Sveučilište u Splitu Pomorski fakultet u Splitu

Radovan Vlašić

Brodski radiokomunikacijski uređaji I. dio

Split, 2004.

PREDGOVOR Kakve su značajke savršenog radiokomunikacijskog sustava? Nedvojbeno, takav sustav u bilo kojem trenutku posredstvom elektromagnetskog vala točno prenosi informaciju između bilo kojih točaka prostora. Međutim, daljnje nizanje značajki ovisi o prvenstvu koje se pridaje pojedinom svojstvu. Netko će, primjerice, istaknuti da savršeni radiosustav mora odstraniti električni šum i sve neželjene signale, a odaslani signal uvijek obnoviti u prijamniku neovisno o razini ili obliku. Ostalima je savršeni radiouređaj onaj u kojem se ne koristi novi proces, materijal ili sklop koji nije lako dostupan. Nekima je najvažnije da takav uređaj ne pridonosi težini, dimenzijama ni cijeni ukupnog sustava ili da ne iziskuje nikakav izvor električne energije i ne rasipa snagu. Katkad se traži da ima neograničeni radni vijek u bilo kojem okolišu, ne iziskuje održavanje i nikad ne zastarijeva. Mora biti prilagodljiv, odnosno udovoljavati prošlim, sadašnjim i budućim zahtjevima. Korisnicima je presudno da pri uporabi ne moraju ništa znati o uređaju i da je ukusno oblikovan. Savršeni radiouređaj redovito ne smije, ni na koji način, štetno utjecati na okoliš, a ako ga korisnik kojim slučajem odbaci, treba postojati mogućnost recikliranja koje će unaprijediti okoliš. Pored svega, za takvim savršenim radiouređajem mora vladati velika potražnja, a njegova proizvodnja mora biti iznimno profitabilna. Srećom, nitko stvarno ne očekuje ostvarenje svih spomenutih "savršenih" značajki (bar ne zasad), ali sve zaslužuju pozornost onih koji se žele baviti radiokomunikacijama. Skripta Brodski radiokomunikacijski uređaji, 1. dio namijenjena su studentima Pomorskog fakulteta u Splitu, studija Pomorske elektrotehničke i informatičke tehnologije. Cilj predavanja i vježbi istoimenog kolegija je osposobiti svakog polaznika za ugradnju, održavanje, otklanjanje kvarova i kreativnu uporabu brodskih radiokomunikacijskih uređaja. Zbog njihove impresivne raznolikosti, to nije nimalo laka zadaća. U svakom pojedinačnom slučaju radiokomunikacijski uređaj rezultat je kompromisa između frekvencijskog područja, pojačanja, napona napajanja, linearnosti, razine šuma i snage signala. Odabir najpovoljnijih vrijednosti ovih veličina pretpostavlja poznavanje učina pri širenju elektromagnetskog vala, tehnike antena i mikrovalne tehnike, teorije komunikacija i pripadajućih normi, integriranih krugova i programskih alata te struktura odašiljača-prijamnika. Čini se zato svrhovitim temeljna načela radiokomunikacija izložiti pomoću jednostavnih modela zamršene stvarnosti. Je li to ponajbolji put mora zasebno prosuditi svaki student.

U Splitu 3. prosinca 2004.

SADRŽAJ 1. Radiokomunikacijski sustavi 1

1.1. Sastavnice i procesi radiosustava 1 1.2. Komponente odašiljača i prijamnika 6

2. Prijenosne linije i mikrovalne mreže 12 2.1. Prijenosne linije 12 2.2. Smithov dijagram 25 2.3. Analiza mikrovalnih mreža 30 2.4. Prilagođenje impedancije 37

3. Šum i izobličenje u radiosustavima 45 3.1. Slučajni procesi 45 3.2. Termički šum 51 3.3. Šum u linearnim sustavima 54 3.4. Osnovni prag detekcije 61 3.5. Temperatura šuma i faktor šuma 65 3.6. Dinamičko područje i intermodulacijsko izobličenje 72

4. Antene i širenje elektromagnetskog vala 82 4.1. Parametri antena 82 4.2. Friisova jednadžba 89 4.3. Temperatura šuma antene 94 4.4. Antene jednostavne strukture 100 4.5. Širenje elektromagnetskog vala 110 4.6. Feding 115

5. Filtri 119 5.1. Projektiranje prototipa metodom unesenog gubitka 119 5.2. Denormaliziranje i transformacija oblika filtra 128 5.3. Niskopropusni i visokopropusni filtri ostvareni

ograncima prijenosne linije 136 5.4. Niskopropusni filtri ostvareni prijenosnom linijom

skokomične impedancije 141 5.5. Pojasno propusni filtri s rezonatorima ostvarenim

prijenosnom linijom 145

6. Pojačala 156 6.1. Značajke radiofrekvencijskih tranzistora 156 6.2. Pojačanje snage mreže s dva pristupa 161 6.3. Stabilnost 167 6.4. Projektiranje pojačala uporabom S parametara 172 6.5. Projektiranje niskošumnog pojačala 185 6.6. Pojačala snage 191

