C ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN - WordPress.com...Một đại lượng ngẫu nhiên được coi là hoàn toàn xác định nếu ta xác định được các giá trị có thể

Giáo trình: Xác Suất Thống Kê – NCS. Trần Văn Hoan

41

Chương 2 ____________________________________________

ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN

§1. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN

1.1. Đại lượng ngẫu nhiên của phép thử Khái niệm đại lượng ngẫu nhiên

Thực hiện một phép thử để quan sát một dấu hiệu nào đó và giả sử

quan sát đó có nhiều kết quả có thể xảy ra. Nếu ta dùng một ký hiệu để

biểu diễn các kết quả có thể xảy ra của quan sát đối với phép thử thì

người ta gọi ký hiệu đó là một đại lượng ngẫu nhiên.

Định nghĩa. Một đại lượng ngẫu nhiên của một phép thử là một ký

hiệu có thể biểu diễn các kết quả có thể xảy ra của quan sát một dấu hiệu

nào đó đối với phép thử.

Các đại lượng ngẫu nhiên thường được ký hiệu bằng các chữ in hoa

nằm ở cuối bảng chữ cái như X, Y, ... , X1 , X2 , ... . Các kết quả có thể

xảy ra của đại lượng ngẫu nhiên là các số thực gọi là các giá trị có thể

nhận của đại lượng ngẫu nhiên. Khi ta gán cho đại lượng ngẫu nhiên một

số thực hay một khoảng số thực nào đó thì ta được một biến cố của phép

thử có xác suất hoàn toàn xác định.

Phân loại đại lượng ngẫu nhiên Căn cứ vào những giá trị mà đại lượng ngẫu nhiên có thể nhận, người

ta chia đại lượng ngẫu nhiên ra làm hai loại là đại lượng ngẫu nhiên rời

rạc và đại lượng ngẫu nhiên liên tục.

Định nghĩa. Một đại lượng ngẫu nhiên được gọi là rời rạc nếu các giá

trị có thể nhận của nó ta có thể đếm được. Một đại lượng ngẫu nhiên

được gọi là liên tục nếu các giá trị có thể nhận của nó ta không thể đếm

được.

Với các đại lượng ngẫu nhiên rời rạc, ta có thể liệt kê được tất cả các

giá trị có thể nhận của nó. Ngược lại, ta không thể liệt kê được tất cả các

giá trị có thể nhận của đại lượng ngẫu nhiên liên tục mà chỉ có thể xác

định được các khoảng số thực biểu diễn các kết quả có thể xảy ra của nó.

Ví dụ.

a) Tung một hột xí ngầu để quan sát số nút xuất hiện của nó. Nếu gọi

X là số nút xuất hiện của hột xí ngầu thì X là một đại lượng ngẫu nhiên

rời rạc có thể nhận các giá trị 1, 2, 3, 4, 5, 6. Khi đó X = 1 , X = 7 , X 1,

X > 2 , 1 X < 4, ... là các biến cố của đại lượng ngẫu nhiên X.

b) Khảo sát vể thu nhập hàng tháng của công nhân trong các khu công

nghiệp. Nếu gọi Y (triệu đồng) là thu nhập hàng tháng của công nhân

trong các khu công nghiệp thì Y là một đại lượng ngẫu nhiên liên tục có

thể nhận các giá trị trong khoảng (1 , 3).


42

1.2. Bảng phân phối xác suất Một đại lượng ngẫu nhiên được coi là hoàn toàn xác định nếu ta xác

định được các giá trị có thể nhận của nó và tính được các xác suất tương

ứng với các giá trị đó. Một quy tắc có thể biểu diễn được mối quan hệ

giữa các giá trị có thể nhận với các xác suất tương ứng của một đại lượng

ngẫu nhiên được gọi là luật phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên

đó. Luật phân phối xác suất của một đại lượng ngẫu nhiên rời rạc được

thể hiện dưới dạng một bảng gọi là bảng phân phối xác suất.

Định nghĩa. Bảng phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên rời rạc

X có dạng sau:

X x1 x2 . . . xn

PX

p1 p2 . . . pn

Trong đó x1 < x2 < ... < xn là các giá trị có thể nhận của đại lượng ngẫu

nhiên X và p1 = P(X = x1), p2 = P(X = x2), … , pn = P(X = xn) thỏa mãn

điều kiện p1 + p2 + ... + pn = 1.

Ví dụ1. Hãy tìm luật phân phối xác suất của số đồng xu sấp khi tung

hai đồng xu.

Giải

Gọi X là số đồng xu sấp khi tung hai đồng xu thì X là một đại lượng

ngẫu nhiên có thể nhận các giá trị 0, 1, 2. Theo định nghĩa xác suất ta có:

1P(X = 0) = 0,25

4

2P(X = 1) = 0,50

4

1P(X = 2) = 0,25

4

Nên luật phân phối xác suất của X là:

X 0 1 2

PX

0,25 0,50 0,25

Ví dụ2. Có ba hộp bi. Hộp 1 có 6 bi xanh và 4 bi đỏ, hộp 2 có 7 bi

xanh và 3 bi đỏ, hộp 3 có 8 bi xanh và 2 bi đỏ . Lấy ngẫu nhiên từ mỗi

hộp một bi và gọi X là số bi xanh có trong 3 bi lấy ra.

a) Hãy lập bảng phân phối xác suất của X.

b) Tính P(X ≥ 1).

Giải

a) Ta thấy X có thể nhận các giá trị 0, 1, 2, 3.

Đặt Ai là biến cố “Bi lấy từ hộp i là bi xanh” (i = 1,2,3). Sử dụng công

thức nhân xác suất ta có:


43

1 2 3 1 2 3

4 3 2P(X = 0) P( ) P( )P( )P( ) 0,024

10 10 10

A A A A A A

1 2 3 1 2 3 1 2 3

1 2 3 1 2 3 1 2 3

1 2 3

P(X = 1) P( )

6 3 2 4 7 2 4 3 80,188

10 10 10 10 10 10 10 10 10

P(X = 2) P( )

6 7 2 6 3 8 4 7 80,452

10 10 10 10 10 10 10 10 10

6 7 8P(X = 3) P( ) 0,336

10 10 10

A A A A A A A A A

A A A A A A A A A

A A A

Do đó bảng phân phối xác suất của X là:

X 0 1 2 3

PX

0,024 0,188 0,452 0,336

b) Ta có:

P(X ≥ 1) = P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3)

= 0,188 + 0,452 + 0,336 = 0,976

Ta cũng có thể tính xác suất trên như sau:

Ví dụ3. Một hộp có 10 sản phẩm, trong đó có 3 phế phẩm. Kiểm tra

ngẫu nhiên từng sản phẩm cho tới khi lấy được một sản phẩm tốt thì dừng

lại. Hãy lập bảng phân phối xác suất của số sản phẩm được kiểm tra.

Giải

Gọi X là số sản phẩm phải kiểm tra thì lấy được sản phẩm tốt đầu tiên

thì X là đại lượng ngẫu nhiên có thể nhận các giá trị 1, 2, 3, 4.

Đặt Ai : “Sản phẩm kiểm tra lần thứ i là sản phẩm tốt” (i=1,2,3), ta có:

P(X = 1) = P(A1) = 7

0,7

10

P(X = 2) = 1 2 1 2 1

3 7P(A A ) P(A )P(A / A ) 0,2333

10 9

1 2 3 1 2 3 3 1 2

P(X = 3) = P(A A A ) = P(A ) P(A / A ) P(A / A A )

3 2 7 = = 0,0583

10 9 8

1 2 3 1 2 1 3 1 2

P(X = 4) = P(A A A ) = P(A ) P(A / A ) P(A / A A )

3 2 1 = = 0,0083

10 9 8

Nên bảng phân phối xác suất của X là:

P X 1 1 P X 1 1 P X < 1 1 P X = 0

1 0,024 0,976


44

X 1 2 3 4

PX

0,7 0,2333 0,0583 0,0083

Ví dụ4. Một xạ thủ có khả năng bắn trúng mục tiêu là 80%. Xạ thủ đó

bắn 3 phát đạn vào một mục tiêu. Hãy tìm luật phân phối xác suất của số

viên đạn bắn trúng mục tiêu.

Giải

Gọi X là số viên đạn bắn trúng mục tiêu thì X là đại lượng ngẫu nhiên

có thể nhận các giá trị 0, 1, 2, 3.

Sử dụng công thức Bernoulli ta có:

P(X = 0) = 0 0 3 0

3C 0,8 (1 0,8)

= 0,008

P(X = 1) = 1 1 3 1

3C 0,8 (1 0,8)

= 0,096

P(X = 2) = 2 2 3 2

3C 0,8 (1 0,8)

= 0,384

P(X = 3) = 3 3 3 3

3C 0,8 (1 0,8)

= 0,512


X 0 1 2 3

PX

0,008 0,096 0,384 0,512

Ví dụ5. Có hai hộp bi. Hộp 1 có 2 bi xanh và 3 bi đỏ, hộp 2 có 4 bi xanh

và 5 bi đỏ.

a) Chọn ngẫu nhiên một hộp rồi từ hộp đó lấy ngẫu nhiên ra 3 bi. Hãy

tìm luật phân phối xác suất của số bi xanh có trong 3 bi lấy ra.

b) Lấy ngẫu nhiên 1 bi từ hộp 1 bỏ qua hộp 2, sau đó từ hộp 2 lấy ngẫu

nhiên ra 3 bi. Hãy tìm luật phân phối xác suất của số bi xanh có trong 3 bi

lấy ra.

Giải

a) Gọi X là số bi xanh trong 3 bi lấy ra thì X là đại lượng ngẫu nhiên


Đặt Ai : “Hộp bi được chọn là hộp i” (i = 1,2). Sử dụng công thức xác

suất đầy đủ ta có:

P(X = 0) = P(A1)P(X = 0 / A1) + P(A2)P(X = 0 / A2)

3 3

3 5

3 3

5 9

1 10,1095

2 2

C C

C C

P(X = 1) = P(A1)P(X = 1 / A1) + P(A2)P(X = 1 / A2)

1 2 1 2

2 3 4 5

3 3

5 9

1 10,5381

2 2

C C C C

C C

P(X = 2) = P(A1)P(X = 2 / A1) + P(A2)P(X = 2 / A2)

2 1 2 1

2 3 4 5

3 3

5 9

1 10,3286

2 2

C C C C

C C

P(X = 3) = P(A1)P(X = 3 / A1) + P(A2)P(X = 3 / A2)


45

3

4

3 3

5 9

1 0 10,0238

2 2

C

C C


X 0 1 2 3

PX

0,1095 0,5381 0,3286 0,0238

b) Gọi Y là số bi xanh có trong 3 bi lấy ra thì Y là đại lượng ngẫu

nhiên có thể nhận các giá trị 0, 1, 2, 3.

Đặt B1 : “Bi lấy từ hộp 1 bỏ qua hộp 2 là bi xanh” và B2 : “Bi lấy từ

hộp 1 bỏ qua hộp 2 là bi đỏ”.

Sử dụng công thức xác suất đầy đủ ta có:

P(Y = 0) = P(B1)P(Y = 0 / B1) + P(B2)P(Y = 0 / B2)

3 3

5 6

3 3

10 10

2 30,1333

5 5

C C

C C

P(Y = 1) = P(B1)P(Y = 1 / B1) + P(B2)P(Y = 1 / B2)

1 2 1 2

5 5 4 6

3 3

10 10

2 30,4667

5 5

C C C C

C C

P(Y = 2) = P(B1)P(Y = 2 / B1) + P(B2)P(Y = 2 / B2)

2 1 2 1

5 5 4 6

3 3

10 10

2 30,3467

5 5

C C C C

C C

P(Y = 3) = P(B1)P(Y = 3 / B1) + P(B2)P(Y = 3 / B2)

3 3

5 4

3 3

10 10

2 30,0533

5 5

C C

C C

Nên bảng phân phối xác suất của Y là:

Y 0 1 2 3

PY

0,1333 0,4667 0,3467 0,0533

1.3. Hàm mật độ xác suất Để thiết lập luật phân phối xác suất của một đại lượng ngẫu nhiên liên

tục, người ta dùng một hàm số gọi là hàm mật độ xác suất.

Định nghĩa. Hàm f(x), có miền xác định là , được gọi là hàm mật độ

xác suất của đại lượng ngẫu nhiên liên tục X nếu nó thỏa mãn hai điều

kiện sau:

1. f(x) 0 , x

2. f x dx 1

Định lý. Nếu X là đại lượng ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ xác

suất là f(x) thì với mọi số thực a, b ta có:


46

P(a X b) = f x dx

b

a

Ví dụ. Cho X là đại lượng ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ xác suất

như sau:

f(x) = 2

( 2 , 2)

4

0 ( 2 , 2)

neáu x

x

neáu x

a) Hãy xác định các giá trị của .

b) Tính P(X 1).

Giải

a) Ta có:

2 2

2 2

2 2

2

2 2

f x dx f x dx f x dx f x dx

dx xarssin

24 x

Do f(x) là hàm mật độ xác suất của đại lượng ngẫu nhiên X nên:

f x 0 ,

0 1

1f x dx 1

x

b) Ta có:

P(X 1) 1 1 1

2

2 2

1 dx 1 xf x dx arsin 0,6667

24 x

1.4. Hàm phân phối xác suất Khái niệm hàm phân phối xác suất

Định nghĩa. Hàm phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên X, ký

hiệu là FX(x) hay F(x), là hàm số được xác định như sau:

FX(x) = P(X < x) ; x

Định lý.

a) Cho X là đại lượng ngẫu nhiên rời rạc có bảng phân phối xác suất:

X x1 x2 . . . xn

PX

p1 p2 . . . pn

Khi đó hàm phân phối xác suất của X được xác định như sau:

FX(x) = p

i

i

x x

; x

b) Cho X là đại lượng ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ xác suất là

f(x). Khi đó hàm phân phối xác suất của X được xác định như sau:


47

FX(x) = f t dt

x

; x

Tính chất của hàm phân phối xác suất Định lý 1. Giả sử F(x) là hàm phân phối xác suất của đại lượng ngẫu

nhiên X. Khi đó ta có:

1. 0 F(x) 1 ; xR.

