Ensear MatemticaColaboran en estenmero:Claudia Broitman Bernard Charlot Rosa MaraGarrido Diana Giuliani HoracioItzcovich CarmenSessa Edith Nora WeinsteinEquipo editorial:Claudia Broitman(Coord.J- Mercedes Etchemendy Graciela ZilbermanDVD: Experiencia de aula: "Inicioen el registro de cantidadesen sala de 5 aos". Docentes: DelfinaPearson y JulietaFerro.La geometracomo mediopara"entraren laracionalidad".Una secuencia para laenseanzade los tringulosen la escuelaprimaria.Claudia Broitman y HoracioItzcovichHoracioItzcovichProfesorUniversitario deMatemtica fUBA) .Coordinadordel equipode matemticadelaDireccindeCurricula delGobiernodela CiudaddeBuenosAires.Miembrodel equipodematemtica dela DireccindeEducacinPrimaria dela ProvinciadeBuenosAires.CoordinadordelequipodematemticaProyectoEscuelasdeiFuturode la Universidad de San AndrsCoordinador del equipo de Matemtica del ProyectoBicentenarioIIPE-UNESCOClaudia BroitmanProf.deEnseanzaPrimariayLicenciadaenCienciasdelaEducacin(UBA).Profe-soraAdjuntadeDidctica deMatemtica. FHyCE,Universidad NacionaldeLa Plata.ProfesoradeMatemtica enelNivelInicialenInstituto deFormacin Docente Nl,Gobiernode la Ciudad de Buenos Aires. Coordinadora de Matemtica dela DireccindeEducacin Primariadela ProvinciadeBs. As. Miembrodelequipode matemticadela DreccindeCurricula, Gobiernodela CiudaddeBuenos Aires. Coordinadorade Matemtica de la Red Latinoamericana de Alfabetizacin. CoordinadoradeRevistaI2ntes Estudiar Matemtica."...lageometradelas matemticasnoesel estudiodelespacio ydenuestrasrelacionesconel espacio,sinoel lugarenqueseejercitaunaracionalidadllevadaasu excelenciamxima"(Laborde,1984 citado en Glvez, 1994)1I- Breve panoramade la enseanzade lageometra.La preocupacinpor la poca presenciade la geometraen las escuelasprima-riashoy escompartidapor granpartedelsistemaeducativo.Maestros,directo-res,supervisores,suelencoincidiren que"es el tema delprogramaque se dejapara el final" y quemuchas veces"cae del programa".Por otra parte,los mismosdocentesquesepreocupanpor su ausenciano dudaranen excluirlosconoci-1 La lectura del texto completo permite interpretar que cuando Laborde afirma que la geometra de lasmatemticas "no estudiael espacio", se refiere a que no estudia el "espacio fsico".EnsearMat e mt i ca- #04- 2008mientosgeomtricosdeloscontenidos"promocionables"(nadiedejaradepro-mover a un alumnode quinto a sexto ao dela escuelaprimariapor noconocerlapropiedaddela sumade los ngulosinteriores deuntringulo).Simultneamente,eshabitualencontrarmaestrosautodenominados"delavieja escuela"aorandoel estatus del que gozabala geometraen laenseanzaclsica.Una mirada a la enseanza tradicional permiteencontrar una fuerte presenciaen las aulas de actividades consideradasgeomtricas:mtodos deconstruccincentrados en la obtencin de dibujos precisos y en el uso de instrumentos geom-tricos,definiciones,teoremas,vocabularioespecifico,convenciones y hastade-mostraciones amemorizar.Porqu fueperdiendolugardichageometra enla escuela? Visitar algunosmomentosdelahistoriadelaenseanzaabonaralacomprensindeestascuestiones.Entre1959 y 1960 se sentaronlas bases para llevar a cabo una reforma en losprogramasdematemticasenEstadosUnidosyEuropa, conlaideadeformartcnicosycientficosquealcanzaranelniveldelosrusos-quienessehabandestacado con el lanzamiento delSputnik-.Los matemticos enEstados UnidosenfocaronlasolucinhacialallamadaReformadelaMatemtica Moderna.Sepretendallevar desdela universidada la enseanza bsicaysecundaria elm-todo axiomtico y el lenguaje lgico-simblicoque haban servido durante el sigloprecedenteparaunificarlas matemticasa travs de la Teorade Conjuntos2.Seargumentaba,desdeelesprituestructura listareinante,que sise cons-truanlasmatemticaselementaleslgicamentecomenzandoporaxiomasydefinicionesyavanzandocon teoremasypropiedades,sepodrancomprender"todaslasmatemticas".Losimpulsoresdeesacorriente eran losmatemticosbourbakistas3 que,entre otras ideas,impulsaronla "muerte al tringulo" y "abajoEuclides!" ya que sostenanquelas demostracionesdeEuclideseranincomple-tasporquesu desarrollodeductivono erarigurosoyusabaimplcitamente axio-mas y teoremasno citados"por evidentes"(Kline,1976)En unosaos la Reformaconsiguiimponer su criterio en el sistema deedu-cacinnorteamericano.Enpocotiempoocurrilomismo enEuropa.Ymuchos2 En 1959 se realiz un congresoen Royaumont, Francia, en el que algunos matemticos sostuvieronla necesidadde abandonarla enseanzaeuclideasustituyndola por una matemtica ms viva, msmotivadoraquecorrespondaalainvestigacinmoderna.En1960enDubrownik,Yugoslavia,unnuevocongresorecomendabaelaborarnuevosprogramas destacando la unidad entre lasdiferentesramas dela matemtica.3 Al finaldelosaostreintaun grupode jvenesybrillantesmatemticos franceses (entrelos queestaban Pisot,Weil, Dieudonn y Ehresmann) empezarona reunirse adoptando el pseudnimocolec-tivodeNicolsBourbakiconlafinalidadde elaborar un tratado queofrecierademodosistemtico yriguroso todas las bases para una presentacinunificadade toda la matemtica. En los congresosde1935 y1938 emplearon dos instrumentosfundamentalespara llevar a cabo sus fines: la axiomtica ylas estructuras.En "La arquitecturade las Matemticas"utilizan la axiomtica en su versinmodernaparamostrarlas relacionesyconexionesentre distintaspartesdela Matemticaayudndosesobretodo de lasestructuras.(56)linki)EnsearMatemtica #04 2008aosdespusseinstalabaenlospases latinoamericanos,cuando yalacrticaen el mbito cientfico la desechaba para EEUU y Europa4. En Amrica Latina5, laReformadelaMatemticaModerna,vino "dela mano" deldiscursopedaggicocirculanteenlapocapromovidoporlascorrientesactivistas y escolanovistas,quecriticabandel modelo tradicionallaconcepcin acumulativaymemorstica{Montessori,Froebel,etc).La Escuela Nuevapromulgabalanecesidad de "des-pertarelinters" delos alumnos y se considernecesariobuscarcomo "motiva-cin" las relacionesentre los objetos matemticos y la "vida cotidiana".Por un lado, entonces, un proyecto de enseanza de un altonivel deabstrac-cin para ensear las estructuras lgicas; por el otro, un riesgo de banalizacinal"cotidianizar" la geometra escolar e interpretarque la dificultad de su enseanzareside en su abstraccin.El aplicacionismo que se hizo de los textospiagetianosagreg el discurso de la necesidad de ensear "de lo concreto a lo abstracto". Du-rantelos aos 60' y 70' se elaboraron grandes cantidades de materiales didcti-cos que se mostraban como seudo-concretos y que prometan ser intermediariosentre los niosy los objetosmatemticos {Brun,1994: Charlot, 1991).Lavaloracin delosaos60'sobrelosinteresesdelosalumnosysusne-cesariasrelaciones con la vida cotidianahacen sufrir a los objetos geomtricosnuevasexigencias:relacionesconlarealidad,utilidadprctica,cotidianeidad,realidadconcreta.Ideasque circulany encabezanpropuestasdidcticasbiblio-grficas son: "la geometra est en todos lados", "la geometra est en la realidad","los nios aprendengeometra sin darse cuenta", "se aprende geometra eninte-raccinconel espacioreal". Seempiezaa confundirla actividad intelectualconla actividad fsica del alumno,se fortalecenlasideas en tornoa que "se aprendehaciendo" - en oposicinalasperspectivas ms clsicas queconsideraban quela matemtica se aprendemirando,practicando, repitiendo y memorizando-.Tambin,bajo laReforma delaMatemticaModernaseintentaensearno-cionestopolgicasenelNivelInicialyprimerciclodelaescuelaprimaria apo-yadosenla evolucinespontneadelos conocimientosespacialesdelosniosestudiadapor Piaget6.En estos aos se "cruzan" dos ideas casi contradictorias: ensear la abstrac-cinqueproponelaReformaytrabajar con"lo concreto"apartirdelaplicacio-nismo.SibienlaReformapretenda la enseanzadeestructurasabstractas, elfracasoensucomunicacinprodujoun efectodedeslizamientometadidctico:ellenguajeconjuntistaprevisto comomediode enseanza,alresultarinaccesi-bleparalosniospequeosseconvirtienobjetodeenseanza(Brousseau,2007).4 En1976serealizaenKalsruhe, Alemania,el congresodeICMIdondeseacusaamatemticosespecialistasenla enseanza dehabersuprimido la geometra enlas escuelas.5Ha circuladotambinlainterpretacinacercadel"beneficiosecundario"queencontraronlasdic-taduraslatinoamericanaspara-apoyndoseenlaReforma delaMatemticaModerna,yenlain-terpretacinaplicacionistade la teora piagetiana - producirdiseoscurricularesque favorecieran elvaciamiento de contenidosa partirde la llamada "pedagogade la espera".6HasidosuficientementeanalizadalaconfusinentrePsicologayDidcticayelaplicacionismodirecto deresultadosde indagaciones psicogenticas a la enseanza(Brun,1980;Coll,1983;Cas-torina, Coll. 1998,etc.).UMei)EnsearMatemtica #04- 2009Otra de ias crticas a la Reformade la Matemtica Moderna fue el intento deofreceralosaprendicesla versinltimayperfeccionadadeunacienciaque,sin embargo, fue creadacon intuiciones,intentos,aproximacionesy tambin fra-casos.Se transmita asuna visinfalsadelpensamientomatemtico, distanteyfroensuperfeccin(Kline,1976).Elniveldeabstraccinal queaspirabalaReformaresult sermayoral que ya exista y termin desvinculando a la ma-temticaescolardelarealidadquevivanlosnios.Sefueron"forzando"losobjetos geomtricos;la exigenciade "utilidad"hizo dejar afuera de la enseanzaconocimientos,relaciones y prcticas geomtricas.En sntesis,entrelosaos 60'y 80' ennuestropasrecibimosaportes queimpactan an sobre la enseanza de la matemtica en general y de la geometraen particular de tres orgenes diferentes, en algunos casos articulados entre s yen otros casi contradictorios. Por un lado la Reforma de la MatemticaModerna,por el otro el aplicacionismode la Psicologa Gentica a la enseanza, y en tercerlugar las corrientes de la Pedagogas Activas. Los diferentes discursospedaggi-cos abonaron a la