CÁC PHÉP BIẾN HÌNH CƠ BẢN TRONG

HỆ TRỤC TỌA ĐỘ Oxy

Ký hiệu: ( ; ), '( '; ')M x y M x y .

I) Phép tịnh tiến theo vectơ 1 2;a a ar

:

1

2

'' ( ) '

'a

x x aM T M MM a

y y a

r

uuuuur r

Biểu thức tọa độ 1

2

'

'

x x a

y y a

VD1: Viết phương trình ảnh của đường thẳng (d) : 2x + 3y – 1 = 0 qua phép

tịnh tiến theo (3;1)a r

.

Giải:

Cách 1: Biểu thức tọa độ ' 3 ' 3

' 1 ' 1

x x x x

y y y y

(*)

Thế (*) vào phương trình đường thẳng (d) ta được: 2( ' 3) 3( ' 1) 1 0x y

hay 2 ' 3 ' 10 0x y

Vậy ảnh của đường thẳng (d) qua phép a

Tr là đường thẳng (d’) có phương

trình: 2 3 10 0x y

(Lưu ý: khi tính toán ta dùng x’, y’ để tìm mối quan hệ giữa các thành phần

tọa độ x’, y’ của điểm M’. Song khi viết phương trình đường thẳng d’ – tức

là tập hợp các điểm M’ ta phải dùng x, y. Phân biệt tập hợp điểm với tính

chất của từng điểm).

Cách 2: Điểm ( 1;1)M d . Vectơ pháp tuyến của đường thẳng d là

(2;3)n r

. Rõ ràng . 2.3 3.1 9 0n a r r

nên ar

và đường thẳng d không

cùng phương.

Gọi M’ = a

Tr (M). Khi đó

'

'

3 2

1 2

M M

M M

x x

y y

Ảnh của đường thẳng d qua a

Tr là đường thẳng d’ đi qua M’ và song

song với đường thẳng d nên có phương trình:

2( 2) 3( 2) 0x x

hay 2 3 10 0x y .

Cách 3: tìm 2 điểm M, N nằm trên d. Xác định tọa độ M’, N’ lần lượt là ảnh

của M, N qua a

Tr . Sau đó viết phương trình đường thẳng d’ đi qua M’ và N’.

Lưu ý: thông thường chỉ nên làm theo cách 1. Cách 2 và 3 đòi hỏi tính toán

nhiều hơn. Đặc biệt phải nhớ tính chất: “Ảnh của đường thẳng d qua a

Tr là

đường thẳng d’ song song với d nếu ar

không cùng phương với d, trùng với

d nếu ar

cùng phương với d (vuông góc với nr

). Chẳng hạn đối với bài trên

nếu ( 3;2)a r

thì 'd d do a nr r

tức là cùng phương với đường thẳng d.

VD2: Viết phương trình ảnh của đường tròn 2 2: 2 4 4 0C x y x y

qua a

Tr , ( 2;1)a r

.

Cách 1: Biểu thức tọa độ ' 2 ' 2

' 1 ' 1

x x x x

y y y y

(*)

Thế (*) vào phương trình đường tròn (C) ta được:

2 2( ' 2) ( ' 1) 2( ' 2) 4( ' 1) 4 0x y x y

hay 2 2' ' 2 ' 2 ' 7 0x y x y

Vậy ảnh của đường tròn (C) là đường tròn (C’) có phương trình:

2 2 2 2 7 0x y x y

Cách 2: Đường tròn (C) có tâm I(1;-2), bán kính R = 2 21 ( 2) 4 3 . Gọi

I’ = a

Tr (I). Khi đó tọa độ I’:

'

'

2 1

1 1

I I

I I

x x

y y

Ảnh của đường tròn (C) qua a

Tr là đường tròn (C’) tâm I’(-1;-1), bán

kính R = 3, có phương trình:

2 2( 1) ( 1) 9x y

Nhận xét: Đối với đường thẳng hay đường tròn ta có thể dùng các cách 2, 3.

