c Tomáš Madaras 2009 Lineárnediferenciálnerovnice1. rádu · c Tomáš Madaras 2009 Lineárnediferenciálnerovnice1. rádu Deﬁnícia Lineárnadiferenciálnarovnica1. rádujediferenciálnarovnica

c©Tomáš Madaras 2009

Lineárne diferenciálne rovnice 1. rádu

DefiníciaLineárna diferenciálna rovnica 1. rádu je diferenciálna rovnicatvaru

y′ + p(x)y = q(x)

kde p(x), q(x) sú funkcie jednej reálnej premennej.

Pri riešení rovnice tohto typu použijeme substitúciu y = u · v (pozn.u, v sú funkcie premennej x). Potom y′ = u′ · v + u · v′ adosadením do pôvodnej diferenciálnej rovnice máme

u′ · v + u · v′ + p(x)u · v = q(x)

v(u′ + p(x)u) + u · v′ = q(x) (�)

IMA1



Funkciu u zvolíme tak, aby platilo

u′ + p(x)u = 0

čo je diferenciálna rovnica so separovateľnými premennými:

dudx

+ p(x)u = 0

dudx

= −p(x)u

duu

= −p(x) dx∫duu

= −∫p(x) dx

IMA1



Tedaln |u| = −

∫p(x) dx+ C

|u| = e−∫p(x) dx+C

u = Ke−∫p(x) dx

Získanú funkciu u dosadíme späť do (�) (po dosadení člen s vvypadne), dostávame tak opäť rovnicu so separovateľnýmipremennými:

u(x) · v′ = q(x)

u(x)dvdx

= q(x)

dv =q(x)u(x)

dx

v =∫

q(x)u(x)

dx =∫

q(x)Ke−

∫p(x) dx

dx =1K

∫q(x)e

∫p(x) dx dx+ L

IMA1



Teda riešenie pôvodnej diferenciálnej rovnice bude

y = u · v = Ke−∫p(x) dx ·

(1K

∫q(x)e

∫p(x) dx dx+ L

)=

e−∫p(x) dx

(∫q(x)e

∫p(x) dx dx+K · L

)Súčin konštánt KL môžeme nahradiť novou konštantou M .

IMA1



Príklad

Riešte diferenciálnu rovnicu xy′ + (1 + x)y = x2.

Ide o lineárnu diferenciálnu rovnicu prvého rádu, použijeme tedasubstitúciu y = u · v; po vyjadrení y′ = u′v + uv′ a dosadení dorovnice dostávame

x(u′v + uv′) + (1 + x)uv = x2

v(xu′ + (1 + x)u) + xuv′ = x2

1) Riešime najprv rovnicu xu′ + (1 + x)u = 0:

xdudx

+ (1 + x)u = 0

IMA1



Príklad (pokr.)

xdudx

= −(1 + x)u

duu

= −1 + x

xdx

ln |u| = −∫

1 + x

xdx = −

∫ (1x

+ 1)

dx = −(ln |x|+ x) + C

|u| = e−(ln |x|+x)+C = Ke−(ln |x|+x) = Ke−xe− ln |x| =

= Ke−xeln |x|−1

= Ke−x|x|−1 = Ke−x

x

IMA1



Príklad (pokr.)

2) Ďalej riešime rovnicu xuv′ = x2:

x ·Ke−x

x· dvdx

= x2

dv =1K· x

2

e−xdx =

1Kx2ex dx

v =∫

1K· x2ex dx =

1K· ex(x2 − 2x+ 2) + L

Teda

y = u · v = Ke−x

x· ( 1Kex(x2 − 2x+ 2) + L) =

= Ke−x

x· 1Kex(x2 − 2x+ 2) +KL · e

−x

x=x2 − 2x+ 2

x+M

1xex

IMA1



Iný spôsob riešenia lineárnej diferenciálnej rovnice 1. rádu jemetóda variácie konštanty, kde najprv riešime rovnicuy′ + p(x)y = 0:

dydx

= −p(x)y

dyy

= −p(x) dx

ln |y| =∫

dyy

= −∫p(x) dx+ C

|y| = e−∫p(x) dx+C

y = Ke−∫p(x) dx

IMA1



Riešenie pôvodnej diferenciálnej rovnice budeme hľadať v tvare

y = K(x)e−∫p(x) dx

kde K(x) je nejaká funkcia premennej x. Pre deriváciu y′ platí

y′ =(K(x)e−

∫p(x) dx

)′=

= K ′(x) · e−∫p(x) dx +K(x) · e−

∫p(x) dx · (−p(x))

