C. Cohen-Tannoudji, B. Diu, F. Laloe, Quanten mechanics 1 & 2 …grauer/lectures/... · 2011. 10. 10. · Literatur: C. Cohen-Tannoudji, B. Diu, F. Laloe, Quanten mechanics 1 & 2

Literatur:

C. Cohen-Tannoudji, B. Diu, F. Laloe, Quanten mechanics 1 & 2 (Wiley 1997)

R.P. Feynman, R.B. Leighton, M. Sands, The Feynman Lectures on Physics, Vol. III (Addison-Wesley, Reading, 1971)

R.P. Feynman, A.R. Hibbs, Quantum Mechanics and Path Integrals (McGraw-Hill, New York, 1965)

W. Greiner, Theoretische Physik, Quantum Mechanics (Springer 2000)

L.D. Landau, E.M. Lifschitz, Quantum Mechanics (Butterworth Heinemann, 1981)

A. Messiah, Quantum Mechanics, Vol. I, II (Dover, 2003)

L. Schiff, Quantum Mechanics (McGraw-Hill, New York, 1968)

F. Schwabl, Quantum Mechanik (Springer, 2007) *

Photoelectric effect

Hertz 1887: Electrons with maximum kinetic energy

1.2 Historisch grundlegende Experimente und Erkenntnisse 5

Es gelang ihm auch, dieses Strahlungsgesetz auf Grund der Hypothese abzu-leiten, daß Energie von den Wanden an die Strahlung nur in Vielfachen von!ω, namlich En = n!ω abgegeben wird.

Dies ist ein deutlicher erster Hinweis auf die Quantisierung der Strah-lungsenergie.

1.2.1.2 Photoelektrischer Effekt

Strahlt man Licht der Frequenz ω (im Ultravioletten, bei Alkalimetallen auchim Sichtbaren) auf eine Metallfolie oder -oberflache (Hertz 1887, Lenard), sobeobachtet man, daß Elektronen mit einer maximalen kinetischen Energievon

Ee =mv2

e

2= !ω − W (W = Austrittsarbeit)

emittiert werden (Abb. 1.3). Dies fuhrte Albert Einstein 1905 zu der Hy-pothese, daß Licht aus Photonen, Energiequanten der Energie !ω, besteht.Danach kann ein im Metall gebundenes Elektron nur dann von einem auftref-fenden Photon herausgelost werden, wenn dessen Energie die AustrittsarbeitW nicht unterschreitet.

Abb. 1.3. Photoelektrischer Effekt

In der klassischen Elektrodynamik ist die Energiedichte des Lichtes imVakuum durch (1/8π)(E2 + H2) (proportional zur Intensitat) und die Ener-giestromdichte durch S = (c/4π)E ×H gegeben. Daher wurde man bei klei-ner Intensitat klassisch erwarten, daß erst nach einer gewissen Zeit genugendEnergie ubertragen worden ist, um die Elektronenemission zu bewirken. Auchsollte es keine untere Frequenz des Lichtes fur das Auftreten des Photoef-fektes geben. Tatsachlich beobachtet man jedoch auch bei geringer Strah-lungsintensitat ein sofortiges Einsetzen der Elektronenemission, wenn auchin geringerer Anzahl (Meyer und Gerlach), und es tritt bei Erniedrigung derLichtfrequenz unter W/! in Ubereinstimmung mit der quantenmechanischenVorstellung keine Emission mehr auf. Tabelle 1.2 zeigt einige Beispiele furreale Austrittsarbeiten.

=⇒ Light: Photons with energy E = �ω

We know from Special Relativity (SRT)

6 1. Historische und experimentelle Grundlagen

Tabelle 1.2. Beispiele realer Austrittsarbeiten

Element W Ta Ni Ag Cs Pt

W in eV 4.5 4.2 4.6 4.8 1.8 5.3

1 eV b= λ = 1.24 × 10−4 cm b= 1.6 × 10−12 erg4 eV b= λ = 3.1 × 10−5 cm, d. h. Ultraviolett

Wir gelangen also zu folgender Hypothese: Licht besteht aus Photonender Energie E = !ω, der Geschwindigkeit c und einer Fortpflanzungsrichtungparallel zum elektromagnetischen Wellenvektor k (Begrundung: Lichtblitzmit Wellenzahl k). Damit aber lassen sich auch schon Aussagen uber Impulsund Masse des Photons machen.

Aus der Relativitatstheorie ist bekannt:

E =√

p2c2 + m2c4 ; v =∂E

∂p=

pc2

√p2c2 + m2c4

. (1.3)

Wegen |v| = c folgt aus (1.3) m = 0 und somit E = pc. Vergleicht mandies mit E = !ω = !ck (elektromagnetische Wellen: ω = ck), ergibt sichp = !k. Weil p und k parallel sind, folgt ferner p = !k. Also:

E = !ω

p = !k

}Vierervektor pµ :

(E/cp

)= !

(kk

). (1.4)

1.2.1.3 Der Compton-Effekt3

Rontgen-Strahlen sollen auf ein Elektron treffen (Abb. 1.4), das in diesemZusammenhang als frei und ruhend behandelt werden kann. Beim elastischenStoß zwischen Elektron und Photon bleibt der Viererimpuls (Energie undImpuls) erhalten, deshalb:

!(

kk

)+

(mc0

)= !

(k′

k′

)+

(√p′2 + m2c2

p′

). (1.5)

Die Viererimpulse:

Photon Elektron

vorher: !“k

k

” “mc

0

”

nachher: !“k′

k′

” “pp′2 + m2c2

p′

”

Abb. 1.4. Stoß eines Photons γ und eines Elektrons e−

3 A.H. Compton, A. Simon: Phys. Rev. 25, 306 (1925)

work function

Since |v| = c =⇒ m = 0 =⇒ E = pc

electromagnetic waves: ω = ck =⇒ E = �ω = �ck = pc =⇒ p = �k

in general.: E = �ω , p = �k

Wave Properties of Particles

Same procedure for matter (Davisson, Germer; Thomson, Rupp 1928)Electrons possess wave properties: interference on crystal lattice

empirical observation for non-relativistic electrons (Ekin =p2

2m)


sich auf diesem Weg fur nichtrelativistische Elektronen (Kinetische EnergieEkin = p2/2m):

λ =2π!p

=2π!c√

2mc2(p2/2m)=

12.2 A√Ekin(eV)

. (1.7)

Dieser experimentelle Befund ist in genauer Ubereinstimmung mit der von deBroglie 1923 aufgestellten Hypothese, daß einem Teilchen mit GesamtenergieE und Impuls p eine Frequenz ω = E/! und eine Wellenlange λ = 2π!/pzuzuordnen ist. Welche physikalische Bedeutung diese Welle hat, mussen wirspater noch klaren (s. Abschn. 2.1). Daß aber auch im mikroskopischen Be-reich der Teilchenbegriff qualitativ seine Existenzberechtigung hat, kann manan den folgenden Phanomenen sehen:

– Ionisationsspuren in der Wilson-Kammer: Die in die mit ubersattigtemWasserdampf gefullte Kammer eindringenden Elektronen ionisieren dieGasatome entlang ihrer Flugbahn. Diese Ionen wirken als Kondensati-onskeime und fuhren bei Expansion und damit Abkuhlung des Wasser-dampfes zur Bildung kleiner Wassertropfchen.

– Streu- und Stoßexperimente zwischen mikroskopischen Teilchen.– Millikan-Versuch: Quantisierung der elektrischen Ladung in Einheiten der

Elementarladung e0 = 1.6021× 10−19 C = 4.803 × 10−10 esu.– Die diskrete Struktur des Festkorpers.

1.2.3 Diskrete Zustande

1.2.3.1 Diskrete Energie-Niveaus

Dieser Sachverhalt soll durch einen kurzen Abriß uber die jungere Geschichteder Atomtheorie dargestellt werden.

Thomsons Atommodell ging von der Annahme aus, daß ein Atom auseiner uber dessen Radius ausgedehnten, die Hauptmasse tragenden, konti-nuierlichen und positiven Ladungsverteilung besteht, in die die Elektroneneingebettet sind.4 Geiger und Geiger & Marsden (1908) fanden bei Streuex-perimenten mit Alpha-Teilchen an Silber und Gold Ruckwartsstreuung undAblenkung in senkrechter Richtung. Rutherford erkannte sofort, daß dies un-vereinbar mit der Thomsonschen Vorstellung ist, und prasentierte 1911 sein

4 Durch die Experimente von P. Lenard (1862–1947) – Kathodenstrahlen, Lenard-Fenster – war erwiesen, daß Atome etwa 2.000 mal leichtere, negativ geladene(−e0) Partikel – Elektronen – enthielten. Das Thomsonsche Atommodell (J. J.Thomson, 1857–1940) war wichtig, weil es den Atomaufbau auf elektrodynami-scher Basis zu erklaren versuchte, wonach die Elektronen im elektrostatischenPotential der positiv geladenen Kugel harmonische Schwingungen durchfuhrensollten. Allerdings konnte man damit nur eine einzige Spektrallinie und nicht einganzes Spektrum erklaren.



