e la ide a d e lim ite se en cu en tran

ir np llc ito s e n s u "m etc do d e a qo ta rn ie nto ".

E ud ox o y A rq uim ed es n un ca fo rm ula ro n e xp ll-

c itam en te e l co nc ep to de lim ite. D el m is mom od o, rn atem atic os co mo C ava lie ri, Fe rm at y

Ba rro w, lo s p re cu rs ore s in me dia to s d e N ew to n

en e l d esa rro llo d e! ca icu lc , n o u sara n los lim i-

te s , Isaac New ton fue el prim ero en hab la r ex -

p lic ita men te a l re spe cto. Ex plic6 q ue la ide a

princ ipa l de tras d e lo s lim ites e s q ue las can ti-

d ad es "s e a ce rc an m as q ue c ua lq uie r d ife re nc ia

dada ". New ton exp resd que e l lim ite e ra e l

concepto bas ico del ca lcu lo . pe ro fue tarea de

m ate ma tic os p os te rio re s, c om o C au ch y. a cla ra r

sus ideas ace rca de los Iimi tes.

x3 + 2X2 -lim ------x--2 5 - 3x

lim (x3 + 2x2 - 1)x " _ _ _ _ _ " ' - 2

(por la ley 5)lfrn (5 - 3x)

A"___"-2

lim x3

+ 2 lim x2

- Iim ]x-~~2 .\'---+-2 x~-2(por las I. 2 y 3 J

lfm 5 - 3 Ifm Xx-:o--2 x-:.--2

(-2)3+2(-2)2_1

5-3(-2)(p o r In s < ) ,8 Y 7,

11

I f l O T A ISif(x) =U- 3x + 4 , entoncesf(5) =9 . En otras palabras, habrfa obten

respuesta correcta del ejemplo 2(a) sustituyendo x con 5. De manera analoga, la s

cion directa da la respuesta correcta en el inciso (b). Las funciones del ejemplo 2 s

polinomio y una funcion racional, respectivamente y el uso semejante de las leyesIfmites prueba que Ia sustitucion directa siempre funciona para este tipo de funciones

los ejercicios 53 y 54). Este hecho se expresa del modo siguiente:

P RO PIE DA D D E S U STITU C IO N D IR EC TA Sit es un polinomio 0 una funcion racion

y a esta en el dominio de f,en consecuencia

lim f(x) = f(a)x-;>a

Las funciones con esta propiedad de sustitucion directa se Haman continuas en

estudian en la seccion 2.5. Sin embargo, no todos los lfmites se pueden evaluar po

titucion directa, como los ejemplos siguientes hacen vel'.•

:0 :2

- 1E jE ttlP lO 3 Encuentre lim _"--

.<-,1 X - ]

S O L U C I O N Seaf(x) =. .- 2 - l)/(x - 1). No puede hallar el Iimite al sustituir x = 1 por

f(I) no estri definido. tampoco puede aplicar la ley del cociente porque ellfmite d

denominador es O.En lugar de ello, necesita algo de algebra preiiminar. Factorice

el numerador como una diferencia de cuadrados:

(x - I)(x + 1)

x-I

El numerador y el denominador tienen un factor comun de x - 1. Cuando toma ela medida que x tiende aI, tiene x ¥- 1 y, por 10tanto, x- I ¥- O.Por consiguiente,

cele el factor comun y calcule el limite como sigue:

x2 - 1 (x - l)(x + 1 )lfrn =im = lim (x + 1)=1 + 1=x-.l x-I .<->1 X - 1 .<_,_I

El lfmite de este ejemplo surgio en la seccion 2_ 1, cuando trato de hallar la tangente

parabola y =- en el punto (1 , 1).

iOjA] En el ejemplo 3 fue capaz de calcular eI lfrnite sustituyendo la funcion d

f(x) =X - - l)/(x - 1) por una funcion mas sencilIa, g(x) = + 1, con el mismo l



3

2

y=f{x)

y A

3

2

2 3 x

y=g(x)

2 3 x

F I G U R A 2

Las graficas de las funciones f (delejemplo 3) y g (del ejemplo 4)

SECCION 2.3 CALCULO DE LfMITES UTlLlZANDO LAS LEYESDE LOS UMITES 1 1 1 1

Esto es valido porque f(x) =(x) excepto cuando x =, Yal calcular un limite co

forme x se aproxima a 1 no se considera que sucede cuando x es en realidad igual

En general tiene el hecho titil siguiente.

Sif(x) = g(x) cuando x"¥' a, entonces lim f(x) =im g(x), en caso de que existael lfrnite. ,-'0 x~a

E jE t'lP lO 4 Encuentre!fm g(x), dondex-"!

{

X + Ig(x) = 'IT

si x "¥ ' I

si x = ]

S O l U C I O N En este caso, 9 esta definida en x =1 Yg(1) =tr, pero el valor de un limi

cuando x tiende a 1 no depende del valor de la funci6n en 1. Como g(x) = + 1

x s = } ,

lim g(x) =fr n (x + 1)=. " t ' - ) o l , . . . . , . . , . - - ; - 1

Advierta que los valores de las funciones de los ejemplos 3 y 4 son identicos, exc

cuando x =1 (vease la figura 2), de modo que tienen el mismo limite cuando x tiende

(3 + f l Y - 9! i . ! l l EjEM PLO 5 Evahie lfrn .

II~O h

S O L U C 1 0 N Si define

F ( I ! ) = - ' . ( 3 _ + _ h _ ) 2 9

II

en tal caso, como en el ejemplo 3, no puede calcular Ifmh_o F(h) hacienda h = 0, ya

F(O) no esta definido. Pero si simplifica F(Il) algebraicamente, encuentra que

() (9 + 6lt + II 2 ) - 9 6h + h 2 6 IFh= = = +1h II

(Recuerde que s610 se considera h "¥ ' 0 cuando se hace que II t ienda a 0.) De este mo

(3 + h ) 2 - 9lfrn =fm (6 + h ) = 611-0 II iI-O

. ) [2 + 9 - 3EjEMPlO 6 Encuentre Ifrn " ., - 0 t:

S O L U C I O N No puede aplicar la ley del cociente de inmediato, puesto que ellfmite del d

minador es O.En el presente caso, el algebra preliminar consiste en la racionalizaci6n

numerador:

, .)t2 + 9 - 3 ,.ji-T+9 - 3 Jt 2 + 9 + 3lim =im . --'--,===---1->0 [2 ,-0 t2 Jt 2 + 9 + 3

, (t2 + 9) - 9 [2

=m - ' 2 , - i - ( v . .. .. ,= = = - _ - ; - ) =im "( rx=t:»: ),-,0 t t2 + 9 + 3 /-,0 t: v t ' + 9 + 3

1 1 1]=im = =__ - = -,-0 ~ + 3 J~~~t2 + 9) + 3 3 + 3 6

Este calculo confirma 10 que se conjetur6 en el ejernplo 2 de la secci6n 2.2.



Lo mejor para calcular algunos lfmites es hallar en primer lugar los lfmites por

quierda y por la derecha. EI teorema siguiente es un recordatorio de 10que se descub

la secci6n 2.2. Afirma que existe un limite bilateral si y s610 si los dos lfrnites lat

existen y son iguales.

104 1 1 1 1 CAPiTULO 2 LfMITES Y DERIYADAS

Ii S egun la figu ra 3. e l re su ltado de l e jem plo 7

p a r ee e p l au s ib le .

F IG UR A 3

Ix ly=--x

y A

o

-------QI

F IG UR A 4

flit S e dem ues tra en e l e jem plo 3 de la secc ion 2.4

q u e l(mx-.D' ;; = .

si Y s610 si lim f(x) = L = Jim f(x)x_:>aR x-'ioa+

O J TEOREMA lim f(x) =LX---'io(1

Cuando calculamos un limite lateral aplicamos el hecho de que las Leyes de los L

tambien se cumplen para los lfrnites de este tipo.

E jEM PLO 7 Demuestre que lim I x I = .,t'-:o-O

5 0 l U C I O N Recuerde que

I x l = x-x

si x ~ 0

si x < 0

Como I x I = para x > 0, tiene

x lfm I x I = Jim x=X-)O~ x - - - . : , . O t

Para x < 0, tiene I x I =x y, por consiguiente,

lim I x l =im (-x) =x-----;.o- X_l-O

En consecuencia, por el teorema 1,

lfrn I x l =X-iiO

~ E JEM PLO 8 Compruebe que IfmM no existe ..1:-0 x

S O l U C I O N lim M = lfrn x = lim I =X-)oO+ X

xI x ! - x

Ifm - = Ifm - = lim (- I) =- Ix-:.-O- x ,r~)O- X .T-"'O-

Como los lfrnites por la derecha y por Ia izquierda son diferentes, por el teorema

se concluye que lim ..... I x I I x no existe. La figura 4 muestra la gnifica de la func

f(x) =x I I x y apoya los Ifrnites laterales que encontr6.

E JE MP LO 9 Si

f(x) =.J x - 48 - 2x

si x> 4

si x < 4

determine si existe lfmx_4 f(x).

S O l U C I O N Puesto que f(x) =x=4' para x > 4 , tiene

lim f(x) =fm .J x - 4=J 4 - 4 = 0x-«...4"t- .\,_4i



4

F I G U R A 5

f\I O tr a s a x p ra s iu n e s p a r a ' U x E so n [x ] y L x J . A

l a t u n c io n a n te ro m a x i m o a I gu na s v ec es s a I e

lla m a la func i6n p iso .

y

4

3

2 c------<) y = [.\·ll

o

F I G U R A 6

Funcion maximo entero

o a

F I G U R A 7

SECCION 2.3 CALCULO DE LiMITES UTILlZANDO LAS LEYESDE LOS UMITES 1 1 1 1

Puesto quef(x) = - 2x para x < 4, tiene

lim f(x) = lim (8 - 2x) = 8 - 2 . 4 = 0x-)4- .\'-4~

Los limites dellado derecho y del lade izquierdo son iguales . POI'10 tanto, ellfmite exist

Ifmf(x) =x _ _ _ _ , . 4

La grafica defse ilustra en la figura 5.

EjEMPlO lOLa funcirin entero maximo se define como [x ] =l entero mas grand

que es rnenor 0 igual que x. (Par ejemplo, [4] = 4, [4.8] = 4, [ 1 T ] = 3, [ .J2] = 1,

[-~=-L) Demuestre que Hm,-.3 [x ] no existe.

S O L U C I O N En la figura 6 se muestra l a g ra fi c a de la funci6n entero maximo. Puesto qu

[x ] = para 3 ,;;;x < 4, tiene

Dado que [x ] = para 2 ,,;;;x < 3, tiene

Ifm [z] = lim 2 = 2, \ '- 4 0 3 - x . -- - - - - ; . - 3 -

En virtud de que estos lfrnites unilaterales no son iguales, par el teorema 1, lim"-'3 [x

no existe.

En los dos teoremas siguientes se dan dos propiedades adicionales de los lfrnites,

demostraciones se proporcionan en el apendice F .

II] TEOREt ' iA Sif(x)'; ; ; g(x), cuando x esta cerca de a (excepto posiblernente en

a), y los limites defy g existen cuando x tiende a a, por 10 tanto

lim f(x) ,;;; lim g(x)x--+a X--!l

gen tal caso lfrn g(x) =

x-r+a

r n TE OR Et1A D E LA c ot4 PR ES IO N Sif(x),,;; ; g(x) ,,; ;;hex), cuando x esta cerca de a

(excepto quiza en a) y

Ifm f(x) =im h(x) =x-r+u A"-a

f En la figura 7 se ilustra el teorema de la compresion, a veces conocido como teore

del emparedado 0 del apreton. Afirma que si g(x) se comprime entref(x) y hex) , cerca

a, y sify h tienen el mismo limite L en a, por 1 0 tanto es forzoso que g tenga el mis

limite L en a

x



106 !III CAPITULO 2 LiMIT ES Y D ER IV A DA S

F IG UR A 8

Y=x" sen(l/x)

_~ E JER C IC IO S

1 . Dado que

l imf(x) =x--2

1, , I 0

& . : I ! EjEt1PlO I! Demuestre que im x- sen - =.x-'() X

S O L U [ I O N En primer lugar, note que no puede a p l i c a r

If ) I If '1' In1.csen- =m x": nnsen-x-·{J X x->O ,\'-0 X

porque lfm.,-.o sen(l Ix) no existe (vease el ejemplo 4, en la secci6n 2.2). Sin em

como

1-] ,,;;:;en -,,;;:; ]

x

tiene, como se ilustra mediante la figura 8,

) 2 I "-x- ,,;;:; sen- ,,;;:;-x

xSabe que

lim x" =.,-.0

y Ifm (-x2) =

.t-.()

Al tomarf(x) =x2, g(x) =2 sen Olx) y hex) =" en el teorema de la comp

obtiene

1 Ilfrn x-sen - = 0x->O ..."

lim hex) = 0_r~~2

(e) lim [j(x)g(x)]_l-.·Olfm g(x) =-2

~-~2

(e) 11m[x~f(x)]x-~1

eneuentre los lfrnites que existan. Si el limite no existe,

explique por que.

(a) lim [j(x) + 5g(x)],\-.:!-

(b) 11m[g(x)Y.\'-2

(d) lim f(x).,-,-\ g(x)

(f) lim J3 + f(x).r-v l

3-9 Evahle el limite y justifique cada etapa iudicando lats)

de los lfrnites apropiadats),, 3f(x)

(d) ~~~ g(x)

, v g ( : ; _ ; X ) c _ h _ , _ ( x . :. _ )(f) IIm-

,~:! fCr)

3. Ifm (3x~ + 2x2 - .1.:+ I).~~1

5. lim (I + 1t)(2 - 6x2 + x3)t~·S

2. Se dan las graficas defy g. Uselas para evaluar cada lfrnite, siexiste, Si el lfmite no existe, explique pOl'que.

y

y=f{x) 1/ -,11/

.",V I .\

(a) Ifm [lex) + g(x)]r-·2

y

y=g(x) V

III

< ,

/ 01 II .\

II \

2.r2 + I4. Ifm -, ----

.,-·2 X- + 6x - 4

6. Ifm (12 + 1}>(t +1~~ - i

[]J lfm Jrl4 + 3 1 1 +~/~·~2

10. (a) i,Que esta incorrecto en lu ecuacion siguiente?

(b) lfm [l(x) + g(x)]_"{~1

x" + x - 6-----::--=.1.:+3\,-7



SECCION 2.3 CALCULO DE LiMITES UTILIZANDO LAS LEYESDE LOS LiMITES 1 1 1 1

(b) En vista del incise (a), explique por que la ecuaci6n

es correcta,

11-30 Evahie el limite, si existe,

x2 + X - 6

11 . lim---,,-.2 x - 2

x2 + 5x + 4

12 . lfrn -0----,-.-4 .r " + 3x - 4

x" - x + 613. Ifm-----

.(-.:~ x - 2

".2 - 4t.14 . lfm" .

.< -·4 ..- - 3x - 4

\,2 - 4x1 6. lim --:-, -'----

.,-,-1 x- - 3x - 4

(4 + hr - 1617 . lim 1

/i-,O I

(2 + 1 1 )3 - 8@J lfm 1

h-~{J 1

J[+7I- 122 . lfm -'-----{,-·Il II

9 - I21. lfm-r;[-.y 3 - 'if t

, )x+ 2-323. 11m-'-- _

,-,.] X - 7

I 1-+-4 x

25 . Ifm[-,--\ 4 + x

x" + 2x +24. Inn --.. ,----

x· - 1

(1 1 )6 . Ifm - - -,--

1-0 t t : + t

4 - I\ -27. lim ' "

<-·1(, 16x - .r -

(3 + 11)-1 - r28. lim -,---....:__--

{,-.I} II

. ( I 1 )9. lim - -[-·11

tJT+tt

)_ii + 9 - 530. lim -'-----

.<---\ X + 4

r n 31 . (a) Estime e1 valor de

rlim ~,-·0 v I + 3x - 1

dibujando la funci6n f ( . 1 ; ) =/(Jl + 3x - I).

(b) Haga una tabla de valores def(x) para x cerca de 0 e intente

el valor del !fmite.

(c) Use las leyes de los lfmites para probar que su conjetura es

eorrecta.

r n 32 . (a) Use una zrafica de

.f(x) = '3 + 'X - J3x

para estirnar el valor de lfm.,_.oj(x) hasta dos cifras

decimales.

(b) Use una tabla de valores def(x) para estimar ellfmite hasta

cuatro cifras decimales,

(e) Utilice las leyes de los lfrnites para hallar el valor exacto

del limite.

~ 33. Aplique el teorema de la compresi6n para demostrar que

]fm,,_,o x" cos 20'1TX= . Ilustre dibujando las funciones

.r(x) = -x", g(x) =2 cos 20rrx y h(x) =2 en la rnisrna

pantalla.

ff i 34. Aplique el teorerna de la compresion para demostrar que

• ~ ttlun vX3 + x2 sen - ='-00 x

Ilustre dibujando las funcionesf, 9 y h (en la notaci6n de e

teorerna) en la misma pantalla,

1 m Si 4x - 9 ~ .r(x) ~ x2 - 4x + 7 para x ~ 0, hallar el

IfI11,_4f(x).

36. Si 21; ~ g(x) ~ X4 - XZ + 2 para toda x, valorar el

Ifm,-oJ g(x).

