BUDAPESTI MŰSZAKI ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM · Először ábrázoljuk a megadott pontokat (1-es és a 2-es és p). Ha az 1-es és a 2-es pontot felrajzoltuk, összekötjük

BUDAPESTI MŰSZAKI ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM

KÖZLEKEDÉSMÉRNÖKI ÉS JÁRMŰMÉRNÖKI KAR

Járműelemek és Jármű-szerkezetanalízis Tanszék

Jármű- és hajtáselemek I. feladatgyűjtemény

Készítette a JSZT oktatói közössége

Szerkesztette: Maresch Norbert

Visnyei Ábel

Lektorálta: Devecz János

2019

1

A jegyzet változatlan formában, oktatási célra történő felhasználása térítésmentesen meg-engedett.

A jegyzet szövegének és ábráinak részbeni átvétele oktatási célra térítésmentesen meg-engedett, ha az idézett cím, oldalszám, ábraszám az idéző szövegben pontosan meg vanadva.

A jegyzet bármilyen nyomtatott/fénymásolt formában, illetve elektronikus adat formá-ban történő árusítása, ideértve az esetleges sokszorosítási költségek vevő általi térítését,kizárólag a tanszék előzetes, írásos engedélye alapján lehetséges.

(CC) Néhány jog fenntartva, 2019.

2

Tartalomjegyzék

1. Méretezés időben változó terhelésre 41.1. Az időben változó terhelés alapjai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2. Wöhler görbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3. Haigh diagram szerkesztése . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.4. Biztonság szerkesztése a Haigh diagramon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.5. A kifáradási határt befolyásoló tényezők . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.6. Haigh diagram összetett igénybevétel esetén . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.7. Aszimmetrikus terhelés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.8. Számpéldák . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2. Csavarkötések 352.1. Profilátmérők . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.2. A csavarmeneti erők . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.3. Csavar anyagjellemző . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.4. A fej nyomatékigénye . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.5. Csavarkötés méretezése . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.6. Az erőhatás ábra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.7. Lazulás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.8. Számpéldák . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3. Ragasztott kötések 663.1. Összefoglaló . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 663.2. Számpéldák . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

4. Hegesztett kötések 744.1. Acélok hegeszthetősége . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 744.2. Feszültség összetevők . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 744.3. Számpéldák . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

5. Rugalmas kötések (rugók) 875.1. Hengeres csavarrugók . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 875.2. Csavarrugó méretezése . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 875.3. Számpéldák . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

6. Tengelykötések, tengelykapcsolók 916.1. Tengelykialakítások . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 916.2. Alakzáró kötések . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 926.3. Erőzáró kötések . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 936.4. Számpéldák . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

7. Siklócsapágyak 1027.1. Összefoglaló . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1027.2. Számpéldák . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

3

1. Méretezés időben változó terhelésre

1.1. Az időben változó terhelés alapjai

Az időben való terheléseket két fő részre oszthatjuk fel:

• véletlenszerű

• rendszeres → Adott időtartamon belül van benne szabályosság. Alapvetően az állandóközépfeszültségű és állandó amplitúdójú váltakozó terheléssel foglalkozunk.

σmin σmax

σ

tT

A diagramról leolvasható:A terhelés középértéke:

σm =σmax + σmin

2

A terhelés amplitúdója:σa =

σmax − σmin2

Ezeken felül a σmin és a σmax ismeretében bevezethető az aszimmetria tényező (R) fogalma:

R =σminσmax

Az aszimmetria tényezőnek két jellegzetes esete van:

Az első amikor R = −1ezt lengő terhelésnek hívjuk.

σ

t

f

A második amikor R = 0 (zölddel) vagyR = −∞ (pirossal), ez a lüktető terhelés.σ

t

f

4

1.2. Wöhler görbe

lg σD

lg σa

lg N

lg ReH

lg 2 · 106

p = 90%

p = 50%

p = 10%

A Wöhler görbe logaritmikus léptékkel a fent látható módon egyenesként ábrázolható, a való-ságban hiberbola alakja van, amit a következő egyenlettel lehet leírni:

σϕA ·N = allando ϕ : anyagallando

Ha σA < σD −→ nincs törés. σD: kifáradási határ.

1.3. Haigh diagram szerkesztése

A Haigh diagramban a középfeszültség függvényében ábrázoljuk a feszültségamplitúdót, s egy-szerű szerkesztéssel meghatározzuk az anyag/alkatrész biztonsági területét.

1. A vízszintes tengelyen, az adott anyag folyáshatárától (Rp) egyenest húzunk a függőlegestengely felé úgy, hogy a vonal a vízszintes tengellyel 45°-ot zárjon be.

2. A függőleges tengelyen bejelöljük σV -vel a tiszta váltakozó (tiszta lengő) határamplitúdót.

3. Ezután meg kell határozni a felső határ görbe egy pontját:

(a) Bejelöljük a tiszta lüktető határamplitúdót (σA[σM = σA]) mind a két tengelyen. Ezkiad egy pontot amely mind a két tengelytől azonos távolságra lesz.

(b) Másképpen: a felső határgörbe egy pontja kiadódhat egy összetartozó [σM ;σA] ismertértékéből is.

4. Ezt a pontot és a σV -t összekötjük. Ezzel kiadódott az alapanyag biztonsági területe.

σA

σM

45◦

N = all.

RpσA[σM = σA]

σV

A folyáshatárok jelölése:Az Rp jelölést használjuk,ha a folyáshatárról általá-nosságban beszélünk.Konkrét terhelés esetében afolyáshatár jele különbözik aterhelés típusától függően:ReH : húzás-nyomásσF : hajlításτF : nyírás, csavarás

5. Ha a feladat megadja, bejelölhető a függőleges tengelyen az alkatrészre vonatkozó tisztaváltakozó határamplitúdót σV,K .

5

6. Ezt a pontot ha párhuzamosan rajzoljuk a σV -t és (σA[σM = σA]) pontot összekötőegyenessel, megkapjuk az alkatrész biztonsági területét.

σA

σM

45◦

RpσA[σM = σA]

σV

σV,K

7. Ha a σV,K-t és az Rp-t összekötjük, megkapjuk az alkatrész egyszerűsített biztonsági terü-letét.

σA

σM

45◦

RpσA[σM = σA]

σV

σV,K

1.4. Biztonság szerkesztése a Haigh diagramon

Ehhez szükséges a névleges középfeszültség (σm) és a névleges feszültségamplitúdó (σa).Ezeket a következő képpen ábrázoljuk:

σA

σMRp

σV,K

σa

σmO

O′′

O′′′ P

P ′

P ′′

P ′′′

Ebből a biztonsági tényező a következőképpen adódik:

S =OP ′

OP

6

Ha valamelyik terhelés állandó:Ha σm=állandó:

S =O′′P ′′

O′′P= σV,K

(1− σm

Rp

)= Sa

(1− 1

Sm

)Ha σa=állandó:

S =O′′′P ′′′

O′′′P= Sm

(1− 1

Sa

)Az előző kettő alapján, ha σa

σm=állandó:

S =OP ′

OP−→ 1

S=

1

Sa+

1

Sm−→ S =

Sa · SmSa + Sm

1.5. A kifáradási határt befolyásoló tényezők

• a terhelés frekvenciája

• hőmérséklet

• az alkatrész méretének hatása −→ mérettényező: γ

• a felületi érdesség hatása −→ felületi érdesség tényező: κ

• az alkatrész alakja, ezt két tényezővel lehet figyelembe venni:

1. alaktényező, ez csak az alak hatását veszi figyelembe:

Kt =σmaxσnevl

, σmax < ReH

2. gátlástényező, ez az alak és az anyag együttes hatását veszi figyelembe:

Kf =σsima

σbemetszett

Ezek segítségével kifejezhető az érzékenységi tényező, amiben az anyag és az alak hatása is bennevan:

η =Kf − 1

Kt − 1

Ezen tényezőket felhasználva az alkatrész szilárdsága:

σV,K = σV ·γ · κKf,σ

τV,K = τV ·γ · κKf,τ

Figyelem! A gátlástényező σ és τ jellegű terhelésre nem azonos!

Kf,σ 6= Kf,τ

7

1.6. Haigh diagram összetett igénybevétel esetén

Összetett igénybevétel −→ σ és τ jellegű feszültségek együttes jelenléte (azonos periódussal)Lengő terhelés esete:A lengő terhelésről a következőket tudjuk:

• σm, τm = 0

• σmax = −σmin −→ R = −1

• σaτa=állandó

t

σ, τσ

τf

g

Levezethető, hogy: (σvσa

)2

+

(τvτa

)2

= 1 −→ ellipszis egyenlete

Egy kis magyarázat a következő diagramhoz:σV , τV −→ az anyag lengőszilárdsága (hajlítás/húzás, csavarás/nyírás estén) (tiszta váltakozóhatáramplitúdója)σV,K , τV,K −→ az alkatrész lengőszilárdsága (hajlítás/húzás, csavarás/nyírás estén)A piros vonal alatti terület: a biztonsági terület igénybevétel esetén az anyagra.A kék vonal alatti terület: a biztonsági terület összetett igénybevétel esetén az alkatrészre.

τA

σAO

τa

τV,K

τV

σa σV,K σV

P

P ′

Ha σa=állandó:

S =OP ′

OP=SτSσ·√S2σ − 1

8

Ha τa=állandó:

S =OP ′

OP=SσSτ·√S2τ − 1

Ha σaτa=állandó:

S =OP ′

OP−→ 1

S2=

1

S2σ

+1

S2τ

−→ S =Sσ · Sτ√S2σ + S2

τ

1.7. Aszimmetrikus terhelés

• σm, σa, τm, τa 6= 0

• σaτa=állandó

t

σ, τσ

τ

A redukált középfeszültségek meghatározása:

σm,red =√σ2m + a2 · τ2

τm,red =

√σ2m

a2+ τ2

Ahol a értéke a húzó és a csavaró folyáshatár hányadosa:

a =σFτF

A részbiztonsági tényezők:

Sσ,red =ReHσm,red

> 1

Sτ,red =τF

τm,red> 1 −→ τF ≈

ReHa

A teljes diagramhoz kellenek még:

σA,K,red = σV,K ·Sσ,red − 1

Sσ,red

τA,K,red = τV,K ·Sτ,red − 1

Sτ,red

A részbiztonsági tényezők:Sa,σ =

σA,K,redσa

Sa,τ =τA,K,redτa

Ezeket felhasználva a végső biztonsági tényező:

S =Sa,σ · Sa,τ√S2a,σ + S2

a,τ

> 1

9

Biztonsági terület és biztonsági tényező szerkesztése összetett igénybevétel esetén:

ReH

σm,red

τm,redτFτM

τV,K

τV

τA,K,red

σA,K,red σV,K σVτa

σa σA

τA

σM

P

P ′

10

1.8. Számpéldák

1.8.1. Egy alkatrész igénybevétele szinuszosan váltakozó hajlítófeszültség, melynek a kritikuskeresztmetszetben mért legnagyobb névleges értéke 160 MPa, a legkisebb névleges értékepedig 40 MPa. Az alapanyag tiszta váltakozó határamplitúdója 270 MPa. Mekkoránakkell lennie az alapanyag folyáshatárának, ha az alkatrész kifáradással szembeni biztonságitényezőjének megkövetelt értéke 1.6, továbbá az alkatrész mérettényezője 0.8, a felületiérdesség tényezője 0.9 és a gátlástényezője 1.62. Ábrázolja léptékhelyesen az alkatrészegyszerűsített biztonsági területét a megfelelő értékek feltüntetésével!

Megadott adatok

Hajlítófeszültség −→ σσmax=160 MPaσmin=40 MPaAz alapanyag tiszta váltakozó határamplitúdója: σV=270 MPaBiztonsági tényező: S=1.6Mérettényező: γ=0.8Felületi érdesség tényező: κ=0.9Gátlástényező: Kf=1.62Kérdés a hajlító folyáshatár: σF =?

Megoldás

Ha ismert a terhelés minimuma és maximuma, mindig számoljuk ki az amplitúdót és a közép-feszültségt!A terhelés középfeszültsége:

σm =σmax + σmin

2=

160 + 40

2= 100MPa

A terhelés amplitúdója:

σa =σmax − σmin

2=

160− 40

2= 60MPa

A részbiztonsági tényező amplitúdóra:

Sa =γ · κ · σVKf · σa

=0.8 · 0.9 · 270

1.62 · 60= 2

A biztonsági tényező képletéből így már kifejezhető a részbiztonsági tényező középfeszültségre:

S =Sm · SaSm + Sa

−→ Sm =1

1S −

1Sa

=1

11.6 −

12

= 8

Végül a folyáshatárt kifejezhetjük a középfeszültség részbiztonsági tényezőjének a képletéből:

Sm =σFσm−→ σF = Sm · σm = 8 · 100 = 800MPa

Diagram

Léptékhelyes egyszerűsített biztonsági terület, abban az esetben amikor csak egyfajta terhelésvan −→ Haigh diagramA szükséges hozzá még, az alkatrész szilárdsága:

σV,K =γ · κ · σVKf

=0.8 · 0.9 · 270

1.62= 120MPa

11

Az alkatrész egyszerűsített biztonsági területe:σA [MPa]

σM [MPa]σF = 800MPa

σV,K = 120MPa

σa = 60MPa

σm = 100MPaO

P ′

P

1.8.2. Egy 480 MPa folyáshatárú anyaggal σM1=100 MPa és σM2=200 MPa középfeszültsé-gekkel fárasztóvizsgálatot végeztünk. Az első esetben σA1=250 MPa, a második esetbenσA2=200 MPa feszültségamplitúdónál értük el a kifáradási határt. Szerkessze meg Meg-adott adatok alapján az alapanyag biztonsági területét (nem egyszerűsített!). Mekkora abiztonsági tényező értéke az adott anyagból készített gépelemre 150 MPa középfeszültségés 30 MPa feszültségamplitúdó mellett, ha a mérettényező 0.9 a felületi érdességtényező0.95 és a gátlástényező 1.6? A feladatot oldja meg grafikusan is! (A grafikus megoldás-hoz az egyszerűsített biztonsági területet használja!)

Megadott adatok

A folyáshatár: ReH=480 MPaMérettényező: γ=0.9Felületi érdesség tényező: κ=0.95Gátlástényező: Kf=1.6Középfeszültség: σm=150 MPaAmplitúdó: σa=30 MPa

Az első fárasztóvizsgálat (ez lesz az "1" pont)Középfeszültség: σM1=100 MPaAmplitúdó: σA1=250 MPaA második fárasztóvizsgálat (ez lesz a "2" pont)Középfeszültség: σM2=200 MPaAmplitúdó: σA2=200 MPa

Kérdés a biztonsági tényező!

Megoldás

Mivel a biztonsági tényező a kérdés, kezdésként felírjuk a részbiztonsági tényezőket, és ellenőriz-zük, hogy ezek kiszámolásához minden adat adott-e?

A részbiztonsági tényező középfeszültségre:

Sm =ReHσm

A részbiztonsági tényező amplitúdóra:

Sa =σV,Kσa

Mivel nincs meg minden adat a részbiztonsági tényezők kiszámításához (hiányzik az anyag tisztaváltakozó határamplitúdója (σV ), és az ebből kifejezhető alkatrész tiszta váltakozó határampli-túdója (σV,K)), ezért felrajzoljuk a Haigh diagramot léptékhelyesen:Először ábrázoljuk a megadott pontokat (1-es és a 2-es és p). Ha az 1-es és a 2-es pontotfelrajzoltuk, összekötjük és a vonalat folytatjuk amíg az egyik irányban eléri a σA tengelyt, amásik irányban pedig az ReH pontból húzott 45°-os egyenest. Ahol ez a vonal metszi a σAtengelyt, az a σV pont, amit leolvasunk.

12

σA [MPa]

σM [MPa]ReH =

480MPa

σV,K = 160MPa

σa = 30MPa

σm =

150MPa

O

P ′

P

σM

1 =100M

Pa

σM

2 =200M

Pa

σA1 = 250MPa

σA2 = 200MPa

1

2

σV = 300MPa

Most, hogy tudjuk az anyag tiszta váltakozó határamplitúdóját (σV = 300MPa), kiszámolhatjukaz alkatrészét is:

σV,K = σV ·γ · κKf

= 300 · 0.9 · 0.95

1.6= 160MPa

Innentől minden megvan a részbiztonsági tényezők számolásához:

Sm =ReHσm

=480

150= 3.2 Sa =

σV,Kσa

=160

30= 5.33

Az eredő biztonsági tényező:

S =Sm · SaSm + Sa

=3.2 · 5.33

3.2 + 5.33= 2

Ugyanez szerkesztéssel: Az előbb kiszámoltuk a σV,K pontot. Ezt összekötjük az ReH ponttal.Így már szerkeszthető a P’ pont.

S =OP ′

OP= 2

1.8.3. Számítsa ki annak a reteszhoronynak a gátlástényezőjét, amelynek érzékenységi tényezője0.85, a reteszhorony sarkánál ébredő (csavaró) feszültségcsúcs értéke 120 MPa, továbbáa számított névleges csavarófeszültség 38 MPa!

Megadott adatok

Érzékenységi tényező: η=0.85τmax=120 MPaτnevl=38 MPa

Megoldás

A gátlástényező kiszámításához hiányzik az alaktényező:

Kt =τmaxτnevl

=120

38= 3.16

Innen az érzékenységi tényező képletéből kifejezhető a gátlástényező:

η =Kf − 1

Kt − 1−→ Kf = 1 + η(Kt − 1) = 1 + 0.85 · (3.16− 1) = 2.83

13

1.8.4. Egy tengelyváll terhelése állandó amplitúdójú szinuszos váltakozással írható le. Mekko-ra a tengelyváll keresztmetszetében ébredő legkisebb és legnagyobb hajlító feszültség, haa tengely az ábrán megadott biztonsági területtel jellemzett anyagból készült, továbbátudjuk, hogy a feszültségamplitúdó részbiztonsági tényezője 4, és a megkívánt eredő biz-tonsági tényező 2.4. Az alkatrész mérettényezője 0.8, a felületi érdességtényezője 0.9, agátlástényezője 1.6. Rajzolja be a megadott ábrába a terhelés időbeni lefutását!

Ábra

100 200 300 400 500 600

−400

−300

−200

−100

100

200

300

400

500

600

σM[MPa]

σmax [MPa]

σmax = 145MPa

σmin = 55MPa

Megadott adatok

Az eredő biztonsági tényező: S=2.4A részbiztonsági tényező amplitúdóra: Sa=4Mérettényező: γ=0.8Felületi érdesség tényező: κ=0.9Gátlástényező: Kf=1.6

Az ábráról leolvasott adatok

Folyáshatár: σF=600 MPaAz anyag tiszta váltakozó határamplitúdója:σV=400 MPa

Megoldás

Az eredő biztonsági tényezőt az amplitúdó rész-biztonságából és a középfeszültség részbiztonsá-gi tényezőjéből számolhatjuk, ebből tehát meg-van adva az eredő biztonsági tényező és a biz-tonsági tényező amplitúdóra −→ átrendezzükaz egyenletet a feszültségi biztonsági tényezőre:

S =Sa · SmSa + Sm

−→ Sm =Sa · SSa − S

=4 · 2.44− 2.4

= 6

Ahhoz, hogy ábrázolhassuk a terhelés időbeni lefutását, ismerni kell a feszültség amplitúdóját(σa) és középfeszültségét (σm):

σm =σFSm

=600

6= 100MPa

σa =γ · κ · σVSa ·Kf

=0.8 · 0.9 · 400

4 · 1.6= 45MPa

Nem feltétlenül szükséges, de az ábra rajzolását megkönnyítendő, kiszámolhatjuk a minimális ésmaximális feszültségeket:

σmax = σm + σa = 100 + 45 = 145MPa

σmin = σm − σa = 100− 45 = 55MPa

σmax = 145MPa

σmin = 55MPa

σa = 100MPa

σ

t

Ezt végezetül vissza kell rajzolni a megadott ábrába!

14

1.8.5. Egy alkatrész terhelése szinuszos váltakozással leírható hajlítófeszültség, melynek közepesértéke 60 MPa. Határozza meg a megengedhető feszültségamplitúdót ha az alkatrészaz ábra szerinti biztonsági területtel jellemzett anyagból készül. Az alkatrész megkívántbiztonsági tényezője 1.8, gátlástényezője 1.6, mérettényezője 0.9 és felületi érdesség té-nyezője 0.95. A megoldást grafikusan ellenőrizze a megadott ábrán a szükséges értékekbejelölésével!

