Caderno Atividades Matemática 7ºano

8/9/2019 Caderno Atividades Matemática 7ºano

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CADERNO

DE ATIVIDADES

MATEMÁTICA7º. ANO

Fátima Cerqueira MagroFernando FidalgoPedro Louçano

D e a c o r d o c o m

M e t a s C u r r i c

u l a r e s

e N o v o P

r o g r a m a d e 2 0 1 3

N O VA E D I Ç Ã O


2/112


3/112

NúmerosResumir 4

Praticar 81. Multiplicação e divisão de números racionais relativos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 16, 19, 20, 212. Propriedades da adição e multiplicação de números

racionais relativos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 73. Potências de base racional e expoente natural 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 204. Quadrados perfeitos e raiz quadrada 22, 23, 24, 25, 26, 28, 29, 31, 33, 355. Cubos perfeitos e raiz cúbica 22, 23, 24, 26, 32, 34

Testar 14

FunçõesResumir 16Praticar 18

1. Referencial cartesiano2.1 Correspondências e funções 12.2 Modos de representar correspondências 1, 8, 9, 252.3 Análise de algumas correspondências 1, 7, 313. Funções 2, 3, 15, 17, 18, 194. Operações com funções 45. Função afim 5, 14, 20, 25, 306. Proporcionalidade direta como função 6, 7, 9, 11, 13, 21, 29, 30, 31, 337. Interpretação de gráficos 10, 13, 16, 21, 22, 26, 27, 28

Testar 34

Sequências e regularidadesResumir 36Praticar 38

1. Sequências 1, 2, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 131.1 Gráfico de uma sequência numérica2. Sucessões 3, 4, 8

Testar 44

Figuras geométricasResumir 46

Praticar 48

1. Demonstrações 19, 30, 322. Linha poligonal e polígono 1, 2, 33. Ângulos internos e externos de um polígono 6, 11, 13, 17, 21, 22, 26, 284.1 Algumas propriedades dos paralelogramos 4, 5, 8, 9, 10, 11, 12, 14, 15, 16, 18,

20, 23, 304.2 Áreas de alguns quadriláteros 26, 27, 29, 32

Testar 58

UNIDADE 4

UNIDADE 3

UNIDADE 2

UNIDADE 1 Atividades Página

ÍNDICE


4/112

Tratamento de dadosResumir 60

Praticar 621.1 Média e moda 3, 5, 6, 7, 9, 10, 11, 12, 131.2 Mediana 2, 3, 4, 6, 7, 8, 11

Testar 70

EquaçõesResumir 72Praticar 74

1. Noção de equação 6, 12, 15, 20, 26, 29, 342. Raiz ou solução de uma equação 1, 3, 4, 19, 22

3. Equações equivalentes 194. Adição de termos semelhantes 255. Princípios de equivalência de equações 2, 3, 4, 25, 266. Classificação de equações 19, 20, 337. Equações lineares a uma incógnita 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18,

19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 338. Resolução de problemas com equações 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18

20, 21, 22, 23, 24, 26, 27, 29, 30, 31, 32Testar 84

Figuras semelhantesResumir 86Praticar 88

1. Comparação entre segmentos de reta 1 (Testar)2. Segmentos de reta comensuráveis3. Segmentos de reta proporcionais4. Decomposição de um triângulo5. Teorema de Tales 15, 6 (Testar)6. Figuras semelhantes 1, 4, 77. Semelhança de triângulos 2, 3, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 20, 21, 27, 29

30, 31, 32, 34, 35, 37, 388. Semelhança de polígonos 8, 9, 16, 17, 18, 19, 24, 289. Círculos semelhantes 2210. Como dividir um segmento de reta?

11. Homotetias 4, 2112. Perímetros e áreas de figuras semelhantes 22, 23, 25, 3713. Determinação de distâncias aplicando semelhanças 12, 27, 28, 31, 33, 36, 3814. Incomensuráveis

Testar 102

Provas globais 104Prova global 1 106Prova global 2 108Prova global 3 110

Soluções disponíveis em: www.pi7.asa.pt

UNIDADE 7

UNIDADE 6

UNIDADE 5 Atividades Página


5/112

Multiplicação e divisão de números racionais relativos

Para multiplicar números racionais positivos representados por frações, multiplicam-se os numeradores e os de-

nominadores das frações.

Exemplo:

¥ = =25

113

2 ¥ 115 ¥ 3

2215

4

Resumir

Unidade 1 Números

O simétrico da diferença entre dois números racionais é igual à soma dos simétricos, ou seja, para quaisquer qe r números racionais, –(q – r ) = (–q) + r .

Exemplo:

–(4 – ) = (–4) +7575

Exemplo:

: = ¥ = =37

112

3314

211

37

3 ¥ 117 ¥ 2

Exemplo:

– ( + 3) = (– ) + (–3)2525

Exemplo:

¥ (–5) = (– ) ¥ 5 = –( ¥ 5)23 2323

Para dividir números racionais representados por frações, basta multiplicar o dividendo pelo inverso do divisor.

Operações com números racionais relativos

O simétrico da soma de dois números racionais é igual à soma dos simétricos, ou seja, para quaisquer q e r nú-meros racionais, –(q + r ) = (–q) + (–r ).

Para quaisquer números racionais q e n, n ¥ (–q) = (–q) ¥ n = –(n ¥ q).

O produto de dois quaisquer números racionais é o número racional cujo valor absoluto é igual ao produto dosvalores absolutos dos fatores, sendo o sinal deste produto positivo se os fatores tiverem o mesmo sinal e ne-gativo no caso contrário.

Exemplos:

1. – ¥ (– ) = 2. 5 ¥ (– ) = –2315

215

27

107


6/112


7/112


8/112

Exemplo: 3 =3

2

73

6

4

2764√∫

7

Quadrados perfeitos e raízes quadradas

Chama-se quadrado perfeito a um número que é quadrado de um número inteiro positivo.

A raiz quadrada de um número a (não negativo) é um número b (não negativo) tal que b2 = b ¥ b = a e repre-senta-se por a ou 2 a.

• Sejam m e n quocientes de quadrados perfeitos. Então, m ¥ n e , n ≠ 0, também são quocientes de quadra-dos perfeitos.

m

n

• Sejam q e r dois números racionais positivos. Então, q ¥ r = q ¥ r .

• Sejam q e r dois números racionais positivos com r ≠ 0. Então, = . q

r

q

r √∫

Cubos perfeitos e raízes cúbicas

Chama-se cubo perfeito a um número que é cubo de um número inteiro positivo.

Exemplo: 25 é um quadrado perfeito porque 25 = 52.

Exemplo: 6 4 = 8, porque 82 = 64.

Exemplo: 3 6 = 4 ¥ 9 = 4 ¥ 9

Exemplo: =2 5

4 9

2549√∫

Exemplos:

1. ¥ = ¥ = = 2. : = : = ¥ = =169

14

42

3212

22(4 ¥ 1)2

(3 ¥ 2)242

62169

14

42

3212

2242

3222

1282

32(4 ¥ 2)2

(3 ¥ 1)2

Exemplo: 27 é um cubo perfeito porque 27 = 33.

A raiz cúbica de um número a é um número b tal que b3 = b ¥ b ¥ b = a e representa-se por 3 a.

Exemplo: 3 6 4 = 4, porque 43 = 64.

• Sejam m e n quocientes(ou simétricos de quocientes) de cubos perfeitos. Então, m ¥ n e , n ≠ 0, também sãoquocientes de cubos perfeitos.

m

n

Exemplos:

1. ¥ = ¥ = = 2. : = ¥ = ¥ = =8

271

12523

3313

53(2 ¥ 1)3

(3 ¥ 5)323

1531

3438

27(1 ¥ 3)3

(7 ¥ 2)333

1431

343278

13

7333

23

• Sejam q e r dois quocientes ou simétricos de quocientes de cubos perfeitos. Então, 3 q ¥ r = 3 q ¥ 3 r .

• Sejam q e r dois quocientes ou simétricos de quocientes de cubos perfeitos. Então, 3 = , para r ≠ 0.3 q

3 r

q

r √∫Exemplo: 3

8

¥

2

7 = 3

8 ¥ 3

2

7

• Sejam q e r dois quocientes ou simétricos de quocientes de cubos. Então, 3 – q = –3 q.

Exemplo: 3 – 8 = –3 8


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Praticar

Unidade 1 Números

1 Completa as duas tabelas seguintes.

2 Calcula o valor de cada uma das seguintes expressões numéricas.

2.1 (–3) ¥ (+ ) = _________________

2.3 (+2) ¥ (+ ) = _________________

2.5 (– ) ¥ (– )= _______________

2.7 (– + 2) ¥ (–0,7) = ____________

2.9 (–0,2 – ) + (–7 + ) = _______

_________________________________

2.2 (– ) ¥ (– ) = _________________________

2.4 (+ ) ¥ (– ) = _________________________

2.6 (– ) ¥ (+ ) ¥ 0,3 = ___________________

2.8 (+5) ¥ (+4 – 2 ) = ______________________

2.10 (–2) ¥ (– + ) – (– – ) = _________

__________________________________________

45

72

207

39

57

54

43

53

34

63

87

23

52

15

34

810

52

35

3 Completa o esquema sabendo que em cada retângulo se escreve o produto dos dois números que estãoimediatamente por baixo dele.

4 Completa a tabela, identificando a propriedade da multiplicação que permite escrever cada uma dasigualdades.

+2 –2 –2 –1×

+

+8

–0,7

–0,6

–2

–1

(–7) ¥ = ¥ (–7)52

52

(– ¥ ) ¥ (–3) = (– ) ¥ ( ¥ (–3))2795

27

95

PropriedadeIgualdade

–2

0

+2 –0,3 –4 2:

+4

+

–12

0

4385

35

13

13

(–2) ¥ (– + (– )) = (–2) ¥ (– ) + (–2) ¥ (– )456

1145

611


10/1129

6 Completa os espaços com um número inteiro de forma a tornar verdadeiras as igualdades.

7 Completa a tabela, indicando, em cada caso, os valores de a, b e c que tornam as igualdades verdadeiras.

8 Faz corresponder cada expressão da coluna da esquerda a uma expressão da coluna da direita, de modoque cada uma das expressões fique associada a outra com o mesmo valor.