2. F(+ ) = 1 , F(– ) = 0.

3. F(x) là một hàm không giảm, nghĩa là nếu x1 < x2 thì F(x1) F(x2).

Hệ quả 1. Nếu X là đại lượng ngẫu nhiên có hàm phân phối xác suất

là F(x) thì:

P(a X < b) = F(b) – F(a)

Hệ quả 2. Nếu X là đại lượng ngẫu nhiên liên tục thì với mọi số thực

a cho trước ta có:

P(X = a) = 0

Hệ quả 3. Nếu X là đại lượng ngẫu nhiên liên tục thì với mọi số thực

a, b cho trước ta có:

P(a X b) = P(a X < b) = P(a < X b) = P(a < X < b)

Định lý 2. Nếu X là đại lượng ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ xác

suất là f(x) và hàm phân phân phối xác suất là F(x) thì:

F’(x) = f(x)

Ví dụ1. Một hộp có 6 bi xanh và 4 bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên từ hộp đó ra

3 bi và gọi X là số bi xanh trong 3 bi lấy ra.


b) Hãy tìm hàm phân phối xác suất của X.

c) Tính P(0 X < 2), P(0 < X < 2), P(0 X 2).

d) Tính P(X 2), P(X > 2).

Giải

a) Ta thấy X có thể nhận các giá trị 0, 1, 2, 3.

Ta có:

3 1 2

4 6 4

3 3

10 10

2 1 3

6 4 6

3 3

10 10

( 0) 0,0333 ( 1) 0,3

( 2) 0,5 ( 3) 0,1667

C C CP X P X

C C

C C CP X P X

C C


X 0 1 2 3

PX

0,0333 0,3 0,5 0,1667

b) Ta có:

x 0 F(x) = 0

0 < x 1 F(x) = P(X = 0) = 0,0333

1 < x 2 F(x) = P(X = 0) + P(X = 1) = 0,3333


48

2 < x 3 F(x) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) = 0,8333

3 < x F(x) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) = 1

Nên hàm phân phối xác xuất của X là:

0 0

0,0333 0 1

( ) 0,3333 1 2

0,8333 2 3

1 3

neáu x

neáu x

F x neáu x

neáu x

neáu x

c) Ta có:

P(0 X < 2) = F(2) – F(0) = 0,3333 – 0 = 0,3333

P(0 < X < 2) = P(1 X < 2) = F(2) – F(1) = 0,3333 – 0,0333 = 0,3

P(0 X 2) = P(0 X < 3) = F(3) – F(0) = 0,8333 – 0 = 0,8333

d) Ta có:

P(X 2) = P(0 X < 3) = F(3) – F(0) = 0,8333 – 0 = 0,8333

P(X > 2) = P(3 X < 4) = F(4) – F(3) = 1 – 0,8333 = 0,1667

Ví dụ2. Cho X là đại lượng ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ xác suất

như sau:

f(x) = 2 [0 , 2]

0 [0 , 2]

x neáu x

neáu x

a) Hãy lập hàm phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên X.

b) Tính P(0 < X < 1).

Giải

a) Ta có:

x 0 F(x) = f t dt = 0dt = 0

x x

0 < x 2 F(x) = 2

0

f t dt = ( 2 )dt = 2

2

x x

xx x

2 < x F(x) = 2

0

f t dt = ( 2 ) dt = 1

x

x

Nên hàm phân phối xác suất của X là:

F(x) = 2

0 0

2 0 2

2

1 2

neáu x

xx neáu x

neáu x

b) Ta có:


49

P(0 < X < 1) = F(1) – F(0) = 2

12 1 0 0,9142

2

§2. HÀM CỦA ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN

2.1. Hàm của một đại lượng ngẫu nhiên Khái niệm hàm của một đại lượng ngẫu nhiên

Thông thường, một đại lượng ngẫu nhiên được xác định theo một phép

thử nào đó. Nhưng trong một số trường hợp, ta còn có thể xác định được

một đại lượng ngẫu nhiên theo một hay nhiều đại lượng ngẫu nhiên đã

xác định khác. Một đại lượng ngẫu nhiên được xác định theo các đại

lượng ngẫu nhiên đã xác định khác bằng một quy tắc nào đó được gọi là

một hàm của đại lượng ngẫu nhiên. Một đại lượng ngẫu nhiên được xác

định theo một đại lượng ngẫu nhiên đã xác định khác được gọi là hàm của

một đại lượng ngẫu nhiên.

Định nghĩa. Đại lượng ngẫu nhiên Y được xác định theo đại lượng

ngẫu nhiên X bằng quy tắc hàm f thì Y được gọi là một hàm theo đại

lượng ngẫu nhiên X, ký hiệu là Y = f(X).

Ví dụ. Giả sử X là một đại lượng ngẫu nhiên đã xác định. Khi đó đại

lượng ngẫu nhiên Y = f(X) = X2 – 2X + 3 là một hàm theo đại lượng ngẫu

nhiên X.

Bảng phân phối xác suất của Y = f(X) Giả sử X là đại lượng ngẫu nhiên có bảng phân phối xác suất như sau:

X x1 x2 . . . xn

PX

p1 p2 . . . pn

Khi đó đại lượng ngẫu nhiên Y có thể nhận các giá trị y1 = f(x1),

y2 = f(x2) , … , yn = f(xn) và các xác suất tương ứng được tính theo quy

tắc:

P(Y = yj) =( ) ( )

P(X = x ) p

i j i j

i i

f x y f x y

Đại lượng ngẫu nhiên Y có thể xác định được các giá trị có thể nhận

và các xác suất tương ứng nên lập được bảng phân phối xác suất của nó.

Ví dụ1. Cho X là đại lượng ngẫu nhiên có bảng phân phối xác suất như

sau:

X - 1 0 1 2

PX

0,1 0,2 0,3 0,4

Hãy lập bảng phân phối xác suất của các đại lượng ngẫu nhiên sau:

a) Y = 2X – 3 b) Z = X c) U = X2 – 2X + 3

Giải

a) Y = 2X – 3

Ta có:

X - 1 0 1 2


50

Y = 2X – 3 - 5 - 3 - 1 1

Và:

P(Y = - 5) = P(X = - 1) = 0,1

P(Y = - 3) = P(X = 0) = 0,2

P(Y = - 1) = P(X = 1) = 0,3

P(Y = 1) = P(X = 2) = 0,4


Y - 5 - 3 - 1 1

PY

0,1 0,2 0,3 0,4

b) Z = X

Ta có:

X - 1 0 1 2

Z = X 1 0 1 2

Và:

P(Z = 0) = P(X = 0) = 0,2

P(Z = 1) = P(X = - 1) + P(X = 1) = 0,4

P(Z = 2) = P(X = 2) = 0,4

Nên bảng phân phối xác suất của Z là:

Z 0 1 2

PZ

0,2 0,4 0,4

c) U = X2 + 2X – 3

Giải tương tự, ta có bảng phân phối xác suất của U như sau:

U 2 3 6

PU

0,3 0,6 0,1

Ví dụ2. Một xạ thủ được phát 6 viên đạn để bắn kiểm tra trước ngày đi

thi bắn. Cho biết xác suất bắn trúng mục tiêu của xạ thủ đó là 80% và xạ

thủ đó sẽ ngưng bắn kiểm tra nếu bắn trúng mục tiêu 3 viên liên tiếp.

a) Hãy tìm luật phân phối xác suất của số viên đạn xạ thủ đó đã bắn.

b) Hãy tìm luật phân phối xác suất của số viên đạn còn lại.

Giải

a) Gọi X là số viên đạn xạ thủ đó đã bắn thì X là đại lượng ngẫu nhiên


Sử dụng công thức nhân xác suất ta có:

P(X = 3) = 0,83 = 0,512

P(X = 4) = 0,20,83 = 0,1024

P(X = 5) = 0,80,20,83 + 0,20,20,8

3 = 0,1024

P(X = 6) = 1 – (0,512 + 0,1024 + 0,1024) = 0,2832


X 3 4 5 6

P 0,512 0,1024 0,1024 0,2832

b) Gọi Y là số viên đạn xạ còn lại thì Y = 6 – X.


51

Ta có:

X 3 4 5 6

Y = 6 – X 3 2 1 0

Và:

P(Y = 0) = P(X = 6) = 0,2832

P(Y = 1) = P(X = 5) = 0,1024

P(Y = 2) = P(X = 4) = 0,1032

P(Y = 3) = P(X = 3) = 0,512


Y 0 1 2 3

PY

0,2832 0,1024 0,1024 0,512

2.2. Hàm của hai đại lượng ngẫu nhiên

Đại lượng ngẫu nhiên độc lập Định nghĩa. Hai đại lượng ngẫu nhiên được gọi là độc lập nếu đại

lượng ngẫu nhiên này nhận bất kỳ một giá trị nào cũng không làm thay

đổi xác suất để đại lượng ngẫu nhiên kia nhận một giá trị tùy ý.

Ví dụ. Gọi X là số đồng xu sấp khi tung 2 đồng xu thì X là đại lượng

ngẫu nhiên có thể nhận các giá trị 0, 1, 2. Gọi Y là số bi xanh trong 3 bi

lấy ra từ một hộp có 6 bi xanh và 4 bi đỏ thì Y là đại lượng ngẫu nhiên có

thể nhận các giá trị 0, 1, 2, 3.

Ta thấy dù X có nhận giá trị nào thì:

3 1 2

4 6 4

3 3

10 10

2 1 3

6 4 6

3 3

10 10

( 0) 0,0333 ( 1) 0,3

( 2) 0,5 ( 3) 0,1667

C C CP Y P Y

C C

C C CP Y P Y

C C

Tương tự, dù Y có nhận giá trị nào thì:

1 2 1P(X = 0) = 0,25 P(X = 1) = 0,50 P(X = 2) = 0,25

4 4 4

Như vậy X và Y là hai đại lượng ngẫu nhiên độc lập.

Hàm của hai đại lượng ngẫu nhiên Định nghĩa. Đại lượng ngẫu nhiên Z được xác định theo hai đại lượng

ngẫu nhiên độc lập X và Y bằng quy tắc hàm f thì Z được gọi là một hàm

theo hai đại lượng ngẫu nhiên X và Y, ký hiệu là Z = f(X, Y).

Ví dụ. Giả sử X và Y là hai đại lượng ngẫu nhiên độc lập đã xác định.

Khi đó đại lượng ngẫu nhiên Z = f(X, Y) = X2 – 2XY + 3Y là một hàm

theo hai đại lượng ngẫu nhiên X và Y.

Bảng phân phối xác suất của Z = f(X, Y) Giả sử X và Y là hai đại lượng ngẫu nhiên độc lập có bảng phân phối

xác suất như sau:


52

X x1 x2 . . . xm Y y1 y2 . . . yn

PX

p1 p2 . . . pm PY

q1 q2 . . . qn

Khi đó đại lượng ngẫu nhiên Z có thể nhận các giá trị zij = f(xi , yj) như

trong bảng sau:

Z Y

X

y1

y2

...

yn

x1 z11 z12 ... z1n

x2 z21 z22 ... z2n

... ... ... ... ...

xm zm1 zm2 ... zmn

Xác suất để Z nhận các giá trị tương ứng được tính theo quy tắc sau:

P(Z = zk) =( , ) ( , )

P(X = x )P(Y = y ) p q

i j k i j k

i j i j

f x y z f x y z

Đại lượng ngẫu nhiên Z có thể xác định được các giá trị có thể nhận và

các xác suất tương ứng nên lập được bảng phân phối xác suất của nó.