Ábra

100 200 300 400

100

200

σA [MPa]

σM[MPa]

Megadott adatok

A középfeszültség: σm= 60 MPaEredő biztonsági tényező: S=1.7Mérettényező: γ=0.9Felületi érdesség tényező: κ=0.95Gátlástényező: Kf=1.6


Az anyag tiszta váltakozó határamplitúdója:σV ≈220 MPaAz anyag folyáshatára: σF=400 MPa

Megoldás

Mindenekelőtt szükségünk van a részbiztonsági tényezőkre: Először számoljuk ki a középfeszült-ségre vonatkozó részbiztonsági tényezőt, mert ahhoz minden adat adott:

Sm =σFσm

=400

60= 6.67

Ezután számolható az amplitúdóra vonatkozó részbiztonsági tényező:

S =Sa · SmSa + Sm

−→ Sa =Sm · SSm − S

=6.67 · 1.86.67− 1.8

= 2.46

Kiszámítandó még az alkatrész tiszta váltakozó határamplitúdója:


=0.9 · 0.95 · 220

1.6= 117.56MPa

Ezek ismeretében már számolható a megengedhető feszültségamplitúdó:

Sa =σV,Kσa−→ σa =

σV,KSa

=117.56

2.46= 47.67MPa

Grafikus ellenőrzésσA [MPa]

σM [MPa]

σV

σV,K

σa

O σm σF

P

P ′

S =OP ′

OP≈ 1.8

15

1.8.6. Szerkessze meg annak az acélnak a léptékhelyes Smith diagramját hajlításra, mely azalábbi határállapoti jellemzőkkel rendelkezik: folyáshatár 285 MPa, a tiszta váltakozóhatáramplitúdó 170 MPa, határamplitúdó adott középfeszültséghez σA(σM = 100)=140MPa. Jelölje be az ábrába a megadott feszültségeket is!

Megadott adatok

A folyáshatár: σF=285 MPaA tiszta váltakozó határamplitúdó: σV=170 MPaHatáramplitúdó adott középfeszültséghez: σA(σM = 100)=140 MPa

A szerkesztés lépései

1. Mind a két tengelyen felvesszük a folyáshatárt. Ebből kapunk egy négyzetet.

2. A kapott négyzet jobb felső sarkát (aminek ebben az esetben a C pont (285,285) a koordi-nátákkal) összekötjük az O ponttal.

3. A vízszintes tengelyen felvesszük a σm-et, és húzunk egy függőleges vonalat.

4. Ez a vonal az OC szakaszt az A2 pontban metszi.

5. Az A2 ponttól függőlegesen lefele és felfele is lemérjük a σa= 140 MPa-t. Így megkapjukaz A1 és A3 pontokat.

6. A függőleges tengelyeken bejelöljük a σV és összekötjük az előbb kapott A1 ponttal, ezta szakaszt addig húzzuk, amíg nem metszi a folyáshatárt. Így megkaptuk a B1 pontot.Ebből a pontból húzunk lefelé egy függőleges vonalat.

7. A −σV -t összekötjük az A3 ponttal. Ezt a vonalat addig folytatjuk, amíg nem metszi azelőbb a B1 pontból rajzolt függőleges vonalat. Ahol metszik egymást, lesz a B2 pont.

8. Végezetül ezt a B2 pontot összekötjük a C ponttal.

45°

O

σm

σF = 285MPa

σV = 170MPa

−σV = −170MPa

σmax, σmin [MPa]

σM [MPa]

A1

A2

A3

B1 C

B2

16

1.8.7. Határozza meg az ábra szerinti biztonsági területtel jellemzett anyagból készült tengelybiztonsági tényezőjét számítással és szerkesztéssel, ha a tengely terhelése azonos fázisú ésfrekvenciájú szinuszosan váltakozó tiszta lengő hajlítás és tiszta lengő csavarás. A kritikuskeresztmetszetben ébredő legnagyobb névleges hajlítófeszültség 40 MPa, a legnagyobbnévleges csavarófeszültség 30 MPa. A gátlástényező értéke hajlításra 2.2, csavarásra2.16. A mérettényező 0.8, a felületi érdességtényező 0.9.

Ábra

100 200 300 400

100

200

σA, τA [MPa]

σM , τM

[MPa]

σ

τ

Megadott adatok

A legnagyobb névleges hajlítófeszültség:σa=40 MPaA legnagyobb névleges csavarófeszültség:τa=30 MPaMérettényező: γ=0.8Felületi érdesség tényező: κ=0.9Gátlástényező hajlításra: Kf,σ=2.2Gátlástényező csavarásra: Kf,τ=2.16


Az anyag tiszta váltakozó határamplitúdója hajlításra: σV=220 MPa, csavarásra: τV=180 MPa

Megoldás

Minden adott az alkatrész tiszta váltakozó határamplitúdójainak számolásához:

σV,K =γ · κ · σVKf,σ

=0.8 · 0.9 · 220

2.2= 72MPa

τV,K =γ · κ · τVKf,τ

=0.8 · 0.9 · 180

2.16= 60MPa

A biztonsági tényező számításához szükségünk van mind a hajlító, mind a csavaró részbiztonságitényezőkre:

Sσa =σV,Kσa

=72

40= 1.8 Sτa =

τV,Kτa

=60

30= 2

Itt semmiképpen se felejtsük el, hogy összetett terhelésről szól a feladat, tehát itt nem az lesza biztonsági tényező eredője, hogy a számlálóban összeszorozzuk, nevezőben pedig összeadjuk arészbiztonsági tényezőket! Összetett terhelés esetén az eredő biztonsági tényező a következőkép-pen számítható:

S =Sσa · Sτa√S2σa + S2

τa

=1.8 · 2√1.82 + 22

= 1.33

τa = 30MPa

σa = 40MPa

σV,K = 72MPa

σA [MPa]O

τV,K = 60MPa

τA [MPa]

P

P ′

Grafikus megoldás

A biztonsági tényező szerkesztése:

S =OP ′

OP≈ 1.34

17

1.8.8. Egy tengelyváll terhelése állandó szinuszos váltakozással modellezhető. A tengelyváll ke-resztmetszetében ébredő legnagyobb névleges hajlítófeszültség 130 MPa, a legkisebb pe-dig 70 MPa. A tengely az ábrán megadott biztonsági területtel jellemzett anyagból ké-szül. Milyen felületi érdességet (Ra) kell előírni, ha az érdességi tényező az alábbiak szerintváltozik: κ = 1− 0.011 ·Ra. A tengelyváll mérettényezője 0.7, gátlástényezője 2.1 és amegkívánt biztonsági tényező 2.5. Rajzolja be az ábrába a névleges feszültségváltozást!

Ábra

100 200 300 400 500 600

−400

−300

−200

−100

100

200

300

400

500

600

σM[MPa]

σmax [MPa]

σmax = 130MPa

σmin = 70MPa

Megadott adatok

Legnagyobb hajlító feszültség: σmax=130 MPaLegkisebb hajlítófeszültség: σmin=70 MPaEredő biztonsági tényező: S=2.5Mérettényező: γ=0.7Gátlástényező: Kf=2.1


Folyáshatár: σF=600 MPaAz anyag tiszta váltakozó határamplitúdója:σV=400 MPa

Megoldás

Ha meg van adva a terhelés maximuma és mi-nimuma, mindig számítsuk ki az amplitúdót ésa középfeszültséget!

σm =σmax + σmin

2=

130 + 70

2= 100MPa


2=

130− 70

2= 30MPa

A középfeszültség részbiztonsági tényezőjéhez minden ismert:

Sm =σFσm

=600

100= 6

Az amplitúdó részbiztonsági tényezőt, az eredő biztonsági tényezőből fejezhetjük ki:

S =Sa · SmSa + Sm

−→ Sa =Sm · SSm − S

=6 · 2.56− 2.5

= 4.29

Mivel kiszámoltuk az amplitúdó részbiztonsági tényezőt, minden adat adott felületi érdességtényezőhöz:

Sa =σV,Kσa

=γ · κ · σVσa ·Kf

−→ κ =Sa ·Kf · σaγ · σV

=4.29 · 2.1 · 30

0.7 · 400= 0.965

Így már vissza lehet helyettesíteni a a megadott összefüggésbe:

κ = 1− 0.011 ·Ra −→ Ra =1− κ0.011

=1− 0.965

0.011= 3.18

Tehát Ra=3.2-t kell előírni! Végezetül a terhelést felrajzolni az ábrába (ez van kékkel)!

18

1.8.9. Kísérleti eredmények alapján egy anyag Rs = −1 aszimmetria tényezővel felvett Wöhler-görbéje σ0.76 · N = 1.53 · 108 összefüggéssel, az Rs = 0 aszimmetria tényezővel felvettgörbéje a σ0.58 · N = 5.26 · 107 összefüggéssel írható le. Rajzolja meg az anyag Haigh-diagramját, ha a folyáshatár 600 MPa.

Megadott adatok

Wöhler görbe kitevő (1. eset): ϕ1=0.76Wöhler görbe kitevő (2. eset): ϕ2=0.58Wöhler görbe konstans (1. eset): K1 = 1.53 · 108

Wöhler görbe konstans (2. eset): K2 = 5.26 · 107

A végtelen élettartamhoz tartozó ciklusszám: N = 2 · 106

Folyáshatár: σF=600 MPa

Megoldás

Kezdésként a írjuk fel a Wöhler görbe egyenletét:

σϕA ·N = K −→ allando

Ebből a σ ismeretlen csak:

σϕA ·N = K −→ σA =ϕ

√K

N

A kapott egyenletbe kétszer kell visszahelyettesíteni, mivel két mérési eredményünk van.1. eset:Rs = −1, lengő igénybevétel esetén a feszültségamplitúdó azonos a kifáradási határamplitúdóval,azaz σA1 = σV és σM1 = 0:

σA1 = σV =ϕ1

√K1

N=

0.76

√1.53 · 108

2 · 106= 300.955MPa

2. eset:Rs = 0, lüktető igénybevétel esetén a középfeszültség azonos a kapott feszültségamplitúdóval,azaz σM2 = σA2:

σA2 =ϕ2

√K2

N=

0.58

√5.26 · 107

2 · 106= 280.672MPa

A Haigh diagram ezekkel a pontokkal már megrajzolható:

100 200 300 400 500 600 700

50

100

150

200

250

300

350 σA [MPa]

σM [MPa]45◦

σFσA2 [σM2 = σA2]

σA2 [σM2 = σA2]

σV

19

1.8.10. Határozza meg az ábrán látható kifáradási biztonsági területtel rendelkező anyagból ké-szült alkatrésznek a biztonsági tényezőjét, amelynek 1.8 gátlástényezővel, 0.82 érdesség-tényezővel és 0.76 mérettényezővel jellemezhető veszélyes keresztmetszetében 40 ± 80MPa szinuszosan változó hajlítófeszültség ébred!

Megadott adatok

Gátlástényező: Kf = 1.8Érdességtényező: κ = 0.82Mérettényező: γ = 0.76Középfeszültség: σm = 40MPaAmplitúdó: σa = 80MPa

Ábráról leolvasott adatok

Tiszta váltakozó határamplitúdó:σV = 550MPaFolyáshatár hajlításra: σF = 1070MPa

Megoldás

A diagramról mindenképpen a hajlításra vo-natkozó folyáshatárt, valamint a tiszta váltako-zó határamplitúdót olvassuk le, mivel a feladatszerint az alkatrészben hajlítófeszültség ébred.A középfeszültség részbiztonsági tényezője:

Sm =σFσm

=1070

40= 26.75

Az amplitúdó részbiztonsági tényező számításához először szükség van a alkatrészre vonatkozótiszta váltakozó határamplitúdó számításához:

σV,K = σV ·γ · κKf

= 550 · 0.76 · 0.82

1.8= 190.42MPa

Sa =σV,Kσa

=190.42

80= 2.38

A két részbiztonsági tényező ismeretében már számítható az eredő biztonsági tényező:

S =Sm · SaSm + Sa

=26.75 · 2.38

26.75 + 2.38= 2.186

20

1.8.11. Egy tengelycsonk kritikus keresztmetszetében ébredő feszültségek: σa(σm = 0) = 40MPa,τa(τm = 0) = 20 MPa. A tengelycsonk anyagának hajlító lengőszilárdsága 184 MPa,csavaró lengőszilárdsága 125 MPa. A tengelycsonk kialakítása miatt a mérettényező0.8, az érdességtényező 0.9, a gátlástényező hajlításra 2.1, csavarásra 2.7. Rajzolja fela tengelycsonknak és a tengelycsonk anyagának biztonsági területét, továbbá határozzameg a biztonsági tényezőt!

Megadott adatok

Hajlító amplitúdó: σa=40 MPaCsavaró amplitúdó: τa=20 MPaTiszta váltakozó határamplitúdó (lengőszilárdság) hajlításra: σV 184 MPaTiszta váltakozó határamplitúdó (csavarószilárdság) csavarásra: τV= 125 MPaMérettényező: γ=0.8Érdességtényező: κ=0.9Gátlástényező hajlításra: Kf,σ=2.1Gátlástényező csavarásra: Kf,τ=2.7

Megoldás

Az eredő biztonsági tényező részbiztonsági tényezőihez először szükség van az alkatrész tisztaváltakozó határamplitúdójára hajlításra és csavarásra is:


= 184 · 0.8 · 0.92.1

= 63.083MPa


= 125 · 0.8 · 0.92.7

= 33.333MPa

Ezek segítségével meghatározhatóak a részbiztonsági tényezők:

Sσ =σV,Kσa

= 1.577

Sτ =τV,Kτa

= 1.667


S =Sσ · Sτ√S2σ + S2

τ

=1.577 · 1.667√1.5772 + 1.6672

= 1.146

τa = 20MPa

σa =

40MPa

σV,K =

63MPa

σA [MPa]

O

τV,K =

33.33MPa

τA [MPa]

PP ′

σv = 184MPa

τv = 125MPa

21

1.8.12. Rajzolja le annak az anyagnak a Smith és Haigh-féle kifáradási biztonsági területét,amelyről tudjuk, hogy folyáshatára 285 MPa, továbbá, hogy a szabványos próbatestek-kel végzett fárasztóvizsgálatok során 180 MPa középfeszültségnél 60 MPa feszültségamplitúdónál, valamint 90 MPa középfeszültségnél 80 MPa amplitúdónál értük el a2 · 106 ciklusszámot.

Megadott adatok

Adatok a fárasztóvizsgálat alapján:

Az első mérésből:σM1=180 MPaσA1=60 MPa

A második mérésből:σM2=90 MPaσA2=80 MPa

Folyáshatár: σF=285 MPaA végtelen élettartamhoz tartozó ciklusszám: N = 2 · 106

Megoldás

A végtelen élettartamhoz tartozó ciklusszámhoz megadott N érték alapján tudjuk, hogy a meg-adott feszültségamplitúdók és középfeszültségek a határesetek, tehát a biztonsági terület szélénhelyezkednek el!

Haigh diagram:

1. A feszültségamplitúdókat felvesszük a függőleges tengelyre, a középfeszültségeket és a fo-lyáshatárt pedig a vízszintes tengelyre.

2. A folyáshatárból a függőleges tengely felé húzunk egy egyenest úgy, hogy a vízszintestengellyel az 45◦-t zárjon be.

3. A feszültségamplitúdók és középfeszültségek metszéspontjait összekötjük, és a kapott sza-kaszt mind a két irányba meghosszabbítjuk. Balra addig amíg nem metszi a függőlestengelyt, jobbra addig amíg nem metszi a folyáshatárból húzott egyenest.

4. A kiadódott terület az anyag Haigh-féle biztonsági területe.

20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300 320 340

20

40

60

80

100

120 σA [MPa]

σM [MPa]

σF

45◦

σM1σM2

σV

σA2

σA1

Smith diagram:

1. A folyáshatárt felvesszük mind a két tengelyen. Ebből a két pontból húzunk egyenest, amígnem metszik egymást. Az így kapott pont lesz a D pont.

2. A koordináta rendszer origóját összekötjük a D ponttal. Az így kapott szakasz 45°-ot zárbe a függőleges és vízszintes tengellyel is. Ez az OD szakasz.

22

3. A vízszintes tengelyen felvesszük a megadott középfeszültségeket és ezekből a pontokbólfelfelé húzunk egy-egy egyenest, amíg nem metszik a OD szakaszt. Ezek lesznek a B és Cpontok.

4. Az előbb kapott B ponttól felfelé és lefelé is húzunk egy σA2 hosszúságú szakaszt. A felfeléhúzott szakasz végén lesz a B2 pont, a lefelé húzott szakasz végén pedig a B3 pont.

5. A C pontból ugyanígy σA1 hosszúságú szakaszt húzunk. Itt a felső szakasz végén lesz a C2

pont, a lefelé húzott szakasz végén pedig a C3 pont.

6. Összekötjük a B2 és C2 pontokat. Az így kapott szakaszt meghosszabbítjuk mind a kétirányba. Jobbra addig, amíg nem metszi folyáshatárt. Ez lesz az E pont. Az E pontbólhúzunk egy függőleges vonalat lefelé. Balra pedig a függőleges tengelyig. Ez lesz a tisztaváltakozó határamplitúdó: σV

7. Hasonlóan az előbbihez: összekötjük a B3 és C3 pontokat. Az így kapott szakaszt meg-hosszabbítjuk mind a két irányba. Jobbra addig, amíg nem metszi az előbb húzott függő-leges vonalat az E pontból. Ahol ezek metszik, az lesz az F pont. Balra értelemszerűen afüggőleges tengelyig. Ahol, ha a szerkesztés pontos −σV -nek kell kijönnie.

8. Végül az E pontot összekötjük a D-vel, a D pontot pedig az F ponttal. Így kiadódott azanyag Smith-diagramja.

50 100 150 200 250 300 350

−100

−50

50

100

150

200

250

300

σM2 σM1 σF

σM [MPa]

σmax, σmin [MPa]

σF

σV

−σV

σA2

σA2

σA1

σA1

O

B

C

D

B2

B3

C2

C3

E

F

23

1.8.13. Határozza meg a tengelycsonk kritikus keresztmetszetének biztonsági tényezőjét, ha atengelycsonkra ható csavarónyomaték ±35 Nm és a tengelycsonkot terhelő erő ±1200N. A tengelyváll gátlástényezője hajlításra 1.7, csavarásra 1.9, az érdességtényezője 0.9és mérettényezője 0.8. Az erő támadáspontja a tengelyválltól 20 mm-re van.

Ábra

100 200 300 400

100

200

σA, τA [MPa]

σM , τM

[MPa]

σ

τ

Megadott adatokCsavarónyomaték: T=35 NmTerhelő erő: F=1200 NErő támadáspontja a tengelyválltól: l=20 mmGátlástényező hajlításra: Kf,σ=1.7Gátlástényező csavarásra: Kf,τ=1.9Érdességtényező: κ=0.9Mérettényező: γ=0.8


Az anyag tiszta váltakozó határamplitúdójahajlításra: σV=220 MPa, csavarásra:τV=180 MPad=24 mm

Szilárdságtan

A tengely keresztmetszeti tényezőjének (K) és poláris keresztmetszeti tényezőjének (Kp) számí-tása:

K =d3 · π

32= 1357.168mm3

Kp =d3 · π

16= 2714.336mm3

Megoldás

A keresztmetszeti tényező segítségével kifejezzük σa-t

σa =F · lK

= 17.684MPa

A poláris keresztmetszeti tényező segítségével pedig a τa-t fejezzük ki:

τa =T

Kp= 12.894MPa

Ezekből már kifejezhető az alkatrész váltakozó határamplitúdói:


= 93.176MPa


= 68.211MPa

Ezek segítségével meghatározhatóak a részbiztonsági tényezők:

Sσ =σV,Kσa

= 5.269

24

Sτ =τV,Kτa

= 5.29


S =Sσ · Sτ√S2σ + S2

τ

= 3.733

1.8.14. Acél próbatestekkel végzett fárasztóvizsgálatok során: 50 MPa középfeszültségen 210MPa feszültség amplitúdónál és 100 MPa középfeszültségen 200 MPa feszültség amp-litúdónál adódott a kifáradási határ. Mekkora az acél folyáshatára, ha az adott anyagbólkészített alkatrészre a 80+55sin(ωt) [MPa] húzófeszültséggel szembeni biztonság 1.5! Amérettényező 0.9, a felületi érdességi tényező 0.9 és a gátlástényező 1.62. Rajzolja megaz alapanyag és az alkatrész léptékhelyes Haigh diagramját és végezze el a méretezéstgrafikusan is! (A grafikus megoldáshoz használja az egyszerűsített biztonsági területet!)

Megadott adatok

Eredő biztonsági tényező: S=1.5Középfeszültség: σm=80 MPaAmplitúdó: σa=55 MPaMérettényező: γ=0.9Érdesség tényező: κ=0.9Gátlástényező: Kf=1.62

Adatok a fárasztóvizsgálat alapján:

Az első mérésből:σM1=50 MPaσA1=210 MPaA második mérésből:σM2=100 MPaσA2=200 MPa

Mindenekelőtt rajzoljuk fel a megadott pontok alapján az ábrát:σA [MPa]

σM [MPa]

σa = 55MPa

σm

=80M

Pa

O

P

σM

1 =50M

Pa

σM

2 =100M

Pa

σA1 = 210MPaσA2 = 200MPa

12σV

Ez mindenek előtt azért fontos, mert az ábráról leolvashatjuk az anyag tiszta váltakozó hatá-ramplitúdóját (σV ), ha az 1-2 pontokat összekötjük, és a szakaszt tovább rajzoljuk a σA tengelyirányába. A másik irányba továbbrajzolva ezt a szakaszt, majd az ReH -ból húzott 45-os egye-nessel lesz metszéspontja, de ReH ismeretének a hiányában ez még ismeretlen.A σV értéke matematikailag is meghatározható lineáris interpolációval:

σV = σA2 + σM2 ·σA1 − σA2

σM2 − σM1= 220MPa

25

Miután megvan a anyag tiszta váltakozó határamplitúdója, számítható az alkatrész tiszta válta-kozó határamplitúdója:


= 110MPa

Ezzel már számítható a részbiztonsági tényező amplitúdóra:

Sa =σV,Kσa

= 2

Az amplitúdó részbiztonsági tényezőjének és az eredő biztonságtényező ismeretében számíthatóa középfeszültség részbiztonsági tényezője:

S =Sa · SmSa + Sm

−→ Sm =S · SaSa − S

= 6

Ennek ismeretében pedig már számítható a folyáshatár:

Sm =ReHσm−→ ReH = Sm · σm = 480MPa

Grafikus megoldás

Az előbb felrajzolt grafikonhoz képest, már ismerjük a σV,K és az ReH értékét. Ezek ismere-tében már megrajzolható az alkatrész egyszerűsített biztonsági területe. A biztonsági tényezőtgrafikusan meghatározzuk úgy, hogy az origót és a σa és σm metszéspontját összekötő szakaszttovábbhúzzuk az alkatrész egyszerűsített biztonsági területének határáig.