confusinrespecto del tipo de trabajo matemtico, desplazan-do o postergando el trabajo intelectual y poniendo en su lugar otras prioridades,contenidosyprcticas.Poco a poco se fueperdiendoen parte el sentido que haba tenido la Geome-tra en las tradicionales aulas de mediadosde siglo (Broitman e Itzcovich, 2003).Tanto en la enseanza clsica como en la Reforma de la Matemtica Moderna seperdieron algunos rasgos de su actividad de origen.El concepto de transposicindidctica(Chevallard,1997)permiti analizar los cambios operados, interpretarcmo se transformaron a lo largo del siglolos objetosgeomtricosendiferentesobjetosaserenseados.LaactividaddelalumnoqueaprendeGeometrafueconsideradasucesivamentecomo"memorizar,trazar,clasificar,recitardemos-traciones"yluegocomo"vivenciar,concretizar,vincularala realidademprica".En ambos casos se produjo cierta desnaturalizacin de los objetos geomtricos.Las sucesivas transformaciones del sentido de la geometra y las nuevas con-tradicciones anunciabanla progresiva desaparicinde esta rama de la matem-ticadel escenario delas aulas. Actualmentees posible enunciarunadisyuntiva:abandonardefinitivamente la enseanzade la geometra por la prdida desen-tidoalaquesehaarribadodesdeelmundopedaggicodelsigloXX,obienejercer una vigilancia epistemolgica (Chevallard.1997)que recupere sentidos,prcticas y rasgos del saber geomtricopara reorientar la enseanza.II. Recurrir a la historia para entender ques la GeometraEs reconocidopor diferentesautores quenumerososconocimientosgeom-tricos se originan a partirde la necesidad de resolver diferentes problemas dendole espacialligados a la medida. Mchel Serres (1996), en cambio, plantea a lavez orgenes naturalistas y culturalistas de la geometra. Compartepor un lado laidea de que los primerosconocimientosgeomtricosse asociaron a las crecidas( futes)EnsearMatemtica #01 2008peridicas delroNilo enEgipto,queprovocaban la inundacin de las tierras decultivo.He allla cuestinnaturalista, asociada a un tratamiento ms emprico delosobjetos:seprecisabaredistribuir a suspropietarios terrenos dedimensionesequivalentesa losperdidos.La resolucindeeste problemademandaba "medirlo queno se podamedir". Se presentaquiz aqula primeraseparacin entreel espacio fsicoreal(y su tratamiento emprico) y un espacio imaginado, obienrepresentado:cmomedirlo queno se alcanza, lo queno se puede tocar?Serresseinterrogatambinacercadeculeralanecesidaddemedirpararedistribuir las tierras anegadas: el pago de los impuestos que los propietarios delas tierras deban efectuar. Y este pago deba ser proporcionala las dimensionesdelterreno.Es decir,entraen juegouna visinmsculturalista: se disputaunaporcindelpoder.De este modoy segn Serres,la geometra"noreproducelatierrani el cielo", sino queponeen comunicacinla naturaleza y la cultura.Hayquienesinclusodenominanalasprcticascasifsicasconobjetosdo-tadosde formasespacialesconelnombrede "mundopregeomtrico"(Husserl,19367). Se plantea que las figuras geomtricas no se encuentran en las experien-cias vividas, aunque de ellasderiven. Es decir,variados actos de medicinfavo-recen la aproximacin a lmites ideales o formas exactas pero slo una dimensintericaposibilitala construccin de figurasgeomtricasen tanto objetosideales.Parecieraser entoncesquela variedad de experiencias empricasasociadasalasmedicioneshabilitaronlabsquedadeciertasregularidades,quenosonotracosaquelasllamadas"formas"y susrepresentaciones.Pero,apartir deellas,comenzunprocesodenaturalezadiferente,precisamenteparamedirloinalcanzable.Otrosautores(Santal,1961)afirmanquetodala geometra -hastaqueseelaboraron los Elementos de Euclides- no es ms que "unareunin de reglas em-pricas paramediro dividir figuras". Parecera ser quela construccin de objetosgeomtricos se fue desprendiendo de los objetos reales que pudieronhaber sido"fuente de inspiracin"y se transformaron en objetosideales:punto,lnea, trin-gulo,cuadrado8,etc.Estosobjetostericosrespondenapropiedadesquelosobjetos reales no verifican. Hay una idea, un concepto como el de circunferencia:lneaformadapor todoslospuntosqueequidistandeunodado(el centro delacircunferencia).Cualquiercircunferenciatrazadasobrela arena,la pizarrao unpapelesunarepresentacin deesaidea;en otraspalabras,esacircunferenciatrazada es la imagen sensible, visible, del "lugar" que ocupara unacircunferenciaideal, y nos remite a esa idea (Zabala, 2006). Las propiedades que se formulansobre ellas ya no tienen necesariamentereferentes fsicos.Habraentoncesuna "pregeometra"quepuedeserdenominada"geometraemprica", "geometra intuitiva" o "geometra de la observacin"y una geometraya desprendida del espacio sensible que sera la "geometra de las matemticas"o "geometra de la demostracin"(Broitman e Itzcovich, 2003).7Husserl, "El origen de la geometra" mencionadoen Zabala, 20068Babini(1967) sealaincluso que los nombresque Euclides utilizapara las figuras geomtricas ha-cen referencia a dichos objetos que le dieron su origen.EnsearMatemti ca- #04 -200BTal vezhayan sido los griegosquienespudierondesprenderse de los objetosrealesyhayan"subido"losobjetosgeomtricosalniveldelaidealidad.UnamarcadelaseparacindelosconceptosgeomtricosdelosensiblesonLosElementosdeEuclidesendondelosresultadosqueseproducenexcedenalaintuicin y la verificacin emprica y por el contrario instalan seguridad y certezaapartir deun modo de hacer.Babini(1967)Asumirestaconcepcinacercadelageometraimplicatambincentrarlaatencin en el modo de dar cuentade la validezde los resultadosy propiedadesquese elaboran.Esdecir,silosobjetos yano sonreales,sise alejarondelasmediciones,decidirsi algo es verdadero o falsono puede apoyarse en la percep-cinni en la medida9. Requerirde argumentosque se sostengan en las propie-dadesde los objetos geomtricos.La validacinracionalseruno de los aspec-toscentralesdeltrabajogeomtrico.Introducira losalumnosenlaGeometra-loretomaremosms adelante -implicartanto el abandono o la superacin dela justificacin por medio de la percepcin o la medida, comola entrada en estaclase de racionalidad.Para justificar la verdad de una proposicinsernecesarioestableceruna red derelaciones quepermitan darcuentade esaverdadsolodesdelas razones.La validacin implicar encontrar razones a "por qupasaloquepasa", y a "por qu es necesariamenteas".Progresivamentese ha ido configurandoun modo particular de hacer geome-tra, que podra caracterizarse,sintticamente,de la siguientemanera (Itzcovich,2006):Los objetos dela geometra(puntos, figuras, cuerpos,etc.)nopertenecenaun espacio fsico real, sino a un espacio terico.Los dibujos trazados son representantesde esos objetos tericos.Muchosproblemasgeomtricospuedenser,enuncomienzo,exploradosempricamente, analizandodiferentes dibujos que resultan sumamentetiles(comose vermsadelante)orecurriendoamediciones.Estasexperien-cias permiten la obtencin de resultados y la formulacin de conjeturas. Sernecesario transformar medianteargumentos dichas conjeturasen verdadesdemostradas. Los enunciados,relacionesy propiedades son generales, y se explicitan lascondicionesapartirdelascualesuna coleccinde objetoslascumplen.Parasocializarlasadquierenunciertoniveldeconvencionalidadensu for-mulacin.Un anlisis histrico y epistemolgico acerca del origen y evolucinde la geo-metra colaborapara proveerde un nuevo sentido a este recorte de saber al pen-sarlo como objeto de enseanza:la geometra es una "buena va" para la entradaenla racionalidad,enla abstraccin,enla justificacin,enla argumentacin.Lageometraessindudauno delos modelosdeproduccindeideasposiblesdeser transmitidos y recreados por los alumnos bajo cierto conjunto de decisionesdidcticas.*9 La distincinentre los objetos Geometray Medida, entre sus modos de producir y de justificar ge-nerala necesidadde un ciertotratamientoindependientede amboscampos,sindescuidar algunasrelacionesentreellos.)EnsearMat emt i ca-# 04 - 20091 .Problemasdidcticosdela geometraLa enseanza de la geometra en la escuela primaria puede apuntar a la cons-truccin de conocimientos cada vez ms prximos a "porciones" de saber geom-tricoelaborados alo largo delahistoriadela humanidady alinicioenunmodode pensarpropio del saber geomtrico. Considerar como prioritaria la entrada en"elmodo depensar" dela geometra pareceoponerse ala ideainstrumentalistade la enseanza de la matemtica ligada a la "utilidad prctica" que podrahacerperder de vistaalgunos rasgos de su gnesis y de su evolucin.Promoveruntratamientodelosobjetosgeomtricosenlaenseanzaqueseaproximelomsfielmenteposiblealaactividadgeomtricaplanteanume-rosos interrogantes: cmo generarcondiciones quepermitan a los alumnosin-volucrarseenlaproduccindeconocimientosgeomtricos?Cmointroduciralosalumnos en aquellosobjetosreconocidosenelsistemaeducativo {sumadelos ngulos interiores del tringulo,propiedad triangular, clasificacin de tringu-los,etc. ) simultneamenteconesaracionalidadpropiadeltrabajo geomtrico?Cmoensear a los alumnos, a inferir - a partir de los datosy de laspropieda-des-, relacionesque no estn explicitadas y que llevarn a establecer elcarc-ternecesariodelosresultados? (Sadovsky y otros, 1 998;BroitmaneItzcovich,2003;Itzcovich, 2006).Unaprimeracuestinaconsideraresladistincinentredibujosyfigurasgeomtricas(Arsac 1 989;Laborde 1 990; Fregona,1 995). Los dibujosno "mues-tran"laspropiedadesquedefinenalas figuras,sinoquelosconocimientosdelos sujetos acerca de los objetos geomtricos son los que determinan qupuede"verse" en ellos. La presentacin ostensiva1 0 de dibujos promuevealgunoserro-reshabituales:los alumnos asignanpropiedades "observables"en los dibujosalas figuras, por ejemplola posicinen la hoja, el color, proporciones tpicas aun-queinnecesarias entre elementos, etc. (Bertheloty Salin1 994,Fregona,1 