7. Miješala 198 7.1. Značajke miješala 198 7.2. Miješala s poluvodičkom diodom 203 7.3. Miješala s unipolarnim tranzistorom 211 7.4. Ostali sklopovi miješala 216

8. Oscilatori i sintezatori frekvencije 223 8.1. Radiofrekvencijski oscilatori 223 8.2. Mikrovalni oscilatori 232 8.3. Postupci sinteze frekvencije 244 8.4. Analiza fazom sinkronizirane petlje 249 8.5. Fazni šum oscilatora 257

9. Modulacijski postupci 264 9.1. Analogna modulacija 264 9.2. Binarna digitalna modulacija 280 9.3. Vjerojatnost pogreške za binarnu modulaciju 286 9.4. Učin Rayleighovog fedinga na

učestalost pogrešnog bita 299 9.5. Višeznakovna digitalna modulacija 304

10. Projektiranje prijamnika 314 10.1. Struktura prijamnika 314 10.2. Dinamičko područje 318 10.3. Pretvorba frekvencije i filtriranje 325 10.4. Primjeri prijamnika 328

Literatura 333

1. RADIOKOMUNIKACIJSKI SUSTAVI Radiokomunikacijski sustav posredstvom elektromagnetskog vala prenosi informaciju između dvije točke prostora i vremena. Prijenosni elektromagnetski val pripada radiofrekvencijskom (RF, engl. radio frequency) području. To su frekvencije između audio i infracrvenog područja u kojem je moguće djelotvorno pretvoriti zračeni elektromagnetski val u električnu struju i obratno. Sadašnje praktične granice radiofrekvencijskog područja su približno od 10 kHz do 100 GHz (slika 1.1).

3 kHz 30 kHz 300 kHz 3 MHz 30 MHz 300 MHz 3 GHz 30 GHz 300 GHz

100 km 10 km 1 km 100 m 10 m 1 m 100 mm 10 mm 1 mm

f

λ=c/f

VLF LF MF HF VHF UHF SHF EHF

RF

MW

Slika 1.1. Radiofrekvencijsko područje Za frekvencijsko područje od 300 MHz do 300 GHz uobičajeni naziv je mikrovalno (MW, engl. microwave) područje dio kojeg se dijeli na S pojas (1 - 2) GHz, L pojas (2 - 4) GHz, C pojas (4 - 8) GHz, X pojas (8 - 12) GHz, Ku pojas (12 - 18) GHz, K pojas (18 - 26) GHz i Ka pojas (26 - 40) GHz. 1.1. Sastavnice i procesi radiosustava Na slici 1.2. shematski je prikaz radiokomunikacijskog sustava. Izvor informacije je objekt ili operator koji generira poruke ili uređene nizove znakova, na primjer izgovorene ili napisane riječi, brojeve, slike, glazbu itd. Poruke u digitalnom (diskretnom) obliku sastoje se od konačnog broja elementarnih simbola, a analogne (kontinuirane) poruke su vremenske funkcije koje poprimaju neprekinuti skup vrijednosti. Kontinuirane poruke moguće je s određenom pogreškom pretvoriti u diskretne. Kodiranje izvora (engl. source coding) je postupak izdvajanja suštinske informacije izvora i njezino pretvaranje u diskretni oblik pogodan za djelotvornu pohranu ili prijenos uporabom digitalnih tehnika. Ulazni pretvornik (slika 1.2) poruku iz izvora informacije pretvara u električni signal. Vremenska promjena struje, napona ili snage električnog signala prenosi informaciju. Ovi valni oblici su u osnovnom frekvencijskom pojasu (engl. baseband) jer je amplituda njihovog spektra konačna na frekvencijama u okolišu ishodišta, a drugdje je zanemarivo mala. Uobičajeni ulazni pretvornici su mikrofoni, zvučnice i magnetske glave za reprodukciju zvuka, tipkala, releji, teleprinteri, tipkovnice i računalne izlazne jedinice, poluvodički fotoelementi i televizijske kamere te ostali pretvornici fizikalnih veličina u električne signale.

1

izvorinformacije

ulaznipretvornik odašiljač

prijenosnosredstvo(kanal)