Song đối với các đường cong phức tạp 2 22 1; 3 4 0...y x x y xy thì

chỉ có thể dùng cách 1. Do đó cách 1 mới là cách chuẩn xác, được dùng rộng

rãi hơn cả.

II) Phép đối xứng tâm I(a; b):

' ( ) 'IM D M IM IM uuuur uuur

hay I là trung điểm của MM’.

Biểu thức tọa độ

'

2

'

2

x xa

y yb

hoặc ' 2

' 2

x a x

y b y

hoặc

2 '

2 '

x a x

y b y

VD1: Viết phương trình ảnh của đường thẳng d: x – 3y + 1 =0 qua ĐI, I(-1;-

2).

Cách 1: Biểu thức tọa độ: 2 '

4 '

x x

y y

(*)

Thế (*) vào phương trình đường thẳng (d) ta được ( 2 ') 3( 4 ') 1 0x y

hay ' 3 ' 11 0x y

Vậy ảnh của đường thẳng d qua ĐI là đường thẳng d’ có phương trình: 3 11 0x y

Cách 2: Điểm I d, M(2; 1) d. Gọi M’ = ĐI (M) thì tọa độ M’:

'

'

2 4

4 5

M M

M M

x x

y y

Do I d nên ảnh của đường thẳng d qua ĐI là đường thẳng d’ qua

M’(-4; -5) và song song với đường thẳng d, có phương trình: ( 4) 3( 5) 0x y

Hay 3 11 0x y

Cách 3: tìm 2 điểm M, N nằm trên d. Xác định tọa độ M’, N’ lần lượt là ảnh

của M, N qua ĐI. Sau đó viết phương trình đường thẳng d’ đi qua M’ và N’.

Lưu ý: Đối với cách 2 cần nhớ: “ Ảnh của đường thẳng d qua ĐI là đường

thẳng d’ song song với d nếu I d, trùng với d nếu I d. Do đó cần kiểm tra

xem I có nằm trên d hay không trước khi làm. Chẳng hạn trong ví dụ trên

nếu I(2;1) thì 'd d , ta không cần tính toán gì thêm.

VD2: Viết phương trình ảnh của đường tròn 2 2: 1 0C x y x y qua

ĐI, I(2;-1).

Cách 1:

Biểu thức tọa độ 4 '

2 '

x x

y y

(*)

Thế (*) vào phương trình đường tròn (C) ta được 2 2(4 ') ( 2 ') (4 ') ( 2 ') 1 0x y x y

Hay 2 2' ' 7 ' 3 ' 13 0x y x y

Vậy ảnh của đường tròn (C) qua phép ĐI là đường tròn (C’) có phương

trình:

2 2 7 3 13 0x y x y

Cách 2: Đường tròn (C) có tâm I1 1

;2 2

, bán kính

R =

2 21 1 6

12 2 2

.

Gọi I’ = ĐI (I). Tọa độ I’:

'

'

74

2

32

2

I I

I I

x x

y y

Ảnh của đường tròn (C) qua phép ĐI là đường tròn (C’) tâm I’7 3

;2 2

, bán

kính R = 6

2có phương trình:

2 27 3 3

2 2 2x y

III) Đối xứng trục:

1) Đối xứng trục Ox:

Biểu thức tọa độ '

'

x x

y y

(hoành độ không đổi, tung độ đối nhau)

Đối với phép đối xứng này ta chỉ cần thế biểu thức tọa độ '

'

x x

y y

vào

phương trình là tìm được ngay phương trình ảnh như cách 1 ở các phần trên.

Không nên sử dụng cách nào khác. Các em tự ra đề và làm.

2) Đối xứng trục Oy:

Biểu thức tọa độ ' '

' '

x x x x

y y y y

(tung độ không đổi, hoành độ đối

nhau). Làm như trên.