237. Dernuestre que lim x" cos - = O.

~~~O X

38 . Demuestre que Ifm I\ - e,"nl"/xl = .\ · - - - - 0 > 0 +

39-44 Determine el lfmite, si acaso existe, Si el limite no exist

plique la razon.

~ lfru ( 2 x + I x - 31 ).: x-~3

2t + 1240. lim I I.<--6 X + 6

2t - I41. !fm -:--"7}--;-;-

,,--0.5 Ib; - e 0 ! I

c' ( I I )3 lim - --

/ ' • x -,11- .\' I x I

42 . lfrn 2 - I x l-,-,-2 2 + x

44. lim ( _ ! _ _ _ 1_).,~oo' x I x l

45 . Laj imc io lJ signum 0 signo se denota mediante sgn y se de

como

{

-I si x <0

sgn x== 0 si x=O1 si x> 0

(a) Trace la grafica de esta funcion,

(b) Calcule cada uno de los lfmites siguientes 0 explique p

que no existe.

(i) lfm sgn xx-~O~

(iii) lfm sg n x,"\"~O

(ii) lim sg n x~-~o-

(iv) lfm I sgn x Ic[~"o

46 . Sea

(){

4 - x2 si x ",; 2j x =

x - I si x> 2

(a) Determine lfm.,-.z- .r(x) y lfm,_z+ j(x),

(b) i,Existe lfm-,-.2/(x)?

(c) Trace la grafica def

X2 - 147 . Sea F(x) = I I .

x-I

(a) Encuentre

(i) !fm F(x)x-~I"·

(ii) lfrn F(x).\ -ol"



108 IIII CAPiTULO 2 LiM lT ESY D ER IV AD AS

(b) i,Existe I fmv. , IF(x)?

(c) Trace la gnifica de F.

48 . Sea

g(x) = ' ; 0

2 - X"

x-3

six 2

(a) Evalue cada uno de los Ilmites siguientes, si es que existe.

(i) lim g(x) (ii) lim g(x) (iii) g(1),,--1- . [ . . . . . . , . 1

(v) lim g(x)x-~2'"

(vi) lim g(x).\")2

(b) Trace la grafica de g.

~ (a) Si el simbolo [ D denota la funci6n entero maximo definida

en el ejernplo 10, evahie

(0 Ifm [xTI (ii) lim [x n (iii) lfrn [x ]x~ ..- 2 - 1 - .~--2 :r----+-2.4

(b) Si IIes un entero, evaliie

0) lim [x ] (ii) lim [x]. r- e- u " :1:-,,-;1-

(c) i,Para cuales valores de a existe ]fm.,~a [ x D ?

S O . Seaf(x) =cos x], -71 ~ X "'" 'if.

(a) Trace In gra fi ca def

(b) Evahie cada !fmite, si es que existe.

0) Ifm f(x) (ii) lim f (x).1; --0 .T-+:r!2)-

(iii) lfrn f (x) (iv)!fm f (x)t ~..('l7/2) + x-r./2

(c) GPara cuales valores de C I existe Ifm,~"f(x)?

51 . Sif(x) =x n + [-x], demuestre que ]fm,-.d(.') existe pero no

es igual af(2).

52 . En la teorfa de la relatividad, la formula de la contracci6n deLorentz

expresa la longitud L de un objeto como funci6n de su velo-

cidad v respecto a un observador, donde L a es la longitud

del objeto en reposo y c es la rapidez de In luz. Encuentre

Ifmu_.c- L e interprete el resultado. GPor que se necesita un

lfrnite por la izquierda?

53 . Si p es un polinomio, demuestre que Ifm,_." p(x) =ea).

54 . Si res una funci6n racional, aplique el resultado del ejercicio 53

para dernostrar que !fm'_'n rex) =eal, para todo mimero a en

el dominio de r.

55 . Si!fm f(x) - 8 =10, hallar Ifmf(x).x-·l x-I .1'-1

S6 S·I' f(x) 5 h II 1 I" .• 1 nn -,- = , a ar os mutes que siguen.,-0 x-

(a) lim f(x)_T-O .

57. Si

. _ { X 2 si xes racional!C r.) - . . .° SI x es irracional

demuestre que Ifm.,~of(x) = O.

~ Muestre por medio de un ejernplo que Ifm.,_." [((x) + g(

puede existir aunque 00 e xis ta n n i l fmx~af(x) ni lim.<_"

59 . Muestre pOl'medio de un ejemplo que Ifm.H [{(x)g(x)]

existir aunque no existan ni l fmx-.af(x) ni lfm.;.• g(x).

,f6=X - 2

60 . EvaI6e!~~1 .)3 _ .• _ I

[ijJ i,Hay un r n im e r o a tal que

3.1'2 + ax + a + 3!fm .:;;;._:......:..::.:....___:::__::_x2 + x - 2

exista? Si es asf, encuentre los valores de a y dellfmite.

62. En la figura se muestra un cfrculo fijo C] con ecuacion

(x - 1)2 +l= Yun cfrculo C2 que se contrae, con

y centro en el origen. P es el punto (0, n. Q es el punto

superior de interseccion de los dos cfrculos y R es el p

de interseccion de la recta PQ y el eje x. i,Que Ie suced

al contraerse C!; es decir, cuando r - O+?

y

R



SECCI6N 2.4 DEFINICION EXACTA DE UN LIMITE IIII

~ = ~ ~ = = ~ ~ ~ ~ ~ ~EFINICION EXACTA DE UN liMITE

La definici6n intuitiva de un limite que se presenta en la secci6n 2.2 es inaceptable

algunos casos porque son vagas frases como "x se acerca a 2" y "f(x) se acerca m

mas a L". Con objeto de ser capaz de dernostrar en forma concluyente que

(COS 5 X )lfrn x3 + --- =.000 I

X~O 10 000o bien sen xlfm-= I

x~)-o x

tiene que definir un limite en forma precisa.

Para impulsar la definici6n precisa de un limite considere la funci6n

{

2 X - If(x) = 6

si x '" 3si x=

De manera intuitiva es evidente que cuando x se acerca a 3 pero x '" 3, en tal caso f(x)

cerca de 5 y as! Iirnx_d(x) =.

Con el fin de obtener mas detalles con respecto a c6mo variaf(x) cuando x se ace

3 , se plantean las cuestiones siguientes:

1 .Que tan eerea de 3 tiene que estar x para que f(x) difiera de 5 en menos de O.l?

EI us a d e la le tra g rie ga a ld e lt al y a e s u na

c os tu m bre e n e sta s itu ac i6 n.

La distancia de x a 3 es Ix - 31 y Ia distancia desde f(x) as es If(x) - 51, de modo q

problema es encontrar un mimero 8 tal que

If(x) - 51 < 0.1 si Ix - 3 I < 8 pero x :;i: 3

Si I x - 31 > 0, por 10tanto x '" 3, de modo que una formulacion equivalente del prob

es determinar un mirnero 8 tal que

If(x) - 51 < 0.1 si 0<lx-31<8

Observe que si 0 < I x - 3 1 < (0.1)/2 =.05, entonces

If(x) - 51=(2x - 1) - 51=2x - 61=1x - 31 < 0.1

es decir, If(x) - 51 < 0.1 si 0< Ix - 31 < 0.05

De este modo, una respuesta al problema 10 da 8=.05; es decir, si x esta dentro de

distancia de 0.05 desde 3, despues j'(x) estara dentro de una distancia de 0.1 desde 5.

Si cambia la cantidad 0.1 del problema por una cantidad menor 0.01, luego de ap

el mismo metodo se encuentra quef(x) diferira de 5 par menos de 0.01 siempre que

fiera de 3 en menos de (0.01)/2 =0.005:

If(x) - 51 < 0.01 SI o < Ix - 31 < 0.005

De manera igual,

If(x) - 51 < 0.001 si o < Ix - 31 < 0.0005

Las cantidades 0.1, 0.01 Y0.001 consideradas como tolerancias de error que podria pe

tiroPara que 5 sea ellfmite exacto def(x) cuando x tiende a 3, tiene no s610 que ser c

de llevar la diferencia entre f(x) y 5 por abajo de cada una de estas tres cantidades; tiene



conservar abajo a cualquier mimero positivo. Y de acuerdo con el mismo razonam

jclaro que es posible! Si escribe B (la letra griega epsilon) para que represente un

positivo arbitrario, despues se encuentra al igual que antes que

110 1 1 1 1 CAPiTULO 2 LIMITESY DERIVADAS

j(X: { 5+ e

esta 5

aquf 5 - e 1-----1

I----~~--~~------~~/3\ x

3-8 3+8

F I G U R A 1

cuando x esta aquf

Ix,,"3}

B

0< I x - 3 1 < D =2

Esta es una forma exacta de decir que J(x) esta cerca de S cuando x se acerea a 3

(1) establece que es posible haeer que los valores deJ(x) queden dentro de una diarbitraria 8 a partir de 5 conservando los valores de x dentro de una distancia 8/2

de 3 (pero x ¥ - 3).

Observe que otra forma de (1) es:

O J If(x) - 5 1 < 8 si

si 3 - D < x < 3 + D (x ~ 3 ) en tal caso 5 - 8 <J(x) < S + B

10 cual se ilustra en la figura 1. Al hacer que los valores de x (¥ - 3) queden en e

valo (3 - 8, 3 + D) es posible haeer que los valores de f(x) se ubiquen en el in

(S - B , S + B).

Si utiliza (1) como modelo da una definicion exacta de un Ifmite.

III D E F I N I C I O N Seafuna funcion definida en algun intervalo abierto que conti

el ruimero a, excepto posiblemente en a misma. En consecuencia puede deeir q

ellimite de/ex) cuando x tiende a a es L, y escriba

In n f(x) =Lx -:» a

si para todo mimero B > 0 hay un rnirnero D > 0 tal que

si 0 < I x - a I < D en tal caso IJ(x) - L I < B

Puesto que I x - a I es la distancia desde x hasta a y If(x) - Lies la distancia des

hasta L y como 8 puede ser arbitrariamente pequefio, Ia definicion de un Ifrnite seexpresar en palabras como se indica a continuaci6n:

lfm"~.,, f (x) = L quiere decir que In distancia entre f (x) y L puede hacerse pequeiia en fo

arbitraria al hacer que la distancia desde x hasta a sea suficientemente pequefia (pero no

Otra posibilidad es

lfm,~."(x ) =L significa que los valores de j'Le) pueden ser tan cercanos como quiera

al hacer que x se acerque 10 suficiente a a (peru que no sea igual a a),

Asimismo, puede replantear la definici6n 2 en terminos de intervalos si observa que

sigualdad I x - a I < D equivale a - 8< x - a < D , que a su vez se puede escribir

a - D < x < a + 8. Tambien 0 < I x - a I es verdadera si y s610 si x - a o F 0 ex o F a. De manera similar, la desigualdad IJ(x) - L I 0 (sin que importe 10 pequefio que sea 8

puede eneontrar una 8 > 0 tal que si x esta en el intervale abierto (a - 8, a + 8) y x ;;f a

por 10 tantof(x) queda en el intervale abierto (L - e. L + e) .

La interpretacion geometrica de este enuneiado se consigue representando una f

mediante un diagrama de fiechas como en la figura 2, dondeJmapea un subconjunto

en otro subconjunto de IR .



F IG U R A 2

F IG U R A 3

y=L-s

o a

F IG U R A 4

F IG U R A 7

SECCION 2.4 DEFINICION EXACTADEUN liMITE IIII

La definicion de lfrnite establece que si cualquier intervale pequefio (L - 8, L +esta alrededor de L, en seguida es posible encontrar un intervale (a - 8, a + 8) alrede

de a tal que f mapea todos los puntos en (a - 8, a + 8) (excepto quiza a) en el inter

(L - 8, L + 8). Vease figura 3.

f

.r .f{x)

a-a a a+a

Otra interpretacion geometric a de los lirnites se puede hacer en terrninos de la

fica de la funcion. Si se tiene 8 > 0 despues trace las rectas horizonta

y = L

+8 Y Y = L - 8 Y la gnifica de f (vease figura 4 ) . Si Ifm,_," f(x} = L. po

tanto puede encontrar un mimero 8> 0 tal que si restringe a x a que quede en el inte

10 (a - 8, a + 8) y haee x ~ a, en seguida la curva y=(x) esta entre las rectas y = L

Y Y = + 8. (Vease figura 5 .) Usted puede vel' que S I se ha encontrado tal 8 en tal c

cualquier [jmas pequefia tambien funcionara.

Es importante darse cuenta que el proceso ilustrado en las figuras 4 y 5 debe funeio

para todo mimero positivo I': sin que importe que tan pequefio sea. En la figura 6 se ilu

que si se elige un I':mils pequeiio, en seguida se podna requerir una 8 mas pequefia.

y y

L+e

x

y=L+s

y=L-s

L- e

a- B a+B

o /0\a-8 a+B

x

cuando x esta uqui

en" a)

F IG U R A 5 F IG U R A 6

EJEt'lPLOI Utilice una grafica para encontrar un mimero 8 tal que

si Ix-I I < 8 par 1 0 tanto I (x' - 5x + 6) - 2 1 <0.2

En otras palabras, encuentre un mimero 8 que corresponda a 8=0.2 en la definicion

un lfrnite para la funci6n.f(x) = ~ - 5x + 6 en donde a=1 YL = 2.

~OLU( i ( iN Una grafica de.f se presenta en la figura 7; esta interesado en la region cerc

na al punto (1, 2). Observe que puede volvel' a escribir la desigualdad

como

1 (.\3 - 5x + 6) - 2 1 < 0.2

1.8 <~ - 5x + 6 < 2.2



Tambien, necesita establecer los valores de x para los cuales la curva y = K - 5

se sinia entre las horizontales y =1.8 y y =.2. POl' 10 tanto, grafique las curv

Y= - 5x + 6, y =1.8 YY =2.2 cerca del punto (1,2) en la figura 8. Luego util

cursor para estimar que la coordenada x del punto donde se cortan la recta y =

la curva y =3- 5x + 6 esta por 0.911. De igual manera, y =3

- 5x + 6 corecta y = 1.8 cuando x "" 1.124. De este modo, al redondear para estar seguro, p

decir que


)'=2.2

y =x>~ 5x+ 6

u.z:

Y'" ' 1.8 II I

0.8 I. 1.2

1.7

FIGURA 8

si 0.92 < x < 1.12 en seguida 1.8 <K - 5x + 6 < 2.2

Este intervalo (0.92, 1.12) no es simetrico con respecto a x=. La distancia desde x

h as ta e l extremo Izquierdo es 1 - 0 .92 =.0 8 y la distancia hasta el extremo derech

0.12. Puede escoger 0 para que sea la mas pequefia de estos mimeros, es decir, 0=

Luego puede reescribir las desigualdades en terminos de distancias como sigue:

si Ix-II < 0.08 despues I ( ,: t3 - 5x + 6) - 2 1 < 0.2

Esto dice justamente que al mantener a x dentro del 0.08 de 1, es capaz de conservar

dentro de 0.2 de 2 . j(x)

Aunque elija 0=.08, cualquier valor positive mas pequeno de 0 ademas ha

funcionado.

EI procedimiento grafico del ejemplo 1 ilustra la definicion para 6=.2 , pero no

tr a que el limite es igual a 2. Una demostracion tiene que proporcionar una 0 para c

Para mejorar los enunciados de limite serfa util pensar en la definicion de limit

un desaffo. Primero 10 retan con un mimero 6. Despues usted debe ser capaz de obte

B adecuada. Debe ser capaz de hacerlo para toda 6 > 0, no solo para una 6 en part

Considere una contienda entre dos personas A y B, piense que usted es B. La

A estipula que se debe aproximar al mimero fijo L pOI'medio de valores de j(x) de

un grado de exactitud 6 (por ejemplo 0.01). Por 10 tanto, la persona B responde

nando un ruimero B tal que 0 < I x - a ! < B siernpre que If(x) - L I < 6. Luego A

volverse mas exigente y desafiar a B con un valor mas pequefio de 6, por ejemplo,

Una vez mas. B tiene que responder encontrando una B correspondiente. Por 10 re

medida que el valor de 6 es mas pequefio, es menor el correspondiente valor de

siempre gana, sin importar que tan pequefio haga A a 8, en seguida lim, ....af(x) =

~ EjEMPlO 2 Demuestre que lfm (4x - 5) =.c ! . : . . . . _ _ : ; . 3

S O l U ( l O N

1. Analisis preliminar del problema (adivinar un valor de oj. Sea e un mir

positivo dado. Quiere encontrar un mimero B tal que

si 0 < I x - 3 1 < 0 por 10 tanto I (4x - 5) - 7 1 < 6

Pero I (4x - 5) - 7 1 = 1 4 x - 1 2 1 = 14(x - 3 ) 1 = 4 1 x - 3 1 . POl' 10 tanto, quiere

s i 0< Ix - 3 1 < 8 en tal caso 4 1 x - 3 1 <8

es decir, si 0 < 1 x - 3 1 < 0 en consecuencia6

Ix - 3 1<-4

Esto hace pensar que debe escoger B =6/4.

2. Comprobacion (presentacion de que esta Bfunciona). Dado e > 0, elija 0=

Si 0 < 1 x - 3 1 < 8, despues

I (4x - 5) - 7 1 =4 x - 1 2 1 = 4 1 x - 3 1 < 4 8 =( : ) =



yy""4x-5

7+0. I~---I

7

o

F I G U R A 9

I CAUCHY Y LOS llMITES

D e s p u e s d e la i n v e nc i6 n d e l c a le u lo in f in it es im a l

e n e l s ig lo X V I I , s ig u io u n p e ri o d o d e l ib re d e s a -

r ro ll o d e e s ta m a t e r ia e n e l s ig lo X V I I I , M a t s m e t i -

c o s c o m o lo s h e r m a r o s B e r n o u l l i y E u l e r e s t a b a n

a n s io s o s p a r s xp lo ta r e l p o ds r d e l c a l c u l o y

e x p l o re r on c a n a u d a c ia l a s c o ns e c u e nc ia s d e

e s ta n u ev a y m a r a v il l o s a te a r fa m a t e m a t ic a s in

p r e oc u p a rs e r nu c h o p a r s i l a s d e m o s t ra c io n e s

e r an c o rr e c ta s d e l t o d o .

E n c a m b ia , e l s ig 1 0 X IX fu e 18 E p o e a d e l R i g o r

e n la r n a te m a tic a . H u bo u n m o v im i e n to p a rav o lv e r a l o s f u n d a m e nto s d e l a m a te ri a -psra

p r o p o r c io n a r d e f in ic i o ne s c u id a d o s a s y d e m o s -

t r a c io n e s . A l a v a ng u a r d i a d e e s te m o v im i en 1 0

S8 e n c o n tr a ba e l m a t e m a t i c o f ra n c e s A u g u s ti n -

L o u is C a u c h y j 1 7 8 9 - 1 8 5 7 ) , q u ie n f u e p r im e r o

in g e n ie r o m i ! i t a r a n te s d e c o n ve r ti r se e n p r o f e -

s o r d e m a ts m a tlc a s e n P a rf s , C a u c h y to m 6 la

id e a d e I fm i te d e N e w to n , id e a q u e e l r n a te m a ti -

c o f r an c e s J e a n d 'A l e m b e r t h a b f a m a n te n id o v iv a

e n e l s ig lo X V I I I y l a h im m a s e x e c ta , S u d e fin i-

c i6 n d e I fm i te e ra : " C u a n d o lo s v a lo re s s u ce s iv o s

a tr ib u id o s a u n a v a ri a b le s e a p r ox im s n in d e fi n i-

d a m e n te a u n v a l o r f i j o p a ra t e rm i ne r d if e r en -

c ia n d o se d e e s te p o r t a n p o co c om o u n o q u i e re ,

e s to s e l l a m a I { m i t e d e to d os lo s o ir o s ," P e ro

c u a n d o C a u c h y a p lic a b a e s t a d e fin ic i6 n e n

e je m p lo s y d e m o s tr a c io n e s u ti l l z a ba a m e n u d o

d e s ig u a l d a d as d e l t a - e p s i l o n s im i la r e s a l a s d e

e s ta s e c c i6 n . U n a d e m o s t ra c i6 n r e pr e se n ta t i v a

d e C a u c h y i n i c ia c a n : " D e n 6 te s e m e d i a n te ( , y g

d o s rumeros m u y p e q u e ii o s ; _ . . " U t i! iz a b a 0. d e -

b id o a l a c o rr es p o nd e n c ia e n tr e e p s il o n y la

p a l a b ra f ra n c e s a e r r e u r . P o s 1 e r io r m e n te , e l m a -

te r na t i c o a le m a n K a r l W e ie r s t r a ss 1 1 8 1 5 - 1 8 9 7 1

e s ta b le c i6 la d e f i n ic io n d e u n l im i te e x a c ta m e n t e

c o m o e n la d e fi n ic i6 n d e e s te te x to .

SECCI6N 2.4 DEFINICION EXACTA DE UN liMITE 1 1 1 1

Par esto,

si o < 1 x - 3 1 < 8 par eonsiguiente 1 (4x - 5) - 7 1 < e

Par 10tanto, de aeuerdo can la definicion de limite,

lfm (4x - 5)=x-..

Este ejemplo se ilustra en la figura 9,

x

Observe que en la soluci6n del ejemplo 2 hay dos etapas: adivinar y ensayar. Efeetu

anal is is p rel im ina r que posibiIit6 suponer un valor de 8_Pero luego, en la segunda etapa

vo que regresar y eomprobar en forma euidadosa y 16gica que dio una opinion correcta.

te procedimiento es earacterfstico de gran parte de Ia matematica. Algunas veces se nec

hacer primero una conjetura inteligente con respeeto a la respuesta de un problema y l

demostrar que la suposici6n es correcta,

Las definiciones intuitivas de Ifmites unilaterales que se presentan en la seeci6n 2

pueden reformular exactamente como se seiiala a continuacion

r n D E F I N IC IO N D E l i M I T E I Z Q U I E R D O

lim f(x) =Lx---;o(r

si para todo mimero e > 0 hay un mimero 8 > 0 tal que

en tal easo Ifex) - LI < si a-8<x<a

1II D E F I N IC IO N D E l i M I T E D E R E C H O

lim f(x) =.\:-)(1->-

si para todo mirnero e > 0 hay un mimero 8> 0 tal que

a<x<a+8 por 10 tanto If(x) - LI < ei

Observe que la definicion 3 es la misma que Ia definicion 2 salvo que x esta res

gida a estar en la mitad izquierda (a - 8, a) del intervalo (a - 8, a + 8)_En la de

ci6n 4, x tiene que estar en la mitad derecha (a, a + 8) del interv

(a - 8, a + 8)-

~ E jE M P L O 3 Mediante la definicion 4 demuestre que lim . J ; . : =_.l~Ot

S O L U C I O N

1. Adivinar un valor de 8_ Sea e un mimero positivo dado. Aq u i a = 0 y L = 0 ,

modo que busca un mirnero 8 tal que

si o < x < 8 entonees 1 . J ; . : - 0 1 < 8

es decir, O<x<8 J X < 8i luego entonees



114 IIII CAPiTULO 2 LiMITESY DERIVADAS

o bien, al elevar al cuadrado ambos lades de la desigualdad .r;< 8, obtiene

SI 0 < X < 0 por 1 0 tanto x < 82

Esto neva a pensar que debe elegir 0=2.

2. Detnostracion de que sf trabaja esta o . Dado 8 > 0, sea 0 = 8". Si 0 < x <pues

de modo que

Jx<J8=#=8

I J x - O I < 8

De acuerdo con la definicion 4, esto demuestra que lim.<-·o·J X = o .

EjEMPlO 4 Demuestre que lim x2=.

t:~,3

S O L U C ! O N

1 . Adivinar WI valor de O . Esta dado 8 > O. Debe encontrar un mimero 0 > 0

tal que

si 0 < I x - 3 1 < 8 en tal caso I x2 - 9 1 < 8

Para relacionar I x " - 9 1 con I x - 3 1 escriba I x " - 9 1 =(x + 3)(x - 3) I . Luegquiere

si 0 < Ix - 3 I < 8 entonces I x + 3 I I x - 3 1 < 8

Observe que si puede encontrar una constante positiva C tal que I x + 3 1 < C, des

1x + 3 1 1 x - 3 1 < c i x - 3 1

y puede hacer c lx - 3 1 <8tomando I x - 3 1 < 8 /C =.

Puede determinar tal nurnero C si restringe a x a quedar en un intervalo con cent3. En efecto, puesto que esta interesado s610 en valores de x que esten cercanos a 3

zonable suponer que x esta a una distancia I desde 3, es decir, I x - 3 1 < 1. Por 1

2 < x <4. de modo que 5 < x + 3 < 7. Asi, I x + 3 1 < 7, Ypor eso C= es un

cion aceptable para la constante.

Pero ahora ya hay dos restricciones en I x - 3 1 , a saber

I x - 3 1 < I y

Para tener la certeza de que ambas desigualdades se curnplen, haga que 8 sea la

pequefia de los dos niimeros I y 8/7. La notaci6n para esto es 0=mfn{l, e/7}.

2. Demostracion de que esta 8.fullciona. Dado 8> 0, sea 0=mfn{ I. s/7}.I x - 3 1 < 8, ental caso I x - 3 1 < 1 ::;. 2 < x < 4 ::;. I x + 3 1 < 7 (como en la pa

Tambien tiene que I x - 3 1 < s/7, de modo que

I x2 - 9 1 =x + 3 I I x - 3 I < 7 . ! . . .=s7

Como se observa en el ejemplo 4, no siempre es facil demostrar que son verd

los enunci ados de lfmite usando la definicion 8, o . En efecto, si tiene una funcio

complicada como.f(x) =6x2 - 8x + 9 )/(2x~ - 1), una demostraci6n requeriria u



SECCI6N 2.4 DEFINICION EXACTADEUN liMITE 1 1 1 1

cantidad de ingenio. Por fortuna esto es innecesario porque las leyes de los limites

tablecidas en la seccion 2.3 se dernuestran usando la definicion 2 y luego los limites

funciones complicadas se pueden determinar en forma rigurosa a partir de las leyes de

limites sin recurrir directamente a la definicion.

Par ejemplo la ley de la suma: si existen tanto lfm,-.,,f(x) =L como lirn.i.., g(x) =

en tal caso

lim [f(x) + g(x)] =L + M,\'-)(1

Las leyes restantes se demuestran en los ejercicios y en el apendice F .

D E M O S T R A C I O N D E L A L E Y D E L A S U M A Se proporciona e > O . Es necesario determin

0> 0 tal que

si 0 < Ix - a l < 0 entonces \f(x) + g(x) - (L + M)I < e

)ill Oes ig u a ld a d t ri a ng u la r

la+bl" ' la l+lbl

( V ea se a pe n d ic e A .)

Si usa la desigualdad triangular puede escribir

If(x) + g(x) - (L + M) I =(J (x) - L) + (g(x) - M) \

,;:.;11(x ) - LI + Ig(x) - MI

Haga que If(x) + g{x) - (L + M ) 1 sea menor que e dejando que los terminos

If(x) - L 1 y 1 g(x) - M 1 sean menores que £/2.

Puesto que £/2 >0 y lim,~,,f(x) =, existe un ntirnero 0) > 0 tal que

si 0 0 tal que

si 0 < I x - a I < 82 entonces eIg(x) - MI<-2

si 0 < I x - a I < 0 entonees 0 < 1 x - a 1 < 0) y 0 < I x - a I < 82

de modo quee

11(x) - L I < 2 ye

Ig(x) - MI < 2

Por 1 0 tanto, de acuerdo con (5)

11(x)+ g(x) - (L + M )I,;:.; If(x) - L I + Ig(x) - M I

£ £

<-+-=e2 2

Para resumir,

si 0 < Ix - a 1< 8 luego entonees If(x) + g(x) - (L+ M) 1< e

De esta manera, segun la definicion de un limite,

lim [I(x) + g(x)] =L + M. \ · _ , . . . . , . o



116 1 1 1 1 CAPiTULO 2 LiMITESY D ER IV AD AS

y

F IG U R A 1 0

y

F IG U R A 1 1

y=M

y=N

LiMITES INFINITOS

Los Ifmites infinitos tambien se pueden definir de manera exacta. La que sigue es u

sion exacta de la definicion 4 de la secci6n 2.2.

[i] D E F I N I C I O N Seajuna funci6n definida en algiin intervalo abierto que eontie

el mirnero a, exeepto tal vez en a misma. Por 10 tanto,

limj(x) =0

x - . - . - - ; . . a

quiere deeir que para todo mimero positivo M bay un rn imero positivo 0 tal que

si 0M

x

Estoestablece que los valores dej(x) se pueden baeer arbitrariamente grandes

grandes que cualquier mimero dado M) al acercar x 10 suficiente a a (a una dis

0, donde 0 depende de M, pero x ¥ a). Una representacion geometric a se ilustr

figura ] O .

Dada una linea horizontal y =M, puede hallar un ntimero 0> 0 tal que si re

a que x se sinie en el intervalo (a - 0, a + 8) donde x ¥ a, en tal caso la curva y

queda por arriba de la recta y =M. Se puede ver si escoge una M mas grande, e

secueneia se requeriria una 0 mas pequefia.

1Ii!i! EjEf~ PlO 5 Aplique Ia definici6n 6 para demostrar que lim --;;-= 00•

.<-0 x-

S O l U C I O H Sea M u n n um e ro positivo determinado. Busca un mimero 8 tal que

si 0 M. Esto demque 1Ix2 -;. 00 cuando x -; . O.

La que sigue es una versi6n exacta de la definici6n 5 de la seccion 2.2. Se ilustr

figura 1].

x III D E F I N I C I O N Seajuna funcion definida en un intervale abierto que eontiene

mimero a, exeepto posiblemente para a misma, Entonees

lim j(x) =00

):~"a

quiere decir que para todo mimero negativo N bay un mimero positivo 0 tal que

si 0 -

0 .5 -----

o 2 lQ

3

x0

7"

2. Utiliee la grafica dada defpara determinar un mirnero

s tal que

51 0 < I x - 5 1 < {j en consecuencia I/{x) - 3 1 < 0.6

y

. .3.6 t---------;;(

3 - -- -- -- -- -- -

24-1------7f"

o 4 5 5.7 x

[IIMediante la grafica dada de f(x} = I X hallar un numero

fj tal que

si 1 x - 4 1 < {j por 10 tanto I I X - 2 1 < 0. 4

y

y = J ~

o4 ? x?

4. Con Lagrafica dada de I(x) =2 eneuentre un rnimero

{j taLque

si I x - I< e despues 1 x2 - I <~

SECCION 2.4 DEFINICION EXACTA DEUN LIMITE IIII

y A

1.5 +------------/

r n 5. Por medic de una grafica determine un ruimero {j tal que

si entonces I tan x-II < 0.2

r n 6 . Con la ayuda de una grafica determine u n r ui rn er o {j tal que

si I x - II< {j entoneesI- - l : ! - - - 0.41 < 0.1x' + 4

m 7. Para el Ifrnite

lim (4 + x - 3x') =cT~*1

ilustre la definicion 2 calculando valores de {j que correspo

den a e = lye = 0.1.

m 8. Para el limite

e ' - Ilfm--= Ix-·O x

ilustre la definicion 2 determinando valores de {j que corres-

ponden a e = 0.5 y e=0.1.

m 9. Teniendo en cuenta que el IfmX-1t/2 tan2x = 00, explicar

la definicion 6 hallando valores de 8 que corresponda

(a) M = 1000 y (b) M = 10ODD.

r n 10. Utilice una grtifica para hallar un mirnero 8 tal que

si 5 < x < 5 + fj entonces /,_5>100

II. Se requiere un tornero para fabricar un disco circular de met

cuya area sea de 1 000 em',

(a) iQue radio produce dicho disco?

(b) Si al tornero se Ie pennite una tolerancia de error de

:!:5 em" en el area del disco, l,que tan cercano al radio

ideal del inciso (a) debe el tornero controlar el radio?

(c) Segun la definicion e, 8 de lfm r->nf(x) =, l,que es x?

l ,Que esf(x)? l,Que es a? l,Que es L? l,Qu6 valor de

e se da? l,Cual es el valor correspondiente de 8?



118 1 1 1 1 CAPiTULO 2 UMITES Y D E R I V A D A S

~ 12 . Se utiliza un homo de crecirniento de cristales en l a i nv e st ig a -

ci6n para determinar cual es la mejor manera de fabricar cristales

que se usaran en las partes electronicas de los transbordadores

espaciales, Para que el crecimiento de los cristales sea el

correcto, la temperatura se tiene que controlar exactamente

ajustando la potencia de entrada. Suponga que la relacion se

representa con

T(w) = . lw" + 2 .155w + 20

donde T es la temperatura en grades Celsius y w es la entrada

de potencia en' watts.

(a) (,Cuunta potencia se requiere para mantener la temperatura

a 200GC?

(b) Si se perrnite una variacion de temperatura de hasta

:t: 1°C, con respecto a 200°C, l,que intervale de potencia en

watts se permite para la potencia de entrada?

(c) De acuerdo con la definicion e, 0 de lfm,-."j(x) =, l,qlle

es x? i.Que esj(x)'? l.Que es a? l,Que es L? l,Que valor de e

se du? i,Cud! es el valor correspondiente de 07

13 . (a) Hallar un numero 0 tal que si I . r - 2 1 < 0, por 10 tanto

1 4 . \ ' - 8 1 < s, donde e=.1.

(b) Repetir el inciso (a) con e=.01.

14. Teniendo en cuenta que el Ifm,-." (5x - 7)=, explicar la

definici6n 2 hallando valores de 8 que corresponda a

s=.1, s=.05 y e=.0 1.

IS-l11 Demuestre el enunciado aplicando la definici6n s, 8 de limite

e ilustre can u n d ia g ram a como el de la figura 9,

15. lim ( 2 .. + 3)=. ~ - . J

16. Ifm O x + 3) = 2.r -·-1

D II lim (1 - 4x) =3.\->~~

18. lim (7 - 3.. )=-5.[-,4

19-32 Demuestre el enunciado aplicando la definicion e, 0 de

limite.

,x 319. Itm-=-

,~'1 5 5(t ) 90. lim .:_ + 3 =

x-.(, 4 2

22.9 - 4x"

=6fm. \ - . . ~ 1 -5 3 + 2x

24. limc=c

26 . lim x' =.t-~{1

28. Ifm 19 - x = al-~9~

30. lim (x" + x - 4) = 8,1;-..

32. lfm r '=_\:~~.2

x" + \: - 621. 1 1m . =

.t -~2 r - 'J

23. lfrn x=

~ Iimr' =0.1; ····0

2 7. lfrn I x l = a."'1)

I l 2 J lim (x" - 4x + 5) = I;:-~2

[ T I J Ifrn (x" - I) = 3x ~-.-:!.

33. Compruebe que otra eleccion posible de 8 es dernostra

lfm,_3 x2= en el ejemplo 4 es 0 = min {2, s/B],

34. Verifique mediante un razonamiento geometrico que l

mas grande posible de 8 para demostrar que l fm,->3 x "

8='9'+B - 3.

[ill] 35 . (a) En el casu dellfmite ]fm,_.1 (x3 + x + 1)=, det

un valor de 0 mediante una grtifica que correspondee=.4.

(b) Utilice un sistema algebraico para computadora ca

de resolver la ecuacion ciibica x3 + x + I= +determinar el valor mas grande posible de 8 que fu

para cualquier s > 0,

(c) Use e=.4 en su respuesta del inciso (b) y compa

su respuesta del inciso (a).

,1 I36. Demuestre que 11m- = -,

,-2 X 2

IllJ Demuestre que 11m J X = fa si a > O ._~~~

[ I I I x - a l Jugerencia: utilice J X - v a =X fa .x+ a

38. Si H es la funcion de Heaviside que se definio en el eje

de la seccion 2.2, demuestre mediante la definicion 2

existe el Ifm,_.o H( t) , [ S ug er el lc ia : efecnie una dernost

indirecta como se indica, Suponga que el lfmite es L.

e=~n la definicion de un limite e intente llegar a u

contradiccion.]

39. Si la funcionj se define mediante

j(x) = {~si xes racionnl

si xes irracional

demuestre que lim,_.()jCr} no existe.

40. Mediante la cornparacion de las definiciones 2, 3 Y4

dernuestre el teorema I de la secci6n 2.3.

41 . l,Que tan cerca a - 3 tiene que hacer a x para que

( )' > 10 000

x + 3"

I42. Demuestre aplicando la definicion 6 que Ifm ----,.)-:-4

,-·-3 (x + 3

[ 1 1 J Demuestre que lfrn In x = -00 •

.1;->O-+-

44. Suponga que lim,_,,,j(x) =0 y lfm,_" g(x) =, donde

mimero real. Demuestre cada proposicion,

(a) 11m [J(x) + g(x)] = 00. lO~'>-(J

(b) lfm [J(x)g(x)] =0 si c > aX-~({

~lfm[j~~~n=-ro ~c<Ox~~a



SECCI6N 2.5 CONTlNUIDAD IIII

~~~~~~~~3~ CONTINUIDAD

m Como sa ilu stra e n la fig u ra 1 . s i je s

c o nt in u a . d e sp u e s lo s p u nt as (x,i(x)) de

la q ra fic a de jtie nden a l punta (a.j(a))

d e la g r< \fic a. A sl, n o h ay b re ch a a lg un a

e n la c ur va ,

fix)

tiende a

f{([)·

y "" fix)

/fla)~-~ ~-I

• II I

IIII

------~------~--+---~~o __• a <__ .r

C onform e .v s e

aproxima a (I.