prijamnik izlaznipretvornik

odredišteinformacije

šumizobličenje

interferencije

Slika 1.2. Shema radiokomunikacijskog sustava Odašiljač (slika 1.2) služi za transformaciju signala poruke (modulacijski signal) u pogodan oblik (modulirani signal) kako bi se što djelotvornije prenio do prijamnika. Ova transformacija se naziva moduliranje signala; to je mijenjanje neke značajke (amplituda, frekvencija ili faza) prijenosnog signala (engl. carrier) s vremenskom zavisnošću modulacijskog signala. Valni oblik moduliranog signala je u propusnom frekvencijskom pojasu (engl. passband) jer je amplituda njegovog spektra konačna u pojasu oko frekvencije prijenosnog signala, a drugdje je zanemarivo mala. Širina propusnog frekvencijskog pojasa moduliranog signala redovito je znatno manja od frekvencije prijenosnog signala. Zato je modulirani signal moguće razmatrati kao analogni čak i u slučaju kad je modulacijski signal u digitalnom obliku. Važni dijelovi odašiljača su pojačalo modulacijskog signala, modulator, sklop za generiranje prijenosnog signala, filtri, pojačalo moduliranog signala, prijenosna linija i antena. Prijenosno sredstvo (kanal) između izlaza odašiljača i ulaza prijamnika radiosustava (slika 1.2) najčešće je atmosfera u blizini površine Zemlje. Bitno svojstvo prijenosnog sredstva je slabljenje (atenuiranje) elektromagnetskog vala koje kod svemirskih komunikacija dosiže vrijednost veću od 200dB. Posljedica je to smanjenja gustoće snage elektromagnetskog vala koja je u praznom prostoru razmjerna kvadratu udaljenosti. Uz pridodani faktor slabljenja u atmosferi ovakav jednostavni model širenja elektromagnetskog vala najčešće je primjeren samo usmjerenim i satelitskim radiovezama. U ostalim slučajevima širenje elektromagnetskog vala znatno je složenije zbog reflektiranja od tla i objekata te zasjenjenja prirodnim i umjetnim preprekama. Zato je moguće višestazno (engl. multipath) širenje elektromagnetskog vala prijenosnim sredstvom uz različito vrijeme kašnjenja i atenuaciju svake staze. Ako su ove značajke za neku stazu vremenski zavisne, može nastati feding (engl. fading), odnosno nagla promjena razine primanog signala čak od 20 dB. Pojava fedinga smanjuje domet i brzinu prijenosa podataka, odnosno smanjuje pouzdanost i kakvoću radioveze. Destruktivni učin fedinga otklanja se brojnim tehnikama kao što je višestruki (engl. diversity) prijenos, prošireni spektar te moduliranje i kodiranje s mogućnošću ispravljanja pogreški. U svim slučajevima ove tehnike povećavaju složenost i cijenu radiosustava. Zadatak je prijamnika da izdvoji željeni signal iz prijenosnog sredstva i na svom izlazu što vjernije reproducira odaslani, izvorni signal poruke u osnovnom frekvencijskom pojasu. Transformacija signala u prijamniku naziva se demodulacija. Važni dijelovi prijamnika su antena, prijenosna linija, pojačala moduliranog signala, demodulator, filtri i pojačala modulacijskog signala. U izlaznom se pretvorniku (slika 1.2) električni signal s izlaza prijamnika pretvara u izvornu poruku. Najčešći izlazni pretvornici su zvučnici, slušalice i magnetske glave za

2

snimanje zvuka, releji, teleprinteri, pisači, crtači i računalne ulazne jedinice, svijetleće diode i pokaznici s katodnom cijevi ili tekućim kristalima te ostali pretvornici električnih signala u fizikalne veličine. Količina informacije prenesena u odredište obrnuto je razmjerna vjerojatnosti pojave pojedine poruke. Slikovito iskazano količina informacije prenesena radiokomunikacijskim sustavom je veća što je veće "iznenađenje" korisnika primljenom porukom. Prijenos informacije iziskuje prijam poruke koja nije prethodno (a priori) poznata. Prijenos električnog signala kroz radiokomunikacijski sustav prate neželjene pojave: šum, izobličenje signala i interferencije (slika 1.2). Šum (spontane električne fluktuacije) je neželjeni električni signal neizbježno pridodan korisnom signalu. Izvori šuma mogu biti u samom radiokomunikacijskom sustavu ili izvan njega. Šum može djelomično ili potpuno prikriti izvorni signal. Nemoguće ga je eliminirati jer je povezan s elektronima i njihovim gibanjem bez kojeg nema ni prijenosa električnog signala. Šum zato predstavlja temeljno fizikalno ograničenje radiokomunikacijskog sustava. Pri prijenosu signala u digitalnom obliku kodiranje kanala omogućuje otkrivanje i ispravljanje pogreški uzrokovanih šumom kanala radiokomunikacijskog sustava. Izobličenje (distorzija) je svaka neželjena promjena valnog oblika izvornog signala. Interferencijama se nazivaju posljedice djelovanja signala drugih sustava na valni oblik izvornog signala. Izobličenje i interferencije je moguće otkloniti, ali se iz ekonomskih i tehnoloških razloga dopušta određena razina ovih neželjenih pojava redovito propisana međunarodnim normama i preporukama. Jedan od pokazatelja kakvoće prijenosa signala u analognom obliku je omjer signala i šuma (SNR, engl. signal-to-noise ratio) na izlazu prijamnika radiokomunikacijskog sustava. Odgovarajuća mjera kakvoće prijenosa signala u digitalnom obliku je učestalost pogrešnog bita (BER, engl. bit error rate).