λ =2π!p

=2π!c√

2mc2(p2/2m)=

12.2 A√Ekin(eV)

. (1.7)










exact agreement with hypothesis made by de Broglie (1923)

ω = E/� , λ =2π�p

λ =2π

k

de Broglie relations

Duality: particle+wave properties (for photons und electrons)

2. Wellenfunktion und Schrodinger-Gleichung

2.1 Die Wellenfunktionund ihre Wahrscheinlichkeitsinterpretation

Gemaß den Uberlegungen in Abschn. 1.2.2 in Zusammenhang mit der Elek-tronenbeugung kommen einem Elektron auch Welleneigenschaften zu; dieseWelle sei ψ(x, t). Fur freie Elektronen mit Impuls p und Energie E = p2/2mkann man diese in Einklang mit den Ergebnissen des Beugungsexperimentesals freie ebene Welle ansetzen, d. h. ψ hat die Form

ψ(x, t) = Cei(k.x−ωt) mit ω = E/! , k = p/! . (2.1)

Nun wollen wir uns der Frage zuwenden, welche physikalische Bedeutung die-se Wellenfunktion besitzt. Dazu betrachten wir ein idealisiertes Beugungsex-periment (”Gedankenexperiment“).

Abb. 2.1. Beugung am Doppelspalt (a) mit Spalt 1 geoffnet, (b) mit Spalt 2geoffnet, (c) beide Spalte geoffnet

Elektronen sollen auf eine Blende mit Doppelspalt fallen (Abb. 2.1). Ei-ne Photoplatte (oder Zahlrohre) in der Schirmebene hinter dem Doppelspaltgebe uns Informationen uber das von den auftreffenden Elektronen erzeugteBild. Zunachst bleibe jeweils einer der beiden Spalte geschlossen, man erhalt















Wave function and Schrödinger equationwave function, interpretation

free electrons:















de Broglie 1923: plane wave

with

Gedankenexperiment: double slit



λ =2π!p

=2π!c√

2mc2(p2/2m)=

12.2 A√Ekin(eV)

. (1.7)










momentum

double screenslit

intensity

Interference:

14 2. Wellenfunktion und Schrodinger-Gleichung

dabei die Verteilungen !1(x) bzw. !2(x) auf dem Schirm (Abb. 2.1a,b). Offnetman beide Spalte, entsteht ein Interferenzbild (Abb. 2.1c) mit Verstarkungder Intensitat dort, wo die Wegdifferenz ∆l von beiden Spalten ein ganz-zahliges Vielfaches der Elektronenwellenlange λ ist: ∆l = n . λ. Wegen derInterferenz gilt fur die Intensitaten: !(x) != !1(x) + !2(x). Derartige Interfe-renzerscheinungen mit ganz entsprechenden Schirmbildern kennen wir bereitsaus der Optik fur Licht und ebenso bei Wasserwellen. Geht von Spalt 1 eineelektromagnetische Zylinderwelle mit elektrischem Feldvektor E1(x, t), vonSpalt 2 eine solche mit Feldvektor E2(x, t) aus, ergibt sich fur die genanntenVersuchsanordnungen:

Falls nur Spalt 1 geoffnet ist, hat man am Schirm die IntensitatsverteilungI1(x) = |E1(x, t)|2, falls nur Spalt 2 offen ist, erhalt man stattdessen I2(x) =|E2(x, t)|2 (Hier haben wir Ej(x, t) ∝ exp{−iωt} angenommen, was derZeitmittelung der Intensitaten von reellen Feldern bis auf einen Faktor 2aquivalent ist.) Stehen beide Spalte offen, muß man die Wellen uberlagernund bekommt

E(x, t) = E1(x, t) + E2(x, t) ,

I = |E(x, t)|2 = I1 + I2 + 2 Re(E∗1. E2) .

Der dritte Summand in der Gesamtintensitat stellt den sogenannten Interfe-renzterm dar.

Der Vergleich mit unserem Elektronenexperiment laßt folgenden Schlußzu.

Hypothese. Die Wellenfunktion ψ(x, t) liefert die Wahrscheinlichkeitsver-teilung

!(x, t) = |ψ(x, t)|2 (2.2)

dafur, daß das Elektron an der Stelle x auftrifft. !(x, t) d3x ist dann die Wahr-scheinlichkeit, das Elektron am Ort x im Volumenelement d3x zu finden.Von Spalt 1 bzw. 2 gehen nach dieser Vorstellung also die Elektronenwellenψ1(x, t) bzw. ψ2(x, t) aus, die die Schirmschwarzungen !1(x, t) = |ψ1(x, t)|2bzw. !2(x, t) = |ψ2(x, t)|2 verursachen. Sind beide Spalte offen, kommt eszur Superposition der beiden Wellenfunktionen ψ1(x, t) + ψ2(x, t) und dieSchwarzung ist proportional zu |ψ1 + ψ2|2 (Abb. 2.2). Zwei wichtige Bemer-kungen:

i) Jedes Elektron macht einen lokalisierten Einschlag, die Schwarzung derPhotoplatte durch ein einzelnes Elektron ist nicht ausgeschmiert. !(x, t)ist nicht die Ladungsverteilung des Elektrons, sondern gibt die Wahr-scheinlichkeitsdichte dafur an, das Teilchen am Ort x zur Zeit t zu mes-sen.

ii) Diese Wahrscheinlichkeitsverteilung kommt nicht zustande durch Inter-ferenz vieler gleichzeitig einfallender Elektronen, sondern man erhalt das

interference term

Conclusion:

amplification where path length difference between theslits ∆l in an integral multiple of electron wavelength:∆l = n · λ

therefore we have: ρ(x) �= ρ1(x) + ρ2(x)

very similar to optics:electric field E1 ( E2, E ), intensity I = |E|2

Hypothesis: The wave function ψ(x, t) gives the probability distributionρ(x, t) = |ψ(x, t)|2 that an electron occupies the position x

important: superposition of the wave function

Remarks:

1. Each electron makes a local impact on the photographic plate. ρ(x, t) is notthe charge distributionof the elektron, but probability distribution.

2. Interference pattern is even obtained, if each electron enters separately.

We are searching for a theory for the wave function ψ (and thus a statistical de-scription). This theory should should reduce to classical mechanics in the limit ofmacroscopic objects.

Schrödinger Equation for Free Particles most simplest case: free particle, no forces


Anmerkung: Wurde in der Gleichung eine Inhomogenitat q auftreten, also z. B.

∂∂t

ψ(x, t) = Dψ(x, t) + q ,

so hatte man

ddt

Zd3x |ψ(x, t)|2 =

Zd3x (ψψ∗ + ψψ∗)

=

Zd3x ((Dψ)ψ∗ + ψ(Dψ)∗) +

Zd3x (qψ∗ + ψq∗) .

Falls D der Differentialoperator der Schrodinger-Gleichung ist, ergibt sich nach demGaußschen lntegralsatz (j, Stromdichte; siehe Gleichungen (2.58)–(2.60))

= −Z

O

df . j +

Zd3x 2Re{qψ∗} .

Der erste Term ist 0, wenn ψ rasch genug abfallt, z. B.: ψ ∈ L2, jedoch ist der zweiteSummand i. a. ungleich Null.

iv) Schließlich sollen die ebenen Wellen

ψ(x, t) = C exp{

i(

p . x − p2

2mt

) /!}

Losungen der Gleichung sein. Fur ebene Wellen gilt:

∂

∂tψ(x, t) = − i

!p2

2mψ(x, t) =

i!

!2

2m∇2ψ(x, t) .

Aus den Postulaten (i) bis (iv) erhalten wir also

i! ∂

∂tψ(x, t) = − !2

2m∇2ψ(x, t) . (2.4)

Dies ist die zeitabhangige Schrodinger-Gleichung fur freie Teilchen.

2.3 Superposition von ebenen Wellen

Die ebenen Wellen

ψ(x, t) = C exp{

i!