Ví dụ1. Cho X và Y là hai đại lượng ngẫu nhiên độc lập có bảng phân

phối xác suất như sau:

X - 1 0 1 Y 0 1 2

PX

0,2 0,3 0,5 PY

0,3 0,4 0,3

Hãy lập bảng phân phối xác suất của các đại lượng ngẫu nhiên sau:

a) Z = X – Y b) U = XY c) V = X2Y

Giải

a) Z = X – Y

Đại lượng ngẫu nhiên Z có thể nhận các giá trị trong bảng sau:

Z Y

X

0

1

2

- 1 - 1 - 2 - 3

0 0 - 1 - 2

1 1 0 - 1

Ta có:

P(Z = - 3) = P(X = - 1)P(Y = 2) = 0,20,3 = 0,06

P(Z = - 2) = P(X = - 1)P(Y = 1) + P(X = 0)P(Y = 2)

= 0,20,4 + 0,30,3 = 0,17

P(Z = - 1) = P(X = - 1)P(Y = 0)+P(X = 0)P(Y = 1)+P(X = 1)P(Y = 2)

= 0,20,3 + 0,30,4 + 0,50,3 = 0,33

P(Z = 0) = P(X = 0)P(Y = 0) + P(X = 1)P(Y = 1)

= 0,30,3 + 0,50,4 = 0,29

P(Z = 1) = P(X = 1)P(Y = 0) = 0,50,3 = 0,15


Z - 3 - 2 - 1 0 1


53

PZ

0,06 0,17 0,33 0,29 0,15

b) U = XY

Đại lượng ngẫu nhiên U có thể nhận các giá trị trong bảng sau:

U Y

X

0

1

2

- 1 0 - 1 - 2

0 0 0 0

1 0 1 2

Ta có:

P(U = - 2) = P(X = - 1)P(Y = 2) = 0,20,3 = 0,06

P(U = - 1) = P(X = - 1)P(Y = 1) = 0,20,4 = 0,08

P(U = 0) = P(X = - 1)P(Y = 0) +P(X = 0)P(Y = 0)+P(X = 0)P(Y = 1)

+ P(X = 0)P(Y = 2) + P(X = 1)P(Y = 0)

= 0,20,3 + 0,30,3 + 0,30,4 + 0,30,3 + 0,50,3 = 0,51

P(U = 1) = P(X = 1)P(Y = 1) = 0,50,4 = 0,20

P(U = 2) = P(X = 1)P(Y = 2) = 0,50,3 = 0,15

Nên bảng phân phối xác suất của U là:

U - 2 - 1 0 1 2

PU

0,06 0,08 0,51 0,20 0,15

c) V = X2Y

Đại lượng ngẫu nhiên V có thể nhận các giá trị trong bảng sau:

V Y

X

0

1

2

- 1 0 1 2

0 0 0 0

1 0 1 2

Ta có:

P(V = 0) = P(X = - 1)P(Y = 0) +P(X = 0)P(Y = 0)+P(X = 0)P(Y = 1)

+ P(X = 0)P(Y = 2) + P(X = 1)P(Y = 0)

= 0,20,3 + 0,30,3 + 0,30,4 + 0,30,3 + 0,50,3 = 0,51

P(V = 1) = P(X = - 1)P(Y = 1) + P(X = 1)P(Y = 1)

= 0,20,4 + 0,50,4 = 0,28

P(V = 2) = P(X = - 1)P(Y = 2) + P(X = 1)P(Y = 2)

= 0,20,3 + 0,50,3 = 0,21

Nên bảng phân phối xác suất của V là:

V 0 1 2

PV

0,51 0,28 0,21

Ví dụ2. Hai cầu thủ bóng rổ có khả năng ném trúng rổ lần lượt là 70%

và 80%. Giả sử mỗi cầu thủ ném 2 quả vào rồ.


54

a) Hãy tìm luật phân phối xác suất của số quả ném trúng rổ của cả hai

cầu thủ.

b) Tính xác suất để số quả ném trúng rổ của hai cầu thủ đó bằng nhau.

Giải

a) Gọi X là số quả ném trúng rổ của cả hai cầu thủ, X1 là số quả ném

trúng rổ của cầu thủ thứ nhất và X2 là số quả ném trúng rổ của cầu thủ thứ

hai thì X, X1, X2 là các đại lượng ngẫu nhiên thỏa mãn điều kiện:

X = X1 + X2

Ta thấy X1 là đại lượng ngẫu nhiên có thể nhận các giá trị 0, 1, 2.

Ngoài ra theo công thức Bernoulli ta có:

P(X1 = 0) = 0 0 2 0

2C 0,7 (1 0,7)

= 0,09

P(X1 = 1) = 1 1 2 1

2C 0,7 (1 0,7)

= 0,42

P(X1 = 2) = 2 2 2 2

2C 0,7 (1 0,7)

= 0,49

Nên bảng phân phối xác suất của X1 là:

X1 0 1 2

1

PX

0,09 0,42 0,49

Tương tự, ta có bảng phân phối xác suất của X2 là:

X2 0 1 2

2

PX

0,04 0,32 0,64

Do X = X1 + X2 nên đại lượng ngẫu nhiên X có thể nhận các giá trị

trong bảng sau:

X X2

X2

0

1

2

0 0 1 2

1 1 2 3

2 2 3 4

Ta có:

P(X = 0) = P(X1 = 0)P(X2 = 0) = 0,09×0,04 = 0,0036

P(X = 1) = P(X1 = 0)P(X2 = 1) + P(X1 = 1)P(X2 = 0)

= 0,09×0,32 + 0,42×0,04 = 0,0456

P(X = 2) = P(X1 = 0)P(X2 = 2) + P(X1 = 1)P(X2 = 1)

+ P(X1 = 2)P(X2 = 0)

= 0,09×0,64 + 0,42×0,32 + 0,49×0,04 = 0,2116

P(X = 3) = P(X1 = 1)P(X2 = 2) + P(X1 = 2)P(X2 = 1)

= 0,42×0,64 + 0,49×0,32 = 0,4256

P(X = 4) = P(X1 = 2)P(X2 = 2) = 0,49×0,64 = 0,3136

Nên bảng phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên X là:

X 0 1 2 3 4

PX

0,0036 0,0456 0,2116 0,4256 0,3136

b) Xác suất để số quả ném trúng rổ của hai cầu thủ đó bằng nhau là:


55

P(X1 = X2) = P(X1 = 0)P(X2 = 0) + P(X1 = 1)P(X2 = 1)

+ P(X1 = 2)P(X2 = 2)

= 0,09×0,04 + 0,42×0,32 + 0,49×0,64 = 0,4516

§3. CÁC THAM SỐ ĐẶC TRƯNG

3.1. Kỳ vọng Kỳ vọng của đại lượng ngẫu nhiên rời rạc

Cho X là đại lượng ngẫu nhiên rời rạc có bảng phân phối xác suất như

sau:

X x1 x2 . . . xn

PX

p1 p2 . . . pn

Định nghĩa. Kỳ vọng của đại lượng ngẫu nhiên X, ký hiệu là M(X)

hay E(X), là một số được xác định như sau:

M(X) = x1p1 + x2p2 + ... + xnpn

Ví dụ. Cho X là đại lượng ngẫu nhiên rời rạc có phân phối xác suất

như sau:

X 0 1 2

PX

0,25 0,5 0,25

Khi đó kỳ vọng của đại lượng ngẫu nhiên X là:

M(X) = 0×0,25 + 1×0,5 + 2×0,25 = 1

Kỳ vọng của đại lượng ngẫu nhiên liên tục Cho X là đại lượng ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ xác suất là f(x).

Định nghĩa. Kỳ vọng của đại lượng ngẫu nhiên X là một số được xác

định như sau:

M X xf(x)dx

Ví dụ. Cho X là đại lượng ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ xác suất

như sau:

f(x) = 2 [0 , 2]

0 [0 , 2]

x neáu x

neáu x

Khi đó kỳ vọng của đại lượng ngẫu nhiên X là:

2 2 3 2

0 0

2 x x 2M X xf(x)dx x( 2 x)dx

2 3 3

Ý nghĩa của kỳ vọng Kỳ vọng của một đại lượng ngẫu nhiên là một số biểu thị giá trị trung

bình (theo xác xuất) trong các giá trị mà đại lượng ngẫu nhiên đó có thể

nhận. Trong ứng dụng, khi cần tìm giá trị trung bình trong các giá trị có

thể nhận của một quan sát đối với một phép thử nào đó thì ta xác định đại


56

lượng ngẫu nhiên của quan sát rồi tìm kỳ vọng của đại lượng ngẫu nhiên

đó.

Ví dụ. Một hộp có 6 bi xanh và 4 bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên từ hộp đó ra 3

bi. Hãy tìm số bi xanh trung bình trong 3 bi lấy ra.

Giải

Gọi X là số bi xanh trong 3 bi lấy ra thì X là đại lượng ngẫu nhiên có

bảng phân phối xác suất như sau:

X 0 1 2 3

P 0,0333 0,3 0,5 0,1667

Số bi xanh trung bình trong 3 bi lấy ra là M(X) nên:

M(X) = 0×0,0333 + 1×0,3 + 2×0,5 + 3×0,1667 = 1,8

Như vậy số bi xanh trung bình trong 3 bi lấy ra là 1,8 viên.

Tính chất của kỳ vọng Định lý. Giả sử X, Y là các đại lượng ngẫu nhiên và C là một hằng số.

Khi đó ta có:

1. M(C) = C

2. M(X ± Y) = M(X) ± M(Y)

3. M(CX) = CM(X)

Ví dụ. Cho X và Y là các đại lượng ngẫu nhiên có phân phối xác suất

như sau:

X - 1 0 1 Y 0 1 2

PX

0,2 0,3 0,5 PY

0,3 0,4 0,3

Hãy tìm kỳ vọng của đại lượng ngẫu nhiên Z = 2X – 3Y + 4.

Giải

Ta có:

M(X) = - 1×0,2 + 0×0,3 + 1×0,5 = 0,3

M(Y) = 0×0,3 + 1×0,4 + 2×0,3 = 1

Nên:

M(Z) = M(2X – 3Y + 4) = 2M(X) – 3M(Y) + 4

= 20,3 – 31 + 4 = 1,6

3.2. Phương sai Định nghĩa và cách tính phương sai

Định nghĩa. Phương sai của đại lượng ngẫu nhiên X, ký hiệu là D(X)

hay Var(X), là một số không âm được xác định như sau:

D(X) = M{[X – M(X)]2}

Trong thực tế, để tính phương sai của đại lượng ngẫu nhiên X ta có thể

tính theo công thức sau:

D(X) = M(X2) – M

2(X)

Trong đó M2(X) là bình phương của kỳ vọng của X và M(X

2) được

tính theo một trong hai trường hợp sau:

Trường hợp1. X là đại lượng ngẫu nhiên rời rạc có bảng phân phối xác

suất là:


57

X x1 x2 . . . xn

PX

p1 p2 . . . pn

Khi đó ta có:

M(X2) = x1

2p1 + x2

2p2 + ... + xn

2pn

Trường hợp2. X là đại lượng ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ xác

suất là f(x).

Khi đó ta có:

2 2

M X x f(x)dx

Ví dụ1. Cho X là đại lượng ngẫu nhiên rời rạc có bảng phân phối xác

suất như sau:

X 0 1 2

PX

0,25 0,5 0,25

Khi đó kỳ vọng của đại lượng ngẫu nhiên X là M(X) = 1.

Ta có:

M(X2) = 0

2×0,25 + 1

2×0,5 + 2

2×0,25 = 1,5

Nên phương sai của đại lượng ngẫu nhiên X là:

D(X) = 1,5 – 12 = 0,5

Ví dụ2. Cho X là đại lượng ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ xác suất

như sau:

f(x) = 2 [0 , 2]

0 [0 , 2]

x neáu x

neáu x

Khi đó kỳ vọng của đại lượng ngẫu nhiên X là M(X) = 2

3

.

Ta có:

2 3 4 2

2 2 2

0 0

2 x x 1M X x f(x)dx x ( 2 x)dx

3 4 3

Nên phương sai của đại lượng ngẫu nhiên X là:

D(X) =

2

1 2 1

3 3 9

Ý nghĩa của phương sai Theo định nghĩa thì phương sai của một đại lượng ngẫu nhiên là một

số biểu thị độ sai lệch trung bình giữa các giá trị mà đại lượng ngẫu nhiên

đó có thể nhận so với kỳ vọng của nó. Phương sai lớn thì độ sai lệch lớn,

khi đó mức độ tập trung các giá trị của đại lượng ngẫu nhiên gần với kỳ

vọng nhỏ. Như vậy, một đại lượng ngẫu nhiên có phương sai lớn thì có ít

giá trị của đại lượng ngẫu nhiên gần với kỳ vọng của nó. Ngược lại,

phương sai nhỏ thì mức độ tập trung các giá trị của đại lượng ngẫu nhiên


58

gần với kỳ vọng lớn, nghĩa là một đại lượng ngẫu nhiên có phương sai

nhỏ thì có nhiều giá trị của đại lượng ngẫu nhiên gần với kỳ vọng của nó.

Phương sai của đại lượng ngẫu nhiên có nhiều ứng dụng trong thực tế.

Trong công nghiệp, chỉ số phương sai của một sản phẩm biểu thị độ chính

xác của sản phẩm đó. Một sản phẩm có chỉ số phương sai nhỏ thì độ

chính xác của sản phẩm đó cao và ngược lại. Trong trồng trọt, phương sai

là chỉ số cho biết mức độ ổn định của năng suất cây trồng. Trong chăn

nuôi, phương sai là số nêu lên mức độ đồng đều của đàn gia súc. Như

vậy, phương sai là một số biểu thị độ chính xác, mức độ đồng đều, tính

ổn định, ... của một quan sát đối với một phép thử nào đó. Điều đó có

nghĩa là trong ứng dụng thì phương sai của một đại lượng ngẫu nhiên là

một số biểu thị độ chính xác, mức độ đồng đều, tính ổn định, ... của đại

lượng ngẫu nhiên đó.


bi. Hãy tìm số biểu thị độ ổn định của số bi xanh trong 3 bi lấy ra.

Giải

Gọi X là số bi xanh trong 3 bi lấy ra thì X là đại lượng ngẫu nhiên có


X 0 1 2 3

PX

0,0333 0,3 0,5 0,1667

Do X là số bi xanh trong 3 bi lấy ra nên số biểu thị độ ổn định của số

bi xanh trong 3 bi lấy ra là D(X).

Ta có:

M(X) = 0×0,0333 + 1×0,3 + 2×0,5 + 3×0,1667 = 1,8

M(X2) = 0

2×0,0333 + 1

2×0,3 + 2

2×0,5 + 3

2×0,1667 = 3,8

Nên:

D(X) = 3,8 – 1,82 = 0,56

Như vậy số biểu thị độ ổn định của số bi xanh trong 3 bi lấy ra là 0,56.

Tính chất của phương sai Định lý. Giả sử X, Y là các đại lượng ngẫu nhiên và C là một hằng số.