9 Completa cada uma das seguintes frases de modo a obteres afirmações verdadeiras. Para isso, utilizaos termos: ímpar/positivo/quadrado perfeito/par/ cubo perfeito/zero.

6.1 –3 ¥ _____ = –

6.3 _____ : (– ) = +1

6.5 (– + 3) ¥ _____ = –36

6.2 – : _____ = +15

6.4 _____ : (– – ) = –2

6.6 _____ : (–14 ¥ (–1)) = –3

97

307

152

153

16

35

9.1 Uma potência de base positiva é sempre um número _________________________.9.2 Uma potência de base zero e expoente diferente de zero é sempre _________________________.9.3 Uma potência de base negativa e expoente _________________________ é um número positivo.9.4 Uma potência de base negativa e expoente _________________________ é um número negativo.9.5 Um número que é quadrado de um número inteiro diz-se um _________________________.9.6 Um número que é cubo de um número inteiro positivo diz-se um _________________________.

5 Calcula o valor de cada uma das seguintes expressões numéricas, utilizando, sempre que possível, a pro-priedade distributiva da multiplicação.

5.1 ¥

(– + 5

) 5.2 – ¥

(– + 6

) 5.3 –

(– +

)+ (–4)¥

(– –

) 5.4

(–

)

2

¥

(–22 –

)+ (–1)7 +

2

3

3

5

8

7

5

2

3

2

5

3

3

5

7

3

3

2

5

7

7

2

a b c

a ¥ b = 1,5

c ¥ b ¥ (–4) =

a : c = –2b

(a : b) ¥ c = –

Expressão

(–2)2 + (–1)5 l

: (–1,5) × (–1)200 l

(–2)2 l

–16 : (–4) × (– ) l

92

1

5

l (–3)2 – (22 × 3)

l –

l –16 × (–1) – 13

l (– )2

: (– )2

22

5

16

5

8

5

32

307


11/112

13 Uma potência de base negativa é: (Escolhe a opção correta.)

[A] sempre positiva.

[B] sempre negativa.

[C] positiva se o expoente for um número par.

[D] negativa se o expoente for um número par.

10

Praticar

Unidade 1 Números

14 Considera as potências a x e a y, de expoente inteiro, sendo a um número inteiro positivo.

Se x – y = 3 , então é igual a: (Escolhe a opção correta.)

[A] a3 [B] a [C] 1 [D] 0

a x

a y

15 Qual das afirmações seguintes é verdadeira?

[A] –1,4 > – [B] (–1)207 = –207 [C] –120 = +1 [D] (–7)4 = –7412

16 Escreve em linguagem matemática e calcula:

16.1 a soma de –2 com o dobro de – ;

16.2 o produto da soma de + com – pelo triplo de –7;

16.3 o triplo do quadrado de – ;

16.4 a soma do cubo de – com o quadrado de + ;

16.5 o quadrado da soma de – com o dobro do seu simétrico.

32

35

54

15

54

72

57

10 Escreve como uma potência de expoente 2. Explica como procedeste.6425

11 Escreve 64 como uma potência de base 2. Explica como procedeste.

12 Uma potência de expoente ímpar e base positiva é sempre: (Escolhe a opção correta.)

[A] negativa [B] positiva [C] maior do que 1 [D] menor do que 1


12/11211

19 Considera um número racional a.19.1 Mostra que o simétrico de a – 1 é 1 – a.

19.2 Calcula cada um dos números referidos na alínea anterior no caso de a = 3.

Caderno de Apoio às Metas Curriculares do Ensino Básico

20 Sabendo que x = –(– + ), y = –2

– (– )2

e w = –3 ¥ (– – ), determina o valor de cada umadas seguintes expressões.

20.1 x + y + w

20.2 x ¥ y + w

20.3 x2 –( y – w)2

23

52

25

23

15

52

21 Dentro de um saco estão quatro cartões de igual textura e formato. Em cada um deles está escrito um dosnúmeros +1, –1, –2 e +2. Num outro saco estão também quatro cartões de igual textura e formato, mastodos com o número –3 escrito.

17 A expressão (– – )2

é igual a: (Escolhe a opção correta.)

[A] (– )2

– (– )2

[B] (– )2

+ (– )2

[C] – [D] +

32

45

32

45

32

45

2310

2310

18 Utiliza um dos símbolos >, < ou = para completar os espaços, tornando as afirmações verdadeiras.

18.1 (– )3

_____ (– )2

18.2 1,5 _____ (– )5

18.3 030 _____ (– )301

18.4 (–1)4002 _____ (+1)25 18.5 –33 _____ (–3)3 18.6 –34 _____ (–3)4

23

23

72

35

21.1 Sem olhar, a Ana retirou dois cartões, um de cada saco, e somou os números neles escritos. Ob-teve –5. Que números estavam escritos nos cartões?

21.2 Da mesma forma, o Pedro retirou dois cartões, um de cada saco, e multiplicou os números nelesescritos. Qual o valor máximo que o Pedro pode ter obtido? Explica o teu raciocínio.

21.3 A Carlota afirmou que, na experiência descrita na alínea anterior, o Pedro tinha mais hipótesesde obter um produto positivo do que um produto negativo. Concordas com a Carlota? Explica oteu ponto de vista.


13/112

23 Completa a tabela, apresentando, sempre que necessário, os valores arredondados às décimas.

12

Praticar

Unidade 1 Números

64

a

3

√∫a

5

3√∫a (√∫a)2 (3√∫a)3

24 Considera as seguintes afirmações.

A. 9 é um cubo perfeito. B. A raiz quadrada de cinco é vinte e cinco.C. A raiz cúbica de 64 é 4. D. 36 é um quadrado perfeito.

Escolhe a opção correta.

[A] As afirmações A e B são verdadeiras. [B] As afirmações C e D são verdadeiras.

[C] As afirmações A e D são verdadeiras. [D] Nenhuma das opções anteriores.

25 Qual é o perímetro de um quadrado com 36 cm2 de área? (Escolhe a opção correta.)

[A] 6 cm [B] 9 cm [C] 24 cm [D] 36 cm

26 Qual é o volume de um cubo cuja aresta tem o dobro do comprimento da aresta de um cubo com125 cm3 de volume? (Escolhe a opção correta.)

[A] 250 cm3 [B] 1000 cm3 [C] 10 cm3 [D] 20 cm3

27 Dado um número racional q, mostra que 5 ¥ (–q) = –(5 ¥ q).


28 Calcula o valor exato de cada uma das seguintes expressões numéricas.

28.1 [(– ) ¥ ( )] :

28.2 ¥ (–3 + )

28.3 ( 3)2 + 3 6 ∫4 – (3 5)3

28.4 ( 8 ∫1) ¥ (– 1 ∫0 ∫0 – 3 1 ∫2 ∫5)

28.5 –3 + 3 ∫6 : 3 2 ∫7 + (–5) ¥

243√∫3

35

23

7–4

27

45

22 Completa os espaços em branco.

22.1 √∫8 ∫1 = _____ porque 92 = _____ ; 22.2 √∫_ ∫_ ∫_ ∫_ ∫_ = 7 porque 72 = _____ ;

22.3 3√∫_ ∫_ ∫_ ∫_ ∫_ = 3 porque 33 = _____ ; 22.4 3√∫8 = _____ porque _____3 = _____


14/112

35 Na figura ao lado estão representados três quadrados.Sabe-se que o quadrado menor tem 121 cm2 de área e que o quadradomaior tem 144 cm2. Sabe-se ainda que C –B = B – A.

35.1 Determina o comprimento do lado do quadrado maior.

35.2 Determina a área do quadrado do lado [BD]. Explica o teu raciocínio.

13

29 Indica dois quadrados perfeitos cuja soma seja um quadrado perfeito e dois cuja soma não seja um qua-drado perfeito.

30 Sabe-se que 3 < 3√∫6 ∫2 < 4. Sem utilizar a calculadora, indica outros quatro números cuja raiz cúbica tam-bém seja maior que 3 e menor que 4. Explica o teu raciocínio.

31 Sabendo que = , q ≠ 0, determina o valor de . Apresenta o resultado sob a forma de fração.p

q√∫ p

q

2536√∫

32 Mostra que se p e q são cubos perfeitos não nulos, então também é um cubo perfeito.p

q

33 Considera o número racional .

33.1 Calcula ( )2

.

33.2 Que relação existe entre o quadrado de e o quadrado do seu simétrico?

57

57

57

34 A Joana comprou um perfume para oferecer ao João Nuno no diados namorados. Na perfumaria, para embrulhar o perfume, utiliza-ram uma caixa com a forma de um cubo, tal como ilustra a figura.

Sabendo que a caixa utilizada tem 2197 cm3 de volume, e que parafazer o laço foram utilizados 30 cm, determina o comprimento totalda fita utilizada no embrulho. Explica como procedeste.

B ACD


15/112

1 “O produto de dois números inteiros é sempre um número inteiro positivo.”Prova que a afirmação anterior é falsa, apresentando um contraexemplo.

2 Sem efetuar cálculos, completa a tabela indicando o sinal de cada uma das potências.

3 Determina o valor de cada uma das seguintes expressões.

3.1 [(–3)2 ¥ (– )] ¥ (– + )

3.2 [–5 ¥ (–2 + )]3

: (– )

3.3 0456 + (–1)789 ¥ (– ) + (+1)178 ¥ (–2

+ 3 ∫6)

3.4

4 Observa a figura.

Como podes observar, a figura pode ser decomposta em 6 quadrados. Sabendo que cada um deles tem36 mm2 de área, determina o perímetro da figura.