(p . x − p2

2mt

)}

haben eine raumliche homogene Wahrscheinlichkeitsdichte |ψ(x, t)|2 = C2.Denken wir uns das Teilchen in eine Box mit Volumen V eingeschlossen,ergibt sich aus der Normierungsforderung

∫V d3xC2 = 1 fur C der Wert

C = 1/√

V .



∂∂t

ψ(x, t) = Dψ(x, t) + q ,

so hatte man

ddt

Zd3x |ψ(x, t)|2 =


=

Zd3x ((Dψ)ψ∗ + ψ(Dψ)∗) +

Zd3x (qψ∗ + ψq∗) .


= −Z

O

df . j +

Zd3x 2Re{qψ∗} .



ψ(x, t) = C exp{

i(

p . x − p2

2mt

) /!}


∂

∂tψ(x, t) = − i

!p2

2mψ(x, t) =

i!

!2

2m∇2ψ(x, t) .


i! ∂

∂tψ(x, t) = − !2

2m∇2ψ(x, t) . (2.4)



Die ebenen Wellen

ψ(x, t) = C exp{

i!

(p . x − p2

2mt

)}



C = 1/√

V .



∂∂t

ψ(x, t) = Dψ(x, t) + q ,

so hatte man

ddt

Zd3x |ψ(x, t)|2 =


=

Zd3x ((Dψ)ψ∗ + ψ(Dψ)∗) +

Zd3x (qψ∗ + ψq∗) .


= −Z

O

df . j +

Zd3x 2Re{qψ∗} .



ψ(x, t) = C exp{

i(

p . x − p2

2mt

) /!}


∂

∂tψ(x, t) = − i

!p2

2mψ(x, t) =

i!

!2

2m∇2ψ(x, t) .


i! ∂

∂tψ(x, t) = − !2

2m∇2ψ(x, t) . (2.4)



Die ebenen Wellen

ψ(x, t) = C exp{

i!

(p . x − p2

2mt

)}



C = 1/√

V .

An equation of motion for ψ(x, t) should satisfy the following basic demands:

1. It should be a first order differential equation in time so that ψ(x, t) will be deter-mined by the initial condition ψ(x, 0).

2. It should be linear in ψ in order for the principle of superposition.

3. It should be homogenous, so that�

d3x |ψ(x, t)|2 = 1 (normalization)

holds for all times, since the probability to find the particle somewhere in spaceis 1.

4. plane waves

should be solution of the equation. For plane waves, we have:

The unique partial differential equation, which fullfills postulates 1) - 4), is:

time dependent Schrodinger equation for free particles

Superposition of plane waves

Question: How can we construct localized states from plane waves?

plane waves



∂∂t

ψ(x, t) = Dψ(x, t) + q ,

so hatte man

ddt

Zd3x |ψ(x, t)|2 =


=

Zd3x ((Dψ)ψ∗ + ψ(Dψ)∗) +

Zd3x (qψ∗ + ψq∗) .


= −Z

O

df . j +

Zd3x 2Re{qψ∗} .



ψ(x, t) = C exp{

i(

p . x − p2

2mt

) /!}


∂

∂tψ(x, t) = − i

!p2

2mψ(x, t) =

i!

!2

2m∇2ψ(x, t) .


i! ∂

∂tψ(x, t) = − !2

2m∇2ψ(x, t) . (2.4)



Die ebenen Wellen

ψ(x, t) = C exp{

i!

(p . x − p2

2mt

)}



C = 1/√

V .

have spatial homogenous probability density |ψ(x, t)|2 = C 2

particle in a box with volume V =⇒

normalization�

Vd3x C 2 = 1 =⇒ C =

1√V

V →∞ ?

localized states are obtained by superposition:

2.3 Superposition von ebenen Wellen 17

Lokalisierte Zustande, d. h. solche mit raumlich konzentrierter Ausdeh-nung, erhalten wir durch Superposition (Uberlagerung) ebener Wellen1:

ψ(x, t) =∫

d3p

(2π!)3ϕ(p) exp

{i!

(p . x − p2

2mt

)}

︸︷︷︸(Dreidimensionales Wellenpaket)

. (2.5)

Besonders einfach werden die Verhaltnisse fur ein eindimensionales Gauß-sches Wellenpaket, d. h.

ϕ(p) = A exp{−(p− p0)2d2/!2} . (2.6)

(Die Verallgemeinerung auf drei Dimensionen ist trivial, weil das dreidimen-sionale Gaußsche Wellenpaket exp{−(p−p0)2d2/!2} in drei eindimensionaleGauß-Funktionen faktorisiert.) Zur Berechnung von (2.5) fuhren wir voruber-gehend die Abkurzungen

a =d2

!2+ i

t

2m! , b =d2p0

!2+ i

x

2! , c =d2p2

0

!2(2.7)

ein, mittels derer (2.5) und (2.6)

ψ(x, t) =A

2π!

∫dp exp

{−a

(p − b

a

)2

+b2

a− c

}

=A

2π!

√π

aexp

{b2

a− c

}(2.8)

ergeben, wobei wir das bekannte Gauß-Integral∞∫

−∞

dx e−αx2=

√π

α(2.9)

benutzten. Im weiteren werden wir uns vornehmlich fur die Wahrscheinlich-keitsdichte

|ψ(x, t)|2 =(

A

2π!

)2 π

|a| exp{

2 Re{

b2 − ac

a

}}(2.10)

interessieren. Der Exponent in (2.10) wird

2 Re{(b2 − ac)a∗}/|a|2 = −(x − vt)2/2d2(1 + ∆2) mit (2.11)

v =p0

mund ∆ ≡ ∆(t) =

t!2md2

. (2.12)

Nun konnen wir unter Verwendung von (2.7), (2.9) und (2.11) den Normie-rungsfaktor A so festlegen, daß

∫dx |ψ(x, t)|2 = 1, mit dem Ergebnis

1 Wir verzichten manchmal wie in (2.5) auf die Angabe von Integrationsgrenzen.Diese sind dann immer −∞ und +∞.

especially simple for a one-dimensional Gaussian wave packet



ψ(x, t) =∫

d3p

(2π!)3ϕ(p) exp

{i!

(p . x − p2

2mt

)}


. (2.5)


ϕ(p) = A exp{−(p− p0)2d2/!2} . (2.6)


a =d2

!2+ i

t

2m! , b =d2p0

!2+ i

x

2! , c =d2p2

0

!2(2.7)


ψ(x, t) =A

2π!

∫dp exp

{−a

(p − b

a

)2

+b2

a− c

}

=A

2π!

√π

aexp

{b2

a− c

}(2.8)


−∞

dx e−αx2=

√π

α(2.9)


|ψ(x, t)|2 =(

A

2π!

)2 π

|a| exp{

2 Re{

b2 − ac

a

}}(2.10)


2 Re{(b2 − ac)a∗}/|a|2 = −(x − vt)2/2d2(1 + ∆2) mit (2.11)

v =p0

mund ∆ ≡ ∆(t) =

t!2md2

. (2.12)




(the three-dimensional Gaussian wave packet is product of the one-dimensional ones)

We obtain for the probability density (exercise ???)


A = 4√

8πd2 . (2.13)

Damit erhalten wir insgesamt

|ψ(x, t)|2 =1

d√

2π(1 + ∆2)exp

{− (x − vt)2

2d2(1 + ∆2)

}. (2.14)

also auch im Ortsraum eine Gauß-Verteilung. Das Maximum des Wellenpa-ketes bewegt sich mit der Gruppengeschwindigkeit v = p0/m = ∂E/∂p|p0 wieein klassisches Teilchen, wahrend die einzelnen superponierten ebenen Wel-len die Phasengeschwindigkeiten vph = Ep/p = p/2m besitzen. Die Große ∆wachst mit der Zeit t; das bedeutet, daß die Funktion |ψ|2 im Laufe der Zeitflacher wird, daß sie ”auseinanderfließt“, ihre Lokalisation also abnimmt.

Ferner interessieren uns Mittelwert und Schwankungsquadrat des Ortesfur die vorliegende Wahrscheinlichkeitsdichte (2.14). Der Mittelwert des Ortesberechnet sich zu

〈x〉 =∞∫

−∞

|ψ(x, t)|2xdx

=+∞∫

−∞

dx|ψ(x, t)|2(x − vt) ++∞∫

−∞

dx|ψ(x, t)|2vt = vt .

Das erste Integral verschwindet, da |ψ(x, t)|2 eine gerade Funktion in (x−vt)ist. Fur das Schwankungsquadrat erhalt man

(∆x)2 = 〈(x − 〈x〉)2〉

=

∫ +∞−∞ dx|ψ(x, t)|2(x − vt)2

∫ +∞−∞ dx|ψ(x, t)|2

= d2(1 + ∆2) .