Khi đó ta có:

1. D(C) = 0

2. D(X ± Y) = D(X) + D(Y)

3. D(CX) = C2D(X)

Ví dụ. Cho X và Y là các đại lượng ngẫu nhiên có bảng phân phối xác

suất như sau:

X - 1 0 1 Y 0 1 2

PX

0,2 0,3 0,5 PY

0,3 0,4 0,3

Hãy tìm phương sai của đại lượng ngẫu nhiên Z = 2X – 3Y + 4.

Giải

Ta có:

D(X) = M(X2) – M

2(X) = 0,7 – 0,3

2 = 0,61

D(Y) = M(Y2) – M

2(Y) = 1,6 – 1

2 = 0,6


59

Nên:

D(Z) = D(2X – 3Y + 4) = 4D(X) + 9D(Y) = 40,61 + 90,6 = 7,84

Độ lệch chuẩn Định nghĩa. Độ lệch chuẩn của đại lượng ngẫu nhiên X, ký hiệu là

(X), là một số không âm được xác định như sau:

(X) D(X)

Độ lệch chuẩn của một đại lượng ngẫu nhiên cũng là một số biểu thị

độ chính xác, mức độ đồng đều, tính ổn định, ... của đại lượng ngẫu

nhiên. Nhưng khác với phương sai không có đơn vị đo, độ lệch chuẩn của

một đại lượng ngẫu nhiên là một số có đơn vị đo. Do đó, khi cần tính độ

chính xác, mức độ đồng đều, tính ổn định, ... của một đại lượng ngẫu

nhiên theo đơn vị đo của nó thì người ta thường sử dụng độ lệch chuẩn

của đại lượng ngẫu nhiên đó.


bi. Hãy tìm số bi xanh biểu thị độ ổn định của số bi xanh trong 3 bi lấy ra.

Giải

Gọi X là số bi xanh trong 3 bi lấy ra thì số bi xanh biểu thị độ ổn định

của số bi xanh trong 3 bi lấy ra là (X).

Do D(X) = 0,56 nên số bi xanh biểu thị độ ổn định của số bi xanh

trong 3 bi lấy ra là:

(X) = 0,56 0,75 (bi xanh)

3.3. Mod Định nghĩa. Mod của đại lượng ngẫu nhiên X, ký hiệu là Mod(X), là

giá trị có thể xảy ra chắc chắn nhất trong các giá trị mà đại lượng ngẫu

nhiên X có thể nhận khi thực hiện phép thử.

Để tính Mod(X), ta xét theo một trong hai trường hợp sau:

Trường hợp1. X là một đại lượng ngẫu nhiên rời rạc

Mod(X) trong trường hợp này là các giá trị của X ứng với xác suất lớn

nhất trong bảng phân phối xác suất của nó.

Trường hợp2. X là đại lượng ngẫu nhiên liên tục

Mod(X) trong trường hợp này là các giá trị làm hàm mật độ xác suất

f(x) của X đạt giá trị lớn nhất.


bi. Hãy tìm số bi xanh có thể xảy ra chắc chắn nhất trong 3 bi lấy ra.

Giải

Gọi X là số bi xanh trong 3 bi lấy ra thì số bi xanh có thể xảy ra chắc

chắn nhất trong 3 bi lấy ra là Mod(X).

Do X có bảng phân phối xác suất là:

X 0 1 2 3

PX

0,0333 0,3 0,5 0,1667


60

Nên số bi xanh chắc chắn nhất có thể xảy ra trong 3 bi lấy ra là:

Mod(X) = 2

§4. ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN CÓ

PHÂN PHỐI XÁC SUẤT ĐẶC BIỆT

4.1. Phân phối Poisson Đại lượng ngẫu nhiên có phân phối Poisson

Định nghĩa. Đại lượng ngẫu nhiên X có thể nhận các giá trị 0,1,2, ...

và tồn tại số thực dương sao cho P(X = k) !

k

e

k

(k = 0,1,2, ... ),

được gọi là đại lượng ngẫu nhiên có phân phối Poisson theo tham số và

ký hiệu là X () hay X().

Định lý. Nếu X1 (1) và X2 (2) thì:

X1 + X1 (1 + 2)

Nhận xét. Nếu X () thì:

P(X = k) !

k

e

k

nếu k{0,1,2, ... }

P(X = k) = 0 nếu k{0,1,2, ... }

Ví dụ. Cho X (5).

a) Tính P(X = 2) , P(X = - 2) , P(X = 2,2).

b) Tính P(X 2) , P(X 2).

Giải

a) Ta có:

P(X = 2) 2

55

0,0842

2!

e

P(X = - 2) = P(X = 2,2) = 0

b) Ta có:

P(X 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)

0 1 2

5 5 55 5 5

0,1246

0! 1! 2!

e e e

P(X 2) = 1 – P(X < 2) = 1 – [P(X = 0) + P(X = 1)]

= 1 – (0,0067 + 0,0337) = 0,9596

Các tham số đặc trưng Định lý. Nếu X () thì:

M(X) = D(X) =

– 1 Mod(X)

Ví dụ. Tính kỳ vọng, phương sai và Mod của X (5).

Giải

Ta có:


61

M(X) = D(X) = 5

5 – 1 Mod(X) 5 Mod(X) = 4 hay Mod(X) = 5

Ứng dụng của phân phối Poisson Thực hiện một phép thử nhiều lần để quan sát biến cố A và giả sử số

lần biến cố A xảy ra trung bình trong các lần thử là .

Định lý. Nếu X là số lần biến cố A xảy ra trong tổng số lần thực hiện

phép thử và số lần biến cố A xảy ra trung bình trong các lần thực hiện

phép thử là thì X ().

Ví dụ. Một cuốn sách có 200 trang, trong đó có 400 lỗi chính tả. Kiểm

tra lỗi chính tả trên một trang sách bất kỳ. Tính xác suất để trên trang

sách đó:

a) Có 2 lỗi chính tả.

b) Có tối đa 2 lỗi chính tả.

c) Có tối thiểu 2 lỗi chính tả.

Giải

Gọi X là số lỗi chính tả trên trang sách được kiểm tra. Do số lỗi chính

tả trung bình trên trang sách được kiểm tra là:

400

2

200

Nên có thể nói rằng X có phân phối Poisson theo tham số 2, nghĩa là:

X (2)

a) Xác suất để trên trang sách đó có 2 lỗi chính tả là:

P(X = 2) 2

22

27,07%

2!

e

b) Xác suất để trên trang sách đó có tối đa 2 lỗi chính tả là:

P(X 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) = 67,67%

c) Xác suất để trên trang sách đó có tối thiểu 2 lỗi chính tả là:

P(X 2) = 1 – P(X < 2) = 1 – [P(X = 0) + P(X = 1)] = 59,40%

4.2. Phân phối nhị thức Đại lượng ngẫu nhiên có phân phối nhị thức

Định nghĩa. Đại lượng ngẫu nhiên X có thể nhận các giá trị 0, 1, ... , n

và tồn tại số thực p(0,1) sao cho P(X = k) = C p (1 p)k k n k

n

(k = 0,1,...,n),

được gọi là đại lượng ngẫu nhiên có phân phối nhị thức theo hai tham số

n ; p và ký hiệu là X B(n ; p) hay X B(n ; p).

Định lý. Nếu X1 B(n1 ; p) và X2 B(n2 ; p) thì:

X1 + X1 B(n1 + n2 ; p)

Nhận xét. Nếu X B(n ; p) thì:

P(X = k) = C p qk k n k

n

nếu X{0,1,2, ... ,n}

P(X = k) = 0 nếu X{0,1,2, ... ,n}

Ví dụ. Cho X B(3 ; 0,7).


62

a) Tính P(X = 2) , P(X = - 2) , P(X = 2,2) , P(X = 4).

b) Tính P(X 2) , P(X 2).

Giải

a) Ta có:

P(X = 2) = 2 2 3 2

3C 0,7 0,3 0,441

P(X = - 2) = P(X = 2,2) = P(X = 4) = 0

b) Ta có:

P(X 2) = 1 – P(X > 2) = 1 – P(X = 3)

= 1 – 3 3 0

3C 0,7 0,3 = 0,657

P(X 2) = P(X = 2) + P(X = 3)

= 2 2 1 3 3 0

3 3C 0,7 0,3 C 0,7 0,3 0,784

Quy tắc tính gần đúng của phân phối nhị thức Quy tắc1. Nếu X B(n ; p), trong đó n khá lớn và np = khá nhỏ, thì

có thể coi X có phân phối Poisson với tham số . Khi đó ta có công thức

tính gần đúng sau:

P(X = k) !

k

e

k

Quy tắc2. Nếu X B(n ; p), trong đó n khá lớn và np = không nhỏ,

thì ta có các công thức tính gần đúng sau:

2 1

1 2

1 k npP X k f

npq npq

k np k npP k X k

npq npq

Trong đó:

1. f(u) là hàm mật độ Gauss có giá trị được trình bày trong bảng phụ

lục 1. Cần chú ý: f(u) là hàm chẵn và f(u) = 0,0001 với mọi u 4.

2. (u) là hàm tích phân Laplace có giá trị được trình bày trong bảng

phụ lục 2. Cần chú ý: (u) là hàm lẻ và (u) = 0,5 với mọi u 5.

Ví dụ.

a) Cho X B(2000 ; 0,002). Tính P(X 2).

b) Cho Y B(100 ; 0,6). Tính P(50 Y 72).

Giải

a) Do X B(2000 ; 0,002), trong đó n = 2000 khá lớn và np = 4 khá

nhỏ, nên có thể coi X (4). Khi đó ta có:

P(X 2) = 1 – P(X < 2) = 1 – [P(X = 0) + P(X = 1)]

= 1 – 0 1

4 44 4

0! 1!

e e

= 0,9084


63

b) Do Y B(100 ; 0,6), trong đó n = 100 khá lớn và np = 60 không

nhỏ, nên ta sử dụng công thức tính gần đúng để tính xác suất như sau:

72 100 0,6 50 100 0,6P(50 Y 72)

100 0,6 0,4 100 0,6 0,4

(2,45) ( 2,04) (2,45) (2,04) 0,9722

Các tham số đặc trưng của phân phối nhị thức Định lý. Nếu X B(n ; p) thì:

M(X) = np

D(X) = npq

np – q Mod(X) np + p

Ví dụ. Tính kỳ vọng, phương sai và Mod của X B(3 ; 0,7).

Giải

Ta có:

M(X) = 3×0,7 = 2,1

D(X) = 3×0,7×0,3 = 0,63

2,1 – 0,3 Mod(X) 2,1 + 0,7 Mod(X) = 2

Ứng dụng của phân phối nhị thức Thực hiện một phép thử n lần để quan sát biến cố A và giả sử trong

mỗi lần thực hiện phép thử ta đều có P(A) = p.

Định lý. Nếu X là số lần biến cố A xảy ra trong n lần thực hiện phép

thử và trong mỗi lần thử ta đều có P(A) = p thì X B(n ; p).

Ví dụ1. Một cầu thủ bóng rổ có khả năng ném trúng rổ trong mỗi lần

ném là 80%.

a) Cầu thủ đó ném 5 quả vào rổ. Tính xác suất để cầu thủ đó ném

trúng được 3 quả.

b) Cầu thủ đó ném 10 quả vào rổ. Tính xác suất để cầu thủ đó ném

trúng được ít nhất 8 quả.

c) Cầu thủ đó ném 20 quả vào rổ. Tính số quả ném trúng rổ trung bình

và số quả ném trúng rổ chắc chắn nhất.

d) Cầu thủ đó ném ít nhất mấy quả thì xác suất có ít nhất 1 quả trúng

rổ không nhỏ hơn 95%?

Giải

a) Gọi X là số quả ném trúng rổ khi cầu thủ đó ném 5 quả. Do xác suất

ném trúng rổ của cầu thủ đó trong mỗi lần ném là 0,8 nên:

X B(5 ; 0,8)

Xác suất để cầu thủ đó ném trúng được 3 quả trong 5 lần ném là:

P(X = 3) = 3 3 2

5C 0,8 0,2 0,2048

b) Gọi Y là số quả ném trúng rổ khi cầu thủ đó ném 10 quả thì:

Y B(10 ; 0,8)

Xác suất để cầu thủ đó ném trúng được ít nhất 8 quả là:


64

P(Y 8) = P(Y = 8) + P(Y = 9) + P(Y = 10)

= 8 8 2 9 9 1 10 10 0

10 10 10C 0,8 0,2 C 0,8 0,2 C 0,8 0,2 0,6778

c) Gọi Z là số quả ném trúng rổ khi cầu thủ đó ném 20 quả thì:

Z B(20 ; 0,8)

Số quả ném trúng rổ trung bình khi cầu thủ đó ném 20 quả là M(Z) và

số quả ném trúng rổ chắc chắn nhất là Mod(Z) nên:

M(Z) = 20×0,8 = 16

16 – 0,2 Mod(Z) 16 + 0,8 Mod(Z) = 16

d) Gọi n là số quả tối thiểu mà cầu thủ đó phải ném để xác suất có ít

nhất 1 quả trúng rổ không nhỏ hơn 95%.

Gọi U là số quả ném trúng rổ khi cầu thủ đó ném n quả thì:

U B(n ; 0,8)

Do xác suất để có ít nhất 1 quả trúng rổ khi cầu thủ đó ném n quả

không nhỏ hơn 95% nên:

P(U 1) 0,95 1 – P(U < 1) 0,95

P(U < 1) 1 – 0,95

P(U = 0) 0,05

0 0

C 0,8 0,2n

n 0,05

0,2n 0,05

n 1,86

Số nguyên nhỏ nhất thỏa mãn bất đẳng thức n 1,86 là 2 nên để xác

suất có ít nhất 1 quả trúng rổ không nhỏ hơn 95% thì cầu thủ đó phải ném

tối thiểu 2 quả.