Ak toto vyjadrenie y′ dosadíme do pôvodnej rovnice, dostaneme

K ′(x)e−∫p(x) dx−K(x)p(x)e−

∫p(x) dx+p(x)K(x)e−

∫p(x) dx = q(x)

tedaK ′(x)e−

∫p(x) dx = q(x)

IMA1



K ′(x) =q(x)

e−∫p(x) dx

= q(x)e∫p(x) dx

z čoho máme

K(x) =∫q(x)e

∫p(x) dx dx+M

Teda riešenie pôvodnej rovnice je

y = e−∫p(x) dx

(∫q(x)e

∫p(x) dx dx+M

)

IMA1


Bernoulliho diferenciálne rovnice

DefiníciaBernoulliho diferenciálna rovnica je diferenciálna rovnica tvaru

y′ + p(x)y = q(x)yn

kde p(x), q(x) sú funkcie jednej reálnej premennej a n 6= 0, 1.

Pri riešení rovnice tohto typu obe strany rovnice vydelíme yn, čímdostaneme

y′

yn+p(x)yn−1

= q(x)

Ďalej použijeme substitúciu z =1

yn−1; z toho derivovaním

dostávame z′ = (y1−n)′ = (1− n)y−n · y′ = (1− n)y′

yn, teda

y′

yn=

z′

1− n. Po dosadení dostávame

IMA1



z′

1− n+ p(x)z = q(x)

z′ + (1− n)p(x)z = (1− n)q(x)

čo je lineárna diferenciálna rovnica. Jej riešenie je

z = e−(1−n)∫p(x) dx

(∫(1− n)q(x)e

∫(1−n)p(x) dx dx+K · L

)=

= e(n−1)∫p(x) dx

(∫(1− n)q(x)e

∫(1−n)p(x) dx dx+M

)Z rovnosti yn−1 =

1zpotom dostaneme

y =(

1z

) 1n−1

IMA1



Príklad

Riešte diferenciálnu rovnicu y′ + xy = x3y3.

Je to Bernoulliho diferenciálna rovnica pre n = 3, po vydelení

oboch strán rovnice y3 máme rovnicuy′

y3+

x

y2= x3. Použijeme

substitúciu z =1y2

, z čoho derivovaním máme z′ =−2y3y′ a

y′

y3= −z

2. Po dosadení dostaneme lineárnu diferenciálnu rovnicu 1.

rádu:

−z′

2+ xz = x3

z′ − 2xz = −2x3

Položme z = u · v; potom z′ = u′v + uv′ a

IMA1



Príklad (pokr.)

u′v + uv′ − 2xuv = −2x3

v(u′ − 2xu) + uv′ = −2x3

1) Riešime najprv diferenciálnu rovnicu u′ − 2xu = 0:

dudx

= 2xu

duu

= 2x dx

ln |u| =∫

duu

=∫

2x dx = x2 + C

|u| = ex2+C

u = Kex2

IMA1



Príklad (pokr.)

2) Ďalej riešime diferenciálnu rovnicu uv′ = −2x3:

Kex2 dvdx

= −2x3

dv = − 2K· x

3

ex2 dx

v = − 2K

∫x3

ex2 dx

Platí (overíme napr. derivovaním)∫−2x3

ex2 dx =1 + x2

ex2 .

IMA1



Príklad (pokr.)

Z toho dostávame

z = u · v = ex2

(∫−2x3e−x

2dx+M

)=

ex2((1 + x2)e−x

2+M

)= 1 + x2 +Mex

2

Keďže z =1y2

, je y =1√za tak dostávame, že riešenie pôvodnej

Bernoulliho diferenciálnej rovnice je

y =1√

1 + x2 +Mex2

IMA1



DefiníciaLineárna diferenciálna rovnica 2. rádu je diferenciálna rovnica

y′′ + p(x)y′ + q(x)y = r(x)

Ak r(x) = 0, tak rovnica je bez pravej strany. Ak funkciep(x), q(x) sú konštantné, daná rovnica sa nazýva lineárnadiferenciálna rovnica 2. rádu s konštantnými koeficientami.