Hier benutzten wir (2.9) und deren Ableitung nach α:

∞∫

−∞

dxx2 e−αx2=

√π/2α3/2 .

Also:

Ortsmittelwert: 〈x〉 = vt (2.15)

Ortsunscharfe: ∆x = d√

1 + ∆2 . (2.16)

Um diese Resultate zu veranschaulichen, betrachten wir zwei Beispiele:

(i) Sei das durch ein Gaußsches Wellenpaket beschriebene Teilchen einmakroskopischer Korper der Masse m = N mp

∼= 1023 × 10−24 g = 10−1 g. Indiesem Falle ist deshalb ∆ = t!/2md2 ≈ 10−26t/d 2 (t und d in cgs-Einheiten,

group velocity v =p0m

, ∆ =t�

2md2


A = 4√

8πd2 . (2.13)


|ψ(x, t)|2 =1

d√

2π(1 + ∆2)exp

{− (x − vt)2

2d2(1 + ∆2)

}. (2.14)



〈x〉 =∞∫

−∞

|ψ(x, t)|2xdx

=+∞∫

−∞

dx|ψ(x, t)|2(x − vt) ++∞∫

−∞



(∆x)2 = 〈(x − 〈x〉)2〉

=

∫ +∞−∞ dx|ψ(x, t)|2(x − vt)2

∫ +∞−∞ dx|ψ(x, t)|2

= d2(1 + ∆2) .


∞∫

−∞

dxx2 e−αx2=

√π/2α3/2 .

Also:



1 + ∆2 . (2.16)




= 0, odd function in (x-vt)

root-mean-square deviation


A = 4√

8πd2 . (2.13)


|ψ(x, t)|2 =1

d√

2π(1 + ∆2)exp

{− (x − vt)2

2d2(1 + ∆2)

}. (2.14)



〈x〉 =∞∫

−∞

|ψ(x, t)|2xdx

=+∞∫

−∞

dx|ψ(x, t)|2(x − vt) ++∞∫

−∞



(∆x)2 = 〈(x − 〈x〉)2〉

=

∫ +∞−∞ dx|ψ(x, t)|2(x − vt)2

∫ +∞−∞ dx|ψ(x, t)|2

= d2(1 + ∆2) .


∞∫

−∞

dxx2 e−αx2=

√π/2α3/2 .

Also:



1 + ∆2 . (2.16)





A = 4√

8πd2 . (2.13)


|ψ(x, t)|2 =1

d√

2π(1 + ∆2)exp

{− (x − vt)2

2d2(1 + ∆2)

}. (2.14)



〈x〉 =∞∫

−∞

|ψ(x, t)|2xdx

=+∞∫

−∞

dx|ψ(x, t)|2(x − vt) ++∞∫

−∞



(∆x)2 = 〈(x − 〈x〉)2〉

=

∫ +∞−∞ dx|ψ(x, t)|2(x − vt)2

∫ +∞−∞ dx|ψ(x, t)|2

= d2(1 + ∆2) .


∞∫

−∞

dxx2 e−αx2=

√π/2α3/2 .

Also:



1 + ∆2 . (2.16)




This follows from



ψ(x, t) =∫

d3p

(2π!)3ϕ(p) exp

{i!

(p . x − p2

2mt

)}


. (2.5)


ϕ(p) = A exp{−(p− p0)2d2/!2} . (2.6)


a =d2

!2+ i

t

2m! , b =d2p0

!2+ i

x

2! , c =d2p2

0

!2(2.7)


ψ(x, t) =A

2π!

∫dp exp

{−a

(p − b

a

)2

+b2

a− c

}

=A

2π!

√π

aexp

{b2

a− c

}(2.8)


−∞

dx e−αx2=

√π

α(2.9)


|ψ(x, t)|2 =(

A

2π!

)2 π

|a| exp{

2 Re{

b2 − ac

a

}}(2.10)


2 Re{(b2 − ac)a∗}/|a|2 = −(x − vt)2/2d2(1 + ∆2) mit (2.11)

v =p0

mund ∆ ≡ ∆(t) =

t!2md2

. (2.12)





A = 4√

8πd2 . (2.13)


|ψ(x, t)|2 =1

d√

2π(1 + ∆2)exp

{− (x − vt)2

2d2(1 + ∆2)

}. (2.14)



〈x〉 =∞∫

−∞

|ψ(x, t)|2xdx

=+∞∫

−∞

dx|ψ(x, t)|2(x − vt) ++∞∫

−∞



(∆x)2 = 〈(x − 〈x〉)2〉

=

∫ +∞−∞ dx|ψ(x, t)|2(x − vt)2

∫ +∞−∞ dx|ψ(x, t)|2

= d2(1 + ∆2) .


∞∫

−∞

dxx2 e−αx2=

√π/2α3/2 .

Also:



1 + ∆2 . (2.16)




∆ increases in time =⇒ |ψ|2 gets flatter.wave function spreads out, localisation is reduced.closer look on the average and root-mean-square deviation of position for the present PDF.

Derivative with respect to α:

α =1

2d2(1 + ∆2)=⇒ (∆x)2 = d2(1 + ∆2)with

Thus we have:

position expectation value:

position uncertainty:

�x� = vt

∆x = d√

1 + ∆2

examples:

i) macroscopic particlemass m = Nmp ≈ 1023 × 10−24g = 10−1g

∆ =t�

2md2≈ 10−26 t

d2

ii) α− particle

∆ = (10−27/2 · 4 · 1.6 · 10−24)t

d2≈ 10−4 t

d2

∆x = d = 10−11cm at t = 0 =⇒ ∆ = 1 at t ≈ 10−18

Whether ot not the spreading is significant, depends on the problem:

α-particle with speed v = c/30 =⇒ distance 10−9 cm� nuclear radius ≈ 10−12 cm

=⇒ during the collision with a nucleusthe trajectory can be described classically

Java-Applet

Probability Distribution for a Measurement of Momentum

2.4 Wahrscheinlichkeitsverteilung fur eine Impulsmessung 19

∆ dimensionslos). Ein solcher Korper mit anfanglicher Ortsunscharfe ∆x =d = 10−8 cm zeigt erst nach 1010 sec ein ∆ = 1 und damit eine Breite ∆x =√

2d. Dieser Wert ist im Vergleich zur Ausdehnung eines makroskopischenKorpers aber immer noch irrelevant.

(ii) Fur ein α-Teilchen hingegen ergibt sich:

∆ = (10−27/2 × 4 × 1.6 × 10−24)t

d2∼= 10−4 t

d2.

Mit ∆x = d = 10−11 cm zur Zeit t = 0 wird ∆ = 1 fur t ≈ 10−18 sec. Obwohldiese Zeit sehr kurz ist, hangt es ganz vom Problem ab, ob der VerbreiterungBedeutung zukommt. So durchmißt zum Beispiel ein α-Teilchen mit einerGeschwindigkeit v = c/30 in dieser Zeit eine Strecke von 10−9 cm, was sehrviel großer als ein Atomkernradius (≈ 10−12 cm) ist. Das bedeutet aber, daßwahrend des Stoßes mit einem Kern die Trajektorie klassisch beschriebenwerden kann!

Die zeitliche Entwicklung eines Gaußschen Wellenpaketes ist in Abb. 2.3skizziert.

Abb. 2.3. Bewegung und Zerfließen eines Gaußschen Wellenpaketes. Die Breiteder Wahrscheinlichkeitsdichte nimmt mit der Zeit zu

2.4 Wahrscheinlichkeitsverteilungfur eine Impulsmessung

Nun beschaftigt uns die Frage, welche Wahrscheinlichkeitsdichte die Realisie-rung bestimmter Impulswerte beschreibt. Im Ortsraum war die Wahrschein-lichkeit, ein Teilchen am Ort x im Volumen d3x zu finden, gegeben durch#(x, t)d3x = |ψ(x, t)|2d3x. Entsprechend werde die Wahrscheinlichkeit, dasTeilchen mit Impuls p in d3p anzutreffen, dargestellt durch W (p, t)d3p. Auchhier wird die Gesamtwahrscheinlichkeit auf 1 normiert:

∫d3p W (p, t) = 1 . (2.17)normalization

Fourier-Trafo


Druckt man nun in Analogie zu (2.5) ψ(x, t) durch seine Fourier-Transfor-mierte (siehe Anhang A) ϕ(p, t) aus, also

ψ(x, t) =∫

d3p

(2π!)3ϕ(p, t) eip.x/! ,

dann bekommt man damit∫

d3x |ψ(x, t)|2

=∫

d3x

∫d3p

(2π!)6

∫d3p′ exp

{i! (p − p′) . x

}ϕ(p, t)ϕ∗(p′, t)

=∫

d3p

∫d3p′

(2π!)3δ(3)(p − p′)ϕ(p, t)ϕ∗(p′, t) , (2.18)

wegen∫

d3x exp{

i! (p − p′) . x

}= (2π!)3δ(3)(p − p′) .