Prijenos signala radiokomunikacijskim sustavom, osim o šumu, ovisi i o vremenu. Redovito se prijenos poruka vrši u realnom vremenu što znači da istovremeno s pojavom modulacijskog signala na ulazu odašiljača započne prijenos. Signal na izlazu prijamnika zbog konačne brzine širenja kasni u odnosu na trenutak pojave modulacijskog signala. Vremenska zavisnost signala nakon prolaza kroz radiokomunikacijski sustav trebala bi, uz određeno vrijeme kašnjenja, ostati nepromijenjena. Valja upozoriti da vremenska promjena signala izaziva promjenu energije uskladištene u sustavu koja nužno traje konačno vrijeme jer stvarni sustavi nisu bez gubitaka. Zato je brzina promjene signala ograničena sustavom, a veličina koja to iskazuje je širina frekvencijskog pojasa. Pri prijenosu u realnom vremenu širina propusnog frekvencijskog pojasa radiokomunikacijskog sustava mora biti prilagođena modulacijskom signalu. To je drugo temeljno ograničenje radiokomunikacijskog sustava. Prikazani radiokomunikacijski sustav (slika 1.2) omogućava jednosmjerni (engl. simplex) prijenos informacije između dvije točke. Obosmjerni istodobni (engl. duplex, full duplex) ili obosmjerni neistodobni (engl. half-duplex) prijenos iziskuje složenije sustave. Pritom se koristi posebne tehnike kako bi se izbjegle interferencije između odaslanog i primanog signala; na primjer uporabom odvojenih frekvencijskih pojasa za odašiljanje i prijam (FDD, engl. frequency division duplexing) ili dopuštajući odašiljanje i prijam samo u unaprijed određenim intervalima (TDD, engl. time division duplexing). Stvarni radiosustavi mogu imati jedan izvor i jedno odredište informacije (engl. point-to-point radio system), ali nerijetko i više izvora i/ili odredišta informacije (engl. point-to-multipoint radio system). Primjerice sustav radiodifuzije ima jedan izvor i veliki broj odredišta, telemetrijski sustav može imati veliki broj izvora i jedno odredište, a sustav pokretnih komunikacija najčešće ima više izvora i odredišta informacije. Obosmjerni istodobni (dupleks) prijenos iziskuje kanal za odašiljanje i prijam koji međusobno ne interferiraju. Zbog velike osjetljivosti većine prijamnika uobičajena izolacija između odašiljača i prijamnika mora biti reda vrijednosti 120 dB. Tako veliko izoliranje je moguće ostvariti samo ako je različita frekvencija za odašiljanje i prijam. U tom slučaju pojasno propusni filtar na ulazu prijamnika može dostatno oslabiti signal odašiljača. Ako se

3

pritom istu antenu koristi i za odašiljane i za prijam, nužan je obosmjernik (dupleksor) koji signal propušta od odašiljača prema anteni i od antene prema prijamniku. Nedostatak ovakvog filtra je uneseni gubitak od nekoliko decibela koji smanjuje odaslanu snagu i povećava faktor šuma prijamnika. Za obosmjerni neistodobni prijenos (poludupleks) koristi se preklopnik odašiljanje/prijam (engl. transmit/receive switch, T/R switch) koji u određenom intervalu spaja antenu s odašiljačem ili prijamnikom. Elektronički radiofrekvencijski preklopnici u isključenom stanju redovito ostvaruju potrebnu izolaciju između odašiljača i prijamnika. Većina radiokomunikacijskih sustava je razmještena na površini Zemlje, ali su za prijenos govora, slike i podataka iznimno važni i satelitski sustavi. Oni omogućuju komuniciranje između velikog broja korisnika na velikom prostoru uključujući cijeli planet. Sateliti u geosinkronoj orbiti (GEO, engl. geosynchronous earth orbit) su približno 36 000 km udaljeni od Zemlje i ostaju u stalnom položaju u odnosu na površinu. Ovakvi sateliti se koriste za usmjerene radioveze između vrlo udaljenih postaja. Nekad su transkontinentalne telefonske usluge potpuno ovisile o takvim satelitima, ali su ih danas uglavnom zamijenili podmorski svjetlovodni kabeli koji su jeftiniji i ne uzrokuju kašnjenje zbog velike duljine staze između satelita i Zemlje. Dodatni nedostatak GEO satelita je niska razina primanog signala zbog velike udaljenosti pa nije moguć sustav s jednostavnim odašiljačima--prijamnicima. Sateliti s niskom orbitom (LEO, engl. low earth orbit) kruže znatno bliže površini Zemlje najčešće na udaljenosti od 500 km do 2 000 km. Kraća staza omogućuje prijenos signala između LEO satelita i prijenosnih uređaja, ali je satelit s niskom orbitom vidljiv iz određene točke na Zemlji razmjerno kratko vrijeme. Potrebnu pokrivenost signalom moguće je postići samo velikim brojem satelita u različitim orbitalnim ravninama. Jedna od najvažnijih značajki radiosustava je radna frekvencija, ali izbor frekvencije odašiljanja i prijama nikad nije potpuno proizvoljan. Određeni frekvencijski pojasevi su pridjeljeni pojedinim namjenama, na primjer:

- 100 kHz za navigacijski sustav Loran-C - 518 kHz za radiodifuziju navigacijskih informacija sustavom NAVTEX - (1,6 - 3,4) MHz, (3 - 30) MHz i (156 - 174) MHz kanali za prijenos govora, podataka i

selektivno pozivanje - 1,227 GHz i 1,575 GHz za satelitski navigacijski sustav GPS - 1,5 GHz (satelit - brod); 1,6 GHz (brod - satelit); 4,2 GHz (satelit - kopno); 6,4 GHz

(kopno - satelit) za satelitski komunikacijski sustav INMARSAT - (2,90 - 3,10) GHz i (9,30 - 9,50) GHz za brodski radar.