VetaNech y′′ + p(x)y′ + q(x)y = 0 je lineárna diferenciálna rovnica 2.rádu bez pravej strany a nech y1, y2 sú jej riešenia. Potom ajfunkcia y = C1y1 + C2y2 (kde C1, C2 sú konštanty) je riešenímtejto diferenciálnej rovnice.

IMA1



Dôkaz: Ak y1, y2 sú riešenia danej rovnice, taky′′1 + p(x)y′1 + q(x)y1 = 0, y′′2 + p(x)y′2 + q(x)y2 = 0. Položmey = C1y1 + C2y2. Potom y′ = C1y

′1 + C2y

′2, y

′′ = C1y′′1 + C2y

′′2 a

po dosadení do danej diferenciálnej rovnice dostávame

y′′ + p(x)y′ + q(x)y = C1y′′1 + C2y

′′2 + p(x)(C1y

′1 + C2y

′2)+

q(x)(C1y1 + C2y2) = C1(y′′1 + p(x)y′1 + q(x)y1)+

C2(y′′2 + p(x)y′2 + q(x)y2) = C1 · 0 + C2 · 0 = 0.

Teda y je tiež riešenie.

DefiníciaNech funkcie y1 = y1(x), y2 = y2(x) sú definované na nejakomintervale I. Potom y1, y2 sú lineárne závislé, ak existuje konštantak taká, že pre všetky x ∈ I je y1(x) = k · y2(x). Funkcie y1, y2 súlineárne nezávislé, ak nie sú lineárne závislé.

IMA1



VetaNech y1, y2 sú dve lineárne nezávislé riešenia lineárnej diferenciálnejrovnice y′′ + p(x)y′ + q(x)y = 0 2. rádu bez pravej strany. Potomkaždé riešenie tejto rovnice sa dá vyjadriť v tvare y = C1y1 + C2y2.

VetaNech y∗ je riešenie diferenciálnej rovnice y′′ + p(x)y′ + q(x)y= r(x) 2. rádu a y1, y2 sú dve lineárne nezávislé riešenia lineárnejdiferenciálnej rovnice y′′ + p(x)y′ + q(x)y = 0 2. rádu bez pravejstrany. Potom všeobecné riešenie rovnice s pravou stranou sa dávyjadriť v tvare y = C1y1 + C2y2 + y∗.

IMA1


Lineárne diferenciálne rovnice 2. rádu s konštantnýmikoeficientami

DefiníciaCharakteristická rovnica lineárnej diferenciálnej rovnice

y′′ + Py′ +Qy = 0 (�)

2. rádu s konštantnými koeficientami bez pravej strany jekvadratická rovnica z2 + Pz +Q = 0.

IMA1


Lineárne diferenciálne rovnice 2. rádu s konštantnýmikoeficientami

Veta

Nech z2 + Pz +Q = 0 je charakteristická rovnica diferenciálnejrovnice (�).

1 Ak má táto rovnica dva rôzne reálne korene α, β, takvšeobecné riešenie rovnice (�) je

y = C1eαx + C2e

βx.

2 Ak má táto rovnica dvojnásobný reálny koreň ω, tak všeobecnériešenie rovnice (�) je

y = eωx(C1 + C2x).

3 Ak má táto rovnica dva komplexne združené komplexné koreneκ+ λi, κ− λi, tak všeobecné riešenie rovnice (�) je

y = eκx(C1 cos(λx) + C2 sin(λx)).IMA1


Lineárne diferenciálne rovnice 2. rádu s konštantnýmikoeficientami s pravou stranou

Ak je daná lineárna diferenciálna rovnica y′′ + Py′ +Qy = r(x) 2.rádu s konštantnými koeficientami s pravou stranou, tak jejvšeobecné riešenie je y = C1y1 + C2y2 + y∗, kde y1, y2 sú riešeniarovnice bez pravej strany (získané pomocou koreňov jejcharakteristickej rovnice) a y∗ je nejaké partikulárne riešenie rovnices pravou stranou. V prípade, že pravá strana r(x) má špeciálnytvar, y∗ sa dá nájsť ľahko - predpokladáme, že y∗ je funkciarovnakého "typu" (najčastejšie sa uvažujú polynómy, exponenciálnefunkcie, goniometrické funkcie a ich vzájomné súčiny), ako funkciana pravej strane a obsahuje niekoľko neznámych koeficientov.Potom určíme derivácie y∗′, y∗′′, dosadíme do danej diferenciálnejrovnice a z porovnania neznámych koeficientov na ľavej strane soznámymi zodpovedajúcimi koeficientami na pravej strane (spôsobporovnania závisí od typu r(x)) zostavíme sústavu lineárnych rovnícpre neznáme koeficienty; jej riešením získame úplné vyjadrenie y∗.

