CALIBRACION 1

ANALISIS INSTRUMENTAL

Calibración y Límite de Detección en Técnicas Instrumentales.

Objetivos Aprender la metodología para la determinación de la concentración de un analito a partir de los datos obtenidos por técnicas instrumentales. Evaluar el error involucrado en dicha determinación. Estimar el límite de detección de técnicas instrumentales. Obtener las herramientas para la correcta confección de informes. Conocimientos previos Se considera que términos como exactitud, precisión, error aleatorio, error sistemático, población, muestra, media de la población (µ), desviación estándar de la población (σ), varianza de la población (σ2), media de la muestra ( x ), desviación estándar de la muestra (s), varianza de la muestra (s2), distribución normal de error, ANOVA son conocidos por el alumno. Información sobre su significado puede encontrarse en D.A. Skoog, J.J. Leary, Análisis Instrumental, 4ta. Edición, Apéndice 1. Límites de confianza. La media de la población o media verdadera (µ) de una medición es una constante que es siempre desconocida. Sin embargo, en ausencia de errores sistemáticos, pueden estimarse ciertos límites dentro de los cuales cabe esperar que caiga la media de la población con una cierta probabilidad. Los límites así obtenidos se llaman límites de confianza de la media muestral. Los límites de confianza derivan de la desviación estándar de la muestra, s y dependen de la certidumbre con que se la conozca. Si ésta desviación estándar se obtiene a partir de una buena cantidad de réplicas, será una buena aproximación de la desviación estándar de la población, σ, y entonces los límites de confianza serán mas estrechos que si la estimación de s se basa en sólo dos o tres mediciones. La Figura 1 muestra una curva de distribución normal de error en la que la abscisa representa la desviación respecto de la media en unidades de desviación estándar de la población. La columna de números del centro de la Figura indica el tanto por ciento del área total de la curva incluída entre los valores indicados de -z y +z. Por ejemplo, el 80% del área de cualquier curva gaussiana (distribución normal) está entre incluida entre -1,29σ y + 1,29σ. El 80% de las mediciones caerán en este intervalo y en este caso se dice que el nivel de confianza es del 80% y el intervalo de confianza para una nueva señal es ± zσ = ± 1,29σ. El límite de confianza de la media muestral para N mediciones repetidas se calcula como:

µσ

= ±xz

N (1)

donde x es el valor promedio de la muestra y µ la media de la población. Los límites de confianza basados en la ecuación (1) son válidos en ausencia de errores sistemáticos, es decir, cuando las mediciones son exactas. La Tabla I da los valores de z para distintos niveles de confianza. En la mayoría de las situaciones experimentales, se realizan pocas réplicas y por lo tanto, no es verificable que la distribución de probabilidad de las señales sea Normal, o pueda aproximarse a una Normal. Por este motivo, se esta lejos de tener una estimación exacta de σ y el valor de s calculado a partir de un conjunto pequeño de datos puede estar sujeto a una incertumbre considerable; y el límite de confianza debe ampliarse. En este caso no se utiliza el parámetro estadístico z de la distribución Normal sino que se utiliza el parámetro estadístico t denominado de la distribución t de Student y la ecuación (1) se transforma en:

CALIBRACION 2

µ = ±xts

N (2)

El valor de t depende tanto del valor de N-1, que se conoce como grados de libertad asi como del nivel de confianza requerido. La Tabla II muestra los valores de t para varios niveles de confianza. La distribución de probabilidad de las señales se utiliza en la determinación del Límite de detección, como veremos luego.

Figura 1: Distribución Normal de Probabilidad.