Frekvencijski pojasevi (902 - 928) MHz, (2,400 - 2,484) GHz i (5,725 - 5,850) GHz koriste se za primjene u industriji, znanosti i medicini (ISM, engl. industrial, scientific, medicine) za koje nije dodijeljena frekvencija, ali je zračena snaga ograničena na 1 W. Na izbor radne frekvencije radiokomunikacijskog sustava, osim dodijeljenog pojasa, utječe šum, dobitak antene, širina propusnog frekvencijskog pojasa i cijena. Snaga šuma se znatno povećava na frekvencijama nižim od približno 100 MHz zbog brojnih izvora, primjerice munja, ionosferskog provođenja, interferencija sa sustavom paljenja benzinskih motora i ostalih električnih uređaja. Na frekvencijama višim od približno 10 GHz snaga šuma se jednoliko povećava zbog termičkog šuma atmosfere i međuzvjezdanog zračenja. Osim toga dobitak antene se uz stalne dimenzije povećava s frekvencijom. Zato je uporaba viših frekvencija nužnost za usmjerene radioveze jer je veći dobitak moguće postići antenom manjih dimenzija. Antena s većim dobitkom najčešće prima manju snagu šuma iz okoliša. Najveća brzina prijenosa podataka radiokomunikacijskim kanalom uz prisutan šum određena je raspoloživom širinom frekvencijskog pojasa. Zato velika brzina prijenosa podataka iziskuje razmjernu širinu propusnog pojasa što je lakše ostvariti na višim frekvencijama. Na primjer širina propusnog pojasa 1 MHz je 1 % prijenosne frekvencije 100 MHz, ali je samo 0,01 % prijenosne frekvencije 10 GHz.

4

Iako spomenute činjenice upućuju na prednosti viših frekvencija postoje razlozi i za uporabu nižih radnih frekvencija. Jedan od njih je djelotvornost radiofrekvencijskih tranzistora koja se smanjuje s frekvencijom što povećava potrebnu snagu izvora napajanja odašiljača i prijamnika. To je posebno izraženo na frekvencijama u višem mikrovalnom području gdje je efikasnost aktivnih elemenata jedva 30 %. Općenito, veća je cijena elektroničke komponente za više frekvencije pa su znatno isplativiji sklopovi za frekvencije niže od približno 1 GHz. Konačno, i značajke širenja elektromagnetskog vala presudno ovise o frekvenciji. Elektromagnetski val frekvencije više od nekoliko gigaherca širi se pretežito pravocrtnom stazom što iziskuje nezaklonjenu vidljivost između odašiljača i prijamnika. Na nižim frekvencijama elektromagnetski val se znatno lakše širi kroz ili oko prepreka kao što su krošnje, zgrade i vozila. Zato su niže frekvencije prikladne za primjene kao što su osobni radiokomunikacijski sustavi dok su više frekvencije primjerene usmjerenim radiovezama i satelitskim radiosustavima. Radiofrekvencijski spektar je očevidno ograničen pa je poželjno povećati kapacitet radiokanala višestrukim korištenjem. Jedna mogućnost je istovremeno koristiti više uskih pojasa unutar raspoloživog frekvencijskog pojasa; to je višestruki pristup s razdiobom po frekvencijama (FDMA, engl. frequency division multiple access). Kod višestrukog pristupa s razdiobom po vremenu (TDMA, engl. time division multiple access) jedan frekvencijski pojas višestruko se koristi u točno određenim intervalima. TDMA se u praksi često kombinira s dupleksom na frekvencijskoj osnovi. Treća mogućnost višestrukog pristupa je s razdiobom po kodu (CDMA, engl. code division multiple access). To je u osnovi tehnika proširenog spektra (engl. spread spectrum) u kojoj se signal svakog korisnika razmjerno uskog propusnog pojasa raspršuje u širi frekvencijski pojas uporabom jedinstvenog koda proširenja. Nekoliko stotina signala može onda zauzimati isti frekvencijski pojas, a pojedinačno ih je moguće otkriti u prijamniku uz poznavanje pripadajućeg koda proširenja. Osim spomenutih moguć je i višestruki pristup s razdiobom po prostoru (SDMA, engl. space division multiple access) te višestruki pristup s razdiobom po polarizaciji (PDMA, engl. polarization division multiple access).

gustoćasnage

mW/cm2

frekvencija/GHz

100

10

1

0,10,1 1 10 100 1000

Slika 1.3. Granična gustoća snage kod izlaganja ljudi radiofrekvencijskom elektromagnetskom polju

5

Legitimno pravo korisnika radiouređaja je sigurnost posebno u odnosu na moguću opasnost od neionizirajućeg elektromagnetskog zračenja. Ljudsko tijelo apsorbira energiju elektromagnetskog polja radiofrekvencijskog područja i pretvara je u toplinu. Ovo zagrijavanje se događa unutar tijela i nije ga moguće osjetiti pri niskim razinama snage. Najopasnije je prekomjerno zagrijavanje mozga, očiju, unutarnjih organa i genitalija jer može uzrokovati karcinom, katarakt ili sterilnost. Zato je nužno postaviti granicu bezopasne razine neionizirajućeg zračenja.

