CAL 2 PC3 2014 0

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CAL 2 PC 3 / CICLO 2014 0

INTEGRALES DOBLES

I.EN COORDENADAS CARTESIANAS:

A.INTERCAMBIO EN EL ORDEN DE INTEGRACION:

1.Prof. Clemente-Rivas-Euclides(11-1)

Dada la integral:

a) Graficar la región de integración. (1p)

b) Intercambiar el orden de integración. (1p)

c) Evaluar la integral de la parte b). (3p)

2.Prof. Euclides (10-2) Dada la integral:

a) Graficar la región de integración.(2p)

b) Intercambiar orden de integración. (3p)


Cambiar el orden de integración

de: (5p)

4.Prof. Rivas-Soto-Ramos (10-1)

Dado la Integral i) Describir y graficar la región de

integración. (1p)

ii) Hallar el valor de la integral dada. (4p)

5.Prof. Ramos (09-1) Usando integrales dobles hallar el

área de la región R limitada por las

curvas: , ,

. (5p)

Prof. Clemente (09-1) Evaluar las siguientes integrales:

a)

b) , siendo la región

(4p)

6.Prof. Soto (09-1)

Dada . Dibujar la región de integración y calcular la integral doble. (5p)

7.Prof. Cárdenas (09-0)

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Dado , donde

a) Graficar la región .

(1p) b) Intercambiar orden de integración.

(1p)

c) Calcular el valor de la integral. (2p)

8.Prof. Aníbal (08-1)

Evaluar a) Graficar según límites de

integración.b) Haga Ud. Su cambio de variable e

integrar. (4p)

B.AGRUPACION DE INTEGRALES:

9.Prof. Clemente (09-1)

Representar en una sola integral,

la suma de las integrales:

(4p)

10.Prof. Ramos (09-1) Intercambiar el orden de

integración y expresar en una sola integral doble:

(5p)

11. (08-1) Dado la suma de integrales:

a) Construir la región de integración.b) Expresar la suma de integrales

como una sola integral.c) Calcular el valor de la integral

hallada en b) para la función

. (4p)

II.EN COORDENADAS POLARES:

A.EN POLARES NORMALES (CIRCUNFERENCIAS):

12.Prof. Primitivo Cárdenas (10-2) Dado la Integral:

i) Graficar la región de integración y cambiar la orden de integración. (3p)

ii) Expresa la integral en coordenadas polares. (2p)

13.Prof. Primitivo Cárdenas (10-2)

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Evaluar

i) Si es la región triangular

acotada por . (3p)

ii) Si (2p)


i) Calcular

ii) , donde (5p)

15.Prof. Ramos (09-2) Dada la integral:

i) Describir gráficamente el dominio de integración.

ii) Calcular la integral sobre el dominio hallado. (4p)

16.Prof. Ramos (09-2)i. Construir la gráfica de la región D

en el plano XY, limitada por las líneas:

ii. Calcular sobre la región construida. (4p)

17.Prof. Cantoral (09-2)

Hallar donde la región plana R está limitada por

. (4p)

18.Prof. Clemente (09-1) Dada la integral

, siendo la región definida como:

. (4p)


Calcular , donde

en el semi-plano del primer cuadrante. (4p)

20.Prof. Clemente (08-1) Señale en un diagrama la región

de integración y calcule el valor de

la integral:

(5p)

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B.EN POLARES MODIFICADAS (ELIPSES):

21.(08-1) Calcular la integral doble:

, siendo

la región en el primer cuadrante

acotada por: y los ejes coordenados. (4p)

III.COORDENADAS GENERALES:

22.Prof. Clemente-Rivas-

Euclides(11-1) Sea D una región acotada por las

rectas: , , ,

. Usando cambio de

variable , .a) Graficar ambas regiones.

(2p)

b) Calcular la región (3p)

23.Prof. Euclides (10-2)

Dada la integral

considerar cambio de variables

, donde D es una

región limitada por las rectas

, , ,

a) Graficar las regiones D y su

transformación.

(2p)b) Evaluar la integral.

(3p)

24.Prof. Clemente-Rivas-Euclides (10-1)

Dada la integral:

a) Dibujar la región de integración.

b) Si se conoce ;

calcular el valor de .(5p)

(Sugerencia: , )

25.Prof. Rivas-Soto-Ramos (10-1)i) Sea la región :

(1p) Graficar D en el plano uv. (1.5p)

ii) Hallar el área de la región D. (2.5p)

26.Prof. Ramos (09-2) Si la región D en el plano XY es el

triángulo determinado por la recta

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y los ejes coordenados.

Calcular la integral: . (4p)

27.Prof. Ramos (09-1)

Calcular siendo el triángulo limitado por los ejes

coordenados y la recta . (5p)

28.Prof. Soto (09-1) Aplicando la transformación:

, . Calcular

. (5p)

APLICACIONES DE LAS INTEGRALES DOBLES

I.CENTRO DE MASA


Determinar el centro de masa de la región D limitada por las curvas:

, , si la densidad

de esta dada por . (5p)


Determinar el centro de masa de

un trapecio de vértices

Si la función de densidad en cualquier punto es

. (5p)


Hallar el centro de masa de la

región D, limitadas por las curvas

si la densidad de D

es . (5p)

32.GUIA. Hallar el centroide de la región del

primer cuadrante interior al círculo

.33.GUIA. Hallar el centroide de la región

plana R limitada por las curvas:

, x = a, y = 0 .