CALIBRACION 3

Calibración de Instrumentos utilizados en el Análisis Químico Instrumental. Calibración. Se entiende por calibración al conjunto de operaciones que establece, bajo condiciones específicas, la relación entre las señales producidas por un instrumento analítico y los correspondientes valores de concentración o masa del juego de patrones de calibrado. Calidad de una Calibración. La calidad de la determinación de una concentración no puede ser mejor que la calidad intrínseca de la calibración. Los factores que determinan la calidad de una calibración son: La precisión de las medidas: estimada a través de la repetitividad y la reproducibilidad de las medidas. La repetitividad se evalúa a través del cálculo de la desviación estándar relativa (RSD%) de la medida de los patrones de calibrado. En la práctica puede ocurrir que la repetitividad para los patrones sea más pequeña que para las muestras, por lo que será necesario fabricar patrones similares a las muestras o agregar el analito a las mismas. Exactitud de los patrones. El valor de concentración o masa asignado a cada patrón trae aparejado un error pequeño si es preparado a partir de reactivos puros (grado analítico) con estequiometría bien definida. Este error en general se desprecia, frente al error en las medidas de las señales producidas por el instrumento. Validez de la calibración. Generalmente es el factor más importante. Cuando se calibra un instrumento se debe tener una razonable certeza de que éste responderá de igual manera a los patrones así como a las muestras, aunque estas tengan una matriz relativamente diferente*. Si estas diferencias son muy grandes, pueden llegar a invalidar el proceso de calibración. Es necesario estar completamente seguro de que el calibrado es válido antes de utilizarlo para obtener el valor de concentración de muestras incógnita. En caso contrario, pueden cometerse serios errores en la determinación. Modelos de calibración. La forma de calibración más sencilla es la que utiliza un solo patrón. Este modelo es útil sólo cuando el patrón es absolutamente confiable. Además, se supone que la señal cero del instrumento corresponde al cero de concentración de la especie que se quiere determinar. Entre el cero y valor obtenido para el patrón se realiza una interpolación lineal, pero la extrapolación más allá de la concentración de patrón no es recomendada. El modelo correspondiente es: señal = constante x concentración

y = m x (3) La constante m es llamada sensibilidad y corresponde a la constante de proporcionalidad entre la señal y la concentración. Esta proporcionalidad es útil sobre un restringido intervalo de valores. A valores muy bajos de concentración la señal es demasiado pequeña y está sujeta a una gran incertidumbre. A valores muy altos la proporcionalidad dada en ecuación (3) puede dejar de ser válida. Este modelo es utilizado en muy pocos casos. Si la respuesta a concentración cero de analito no es conocida de antemano, es necesaria una calibración con un mínimo de dos puntos. Para esta calibración se utiliza un modelo lineal con un término constante: señal = señal del blanco + constante x concentración

* Se entiende por matriz, a todos los componentes de la muestra que acompañan al analito.

CALIBRACION 4

y = b + m x (4) El término b indica la magnitud de la señal estimada del blanco, mientras que m es la pendiente de la recta de calibrado e indica nuevamente la sensibilidad. Estadísticamente, una calibración realizada a partir de dos puntos es muy pobre y su construcción a partir de un número mayor de patrones es obligatoria. El procedimiento estadístico para determinar los coeficientes b y m de la ecuación (4) se denomina regresión por cuadrados mínimos. La regresión por cuadrados mínimos es una herramienta muy útil, sin embargo, deben conocerse sus limitaciones. Además de la regresión por cuadrados mínimos siempre debe hacerse una inspección gráfica de los datos obtenidos, para detectar puntos anómalos o fallas en la linealidad. Las ecuaciones mediante las que se obtienen los coeficientes de la ecuación (4) se detallan en la próxima sección. Regresión por cuadrados mínimos Este método es ampliamente utilizado en todas las ramas de las ciencias, encontrándose incorporado en muchas calculadoras y planillas de cálculo. Para el modelo de la ecuación (4) los coeficientes pueden ser calculados de la siguiente manera:

mx x y y

x x

i ii

N

ii

N=

− −

−

=

=

∑

∑

( )( )

( )

1

2

1

(5)

b y mx= − (6)

donde x y, son los promedio aritméticos de los valores de x (patrones de concentración) y valores de y (señales). En la ecuación (5), el numerador es simbolizado Sxy y el denominador Sxx . La

expresión ( )y yii

N−

=∑ 2

1se denota con el símbolo Syy.