3) Đối xứng trục : ax 0by c nói chung:

M’

I

M

a) Tìm ảnh M’ của điểm M qua Đ :

Phương pháp: Nếu M thì ảnh của M qua Đ chính là M. Nếu M ,

viết phương trình đường thẳng a qua M vuông góc với . Xác định giao

điểm I của a và . Khi đó I là trung điểm của MM’, tìm tọa độ M’.

VD1: Tìm ảnh của điểm M(2; 1) qua Đ biết : 2x – y – 3 = 0.

Do M nên ảnh của M qua Đ chính là M.

VD2: Tìm ảnh của điểm M(-1; 1) qua Đ biết : 2x – y – 3 = 0.

M . Vectơ pháp tuyến của đường thẳng là (2; 1)n uur

. Đường

thẳng a qua M(-1; 2) vuông góc với có vectơ pháp tuyến (1;2)an uur

nên có

phương trình: (x+1) + 2(y – 1) = 0 hay x + 2y – 1 = 0.

Giao điểm I của 2 đường thẳng a và có tọa độ thỏa:

7

2 3 0 5

2 1 0 1

5

xx y

x yy

Tọa độ M’ = Đ (M):

'

'

192

5

122

5

M I M

M I M

x x x

y y y

2) Tìm ảnh của đường thẳng d qua Đ :

Phương pháp: Nếu d hoặc d thì 'd d , nếu d P thì 'd dP , nếu

d không cùng phương hay vuông góc với thì ta tìm giao điểm I của d và

. Tìm một điểm M trên d khác I, tìm ảnh M’ của M sau đó viết phương

trình đường thẳng d’ qua I và M’. Hoặc có thể làm theo cách khác là tìm 1

điểm M trên khác I, tìm đường thẳng d’ qua I sao cho M cách đều d và d’.

VD1: Viết phương trình ảnh của đường thẳng d: 2x – 4y +1 = 0 qua Đ biết

: x – 2y + 1

2 = 0.

Ta có 2 4 1

211 2

2

nên d . Do đó ảnh của đường thẳng d qua Đ là

chính nó.

VD2: Viết phương trình ảnh của đường thẳng d: 2x – 3y +1 = 0 qua Đ với

: 3x + 2y – 5 = 0.

Ta có 2.3 + (- 3).2 = 0 nên d . Do đó ảnh của đường thẳng d qua Đ là

chính nó.

VD3: Viết phương trình của đường thẳng d: 2x – 4y + 1 = 0 qua Đ biết

: x – 2y + 2 = 0.

Ta có 2 4 1

1 2 2

nên d P . Do đó ảnh của đường thẳng là đường thẳng d’

song song với d. Phương trình d’ có dạng 2x – 4y + c = 0. M(0;1) . Ta

có 14 3

( , ') ( , )72 5 2 5

ccd M d d M d

c

c = 1 (loại do khi đó d’ trùng với d). Vậy phương trình d’: 2x – 4y + 7 = 0.

VD4: Viết phương trình ảnh của đường thẳng d: x + y – 1 = 0 qua phép Đ

biết : 2x – y + 3 = 0.

Ta có 1 1

2 1

và 1.2 1.( 1) 1 0 nên đường thẳng d không cùng phương

và không vuông góc với . Giao điểm I của 2 đường thẳng d và có tọa

độ thỏa:

2

1 0 3

2 3 0 5

3

xx y

x yy

Cách 1: Điểm M(1; 0) d. Đường thẳng a qua M(1; 0) vuông góc với có

vectơ pháp tuyến (1; 2) nên có phương trình: (x – 1) + 2(y – 0) = 0 hay x +

2y – 1 = 0.