72 53 65

12

52

34√ ∫

12527

3

14

Testar

Unidade 1 Números

Potência (–9)2 (–35)457 (+2,4)223

Sinal

(+ )2427

9

(– ) ¥ (– ) + – ( )33

223 √∫

2764

3 √∫323√∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫


16/11215

5 Seja p um número racional. Mostra que 2 ¥ (–p) = –(2 ¥ p).

6 Escreve na forma de dízima.

7 Calcula, utilizando a definição de produto de dois números racionais, ( ) ¥ (– ) e verifica que éigual a –( ¥ ). Caderno de Apoio às Metas Curriculares do Ensino Básico

8 Observa o polígono [RSTU ].

O polígono anterior pode ser decomposto em dois triângulos geometricamente iguais, [RR’U ] e [SS’T ],e um quadrado, [RR’S’S], tal como mostra a figura seguinte.

Sabendo que U –R’ = 4 cm e que a área do quadrado [RR’S’S] é igual a 16 cm2, determina U –T .

43

57

5743

√∫4253

R S

U

R

R’

R

R’ U

S

S’

S

S’ T

T


17/112

Cada ponto do gráfico fica definido por um par ordenado (coordenadas cartesianas). Este é formado por umaabcissa e por uma ordenada.

( x, y)

abcissa ordenada

Coordenadas cartesianas

Referencial cartesiano

Um referencial cartesiano é composto por dois eixos habitualmente perpendiculares entre si, cada um deles

com uma orientação indicada por uma seta representada numa extremidade e por uma graduação, habitual-mente igual em ambos.

16

Resumir

Unidade 2 Funções

Funções

Uma função é uma correspondência entre dois conjuntos, o conjunto de partida e o conjunto de chegada. Numafunção, a cada elemento do conjunto de partida corresponde um e um só elemento do conjunto de chegada.

Para representar uma função podem utilizar-se diagramas sagitais, tabelas, gráficos cartesianos ou ex-pressões analíticas:

Numa correspondência que é função, o conjunto de partida designa-se por domínio da função e representa-sepor D . Os elementos deste conjunto chamam-se objetos ou originais. A cada objeto, x, a função fará corres-ponder um e um só elemento do conjunto de chegada: a imagem desse objeto. A imagem de x representa-se porf ( x). O conjunto das imagens chama-se contradomínio da função, e representa-se por C.D. ou D ’.

Veículo

Bicicleta

Número de rodas

2

Triciclo 3

Automóvel 4

f ( x) = 2 x

Tempo

A l t u r a

Número de pernas

ElefanteGato

AranhaPolvo

Homem

4

8

2

2.o quadrante

Origem do referencial

Eixo das ordenadas

Eixo das abcissas

x

y

1.o quadrante

3.o quadrante 4.o quadrante

A origem do referencial temcoordenadas (0, 0).


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Operações com funções

• A soma de funções numéricas com o mesmo domínio é uma função com o mesmo domínio tal que a imagem de

cada x ∈ A é a soma das imagens. (a + b)( x) = a( x) + b( x)

• A diferença entre funções numéricas com o mesmo domínio é uma função com o mesmo domínio tal que a ima-

gem de cada x ∈ A é a diferença das imagens. (a – b)( x) = a( x) – b( x)

• O produto de funções numéricas com o mesmo domínio é uma função de mesmo domínio tal que a imagem de

cada x ∈ A é o produto das imagens. (a ¥ b)( x) = a( x) ¥ b( x)

Proporcionalidade direta

As grandezas X e Y são diretamente proporcionais se a razão entre os valo-

res correspondentes das duas, tomados pela mesma ordem, for constante enão nula. Ao valor dessa razão dá-se o nome de constante de proporciona-

lidade direta.

Qualquer função com uma expressão algébrica do tipo y = k ¥ x ou, de forma

equivalente, f ( x) = k ¥ x, k ≠ 0, diz-se uma função de proporcionalidade direta.

Para xnão nulo, = = k diz-se a constante de proporcionalidade direta.

Uma função f de proporcionalidade direta é igual, no seu domínio, a uma fun-

ção linear de coeficiente a = f (1).

Num gráfico de proporcionalidade direta, todos os pontos estão sobre uma reta que passa pela origem do refe-

rencial.

f ( x) x

k ¥ x x

Uma dada função f : A→ B diz-se uma função numérica quando B é um conjunto de números e uma função de

variável numérica quando A é um conjunto de números.

O gráfico de uma função f : A→ B é o conjunto dos pares ordenados ( x, y), com x∈ A e y = f ( x). x designa-se por

variável independente e y, porque depende de x, designa-se por variável dependente.

Função afim

Uma função numérica de variável numérica para a qual existe um número racional b tal que f ( x) = b, para todo

o racional x, diz-se uma função constante.

Uma função numérica de variável numérica para a qual existe um número racional a tal que f ( x) = a x, para todo

o racional x, diz-se uma função linear. f ( x) = a x diz-se a forma canónica da função linear e a diz-se o coeficiente

da função.

A soma e a diferença de funções lineares são funções lineares de coeficientes iguais, respetivamente, à soma e

à diferença dos coeficientes das funções dadas.

O produto de uma função linear por uma função constante é uma função linear cujo coeficiente é igual ao pro-

duto pela constante do coeficiente da função linear.Uma função afim é a soma de uma função linear com uma função constante. f ( x) = a x + b diz-se a forma ca-

nónica da função afim, onde a é o coeficiente da função linear e b o valor da constante. a diz-se o coeficiente

de x e b o termo independente.

O produto por uma função constante, a soma e a diferença de funções afins são funções afins de coeficientes

da variável e termos independentes respetivamente iguais ao produto pela constante, à soma e à diferença dos

coeficientes das funções dadas.

y1 = k x

1

y2 = k x

2

y3 = k x

3

y

x 1

y3

y2

y1

x 2

x 3

x


19/11218

Praticar

Unidade 2 Funções

1 Indica quais das seguintes correspondências são funções. Justifica a tua resposta.

C o r r e s p o n d ê n c i a

1

C

o r r e s p o n d ê n c i a

2


3

C o r r e s

p o n d ê n c i a

4


5

C o r r e s p o n d ê

n c i a

6


7

A

–2–10

B

12

0

2

1É função

Não é função

Justificação

y

x

1

–1

1 2 3 44 3 2 1

1

2

1

2–

É função

Não é função

Justificação

É função

Não é função

Justificação

y

x

É função

Não é função

Justificação

C

–2

4

5

D

8

3

9

7É função

Não é função

Justificação

E F

3

7

9

–2

8

5

4 É função

Não é função

Justificação

y

x

É função

Não é função

Justificação

x y

–2 4–2 0–2 1–2 35


20/11219

2 Considera a função f : A→ B definida pelo diagrama ao lado.

Identifica o domínio, o contradomínio, o conjunto de chegada e o gráfico de f .


3 Dados os conjuntos A = {–2, –1, 0, 1, 2} e B = {–6, –3, 0, 3, 6}, a função i : A→ B é definida pela expres-

são i ( x) = 3 x.

3.1 Determina o contradomínio de i .

3.2 Determina o gráfico de i .

4 Considera os seguintes referenciais cartesianos, onde se representaram, respetivamente, os gráficos

das funções f e g.

4.1 Indica o domínio de f e de g.

4.2 Identifica o contradomínio de cada uma das funções.

4.3 Completa com números, por forma a obteres igualdades verdadeiras.

(f + g)(2) = f (2) + g(__) = ___ + ___ = ___

A

f 3

1

4

B

7

a

c

b

y

x 01 2 3 4

1

2

3

4

y

x 01 2 3 4

1

2

3

4

4.4 Preenche a tabela e indica o contradomínio da função f + g.

x 1

f ( x )

2 3 4

g( x )

(f + g) x )


21/112

6 Comenta cada uma das afirmações seguintes.

A. O comprimento de um lado de um triângulo equilátero é diretamente proporcional ao seu perí-

metro.

B. O comprimento do raio de um círculo é diretamente proporcional à sua área.

C. O comprimento do raio de um círculo é diretamente proporcional ao seu perímetro.

20

Praticar

Unidade 2 Funções

5 Quais dos seguintes gráficos representam uma função linear? Justifica a tua resposta.

g

h

f

i

j

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

y

x

4.6 Identifica o domínio e determina o contradomínio de cada uma das seguintes funções.

a) f – g b) f ¥ g c) f 2

Adaptado de Caderno de Apoio às Metas Curriculares do Ensino Básico

4.5 Representa num referencial cartesiano o gráfico da função f + g.


22/11221

7 A Matilde inscreveu-se num workshop de dança. Este workshop de 50 h decorre às terças-feiras e cada

sessão tem uma duração de 5 horas. O número P de horas que falta para terminar o workshop é dado

pela fórmula P(n) = 50 – 5n, sendo n o número de sessões já realizadas.

7.1 Quantas sessões terá o workshop?

7.2 Se já se tivessem realizado quatro sessões, quantas horas faltariam para terminar o workshop?

7.3 Quantas sessões é que já se teriam realizado se apenas faltassem 10 horas para terminar o

workshop?

8.2 Sendo x o preço do artigo sem desconto e g( x ) o valor do desconto, escreve uma expressão al-

gébrica para a função g.

8.3 Sendo x o preço do artigo sem desconto e f ( x ) o preço do artigo com desconto, escreve uma ex-

pressão algébrica para a função f .

8.4 Justifica que as funções f e g são funções de proporcionalidade direta e indica as respetivas

constantes de proporcionalidade.

8.5 Determina o preço final a pagar por um MP3 cujo preço de venda inicial é 180 €.

8 Uma loja de eletrodomésticos está em liquidação de stock .

Assim, durante três dias, todos os artigos expostos têm umdesconto de 70%.