Ví dụ2. Một máy sản xuất tự động có khả năng sản xuất ra sản phẩm

với tỷ lệ phế phẩm là 10%. Cho máy sản xuất ra 100 sản phấm. Tính xác

suất để trong 100 sản phẩm do máy sản xuất ra:

a) Có 10 phế phẩm.

b) Có từ 10 đến 20 phế phẩm.

c) Có không ít hơn 5 phế phẩm.

Giải

Gọi X là số phế phẩm trong100 sản phẩm do máy sản xuất ra. Do xác

suất để một sản phẩm do máy sản xuất ra là phế phẩm là 0,1 nên:

X B(100 ; 0,1)

a) Xác suất để trong 100 sản phẩm do máy sản xuất ra có 10 phế phẩm

là:

P(X = 10) 1 10 100 0,1 (0)

0,133

3100 0,1 0,9 100 0,1 0,9

ff

b) Xác suất để trong 100 sản phẩm do máy sản xuất ra có từ 10 đến 20

phế phẩm là:


65

20 100 0,1 10 100 0,1P(10 X 20)

100 0,1 0,9 100 0,1 0,9

(3,33) (0) 0,4996

c) Xác suất để trong 100 sản phẩm do máy sản xuất ra có không ít hơn

5 phế phẩm là:

100 100 0,1 5 100 0,1P(5 X 100)

100 0,1 0,9 100 0,1 0,9

(30) ( 1,67) 0,5 0,4525 0,9525

4.3. Phân phối siêu bội Đại lượng ngẫu nhiên có phân phối siêu bội

Định nghĩa. Đại lượng ngẫu nhiên X có thể nhận các giá trị 0,1, ... , n

và tồn tại các số nguyên M, N (n M N) sao cho P(X = k) C C

C

k n k

M N M

n

N

(k = 0,1, ... ,n), được gọi là đại lượng ngẫu nhiên có phân phối siêu bội

theo ba tham số N, M, n và ký hiệu là X H(N, M, n ).

Nhận xét. Nếu X H(N, M, n) thì:

P(X = k) C C

C

k n k

M N M

n

N

nếu k{0,1,2, ... ,n}

P(X = k) = 0 nếu k{0,1,2, ... ,n}

Ví dụ1. Cho X H(10, 6, 3).

a) Tính P(X = 2) , P(X = - 2) , P(X = 2,2) , P(X = 4).

b) Tính P(X 2) , P(X 2).

Giải

a) Ta có:

P(X = 2) 2 1

6 4

3

10

C C0,5

C

P(X = - 2) = P(X = 2,2) = P(X = 4) = 0

b) Ta có:

P(X 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)

0 3 1 2 2 1

6 4 6 4 6 4

3 3 3

10 10 10

C C C C C C83,33%

C C C

P(X 2) = P(X = 2) + P(X = 3)

2 1 3 0

6 4 6 4

3 3

10 10

C C C C66,67%

C C

Ví dụ2. Cho X B(2 ; 0,7) và Y H(6, 3, 2) là hai đại lượng ngẫu

nhiên độc lập. Hãy lập bảng phân phối xác suất của Z = X – 2Y + 3.


66

Giải

Ta có bảng phân phối xác suất của X và Y như sau:

X 0 1 2 Y 0 1 2

PX

0,09 0,42 0,49 PX

0,2 0,6 0,2

Đại lượng ngẫu nhiên Z có thể nhận các giá trị trong bảng sau:

Z Y

X

0

1

2

0 3 1 - 1

1 4 2 0

2 5 3 1

Ta có:

P(Z = - 1) = P(X = 0)P(Y = 2) = 0,090,2 = 0,018

P(Z = 0) = P(X = 1)P(Y = 2) = 0,420,2 = 0,084

P(Z = 1) = P(X = 0)P(Y = 1) + P(X = 2)P(Y = 2)

= 0,090,6 + 0,490,2 = 0,152

P(Z = 2) = P(X = 1)P(Y = 1) = 0,420,6 = 0,252

P(Z = 3) = P(X = 0)P(Y = 0) + P(X = 2)P(Y = 1)

= 0,090,2 + 0,490,6 = 0,312

P(Z = 4) = P(X = 1)P(Y = 0) = 0,420,2 = 0,084

P(Z = 5) = P(X = 2)P(Y = 0) = 0,490,2 = 0,098


Z - 1 0 1 2 3 4 5

PZ

0,018 0,084 0,152 0,252 0,312 0,084 0,098

Quy tắc tính gần đúng của phân phối siêu bội Quy tắc. Nếu X H(N, M, n), trong đó N khá lớn và n khá nhỏ, thì có

thể coi X B(n ; p), với p M

N

. Khi đó ta có công thức tính gần đúng

sau:

P(X = k) C p qk k n k

n

Ví dụ. Cho X H(1000, 300, 10). Tính P(X 8).

Giải

Do X H(1000, 300, 10), trong đó N = 1000 khá lớn và n = 10 khá

nhỏ, nên có thể coi:

X B(10 ; 0,3)

Khi đó ta có:

P(X 8) = P(X = 8) + P(X = 9) + P(X = 10)

= 8 8 2 9 9 1 10 10 0

10 10 10C 0,3 0,7 C 0,3 0,7 C 0,3 0,7 0,0016

Các tham số đặc trưng của phân phối siêu bội Định lý. Nếu X H(N, M, n) thì:


67

M(X) = np , với p M

N

D(X) = npq N n

N 1

, với q = 1 – p

Ví dụ. Với X H(10, 6, 3), ta có:

M(X) = 3×0,6 = 1,8

D(X) = 3×0,6×0,410 3

10 1

= 0,56

Ứng dụng của phân phối siêu bội Một tập hợp có N phần tử, trong đó có M phần tử có tính chất A. Lấy

ngẫu nhiên từ tập hợp đó ra n phần tử.

Định lý. Nếu X là số phần tử có tính chất A trong n phần tử lấy ra từ

tập hợp thì X H(N, M, n).

Ví dụ1. Một hộp có 6 bi xanh và 4 bi đó. Lấy ngẫu nhiên từ hộp đó ra

3 bi.

a) Tính xác suất để 3 bi lấy ra có 1 bi xanh.

b) Tính xác suất để 3 bi lấy ra có ít nhất 1 bi xanh.

c) Tìm số bi xanh trung bình trong 3 bi lấy ra.

Giải

Gọi X là số bi xanh trong 3 bi lấy ra thì:

X B(10 , 6 , 3)

a) Xác suất để 3 bi lấy ra có 1 bi xanh là:

P(X = 1) 1 2

6 4

3

10

C C0,3

C

b) Xác suất để 3 bi lấy ra có ít nhất 1 bi xanh là:

P(X 1) = 1 – P(X < 1) = 1 – P(X = 0) 0 3

6 4

3

10

C C1 0,9667

C

Ví dụ2. Một lô hàng có 10 sản phẩm, trong đó 70% là sản phẩm loại I.

Một máy có khả năng sản xuất ra sản phẩm với tỉ lệ sản phẩm loại I là

80%. Lấy từ lô hàng ra 2 sản phẩm và cho máy sản xuất ra 2 sản phẩm.

Hãy tìm luật phân phối xác suất của số sản phẩm loại I trong 4 sản phẩm

đó.

Giải

Lô hàng có 10 sản phẩm, trong đó 70% là sản phẩm loại I, nên lô hàng

có 7 sản phẩm loại I. Gọi X là số sản phẩm loại I trong 2 sản phẩm lấy từ

lô hàng thì:

X H(10 , 7 , 2)

Gọi Y là số sản phẩm loại I trong 2 sản phẩm do máy sản xuất ra thì:

Y B(2 ; 0,8)

Gọi Z là số sản phẩm loại I trong 4 sản phẩm đó thì:


68

Z = X + Y

Ta có bảng phân phối xác suất của X và Y là:

X 0 1 2 Y 0 1 2

PX

0,0667 0,4667 0,4667 PY

0,04 0,32 0,64

Nên đại lượng ngẫu nhiên Z nhận các giá trị trong bảng sau:

Z Y

X

0

1

2

0 0 1 2

1 1 2 3

2 2 3 4

Ta có:

P(Z = 0) = P(X = 0)P(Y = 0) = 0,0667×0,04 = 0,0027

P(X = 1) = P(X = 0)P(Y = 1) + P(X = 1)P(Y = 0)

= 0,0667×0,32 + 0,4667×0,04 = 0,04

P(X = 2) = P(X = 0)P(Y = 2) + P(X = 1)P(Y = 1)

+ P(X = 2)P(Y = 0)

= 0,0667×0,64 + 0,4667×0,32 + 0,4667×0,04 = 0,2107

P(X = 3) = P(X = 1)P(Y = 2) + P(X = 2)P(Y = 1)

= 0,4667×0,64 + 0,4667×0,32 = 0,448

P(X = 4) = P(X = 2)P(Y = 2) = 0,4667×0,64 = 0,2987

Nên bảng phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên Z là:

Z 0 1 2 3 4

PZ

0,0027 0,04 0,2107 0,448 0,2987

4.4. Phân phối chuẩn Đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn

Định nghĩa. Đại lượng ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ xác suất

dạng

2

2

(x )

21

f(x) e

2

, x , được gọi là đại lượng ngẫu nhiên có

phân phối chuẩn theo hai tham số ; 2 và ký hiệu là X N( ;

2).

Nếu X N(0 ; 1), nghĩa là hàm mật độ của X là

2x

21

f(x) e

2

, thì

X được gọi là đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn chuẩn tắc. Khi đó

ta có:

X N( ; 2)

X

N(0 ; 1)

Định lý. Nếu X N( ; 2) thì:

P(x1 < X < x2) = 2x

– 1x


69

P(| X – | < ) = 2

Ví dụ. Cho X N(3 ; 4).

a) Tính P(1 < X < 6) , P(X > 4) , P(X2 > 4).

b) Tính P(| X – 3 | < 4) , P(| X – 2 | 1).

Giải

a) Ta có:

P(1 < X < 6) = 6 3 1 3

(1,5) (1)

2 2

= 0,77445

P(X > 4) = P(4 < X < + ) = 0,5 – 4 3

2

= 0,3085

P(X2 > 4) = 1 – P(X

2 4) = 1 – P(- 2 X 2)

= 1 – 2 3 2 3

1 [ (2,5) (0,5)]

2 2

= 0,6977

b) Ta có:

P(| X – 3 | < 4) = 4

2 2 (2)

2

= 0,9544

P(| X – 2 | < 1) = P(1 < X < 3) =3 3 1 3

(1)

2 2

= 0,3413

Các tham số đặc trưng của phân phối chuẩn Định lý. Nếu X N(( ;

2) thì:

M(X) = Mod(X) =

D(X) = 2

Ví dụ. Cho X là đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn.

a) Giả sử M(X) = 10 và P(10 < X < 20) = 0,3. Tính P(0 < X < 10).

b) Giả sử D(X) = 25 và P(X > 20) = 0,62. Tìm M(X).

Giải

a) Đặt D(X) = 2, khi đó ta có:

P(0 < X < 10) = 10 10 0 10 10

Do:

P(10 < X < 20) = 20 10 10 10 10

= 0,3

Nên:

P(0 < X < 10) = 0,3

b) Đặt M(X) = , khi đó ta có:


70

P(X > 20) = 0,5 – 20

5

= 0,62

20

5

= 0,12 20

0,3

5

= 21,5

Ứng dụng của phân phối chuẩn Đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn có nhiều ứng dụng trong

thực tế. Trọng lượng hay chiều cao của người lớn, mức độ thông minh

của trẻ em, điểm thi của thí sinh trong một kỳ thi, các sai số trong đo đạc,

độ bền của máy móc, kích thước của các chi tiết do máy sản xuất ra,

trọng lượng của các sản phẩm cùng loại, năng suất của một loại cây trồng

trên các thửa ruộng khác nhau, trọng lượng của một loại gia súc cùng độ

tuổi và cùng điều kiện chăm sóc, … là các đại lượng ngẫu nhiên có phân

phối chuẩn. Khi một đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn, ta có thể

vận dụng các công thức tính xác suất cũng như các tham số đặc trưng của

nó để giải quyết những vấn đề thực tế liên quan đến đại lượng đó.

Ví dụ1. Trọng lượng của một loại trái cây là đại lượng ngẫu nhiên có

phân phối chuẩn với kỳ vọng là 250 (g) và phương sai là 25. Người ta gọi

một trái là trái loại I nếu trọng lượng của nó lớn hơn 260g.

a) Lấy ngẫu nhiên một trái từ một sọt trái cây. Tính xác suất để trái đó

là trái loại I.

b) Một người mua hàng sẽ quyết định mua sọt trái cây nếu kiểm tra

ngẫu nhiên một trái thì được trái loại I. Người đó kiểm tra 100 sọt. Tính

xác suất để người đó mua được 6 sọt.

Giải

a) Gọi X là trọng lượng của loại trái cây đó thì X N(250 ; 25).

Xác suất để trái lấy ra từ sọt trái cây là trái loại I là:

P(X > 260) = 0,5 – 260 250

5

= 0,0228

b) Gọi Y là số sọt trái cây mà người đó mua khi kiểm tra 100 sọt. Do

xác suất để người đó mua một sọt trái cây là 0,0228 nên:

Y B(100 ; 0,0228) hay Y (2,28)

Như vậy xác suất để người đó mua 6 sọt trái cây trong 100 sọt là:

P(Y = 6) = 6

2,282,28

6!

e = 0,02

Ví dụ2. Thời gian (phút) đi từ nhà đến trường của một sinh viên được

coi là đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn. Cho biết 65% số ngày

sinh viên đó đến trường mất hơn 20 phút và 8% số ngày mất hơn 30 phút.

a) Tính thời gian đi từ nhà đến trường trung bình của sinh viên đó.

b) Giả sử sinh viên đó xuất phát từ nhà trước giờ học 25 phút. Tính

xác suất để sinh viên đó bị trể học.


