1

A konfokális és a nem - konfokális ellipszis - seregekről és

ortogonális trajektóriáikról

Előző dolgozatunk

– melynek címe: Ha az évgyűrűk ellipszis alakúak lennének – készítése során böngész -

gettük az [ 1 ] művet. Itt említik, illetve ábrázolják a címbeli görbeseregeket.

Most ezekről lesz szó – megint. Vagyis megeshet, hogy az itteniek egy részét már máskor,

máshol is leírtuk.

A konfokális szó arra utal, hogy a görbesereg minden görbéjének ugyanaz a fókusza.

A nem - konfokális pedig arra, hogy a görbesereg görbéinek nem ugyanaz a fókusza.

Itt olyan ellipszisekről van szó, melyek középpontja / centruma, valamint főtengelyei is

ugyanazok. Esetünkben ezek: az ábrázolásra használt Oxy koordináta - rendszer O origója,

valamint az ezen átmenő, egymásra merőleges x és y tengelyei.

Kezdjük a görbeseregek egyenletével!

A konfokális ellipszis - sereg egyenletének felírása

Ehhez tekintsük az 1. ábrát!

1. ábra – forrása: http://tudasbazis.sulinet.hu/hu/matematika/matematika/matematika-11-

osztaly/az-ellipszis/az-ellipszis

Az ellipszis középiskolából ismert kanonikus egyenlete – [ 2 ] – :

( 1 )

Jelölések:

~ a: a fél nagytengely, illetve annak hossza;

~ b: a fél kistengely, illetve annak hossza;

~ c: a fókuszok fél távolsága.

2

Közöttük fennáll az 1. ábráról is leolvasható, Pitagorász tételével adódó

( 2 )

összefüggés.

Most ( 2 ) átalakításával:

tehát

( 3 / 1 )

( 3 / 2 )

Majd ( 2 ) és ( 3 ) - mal:

( 4 )

A ( 4 ) egyenlet a konfokális ellipszis - sereg paraméteres egyenlete.

Benne c a közös / rögzített állandó, λ pedig a különböző értékeket felvevő, a görbesereg

egy - egy görbéjét leíró paraméter. Erre nézve a ( 3 / 2 ) értelmező összefüggés szerint

fennáll, hogy

( 5 )

A 2. ábra egy konfokális ellipszis - sereget ábrázol.

Az ábráról leolvasható, hogy a λ = 0 esettől ( F1F2 vízszintes szakasz ) a λ ∞

( r = c λ sugarú kör ) esetéig tart a görbék alakváltozása. A két szélső esetet nem tudjuk

pontosan megjeleníteni, ez azonban nem változtat a bemutatott alakváltozási tendencián.

A nem - konfokális ellipszis - sereg egyenletének felírása

A legegyszerűbb alak az alábbi lehet, melyet ( 1 ) - ből alakítunk ki:

( 6 )

A c paraméterre ekkor írható, hogy

( 7 )

A 3. ábrán egy ilyen görbesereget szemléltetünk; itt a görbék hasonlóak egymáshoz.

3

2. ábra

3. ábra

4

Folytassuk az ellipszis - seregek ortogonális trajektóriáinak meghatározásával!

A nem - konfokális ellipszis - sereg ortogonális trajektóriái egyenletének felírása

Itt ugyanúgy járunk el, mint az előző dolgozatban. A részletezés indoklása később

esedékes.

Az ellipszis - sereg differenciálegyenlete ( 6 ) differenciálásával:

( 7 )

most egyszerűsítve és ( 7 ) - ben elvégezve a két görbesereg merőlegességét kifejező

( * )

szerinti helyettesítést:

rendezve:

reciprok - képzéssel:

( ** )

integrálva:

átalakítva:

innen:

( 8 )

A 3. ábra példájának adataival:

( 8 / 1 )

A 4. ábra a ( 8 / 1 ) függvényeket is ábrázolja,

K = 0; ± 1 / 50; ± 1 / 15; ± 1 / 7; ± 1 / 3; ± 1; ± 6 értékekkel.

Nem feledjük, hogy az x = 0 egyenes is részét képezi ( ** ) megoldásának – [ 3 ].

Ezzel a két görbesereg merőlegessége megnyugtatóan szemléltetett.

5

4. ábra

A konfokális ellipszis - sereg ortogonális trajektóriái egyenletének felírása

Az [ 1 ] munkában azt olvastuk, hogy a konfokális ellipszis - sereg ortogonális trajektóriái

konfokális hiperbolasereg. Ezért először ezzel foglalkozunk.

Induljunk ki a hiperbola kanonikus egyenletéből – [ 2 ] – !