995).Partedeldesafo consisteentonces en ofreceroportunidades alos alumnosdereconocerquela figuraesun conjunto derelaciones quela defineny caracteri-zan.Otroaspectoqueresultadificultosoalmomentodepensarlaenseanzaloconstituyeelhechodequelaspropiedadesqueseverificanenlasfiguras ad-mitendiferentes niveles degeneralidad. Por ejemplo,todos losparalelogramostienensus lados opuestosiguales y paralelos.Pero solo algunos de ellos tienensuscuatro ngulosrectos.Es decir, el problemaradica encmo se establece lageneralidaddeunapropiedad, obien cmose establece el dominiode validez,cundo "vale" y cundo "deja de valer".Los dibujos que los alumnos pueden usarparaexplorarunapropiedadrepresentanunafiguraparticular,perosisetratadeanalizareldominiodevalidezdeberntransformarseenrepresentantes deununiverso de figuras. Este juegoexploratorio exigir apoyarse inicialmenteen1 0Berthelot y Salin (1 994) caracterizan a la enseanza ostensiva como aquella en la que las figurasson "mostradas".Analizan crticamente el supuesto psicolgico y didctico de que los alumnos podrnidentificarpropiedadesdelas figurasa travs de la percepcin.EnsearMatemti ca-# 04 - 2008dichosdibujos,pero tambinabandonarlosparapensarenun caminodegene-ralizacin.Otradificultaddidcticaestasociadaalmodoenquelosalumnospuedeninvolucrarseenlaracionalidadgeomtrica.Esclaroquenoessuficienteconeltratamientodeciertosproblemasquemotoricenlabsquedadeargumentospara obtenerun resultadoo decidirla validez o no deuna afirmacin.Hay un en-tramadosumamentecomplejoqueimplicaelaborary formularunrazonamientolgicamenteslido, coherente, queno permita ambigedades,que d cuenta deuna cierta generalidady sea acorde a las caractersticas del trabajomatemtico.Paraexplicitarestadificultadseproponeelsiguienteejemplo:Dibujenunacir-cunferencia.Dibujenun dimetro y designena sus extremoscon las letras AyB.MarquenotropuntocualquieradelacircunferenciaydesgnenloconlaletraC.Qutipodetringuloes ABC?Esteproblemapodra ser inicialmenteexplorado con un programadecompu-tadora(CABRI, Sketch-Pad, etc.).Mediantelos dibujosque se puedenrealizar ylas medidasque se puedenidentificar,un alumnopodra "reconocer" que se tratade un tringulorectngulo,con su ngulorecto en C. Se presentanmuestras dedibujosrealizadosconla computadora,enlosqueelprogramamideeinformaque el nguloC es de90:Es decir,a medidaque se va trasladando el puntoC, pasandopor todos11lospuntosdelasemicircunferencia,novaralamedidadelngulo.Yestamedidaes establecidapor el programa dela computadora.Si la computadora"dice"quemide90,losalumnospodranpensarque"ya est, esun tringulorectngulo".Peroloquenomuestrala computadora-yspuedendemostrar lamatemticaysu racionalidad - es por qusiempreocurreesto12.Se trata deun enormede-safo que los alumnos asuman comoparte del trabajo identificarlas razones queexplican por qu valen ciertas propiedades,ms all de lo "visible".Como sealaBrousseau (2007) "...El alumno no slo tiene que comunicaruna informacinsinoquetambin tiene queafirmarque loque dicees verdaderoen un sistemadeter-minado, sostenersu opinin o presentaruna demostracin."Unanuevadificultad,asociadaalaenunciadaanteriormente,refiereaunacierta tensin entrelos conocimientosdisponibles por los alumnos y las propieda-des que se intenta elaborareidentificar.Algunaspropiedadesson insumesparaidentificarodemostrarotras.Peronosiempreesposiblequelos alumnosdis-pongan de todoslos recursos necesariospara dar cuentade la validezde ciertas11 La referenciaa "todos"surgepor lo que se percibeusandola computadora.12Por ejemplosi se traza un radioal vrticeC, se obtienendos tringulosissceles y usando la pro-piedad de la suma de los ngulosinterioresde ios tringulosse podrarribar a unademostracin.EnsearMatemti ca - # 0 4 - 2008afirmaciones.Sernecesarioentoncesconsiderarvlidas -intuitivamenteo pormedio de un trabajo exploratorio -relaciones que parala matemtica deberanser demostradasrigurosamente.Este problemaesten estrecharelacincon lascontradiccionesenelprocesomismodeproduccindelosaxiomasdelageo-metra euclidiana13. Ahorabien, aunque no sea posible desplegar en la escuelaprimariaunarplicadelrecorridoaxiomtico(porsucomplejidadmatemticayporquenoinvolucraraalosalumnosenuntrabajoconstructivo),sesviableque los alumnos entren en el terreno deductivo "hacindose cargo" de demostrar(asumaneraybastanteprximaaladelamatemtica)algunaspropiedadesgeomtricas que verificanlas figuras14.Paraexplicitarmsanestadificultad,analicemosunproblema:Dibujenuntringuloquetengaunladode3 cm,otroladode5 cm yeltercerladode7 cm.Sepodrndibujardostringulosdiferentes?Losalumnospuedendibujareltringulo usandoregla y comps. Comienzanpor uno de suslados y luego dibu-janlos otros dos. Sospechan que si comienzanpor otro lado, el tringuloque ob-tendrn ser diferente. Y algunos sostienen que es el mismo, pero "dado vuelta".Sibiencon estosdatosesposibleconstruirun nicotringulo,darcuentade launicidad de la construccinrequiere deherramientasmuchoms complejasquelas que podra disponer un alumno en quinto grado.Sin embargo s ser posibleinstalar un debate con los alumnos en torno a la cantidad de soluciones,apoyadoenciertasrelaciones,aproximacionesmsintuitivas,dibujos,etc.Setratadeasumir,en trminos didcticos,que ciertas verdadesse establecenparapoderinstalar un modo de hacer. En el caso del ejemplo, los alumnospodrnidentificarque sern iguales -aunque no pueda ser demostrado -medianteexplicacionescomola siguiente:"si esteladodeltringulolo corresparaac,secorrenestosotrosladosysesuperponenlostringulos".Estosargumentospuedenserunpunto de partidapara "entrar" progresivamenteen una justificacin racionalacer-ca de por qu necesariamente es el nico tringulo posible.IV. Unasecuenciadidcticaparael estudiodealgunascaractersticasde los tringulosEstasecuenciaestformadapor variasetapas1^.La primeraetapatiene laintencin de que los alumnos puedanrecuperarsusconocimientossobre elusodelcompsparatrasladar segmentosyestudiarlapropiedadtriangularapartirdeproblemasqueimplicanconstruirtringulos dados suslados.Seinvolucraalosalumnosenun tipoparticulardetarea:analizarlacantidaddesolucionesy*13 Como ya ha sidomencionadoEuclides fue criticadopor ello,a tal puntoque la discusinsobre su5postulado generla produccinde otras geometras.14Esta tensinse juegaen la secuenciadidcticaque presentamossobretringulos, cuandoen laetapa 4, problema 3, 2demostracin se incluye un "apoyo" en una propiedad no demostrada.15Parasumplementacinse esperaquealgunoscontenidoshayansidotrabajadosentre4y5grados/aos(Uso delcomps.Conceptodecirculoycircunferencia entrminosdedistanciaaunpunto.Uso de la escuadra y del transportador.Conceptode ngulo), sin embargodichascuestionesson retomadas y revisitadas en estasecuencia desde diferentespuntos de vista en las etapas I yIII.(UteOEnsearMat emt i ca-# 0 4-20 0 8las condiciones de posibilidad de la construccin. Asimismo los introduce en unanorma del trabajo geomtrico: la insuficiencia de la percepcinpara "estar segu-ros" y la necesidad de justificar.Lasegundaetapa busca iniciara los alumnosen el estudio de algunasca-ractersticas de los tringulos en funcin de sus lados. Se introduce esta cuestinen relacin con las condicionesque permitan dividir un tringuloen dostringu-los iguales. Los problemasde copiadopermitenanalizarcules son los datos atomar y la suficiencia de considerar la longitud de los lados para determinar unnico tringulo. Este tipo de problemas intenta avanzar hacia un trabajo anticipa-torio:"se puede saber sin medir".Latercera etapa comienzaconunproblemadecopiadodeun cuadrilteropara el cual se pondr en evidencia la insuficiencia de considerar la longitud desuslados.Seretomaelconceptodenguloyelusodeltransportadorcomoinstrumento de medida.Luegose presentanproblemasque apuntan a rechazaralgunas ideas habituales en torno a este concepto, tales como la confusin entreamplitudy "longitud"delassemirrectasqueforman eldibujo deun ngulo.Sefinalizalaetapapresentandolaclasificacinde ngulosque seretomaren lasiguiente.En la cuartaetapa plantea el estudio delas propiedades de los ngulosdeltringuloapartirdeunproblemaqueapuntaaquelosalumnosexplorenlascondicionesparala produccin de tringulos con un ngulo obtuso, recto, o tresagudos. En los siguientes problemas se proponeun trabajo exploratorio en tornode la propiedad de la suma de los ngulos interiores.Esta propiedad permitirabordar un conjunto de problemas en los cuales los conocimientos se constituyenen herramientaspara la anticipaciny parala argumentacin. Este trabajo abo-nar a la elaboracin de conjeturas sobre el valor de su suma. Se inicia tambina los alumnosen la interpretacinde sencillas demostraciones matemticas.Finalmente,la quinta etapa involucra una coleccin de problemas que tienenla intencionalidad de que los alumnos puedan, desde las propiedades y conoci-mientos abordados en etapas anteriores, realizar construcciones a partir de infor-macin sobre algunos de suslados y ngulos, y analizarla cantidad de solucio-nes que admiten. Asimismo se proponen situaciones que exigen involucrarse enla determinacinde datos sin medir, estableciendo relaciones y apoyndoseenlas propiedades estudiadas. En otras actividades se proponen afirmaciones paraanalizar su validez y esto requeriria produccin de justificaciones y la elabora-cin de razones. Finalmentese propone sistematizar los conocimientosaborda-dos a lo largo de toda la secuencia.Es decir que se estudianlaspropiedadesde los tringulosyparalelamente,se introduce a los alumnos en ciertas clases de prcticas geomtricas.Se esperaque los alumnos aprendan los "resultados" organizados del saber (la suma delos ngulosinteriores,la clasificacinde tringulos,la propiedad triangular, etc.)almismo tiempo quelas