Sgrafikus =OP ′

OP≈ 1.5

σA [MPa]

σM [MPa]ReH =

480MPa

σV,K = 110MPa

σa = 55MPa

σm

=80M

Pa

O

P ′

P

σM

1 =50M

Pa

σM

2 =100M

Pa

σA1 = 210MPaσA2 = 200MPa

12σV

26

1.8.15. Egy alkatrész igénybevétele az ábra szerinti állandó amplitúdójú szinuszosan váltako-zó húzófeszültség. Az alapanyag tiszta váltakozó (tiszta lengő) határamplitúdója 400MPa. Határozza meg az alapanyag folyáshatárát, ha az alkatrész kifáradással szembenibiztonsági tényezője 1.6, az alkatrész mérettényezője 0.8, a felületi érdesség tényező-je 0.9 és a gátlástényezője 2.4! Végezze el léptékhelyes ábrán a grafikus méretezést isaz alkatrész egyszerűsített biztonsági területének felhasználásával és a megfelelő értékekfeltüntetésével!

160MPa

40MPa

σ

t

Megadott adatok

Tiszta váltakozó határamplitúdó:σV=400 MPaMérettényező: γ=0.8Érdességtényező: κ=0.9Gátlástényező: Kf=2.4Biztonsági tényező: S=1.6σmax=160 MPaσmin=40 MPa

Megoldás

A σmax és σmin ismeretében mindig a középfeszültséget az és amplitúdót számoljuk ki először!

σm =σmax + σmin

2= 100MPa


2= 60MPa

Mivel ismert az anyag tiszta váltakozó határamplitúdója, a tényezők segítségével számítható azalkatrész tiszta váltakozó határamplitúdója:


= 120MPa

Ebből már meghatározható a feszültségamplitúdó részbiztonsági tényezője:

Sa =σV,Kσa

= 2

Ismert a feszültségamplitúdó részbiztonsági tényezője, és az eredő részbiztonsági tényező, teháta középfeszültség részbiztonsági tényezőjét ezekkel kifejezhetjük:

S =Sm · SaSm + Sa

−→ Sm =Sa · SSa − S

= 8

A középfeszültség részbiztonsági tényezőjének másik képletéből kifejezhető a folyáshatár:

Sm =ReHσm−→ ReH = Sm · σm = 800MPa

σA [MPa]

σM [MPa]ReH = 800MPa

σV,K = 120MPa

σa = 60MPa

σm = 100MPaO

P ′

P

Grafikus megoldás −→ Az alkatrész egysze-rűsített biztonsági területe:

S =OP ′

OP≈ 1.6

27

1.8.16. Az ábrán látható alkatrész terhelése állandó amplitúdójú szinuszos váltakozású húzás:F (t) = 2400 + 950sin(ωt) N. Határozza meg az alkatrész "1"-jelű furattal gyengítetta kifáradással szembeni biztonsági tényezőt, ha az alkatrész anyagának tiszta váltakozóhatáramplitúdója 160 MPa, folyáshatára 240 MPa. A heveder méretei: b=20 mm,v=5 mm, d=10 mm. Az alkatrész mérettényezője 0.9, felületi érdesség tényezője 0.95és a gátlástényezője 2.4. Végezze el a méretezést grafikusan is megfelelő ábra készítésével!

Megadott adatok

Tiszta váltakozó határamplitúdó: σV=160 MPaFolyáshatár: ReH=240 MPaMérettényező: γ=0.9Érdességtényező: κ=0.95Gátlástényező: Kf=2.4

A heveder méretei:b=20 mm, v=5 mm, d=10 mm

A terhelő erők:A közepes húzóerő: Fm=2400 NA húzóerő amplitúdó: Fa=950 N

Megoldás

A húzófeszültség definíció szerint: húzóerő osztva a felülettel. A próbatestnek ebben az esetbenaz a felülete számít ahol a furat van, ennek a felülete: (b− d) · vA definíció alapján kifejezhető a közepes húzófeszültség és a húzófeszültség amplitúdó:

σm =Fm

(b− d) · v= 48MPa

σa =Fa

(b− d) · v= 19MPa



= 57MPa

A közepes feszültség részbiztonsági tényezője:

Sm =ReHσm

= 5

A feszültség amplitúdó részbiztonsági tényezője:

Sa =σV,Kσa

= 3

A részbiztonsági tényezőkből számítható az eredő biztonsági tényező:

S =Sm · SaSm + Sa

= 1.875

28

Grafikus megoldásAz alkatrész egyszerűsített biztonsági területe:

σA [MPa]

σM [MPa]ReH = 240MPa

σV,K = 57MPa

σa = 19MPa

σm = 48MPaO

P ′

P

S =OP ′

OP≈ 1.87

1.8.17. Az ábra egy gépalkatrész alapanyagának Smith-diagramját ábrázolja, amelynek P1 (75;-145), P2 (150;340) és P3 (450;450) [MPa] pontokban ismertek a koordinátái. Ha-tározza meg az adott alapanyagból készített alkatrész kifáradással szembeni biztonságitényezőjét, ha az alkatrész húzóterhelése: σ(t) = 80 + 30sin(ωt) [MPa]. Az alkatrészmérettényezője 0.9, felületi érdességi tényezője 0.8 és gátlástényezője 2.4. Végezze ela grafikus méretezést is az egyszerűsített biztonsági terület használatával! Az ábránegyértelműen jelölje be a tengelyeket és az egyes értékeket!

Megadott adatok

Középfeszültség: σm=80 MPaAmplitúdó: σa=30 MPaMérettényező: γ=0.8Érdességtényező: κ=0.9Gátlástényező: Kf=2.4

A pontok koordinátáiP1x=75 MPa, P1y=-145 MPaP2x=150 MPa, P2y=340 MPaP3x=450 MPa, P3y=450 MPa

Megoldás

A P3 pontból megállapítható a folyáshatár−→ ReH = 450MPaA megadott pontokból kifejezhetőek a feszült-ségamplitúdók:

σA1 = |P1y − P1x| = 220MPa

σA2 = |P2y − P2x| = 190MPa

Ebből az anyag tiszta váltakozó határamplitúdó lineáris interpolációval határozható meg:

σV = σA2 +σA1 − σA2

P2x − P1x· P2x = 250MPa



= 75MPa

29

Ezzel számítható a feszültségamplitúdó részbiztonsági tényezője:

Sa =σV,Kσa

= 2.5

A folyáshatárból pedig a középfeszültség részbiztonsági tényezője:

Sm =ReHσm

= 5.625

A részbiztonsági tényezőkből számítható az eredő részbiztonsági tényező:

S =Sm · SaSm + Sa

= 1.731

Grafikusan megoldás

S =OP ′

OP

1.8.18. Egy alkatrész alapanyagra vonatkozó kifáradási határgörbéjének a pontjai: (σM1 = 75MPa középfeszültségen: σMin1 = -145 MPa), (σM2 = 150 MPa középfeszültségen:σMax2 = 340 MPa). A folyáshatár 450 MPa. Az alkatrész húzóterhelése: σ(t) =90+40sin(t) [MPa]. Határozza meg az adott alapanyagból készített alkatrész kifáradássalszembeni biztonsági tényezőjét, ha a mérettényező 0.8, a felületi érdességi tényező 0.95 ésa gátlástényező 2.5. Rajzolja fel az alkatrész biztonsági területét! Az ábrán egyértelműenjelölje a tengelyeket és az egyes értékeket!

Megadott adatok

Középfeszültség: σm=90 MPaAmplitúdó: σa=40 MPaMérettényező: γ=0.8Érdességtényező: κ=0.95Gátlástényező: Kf=2.5

Az alapanyagra vonatkozó kifáradási határgör-béjének pontjai:

σM1=75 MPaσMin1=-145 MPaσM2=150 MPaσMax2=340 MPa

Megoldás

Amplitúdók az adott pontok alapján:

σA1 = σM1 − σMin1 = 220MPa

σA2 = σMax2 − σM2 = 190MPa

Az alapanyag tiszta váltakozó határamplitúdója lineáris interpolációval:

σV = σA2 +σA1 − σA2

σM2 − σM1· σM2 = 250MPa

30



= 76MPa

Ezzel számítható a feszültségamplitúdó részbiztonsági tényezője:

Sa =σV,Kσa

= 1.9

A folyáshatárból pedig a középfeszültség részbiztonsági tényezője:

Sm =ReHσm

= 5


S =Sm · SaSm + Sa

= 1.377

Grafikus megoldás

S =OP ′

OP

σV,K = 76MPa

σa = 40MPa

σV = 250MPa

σA2 = 190MPa

σA1 = 220MPa

σM

1 =75M

Pa

σm =

90MPa

σM

2 =150M

Pa

ReH =

450MPa

σA [MPa]

σM [MPa]

P ′

P

31

1.8.19. Az ábra egy alkatrész alapanyagának biztonsági területét, illetve az alkatrész ténylegesterhelésének időbeli változását ábrázolja. Határozza meg az ábra adatainak felhasználá-sával az alkatrész kifáradással szembeni biztonságát ha a gátlástényező 1.71, a méret-tényező 0.95, és a felületi érdesség tényező 0.9. Rajzolja meg az alkatrész léptékhelyesHaigh-diagramját a megfelelő jelölésekkel, és végezze el a méretezést grafikusan is!

Megadott adatokGátlástényező: Kf=1.71Mérettényező: γ=0.95Érdességtényező: κ=0.9

Az ábrától leolvasott adatok

Tiszta váltakozó határamplitúdó:σV=400 MPaFolyáshatár: ReH=600 MPaKözépfeszültség: σm=200 MPaAmplitúdó: σa=100 MPa

Megoldás

Mivel ismert az anyag tiszta váltakozó hatá-ramplitúdója, a tényezők segítségével számít-ható az alkatrész tiszta váltakozó határampli-túdója:


= 200MPa

Ezzel számítható a feszültségamplitúdó részbiz-tonsági tényezője:

Sa =σV,Kσa

= 2

A folyáshatárból pedig a középfeszültség rész-biztonsági tényezője:

Sm =ReHσm

= 3


S =Sm · SaSm + Sa

= 1.2

100 200 300 400 500 600 700 800

100

200

300

400

500

σV,K

σV

σa

σm ReH

σA [MPa]

σM [MPa]

P ′

P

Grafikusan megoldás

S =OP ′

OP≈ 1.2

32

1.8.20. Az ábrán látható alkatrész terhelése állandó amplitúdójú szinuszos váltakozású tisztahúzás: F (t) = Fm + Fasin(ωt) [N]. Határozza meg a heveder terhelését (Fm, Fa), haaz "1"-jelű furattal gyengített keresztmetszetben az alkatrész kifáradással szembeni ere-dő biztonsági tényezője 1.2, továbbá a középfeszültség- és feszültség amplitúdó rész-biztonsági tényezők azonos értékűek! Az alkatrész az ábra szerinti biztonsági területteljellemzett anyagból készült. A heveder méretei: b=20 mm, v=7.5 mm, d=10 mm.A mérettényező 0.8, felületi érdesség tényező 0.9 és a gátlástényező 2.4. Végezze el améretezést grafikusan is az ábra felhasználásával!

Megadott adatok

Mérettényező: γ=0.9Érdességtényező: κ=0.95Gátlástényező: Kf=2.4

A heveder méretei:b=20 mm, v=5 mm, d=10 mm

Az ábráról leolvasva

Tiszta váltakozó határamplitúdó:σV=160 MPaFolyáshatár: ReH=240 MPa

Megoldás



= 57MPa

Mivel a középfeszültség- és feszültség amplitúdó rész-biztonsági tényezők azonos értékűek (Sa =Sm):

S =Sm · SaSm + Sa

−→ Sa = Sm = 2 · S = 2.4

A közepes feszültség:

σm =ReHSm

= 100MPa

A feszültség amplitúdó:σa =

σV,KSa

= 20MPa

A húzófeszültség definíció szerint: húzóerő osztva a felülettel. A próbatestnek ebben az esetbenaz a felülete számít ahol a furat van, ennek a felülete: (b− d) · vA definíció alapján kifejezhető a közepes húzófeszültség és a húzófeszültség amplitúdó, amibőlkirendezhető a közepes húzóerő és a húzóerő amplitúdó:

σm =Fm

(b− d) · v−→ Fm = σm · (b− d) · v = 7500N

σa =Fa

(b− d) · v−→ Fa = σa · (b− d) · v = 1500N

33

Grafikus méretezés az ábra alapján

50 100 150 200 250 300 350

50

100

150

200

σV,K

σV

σa

σm ReH

σA [MPa]

σM [MPa]

P ′

P

S =OP ′

OP

34

2. Csavarkötések

2.1. Profilátmérők

Ahol:d = D: Névleges átmérőD1: Az anya magátmérőjed2 = D2: Középátmérőd3: Az orsó magátmérőjeP : Menetemelkedésβ: Profilszög

2.2. A csavarmeneti erők

Meghúzásnál:

α

ρ

α+ ρE N

Ftg

Fax

Fs

Lazításnál:

α

ρ

EN

Ftg

Fax

Fs

α

α: menetemelkedési szögρ: súrlódási félkúpszögN: NormálerőE: Az eredő erőFax: Az eredő erő axiális irá-nyú komponense, ebből fogjukaz előfeszítő erőt képezni:Laposmenetnél:Fax = Fe · tg(α± ρ)Éles- és trapézmenetnél:Fax = Fe · tg(α± ρ′)(+: meghúzáskor,-: lazításkor)

Ftg: Az eredő erő tangenciálisirányú komponenseFs: Súrlódó erő

A fenti erők laposmenetre igazak. A mérnöki gyakorlatban ez ritkán használatos, az esetekdöntő többségében valamilyen élesmenetet használunk, ami általában metrikus vagy trapézme-net amiknek a menetemelkedési szögön felül (lévén nem laposmenetek) profilszögük (β) is van.Ez a metrikus menet esetében β = 60°, trapéz menet esetében β = 30°.

Erők élesmenet esetén a következőképpen alakulnak:

N ′

N= cos

(β

2

)µ ·N = µ′ ·N ′ −→ µ′ = µ · N

N ′= µ · 1

cos(β2

)µ 6 µ′ −→ Latszolagos surlodas novekedes

arctg(µ′) = ρ′ −→ Latszolagos surlodasi felkupszog

A meghúzási nyomaték:

M1 = Fax ·d2

2= Fe · tg(α+ ρ′) · d2

2

35

A lazítási nyomaték:

M1 = Fe · tg(ρ′ − α) · d2

2

2.3. Csavar anyagjellemző

A csavar minősége két számmal, köztük ponttal szokott megadva lenni. Pl.: 6.8, 8.8, 12.9 stb.Ebből meghatározható a szakítószilárdság (Rm) és a folyáshatár (ReH)

6.8 −→ Rm = 600MPa, ReH = 6 · 8 · 10 = 480MPa

8.8 −→ Rm = 800MPa, ReH = 8 · 8 · 10 = 640MPa

12.9 −→ Rm = 1200MPa, ReH = 12 · 9 · 10 = 1080MPa

σmeg 6ReHS

S ≈ 1.1

2.4. A fej nyomatékigénye

A középsugár:

ra =1

3·d3k − d3

b

d2k − d2

b

ra ≈ d3 −→M2 = Fe · ra · µ

Így a meghúzás/lazítás össznyomatéka: (+: meghúzás, -: lazítás)

M = M1 +M2 = Fe ·(d2

2· tg(ρ′ ± α) + µ · d3

)

2.5. Csavarkötés méretezése

A csavart és az összefogott anyagot rugóként modellezzük.

Fe Fe

λ δCsavarmegnyúlás

Az összefogottanyag összenyomódása

=⇒

λ δ

Fe

A csavar rugómerevségének kifejezése:

σ =FeAcs

= E · ε = E · ∆l

lcs= ε · λ

lcs−→ λ =

Fe · lcsAcs · E

Feλ

=Acs · Elcs

= Scs −→ Rugomerevseg

Acs számítása a csavarszár kialakításától függ (d, d2, d3).A lemezek rugómerevsége hasonlóképpen:

δ =Fe · lAl · E

−→ Feδ

=Al · El

= Sl

36

A közrefogott elemek rugómerevségének meghatározása bonyolultabb, mert általában nem lehetpontosan meghatározni az alakváltozásban résztvevő terület nagyságát. Kísérletek alapján, aközrefogott elemek rugómerevségét egy közrefogott üreges hengerrel lehet helyettesíteni. Enneka helyettesítő hengernek a keresztmetszete a Junker képlettel számítható:

Al =π

4·

((S +

l

k

)2

− d2

)

Ahol:S : laptávl : csavar hosszak : anyagjellemző (acél: k=10, öntött vas: k=8, alumínium: k=6)d : a csavar névleges átmérője

Méretezés tiszta húzásraA méretezési méret a magkeresztmetszet (d3):

σh =FeAcs

=Fed23·π

4

6 σmeg

Méretezés összetett igénybevételreHa a csavarkötést, az orsót terhelő hosszirányú erőhatás működése alatt kell meghúzni, akkor ahúzó igénybevételen kívül a csavaró igénybevételt is figyelembe kell venni. A csavaró nyomatékot,a már ismert összefüggésből határozhatjuk meg:

M1 = Fe · tan(α+ ρ′) · d2

2

Ekkor a csavarszár igénybevétele húzás és csavarás, tehát összetett igénybevételre kell méretezni,ezért ki kell számítani a σh húzó és a τcs csavaró feszültséget és ezekből a redukált feszültséget.A redukált feszültség, ami az ellenőrzés alapja a H.M.H. elmélet szerint:

σred =√σ2h + 3 · τ2

cs =

√(FeAcs

)2

+ 3 ·(T

Kp

)2

Ahol:

- T a csavar meghúzási nyomatéka

- Kp =d33·π16 az orsó magátmérőjének poláris keresztmetszeti tényezője

Ha a csavar menetemelkedési szöge α < 6◦ (ez az összes metrikus menetre igaz), akkor nemszükséges a fenti számítást elvégezni, hanem elég csak egy átlagos értékkel számolni. Itt nemrészletezett számítás szerint, a csavarokra a következő egyszerűsítés érvényes:

σred ≈ 1.32 · σh

Így a feszültség az előfeszítő erő hatására:

σred ≈ 1.32 · FeAcs

Ez tulajdonképpen egy egyenértékű feszültség, amely a húzó és a csavaró igénybevételt is figye-lembe veszi.

37

2.6. Az erőhatás ábra

ϕ ψ

ψ

ϕFe

Fmax

Fu

Ft

Fl

Fmin

λ δ

F [kN ]

λ, δ[µm]

A csavarra ható többleterő:

Ft = Fu ·1

1 + tg(ψ)tg(ϕ)

= Fu ·1

1 + γ

A merevségi viszony:

γ =tg(ψ)

tg(ϕ)=λ

δ=FlFt

=SlScs

A lemezben ébredő erő:Fl = Fu ·

γ

1 + γ

Fmax = Fe + Ft

Fmin = Fe − Fl

38

2.7. Lazulás

F[N ]

λ, δ[mm]

Fe

∆F

∆λ

∆λcs ∆λl

A csavar és a lemez rugómerevsége:

Scs =∆F

∆λcsSl =

∆F

∆λl

Ebből kifejezve a megnyúlások változása:

∆λcs =∆F

Scs∆λl =

∆F

sl

Ezeket összeadva az összmegnyúlás:

∆λ = ∆λcs + ∆λl =∆F

Scs+

∆F

Sl= ∆F · Scs + Sl

Scs · Sl

Ebből kifejezhető a az előfeszítő erő változása:

∆F = ∆λ · Scs · SlScs + Sl

39

2.8. Számpéldák

2.8.1. Egy csavarkötést 24 kN erővel feszítettek elő. Ekkor a csavar megnyúlása 86 µm, a köz-refogott részek összenyomódása 10 µm volt. Az üzem közben fellépő dinamikus terheléshatására a csavarkötésben 12 µm lazulás következett be. Mekkora lesz az előfeszítő erő alazulást követően? Válaszát léptékhelyes erőhatásábrával is magyarázza!

Megadott adatok

Előfeszítő erő: Fe = 24000 NCsavarmegnyúlás: λ = 0.086 mmA közrefogott részek összenyomódása: δ = 0.01 mmLazulás a csavarkötésben: ∆λ = 0.012 mm

Megoldás

Ha a csavar lazul, abból az következik, hogy az előfeszítő erő csökkenni fog!