F IG U R A 1

F IG U R A 2

En la secci6n 2.3 se le hizo notar que a menudo se puede hallar el limite de una fun

cuando x tiende a (I, con s610 calcular el valor de Ia funci6n en a. Se dice que las fun

nes con esta propiedad son continuos en a. Ahora vera que la definici6n matematica

continuidad corresponde fntimamente al significado de la paJabra continuidad en elleng

je cotidiano. (Un proceso continuo tiene Ingar gradual mente, sin interrupci6n ni camabrupto.)

r n DEFINICION Una funci6nf es continua en un rnimero a si

!fm f{x) =(a )~-'rr

Advierta que la definicion I requiere implicitamente tres cosas sifes continua en a:

1. f(a) esta definido (es decir, a esta en el dominic def)

2. lim f(x) existex -r r u

3 . lim f(x) =(a )_"--'0

La definicion afirma quej es continua en a s if {x ) tiende af(a) cuando x tiende a (I.

una funcion continua tiene la propiedad de que un cambio pequefio en x s610 produce

pequefia alteraci6n enf{x). De heche, el cambio enf{x) se puede mantener tan pequefio

mo desee, restringiendo el cambia en x 1 0 necesario,

Si f esta definida cerca de a (en otras palabras, f esta definida en un intervale abi

que contiene a, excepto tal vez en a),fes discontiuua en a (ojtiene una discontin

dad en a) sifno es continua en a.

Los fen6menos ffsicos suelen ser continuos. Por ejemplo, el desplazamiento a la v

cidad de un vehfculo varian en forma continua con el tiempo, como pas a con la est

ra de una persona. Pero en realidad se presentan discontinuidades en situaciones como

corrientes electricas. [Yea el ejemplo 6, de la seccion 2.2, donde la funcion de Heavies discontinua en 0 porque Ifm'-'!l H(t) no existe.]

Geometricamente, una funci6n continua en todo niimero en un intervalo se puede

cebir como una funci6n cuya grafica no se interrumpe. La grafica se puede trazar si

vantar la plurna del papel.

EjEf.1PLO I En la figura 2 se muestra la grafica de una funci6nf i,En cuales numeros

discontinua? GPor que?

S O l U ( l ( H I Se ve como si hubiera una discontinuidad cuando a=1 porque In grafica

tiene Llna ruptura allf. La razon oficial de que.f sea discontinua en I es que f(l) no

esta definido.

La grafica tambien tiene una ruptura cuando a=, pero la raz6n de la discontinuid

es diferente. En este caso,f(3) esta definido, pero Ifmx~3f(x) no existe (porque los lfrpar la izquierda y par la derecha son diferentes), POl' 1 0 tanto,f es discontinua en 3.

l,Que pasa cuando x =5? En tal caso.j '(S) esta definido y Ifmx-'5f(x) existe (porq

los lfmites par Ia izquierda y por la derecha son los mismos). Pero

lfm f(x) #- I(5)1'-5

De este modo.f es discontinua en 5.

Observe ahora como detectar las discontinuidades cuando una f6rmula define

funci6n.




. ! i . : J EjEMPlO 2 l,En d6nde son discontinuas cada una de las funciones siguientes?

(b) f(x) ~ { ;'

Xl - X - 2(a) j{x) = ----

x-2

si X ~ 0

si x=0

{

X2 - X - 2

(c) j(x) = 1 x - 2si x ~ 2

(d) j(x) =x]

si x=

S O L U C I O t l

(a) Advierta que j(2) no esta definido, tarnbien j es discontinua en 2. Mas ad

vera por que es continua en todos los otros mimeros.

(b) En este caso,j(O) =]esta definido pero

lim j(x) =im ~X~ O . T - - ; o . O X

no existe. (Vease el ejemplo 8 en Ia seccion 2.2.) Asf,fes discontinua en O.

(c) En este casoj(2) =1 esta definido y

, () I' x2

- X - 2 ,(x - 2)(x + 1)hmj x = im =frn = lim (x + 1) = 3.1:--002 x~2 X ~ 2 ;.---2 X - 2 .r-}o2

existe. Pero

lim j(x) ~ j(2). 1 , . " - , 2

por eso,jno es continua en 2.

(d) La funcion entero maximo j(x) =x] tiene discontinuidades en todos los en

porque lfm.,-." [x ] no existe si n es un entero. (Vease el ejemplo 10 y el ejercicio

Ia seccion 2.3.)

En la figura 3 se muestran las graficas de las funciones del ejemplo 2. En c

no se puede dibujar la grafica sin levantar la pluma del papel, porque se presenta

jero, una ruptura a un salta en esa grafica. EI tipo de discontinuidad que se ilus

incisos (a) y (c) se conoce como removible porque la discontinuidad podrfa e1im

redefinirfjusto en el mirnero iinico 2. [La funci6n g(x) = + 1 es continua.] La

nuidad del inciso (b) recibe el nombre de discontinuidad infinita. Las disconti

del inciso (d) se llaman discontinuidad por salto porque la funci6n "salta" de u

otro.

y

o

y

23 .x 2 x2

(a) f(.1:) =x" - x - 2.1:-2

si .r=2{

X2 -;c-2

(c)f(x)= 1 ..-2si J . " = F 2

(d) f(x) = x T I

F IGURA3 Graficas de las funciones del ejem plo 2



-[

F IG U R A 4

y

f(x) =1 - . J 1 - x2

SECCION 2.5 CONT[NUIDAD 1 1 1 1

II] DEFINICION Una funcionj'es continua desde la derecha en un rn im ero a si

lfrn f(x) =(a )x-)a+

y j es continua desde la izq uierda en a si

Ifm f(x) =(a )x-~'a-

EjEMPlO 3 En cada entero 1 1 , la funcion j'(z) = [x D [vease la figura 3(d)] es continua

de la derecha pero discontinua desde la izquierda porque

Ifm f(x) =fm [x] = n=(n)x-u+ x-on+

pero Ifm f(x) =im [x] = n - 1 ~ fen)X-J/~ X~JI~

r n DEFINICION Una funci6nf es continua sob re un interv alo si es continua en

todo mimero en el intervalo. (Sifse define iinicamente en un lado de un punto ex-

tremo del intervalo, continua quiere decir continua desde la derecha 0 continua

desde fa irquierda.i

E JE f. 1P lO 4 Demuestre que la funci6n j(x) = - . J l - x2 es continua sobre el

intervalo [ - 1, 1].

~OLUCI ( ) t lSi -1 < a <Ien tal caso, al ap l ica r las leyes de los Ifmites

limf(x) =fm (1 -.Jl - X 2 )x.-----;.a x-= -a

=1 - lim . J l - x2X->(I

(por la, leyes ;: y 7)

I par ]a ley 1 1 J

= -.J1--Q2 tpor las lcye-, 2, 7 Y 9 )

=(a )

De suerte que par la definicion 1,f es continua en a si -1 < a < l . Calculos simil

hacen ver que

lfrn j(x) ==e-I)x-"~I+

Ifm f(x) ==(l )x-I~

y

x de modo que j es continua desde la derecha en -1y continua desde la izquierda en 1

Par consiguiente, segun la definici6n 3, f es continua sabre I-I,1].

En la figura 4 se i1ustra la grafica de f Es la mitad inferior del cfrculo

K + (y - 1) 2=I

En Ingar de aplicar siempre las definiciones 1, 2 Y3 para comprobar la continui

de una funcion, como en el ejemplo 4, a menudo resulta conveniente aplicar el teor

siguiente, el cual muestra como formar funciones continuas complicadas a partir de

ciones sencillas.



122 IIII CAPITULO 2 LiMITES Y DERIVADAS

[I] TEOREMA Sify 9 son continuas en a y c es una constante, entonees las fu

nes siguientes tambien son eontinuas en a:

1. f+ 9 2. L : 9

S. 1i g(a) # 09

3. cf

4. fg

D E r 1 0 S T R A C I 6 u Cada una de las cinco partes de este teorema se infieren de la ley d

mites correspondiente de la seccion 2.3. Por ejemplo, demuestra la parte 1. Puesto

9 son eontinuas en a,

lim f(x) =(a ).\'~(i

Ifm g(x) =(a ),t-)oa

y

En consecuencia,

lim (f + g)(x) = lim [j(x) + g(x)J,t~n X-,loCl

=fm f(x) + lfrn g(x)"x~"'11 ."(~a

(por III Ley 1)

=f(a) + g(a)

=f + g)(a)

Esto muestra que f + 9 es continua en a.

Del teorema 4 y la definicion 3 se deduce que sify 9 son continuas sobre un

tambien 10 son las funcionesf + g,j - g, cf,fg Y (si 9 nunca es 0) fig. En la se

se enuncio el siguienteteorema como propiedad de sustitucion direeta.

IT ] TEOREMA(a) Cualquier polinomio es continuo en todas partes; es decir, es continuo so

I R =-00,00).

(b) Cualquier funcion raeional es continua, siempre que este definida; es deci

continua en su dominio.

D E r 1 0 S T R A C I O N

(a) Un polinomio es una funcion de la forma

P(x) ="x " + C,,-IX,,-1 + ... + C1X + Co

donde co, c], ... , c" son constantes. Sabe que

Ifm Co =o,r-)oa

ipor III Icy 7)

y lim XIII =m (por lu Icy 9)=1.2, ... , n

Esta ecuacion es precisamente la proposicion de que Ia funcion j'(z) =" es una

funcion continua. Por esto, con base en la parte 3 del teorema 4, la funcion

g(x) = ex" es continua. Dado que P es una suma de funciones de esta forma y

una funcion constante, a partir de Ia parte 1 del teorema 4 se deduce que P es

continua.



y

P( c os e , sen e )

o (1 ,0 ) x

F IG U R A 5

ill Otra fo rm a de es tab lece r lo s lfrn ita s en (6 )

es u sa r e l te ore ma d e la com pres i6 n co n la

d e si g u a ld a d s e n ( ) < (J (p ara () > 0), 1 0 c u a l

s e p ru eba e n la se cc io n 3.3 .

SECCI6N 2.5 CONTINUIDAD III!

(b) Una funcion racional es una funcion de Ia forma

p(x)

lex) =Q(x)

donde P Y Q son polinomios. El dominio defes D = {x E IJ{ I Q(x) '" O} . S a b e, del

ciso (a), que P y Q son continuas en todas partes. De esta manera,j es continua en t

mirnero en D, de acuerdo con la parte 5 del teorema 4.

Como ilustracion del teorema 5, observe que el volumen de una esfera varia continuam

te con su radio porque la formula V(r) =~iTT) hace vel' que V es una funcion polinom

de r. Del mismo modo, si se lanza una pelota vertical mente en el aire, con una velocidad

50 ft/s, despues la formula h =O t - 16t2 expresa la altura de la pelota, en pies, desp

de t segundos. De nuevo, es una funcion polinomial, de modo que la altura es una func

continua del tiempo transcurrido.

Saber cuales funciones son continuas permite evaluar algunos lfrnites con muc

rapidez, como demuestra el ejemplo siguiente. Cornparelo con el ejemplo 2(b) de la s

cion 2.3.

x3 + 2X2 - 1

E jE f '. 1P I.O 5 Encuentre lim -----, 1 ' . . . . -2 5 - 3x

S O L U C I O N La funcion

x3 + 2X2 - ]

f(x) = 5 - 3x

es racional, de modo que par el teorema 5 es continua sobre su dominio, el cual

{ x I x '" n . En consecuenciax3 + 2X2 - 1

X~~2 5 - 3x = x~~J(x) =( -2)

(-2)3 + 2(-2)2 - 15 - 3(-2)

I=-

11

Resulta que la mayor parte de las funciones conocidas son continuas en todo nume

en su dominio. Por ejemplo, la ley de los lfmites 10 (pagina 110) es exactamente la pro

sicion de que las funciones rafz son continuas.

Can base en el aspecto de las graficas de las funciones seno y coseno (figura 18, en

seccion 1.2), podrfa suponer con toda certeza que son continuas. De acuerdo can la def

cion de sen e y cos e sabe que las coordenadas del punta P de la figura 5 son (cos e , senCuando e ---? 0, P tiende al punto (1, 0) y , par consiguiente, cos e -7 1 Y sen fJ ---? O.

esta manera

11mcos e =O~ O

lfm sen e =00.....

Como cos 0 = 1 y sen 0 = 0, las ecuaciones dadas en (6) afirman que las funciones se

y coseno son continuas en O.Par 10 tanto se pueden aplicar las formulas de la adicion

ra coseno y seno para deducir que estas funciones son continuas en todas partes (vease

ejercicios 56 y 57).

De Ia parte 5 del teorema 4, se deduce que

sen xtan x=-

cosx




F I G U R A 6 y==tan ,v

§E n la s ec c i o n 1 .6 s e h a c e u n r e p a s o

d e l a s f u n c io n es t ri gonomelr icas inver sas.

es continua excepto donde cos x =O. Esto sucede cuando x es un rmiltiplo impar de

modo que y =an x tiene discontinuidades infinitas cuando x=1T!2, ±31T/2 , ±

asf sucesivamente (vease la figura 6),

La funcion inversa de cualquier funci6n uno a uno continua tarnbien es continu

hecho se comprueba en el apendice F, pero la intuici6n geometric a 1 0 hace parec

nable: La grafica dej"" se obtiene reftejando la grafica dejrespecto a la recta y =

bien, si la grafica de j no tiene ruptura alguna, tampoco la tiene la grafica de j-I,)

modo, las funciones trigonometricas inversas son continuas,En la seccion 1.5 se defini6 la funcion exponencial y=t de modo que se llen

agujeros en la grafica de esta funci6n donde x es racional. En otras palabras, l

definici6n de y = a' la hace una funcion continua sobre I R . . Por 1 0 tanto, su funci6n

y =og. x es continua sobre (0, 0 0 ) ,

[[] TEOREMA Los tipos siguientes de funciones son continuos en todo mimer

sus dominios:

polinomios funciones racionales funciones rafz

funciones trigonornetricas funciones trigonometricas inversas

funciones exponenciales funciones logaritrnicas

In x + tan-IxEJEM PL O 6 LEn d6nde es continua la funci6n j(x) = ?

x2 - I

S O L U C I O N POl' e l teorema 7 , sabe que la funci6n y = In x es continua para x > 0

y =an -I x es continua sabre I R . . Asi, por la parte 1 del teorema 4, y =n x +es continua sobre (0, (0). EI denominador, y =2

- 1, es un polinornio, de modo

continuo en tad as partes. POl' 10 tanto, por la parte 5 del teorerna 4 , j es continu

todos los mimeros positivos x, excepto donde x" - I= . De este modo,jes coen los intervalos (0, l) y (1, (0),

senxEjEt,1PLO 1Hallar el valor numerico del lim ----

x-·rr 2 + cos x

S O L U C I O U EI teorema 7 dice que y =en x es continua. La f u n c i o n en e l denomin

y =2 + cos x, es la suma de dos funciones continuas y en consecuencia es co

Dese cuenta que esta funci6n jamas es cero porque cos x ;;;"-1 para toda x y

2 + cos x > ° en todas partes. En estos terminos la relacion

sen x

j(x) =2 + cosx

es continua en todas partes. Por 10 tanto, mediante la definici6n de funci6n conti

sen x sen TT 0Ifm =fmj(x) = j( 1T) = = -- =x~.. 2 + cos x .<-·rr 2 + cos TT 2 - I

Otra manera de combinar las funciones continuasjy 9 para obtener una nueva

continua es formal' la funci6n compuestaj'» g. Este hecho es una consecuencia del

siguiente.



& \! Es te te ore ma e xp re sa q ue s e p ue de m ove r

un s im bo lo de lim ite a trave s de un sfm bo lo d e

fu nc i6 n, s i la fu nc i6 n e s c on tin ua y ellfmite

a x i s t e . E n o tr as p a l a b r a s , S8 p ue de in ve rtir e l

o rd en d e e ste s d os s fm bo la s.

SECCION 2.5 CONTINUIDAD 1 1 1 1

[]] T EOR EMA Sijes continua en b y lim g(x) = b, entonees lim j(g(x» = feb).

En otras palabras, x~" x-·"

~~j(g(x» =( !~ ~ g(x»)

A n ive l in tu i ti v e , este teorema resulta razonable porque si x esta cerea de a , despues

esta cerca de b y comojes continua en b, si g(x) esta cerea de b, en seguidaj(g(x» esta c

dej(b). Una demostraci6n del teorema 8 se proporciona en el apendice F.

(I_I x )

EjEMPlO 8 Evahie Ifm arcseru+- .x-·l I_

S O l U C I O f I Ya que arcsen es una funci6n continua, aplique el teorema 8:

lim arcsen ( 1 - v I x ) =rcsen (lim _ l _ - _ v I x . : . . . . _ X ).<-1 1 _ X x~1 1 _ x

=

arcsen(lfm (" l r : : - ) ( v i x r : : ) ).,-.1 1 _ yX 1 + yX

=rcsen (lim" 1 .jX ),~.lI+ x

1 71'=rcsen- =

2 6

Aplique el teorema 8 en el caso especial donde j(x) =I X , y n es un entero positi

En tal caso

y

j(g(x» = ' i iW

j O ~ r : ; ,g(x») =j I L l ! ! g(x)

Si sustituye estas expresiones en el teorema 8 obtiene

lim v ' i iW ="lfm g(x)x+o a T~1

can 10que queda demostrada la ley 1] de los Ifmites. (Supone que Jas rakes existen.)

III TEORH1A Si 9 es continua en a yf es continua en g{a) , entonces la funci6n

compuestajo 9 dada por if o g)(x) =(g(x» es continua en a .

A menudo, este teorema se expresa de manera informal diciendo: "una funci6n co

nua de una funcion continua es una funci6n continua",

D E M O S T R A C I O N Como 9 es continua en a

lim g(x) =(a )X-Jot!

Comojes continua en b=(a) , puede aplicar el teorema 8 para obtener

lfrn f(g(x» =(g(a»>\~rl



~ E jEMP lO 9 l,En d o n d e son continuas las funciones siguientes?

(a) hex ) =en(x2) (b) F(x) =n(1 + cos x)


2

-6

F I G U R A 7

y =In{1 + co s .r)

y

fla) --

N

f(b)

--~--+-------------~~~o (1 /) X

F I G U R A 9

que es precisamente Ia proposici6n de que la funci6n hex ) =(g(x» es continua

decir,fo 9 es continua en a.

S O L U C I O N

(a) Tiene hex ) =(g(x» donde

g(x) = r y f0:) = sen x

Ahora 9 es continua sobre 1 R 1 , puesto que es un polinomio, y ftambien es continua

partes. Por consiguiente, h =o 9 es continua sobre I R 1 por el teorema 9 .

(b) Con base en el teorema 7, sabe quef(x) = In x es continua y g(x) = 1 + ccontinua (porque tanto), = 1 como y = cos x son continuas). Par 10 tanto, del teorF(x) =(g(x» es continuo siempre que este definido. Ahora bien, In (I + cos

definido cuando 1 + cos x> O.De este modo, no esta definido cuando cos x = -1,

sucede cuando x=1 T , ± 3 1 T , . . . . Por esto, F tiene discontinuidades cuando x es u

plo impar de 1 T yes continua sobre los intervalos entre estos valores. (Vease la figur

Una propiedad importante de las funciones continuas se expresa con el siguiente

cuya demostraci6n se encuentra en libros mas avanzados de calculo.

0]] TE OR EM A D El VA LO R IN TE RM ED IO Suponga que f e s continua sobre el in

valo cerrado [a, b] y sea N cualquier mimero entref(a) y feb), dondef(a) ¥- feb

Por 1 0 tanto existe un mimero c en Ca,b) tal quef(c) =.

El teorema del valor intermedio afirma que una funci6n continua toma todos lo

intermedios entre los valores de la funci6n f(a) y f(b). Este hecho se ilustra en la

Observe que el valor N se puede tomar una vez [como en Ia parte (a)] a mas de una ven Ia parte (b)].

y y

f(a)

(1 C,

f(b)I~~~-ib) -~-------

Nl-----------;fy=j(x)

y=f(x) f(a) -"

oc b x1

F I G U R A 8 (a) (b)

Si piensa en una funci6n continua como en una funci6n cuya grafica no tiene

o rupturas, en tal caso es facil creer que el teorema del valor intermedio es cierto

minos geometric os, dice que si se da cualquier recta horizontal y = N entre y

Y =Cb), como en la figura 9, por 10 tanto la grafica defno puede saltar sobre

Debe intersecar y =N en alguna parte.

Es importante que la funcion f del teorema 10sea continua. En general, el teoremaintermedio no se cumple para las funciones discontinuas (vease el ejercicio 44).

Un uso del teorema del valor intermedio es hallar las rakes de ecuaciones, co

ejemplo siguiente.



SECCION 2.5 CONTINLJIDAD llll

[IjEJEMPlO 10 Demuestre que existe una rafz de lu ecuacion

4x3 - 6x2 + 3x - 2=

entre 1 Y 2 .

S O l U [ I O t l Seaf(x) =4x3 - 6x z + 3x - 2 . Busea una solucion de la ecuacion dada; es

deeir, un mlmero centre 1 y 2 tal quef(c) = . Por 10 tanto, en el teorema 10 , toma a =

b= Y N= . Tiene

f(1) = - 6 + 3 - 2=1 < 0

y f(2) =32 - 24 + 6 - 2=12 > 0

Por esto,f(l) < 0 <f(2); es decir, N =0 es un ruimero entre r'(I) y / (2). Ahora bien.

continua porque es un polinornio, de modo que el teorema del valor intermedio afirma

existe un numero c entre I y 2 tal que f(c) = . En otras palabras, la ecuacion t iK -+ 3x - 2 =0 tiene por 10 menos una rafz c en el intervalo (I, 2).

De heeho, podemos localizar una rafz con mayor precision aplicando de nuevo el

teorema del valor intermedio, Puesto que

f(1.2) =0.128 < 0 y f( 1.3)=0.548 > 0

una rafz se debe encontrar entre 1.2 y 1.3. Una calculadora da, por tanreos,

/(1.22) =0.007008 < 0 y f(1.23) =.056068 > 0

de modo que una rafz se encuentra en el intervalo (1.22, 1.23).

Use una ealculadora graficadora 0 una computadora para ilustrar In aplicacion del

rema del valor intermedio en el ejemplo 10. En la figura 10 se muestra la grafica derectangulo de visualizacion [-1, 3] por [ - 3, 3] y se puede ver que la grafica crnza e

x entre I y 2. En la figura 11 se muestra el resultado de realizar un acercamiento haci

pantalla [1.2, 1.3] por [ -0.2, 0.2]'

3 0.2

lj

I

1.21!a

! 3 ' 1 ~

I! .j

I !I

I!

-0.2

F I G U R A 11

-3

F IG U R A 1 0

De hecho, el teorema del valor interrnedio desempetia un papel en la rnanera en

funcionan estos aparatos graficadores, Una computadora calcula un mimero finite

puntos de la grafica y haee aparecer los pixeles que contienen estos puntos calculad

Supone que la funcion es continua y torna todos los valores interrnedios entre dos p

tas consecutivos. En consecuencia, la computadora une los pixeles al hacer aparecer

pixeJes intermedios.



128 IIII CAPiTULO 2 L1MITESY DERIVADAS

CIOS

1. Escriba una eeuaci6n que exprese el hecho de que una funcion

Is continua en el niimero 4.

2. Sifes continua sobre (-00,00), i,que puede decir acerea de su

grdfica?

[~] (a) A partir de la grafica de f,establezca el rnirnero al cual Ies diseontinua y explique por que.

(b) Para cada uno de los mimeros que se deterrninaron en el

inciso (a), determine si f es continua desde la derecha,

desde la izquierda 0 desde ninguno de los dos lades.