La calidad de la calibración se evalúa prediciendo el valor de la señal, y , para los distintos patrones a través del modelo utilizado (ecuación. 4). Las diferencias entre la señales observadas y las predichas se denominan residuos. A partir de estos valores se calcula:

22

)ˆ( 22

−

−=

−

−= ∑

N

SmS

N

yys xxyyii

y (7)

sy es llamada desviación estándar residual y tiene unidades correpondientes a la señal observada. También se la conoce como sy/x en el texto de Miller o como se en otros textos. Es importante conocer las limitaciones del método de cuadrados mínimos. Al deducir las ecuaciones anteriores fueron realizadas algunas suposiciones. Estas no siempre se cumplen en un problema de química analítica, por lo que debemos estar atentos. Las suposiciones que se realizan son: a.- La incertidumbre en la concentración de los patrones es despreciable frente a la desviación estándar de la señal medida. Para ello los patrones de calibrado deben ser preparados con una precisión superior a la de la medición de la señal.

CALIBRACION 5

b.- Todas las medidas son estadísticamente independientes unas de otras. Cualquier tendencia de las señales a través del tiempo (derivas de la línea de base o contaminaciones secuenciales) invalida el calibrado. c.- Todas las medidas tienen igual desviación estándar, la cual no depende del valor de la señal observada, por lo tanto las señales altas tendrán igual desviación estándar que las pequeñas. Esta suposición es particularmente discutible si se trabaja en un amplio intervalo de concentraciones. Si no se cumple, es necesario utilizar un método de calibración ponderado por las desviaciones estándar de las medidas. d.- Las medidas están normalmente distribuidas. En general, el error en una medida analítica es una suma de errores independientes provenientes de distintas partes del instrumento. Aunque el error de cada fuente individual no sea normalmente distribuido, la suma de esas contribuciones, producirá una distribución normal†. De todas las suposiciones anteriores, la más débil es la tercera, porque en general a bajas concentraciones, la precisión de las medidas empeora. Una buena aproximación puede realizarse restringiendo el intervalo en el cual se realiza la curva de calibración, de manera que la precisión sea constante. Si no se desea disminuir el rango lineal, se debe hacer una regresión ponderada. La ecuación (4) se usa para calcular la concentración de una muestra incógnita:

xy b

m=

− (8)

Para controlar la calidad de la información obtenida se puede establecer el intervalo de confianza del modelo. La desviación estándar (mas correctamente llamada error estándar) de la pendiente, sm:

ss

Sm

y

xx

= (9)

La desviación estándar (error estándar) de la ordenada al origen es:

∑∑−

=

2

2)(

1

i

iyb

x

xN

ss (10)

La curva de calibrado se utiliza para predecir la concentración del analito en muestras incógnita, midiendo la señal para esta muestra (yx) con el método instrumental en cuestión. La desviación estándar (error estándar) de los resultados analíticos sx, predichos por la curva de calibración es:

ss

m L N

y y

m Sx

y x

xx

= + +−1 1 2

2

( ) (11)

La ecuación (11) permite calcular la desviación estándar para la concentración obtenida a partir de la media y x de un conjunto de L análisis repetidos cuando es usa una curva de

calibración de N puntos. Recuérdese que y es el promedio de la señal obtenida para los N datos

de la calibración. A medida que el valor de la señal y x se acerca al valor promedio y el error de

† Esta es una ilustración del Teorema Central del Límite.

CALIBRACION 6

la determinación disminuye, por lo que es mejor determinar muestras cuyo valor de señal se encuentre en el centro de la curva de calibrado. Cuantas mas veces se repite el análisis de la muestra incógnita, mayor será L y por lo tanto menor será la desviación estándar. El diseño de la curva de calibrado también es importante, puesto que Sxx debe ser pequeño. Esto se logra aumentando la cantidad de patrones en los extremos de la curva de calibrado. ¿Cómo expresamos la incertidumbre del resultado de una muestra incógnita? Esto se hace en base a un intervalo de confianza para el promedio de concentraciones obtenidos mediante L análisis repetidos de la muestra. Puesto que en general el número de muestras utilizado en la calibración es pequeño se debe utilizar el parámetro t para generar un intervalo de confianza. Este intervalo se calcula mediante la ecuación (12). Los resultados para una muestra incógnita se expresan como:

xNx

x stm

byx ⋅±

−= −2,α (12)

donde t depende del número de muestras realizadas en la calibración y del intervalo de confianza deseado (ver Tabla II). No debemos olvidar el correcto redondeo de las cifras decimales, que deberá hacerse cuando se hayan finalizado los cálculos. Ambito Lineal del calibrado Una parte importante de la tarea de calibración de un instrumento analítico es determinar el intervalo de concentraciones para el cuál el modelo lineal es válido. Hay tres maneras de verificar ésto, ninguna de ellas excluye a las otras. La primera, es la investigación del gráfico de residuos ( ii yy ˆ− ) en función de la concentración.

Los residuos deben ser todos de la misma magnitud y deben estar distribuidos aleatoriamente en su signo (en una secuencia del tipo +-+-+- etc.). Si esto no fuese así, debe sospecharse una relación no lineal entre x e y por lo que debe disminuirse el rango de trabajo, o bien aplicar otro modelo, si la teoría así lo permite. Otra manera de verificar la validez del modelo lineal es mediante el cálculo del coeficiente de correlación (r):

yyxx

xy

SS

Sr

⋅=

El coeficiente de correlación vale 1 o –1 en el caso de que las variables estén perfectamente correlacionadas, pero no debe mal interpretarse puesto que un coeficiente de correlación de 1, no necesariamente significa que la linealidad sea buena, sino que el numerador y el denominador de la expresión anterior se cancelan mutuamente. Es común obtener buenos coeficientes de correlación con rectas de regresión que no responden a un modelo lineal. El coeficiente de correlación sólo es otro indicio adicional que debe sumarse al análisis de los residuos. El tercer método es el análisis de la varianza de la regresión. El análisis de la varianza (ANOVA) puede utilizarse para detectar una falla de ajuste en la regresión. Muchas planillas de cálculo realizan este cálculo automáticamente. Para realizar este análisis de forma completa, se necesitan datos replicados para cada patrón. Test F de Linealidad Este Test se basa en descomponer la varianza existente entre las señales experimentales y los valores predichos en dos aportes. Uno de ellos es el error experimental. Para tener una estimación del error experimental en la medición de las señales, debemos medir “i” replicados de cada patrón, por lo que para cada punto x habrá varios valores de señal (yi). Para estimar la

CALIBRACION 7

varianza debida al error puramente experimental, calculamos la media de los cuadrados debida a esta contribución (MSPE, Mean Squares Pure Error):

kn

yy

MS

k

i

n

jiij

PE

i

−

−=

∑∑ 2)(

Donde n es el número total de mediciones, k es el número total de patrones, i son las repeticiones de cada patrón y los yij son las señales de todos los experimentos. Para estimar el posible error debido a una falla de ajuste debida a la elección de un modelo incorrecto, calculamos la media de los cuadrados debida a la “falta de ajuste” (MSLOF, Mean Squares Lack of Fit):

2

)ˆ( 2

−

−⋅=

∑k

yynMS

k

iiii

LOF

Esto mide la diferencia media entre la media de las réplicas de cada patrón y su correspondiente valor estimado por la regresión. Cabe esperar que si el modelo lineal es correcto, las varianzas MSLOF y MSPE serán comparables. Si MSLOF es mayor que MSPE el ajuste no es correcto y hay que utilizar otro modelo o reducir el ámbito de concentraciones en el cuál se hace el calibrado. Para comparar MSLOF y MSPE hacemos un test F de varianzas calculando:

PE

LOFcal MS

MSF =

Si Fcal < Fk-2,n-k,α (obtenido de tablas) se acepta que existe buen ajuste al modelo lineal. Los cálculos de ANOVA pueden ser un poco engorrosos y se recomienda el uso de planillas de cálculo que facilitan mucho la tarea. Detección de datos anómalos La regresión por cuadrados mínimos es muy sensible a la presencia de datos anómalos. Por ese motivo es necesario graficar los puntos experimentales junto a los puntos predichos por la regresión, de manera de detectar si alguno de ellos está influenciando la recta de regresión. También es posible calcular un parámetro que nos indica si los residuos de un punto dado son anormalmente altos. Este parámetro es el residuo estandarizado:

Residuo estándar: y

ii

s

yy )ˆ( −

Un residuo estándar cercano o mayor que 1.5 indica que este residuo es anormalmente alto, puesto que está a una distancia igual a 1.5 veces su desviación estándar. Este punto debe ser examinado mas cuidadosamente para determinar la causa del residuo alto. Esto puede deberse a una falla en la medición de la señal o a un problema de ajuste de la recta al modelo lineal. En todo caso, puede intentarse repetir la regresión quitando este punto del juego de datos, para ver de que manera cambia el valor de pendiente y ordenada al origen. Protocolos de calibración Para la determinación de la concentración pueden ser utilizados distintos modos de calibración dependiendo del analito y de la técnica instrumental usada. El caso descripto anteriormente se denomina calibración externa porque las muestras y los patrones se determinan en forma separada.

CALIBRACION 8

Otros modos también son utilizados: calibración interna, método del agregado patrón y técnicas de dilución isotópica. Calibración interna:

Si antes de la determinación se le agrega a la muestra una cantidad fija de una sustancia con características químicas similares a las de la especie a determinar, esta sustancia es llamada estándar interno y el método se denomina de calibración interna o método del estándar interno. El agregado sirve para calibrar un paso crítico que de otra manera introduce una gran incerteza, por ejemplo el volumen de muestra inyectado en una corrida de Cromatografia Gaseosa. La señal producida por este estándar interno es producida en las mismas condiciones que la de los analitos, porque se encuentran juntos en la muestra. Para averiguar la concentración de los analitos, se aplica alguno de los modelos lineales vistos anteriormente utilizando como señal del patron, la señal producida por el estándar interno. La concentración del estándar interno puede variarse para comprobar la linealidad y construir una curva de calibrado, o puede usarse un modelo de un único patrón. Hay que tener en cuenta que si el estándar interno no tiene la misma sensibilidad en el detector que los analitos, hay que corregir las señales de estos con un factor de respuesta. Estos factores de respuesta se calculan a priori mediante estándares de los compuestos a determinar (ver Willett, J. E., Gas Chromatography, Analytical Chemistry by Open Learning, Wiley, 1987). La forma más sofisticada del método del estándar interno es el método de dilución isotópica. Aquí se opta por agregar a la muestra una sustancia que es químicamente igual a la sustancia a determinar pero aún así discernible de la original. Este método utiliza la misma sustancia como patrón pero con al menos un átomo de su estructura reemplazado por un isótopo. Por ejemplo, 12C es reemplazado por 13C en un compuesto orgánico. Para este método debe utilizarse un técnica selectiva a isótopos, generalmente espectrometría de masa. Agregado patrón En el método del agregado patrón se le agrega a la muestra, concentraciones crecientes del analito de interés. La señal obtenida se deberá a la cantidad de analito originalmente presente en la muestra sumados a la cantidad agregada. El propósito de este método es generalmente corregir efectos de interferencias multiplicativas‡ debidas a la matriz de la muestra. Una vez obtenidas, la señales instrumentales se grafican versus las cantidades de analito añadidas. La recta de regresión se calcula de manera usual. Para conocer la concentración de la muestra incógnita se extrapola la recta al punto sobre el eje x donde y=0. La intersección negativa sobre el eje x corresponde a la cantidad de analito en la muestra problema. Este valor viene dado por b/m. En este caso los resultados se expresan como:

xx

yN Sm

yNm

st

mb

x2

2

2,

1+⋅±= −α (13)

En esta expresión no aparece L como en la expresión (11), puesto que no se hacen réplicas de cada muestra, sino que se hace un agregado patrón por cada una de ellas. Esto demanda mucho tiempo y esfuerzo. No debemos olvidar que para obtener el valor de concentración en la muestra original, debemos corregir al valor de x y a su incertidumbre, por las diluciones hechas.