Na slici 1.3. prikazana je najveća dopuštena gustoća snage kod izlaganja ljudi radiofrekvencijskom elektromagnetskom polju (ANSI/IEEE Standard C95.1-1992). U frekvencijskom području od 100 MHz do 300 MHz najveća dopuštena gustoća snage je 0,2 mW/cm2 jer elektromagnetsko polje ovih frekvencija znatno lakše prodire u tijelo. Na frekvencijama višim od 15 GHz granična gustoća snage je povećana na 10 mW/cm2 budući da je glavnina apsorpcije bliže površini tijela. Primjerice zračenje Sunca ima na površini Zemlje za vedrog dana gustoću snage približno 100 mW/cm2, ali je učin tog zračenja znatno manji jer se toplina razvija na površini tijela i okolni zrak reapsorbira veći dio razvijene topline. Na frekvencijama nižim od 100 MHz djelovanje električnog i magnetskog polja na tijelo je različito u odnosu na više frekvencije pa se za to frekvencijsko područje ograničenje jakosti komponenti polja odvojeno navodi. 1.2. Komponente odašiljača i prijamnika Odašiljači i prijamnici u složenim radiokomunikacijskim sustavima sadrže ogroman broj, većinom integriranih, aktivnih elemenata. Samo mali broj ih radi u radiofrekvencijskom području, a ostali služe za obradu analognih i/ili digitalnih signala u osnovnom frekvencijskom pojasu. Radiofrekvencijskim sklopovima smatrat će se oni koji vrše obradu analognih signala čiji je spektar u propusnom pojasu oko frekvencije prijenosnog signala. Većina radiokomunikacijskih uređaja dijeli istovrsne radiofrekvencijske sklopove. Na slici 1.4. prikazana je blok-shema osnovnih uređaja radiosustava, odnosno shema tipičnog odašiljača i prijamnika.

modulacijskisignal

modulacijskisignal

modulator

demodulator

IF filtar

IF filtar

miješalo

miješalo

lokalnioscilator

lokalnioscilator

pojasnopropusni

filtar

pojasnopropusni

filtar

pojačalosnage

antena

antenaniskošumno

pojačaloIF

pojačalo

a)

b)

Slika 1.4. Shema tipičnih uređaja radiosustava: a) odašiljač; b) prijamnik

6

Modulacijski signal na ulazu odašiljača je u osnovnom frekvencijskom pojasu. Temeljna zadaća odašiljača je transformacija tog signala iz osnovnog u propusni frekvencijski pojas jer je radiofrekvencijski signal moguće djelotvorno zračiti u prostor, a bolja je i iskoristivost spektra. U prikazanom odašiljaču (slika 1.4.a) najprije se u modulatoru međufrekvencijski sinusnovalni signal modulira ulaznim modulacijskim signalom. Mogući su različiti analogni i digitalni postupci moduliranja kojima se mijenja amplituda, frekvencija ili faza međufrekvencijskog signala u skladu s vremenskom zavisnošću modulacijskog signala. Na izlazu modulatora je međufrekvencijski (IF, engl. intermediate frequency) signal s frekvencijom u rasponu najčešće od 10 MHz do 100 MHz. Ovu frekvenciju je moguće povećati miješalom jer su na njegovom izlazu signali čija je frekvencija jednaka zbroju i razlici frekvencija međufrekvencijskog signala i signala lokalnog oscilatora (LO, engl. local oscillator). Pojasno propusni filtar propušta samo signal frekvencije jednake zbroju frekvencija signala LO i IF signala. Pojačalom snage se povećava razina signala, a antenom se modulirani prijenosni signal pretvara u elektromagnetski val koji se širi prostorom. Postupak obrade signala u prijamniku (slika 1.4.b) je obrnutog redoslijeda u odnosu na odašiljač. Antena se nalazi u elektromagnetskom polju koje uzrokuju mnogi izvori zračenja u razmjerno širokom frekvencijskom području. Ulazni pojasno propusni filtar ostvaruje određenu selektivnost propuštanjem signala iz željenog frekvencijskog pojasa. Primljeni modulirani signal može biti vrlo niske razine pa ga valja pojačati niskošumnim pojačalom. Ono što je moguće manje pridonosi snazi šuma. Pojasno propusni filtar priključen ispred niskošumnog pojačala smanjuje mogućnost da osjetljivo pojačalo bude preopterećeno interferirajućim signalima razmjerno velike razine snage. Miješalom je moguće promijeniti frekvenciju moduliranog prijenosnog signala. Kod pretvorbe naniže međufrekvencijski signal ima frekvenciju jednaku razlici frekvencija prijenosnog signala i signala lokalnog oscilatora. Međufrekvencija je najčešće niža od 100 MHz i lako je izdvojiti međufrekvencijskim pojasno propusnim filtrom. Međufrekvencijskim pojačalom redovito velikog pojačanja razina signala se poveća tako da je moguće demoduliranje. Tim postupkom se modulirani signal transformira u modulacijski signal, odnosno u izvornu poruku u osnovnom frekvencijskom pojasu. Najčešće se obavlja sklopovima za digitalnu obradu signala (DSP, engl. digital signal processing).