71

c) Sinh viên đó phải xuất phát trước giờ học tối thiểu bao nhiêu phút

thì xác suất bị trể học nhỏ hơn 2% ?

Giải

Gọi X là thời gian đi từ nhà đến trường của sinh viên đó thì:

X N( ; 2)

Do 65% số ngày sinh viên đó đến trường mất hơn 20 phút nên:

P(X > 20) = 0,65

Do 8% số ngày sinh viên đó đến trường mất hơn 30 phút nên:

P(X > 30) = 0,08

Do đó:

20 20( 20) 0,5 0,5 0,65

30 20( 30) 0,5 0,5 0,08

200,15

300,42

200,38

301,41

22,12

5,59

P X

P X

a) Ta có:

M(X) = = 22,12

Nên thời gian từ nhà đến trường trung bình của sinh viên đó là 22,12

phút.

b) Ta có:

P(X > 25) = 0,5 – 25 22,12

5,59

= 0,5 – (0,52) = 0,3015

Nên xác suất để sinh viên đó bị trể học là 30,15%.

c) Gọi t (phút) là thời gian tối thiểu sinh viên đó phải xuất phát trước

giờ học để xác suất bị trể học nhỏ hơn 0,02 thì:

P(X > t) < 0,02 0,5 – 22,12

5,59

t

< 0,02


72

22,12

5,59

t

> 0,48

t > 33,64

Như vậy thời gian tối thiểu sinh viên đó phải xuất phát trước giờ học

để xác suất bị trể học nhỏ hơn 0,02 là 34 phút.

Ví dụ3. Giả sử chiều cao trung bình của thanh niên là 165cm và độ

lệch chuẩn là 4cm. Tìm tỉ lệ thanh niên có chiều cao trên 170cm.

Giải

Gọi X là chiều cao của thanh niên thì X N(165 ; 42). Khi đó tỉ lệ

thanh niên có chiều cao trên 170cm là :

P(X > 170) = 0,5 – (1,25) = 0,1056

4.5. Phân phối “Chi – bình phương” Đại lượng ngẫu nhiên có phân phối “Chi-bình phương”

Giả sử X1, X2, … , Xn là n đại lượng ngẫu nhiên độc lập và cùng có

phân phối chuẩn chuẩn tắc.

Định nghĩa. Đại lượng ngẫu nhiên liên tục 2 , được xác định như sau

2 = X1

2 + X2

2 + … + Xn

2 , được gọi là đại lượng ngẫu nhiên có phân phối

“Chi – bình phương” với n bậc tự do và ký hiệu là 2

2(n).

Các tham số đặc trưng Định lý. Nếu

2

2(n) thì M(

2) = n và D(

2) = 2n.

Ứng dụng của phân phối “Chi – bình phương” Giả sử

2

2(k) và P(

2 > a) = thì các số dương a thường được sử

dụng để giải các bài toán ước lượng hay kiểm định giả thiết trong thống

kê toán. Số dương a trong trường hợp này thường được ký hiệu là 2

(k).

Với k và cho trước thì 2

(k) có giá trị được ghi trong bảng phụ lục 4.

4.6. Phân phối Student Đại lượng ngẫu nhiên có phân phối Student

Giả sử X, X1, X2, … , Xn là các đại lượng ngẫu nhiên độc lập và cùng

có phân phối chuẩn chuẩn tắc.

Định nghĩa. Đại lượng ngẫu nhiên liên tục T = 2 2 2

1 2 ... n

X

X X X

n

được gọi là đại lượng ngẫu nhiên có phân phối Student với n bậc tự do và

ký hiệu là T T(n).

Các tham số đặc trưng

Định lý. Nếu T T(n) thì M(T) = 0 và D(T) = 2

n

n .

Ứng dụng của phân phối “Chi – bình phương”


73

Giả sử T T(k) và P(T > a) = thì các số dương a thường được sử

dụng để giải các bài toán ước lượng hay kiểm định giả thiết về trung bình

tổng thể khi mẫu được xét có kích thước nhỏ hơn 30. Số dương a trong

trường hợp này thường được ký hiệu là t(k). Với k và cho trước thì

t(k) có giá trị được ghi trong bảng phụ lục 5.

§5. ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN HAI CHIỀU

5.1. Khái niệm đại lượng ngẫu nhiên hai chiều Thực hiện một phép thử để quan sát đồng thời hai dấu hiệu nào đó và

giả sử quan sát đó có nhiều kết quả có thể xảy ra. Nếu ta dùng một ký

hiệu để biểu diễn các kết quả có thể xảy ra của quan sát đồng thời hai dấu

hiệu đối với phép thử thì người ta gọi ký hiệu đó là một đại lượng ngẫu

nhiên hai chiều hay véctơ ngẫu nhiên hai chiều.

Định nghĩa. Một đại lượng ngẫu nhiên hai chiều của một phép thử là

một ký hiệu có thể biểu diễn các kết quả có thể xảy ra của một quan sát

đồng thời hai dấu hiệu nào đó đối với phép thử.

Đại lượng ngẫu nhiên hai chiều được xác định dưới dạng (X, Y), trong

đó X và Y là các đại lượng ngẫu nhiên của cùng một phép thử, gọi là các

thành phần của (X, Y). Khi đại lượng ngẫu nhiên X nhận giá trị x và đại

lượng ngẫu nhiên Y nhận giá trị y thì ta nói đại lượng ngẫu nhiên (X, Y)

nhận giá trị (x, y). Khi đó xác suất để (X, Y) nhận giá trị (x, y) được ký

hiệu là P(X = x, Y = y) và được tính theo một trong hai cách sau:

P(X = x, Y = y) = P(X = x)P(Y = y / X = x)

P(X = x, Y = y) = P(Y = y)P(X = x / Y = y)

Định lý. Điều kiện cần và đủ để hai đại lượng ngẫu nhiên X và Y của

đại lượng ngẫu nhiên hai chiều (X, Y) độc lập là:

P(X = x, Y = y) = P(X = x)P(Y = y)

5.2. Luật phân phối xác xuất Giả sử (X, Y) là một đại lượng ngẫu nhiên hai chiều, trong đó X và Y

là các đại lượng ngẫu nhiên rời rạc có thể nhận các giá trị lần lượt là x1,

x2, … , xm và y1, y2, … , yn.

Định nghĩa. Bảng phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên hai

chiều (X, Y) là bảng có dạng sau:

P(X,Y)

Y

X

y1

y2

...

yn

x1 p11 p12 ... p1n

x2 p21 p22 ... p2n

... ... ... ... ...

xm pm1 pm2 ... pmn


74

Trong đó pij = P(X = xi , Y = yj) và 1 1

m n

ij

i j

p

= 1.

Ví dụ. Hãy lập bảng phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên hai

chiều (X, Y) , trong đó X và Y là hai đại lượng ngẫu nhiên độc lập có


X - 1 0 1 Y 0 1 2

PX

0,2 0,3 0,5 PY

0,3 0,4 0,3

Giải

Do X và Y là hai đại lượng ngẫu nhiên độc lập nên ta có:

P(X = - 1, Y = 0) = P(X = - 1)P(Y = 0) = 0,20,3 = 0,06

P(X = - 1, Y = 1) = P(X = - 1)P(Y = 1) = 0,20,4 = 0,08

P(X = - 1, Y = 2) = P(X = - 1)P(Y = 2) = 0,20,3 = 0,06

P(X = 0, Y = 0) = P(X = 0)P(Y = 0) = 0,30,3 = 0,09

P(X = 0, Y = 1) = P(X = 0)P(Y = 1) = 0,30,4 = 0,12

P(X = 0, Y = 2) = P(X = 0)P(Y = 2) = 0,30,3 = 0,09

P(X = 1, Y = 0) = P(X = 1)P(Y = 0) = 0,50,3 = 0,15

P(X = 1, Y = 1) = P(X = 1)P(Y = 1) = 0,50,4 = 0,20

P(X = 1, Y = 2) = P(X = 1)P(Y = 2) = 0,50,3 = 0,15

Nên bảng phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên (X, Y) là:

P(X,Y)

Y

X

0

1

2

- 1 0,06 0,08 0,06

0 0,09 0,12 0,09

1 0,15 0,20 0,15

5.3. Phân phối lề và phân phối có điều kiện

Cho đại lượng ngẫu nhiên hai chiều (X, Y) có bảng phân phối xác suất

như sau:

P(X,Y)

Y

X

y1

y2

...

yn

x1 p11 p12 ... p1n

x2 p21 p22 ... p2n

... ... ... ... ...

xm pm1 pm2 ... pmn

Phân phối lề Định nghĩa. Bảng phân phối xác suất của các đại lượng ngẫu nhiên X

(hay Y) suy ra từ bảng phân phối xác suất của (X, Y) được gọi là phân

phối lề theo X (hay Y).


75

Với (X, Y) có bảng phân phối xác suất như trên thì các phân phối lề

theo X và Y được xác định như sau:

X x1 x2 . . . xm Y y1 y2 . . . yn

PX

p1 p2 . . . pm PY

p1 q2 . . . pn

Trong đó 1 1

,

n m

i ij j ij

j i

p p q p

(i = 1, 2, … , m và j = 1, 2, … , n).

Phân phối có điều kiện Định nghĩa. Bảng phân phối xác suất của các đại lượng ngẫu nhiên X

(hay Y) với điều kiện Y = yj (hay X = xi) được gọi là phân phối có điều

kiện của X (hay Y) theo Y(hay X).

Với (X, Y) có bảng phân phối xác suất như trên thì ta có các phân phối

xác suất có điều kiện được xác định như sau:

X/Y = yj x1 x2 . . . xm Y/X = xi y1 y2 . . . yn /

Pj

X Y y p1/j p2/j . . . pm/j

/

Pi

Y X x q1/i q2/i . . . qn/i

Trong đó:

/

/

( , )

( / )

( )

( , )

( / )

( )

i j ij

i j i j

j j

i j ij

j i j i

i i

P X x Y y p

p P X x Y y

P Y y q

P X x Y y p

q P Y y X x

P X x p

Ví dụ. Cho đại lượng ngẫu nhiên hai chiều (X, Y) có bảng phân phối


P(X,Y)

Y

X

0

1

2

1 3 0

2 2 4 2

3 2 5

a) Hãy xác định . b) Lập phân phối lề theo X và Y.

c) Lập phân phối xác suất của X với điều kiện Y = 0.

Giải

a) Ta có:

3 + + 2 + 4 + 2 + + 2 + 5 = 1 = 0,05

Khi đó bảng phân phối xác suất của (X, Y) là:

P(X,Y)

Y

X

0

1

2

1 0,15 0,05 0

2 0,10 0,20 0,10

3 0,05 0,10 0,25


76

b) Ta có:

P(X = 1) = 0,15 + 0,05 + 0 = 0,2

P(X = 2) = 0,1 + 0,2 + 0,1 = 0,4

P(X = 3) = 0,05 + 0,1 + 0,25 = 0,4

P(Y = 0) = 0,15 + 0,1 + 0,05 = 0,3

P(Y = 1) = 0,05 + 0,2 + 0,1 = 0,35

P(Y = 2) = 0 + 0,1 + 0,25 = 0,35

Nên phân phối lề theo X và Y của (X, Y) là:

X 1 2 3 Y 0 1 2

PX

0,2 0,4 0,4 PY

0,3 0,35 0,35

c) Ta có:

( 1 , 0) 0,15( 1/ 0) 0,5

( 0) 0,30

( 2 , 0) 0,10( 2 / 0) 0,3333

( 0) 0,30

( 3 , 0) 0,05( 3 / 0) 0,1667

( 0) 0,30

P X YP X Y

P Y

P X YP X Y

P Y

P X YP X Y

P Y

Nên bảng phân phối xác suất của X khi Y = 0 là :

X/Y = 0 1 2 3

PX/Y = 0

0,5 0,3333 0,1667

5.4. Kỳ vọng của (X, Y) Cho đại lượng ngẫu nhiên hai chiều (X, Y) có bảng phân phối xác suất

như sau:

P(X,Y)

Y

X

y1

y2

...

yn

x1 p11 p12 ... p1n

x2 p21 p22 ... p2n

... ... ... ... ...

xm pm1 pm2 ... pmn

Kỳ vọng của X và Y Định lý.

a) Kỳ vọng của đại lượng ngẫu nhiên X được xác định như sau:

M(X) = 1 1

m n

i ij

i j

x p

b) Kỳ vọng của đại lượng ngẫu nhiên Y được xác định như sau:

M(Y) = 1 1

n m

j ij

j i

y p

Kỳ vọng của XY


77

Định lý. Kỳ vọng của đại lượng ngẫu nhiên tích XY được xác định

như sau:

M(XY) = 1 1

m n

i j ij

i j

x y p

Chú ý. X, Y độc lập khi và chỉ khi M(XY) = M(X)M(Y).

Kỳ vọng có điều kiện của X và Y Định lý.

a) Kỳ vọng của đại lượng ngẫu nhiên X với điều kiện Y = yj được xác

định như sau:

M(X/Y = yj) = 1

1

m

i ij

i

m

ij

i

x p

p

b) Kỳ vọng của đại lượng ngẫu nhiên Y với điều kiện X = xi được xác

định như sau:

M(Y/X = xi) = 1

1

n

j ij

j

n

ij

j

y p

p

Định nghĩa. Người ta gọi hàm số f(x) = M(Y/X = x) là hàm hồi quy

của Y đối với X và hàm số g(y) = M(X/Y = y) là hàm hồi quy của X đối

với Y.