-4

o-2

4. A partir de la grafica de g, de los intervalos sobre los que 9 es

continua.

5. Trace la grafica de una funci6n que sea continua en todas partes,

excepto en x = 3, y sea continua desde la izquierda en 3 .

6. Dibuje una funcion que tenga una discontinuidad de salto en

x= Y una discontinuidad re rnovible en x=, pero que sea

continua en todas las dernas partes.

[.[] En un lote de estacionamiento se eobran $3 por la primera hora

(0 fraccion) y $2 por cada hora (0 fraccion) subsiguiente, hasta

un nuixirno diario de $10.(a) Dibuje el costo de estacionar un automovil en este Iote,

como funcion del tiempo que permanezca alli,

(b) Analice las discontinuidades de esta funcion y su significado

para alguien que estacione su autom6vil en ellote.

8. Explique pOl'que cada funci6n es continua 0 discontinua,

(a) La temperatura en un Ingar especffico como funci6n del

tiempo,

(b) La temperatura en un momento dado como funcion de la

distancia hacia el oeste de la ciudad de Nueva York

(c) La altitud sobre el nivel del mar como funci6n de la distancia

hacia el oeste de la ciudad de Nueva York.

10 . I(x) =2 + ,)7 - x, a=

[ill f(x) =x + 2 X 3 )4 , a = -1

21 - 3r 2

12 . h er) = 3 ' a=II+ t

(d) EI costo de un viaje en taxi como funci6n de la d

recorrida.

(e) La corriente en el circuito para las luces de una h

como funcion del tiempo,

9. Sify 9 son funciones continuas conf(3) = ylfmx~J [2f(x) - g(x)] =, encuentre g(3).

10-12 Use la definicion de continuidad y las propiedade

lfrnites para demostrar que la funci6n es continua en el

a dado.

13-14 Use la definici6n de continuidad y Ius propiedade

lfrnites para demostrar que la funci6n es continua en el

2x + 313 . f(x) =x _ 2 ' (2 ,00 )

14. g(x) =../3 - x, (-00,3].

15-20 Explique por que la funcion es discontinua en el p

dado a. Dibuje la grafica de la funci6n.

15 . f(x) = In 1 x - 2 1

{

__ si x, = I16. f(x) = 2x - 1

si x=I

{

e x si x < 017 . f(x) = ,

x- si x"'" 0

[1I] f(x) = { ~ I : := ~ si x ,= 1si x = I

a=2

a = 1

a=O

a = I

{

COSX six < 0

19. f(x) = 00

si x =1 -.t" si x> 0

{

2x2 - 5x - 3 si x ,= 3

20 . f(x) = 6 x - 3six =

a=O

a=3

21-28 Con los teoremas 4, 5, 7 y 9 explique por que la f

continua en todo mimero en su dominio. De el dominio.

x21. F(x)=----

Xl + 5x + 6



25. L (t ) = [51OS 2'Tft

24 . hex) =senxx + 1

26. F (x} =en-l(x2 - 1)

28 . H (x) =o s ( e J . < )

29-30 Localice las discontinuidades de la funcion e ilustrelas tra-

zando una grafica,

I

1 m y = 1+ el/x30. y = In(tan2x)

31-34 Aplique la continuidad para evaluar ellfmite.

5 + J X31.!fm ~5+ .

.~-~4-yJ T X~ Ifm sen(x + sen x)

X_'__"7T

34. lfm arctan ( _ x - : - : _ - _ 4 _ ).,-2 3x- - 6x

33. lim eX'-x.'t-~I

35-36 Demuestre quefes continua sobre (-00, (0).

{

X2 si x < I35 . f(x) = f... I

'IX SI X ~

36 . f{x) =sen x s~ x < 'Tf/4

cos x SI X ~ 'Tf/4

37-39 Determine los numeros en los que f es discontinua. LEn

cuales de estos valores f es continua por la derecha, por la iz-

quierda 0 no 10es ni por la derecha ni por la izquierda? Trace la

graf ica de f

{

I + x2 si x .;;0

37. f(x) = 2 - x si 0 < x ",; 2

(x - 2f si x> 2

{

X + I si x",; 1

38 . f(x) = l/ x si 1< x < 3

. . / x " = - 3 si x;;:. 3

{

X + 2

!ill f(x) = e'

2-x

si x < 0

S I 0.; ; x ",; I

S I x> I

40. La fuerza gravitacional ejercida por la Tierra sobre una masa

unitaria a una distancia r del centro del planeta es

1

GMrJi'3 si r < R

F(r) =GM .-,- Sir ~ Rr:

donde M es la masa de la Tierra, R su radio y G es Laconstante

gravitacional. iF es una funcion continua de r?

SECCI6N 2.5 CONTINUIDAD IIII

l ! ! J LPara que vaLor de la constante c la funcion j' es continua s

(-oo,oo)?

{

C X2 + 2x si x < 2f(x) = .

xJ - ex 51 x;;:. 2

42. Hallar el valor de a y b que hace afcontinua en todas parte

1

X2 -

4x-2

f(x) = ax2 - bx + 3

2x-a+b

six < 2

si 2 < x < 3si x;;:. 3

43. LCual de las funcionesfsiguientes tiene discontinuidad remo

en a? Si la discontinuidad es removib le , determine una funci

g que concuerde confpara x ¥ - ayes continua en R

X4 - I(a) f(x) = --, a = I

x - I

xJ - r-2t(b) f(x) = x _ 2 ' a = 2

(c) f(x) =sen x], a =r

44. Suponga que una funcion j' es continua sobre [0, I],

excepto en 0.25, y que f (O) = 1 Yf(1) = 3. Sea N = 2.

Trace dos graficas posibles def, una en que se muestre

quefpodrfa no satisfacer la conclusion del teorema del

valor intermedio y la otra que muestre que f todavfa

podrfa satisfacer ese teorema (aun cuando no satisfaga

Ia hipotesis),

45. Sif(x) = x2 + 10 sen x, demuestre que hay un mimero c t

quef(e) = I000.

46. Considere que f es continua en [1, 5] YIn iinica solucionf(x) = son x= Yx=. Sif(2) =, explique Lpor

quef(3) > 6?

47-50 Aplique el teorema del valor intermedio para demostrar qu

existe una rafz de la ecuacion dada en el intervalo especificado,

I 1 Z . J X4 + X - 3 = 0, (1, 2) 48. ~ = - x, (0 , 1)

49. cos x=, (0, 1) 50. In x=:", (1, 2)

51-52 (a) Compruebe que la ecuacion tiene cuando menos una

real. (b) Use su calculadora para hallar un intervalo de longitud

0.01 que contenga una rafz.

51. cos x=3 52. In x= - 2x

r n 53-54 (a) Pruebe que Laecuaci6n tiene cuando menos una rafz

real. (b) Utilice SlI disposit ivo graficador para encontrar la ra

correcta hasta tres cifras decimales.

54. arctan x = 1 - x



130 1 1 1 1 CAPiTULO 2 LiMITESY DER IVADA S

55. Dernuestre queIs continua en a si y s610 si 62. 51 a y b son mimeros positives, comprobar que la ecuaci

Ifm I(a + II) =(a)II~O

--:-__(1-0--_ + b =

x3+2r"- x'+x-2

56. Para demostrar que sene es continuo necesita demostrar que

l fmx-.u sen x=en a para todo ruimero real a. Segun el

ejercicio 55, una proposicion equivalente es que

tiene por 10menos una soluci6n en el intervalo (-1, I).

63. Demuestre que la funcion

(){

X4 sen(1/ x) S I x ;6 0j x = o six= 0lim sen(a + h) =en a

f, -~O

es continua en (-00,0:; .) .

64. (a) Demuestre que la funci6n de valor absoluto F(x) =

continua en todas partes.

(b) Compruebe que siIs una funcion continua sobre

intervalo, entonces tarnbien 10 es I j I .(c) i,Lo inverso de la proposici6n del inciso (b) tambien

verdadero? En otras palabras, i,si IIIes continua se

deduce quejes continua? De ser asi, cornpruebelo.

En caso de no ser asi, halle un ejemplo contrario.

65. Un rnonje tibetano sale del monasterio a las 7:00 A.M. y

emprende su camino habitual hacia la cima de la montana donde llega a las 7:00 P.M. La manana siguiente inicia

regreso desde la c im a por la misrna ruta a las 7:00 A.M.

al monasterio a las 7:00 P.M. Mediante el teorema del va

intermedio demuestre que existe un punto a 10 largo de l

ruta que el rnonje cruzara exactamente a la misma hora

ambos dias.

Aplique (6) para demostrar que esto es cierto.

57 . Compruebe que coseno es una funci6n continua.

58. (a) Demuestre el teorema 4 , parte 3.

(b) Demuestre el teorema 4, parte 5.

59. i.Para que valores de x es continuaj?

j(x) = { o s~x es :aci~nal

1 51 x es irracional

x I ( x )

0 -]

~! 0

~2 0.60nOOO

~3 0.800000

~4 0.882353

~5 0.923077

~10 0.980198

::::50 0.999200

:':100 0.999800

~1000 0.999998

LiM1TESAL lNFINITO, ASiNTOTAS HORIZONTALES

En las secciones 2.2 y 2.4 se trataron los limites infinitos y las asintotas verticales.

dej6 que x se aproximara a un mimero y el resultado es que los valores de y se varbitrariamente grandes (ya sean positivos 0 negatives). En esta secci6n se permite

se vuelva arbitrariamente grande (positiva 0 negat iva) y se observe que Ie sucede a

Empiece por investigar el eomportamiento de la funci6n f definida pOI'

x2 - ]

f(x) = -,:--x- + I

cuando x se hace grande. La tabla al margen da valores de esta funci6n eorrectos basta

fras deeimales y, en la figura 1, se ba trazado la grafica de f por medio de una computa

y

y=l

60 . i,Para que v a lo re s d e x es continua g?

) {o si xes racional

g( x =x si x es irracional

l h l : J j,Hay un mimero que es exacramente 1 mas que su cubo?

F I G U R A 1

Conforme x creee mas y mas, se puede ver que los valores def(x) se aproximan

vez mas a l , De hecho, parece que puede acercar cuanto quiera los valores de f(

eligiendo una x 10 suficientemente grande. Esta situaci6n se expresa en forma sim

escribiendo



y

y=L

y=f(x)

o

F I G U R A 2

Ejemplos que ilustran 11m(x ) = Lx-w

SECCION 2.6 LfMITESAL INFINITO, AsfNTOTAS HORIZONTALES IIII

En general, use el simbolismo

I fmj(x) =X-)o:e

para indicar que los valores de j(x) tienden a L conforme x se hace mas y mas grande.

O J D E F I N I C I O N Seajuna funcion definida en algun intervalo (a, co). En tal caso

Hmf(x) =Lx~~

significa que los valores def(x) se pueden aproximar a L tanto como desee, si escog

una x suficientemente grande.

Otra notacion para 1imx-w.,f(x) =L es

f(x) ~ L conforme x --:> co

El sfrnbolo co no representa un mimero. No obstante, la expresion lfm f(x) =L a mese lee como x-oX

o

"el lfrnite def(x), cuando x tiende al infinite, es L"

"el Ifmite de f(x) , cuando x se hace infinito, es L"

"el Ifrnite de f(x), cuando x crece sin cota, es L"bien

La definici6n I da el significado de esas frases. Una definicion mas exacta, similar

definicion de 1> , 8 de la secci6n 2.4 se encuentra al final de esta secci6n

En la figura 2 se muestran ilustraciones geornetricas de la definicion 1. Advierta

hay muchas rnaneras de aproximar la grafica de j a la recta), =L (la cual se llama

tota horizontal) a medida que ve hacia el extrema derecho de cada grafica.

y

y=f(x)

y=L

x 0 x

y A

y=f(x)

o

Si vuelve a la figura 1, vera que para valores negativos numericamente grandes de

valores def(x) estan cercanos a 1.Al reducir x a traves de valores negativos sin cota,

de acercar f(x) a I cuanto quiera, Esto se expresa escribiendo

La definicion general es como sigue:

!II D E F I N I C I O N Seafuna funcion definida en algtin intervalo (-co, a). Por 10 tant

Ifm f (x) =x--+-x

quiere decir que los valores def(x) se pueden hacer arbitrariamente cercanos a L

haciendo que x sea 10 suficientemente grande y negativa.




y

Y""j(x)

y=L

o

yA

y=f(x)

F I G U R A 3

E jem plos q ue ilustran 1 fm i(x) =t--W

o

F I G U R A 4

y = tan-Ix

y

I

/ \ -:- -- - - 2 \ /

\ ['../

\

0\ 2 ,\

1 \

\\

F I G U R A 5

Es necesario remarcar que el sfrnbolo -co no representa un rnimero, pero la exp

lim f(x) =L se lee a menudo como.T~.--:;c,

"el lfrnite de f(x), cuando x tiende al infinito negativo, es L".

x

La definicion 2 se ilustra en la figura 3. Observe que la grafica tiende a la recta y =L

en el extremo Izquierdo de cada gnifica.

III DEF INICION La recta y = L se llama asintota horizontal de la curva

y =(x ) si

o bien lim f(x) =Lx_",-~

lim f(x) =L."(~.:;o

x Por ejemplo, la curva que se ilustra en la figura 1 tiene la recta y = 1 como a

horizontal porque

Un ejemplo de una curva can dos asfntotas horizontales es y=an~lx. (Vease la fi

En efecto,

.r

de modo que las dos rectas y=Tl12 Y y=ni2 son asfntotas horizontales. (Esto

c1uye a partir del hecho de que las rectas x=±TlI2 son asfntotas verticales de la

de tan.)

EjEMPlO I Encuentre los lfrnites infinitos, los Ifmites en el infinito y las asfntotas p

funci6n.f cuya grafica se muestra en la figura 5.

~ O L U C I 6 t 1 Va que los valores de f(x) se vuelven grandes cuando x -7- 1 desde ambo

dos; por 10 tanto

1 1 m f(x) =o.\:-:.-!

Advierta que.f(x) se hace grande negative cuando x tiende a 2 desde la izquierda,

grande positivo cuando x tiende a 2 desde la derecha. De este modo,

lim f(x) = -co.1,. '-)02-

y

De esta suerte, las dos rectas x=-1Yx= son asfntotas verticales.

Cuando x crece, f(x) tiende a 4. Pero cuando x decrece a traves de valores negat

f(x) tiende a 2. As! entonces,

lim f(x) =x-~'l.:-

y lim f(x) =c\,-~-'Xi

Esto significa que tanto y = como y = son asfntotas horizontales.



y

F I G U R A 6

Ifm10, Ifm1°-+CO _ ' T-,-:;r;; _\'

SECCION 2,6 LlMITES AL INFINITO, AsiNTOTAS HORIZONTALES IIII

, 1EJEM PLO 2 Encuentre hm - y lim

.\'-"X X x~~-~ X

S O L U C I O N Observe que cuando x es grande, l/x es pequefio. POl' e j e m p l o ,

1-=0.01100

]

10 000 =.0001 1oo~ooo=.000001

De hecho, si elige una x suficientemente grande, puede aproximar l/x a 0 cuanto qu

Por 10 tanto, segun la definici6n 4

1lfrn - =_\,-.~ X

x Un razonamiento similar hace ver que cuando x es grande negativo, I/x es pequefio n

gativo; de este modo, tambien tiene

IIfm - =

.\'-,.-:;0::, X

Se infiere que la recta y =0 (el eje x) es una asfntota horizontal de la curva y =1/x

es una hiperbola equilatera; vease la figura 6).

La mayor parte de las leyes de los lfrnites que se dieron en la secci6n 2.3 tambie

cumplen para los Ifmites en el infinito. Se puede probar que las [eyes de los limites,

lista se da en la seccion 2.3 (can la excepcion de las (eyes 9 y JO), tambien SOil vdlida

"x ---7 a" se reemplaza call "x ---7 00" a call "x ---7 -00". En particular, si combina la l

con los resultados del ejemplo 2, obtiene la importante regla que sigue para el calculo

Ifmites.

[II TEOREMA Si r > 0 es un m im e r o racional, entonees

Ilfm - = 0.'(~,,:x; xr

Si r> 0 es un mirnero racional tal que xr esta definida para toda x, entonees

Ilim - =

, l~)o-r .e: . x'

~ E jEM PLO 3 Evahie

3x2 - X - 2Ifm 0

x~'" 5x- + 4x + I

e indique las propiedades de limites que se usan en cada etapa.

S O L U C I O U Conforme x se hace mas grande, tanto el numerador como el denominador se

hacen mas grandes, pOl'10tanto no resulta evidente que sucede con su proporci6n. Nece

ta hacer algunas operaciones algebraic as preliminares.

Para evaluar el limite en el infinite de una funcion racional, divida el numerador y

denorninador entre la mayor potencia de x que hay en el denominador. (Puede supone



que x :;6 0, puesto que solo esta interesados en los valores grandes de x.) En este cas

mayor potencia de x en el dominador es r', con 10 cual tiene

134 IIII CAPiTULO 2 LIMITESY DERIVADAS

}'

F IG U R A 7

3x2-x- 2

y= 5x2+ 4x+ 1

3x2 - X - 2l fm -- :: - -- - --x-» 5x2 + 4x + 1

1 23 ----

x2 X x2lim --0:----- =fm -----x-'" 5x

2 + 4x + x-'" 4 15+-+-

X

x"

tp or la le y L Ie lo s Limitcs

(por I,2 y 3)

1 1lim 5 + 4 Iim - + lim 2""X~-X- X-:Jo';l'.; X .(--"'"00 X

3-0-05+0+0

3=

5

(por 7 Y el tcorcma 5)

Un calculo semejante hace ver que ellimite cuando x ~ -00tambien es ~. En la f

se ilustran los resultados de estos calculos mostrando como Ia grafica de la funci6n

cional dada se aproxima a la asfntota horizontal y =~

EJH<1PLO 4 Determine las asfntotas horizontaIes y verticaIes de Ia grafica de Ia funcio

j(x) =2X 2 + 13x - 5

W lU C IO N A I d i v i d i r tanto el numerador como el denominador entre x y aplicar las p

dades de los lfrnites tiene

R3-~

x

J2+O =J 23-5'0 3

1Ifm2 + Ifm-

2X-'!oo:l x~oo X

1lim 3 - 5lfm-:t-~OO X->--:CI X

POf 10 tanto, la recta y =2/3 es una asfntota horizontal de la grafica dej.

Si ca1cula ellfmite cuando x ~ -00, debe recordar que para x < 0,

tiene }Xi =x I = -x. De donde, al dividir el numerador entre x, para

x < Oobtiene

1 1 R.J2x2 + 1=__-.J2X2 + 1=- 2 + -x }Xi Xl



J 2)=3

)'

F IG U R A 8

.fbi+!v= 3.\"- 5

W I Pu ed e co os id ers r q ue la fu nc i6 n d ad a tie ne

un denom in ado r de 1.

F IG U R A 9

y

y =, jx 2 + 1 - x

SECCION 2.6 LfMITES AL INFINITO. AslNTOTAS HORIZONTALES IIII

POl'10 tanto,

2 +!fm 0

_ - - - - ' - _ _ " _ ' - _ ' - _ " ' _ X _ " =_J23

J 2 X 2 + 1Hm = !fmx--'" 3x - 5 x--x 5

3 --x

, 13 - 5 lfrn -

.x-,.-oc X

Asi, la recta y =..[2/3 tambien es una asfntota horizontal.

Es probable que haya una asfntota vertical cuando el denominador, 3x - 5, es 0, e

decir, cuando x =~i x tiende a ~y x >~,despues el denominador esta cercano a 0

3x - 5 es positivo. El numerador J 2 X 2 + I siempre es positive, de modo que f(x) es

positivo. Por 10 tanto,

x J 2 X 2 + 1

3x - 5fm

.<-'(5/3)+

=0

Si x esta cerca de ~pero x <~,en seguida 3x - 5 < 0 y f(x) es grande y negativa. De

esta manera,

limx-,{5/3)-

J 2 X 2 + I3x - 5=-0

La asfntota vertical es x = ~.Las tres asintotas se ilustran en la figura 8.

E]EM PLO 5 C alcule lfrn (J x2 + 1 - x) .. T . . - - - - - - : : . ~

S O l U C I Q N Ya que tanto J x 2 + 1 como x son grandes cuando x es grande, es d i f f c i l

ver que sucede con su diferencia, por eso, use el algebra para escribir de nuevo la

funci6n. En primer lugar multiplique el numerador y el denominador por el radical

conjugado.

J X 2 + 1 + x.~ ~ ~ ( J X 2 + I-x ) =!~~~RTI-x ) R + - - r + X

(x2 + 1) - x2 1=im =im ---,===---

x-'" J X 2 + 1 + x x....,m J x 2 + 1 + x

Se podria aplicar el teorema de la compresi6n para dernostrar que este limite es O.Per

un metodo mas facil es dividir el numerador y el denominador entre x. Al efectuar

esto y aplicar las leyes de los lfrnites obtiene

lim ( J x 2 + 1 - x ) =im ~ =frn xx-'" X-'X x2 + I+ x x""' '' ' ~ + x

x

x=frn --;===~-

H+lo

J[+O+l=O

xEn Ia figura 9 se ilustra este resultado.

En la grafica de la funci6n exponencial natural y = e' tiene la recta y = (el eje x

como asintota horizontal. (Lo mismo se cumple para cualquier funci6n exponencial co



base a > 1.) En efecto, a partir de la grafica de la figura 10 y la tabla correspond

de val ores observe que

136 1 1 1 1 CAPiTULO 2 LlMITESY DERIVADAS

F I G U R A 1 0

In L a e stra te gia p ara re so Ive r p ro ble ma s p ara

e l e jem p lo 6 es introducir alga adicional(ve as e p aq in a 76 ). E n e ste c as o. 10 a dic io na l,

e l e le me nto a ux ilia t, e s la va ria ble I.

F IG U R A 1 1

lim x' = = co, lim x3 = = -co.J;:--:lJ. .[--00

Advierta que los valores de e' tienden a 0 con mucha rapidez.

x

x e t'

0 1.00000

-1 0.36788

-2 0.13534

-3 0,04979

-5 0.00674

-8 0.00034

-10 0.00005

i:1 EJEMPLO 6 Evahie lim e 1 / .' ..'(-)0-

W L U C l O t l Si hace que t=1/ x, sabe que t -'.> -00cuando x -'.> O~.Por 10 tanto, de acu

con (6),

lim ell' =im e'=j--"-J:.-

(Vease ejercicio 71.)

EjEt4PLO 7 Evalue Iim sen x,x _ _ _ , o c

S O L U C I O N Cuando x crece, los valores de sen x oscilan entre 1 y - 1 infinitamente a me

y , de este modo, no se aproximan a ningtin rnimero definido, Asi, lfmx-,o:.sen x no e

LiMITES INFINITOS EN EL INFINITO

La notaci6n

lfrn f{x) =J:)

X--,,"?'.l

se usa para indicar que los valores def(x) se agrandan cuando x se hace grande.

cian significados semejantes a los sfmbolos siguientes:

lim f(x) =J:)

.t-)o~C:

lim f{x) =CJ:)

x _ _ _ , o olim f{x) = -CJ:)

X-)o-~

EjEMPLO 8 Determine Iim x3 y lfm x3•x-::,,'X" . t---+~C>: ;-

S O L U C I O N Cuando x se incrementa, tarnbien 10 hace x3• Por ejernplo,

1003=1000000 10003=1000000000

En efecto, puede hacer a ~ tan grande como quiera incrementando de manera sufi

a x. Por 10 tanto,

de manera similar, cuando x toma un valor negativo grande, asf es x3, En estos ter

lfrn x3 =-00

.t~-~

Asimismo, eatas proposiciones de los lfmites se pueden ver en la gnifica de y=

figura 11.



100

FIGURA 12

e' es tan grande como .\'3

cuando x es grande.

-16

F IG URA 13

y =(x - 2)4(X + 1)3(x - I)

SECCION 2.6 LfMITES AL INFINITO. AsiNTOTAS HORIZONTALES IIII

Al exarninar la figura 10 observe que

Ifm e X =0

pero, como se muestra en la figura 12, y =" se hace grande cuando x -7 00 can muc

mayor rapidez que y=3•

EJEMPlO 9 Encuentre lim (x 2 - x) .x-~~

~ S O L U C IO N Advierta que no puede escribirx

lim (x 2 - x) =11mx2 - lim x =o - co

x_x .-- x - -Las leyes de los lfrnites no se pueden aplicar a los lfrnites infinitos porque 00 no es un m

mero (00 - 00 esta indefinido). Sin embargo, puede escribir

lim (x 2 - x) =Hm x(x - 1)=0

:t-)~ x-:>--:>::

porque tanto x como x-I se hacen arbitrariamente grandes y, por 10 tanto, tambien

su producto.

x2 + xEJEM PlO 10 Encuentre lim .

x-'" 3 - x

S O L U c r O N Como en el ejemplo 3, divida el numerador y denominador entre la potencia

mas alta de x en el denominador, que es justamente x:

x2 + X X + 1

lim --- = Ifm --- = -cox-'" 3 - x x->'" 3

- - 1x

porque x + I --'> 00 Y3/x - 1-7 -1uando x -7 00.

En el ejemplo siguiente se muestra que al analizar Ifmites infinitos en el infinito, jun

can intersecciones, es posibIe lIegar a tener una idea general de la grafica de un polinomi

sin tener que graficar una gran cantidad de puntas.

~ EjEMPLO II Trace la grafica de y = (x - 2)4(X + Inx - 1) can ayuda de las

intersecciones y sus lfmites cuando x --'> 00 Ycuando x -7 -co.

S O L U C I O N La intersecci6n can el eje y es f(O) =- 2 )4 ( 1 )3 ( - 1 ) = -1 6 y los cortes con el

eje x se encuentran al hacer y =: x =, -1, 1. Observe que-como (x - 2) 4 es positiv

Ia funci6n no cambia de signo en 2; de este modo, la grafica no corta el eje x en 2. La

grafica corta el eje en -1 1.