A lazulás után a csavarnyúlás és a lemezösszenyomódás értéke ∆λ értékkel csökken.A nyúlásviszony:

γ =λ

δ= 8.6

Mielőtt elkezdjük a képleteket felírni,rajzoljuk fel az erőhatásábrát az ismert adatok függvényé-ben, ugyanis rajzolt hasonló háromszögek alapján felírható:

Feλ+ δ

=Fe1

λ+ δ −∆λ

Ez átrendezve Fe1-re:

Fe1 = Fe ·λ+ δ −∆λ

λ+ δ= 21000N

Erőhatásábra

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

1

2

3

Fe

Fe1

λ δ

∆λ

F [kN ]

λ, δ[µm]

40

2.8.2. Mekkora nyomatékkal kell a 8.8 minőségű, M12-es csavart (d3=9 mm, d2=10.5 mm,P=1.75 mm) meghúzni, ha azt akarjuk, hogy az előfeszítő erő hatására kialakult feszült-ség a csavar folyáshatárának 80%-át ne haladja meg? Mekkora lehet a kötésre ható üzemiterhelés, ha a csavarban ébredő maximális feszültség a folyáshatár 70%-át nem haladhatjameg? A lemezek és a csavar nyúlásának aránya 1:5, a súrlódási tényező 0.2. Válaszáhozrajzolja meg a kötés erőhatásábráját!

Megadott adatok

Folyáshatár: ReH = 0, 8 · 800 = 640 MPaMagátmérő: d3 = 9 mmKözépátmérő: d2 = 10, 5 mmMenetemelkedés: P = 1, 75 mmProfilszög: β = 60◦, mivel metrikus menetNyúlási tényező: γ = 5Súrlódási tényező: µ = 0.2

Megoldás

Először, hogy majd később ki tudjuk számolni az előfeszítő erő általi feszültséget, ki kell számolnia menetemelkedési szöget:

α = arctan

(P

d2 · π

)= 0, 053 rad = 3, 037◦

És a látszólagos súrlódási félkúpszöget:

ρ′ = arctan

(µ

cos β2

)= 0, 227 rad = 13, 004◦

Ezután a csavar keresztmetszete kerül kiszámításra:

Acs =d2

3 · π4

= 63, 617mm2

Majd a feladat szövegében említett két esetet szétbontjuk és kezdjük a feszültségszámítással80%-os folyáshatár esetére:Így a feszültség az előfeszítő erő hatására:

σe =1, 32 · FeAcs

≤ 0, 8 ·ReH

Megjegyzés: ez tulajdonképpen egy egyenértékű feszültség, amely a húzó és csavaró igénybevételtveszi figyelembe.

Ezt az egyenletet átrendezve megkapjuk az előfeszítő erőt:

Fe =0, 8 ·ReH ·Acs

1, 32= 24675, 782N

És így már lehet számolni a csavar meghúzási nyomatékát:

T = Fe ·(d2

2· tan(α+ ρ′) + d3 · µ

)= 81, 663Nm

Hogy a feladat második részében a kötésre ható üzemi maximális terhelést kiszámítsuk, úgy,hogy nem haladhatja meg a folyáshatár 70%-át először is ki kell számítani a kötésben létrejövőmaximális erőt,amit a maximális feszültség képletéből levezetve tudunk kifejezni:

σmax =FmaxAcs

≤ 0, 7 ·ReH

41

ahol: Fmax = Fe + Ft, Fe: az előfeszítő erő, és Ft: a csavarra jutó többleterő.A csavarra jutó többleterő pedig a következő képlet szerint felírható, ebből kerül később kifejezésreaz üzemi erő:

Ft = Fu ·1

1 + γ

Ezen kívül felírható még Fmax a következő alakban is:

Fmax = 0, 7 ·ReH ·Acs = 28500, 529N

Ezt behelyettesítve a korábbi képletébe és Ft-re rendezve:

Ft = Fmax − Fe = 3824, 746N

Mindezek után a már korábban kifejezett üzemi erő képletébe behelyettesítve megkapjuk annakértékét:

Fu = Ft · (1 + γ) = 22948, 478N

Erőhatásábra

λ δ

F[N ]

λ, δ[mm]

Fe

Ft

Fu

Fmax

42

2.8.3. Számítsa ki a szükséges meghúzási nyomatékát annak az M8x1.25 mm-es csavarkötésnek,amelyben 1200 N előfeszítő erőt szándékozunk létrehozni. A súrlódási tényező 0.25, amenet középátmérője 7.2 mm, a magátmérő 6.5 mm. Mekkora erő ébred a csavarban,ha a csavarkötést 400 N üzemi erővel terheljük? A csavar és az összefogott lemezeknyúlásának aránya 5:1.

Megadott adatok

Névleges átmérő: d = 8 mmMagátmérő: d3 = 9 mmKözépátmérő: d2 = 7, 2 mmMenetemelkedés: P = 1, 25 mmElőfeszítő erő: Fe = 1200 NTerhelő üzemi erő: Fu = 400 NNyúlási tényező: γ = 5Súrlódási tényező: µ = 0, 25

Megoldás

Első lépésben kiszámításra kerül a menetemelkedési szög:

α = arctan

(P

d2 · π

)= 0, 055 rad = 3, 163◦

És a látszólagos súrlódási félkúpszög:

ρ′ = arctan

(µ

cos β2

)= 0, 281 rad = 16, 102◦

Majd mindezek után kiszámítjuk a meghúzási nyomatékot:

T = Fe ·(d2

2· tan(α+ ρ′) + d3 · µ

)= 3, 46Nm

Majd a csavarban ébredő erőket számítjuk ki:Elsőként a csavarban ébredő többleterőt:

Ft = Fu ·1

1 + γ= 66, 667N

Majd ezt követően pedig a maximális erőt:

Fmax = Fe + Ft = 1266, 667N

43

2.8.4. Határozza meg az 1200 MPa folyáshatárú, M10-es hengerfejcsavar (d3=8 mm, d2=9.5mm, P=1.5 mm) meghúzási nyomatékát, ha 1800 N üzemi erő esetén a maximáliscsavarerő nem haladhatja meg a folyáshatár 90%-át. A lemezek és a csavar nyúlásánakaránya 1:4, a súrlódási tényező 0.15.

Megadott adatok

Magátmérő: d3 = 8 mmKözépátmérő: d2 = 9, 5 mmMenetemelkedés: P = 1, 5 mmFolyáshatár: ReH = 1200 MPaTerhelő üzemi erő: Fu = 1800 NNyúlási tényező: γ = 4Súrlódási tényező: µ = 0.15

Megoldás


α = arctan

(P

d2 · π

)= 0, 05 rad = 2, 877◦

És a súrlódási félkúpszög:

ρ′ = arctan

(µ

cos β2

)= 0, 172 rad = 9, 826◦

Ezután a csavarási felület is:

Acs =d2

3 · π4

= 50, 265mm2

Majd felírjuk a már korábban Fmax számításához szükséges egyenleteket:

Fmax = Fe + Ft = Fe + Fu ·1

1 + γ≤ Acs · 0, 9 ·ReH

És így rendezéssel kifejezésre kerül az előfeszítő erő:

Fe = Acs · 0, 9 ·ReH − Fu ·1

1 + γ= 53926.721N

Mindezek ismeretében már számítható is a meghúzási nyomaték:

T = Fe ·(d2

2· tan(α+ ρ′) + d3 · µ

)= 122.456Nm

44

2.8.5. Egy csavarkötést (M12x1.25, d2=11.25 mm) 90 Nm nyomatékkal húztak meg, amely-nek hatására a csavarkötésben 86 kN előfeszítő erő ébredt! Határozza meg a súrlódásitényező értékét a meneteken, ha az anya homlokfelületének súrlódástól eltekintünk!

Megadott adatok

Névleges átmérő: d = 12 mmKözépátmérő: d2 = 11, 25 mmMenetemelkedés: P = 1, 25 mmElőfeszítő erő: Fe = 86000 NMeghúzási nyomaték: T = 90 NmProfilszög: β = 60◦, mivel metrikus menet

Megoldás


α = arctan

(P

d2 · π

)= 0, 035 rad = 2, 026◦

Majd felírjuk a látszólagos súrlódási félkúpszög képletét:

ρ′ = arctan

(µ

cos β2

)

És helyettesítést alkalmazunk a két szögre: ϕ = α+ ρ′

Ezt behelyettesítjük a meghúzási nyomaték számítására használt egyenletbe (csakis azt az esetetnézve, amikor nincsen súrlódás az anya homlokfelületén):

T = Fe ·d2

2· tan(α+ ρ′) = Fe ·

d2

2· tan(ϕ)

A fenti egyenletből kifejezve ϕ-t számíthatunk:

ϕ = arctan

(2 · TFe · d2

)= 0, 184 rad = 10, 539◦

A korábbi helyettesítésből átrendezéssel számolható ρ′:

ρ′ = ϕ− α = 0, 149 rad = 8, 514◦

És végül a látszólagos súrlódási félkúpszög egyenletéből átrendezéssel kifejezhető µ súrlódásitényező:

µ = tan(ρ′) · cos

(β

2

)= 0, 1296

45

2.8.6. Egy csavarkötésben a 60 kN előfeszítő erő hatására a csavar nyúlása 0.1 mm, továbbáismert, hogy a maximális 72 kN üzemi erő fellépése esetén a lemezeket összeszorító erőéppen nulla. Határozza meg 48 kN üzemi erő esetén a csavarban ébredő erőt, valamint alemezek tényleges összenyomódását! Rajzolja meg a csavarkötés léptékhelyes erőhatásáb-ráját a szükséges adatok feltüntetésével! Külső lazítást tételezzen fel!

Megadott adatok

Maximális üzemi erő: Fumax = 72000 NÜzemi erő: Fu = 48000 NElőfeszítő erő: Fe = 60000 NNyúlás: λ = 0, 1 mm

Megoldás

Amit fel tudunk rajzolni a megadott adatokból:

λδ

F[N ]

λ, δ[mm]

Fe

Fumax

A felrajzolt ábra alapján hasonló derékszögű háromszögek azonosságát felhasználva kiszámíthatóδ közrefogott lemezrészek összenyomódása:

δ =Fumax − Fe

Fe· λ = 0, 02mm

Ezzel már számítható γ nyúlásviszony:

γ =λ

δ= 5

mindezek után, hogy kiszámítható legyen a csavarra ható erő Fcs előtte ki kell számolni az üzemitöbbleterőt:

Ft = Fu ·1

1 + γ= 8000N

↓Fcs = Fe + Ft = 68000N

És így végül újra a hasonló háromszögek módszerével számolásra kerül a tényleges összenyomódásδ1 is:

δ1 =Fumax − FcsFumax − Fe

· δ = 0, 0067mm

46

A végső erőhatásábra:

λδ δ1

F[N ]

λ, δ[mm]

Fe

FcsFt

Fu

Fumax

2.8.7. Az ábrán látható csavarkötésben d=10 mm-es acélcsavart alkalmazva 25 kN-os előfeszítőerőt létesítünk. Az előfeszítést követően az ábra szerinti módon 10 kN-os üzemi erő terhelia kötést (külső lazítás). Határozza meg az üzemi erő fellépése utáni állapotban a csavarszárában ébredő maximális erőt és a lemezek között maradó összeszorító erőt, ha `k = 60mm, valamint a lemezek keresztmetszete (Junker-féle képlet): 181mm2. (Eacel=210000MPa). Rajzolja fel a csavarkötés léptékhelyes erőhatás ábráját a megfelelő jelölésekkel!

Megadott adatok

Csavar átmérő: d = 10mmKötéshossz: lk = 60mmLemezek keresztmetszete: Al = 181mm2

Üzemi erő: Fu = 10000NElőfeszítő erő: Fe = 25000NYoung-modulus: E = 210000MPa

Megoldás

Megadott adatok segítségével kiszámításra kerül a csavar keresztmetszete:

Ac =d2 · π

4= 78, 54mm2

Majd a keresztmetszet segítségével számítható a csavar rugómerevsége:

sc =Ac · Elk

= 274889N

mm

Emellett a már korábban megadott adatokból a lemez rugómerevsége is:

sl =Al · Elk

= 633500N

mm

47

Így a rugómerevségek segítségével már számítható γ nyúlásviszony:

γ =slsc

= 2, 3

Ezáltal kiszámolhatjuk a csavarban ébredő többleterőt:

Ft = Fu ·1

1 + γ= 3026N

Ezután ki tudjuk számolni a lemezben létrejövő erőcsökkenést, amit majd később használunk fela maradó lemezerő számításánál:

Fl = Fu ·γ

1 + γ= 6973, 9N

Így a maximális csavarerő:Fcsmax = Fe + Ft = 28026N

Ezáltal kiszámíthatjuk a maradó lemezerőt, ami:

F ′e = Fe − Fl = 18026N

Erőhatásábra

λ δ

F ′e

F[N ]

λ, δ[mm]

Fe

FcsmaxFt

Fu

2.8.8. Egy M12x1.25 leszorítócsavart (d3 ≈11 mm, ReH=900 MPa) a meghúzás után ál-landó nagyságú üzemi erő terhel. Mekkora előfeszítő erővel kell meghúzni a csavart, haazt akarjuk, hogy az üzemi erő és az előfeszítő erő aránya 3/4 legyen? A megoldás soránfeltételezze, hogy a csavar igénybevétele tiszta húzás, továbbá a csavarra megengedhető hú-zófeszültséget n=1.8 biztonsági tényezővel határozzuk meg. A csavar és az összeszorítottrészek nyúlásának aránya 4.5. Rajzolja meg a csavarkötés léptékhelyes erőhatásábráját!(Külső lazítást tételezzen fel!)

48

Megadott adatok

Csavar magátmérő: d3 = 11mmFolyáshatár: ReH = 900MPaBiztonsági tényező húzófeszültségre: n = 1, 8

Nyúlásviszony: γ = 4, 5Üzemi és előfeszítő erők aránya: k = 3

4

Megoldás

A már korábban megadott geometriai adatok segítségével kiszámolhatjuk a csavarban ébredőFmax maximális erőt, de előtte meg kell határoznunk hozzá a megengedhető feszültség mértékét:

σmeg =ReHn

= 500MPa

És ezután kerül számításra Fmax:

Fmax = σmeg ·d2

3 · π4

= 47517N

Ahhoz, hogy megkapjuk az előfeszítő erő értékét: Fu = k · Fe képletet helyettesítjük be Ftképletébe:

Ft = Fe ·(

k

1 + γ

)Majd ez a képlet kerül behelyettesítésre Fmax = Fe + Ft képletbe az alábbiak szerint:

Fmax = Fe + k · Fe ·1

1 + γ

Kiemelve Fe-t:

Fmax = Fe ·(

1 +k

1 + γ

)A fenti egyenletből kifejezve Fe-t, és minden ismert értéket behelyettesítve:

Fe =Fmax

1 + k1+γ

= 41815N

Erőhatásábra

λ δ

F[N ]

λ, δ[mm]

Fe

FmaxFt

Fu

F ′e

49

2.8.9. Egy csavarkötésben a 21 kN előfeszítő erő hatására a csavar nyúlásának és a lemezekösszenyomódásának az összege 0.1 mm. A fellépő 10 kN-os üzemi erő hatására a csavartovábbi 0.006 mm-t nyúlt meg, és ekkor a lemezek összenyomódása éppen 0.01 mm.Határozza meg a csavar és a lemez rugómerevségét, valamint csavar maximális terhelé-sét! Rajzolja meg léptékhelyesen a csavarkötés erőhatásábráját, a megfelelő mennyiségekfeltüntetésével! (Külső lazítást tételezzen fel!)

Megadott adatok

Üzemi erő: Fu = 10000 NElőfeszítő erő: Fe = 21000 NÜzemi erő hatására fellépő nyúlás: ∆λ = 0, 006 mmLemezrészek összenyomódása: δ1 = 0, 01 mmε0 = 0, 1 mm

Megoldás

Az megadott adatok alapján az erőhatásábra így rajzolható fel:

δ0

F[N ]

λ, δ[mm]

Fe

Fu

ε0

δ1∆λ

Az ábra alapján látható, hogy δ0 szakasz kiadódik δ1 és ∆λ összegeként:

δ0 = ∆λ+ δ1 = 0, 016mm

Illetve λ0 szakasz kiadódik ε0 és δ0 különbségeként:

λ0 = ε0 − δ0 = 0, 084mm

Ez alapján a nyúlásviszony:

γ =λ0

δ0= 5, 25

Ebből számítható a csavar rugómerevsége:

scs =Feλ0

= 250000N

mm

50

És a lemez rugómerevsége:

sl =Feδ0

= 1312500N

mm

Majd, hogy számítható legyen a csavarban ébredő maximális erő, meg kell határozni az üzemitöbbleterőt:

Ft = Fu ·1

1 + γ= 1600N

És mindezekből számítható a csavarban ébredő maximális erő:

Fmax = Fe + Ft = 22600N

A teljes erőhatás ábra, az összes adattal:

λ0 δ0

F[N ]

λ, δ[mm]

Fe

Fmax

Ft

Fu

ε0

δ1∆λ

Sl

Scs

51

2.8.10. Az ábra szerinti szorítókötésben a 40 mm átmérőjű tengely két darab csavarral vanösszeszorítva. A kötés hossza 25 mm. Az összeszorító csavarokat egyenként 10 kNösszeszorító erővel feszítették elő. Mekkora a kötésben kialakuló a felületi nyomás? Mek-kora a kötéssel 1.6-szeres biztonsággal átvihető nyomaték, ha µ=0.1?

Megadott adatok

Tengely átmérő: d = 40 mmKötéshossz: l = 25 mmElőfeszítő erő: Fe = 10000 NBiztonsági tényező: S = 1, 6Súrlódási tényező: µ = 0.1Csavarok száma: z = 2

Megoldás

A kötésben kialakuló nyomást "z" darab csavar esetén az alábbi módon számítjuk, ha azok Ferővel vannak meghúzva:

p = z · Fed · l

= 20MPa

Emellett az elméletileg átvihető nyomatékot súrlódási erőből és az előfeszítésből létrejövő nyo-matékból származtatjuk:

Telm = µ · p · d · π · l · d2

= 125, 644Nm

És így S biztonsággal átvihető nyomaték már egyértelműen számolható:

T =TelmS

= 78, 54Nm

2.8.11. Az ábrán látható kötés csavarjait egyenként 60 Nm-es nyomatékkal húzták meg. Hatá-rozza meg a kötéssel átvihető F terhelés max. értékét (a csavar nyírása nem megengedett)1.5-szeres biztonság esetén! A súrlódási tényező értéke mindenütt 0.12. A csavarok ada-tai: M10×1.5, a középátmérő 8.86 mm, a magátmérő 7.9 mm. (ra ≈ d3). Vázolja fela kötés (1) és (2) elemeit és az azokra ható egyensúlyi erőket (nem erőhatásásábra)!

Megadott adatok

Névleges átmérő: d = 10 mmKözépátmérő: d2 = 8, 86 mmMagátmérő: d3 = 7, 9 mmMenetemelkedés: P = 1, 5 mmSúrlódási tényező: µ = 0.12Meghúzási nyomaték: T = 60 NmFelületpárok száma: z = 2Biztonsági tényező: S = 1, 5Profilszög: β = 60◦, mivel metrikus menet

52

Megoldás

Ahhoz, hogy kiszámíthassuk Fmax értékét, először is meg kell határozni a menetemelkedési és asúrlódási félkúpszöget:

α = arctan

(P

d2 · π

)= 0, 054 rad = 3, 085◦

ρ′ = arctan

(µ

cos β2

)= 0, 138 rad = 7, 889◦

Ezt követően számíthatóvá válik a csavar meghúzási nyomatéka:

T = Fe ·(d2

2· tan(α+ ρ′) + d3 · µ

)

Képlet Fe-re történő átrendezésével az előfeszítő erő egy csavarra:

Fe1 =T

(d22 · tan(α+ ρ′) + d3 · µ)= 33204, 473N

Ezután már számolható az egy felületpáron létrejövő súrlódóerő:

Fs1 = µ · Fe1 = 3984, 537N

Mindebből pedig a "z" felületpáron Fmax erő:

Fmax = z · Fs1 = 7969, 074N

És a kötésben megengedett maximális terhelés pedig:

F =FmaxS

= 5312, 716N

Az alkatrészekre ható egyensúlyi erők:

53

2.8.12. Egy tartályfedél leszorító csavarját 10000 N erővel feszítettek elő. Határozza meg azüzemi erő értékét ha a kötésben 2500 N tömítőerő marad! Mekkora üzemi erő esetén lesza tömítőerő 0 N? A csavarkötésben a deformációk aránya 5. Rajzolja fel a csavarkötésléptékhelyes erőhatásábráját! (Külső lazítást tételezzen fel!)

Megadott adatok

Előfeszítő erő: Fe = 10000NTömítő erő: Ftom = 2500NNyúlásviszony: γ = 5

Megoldás

Megjegyzés: Az Ftom erő azonos a 2.6 fejezet ábráján szereplő Fmin erővel.

