Broitman y Las Fracciones

7/27/2019 Broitman y Las Fracciones

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GOBIERNO DE LA C IUDAD DE BUENOS A IRES

S E C R E T A R A D E E D U C A C I NS U B S E C R E T A R A D E E D U C A C I N

D I R E C C I N G E N E R A L D E P L A N E A M I E N T OD I R E C C I N D E C U R R C U L U M

MATEMTICA

D O C U ME N T O D E T R A B A J O N 4

E.E.E.E.

G.G.G.G.B.B.B.B.

A C T U A L I Z A C I N

C U R R I C U L A R


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G O B I E R N O D E L A C I U D A D D E B U E N O S A I R E S

S E C R E T A R A D E E D U C A C I N

S U B S E C R E T A R A D E E D U C A C I N

D I R E C C I N G E N E R A L D E P L A N E A M I E N T O

D I R E C C I N D E C U R R C U L U M

J E F E D E G O B I E R N OD r . F e r n a n d o d e l a R a

V I C E J E F E D E G O B I E R N OD r . E n r i q u e O l i v e r a

S E C R E T A R I O D E E D U C A C I ND r . H o r a c i o S a n g u i n e t t i

S U B S E C R E T A R I O D E E D U C A C I NP r o f . M a r i o G i a n n o n i

D I R E CC I N G E N E RA L D E P L A N E A M I E N T OP r o f . M a r a L u i s a L e m o s

D I R E C C I N D E C U R R C UL U ML i c . S i l v i a M e n d o z a

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EQUIPO DE PROFESIONALES DE LA DIRECCIN DE CURRCULUM

Asesora de Curr culum: FlaviaTerigi

Coordinacin de EGB: Cristina Armendano, Guillermo Mic

EGB

Beatriz Aisenberg, Helena Alderoqui , Silvia Alderoqui, Clarisa Alvarez, Claudia Broitman,

Andrea Costa, Graciela Domenech, Adriana Elena, Daniel Feldman, Silvia Gojman, Sergio

Gutman, Horacio Itzcovich, Mirta Kauderer, Vernica Kaufmann, Laura Lacreu, Delia Lerner,

Silvia Lobello, Estela Lorente, Liliana Lotito, Susana Muraro, Nelda Natali, , Silvina Orta Klein,

Cecilia Parra, Abel Rodrguez de Fraga, Patricia Sadovsky, Graciela Sanz, Anala Segal,Isabelino Siede, Mariana Spravkin, Adriana Villa, Hilda Weitzman de Levy.


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MATEMTICA

Documento de trabajo n4

Lic. Claudia Broitman

Prof. Horacio Itzcovich

Lic. Cecilia Parra

Prof. Patricia Sadovsky


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NDICE

PRESENTACIN GENERAL (Vase Textos que enmarcan...)

Introduccin

I. Acerca de la enseanza de las operaciones

II. El campo multipl icativo en los nmeros naturales

1- Los sentidos de la multiplicacin

1.1- Problemas de proporcionalidad

1.2- Problemas de productos de medidas

Combinatoria

Un problema de combinatoria en el aula1.3- Recursos y estrategias de clculo

2- Los sentidos de la divis in

2.1- Problemas vinculados a la bsqueda de cociente y resto

2.2- Problemas vinculados a la bsqueda de un cociente

2.3- De las estrategias de los alumnos a los procedimientos convencionales;el o los algoritmos?

III. Las fracciones, esos objetos complejos

1- Los sentidos de las fracciones

1.1- Las f racciones y la medicin

1.2- Las f racciones, un recurso para repartir

1.3- Las fracciones y las relaciones de proporc ionalidad directa

2- Multiplicacin de fracciones

2.1- Producto de medidas, producto de fracciones

2.2- La multipl icacin de fracciones y la proporcionalidad directa

A modo de cierre

Bibliografa

PALABRAS FINALES (Vase Textos que enmarcan...)


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PRESENTACIN GENERAL (Vase Textos que enmarcan...)