maneras de pensar yproducir en geometra(lainsufi-cienciade la medidapara validar, la necesidad de abandonar lo perceptivoparajustificar, las formas de demostrar apoyndose en propiedades,la posibilidad desaber medidas sin medir,etc.)64)\LMti) EnsearMatemtica *04 200BPrimera etapa:Recuperar el uso del comps y estudiarlapropiedad triangularProblema1:a)Dados estos dos segmentos,usandola regla no graduada16y elcomps,construun tringulo:abb)Constru otro tringulo distinto al anterior con esosmismosdos lados.c)Cuntos tringulosdiferentesse puede construir?Porqu?Este problema busca que los nios usen el comps para trasladar segmentos.La regla no graduada inhibela posibilidad de medir con centmetros la longitud delos segmentos. Por lo tanto, los alumnos podrn trasladar uno de los lados usan-do el comps y usar la regla no graduadapara garantizar el trazado recto. Luego,apartirdeunodelosvrtices determinadoporelprimersegmentoelegido,elcomps permitir trazar el segundo lado. El tercer lado quedar determinado porlaubicacin que cada alumno decida para el segundolado.En elpuntoa)delproblemanosesolicita determinarla cantidadde solucio-nes: los nios probablemente construyan un solo tringulo. La comparacin entrelasdiferentes construcciones queproduzcan enel aulapermitiridentificar quesepuedenconstruirdistintostringulosqueverificanlascondicionesenuncia-das.El puntob) tienela intencin dehacer explcitala "presencia" de diferentestringulos.El punto c) busca instalar un nuevoaspecto: son muchos (infinitos17) los trin-gulosquesepuedenconstruirconociendolalongituddedosdesuslados. Sebuscar en la fase colectiva que los alumnos puedan analizar los motivos por loscuales es posible construir diferentes tringulos: a medida que vara el ngulo en-trelos doslados, vara la longituddel tercer lado.El docente podr construirconlos alumnos algunas representacionesque abonen dichoanlisis, por ejemplo:16Como regla no graduada podrn usar la "hipotenusa" de la escuadra o cualquierinstrumento quepermitatrazarlneasrectas.17 Si bien el docente puede tracclonar desdela dea de "muchos" hasta la de "infinitos", la complejidadde estanocin requerir de varios aos para sucomprensin.EnsearMatemtica #04 2008Este problema permite empezara hacer jugarla diferenciaentre los dibujosylos resultados:los alumnosdibujarnalgunos,peropodrnimaginarmuchos delos no dibujados(el conceptode circunferenciapermiteafirmar que soninfinitos).Estacuestin poneen juegoproblemasdidcticosmencionados anteriormente:el inicio en la generalizaciny el "abandono" de los dibujos para pensaren otrasposiblesfiguras.Problema 2a)Constru,siesposible,untringuloquetengaestossegmentoscomolados.Usa el comps y la regla nograduada.b)Constru,siesposible,untringuloquetengaestossegmentoscomolados.Usa el comps y la reglanograduada.c)Constru,siesposible,untringuloquetengaestossegmentoscomolados. Usa el comps y la regla no graduada.Este problematiene la intencinde que los alumnos exploren las condicionesbajolasculessepuedeonoconstruiruntringulosegnlalongituddesuslados.Enelcasoa)podrnconstruirloy tieneunasolasolucin.Eltemb)nopuedeser construidodado quelas medidas de los lados son 6 cm, 2 cm y1 cmy posiblemente,los nios, reconozcanla imposibilidada partir del primerintento,porla distancia que les quedar entre los lados. En el tem c) si bien no esposiblela construccin, a algunoslesresultardudoso.Muchos intentarn construirloyles quedarun "tringuloachatado"18yaquealtrasladar loslados serinevita-bleproducirerroresdemedida.Sersuficienteparaque"salga"conconstruirladosde, por ejemplo, 4,01cm y 2,01 cm o trazar el tercer lado de 5,99 cm, condiferenciasimperceptiblesala vista.Luegodequealgunosalumnosmuestrenqueslessaliyotrosrespondanque"nolessale",eldocentepodrorgani-zarun espacio colectivoquepermita discutirlosresultadosobtenidos y analizarlasdiferenciasderespuestasrespectodelpuntoc).Sernecesariocuestionaraquprcticas empricas o perceptivas("me sale", "lo veo") para que los alumnospuedanargumentarsidichotringuloexiste ono. A partirdelintercambioydelas intervenciones deldocente,se esperaque aparezcan ideas talescomo"nossa//, pero en realidad no tiene esas medidas" o"si a un lado de 6 cm lo cortas en2cm y 4 cm los lados no suben", argumentando-con suspropios trminos-queesimposiblequeexista.Estadiscusinpodr estaracompaada porun dibujosimilaral siguiente,quepermite analizar si las circunferencias se cruzan o no, enfuncin dela longitudde susradios:18VerBalacheff(1987).I Z - t es )E n se arMat emt i ca #04Z O O SEl docente - adems de instalar el reconocimientoacerca de en culesde lastrespartes delproblemaesposibley en culesno construir eltringulo- podrdirigirla discusinhacia el anlisis de un aspectoligado a las normas del trabajogeomtrico: los lmites de la percepcin y la medidapara validar, temaplanteadoanteriormente.Por ejemplo: "parece que se puedeconstruir, peroestetringulono existe" o"no nos podemos apoyar en el dibujopara estar seguros".Problema 3 (Para hacer en pequeosgrupos):a) A continuacinse proponenmedidas de segmentos.Decidanen cadacasosi con ellas se puede o no construirun tringulo.- 3cm, 2 cm,1 cm- 8 cm, 12 cm, 5 cm- 8 cm, 4 cm, 4 cm- 7 cm, 1 cm, 2 cm.b) Con estos segmentosno es posibleconstruirun tringulo:8 cm, 3 cm, 2 cm.Quexplicacin daran de por qu no sepuede?El tem a) busca que los alumnos puedan ahora anticipar -preferentementesin dibujar- si es posibleo no realizar las construccionesconlas medidassolici-tadas.Esteproblemainvolucraotrotipodetrabajo geomtrico:el conocimientode las propiedadespermite una actividad anticipatoria(en trminosde los nios:"sepuedesabersin dibujar").El tem b) apuntaa que losalumnosse formulen,con sus propias palabras, la propiedad triangular. Se esperaque puedan llegar aexpresionesaproximadas a:"los dos ladoschiquitos tienen que sumar msqueel lado largo","si la suma da lomismo te queda pegado y no podesconstruirlo","si los otros dos lados sonmuy cortos no se juntan y el tringulo nocierra".Luegodeestosproblemaseldocentepodrcomunicarms formalmentelapropiedad triangular: "La suma de dos lados de cualquier tringulo siempre tienequesermayor queel tercerlado"19. A su vezel docentepodr generarun espa-ciode discusin, en basealas construccionesrealizadas, que permitaarribar alaideade queenlos casos enlosque s esposibleconstruir a partir delos treslados, la solucin es nica20.Ensear Matemtica *04 2008Segunda etapa: Propiedades de los tringulos en funcinde sus ladosProblema1a)Construirun tringulo de talmaneraque,alplegarlo,quede dividido endos tringulosguales21.b) Culesde los siguientes tringulospuedenser partidos en dostringulosigualesy cules no?c) Qucaractersticasdeberatenerun tringulopara que se pueda partir endos tringulosiguales?d)Esverdadqueeltringuloquesepresentadibujadotambinsepuedepartir en dos tringulosiguales?e)Es verdad que este tringulo no se puedepartir en dos tringulosguales?19LapropiedadtriangularapareceenelLibro1ElementosdeEuclidesformuladadediferentesmaneras:Proposicin20:Encualquiertringulola sumadecualesquieradosladosesmayorqueeltercero.Proposicin21: Si de losextremosde uno de loslados de un tringulo se construyendossegmentosque se encuentrendentrodel tringulo, entoncesla sumade los ladosasiconstruidoses menor quelasumadelosotrosdosladosdeltringulo,perolossegmentosasiconstruidoscomprendenunngulomayorqueelcomprendidoporesosdoslados.Proposicin22:Paraconstruiruntringuloapartirdetressegmentosdadosesnecesarioquelasumadecualesquieradelosdossegmentosdados seamayorqueeldel tercero.Enotras formulaciones,la propiedadtriangularincluyetambinquela longitudde unode susladosdebesermayor quela diferencia entrelaslongitudesdelos otrosdos.aspecto queno sertomadoen este nivel de escolaridad.20 El anlisisacerca de la cantidad de solucionespodr proponerse a partir de que es posible que losalumnosconsideren quese puedenconstruirdos o tres tringulos distintos (rotadoso trasladados).Una manera de dirimir esta cuestin ser proponer como criterio de "igualdad" la posibilidad de super-posicin. La unicidad no podr ser demostradapor los alumnos. El trabajo emprico permitir elaborarla conjetura, peroestar a cargodeldocentesu comunicacin.Tal comoha sidomencionadoen laparteIII deestetrabajo,estacuestinnoasumelas caractersticas especficasdelademostracinmatemtica. Si bien existe una demostracinde la unicidad de la solucin,no es accesible a os alum-nos en esta etapa de la escolaridad.Por ellose propondr,provisoriamente,un criterioque - aunquetenga componentesempricos - admiteciertonivel de argumentos.21 Algunos textos denominan a esta relacin con el nombrede congruencia.IZitEi)EnsearMatemtica #0* 2008f)Es verdad que et tringulodesignadoconla letra A se puedepartirdeva-rias maneras y el tringulo designado con la letra B se puede partir de unasolamanera para que quedendos tringulosiguales?ABLos tems a) y b) invitan a los alumnos a explorar con diferentes tringulos unaprimeraideaintuitiva de simetra22 quepermitirciertonivelde anticipacin. Hayuninterjuego entre"probarydeterminarapriori"lascaractersticas requeridas.Posiblemente en el tem a) los alumnos construyantringulos issceles oequil-teroscon sus alturasmarcadas23, paraindicarpor dondeplegarlos,resolviendoel problemadesde el inicio. El tem b) apuntaa que los alumnospuedan,apartirdel trabajo exploratorio, poner en acto una ideaan implcita respecto de que losisscelesy equilteros-sinusaran estostrminos-admitenser "partidos"endos tringulos iguales.Se esperaque dichadea sea explicitadaa partir deltemc),aunquese continesinutilizardenominacionesconvencionales.Lostemsd)y e)buscanidentificaralgunascaractersticasdeloslados: laigualdadentreellos.Comoproducto del anlisis colectivo en torno a estos