Cuando x adquiere un valor grande y positivo, los tres factores son grandes, de modo qu

lim (x - 2)4(X + 1)3(x - 1)=ox ..........c

Cuando x tiene un valor grande y negativo, el primer factor toma un valor grande y

positivo y el segundo y el tercer factores son grandes negativos, par 10 que

lim (x - 2 )4(X + 1)3(x - 1)=ox)o-x

Al combinar esta informacion, obtiene un esbozo de la grafica en la figura 13.



DEFI


FIGURA 14

lfrn j{x)=L1;.--.00:,.

FIGURA 15

Ifmj(x)=L

EXACTAS

La definicion 1 se puede establecer precisamente como se indica a continuacion.

III D E F I N I C I O N Seafuna funcion definida en algiin intervale (a, co). En tal ca

1 1 m f(x) =L.!,;_:T.:

significa que para toda e > 0 hay un numero correspondiente N tal que

si x > N entonces If(x) - LI < e

En Jenguaje cormin, esto establece que los valores de f(x) se pueden hacer

mente cercanos a L (dentro de una distancia e, donde e es cualquier mirnero pos

hacer que x tome valores suficientemente gran des (mas grandes que N, donde N

de e). Desde el punto de vista grafico, esto plantea que al escoger valores gran d

(mayores que algun mimero N) es posible hacer que la grafica defse situe entre

tas horizontales y = L - e y y = L + e como en la figura 14. Esto se tiene que

sin que importe que tan pequefio sea e. En la figura 15 se ilustra que si se escog

valor pequefio de s, despues se podrfa requerir un valor mayor de N.

y

y=L +e

N x

donde ,r estri aqui

y

N x

De igual rnanera, una version exacta de la definicion 2 se proporciona me

definici6n 8, la cual se ilustra en la figura ]6.

[!] D E F I N I C I O N Seaf una funcion definida en algun intervalo de (-co, a). P

tanto,

lfrn f(x) =L.\."....,.-~

quiere decir que para toda e > 0 hay un mimero correspondiente N tal que

si x <N entonces If(x) - LI < e



F IG U R A 1 6

limf(x)=L_l-~- oc

I y=O.7

y"'O.5

3x'-.I·-2

y "" 5x' + 4. , + 1

.,_.__~_~ , ~ .J 1 5

o

F IG U R A 1 7

SECCION 2.6 UMITESAL INFINITO, AsiNTOTAS HORIZONTALES 1 1 1 1

YA

y=f (XI

y=L+s

N o x

En el ejemplo 3 se calculo que

3x" - x - 2 3lfm--::-o----,-,,, 5x- + 4x + 1 5

En el ejemplo siguiente se utiliza una calculadora 0 computadora para relacionar

enunciado de la definici6n 7 con L = ~y 8 = 0.1.

EjU1PLO i2 Mediante una grafica determine un numero N tal que

si x >N entonces

1

3x2

- X - 2 I' - 0.6 < 0.1

5x- + 4x + I

S O L U C I O t l Reeseriba la desigualdad como

3x" - x - 20,5 <" < 0.7

5x- + 4x + ]

Es necesario determinar los valores de x para los cuales la curva dada queda entre las

rectas horizontales y = 0.5 Y y = 0.7, La curva y las rectas estrin graficadas en la figura

Luego, por medio del cursor, se estima que la curva cruza la recta y =.5 cuando

x =6.7. A [a derecha de este rnimero, la curva se localiza entre las rectas y =.5 y

y=0.7. Efecnie un redondeo y despues

si x> 71

3X2 - X - 2 1 -" - 0.6 < O ,}

Sx- + 4x + 1entonces

En otras palabras, para 8=.] puede elegir N= (0 cualquier otro mimero mayor)

la definici6n 7.

EjEMPLO !3 Mediante la definicion 7 demuestre que lfrn _ ! _ =O.x-)-~ X

S O L U ( I O t l Dado 8> 0, busca N tal que

si x >N entonees 1 ~ - 0 1 < 8

AI ealcular el lfmite podrfa suponer que x> O. En tal caso l/x < 8 < = > X > lie.

Seleccione N = 1/8.De esa manera

si1

x>N=-8

entonces



140 1 1 1 1 CAPITULO 2 LiMITESY DER!VADAS

De donde, segun la definicion 7,

lim _ ! _ =0;(-~X X

En la figura 18 se ilustra la demostraci6n en la que se muestran algunos valores de

los valores correspondientes de N.

v " ' Y Y

\. \

\C=l\ ~-c=0.2 e -0.1

~\0 N=l x ~o N=5 x - - - \ N=

\\

\\\

\\

\

FIGURA 18

Para finalizar, observe que se puede definir un limite infinito en el infinito COm

La representacion geometrica se proporciona en la figura 19.

[I] DEfINICION Sifes una funcion definida en algun intervalo (a, (0). entonees

lim f(x) =0x-:.:;.c

signifiea que para todo mimero positivo M hay un mimero positivo correspondie

N tal queN

si x >N entonees f(x) >MFIGURA 19

lim f(x}= cox .... :;

Definieiones similares son validas euando el sfmbolo 00 se reemplaza con -00.

ejercicio 70.)

_.~ EJERCICIOS

1. Explique con sus propias palabras el significado de cada una de

las expresiones siguientes.

(d) lim f( .. );(_~:ll

(e) lim f(x). (_ . ~G

(a) 11m f(") =,'.-.~

(f) Las ecuaciones de las asfntotas.b) lim f(x) =]:~)o--;c

r n (a) i,La grafica de y =(x ) se puede intersecar con una asfntota

vertical? i,Se puede intersecar con una asfntota horizontal?

Ilustre trazando graficas.

(b) i,Cuanlas asintotas horizontales puede tener la grafica de

y =f(x)? Trace graficas para ilustrar las posibilidades.

)

I

L / /'- " - V II

1

/ \ . . .l-

I 1 .\

(

I f

3. Para la funcion f cuya grafica se ilustra, de 10 siguiente:

(a) lim f(x) (b)!fm f(x) (c) 11m f(x)_r~~1 .t-~]- ,.,;-.-1+



4. Pam la funci6n g cuya grafica se ilustra. proporcione 10

siguiente:

(a) lim g(x)~ _~ct:

(b) lim g(x).I:-.~''Y

(e) Jim g(x)_..~~3

(e) lfrn + g(x)c t ~ , , ~ 2

(d) lim g(x).t-~O

(f) Las ecuaciones de las asintotas.

y1 1 1

!\ rr-

/'-.

IJ

if (\ 0 1 /2 .\

Ir - - - - r-, / !

I

5-10 Dibuje el ejemplo de una funei6nfque satisfaga todas las

condiciones dadas.

5 . fr O) = 0, f(1) =, lfm f(x) =, f es impar>\"~~:

6. lim f(x) =0, lfm f(x) =00, lim f(x) =,l-~O- l:~·O- c\-"'~

1 1 m f(x) =l'·'·~--%

if.1lfm f(x) = -00, lfm f(x) = 00, lfm f(x) = 0,'~ .r-'::' .\_~:::r:: .t-----;--;.::

lfm (x) = 00, Ifrn f(x) =00x -~o+. .\'-0-

8. lim f(x) = ce, Iim f(x) =, lim f(x) =3r-~ -1 x __ . - ~ x~:t;

9 . f rO) =, lim f(x) =, Ifm f(x) =,.~-o- .t-~O"

lfm f (:c) =00,.~-~ -:;<

lfm f(x) =(X, lim f(x) = ce ,x--4- _,,-~4-

lfrnf(x) =,~_.:Jo:

10 . Ifrn f(x) = -(X, lfm f(x) =, f rO) =, f es par.r ~~3 .\'-~~

~ 1 1 . Determine el valor dellfmite

evaluando la funci6nf(x) = .-2/2' para x = 0, 1,2,3,4,5,6,7,

8,9, 10,20,50 Y 100. A continuacion, utilice una gr:ifica de f

para respaldar su eonjetura.

~ 12. (a) Use una grafica de

f (x) = I - ~ ) '

para estimar el valor de Ifmx-.",f(x) correcto hasta dos ci-

fras decimales

(b) Use una tabla de valores def(x) para estimar el llmite

hasta cuatro cifras decimales,

SECCION 2.6 LiMITESAL INFINITO,ASiNTOTAS HORIZONTALES III!

]3-14 Evahie un limite y justifique cada etapa sefialando las p

piedades adecuadas de los lfrnites.

3x2 - X + 413. lfm -"-, ----

x-'''' 2x- + 5x - 814. Ifm

12x3 - 5x + 2

I+ 4x" + 3xJ

15-36 Calcule ellfrnite.

15. Iim __ l_x-'~ 2x + 3

3x + 516. lfm---

,1-"'::; x - 4

1 - x - x217. Ifm ---:---

\'--~ 2x" - 7

2 - 3/18 . lim -_-,-~

v-v= .)y- + 4)'

(" + 220. Ifm 1 ,

J--~ t: + l " - I

~ :r3 + 5xi19.i lim ; ,L~ x-.x 2x - x- + 4

4u4 + 521 . Ifrn, 2

"-.,, (re - 2)(2 [ ( - 1 )

../9x6 - x23. lfm ---=-3--

x-·x X + I

: r+222. Ifm ~

"_,, v9x- + I

. ./ 9, (6 - X

24. lim -'-""";--x-·-z X + I

[ T h ] lfm (../9x2 + X - 3x),~_~'X:-

26 . lim (x + \lx2 + 2.1x-~-:t:'

2 7. lfrn ( . . / x 1 + a x - . . / x 2 + b x )x . . . . . : , .~

28. lim cos x,t-:'::

30 . Ifmv'?+l

31 . lim (x" + x5)x-~~..,;;

x 3 - 2x + 332. 1 1 m _< -------

,\'-~ 5 - 2x"

33. lfrn1- e'

1 + 2e'34 . Ifm tan-!(x2 - x" )

,T~·:t:

35 . lim (e-2' cos x):I-~:;:;

36. Ifm e '" " ,.1-,·b/2)·

~ 37. (a) Estime el valor de

!fm (v'x1+x+ 1 + x)x~·-:;.:;

dibujando la funci6n f (x) = ../x2 + X + I + x.

(b) Use una tabla de valores def(x) para conjeturar el valo

limite.(c) Pruebe que su conjetura es correcta,

~ 38. (a) Use una gr:ifica de

f(x) = v '3x2 + 8.1 :+ 6 - ../3x2 + 3x + I

para estimar el valor de lim,-"f(x) hasta una cifra

decimal.

(b) Use una tabla de valores def(x) para estimar el lfrnite h

cuatro cifras decimales.

(c) Halle el valor exacto del l imite.



142 IIII CAPiTULO 2 LiMITESY DERIVADAS

39-44 Hallar las asfntotas horizontal y vertical de cada curva. Si

tiene un dispositive graficador, verifique su trabajo graficando la

curva y estimando las asintotas.

39 2:.:+ I.y=~ 40. y =y2 - 3x - 2

X ' - x43. v = ~o ----

.' .. -6x+5

2e'44. y =:' - 5

8§j 45. Estimar la asintota horizontal de la funcion

3x1 + 500).2f ( x ; ) = --:;--...,.---;----~

. X ' + saar + 100x + 2000

mediante I a g r a fi ca defpara -10 "'" .\ ' " '" 10 . D espues calcule

la ecuacion de la astntota evaluando el Ifrnite. i,Como explica la

discrepancia?

8§j46. (a) Grafique la funcion

v'27+lf(x) = 3x - 5

i,Cuuntas asfntotas horizontales y verticales observa? Use la

grafica para estirnar el valor de los limites

J2X1 + Il frn --' -- -- -,-.~ 3x - 5

y

(b) Calcular los valores de f(x). proporcione estimaciones

numericas de los limites del inciso (a).(c) Calculnr los valores exactos de los 1fmites en el inciso (a)

obtenga el mismo valor 0 valores diferentes de esos dos

Ifmites [con respeeto a su respuesta del ineiso (a), tendra

que verificar su calculo para el segundo limite].

47. Encuentre una formula para una funcionj" que satisfaga las

condiciones s i g u i e n t e s :

lim f(x) =, lfm I(x) = -00, f(2) =,x~· 1:;.:; X~~O

lim f(x) =/.l, lfm f(x) =C/.l

T~':l-- ,l;-~J~~

43. Plantee una formula para una funcion cuyas asfntotas vert icalesson x = I y x = 3 y asfntota horizontal y = I.

49-52 Determine los lfrnites wando x ->00Y cuando x --'> -C/.l.

Util ice esta informacion junto con las intersecciones para conseguir

un esbozo de la grafica como en el ejemplo 11.

50 . y = x 3(x + 2f(x - I)

51 . y =3 - x)(l + x)"O - x )"

52 . ) '=2 ( . ~ - 1) 2 ( X + 2)

53. (a) Aplique el teorema de la cornpresion para evaluar

lfrn senx..r-"o:. . : . . ."

8§j (b) Grafiquef(x) = (sen xs]». i.Cuuntas veces la gnific

la aslntota?

r n 54. Por comportamiento (II final de una funci6n debe dar a

entender una descripcion de 10que sucede a sus valore

x ->00Y cuando x ->-00,

(a) Describa y compare el comportamiento al final d

funciones

P(x) = 3.0 ' - 5.~+ 2~ Q(x) = 3.0'

dibujando las dos funciones en los rectangulos d

lizacion [ -2,2] por [-2,2] y [- 10, 10]por [-10

10000].

(b) Se dice que dos funciones tienen ei mismo compor

al filial si su relacion tiende a I cuando x __....0.De

que P y Q tienen el mismo comportamiento al fina

~ Sean P y Q dos polinomios. Encuentre

I' P(x)11l1--.,-.x Q(x)

s i el g r a d o de Pes (a) menor que el grado de Q y (b ) m

que el grado de Q.

56. Haga un boceto aproximado de la gnifica de la curva y

un entero) para los cinco casos siguientes:

0) /1 = 0 (ii) Il> 0, 1 1 impar

(iii) n > 0, Ilpar (iv) Il< 0, n impar

(v) n < 0, 11 par

Despues use estos bocetos para encontrar los limites s

(a) Ifm .r"

.t~O+

(b) Ifm x"

, ~~o~(c) lfm .r" (d) lim . J . : "

, '--:<:;

!ill Determine Ifm,._~.f(x)si, para toda x> 1 ,

1 01 :' - 21 () 5 JX2e' <Ix < rx=-T

58. (a) Un deposito contiene 5 000 L de agua pura, Se bor

salmuera que contiene 30 g de sal POf litro de agua

deposito a una proporcion de 25 L/min. Demuestre

la concentracion de sal t rninutos despues (en gram

litro) es

30tCrt) = 200+ t

(b) i.Que sucede con la concentraci6n cuando t ->co?

59. En el capftulo 9 se demostrara que, segun ciertas hipo

In ve locidad vet) de una gota de Iluvia que cae, en el

t, es

vet) = v*(i - e-gl(.')

donde g es In aceleracion debida a In gravedad y v*

velocidad terminal de lu gota de lluvia,

(a) Encuentre Ifm,-,~ v(t).



(b) Trace la grafica de v(r) si v* = 1 m/s y g = 9.8 m/s2•

i.Cuanto tiernpo transcurre para que la velocidad de la gota

de agua alcance el 99% de su velocidad terminal?

60. (a) Mediante el trazo de y = e-"/ lO y y = 0.1 en una panralla

comun, descubra cuanto tiene que aumentar x de modo que

e -,flO < 0.1.

(b) i,Puede resolver el incise (a) sin un aparato graficador?

Mediante una grafica determine un mlmero N tal que

s i x >N entoncesI

3X1 + ] . I?

' 1 - 1.5 < 0.05_.1:- + x +

En el caso del lfrnite

-/4x2 + 1lim = 2.,-.~ x + I

ilustre la definicion 7 mediante la determinacion de valores de

N que corresponden a e=.5 y s=.1.

-/4x1 + Ilfm =-2

x+l

dcrcrrninando valores de N que corresponden a s :=.5 y

E: = 0.1.

8j64 . Ilustre la definicion 9 para el limite

2x + Ilfrn = 00

"-.~~

calculando valores de N que corresponden a M =00.

SECCION 2.7 DERIVADAS Y RAZONES DE CAMBIO Illi

[ill(a) i,Que tan grande tenernos que hacer x para que1/).2 < 0.0001?

(b) AI hacer r= en el Teorema 5, tenemos la proposicion

, 1hm ---;-=,(~:r; J::'-

Demuestrela directamente aplicando la Definicion 7.

66. (a) l.Que tan grande tenemos que hacer x para que

1 / , f X < 0.0001?

(b) Al hacer r=:\n el Teorema 5, tenemos la proposicion

~~~!x =Dernuestrela directamente aplicando la Definicion 7.

67. Aplique la Definicion 8 para demostrar que lim ~ =O.. ~ _ . ~ ' X ~y

68. Demuestre mediante Ia Definicion 9 que lim xJ =0..\~-CJt

69. Mediante Ia definicion 9 demuestre que

lim e'=0

70 . Formule una definicion exacta de

lim f(x) = -00

J~~-:l!;

Luego aplique su definicion para demostrar que

lim (I+ x') = -cox-~~~

71 . Demuestre que

1 1 m f(x) = Ifm f(1/t),\.......,.2: r-~O'"

y lim f(x) =im fO/ t ).l,;-~~ l~'O-

si existen los limites.

~~~~~~~~§~ DERIVADAS Y RAZONES DE CAMBIO

EI problema del hallazgo de la lfnea tangente a una curva y el problema del descubrimie

to de Ia velocidad de un objeto, involucran el hallazgo de la rnisma clase de limite, co

se via en la seccion 2.1. Esta clase especial de lfmite se denomina derivada y puede

interpretada como una razon de cambia en cualquiera de las ciencias 0 ingenierfa.

TANGENTES

Si una curva C tiene la ecuacion y=(x ) y quiere hallar la tangente a C en el punto P(a,j(a)

entonces considere un punta cercano Q(x,j(x)), donde x o p a, y calcule lapendiente de la I

secante PQ:

f(x) - f(a)

x- a

En seguida, acerque Q a Palo largo de la curva C, hacienda que x tienda a a. Si

tiende a un mimero Ill, despues defina la tangente t como la recta que pasa par Pe




y

i(x)- ira)

a x

F IG U R A I

Fo rm a p un to -p en die nte p ara u na re cta q ue

p as o p or e l p un to ( XI - ) ', ) c o n p e nd ie n te Ill:

)'- )',=m(x - x,)

Ii:i!3 V i su al 2 .7 m u estr a u na a nim ac i6 n

d e la f ig u ra 2 .

(1,1)

pendiente m. (Esto equivale a decir que la recta tangente es la posici6n Ifrnite de la

cante PQ cuando Q tiende a P. Vease la figura 1.)

x cuando el Ifmite existe.

r n DEFINICION La recta tangente a la curva y =(x ) en el punto P(a,f(a))

recta que pasa por P con pendiente

f(x) - f(a)In = Ifm ...o:__:-,---,,-,-.:....

X-)oCl X - a

En el primer ejemplo, se confirma la suposicion hecha en el ejemplo 1 d

ci6n 2.1.

i3l! EJEMPlO ! Encuentre una ecuaci6n de la recta tangente a la parabola y=l,

punto P(l, 1).

S O l U C I O N En este case, a = Yf(x) = x', de modo que la pendiente es

x

m=frn f(x) - f(l) =im x2

-

.<-->1 x-I x-·I x-I

=im (x - 1)(x + 1)

x-I X - I

=im (x + I) =1 + 1=x-l

Con la forma punto-pendiente de la ecuaci6n de una recta, se encuentra que una e

de la recta tangente en (1, 1) es

y - 1 = 2(x - 1) o bien y=2x-l

A veces se hace referencia a la pendiente de la recta tangente a una curva en

to como la pendiente de la curva en el punto. La idea es que si se aeerca 10 suf

punto, la eurva pareee una linea recta. En la figura 2 se ilustra este procedimiento

cur va y =2 del ejernplo 1. Entre mas se aeerque, la parabola mas pareee una

otras palabras, la eurva casi se vuelve indistinguible de su recta tangente.

1.5; : .- =+r__ -.,_ 1. 1

(l,l)r

(l,l)

1. 5 l0.9

F I G U R A 2 Acercamiento hacia eLpunto (1,1) sobre Laparabola y =.'(2

Existe otra expresi6n para la pendiente de la recta tangente que a veces es mas fac

Si lt= - a, en este caso x= + h y as! la pendiente de la lfnea seeante PQ es

f( a + h) - f(a)nlpQ =

h



}'

Q (a + lr,f(a+ hl }

t Z

f(a+ h ) - f(a)

~a a+ 11

F IG U R A 3

F IG U R A 4

posicion en el

instante

posici6n en el

instante/=a t=a+ h

1 !o

f(a + 11)- fla)

l-f(a)--4

I · f(o + h) ---+

F I G U R A 5

f(a + h) - f(a)IIlPQ= II

= v e lo ci da d p rom ed io

F IG U R A 6

SECCION 2.7 DERIYADASY RAZONES DE CAMBIO 1 1 1 1

(Vease la figura 3, donde se ilustra el caso h > 0 y Q esta a Ia derecha de P. Sin emb

si h < 0, Q estarfa a Ia izquierda de P.)

Advierta que, cuando x t iende a a, h 10 haee a 0 (porque h= - a) y, de este mod

expresi6n para Ia pendiente de Ia recta tangente, que se da en la definicion I, se convier

x

, f(a + Iz) - f(a)In=m -"-'--_'---"'-'-c_

11-0 h

EjEMPlO 2 Encuentre una ecuacion de Ia recta tangente a Ia hiperbola y = 3/x, en e

punta (3, 1).

S O L U ( I O N Seaf(x) =/x . Par 1 0 tanto, la pendiente de la tangente en (3, 1) es

3 - (3 + h )

, f(3 + h) - f(3) 3 + h 3 + hTn=im =f rn - -- -- =im -----

11-0 It h~O h II~O h

3

x

-h 1]=im = lim ---- = --iI-.O h(3 + h) 11-·0 3 + h 3

En consecuencia, una ecuacion de la tangente en el punto (3, 1) es

y - 1 = -~(x - 3)

la cual se simplifica hasta x + 3y - 6=

En la figura 4 se muestra la hiperbola y su tangente.

VELOCIDADES

s

En la seccion 2.1 se investigo el movimiento de una pelota que se dejo caer desde la

rre eN y se defini6 su velocidad como el Ifrnite del valor de las velocidades prom

sobre periodos cada vez mas cortos.

En general, suponga que un objeto se mueve a 10 largo de una linea recta, de acu

con una ecuaci6n del movimiento s=(t), donde s es el desplazamiento (distancia dir

del objeto respecto al origen, en el instante t. La funci6n f que describe el movimient

conoce como funcion de posicion del objeto. En el intervalo de t = a hasta t = a +cambio en la posicion esf(a + II) - f(a). (Vease la figura 5.) La velocidad promedio

este intervalo de tiempo es

desplazamientovelocidad prornedio =-....:..._----

nernpo

f(a + / z ) - f(a)

h

que es 10 mismo que la pendiente de Ia secante PQ en la figura 6.

Suponga ahora que calcula las velocidades promedio sabre lapsos [a , a + h ] mas y

cortos. En otras palabras, haga que h tienda a O. Como en el ejemplo de Ia pelota que

se definio la velocidad (a velacidad instantanea) v(a) en el instante t= como el l

de estas velocidades promedio:

v ( a ) =im - " .f _ ,_ ( a _ + _ h . : : _ ) _ - _ , , _ f. .: .. (a _ ; _ )

/r-O II



Esto significa que la velocidad en el instante [= es igual a la pendiente de la li

gente en P. (Compare las ecuaciones 2 y 3.)

Ahora que sabe calcular lfmites, vuelva a considerar el problema de la pelota que

146 IIII CAPiTULO 2 LlMITESY DERIVADAS

!!l R ecu erd e q ue e n la s ecc io n 2 .1 vim os q ue

la d is ta nc ia {e n m etro s] q ue re co rra la p ela ta

que cae una v el q u e t ra n s c ur r en I segundos

as 4 . 9 1 2

iii f'(a) se lee "f es fu ndamental de a".

~ EJEMP!.O 3 Suponga que se deja caer una pelota desde la plataforma superio

observaci6n de la Torre CN, 450 m sobre el nivel del suelo,

(a) l,CuaI es la velocidad de la pelota despues de 5 segundos?

(b) l,Con que velocidad viaja cuando choca contra el suelo?

SOLUC IOUecesita h allar la velocidad cuando t= y cuando la pelata golpea e

de tal rnanera, que es eficaz iniciar la btisqueda de la velocidad en un tiempo

t = a. Empleando la ecuaci6n de movimiento s = f(t) =.9t2, tiene

(), f(a + II) - f(a) ,4 .9(a + 1 1 ) 2 - 4.9(12

v a = hm =1m --'---'-----1,-'0 11 II-'(} li

, 4 .9(a2 + 2ah + 112 - (2) ,4.9{2ah + h2)= lfrn = hm-_:_---'-

h-O h iI-O h

=fm 4.9(2a + h) =.8(111-·0

(a) La velocidad despues de 5 s es v(5) =9.8)(5) =9 rn/s,

(b) Como la plataforma de observaci6n esta 450 m sobre el nivel del suelo, la pe

chocara contra el suelo en el instante ts , cuando s(ra =450; es decir,

4.9fT=50

Esto da

, 450tt -1 - 4.9

tl = { 4 5 0 =9.6 s\ j T . 9

Par 10 tanto, la velocidad de la pelota cuando choca contra el suelo es

DER IVADAS

Ha visto que surge la misma clase de lfmite en la btisqueda de Ia pendiente de u

tangente (ecuaci6n 2) 0 la velocidad de un objeto (ecuaci6n 3). En realidad, los li

la forma

, [ta + h) - J(a)lim ::"":'---""'::'-'--iI-·f) h

surgen cuando calcula una raz6n de cambio en cualquiera de las ciencias 0 en in

tal como la velocidad de reacci6n en quirnica 0 un costa marginal en economfa.

esta clase de limite sucede, muy seguido, se proporciona un nombre y notacion es

II] D E F I N I C I O N La derivada de una funclrin j" en un mimero a, se indica

mediante 1'(a), es

.f'(a) =im J(a + 11) - f(a)

11-·0 Ii

si este limite existe.