P(X,Y)

Y

X

0

1

2

1 0,15 0,05 0

2 0,10 0,20 0,10

3 0,05 0,10 0,25

Tìm M(X), M(Y), M(XY), M(X/Y = 0) và M(Y/X = 3).

Giải

Ta có:

M(X) = 10,15 + 10,05 + 10 + 20,1 + 20,2 + 20,1

+ 30,05 + 30,1 + 30,25 = 2,2

M(Y) = 00,15 + 10,05 + 20 + 00,1 + 10,2 + 20,1

+ 00,05 + 10,1 + 20,25 = 1,05

M(XY) = 100,15 + 110,05 + 120 + 200,1 + 210,2

+ 220,1 + 300,05 + 310,1 + 320,25 = 2,65


78

M(X/Y = 0) = 1 0,15 2 0,1 3 0,05

0,15 0,1 0,05

= 1,6667

M(Y/X = 3) = 0 0,05 1 0,1 2 0,25

0,05 0,1 0,25

= 1,5

5.5. Covarian và hệ số tương quan Cho đại lượng ngẫu nhiên hai chiều (X, Y). Hai đại lượng ngẫu nhiên

X và Y của (X, Y), ngoài các quan hệ như đã biết là độc lập và hàm, còn

có một quan hệ phụ thuộc rất quan trọng là quan hệ tương quan. Hai đại

lượng ngẫu nhiên X và Y được gọi là có quan hệ tương quan nếu X thay

đổi thì kỳ vọng của Y và Y cũng thay đổi theo, nghĩa là hàm hồi quy của

Y đối với X, f(x) = M(Y/X = x), không phải là hàm hằng. Nếu hàm hồi

quy f(x) là hàm tuyến tính, nghĩa là f(x) = ax + b, thì ta nói X và Y có

quan hệ tương quan tuyến tính. Để đo mức độ tương quan của X và Y,

người ta dùng các số đặc trưng covarian và hệ số tương quan.

Covarian Định nghĩa. Covarian (hay còn gọi là hiệp phương sai) của hai đại

lượng ngẫu nhiên X và Y, ký hiệu là Cov(X, Y), là một số đuợc xác định

như sau:

Cov(X, Y) = M{[X – M(X)][Y – M(Y)]} = M(XY) – M(X)M(Y)

Hệ số tương quan Định nghĩa. Hệ số tương quan của hai đại lượng ngẫu nhiên X và Y,

ký hiệu là RXY, là một số được xác định như sau:

RXY {[ ( )][ ( )]} ( , )

( ) ( )( ) ( )

M X M X Y M Y Cov X Y

X YD X D Y

Trong thực tế, ta có thể tính hệ số tương quan của hai đại lượng ngẫu

nhiên X và Y theo công thức sau:

RXY ( ) ( ) ( )

( ) ( )

M XY M X M Y

D X D Y

RXY là một số không có đơn vị đo và RXY 1. Nếu RXY 0 thì X và

Y có quan hệ tương quan. Đặc biệt, nếu RXY= 1 thì X và Y có quan hệ

tương quan tuyến tính. Nếu RXY > 0 (< 0) thì X và Y có quan hệ tương

quan thuận (nghịch), nghĩa là hàm hồi quy là hàm tăng (giảm).


xác suất như trong ví dụ của phần 5.3 và 5.4 ở trên.

Ta có phân phối lề theo X và Y của (X, Y) là:

X 1 2 3 Y 0 1 2

PX

0,2 0,4 0,4 PY

0,3 0,35 0,35

Nên:

M(X) = 2,2 ; D(X) = 0,56 ; M(Y) = 1,05 ; D(Y) = 0,6475

Ngoài ra ta có :


79

M(XY) = 2,65

Do đó:

RXY 2,65 2,2 1,05

0,5646

0,56 0,6475

Bài tập chương 2 ___________________________

2.1. Tung hai hột xí ngầu.

a) Hãy lập bảng phân phối xác suất của tổng số nút xuất hiện trên hai

hột xí ngầu.

b) Tính xác suất để tổng số nút xuất hiện trên hai hột xí ngầu từ 3

đến 6 nút.

2.2. Một hộp có 12 bóng đèn, trong đó có 4 bóng hư. Lấy ngẫu nhiên từ

hộp đó ra 3 bóng.

a) Hãy lập bảng phân phối và hàm phân phối xác suất của số bóng

đèn bỉ hư trong 3 bóng lấy ra.

b) Tính xác suất để có tối đa 2 bóng bị hư trong 3 bóng lấy ra.

2.3. Có hai lô hàng. Lô thứ nhất có 6 sản phẩm gồm 3 sản phẩm loại A

và 3 sản phẩm loại B. Lô thứ hai có 10 sản phẩm gồm 6 sản phẩm

loại A và 4 sản phẩm loại B. Lấy ngẫu nhiên 4 sản phẩm từ lô thứ

nhất rồi bỏ vào lô thứ hai, sau đó lấy ngẫu nhiên 1 sản phẩm ở lô thứ

hai.

a) Hãy lập bảng phân phối xác suất của số sản phẩm loại B trong 4

sản phẩm lấy từ lô thứ nhất bỏ vào lô thứ hai.

b) Tính xác suất để sản phẩm lấy ở lô thứ hai là sản phẩm loại B.

c) Nếu sản phẩm lấy ở lô thứ hai là sản phẩm loại B, tính xác suất để

lấy được 2 sản phẩm loại A từ lô thứ nhất.

2.4. Có ba hộp bi. Hộp 1 có 2 bi xanh và 3 bi đỏ, hộp 2 có 4 bi xanh và 5

bi đỏ, hộp 3 có 6 bi xanh và 7 bi đỏ . Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp một

bi và gọi X là số bi xanh có trong 3 bi lấy ra.


b) Tính P(X > 2), P(X 1).

2.5. Ba vận động viên của một đội tuyển có khả năng thi đấu thắng trận

là 50%, 70%, 80%. Mỗi vận động viên thi đấu một trận với vận động

viên của đội bạn.

a) Hãy lập bảng phân phối và hàm phân phối xác suất của số trận

thắng của đội tuyển trong 3 trận đấu đó.

b) Tính xác suất để đội tuyển thắng được ít nhất 2 trận.

2.6. Một xạ thủ có 4 viên đạn. Xạ thủ đó sẽ bắn lần lượt từng viên cho tới

khi có một viên trúng mục tiêu hay hết đạn thì dừng lại. Hãy tìm luật

phân phối xác suất của số viên đạn đã bắn, biết rằng xác suất bắn

trúng mục tiêu của mỗi viên là 70%.


80

2.7. Một hộp có 5 chai thuốc, trong đó có 1 chai thuốc giả. Người ta lần

lượt kiểm tra từng chai thuốc cho đến khi phát hiện ra chai thuốc giả

thì dừng kiểm tra. Hãy tìm luật phân phối xác suất của số chai thuốc

phải kiểm tra.

2.8. Có hai hộp bi. Hộp 1 có 1 bi xanh và 7 bi đỏ, hộp 2 có 2 bi xanh và

8 bi đỏ.

a) Lấy ngẫu nhiên từ hộp i ra i viên bi (i = 1, 2). Tìm luật phân phối

xác suất của số bi xanh trong 3 bi lấy ra.

b) Chọn ngẫu nhiên một hộp rồi từ hộp đó lấy ngẫu nhiên ra 3 bi.

Tìm luật phân phối xác suất của số bi xanh trong 3 bi lấy ra.

c) Lấy 2 bi từ hộp 1 bỏ qua hộp 2, sau đó từ hộp 2 lấy ra 3 bi. Hãy

tìm luật phân phối xác suất của số bi xanh trong 3 bi lấy ra.

2.9. Có ba hộp, mỗi hộp đựng 10 sản phẩm, trong đó hộp i có i + 1 phế

phẩm (i = 1, 2, 3).

a) Chọn ngẫu nhiên một hộp rồi từ hộp đó lấy ngẫu nhiên ra 3 sản

phẩm. Hãy tìm luật phân phối xác suất của số phế phẩm trong 3 sản

phẩm lấy ra.

b) Lấy ngẫu nhiên 1 sản phẩm từ hộp 1 rồi bỏ vào hộp 2, sau đó từ

hộp 2 lấy ngẫu nhiên ra 2 sản phẩm. Hãy tìm luật phân phối xác

suất của số sản phẩm tốt trong 2 sản phẩm lấy ra từ hộp 2.

c) Lấy ngẫu nhiên 1 sản phẩm từ hộp 1 và hộp 2 rồi bỏ vào hộp 3,

sau đó từ hộp 3 lấy ngẫu nhiên ra 2 sản phẩm. Hãy tìm luật phân

phối xác suất của số sản phẩm tốt trong 2 sản phẩm lấy ra từ hộp 3.

d) Chọn ngẫu nhiên một hộp rồi từ hộp đó lấy ngẫu nhiên ra 2 sản

phẩm thì 2 sản phẩm đó đều là sản phẩm tốt. Lấy tiếp từ hộp đó 2

sản phẩm nữa. Hãy tìm luật phân phối xác suất của số sản phẩm tốt

trong 2 sản phẩm lấy ra trong lần sau.

e) Chọn ngẫu nhiên hai trong ba hộp rồi từ hai hộp đó lấy ngẫu

nhiên mỗi hộp 1 sản phẩm. Hãy tìm luật phân phối xác suất của số

sản phẩm tốt trong 2 sản phẩm lấy ra.

2.10. Cho X là đại lượng ngẫu nhiên có phân phối xác suất như sau:

X - 1 0 1 2

PX

2 3 4

a) Hãy xác định giá trị của .

b) Hãy lập bảng phân phối xác suất của các đại lượng ngẫu nhiên

sau: Y = X2 , Z = X, U = 2X – 3 , V = X

2 – X + 1.

2.11. Cho X và Y là hai đại lượng ngẫu nhiên độc lập có bảng phân phối


X - 1 0 1 2 Y 0 1 2

PX

0,2 0,3 0,3 0,2 PY

0,2 0,3 0,5

a) Hãy lập bảng phân phối xác suất của các đại lượng ngẫu nhiên

Z = X + Y , U = XY , V = X2 – Y

2 , W = 2X – 3Y + 4.


81

b) Tính P(X = Y).

2.12. Một hộp có 8 bi xanh và 2 bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên từ hộp đó ra 3 bi.

a) Lập bảng phân phối xác suất của số bi xanh trong 3 bi lấy ra.

b) Lập bảng phân phối xác suất của số bi xanh còn lại trong hộp.

2.13. Một lô hàng có 10 sản phẩm, trong đó có 3 phế phẩm. Một kho

hàng có tỉ lệ phế phẩm là 5%. Lấy ngẫu nhiên từ lô hàng và kho

hàng mỗi nơi 2 sản phẩm. Hãy lập bảng phân phối xác suất của:

a) Số phế phẩm trong 2 sản phẩm lấy từ lô hàng.

b) Số phế phẩm trong 2 sản phẩm lấy từ kho hàng.

c) Số phế phẩm trong 4 sản phẩm lấy từ lô hàng và kho hàng.

2.14. Cho X là đại lượng ngẫu nhiên có bảng phân phối xác suất như sau:

X - 1 0 1 2

PX

0,2 0,1 0,4 0,3

a) Tìm M(X), D(X), (X), Mod(X).

b) Lập bảng phân phối xác suất của Y = [X – M(X)]2 và tìm M(Y).

Có nhận xét gì về M(Y) và D(X)?



X - 1 0 1 2 Y 0 1 2

PX

0,1 0,2 0,3 0,4 PY

0,2 0,3 0,5

a) Tìm M(X), D(X), M(Y), D(Y).

b) Tìm M(Z), D(Z), với Z = 3X – 2Y + 1.

c) Tìm M(U), D(U), với U = XY. Có nhận xét gì về M(XY) với

M(X)M(Y) và D(XY) với D(X)D(Y) ?

2.16. Một thủ kho có một chùm gồm 5 chìa khóa, trong đó chỉ có một

chìa mở được cửa kho. Thủ kho lần lượt thử ngẫu nhiên từng chìa

(chìa nào mở không được thì bỏ ra) cho đến khi mở được cửa kho

thì thôi không mở nữa. Thủ kho đó thử trung bình bao nhiêu lần thì

mở được cửa kho?

2.17. Một lô hàng có 10 sản phẩm, trong đó có một số phế phẩm. Gọi X

là số phế phẩm trong lô hàng thì X có phân phối xác suất như sau:

X 1 2 3

PX

0,2 0,5 0,3

Lấy ngẫu nhiên từ lô hàng đó ra 3 sản phẩm.

a) Hãy lập bảng phân phối xác suất của số phế phẩm trong 3 sản

phẩm lấy ra.

b) Tìm số phế phẩm trung bình, độ đồng đều của số phế phẩm và số

phế phẩm tin chắn nhất trong 3 sản phẩm lấy ra.

2.18. Theo thống kê về tai nạn giao thông ở địa phương A thì tỉ lệ xe gắn

máy bị tai nạn giao thông ở địa phương đó mỗi năm là 0,55%.

Công ty bảo hiểm B nhận bảo hiểm cho toàn bộ xe gắn máy của địa

phương A với số tiền mua bảo hiểm 30 ngàn đồng cho mỗi xe một


82

năm và số tiền đền bù trung bình cho một vụ tai nạn giao thông là 3

triệu đồng. Hãy tìm lợi nhuận trung bình cho một hợp đồng bảo

hiểm của công ty B, biết rằng tổng các chi phí khác cho một hợp

đồng bảo hiểm chiếm 30% số tiền mua bảo hiểm.