problemas el docentepodr retomar los conocimientosquehan circuladoacerca de la posibilidado node que un tringulo tengados o tres lados iguales, e instale los nombres, enfun-cin de las medidas de sus lados: escalenos,issceles, equilteros24. A la vez seestablecer que los tringulos equilteros e issceles satisfacen las condicionesrequeridasen elproblema.Problema2 (Conreglaycomps)a) Usando segmentos de 4 cm, 5 cm 6 cm como lados intenta hacer variostringulosescalenos,isscelesy equilteros25.b) Se puedenconstruir dos equilteros distintos conlados de 4 cm?c)Se puedenconstruir dosissceles distintosconun ladode 5 cm y otrode6cm?Este problema tiene la intencin de que los alumnos usen la clasificacin dadapara una nueva cuestin: analizar la variedad de tringulosque pueden ser cons-*22Concepto que no serformalizadosino apenasusado en forma exploratoria.23 Aunque no identifiquenel conceptode altura.24 Se considerarcomo "independientes" a los tringulosisscelesy equilterosponiendoen juegola definicinde tringulos issceles comoaquellos que tienen dosladosigualesy equilteros,comoaquellosque tienen tres lados iguales.La cuestin acerca de que los equilterostambin llenen doslados igualesy por lo tanto son issceles depende de la definicin que se considere y no ser tratadaen estemomento.25 Posiblemente el docente deber aclarar que se pueden "repetir" y que "no es necesario usar todos".EniertarMatemtica #01 2008truidos en funcin de las medidas de sus lados. A partir del anlisis de la situacinplanteada, el docentepodrgenerarun intercambioque prepareel terreno parainstalar que existe un solo tringulo posiblecon treslados igualesde 4 cm, peroque existen dos tringulosissceles diferentes con lados de 5 cm y 6 cm respec-tivamente (5 cm, 6 cm y 6 cm bien 5 cm, 5 cm y 6 cm)26.Problema3 (usandoregla ycomps)a)Quinformacinesnecesariaconsiderarparapodercopiarenuna hojalisa estostringulos?b)Quinformacinesnecesariaconsiderarparapodercopiar en unahojalisa estos tringulos sabiendoque el tringulo A es issceles y eltringuloBes equiftero?A partirdel tem a) es posible identificarla necesidad de medir los treslados yse evidencielainsuficienciadelasaparienciaspara determinar la igualdado node suslados, ya que "parecen"ser tringulos equilteros o issceles, pero "no loson"27. En el tem b) se apunta a que los alumnosidentifiquen que la informacinofrecidapor el enunciado -queA es issceles y B equiltero -permite "ahorrar"mediciones.Sibienelproblemaestpresentadoentrminos anticipatorios, eldocentepodr solicitaralos alumnos que efectivamente los copien para corrobo-rar(aunquedemaneraemprica)sila informacinquehan decididoconsiderarfue suficiente.26 Esta cuestin ser retomada ms adelante al proponer a los alumnosexplorar las condicionesbajolas cualespuede construirseun nico tringuloisscelesdados dos de sus lados.27El anlisis didcticode este problema pone en juego dos de las tensiones mencionadasen el pun-toIII.Por una parte,para determinar silos tringulosson o no issceleso equilteros,losalumnosdebernmediryusardichainformacinparaconcluirquenoloson.Sibienlamedidanopermitevalidar en geometra,un ciertotratamientocondibujosde figuras yconmedidasespuntode apoyopara una entrada posterior enla argumentacin y en el terreno ms deductivo.La segundatensin seproduce al considerara estos dibujos como figuras,cuestin que est a lo largo de casi todo el trabajoen la escuela primaria. Se tratar de controlar desde la gestin"no pedirle"a los dibujosquepermitan"mostrar" propiedades,peroes inevitable apoyarseen ellos.)fei)EnsertarMatemtica 04 2008Tercera etapa:Revisin del concepto de ngulo. Uso deltransportadorProblema1: (en pequeos grupos)a)Cadagruporecibeundibujo-sinquelosotrosgruposiovean-ydebeenviaraotrogrupounmensajesindibujosparaquealrecibirlo,puedanconstruiruna figuraigual a la que ustedes tienen.(Todos los gruposrecibendibujosde paralelogramos cuyos ladosmidan 4 cm y 6 cm, pero todos condiferentesmedidasde los ngulosentre ladosconsecutivos.Algunosgru-pos reciben rectngulos28).b) Cada gruporecibelasinstrucciones de otro grupo y deberealizarlacons-truccin.c)Finalizadala construccina partir de las indicacionesrecibidas, cadagrupose rene con el que le ha enviadoel mensaje para determinar, por superpo-sicin, si las figurasles han quedadoiguales.Posiblementelosalumnosnombrenalosparalelogramosnorectnguloscomo"rectngulosacostados","rectngulostorcidos","cuadradosalargadosparaelcostado",etc.Estasituacindecomunicacinbuscaprovocarlanece-sidaddeconsiderarcomoinformacinlamedidadelosngulos.Comotodoslosparalelogramosdadostienensusladosde 4cmy6 cm,losmensajesqueindiquennicamente laslongitudesde los ladosevidenciarn la insuficienciadela informacin en el texto enviado. Al dibujarlos, en la fase b) producirn nguloscualesquierapara"inclinarlos".El intentodecomprenderel fracaso enel envode algunosmensajes prepararbuenascondicionespara que,en la fase colec-tiva, el maestro encauce el anlisishaciala necesidad de considerar alguna otrainformacin: medir "la inclinacin"entrelados consecutivos. El problema habilitaaintroducir el transportadorcomoun instrumentoquepermitemedirdichaincli-nacin entre los lados.Luegodeinformaralosalumnosacercadesuusolaactividadpodrsernuevamente propuestapara que en el segundo intento, efectivamente,informentambinlasmedidas delos ngulosy puedantenerxitoenla reproduccin delas figurasrecibidas. Silosnios conocieranya lanocinde ngulo yusaran eltransportador,esteproblemapermitirtraerala escena del auladichosconoci-mientos y sistematizarlos. En caso contrario, esta situacin permitir introducir unnuevo objeto:la nocinde ngulo y cmomedirlo,requiriendounas clases parael trabajo tcnico en tornoal uso deltransportador.28 No se requiere paraeste problemaque los alumnos conozcan la denominacin "paralelogramos".Si algunos dispusieran de dicho vocabulario, podrnusarlo librementeperono se modificael asuntoque proponelasituacin.EnsenarMatemti ca 04 2008 .71Problema2.a) Copiaren una hoja en blanco los siguientesdibujosb) Cul de estos dos nguloses mayor?Ac)Cuntas veces entra el ngulomenor en el ngulo mayor?d) Cules de estos ngulos son mayores,menoreso guales que el ngulode 90o? Podesusar la escuadrapara medirel ngulo recto.KEltema)apuntaaquelosalumnosse familiaricenconladeadenguloyeluso del transportadorparacopiar dibujos.Eltemb)buscaque identifiquenquela medida de un ngulo no depende de la longitud delas semirrectas quelodefinen.Es probable que algunosnioscrean queel ngulo B esmayor queelngulo A por la medida de sus "lados". El docente deber propiciar una discusinparaidentificarquelamedidadelnguloestdadaporalamplitud ynoporlalongitudde suslados.Nuevamenteeltrabajogeomtricoexigir"pelearcontralasapariencias"para reconocer que A esmayor queB. Eltem c) permitir usarel ngulo B comounidad de mediday determinar que "entra" cuatro vecesen A.Esteproblema permite instalar dos cuestiones.Una es queesposible medirsintransportador,usando ngulos como unidades demedidade otros ngulos. Lasegundaes que conociendola medida deun ngulo, enalgunasoportunidadeses posibledeterminarla medidade otro.Eltem d) tienela intencinde generar una primera clasificacin dengulos.El uso de la escuadra permitir determinar si los ngulosson iguales,mayores omenores que 90sinnecesidad de usar el transportador. Al finalizareste proble-ma el maestro podr presentar que un ngulo recto es aquel que mide 90y lasdenominacionesconvencionales de ngulos agudos, obtusos y rectos, as comoidentificar la escuadra como instrumento para reconocerlos o construirlos.EniearMaterna t i ca- # 04 - 2 008Cuarta etapa: Propiedades de los ngulos del tringuloProblema 1a) Constru 5 tringulos diferentesque todos tengan como uno de sus lados elsegmento AB y que el vrtice C est en la recta LLA Bb) En qu lugaresde la recta L podra estar el vrtice C para que eltringuloABC tengaun ngulorecto? Y para que tenga un ngulo obtuso? Y paraque tenga tres ngulosagudos?Este problema tiene la intencin de promover un trabajo exploratorio en tornoalascondicionesparaproducirtringulosconciertosngulos.Setratarnlasrelacionesentre la ubicacin del vrticeC sobrela rectaL y la amplitud deln-gulo A (o B, segn dnde se ubique C), ya queal variar la posicin del vrtice C,varala amplitud del ngulo A (o B). Ser interesante - luego de encontraralgu-nas soluciones para cada caso - que el docente ayude a identificar que solo hayun punto posible parala ubicacin del vrtice C que determina que el ngulo Asearecto (y un nico punto para la ubicacin del vrticeC para que el ngulo Bsearecto).En cambio,hay "muchos"(infinitos) puntosposiblesdondesepuedeubicar el vrticeC que provocan que el ngulo A sea agudou obtuso (todos losque se encuentran a la derecha o a la izquierda del punto que permite obtener unngulorecto en A). Nuevamente se pone en juego el apoyo en "algunos" dibujospara pensaren "todas" las figuras posibles.Una vez analizado el problema, el maestro podr comunicar los nombres querecibendichos tringulos, en funcinde la medidade sus ngulos:rectngulos,acutngulos y obtusngulos.Problema2:a) Constru en cada caso, si es posible,un tringulocon las medidasde n-gulos que seproponen:30, 50, 10040, 30, 50100, 20, 2075, 75, 30100 ,35 y 40b) Constru en cada caso un tringulo con:Un ngulo de 90 y otro de 40. Cunto te parece que mide el tercer ngulo?Uno de 90 y otro de 30.Cunto te parece que mide el tercer ngulo?Uno de 90 y otro de 70.Cunto te parece que mide el tercer ngulo?