‡ Las interferencias multiplicativas son aquellas que producen un cambio relativo en la concentración. Por ejemplo, la presencia de aluminio en exceso en la muestra disminuye la señal de un electrodo de ion selectivo a fluoruro en un 50 %.

CALIBRACION 9

Límite de Detección En Análisis Instrumental, debemos aprender a elegir la técnica correcta para cumplir con nuestro análisis. Para ello, debemos comparar muchas “figuras de mérito” de cada método. Las figuras de mérito forman una base común sobre las que se pueden comparar los métodos analíticos. Ya hemos visto algunas figuras de mérito, como ser la sensibilidad, la exactitud y la precisión. Otra figura de mérito importantísima es el Límite de Detección. El cálculo del límite de detección responde la pregunta: ¿Cuál es la menor concentración que podemos detectar con este método de análisis? Para responder a esta pregunta, debemos analizar cuál es la menor señal detectable

La probabilidad que la más pequeña señal analítica discernible, yL , puede ser medida y no corresponde a una fluctuación aleatoria de la medida del blanco, yB , depende de a cuantas unidades de desviación estándar del blanco (sB ) está yL de y B (promedio de las medidas del

blanco). Si la diferencia entre By e yL es 3sB la probabilidad que la medida de yL sea una

fluctuación del blanco es menor que el 0,13% (si el número de medidas del blanco es superior a 25). Para determinar la concentración límite, xL ,, IUPAC define que :

y y ksL B B= + (14)

donde k es un valor que se elige de acuerdo al nivel de confianza que se desee, generalmente 3. La concentración límite es una función de yL y por lo tanto:

xy y

mLL B=

−( ) (15)

Sustituyendo la ecuación (14) en la (15) se obtiene que:

xks

mLB= (16)

Por lo tanto el límite de detección puede encontrarse dividiendo ksB por la pendiente obtenida por regresión de la curva de calibración. Sin embargo, la concentración límite así obtenida será un reflejo del verdadero límite de detección sólo si la pendiente, m, y la ordenada al origen, b, están bien calculadas. El método IUPAC utiliza como fuente de variabilidad de las señales, la desviación estándar del blanco. Un método alternativo, aunque menos usado, utiliza la desviación estándar de los residuales del calibrado sx (ecuación 11) como estimador de la desviación estándar del blanco. Esto es útil si no se ha repetido el blanco y sB no puede calcularse. El método definido por la ecuación (16) es válido solo si la principal fuente de error está en el blanco. Por lo tanto, en la mayoría de los casos este método dará límites de detección mas bajos que si se tiene e cuenta todo el error del calibrado. Un detallado artículo sobre límite de detección puede leerse en Analytical Chemistry; 55 (1983) 712A. (este artículo puede obtenerse en la biblioteca Central Leloir). Bibliografía D.A. Skoog, J.J. Leary, Analisis Instrumental, Ápendice 1, McGraw-Hill, 4ta. Edición, 1994. J.C. Miller, J.N. Miller, Estadística para Química Analítica, Addison-Wesley, 1993. M.A. Sharaf, D.L. Illman, B.R. Kowalski, Chemometrics, Wiley, 1986 R. Kellner, J.M. Mermet, M. Otto, H.M. Widmer, Analytical Chemistry, Capítulo 12, Wiley-VCH, 1998. G.L. Long, J.D.Winefordner; Analytical Chemistry; 55 (1983) 712A.

CALIBRACION 10

PROBLEMAS 1.- Un método oficial para el análisis de hidrocarburos clorados en muestras de aire tiene una desviación estándar de 0,030 ppm. a.- Calcular el intervalo de confianza del 95% para la media de cuatro medidas obtenidas con este método. b.- Cuantas medidas deberán hacerse si se pretende que el intervalo de confianza del 95% valga ±0,017. 2.-La exactitud de un método analítico se suele evaluar analizando uno o varios materiales estándar de referencia cuya composición se conoce. Siempre, la medida experimental del análisis x diferirá del valor verdadero µ obtenido con el estándar. Reordenando la ec. (2) se puede determinar si la diferencia x − µ es debida a un error sistemático.