2.19. Cho X (3).

a) Tính P(X = 0) , P(X = 1) , P(X = 2) , P(X 3).

b) Tìm M(X) , D(X) , Mod(X).

2.20. Cho X B(10 ; 0,8)

a) Tính P(X = 0) , P(X = 1) , P(X = 2) , P(X 3) , P(1 < X 5).

b) Tìm M(X) , D(X) , Mod(X).

2.21. Cho X B(500 ; 0,004) và Y B(100 ; 0,2).

a) Tính P(X = 2) , P(X 2) , P(X 2).

b)Tính P(15 Y 30) , P(20 Y 28) , P(16 Y 24) , P(Y 8).

c) Tìm M(X) , D(X) , Mod(X) , M(Y) , D(Y) , Mod(Y).

2.22. Cho X H(10 , 6 , 4) và Y H(20 000 , 12 000 , 6).

a) Tính P(X = 0) , P(X = 2) , P(1 X < 3), P(X > 3).

b) Tính P(1 < Y 3) , P(Y > 4).

c) Tìm M(X) , D(X) , M(Y) , D(Y).

2.23. Cho X B(2 ; 0,95) và Y H(10 , 3 , 2) là hai đại lượng ngẫu

nhiên độc lập. Đặt Z = X – Y.

a) Hãy lập bảng phân phối xác suất của X và Y.

b) Hãy lập bảng phân phối xác suất của Z.

c) Tìm M(X) , D(X) , M(Y) , D(Y) , M(Z) , D(Z).

d) Tính P(X = Y).

2.24. Cho X B(2 ; 0,5) và Y H(5 , 3 , 2) là hai đại lượng ngẫu nhiên

độc lập. Đặt Z = 6M(X)X – 5M(Y)Y – 50D(X)D(Y).

a) Hãy lập bảng phân phối xác suất của Z.

b) Tìm M(Z) , D(Z) , Mod(Z).

c)Tính P(X < Y).

2.25. Cho X N(500 ; 4).

a) Tìm M(X) , D(X) , Mod(X).

b) Tính P(494 X 506) , P(X < 495) , P(X > 504).

c) Tính P(| X – 500 | < 3) , P(| X – 490 | < 10).

2.26. Cho X N(100 ; 2) và P(94 < X < 106) = 0,9544.

a) Tìm .

b) Tính P(97 X 102) , P(| X – 100 | > 6) , P(| X – 90 | < 10).

2.27. Tại tổng đài điện thoại 1080, trung bình mỗi giờ có 150 cuộc gọi

đến nhờ giúp đở. Tính xác suất để trong 1 phút tổng đài đó:

a) Nhận đúng 2 cuộc gọi.

b) Nhận được không ít hơn 2 cuộc gọi.


83

2.28. Tại một trạm kiểm soát giao thông, trung bình mỗi phút có 2 ô-tô

đi qua. Tính xác suất để:

a) Có đúng 6 ô-tô đi qua trạm trong 3 phút.

b) Có ít nhất 1 ô-tô đi qua trạm trong t phút. Tìm t để xác suất này

bằng 0,99.

2.29. a) Tung một đồng xu 5 lần. Tính xác suất để có 3 lần đồng xu xuất

hiện mặt sấp.

b) Tung một hột xí ngầu 10 lần. Tính xác suất để có nhiều nhất 8

lần hột xí ngầu xuất hiện mặt 1 hay 6 nút.

c) Giả sử xác suất để một con gà đẻ trứng trong ngày là 60%. Tính

xác suất để trong một ngày có ít nhất 5 trong 15 con gà đẻ trứng.

d) Bài thi trắc nghiệm có 20 câu hỏi. Mỗi câu hỏi có 4 đáp án, trong

đó chỉ có 1 đáp án đúng. Hãy tìm số câu trả lời đúng trung bình của

một học viên không thuộc bài khi làm bài trắc nghiệm đó.

e) Một máy dệt có 800 ống sợi. Giả sử xác suất để trong 1 giờ một

ống sợi bị đứt là 0,5%. Hãy tìm số ống sợi bị đứt chắc chắn nhất

trong 1 giờ của máy dệt đó.

2.30. Giả sử xác suất để một sản phẩm của một nhà máy sau khi sản xuất

không được kiểm tra chất lượng là 20%. Tính xác suất để trong 400

sản phẩm của nhà máy:

a) Có 80 sản phẩm không được kiểm tra chất lượng. b) Có từ 70 đến 100 sản phẩm không được kiểm tra chất lượng.

2.31. Một xạ thủ có xác suất bắn trúng mục tiêu là 70%.

a) Tính xác suất để xạ thủ đó bắn trúng cả 3 lần khi bắn 3 phát.

b) Tính xác suất để xạ thủ đó bắn trúng ít nhất 1 lần khi bắn 6 phát.

c) Hãy tìm số lần bắn trúng trung bình và số lần bắn trúng tin chắc

nhất khi xạ thủ đó bắn 100 phát.

d) Xạ thủ đó phải bắn ít nhất mấy phát để xác suất có ít nhất 1 lần

bắn trúng không nhỏ hơn 80%?

2.32. Trong một đợt thi tay nghề, mỗi công nhân dự thi sẽ chọn ngẫu

nhiên một trong hai máy và dùng máy đó để sản xuất 100 sản

phẩm. Nếu trong 100 sản phẩm sản xuất ra có ít nhất 80 sản phẩm

loại I thì công nhân đó được nâng bậc thợ. Giả sử công nhân N có

khả năng sản xuất ra sản phẩm loại I đối với hai máy đó là 70% và

90%. Tính xác suất để công nhân N được nâng bậc thợ.

2.33. Sản phẩm của một nhà máy được đóng thành từng hộp, mỗi hộp

gồm 10 sản phẩm. Số sản phẩm loại I trong mỗi hộp là X có phân

phối xác suất như sau:

X 6 7

PX

0,7 0,3


84

Khách hàng chọn cách kiểm tra để mua hàng như sau: Từ mỗi hộp

lấy ngẫu nhiên ra 3 sản phẩm để kiểm tra, nếu thấy có hơn 1 sản

phẩm loại I thì nhận, ngược lại thì loại hộp đó.

a) Lấy ngẫu nhiên 3 hộp để kiểm tra. Tính xác suất để có 2 hộp

được nhận.

b) Khách hàng phải kiểm tra ít nhất bao nhiêu hộp để xác suất có ít

nhất 1 hộp được nhận không nhỏ hơn 90%?

2.34. Sau khi sản xuất xong, sản phẩm của nhà máy Đại Hùng được đóng

thành từng hộp chứa 10 sản phẩm. Cho biết số sản phẩm loại I

trong mỗi hộp có phân phối như sau:

Số sản phẩm loại I 7 8 9 10

Tỉ lệ hộp tương ứng 0,1 0,3 0,4 0,2

Một khách hàng muốn mua một lô hàng gồm 500 hộp của nhà máy.

Khách hàng này kiểm tra từng hộp bằng cách chọn ngẫu nhiên 3

sản phẩm trong hộp, nếu cả 3 sản phẩm đều là loại I thì nhận hộp

đó. Tìm số hộp tin chắc nhất mà khách hàng có thể nhận.

2.35. a) Một sọt trái cây có 12 trái, trong đó có 4 trái hư. Một người mua

3 trái của sọt đó. Tính xác suất để người đó mua phải 2 trái bị hư.

b)Một lô hàng có 1000 sản phẩm, trong đó có 400 sản phẩm loại

A. Lấy ngẫu nhiên từ lô hàng đó 10 sản phẩm. Tính xác suất để

được ít nhất 3 sản phẩm loại A trong 10 sản phẩm lấy ra.

2.36. Sản phẩm của một nhà máy được đóng thành từng hộp, mỗi hộp

gồm 10 sản phẩm với tỉ lệ thứ phẩm là 20%.

a) Lấy ngẫu nhiên từ một hộp ra 3 sản phẩm. Hãy tìm luật phân

phối xác suất của số sản phẩm tốt trong 3 sản phẩm lấy ra.

b) Trước khi mua hàng của nhà máy, khách hàng kiểm tra bằng

cách lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra 3 sản phẩm, nếu cả 3 sản phẩm

đều là sản phẩm tốt thì mua hộp đó. Tính xác suất để khi kiểm tra

100 hộp thì khách hàng mua ít nhất 50 hộp. Khách hàng phải kiểm

tra ít nhất bao nhiêu hộp thì xác suất có ít nhất 1 hộp được mua

không nhỏ hơn 99%?

2.37. Lãi suất đầu tư (%) vào một dự án tại một địa phương được coi là

một đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn. Theo đánh giá của

các chuyên gia kinh tế thì xác suất để lãi suất đầu tư vào một dự án

tại địa phương đó cao hơn 20 là 15,87% và lãi suất đầu tư cao hơn

25 là 2,28%.

a) Tính lãi suất đầu tư trung bình vào một dự án.

b) Tính xác suất không bị thua lỗ khi đầu tư vào một dự án.

2.38. Đường kính (cm) của một trục máy do một máy tiện sản xuất ra là

một đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với = 30 (cm) và

= 0,02 (cm). Một trục máy được coi là đạt tiêu chuẩn nếu đường


85

kính của nó từ 29,9744cm đến 30,0265cm. Sản xuất 100 trục máy.

Tính xác suất để:

a) Có 75 trục máy đạt tiêu chuẩn.

b) Có không dưới 75 trục máy đạt tiêu chuẩn.

2.39. Chiều dài (mm) của chi tiết máy được gia công trên máy tự động là

một đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn. Một chi tiết máy

được coi là đạt tiêu chuẩn nếu chiều dài thực tế của nó sai lệch so

với chiều dài trung bình không vượt quá 0,02mm.

a) Giả sử độ lệch chuẩn của chiều dài chi tiết máy là 0,01mm. Tìm

tỉ lệ chi tiết máy không đạt tiêu chuẩn.

b) Hãy xác định độ đồng đều của chiều dài chi tiết máy để tỉ lệ chi

tiết máy không đạt tiêu chuẩn là 1%.



X 0 1 2 Y 0 1

PX

0,2 0,3 0,5 PY

0,4 0,6

Hãy lập bảng phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên hai

chiều (X, Y).

2.41. Cho đại lượng ngẫu nhiên hai chiều (X, Y) có bảng phân phối xác

suất như sau:

P(X,Y)

Y

X

- 1

0

1

2

1 0,1 0 0,1 0

2 0 0,2 0,3 0,1

3 0,08 0,02 0 0,1

a) Lập bảng phân phối xác suất của X và Y.

b) Lập bảng phân phối xác suất của X với điều kiện Y = - 1.

c) Lập bảng phân phối xác suất của Y với điều kiện X = 3.

d) Tìm M(X), M(Y), M(XY), M(X/Y = 0) và M(Y/X = 2). X và Y

có phải là hai đại lượng ngẫu nhiên độc lập không? Tại sao?

e) Tìm Cov(X, Y) , RXY. Hai đại lượng ngẫu nhiên X và Y có quan

hệ tương quan không ? Có quan hệ tương quan tuyến tính không ?

2.42. Một hộp có 3 bi xanh, 4 bi đỏ và 3 bi vàng. Lấy ngẫu nhiên từ hộp

đó ra 2 bi. Gọi X là số bi xanh và Y là số bi đỏ trong 2 bi lấy ra.

a) Lập bảng phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên (X, Y).

Số bi xanh và số bi đỏ trong 2 bi lấy ra có độc lập không?

b) Lập bảng phân phối xác suất của số bi đỏ trong 2 bi lấy ra với

điều kiện 2 bi đó không có bi xanh.

c) Tìm hệ số đo mức độ quan hệ giữa số bi xanh và số bi đỏ trung

bình trong 2 bi lấy ra. Quan hệ đó là thuận hay nghịch?


86

2.43. Nghiên cứu đồng thời chi phí quảng cáo X và doanh thu Y (cả hai

có đơn vị tính là triệu đồng/tháng) của một công ty, ta có bảng

phân phối xác suất như sau:

P(X,Y)

Y

X

100

150

200

0 0,1 0,05 0,05

1 0,05 0,2 0,15

2 0 0,1 0,3

a) Lập bảng phân phối xác suất của chi phí quảng cáo và doanh thu

hàng tháng của công ty đó. Theo bạn thì chi phí quảng cáo và

doanh thu hàng tháng của công ty đó có độc lập không?

b) Lập bảng phân phối xác suất của chi phí quảng cáo hàng tháng

với điều kiện doanh thu hàng tháng của công ty là 200 triệu đồng.

c) Tìm doanh thu trung bình của công ty với điều kiện chi phí

quảng cáo hàng tháng của công ty là 1 triệu đồng.

d) Tìm hệ số đo mức độ quan hệ giữa chi phí quảng cáo và doanh

thu của công ty đó. Quan hệ giữa chi phí quảng cáo và doanh thu

đó là thuận hay nghịch?

2.44. Cho X là đại lượng ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ xác suất như

sau:

cos [ ; ]

2 2( )

0 [ ; ]

2 2

x neáu x

f x

neáu x

a) Xác định giá trị của .

b) Lập hàm phân phối xác suất của X.

c) Tìm kỳ vọng và phương sai của X.

d) Tính P(0 < X < 4

).

2.45. Cho X là đại lượng ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ xác suất như

sau:

1

2( )

0

2

neáu x

f x

neáu x

a) Lập hàm phân phối xác suất của X.

b) Lập hàm phân phối xác suất của Y = 2X + 3.

c) Lập hàm phân phối xác suất của Z = 3 – 2X.

d) Lập hàm phân phối xác suất của U = X2.


87

Documents

C ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN - WordPress.com...Một đại lượng ngẫu nhiên được coi là hoàn toàn xác định nếu ta xác định được các giá trị có thể