8.1 Qual é o valor do desconto de um frigorífico que cus-

tava 650 €?

9 Indica uma expressão algébrica que defina:

9.1 a área do quadrado, A, em função do comprimento do seu lado, l.

9.2 a área do círculo, A, em função do comprimento do seu raio, r .


23/11222

Praticar

Unidade 2 Funções

12 O Sr. Fernando produz e vende batatas.

12.1 A tabela seguinte relaciona a quantidade de batatas vendidas, em quilogramas, com a quantia

recebida pelo Sr. Fernando, em euros. Completa-a.

12.2 Seja h a função que à quantidade de batatas vendidas (em quilogramas) associa o valor a rece-

ber pelo Sr. Fernando (em euros). Escreve uma expressão algébrica de h.

12.3 Se alguém comprar três sacos de 20 kg, quanto terá que pagar? Apresenta todos os cálculos que

efetuares.

12.4 Na última venda que realizou, o Sr. Fernando recebeu 30 €. Quantos quilogramas de batatas vendeu?

Peso (kg) 0

Valor recebido (€)

2

0,60 1,5

PREÇO ESPECIAL

0,15 €/kg

10 Observa o gráfico ao lado.

Qual das seguintes interpretações pode resultar da observação do gráfico?

[A] O Jorge ganha 20 € por cada hora de trabalho.[B] Por cada 10 rebuçados, a Filipa paga 1 €.

[C] Por cada 10 alunos presentes, são necessários 2 professores.

[D] Um atleta corre a uma velocidade constante de 4 km por hora.

Adaptado de Texas Assessment of Knowledge and Skills (Primavera de 2006)

0 1020 30 40 50 60 70 80

1

2

3

45

6

7

8

y

x

11 Quais das seguintes variáveis são diretamente proporcionais? (Escolhe a(s) opção(ões) correta(s).)

[A] Número de horas de estudo e nota obtida no exame.

[B] O peso das laranjas e o preço a pagar por elas.

[C] A altura de uma pessoa e o seu peso.

[D] O número de pães e o preço a pagar por eles.


24/11223

13 Considera os quatro retângulos seguintes.

No gráfico ao lado, cada ponto A, B, C e D é definido pela base e pela altura dosretângulos I, II, III e IV.Completa a tabela seguinte, fazendo corresponder cada ponto a cada retân-gulo.

IVIII

II

I

Base

A l t u r a

D

C

B

A

Ponto A

Retângulo

B C D

14 Os pais do Gonçalo foram passar uns dias a Évora e ficaram instalados num hotel mesmo no centro dacidade. Na tabela que se segue estão registados os preços, em euros, a pagar, por noite, nesse hotel.

0 1 2 3 4 5

50

100

150

200

Preço a pagar (€)

Números de noites

14.1 Desenha o gráfico da função representada pela tabela.

Número de noites ( x )

1

2

3

4

Preço a pagar, em euros ( y)

45 €

90 €

135 €

180 €

Évora

14.2 Indica, justificando, qual das seguintes expressões define a expressão analítica da função re-presentada pela tabela.

[A] y = 45 x [B] y = 5 x

[C] y = 90 x [D] y = x12


25/112

16 Em janeiro, o Vítor, depois de ter vindo do barbeiro, decidiu estudar o

crescimento do seu cabelo, registando todos os meses a sua medida.

O gráfico seguinte representa o crescimento do cabelo do Vítor, desde

o mês de janeiro (mês 0) até ao mês de junho (mês 5).

16.2 Em cada mês, quantos centímetros cresceu o cabelo do Vítor?

24

Praticar

Unidade 2 Funções

(M) – MêsJaneiro

(C) – Comprimentodo cabelo

0

Fevereiro

1

4,4

Março

2

5,8

Abril

3

7,2

Maio

4

8,6

Junho

5

0 1 2 3 4 5

1

2

3

4

5

67

8

9

10

C –

C o m p r i m e n t o d o c a b e l o ( c m )

M – Mês

janeiro

fevereiro

março

abril

maio

junho

16.1 Completa a tabela de acordo com os dados representados no gráfico.

16.3 Assinala a expressão que representa o comprimento do cabelo do Vítor, em cada um dos pri-

meiros seis meses.

[A] C = 1,4 M [B] C = 3 + 1,4 M [C] C = 1,4 + 3 M [D] C = 3 M

16.4 O João foi cortar o cabelo no mesmo dia do Vítor, mas o seu

cabelo ficou mais curto, com apenas 2 cm. Constrói o gráficoque representa o crescimento do cabelo do João desde janeiro

até maio, supondo que cresce 1,5 cm em cada mês.

0 1 2 3 4

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

C –

C o m p r i m e n t o d o c a b e l o ( c m )

(M) – Mês

janeiro fevereiro março abril maio

1112

Adaptado de Prova de Aferição de Matemática, 3.o Ciclo, 2004

15 Considera a função h, representada pela tabela.

15.1 Indica o domínio e o contradomínio de h.

15.2 Completa:

a) h(3) = _______ b) h(_______) = 1

15.3 Qual é a imagem, por h, do objeto 2?

15.4 Qual é o objeto que, por h, tem imagem 0?

x 0

h( x ) 4

2

3

3

5

4

0

5

1


26/11225

17 Considera o gráfico de uma função g definido por Gg = {(1, 3), (2, 6), (3, 9), (4, 11), (5, 13)}.

17.1 Identifica o domínio e o contradomínio de g.

17.2 Representa a função g por um diagrama de setas, supondo que o contradomínio coincide com o

conjunto de chegada.

17.3 Supõe que o contradomínio de g não coincide com o conjunto de chegada. Representa por um dia-

grama de setas um possível exemplo de g.

17.4 Determina uma expressão algébrica que defina o valor de g( x) para qualquer x no domínio de g.

18 Considera a função g de domínio A =

{– , 0, , 2

}e conjunto de chegadaQ, definida por g( x) = 2 x – 1.

18.1 Determina o contradomínio de g.

18.2 Representa o gráfico da função f num referencial cartesiano.

12

32


27/11226

Praticar

Unidade 2 Funções

C e n t í m e t r o

Polegada

8,89

7,62

6,35

5,08

3,81

2,54

1,27

00 0,5 1 1,5 2 2,5 3

D i a g o

n a l

21 Por vezes, o comprimento da diagonal do ecrã de um televisor é indicado em polegadas. No gráfico que

se segue, podes ver a relação aproximada existente entre esta unidade de comprimento e o centímetro.

20 Para cada uma das funções, deQ emQ, definidas em cada uma das seguintes alíneas, indica se se trata

de uma função afim, linear ou constante, apresentando a respetiva forma canónica.

20.1 f ( x) = 2 – ( x + 1) + x

20.2 g( x) = 1 – 3 x + (4 x – 2) – 1

20.3 h( x) =

20.4 i ( x) = 2 x2 – (2 x2 + 1) – x

2 x – (3 x – 1) + 3

2

19 Na figura está representado o gráfico de uma função g num refe-

rencial cartesiano.

19.1 Indica o domínio de g.

19.2 Completa as igualdades:

a) g(3) = ____ b) g(__) = 4

19.3 Completa com um número de forma a obteres uma afirma-

ção verdadeira: “____________ é o objeto cuja imagem é 0.”

19.4 Indica se é verdadeira ou falsa afirmação: “2 é a imagem de um único objeto”.

y

x 01 2 3 4 5

1

2

3

4

21.1 Qual das quatro igualdades que se seguem permite calcular a diagonal do ecrã de um televisor,

em centímetros (c), dado o seu comprimento em polegadas (p)?

[A] c = 1,27 p [B] c = p [C] c = 2,54 p [D] c = p

21.2 O Gonçalo comprou um televisor com 106,68 cm de diagonal. A Marta também comprou um,

mas com 40 polegadas de diagonal. Qual dos dois comprou o televisor com maior diagonal?

Explica o teu raciocínio.

Adaptado de Exame Nacional de Matemática do Ensino Básico, 1.a chamada, 2007

1

2,54

1

1,27


28/11227

22 O Sr. Marques é alfarrabista.

No final de cada ano, o Sr. Marques estuda as vendas

do ano anterior e regista a informação que obtém

através de um gráfico. O gráfico ao lado é referenteàs vendas do ano passado.

22.1 Em que mês foram vendidos mais livros?

22.2 Em que mês foram vendidos menos livros?

22.3 Quantos livros foram vendidos em outubro?

22.4 Em dois dos meses foram vendidos o mesmo número de livros. Quais foram esses meses?

22.5 A determinada altura houve um grande crescimento nas vendas, que terminou com a tendência

de descida que se observava há alguns meses. Em que mês isso aconteceu?

22.6 No total, quantos livros foram vendidos nesse ano?

23 No seu telemóvel, o Marco tem atualmente um tarifário em que cada chamada custa 0,18 €, por minuto,

independente da rede para que ligue.

O Marco está em dúvida. Não sabe se deve aderir a uma promoção em que, pagando 50 € mensais, pode

ligar, sem restrições de tempo, para quem quiser. Ajuda o Marco, determinando o número de minutos de

conversação a partir do qual o seu tarifário atual deixa de ser vantajoso. Explica o teu raciocínio.

24 Na bilheteira de um circo, em vez da habitual tabela de preços, estava afixado o seguinte cartaz informativo:

24.1 A Eliana comprou cinco bilhetes. Quanto pagou?

24.2 A Sofia pagou 9 €. Quantos bilhetes comprou?

24.3 Completa a seguinte tabela, que será afixada na bilhe-

teira do circo, em substituição do cartaz informativo.