Si | |xts

N− >µ existe un error sistemático.

Si | |xts

N− ≤µ no queda demostrada la presencia de un error sistemático.

Determine si en los siguientes ejemplos hay alguna evidencia de error sistemático. En todos los casos utilice un nivel de confianza del 95%.

a.- Se analiza un material de referencia cuyo valor de concentración de Hg se halla certificado y vale 0.389%. El mismo material se analiza mediante Espectrometría de Absorción Atómica por Generación de Vapor frío de Mercurio obteniéndose los siguientes valores : 0,389; 0,374; 0,371. ¿Cuál es la mínima diferencia de porcentajes de mercurio que podemos detectar con este experimento? ¿Cómo disminuye el sesgo detectable? b.- El tanto por ciento de níquel en una muestra particular de un acero de referencia es de un 1,12%. Un nuevo método espectrométrico para la determinación de níquel produjo los siguientes resultados (en %): 1,10; 1,08; 1,09; 1,12; 1,09. c.- Se estudió la exactitud de un método volumétrico para la determinación de calcio en minerales calcáreos analizando una piedra caliza estándar que contenía 30,15 % de CaO. El resultado de la media de cuatro análisis fue de 30,26% de CaO, con una desviación estándar de 0,085%.

• Indican estos datos la presencia de un error sistemático? A partir de un elevado número de análisis, se estableció la desviación estándar de la población. O sea s → σ = 0,094% de CaO.

• Indicarían estos datos la presencia de un error sistemático? • Cambian las conclusiones si el estándar tiene una incertidumbre igual a 0.014%

de CaO con una probabilidad de error del 5%? 3.- Se han analizado una serie de soluciones estándar de fluoresceína con un espectrofluorómetro, obteniéndose las siguientes intensidades de fluorescencia (en unidades arbitrarias): Intensidad fluorescencia (unidades arbitrarias)

2,1 5,0 9,0 12,6 17,3 21,0 24,7

Concentración de fluoresceína (pg/ml)

0 2 4 6 8 10 12

CALIBRACION 11

a.- Calcule la pendiente y la ordenada al origen de la recta de regresión para los datos mostrados. b.- Calcule la desviación estándar residual y los límites de confianza (al 95%) para la pendiente y la ordenada al origen. c.- Determine las concentraciones, las desviaciones estándar y sus límite de confianza (95%) para soluciones con intensidades de fluorescencia de 2,9; 13,5 y 23 unidades (L=1). Analice cual presenta el mejor límite de confianza en valores absolutos. Analice donde es conveniente que caiga el valor de la señal de la muestra dentro de la curva de calibración. d.- Si se considera como el promedio de cuatro medidas el valor de intensidad de fluorescencia de 13,5, cuáles serán los valores de la desviación estándar de la concentración calculada y el límite de confianza?. Y si fuera el promedio de ocho? Analice cual es la mejora obtenida al aumentar el número de medidas. e- ¿El análisis del gráfico de residuos indica una buena linealidad? 4-En la tabla siguiente se muestran los resultados para la curva de calibrado de la determinación de Mn usando un Espectrómetro de Absorción Atómica por Llama. Las alturas de las señales se midieron con un registrador electrónico. Concentración (ppm)

0 1 2 3 4 5

Señal (altura en unidades arbitrarias)

0.00 0.98 0.90

2.10 2.20

3.16 3.22

3.68 3.72

4.15 4.27

Repita los cálculos de los puntos a y b del ejercicio anterior. Compare el ancho de los intervalos de confianza. Analice gráficamente los residuos de la regresión. ¿Hay alguna tendencia? Analice si existen fallas del ajuste mediante un Test F. Si detecta una falla de ajuste ¿Cómo la solucionaría?. 5-Los siguientes resultados se obtuvieron para la determinación de Tl por medio de Espectrometría Atómica con Horno de Grafito. La evaluación de la señal se hizo a través del área del pico obtenido. A las señales de las muestras, se les restó automáticamente a través del software del espectrómetro, la señal obtenida para el blanco. Concentración de Tl (ng/ml)