F IG U R A 7

SECCION 2.1 DERIVADAS Y RAZONES DE CAMBIO IIII

Si escribe X = + h , en tal case, tiene h = - a y h se aproxima a 0 si y solo si

aproxima a a. En consecuencia, una manera equivalente de estabiecer la definicion d

derivada, como se menciono en la busqueda de lineas tangentes, es

f'{) I' f(x) - f(a)a =ITI

.\'-".r:! X - a

I i : ! & EJE t<1PLO 4 Hallar la derivada de la funcionf(x) =Y - 8x + 9 en el rulmero a.

S O L U C I O N De la definicion 4 se tiene

1'(a) =im f(a + h ) - f(a)

1,-·0 II

, [(a + flr - 8(a + h ) + 9 J - [a2

- 8a + 9 J=hm~----~--~--~--~~~--------~

A-O fl

a2 + 2ah + 1 1 2 - 8a - 811 + 9 - a2 + 8a - 9=im------------------------------------

A-O 1 1

2ah + / z 2 - 811= lim = Ifm (2a + h - 8)

A-O h A-O

=(1 - 8

Defina la lfnea tangente a Ia curva y = f(x) en el punto P(a,j(a» como la linea

pasa a traves de P y tiene pendiente 111, proporcionada porIa ecuacion 1 0 2, ya q

mediante la definicion 4, es la misma que la derivada f'(a), ahora puede decir 10

guiente.

La Ifnea tangente a y = f(x) en (a,f(a» es la linea a traves de (a,j(a)) cuya pendiente

es igual af'(a), Ia derivada def en a.

Si usa la forma punto pendiente de Ia ecuacion de una Ifnea, puede escribir una ec

cion de la Ifnea tangente a Ia curva y =(x) en el punto (a,j(a»:

y - f(a) = f'(a)(x - a)

~ EjEMPlO 5 Halle una ecuacion de la linea tangente a Ia parabola y=2- 8x + 9 e

el punto (3, -6).

S O L U C ! O N Del ejemplo 4 sabe que la derivada de f(x) =2- 8x + 9 en el mimero

a esf'(a) =2a - 8. En consecuencia la pendiente de la linea tangente en (3, -6) es

f'(3) = 2(3) - 8=-2. En estos terrninos, una ecuacion de Ja lfnea tangente, se

muestra en Ia figura 7, es

y - (-6)=-2)(x - 3) 0 bien y =2x

RELACIONES DE CAMBia

Suponga que y es una cantidad que depende de otra cantidad x. Asi, y es una funci6n d

y escriba y = f(x). Si x cambia de Xl a X2, por 1 0 tanto el cambio en x (tambien conoc

como incremento de x) es



y el cambio correspondiente en y es

148 1 1 1 1 CAPiTULO 2 LiMITES Y DER IVADA S

raz6n promedio de cambio "" ml'Q

razon ins tantanea de cambio =

pendiente de la tangcnte en P

F IG URA 8

FIGURA 9

Los valores de)' cambian con rapidez

en P y con lentitud en Q

El cociente de diferencias

6.y j(X2 ) - j(x,)

6.x X2 - X ,

se llama razon de cambio promedio de y con respecto a x en el intervale [ X

puede interpretar como la pendiente de la linea secante PQ de la figura 7.

Par analogfa can la velocidad, considere la relacion de cambia prornedio en

cada vez mas pequeiios hacienda que X2 tienda a x, y, par 10 tanto, al hacer que

a O. EI lfmite de estas relaciones de cambio promedio se llama razon (instant

cambio de y con respecto a x en x =" 10 cual se interpreta como la pendiente

gente ala curva y=(x ) en P ( X l , J C t l » :

, d bi . I' 6.)' I' j (X 2) - f(x,)razon e cam 10 mstantanea = lIfl- =lin -"--:......::.:.__.J.x-'O 6.x x,-'x, X2 - X,

Reconocer este limite como la derivada j''(r.).

Sabe que una interpretacion de la derivadaf'(a) es como la pendiente de la

la curva y=(x ) cuando x =. Ahora tiene una segunda interpretacion:

La derivada r e a ) es la razon de cambio instantanea de y =(x ) con respe

cuandox = a.

EI enlace con la primera interpretacion es que si dibuja la curva y =(x),

nuaci6n la raz6n de cambia instantanea es la pendiente de la tangente a esta

el punta donde x=a. Esto significa que cuando la derivada es considerable

secuencia, la curva es escarpada, como en el punta P de la figura 9), los valor

bian rapidamente. Cuando la derivada es pequefia, la curva es relativamente

valor de y cambia lentarnente.

En particular, si s=(t) es la funci6n posici6n de una particula que se tra

largo de una Ifnea recta, despues r e a ) es la razon de cambia del desplazamien

respecto al tiempo t. En otras paIabras,J'(a) es fa velocidad de Laparticula en

t=a. La rapidez de Ia partfcula es el valor absoluto de Ia velocidad, es decir,

En el siguiente ejemplo se analiza el significado de la derivada de una fu

es definida verbalmente.

oEJEMPlO 6 Un fabricante produce un rolla de un tejido can un ancho fijo, El

producir x yardas de este tejido es de C=(x ) d6lares.

(a) i,Cual es el significado de la derivada.f'(x)? i,Cuales son sus unidades?

(b) En terrninos practices, i,que significa decir que.f'(lOOO) =?

(c) i,Que Ie hace pensar que es grande,f'(50) 0 bienj'(500)? i,Que hay con resp

.f'(5000)?

S O L U ( ! O N

(a) La derivadaf'(x) es Ia razon de cambio instantanea de C con respecto a

cir,f'(x) significa la raz6n de cambia del costo de produccion can respecto

de yardas producidas. (Los economistas Haman a esto rapidez de cambia de

marginal. Esta idea se analiza can mas detalle en las secciones 3.7 y 4.7.)



m E n e ste c a s o s u p a n g a q u e la f u n c id n c o s t e s e

c o n d u c e b ie n . e n o tr a s p a l a b r a s . C(x} n o o s c ila

r \ ip id a m e nt e c e re a d e x=0 0 0 .

I Dill

1980 930.2

1985 1945.9

1990 3233.3

1995 4974.0

2000 5674.2

SECCION 2.7 DERIVADAS Y RAZONES DE CAMBia 1 1 1 1

Porque

ilCf'(x) =lim -

ax-·O ilx

las unidades paraf'(x) son las mismas que las unidades para el cociente de diferenc

ilC/!lx. Ya que ilC se mide en d6lares y L l _ X en yardas, por 1 0 que las unidades paraf'(

son d61ares por cada yarda.

(b) El enunciado de que f'( 1000)= significa que, despues de fabricar 1000 yardastejido, Ia cantidad ala cual se incrementa el costa de producci6n es de 9 dolares/yard(Cuando x = 1000, C se incrementa 9 veces tan rapido como x.)

Ya que ilx =1 es pequefio si se le com para con x =1000, podrfa usarse Ia ap

ximacion

/'(1000) = ilC=ilC=lCilx I

y decir que el costo de fabricaci6n de la yarda 1000 (0 de la 1001) es de casi 9

lares.

(c) La proporci6n ala cual se incrementa el costo de producci6n (por cada yarda) p

bablemente es inferior cuando x=00 que cuando x =50 (el costo de fabricacion de

yarda 500 es menor que el costo de la yarda 50) debido a la economfa de proporci6n.fabricante hace mas eficiente el uso de los costos de producci6n fijos.) De manera qu

f'(50) >f'(500)

Pero, como se expande la produccion, el resultado de la operacion a gran escala sera

ficiente y con eso los costos de horas extras de trabajo. En estos terrninos es posible q

la proporci6n de incremento de costos pOI'u ltimo aumentaran. De este modo, es po

ble que suceda

f'(5000) >f'(500)

En el ejemplo siguiente estimara la proporci6n de cambio de la deuda nacional c

respecto al tiempo. En este caso, la funci6n no se define mediante una formula sino m

diante una tabla de valores.

~ EjEMPLO 7 Sea D(l) la deuda nacional de Estados Unidos en el tiempo t. La tabla e

el margen proporciona valores aproximados de esta funci6n siempre que se estime a fi

de afio, en miles de rnfllones de d6Iares, desde 1980 hasta 2000_ Explique y juzgue el

valor de D'(I 990).

S G L U C I O N La derivada D'(l990) significa que la raz6n de cambio de D con respecto at

cuando t=1990, es decir, la proporci6n de incremento de la deuda nacional en 1990.

De acuerdo ala ecuaci6n 5,

D'(l990) =Ifm D(!) - D(1990)r-.IIJI)()

t - 1990

Asf calcule y tabule los valores del cociente de diferencia (Ia raz6n de cambio promedi

como sigue.

D(!) - f)( 199(])I

1990-

1980 230,31

1985 257.48

1995 348 .14

2000 244 .09



ISO I 1 I 1 CAPiTULO 2 LfMITESY DERIVADAS

rill U t l A t l O T A S O B R E u n l D A D E S

L a s u n i d a d e s d e la r s z o n d e c a m b i a p r o m e d io

!1D/!!. t s on l a s u n id a d es d e ! ! . . D d iv id id as e n t r e

J as u n i d a d es d e ( ; ) . 1 , a s e a , d e d ola r e s p a r c a d a

a rio . L a r a zo n d e c am b ia in st a n t a ne a e s e l l im i t e

d e l a ra zo n d e c a m b i a p r o m e d io , d e e st e m o d o .

S8 m id e e n la s m is m a s u n id a d e s : m ile s d e

m i l la n e s d e d o la re s p a r c a da a na .

A partir de esta tabla se ve que D' (1990) se localiza en alguna parte entre

348.14 miles de millones de dolares por cada afio, [En este caso, esta haciend

sici6n razonable de que la deuda no fluctuara de manera erratica entre 1980

estima que la proporcion de incremento de la deuda nacional de Estados Unid

fue el promedio de estos mimeros, especfficarnente

D'(1990) = 303 miles de millones de dolares por cada afio

Otro metodo serfa una grafica de la funci6n deuda y valorar la pendientetangente cuando t = 1990.

En los ejemplos 3, 6 Y7 aparecen tres casos especfficos de razones de cam

locidad de un objeto es la raz6n de cambio del desplazamiento con respecto

el costo marginal es In razon de cambio del costo de producci6n con respecto

de artfculos producidos; la raz6n de cambio de la deuda con respecto al tiemp

teres en economfa. En este caso, es una muestra pequefia de otras razones de

ffsica, Ia raz6n de cambio de trabajo can respecto al tiempo se Ie denomina po

qufmicos quienes estudian una reacci6n qufmica estan interesados en la razon

de la concentraci6n de un reactive con respecto al tiempo (denominada ve

reaccioni. Un biologo se interesa en la re1aci6n de cambio de la poblaci6n d

nia de bacterias con respecto al tiempo. De hecho, el calculo de razones de

importante en todas las ciencias naturales, en Ia ingenierfa e, incluso, en las c

ciales. En la secci6n 3.7 se daran mas ejemplos.

Todas estas razones de cambio se pueden interpretar como pendientes de tang

le confiere un significado adicional a la solucion del problema de la tangente. S

resulva problemas en que intervienen rectas tangentes, no resulve 5610un proble

metria. Tarnbien resuelve implfcitamente una gran variedad de problemas de la

ingenieria en que intervienen razones de cambio.

EJERel CI as

I. Una curva tiene la ecuacion y =.r(x).

(a) Bscriba una expresi6n para Ia pendiente de la recta secante

que pasa por los puntas P(3,j(3» y Q(x,.f(x».

(b) Escrlba una expresion para la pendiente de la recta

tangente en P.

r n 2. Dibuje la curva y = e' en los rectangulos de visualizacion

[ -I, I] par [0, 2], [ -0.5, 0.5] por [0.5, 1.5] Y [ -0.1, 0.1] por

[0.9, 1.1].l.Que advierte aeerca de la curva conforme hace un

aeercamiento hacia el punto (0, I)?

3. (a) Halle la pendiente de la Ifnea tangente a la parabola

y=x - x - en el punto (1,3)

(i) usando la definici6n I (ii) usando la eeuaci6n 2

(b) Encuentre una ecuacion de la recta taugente del

inciso (a).

~ (e) Dibuje la parabola y la tangente. Como verificacion de su

trabajo, haga un acercamiento hacia el punto (1,3) hasta

que In parabola y la tangente sean indistinguibles ,

4. (a) Encuentre la pendiente de la tangente a la curva

y = x - x" en el punto (I. 0)

0) usando la definici6n I (ii) usando Ia ecuacion 2

(b) Halle una eeuaci6n de la tangente del inciso (a).

~ (e) Dibuje la curva y la tangente en rectangulos de visualizaci6n

cada vez mas pequeiias centradas en (I, 0) basta que parezcan

coincidir Ia curva y la recta.

5-8 Encuentre una ecuacion de la tangente a la curva e

dado.

x-Irn y =--, (3, 2)x-2

6. }'= 2 > : 3 - 5x,

m y =X , (1,1)2 . . > :

8. y =x + 1f '

rn (a) Determine la pendiente de la tangente a la curva

y = 3 + 4x" - 2x·1 en el punto donde x = a.

(b) Determine las ecuaciones de las tangentes en lo

(1, 5) Y (2,3).

(c) Grafique la curva y ambas tangentes en una m

pantalla.

10. (a) Determine la pendiente de la tangente a la curva

en el punto donde x=.

(b) Plantee las ecuaciones de las tangentes en los

(I, 1 ) y ( 4 , D .rn (c) Grafique la curva y las tres tangentes en una m

pantalla ,

11. (a) Una partfcula inicia moviendose a la derecha a 1

una lfnea horizontal; se muestra la grafica de su

de posicion. l.Cuando se mueve Ia partfcula a la

l.Cuando ala izquierda? l.Cuando perrnanece inm



(b) Dibuje una grafica de la funci6n velocidad.

s (met ros)I II

I I1 \ I 1/

i-

2 I \ 1/1i 1

!

0 2 4 6 t (segundos)

12 . Se muestran las graficas de las funciones de posicion de

dos competidoras, A y B, quienes compiten en los 100m y

terminan en empate.

(metros) "-----,----1-----

80~~~---t.~I"74V';-I+-_1

~V

o 8 1 2 I (segundos)

(a) Relate y compare c6mo desarrollaron la competencia.

(b) i,En que momenta Ia distancia entre las competidoras es la

mas grande?

(e) i,En que momento tienen la misrna velocidad?

!ill Si una pelota se lanza al aire hacia arriba, con una velocidadde 40 ft/s, su altura (en ft) una vez que transcurren I

segundos, esta dada por y =0 t - 16t". Encuentre la

velocidad despues de I=.

14. Si se lanza una roca hacia arriba en el planeta Marte con

una velocidad de 10 m/s. su altura (en metros) despues de

Isegundos se conoee por H =Ot - 1.86t".

(a) Halle la velocidad de la roca despues de un segundo.

(b) Halle la velocidad de la roca cuando I=.

(e) i,Cuando incidira en la superficie la roea?

(d) i ,Con que velocidad la roca incidini en Ia superficie?

15. EI desplazamiento (en metros) de una particula que se mueve

en linea recta esta dado por la ecuaci6n del movimiento

s = 1/1", donde I se mide en segundos. Halle la velocidad de

In particula en los instantes t = a, I=, t= y I=.

16; EI desplazamiento (en metros) de una partfcula que se mueve

.: t~.,en linea recta esta dado por s= - 81 + 18 , donde I se mide

en s e g u n d o s

(a) Encuentre la velocidad promedio en cada intervalo de tiernpo

(i) [3,4] (ii) [3.5,4]

(iii) [4, 5 ] (iv) [4,4.5]

(b) Halle la velocidad instantanea cuando [=.

(c) Dibuje la grafica de s como funcion de Iy trace las rectas

secantes cuyas pendientes son las velocidades promedio del

inciso (a) y la recta tangente cuya pendiente es la velocidad

instantanea del inciso (b).

r i l l · Se proporciona la grafica de la funci6n g, reordene los ruimeros

/ siguientes en orden ereciente y explique su razonarniento,

a g'( -2) g'(O ) g'(2 ) g'(4)

SECCION 2.7 DERIVADAS Y RAZONES DE CAMBIO 1 1 1 1

) ' A

y=g{xJ

4 x3

[J]J (a) Halle una ecuaci6n de la linea tangente a la grafiea de

y = g(x) en ,r = 5 si g(5) = -3 Yg\5) =.

(b) Si la linea tangente a y = f(;o:) en (4. 3) pasa a traves d

punto (0. 2), haHef(4) y f'(4).

[J]J Dibuje la grafica de una funci6n f para la cual frO) = 0,

/,(0)=,/'(1) = 0 y /,(2) = - I.

20 . Dibuje la grafica de una funcion 9 para la que g(O) = g'(O) =

9 ' ( - 1)=-I,9 '(I) = y g'(2) = I.

21. Sif(x) = 3;0:2 - 5x, halle/'(2) y uti lice esto para hallar un

ecuaci6n de lu linea tangente a la parabola y =x" - 5;0:epunto (2, 2).

22. Si g(;o:)= -;0:>, halle g'(O) y uti l ice esto para hallar una

ecuaci6n de la linea tangente a la c ur va y = - x3 en el

punto (0, I).

~ (a) Si F(x) =: 0 : / ( I + x"), halle F'(2) utilice esto para

hallar una ecuacion de la linea tangente a la curva

y =x/(1 + x") en el punto (2, 2).

m (b) llustre el inciso (a) grafieando la curva y la Ifnea

tangente en la misma pantalla.

24. (a) Si G(x)=x" - x\ hallar O'(a) utilice esto para

eneontrar una ecuaci6n de la l fn ea tangente a In curva

y =x2 - : 0 : ' en los puntos (2, 8) Y (3, 9).

m (b) Ilustre el incise (a) mediante la grafica de la curva y la

Ifne a tangente en I IIIi sm a p an ta ll a.

25-30 Hallarf'(a).

25 . f(x) = 3 - 2, + 4x 2

2 1 + Jl ! Z : J f(t) =t+3

I29 . f(x) = r::-;-;:j

yx + 2

26. n» = t4 - 51

.r + I28 - . f(x) =-

x-2

30 . f(x) =3X+T

31-36 Cada Ifmite representa la derivada de alguna funei6nf e

algun mirnero a. Presente en eada easo lasfy a.

31 .(1 + 1 t) I O - I

32. lim~16 + It - 2

IfmI l " - - - - + O h ' ,-·0 Ii

n(]fm2' - 32

34.tanx - I

limx-~!i x~5 ,~.,,!4x - ' T 1 ' / 4

. . : > ' ! T h l eos( ' T 1 ' + II) + I [4 + 1-21 f l 1 l I 36. lim11-·0 1 I-~I t- I




37-38 Una particula se traslada a 10largo de una linea recta con

ecuacion de movimiento s=(t), donde s se mide en metros y ten

segundos. Halle la velocidad y la rapidez cuando t=.

37. f(t) =00 + SO t - 4 .9t2 38 . f(t) = t-I - t

[illSe coloca una lata tibia de gaseosa en un refrigerador frfo.

Grafique la temperatura de la gaseosa como funcion del

tiempo, l.La razon de cambio inicial de la temperaturaes mayor 0 menor que la relacion de cambio despues de

una hora?

40. Se saca un pavo asado del homo cuando su temperatura ha

alcanzado 185°F y se coloca sobre la mesa de un cuarto

donde la temperatura es de 75°F. En la gnifica se rnuestra

como disminuye la temperatura del pavo y, finalmente, tiende

a la temperatura del cuarto. Por medio de la medicion de la

pendiente de la tangente, estime la razon de carnbio de

Ia temperatura despues de una hora.

T (¢F)

200

I~1 ' - - . . pI'--

100 -.c 1-

0 30 60 90 120 150 I (min)

41. La tabla muestra el porcentaje estimado P de la poblacion

de Europa que uti liza telefono celular, (Se proporcionan

est imac iones sernes trale s. )

Ano 1998 1999 2000 2001 2002 2003

p 28 39 55 68 77 83

(a) Halle la raz6n de crecimiento prornedio de celulares

(i) de 2000 a 2002 (ii) de 2000 a 2001

(iii) de 1999 a 2000

En cada caso, incluya las unidades.

(b) Estime la razon de crecimiento instantanea en 2000

tomando el promedio de dos relaciones de cambio

promedio. l.Cuales son sus unidades?

(c) Estime la razon de crecimiento instantanea en 2000

rnidiendo la pendiente de la tangente,

42. En la tabla se proporciona el ruimero N de establecimientos

de una popular cadena de cafeterias. (Se dan los mimeros de

establecimientos al 30 de junio.)

Ailo ]')98 1999 2000 2001 2002

N 1886 2 lJ5 3501 4709 5886

(a) Determine la tasa media de crecimiento

(i) desde 2000 a 2002 (ii) desde 2000 a 2001

(iii) de 1999 a 2000

En cada caso incluya las unidades.

(b) Estime la razon de crecimiento instantanea en 20

considerando el promedio de dos relaciones de ca

promedio. l.Cuales son sus unidades?

(c) Estime Ia raz6n de crecimiento instantanea en 200

midiendo la pendiente de una tangente.

~ EI costa (en dolares) de producir x unidades de cierto ar

C(x) = 5000 + lOx + 0.05):2.

(a) Encuentre la razon de cambio promedio de C con

respecto a x, cuando se cambia el nivel de producci

(i) de x=100 a x=05

(ii) de x = 100 a): = 10 1

(b) Halle la razon de cambio instantanea de C con res

x, cuando x=00. (Esto se conoce como costo m

En la seccion 3.7 se explica su significado.)

44 . Si un tanque cilfndrico contiene 100 000 galones de ag

se pueden drenar por el fondo del dep6sito en I h, la le

Torricelli da el volumen V del agua que queda despues

minutos como

Vet) = 100 o o o ( 1 - : 0 r 0",; t"'; 60

Encuentre la rapidez con que fluye el agua hacia afuera

tanque (la razon de cambio instantanea de V con respe

a t) como funci6n de t. l ,Cuales son sus unidades? Para

instantes t=, 10, 20, 30, 40, 50 y 60 min, encuentre

y la cantidad de agua que queda en el tanque. Resuma

hallazgos en una oracion 0 dos. l.En que instante el gas

maximo? l.Cuando es minimo?

~ EI costa de producir x onzas de oro a pm1ir de una mina

reciente es C=(x ) dolares.

(a) l .Cua! es el significado de la derivada!,(x)? l.Cuales

unidades?

(b) l,Que significa enunciar 1'(800) = 17?

(c) l.Los valores de1'Cx) se incrernentaran 0 disminuir

corto tiempo, cual es su opinion? l,Y a largo plazo

Explique,

46 . EI n ume r o de bac te r ia s d e spu es de t horas en un experim

laboratorio controlado es n=er).

(a) l .Cual es el significado de la derivada!,(S)? l .Cuale

unidades?

(b) Considere que existe una cantidad de espacio y nut

para la bacteria. i,Cual es mayorj'{S) o!'OO)? S

se limita el suministro de nutrimentos, l.afectarfa

conclusion?

[illSea T(t) la temperatura (en OF)en Dallas t horas despu

medianoche el 2 de junio de 200 I. La tabla muestra los v

esta funcion registrada cada dos horas. l,Cual es el signi

de T'( IO)? Estime su valor.

I 0 2 4 6 8 10 12

T 73 73 70 69 72 81 g g



REDACcioN DE PROYECTO METODOSATICIPADOSPARALA BUSQUEDADETANGENTES IIII

48. La cantidad (en libras) de un cafe que es vendido por una

compaiHa en un precio de p dolares por cada libra es

Q =j(p).

(a) i,Cual es el significado de la derivadaj'(8)? i,Cuales son sus

unidades?

(b) J'(8) es positiva 0 negativa? Explique.

49 . La cantidad de oxfgeno que se puede disolver en agua depende de

la temperatura del agua. (De esa manera la polucion termica

induce el contenido de oxfgeno en el agua.) La grafica muesrra

como varia la solubilidad S de oxigeno como una Iuncirin de la

temperatura del agua T.

(a) iCual es el significado de la derivada S'(T)? i,Cuales son

sus unidades?

(b) Estime e interprete el valor de S/(16).

S A

(mgjL)

16

12

8 16 24 32 40 T (ac)

SO. La grafica muestra la influencia de la temperatura T

en la rapidez maxima sostenible de nado del salmon

Coho.

(a) i ,Cual es el significado de la derivada S'(T)? i,CmHes so

sus unidades?

(b) Estime los valores de S'(15) y S'(25) e interpretelos,

S(cm/s)

2 0

o2 0 T(OC)10

51-52 Establezca si existe.f'(O).

si x ¥ 0

si x = 0

si x ¥ 0

si x=

REDf\CCIOnDE Pf~O,(ECTQ

METODOS ANTICIPADOS PARA LA BUSQUEDA DE TANGENTES

{

Ixsen-

!iLl f(x) = 0 x

{

, Ix'sen -

52 . f(x) = 0 x

La primera persona en formular explfcitamente las ideas de los lfrnites y derivadas fue Isaac

Newton, en Ia decada de 1660. Pero Newton reconocio: "SI he visto mas 1ejos que otros hombre

es porque he estado parado sobre los hombros de gigantes." Dos de esos gigantes fueron Pierre

Fermat (1601·1665) y el maestro de Newton en Cambridge, Isaac Barrow (1630·1677). Newton

estaba familiarizado con los metodos que estos hombres habian aplicado para halJar rectas

tangentes y los metodos de ambos tuvieron que ver con la formulacion final del calculo a la

que lleg6 Newton.

Las referencias siguientes contienen explicaciones de estos metodos. Lea una 0 varias y escri

un informe en que compare los metodos de Fermat 0 de Barrow con los metodos modernos. En

particular, aplique el metodo de la seccion 2.7 para hallar una ecuacion de 1a recta tangente a la

curva y =x' + 2x en el punto (1, 3 ) y muestre c6mo habrian resuelto Fermat 0 Barrow el misrnoproblema. Aunque usted usa derivadas y ellos no, sefiale las semejanzas entre los dos metodos.

I. Carl Boyer y Uta Merzbach, A History oj Mathematics (Nueva York: Wiley, 1989),

pp. 389, 432.