Giao điểm I’ của đường thẳng a và có tọa độ thỏa

2 1 0 1

2 3 0 1

x y x

x y y

Gọi M’ = Đ (M). I là trung điểm của MM’ nên

' '

' '

2 3

2 2

M I M

M I M

x x x

y y y

Ảnh của đường thẳng d qua phép Đ là đường thẳng d’ qua I, M’ có

vectơ chỉ phương 7 1

' ;3 3

IM

uuuur nên có vectơ pháp tuyến (1; 7) và phương

trình: ( 3) 7( 2) 0x y hay x + 7y – 11 = 0.

Cách 2: Phương trình đường thẳng d’ qua 2 5

;3 3

I

có hệ số góc k:

5 2

3 3y k x

hay

2 50

3 3kx y k . M(-1; 1) . Do d, d’ đối xứng

qua nên 2 2

2

1 2

1 3 3( , ) ( , ') 9( 1) 2( 2)

2 1

k

d M d d M d k kk

11

7k k .

k = - 1 (loại do trùng với hệ số góc của d). Vậy 1

7k . Khi đó phương trình

đường thẳng d’ : x + 7y – 11 = 0.

Lưu ý: Đường thẳng d qua M(a; b) có thể phân làm 2 dạng: nếu song song

với trục Oy thì có phương trình x = a, nếu không song song với Oy thì có hệ

số góc là k (k có thể bằng 0 khi d song song với Ox) và phương trình là y – b

= k(x – a). Ảnh của đường thẳng d qua phép Đ là duy nhất nên nếu ở

trường hợp trên khi biết 'd d mà chỉ tìm được nghiệm k trùng với hệ số

của d thì đường thẳng d’ chắc chắn có phương trình x = a.

IV) Phép vị tự tâm I(a; b), tỉ số k:

( , )' ' ( ' , ' ) ( , )I kM V M IM kIM x a y b k x a y b uuuur uuur

Biểu thức tọa độ ' ( )

' ( )

x a k x a

y b k y b

VD1: Viết phương trình ảnh của đường thẳng d: 2x – 3y + 1 = 0 qua ( , 2)IV

,

trong đó I(1; -2).

Cách 1: Biểu thức tọa độ

' 3

' 1 2( 1) 2 2

' 2 2( 2) '3

2

xx

x x

y y yy

(*)

Thế (*) vào phương trình đường thẳng d (Các em tự làm).

Cách 2: I d , M(1;1) d , Gọi M’ = ( , 2)IV

(M). Khi đó

' '

' '

1 2( 1) 0 1' 2

2 2( 2) 6 8

M M M

M M M

x x xIM IM

y y y

uuuur uuur

Điểm I d nên ảnh của đường thẳng d qua ( , 2)IV

là đường thẳng d’ qua M’

và song song với d nên có phương trình 2( 1) 3( 8) 0x y hay

2 3 26 0x y .

Lưu ý: Đối với cách 2 nếu kiểm tra có I d thì 'd d .

VD2: Tìm phương trình ảnh của đường tròn 2 2: 2 2 2 0C x y x y

qua ( ,2) , ( 1;3)IV I .

Cách 1: Biểu thức tọa độ

' 1

' 1 2( 1) 2 2

' 3 2( 3) ' 3

2 2

xx

x x

y y yy

(*)

Thế (*) vào phương trình (C) (các em tự tính)

Cách 2: Đường tròn (C) có tâm M(1; -1), bán kính R = 2 21 ( 1) 2 2 .

Gọi I’ = ( ,2)IV (I). Khi đó

' '

' '

1 2( 1) 4 3

3 2( 3) 8 5

M M M

M M M

x x x

y y y

Ảnh của đường tròn (C) qua ( ,2)IV là đường tròn (C’) tâm M’(3; -5), bán

kính R = 2 có phương trình: 2 2( 3) ( 5) 4x y

Nhận xét: Độ nhanh của 2 cách là như nhau. Cách 2 chỉ phù hợp cho đường

thẳng, đường tròn không phù hợp cho các đường cong khác nên cách 1 vẫn

là cách phổ biến.