20 40 60 80 100

Absorbancia (área del pico A.s)

0.038 0.089 0.136 0.186 0.232

Calcule los intervalos de confianza (95%) para la pendiente y la ordenada al origen. Calcule la sensibilidad con su incerteza. Decida mediante un test de hipótesis si la corrección hecha con el blanco está bien realizada. 6.- La concentración de plata en una muestra de desechos fotográficos se determinó por espectrometría de absorción atómica con el métodos de las adiciones estándar. Se obtuvieron los siguientes resultados: A un volumen de 10.00 ml de muestra se agregan volúmenes variables de una solución patrón de 100.0 mg/l de Ag y se completa hasta un volumen final de 25.0 ml. Volumen agregado de la solución estándar de Ag (ml)

0.00 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00

Absorbancia 0,32 0,41 0,52 0,60 0,70 0,77 0,89

CALIBRACION 12

Determine la concentración de Ag en la muestra, y obtenga los límites de confianza al 95% para esa concentración. 7.- Utilizando los datos del problema 3. Determine el límite de detección según: a.- Ecuación (16), considerando que la desviación estándar relativa del blanco es del 5%. b.- Ecuación (16), considerando que la desviación estándar relativa del blanco es igual a la desviación estándar residual (sy). 8- Un método de análisis de Pb en leche en polvo consiste en digerir las muestras sólidas en un digestor de microondas cerrado y analizar la solución obtenida mediante Voltametría de Redisolución Anódica. Se digieren 0.25 g de leche con 10 ml de ácido y se los lleva a un volúmen final de 25 ml con agua destilada. Se realiza una curva de calibrado utilizando patrones acuosos cuya concentración está entre 0 y 60 ng/ml de Pb y se obtiene la recta de regresión y=0.002+0.00291x. Para estimar el límite de detección se realizan 10 réplicas idénticas del blanco, incluída la digestión. Se obtienen las siguientes señales (áreas de pico en unidades arbitrarias).

Blanco Area 1 0.025 2 0.037 3 0.012 4 0.029 5 0.048 6 0.026 7 0.024 8 0.015 9 0.041 10 0.019

Determine el valor de la señal crítica (k=3). Determine el límite de detección de Pb en la muestra sólida expresado en microgramos de Plomo por gramo de leche.

CALIBRACION 13

TABLA I.- Valores de z para distintos niveles de confianza

Nivel de confianza, %

z Nivel de confianza, %

z Nivel de confianza, %

z

50 0,67 90 1,64 99 2,58 68 1,00 95 1,96 99,7 3,00 80 1,29 96 2,00 99,9 3,29

TABLA II.- Valores de t para varios niveles de confianza

Grados de Factor para un intervalo de confianza, %

libertad 80 90 95 99 99,9

1 3,08 6,31 12,7 63,7 637

2 1,89 2,92 4,30 9,92 31,6

3 1,64 2,35 3,18 5,84 12,9

4 1,53 2,13 2,78 4,60 8,60

5 1,48 2,02 2,57 4,03 6,86

6 1,44 1,94 2,45 3,71 5,96

7 1,42 1,90 2,36 3,50 5,40

8 1,40 1,86 2,31 3,36 5,04

9 1,38 1,83 2,26 3,25 4,78

10 1,37 1,81 2,23 3,17 4,59

11 1,36 1,80 2,20 3,11 4,44

12 1,36 1,78 2,18 3,06 4,32

13 1,35 1,77 2,16 3,01 4,22

14 1,34 1,76 2,14 2,98 4,14

∞ 1,29 1,64 1,96 2,58 3,29

Tabla III.- Propagación del error en los cálculos aritméticos Tipo de cálculo Ejemplo* Desviación estándar de x