( 9 )

A c paraméterre itt a Pitagorász tétellel ez írható – 5. ábra – :

( 10 )

átalakítva:

tehát:

( 11 / 1 )

6

5. ábra – forrása: http://tudasbazis.sulinet.hu/hu/matematika/matematika/matematika-11-

osztaly/parabola-ellipszis-hiperbola/a-hiperbola

( 11 / 2 )

Most ( 9 ) és ( 11 ) - gyel:

( 12 )

A ( 12 ) egyenlet a közös fókuszú hiperbola - sereg egyenlete, ahol c = konst., a μ változó

paraméterrel pedig a görbesereg egy adott görbéjét választjuk ki. Értéktartománya:

( 13 )

A példaként választott c = 2 értékkel ( 12 ) így alakul:

( 14 )

Ezen implicit egyenlettel megadott görbesereget a 6. ábrán jelenítettük meg, ( 13 ) - ra is

figyelve. Az ábrázoláshoz az alábbi paraméter - értékeket választottuk:

μ = 0,0015; 0,05; 0,1; 0,25; 0,5; 0,75; 0,85; 0,95; 0,995 .

Itt az adatokat nem tüntettük fel a grafikonon, a zsúfoltság és az információvesztés

elkerülése érdekében, hiszen itt nem zárt görbékről van szó.

Megfigyelhető, hogy a μ 0 eset a fókuszoktól elmutató vízszintes félegyeneseket, míg a

μ 1 eset az y - tengelyhez simuló / kiegyenesedő görbéket adja.

7

6. ábra

Most ábrázoljuk együtt a 2. és a 6. ábrákat – ld. 7. ábra!

Szemmel láthatóan fennáll az a helyzet, hogy az egyik görbesereg a másik ortogonális

trajektóriája. Ne feledjük, hogy eddig ezt „elhittük”: a szakkönyveknek és a szemünknek!

Azonban jó lenne ezt matematikai úton is belátni! Mit is? Azt, hogy

egy konfokális ellipszis - sereg ortogonális trajektóriája egy konfokális hiperbola - sereg,

és viszont.

Ehhez írjuk fel az ellipszis és a hiperbola egyenletét paraméteresen!

Az ellipszis paraméteres egyenletrendszere:

( 15 )

( 16 )

A hiperbola paraméteres egyenletrendszere:

( 17 )

( 18 )

Most vizsgáljunk egy olyan esetet, amilyet a 8. ábra mutat, vagyis amikor a két görbe

8

7. ábra

8. ábra

9

metszéspontjának koordinátái pozitívak. Ekkor ( 17 ) - ben a + előjel marad.

Most előállítjuk a görbék metszéspontbeli iránytényezőit. Ehhez felhasználjuk, hogy

( 19 )

Most ( 15 ), ( 16 ), ( 19 ) - cel:

–

tehát:

( 20 )

Majd ( 17 ), ( 18 ), ( 19 ) - cel:

tehát:

( 21 )

Mivel a két görbe M metszéspontbeli koordinátái egyenlőek, ezért az

( 22 )

feltételből, ( 15 ) és ( 17 ) - tel is:

( 22 / 1 )

innen:

( 23 )

majd az

( 24 )

feltételből, ( 16 ) és ( 18 ) - cal is:

innen:

( 25 )

10

Most felhasználjuk az alábbi azonosságot – [ 2 ] – :

( 26 )

Majd ( 23 ), ( 25 ), ( 26 ) - tal:

átalakításokkal:

( 27 / 1 )

( 27 / 2 )

A továbbiakban a szinusz pozitív értékeire szorítkozunk, így

( 27 )

Most ( 20 ) - ból az M metszéspontbeli ellipszis - iránytényezőre:

( 28 )

azonos átalakításokkal:

( 29 )

11

majd ( 27 / 1 ) és ( 29 ) - cel:

tehát:

( 30 )

Ezután ( 28 ) és ( 30 ) - cal:

( 31 )

Most ( 21 ) - ből az M metszéspontbeli hiperbola - iránytényezőre:

( 32 )

ámde ( 23 ), ( 25 ) és ( 30 ) - cal:

tehát:

( 33 )

ezután ( 32 ) és ( 33 ) - mal:

( 34 )

Most ( 31 ) és ( 34 ) összehasonlításából:

( 35 )

ez a görbeseregek M pontbeli merőlegességének feltétele , ahogy annak a várakozások

alapján lennie kell. Ha ( 35 ) egy tetszőleges – itt: ( xM , yM ) > 0 – M pontra igaz, akkor

minden más pontra is igaz, hiszen a ( 35 ) eredmény a görbeseregek belső tulajdonságaiból

adódott, az M pont megválasztása pedig tetszőleges lehet. Ezzel beláttuk, hogy

egy konfokális ellipszis - sereg ortogonális trajektóriája egy konfokális hiperbola - sereg,

és viszont.

12

Megjegyzések:

M1. A ( 4 ) és ( 12 ) szerinti felírást [ 4 ] - ből kölcsönöztük.

M2. A paraméteres egyenletrendszerek – [ 1 ] – :

( 36 )

( 37 )

M3. Ügyelni kell a számítások során arra a tényre, hogy a két görbe paramétere nem

azonos értékű egy adott M pontra: tMe ≠ tMh. Pozitív metszésponti koordinátákra:

~ az ellipszis - sereg metszésponti paramétere ( 27 ) - ből:

( 38 )

~ a hiperbola - sereg metszésponti paramétere ( 25 ) és ( 27 ) - ből:

innen:

( 39 )

Számpélda, a 8. ábra adataival:

c = 2 ( cm ), λ = 1, μ = 0,1 . ( a )

Most ( 38 ) és ( a ) - val:

( b )

Ugyanez a Graph szolgáltatásával: 0,10016742 , vagyis gyakorlatilag pontosan ugyanaz.