Az erőhatás ábra alapján felírható az alábbi egyenlet:

Ftom + Fu = Fe + Ft

Mindemellett a már ismert képlet Ft-re:

Ft = Fu ·1

1 + γ

Ft-t behelyettesítve a fenti egyenlet kapjuk az alábbit:

Ftom + Fu = Fe + Fu ·1

1 + γ

Átrendezve és kifejezve Fu-t:

Fu =1 + γ

γ· (Fe − Ftom) = 9000N

Abban az esetben, ha Ftom = 0:

F ′u =1 + γ

γ· (Fe − 0) = 12000N

Erőhatásábra

λ δ

F[N ]

λ, δ[mm]

FeFt

Fu

Ftom

F ′u

54

2.8.13. Egy leszorítócsavart a meghúzás után 90 kN állandó nagyságú üzemi erő terhel, mely-nek következtében a csavar nyúlása 10%-kal megnő. Határozza meg a csavar előfeszítőerejét, ha a lemez és a csavar rugómerevségeinek aránya 5. Mekkora az összeszorított ré-szek összenyomódásának változása? Rajzolja meg a csavarkötés erőhatásábráját! (Külsőlazítást tételezzen fel!)

Megadott adatok

Előfeszítő erő: Fu = 90000NNyúlásviszony: γ = 5

Megoldás

Első lépésként kiszámítjuk az Ft többleterőt a már ismert képlettel:

Ft = Fu ·1

1 + γ= 15000N

Ezután az ábra alapján az alábbi egyenlet a derékszögű háromszögek befogója és átfogója között:

Feλ

=Fe + Ft1, 1 · λ

Ezt átrendezve megkapható Fe:

Fe = 10 · Ft = 150000N

Majd a nyúlások arányából kifejezhető δ:

δ =λ

5= 0, 2 · λ

Ezt behelyettesítve a teljes deformációk össze-gébe:

λ+ δ = 1, 2 · λ

Emellett a megszerkesztett ábrából tud-juk,hogy a csavar teljes deformációja:

1, 1 · λ

És így már meghatározható a lemez maradóösszenyomódása:

1, 2 · λ− 1, 1 · λ = 0, 1 · λ

Ami az eredeti összenyomódásnak a fele.

Erőhatásábra

λ δ

F[N ]

λ, δ[mm]

FeFt

Fu

1.2λ

1.1λ 0.1λ

55

2.8.14. Egy csavarkötésben a 48 kN előfeszítő erő hatására a csavar nyúlásának és a lemez össze-nyomódásának az összege 0.15 mm. A fellépő üzemi erő hatására a csavar további 0.01mm-t nyúlt meg, és ekkor a lemez összenyomódása éppen 0.02 mm. Határozza meg acsavar és a lemez rugómerevségét, valamint a lemezben maradó összeszorító erő nagy-ságát! Rajzolja fel a csavarkötés léptékhelyes erőhatásábráját, a megfelelő mennyiségekfeltüntetésével! (Külső lazítást tételezzen fel!)

Megadott adatok

Előfeszítő erő: Fe = 48000 NÜzemi erő hatására fellépő nyúlás: ∆λ = 0, 01 mmLemezrészek összenyomódása: δ1 = 0, 02 mmε0 = 0, 15 mm

Megoldás

A megadott adatok alapján felrajzolható előzetes erőhatásábra:

F[N ]

λ, δ[mm]

Fe

ε0

δ1∆λ

Az ábra alapján látható, hogy δ0 szakasz kiadódik δ1 és ∆λ összegeként:

δ0 = ∆λ+ δ1 = 0, 03mm

Illetve λ0 szakasz kiadódik ε0 és δ0 különbségeként:

λ0 = ε0 − δ0 = 0, 12mm

Ez alapján a nyúlásviszony:

γ =λ0

δ0= 4

56

Ebből számítható a csavar rugómerevsége:

scs =Feλ0

= 400000N

mm

És a lemez rugómerevsége:

sl =Feδ0

= 1600000N

mm

És végül számítható a lemezben maradó erő:

F ′l = δ1 · sl = 32000N

Végleges erőhatásábra

λ0 δ0

F[N ]

λ, δ[mm]

FeFt

Fu

δ1∆λ

Fl

F ′l

57

2.8.15. Az ábra szerinti szorítókötést 2 db. csavarral feszítünk elő. A tengely átmérője 32 mm,a kötés szélessége 30 mm. Mekkora erővel kell az egyes csavarokat előfeszíteni, ha akötéssel 250 Nm nyomatékot kell átvinni? A súrlódási tényező µ=0.12.

Megadott adatok

Tengely átmérő: d = 32mmKötéshossz: l = 30mmSúrlódási tényező: µ = 0.12Csavarok száma: n = 2Meghúzási nyomaték: T = 250Nm

Megoldás

A kötésben kialakuló nyomást "n" darab csavar esetén az alábbi képlettel tudjuk kiszámolni, deelőtte szükséges meghatározni a Fe erő mértékét ami a feladatban a kérdés, ezt majd az egyenletFe-re való rendezésével fogjuk tudni számítani:

p = n · Fed · l

Fe-re rendezve:

Fe =p · d · ln

Ezért, hogy a felületi nyomást ki lehessen számolni a meghúzási nyomaték képletéből fejezzük kiazt:

T = µ · p · d · π · l · d2

p-re rendezve:

p =2 · T

µ · d2 · π · l= 43, 174MPa

Ezt visszahelyettesítve a korábban Fe-re rendezett egyenletbe:

Fe =p · d · ln

= 20723, 3N

58

2.8.16. Egy Tr16x2 (d2 = d− 0.5P ) trapézmenetes emelőorsóval 27 kN terhet emelünk. Hatá-rozza meg a teher emeléséhez szükséges nyomatékot, ha a menetsúrlódás 0.12! (Egyébsúrlódástól eltekintünk.) Rajzolja fel a trapézmenetre vonatkozó meghúzás- és lazításvektorábrákat! Az ábrákon egyértelműen jelölje be az egyes szögeket és erőkomponense-ket!

Megadott adatok

Névleges átmérő: d = 16 mmKözépátmérő: d2 = d− 0, 5 · p = 15 mmMenetemelkedés: P = 2 mmSúrlódási tényező: µ = 0.12Profilszög: β = 30◦, mivel trapéz menetElőfeszítő erő: Fe = 27000 N

Megoldás

Ahhoz, hogy kiszámíthassuk az orsóval átvihető nyomaték értékét, először is meg kell határoznia menetemelkedési és a súrlódási félkúpszöget:

α = arctan

(P

d2 · π

)= 0, 042 rad = 2, 43◦

ρ′ = arctan

(µ

cos β2

)= 0, 124 rad = 7, 118◦

Ezt követően számíthatóvá válik az átvihető nyomaték a már tanult képlettel: (A képletben azértnincs +d3 · µ, mert a feladat szövege szerint az egyéb súrlódásoktól eltekintünk!)

T = Fe ·(d2

2· tan(α+ ρ′)

)= 34, 062Nm

Vektorábrák

Meghúzásnál:

α

ρ′

α+ ρ′E N

Ftg

Fax

Fs

Lazításnál:

α

ρ′

EN

Ftg

Fax

Fs

α

59

2.8.17. Egy központi anyával szerelt tengelykötést 40 kN axiális erővel feszítettek be. Ekkora csavar megnyúlása 90 µm, a közrefogott részek összenyomódása pedig 10 µm volt.Az üzem közben fellépő dinamikus terhelés hatására a csavarkötésben 20 µm lazuláskövetkezett be. Határozza meg a befeszítő erő értékét a lazulást követően! Mekkora acsavar és az összeszorított részek deformációja a lazulás után? Készítsen léptékhelyeserőhatásábrát!

Megadott adatok

Előfeszítő erő: Fe0 = 40000 NMeghúzás hatására létrejövő nyúlás: λ0 = 0, 09 mmÜzemi erő hatására fellépő nyúlás: ∆λ = 0, 02 mmLemezrészek összenyomódása: δ0 = 0, 01 mm

Megoldás

λ1

F[N ]

λ, δ[mm]

Fe1

δ1 ∆λ

λ0 δ0

Fe0

Első lépésként az erőhatás ábra kerül megszerkesztésre, majd ezt követően, mivel a lazulás utána lemez összenyomódás és a csavar nyúlása ∆λ-val csökken, ezért a hasonló háromszögek miattiazonosságnál ezt is feltudjuk használni:

Fe0λ0 + δ0

=Fe1

(λ0 + δ0)−∆λ

A fenti egyenletet Fe1-re rendezve meghatározható a befeszítő erő mértéke:

Fe1 = Fe0 ·(λ0 + δ0)−∆λ

λ0 + δ0= 32000N

Ezután a lazulás utáni deformációk a kezdeti deformáció és a lazulás előtt és utáni befeszítő erőkarányával szorozva kaphatóak meg:csavar:

λ1 = λ0 ·Fe1Fe0

= 0, 072mm

lemezek:δ = δ0 ·

Fe1Fe0

= 0, 008mm

60

2.8.18. Egy karimafedelet 6 db. csavarral szereltek, melyeket egyenként 54 kN előfeszítő erővelfeszítették elő. Mekkora lehet az üzemi erő maximális értéke, ha a karimafedélnek mini-málisan 144 kN tömítőerőt kell biztosítani. A csavarkötés nyúlásviszonya 5. Rajzoljameg egy csavarkötés léptékhelyes erőhatásábráját is! (Külső lazítást tételezzen fel!)

Megadott adatok

Előfeszítő erő: Fe = 54000NMinimálisan biztosítandó tömítő erő: FT = 144000NNyúlásviszony: γ = 5Csavarok száma: n = 6

Megoldás

A megoldáshoz először fel kell rajzolni a csavarkötés erőhatásábráját,ezt követően ki kell számol-ni az egy csavarra jutó tömítő erőt,hogy a későbbiekben az ábra szerinti szakaszokat nézve kilehessen számolni a többleterő képletéből az üzemi erőt:

F[N ]

λ, δ[mm]

Fe

Ftom

Ftom =FTn

= 24000N

Ez után a lépés után felírjuk a többleterő képletét:

Ft = Fu ·1

1 + γ(1)

És azt az egyenletet amiből kiadódik a tömítő erő:

Ftom = Fe + Ft − Fu (2)

1-es képletet behelyettesítve 2-esbe:

Ftom = Fe + Fu ·1

1 + γ− Fu

61

Rendezés után:Ftom = Fe + Fu · (

1

1 + γ− 1)

Ezt rendezve megkapjuk üzemi erő maximális értékét az adott tömítő erő esetén:

Fu = (Fe − Ftom) · 1 + γ

γ= 36000N

Erőhatásábra

λ δ

F[N ]

λ, δ[mm]

FeFt

Fu

Ftom

2.8.19. A szükséges értékek meghatározásával rajzolja meg az ábrán látható M20x2.5 csavar-kötés erőhatás ábráját (rugódiagramját), ha a csavart 168 Nm nyomatékkal húztákmeg, és a súrlódási tényező mindenütt 0.15, továbbá d3=16.54 mm, d2=18.16 mm!(E=2.1 · 105 MPa)

Megadott adatok

Névleges átmérő: d = 20 mmKözépátmérő: d2 = 18, 16 mmMagátmérő: d3 = 16, 54 mmFurat átmérő: D = 21 mmKötés hossz: l = 60 mmMenetemelkedés: P = 2, 5 mmMeghúzási nyomaték: T = 168 NmTerhelő üzemi erő: Fu = 400 NYoung-modulus (rugalmassági modulus):E = 2, 1 · 105 MPaSúrlódási tényező: µ = 0.15Laptáv: S = 32 mm

62

Megoldás

Első lépésben a geometriai méretek alapján kiszámításra kerül a menetemelkedési szög:

α = arctan

(P

d2 · π

)= 0, 044 rad = 2, 509◦

És a súrlódási félkúpszög:

ρ′ = arctan

(µ

cos β2

)= 0, 172 rad = 9, 826◦

Ezt követően a kötésben lévő előfeszítő erőt a meghúzási nyomaték Fe-re való rendezéséből kapjukmeg:

T = Fe ·(d2

2· tan(α+ ρ′) + d3 · µ

)↓

Fe =T

d22 · tan(α+ ρ′) + d3 · µ

= 37612N

A csavar rugódiagramjának felrajzolásához az erő után a következő szükséges értékek a deformá-ciók,amiknek a számításához először is a csavar keresztmetszetét(egyszerű körkeresztmetszet):

Acs =d2 · π

4= 314, 159mm2

És a lemez keresztmetszetét számítjuk ki (Junker-képlettel)(acél: k=10):

Al =π

4·

((S +

l

k

)2

−D2

)= 787, 754mm2

Ezután számolhatóak a rugómerevségek:Csavar:

sc =Acs · E

l= 1099557

N

mm

Lemez:sl =

Al · El

= 2757140N

mm

Ezekből pedig számítva a nyúlásviszony:

γ =slsc

= 2, 507

Mindezek segítségével pedig számíthatóak a deformációk:Ami csavarnál megnyúlás:

λ =Fesc

= 0, 034mm

Lemeznél pedig összenyomódás:

δ =Fesl

= 0, 014mm

63

Rugódiagram

10 20 30 40 50 60

10

20

30

40F [kN ]

λ, δ [µm]

δ = 14λ = 34

Sc Sl

Fe = 37, 6

2.8.20. Egy csavarkötés meghúzása után a csavarban 25000 N előfeszítő erő ébred, a csavarmegnyúlásának és a lemezek összenyomódásának aránya 5:1. A csavarkötésre időbenállandó 15000 N külső lazító erő hat. A csavarkötés hány százalékos relaxációja utánszűnik meg tömör zárás? Készítsen erőhatás ábrát, a szükséges jelölések feltüntetésével!

Megadott adatok

Előfeszítő erő: Fe = 25000NLazító(üzemi) erő: Fu = 15000NNyúlásviszony: γ = 5

Megoldás

A feladat megoldásának első lépéseként felrajzoljuk léptékhelyesen az erőhatás ábrát!Ezt követően pedig kiszámítjuk a meglévő adatokból a többleterőt:

Ft = Fu ·1

1 + γ= 2500N

Ezután látható, hogy az Fu erő kiadódik az Fe1 és Ft erők összegeként:

Fu = Fe1 + Ft

Ezt az egyenletet átrendezve megkapjuk Fe1-et:

Fe1 = Fu − Ft = Fu ·(

1− 1

1− γ

)

Majd a kötés relaxációja után az ábra szerint látható Fe1 alakulás:

Fe1 = Fu ·(

1− 1

1− γ

)= 125000N

64

A relaxáció %-os értéke ezt követően a lazulás utáni és előtti deformációk összegének a hányadosa(·100)lesz, mint ahogy az ábrán is látszik a két szakasz aránya:

λ1 + δ1

λ0 + δ0· 100

Ez az arány, mivel a deformációk ismeretlenek, levezethető a hasonló háromszögek alapján:

Fe0λ0 + δ0

=Fe1

λ1 + δ1

Ezt az egyenlőséget átrendezve látható, hogy:

λ1 + δ1

λ0 + δ0=Fe1Fe0

Így látható, hogy a relaxáció a fenti összefüggés szerint számítható az előfeszítő erők hányado-saként:

Fe1Fe0· 100% = 50%

Vagyis a csavarkötés 50%-os relaxációja után szűnik meg a tömör zárás.

Erőhatásábra

λ1

F[N ]

λ, δ[mm]

Fe1

δ1 ∆λ

λ0 δ0

Fe0Ft

Ft

Fu Fu

Fu

65

3. Ragasztott kötések

3.1. Összefoglaló

Kiindulási feltételek

• Az igénybevétel mindig nyírás.

• A nyírás a ragasztó anyagban történik.

Ragasztott kötés kialakítása

b

l

v

F

τ =F

A=

F

b · l6 τmeg =

τBS

A ragasztás ajánlott hossza: lv = 10 ... 20

A kötőanyag szilárdsága (τB):

• fémragasztó ∼ 30 MPa

• ónforrasz ∼ 100 MPa

• rézforrasz ∼ 250 MPa

Tulajdonságok

Előnyei

• egyszerű

• nincs hő okozta anyagszerkezeti változás

• könnyű

• elektromosan szigetel

• elektrokémiai korróziót gátol

• jó csillapító: rezgés, hang, lengés

• vegyi hatásoknak ellenáll

• jól festhető, galvanizálható, eloxálható

• varratmentes kötést ad

• a terhelés átadás sokkal egyenletesebb,mint szegecselt vagy hegesztett kötés ese-tén

Hátrányai

• némely ragasztóanyagnak kötéskor magasa nyomás és hőmérséklet igénye

• hőérzékeny

• fajlagos terhelhetősége kicsi

• kötési ideje van

• öregedésre hajlamos

66

Az adhézió minősége

• Ideális: fémtiszta felület

• tisztítás:

– elektro korrózió

– maratás

– csiszolás

– zsírtalanítás

Az átlagos nyírófeszültségek meghatározása

67

3.2. Számpéldák

3.2.1. Egy 32 mm belső átmérőjű műanyag csövet ragasztott fenékkel szeretnénk lezárni. Raj-zoljon le egy javasolt megoldást, és írja fel a javasolt méretekkel készült kötés szilárdságátmeghatározó összefüggést, ha a ragasztó nyírószilárdsága 30 MPa!

Megadott adatok

Belső átmérő: d=32 mmRagasztó nyírószilárdsága τB=30 MPa

Felvett adatok

Beragasztott fenék vastagsága: l=5 mmBiztonsági tényező: S=2

Javasolt megoldások

Megoldás

Axiális irányú terhelés esetén:A felület ami a terhelést kapja, egy olyan henger oldalának a felülete, melynek magassága l=5mm átmérője pedig d=32 mm −→ A = d · π · l

τ =F

A=

F

d · π · l6τBS−→ F = d · π · l · τB

S= 7540N

Csavarónyomaték esetén:

τ =2 · T

d2 · π · l6τBS−→ T = d2 · π · l · τB

S= 241Nm

3.2.2. Mekkora legyen az ábrán látható, csavarásra igénybevett, ragasztott kötésnél a kötéshossza, ha azt akarjuk, hogy a ragasztás szilárdsága a cső szilárdságával azonos legyen. Acső anyagának folyáshatára 180 MPa, a ragasztó nyírószilárdsága 10 MPa.

Megadott adatok

Folyáshatár: ReH=180 MPaRagasztó nyírószilárdsága: τB=10 MPaBelső átmérő: d=20 mmKülső átmérő: D=24 mm

Megoldás

A megadott folyáshatár a húzó-nyomó folyáshatár! A folyáshatár csavarásra:

τF =ReH√

3= 103.923MPa

68

A ragasztó nyírószilárdságából ki lehet fejezni a maximális nyomatékot, amit a ragasztó mégelvisel:

τB =2 · T

d2 · π · l−→ T =

d2 · π · τB · l2

Ugyanezt másképp a cső csavarására vonatkoztatott folyáshatár és a keresztmetszeti tényezőszorzataként fejezhetjük ki:

T = τF ·Kp

Ahol a keresztmetszeti tényező a cső geometriája miatt:

Kp =(D4 − d4) · π

32· 2

D= 1405.339mm3

A T általi egyenlőségből ki lehet fejezni a kötés szükséges hosszát:

d2 · π · l · τB2

= τF ·Kp −→ l =2 ·Kp · τFπ · d2 · τB

= 23.244mm

3.2.3. Ellenőrizze az ábrán látható ragasztott csőkötés szilárdságát, ha a kötés igénybevételehúzás (F=230 N) és csavarás (T=12 Nm). A csövek anyagának folyáshatára 140 MPa,a ragasztó nyírószilárdsága 24 MPa.

Megadott adatokFolyáshatár: ReH=140 MPaRagasztó nyírószilárdsága: τB=24 MPaHúzó igénybevétel: F=230 NCsavaró igénybevétel: T=12 NmÁtmérő: d=35 mmKötés hossza: l=40 mm

Megoldás

A kötésben meg kell határozni a húzó és a csavaró igénybevételből származó nyírófeszültségkomponenseket:

τh =F

d · π · l= 0.052MPa

τcs =2 · T

d2 · π · l= 0.156MPa

Az eredő nyírás:τ =

√τ2h + τ2

cs = 0.164MPa

A biztonsági tényező végül:S =

τBτ

= 145.947

69

3.2.4. Statikus terhelési állapotot feltételezve, mekkora legyen az ábrán látható kötésben a ra-gasztott rész hossza (l=?), ha a ragasztó nyírószilárdsága 20 MPa és a megkívánt biz-tonsági tényező 2.5?

Megadott adatok

Ragasztó nyírószilárdsága: τB=20 MPaBiztonsági tényező: S=2.5X irányú erő: Fx=3500 NY irányú erő: Fy=2500 NSzélesség: b=30 mm

Megoldás

Az X irányú erőből származó nyírófeszültség:

τx =Fxb · l

Az Y irányú erőből származó nyírófeszültség:

τy =Fyb · l

Ezekből kifejezhető az eredő nyírófeszültség:

τ =√τ2x · τ2

y =

√(Fxb · l

)2

+

(Fyb · l

)2

A nyírófeszültség a ragasztóban:τmeg =

τBS

= 8MPa

A megengedett nyírófeszültséggel kifejezve a ragasztott rész hosszúságát:

l =

√(Fx

b · τmeg

)2

+

(Fy

b · τmeg

)2

= 17.922mm ≈ 18mm

3.2.5. Egy 7.5 mm átmérőjű csapot 35 mm hosszon ragasztással rögzítjük a furatban. Határoz-za meg a ragasztott kötéssel átvihető a) axiális erőt, b) csavarónyomatékot, ha a ragasztóanyagára megengedett nyírófeszültség 6.5 MPa!