Folglich ergibt sich aus (2.18)∫

d3x |ψ(x, t)|2 =∫

d3p1

(2π!)3|ϕ(p, t)|2

︸︷︷︸(Parsevalsches Theorem der Fourier-Transformation)

. (2.19)

Das legt fur die Wahrscheinlichkeitsdichte im Impulsraum folgende Definitionnahe:

W (p, t) =1

(2π!)3|ϕ(p, t)|2 . (2.20)

Dies ist auch im Einklang damit, daß fur eine ebene Welle mit Impuls p0 dieFourier-Transformierte ϕ(p, t) nur fur p = p0 verschieden von Null ist.

Kehren wir nun zum Gaußschen Wellenpaket in einer Dimension ((2.5),spezialisiert auf eine Dimension, und (2.6)) zuruck. Fur diesen speziellen Fallerhalt man die Wahrscheinlichkeitsdichte

W (p, t) =1

2π! |ϕ(p)|2 =√

2π

d

! exp{−2(p− p0)2 d2/!2} . (2.21)

Diese ist zeitunabhangig, da wir freie Teilchen betrachten. Mit (2.21) kannder mittlere Impuls zu

〈p〉 =∫

dp W (p, t)p =∫

dp W (p, t)(p − p0) +∫

dp W (p, t)p0 = p0

berechnet werden, und das zugehorige Schwankungsquadrat lautet

position space: probability to find particle at x in d3x= ρ(x, t)d3x = |ψ(x, t)|2d3x

looking for:

momentum space: probability to find particle with momentum p in d3p= W (p, t)d3p =?



ψ(x, t) =∫

d3p

(2π!)3ϕ(p, t) eip.x/! ,


d3x |ψ(x, t)|2

=∫

d3x

∫d3p

(2π!)6

∫d3p′ exp

{i! (p − p′) . x

}ϕ(p, t)ϕ∗(p′, t)

=∫

d3p

∫d3p′

(2π!)3δ(3)(p − p′)ϕ(p, t)ϕ∗(p′, t) , (2.18)

wegen∫

d3x exp{

i! (p − p′) . x

}= (2π!)3δ(3)(p − p′) .


d3x |ψ(x, t)|2 =∫

d3p1

(2π!)3|ϕ(p, t)|2


. (2.19)


W (p, t) =1

(2π!)3|ϕ(p, t)|2 . (2.20)



W (p, t) =1

2π! |ϕ(p)|2 =√

2π

d

! exp{−2(p− p0)2 d2/!2} . (2.21)


〈p〉 =∫

dp W (p, t)p =∫

dp W (p, t)(p − p0) +∫

dp W (p, t)p0 = p0




ψ(x, t) =∫

d3p

(2π!)3ϕ(p, t) eip.x/! ,


d3x |ψ(x, t)|2

=∫

d3x

∫d3p

(2π!)6

∫d3p′ exp

{i! (p − p′) . x

}ϕ(p, t)ϕ∗(p′, t)

=∫

d3p

∫d3p′

(2π!)3δ(3)(p − p′)ϕ(p, t)ϕ∗(p′, t) , (2.18)

wegen∫

d3x exp{

i! (p − p′) . x

}= (2π!)3δ(3)(p − p′) .


d3x |ψ(x, t)|2 =∫

d3p1

(2π!)3|ϕ(p, t)|2


. (2.19)


W (p, t) =1

(2π!)3|ϕ(p, t)|2 . (2.20)



W (p, t) =1

2π! |ϕ(p)|2 =√

2π

d

! exp{−2(p− p0)2 d2/!2} . (2.21)


〈p〉 =∫

dp W (p, t)p =∫

dp W (p, t)(p − p0) +∫

dp W (p, t)p0 = p0


due to



ψ(x, t) =∫

d3p

(2π!)3ϕ(p, t) eip.x/! ,


d3x |ψ(x, t)|2

=∫

d3x

∫d3p

(2π!)6

∫d3p′ exp

{i! (p − p′) . x

}ϕ(p, t)ϕ∗(p′, t)

=∫

d3p

∫d3p′

(2π!)3δ(3)(p − p′)ϕ(p, t)ϕ∗(p′, t) , (2.18)

wegen∫

d3x exp{

i! (p − p′) . x

}= (2π!)3δ(3)(p − p′) .


d3x |ψ(x, t)|2 =∫

d3p1

(2π!)3|ϕ(p, t)|2


. (2.19)


W (p, t) =1

(2π!)3|ϕ(p, t)|2 . (2.20)



W (p, t) =1

2π! |ϕ(p)|2 =√

2π

d

! exp{−2(p− p0)2 d2/!2} . (2.21)


〈p〉 =∫

dp W (p, t)p =∫

dp W (p, t)(p − p0) +∫

dp W (p, t)p0 = p0


(Exercise ???)

=⇒

=⇒



ψ(x, t) =∫

d3p

(2π!)3ϕ(p, t) eip.x/! ,


d3x |ψ(x, t)|2

=∫

d3x

∫d3p

(2π!)6

∫d3p′ exp

{i! (p − p′) . x

}ϕ(p, t)ϕ∗(p′, t)

=∫

d3p

∫d3p′

(2π!)3δ(3)(p − p′)ϕ(p, t)ϕ∗(p′, t) , (2.18)

wegen∫

d3x exp{

i! (p − p′) . x

}= (2π!)3δ(3)(p − p′) .


d3x |ψ(x, t)|2 =∫

d3p1

(2π!)3|ϕ(p, t)|2


. (2.19)


W (p, t) =1

(2π!)3|ϕ(p, t)|2 . (2.20)



W (p, t) =1

2π! |ϕ(p)|2 =√

2π

d

! exp{−2(p− p0)2 d2/!2} . (2.21)


〈p〉 =∫

dp W (p, t)p =∫

dp W (p, t)(p − p0) +∫

dp W (p, t)p0 = p0


Parseval identity

Motivation for probability density in momentum space



ψ(x, t) =∫

d3p

(2π!)3ϕ(p, t) eip.x/! ,


d3x |ψ(x, t)|2

=∫

d3x

∫d3p

(2π!)6

∫d3p′ exp

{i! (p − p′) . x

}ϕ(p, t)ϕ∗(p′, t)

=∫

d3p

∫d3p′

(2π!)3δ(3)(p − p′)ϕ(p, t)ϕ∗(p′, t) , (2.18)

wegen∫

d3x exp{

i! (p − p′) . x

}= (2π!)3δ(3)(p − p′) .


d3x |ψ(x, t)|2 =∫

d3p1

(2π!)3|ϕ(p, t)|2


. (2.19)


W (p, t) =1

(2π!)3|ϕ(p, t)|2 . (2.20)



W (p, t) =1

2π! |ϕ(p)|2 =√

2π

d

! exp{−2(p− p0)2 d2/!2} . (2.21)


〈p〉 =∫

dp W (p, t)p =∫

dp W (p, t)(p − p0) +∫

dp W (p, t)p0 = p0


Gaussian wave packet (in one dimension)



ψ(x, t) =∫

d3p

(2π!)3ϕ(p, t) eip.x/! ,


d3x |ψ(x, t)|2

=∫

d3x

∫d3p

(2π!)6

∫d3p′ exp

{i! (p − p′) . x

}ϕ(p, t)ϕ∗(p′, t)

=∫

d3p

∫d3p′

(2π!)3δ(3)(p − p′)ϕ(p, t)ϕ∗(p′, t) , (2.18)

wegen∫

d3x exp{

i! (p − p′) . x

}= (2π!)3δ(3)(p − p′) .


d3x |ψ(x, t)|2 =∫

d3p1

(2π!)3|ϕ(p, t)|2


. (2.19)


W (p, t) =1

(2π!)3|ϕ(p, t)|2 . (2.20)



W (p, t) =1

2π! |ϕ(p)|2 =√

2π

d

! exp{−2(p− p0)2 d2/!2} . (2.21)