Razmatrani uređaj naziva se superheterodinski prijamnik jer koristi pretvorbu frekvencije prijenosnog signala u međufrekvenciju prije demodulacije. Jednako načelo s obrnutim redoslijedom koristi i prikazani odašiljač. Superheterodinski uređaj otklanja potrebu ugađanja svih radiofrekvencijskih pojačala na frekvenciju željenog prijenosnog signala. Umjesto toga promjenom frekvencije lokalnog oscilatora pretvara se frekvenciju željenog prijenosnog signala u stalnu međufrekvenciju. Tako je moguće iznimno veliko ukupno pojačanje moduliranog signala jer se obavlja na više frekvencija. Osim toga međufrekvencijska pojačala i pojasno propusni filtri stalne središnje frekvencije su znatno boljih svojstava od promjenljivih. Na slici 1.5. prikazana je razina snage signala u uređajima satelitskog komunikacijskog sustava INMARSAT. Antena je naprava koja radiofrekvencijski signal iz odašiljača pretvara u zračeni elektromagnetski val koji se širi prostorom; i obratno elektromagnetski val pretvara u radiofrekvencijski signal na ulazu prijamnika. U slučaju odašiljač-prijamnika (engl. transciver) moguće je za dupleks prijenos koristiti jednu antenu. Očigledne značajke antena su radno frekvencijsko područje, dimenzije i područje pokrivanja (engl. pattern coverage). Dijagram zračenja (engl. radiation pattern) antene je graf prostorne zavisnosti jakosti odaslanog ili primanog elektromagnetskog polja oko antene. Dijagram zračenja pasivne antene jednak je za odašiljanje i prijam. Primjerice odašiljanje u sustavu AM/FM radiodifuzije iziskuje antenu koja zrači podjednako u svim pravcima, naravno, u gornjem poluprostoru. Takav se dijagram zračenja naziva omnidirekcijskim (engl. omnidirectional), a

7

moguće ga je ostvariti žičanom dipolnom i monopolnom (štapastom) antenom. Sustavi kao što su usmjerene radioveze ili izravna satelitska televizija (DBS, engl. direct broadcast satellite television) iziskuju antene s pretežitim zračenjem u jednom pravcu. Mjera koncentriranja zračenja u jednom pravcu je usmjerenost (engl. directivity) i dobitak (engl. gain) antene. Bjelodano omnidirekcijska antena ima mali dobitak za razliku od velikog dobitka antene s usmjerenim zračenjem.

snagaW

snagadBW

1010

108

106

104

102

1

10-2

10-4

10-6

10-8

10-10

10-12

10-14

10-16

10-18 -180

-160

-140

-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

20

40

60

80

100

odašiljač zemaljske postaje satelit prijamnik zemaljske postaje

ulaz audiosignala

modulator,miješalo,

pretpojačalo

izlaz audiosignala

pojačalosnage

dobitakodašiljačke

antene

gubitakprijenosne

linije

gubitakstaze

gubitakstaze

dobitakprijamneantene

dobitakodašiljačke

antene

dobitakprijamneantene

unutarnjigubitaksatelita

gubitakprijenosne

linije

pojačanjeprijamnika

satelita

pojačanjeodašiljača

satelita

pojačanjeniskošumnog

pojačala

miješalo,demodulator

Slika 1.5. Razina snage signala u uređajima radiosustava INMARSAT Važno svojstvo svake antene je neizbježna zavisnost radne frekvencije, dimenzija i dobitka. Da bi antena djelotvorno zračila njezine dimenzije moraju biti usporedive s valnom duljinom na radnoj frekvenciji. To znači da se s povećanjem frekvencije smanjuju dimenzije antene pa će antene za niže radiofrekvencije biti fizikalno velike, a one za mikrovalno područje fizikalno male. Osim toga dobitak antene je razmjeran efektivnoj ploštini njezinog otvora podijeljenoj s kvadratom valne duljine. Zato su antene velikog dobitka električno velike u odnosu na valnu duljinu na radnoj frekvenciji. Na primjer antena malog dobitka u prijamniku satelitskog navigacijskog sustava GPS koja radi u mikrovalnom frekvencijskom području može imati fizikalnu ploštinu samo desetak centimetara kvadratnih, a parabolična reflektor-antena velikog pojačanja u istom frekvencijskom području može imati promjer nekoliko metara. Složenije antene mogu elektronički mijenjati pravac glavnog snopa dijagrama zračenja. Takvi su antenski nizovi s automatskim namještanjem faze (engl. phased array). Glavni snop antene moguće je usmjeriti prema određenom korisniku i tako smanjiti interferencije s drugim uređajima. Za sada im je uporaba ograničena zbog visoke cijene, a naziva ih se i adaptivnim nizovima (engl. adaptive array) ili pametnim antenama (engl. smart antenna). Filtri su frekvencijski selektivne mreže. Savršeni niskopropusni filtar (LPF, engl. low-pass filter) propušta sve spektralne komponente frekvencije niže od granične, a slabi sve