IMA1



Výnimočný prípad nastáva, ak funkcia r(x) je už riešenímdiferenciálnej rovnice y′′ + Py′ +Qy = 0 bez pravej strany: vtedypo dosadení y∗, y∗′ a y∗′′ do diferenciálnej rovnice nedokážemeurčiť hodnoty neznámych koeficientov. V takomto prípade uvedenýpostup zopakujeme s tým, že predpokladaný tvar pre y∗

vynásobíme s x resp. s x2 (činiteľ závisí povahe riešenia rovnicebez pravej strany).

1. r(x) je polynóm n-tého stupňa.Partikulárne riešenie y∗ hľadáme v tvare

y∗ = A0 +A1x+A2x2 + · · ·+Anx

n.

Konštanty A0, A1, . . . , An vypočítame tak, že z predpokladanéhotvaru y∗ vyjadríme

IMA1



y∗′ = A1 + 2A2x+ · · ·+ kAkxk−1 + · · ·+ nAnx

n−1,y∗′′ = 2A2 +6A3x+ · · ·+k(k− 1)Akxk−2 + · · ·+n(n− 1)Anxn−2

a dosadíme do pôvodnej diferenciálnej rovnice; po dosadení je ľaváaj pravá strana rovnice rovná nejakému polynómu stupňa n, možnoteda porovnať ich koeficienty a dostať tak sústavu lineárnych rovnícpre A0, A1, . . . , An.

Ak je jeden z koreňov charakteristickej rovnice diferenciálnej rovnicebez pravej strany rovný 0, ale nie je dvojnásobný, tak uvedenýmpostupom nezískame hodnoty A0, A1, . . . , An. V takomto prípadetreba y∗ hľadať v tvare

y∗ = x(A0 +A1x+A2x2 + · · ·+Anx

n).

Ak by charakteristická rovnica mala dvojnásobný koreň rovný 0, taky∗ treba hľadať v tvare

y∗ = x2(A0 +A1x+A2x2 + · · ·+Anx

n).IMA1



Príklad

Riešte diferenciálnu rovnicu y′′ + 6y′ + 9y = 3x2 + 1.

Charakteristická rovnica príslušnej diferenciálnej rovnice bez pravejstrany je z2 + 6z + 9 a má dvojnásobný koreň −3. Preto dvojicalineárne nezávislých riešení je y1 = e−3x, y2 = xe−3x. Pravá stranapôvodnej diferenciálnej rovnice je polynóm druhého stupňa,partikulárne riešenie budeme teda hľadať v tvare

y∗ = A0 +A1x+A2x2

Potom y∗′ = A1 + 2A2x, y∗′′ = 2A2 a po dosadení dostávame

2A2 + 6(A1 + 2A2x) + 9(A0 +A1x+A2x2) = 3x2 + 1

9A2x2 + x(12A2 + 9A1) + (2A2 + 6A1 + 9A0) = 3x2 + 1

IMA1



Príklad (pokr.)

Z porovnania koeficientov na ľavej a pravej strane vyplýva

9A2 = 312A2 + 9A1 = 0

2A2 + 6A1 + 9A0 = 1

⇔A2 = 1

3A1 = −4

9A0 = 1

3

Teda všeobecné riešenie danej diferenciálnej rovnice je

y = e−3x(C1 + C2x) +13− 4

9x+

13x2.

IMA1



PríkladRiešte diferenciálnu rovnicu y′′ − 9y′ = 3x+ 2.

Charakteristická rovnica príslušnej diferenciálnej rovnice bez pravejstrany je z2 − 9z = 0 a má dva rôzne reálne korene 0, 9. Pretodvojica lineárne nezávislých riešení je y1 = e0x = 1, y2 = e9x. Pravástrana pôvodnej diferenciálnej rovnice je polynóm prvého stupňa;vzhľadom na to, že jeden z koreňov charakteristickej rovnice je 0,partikulárne riešenie budeme hľadať v tvare

y∗ = x(A0 +A1x) = A0x+A1x2

Potom y∗′ = A0 + 2A1x, y∗′′ = 2A1 a po dosadení dostávame

2A1 − 9(A0 + 2A1x) = 3x+ 2

IMA1



Príklad (pokr.)