2. C. H. Edwards, The Historical Development of the Calculus (Nueva York: Springer-Verlag,

1979). pp. 124, 132.

3. Howard Eves, AnIntroduction to the History of Mathematics, 6a. ed. (Nueva York: Saunders,

1990). pp. 391, 395.

4. Morris Kline, Mathematical Thought from Ancient to Modem Times (Nueva York: Oxford

University Press, 1972), pp. 344, 346.

8

4

o

A d a p ta d a d e E n V i ro n m e nt al S c ie n m : S c ie n re : U o 1 n g W i th in t be 5 ~ r em o f l Ia lU r e ,

2 d e d .; p o r C h a rle s E . K u pc he lla , © 1 9 8 9 . R e im p r es o . p o r a u to r i z a -

c io n d e P r en t ic e -H a l l, I nc . U p p e r Sadd l e R i ve r . N J



154 1 1 1 1 CAPiTULO 2 L1MITES Y DERIYADAS

~~~~~~~~3~ LA DERIVADA COMO UNA FUNCION

En la seccion anterior considero la derivada de una funci6n f en un mimero fijo

I T J "() I' f( a + 1 1 ) - f(a)t a =lIn-=-'------"'---. 11-·0 1 1

Ahora cambie su punto de vista y haga que el mimero a varfe. Si en la ecuacio

plaza a con una variable x, obtiene

j"() I' f( x + II) - f(x)x =1m

II~O II

Dado cualquier mimero x para el cual este limite exista, asigne a x el numeroj'{r).

do que consideref' como una nueva funcion, llamada derivada defy definida

de la ecuaci6n 2. Sabe que el valor de f' en x,f'(x), se puede interpretar geomet

como la pendiente de la recta tangente a la grafica defen el punto (x,f(x»).

La funcionj" se conoce como derivada de}: porque se ha "derivado' defpor

la operacion de hallar el lfrnite en la ecuacion 2. EI dominio de f' es el conjunto

existe} y puede ser menor que el dominio del

~ EJH1PLO En la fig ura 1 se muestra la grafica de una funcion j. Usela para

derivadaf' '

o x

y=flx)

F IG U R A 1

SO LU (IONPuede estimar el valor de l a d e ri v ada, en cualquier valor de x , t ra za ndla tangente en el punto (x,f(x» y estimando su pendiente. Por ejernplo, para

trace la tangente en P de la figura 2(a) y estime su pendiente como alrededor

de g , por tantoJ'(5) =1.5, Esto permite situar el punto P'(5 , 1.5) en la grafica

f' directarnente debajo de P. Si repite este procedimiento en varios puntos,

obtiene la grafica que se muestra en la figura 2(b). Advierta que las tangentes

en A, B Y C son horizon tales, de modo que la derivada es 0 alli y la grafica d

cruza el eje x en los puntos A I, B' Y C', directamente debajo de A , B y C. En

y B, las tangentes tienen pendiente positiva, par 10 que f '(x) es positiva alli.

entre B y C, las tangentes tienen pendientes negativas, de modo que .f'(x) es

negativa alii.



liE Visu al 2.8 m ue stra u na a nim ac i6 n d e

la fig ura 2 p ara d ife rs nte s fu nc io ne s.

SECCI6N 2.8 LA DERIVADACOMO UNA FUNC!ON IIII

y

B

y=f(x)

A

o

C

(a)

y= f'(x)

C'

o

FIGURA 2 (b)

~ EjEf·1PLO 2

(a) Si f(x) =3- x, encuentre una f6rmula paraf'(x) .

.(b) Ihistrela comparando las graficas defy f",

P

5

P'(5,1.5)

5

S O L U ( I O N

(a) Cuando se lisa la ecuaci6n 2 para calcular una derivada, hay que recordar que la v

riable es h y que x se considera ternporalmente como una constante, durante el calculodellfmite.

(), f(x + h) - f(x) I' [( x + hr - (x + h)] - [x" - x]

f' x =frn =im -=--::__-::__-__";;___:_---"-

Ii-.n h iI-O h

x3 + 3x 2 J z + 3x h2 + h3 - X - h - x3 + X

= lim -----------------iI-D h



156 !III CAPiTULO 2 LiMITES Y DERIVADAS

Aquf racionalice el nurncradcr.

(a) f i X ) ""-jx

o

I(b)f'ix""-

2.jx

FIGURA 4

FIGURA 3

x

x

(b) Use un aparato para trazar las graficas defy f' de la figura 3. Advierta quef'(x)

cuando ftiene tangentes horizontales y que 1'(x) es positiva cuando las tangente

pendientes positivas. De modo que estas graficas sirven como comprobaei6n de

solucion del inciso (a).

2

f

-2 -2

EjEM PLO 3 S i f(x) =;;:, encuentre l a d er iv a da de f.Establezca el dominio

5 0 l U ( I O n

"(r) ,f(x + 11)- f(x) . ' V x + h - JxJ x = lim = lim ....:....-----'--!J-,(l h ;'-,0 h

,(JX+h-Jx JX+h+Jx)=hm . ....:.,,==~--'-;=

11-,0 II Jx + Ii + Jx

(x + I I ) - x 1=im =fr n ---,,==----;=

!J-·O h(Jx + II + Jx) 11-·0 Jx + h + ,51 1

Jx + Jx = 2Jx

Observe que1'(x) existesi x> 0, de modo que el dominio de l' es (0, 00). Esteque el dominio dej, el cual es [0, =).

Compruebe que el resultado del ejemplo 3 es razonable observando las g

de j yr en la figura 4. Cuando x esta eerca de 0, Jx esta cerca de 0, per 10

1'(x) =/(2~) es muy grande y esto corresponde a las rectas tangentes ernpi

eerea de (0, 0) de Ia figura 4(a) y a los valores gran des de 1'(x) justo ala derech

la figura 5(b). Cuando x es grande,J'(x) es muy pequefio y esto corresponde a

tangentes mas aplanadas en la extrema derecha de la grafica defy la asmtota h

de la grafica de 1'.

1 - yE jEMPLO 4 Encuentre j" si f(x) =--~ .

2+x

S O l U ( I O t l

I- (x + h)

rex) = lfrn j(x + 11) - f(x) = lfm 2 + (x + h)

,,-.(] h I I~O h

1 - x---2+x

, (l - x - h )(2 + x) - (1 - x)(2 + x + h )=nn -'-----'-'---'-----...;_;_------'-Ii-,O h (2 + x + /z)(2 + x)

, (2 - x - 2 1 1 - x2 - xh) - (2 - x + II - x2 - xh)=1 m - - - - -- - - - -- - - - -- - - - - '-

1/-,0 h (2 + x + h ) (2 + x)

-3h -3 3=1m =im =-

11-·0 11(2+ x + h)(2 + x} 11->0 (2 + x + 11)(2 + x) (2 + x



~~N=IZ ~~~~ ~

G ottfr ie d Wilh elm le ibn iz n ac i6 e n Le ip zig ,

e n 16 46 , Y e stu dio le ve s, te o!o gia , f ilo so fia y

m ate ma tic as e n la u nive rs id ad d e a lii. O btu vo e l

q rad o de ba ch ille r a lo s 17 a no s. D esp ue s d e

log ra r su doc to rado en leyes a la edad de 20,

In gre s6 a l s srvic io d ip lo rn atic o y p as o

la m ayor parte de su vida via jando po r la s

c ap ita le s d e E ur op a, e n m is io ne s d ip lo m atic as .

E n p artic ula r, tra ba je p ara c on ju ra r u na

a m en aza r nilita r f ra nc es a c on tr a A le m an ia

e in ta nt6 re co nc ilia r las Ig le sia s c ato llc a V

protestante.

S u e stu dio s erio d e la s m ate rn atic as no s e

in ic i6 s in o h as ta 16 72 , c ua nd o s e e nc on tr aba

e n u na m is io n d ip lo rn atic a e n P aris . A lii

c on str uy 6 u na m aq uin a p ara re allza r c alc ulu s

y S 8 e nc on tro c an c ie ntif ic os , c om o H u yg en s,

q uie ne s d i rig ie ra n s u a te nc i6 n h ac ia lo s

d ss ar ro llo s m a s r ec ie nte s e n la s m a te rn atic as

y la s c ie nc ia s. L eib niz s e e m pe fi6 e n d es ar ro lla r

u na 16 gic a s im b6 1ic a V u n s is te ma d e n ota ci6 n

q ue s im plif ic ar a e l ra zo na rn ie nto lo gle o. E n

I~ v ers io n d el ca lcu lo q ue p ub lico e n 16 84

e sta ble cie la n otac i6 n y la s re glas pa ra h alla r

d eriva da s q ue a un s e u sa n e n la a ctu alid ad .Pa r d e sg ra cia , e n la d eca da d e 16 90 su rg i6

u na te rr ib le d isp ute e ntre lo s s egu id ore s d e

N ew ton y los d e l.e ibn iz a ce re a de q ui e n

h ab la in ve nta do e l c a Ic ulo . L eib niz in cl u sa fu e

acusado de p lag io pa r lo s m iem bras de la Real

A ca de mia d e In gla te rra. La ve rda d e s q ue ca da

un o 1 0 inve nt6 po r s ep ara do . N ew to n lIe g6

p rim ero a su ve rs io n d el ca lcu lo pe ro , d eb id o

a su tem or a la controve rs ia , no la pub lic6 de

in me dia to . Pa r ta nto , e l in fo rm e d e le ib niz

d el c ale ulo e n 16 84 fu e 8 1 p rim e ro e n p u bl ic a rs e .

SECCION 2.8 LA DERIVADA COMO UNA FUNCION 1 1 1 1

OTRAS NOTACIONES

Si usa la notacion tradicional y =(x) para indicar que la variable independiente es x

dependiente es y, en tal caso algunas otras notaciones comunes para la derivada son:

dy e lf df'(x) = y' = - = - = -j'(x) = Df(x) = Pd(x)

dx dx dx

Los sirnbolos D y d/ dx se Haman ope rado re s d e d er iv ac i6 n porque indican la opera

de derivacion, que es el proceso de calcular una derivada.

El sfmbolo dyf dx introducido por Leibniz no debe considerarse como unn razon

ahara); es sencillamente un sinonimo de f'(x). No obstante, es una notacion uti! y suge

te, en especial cuando se usa en la notacion de incrementos, Con base en la ecuaei6n 2

puede volver a escribir la definicion de derivada en la notaci6n de Leibniz en la forma

d» n . y_-=lfm --dx .l.,'-'O n . x

Si desea indicar el valor de una derivada dy[dx en la notacion de Leibniz en un ruimero

pecffieo a, use la notaci6n

o bien e l Y ]dx x=u

que es un sinonimo para j'{c).

[I] DEFINICIONUna funcion j" es d eriva ble e n a sif'(a) existe, Es d er iva ble e n

u n in te rv alo a bier to (a, b ) [0 (a, 00) 0 (-00, a) (-00,00)] si es derivable en todo

mimero del intervalo.

~ Ej.EMPlO 5 i,D6nde es derivable la funcion f(x) =x I?

S O l U ( l O N Si x > 0, entonees 1 xl = x y puede elegir h suficientemente pequefio que

x + h >0, de dande I x + h I = + h. Par 10 tanto, para x > 0 tiene

I x + hl - Ix lf'(x) =im -'-----'--'---'-

I,-,(j h

(x + h ) - x h= Ifm =im - = lim I

11-,0 h /i-·O h it-'O

y asff es derivable para eualquier x >O.

De manera analoga, para x < 0 tiene !x I =-x y se puede elegir h suficientemenre

pequefio para que x + II < 0 y , asf, I x + II I=(x + h ). Por 1 0 tanto, para x < O ,

I x + hl - Ix lf'(x) =fm -'------'----'---'-

I,-·() h

-(x + h ) - (-x) -Ii= lim = lim -- = lfrn (- 1 )=- 1

h-D Ii h-O h 11-0

con 1 0 quejes derivable para cualquier x <O.



Para x= debe investigar


y

(a) y =f(x) = I x I

)'1.

----------~--------.o x

-----------i -1

(b) y= f'(xJ

FIGURA 5

x

1'(0) =fm f{O + h) - .f(0 )

"-,0 h

=im 1 0 + h I - 1 0 I1,-,0 h

(si existe)

Compare los lfmites par la izquierda y par Ia derecha, por separado:

lim I 0 + 1 1 I - 1 0 I =fm ill=fm ! ! _ =f r n 1 =I!-,{}' h "-.·0 II 11-,0- II 1'-'0'

y1 0 + 1 1 1 - 1 0 ] I h l -II

lim =fm - =fm - =im (- I)=-1I!-'O- li , , - . { I h " - . 0 h I!-,Q"

Como estos Iimites son diferentes.Y'(U) no existe. Asf,.f es derivable en tod

excepto O .

Se da una f6rmula paraj"

.f'(x) = I-I

si x> 0

si x < 0

y su gnifica aparece en la figura 5(b). La inexistencia def'(O) se refleja geornet

en el hecho de que la curva y =x I no tiene una recta tangente en (0, 0). [Veas

ra 5(a).]

Tanto la continuidad como la derivabilidad son propiedades deseables para

cion y el teorema siguiente muestra c6mo se relacionan ambas

[!) TEOREMA Si f es derivable en a, en tal caso.f es continua en a.

D E M O S T R A C I O N Para probar que.f es continua en a, debe p r o ba r que lfm,~" f(x)

Lleve a cabo esto demostrando que la diferenciaf(x) - f(a) tiende a O.

La informaci6n dada es que f es derivable en a: es decir,

1'(a) =im f(x) - f(a)

,,-II x - a

existe, (Vease la ecuaci6n 2.7.5.) Para vincular 1 0 dado con 1 0 desconocido, div

multipliquej'(x) - f(a) por x - a (10 cual es viable cuando x #- a):

.f(x) - .f(a) =(x) - .f(a) (x - a)

x-a

De este modo, si usa la ley de producto y Ia ecuacion (2.7.5), puede escribir

Ifm [I(x) - .f(a)] =im f(x) - f(a) (x - a)x-»(/ .\'-'{l X - a

=fm .f(x) - .f(a) • lfrn (x - a)x-~a X """'" a .\'-~a

=f'(a) . 0=



SECCI6N 2.8 LADERIVADACOMO UNA fUNCION 1 1 1 1

Para utilizar 10 que acaba de probar, parta de f{x) y stimele y restele f(a);

lim f(x) =fm Lf(a) + (f(x) - f(a))].t-·~a v r -r u

=fm f(a) + lfrn [ .f(x) - f(a)].\ ~)(j .\'-~l

=(a) + 0=«(I)

En consecuencia,f es continua en a. D

~ ! IlOlA i El inverso del teorema 4 es falso: es decir, hay funciones que son continuas

no son derivables. Par ejemplo, la funci6n f(x) =x I es continua en 0 porque

Ifmf(x) = lfrn I x l ==(O ),\:-:·0 ,1;:-~O

(Vease el ejemplo 7 de la secci6n 2.3.) Pero, en el ejernplo 5 dernostro que f nderivable en O .

iCOMO DEJA DE SER DERIVABLE UNA FUNCION?

recta tangente

En el ejemplo 5 v io que la funci6n y =x I no es derivable en 0 y en In figura 5(a) mu

que su grafica cambia de direcci6n repentinamente cuando x =O. En general, si la gr

de una funcionj tiene "esquinas" 0 "rizos", la gnifica defno tiene tangente en esos punt

fno es derivable allf. [AI intentar calcularj '(c), encuentra que los limites por la izqui

y por la derecha son diferentes.]

EI teorema 4 sefiala otra forma en que una funcion no tiene derivada, En el se afirma

silno es continua en a, despuesj' no es derivable en a. Por ende. en cualquier discontinui

(por ejemplo, una discontinuidad por salto),fdeja de ser derivable.

Una tercera posibilidad es que la curva tenga una recta tangente vertical cuando

0; es decir,f es continua en a y

o1 1 m I f'(x) I=:(~:>r1

a x

F IG U R A 6

Esto significa que las rectas tangentes se vuelven mas y mas empinadas cuando x --i' a

la figura 6 se muestra una forma en que esto puede suceder; la figura 7(c) ilustra otra.

tres posibilidades recien analizadas se ilustran en la figura 7.

) ' A yA

~ !

ao.r

F IG U R A 7

Tres maneras para que f no seaderivable en a (a) Una esquina 0 rizo (b) Una dicontinuidad (c) Una tangente vert

Una calculadora graficadora 0 una computadora ofrecen otra manera de ver la deriva

dad. Si f es derivable en a, por 10tanto. con un acercamiento al punto (a,f(a», la gr

se endereza y adquiere mas y mas la apariencia de un recta. (Vease la figura 8. Un ejem




-2

F I G U R A 1 0

~ En Module 2.8 puede ver

como cambian los coeficientes de un

polinomio f que afecta el aspecto de lagraflca de f,f' y / ".

especffico es la figura 2 de la seccirin 2.7.) Perc no importa cuanto se acerque

como los de las figuras 6 y 7(a), no puede eliminar el punta agudo 0 esquina.

figura 9.)

y y

a xoa

FIGURA 8

f es derivable en a

FIGURA 9

f no es derivable en a

D ER IV AD AS S UPER IOR ES

Si f es una funcion derivable, entonces su derivadaj' tambien es una funcion, es

tener una derivada de sf misma, sefialada par (f')' =1". Esta nueva funcion j" sna segunda derivada defporque es la derivada de Ia derivada def Utilizando I

de Leibniz, se escribe la segunda derivada de y =(x ) como

d (dY ) dZydx dx = dx "

E jE t1 PLO 6 Sif(x) =.3 - x, hallar e interpretarj"(x).

S O L U n O f ! En el ejemplo 2 encontro que la primera derivada esj'(x) =x2

- 1. D

modo, la segunda derivada es

f"() (f') '() If j '(x + I z ) - f '(x) I' [3{x +W - 1] - [3x

2

x = x = IIfl =Hfl11-0 II h--O h

Las graficas de f,l' y f" se exhiben en la figura 10.

Puede interpretar f"(x) como la pendiente de la curva y ='(x) en el punto (x

otras palabras, es la relacion de cambio de la pendiente de la curva original y =(

Observe de la figura 10 que f"(x) es negativa cuando y = j 'ex) tiene pendiente

y positiva cuando y ='(x) tiene pendiente positiva. De esta manera, las graficas

mo una comprobacion de sus calculos.

En general, se puede interpretar una segunda derivada como una relacion

de una relacion de cambia. EI ejernplo mas familiar es la aceleracion, que se

mo sigue.

Si s=et) es la funcion posicion de un objeto que se traslada en una linea

be que su primera derivada representa la velocidad vet) del objeto como una f

tiempo:

dsv(t) ='(t)=-

dt



SECCI6N 2.8 LA DERIVADA COMO UNA FUNCJON 1 1 1 1

A la relacion de cambio de la velocidad instantanea con respecto al tiempo se Ie denor

aceleraci6n aCt) del objeto. En estos terrninos, Ia funcion aceleracion es la derivada d

funcion velocidad y en consecuencia, es la segunda derivada de la funcion posici6n:

aCt) ='(t) = s"(t)

o en la notacion de Leibniz

dv (tsa==-dt dt2

La tercera derivadaj?" es la derivada de la segunda derivada:f'" = (f")'. De este m

f"'(x) se puede interpretar como Ia pendiente de la curva y = f"(x) 0 como la relaci6n

cambio de f"(x). Si y=(x), por 10tanto, las notaciones alternativas para la tercera d

vada son

EI proceso puede continuar. La cuarta derivadaf"" usualmente se senala mediante j'!"

general, la l1-esima derivada de f se senala mediante f ( n ) y se obtiene de f derivand

veces. Si y = f(x), escriba

EjH1PlO 7 Sif(x) =.? - x, hallarf'' '(x) e interpretarj P'(x).

5 0 L U [ I O t l En el ejemplo 6 encontr6 que f"(x) =x. La grafica de la segunda derivada ti

ecuacion y =x y de este modo, es una lfnea recta con pendiente 6. Ya gue la deriv

f l l l ( X ) es la pendiente de f"(x), se tiene

f"'(x) =

para todos los valores de x. Asf, f i l l es una funci6n constante y su grafica es una l

horizontal. En consecuencia, para todos los valores de x,

Se puede interpretar la tercera derivada fisicamente en el caso donde la funcion e

funcion posici6n s=et) de un objeto que se traslada a 10largo de una linea recta. Por

s"=s")' = a', la tercera derivada de la funci6n posicion es la derivada de la funci6n

leracion y se le denomina jerk:

. da d's}==

dt dt3

Por esto el jerk} es la relacion de cambio de la aceleracion. Nombre apropiado porque

jerk considerable significa un cambio repentino de aceleraci6n, que ocasiona un m

miento repentino en un vehfculo.

Se ha visto que una aplicacion de la segunda y tercera derivada sucede al analiza

movimiento de objetos empleando aceleraci6n y jerk. Se investigara otra aplicaci6n d

segunda derivada en la seccion 4.3, donde se muestra c6mo el conocer f" proporciona

formacion acerca de la forma de la grafica de f.En el capitulo 11 vera como la segu

derivada y derivadas superiores permiten representar funciones como sumas de series

finitas.



162 IIII CAPITULO 2 LlMITESY DER!VADAS

§EJERCICIOS

1-2 Use la grrifica que s e p ro po rc io na para estimar el valor de carla

derivada, Luego dibuje f'.

1. (a)f'(-3)

(b)f'(-2)

(c).t(-I)

(d)1'(0)

(e).tO)

(f) /,(2)

(g) /'(3)

2. (a) /'(0)

(b)F( I)

(c) f'(2)

(d) 1'(3)

(e) f '(4)

(t) f'(5)

y=f(.I")V \

1/1

II/

0 1 / .1

\ /

\ y= f!xl 1/ <,

\ / \/

I--1- 1\ /

0 1 .1

-- , - - - - _ - -- -

[E! Correlacione la grafica de cada Iuncion dada en las figuras (a)-

(d) con las graficas de sus derivadas en las figuras I a IV. D e lasrazones para sus selecciones.

(a)

x

(b)

y(d)

-+~+~+- ...r

II

.r

III IV ~ . v I Q

---± .v

I

-___"-+---+-~...r

4-11 Trace 0 copie la gnifica de la funcion dada}: (Su

los ejes t ienen escalas iguales.) Luego aplique el meto

plo I para rrazar la grafica de f' debajo de ella.

4.

/

--~~--4---~--~ ..x

b. ) ' A

°8. y

°9. y A 10 . yA

X

/° lVy A

x

12. Se muestra la grafica de In funci6n de poblaci6n Plas de levadura en un cultivo de laboratorio. Use el

.r

PA (celulus de levadura)

500

10

--~~---r----~-----+~15 I (horas5



ejemplo I para dibujar la derivada P'(t}. i,Que indica Ia grafica

. .d 'C P' acerca de la poblacion de levadura?

•La grM1ca ilustra como ha variado la edad promedio en

q ue contrafan matrimonio por primera vez los hombres

japoneses en Ia segunda mitad del siglo xx. Trace la grafica

de la funcion derivada M'(t) . i,Durante cuales alios fue

l1egativa la derivada?

M

27

25

~"-+--+--+--+-~+-+--;~

I 1960 )970 1980 1990 2000 I

14-16 Trace una grafica cuidadosa defy, debajo de ella, l a g r a fi ca

dej" de la misma manera que en los ejercicios 4-11.

I.Puede intentar una formula para1'():) a partir de su grafica?

14 . f(x) =en x

1 6 . fIx) =n x

15 . f(x) = e'

Seaf(x) = x'.

(a) Estime los valores de1'(O), 1'0),1'(1) y1 '(2) usando un

aparato graficador para hacer un acercamiento sabre la

grafic» def

(b) Aplique la sirnetrfa para deducir los valores de 1'(-l).

1 '( -1) y f' ( -2).(c) Con los resultados de los incises (a) y (b), proponga una

formula para1'(x).

(d) Aplique la definicion de derivada para probar que su

proposici6n del inciso (c) es correcta,

l : E 18 . Sea.f(x) =:'.

(a) Estirne los valores def'(O), rO),f'( l),J'(2) y j'(3) usando

un aparato graficador para hacer un acercamiento sabre la

grafica def

(b) Aplique la sirnetrfa para deducir los valores de r( -~),

.f'(- I),J'( -2) Yf'( -3).

(c) Use los valores de los incises (a) y (b) para trazar la

grafica j".(d) Proponga una formula parar.f'(x).

(e) Aplique la definicion de derivada para probar que su propo-

sicion del inciso (d) es correcta.

19-29 Encuentre la derivada de la funcion dada aplicando la defini-

cion de derivada. De los dominios de la funci6n y de su derivada,

19 . f Ix) =~- ~

21 . f(t) =1 - 91"

2 3 • . f (x) =_~- 3x + 5

20 . f(x) =11): + b

22 . f (x) = 1.5x2 - .1: + 3.7

24. f(x) =):+ J; :

SECCION z .a LA DERIVADA COMO UNA FUNCION 1 1 1 1

I T h l g(x) = - /1 + 2.13+x

26 . f(x)=-. 1- 3x

41[llJ GU) = --

t + II

28 . g ( . I : ) = r=v I

29 . f(x) = x~

30. (a) Dibuje f ( . I : ) =/6 - x a partir de la grafica de y =hcando las transformaciones de Ia seccion 1.3.

(b) Use I n gu if ic a del inciso (a) para trazar In de f'.

(c) Aplique la definicion de derivada para hallnrj''Lr). i.Cua

son los dominies defy de.!'?

r n (d) Use un aparato graficador para trazar la grafica def' y

comparelu con su esquema del inciso (b).

31 . (a) Sif(x) =4 + 2x , encuentrej'(x).

r n (b) Yea si su respuesta al inciso (a) es razonable cornparando

las graficas def y de l'.

32. (a) Si .f(t) =2 - Jt, encuenue j'{r).

f i E (b) Yea si su respuesta al inciso (a) es razonable comparando

las grrifica» de f y del'.

@ 1 l La tasa de desempleo Vet) varia con el tiempo. La tabla de

Bureau of Labor Statistics (Oficina de Estadfsticas de Empl