Megadott adatok

Átmérő: d=7.5 mmKötéshossz: l=35 mmA ragasztóra megengedett nyírófeszültség: τmeg=6.5 MPa

Megoldás

Az axiálisan átvihető erő:Fax = d · l · π · τmeg = 5360N

Csavarással átvihető nyomaték:

τmeg =2 · T

d2 · π · l−→ T =

d2 · π · l2

· τmeg = 20101Nmm

3.2.6. Egyszeresen átlapolt ragasztott kötéssel b=20 mm szélességű, v=1.5 mm vastagságúlemezeket kötünk össze. A ragasztó nyírószilárdsága τB=8 MPa. Határozza meg a kötésszükséges „l” átlapolási hosszát F=1200 N húzóerő esetén, ha a megkívánt biztonságitényező értéke 2! Mekkora a lemezben ébredő húzófeszültség nagysága? Készítsen vázlatotés a válaszát indokolja!

70

Megadott adatok

Szélesség: b=20 mmVastagság: v=1.5 mmRagasztó nyírószilárdsága: τB=8 MPaHúzóerő: F=1200 NBiztonsági tényező: S=2

Vázlat

Megoldás

A ragasztóra megengedett csúsztatófeszültség:

τmeg =τBS

= 4MPa

A ragasztással átvihető húzóerő (egyszeresen átlapolt kötés esetén):

F = τmeg · l · b −→ l =F

τmeg · b= 15mm

A lemezben ébredő feszültség:

σh =F

b · v= 40MPa

3.2.7. Egy egyszeresen átlapolt ragasztott kötéssel 50 mm szélességű és 2 mm vastagságú le-mezeket akarunk összekötni. A lemez anyagára megengedett húzófeszültség 120 MPa.A ragasztóanyag nyírószilárdsága 18 MPa. Határozza meg a ragasztott kötésben szük-séges átlapolási hosszat és terhelőerő nagyságát, a lemez és a ragasztóanyag maximálisterhelhetőségének kihasználása esetén! A ragasztott kötés biztonsági tényezője 1.5.

Megadott adatok

Szélesség: b=50 mmVastagság: v=2 mmA lemez anyagára megengedett húzófeszültség: σmeg=120 MPaA ragasztóanyag nyírószilárdsága: τB=18 MPaBiztonsági tényező: S=1.5

Megoldás

A ragasztóra megengedett csúsztatófeszültség:

τmeg =τBS

= 12MPa

A lemezben ébredő maximális feszültség:

σmeg =Fmaxb · v

A ragasztóban ébredő maximális feszültség:

τmeg =Fmaxb · l

Az előző két egyenlet átrendezve a maximális terhelőerőre:

Fmax = σmax · b · v = τmeg · b · l = 12000N

Ezt átrendezve és egyszerűsítve kapható az átlapolási hossz:

l =σmegτmeg

· v = 20mm

71

3.2.8. Mekkora legyen a `=15 mm hosszan beragasztott alumínium csap minimális átmérője,hogy (végszükség esetén) csavarással a csap képlékeny alakváltozása nélkül ki lehessenvenni a furatból? Az alumínium folyáshatára 200 MPa, a ragasztó nyírószilárdsága 10MPa.

Megadott adatok

Folyáshatár: ReH=200 MPaRagasztó nyírószilárdsága: τB=10 MPaKötéshossz: `=15 mm

Megoldás

A megadott folyáshatár a húzó-nyomó folyás-határ! A folyáshatár csavarásra:

τF =ReH√

3= 115.47MPa

Csavarónyomaték a maximális nyírófeszültséghez és a csap tönkremeneteléhez:

T = τB ·d2 · π · `

2= τF ·

d3π

16

A két csavarónyomaték egyenlővé tétele esetén:

τB ·d2 · π · `

2= τF ·

d3 · π16

−→ τB · ` =τF · d

8

Ezt átrendezve a csapátmérőre:

d =τBτF· 8 · ` = 10.392mm

3.2.9. Mekkora legyen az ábrán látható ragasztott csőkötésnél (d=Ø14 mm) a csőtoldat hossza,ha azt akarjuk, hogy maximális terhelhetőség esetén a kötés szilárdsága a cső szilárdságávalazonos legyen? A cső anyagának folyáshatára 180 MPa, a ragasztó nyírószilárdsága 10MPa.

Megadott adatok

Folyáshatár: ReH=180 MPaRagasztó nyírószilárdsága: τB=10 MPaÁtmérő: d=14 mmVastagság: v=1 mm

Megoldás

A cső keresztmetszete:

Acs =d2 − (d− 2 · v)2

4· π = 40.841mm2

A cső maximális terhelhetősége:

F = ReH ·Acs = 7351.33N

72

A ragasztott kötés maximális terhelhetősége:

F = τB · d · π · l1

Innen a ragasztás hossz (egy oldalon):

l1 =F

τB · d · π= 16.714mm

A csőtoldat teljes hossza:l = 2 · l1 = 33.429mm

3.2.10. A ábrán látható 5 mm átmérőjű csap ragasztott kötéssel van a furatban rögzítve. A ra-gasztóanyag megengedett nyírószilárdsága 10 MPa. A ragasztóanyag maximális teher-bírásának kihasználásával határozza meg a csap ` hosszúságát, ha a terhelése: F=2500N, T=10 Nm! Válaszát a szükséges összefüggésekkel indokolja!

Megadott adatok

Átmérő: d=5 mmRagasztó nyírószilárdsága: τB=10 MPaHúzó terhelés: F=2500 NCsavaró terhelés: T=10 Nm

Megoldás

A húzásból és nyomásból adódó nyírófeszültsé-gek:

τh =F

d · π · `

τcs =2 · T

d2 · π · `

Az eredő nyírófeszültség:

τ =√τ2h + τ2

cs −→ τ =

√(F

d · π · `

)2

+

(2 · T

d2 · π · `

)2

Átrendezve és kifejezve az ` hosszat:

` =1

d · π · τmeg·√F 2 +

4 · T 2

d2= 30.029mm

73

4. Hegesztett kötések

4.1. Acélok hegeszthetősége

4.1.1. Ötvözetlen acélok

• Ha C < 0.23% −→ jól hegeszthető

• Ha 0.23% 6 C < 0.3% −→ nehezen hegeszthető, megfelelő technológia szükséges: általábanívhegesztés + O2 távoltartás (védőgáz, bevonat alatti hegesztés, bevonat égéséből védőgáz)

• C > 0.3% −→ rosszul hegeszthető (előmelegítés, lassú lehűtés)

4.1.2. Ötvözött acélok

Szén egyenértékűség:

[C] = C +Mn

9+Cr

9+Ni

18+

7

80Mo

Az anyagvastagság hatása:

[C]S = [C] ·(

1 +S

2

)Ahol S: az anyagvastagság centiméterben!

• Ha [C]S 6 0.4 −→ jól hegeszthető

• Ha [C]S > 0.4 −→ rosszul, csak előmelegítéssel hegeszthető

4.2. Feszültség összetevők

A feszültségkompenensek értelmezése az ISO TC 44 szerint:

A külső feszültségösszetevők:

n: merőleges a felületret⊥: síkban, merőleges a hossztengelyret‖: síkban, párhuzamos a hossztengellyel

Abban az esetben, ami a fenti ábrán látható:

n =F

A=

F∑(a · lh)

t‖, t⊥ = 0

A belső feszültség összetevők:

σ⊥: merőleges a síkraσ‖: párhuzamos a hossztengellyelτ⊥: síkban, merőleges a hossztengelyreτ‖: síkban, párhuzamos a hossztengellyel

lh −→ a hasznos varrathossz:- körvarrat esetén: lh = l- nem záródó varrat esetén: lh = l − 2a

74

A belső feszültség összetevők meghatározása a külső feszültség összetevők alapján:

σ⊥ = n · cos θ + t⊥ · sin θ

τ⊥ = −n · sin θ + t⊥ · cos θ

τ‖ = t‖

Derékszögű sarokvarrat esetén:

sin θ = cos θ =1√2

Az összes egyszerre −→ egyenértékű feszültség:

σred =√σ2‖ +K · (σ2

⊥ + λ · (τ2⊥ + τ2

‖ )) 6 σmeg

Mérések alapján (az esetek többségében):

K = 1

σ‖ = 0

λ = 1.8

Ezeket visszahelyettesítve:

σred =√σ2⊥ + 1.8 · (τ2

‖ + τ2⊥) 6 σmeg

Ezek alapján a hegesztett varrat statikus biztonsági tényezője:

S =σmegσred

4.3. Számpéldák

4.3.1. Mekkora maximális terhelés engedhető meg az ábrán látható hegesztett kötésre, ha amegkívánt statikus biztonsági tényező 1.7, valamint b=20 mm, v=5 mm? A varrat határ-állapoti feszültsége 170 MPa.

Megadott adatok

Biztonsági tényező: S = 1.7A hasznos keresztmetszet hajlásszöge a lemez-síkhoz: θ = 45◦

Határfeszültség: σhat = 170 MPaSzélesség: b = 20 mmVastagság: v = 5 mmGyökméret: a = 3.5 mm

Megoldás

A hasznos varrathossz: lh = 2 · (b+ v) = 2 · (20 + 5) = 50mmA varratkeresztmetszet: Av = lh · a = 50 · 3.5 = 175 mm2

Külső feszültségkomponensek:

n =F

lh · at⊥ = 0MPa t‖ = 0MPa

75

Belső feszültségkomponensek:

σ⊥ = n · cos θ + t⊥ · sin θ =n√2

τ⊥ = −n · sin θ + t⊥ · cos θ =−n√

2

τ‖ = t‖ τ‖ = 0

Redukált feszültség:

σred =√σ2⊥ + 1.8 · (τ2

⊥ + τ2‖ ) = n ·

√1

2+ 1.8 · 1

2=

F

lh · a·√

1.4

A statikus biztonsági tényező:S =

σhatσred

Átrendezve:σred =

σhatS

= 100MPa

A maximális terhelés:F =

σred · lh · a√1.4

= 14790N

4.3.2. Mekkora gyökmérettel ellenőrizzük az alábbi ábrán látható kettős varratból álló hegesztettkötést? Hegeszthetők-e az anyagok, ha összetételük C=0.24%; Cr=1.6%; Mn=1.2%?

Megadott adatok

C = 0, 24 %

Cr = 1, 6 %

Mn = 1, 2 %

Megoldás

Mint ahogy az alábbi összefüggés is megmutatja a gyökméret és a lemezvastagság közötti párhu-zamot, látható, hogy a gyökméret jelen esetben egyenlő a kisebbik lemez vastagságával:

a1 + a2 > Smin = 10→ a = S = 10mm

Ezt követően, hogy az anyagok összehegeszthetőségét vizsgáljuk meg, a szén egyenértékűségiképlet segítségével:

[C] = C +Cr

9+Mn

9= 0, 551 %

Az anyagvastagság hatása:

[C]S = [C] ·(

1 +S

2

)= 0.8265 %

Tehát, csak rosszul, előmelegítéssel hegeszthető!

76

4.3.3. Az alábbi ábrán látható alkatrészeket ragasztás helyett hegesztett körvarrattal kötjükössze. A hegesztett szerkezet igénybevétele csavarás (T=240 Nm). Rajzolja be a varratotés ellenőrizze a varrat szilárdságát, ha a csövek anyagának folyáshatára 350 MPa.

Megadott adatok

Szerkezetet igénybevevő csavarónyomaték:T = 240NmCső külső átmérő: D = 24mmCső belső átmérő: d = 20mmAnyag folyáshatára: ReH = 350Nm

Megoldás

Először is rajzoljuk be a varratot:

Második lépésként a kötésre jellemző gyökméretet határozzuk meg:

a =D − d

2= 2mm

Majd a poláris keresztmetszeti tényező:

Kp =(D4 − d4) · π

16 ·D= 1405, 339mm3

Mivel jelen esetben a kötésre csak csavarás hat, ezért benne csakis felületekkel párhuzamos erőkébrednek, merőlegesek nem. Ezért: τ⊥ = 0MPaEzáltal a csavaró igénybevétel mértéke az alábbi már ismert összefüggés szerint számítható:

τ‖ =T

Kp= 170, 777MPa

A kötés ellenőrzéséhez szükséges a redukált feszültség kiszámítása, mivel jelen esetben összetettigénybevétel áll fent:

σred =√

1, 8 · τ2‖ = 229, 122MPa

Végül pedig a kötés biztonsági tényezője kerül számításra:

S =ReHσred

= 1, 528

Mivel S > 1, ezért a kötés megfelelő.

77

4.3.4. Ellenőrizze az alább látható ábrán a hegesztett hevederes kötés szilárdságát (a hajlítóigénybevétel elhanyagolásával), ha az anyagok folyáshatára egységesen 320 MPa.

Megadott adatok

Szerkezetet terhelő erő: F = 15000NKötés hossza: l = 120mmLemezvastagság: v = 5mmAnyag folyáshatára: σhat = 320MPaErőhatás szöge: α = 30◦

Varratra jellemző szög (mert sarokvarratról vanszó jelen esetben): θ = 45◦

Megoldás

A varratok ellenőrzésének első lépéseként szük-séges kiszámítani a maximális gyökméretet, azalábbi módon:

a =v√2

= 3, 54mm

Ezt követően az összes varrathossz meghatározása következik, ami mint az ábra alapján is jóllátható 4 varrat miatt megjelenő 4-szeres szorzó miatt így alakul:

lh = 4 · (l − 2 · a) = 451, 716mm

Így a vizsgált felület értéke már könnyen meghatározható:

Av = lh · a = 1597, 056mm2

Majd következő lépésként a terhelő erőt szükséges a kötésre merőleges és párhuzamos kompo-nensekre bontani, jelen esetben szükséges megjegyezni, hogy a normális komponens nulla:

n = 0N

F‖ = F · sin(α) = 7500N

F⊥ = F · cos(α) = 12990, 381N

A fentiekből a külső feszültségkomponensek:

t⊥ =F⊥lh · a

= 8, 134MPa

t‖ =F‖

lh · a= 4, 696MPa

És a belső feszültségkomponensek:

σ⊥ = n · cos(θ) + t⊥ · sin(θ) = 5, 752MPa

τ⊥ = −n · sin(θ) + t⊥ · cos(θ) = 5, 752MPa

78

τ‖ = t‖ = 4, 696MPa

Ezután következik a redukált feszültség kiszámítsa,mivel a hegesztett kötésekben általában többirányú feszültség is fellép, ezért van rá jelen esetben is szükség:

σred =√σ2⊥ + 1, 8 · (τ2

⊥ + τ2‖ ) = 11, 503MPa

Így már számítható a statikus biztonsági tényező a klasszikus módon:

S =σhatσred

= 27, 818

Mivel a kapott biztonsági tényező nagyobb mint 1, ezért a kötés megfelelő.

4.3.5. Az ábrán látható kardánvilla hegesztett kötéssel kapcsolódik a kardántengelyhez. A ten-gelyt 150 Nm csavarónyomaték és 980 N húzóerő terheli. Ellenőrizze a varrat szilárdsá-gát, ha az anyagok folyáshatára egységesen 240 MPa.

Megadott adatok

Szerkezetet terhelő húzóerő: F = 980NKötés külső átmérő: D = 34mmKötés belső átmérő: d = 28mmAnyag folyáshatára: σhat = 240MPaCsavarónyomaték: T = 150Nm

Megoldás

Első lépésben a varrat gyökméretét határozzuk meg a megadott geometriai adatok alapján:

a =D − d

2= 3mm

Ezt követően szükséges meghatározni Kp keresztmetszeti tényezőt:

Kp =D4 − d4

D· π

16= 4167, 692mm3

Majd a vizsgált felület nagysága:

A =D2 − d2

4· π = 292, 168mm2

A vizsgált felület nagyságának meghatározása után jön az feszültségkomponensek számítása azokpárhuzamos és normális irányú komponenseire bontásával:

t‖ =T

Kp= 35, 991MPa

n =F

A= 3, 354MPa

79

Ezután látható, hogy a merőleges feszültségkomponens egyenlő a normál irányúval, míg a pár-huzamos feszültség a párhuzamos komponenssel:

σ⊥ = n = 3, 354MPa

τ⊥ = 0MPa

τ‖ = t‖ = 35, 991MPa

Mindezeket követően a több irányú feszültségek miatt szükséges a redukált feszültség kiszámítása:

σred =√σ2⊥ + 1, 8 · (τ2

⊥ + τ2‖ ) = 48, 404MPa

Végül pedig a biztonsági tényező számítása következik:

S =ReHσred

= 4, 958

Mivel S értéke nagyobb, mint egy, ezért a kötés megfelelő.

4.3.6. Határozza meg az ábrán látható hegesztett kötés statikus biztonsági tényezőjét (maximá-lisan alkalmazható gyökméret esetén), ha a terhelés F=25 kN! A geometriai adatok l=55mm, b=20 mm, v=5 mm és α = 30°. A hegesztett varrat határállapoti feszültsége 170MPa.

Megadott adatok

Szerkezetet terhelő erő: F = 25000NKötés hossza: l = 55mmLemezvastagság: v = 5mmLemezszélesség: b = 20mmAnyag folyáshatára: σhat = 170MPaErőhatás szöge: α = 30◦

Varratra jellemző szög (mert sarokvarratról vanszó jelen esetben): θ = 45◦

Megoldás

A varratok ellenőrzésének első lépéseként szükséges kiszámítani a maximális gyökméretet, azalábbi módon:

a =v√2

= 3, 54mm

Ezt követően az összes hasznos varrathossz meghatározása következik, ami mint az ábra alapjánis jól látható 2 varrat miatt megjelenő 2-szeres szorzó miatt így alakul:

lh = 2 · (l − 2 · a) = 95, 858mm

Így a vizsgált felület értéke már könnyen meghatározható:

Av = lh · a = 338, 909mm2

80

Majd következő lépésként a terhelő erőt szükséges a kötésre merőleges és párhuzamos kompo-nensekre bontani, jelen esetben szükséges megjegyezni, hogy a normális komponens nulla:

n = 0N

F‖ = F · sin(α) = 21650, 635N

F⊥ = F · cos(α) = 12500N

A fentiekből a külső feszültségkomponensek:

t⊥ =F⊥lh · a

= 36, 883MPa

t‖ =F‖

lh · a= 63, 883MPa

És a belső feszültségkomponensek:

σ⊥ = n · cos(θ) + t⊥ · sin(θ) = 26, 08MPa

τ⊥ = −n · sin(θ) + t⊥ · cos(θ) = 26, 08MPa

τ‖ = t‖ = 63, 883MPa

Ezután következik a redukált feszültség kiszámítsa,mivel a hegesztett kötésekben általában többirányú feszültség is fellép, ezért van rá jelen esetben is szükség:

σred =√σ2⊥ + 1, 8 · (τ2

⊥ + τ2‖ ) = 96, 179MPa

Így már számítható a statikus biztonsági tényező a klasszikus módon:

S =σhatσred

= 1, 768


4.3.7. Határozza meg az ábrán látható hegesztett kötés statikus biztonsági tényezőjét, ha F=25kN, b=40 mm, v=10 mm! A varrat határállapoti feszültsége 170 MPa.

Megadott adatok

Szerkezetet terhelő erő: F = 25000NLemezvastagság: v = 10mmLemezszélesség: b = 40mmAnyag folyáshatára: σhat = 170MPaVarratra jellemző szög (mert sarokvarratról vanszó jelen esetben): θ = 45◦

Varrat gyökméret: a = 3, 5mm

81

Megoldás

A feladat megoldását az összes hasznos varrathossz meghatározásával kezdjük, ami, mint az ábraalapján is jól látható, a körvarrat miatt a b · v méretű lemez kerülete lesz:

lh = 2 · (b+ v) = 100mm

Így a vizsgált varratkeresztmetszet értéke már könnyen meghatározható:

Av = lh · a = 350mm2

Ezt követően a külső feszültségkomponenseket határozzuk meg, amik mint ahogy az ábrán is jóllátható csak normál irányúak lesznek:

n =F

lh · a= 71, 429mm

Vagyis a merőleges és a párhuzamos komponensek egyaránt 0 MPa értékűek:

t⊥ = 0MPa

t‖ = 0MPa

Mindezek alapján a belső feszültségkomponensek:

σ⊥ = n · cos(θ) + t⊥ · sin(θ) = 50, 51MPa

τ⊥ = −n · sin(θ) + t⊥ · cos(θ) = −50, 51MPa

τ‖ = t‖ = 0MPa

Ezt követi a redukált feszültség kiszámolása a jelenlévő több irányú feszültségek miatt:

σred =√σ2⊥ + 1, 8 · (τ2

⊥ + τ2‖ ) = 84, 52MPa

És végül számítható a statikus biztonsági tényező az ismert módon:

S =σhatσred

= 2, 011


82

4.3.8. Határozza meg az alábbi ábrán látható hegesztett zárófedéllel lezárt csőcsonkban a meg-engedhető túlnyomás értékét, ha maximális gyökméret alkalmazása esetén a hegesztettkötésben ébredő feszültség megengedett értéke 100 MPa! Geometriai adatok: D=210mm, d=200 mm, v=10 mm. (A radiális méretváltozásból származó feszültségeket nevegye figyelembe!)