J a n e i r o

M a r

ç o

F e v e r e i r o

A b r i l M

a i o

J u n h

o

A g o s t o

J u l h

o

S e t e m b r

o

O u t u b r

o

N o v e m b r

o

D e z e m b r

o

Meses do Ano

N ú m e r o d e l i v r o s v e n d i d o s 3000

2500

2000

15001000

500

0

Número de bilhetes comprados (n)

1

2

3

4

…

n

Preço a pagar (P )

…


29/11228

Praticar

Unidade 2 Funções

26 Imagina que um recipiente com a forma da pirâmide, inicialmente vazio, se vai

encher com água. A quantidade de água que sai da torneira, por unidade de

tempo, até o recipiente ficar cheio, é constante. Qual dos seguintes gráficos

poderá traduzir a variação da altura da água, no recipiente, com o tempo que

decorre desde o início do seu enchimento? Explica, numa pequena composi-

ção, a razão por que não escolheste nenhum dos outros três gráficos.

altura

Exame Nacional de Matemática, 3.o Ciclo, 2007

Gráfico A Gráfico B Gráfico C Gráfico D

Tempo

A l t u r a

Tempo

A l t u r a

Tempo

A l t u r a

Tempo

A l t u r a

25 Representa graficamente cada uma das funções f e g definidas por:

25.1 f ( x ) = 3 x 25.2 g( x ) = x + 1


30/11229

27 Na realização de uma determinada experiência, foi necessário encher, com água, três recipientes de di-

ferentes formas. Todos os recipientes se encontravam completamente vazios e, para os encher, utili-

zou-se uma torneira que debitava água de forma constante. Para cada um dos recipientes, indica o

gráfico que pode representar a variação da altura da água em função do tempo decorrido desde o ins-tante em que se abriu a torneira.

R e c i p i e n t e 1

Tempo

A l t u r a

Tempo

A l t u r a

Tempo

A l t u r a


Tempo

A l t u r a

Tempo

A l t u r a

Tempo

A l t u r a


Tempo

A l t u r a

Tempo

A l t u r a

Tempo

A l t u r a

28 O Paulo e a Teresa são dois irmãos gémeos de 20 anos de

idade. Os seguintes gráficos permitem calcular a evolu-

ção dos pesos de ambos, desde o nascimento até hoje.

28.1 Com que idade o Paulo e a Teresa pesavam o

mesmo?

28.2 Observa o gráfico e assinala a afirmação corretasobre o aumento de peso da Teresa, entre os 5 e

os 10 anos de idade.

[A] A Teresa aumentou mais do que 10 kg e menos do que 15 kg.

[B] A Teresa aumentou exatamente 15 kg.

[C] A Teresa aumentou mais do que 15 kg e menos do que 20 kg.

[D] A Teresa aumentou exatamente 20 kg.

Adaptado de Prova de Aferição de Matemática, 3.o Ciclo, 2003

80

70

60

50

40

30

20

10

0

P e s o ( k g )

Idade (anos)

0 5 10 15 20

Paulo

Teresa

[A] [B] [C]

[A] [B] [C]

[A] [B] [C]


31/11230

Praticar

Unidade 2 Funções

29 O intervalo de tempo que decorre entre o momento em que o condutor de um automóvel vê um obstá-

culo na estrada e o momento em que carrega no travão denomina-se tempo de reação. Durante otempo de reação, o automóvel continua a circular à mesma velocidade e percorre uma distância a que

se chama distância de reação (Dr ). Quanto menor for a distância de reação, mais depressa se imobi-liza o automóvel. Existe uma fórmula, aceite internacionalmente, que relaciona a velocidade (v ) a queum automóvel circula e a distância de reação (Dr ). O gráfico dessa relação está representado na figura

seguinte.

30 Dados dois números racionais b e k , seja f a função definida emQ por f ( x) = b x e g a função constante

igual a k . Prova que a função g ¥ f é linear e identifica o respetivo coeficiente.


0

80

Dr (m)

v

40

0100 200

(km/h)

De acordo com o gráfico, responde às seguintes questões.

29.1 Qual é a distância que um automóvel percorre quando se desloca a uma velocidade de 100 km/h,

desde o instante em que o condutor vê um obstáculo até que inicia a travagem?

29.2 A que velocidade seguiria um automóvel que percorreu 45 m desde o instante em que o condu-

tor viu um obstáculo até que iniciou a travagem?

29.3 A distância de reação é diretamente proporcional à velocidade a que um automóvel circula. In-

dica qual das seguintes expressões relaciona a distância de reação (Dr ) com a velocidade a que

um automóvel circula (v ).

[A] Dr = v [B] Dr = v

[C] Dr = v [D] Dr = v

Projeto 1000 itens

30

100

3

100

100

3

100

30


32/11231

31 O F-16 Fighting Falcon, avião de combate supersónico, é umdos melhores aviões da atualidade para o combate aéreo etambém para o ataque ao solo, dada a sua extraordinária

manobrabilidade, avançadas características aerodinâmicase elevada capacidade de suportar acelerações até 9G.

Força Aérea Portuguesa,consultado em junho de 2009

Um caça F-16 da Força Aérea Portuguesa encontrava-se a fazer testes no espaço aéreo do Alentejo. Adeterminada altura, o avião atingiu certa velocidade, que se manteve constante por alguns segundos.Nessa altura, registou-se o seguinte:

31.1 Sabendo que velocidade = , determina a velocidade atingida pelo avião.

31.2 Se o avião mantivesse a mesma velocidade durante três minutos, quantos quilómetros percor-reria?

31.3 Mantendo a velocidade constante, quanto tempo, em horas, demoraria o avião a percorrer 4500 km?

31.4 Técnicos especializados, que estudavam a hipótese de melhorar a descolagem do avião, regis-taram as diferentes alturas a que o avião se encontrava, t segundos após ter iniciado o seu mo-vimento. Alguns desses registos encontram-se na tabela seguinte.

Seja A a função que ao tempo, t , decorrido desde o instante em que o avião iniciou as manobrasnecessárias à descolagem, faz corresponder a altura do avião.

a) Completa as expressões seguintes, indicando o seu significado no contexto da situação.i. A(20) = ___________

Significado: ________________________________________________________________

ii. A(___________) = 1000Significado: ________________________________________________________________

b) Comenta a afirmação: “A função A é uma função de proporcionalidade direta”.

distância

tempo

f – Tempo decorrido (segundos) 0

d – Distância percorrida (metros) 0

2

1056

4

2112

6

3168

Tempo decorrido (segundos) 0

Altura do avião (metros) 0

10

0

20

100

40

1000


33/11232

Praticar

Unidade 2 Funções

32 O tempo que um modem leva a transferir um ficheiro via internet depende do tamanho do ficheiro e davelocidade de transferência do modem. A tabela seguinte indica o tempo que o modem da Bárbara de-mora a transferir alguns ficheiros.

33 Considera um polígono regular cujo lado tem 3,4 cm de comprimento e cujo perímetro é 20,4 cm.

33.1 De que polígono regular se trata?

33.2 Escreve uma expressão algébrica que represente a função que a cada valor do comprimento dolado associa o perímetro deste polígono regular.

33.3 Representa graficamente essa função.

32.1 Calcula a velocidade de transferência do modem, em kB por segundo (kB/s). Explica o teu raciocínio.

32.2 Quantos segundos demora o modem da Bárbara a transferir um ficheiro de 1000 kB? Apresentatodos os cálculos que efetuares e explica a tua resposta. Indica o resultado com uma casa decimal.

32.3 Cada 1024 bytes correspondem a 1 kB (Kilobyte), mas, normalmente, toma-se um valor apro-ximado, considerando 1 kB = 1000 bytes, e estabelecem-se as seguintes equivalências entre asdiversas unidades de medida:

Tendo em conta as equivalências da tabela, assinala a igualdade verdadeira.

[A] 1 kB = 106 bytes [B] 1 MB = 106 bytes

[C] 1 GB = 106 bytes [D] 1 byte = 106 MB

t – Tempo (segundos) 2,5

f – Tamanho (em kB) 72

100

288

25

720

60

1728

105

3024

Gigabyte (GB)

0,001

Megabyte (MB)

1

Kilobyte (kB)

1000

Byte (B)

1 000 000

Adaptado de Prova de Aferição de Matemática – A


34/11233

33.4 Observa agora o gráfico no qual estão representadas as relaçõesentre o comprimento do lado e o perímetro de quatro polígonos re-gulares.

a) Indica a que polígono regular corresponde cada uma das fun-ções representadas graficamente na figura.

b) Indica uma expressão algébrica que represente cada uma dasfunções de proporcionalidade direta representadas.

c) Indica a constante de proporcionalidade referente a cada uma das quatro situações.

d) À medida que o valor da constante de proporcionalidade aumenta o que acontece ao gráficode uma função do tipo y = k x?

Retirado de Brochura de Apoio ao NPMEB – Sequências e Funções

0

18

16

14

12

10

8

6

4

2

1 2 3 4 5

d () c() b() a()

34 Um táxi A cobra 2 € de bandeirada e 0,78 € por quilómetro percorrido. Um táxi B não cobra bandeiradamas cobra 1,1 € por quilómetro percorrido.

34.1 Quanto paga um consumidor que faça uma viagem de 20 km no táxi A? Explica o teu raciocínio.

34.2 O dono do táxi B pretende colar uma tabela informativa dos preços que pratica, no vidro do seutáxi. Essa tabela está representada de seguida. Completa-a.

34.3 O carro do Rui avariou. Para se deslocar para o emprego, o Rui tem de chamar um táxi. Qual dosdois táxis deve chamar? Justifica a tua resposta.

Número de quilómetros percorridos 1

Preço a pagar (€) 1,1

2

11 49,5


35/112

1 Qual das seguintes correspondências não define uma função?

[A] [B] [C] [D]

2 Observa a representação gráfica da função g.

2.1 Indica o domínio e o contradomínio da função g.

2.2 Qual a imagem, por g, do objeto –1?

2.3 Qual é o objeto que, por g, tem imagem 2?

2.4 Completa as seguintes expressões:

a) g(3) = _______ b) g(_______) = 1

3 Numa papelaria todos os artigos escolares estão em promoção. A quantia a pagar por cada artigo mar-cado originalmente com o preço v, em euros, é dada, também em euros, pela expressão C(v ) = 0,85v .