(Mes)EnsertarMaterna tica - # 04- 2008Aquse buscainiciara los alumnosen el estudiodela propiedadde lasumadelosngulosinterioresdeuntringulo29.Lapartea)invitaaunprocesoex-ploratoriodeensayoyerror.Conalgunasdelasternaspropuestasesposibleconstruir tringulosen tanto que con otras resulta imposible.Algunosnioscons-truyen un lado de un tringulo y sobre sus extremos "levantan" dos de los ngulosofrecidoscomodatos.El tringulo"cierra"peronomidenlaamplituddeltercerngulo.Porejemplo,enelcasode 40,30 y50,esposiblequelos alumnosdibujenunlado:Y queluegoconstruyan los ngulosde 40y 30a partirdelos extremosdellado dibujado:Efectivamente el ngulo A mide 40, el nguloB mide 30: y el ngulo C quedadeterminadopor los ngulos ya trazados.Perolos alumnos suelenno medirlo.Ysu medidano resulta de 50, sino110. Es el docentequienpuede poner enevi-dencia esta contradiccin solicitando a los nios que midanel tercer ngulo. Enestos casos, es posibleque intenten"achicar" el lado que usaron paracomenzarla construccin,suponiendoque,al disminuirsulongitud,disminuirla amplituddel ngulo en cuestin:PeroelnguloC siguearrojandounamedidacercana oigual a110, yno a50como solicita elproblema.Estas contradicciones debern permitir a los alumnos elaborar ciertas conje-turas acercadelo que ocurre, prximasa "enalgunoscasos se puedeconstruirylasmedidasde losngulossirven, peroen otroscasosnose puede". Annopodrnexplicar qu est ocurriendo.La variedad de construccionespropuestasinvita a explorar y conjeturarsobre estehecho.El docentepodr propiciarespa-29 En el libro de los Elementos, de Euclides, aparece comoProposicin 32: "En cualquier tringulo, siuno de los lados se prolonga,entoncesel ngulo exteriores igual a la sumade los ngulosinterioresy opuestos,y la suma de los tres ngulosdel tringuloes de dos rectos".La versinescolarde estaproposicin"La suma de los ngulos interiores de cualquier tringuloes 180" se propone que "espe-re" hasta finalizar el problema 3 de esta etapa.( f nf eOEnsearMat emt i ca- #04- 2008cios de intercambio entre los alumnos para que busquen argumentos a favor o encontra de lo que sospechan, convenciendoo dejndoseconvencer.Siluegodelasconstrucciones yeldebate,surgieraquelasumadebeser18030, el docentemantendr cierta incertidumbre y podr proponerparael an-lisismedidasdelosnguloscuyasumase aproxime a180:100 , 35y 40o100, 40 y 39.En estos casos, los errores propiosdelacto demediry del usodeltransportador pondrn, tal vez,en duda,la certeza de quela suma debeser180.Lacuestinesgenerarlascondiciones(contradicciones)quedemandenuna explicacin acerca de cunto debe valer la suma de los ngulos interiores deltringuloy depor qudebeserese valor ynopodraserotro.Una vezms sepone en evidencia el lmite de la medida para justificar lo que "parece ser as". Eldocente podr retomar la dea: "en geometra los resultados no pueden apoyarseen loqueseve ni enlo quese mide".Problema 3Enpequeosgruposintentenentenderestasdemostracionesqueexplicanpor qu la suma de los ngulosinterioresde cualquier tringuloes180.Demostracin1:La suma de los ngulosinterioresde un rectnguloes 360pues cadangulomide90. O sea, 90x 4 = 360.Si a cualquierrectnguloselo divideal medio trazandouna de susdiagona-les,se obtienen dos tringulosrectngulosiguales.En cada uno de ellos, la suma de susngulosinterioresser180, para que todoslosngulossumen los 360.Esto permiteafirmarque la suma de los ngulosinterioresde cualquiertrin-gulo rectnguloes180.Si ahora se consideraun tringuloque no es rectngulo, como el del siguientedibujo,el mismopuedeserpartidoen dos tringulosrectngulos,medianteunaperpendicular a uno de sus lados, que pase por el vrticeopuesto:En este tringulo, formado pordos tringulos rectngulosAy B, la suma de todoslos ngulos de los dos tringuloses 360, resultado de hacer 180+ 180. Pero losdos ngulos rectos marcados no son ngulosinteriores.Entonces, si a los 360lequitamosesos dos ngulos rectos, se obtienen180,pues 360-90-90= 180.Luego, la suma de los ngulosinterioresde cualquiertringulo es18030A veces algn alumnoevocala propiedadpor ser "voxpopuli".EnsearMatemtica 04 2 008Demostracin2:Elsiguientedibujorepresentauntringulo"dentro" de unrectngulo:A!trazarunalneaperpendicularalabasequepasaporelvrticeopuesto,elrectngulograndequedadivididoendosrectngulosmspequeos. Los lados del tringulo forman las dia-gonalesdeesosrectngulos.Porlotanto cadarectnguloquedadivididoen dostringulosiguales.Entoncesel nguloamidelos mismo que el ngulob y el nguloc midelo mismo que el ngulo d. Como lasuma entre las medidasde los ngulos m, b y c, es180, entonces la sumaentrelasmedidasde los ngulos m, ayd tambines 180.Luego, la sumade los ngulosinterioresde un tringuloes 180.Estaactividadbuscaquelosalumnosseenfrentenaldesafodeinterpretarunaexplicacin delosmotivos porloscualeslasumadelosngulosinterioresdecualquiertringuloes180.Seproponendosdemostraciones diferentes demanera tai de permitiralos nios tener alternativas parainterpretar estapropie-dad.Partedeloquedebenaprenderesaleertextosmatemticos, adaptadosasusposibilidadesyconocimientoscomoparte delproceso deinvolucrarse enprcticas argumentativas31.Luego del anlisis de estas demostraciones, el docente podr enunciarla pro-piedadenlostrminosqueconsiderepertinente.Porejemplo: La sumadelosngulos interiores de cualquier tringulo es180".Problema 4:a)Dibujenun tringuloisscelesquetengaunngulode40 yotrongulode 70. Es posibleanticiparla medidadel tercerngulo?b)Serciertoquesise conocenlasmedidasdedosdelosngulosdeuntringuloissceles,es posible encontrarla medidadel tercero?Y que si seconoceuno,se puedesaberla delos otros dos?c)Ser cierto que en cualquiertringuloequiltero,los tres ngulosmiden lomismo?Cuntomide cadangulo?Este problema invita a desplegar un trabajo de neto corte deductivo, ya que setrata de encontrar ciertos valores sin el recurso de la medida y apelando a las pro-piedadesestudiadasanteriormente.Laspartesa)yb)buscanqueidentifiquen31Retornamos aqu el problemadidcticomencionadoen la parteIII relativo a los puntosde apoyopara la elaboracin de nuevos conocimientos.En este caso el problemalo constituye la referencia, enla segundademostracin,a la propiedadde la diagonaldel rectngulo,que lo divide en dos tringulosiguales.Estacuestinesnecesariaparalademostracin,peroala vezpuedenoformarpartedelosconocimientosdisponiblesdelos alumnos,Comoyaha sidosealado,eldiseode secuenciasdidcticas"tropieza"conla contradiccin entrela lgicaaxiomticaylasposibilidadesreales delosalumnos. Aqu seopta por"mostraruna demostracin"enla cualesta propiedadfuncionaimplcita-mente,propiedadqueenla geometraesdemostrada(a partirdeotros axiomas),y queparaestossupuestosalumnos puede ser consideradaun "axioma".EnsearMat emt i ca #04 2008que en todo tringulo issceles,los ngulosque se apoyan sobre el lado desigualsoniguales.Esesperablequelosalumnosenlapartea)logrenconstruiruntringulo con las medidas de los ngulospropuestasa partir de ensayar dibujosyusandola propiedaddela suma delos ngulosinteriores.De allse espera quereconozcanqueeltercerngulodebermedir70. El docentepodrintervenirpreguntandopor quno pueden ser dos ngulos de 40y uno de 70.Lostems b) y c)buscanintroducira losnios en el desafo de tener quede-terminarla validez o no de ciertas afirmaciones y justificaral respecto.El tem b)buscaquese identifique quesiempre,enlos tringulosissceleshay dosngu-los iguales.Luegodel trabajo exploratorioporparte delos alumnos, y dela ela-boracinderespuestas msintuitivas, el docentepodrabonar ala explicacinmostrandoel trazado de una perpendicularal lado desigualpor su puntomedio:De esta maneraquedandos tringulosigualespor tener sus tresladosigua-les, que se puedensuperponerplegando por la lneadibujada y por lo tanto, tam-binsesuperponenlos ngulos.La segundapreguntadeltemb) apuntaa quelos alumnosanalicen que sabiendouno de los ngulos pueden saberse los otrosdos, pero hay dos solucionesposibles.Por ejemplo, si el ngulo conocido es 40,podrhaber dos ngulos de 40y uno de100, o biendos ngulos de 70y unode 40. El tem c) tambin apunta a un trabajo exploratorio en el cuallos alumnosesbozarn,demaneraintuitiva,quesiemprelostresngulosdeunequilterosernigualesyporlo tantomedirn 60. Delmismomodoqueeneltemb)eldocentepodr mostrar una explicacin ms,por ejemplo que si se trazan perpen-diculares a cada lado, siempre se van a poder superponerlos ngulos, dos a dos,"demostrando"conuna baseemprica an, que son todosiguales.Problema5a)Es cierto que si un tringuloes rectnguloe issceles, dos de susngulosmedirn45o?b)Encontrar,sinmedir, la medidadel nguloC dela siguiente figuraqueestformadaporun tringulo ABDequilteroyun tringuloBDCissceles,Alngulo ABC mide 90.nCBL.'