〈p〉 =∫

dp W (p, t)p =∫

dp W (p, t)(p − p0) +∫

dp W (p, t)p0 = p0


average momentum



ψ(x, t) =∫

d3p

(2π!)3ϕ(p, t) eip.x/! ,


d3x |ψ(x, t)|2

=∫

d3x

∫d3p

(2π!)6

∫d3p′ exp

{i! (p − p′) . x

}ϕ(p, t)ϕ∗(p′, t)

=∫

d3p

∫d3p′

(2π!)3δ(3)(p − p′)ϕ(p, t)ϕ∗(p′, t) , (2.18)

wegen∫

d3x exp{

i! (p − p′) . x

}= (2π!)3δ(3)(p − p′) .


d3x |ψ(x, t)|2 =∫

d3p1

(2π!)3|ϕ(p, t)|2


. (2.19)


W (p, t) =1

(2π!)3|ϕ(p, t)|2 . (2.20)



W (p, t) =1

2π! |ϕ(p)|2 =√

2π

d

! exp{−2(p− p0)2 d2/!2} . (2.21)


〈p〉 =∫

dp W (p, t)p =∫

dp W (p, t)(p − p0) +∫

dp W (p, t)p0 = p0

berechnet werden, und das zugehorige Schwankungsquadrat lautet2.4 Wahrscheinlichkeitsverteilung fur eine Impulsmessung 21

(∆p)2 = 〈(p − p0)2〉 =∫

dp W (p, t)(p − p0)2 =(

!2d

)2

.

Also:

Impulsmittelwert: 〈p〉 = p0 (2.22)Impulsunscharfe: ∆p = !/2d . (2.23)

Zusammen mit (2.16) fuhrt dies zu

∆x∆p =!2

√1 + ∆2 . (2.24)

Gleichung (2.24) stellt einen Spezialfall der allgemeinen Unscharferelation

∆x∆p ≥ !/2

dar. Im gegenwartigen Zusammenhang tritt sie als eine Eigenschaft derFourier-Transformation zutage und bedeutet, daß eine raumlich weit aus-gedehnte Welle einem kleinen Spektrum von Impulswerten entspricht, wo-hingegen scharfe Wellenpakete nur durch ein breites Band von Fourier-Komponenten konstruiert werden konnen, d. h. auch kurzwellige Komponen-ten enthalten. Die allgemeine Herleitung hierzu werden wir an spaterer Stellefuhren.

2.4.1 Veranschaulichung der Unscharferelation

Wir wollen folgendes Gedankenexperiment zur Ortsbestimmung eines Elek-trons anstellen: Das Elektron werde mit Licht der Wellenlange λ beleuchtetund sein Bild durch ein optisches System auf einen Schirm projiziert. Denvereinfachten prinzipiellen Versuchsaufbau zeigt die Abb. 2.4. Der kleinsteAbstand, der mit einem Mikroskop festgestellt werden kann, ist durch seinAuflosungsvermogen d = λ/ sin ϕ gegeben. Die Ungenauigkeit der Lokali-sation des Elektrons ist deshalb ∆x ≈ d = λ/ sin ϕ. Diese Unscharfe kannalso mit kurzwelligerem Licht verkleinert werden. Nun erfahrt das Elektron

Abb. 2.4. Ortsbestimmung mittels eines Mikroskops

=⇒ �p� = p0 , ∆p =�2d

=⇒ ∆x∆p =�2

�1 + ∆2 ≥ �

2special case of uncertainty relation

note that W (p, t) = W (p) is time independent (free particle)

Example I

Example II


durch den Zusammenstoß mit dem Photon aber einen Ruckstoß. Nehmenwir die Extremfalle der moglichen Wege des Photons, so sehen wir, daß dieUnsicherheit der x-Komponenten der Impulse von Elektron und Photon grob

∆px ≈(

2π

λ!)

sinϕ

ist. Deshalb erhalten wir

∆x∆px ≈ 2π! .

Beim beschriebenen Experiment konnen Ort und Impuls gleichzeitig prinzi-piell nicht genauer bestimmt werden als es diese Beziehung erlaubt.

Zwei Zahlenbeispiele mogen die Unscharferelation illustrieren: Die Un-scharferelation gilt auch fur makroskopische Korper. Betrachten wir z. B. einGeschoß der Geschwindigkeit v = 105 cm/sec (Uberschallgeschwindigkeit)und einer Unsicherheit in der Geschwindigkeit von ∆v = 10−2 cm/sec, waseinem ∆p = m × 10−2 cm/sec entspricht. Die Unscharferelation sagt nun,daß die gleichzeitige Ortsbestimmung nur mit einer Unscharfe von

∆x = (1/m) × 102! sec cm−1 ∼= (1/m) × 10−25 g cm

moglich ist, die mit wachsender Masse unbedeutender wird. Selbst bei einerMasse von nur 10−6 kg = 10−3 g ist ∆x ∼= 10−22 cm ∼= 10−14 Atomradien!Anders hingegen fur Elektronen im Atom, fur die

∆p ∼= mv ∼= 10−27 × 1010/137 g cm/sec und ∆x ∼= a ∼= 10−8 cm

(a: Bohrscher Radius) ist, was an die Grenze des durch die Unscharferela-tion Erlaubten stoßt. Da die angegebenen Werte den Dimensionen der un-tersuchten Effekte entsprechen, haben im atomaren Bereich die Unscharfenerhebliche Bedeutung.

2.4.2 Impuls im Ortsraum

Wie wir sahen, kann man Impulsmittelwerte, -unscharfen etc. im Impulsraummit Hilfe der in (2.20) definierten Wahrscheinlichkeitsdichte W (p, t) bestim-men. Lassen sich diese auch im Ortsraum berechnen? Betrachten wir dazuden uns bekannten Mittelwert des Impulses

〈p〉 =∫

d3p

(2π!)3ϕ(p, t)∗p ϕ(p, t) . (2.25)

Fur ϕ(p, t) wird die Fourier-Transformierte eingesetzt und wir erhalten

a: Bohr radius

bullet v = 105cm/sec (supersonic speed)assumption: ∆v = 10−2cm/sec =⇒ ∆p = m × 10−2cm/sec

=⇒ ∆x = 1/m × 102� sec cm−1 ≈ 1/m × 10−25g cm−1

insignificant: mass 10−6kg = 10−3g =⇒ ∆x ≈ 10−22cm ≈ 10−14 atomic radii

Momentum in position space


durch den Zusammenstoß mit dem Photon aber einen Ruckstoß. Nehmenwir die Extremfalle der moglichen Wege des Photons, so sehen wir, daß dieUnsicherheit der x-Komponenten der Impulse von Elektron und Photon grob

∆px ≈(

2π

λ!)

sinϕ

ist. Deshalb erhalten wir

∆x∆px ≈ 2π! .

Beim beschriebenen Experiment konnen Ort und Impuls gleichzeitig prinzi-piell nicht genauer bestimmt werden als es diese Beziehung erlaubt.

Zwei Zahlenbeispiele mogen die Unscharferelation illustrieren: Die Un-scharferelation gilt auch fur makroskopische Korper. Betrachten wir z. B. einGeschoß der Geschwindigkeit v = 105 cm/sec (Uberschallgeschwindigkeit)und einer Unsicherheit in der Geschwindigkeit von ∆v = 10−2 cm/sec, waseinem ∆p = m × 10−2 cm/sec entspricht. Die Unscharferelation sagt nun,daß die gleichzeitige Ortsbestimmung nur mit einer Unscharfe von

∆x = (1/m) × 102! sec cm−1 ∼= (1/m) × 10−25 g cm

moglich ist, die mit wachsender Masse unbedeutender wird. Selbst bei einerMasse von nur 10−6 kg = 10−3 g ist ∆x ∼= 10−22 cm ∼= 10−14 Atomradien!Anders hingegen fur Elektronen im Atom, fur die

∆p ∼= mv ∼= 10−27 × 1010/137 g cm/sec und ∆x ∼= a ∼= 10−8 cm

(a: Bohrscher Radius) ist, was an die Grenze des durch die Unscharferela-tion Erlaubten stoßt. Da die angegebenen Werte den Dimensionen der un-tersuchten Effekte entsprechen, haben im atomaren Bereich die Unscharfenerhebliche Bedeutung.