Introduccin

Qu contiene este documento

En este Documento abordamos el anlisis de la enseanza de la multiplicacin, de la

divisin y de las fracciones, conceptos que se incluyen en el eje numrico del segundo ciclo.

La enseanza de estos contenidos se inicia en el primer ciclo, y suele suceder que

su abordaje en el segundo ciclo no est del todo claro. Qu hay que ensear de la

multiplicacin y de la divisin una vez que los nios ya "saben" multiplicar y dividir? Cules

son los sentidos de las fracciones que los nios tienen que conocer en el segundo ciclo?

El aprendizaje de dichos conceptos es muy complejo y su construccin se da a lo

largo de varios aos. Es tan amplia la gama de situaciones en las que estn involucrados

que el desafo para la enseanza es cubrir esa diversidad y garantizar una profundizacin

creciente en el tipo de situaciones que se plantean a lo largo de la escolaridad.

Para que un trabajo como el propuesto pueda ser realizado es necesario disponer de

un primer nivel de anlisis didctico que despliegue, a propsito de un concepto que se

desea ensear, un conjunto lo ms exhaustivo posible de los tipos de problemas diferentes

en los que este concepto es reconocido como el medio de solucin a dichos problemas.

Los problemas suelen distinguirse por la operacin con que se los resuelve o por el

tipo de nmeros involucrados. As, se habla de problemas de multiplicar, de sumarfracciones, etc. Sin embargo, esta clasificacin no es suficiente para pensar una

enseanza que se haga cargo de la complejidad de los conceptos. Es por esto que se

despliegan en este documento otras clasificaciones, destinadas a mostrar la diversidad de

aspectos que confluyen en la construccin de los sentidos de los conocimientos. Hemos de

aclarar que dichas clasificaciones se presentan para contribuir al anlisis de los docentes y

no para ser enseadas como tales. Las denominaciones presentadas pertenecen al mbito

de la comunicacin didctica y en ningn sentido constituyen una herramienta para el

aprendizaje de los alumnos.

Si bien el documento incluye numerosos problemas y situaciones aptas para ser

planteadas directamente a los nios, no hemos pretendido presentar una planificacin de laenseanza. Consideramos como ha sido planteado ya en otros documentos de la

Direccin de Currculum que el anlisis aqu desarrollado requiere de un abordaje

institucional para que pueda ser aplicado a la enseanza.

Nos parece importante volver a remitirnos al enfoque terico planteado en el

Documento de Actualizacin Curricular N1 sobre la enseanza de la Matemtica.

Sugerimos su lectura pues desarrolla el marco general acerca de la concepcin de

Matemtica, de su aprendizaje y de su enseanza que subyace a este documento.


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I. Acerca de la enseanza de las operaciones

Cuentas versus problemas?

Durante mucho tiempo se ha considerado que los nios tenan que aprender primeroa realizar las cuentas y luego a resolver los problemas en los que se aplica cada operacin.

Desde esta perspectiva los problemas se presentaban como ejercicios de aplicacin y

evaluacin de las operaciones.

Sin embargo, sabemos que para que los alumnos puedan conocer las ocasiones de

empleo de cada operacin no alcanza con saber hacer las cuentas, es necesario adems

convertir a los problemas en un objeto de trabajo en el aula.

A partir de esta conviccin, en los ltimos aos han aparecido numerosas crticas

con respecto a la enseanza mecnica de las cuentas y se ha insistido en que no es

conveniente plantear a los nios cuentas en forma aislada, pues solo tiene sentido su

enseanza cuando se trata de resolver problemas.

Creemos que tanto la enseanza directa de los algoritmos con su posterior

aplicacin en problemas, como el abandono de la enseanza del clculo son el resultado de

una falsa dicotoma: cuentas versus problemas.

Esta dicotoma oculta el complejo interjuego existente entre los procedimientos y

recursos de clculo y la construccin y ampliacin de sentido de las operaciones.