-i i fn.i rMaterna t i ca - #04- 2008Al igual que el problema 4, se motoriza el trabajo deductivo.La parte a) buscaelreconocimientodequesiun tringulotieneun ngulorecto,lasumadelosotros dos ser de 90. Al ser issceles, tiene dos ngulosiguales -como ha sidoconsiderado en el problema 4- de donde se deduce que cada uno debe medir 45para quela suma de los tres ngulossea180.La parteb) presenta un nuevodesafio:se trata de "leer"informacin quenoest explcita. Es decir, la informacin del ngulo recto deber permitir a los alum-nos identificarque dichongulorecto est formadoporuno de 60 (el deltrin-guloequiltero ABD)yunode30 (eldeltringuloisscelesDBC).Conestosdatos se podr establecerque el valor del ngulo C es 75pues debe ser igual alotro nguloy juntossumar150. Ahora bien, es posible que los alumnos utilicenerrneamenteelresultadodelapartea)parapensarlaparteB yafirmenqueelnguloC es de 45.Serinteresante volver a la propiedaddela suma de losngulos interioresy verificar que este valorno es posible.El docente, a partirdeesteproblema,podrhacernotar nuevamente,cmorecurriralaspropiedadespermitesaber, sin medir, la medida de losngulos.Quinta etapa: Construir y eaborarrazonesProblema 1a) Construun tringulo obtusnguloque tengados lados de 5 cm que formenel ngulo obtuso. Cuntos hay?b)Construun tringulo rectnguloque tengadoslados de 5 cm queformenel ngulorecto. Cuntos hay?Este problemapromueve el anlisis de la cantidad de tringulos que es posi-ble construir con ciertos datos. En la parte a) se espera quelos alumnos,a partirde construiralgunos tringulos, puedanidentificar quehaymuchos (enrealidadsepuedenconstruirinfinitos) debidoa queno estdeterminado el valor del n-gulo obtuso.En tanto, en la parte b), al solicitar que el tringulo sea rectngulo, elnguloestdeterminado:debeser recto. De allquela construccin ser nica.Es una oportunidad para comenzar a analizar con los alumnos que la cantidad desolucionesdependerde los datos que proponga el problema y de las relacionesque se puedanestablecerentreellos. Si bienlos alumnos en estasecuenciayahanresueltoproblemas similares,se busca profundizaren el uso de las diferen-tespropiedadesestudiadasparaanalizarlasrelacionesentrelascondicionesque se presentan para la construccin y la cantidad desoluciones.Problema 2a) Construun tringuloisscelesque tengaun ladode 5 cm y otrode8 cm.Se puedeconstruirotrodistinto?b) Constru un tringulo issceles con un lado de 4 cm y otro de 8 cm. Se puedeconstruirotrodistinto?EnsearMaterna t i c a- # 04- 2 006Nuevamenteseproponeanalizar,enfuncindelosdatos,laposibilidadonodeconstruirunoovariostringulos,retomandolorealizadoenlasegundaetapa,problema2.Enlapartea)probablementealgunosalumnosdibujenuntringulo que tenga sus lados de 8 cm, 5 cm y 5 cm. y otros dibujen el que tengasusladosde5cm,8cm, y8cm.El docentepodrorganizarelintercambiodeestasconstruccionespara favorecerlapuestaenevidenciadelaposibilidaddeconstruir dos tringulosdiferentescon estos datos y que los niosreconozcanlaexistencia de otroposible.La parteb) podra ser tratada de lamismamanera quela partea),pero apa-rece la siguiente contradiccin: el tringuloisscelesde lados 8 cm, 8 cm y 4 cmse puedeconstruir en tanto que el de 4 cm, 4 cm y 8 cm no puedeser construidopues estas medidas no verificanla propiedadtriangular. Se trata de analizar conlos alumnos estas caractersticas de las longitudesde los lados y las diferenciascon los datospresentados en la parte a).Lasmedidas"justas" seguramentegenerarnque algunosniosconstruyaneltringuloconciertoserroresdemedidayqueles salgaa pesardesuinexis-tencia.El docentedeberretomarlasconclusioneselaboradasenlaetapaI yvolver a identificar los lmites del trabajo emprico para "estar seguros" de que sesposible.Problema3a)Cuantos tringuloshay con lados de 4 cm, 5 cm y 6 cm?b)Cuantos tringuloshay con ngulosde 60, 40y 80o?Esteproblemavuelvea poneren juegoa ideadeque,dadoslos tresladosde un tringuloque verificanla propiedad triangular, siempre es posibleconstruirun nicotringulo.Algunosalumnossospechanque el tringuloquese obtienedependedelladoporelcualseempiezaaconstruir.Esdecir,suponenquesiempiezanpor el de 4 cm obtienenun tringuloy si empiezanpor el de5 cm ob-tienen otro diferente. Es una buenaoportunidad para analizar si los tringulos asconstruidosson diferentes ono. Algunosargumentos queesbozanlos alumnospara explicar quehay un nico tringuloson similares al siguiente: "Son iguales,noves quesi lo dasvuelta te queda este otro"o"Si lo cortas y lo giras, se super-ponen".Estasexplicaciones,apoyadasseguramenteenlosdibujos,sibiennoson suficientesen trminosmatemticos, podrn ser aceptadas provisoriamentepara establecer que con las medidas de los tres lados se puedeconstruirun ni-co tringulo32.Cuestionessimilares se espera queocurranenlaparte b). Algunosalumnossospecharnquesepuedeconstruirunnicotringuloapartirdelasmedidasde sus ngulos.Probablemente haya otros que recuperen los conocimientos pro-ducidosentornoalproblema2delacuartaetapayproponganquees posible32Esta caractersticaestasociadaa uno de los criterios de congruencia:dos tringulos son con-gruentessi tienensus treslados iguales.Por lo tanto,cualquier otro tringulo quese construya conesos tres lados serigual al que ya se construy. La demostracin de esta condicinde congruenciarequiereconocimientosquelosalumnosannotienendisponiblesycorrespondenaotraniveldelsistemaeducativo,ya quese debe disponer delas ideas de traslacin,rotacin y simetra.EnsearMatemtica #04 2008construirvariostringulos.Unmododeresolverestacuestinesmediantelacomparacindelasdiferentesconstruccionesquehayanrealizadolosniosyquemuy probablemente sean diferentes entres. De all que se podr establecerque conociendolas medidas de sus ngulos,si suman180, es posible construirmuchos(infinitos) tringulos diferentes- aunquelos alumnosno estnencondi-cionesde considerardel todoquesusladossernparalelosni se avancesobrelaideadesemejanza,cuestionesquefundamentanconmayorprofundidad lasrelacionesestablecidas-.Esdecir,setratadeinvolucraralosalumnosenunproceso exploratorio, de elaboracin de ciertas conjeturas y algunas primeras ex-plicaciones de tales conjeturas. El recorrido escolarpermitir afinar losargumen-tos,hacerlosmsslidosyms coherentes. Peroporahora,se aceptarcomoprovisoriala explicacin,por cierto verdadera, de que dadoslos tres ngulosquesuman180, hay infinitostringulosposibles ya que los lados pueden "achicarse"o "agrandarse" pero quedan"de la misma forma", tal como seilustra:Problema 4a)Culde estos tringulospuedeser descriptocon el siguientemensaje:"Uno de sus ladosmide 4 cmyeotromide 3 cm"?b)Cul de estos tringulospuedeser descripto con el siguientemensaje:"Tieneun ngulo de40yotrongulode60"?c)Qu datosseranecesarioagregarpara que,en cada caso,eltringulodescriptoseanico?En esteproblemase promueveun anlisis en trminos delos datosque sonnecesariosconsiderarparaidentificara unnicotringulo.Intencionalmenteen( 8 : EnsearM at emt i ca #04 2008lapartea) y enla parteb) sehanincluidodatos quecorresponden acualquierade los tringulos dibujados. Para pensar la parte c) los alumnos podrn apoyarseen los problemas anteriores e incorporar nueva informacin que permitadescribira un nico tringulo. En el caso de la parte a) podrn considerarcomo nuevo datolalongituddeltercerlado.Perotambinesposibleincluircomoinformacinlaamplitud del nguloconformado por los dos lados que ya son parte de los datos.De esta manera tambin se determinaun nico tringulo33.La incorporacin de un dato mspara el tem b) quiz seaun pocoms com-pleja.Puedeser quealgunosalumnosproponganeltercernguloysernece-sario retomar el problema anterior acerca de que hay muchos tringulosposiblesdadossus tres ngulos (si suman180).Probablementeotros sugieraninformardelamedidadelostreslados,ademsdelosdosngulosdados,criterioyautilizadoanteriormente.Seroportunoque eldocentepongaendiscusinsi esnecesaria tantainformacin o si es posible agregarun nico dato ms.El estudiodelas figuraspodrhabilitarla conjeturadequeconeldato dellado enelque"apoyan"losdosngulossersuficienteparaidentificarlo,ynoesnecesariosaberlasmedidasdelostreslados34.Frentealaspropuestasdelosalumnosel docentepodr sugerir que dibujenpara probar si les sale uno solo o les salenvarios, y que puedan elaborar conjeturas a partir de los dibujos realizados.Finalizada la parte c), el docente podr proponer a los alumnos establecer queparaidentificar(obienparaconstruir)unnicotringuloesposibleconsiderardiferentes datos:-los tres lados- dos ladosy el ngulo que forman- dos ngulos y el lado en el que esos ngulosseapoyanTambin podridentificar quese pueden tomar todoslos ngulos y todos losladosperoqueesinnecesario. Asimismorecordar lainsuficienciade considerarlos tresngulos.Problema 5a)Existen tringulosissceles con un ngulorecto?b) Y con un nguloobtuso?c)Existen tringuloscon tres ngulos obtusos? Y con dos?d)Hay tringulos obtusngulosequilteros?e)Y tringulosrectngulosequilteros?f)Hay tringulos con dos ngulosrectos?Esteproblemainstalaunanuevaprctica asociada al trabajogeomtrico. La33 Conocerlamedidadedosladosde un tringuloy elnguloqueforman permiteidentificara unnicotringulo.Esto seapoya en un criterio de congruencia queno se esperaseaenunciadocomotal. Se apunta con esteproblema a una primera aproximacin a quehay varios conjuntos posibles dedatos que determinanun nico tringulo.34 Esteresultado sebasa en otrocriterio de congruencia:dos tringulos son congruentessi tienencongruentesdosngulos yelladoenelqueesosngulosse apoyan. Una vezms, eneste caso,se tratadeconsiderarestainformacin comodatosquedeterminan aunnicotringulo.Hay otroscriterios de congruencia queno son abordados en esta secuencia.Uinte*)EnsearMat emt i ca-104-2008(&1tarea solicitadaal alumnono es construir ni medir,sino anticipar.Por lo tanto, losdibujosque se realicen sern meros bosquejoso figurasde anlisisque permiti-rn tener una aproximacin un poco ms controladasobre lo que ocurre en cadacaso.Por ejemplo,enlapartea)los alumnospodrnrealizardiferentesdibujosdetringulosrectngulosidentificandoquealgunosdeellospuedenseriss-celes,yaqueno existe ningunarestriccinqueimpidasuconstruccin.Podrnarribar a esta "verdad" aunquela construccin no se realice o conconstruccionesa "mano alzada".Por otro lado,se pone en escenala posibilidad de comenzar a imaginar esasfigurasde anlisis comodibujosquerepresentanuna coleccininfinita de trin-gulos,ynounosolo.Eslageneralizacinloquesevuelveamovilizar enestaclase de trabajo.Laparteb) tienecaractersticas similares alapartea)ysersuficienteconencontrar algn tringuloque cumplacon dicha condicinparaarribar a su posi-bilidad.En tanto que la parte c) involucrala necesidad de elaborar argumentos unpocoms slidos.Algunosalumnos,ayudados en las figuras de anlisispodrnsostenerquenosepuedenconstruir dichostringulospues"nocierran".Perotambines esperableque aparezcan argumentos basados explcitamente en laspropiedadesyaestudiadas:"untringulonopuedetenertresngulosobtusos(nidos) puescadaobtusoesmayorque90, porlotantosusumaser mayorque180".Esunaoportunidaddeidentificaralgunasmarcasdeltrabajoargu-mentativo.Sila figuradeanlisis "muestra" queno sepuede armar el tringulo,esnecesarioencontrar alguna explicacin deeste hecho, ya queesinsuficientecon que"no salga"paradecir"que no esposible"35.Qu propiedadnose estcumpliendo?Tienequeverconloslados?Tienequeverconlosngulos?stas son algunasposiblesintervencionesdelmaestro para favorecer la puestaenfuncionamientodepropiedadesqueexpliquen,msalldelosdibujosque"muestran".El docente,luegodequelosalumnos elaboren diferentes explica-ciones,instalar elreconocimientodelaimposibilidad paralas preguntas delostemsc), d),e) y f)retomandolasexplicacionesapoyadas enlapropiedadde lasumade los ngulosinterioresde cualquier tringulo.Problema 6 (en pequeosgrupos):El siguientedibujoest formadopor un tringulo ABD equilteroy otro,BDC,issceles.Sabiendo que el nguloB mide130, calcularla medidadel nguloC,sinmedirlo.A35Para los alumnos sera imposibleconstruir un tringulo de 0,5 mm; 0.4 mm y 0,3 mm sin embargoexiste.O un tringulode 3, 4 y 5 km. La distincinentrelo posible empricamentey lo existente teri-camentevuelvea jugarseen esteproblema.