2.4.2 Impuls im Ortsraum

Wie wir sahen, kann man Impulsmittelwerte, -unscharfen etc. im Impulsraummit Hilfe der in (2.20) definierten Wahrscheinlichkeitsdichte W (p, t) bestim-men. Lassen sich diese auch im Ortsraum berechnen? Betrachten wir dazuden uns bekannten Mittelwert des Impulses

〈p〉 =∫

d3p

(2π!)3ϕ(p, t)∗p ϕ(p, t) . (2.25)

Fur ϕ(p, t) wird die Fourier-Transformierte eingesetzt und wir erhalten


〈p〉 =∫

d3p

(2π!)3

∫d3x′ eip.x′/! ψ∗(x′, t)p

∫d3x e−ip.x/! ψ(x, t)

=∫

d3p

(2π!)3

∫d3x′ eip.x′/! ψ∗(x′, t)

∫d3x

[−!

i∇ e−ip.x/!

]ψ(x, t)

=∫

d3x

∫d3x′ 1

(2π!)3ψ∗(x′, t)

(!i∇ψ(x, t)

)

×∫

d3p exp{

i! (x′ − x) . p

}.

In der vorhergehenden Zeile haben wir unter der Voraussetzung, daß ψ(x) imUnendlichen stark genug abfallt, daß die Randterme also Null sind, partiellintegriert. Benutzen wir, daß das letzte Integral gleich (2π!)3δ3(x′ − x) ist,dann finden wir schließlich

〈p〉 =∫

d3xψ∗(x, t)!i∇ψ(x, t) . (2.26)

Wegen dieses Zusammenhanges bezeichnet man (!/i)∇ als den Impulsope-rator im Ortsraum:

p −→ !i∇ Impulsoperator im Ortsraum . (2.27)

2.4.3 Operatoren und Skalarprodukt

Im vorhergehenden Abschnitt ist uns der erste Fall dafur begegnet, daß in derQuantenmechanik physikalische Großen durch Operatoren dargestellt wer-den. Aus diesem Grund wollen wir hier einige Eigenschaften solcher Objektezusammenstellen. Wir legen den Raum der quadratintegrablen FunktionenL2 (wegen der Normierungsbedingung) zugrunde.

Definition. Ein Operator A ist definiert durch eine Vorschrift so, daß furψ(x) ∈ L2 folgt:

Aψ(x) = ϕ(x) ∈ L2 .

Beispiele:

Aψ = ψ2 +∂

∂xiψ , Aψ = eψψ (nicht linear) .

Definition. A heißt linearer Operator, wenn mit Aψ1 = ϕ1 und Aψ2 = ϕ2

gilt:

A(c1ψ1 + c2ψ2) = c1ϕ1 + c2ϕ2 , (2.28)

wobei c1, c2 komplexe Zahlen sind.


〈p〉 =∫

d3p

(2π!)3

∫d3x′ eip.x′/! ψ∗(x′, t)p

∫d3x e−ip.x/! ψ(x, t)

=∫

d3p

(2π!)3

∫d3x′ eip.x′/! ψ∗(x′, t)

∫d3x

[−!

i∇ e−ip.x/!

]ψ(x, t)

=∫

d3x

∫d3x′ 1

(2π!)3ψ∗(x′, t)

(!i∇ψ(x, t)

)

×∫

d3p exp{

i! (x′ − x) . p

}.

In der vorhergehenden Zeile haben wir unter der Voraussetzung, daß ψ(x) imUnendlichen stark genug abfallt, daß die Randterme also Null sind, partiellintegriert. Benutzen wir, daß das letzte Integral gleich (2π!)3δ3(x′ − x) ist,dann finden wir schließlich

〈p〉 =∫

d3xψ∗(x, t)!i∇ψ(x, t) . (2.26)

Wegen dieses Zusammenhanges bezeichnet man (!/i)∇ als den Impulsope-rator im Ortsraum:

p −→ !i∇ Impulsoperator im Ortsraum . (2.27)

2.4.3 Operatoren und Skalarprodukt

Im vorhergehenden Abschnitt ist uns der erste Fall dafur begegnet, daß in derQuantenmechanik physikalische Großen durch Operatoren dargestellt wer-den. Aus diesem Grund wollen wir hier einige Eigenschaften solcher Objektezusammenstellen. Wir legen den Raum der quadratintegrablen FunktionenL2 (wegen der Normierungsbedingung) zugrunde.

Definition. Ein Operator A ist definiert durch eine Vorschrift so, daß furψ(x) ∈ L2 folgt:

Aψ(x) = ϕ(x) ∈ L2 .

Beispiele:

Aψ = ψ2 +∂

∂xiψ , Aψ = eψψ (nicht linear) .

Definition. A heißt linearer Operator, wenn mit Aψ1 = ϕ1 und Aψ2 = ϕ2

gilt:

A(c1ψ1 + c2ψ2) = c1ϕ1 + c2ϕ2 , (2.28)

wobei c1, c2 komplexe Zahlen sind.

partial integration

Thus: p −→ �i∇ momentum operator in position space

Operators and Scalar Product

p →�i∇ was the first example that physical quantities are represented by operators

Consider some properties of operators.

Function space: : L2 (due to normalisation)

Consider only operators A, for which we have: Let ψ(x) ∈ L2 =⇒ Aψ(x) ∈ L2

A is named linear Operator, if it holds:

let Aψ1 = φ1 , Aψ2 = φ2 =⇒ A(c1ψ1 + c2ψ2) = c1φ1 + c2φ2 mit c1, c2 ∈ C

simple operations with linear operators

cA : cAψ := c(Aψ)

A+ B : (A+ B)ψ = Aψ + Bψ

1 : 1ψ = ψ

0 : 0ψ = 0

Generally, operators are not commutative, AB �= BA

Commutator [A,B] = AB − BA

Examples:�f (x),

∂

∂xj

�ψ = f

∂

∂xjψ −

�∂

∂xjf

�ψ − f

∂

∂xjψ = −

�∂

∂xjf

�ψ

⇒�f (x),

∂

∂xj

�= − ∂

∂xjf (x)

special case: f (x) = xi ⇒�xi ,

∂

∂xj

�= −δij

[xi , xj ] = 0�∂

∂xi,∂

∂xj

�= 0

therefore: basic commutators of position and momentum operators:

[xi , xj ] = 0 ; [pi , pj ] = 0 ; [xi , pj ] = i�δij

Scalarprodukt: φ,ψ ∈ L2

(φ,ψ) :=

�d3x φ∗(x)ψ(x)

properties:

(φ,ψ)∗ = (ψ,φ)

(φ, c1ψ1 + c2ψ2) = c1(φ,ψ1) + c2(φ,ψ2)

(c1φ1 + c2φ2,ψ) = c∗1 (φ1,ψ) + c∗2 (φ2,ψ)

(φ,φ) ≥ 0 ; (φ,φ) = 0 ⇐⇒ φ = 0

Operators in the scalar product (φ,Aψ) =

�dx3 φ∗

(x)Aψ(x)

A† is called “adjoint operator” to A if: (A†φ,ψ) = (φ,Aψ)

i.e.,

�dx3 (A†φ)∗ψ =

�dx3 φ∗Aψ holds for arbitrary φ,ψ

Example: A =∂

∂xi⇒ A†

= − ∂

∂xi

A is called Hermitian (self-adjoint) if A†= A

Example: A =∂2

∂x2i= A†

(AB)† = B†A†, because:

�dx3 ((AB)†φ)∗ψ =

�dx3 φ∗ABψ =

�dx3 (A†φ)∗Bψ =

�dx3 (B†A†φ)∗ψ

Identities (Exercises ???):

[AB ,C ] = A[B ,C ] + [A,C ]B , [A,B]† = [B†,A†

]

Baker - Hausdorff:

eABe−A= B + [A,B] +

1

2![A, [A,B]] + ... where eA =

∞�

k=0

=1

k!Ak

If [[A,B ],A] = 0 = [[A,B ],B ] then:

eAeB = eBeAe [A,B]

eA+B = eAeBe−[A,B]/2

Operators and Schrodinger Equation

plane wave ψ(x, t) = C exp(i(p · x− Et)/�)

momentum: p → �i∇

analog for energy: E → i� ∂

∂t

classical energy-momentum relation for free particles:

E =p2

2m−→ i� ∂

∂tψ = − �2

2m∇2ψ Schrodinger equation for free particles

consider particle in potential V and Hamiltonian

H =p2

2m+ V (x)

E =p2

2m+ V (x) → i

∂

∂tψ =

�− �22m

∇2+ V (�x)

�ψ

=⇒ Schrodinger equation of a particle in a potential V (x)

i� ∂

∂tψ(x, t) = Hψ(x, t) , H = − �2

2m∇2

+ V (x)

Postulates of QM (preliminary version)

1. The state of a system is described by the wave function ψ(x, t).| ψ(x, t) |2 d3x = expresses probability of finding the particle at time t atposition x in d

3x .