(2A1 − 9A0)− 18A1x = 3x+ 2

z čoho máme A1 = −16 , A0 = − 7

27 , y∗ = x

(− 7

27 −16x). Teda

všeobecné riešenie diferenciálnej rovnice je

y = C1 + C2e9x − 7

27x− 1

6x2.

IMA1



2. r(x) = P (x)ekx je súčin polynómu n-tého stupňa aexponenciálnej funkcie so základom e.Partikulárne riešenie y∗ hľadáme v tvare

y∗ = ekx(A0 +A1x+ · · ·+Anxn).

Konštanty A0, A1, . . . , An vypočítame tak, že z predpokladanéhotvaru y∗ vyjadríme y∗′, y∗′′ (pomocou vzťahu pre derivovaniesúčinu) a dosadíme do pôvodnej diferenciálnej rovnice; po dosadeníje ľavá aj pravá strana rovnice rovná súčinu ekx a nejakéhopolynómu. Možno teda obe strany rovnice vydeliť členom ekx aporovnať koeficienty vzniknutých polynómov; dostaneme taksústavu lineárnych rovníc pre A0, A1, . . . , An.

IMA1



Ak ekx je už jedným z riešení diferenciálnej rovnice bez pravejstrany (to nastáva v prípade, že k je koreňom charakteristickejrovnice), tak uvedeným postupom nezískame hodnotyA0, A1, . . . , An. V takomto prípade treba y∗ hľadať v tvare

y∗ = x(ekx(A0 +A1x+ · · ·+Anxn)).

V prípade, že k je dvojnásobný koreň charakteristickej rovnice,treba y∗ hľadať v tvare

y∗ = x2(ekx(A0 +A1x+ · · ·+Anxn)).

IMA1



Príklad

Riešte diferenciálnu rovnicu y′′ + 9y = e2x(4 + x).

Charakteristická rovnica príslušnej diferenciálnej rovnice bez pravejstrany je z2 + 9 = 0 a má dva rôzne komplexné korene 3i,−3i.Preto dvojica lineárne nezávislých riešení jey1 = e0x cos(3x) = cos(3x), y2 = e0x sin(3x) = sin(3x). Pravástrana pôvodnej diferenciálnej rovnice je súčinom exponenciálnejfunkcie a polynómu prvého stupňa a 2 z exponentu na pravej stranenie je koreňom charakteristickej rovnice; partikulárne riešeniebudeme teda hľadať v tvare

y∗ = e2x(A0 +A1x).

IMA1



Príklad (pokr.)

Potom y∗′ = 2e2x(A0 +A1x) + e2x ·A1 = e2x(2A0 +A1 + 2A1x),y∗′′ = 2e2x(2A0 +A1 + 2A1x) + e2x(2A1) =4e2x(A0 +A1 +A1x) a po dosadení dostávame

4e2x(A0 +A1 +A1x) + 9e2x(A0 +A1x) = e2x(4 + x)

4A0 + 4A1 + 4A1x+ 9A0 + 9A1x = 4 + x

(13A0 + 4A1) + 13A1x = 4 + x

z čoho máme 13A1 = 1, teda A1 = 113 a 13A0 + 4A1 = 4, teda

A0 = 48169 . Teda všeobecné riešenie diferenciálnej rovnice je

y = C1 sin(3x) + C2 cos(3x) + e2x(

48169

+113x

).

IMA1



3. r(x) = ekx(p cos(sx) + r sin(sx)) je súčin exponenciálnejfunkcie so základom e a lineárnej kombinácie goniometrickýchfunkcií sin, cos argumentu sx.Partikulárne riešenie y∗ hľadáme v tvare

y∗ = ekx(A0 cos(sx) +A1 sin(sx)).Konštanty A0, A1, . . . , An vypočítame tak, že z predpokladanéhotvaru y∗ vyjadríme y∗′, y∗′′ (pomocou vzťahu pre derivovaniesúčinu) a dosadíme do pôvodnej diferenciálnej rovnice; po dosadeníje ľavá aj pravá strana rovnice rovná súčinu ekx a nejakého výrazuobsahujúceho sin(sx), cos(sx). Možno teda obe strany rovnicevydeliť členom ekx a porovnať koeficienty pri sin(sx) aj cos(sx) naoboch stranách (aby sa dosiahla rovnosť pre všetky x z nejakéhointervalu, koeficienty pri zodpovedajúcich si goniometrickýchfunkciách musia byť tie isté); dostaneme tak sústavu lineárnychrovníc pre A0, A1.