Efectivamente, usar propiedades de las operaciones, anticipar, estimar, controlar

resultados, son recursos que ponen en juego el sentido de las operaciones, a la vez queconstituyen herramientas imprescindibles para abordar nuevos problemas.

Los nios pueden resolver cuentas que nadie les ense

Hay que ensear a los nios a "hacer las cuentas" o se los deja inventar modos de

resolverlas? Nuevamente en este caso creemos que se suele plantear el problema didctico

mediante una falsa oposicin: enseanza directa de la cuenta versus libertad de

procedimientos de los nios.

Sabemos hoy que no basta con comunicar a los alumnos los pasos de resolucin delas cuentas para que ellos comprendan el funcionamiento de los algoritmos. La enseanza

directa de los mismos y el nfasis puesto en su prctica esconde una ilusin: la creencia de

que el saber puede ser transmitido de entrada en forma acabada.

Centrar el aprendizaje de las operaciones en la prctica no resolvi el problema del

control de los significados las diversas ocasiones de empleo de las operaciones ni del

control de los resultados.


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Cmo ensearles a los alumnos entonces a resolver operaciones sin apelar

inicialmente a la comunicacin de los pasos del algoritmo convencional?

Cmo hacer para que los chicos pongan en juego procedimientos diversos de

clculo?

Cmo ensear a los nios a realizar estimaciones y a controlar las acciones que

realizan en una cuenta?

Cmo hacerlos avanzar en sus procedimientos una vez que han conseguido

desplegarlos?

Cuando el docente plantea a sus alumnos un problema para que resuelvan cuando

an no les "ha enseado" la operacin que lo resuelve, los nios no poseen un

procedimiento experto pero tienen conocimientos que les permiten desplegar estrategias

para abordarlo.

Es conocido por los docentes que para que los nios pongan en juego dichas

estrategias es necesario que se garanticen ciertas condiciones:

debe existir en el aula una legitimidad acerca de la diversidad de procedimientos posibles

a utilizar,

los alumnos deben disponer de ciertos conocimientos que les permitan resolver el

problema planteado.

Proponemos que el trabajo de construccin de los algoritmos se plantee a partir de

situaciones de exploracin en las que los alumnos usen diferentes procedimientos poniendoen juego las propiedades de los nmeros y de las operaciones. Este trabajo de exploracin

se ver enriquecido si los alumnos aprenden a realizar clculos mentales, a elegir diversos

procedimientos, a disponer de diferentes recursos de estimacin y control de los resultados

de las operaciones y a usar la calculadora.

En el trabajo que estamos proponiendo ser fundamental que los nios puedan

decidir la conveniencia de realizar un clculo aproximado o un clculo exacto, un clculo

mental o el algoritmo convencional.1

Una aclaracin en relacin con el clculo mental se hace necesaria. Durante muchosaos se consider la enseanza del clculo mental como un ejercicio de control a travs del

cual los nios tenan que, por un lado evidenciar que memorizaban algunos resultados, y

por otro dar muestra de rapidez para arribar a los resultados de una cuenta formulada y

respondida oralmente.

Estamos muy lejos de esa propuesta. Concebimos al clculo mental como un

conjunto de procedimientos no algortmicos de clculo que se apoya tanto en las

1

Remitimos al Documento de Actualizacin Curricular N 2 en el eje de Operaciones en el que se hace referencia alClculo Mental.


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propiedades del sistema de numeracin decimal como en las leyes que rigen el

funcionamiento de las operaciones. Puede ser un clculo realizado con lpiz y papel y no

necesariamente es ms veloz que el clculo algortmico. Su caracterstica principal es la de

ser un clculo reflexionado. Cada operacin es un problema a resolver.

Una ltima observacin en relacin con el uso de la calculadora: se suele oponer su

uso al del clculo escrito y al clculo reflexionado, como si redujera la posibilidad de pensar

o de ejercitar los clculos. Por el contrario, consideramos que es una herramienta utilizable

para investigar relaciones entre nmeros.