Megadott adatok

Zárófedél átmérő: D = 210mmCsőcsonk belső átmérő: d = 200mmMegengedett maximális kötésben ébredő fe-szültség (ez a kötésben ébredő redukált feszült-ség): σred = 100MPaLemezvastagság: v = 10mmVarratra jellemző szög (mert sarokvarratról vanszó jelen esetben): θ = 45◦

Megoldás

A megoldás első lépéseként meg kell határozni a varrat gyökméretét:

a =v√2

= 7, 071mm

Majd a varrat keresztmetszete következik (az a körgyűrű aminek a belső átmérője D a külsőpedig D + 2 · a):

Av =(D + 2 · a)2 −D2

4· π = 4822, 107mm2

Ezt követően felírjuk a feszültségkomponensek meghatározására szolgáló kifejezést, amely esetbenszükséges megjegyezni, hogy csakis normális irányú feszültséget vizsgálunk, mivel a fedelet abezárt nyomás kifelé nyomja, így nem áll fent más irányú igénybevétel a kötésben:

n =F

Av= p · d

2 · π4 ·Av

t⊥ = 0MPa

t‖ = 0MPa

Majd a varrat középsíkjában ébredő belső feszültségkomponensek összefüggéseit is felírjuk:

σ⊥ = n · cos(θ) + t⊥ · sin(θ) = n ·√

2

2

τ⊥ = −n · sin(θ) + t⊥ · cos(θ) = −n ·√

2

2

τ‖ = t‖ = 0MPa

Ezután a fenti összefüggések kerülnek behelyettesítésre a redukált feszültség képletébe, amit mintegyenletet ezt követően megoldunk n-re:

σred =√σ2⊥ + 1, 8 · (τ2

⊥ + τ2‖ ) = n ·

√1, 4

83

Ebből a normál feszültség komponens:

n =σred√

1, 4= 84, 515MPa

Ebből visszaszámítva a belső túlnyomást:

n = p · d2 · π

4 ·Av−→ p =

4 · n ·Avd2 · π

= 12, 972MPa

4.3.9. Mekkora az ábrán látható hegesztett kötés (maximális gyökméret esetén) az (1) lemez bszélessége, ha a varratban és az (1) lemezben ébredő feszültség megegyezik! Mekkora avarrattal szembeni statikus biztonsági tényező F=15 kN terhelés esetén? Adatok: l=40mm, a lemezvastagság v=4 mm, a varrat határállapoti feszültsége 170 MPa.

Megadott adatok

Terhelő erő: F = 15000NLemez vastagsága v = 4mmKötéshossz: l = 40mmVarrat határállapoti feszültsége:σhat = 170MPaVarratra jellemző szög (mert sarokvarratról vanszó jelen esetben): θ = 45◦

Megoldás

Feladat megoldásának első lépéseként a varrat gyökméretét kell meghatározni:

a =v√2

= 2, 83mm

Ezt követően a hasznos varrathossz kerül kiszámításra:

lh = 2 · (l − 2 · a) = 68, 686mm

A hasznos varrathossz után a külső feszültségkomponensek kerülnek felírásra, ahol a normál, ésmerőleges irányúak értéke 0, mivel nem ébred ilyen irányú igénybevétel:

n = 0MPa

t⊥ = 0MPa

t‖ =F

lh · a= 77, 21MPa

Mindezek alapján a belső feszültségkomponensek:

σ⊥ = n · cos(θ) + t⊥ · sin(θ) = 0MPa

τ⊥ = −n · sin(θ) + t⊥ · cos(θ) = 0MPa

τ‖ = t‖ = 77, 21MPa

84

Ezt követi a redukált feszültség kiszámolása a jelenlévő több irányú feszültségek miatt:

σred =√σ2⊥ + 1, 8 · (τ2

⊥ + τ2‖ ) = 103, 589MPa

Majd, hogy a feladatban kérdésként megfogalmazott geometriai "b" méretet meg lehessen hatá-rozni, a szövegben megadott feltétel szerint a hevederben ébredő húzófeszültség értéke megegyezika redukált feszültség értékével, így a húzófeszültség értékére felírható a klasszikus σ = F

A képlet:

σh = σred =F

b · v

A fenti egyenletet átrendezve b-re:

b =F

σred · v= 36, 201mm

És végül a statikus biztonsági tényező a már ismert módszer alapján:

S =σhatσred

= 1, 641

Mivel S értéke nagyobb, mint egy, ezért a kötés megfelelt.

4.3.10. Határozza meg az ábrán látható hegesztett kötés terhelhetőségét (maximális gyökméretesetén), ha a zártszelvény mérete 40/40x2.5 mm és a megkívánt statikus biztonságitényező 1.5! A varrat határállapoti feszültsége 180 MPa.

Megadott adatok

Lemez vastagsága v = 2, 5mmKötéshossz: b = 40mmVarrat határállapoti feszültsége:σhat = 180MPaVarratra jellemző szög (mert sarokvarratról vanszó jelen esetben): θ = 45◦

Megkívánt statikus biztonsági tényező: S = 1, 5

Megoldás

Első lépésként meg kell határozni a varrat maximális gyökméretét, ami jelen esetben megegyezika lemezvastagsággal:

a = v = 2, 5mm

Mivel a varrat igénybevétele húzás, így csak a normál irányú külső feszültség komponenst vesszükfigyelembe, amire a következő összefüggés áll fenn:

n =F

Σ(lh · a)

Ahol:lh = 4 · b = 160mm

85

És:t⊥ = 0MPa

t‖ = 0MPa

Ezt követően felírásra kerülnek a varrat középsíkjában ébredő feszültségkomponensek:

σ⊥ = n · cos(θ) + t⊥ · sin(θ) =n√2

τ⊥ = −n · sin(θ) + t⊥ · cos(θ) = − n√2

τ‖ = t‖ = 0MPa

Ezután a fenti összefüggések kerülnek behelyettesítésre a redukált feszültség képletébe, amit mintegyenletet ezt követően megoldunk n-re:

σred =√σ2⊥ + 1, 8 · (τ2

⊥ + τ2‖ ) = n ·

√1, 4

Majd a statikus biztonsági tényezőből visszaszámítva meghatározható a redukált feszültség ér-téke:

σred =σhatS

= 120MPa

Ezt követően a redukált feszültség és a normális irányú feszültség komponens egyenleteinek össze-vonásával kifejezhető a terhelő erő:

σred =F

lh · a·√

1, 4→ F =σred · lh · a√

1, 4= 40567, 404N

86

5. Rugalmas kötések (rugók)

5.1. Hengeres csavarrugók

Fe Fmax

F

fe

fmax

f

Jellemző méretek:d: szálátmérőD: középátmérőP: menetemelkedésδ: menetek közötti távolság

Méretezés:

• Hajlításra (kis méretnélelhanyagolható)

• Csavarásra

5.2. Csavarrugó méretezése

Méretezés csavarásra:

τred =Mcs

Kp=F · r · 16

d3 · π=

16 · F ·D2 · d3 · π

≈ 2.55 · F ·Dd3

τmax = k · τnevl 6 τmeg −→ d = 3

√2.55 · F ·D · k

τmeg

Egy menet lehajlása:

f1 = D · π ϕ

2 · π=D · l1G · d

· τmax =π ·D2

G · d· τmax

Ahol:G =

E

2 · (1 + ν)

Rugó összenyomódás:

fmax = i · f1 = i · π ·D2

G · d· 2.55 · F ·D · k

d3=

8 ·D3 · F · i · kG · d4

Rugómerevség:

S =F

f=

G · d4

8 ·D3 · i · k

87

5.3. Számpéldák

5.3.1. 1250 Nm nyomatéknál 20° szögelfordulást megengedő torziós rugót méretezünk. A rugóműködő hossza 750 mm, anyaga rugóacél, folyáshatára 1100 MPa. Mekkora lesz így arugó biztonsági tényezője?

Megadott adatok

Nyomaték: T=1250 NmSzögelfordulás: ϕ=20°A rugó hossza: l=750 mmFolyáshatár: ReH=1100 MPa

Egyéb alapadatok (ezeket fejből kell tudni!)

Poisson-tényező: ν=0.3Young modulus: E=210000 MPa

Megoldás

A torziós rugó átmérőjének kiszámolásához először ismerünk kell a torziós modulust (G), és apoláris másodrendű nyomatékot(Ip)!

G =E

2 · (1 + ν)= 80769.2MPa

Ip =d4 · π

32

Ezeket visszahelyettesítve a szögelfordulásba, majd abból kifejezve az egyetlen ismeretlent, arugó átmérőjét:

ϕ =T · l

d4·π32 ·G

−→ d = 4

√32 · T · lπ · ϕ ·G

= 24.124mm

Az átmérő ismeretében már kiszámolható a poláris keresztmetszeti tényező:

Kp =d3 · π

16= 2756.725mm

Ezzel már számolható a maximális csavarófeszültség :

τmax =T

Kp=

Td3·π16

= 453.4MPa

Bár a feladat elején a folyáshatár meg lett adva, viszont ne felejtsük el, hogy ha a feladat nem írjale az adott folyáshatár típusát az mindig húzó-nyomó folyáshatár (ReH)! Ezt mindenképpen átkell alakítani csavaró folyáshatárra (τF ):

τF =ReH√

3= 635.1MPa

A biztonsági tényező ebből:S =

τFτmax

= 1.401

88

5.3.2. Milyen átmérőjű acélhuzalból kell tekercselni azt a 80 mm középátmérőjű hengeres csavar-rugót, amelynek szükséges rugómerevsége 25 N/mm, összenyomódása 25 mm, valaminttöréssel szembeni biztonsága 1.5. A rugóhuzal folyáshatára 1800 MPa, a k tényező értéke1.5. Rajzolja fel a rugódiagramot is!

Megadott adatok

A rugó középátmérője: D = 80mmSzükséges rugómerevség: s = 25 N

mmÖsszenyomódás: f = 25mmBiztonsági tényező: S = 1.5Folyáshatár: ReH = 1800MPak tényező: k = 1.5



Megoldás

A megadott összenyomódás eléréséhez szükséges erő:

F = s · f = 625N

A megadott húzó-nyomó folyáshatár (ReH), csavaró folyáshatárrá (τF ) alakítandó:

τF =ReH√

3= 1039.23MPa

Ezzel már számolható a megengedhető csavarófeszültség:

τmeg =τFS

= 692.82MPa

Az acélhuzal átmérője:

d = 3

√2.55 · k · F ·D

τmeg= 6.511mm

Rugódiagram

89

5.3.3. Milyen átmérőjű acélhuzalból kell tekercselni azt a 65 mm középátmérőjű hengeres csavar-rugót, amelynek szükséges rugómerevsége 25 N/mm, összenyomódása 25 mm, valaminttöréssel szembeni biztonsága 1.5. A rugóhuzal folyáshatára 1300 MPa, a k tényező értéke1.5. Legalább hány menetből álljon a rugó?

Megadott adatok

A rugó középátmérője: D = 65mmSzükséges rugómerevség: s = 25 N

mmÖsszenyomódás: f = 25mmBiztonsági tényező: S = 1.5Folyáshatár: ReH = 1300MPak tényező: k = 1.5



Megoldás

A megadott összenyomódás eléréséhez szükséges erő:

F = s · f = 625N

A megadott húzó-nyomó folyáshatár (ReH), csavaró folyáshatárrá (τF ) alakítandó:

τF =ReH√

3= 750.56MPa

Ezzel már számolható a megengedhető csavarófeszültség:

τmeg =τFS

= 500.37MPa

A torziós modulus:G =

E

2 · (1 + ν)= 80769.231MPa

Az acélhuzal átmérője:

d = 3

√2.55 · k · F ·D

τmeg= 6.772mm

A rugó összenyomódása:

f =8 ·D3 · F · i · k

G · d4

Ebből már kifejezhető a szükséges menetek száma:

i =f ·G · d4

8 ·D3 · F · k= 2.062

90

6. Tengelykötések, tengelykapcsolók

6.1. Tengelykialakítások

Forgótengely −→ ellenőrzés kifáradásra!Állótengely −→ összetett igénybevétel:

• hajlítás

• csavarás

• nyírás

Keresztmetszeti tényező (K), poláris keresztmetszeti tényező (Kp) és a feszültségek:

Hajlítás Csavarás

Tömör:K =

d3 · π32

Kp =d3 · π

16

Csőtengely:K =

D4 − d4

D· π

32Kp =

D4 − d4

D· π

16

A feszültségek: σhajl =Mh

Kτcsav =

T

Kp

A redukált feszültség: σred =√σ2hajl + 3 · τ2

csav

Feszültségtorlódás csökkentése a tengelyvállon

Csillapítatlan megoldás:A feszültségvonalak kis ívben kanyarodnak, amiaz alkatrész élettartamát jelentősen csökkenti.Kialakítások a kedvezőbb feszültségvonal irá-nyokhoz:

Tehermentesítő beszúrás

Kosárgörbe

Beszúrás a homlokfelületen

91

Tengely alakváltozása

Lehajlás: fmax = 13000 ≈ 0.33 mm

m

tan(β) 6 0, 001 −→ β 6 0, 1◦

Csavarodás: ϕ 6 0, 25 fokm

Kritikus fordulatszám

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

f

nnkrit

Elmélet: f −→∞Gyakorlat: f <<∞A 0.4 és 1.6 közötti tartományban tilos a ten-gelyt tartósan üzemeltetni!A kritikus fordulatszám:

Hajlításra:

nkrit =1

2 · π

√S

m

Csavarásra:

nkrit =1

2 · π

√Spθ

6.2. Alakzáró kötések

6.2.1. Reteszkötés

Kis és közepes nyomaték átvitelére.

Igénybevétel: palástnyomás, nyírás.

p =F

A=Mcs

d/2· 1

(h− t1) · l=

2 ·Mcs

d · b · l6 pmeg

τ =F

A=Mcs

d/2· 1

b · l=

2 ·Mcs

d · b · l6 τmeg

Szabványos méretű retesznél a mértékadó ter-helés a palástnyomás.

92

6.2.2. Bordás tengelykötés

Nagy nyomaték átvitelére.Igénybevétel: palástnyomás. (A nyírás általában elhanyagolandó!)Palástnyomás:

p =F

A=

2 ·Mdk· 1(

D−d2 − 2 · f

)· l · z

6 pmeg

Az átvihető nyomaték:

M = 0.75 · ψ ·(D − d

2− 2 · f

)· l · z · rk · pmeg

Ahol:Közepes sugár: rk = D+d

4Dinamikus tényező: ψ = 0.4...0.9 (a dinamikus terhelés hatását veszi figyelembe)Élletörés: f = 0.3...0.5mmA 0,75-ös szorzóval azt vesszük figyelembe, hogy a terhelést az érintkező felületeknek mintegy75%-a veszi csak fel.

6.3. Erőzáró kötések

6.3.1. Kúpos tengely-agy kötés

• játékmentesen illeszthető

• jól központozható

• önzáró, ha ρ ≯ α, ahol: ρ = atan(µ)


M = p ·A · µ · rk

Ahol:

rk =1

3· d

32 − d3

1

d22 − d2

1

≈ d2 + d1

4

A =(d3

2 − d31) · π4

sinα

cos ρ =N

R

FaxR

= sin(α+ ρ)

p ·A = N = R · cos ρ = Fax ·cos ρ

sin(α+ ρ)

Ezeket visszahelyettesítve az átvihető nyomaték:

M = µ ·N · rk = µ · Fax ·cos ρ

sin(α+ ρ)· rk

93

6.3.2. Szilárd illeszkedésű kötés

Az átvihető kerületi erő:FK = µ · d · π · l


M = FK ·d

2

6.4. Számpéldák

6.4.1. Egy 25 mm átmérőjű hengeres tengely végére 1:10 kúposságú tengelyvéget készítünk 20mm hosszon. Mekkora felületi nyomás alakul ki a tengely és az agy között, ha az átviendőnyomaték 35 Nm. Mekkora axiális erőre van szükség a nyomaték átviteléhez? A súrlódásitényező 0.3. Rajzolja is le a tengelykötést géprajzilag helyesen!

Megadott adatok

A nagyobbik átmérő: D = 25mmKúposság: k = 1 : 10 = 0.1Kötéshossz: l = 20mmNyomaték: T = 35NmSúrlódási tényező: µ = 0.3

Megoldás

Mindenekelőtt határozzuk meg, hogy a kötés önzáró-e? Ehhez kell a félkúpszög (α) és a súrlódásifélkúpszög (ρ):

α = arctan

(k

2

)= 2.863◦ ρ = arctan(µ) = 16.699◦

Mivel α < ρ, a kötés önzáró (anyát biztosítani kell)!A kisebbik átmérőt (d) a kúposság (k) definíciójából lehet kifejezni:

k =D − dl−→ d = D − k · l = 23mm

A középátmérő:

dk =D + d

2= 24mm

A kerületi erő (súrlódó erő):

Fk =2 · Tdk

= 2916.667N

A normál erő:Fn =

Fkµ

= 9722.222N

A kúpfelület nagysága:

A = dk · π ·1

cos(α)= 1509.848mm2

A felületi nyomás:

p =FnA

= 6.439MPa

Az axiális erő:Fax = Fn ·

sin(α+ ρ)

cos(ρ)= 3398.532N

94

Másképpen:Fax = Fn · (sin(α) + µ · cos(α)) = 3398.532N

Tengelykötés géprajzilag helyesen

6.4.2. Egy 30 mm átmérőjű hengeres tengely végére kúpos tengelyvéget készítünk 30 mmhosszon. A kúp kisebbik átmérője 25 mm. Mekkora felületi nyomás alakul ki a tengelyés az agy között, ha az átviendő nyomaték 70 Nm. Mekkora axiális erőre van szükség anyomaték átviteléhez? A súrlódási tényező 0.28. Rajzolja le a tengelykötés vektorábráját!

Megadott adatok

A nagyobbik átmérő: D = 30mmA kisebbik átmérő: d = 25mmKötéshossz: l = 30mmNyomaték: T = 70NmSúrlódási tényező: µ = 0.28

Megoldás

Mindenekelőtt határozzuk meg, hogy a kötés önzáró-e? Ehhez kell a félkúpszög (α) és a súrlódásifélkúpszög (ρ):

α = arctan

(D − d2 · l

)= 4.764◦ ρ = arctan(µ) = 15.642◦

Mivel α < ρ, a kötés önzáró (anyát biztosítani kell)! A középátmérő:

dk =D + d

2= 27.5mm

A kerületi erő (súrlódó erő):

Fk =2 · Tdk

= 5090.909N

A normál erő:Fn =

Fkµ

= 18181.818N

A kúpfelület nagysága:

A = dk · π ·1

cos(α)= 2600.798mm2

A felületi nyomás:

p =FnA

= 6.991MPa

95

Az axiális erő:Fax = Fn ·

sin(α+ ρ)

cos(ρ)= 6583.242N

Másképpen:Fax = Fn · (sin(α) + µ · cos(α)) = 6583.242N

Vektorábra

6.4.3. Bordástengely kötést tervezünk egy kardántengely számára. A tengely folyáshatára 480MPa, a szükséges biztonsági tényező 2, az átviendő nyomaték 350 Nm. Határozza mega szükséges középátmérőt és az alábbi táblázatból válassza ki a szabványos bordástengelyt(zxdxD)! Legalább milyen hosszú agyra van szükség, ha a megengedett felületi nyomás 80MPa? A lekerekítések és lesarkítások mérete egységesen 0.3 mm, a dinamikus tényező0.6!

Megadott adatok

Folyáshatár: ReH = 480MPaBiztonsági tényező: S = 2Nyomaték: T = 350NmMegengedett felületi nyomás: pmeg = 80MPaLekerekítések, lesarkítások: f = 0.3mmDinamikus tényező: Ψ = 0.6

Szabványos méretek

z 6 6 6 6 8 8d 21 23 26 28 32 36D 25 28 32 34 38 42

Megoldás

Bár a feladat elején a folyáshatár meg lett adva, viszont ne felejtsük el, hogy ha a feladat nem írjale az adott folyáshatár típusát az mindig húzó-nyomó folyáshatár (ReH)! Ezt mindenképpen átkell alakítani csavaró folyáshatárra (τF ):

τF =ReH√

3= 277.128MPa

A megengedett csavarófeszültség ebből:

τmeg =τFS

= 138.564MPa

Hengeres tengelyvéget feltételezve, a megengedett csavarófeszültség másik képletéből kifejezhetőa bordástengely minimális középátmérője (A konkrét bordakialakítás ismeretében helyes lehet

96

az a feltevés is, hogy az így számított dmin átmérő alapján választjuk a bordástengely minimálisátmérőjét.):

τmeg =16 · Td3min · π

−→ dmin = 3

√16 · Tπ · τmeg

= 23.431mm

A szabványból a méreteket úgy kell megválasztani, hogy a közepes átmérő nagyobb legyen azelőbb kiszámolt minimális közepes átmérőnél!Választott méretek: z = 6, d = 23mm, D = 28mm. Ezekkel a számokkal a közepes átmérő:

dk =D + d

2= 25.5mm

Mivel dk > dmin teljesül, a választott méretek megfelelőek.A szükséges agyhosszt a nyomaték képletének átrendezésével kaphatjuk meg:

T = 0.75 ·Ψ ·(D − d

2− 2 · f

)· l · dk

2· z · pmeg

⇓

l =2 · T

0.75 ·Ψ ·(D−d

2 − 2 · f)· dk · z · pmeg

= 66.888mm

6.4.4. Csónakmotor propellerét reteszkötéssel rögzítjük a tengelyén. Biztonsági okokból azt akar-juk, hogy ha a névleges nyomaték 30%-kal megnő, akkor a retesz nyíródjon el, meggátolvaezzel a propeller törését. Számítsa ki a szükséges reteszhosszt, ha az átvitt névleges nyoma-ték 40 Nm, a tengely átmérője 18 mm, a retesz keresztmetszete 6x6 mm, és a lesarkítás0.2 mm. A biztonsági retesz anyaga bronz, folyáshatára 180 MPa.