3.1 Se um determinado artigo estiver marcado com o preço de 4,5 € e lhe for aplicado o desconto,qual é o preço a pagar?

3.2 Podemos afirmar que o preço a pagar, C(v ), e o preço de marcado, v , são grandezas direta-

mente proporcionais? Justifica.

3.3 Qual é a percentagem de desconto aplicada a cada artigo?

3.4 Comenta a afirmação: “O desconto e o preço marcado são grandezas diretamente proporcionais”.

34

Testar

Unidade 2 Funções

y

x

y

x

y

x

y

x

0

1

2

–1

0 1 2 3–1–2

y

x


36/11235

4 A Sofia é veterinária e vai estagiar, durante sete dias, na clínica Miau-Miau. No gráfico seguinte podeobservar-se a correspondência entre o tempo de trabalho, em horas, e a quantia a receber pela Sofia,em euros.

4.1 Que valor recebe a Sofia por cada hora de trabalho?

4.2 Se a Sofia, num determinado dia, trabalhar cinco horas, quanto receberá nesse dia?

4.3 A Sofia, depois de combinar com o gerente da clínica o seu horário de trabalho, fez uns cál-culos e verificou que, pelos sete dias em que vai estagiar na referida clínica, receberá um totalde 315 €. Em média, quantas horas por dia trabalhará a Sofia?

4.4 Comenta a afirmação: “A quantia a receber pela Sofia é diretamente proporcional ao númerode horas que trabalhará”.

5 O Álvaro tem o seu ioiô na mão e lança-o. Quando o lança pela terceira vez, o fio quebra-se e o ioiô caino chão.

5.1 Indica qual o gráfico que pode representar a variação da altura do ioiô, em relação ao chão,desde o momento em que o Álvaro o lança pela primeira vez, até cair ao chão.

5.2 Explica, numa breve composição, a razão pela qual consideras errado cada um dos outros trêsgráficos.

Adaptado de Prova de Aferição de Matemática – B

40

Q u a n t i a a r e c e b e r ( € )

Tempo de trabalho (h)

30

20

10

0 2 4 6 8

y

x

Tempo

Altura

Tempo

Altura

Tempo

Altura

Tempo

Altura

[A] [B]

[C] [D]


37/11236

Resumir

Unidade 3 Sequências e regularidades

Sequências numéricas

Numa sequência numérica, cada número tem o nome de termo, pelo que dois números seguidos dizem-se termosconsecutivos. Cada termo obtém-se a partir da lei de formação da sequência.

11, 21, 31, 41, 51, …

Lei de formação: Com exceção do 1.o

termo, cada termo obtém-se adicionando10 unidades ao termo anterior.

Os termos de uma sequência relacionam-se segundo uma regra, que pode ser traduzida por uma expressão

algébrica. Essa expressão designa-se por termo geral.O termo geral de uma sequência é muito útil, pois permite determinar qualquer termo da sequência, desde que

se conheça a sua ordem. O termo geral também permite verificar se um número é, ou não, termo da sequência.

11, 21, 31, 41, 51, … → Termo geral: 10n + 1

Modos distintos de analisar a sequência podem conduzir a expressões diferentes para a representação do termo

geral. Essas expressões são equivalentes, ou seja, são expressões que, depois de simplificadas, são iguais.

11, 21, 31, 41, 51, …

11 + (n – 1) ¥ 10 = 11 + 10n – 10 = 10n + 1 → 11 + (n – 1) ¥ 10 é equivalente a 10n + 1.

1.o termo

ou

termo de

ordem 1

2.o termo

ou

termo de

ordem 2

3.o termo

ou

termo de

ordem 3

4.o termo

ou

termo de

ordem 4

5.o termo

ou

termo de

ordem 5

Termo geral:

10n + 1

Termo geral:

11 + (n – 1) ¥ 10

…


38/11237

Gráfico de uma sequência numérica

O gráfico de uma sequência numérica é constituído pelo conjunto dos pares ordenados (a, b), em que a é a ordem

do termo e b é o próprio termo da sequência.

(a, b)

Sucessões

Uma sequência numérica infinita diz-se uma sucessão.Assim, uma sucessão é uma função cujo domínio é o conjunto dos números naturais.

3

1.o termo

u1

5

2.o termou2

7

3.o termo

u3

9

4.o termou4

11

5.o termo

u5

13

6.o termou6

15

7.o termo

u7

Ordem

do termo

17

8.o termou8

Termo

…

Estes pares ordenados de números podem ser representados num referencial cartesiano, obtendo-se assim a

representação gráfica da sequência.

Repara que, da definição de gráfico, a representação gráfica é um conjunto de pontos isolados, como na repre-

sentação da figura, correspondente à sequência de termo geral 2n + 1.


39/11238

Praticar


1 Considera as seguintes sequências numéricas e supõe que se mantém a regularidade entre termos con-

secutivos.

Sequência 1: 7, 14, 21, 28, …

Sequência 2: 11, 8, 5, 2, …

Sequência 3: , , , , …

1.1 Indica os próximos três termos de cada uma das sequências.

Sequência 1: _________________________

Sequência 2: _________________________

Sequência 3: _________________________

1.2 Indica o termo de ordem 100 de cada uma das sequências. Explica o teu raciocínio.

Sequência 1: _________________________

Sequência 2: _________________________

Sequência 3: _________________________

1.3 Indica um possível termo geral para cada uma das sequências.

Sequência 1: _________________________

Sequência 2: _________________________

Sequência 3: _________________________

5

9

4

7

3

5

2

3

2 O termo geral de uma sequência finita é 3n + 2. O último termo dessa sequência é 17. Quantos termos

tem a sequência?

3 Considera a sucessão (an) de termo geral an = 4n – 1.

3.1 Determina os quatro primeiros termos da sucessão e repre-

senta-os graficamente.

3.2 Determina o décimo quinto termo da sucessão.

3.3 Verifica se 78 é termo da sucessão. Explica o teu raciocínio.


40/11239

5 Observa a sequência de figuras.

Cada uma das figuras apresentadas é formada por triângulos equiláteros com 1 unidade de medida de

comprimento de lado.

5.1 Quantos triângulos equiláteros são necessários para formar uma figura com 20 unidades de pe-

rímetro? Explica o teu raciocínio.

5.2 Descobre uma regra que permita determinar o perímetro de uma qualquer figura desta sequência.

4 Considera as sucessões, cujos termos gerais são:

an = 3n + 6

bn =

cn = n2 + 1

4.1 Para cada uma das sucessões, determina, a partir do seu termo geral, os cinco primeiros termos.

an: _________________________________________________________________

bn: _________________________________________________________________

cn: _________________________________________________________________

4.2 Considera, agora, apenas a sucessão (an). Verifica se os números 22, 31, 144, 186 e 211 são ter-

mos da sucessão e, caso o sejam, indica a ordem que corresponde a cada um. Apresenta todos

os cálculos ou esquemas que efetuares.

n

n + 1

Figura 1 Figura 2 Figura 3

6 Considera as seguintes sequências.

I. 4, 9, 14, 19, ...II. 19, 15, 11, 7, ...

6.1 Para cada uma delas, indica:

a) o primeiro termo;

b) o vigésimo termo;

c) o termo de ordem n.

6.2 Considera, agora, a sequência em que cada termo resulta da soma dos termos de igual ordem

das duas sequências da alínea anterior. Determina o termo de ordem n desta nova sequência.


41/112

7.1 Representa as figuras 4 e 5 desta sequência e indica o número de palitos que as constituem.

7.2 Por quantos palitos é formada a 40.a figura? Explica o teu raciocínio.

7.3 Descobre uma regra que permita determinar o número de palitos de uma qualquer figura.

7.4 Para construir uma figura desta sequência foram necessários 122 palitos. Qual é o número da

figura? Explica o teu raciocínio.

7.5 Considera agora os retângulos que limitam as figuras da sequência anterior.

40

Praticar



A tabela seguinte refere-se a figuras da mesma sequência.


1 2 3Número da figura

7 12 17Número de palitos


Descobre uma regra que permita determinar a área de cada um desses retângulos. (considera

1 palito como unidade de medida de comprimento).

7.6 Calcula a área do retângulo que limita a figura 19.


42/11241

8 Considera as três primeiras figuras de uma sequência.


8.1 Completa a tabela.

8.2 Descreve o padrão que observas.

8.3 Considera a sucessão (an) do número de pontos de cada figura.

a) Determina o termo geral da sucessão.

b) Calcula a5 e interpreta o resultado no contexto do problema.

c) Determina o número de pontos da figura 5.

d) Existirá alguma figura com 90 pontos? Justifica a tua resposta.

8.4 Determina o termo geral da sucessão (bn) do número de segmentos de ligação de uma figura de

qualquer ordem.

A tabela seguinte refere-se a figuras da mesma sequência.

1 2 3Número da figura

5 8 11

4 5

Número de pontos

5 9 13Número de segmentos de ligação


9.1 Escreve uma expressão que permita determinar o número de quadrados brancos de uma figura

de qualquer ordem.

9.2 Escreve uma expressão que permita determinar o número de quadrados amarelos de uma fi-

gura de qualquer ordem.

9.3 Escreve uma expressão que permita determinar o número de quadrados total de uma figura de

qualquer ordem.

Figura 4Figura 3Figura 2Figura 1


43/11242

Praticar


10 Durante as férias de Natal, a Catarina foi a Barcelona. Uma

das zonas que visitou foi a Praça de Espanha, onde se en-

contram duas magníficas torres. Tal como a figura sugere,

as torres da Praça de Espanha têm a forma de uma pirâ-mide quadrangular no topo de um prisma quadrangular, for-

mando uma torre de quatro lados.