(82-,Esteproblemaretoma,enciertamedida,elproblema4delacuartaetapa.Asociada a la difcil tarea de iniciar a los alumnos en los procesos deductivos, unacuestincentral involucra la posibilidad de "leer" informacin queno es explcita,enuna coleccinde datos. Seguramenteel docentedeberexplicar a losalum-nos en forma oral, lo que"s se sabe" del dibujo, releyendo entre todoslas infor-maciones dadas y aclarando las convenciones usadas para darinformacin.Luegopropondrun trabajoexploratorioenpequeosgrupos.Serposiblequelos alumnosreconozcan queuna partedel nguloB -la que correspondealtringuloequiltero-mide60(pueslos ngulosinterioresdeun tringuloequi-lteromiden60cadauno)poniendo en juegoconocimientoselaboradosapro-psitodelosproblemasanteriores.Porlo tanto,laotrapartedelnguloBquecorrespondealtringuloisscelesdebermedir70,paraque juntoalde60formenlos130.Para aquellosalumnosqueles resultarams complejoelpro-blema,eldocentepodrrealizarciertaspreguntasparaquepuedanidentificaralgunascuestiones.Por ejemplo:"se podrsabercunto midecada partedelnguloB?";"de qu manera?;qu informacin hacefalta?",etc.Lainformacinquesevaelaborando,juntoconlaqueproveeelproblema,empiezaa dejardeestar"oculta"ypermiteidentificarqueelnguloDtambinest formadopor dos ngulos:uno de 60y el otro de 70, pues la parte que co-rresponde al equilterodebemedir 60en tantoque la que correspondeal iss-celes debe medir 70. De estas relaciones es posible inferir que el ngulo C debemedir 40,paraque junto alos dos de70sumenlos180quecorrespondenaltringuloissceles.Sindudaesteesunproblemamscomplejo,peromsalldequetalveznoseaposibledeserresueltodemaneraindividualyenformaautnomaportodoslosalumnos,consideramosqueesformativoqueenpequeosgruposyayudadossi esnecesariopor eldocente,puedanempezara realizarpequeasdeducciones de datos que les permitanir arribando a las respuestas. Una vez re-suelto el problemaseles podrproponerla elaboracin de un registroescrito delas "demostraciones", de tal manera de que los nios puedan empezara ensayarla produccin de textos prximos a los matemticos ledos por ellos, porejemplo,para la demostracinde la sumade los ngulosinterioresdel tringulo.Serinteresante que se enfatice tambin cmoel estudiode laspropiedadesnuevamenteles permitededucir ciertas medidas y realizar anticipacionesque norequieren dela medicinefectiva.Al finalizar la quinta etapa se podr organizar un momento de trabajo colectivoparaevocar los diferentesproblemasresueltos,releerlas conclusioneselabora-das,sintetizarlasprincipalespropiedadesestudiadasyrecuperarel anlisis deloserroresmshabituales.Estarecapitulacingenerarmejorescondicionespara el estudio y la reutilizacin delo aprendidoen nuevosproblemas.Serimportantequeseexpliciten-ademsdelosresultadosgeomtricoselaborados, y los problemas que les dieron origen - ciertos conocimientosprodu-cidosen tornoa las prcticasgeomtricas.Se esperaqueporejemplo,aparez-canconclusionescomolas siguientes(se expresan en los "trminos"en las queEnsearMat emt i ca #04 2008podran aparecerenun quinto o sexto grado):Aprendimos:- a trazar tringuloscon compscuandote dan loslados-quela sumadedosladostiene quesermayorqueel tercero ysi noeltrianguiono se puedehacer- que a veces el tringulo pareceque"sale" peroigual no existe(10 cm,5 cmy5cm)-quela sumade los ngulosinterioresda siempre180-queconlostresladosdadossaleunosolo yqueconlostresnguloshaymuchosposibles- que no haytringulosequilterosobtusngulosni equilterosrectngulos- que se puede saber mucho de los tringulossin medir,usando las propiedades~queaveces untringulo note sale peroexiste-queparaquequedendostringulosigualesse puedentomarmuchasme-didasdiferentes-queen los equilterossus ngulos siempremiden60-etc.La elaboracinde conclusiones,si bienserealizaconlos alumnos,y a partirdelo queellosaportan,sindudaestpromovidaydirigidaporeldocente,queayudaa determinarques importanteretener, en qu casoses convenientepo-ner ejemplos,etc.Los conocimientosproducidospor el grupoa partirde esta secuenciadidcti-ca tendrnuna cierta aproximacin al saber geomtricoy a la vezuna inevitabledistancia36. Propiedadesde los tringulos que aparecen "separadas" se despren-denunasdeotras,peroanno sonevidentesparalosalumnos dichasrelacio-nes.Retenerlapropiedadmsformalnoimplica,paraquienestaprendiendo,identificartodas susimplicaciones.Hemosintentadoanalizar algunascondicionesdidcticasquepermitana to-doslosalumnosinvolucrarseenun "mododehacer"propio dela geometra.Esposibleconcebirla enseanza de la geometra de manera tal de favoreceren losalumnosuna "manerade pensar". "La matemticaconstituyeel campo en el queelnio puedeiniciarsemstempranamenteen laracionalidad,enel quepuedeforjarsuraznenelmarcoderelacionesautnomasysociales".(Brousseau,2007).Laimportanciade"retener"alageometraenlaescuelaprimariaestara-desde nuestropunto de vista- vinculada a otorgara todoslos nios el derecho aaccederadichas formasderazonamientopues,fueradela escuela,nopareceserun bienatrapable.36Distinguimosconocimientoscomoaquellosms provisoriosproducidospor la comunidad dealumnos,ysabercomosaber"sabio","cultural",elreconocidoporlacomunidaddematemticos(Brousseau,1994,2007).EnsearMatemtica-S 04- 200SBibliografa- Arsac,G.(1989):"Laconstructionduconceptdefigurechezleselevesde12 ans"enAnales dela ConferenciaPME,Pars.- Babini, J. (1967): Historia delas ideas modernasen matemtica.Publicacin del Depto.de AsuntosCientficos. OEA. Washington DC.-Balacheff, N. (1987): "Devolution d'unprobleme et constructiond'uneconjecture.Lecasde la somme des angles d'untriangle". Cahier de Didactiquedes Mathematiques39. IremdeParis 7.- Berthelot, R.. Salin, M. H. (1993): "La enseanza de la Geometraen la Escuela Primaria"enGrandN, N53 Grenoble,Franciay traducido para elPTFDporCapdevielle,Vrela yWillschen1994.-Broitman,C.,Itzcovich,H.(2001):OrientacionesdidcticasparalaenseanzadelaGeometraenEGB.DocumentoN 3/01.GabinetePedaggicoCurricular.MatemticaDireccinde EducacinGeneralBsica.Prov. Bs. As.-Broitman,C.;Itzcovich,H.(2003):"Geometraenlosprimerosgradosdelaescuelaprimaria:problemasdesuenseanza,problemasparasuenseanza"en:Panizza,M.(comp):La enseanza de la Matemtica en el Nivel Inicial y en el Primer Ciclo,Paids.-Brousseau,G.(1986):Fondementsetmthodesdeladidactique desMathematiques.Tesis.Burdeos.-Brousseau,G.(2007):Iniciacinalestudiodela TeoradelasSituacionesDidcticas.Librosdel Zorzal. Bs. As.-Brun,J(1994):"Evolutiondesrapportsentrelapsychologiedudeveloppementcognitivetladidactiquedesmathematiques"enVingtansdeDidactiquedesMathematiquesenFrance.Paris,La PenseeSauvage.-Castelnuovo,E.(1989):"Panoramadela enseanzamatemticaeneltiempoyenelespacio" enRevista EducacinMatemticaVol1.N3.GrupoEditorIberoamericano.- Castorina, Coll y otros (1998):Piaget en la Educacin.Debateen torno de susaportacio-nes.Mxico,EditorialPaids.-Chevallard, Y. (1997):La TransposicinDidctica. Ed. Aique. Bs.As.-Coll(1983):"Las aportacionesdelaPsicologa a la Educacin.Elcasodela psicologaGenticay de los aprendizajesescolares" en Coll(comp.):Psicologa gentica y aprendi-zajes escolares. Madrid.Siglo XXI.-Charlot, (1991):"La epistemologaimplcitaenlasprcticas deenseanzadelasmate-mticas", texto mimeografiado de la conferenciapronunciada en Cannesde1986.-Fregona,D. (1995):Les figuresplanescomme"milieu"dans l'enseignementdela go-mthe : interactions,contrats et transpositions didactiques. Thse,Universit de Bordeaux I-Fregona, D. (1995): Diferentesdominiosde declaracin sobre las figuras.Ponencia de laIX CIAEM. Chile.- Calvez,G.(1994):"La Geometra, la psicognesis delas nocionesespacialesy laense-anzade la geometraenla escuela elemental".EnParra,C y Saiz(comp.),DidcticadeMatemtica.Bs. As.,EditorialPaids.-GobiernodelaCiudaddeBuenos Aires(2004):DiseoCurricular.Matemtica.MarcoGral., EGB 1 y EGB 2. Direccinde Curricula.-Itzcovich,H.(2006):IniciacinalestudiodidcticodelaGeometra.LibrosdelZorzal.Bs. As.-Kline,M (1976):El fracaso dela matemticamoderna.Por qu Juanitono sabe sumar.Sigloveintiuno editores.Mxico- Laborde, C. (1990):"L'enseignementde la gomthe en tant que terrain d'explorationdephnomnes didactiques".Recherches en Didactiquedes Mathematiques,Vol 9.3| Z ->tei)EmearMatemtica 04 2008-Sadovsky,Parra,Itzcovich,Broitman(1998):Documentode ActualizacinDidcticaN5. Matemtica.SegundoCiclo dela EGB, GCBA- Santal, L (1961):Geometras no euclidianas.Bs. As.Eudeba- Serres,M (1996): Los orgenes de la geometra. SigloVeintiunoEditores.Mxico- Zabala,M (2006):Cuaderno N 12. Geometra: Conceptosy construcciones.ProgramaInternacionaldeFormacin de Educadores Populares.Caracas. Venezuela(36)lifnti)EnsearMat emt i ca- #04- 2008