Megadott adatokTúlterhelés, ahol a retesznek nyíródnia kell: c = 30% = 0.3Nyomaték: T = 40NmÁtmérő: d = 18mmA retesz szélessége: b = 6mmLesarkítás: f = 0.2mmFolyáshatár: ReH = 180MPa

Megoldás

A megadott folyáshatár a húzó-nyomó folyáshatár. Ezt először át kell alakítani csavaró folyás-határrá:

τF =ReH√

3= 103.923MPa

A retesz hosszt úgy kell méretezni, hogy 30%-os túlterhelésnél elnyíródjon! Tehát a retesz akkorérje el a folyáshatárt, amikor a nyomaték 130%:

τ =2 · T · (1 + c)

d · b · l6 τF −→ l =

2 · T · (1 + c)

d · b · τF= 9.266mm

97

6.4.5. Súrlódó tárcsás tengelykapcsolóval 350 Nm nyomatékot kell átvinni. Konstrukciók okokmiatt a tárcsa belső átmérője 10 mm. Mekkora legyen a tárcsa külső átmérője, ha asúrlódó tárcsa megengedett felületi nyomása 24 MPa? Mekkora axiális erőt kell ehhez atengelykapcsoló rugójának kifejteni? Mekkora lesz a hővé alakuló súrlódási veszteség egykapcsolás során, ha a kapcsolódási idő 1 másodperc? A nyomólap és a súrlódó tárcsaközötti súrlódási tényező 0.3. Az üzemi fordulatszám 1500/perc

Megadott adatok

Nyomaték: T = 350NmBelső átmérő: d = 10mmMegengedett felületi nyomás: pmeg = 24MPaKapcsolási idő t = 1mpSúrlódási tényező: µ = 0.3Fordulatszám: n = 1500/perc

Megoldás

A külső átmérőt a nyomaték képletéből lehet kifejezni:

T =µ · pmeg · π

12· (D3 − d3) −→ D = 3

√12 · T

µ · pmeg · π+ d3 = 57.152

Az axiális erő:Fa =

pmeg · π4

· (D2 − d2) = 59684.811N

A szögsebesség a fordulatszámból:

ω = 2 · π · n = 157.08rad

s

A hővé alakuló súrlódási veszteség a kapcsolási idő alatt:

Wveszt =1

2· T · ω · t = 27488.936 J

6.4.6. Egy kardántengellyel 351 Nm nyomatékot viszünk át. A kardántengely hosszváltozásátbordás tengelykötés alkalmazásával biztosítjuk. Határozza meg a bordás tengelykötésszükséges hosszát, ha a tengely külső átmérője 42 mm, belső átmérője 36 mm, a bordákszáma 8, a lesarkítás mindenütt 0.5 mm! A kardántengely igénybevételét kétirányúdinamikus lökések jellemzik, így a megengedett felületi nyomása 10 MPa lehet.

Megadott adatok

Nyomaték: T = 351NmA tengely külső átmérője: D = 42mmA tengely belső átmérője: d = 36mmBordák száma: z = 8Lesarkítás: f = 0.5mmMegengedett felületi nyomás: pmeg = 10MPa

Megoldás

Mivel a kardántengely igénybevételét kétirányú dinamikus lökések jellemzik, a dinamikus ténye-zőt kis értékre kell választani, hogy a rendszer rendesen túl legyen méretezve:

Ψ = 0.4 ... 0.5

98

A közepes átmérő:

dk =D + d

2= 39mm

A szükséges agyhosszt a nyomaték képletének átrendezésével kaphatjuk meg:

T = 0.75 ·Ψ ·(D − d

2− 2 · f

)· l · dk

2· z · pmeg

Ha Ψ = 0.4:l =

2 · T0.75 ·Ψ ·

(D−d

2 − 2 · f)· dk · z · pmeg

= 375mm

Ha Ψ = 0.5:l =

2 · T0.75 ·Ψ ·

(D−d

2 − 2 · f)· dk · z · pmeg

= 300mm

6.4.7. A tengelykapcsolóval összekötött 30 mm átmérőjű tengelycsonkokat a két végükön alá-támasztott, egy darabból álló közös tengelynek tekintjük, amelynek közepén lévő tengely-kapcsoló tömege 10 kg. A tengely fordulatszáma 2000/perc, a tengelykapcsoló súlyábóleredő lehajlása az f = (F · l3)/(48 · I · E) összefüggéssel számítható. Számítsa ki a közöstengely kritikus fordulatszámát és értékelje a kapott eredményt!

Megadott adatok

Átmérő: d = 30mmA tengely tömege: m = 10 kgFordulatszám: n = 2000/percTengelyhossz (az ábra alapján): l = 270mmA feladatban szereplő E, a Young-modulus ér-tékét fejből kell tudni: E = 210000MPa.A g pedig a nehézségi gyorsulás: g = 9.807 m

s2

MegoldásA tengely kör alakú. Másodrendű nyomatéka:

I =d4 · π

64= 39760.782mm4

Ezzel már ki lehet számolni a megadott képlet alapján a lehajlást:

f =F · l3

48 · I · E=m · g · l3

48 · I · E= 0.00482mm

A kritikus fordulatszám:

nkrit =1

2 · π·√S

mAhol:

S =F

f=m · gf

Ezt behelyettesítve:

nkrit =1

2 · π·√

��m · gf ·��m

nkrit =1

2 · π·√g

f= 227.1

1

s= 13626.5

1

min

Értékelés: nkrit >> n, a tengelykapcsoló méretezése megfelelő.

99

6.4.8. Egy oldható, egytárcsás gépjármű tengelykapcsoló tárcsájának külső és belső átmérőjeØ180 mm ill. Ø135 mm. A Mekkora az átvihető nyomaték, és az ehhez szükséges axiáliskapcsolóerő, ha a súrlódó betétre megengedett felületi nyomás 0.9 MPa és a súrlódásitényező 0.13? (Az egyszerűsített közepes sugárral számoljon!)

Megadott adatok

Külső átmérő: D = 180mmBelső átmérő: d = 135mmMegengedett felületi nyomás: pmeg = 0.9MPaSúrlódási tényező: µ = 0.13

Megoldás

Az egyszerűsített közepes sugár:

rk =D + d

4= 78.75mm

A súrlódó felület nagysága:

A =D2 − d2

4· π = 11133.02mm2

Az axiális kapcsolóerő:Fax = pmeg ·A = 10019.72N

Fontos végiggondolni, hogy mennyi a súrlódó felületpárok száma! Az 1 darab súrlódó betét nemazt jelenti, hogy 1 súrlódó felületpár lesz. A betét mind a két oldalán lesz 1-1 súrlódó felületpár!Tehát a súrlódó felületpárok száma: z = 2.Ezzel már minden adott a nyomaték kifejezéséhez:

T = µ · Fax · rk · z = 205.15Nm

6.4.9. Egy oldható, egytárcsás gépjármű tengelykapcsoló tárcsájának külső és belső átmérője 110mm ill. 70 mm. A súrlódó tárcsára megengedett felületi nyomás 1.5 MPa. Mekkora aszükséges axiális kapcsolóerő és az átvihető nyomaték, ha a súrlódási tényező 0.2?

Megjegyzés: Azon kívül, hogy a számok másak, az előző és ez a feladat között mindössze annyia különbség, hogy itt nem az egyszerűsített közepes sugárral kell számolni.

Megadott adatok

Külső átmérő: D = 110mmBelső átmérő: d = 70mmMegengedett felületi nyomás: pmeg = 1.5MPaSúrlódási tényező: µ = 0.2

Megoldás

A közepes sugár:

rk =1

3· D

3 − d3

D2 − d2= 45.74mm

A súrlódó felület nagysága:

A =D2 − d2

4· π = 5654.87mm2

Az axiális kapcsolóerő:Fax = pmeg ·A = 8482.3N

A súrlódó felületpárok száma: z = 2.A nyomaték:

T = µ · Fax · rk · z = 155.19Nm

100

6.4.10. Egy D=40 mm, d=38 mm, l=45 mm kúpos tengelykötést 27 kN axiális befeszítőerővel szereltek. Mekkora az átvihető nyomaték és a kötésben kialakult palástnyomás,ha a súrlódási együttható 0.1? Az egyszerűsített közepes sugárral számoljon! Rajzoljameg a kötés vektorábráját, a megfelelő jelölésekkel!

Megadott adatok

Nagyobbik átmérő: D = 40mmKisebbik átmérő: d = 38mmKötéshossz: l = 45mmSúrlódási együttható: µ = 0.1

Megoldás

Az egyszerűsített közepes sugár:

rk =D + d

4= 19.5mm

A félkúpszög:

α = arctan

(D − d2 · l

)A normál erő az axiális erőből:

FN =Fax

sin(α) + µ · cos(α)

A nyomaték a normálerőből:

T = µ · FN · rk = 430.879Nm

A palástnyomás a normálerőből és a felületből:

p =FN · cos(α)

2 · rk · π · l= 40.067MPa

Vektorábra

101

7. Siklócsapágyak

7.1. Összefoglaló

A kenőanyagok jellemzői

Az elcsúszó rétegegek között ébredő τ csúszta-tófeszültség:

τ = η · dudy

Ezt átrendezve kapjuk meg a dinamikai viszko-zitást:

η =τdudy

= ν · ρ [Pa · s]

A kinematikai viszkozitás:ν =

η

ρ[m2/s]

Siklócsapágyak méretezése

Hengeres felületű hordozó csapágyak esetén acsapterheléséből a csapvetület felületegységérevonatkoztatott közepes terhelés:

pk =F

b · d

Ez egy elméleti érték, mert a valóságban a nyo-más nem egyenletesen oszlik meg sem a kerületmentén, sem a szélesség irányában.A csapágyjáték a felületek legnagyobb lehet-séges elmozdulása egy meghatározott irányba.

j = D − d

Ahol D a persely, d a csap átmérője.

Megkülönböztetünk minimális és maximális játékot, és az ezekből számtani középértékként szá-mított közepes játékot.Ezeket a furat és a csap tűréseiből szokás számolni (alsóindexek: FH=felső határ, AH=alsóhatár):

jmax = furatFH − csapAH

jmin = furatAH − csapFH

Ezek számtani közepe a közepes játék :

j =jmax + jmin

2

=(furatFH − csapAH) + (furatAH − csapFH)

2

=furatFH + furatAH

2− csapFH + csapAH

2

102

A relatív játék a csapágy játékkal arányos, mértékegység nélküli számérték:

Ψ =j

d=D − dd

=R− rr

=∆r

r

Excentricitás: a csap és a perselyfurat középpontja között je-lentkező távolság egy adott üzemállapotban: e [mm]A relatív excentricitás: résjellemző

ε =e

∆r=

2 · ej

Csapágyrés: a csapágy meghatározott üzemállapotában, a futó-felületek között, adott helyen mérhető távolság, jele: h.Relatív résméret :

δ =h

∆r

A minimális résméret :h0 = ∆r · (1− ε) =

j

2· (1− ε) =

j

2− e

A súrlódási tényező (µ) és a relatív játék (Ψ) hányadosaként kapjuk a súrlódási számot (C).Ezt a csapágyak számításakor olyan jellegben használunk, mint a csapágyterhelési számot.

C =µ

Ψ

Csapágyjellemző szám vagy csapágyterhelési szám (Sommerfeld-szám):

Φ =pk ·Ψ2

η · ω=

F

b · d· Ψ2

η · ω

Ez a szám a teherbírás szempontjából mértékadó dimenzió nélküli mennyiség.

Olajszükséglet: A csapágy Qt teljes olajszükséglete két részből áll: a Q természetes olajszük-ségletből és a túlnyomást igénylő Qp mennyiségből:

Qt = Q+Qp

A teljes olajszükséglet:

• félcsapágy (f = 180◦) esetén: Qt = 12 , ha Φ 6 1

2

• teljes csapágy (f = 360◦) esetén:

– ha Φ > 1 −→ Qt = 0.7 · 3√

Φ

– ha Φ < 1 −→ Qt = 0.7 · Φ

A természetes olajszükséglet:Q = Qt ·Ψ · d3 · ω

103

7.2. Számpéldák

7.2.1. Egy siklócsapágy névleges átmérője 25 mm, a csap tűrése -0.119 és -0.080 mm, a furaté0 és+0.25 mm. A Sommerfeld-számot 2-re, a b/d viszonyt 1-re választva, határozza mega közepes játék figyelembevételével a csapágy maximális terhelhetőségét, ha a kenőanyagviszkozitása 50 mm2/s, sűrűsége 900 kg/m3 és a tengely fordulatszáma 2000/perc.

Megadott adatok

Névleges átmérő: d = 25mmSommerfeld-szám: Φ = 2b/d viszony=1Viszkozitás: ν = 50 mm2

s

Sűrűség: ρ = 900 kgm3

Fordulatszám: n = 2000/min

TűrésekcsapFH = −0.080mmcsapAH = −0.119mm

furatFH = 0.25mmfuratAH = 0mm

Megoldás

A közepes játék:

j =furatFH + furatAH


2= 0.225mm

Mivel ismert az átmérő, valamint a b/d viszony, kiszámolható a siklócsapágy szélessége:

b = d · bd

= 25mm

Dinamikai viszkozitás:η = ν · ρ = 0.045 Pa · s

A relatív játék:

Ψ =j

d= 0.009

Szögsebesség:

ω = 2 · π · n = 209.44rad

s

A Sommerfeld-számból ki lehet fejezni a közepes nyomást:

Φ =pk ·Ψ2

η · ω−→ pk =

Φ · η · ωΨ2

= 0.234MPa

A terhelhetőség:F = pk · b · d = 146.093N

104

7.2.2. Számítsa ki annak a 360°-os siklócsapágynak a teherbírását (F=?) és az olajszükségletét,amelynek névleges átmérője 50 mm, b/d = 1, fordulatszáma 960/perc, játéka 0.2 mm,továbbá tudjuk, hogy a csapágyjellemző száma 1.4, ill. a felhasznált olaj viszkozitása azüzemi hőmérsékleten 0.123 Pa · s.

Megadott adatok

Néveleges átmérő: d = 50mmb/d viszony=1Fordulatszám: 960/minNévleges játék: j = 0.2mmCsapágyjellemző (Sommerfeld) szám: Φ = 1.4Viszkozitás: η = 0.123 Pa · s

Megoldás

Mivel ismert a névleges átmérő, a b/d viszonyból kifejezhető a szélesség:

b = d · bd

= 50mm

Szögsebesség:

ω = 2 · π · n = 100.531rad

s

A relatív játék:

Ψ =j

d= 0.004

A Sommerfeld-számból ki lehet fejezni a nyomást:

Φ =pk ·Ψ2

η · ω−→ pk =

Φ · η · ωΨ2

= 1.082 · 106 Pa

A terhelhetőség:F = pk · b · d = 2704.9N

A teljes olajszükséglet:Qt = 0.7 · 3

√Φ = 0.783

A természetes olajszükséglet:

Q = Qt ·Ψ · d3 · ω = 3.9362 · 10−5 m3

s

105

7.2.3. Egy 12000/perc fordulatszámú és 2.5 mm átmérőjű tengely 3 mm hosszon siklócsap-ágyazott. A csapágy radiális terhelése 5 N. Határozza meg az olaj szükséges viszkozitását,a kialakuló súrlódási tényezőt, a veszteség teljesítményt, valamint a minimális résméretet,ha a relatív excentricitást 0.4-re választjuk, továbbá tudjuk, hogy a csapágyjáték 0.05mm.

Megadott adatok

Fordulatszám: n = 12000/minÁtmérő: d = 2.5mmSzélesség: b = 3mmTerhelés: F = 5NRelatív excentricitás: ε = 0.4Csapágyjáték: j = 0.05mm

Megoldás

A közepes csapnyomás:

pk =F

b · d= 0.667MPa

A relatív játék:

Ψ =j

d= 0.02

Minimális résméret:h0 =

j

2· (1− ε) = 0.015mm

Szögsebesség:

ω = 2 · π · n = 1256.637rad

s

Diagramból a csapágyjellemző szám (b/d és ε alapján): Φ = 0.7Ebből kifejezhető a viszkozitás:

Φ =pk ·Ψ2

η · ω−→ η =

pk ·Ψ2

Φ · ω= 0.303 Pa · s

Diagramból (b/d és ε alapján) a súrlódási szám: C = 4.5Ebből kifejezhető a súrlódási tényező:

µ = C ·Ψ = 0.09

106

Veszteség teljesítmény:

Pv = µ · F · d2· ω = 0.707W

7.2.4. Egy radiális siklócsapágy csapátmérője 50 mm. Állandósult üzemi fordulatszámon a csapexcentricitása 0.03 mm, a súrlódási tényező 0.008, továbbá a súrlódási szám értéke 4.Határozza meg a csapágy szélességét, valamint az olajfilm-vastagságot az ábra felhaszná-lásával! Készítsen megfelelő vázlatot! Válaszát a szükséges összefüggések megadásával isindokolja!

Megadott adatok

Átmérő: d = 50mmExcentricitás: e = 0.03mmSúrlódási tényező: µ = 0.008Súrlódási szám: C = 4

Megoldás

A relatív játék:

Ψ =µ

C= 0.002

A csap játéka: j = Ψ · d = 0.1mm

A relatív excentricitás:ε =

2 · ej

= 0.6

A diagram alapján a b/d viszony (ε és C alapján): b/d = 0.8Ebből kifejezhető a keresett csapszélesség:

b = d · bd

= 40mm

A vázlat alapján felírható, hogy:

R = e+ r + h0 es R− r =j

2

Olajfilm-vastagság = minimális résméret:

h0 =j

2− e = 0.02mm

Vagy másképpen:

h0 =j

2· (1− ε) = 0.02mm

107

7.2.5. Határozza meg az olaj szükséges dinamikai viszkozitását radiális siklócsapágyazás esetén,ha a terhelés 30 kN, a csapátmérő 40 mm, a csap hossza 48 mm, a közepes csapágyjátéküzemi hőmérsékleten 0.09 mm. A berendezés fordulatszáma 1200 1/min és a megkívántcsapágyjellemző szám 4.

Megadott adatok

Terhelés: F = 30 kNCsapátmérő: d = 40mmCsaphossz: b = 48mmCsapágyjáték: j = 0.09mmFordulatszám: n = 1200/minCsapágyjellemző (Sommerfeld) szám: Φ = 4

Megoldás

A szögsebesség:

ω = 2 · π · n = 125.664rad

s

A relatív játék:

Ψ =j

d= 0.0023

A csapágyjellemző szám ezek segítségével:

Φ =F

b · d· Ψ2

η · ω

Ebből kifejezhető a dinamikai viszkozitás:

η =F

b · d· Ψ2

Φ · ω= 0.157 Pa · s

7.2.6. Milyen viszkozitású kenőanyagra van szükség az ábrán látható siklócsapágyhoz, ha a ten-gely fordulatszáma 980/perc, a radiális csapágyterhelés 650 N, valamint a Sommerfeld-félecsapágyjellemző szám értéke 2,1? Milyen értékű súrlódási tényező várható a csapágyban,ha a súrlódási szám 3 (a legnagyobb játék figyelembevételével)?

Ábra Megadott adatok

Radiális csapágyterhelésFr = 650NCsapátmérő: d = 25mmSzélesség: b = 30mmFordulatszám: n = 980/minCsapágyjellemző(Sommerfeld) szám: Φ = 2.1Súrlódási szám: C = 3

Tűrések

csapFH = −0.065mmcsapAH = −0.117mm


Megoldás

A tűrések alapján a legnagyobb játék:

jmax = furatFH − csapAH = 0.15mm

108

Szögsebesség:

ω = 2 · π · n = 102.6251

s

Az árnyéknyomás:

p =Frb · d

= 0.867MPa

A relatív játék:

Ψ =jmax

d= 6 · 10−3

A szükséges olaj viszkozitása:

η =p ·Ψ2

Φ · ω= 0.145 Pa · s

A súrlódási tényező várható értéke:

µ = Ψ · C = 0.018

7.2.7. Írja fel az alábbi méretekkel rendelkező siklócsapágy résfüggvény értékét 50 foknál a köze-pes játék figyelembe vételével, ha tudjuk, hogy állandósult üzemi állapotban az excentritásmértéke 0,04 mm!

Ábra Megadott adatok

Csapátmérő: d = 25mmSzélesség: b = 30mmExcentricitás: e = 0.04mm

Tűrések

csapFH = −0.065mmcsapAH = −0.117mm


Megoldás

A táblázatban megadott tűrések alapján a közepes játék:

j =furatFH + furatAH


2= 0.108mm

Relatív játék:

Ψ =j

d= 4.3 · 10−3

A relatív excentricitás:ε =

2 · ej

= 0.744

A résfüggvény:

h(ϕ) =j

2· (1− ε · cos(ϕ)) −→ ϕ = 50◦ −→ h = 0.028mm

109

Documents

BUDAPESTI MŰSZAKI ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM · Először ábrázoljuk a megadott pontokat (1-es és a 2-es és p). Ha az 1-es és a 2-es pontot felrajzoltuk, összekötjük