De seguida apresenta-se um modelo das referidas torres.

10.1 O modelo apresentado respeita a Fórmula de Euler? (Fórmula de Euler: Vértices + Faces = Arestas + 2)

10.2 Determina o número de vértices, arestas e faces de um modelo de uma torre de 5 lados.

10.3 Descobre uma expressão que permita calcular:

a) o número de vértices do modelo de uma torre com n lados;

b) o número de arestas do modelo de uma torre com n lados;

c) o número de faces do modelo de uma torre com n lados.

10.4 Averigua se a Fórmula de Euler se verifica no modelo de uma torre de n lados.

11 O irmão do João pintou a seguinte sequência de desenhos em papel quadriculado.

Quantas quadrículas pintadas tem o décimo desenho? Explica o teu raciocínio.

Adaptado de Olimpíadas Portuguesas da Matemática – Pré-Olimpíadas


…

Barcelona


44/11243

12 O Superchocolate é uma caixa de doces constituída por chocolates e caramelos. As caixas são organi-

zadas da seguinte forma: cada caramelo é colocado no centro de cada conjunto de quatro chocolates,

tal como sugere a figura seguinte.

As dimensões de cada uma das caixas dizem-nos o número de colunas e de linhas de chocolates que cada

caixa possui.

Descreve um método para encontrar o número de caramelos de qualquer caixa, conhecidas as suas di-

mensões. Exemplifica e justifica o teu método através de palavras, diagramas ou expressões.

Adaptado de Principles and Standards, NCTM , 2000

2 2 2 4

3 5

13 De regresso ao Colégio, depois das férias do Natal, todos os colegas de turma da Margarida se cumpri-

mentaram com um abraço. Cada um cumprimentou cada colega uma só vez. A tabela seguinte esque-

matiza parte da situação descrita.

Número decolegas

2

3

4

5

EsquemaNúmero de

abraços

1

3

6

13.1 Completa a tabela anterior.

13.2 Observa com atenção o esquema constituído por quatro colegas. Quantos abraços deu cadacolega? E no esquema constituído por cinco colegas?

13.3 Quantos abraços se tinham dado, no momento em que se encontravam na sala 10 meninos? Ex-

plica o teu raciocínio.

13.4 Escreve uma expressão algébrica que permita determinar o número de abraços dados por um

qualquer número de colegas.

13.5 Quantos colegas tem a Margarida na sua turma, sabendo que, no total, foram dados 55 abraços?


45/112

1 Observa as sequências e supõe que se mantém a regularidade entre termos consecutivos.

I. 26, 24, 22, 20, …

II. , , , , …

1.1 Indica os próximos três termos de cada uma das sequências.

I.

II.

1.2 Indica um possível termo geral para cada uma das sequências.

I.

II.

2 Considera uma sequência em que o primeiro termo é 126. Sabendo que a lei de formação dos res-

tantes termos da referida sequência é subtrair seis ao termo anterior e dividir por três, determina o

seu quarto termo. Explica o teu raciocínio através de palavras, cálculos ou diagramas.

3 Considera a seguinte sequência de pontuações obtidas pela Joana nas primeiras seis vezes em que

jogou um determinado jogo: 65, 35, 25, 20, 17, 15.

3.1 Verifica se alguma das expressões seguintes permite gerar esta sequência de números.

[A] 95 – 30n [B] [C] 55 – 10n [D] 5 +

3.2 Admitindo que a sequência foi gerada por uma das expressões indicadas na alínea anterior e

se a Joana continuasse a jogar e as pontuações continuassem a seguir este mesmo modelo,

que pontuação iria obter na 10.a jogada?


5

25

4

16

3

9

2

4

60

n

5n + 60

2n – 1

44

Testar



46/11245

4 Considera as sequências:

Sequência 1: 5n – 3

Sequência 2: + 1

4.1 Para cada uma das anteriores sequências, determina, a partir do seu termo geral, os cinco

primeiros termos.

Sequência 1: _________________________________________________________________

Sequência 2: _________________________________________________________________

4.2 Considera, agora, apenas a sequência 1. Verifica se os números 33, 72 e 222 são termos da se-

quência e, em caso afirmativo, indica a ordem que corresponde cada um. Apresenta todos os

cálculos ou esquemas que efetuares.

5 De seguida apresentam-se as primeiras figuras de uma sequência.

5.1 Encontra o número de pontos da 20.a figura. Explica o teu raciocínio.

5.2 Escreve uma expressão que permita determinar o número de pontos de uma figura de qual-

quer ordem.

5.3 Para construir uma figura desta sequência foram necessários 128 pontos. Qual é o número da

figura? Explica o teu raciocínio.

1

n



47/11246

Resumir

Unidade 4 Figuras geométricas

Ângulos internos e externos de um polígono

Cada ângulo externo de um polígono convexo é adjacente a um ângulo

interno e é suplementar de um ângulo interno.

A soma das amplitudes dos ângulos internos de um polígono convexo

com n lados é dada pela expressão (n – 2) x 180o.

A soma das amplitudes dos ângulos externos de um polígono convexo é 360o.

ângulo externo A

D C

B

ângulo interno

Quadriláteros

Quadriláteros

Não trapézios:

Quadrilátero sem lados paralelos.

Trapézios:

Quadrilátero com lados paralelos.

Retângulo:

Paralelogramo com quatro ângulos retos.

Quadrado:

Paralelogramo com quatro lados geometricamenteiguais e quatro ângulos retos.

Losango:

Paralelogramo com quatro lados geometricamenteiguais.

Paralelogramoobliquângulo:

Paralelogramo sem ângulos retos.

Trapézioisósceles:

Trapézio em que os lados opostos não paralelos sãogeometricamente iguais.

Trapézioretângulo:

Trapézio em que um dos lados opostos não paralelosé perpendicular às bases.

Trapézioescaleno:

Trapézio em que os lados opostos não paralelos não

são geometricamente iguais.

Paralelogramos:

Quadrilátero com doispares de lados paralelos.

Trapézio não paralelogramo:

Quadrilátero com um únicopar de lados paralelos.

Num paralelogramo:

• os ângulos opostos são geometricamente iguais;

• os ângulos consecutivos são suplementares;

• os lados opostos são geometricamente iguais;

• as diagonais bissetam-se e dividem o paralelogramo em quatro

triângulos geometricamente iguais dois a dois. A

D

B

C

E

a b

cd


48/11247

Num losango, as diagonais bissetam-se e são perpendiculares.

Num retângulo, as diagonais bissetam-se e são geometricamente iguais.

Num quadrado, as diagonais bissetam-se, são perpendiculares e são geometricamente iguais.

Num trapézio, ângulos adjacentes a um dos lados opostos não paralelos são suplementares.Num trapézio isósceles, ângulos adjacentes à mesma base são geometricamente iguais e a suas diagonais sãogeometricamente iguais.

Área do paralelogramo = base × altura

Área do papagaio =

Área do trapézio = ¥ h

A

B

D

CE

A

B

D

C

A D

B C

B C

A D

altura

base

d ¥ D

2

b + B2

d – diagonal menor

D – diagonal maior

d

D

h

b

b – base menor

B – base maior

h – altura

B


49/11248

Praticar


1 Desenha três linhas poligonais.

2 Desenha um pentágono e traça as suas diagonais.

3 De entre as seguintes figuras, indica, justificando, as que são polígonos.

A B C D


50/11249

4 Desenha, na grelha seguinte, um:

4.1 quadrado;

4.2 retângulo não quadrado;4.3 trapézio isósceles;

4.4 paralelogramo obliquângulo;

4.5 losango não quadrado;

4.6 trapézio retângulo;

4.7 papagaio;

4.8 quadrilátero não trapézio.

5 Em cada uma das seguintes alíneas, estão representados dois dos lados dos quadriláteros referidos.

Desenha os dois lados em falta.

5.1 Retângulo 5.2 Losango 5.3 Paralelogramo obliquângulo 5.4 Quadrado


51/112

6 Em cada uma das seguintes situações, determina a amplitude do ângulo x.

6.1

7 Determina o perímetro e a área do seguinte paralelogramo.

50

Praticar


6.2

6.3 6.4

6.5 6.6

8 Completa o esquema, utilizando os termos trapézio, papagaio, paralelogramo, quadrado e losango.


52/11251

11 Na figura seguinte está representado um losango.

11.1 Indica a amplitude do:

a) ∠a;

b) ∠b;

c) ∠q;

d) ∠e.

11.2 Sabendo que O – A = 3 cm, indica o comprimento de [ AC]. Explica o teu raciocínio.

9 Qual das afirmações seguintes é verdadeira?

[A] Todos os losangos são papagaios. [B] Todos os papagaios são losangos.

[C] Todos os retângulos são quadrados. [D] Todos os losangos são quadrados.

10 Na figura estão representados dois pontos, A e B.

10.1 Quantos quadrados se podem desenhar de modo que

A e B sejam dois dos seus vértices?

10.2 Quantos quadrados se podem desenhar de modo que

A e B sejam dois vértices consecutivos?

10.3 Quantos quadrados se podem desenhar de modo que o segmento de reta AB seja uma das suas

diagonais?

B

A

D C

A B

O

α

β

ε

θ

27o

12 De entre os quadriláteros seguintes, apenas um não é sempre um paralelogramo. Assinala-o.

[A] Quadrado [B] Retângulo

[C] Losango [D] Papagaio


53/11252

Praticar


13 Na figura está representado o triângulo [ ABC] e o

trapézio retângulo [ ABDE ].

13.1 Determina a amplitude do ∠ε . Explica o

teu raciocínio.

13.2 Classifica o triângulo [ ABC] quanto à amplitude dos seus ângulos e quanto ao comprimento dos

seus lados.

B D

A E

C 60o

150o

45o

14 Considera o segmento de reta [ AB], representado de seguida.

Sabe-se que [ AB

] é um dos lados de um paralelogramo obliquângulo com 21 cm2

de área.14.1 Desenha, na figura, o paralelogramo referido.