34.GUIA. Calcular el centroide de la región

plana R limitada por la curva : y = cos x , el eje OX y el eje OY

.

II.MOMENTO DE INERCIA:

35.GUIA. Hallar el momento de inercia

respecto al eje OX de una lámina

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homogénea con densidad de

masa , que ocupa la

región R limitada por la curva y las rectas y = 0, x = 0 , x = 1.

III.AREAS:


Determinar el área de la región acotada por la gráfica de la curva

. (4p)


Sea la región D acotada por las

curvas:

a) Graficar la región D.

(2p)

b) Hallar el área de la región D

usando integrales dobles.

(3p)

38.Prof. Primitivo Cárdenas (10-1) Hallar el área de la región acotada

por la gráfica de (5p)

39.Prof. Ramos (09-2)i. Construir la gráfica de la región D,

limitada por las líneas: ,

, , .

ii. Calcular el área de la región construida. (4p)

40.Prof. Clemente (09-1)a) Determinar el área de la región D,

limitada por las curvas:

b) Usando integral doble hallar el volumen del tetraedro acotado por los planos coordenados y el plano

. (4p)


Hallar el área de la región acotada por las curvas

, , , (Eje X). (4p)

42.(08-1) Hallar el área de la región plana

limitada por la parte de arriba por:

y en la parte de abajo

por . (4p)

43.Prof. Clemente (08-1)a) Mediante integral doble calcular el

área de la región D limitada por las curvas:

.b) Mediante integral doble

determinar el volumen de un tetraedro limitado por los planos coordenados y el plano

. (5p)

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44.GUIA. Área de la región R dada por

IV.VOLUMENES USANDO INTEGRALES DOBLES:


Hallar el volumen del sólido

acotada por las superficies

. (4p)

46.Prof. Rivas-Soto-Ramos (10-1) Determinar el volumen del solido

acotado por el plano x+z=1, el

plano XY y por . (5p)


Hallar el volumen del solido acotado por el paraboloide

y el cilindro (5p)

48.Prof. Rivas-Soto-Ramos (10-1) Determinar el volumen del solido

acotado por las superficies

, (5p)


Hallar el volumen del solido

limitado por: .

(4p)

50.Prof. Clemente (09-1) Calcular el volumen del solido

comprendido entre los

paraboloides ,

. (4p)

51.Prof. Soto (09-I) Hallar el volumen del tetraedro

limitado por: y los planos coordenados. (5p)

52.Prof. Ramos (09-1) Hallar el volumen del solido

limitado por el paraboloide

, el cilindro y

el plano .

(5p)

53.GUIA. Volumen del sólido acotado W,

limitado por el paraboloide

y el plano XY.}

54.GUIA. Volumen de la región común a la

esfera y al sólido

cilíndrico .

55.GUIA.

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Calcular el volumen del sólido:

.

INTEGRALES TRIPLES

I. COORDENADAS CARTESIANAS:

56.Prof. Rivas-Soto-Ramos (10-1)i. Graficar el sólido S acotado por las

ecuaciones: , ,

, . (1.5p)

ii. Determinar el volumen del solido S por integrales triples. (3.5p)

57.Prof. Ramos (09-2)

Evaluar la integral:

(4p)

II. COORDENADAS CILINDRICAS:


a) Calcular

b) Calcular , donde

es la región limitada por ,

, . (5p)

59.Prof. Clemente (08-1)

Calcular , donde la regios S está limitado por las

superficies .

(5p)


Hallar la integral , si

, sobre la porción de

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cilindro , que se

encuentra entre los planos y

. (4p)

III. COORDENADAS ESFERICAS:


Calcular la integral:

Graficando la región de integración.

(4p)

62.Prof. Primitivo Cárdenas (10-1) Calcular:

, graficando la región de integración. (5p)

63.Prof. Cantoral (09-2)

Hallar: . (4p)

64.Prof. Aníbal (09-1) Usando coordenadas esféricas.

Evaluar:

. (4p)


Evaluar ,

para . (4p)

66.Prof. Cantoral (09-2) Usando integrales tripes hallar el

volumen del solido limitado por el

cono y la esfera

siendo . (4p)


Calcular , si Q

está acotada inferiormente por el plano XY y entre las esferas

y . (4p)


Por medio de integrales triples,

calcular el volumen del solido

encerrado por (4p)

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MISCELÁNEA DE INTEGRALES TRIPLES

69.Calcular:

∫0

2

∫0√4−x2 ∫0

√4−x2− y2 z √4−x2− y2 dzdy dx

70.Calcular:

71.Calcular:

∫−3

3 ∫−√9−x 2√9−x2 ∫0

9−x2− y2

x2dz dy dx

72.Calcular:

∫01 ∫y2

y

∫0y− z2

( y+z2 ) dx dz dy

73.Expresar la integral

∫∫s∫ f ( x , y , z ) dx dy dz

como una integral iterada en 06 formas sobre la región:

74.Sea S, la región acotada por los planos x = 0, y = 0, z = 2 y la superficie Z = x2 + y2, x 0, y

0. Calcular :

75.Si S es la región limitada por x2 + y2 = 3z2; z 0, y 0, x2+ y2 + z2 =

4. Calcular: ∫∫

S∫ z dx dy dz√x2+ y2

76.Sea S la región limitada por las superficies z = x2 + y2, x2 + y2

= a2. Calcular: ∫∫

S∫√ x2+ y2 dx dy dz

77.Calcular ∫∫

S∫ zdx dy dz

donde S es el sólido limitado por las superficies:

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