El trabajo que estamos proponiendo implica por parte del docente la tarea de alentar

en sus alumnos la invencin y utilizacin de diversidad de procedimientos, coordinar que

cada uno explique el "mtodo" que ha utilizado, gestionar la puesta en comn en la que se

exponen tanto los procedimientos correctos como los incorrectos, promover la comparacin

de las diversas estrategias y el anlisis de los errores, estimular la invencin de nuevas

estrategias entre todos los alumnos.

Este proceso de resolucin y anlisis por parte de los alumnos contribuir al

progreso en la utilizacin de estrategias ms econmicas de clculo y a la sistematizacin

de las propiedades de las operaciones.

La "cuenta" se convierte en un objeto de reflexin y estudio compartido en el aula, y

en este trabajo se negocian los avances y se realizan acuerdos tendientes al dominio del

algoritmo convencional.

En algunos momentos los avances que se acuerdan significan la homogenizacin detoda la clase en la utilizacin de algn procedimiento, como plantearemos para

multiplicacin y divisin en las pginas siguientes.


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II. El campo multiplicativo en los nmeros naturales

1. Los sentidos de la multiplicacin

Qu significa saber multiplicar? No resulta sencillo definirlo. Algunos aspectos de lo

que implica la enseanza de la multiplicacin en la escuela son claros, en cambio otros

aparecen ms desdibujados. Saber multiplicar es reconocer en qu problemas la

multiplicacin es un recurso para su resolucin, es disponer de procedimientos para calcular

productos, es establecer relaciones entre diferentes sentidos de este concepto

(proporcionalidad, combinatoria, producto de medidas),es elegir las estrategias ms

econmicas segn la situacin que se est abordando y saber multiplicar es tambin

reconocer los lmites del concepto, es decir en qu casos la multiplicacin no resulta un

instrumento adecuado para resolver un problema.

En este captulo abordaremos el anlisis del campo de problemas multiplicativo, es

decir aquellos para cuya resolucin interviene la multiplicacin y/o la divisin. Este anlisis

incluye problemas de proporcionalidad, de producto de medidas y de combinatoria que

consideramos que los alumnos del segundo ciclo pueden abordar.

1.1- Problemas de proporc ionalidad

Qu es la proporcionalidad?

En los problemas de proporcionalidad se relacionan dos magnitudes.

Por ejemplo:

En una caja hay 12 alfajores, calcular cuntos alfajores hay en 7 cajas.

Ac hay cuatro cantidades vinculadas entre s.

1 caja 12 alfajores

7 cajas x alfajores

Dos de esas cantidades se refieren a cantidad de cajas y las otras dos a cantidad de

alfajores. En estos problemas se relacionan dos magnitudes (en este caso cantidades de

cajas y cantidades de alfajores). El lector reconocer ac los primeros problemas que

plantea para ensear multiplicacin aunque no siempre se los ha reconocido como de

proporcionalidad. La proporcionalidad aparece en la escuela generalmente en 4 grado

como un tema "nuevo", sin embargo el concepto de proporcionalidad incluye un complejo

campo de problemas cuyo aprendizaje abarca desde los primeros grados hasta los aos

medios de la escuela secundaria. En realidad hablamos del campo conceptual de la

proporcionalidad para referirnos a la compleja red de conceptos involucrados (nmeros,

operaciones, medidas, etc.) y a la extensa gama de problemas que el concepto de la

proporcionalidad permite resolver.


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Una relacin de proporcionalidad directa es una relacin entre dos variables en la

que el cociente entre las cantidades que se corresponden es el mismo y se denomina

constante de proporcionalidad.

EJEMPLO (P: paquetes; F: figuritas)

P F

1 4

2 8

3 12

4 16

5 20

Dos propiedades caracterizan la relacin de proporcionalidad directa:

Si se suman dos cantidades de una de las dos variables se obtiene una cantidad que secorresponde tambin con la suma de las dos cantidades correspondientes de la otra

variable.

EJEMPLO (P: paquetes; F: figuritas)

P F

1 4

+

2

+

8

>3 12

Documents

Broitman y Las Fracciones