14.2 Será que a tua resposta é única? Justifica.

A B

1 cm2

15 Apenas uma das afirmações seguintes é falsa. Assinala-a.

[A] Todos os quadrados são paralelogramos. [B] Todos os triângulos são polígonos.

[C] Todos os trapézios são retângulos. [D] Todos os retângulos são paralelogramos.

16 Uitlizando os triângulos [ ABC] e [DEF ], construiu-se um papagaio, como o que podes observar na figura

seguinte.

Que outros quadriláteros é possível construir, utilizando os mesmos dois triângulos retângulos?

B

A

C

D F

E


54/11253

17 Em cada uma das seguintes situações, determina a amplitude dos ângulos α e β . Explica o teu raciocínio.

17.1

18.1 Prova que A, B e C podem ser vértices consecutivos de um losango.

18.2 Utilizando material de desenho, assinala na figura o quarto vértice do losango referido na alínea

anterior.

18 Na figura seguinte está representada uma circunferência de centro A.

17.2

B

A C

30o150o

99o

51o

42o

66o

50o

A

C

B

D

17.3 A C

B

E

60o

31o

D

A

B

C

19 Na figura ao lado pode observar-se o triângulo [ AGF ] e o

quadrado [ ABCD].

19.1 Prova que∠ AGF e∠DCF são geometricamente iguais.

19.2 Determina a amplitude do∠β . Explica o teu raciocínio.

19.3 Classifica o triângulo [ AGF ] quanto à amplitude dos seus ângulos e quanto ao comprimento dos

seus lados. Justifica.

A

C

B

F

29o

D

G


55/11254

Praticar


20 As diagonais de um paralelogramo [ ABCD] intersetam-se no ponto X . Sabe-se que BX ̂ A = 90o.

20.1 O Filipe acha que [ ABCD] é um quadrado. A Catarina não concorda e afirma que, com as infor-

mações fornecidas, apenas se pode garantir que [ ABCD] é um losango. Qual dos dois achas que

tem razão? Justifica a tua opinião.

20.2 Sabendo que BD̂ A = 60o, determina a amplitude do ∠ XCD. Explica o teu raciocínio.

(Sugestão: começa por fazer um esboço do paralelogramo.)

21 Na figura está representado um triângulo equilátero [ ABC]. Determina a

amplitude do ângulo x. Explica o teu raciocínio.84o

B

A

C

x

22 Na figura, [ ABCD] é um retângulo.

22.1 Classifica o triângulo [ AED] quanto à amplitude dos seus ângulos

e quanto ao comprimento dos seus lados. Explica o teu raciocínio.

22.2 Determina a área do trapézio [ ADCE ], sabendo que A –D = 4 cm,D –C = 2 cm e E –C = 3 cm.

A

B C

D

51o

63o

E

23 Num teste de Matemática, era pedido aos alunos que riscassem, de entre os quadriláteros apresenta-

dos, os que não verificavam determinada característica. De seguida, apresenta-se a resposta da Sandra

a esta questão.

Sabendo que a resposta da Sandra está correta, formula uma possível questão para o teste. Explica o

teu raciocínio.


56/112

25 A figura ao lado é composta por dois paralelogramos obli-

quângulos, [ ABCD] e [BCFE ].

Tendo em conta os comprimentos assinalados, determina a

área da figura. Apresenta todos os cálculos que efetuares.

3 cm

5 cm

A D E F

B C

2,5 cm

55

24 Um agrimensor romano (cerca de 180 d. C.) usou triângulos geometrica-

mente iguais para determinar a largura de um rio numa zona do seu leito.

Começou por traçar uma reta AB ao longo da margem onde se encontrava.

Num ponto C tirou uma perpendicular CG a AB. Colocou uma estaca no pontoE , ponto médio de [ AC]. De A fixou um ponto F na outra margem, sendo AF

perpendicular a AC. Finalmente, descobriu um ponto D a partir do qual ob-

servou os pontos E e F de modo que D, E e F estivessem sobre a mesma reta.

24.1 O agrimensor concluiu que os triângulos [ECD] e [EAF ] são geome-

tricamente iguais. Esta conclusão é correta? Porquê?

24.2 A afirmação “A largura do rio na zona do ponto A é igual ao comprimento do segmento de reta CD”

é verdadeira ou falsa? Justifica.

Adaptado de Brochura de Apoio ao NPMEB – Triângulos e quadriláteros

B

E

AF

C D GRio

26 Considera o losango [ ABCD], representado de seguida. Sabe-se que

A –C = 3 cm e B –D = 5 cm.

26.1 Sabendo que I e J são os pontos médios dos lados [ AB] e [BC],

respetivamente, determina a amplitude do ângulo ε . Explica o

teu raciocínio.

26.2 Determina a área do losango [ ABCD].

26.3 Determina a área do trapézio [ AIJC].

A C

D

B

I J

67o


57/11256

Praticar


27 Observa a figura.

Determina a área da figura colorida a verde. Apresenta todos os cálculos que efetuares.

Sabe-se que:

• [ ABCD] é um retângulo;

• [EFGD] é um paralelogramo obliquângulo;

• [HKJI ] é um paralelogramo obliquângulo.

A

9 cm

6 cm

1 cm

D

E

F

H

K

G

I

J

B C

1 cm

28 Na figura 1 está representado o quadrilátero [ ABCD] e, na figura 2, uma sua decomposição em dois

triângulos e um quadrilátero.

Determina a amplitude dos ângulos α , β , ε e δ . Explica o teu raciocínio.

A

D

C

B

27o28o

18o42o

79o

139o

Figura 1 Figura 2

29 Prova que a área de um papagaio, em unidades quadradas, é igual ao semiproduto das diagonais per-correndo os seguintes passos:

1. Considera um papagaio [ ABCD] em que A –B = A –D e B –C = C –D.Designando o ponto de interseção das diagonais por E , es-

creve uma expressão que permita determinar a área de cada

um dos triângulos [ ACD] e [ ACB].

2. Completa as seguintes igualdades com medidas de compri-

mento de segmentos de reta:

A[ ACD] + A[ ACB] = + = =___ ¥ E –D

2

___ ¥ E –B2

___ ¥ (E –D + E –B)2

___ ¥ ___

2

D

B

AE

C


58/11257

30 Na figura estão representadas duas circunferências com o

mesmo raio, uma de centro A e outra de centro B.

30.1 Prova que [ AEBF ] é um losango.

30.2 Classifica o triângulo [ AEB] quanto ao comprimento

dos seus lados.

A B

E

F

31 A e B são dois pontos situados em duas ilhotas fluviais. Pre-

tende determinar-se a distância entre A e B. Fixa-se uma es-

taca em terra num certo ponto C colinear com A e B, à nossa

escolha. Fixa-se outra estaca em D de modo que AC ⊥ CD.

Toma-se o ponto médio do segmento de reta [CD], que se de-

signa por E . Traça-se uma reta r perpendicular a CD e que

passa por D. Finalmente, marcam-se os pontos G e F que re-

sultam da interseção das retas BE e AE com a reta r , respeti-

vamente. Então, [GF ] representa a distância entre as ilhotas.

Porquê?

Retirado de Brochura de Apoio ao NPMEB – Triângulos e quadriláteros

Rio

A

BD

G

F

r

C

E

32 Dois quadrados, [ ABCD] e [EFGH ], sobrepõem-se tal como

mostra a figura ao lado.

Sabendo que um dos vértices do quadrado maior, E , coincide

com o centro do quadrado menor, prova que a área do polígono

[IEJC] é a quarta parte da área do quadrado menor.

Sugestão: Percorre as seguintes etapas.

• Traça as diagonais do quadrado menor.

• Prova que os triângulos [EIC] e [EJD] são geometricamente

iguais.

• Utiliza a prova anterior para justificar que a área do polígono

[IEJC] é a quarta parte da área do quadrado menor.

A

D

E

BC

I

F

G

H

J


59/112

1 Observa os quadriláteros.

Indica, pelo número correspondente:

1.1 os trapézios não paralelogramos;

1.2 os paralelogramos;

1.3 os retângulos;

1.4 os quadrados;

1.5 os losangos não quadrados.

2 Na figura seguinte estão representados os triângulos [ ABC] e [BED]. Sabe-se que A, B e E estão ali-

nhados, que A –C = B –D e que C –B = D –E .

2.1 Prova que os triângulos [ ABC] e [BED] são geometricamente iguais.

2.2 Determina a amplitude do ângulo ε . Explica o teu raciocínio.

1

23 4 5

67

12111098

45o45o

108o27o

A B E

C D

58

Testar



60/11259

3 Observa a figura.

Determina a amplitude dos ângulos α e β . Explica

o teu raciocínio.

4 Considera um paralelogramo [ ABCD], tal que as diagonais [ AC] e [BD] têm o mesmo comprimento.

4.1 Justifica que os triângulos [ ACD] e [BCD] são geometricamente iguais.

4.2 Justifica que os ângulos∠ ADC e ∠BCD são geometricamente iguais.

4.3 Sabendo que dois ângulos consecutivos de um paralelogramo são suplementares e que os ân-

gulos opostos são geometricamente iguais, verifica que o paralelogramo [ ABCD] é um retângulo.

5 Qual das seguintes afirmações é falsa?

[A] Num paralelogramo, os lados opostos são congruentes.

[B] Num paralelogramo, os ângulos opostos são congruentes.

[C] Num paralelogramo, as diagonais bissetam-se.

[D] Num paralelogramo, as diagonais são sempre congruentes.

6 Justifica que os quadrados são os paralelogramos que têm as diagonais perpendiculares e iguais.

7 Pretende calcular-se a distância entre duas árvores situadas à beira

de um lago nos pontos A e B. Para tal, colocou-

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Caderno Atividades Matemática 7ºano