Majd ( 39 ) és ( a ) - val:

. ( c )

Ugyanez a Graph szolgáltatásával: 0,88137359, vagyis gyakorlatilag pontosan ugyanaz.

Eszerint a képleteink jól működnek.

Látjuk, hogy a kétféle görbe - paraméter tényleg nem egyenlő, általában.

M4. A 8. ábrán a pontozott vonalak metszéspontjaként adódó M pontra a Graph szoftver

szolgáltatása szerint:

dy/dx ( ell ) = –7.035624 ,

dy/dx ( hip ) = 0.142134 ;

ezekkel: –7.035624 = – 1 / 0.142134 , tehát ( 35 ) kielégül.

13

M5. Érdemes meghatároznunk a konfokális görbék metszéspontjainak koordinátáit.

Kezdjük az xM > 0 , yM > 0 esettel! Ekkor ( 22 / 1 ) és ( 27 / 1 ) szerint:

tehát:

( 40 )

Hasonlóan

tehát:

( 41 )

Továbbá: minthogy a két másodrendű görbének 4 metszéspontja lehet, ezért a lehetséges

megoldások: M ( ± xM , ± yM ).

Ez jól látható a 7. ábrán is, hiszen a görbék az x és az y tengelyre is szimmetrikusak.

Számpélda, a 8. ábra adataival:

c = 2 ( cm ), λ = 1, μ = 0,1 . ( a )

Most ( 40 ), ( 41 ) és ( a ) - val:

( d )

( e )

Ezek is pontosan megegyeznek a Graph szoftver szolgáltatta eredményekkel, melyek a

8. ábra bal alsó sarkában olvashatók. Eszerint képleteink jól működnek.

M6. A 7. és 8. ábrákhoz kapcsolódó feladatrészben nem volt járható a ( * ) helyettesítés

alkalmazása; ugyanis [ 1 ] - ben megmutatják, hogy a konfokális ellipszis - és hiperbola -

seregek ugyanazon differenciálegyenlettel írhatók le, így a mondott helyettesítés nem visz

előrébb minket. Ez nem is annyira meglepő, ha a szakirodalomban szokásos, pl. az [ 1 ]

műben is olvasható alakban írjuk fel a konfokális kúpszeletek kanonikus egyenletét:

( 42 )

A konfokális ellipszis - és hiperbolaseregekről további tudnivalókat találhatunk az [ 5 ],

[ 6 ], [ 7 ], [ 8 ] munkákban is. Most [ 7 ] - ből idézünk – 9. ábra.

14

9. ábra – forrása: [ 7 / 2 ]

Itt végigkövethetjük annak igazolását, hogy a konfokális ellipszis - sereg és hiperbola -

sereg, mint egymás ortogonális trajektóriái, ugyanazzal a differenciálegyenlettel írhatók le.

E példában c = ± 1 ( h. e. ) , így ( 4 ) és ( 12 ) - ből:

( f )

( g )

Vagyis ( f ) és ( g ) szerint az

( h )

15

egyenletben a választás az ellipszis - sereg, a választás pedig a

hiperbola - sereg egyenletét adja, a 9. ábra szövegének megfelelően.

Irodalom:

[ 1 ] – R. Rothe: Matematika gépészmérnökök számára

Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1960., 97., 654., 656. o.

[ 2 ] – I. N. Bronstejn ~ K. A. Szemengyajev: Matematikai zsebkönyv

2. kiadás, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1963., 256. , 259. o.

[ 3 ] – V. V. Sztyepanov: A differenciálegyenletek tankönyve

Tankönyvkiadó, Budapest, 1952., 65 ~ 66. o.

[ 4 ] – Simonyi Károly: Elméleti villamosságtan

7. kiadás, Tankönyvkiadó, Budapest, 1976., 127 ~ 128. o.

[ 5 ] – A. Schoenflies ~ M. Dehn: Einführung in die Analytische Geometrie

der Ebene und des Raumes

2. Auflage, Springer - Verlag Berlin Heidelberg 1931., 135. o.

[ 6 ] – https://www.cs.elte.hu/blobs/diplomamunkak/bsc_mattan/2014/bota_bettina.pdf

[ 7 / 1 ] – A. F. Bermant: Matematikai analízis II. rész

Tankönyvkiadó, Budapest, 1951., 267. o.

vagy:

[ 7 / 2 ] – A. F. Bermant: A Course of Mathematical Analysis Part II.

Pergamon Press Ltd., New York, 1963., 268. o.

[ 8 ] – Szerk. Fazekas Ferenc: Műszaki matematikai gyakorlatok B. VII.

Bajcsay Pál: Közönséges differenciálegyenletek

2. kiadás, Tankönyvkiadó, Budapest, 1962., 194 ~ 197. o.

Összeállította: Galgóczi Gyula

mérnöktanár

Sződliget, 2017. 01. 21.