V) Phép quay:

1) Phép quay tâm O, góc quay (theo chiều dương):

Biểu thức tọa độ:

' os ysin

' sin cos

x xc

y x y

(1)

Chứng minh:

Cách 1:

M’

M

O

(Thầy chưa có phần mềm vẽ hình. Các em thông cảm, vẽ ra giấy giúp thầy)

Ký hiệu r = OM = OM’, (OM,OM’) = , (Ox,OM) = . Ta có (Ox,OM’)

=(Ox,OM) + (OM,OM’) = + .

os( ) os . os sin .sin

sin( ) sin . os sin . os

c c c

c c

os( ) os . os sin . sin

sin( ) sin . os sin . os

rc c rc r

r rc r c

' os . sin .

' sin . . os

x c x y

y x y c

Hay ' os ysin

' sin cos

x xc

y x y

Cách 2: (Rườm rà hơn) 2 2. ' . ' os . ' . ' ( ) osOM OM OM OM c x x y y x y c

uuuur uuuur (do OM’ = OM =

2 2x y ).

*Trường hợp x = y = 0 thì x’ = y’ = 0: hiển nhiên công thức đúng.

*Trường hợp x, y không đồng thời bằng 0. Do vai trò như nhau nên không

mất tính tổng quát, giả sử x 0. Khi đó 2 2( ) os '

'x y c yy

xx

thế vào

phương trình 2 2 2 2' 'x y x y ta được

22 2

2 2 2( ) os ''

x y c yyy x y

x

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2( ) os 2 ( ) os ' ' ' ( )x y c y x y c y y y x y x x y 2 2 2 2 2' 2 os ' ( ) os 0y yc y x y c x

' cos siny y x

' cos sin ' cos ysiny y x x x

' cos sin ' cos ysiny y x x x

Ta có 2 nghiệm

' os ysin

' sin cos

x xc

y x y

hoặc

' cos ysin

' sin cos

x x

y x y

Tương ứng với các góc quay theo chiều dương và chiều âm.

VD: Phép quay tâm O, góc quay 90o :

Biểu thức tọa độ:

Theo chiều dương '

'

x y

y x

(2)

Theo chiều âm '

'

x y

y x

(3)

Các em có thể sử dụng các biểu thức trên để tìm từng điểm, sau đó tìm

phương trình đường thẳng qua 2 điểm. Ảnh của tâm đường tròn suy ra ảnh

của đường tròn (cùng bán kính). Hoặc thế trực tiếp biểu thức tọa độ vào

phương trình. Biểu thức chung (1) có thể một số giáo viên không cho dùng ở

trên lớp do không có trong SGK. Song biểu thức (2) và (3) được sử dụng vì

nó có thể rút ra bằng trực quan (quan sát trên hệ trục tọa độ. Các em thử

quan sát và kiểm nghiệm).

2) Phép quay tâm I (a; b), góc quay theo chiều dương:

Biểu thức tọa độ ' cos ( )sin

' ( )sin ( )cos

x x a y b a

y x a y b b

Phép quay này ít được học và dùng ở phổ thông. Có thể chứng minh

tương tự như cách 2 ở trên (Thầy không trình bày lại lần nữa, các em thử

xem). Hoặc đơn giản hơn dùng phép tịnh tiến theo OIuur

dời hệ trục tọa độ Oxy

về hệ trục tọa độ IXY ở chương trình lớp 12. Thật vậy, biểu thức phép tịnh

tiến theo OIuur

:

x X a

y Y b

Theo phần V.1, biểu thức tọa độ phép quay trong hệ trục tọa độ IXY là

' cos Ysin

' sin cos

X X

Y X Y

Thế x = X + a, x’ = X’ + a, y = Y + b, y’ = Y’ + b vào biểu thức trên ta

được:

' cos ( )sin

' ( )sin ( )cos

x x a y b a

y x a y b b

Các em tự ra đề và rèn luyện.