IMA1



PríkladRiešte diferenciálnu rovnicu y′′ + 4y′ + 4y = sin(2x).

Charakteristická rovnica príslušnej diferenciálnej rovnice bez pravejstrany je z2 + 4z + 4 = 0 a má jeden dvojnásobný koreň −2. Pretodvojica lineárne nezávislých riešení je y1 = e−2x, y2 = xe−2x. Pravástrana pôvodnej diferenciálnej rovnice je goniometrická funkciaargumentu 2x; partikulárne riešenie budeme teda hľadať v tvare

y∗ = A cos(2x) +B sin(2x).

IMA1



Príklad (pokr.)

Potom y∗′ = 2A(− sin(2x)) + 2B cos(2x),y∗′′ = −4A cos(2x) + 4B(− sin(2x)) a po dosadení dostávame

−4A cos(2x) + 4B(− sin(2x)) + 4(2A(− sin(2x))

+2B cos(2x)) + 4(A cos(2x) +B sin(2x)) = sin(2x)

sin(2x)(−8A−3B)+cos(2x)(2B) = sin(2x) = 1·sin(2x)+0·cos(2x)

z čoho máme 2B = 0, teda B = 0 a −8A− 3B = 1, tedaA = −1

8 . Teda všeobecné riešenie diferenciálnej rovnice je

y = C1e−2x + C2xe

−2x − 18

cos(2x).

IMA1



Lineárne diferenciálne rovnice 2. rádu s konštantnými koeficientamimožno tiež riešiť metódou variácie konštánt: najprv nájdemevšeobecné riešenie y = C1y1 + C2y2 diferenciálnej rovnice bezpravej strany. Budeme ďalej predpokladať, že všeobecné riešeniepôvodnej diferenciálnej rovnice možno uvažovať v tvare

y = C1(x)y1 + C2(x)y2

kde C1(x), C2(x) sú nejaké funkcie. Potom

y′ = C ′1(x)y1 + C1(x)y′1 + C ′2(x)y2 + C2(x)y′2

Funkcie C1(x), C2(x) budeme voliť tak, aby platila podmienka

C ′1(x)y1 + C ′2(x)y2 = 0

IMA1



Pri takejto voľbe C1(x), C2(x) je

y′ = C1(x)y′1 + C2(x)y′2

z čoho máme

y′′ = C ′1(x)y′1 + C1y

′′1 + C ′2(x)y

′2 + C2y

′′2

Po dosadení do pôvodnej diferenciálnej rovnice dostávame

y′′ + Py′ +Qy = C ′1(x)y′1 + C1(x)y′′1 + C ′2(x)y

′2 + C2(x)y′′2+

P (C1(x)y′1 + C2(x)y′2) +Q(C1(x)y1 + C2(x)y2) =

C1(x)(y′′1+Py′1+Qy1)+C2(x)(y′′2+Py′2+Qy2)+C ′1(x)y′1+C

′2(x)y

′2 =

C1(x)·0+C2(x)·0+C ′1(x)y′1+C

′2(x)y

′2 = C ′1(x)y

′1+C

′2(x)y

′2 = r(x)

IMA1



Dostávame takto sústavu dvoch lineárnych rovníc premennýchC ′1(x), C

′2(x):

C ′1(x)y1 + C ′2(x)y2 = 0C ′1(x)y

′1 + C ′2(x)y

′2 = r(x)

Jej riešením získame derivácie C ′1(x), C′2(x) a ich integráciou aj

hľadané funkcie C1(x), C2(x).

IMA1

Documents

c Tomáš Madaras 2009 Lineárnediferenciálnerovnice1. rádu · c Tomáš Madaras 2009 Lineárnediferenciálnerovnice1. rádu Deﬁnícia Lineárnadiferenciálnarovnica1. rádujediferenciálnarovnica