proporciona el porcentaje de desempleados en la fuerza lab

de Estados Unidos de 1993 al 2002.

I UU ) I U(t!

1993 6.9 1998 4.5

1994 6.1 1999 4.2

1995 5.6 2000 4.0

1996 5.4 2001 4.7

1997 4.9 2002 5.8

(a) i.Cual es el significado de V' (I)? i,Cuales son sus

unidades?

(b) Construya una tabla de valorcs para V' (I).

34. Sea pet) el porcentaje de estadounidenses por debajo de 18

afios de edad en el instante I. La tabla proporciona valores

esta funcion en los alios en que se lcvant6 un censo de 195

2000.

I ,1950 31.1 J9S0 28.0

1960 35.7 1990 25.7

19 70 34.0 2000 25.7

(a) l ,Cuii l es el significado de P'(t}? i,Cuales son sus unidad

(b) Coustruya una tabla de valores para P'(t).

(c) Dibuje P y P' .

(d) (,C6mo seria posible obtener valores mas precisos para

p'(t)?



164 1 1 1 1 CAPiTULO 2 LlMITESY DERIVADAS

35-38 Se proporciona la grtifica def Establezca, con argumentos. los

ruimeros en quefno es derivable.

36 .y

.v--++~-7~r-+--r~'~

.v

37 . 38.A

4 x

i?fl39. Dibuje la funcion f(,,) = x + J f X T . Haga acercamientos su-cesivos primero hacia el punto (-I. 0) Yluego en direccion al

origen. (.Que diferencia existe en cuanto al comportamiento de

fen Ius cercanias de estos dos puntos? (.Que conclusiones infie-

re acerca de la derivabilidad def?

i?fl40. Haga un acercamiento hacia los puntos (1. 0). (0. 1) Y (-1,

0) sobre la grafica de Ia funcion g(x) = (,,"- 1)"/1. (,Que ad-

vierte? Registre 10que observa en terminos de

la derivabil idad de g,

[![] La figura exhibe las graficas dej,j ' y 1". Indique cada curva y

explique su eleccion,

a

42. La figura muestra graficas de f.1'.1" y f'", Identi fique cada cur-va y explique S LI alternativa,

abc d

43. La figura describe las graficas de tres funciones. Un

cion posicion de un autom6vil, otra es la velocidad

y la de Sll aceleracion. Identifique cada curva y exp

opcion.

.I'Aa

44 . La figura rnuestra las graficas de cuatro funciones po

autornovil, otra la velocidad de el, la aceleracion y Ia

jerk. Identifique cada curva y explique S LI preferencia,

d

i?fl45-lIb Aplique la definicion de una derivada para halla

f"(x). Despues, grafiquef,J' y f" en una misma pantall

que para ver si sus respuestas son justas.

45. f(x) =I+ 4 x - x" 46. f (x) = l/x

i?fli1LJ Si j'(r) =\2 - x\ halIarf'(x),J"(x),f"'(x) y r)(x).

f',f" y f''' en una misma pantal la , LLus g r af ic as s on c

COIl la interpretacion geometrica de estas derivadas?

48 . (a) Se muestra la grafica de una funci6n posicion de

vil. donde s se mide en pies y t eo segundos, Uti

ca de la velocidad y la aceleracion de! autom6viL

la aceleracion en t=10 segundos?

s

20

10 0

o10

(b) Aplique la curva de aceleracion del inciso (a) pa

el jerk en t = 10 segundos. i,Cuales son las unida

jerk?



4 9 . Sea fix) =" 0:.(a) Si a ¥ 0, use Ia ecuacion 2.7.5 para hallarf'(a).

(b) Demuestre quer(O) no existe.

(c) Demuestre que y = 0: tiene una recta tangente vertical en

(0,0). (R ecuerde la forma de la funci6n def Veas e la f i gu ra

13 de la secci6n 1.2.)

50 . (a) S i g(x) = , . ( ' - 1 - ' , demuestre que g'(O) no existe.

(b) Si a ¥ 0, encuentre g'(a).

(c) Demuestre que y = x"!J tiene una recta tangente vertical en

(0.0).

(d) Ilustre el inciso (c) dibujando y = x21> .

@ Dernuestre que la funcion fix) = I x - 6 1 no cs derivable en 6.

Encuentre una form ula para j" y trace s u g r af ic a,

52 . i,D6nde es no derivable la funci6n entero maximo

f ix) = [x]? Halle una formula paraj" y trace su grafica,

~ (a) Dibuje l a g r af ic a de Ia funci6nf(x) = I x 1 _(b) Para que valores de x esjderivable.

(c ) Halle una form ula para j".

54. Las derivadas izquierda y derecha de f en a estan

definidas por

[ ': (a ) =1 m f(a + II) - f(a)

. h-~ II

y f' () I' f(a + II) - f(a)+ a =un

11-0' 1 1

si existen estos lfmites, En tal caso,f'(a) existe si y solo si es-

tas derivadas Iaterales existen y son iguales,

R E V I S I O N D E C O N C E P T O S

I. Explique que significa cada una de las siguientes e ilustre me-

diante un boceto,

(a) Ifm fed =L,l·-~t

(b ) Iirn fix) =L_;;~'rl-i

(c) Ifm fix) = L.t-)U •

(d) lim fix) = o:,~ ~({

(e) 11mf(;'() =L.l-~:o:.

2. Describa varias formas en que un lfmite puede no existir, Ilus-

tre con bocetos.

3. Enuncie las !eyes de los Ifmites siguientes.

(a) Ley de la suma (b) Ley de la diferencia

(c) Ley del multiple constante (d) Ley del producto

(e) Ley del cociente (f) Ley de la potencia

(g) Ley de la raiz

4. l .Qlle dice el teorema de la compresi6n?

5. (a) i,Que quiere darse a entender al decir que la recta x = a es

una asintota vertical de la curva y = f(x)? Dibuje curvas

para ilustrar las diversas posibilidades,

CAPiTULO 2 REPASO IIII

(a) Hallef'-(4) Yf~(4) para la funcion

J ( J ~ ~ x1 5 - x

si x";; 0

si 0 <x < 4

si x ~ 4

(b) Dibuje la graf ica def.

(c) i ,D6nde es f discontinua?

(d) (,D6ndefno es derivable?

55. Recuerde que a una funci6n se le denomina como p ar

si f( -x) =fix) para toda x en B tl dominio e impar si

f( -x) = -f(x) para toda x. Pruebe cada uno de los

siguientes

(a) La derivada de una funcion par es una funci6n impar ,

(b) La derivada de una funcion impar es una funcion par.

56. Cuando abre un grifo de agua caliente, la temperatura Tdel

agua depende del tiempo que el agua ha estado corriendo.

(a) Trace una grafica posible de T como fuucion del tiempo

transcurrido desde que abrio el grifo,

(b) Describa c6mo varia la relacion de carnbio de T con res

pecto a t. conforme es rn aumenta.

(c) Dibuje la derivada de T.

57. Sea e lu recta tangente a la parabola y = Xl en el punto (1

I) . EI cin gu la d e inclinacion de e es el angu lo c p quee describe con la direcci6n positiva del eje x. Calcule ( Pcorrecto al grndo mas cercano,

(b) Que s ig n if ic a d ec ir que la recta y = L es una asfntota hor

zontal de la curva y = fix)? Dibuje curvas para

ilustrar las diversas posibilidades.

6. l.Cual de las curvas siguientes tiene asfntotas verticales? l.Cu

tiene asintotas horizontales?

(a)y=x·

(c) )'=an x

(e) )'=:

(g) )'=/x

(b)y=senx

(d) y=tan-1x

(f) y =n ,r

(h) y =X

7. (a) l.Que significa que f sea continua en a?

(b) i.Que significa que f sea continua en el intervalo(-ce, co)? i.Que puede decir acerca de la grafica de

tal funci6n?

8. i,Que dice el teorema del valor intermedio?

9. Escriba una expresion para la pendiente de la recta tangente

la curva y =ix ) en el punta (a, f (a».



166 IIII CAPiTULO 2 LiMITES Y DERIVADAS

10. Suponga que un objeto se mueve a 10 largo de una lfnea recta

con posicion f(t) en el instante t. Escriba una expresion paru la

velocidad instanninea de un objeto en el instante

,=I. "C6mo puede interpretar esta velocidad en terminos de

l a g r af ic a de f?

11. Si Y = f(x) y x cambia de x, a X2 . escriba expresiones para 1 0

siguiente:

(a) La raz6n de carnbio promedio de y con respecto a x a 10

largo del intervalo [x" X 2 ] .

(b) La raz6n instantanea de cambio de y con respecto a x en

X=.\'I.

12. Defina la derivada f' (a ) . Analice dos maneras de interpretar

este numero,

13. Defina la segunda derivada de f. Si f(x) es la fun

posicion de una partfcula, i,como puede interpretar

segunda derivada?

14 . (a) i,Que significa que Iea derivable en a?

(b ) "Cual es la relaci6n entre l a de ri v a b il idad y la

continuidad de una funcion?

(c) Trace la grafica de una funci6n que es continua

derivable ena =

2 .

15. Describa varias maneras en que una funci6n puede

rivable. Ilustre con bocetos.

P R E G U N T A S D E V E R D A D E R O ·F A L S O

Determine 5i la proposicion es verdadera 0 f a lsa, 5i es verdadera explique

po,' que. Sies falsa, explique par que a de un ejemplo que refute la

proposici6n.

1. Ifm_ 2 : _ _ _ 8_) =im 2x -!fm __8_,- .., x - 4 x - 4 ,- ..j x - 4, ~.-I ., - 4

,\'2 + 6x - 7

2.Hm,----,-., .to + 5x - 6

!fm (x" + 6x - 7).~,.~

lim (x~ + 5x - 6)~ - ~ 1 .

\' - 33. lfm - - = - , - ' -- -

,-.J x- + 2x - 4

Ifm (x - 3)l····1

lim (x~ + 2 .< - 4 )\-·1

4. 5i Ifm'_'5f(x) = 2 Y Ifm,_,sg(x) =, entonces

lfrn, -.s [f(x)/g(x)] no existe.

5. Si Iim, _., f(.r) = y lim,-., g(x) = 0, entonces

lfm,_., [f(.r)/g(.l:)] no existe.

6 . S i lfrn , .(,f(x)g(x) existe, entonces el lfrnite tiene que se rf(6)g(6).

7. Si p es un polinomio, entonces Iim, ~,h pix) =(b).

8. Si lim'~'\lf(x) = cc y lfm, ...0 g(x) = "",uego

l im,.!) [fix) - g(x)] = 0.

9. Una funcion puede tener dos asfntorus horizon tales dist intas,

10. Si f tiene un dominio [0, co) y no tiene asmtota horizontal

entonces lfm,-,"J(.,) = x 0 lfm,-"fCt) =-x.

11 . S i lu recta x = es una asintota vert ical de y =( x

f no esta definida en I.

12. Si I( I) > 0 y f(3) < 0, entonces existe lUI mimero

3 tal que f(c) = O .

13. Si f es continua en 5 y f(5) = 2 Y f(4) =, enton

Ifm,_.2.!(4x" - 11)=.

14 . S i f es continua en [-I, I] Y f( -I ) = 4 Y l(l)=

existe un m im ero r tal que I r I < 1 y fir) =t.

15. Seat' una funci6n tal que ifm,-.of(x) = 6. Entonces

mirnero 8 tal que si 0 1 para toda x y lfm,-,of(x) entonces

lim, -.1) fix) > 1.

17. SiIes continua en a. entonces f es derivable en a.

18. Si /'(1') existe, entonces lim,-., fix) =ir).

{Pv ( { h , ) 219 . - -' :; - = --'-dx' dx

20. La ecuacion X IO - l O . r + 5 = tiene una rafz en

intervale (0. 2)



CAPiTULO 2 REPASO 1 1 1 1

S e da In g raficu de f.(al Encuentre cada un o de lo s limites 0 explique pO l' q ue no

existc.

0) lim f ix) (ii) Ifm f (x),\--<':' '1-",-) ;

(iii) lfm fix) (iv) l imf(;o:).\ ~~~J "-·4

(v) l fmf(x) (vi ) lim fix),-·0 .,-->2-

(v ii) lfm f ix) (vii i) lim fix). ' 1 : - , ~ - : , ; .• -~~4

(b ) Enuncie las ecunciones de las asintotas horizontules,

(c) Enuncie las ecuaciones de las astntotas verticales.

(d) (,En q ue mimeros f es discontinua?

1 1 \I \

1 . . . . -

I" j

1

1 / \

0 I .\

t-l- II

2 . T race la g rU fica de un ejem plo de u na f un ci6 n f q u e s at isf ag u

to da s las c on dic io nes sig uie nte s

lim fix) = -2, lim f (x) = 0 , lim . fix) = x,I >-7- l-~'O \'-~ ~ : 1 - ~

lim fix) =-x, lfm ((x) =.1·--·3- .\--·3+ .

f e s c on ti nu a desde la derecha en 3,

3-20 E ncuentre el lfrn ite

3 . 11 m e: ~\\--+!

x2 - 94 . lim --::0----

,-·3 x- + 2x - 3

x2 - 95. lim ~----~.~:.

," - 96. l im - -- :: -, - .- -- -

.,-.,' x- + 2x - 32x - 3

(II - 1)' + I7. 11m -'--_:"--

h -·IJ h

/2 - 48. 1Im---

,-2e' - 8

. . ; ; .9 . lim,,.,,) (r - 9)

10 . 11 mt'-~4 ..

4- v

1 4 -v i

1(" - I1 1. lim 1 '

,,-.., II' + 5u- - 6 1 1

Jx+6-x12 . Ifm 1 '

,-,_' x - 1.-

·b · 2 - 913 . l im _ '_ '- -, . - . r . 2r - 6

15 . lim In(sen x),- .-;;-

1 - 2x" - x"

16. E~\5 + x - 3/

17 . lim (.).\5' + 4x+ 1 - .r )\'-.~

18. lim e'~"

19. lim tan-'(l/x),---·0'

2 0 . ! ~ ~C ( ~ I+ );" - L + 2 )

r n 21-22 Use la s graficas para descubrir las aslntotas de la curva,

Luego pruebe q ue ha descubierto.

co s 2x21 . y=~

22 . y =X " + X + 1 - J X " - x

23. S i 2x - 1 = 'S f(x) ~ x2 para 0 <x < 3, encuentre l im,_.\ f(

24 . Prueb e q ue lim,.ox2 cos(l /x") = .

25-28 Dernuestre q ue cada afirmacion es verdadera usando la

defin icion precisa de Ifrn ite .

25. lfm (14 - 5.< )=\ ~·2

26 . Ifm;jX =0( -~O

27. 11m (x" - 3x ) =2I:-<~

29 . S ea

{

. . ; - : : : x si x < 0

fix) = 3 .: x si 0 "'".r < 3

(x - 3)" si x > 3

(a) Evahie cada limite, si existe.

(i) lim f ix)c -.(It

(ii) lfrn ((x)1: -,0- >

(iii) Ifm fix).·,··0

(iv ) lim fix).(--''-

lim f ix).\-~J+

(vi ) 1 1 m f(x),.-~J

(v)

(b) i ,D 6 n de e s d isc on tiu ua f?

(e) T race la g rafica de I,30 . S en

1

2X - X "

'J _ \:

g(x) =- .

x-4

II

51 0"," X " " 2

si 2 < x "'"3

51 3 < x < 4

si X " " 4

(a) Para cada uno de los rnirneros 2, 3 y 4 . descub ra si g es

continua pOI la izq uierda, por In derecha 0 continua en e

numero.

(b) Bosqueje la grafica de g.

31-32 Dernuestre q ue cada funcion es continua en su dom inic.

D e e l d om i ni o.

31. h ex) = xe"'",Jx~ - 9

32 . g(x) =x2 _ 2



168 1 1 1 1 CAPiTULO 2 LlMITESY DERIYADAS

33-34 Aplique el teorerna del valor intermedio para demostrar que

existe una rafz de l a e cuac ion en el intervale dado.

33. 2X1 + X" + 2=0, (-2, -1)

34. e? =. (0, 1)

35. (a) Encuentre la pendiente de la recta tangente en la curva

y = 9 - 2X2 en e l punto (2 , O .(b) Escriba una ecuacion de esta tangente.

36 . Encuentre las ecuaciones de las tangentes a la curva

2v=--• 1 - 3 .\'

en los puntos de abcisas a y - I.

37. La expresi6n s= + 2t + 1 i', da el desplazamiento(en metros) de un objeto que se mueve en una linea recta.

En dicha expresion, t se mide en segundos.

(a) Encuentre la velocidad promedio en los siguientes

periodos

0) [I,3](iii) [ 1 , 1.5]

(ii) [l,2]

(iv) [I,1.1]

(b) Halle la velocidad instantanea cuando t =I.

38 . S eg un In ley de Boyle, si la temperatura de un gas confinado

se mantiene fija, entonces el producto de Ia presion P y el

volumen Ves constante, Suponga que, para cierto gas,

PV = 800, donde P se mide en libras por pulgada cuadrada

y Ven pulgadas cubicas.

(a) Encuentre la razon promedio de cambio de P cuando V seincrementa de 200 pulg' a 250 pulg',

(b) Exprese V como funcion de P y demuestre que l a r az on

instantanea de cambio de V con respecto a P

es inversamente proporcional al cuadrado de esta ultima.

39. (a) Use la definicion de derivada para hallar 1'(2), donde

f(x) =·l- 2x.

(b) Encuentre una ecuacion de la recta tangente ala curva

y =l - 2x en el punto (2,4).

(c) Ilustre el inciso (b) dibujando la curva y la recta tangente

en Ia misma pantalla,

40. Encuentre una funci6n f y un mimero (I tales que

lim (2 + 1 1 ) " - 64 ='(a)h~O h

41. EI costa total de pagar un prestamo para estudiante, a una tasa

de interes de r% pOI'ana es C = f(r).

(a) Leual es el significado de la derivada fjr)? LCmiles son

sus unidades?

(b) LQue significa la proposici6n t' (10) =200?

(c) d'(r) siempre es positiva 0 cambia de signo?

42.

42-44 Trace 0 copie la grafica de la funcion dada. Lu

directamente debajo su derivada.

43.

o

44. y

x

45 . (a) S i f(x) =;3 - 5x, use la def in ic ion de deriv

liar 1'(x).

(b) Encuentre los dorninios de f y 1'.ffi (c) Trace f yl'en una pantalla cormin. Compare

las gnificas para ver si Sll respuesta al inciso (a

razonable.

46 . (a) Encuentre las asintotas de l u g r a fi ca de

f(x) = (4 - x)/(3 + x) y uselas para dibujar

grafica.

(b) Use la grafica del inciso (a) para graficar 1'.(c) Aplique la definicion de derivada para hallar 1

(d) Utilice u n a pa ra to graficador para trazar la graf

l'y comparela con su dibujo del inciso (b).47. Se muestra l a g r a fi ca de f. Enuncie, can razones, lo

que f no es diferenciable.

6

ffi 48. La figura muestra la grafica de f. i' y f". Identifiqcuerva y explique su eleccion,

y



Sea Crt ) el valor total de certificados banearios en circulacion

en el instante t. La tabla de valores de esta funcidn de 1980 a

2000 , en miles de millones de dolares , Estime e interprete el

valor de C'(1990).

I 1980 1985 1990 1995 201)0

C(tl 129.9 187.3 271.9 409.3 568.6

La tasa defertilidad total, en el t iernpo t, denotada con F{t), es

una estimacion del m im er o p ro rn ed io de n if io s n a ci do s de cada

mujer (suponiendo que las tasas de natalidad actuales perma-

nezcan constantes). En la grafica de Ja tasa de fertilidad total

en Estados Unidos, se muestran las ftuetuaeiones desde 1940

hasta 1990 .

(a) Estime los valores de F '(1 95 0), F '(J 96 5) y F'(1987).

(b) l,Cuates son los signifieados de estas derivadas?

(c) i,Puede sugerir razones de los valores de estas

derivadas?

CAPiTULO 2 REPASO 1 1 1 1

y incremento

de3.5 nacimientos

3.0

2.5y= F(t)

2.0

1.5

reducci6n

de

nacimientosrecuperaci6n

de

nacimientos

51 . Suponga que If(x) 1 , , ; ; g(x) para todo x, y que lfm.\~"g(x} =.

Encuentre ellfm.,-~,f(x).

52 . Seaf(x) =xE + [-x].

(a) l,Para que valores de a existe liffi.t-"f(x)?

(b) l,En que mimeros es discontinua Ia funcionj"?



Del

En el analisis de los principios para la resolucion de problemas, se consider6

para resolver problemas Hamada Introduzca alga adicional (vease la pagina 76)

plo siguiente, se muestra c6mo este principio resulta uti! a veces cuando evahi

idea es cambiar Ia variable -introducir una nueva variable relacionada con la

tal manera que el problema se haga mas sencillo. Mas adelante, en la secci6n

mas esta idea general.

~l + ex - ]EjBoiPlO iEvahie lfrn , donde c es una constante.

x-.Q X

S O l U C I O N Segiin se ve, este limite parece desafiante. En la seccion 2 ,3 evalu6 var

los que tanto el numerador como el denominador tendieron a O. Alii, la estrategia

cierto tipo de rnanipulacion algebraica que condujo a una cancelaci6n simplificad

este caso no esta claro que clase de algebra se necesita.

Poria tanto, se introduce una nueva variable t mediante la ecuaci6n

t=~l + ex

Tambien necesita expresar x en terminos de t, de modo que resuelva esta ecuac

t3 =I+ ex

t3 - I.x=--

c

Advierta que x -i>0 equivale a t -i> I. Esto permite convertir el lfrnite dado en

comprende la variable t:

- V I + ex - I t - IIfm =frn ----:---.<-.Q X 1->1 (13 - 1 ) / C

, c(t - I}=nTI--'---1->1 t3 - 1

EI cambia de variable permitio reemplazar un lfmite relativamente complicado

mas sencillo de un tipo que ya ha visto. Si factoriza el denominador como un

de cubos, obtiene

c(t - 1) c(t - 1)lim 3 =fm--~~-..::.._--1->' t - I 1-[ (t - 1)(12 + t + I)

c c=im - ,- -- --

1-1 [2 + t + ] 3

Los problemas siguientes sirven para panel' a prueba y desafiar sus habilida

resolver problemas. Algunos requieren una cantidad considerable de tiempo pde modo que no se desaliente si no los puede resolver de inmediato, Si tien

dificultad, quizas Ie sirva consultar el analisis de los principios para la resol

problemas en la pagina 76.

PROBLEf"lAS I. ( I X - I

I. Evahie Tim ~ ..~I VX - 1

-}ax + b - 22. Encuentre los mimeros a y b tales que lfm = .

x~·o x

170



1 2 x - I - 1 2 x + I3. Evahie lim -'-----'---'-----'-

x

p

4. En lu figura se muestra un pun t o P, en lu parabola y = x2 y el punto Q donde lu rnediatriz

O P interseca al eje y. Conforme P se aproxima al origen, a 10 largo de la parabola, (,que

sucede con Q ? z,Tiene una posicion limite? Si es asf, encuentrela.

x5. Si [xli denota la funciou entero, encuentre F!~~x]'

6. Dibuje la region en el plano definida por cada una de las ecuaciones siguientes.

(a ) [ x ] 2 + [ y T Il = 1 (b) [ x D " - bf = 3 (e ) [., + yf = (d) [x ] + ILvE=x

f l G U R A P A R A E l P R O B L E M A 47. Encuentre todos los valores de a tales que lsea continua en ! R i :

{

X + 1f(x) = x2

si x;;_; 1I

si x> a

8. Un punto fijo de una funci6n f es un ntimero c en su dominic tal que ftc) =. (La funci6

no mueve a c: este permanece fijo.)

(a) Dibuje la grafica de una funci6n continua con dominio [0. 1] cuyo range tambien se

encuentre en [0, I]. Localice un punto fijo de f.(b) Intente graficar una funci6n continua con dominic [0, I] Y rango en [0, 1] que IJO tenga

punto fijo. leual es el obsraculo?

(e) Use el teorema de valor interrnedio para cornprobar que cualquier funcion continua co

dorninio [0, I] Y range en [0, I] tiene que tener un punto fijo.

9. Si ][111.,-." [J(x) + g(x)] = y lim '-'n [f(x) - g(x)] = 1, encuentre Ifm,-.,J(x)g(x).

A 10. (a) En la figura se muestra un triringulo isosceles ABC con LB =LC. La bisectriz del

angulo B interseca el lado AC en el punta P. Suponga que la base BC permanece tiju,

que la altura IAM I del triangulo tiende a 0, de modo que A se aproxima al punto medi

de Be. (,Que sucede con P durante este proceso? l.Tiene una posicion limite? Si es asi

encuentrela.

(b) Intente trazar la trayectoria recorrida parPdurante este proceso. A continuacion halle

ecuacion de esta curva y usela para dibujarla,c

F I G U R A P A R A E l P R O B L E M A ] 011. (a) Si parte de In latitud 0° y avanza en direccion oeste, puede denotar con T(x)

In temperatura en el punto x en cualquier tiempo dado. Suponga que T es una tuncion

continua de x, y dernuesue que, en cualquier t iempo fijo, existen pOl' 10 menos dos

puntos opuestos sobre el ecuador que tienen exactamente la misma temperatura.

(b) z,EI resultado del inciso (a) se cumple para puntas que esten sobre cualquier circulo so

la superficie de la Tierra?

(c) i,E! resultado del inciso (a) se cumple para la presion barometric a y para Ia altitud arrib

del nivel del mar?

12, Si f es una funci6n derivable y g(x) = xf( '~) , use la definicion derivada para demostrar que

g ' ( X ) =f'(x) + f(x).

13. Suponga que f es una funei6n que satisface f(x + y) =ex) + fey) + )(2 Y + xy2 para tod

los numerus reales x y y. Suponga tambien que

I' f(x) ·1llTI-- =-~~O X

(a) Encuentre f(O). (b) Eneuentre f'(0), (e) Encuentre FL,).

14. Suponga que f es una funcidn con la propiedad de que If(x) 1 ~ x' para toda .r. Muestre q

f(O) = O . Enseguida, muestre que f'(0) = .

Documents

Cap 2 - Límites Y Derivadas - Pag 82-171