2. Quantum mechanically, operators A,B , ... are assigned to the physically mea-surable quantities (observables).

3. Average values of operators ψ(x, t) are given by

�A� =�

d3xψ∗(x, t) A ψ(x, t)

4. Time evolution of the states is governed by the Schrodinger equation:

i� ∂

∂tψ(x, t) = Hψ(x, t) ; H = − �2

2m∇2 + V (x)

Many-Particle Systems

seek Schrodinger equation for system of N particlesstate is described by wave function

ψ(x1, x2, ... , xN , t) , xi coordinates of the ith particle

|ψ(x1, x2, ... , xN , t)|2d3x1d3x2 ... d

3xN = probability to find particle i at time tat position xi in volume d3xi

classical energy

E =p212m1

+p222m2

+ ... +p2N2mN

+ V (x1, x2, ... , xN)

=⇒ Schrodinger equation for N-particle system

i� ∂

∂tψ(x1, ... , xN , t) =

�− �22m1

∇21 − ...− �2

2mN∇2

N + V (x1, x2, ... , xN)

�ψ

∇i = Nabla with respect to xi , i = 1, ... ,N

2.6 Das Ehrenfestsche Theorem 29

i! ∂

∂tψ(x1, x2, . . . ,xN , t)

=[− !2

2m1∇2

1 − . . . − !2

2mN∇2

N + V (x1, . . . ,xN )]ψ . (2.51)

Hier bedeutet ∇i, i = 1, . . . N , den Nabla-Operator bezuglich xi.

2.6 Das Ehrenfestsche Theorem

Die klassische Newtonsche Mechanik muß als Grenzfall in der Quantenmecha-nik enthalten sein. Wir wollen in diesem Abschnitt untersuchen, in welchemSinn dies der Fall ist.

Wir gehen von der Schrodinger-Gleichung und der dazu konjugiert kom-plexen Gleichung aus:

i! ∂

∂tψ = Hψ (2.52a)

−i! ∂

∂tψ∗ = Hψ∗ . (2.52b)

Fur einen linearen Operator A ist der Mittelwert (= Erwartungswert) imZustand ψ definiert durch

〈A〉 =∫

d3xψ∗(x, t)Aψ(x, t) . (2.53)

Dieser andert sich mit der Zeit wie folgt:

d

dt〈A〉 =

∫d3x

(ψ∗Aψ + ψ∗ ∂A

∂tψ + ψ∗Aψ

).

Mit den Gleichungen (2.52a,b) ergibt sich daraus

d

dt〈A〉 =

i! 〈[H, A]〉 +

⟨∂A

∂t

⟩. (2.54)

Bemerkungen:

(i) Hermitizitat von H: Unter der Voraussetzung, daß die Wellenfunk-tionen ψ und ϕ im Unendlichen verschwinden, erhalt man durch zweimaligepartielle Integration

∫d3x

(− !2

2m∇2ψ

)∗ϕ =

∫d3xψ∗

(− !2

2m∇2ϕ

).

Da der Operator V (x) nur vom Ort abhangt, gilt:∫d3x(V ψ)∗ϕ=

∫d3xψ∗V ϕ.


i! ∂

∂tψ(x1, x2, . . . ,xN , t)

=[− !2

2m1∇2

1 − . . . − !2

2mN∇2

N + V (x1, . . . ,xN )]ψ . (2.51)





i! ∂

∂tψ = Hψ (2.52a)

−i! ∂

∂tψ∗ = Hψ∗ . (2.52b)


〈A〉 =∫

d3xψ∗(x, t)Aψ(x, t) . (2.53)


d

dt〈A〉 =

∫d3x

(ψ∗Aψ + ψ∗ ∂A

∂tψ + ψ∗Aψ

).


d

dt〈A〉 =

i! 〈[H, A]〉 +

⟨∂A

∂t

⟩. (2.54)

Bemerkungen:


∫d3x

(− !2

2m∇2ψ

)∗ϕ =

∫d3xψ∗

(− !2

2m∇2ϕ

).


∫d3xψ∗V ϕ.

d

dt�A� =

�d

3x

�ψ∗

A ψ + ψ∗A ψ + ψ∗

A ψ�

=

�d

3x

�i

�Hψ∗Aψ − i

�ψ∗AHψ

�+ �∂A

∂t�


i! ∂

∂tψ(x1, x2, . . . ,xN , t)

=[− !2

2m1∇2

1 − . . . − !2

2mN∇2

N + V (x1, . . . ,xN )]ψ . (2.51)





i! ∂

∂tψ = Hψ (2.52a)

−i! ∂

∂tψ∗ = Hψ∗ . (2.52b)


〈A〉 =∫

d3xψ∗(x, t)Aψ(x, t) . (2.53)


d

dt〈A〉 =

∫d3x

(ψ∗Aψ + ψ∗ ∂A

∂tψ + ψ∗Aψ

).


d

dt〈A〉 =

i! 〈[H, A]〉 +

⟨∂A

∂t

⟩. (2.54)

Bemerkungen:


∫d3x

(− !2

2m∇2ψ

)∗ϕ =

∫d3xψ∗

(− !2

2m∇2ϕ

).


∫d3xψ∗V ϕ.

Ehrenfest Theorem

average value of a linear operator A in state ψ:

temporal change:

Ehrenfest Theorem

classical Newtonian mechanics �= limiting case of QM

but how?

Consider Schrodinger eqn.:

conj. complex:

Remarks:

1. H hermitian in L2

2. Comparison to classical mechanics:generalized momentum position coordinates p, q

equations of motion

d

dtf (p, q, t) = {H, f }+ ∂f

∂t, {g , f } =

∂g

∂p

∂f

∂q− ∂f

∂p

∂g

∂q

Poisson bracket ⇐⇒ commutator

Examples:

[H , xi ]ψ =�

j

p2j

2mxiψ − xi

p2j

2mψ

=1

2m

�

j

pj (pjxiψ)− xip2j ψ

=1

2m

�

j

pj [(pjxi)ψ + xipjψ]− xip2j

�pj =

�i

∂

∂xj

�

=1

2m

�

j

pj

��iδijψ + xipjψ

�− xip

2j ψ

=1

2m

�

j

�iδijpjψ + (pjxi)pjψ + xip

2j ψ − xip

2j ψ

=1

2m

�

j

2�iδijpjψ

= − i�mpiψ =⇒ [H , xi ] = − i�

mpi

[H , pi ] = [V (x),�i

∂

∂xj] = i�∂V

∂xi

insert into Ehrenfest Theorem

d

dt�x� = i

��[H , x]� = 1

m�p�

d

dt�p� = i

��[H ,p]� = −�∇V (x)� = �K(x)� where K = ∇V

=⇒ md2

dt2�x� = �K(x)�

important: this is the average valueand not K(�x�)

Stationary Solutionassumption: H time independent ⇒ separation intotime dependent and spatially dependent part:

ψ (x, t) = f (t)ψ (x) (strange notation)

Plugging into Schrodinger eqn.

i� ∂

∂tψ (x, t) = Hψ (x, t)

⇒ i��

∂

∂tf (t)

�ψ (x) = f (t)Hψ (x)

⇒ i�f (t)

∂

∂tf (t)

� �� depends only on t

=1

ψ (x)Hψ (x)

� �� depends only on x

= E (constant)

⇒ i� ∂

∂tf (t) = Ef (t) ⇒ f (t) = e

−iEt/�

and

Hψ (x) = Eψ (x, t) time independent Schrodinger equation

ψ (x, t) = exp (−iEt/�)ψ (x) are called stationary states,since |ψ (x, t)|2 = |ψ (x)|2 is time independent.

Now consider equation

Hψ (x) = Eψ (x)

This is an eigenvalue equation.

generally: ψ is an eigenfunction for the operator A with eigenvalue a, if

Aψ = aψ

We assume now that A is Hermitian.

Eigenvalues of Hermitian operators are real, since

(ψ,Aψ) = (ψ, aψ) = a(ψ,ψ)

complex conjugate equation

(Aψ,ψ) = (aψ,ψ) = a∗(ψ,ψ)

A Hermitian ⇒ (ψ,Aψ) = (Aψ,ψ) ⇒ a = a∗

Hermitian operators must be assigned to all measurable quantities (observables)

in order that expectation values are real. H,p, x are Hermitian.

Documents

C. Cohen-Tannoudji, B. Diu, F. Laloe, Quanten mechanics 1 & 2 …grauer/lectures/... · 2011. 10. 10. · Literatur: C. Cohen-Tannoudji, B. Diu, F. Laloe, Quanten mechanics 1 & 2