8

komponente više frekvencije. Slično, visokopropusni filtar (HPF, high-pass filter) propušta spektralne komponente frekvencije više od granične, a slabi komponente niže frekvencije. Pojasno propusni filtar (BPF, engl. bandpass filter) propušta spektralne komponente unutar uskog frekvencijskog pojasa, a slabi komponente izvan propusnog frekvencijskog pojasa. Filtri su ključne komponente i odašiljača i prijamnika. Rabi ih se za potiskivanje interferirajućih signala izvan radnog frekvencijskog pojasa prijamnika i odašiljača, za potiskivanje neželjenih spektralnih komponenti na izlazu miješala i pojačala te za uspostavu propusnog međufrekvencijskog pojasa (slika 1.4). Važni parametri filtra su granična frekvencija, uneseni gubitak i brzina povećanja atenuacije izvan propusnog pojasa iskazana u decibelima po frekvencijskoj dekadi. Filtri s većom brzinom promjene atenuacije omogućavaju veće potiskivanje signala u nepropusnom frekvencijskom području. Uneseni gubitak iskazan u decibelima jednak je atenuaciji signala u propusnom frekvencijskom pojasu. Važna značajka filtra su dimenzije i integrabilnost s ostalim komponentama sklopa. Trenutno je veći dio ulaznih sklopova prijamnika i odašiljača u najčešće korištenom frekvencijskom području od 800 MHz do 2 GHz moguće integrirati u nekoliko monolitnih krugova, ali nije moguće integrirati pojasno propusni filtar potrebnih svojstava (slika 1.6). Neizbježni gubici radiofrekvencijskih integriranih krugova uzrokuju razmjerno veliki uneseni gubitak i razmjerno malu brzinu povećanja atenuacije izvan propusnog pojasa integriranih filtara. Zbog toga većina radiosustava koristi filtre smještene na tiskanoj pločici izvan integriranih krugova. To rezultira većim i skupljim sklopom, ali su svojstva filtara optimirana.

90°

×2

a)

b)

90°

+

+

integrirani krug odašiljača

I ulaz

Q ulaz

integrirani krug prijamnika

Q izlaz

I izlaz

Slika 1.6. Shema RF dijela pokretnog GSM telefona: a) odašiljač; b) prijamnik

9

Radiofrekvencijske filtre se ostvaruje različitim tehnologijama ovisno o radnoj frekvenciji. U frekvencijskom području od 800 MHz do približno 4 GHz najčešće su pojasno propusni filtri u obliku dielektričnog rezonatora koji omogućuje male dimenzije i veliki Q faktor (velika brzina promjene atenuacije) uz prihvatljivi uneseni gubitak. Na međufrekvencijama nižim od 100 MHz pojasno propusne filtre se najčešće ostvaruje kristalom kvarca ili sklopom s površinskim akustičkim valom (SAW, surface acoustic wave). SAW filtri imaju vrlo veliku brzinu povećanja atenuacije, ali im je nedostatak veliki uneseni gubitak čak do 20 dB. Na višim frekvencijama mikrovalnog područja kao pojasno propusne filtre često se rabi valovodne rezonatore. Niskopropusni filtri često ne moraju imati iznimna svojstva pa ih se ostvaruje jednostavnim LC mrežama, paralelnim spregnutim prijenosnim linijama ili prijenosnom linijom s ograncima (engl. stubs). Tri su osnovne skupine pojačala koje se koristi u uređajima radiosustava (slika 1.4): niskošumna pojačala (LNA, engl. low-noise amplifier) u ulaznom stupnju prijamnika, pojačala snage (PA, engl. power amplifier) u izlaznom stupnju odašiljača i međufrekvencijska pojačala (engl. IF amplifier) u međufrekvencijskom stupnju i odašiljača i prijamnika. Važni parametri pojačala su pojačanje snage (engl. power gain), faktor šuma (engl. noise figure) te točka kompresije (engl. compresion point) i presječne točke (engl. intercept points). Faktor šuma je mjera šuma dodanog signalu u sklopu pojačala. Najkritičnije je dodati šum u ulaznom stupnju prijamnika pa tu dolazi niskošumno pojačalo. Naravno, aktivni elementi su nelinearni pa pojačala imaju nelinearnu zavisnost izlaznog o ulaznom signalu. Nelinearnost uzrokuje zasićenje (engl. saturation) i harmoničko izobličenje (engl. harmonic distortion) signala na izlazu pojačala. Pri niskim razinama snaga izlaznog signala je linearno razmjerna snazi ulaznog signala, ali povećanjem snage na ulazu snaga izlaznog signala postepeno dosiže točku zasićenja. Ova pojava je češća kod pojačala snage. Značajan problem je harmoničko izobličenje, odnosno generiranje harmonika ulaznog signala na izlazu pojačala. U slučaju više ulaznih signala različitih frekvencija nastaje i intermodulacijsko izobličenje (engl. intermodulation distortion). Komponente izobličenja su redovito malih razina, ali se neke povećavaju s drugom ili višom potencijom razine ulaznih signala. Zato snaga nekih komponenti izobličenja može biti znatna čak i kad je snaga ulaznih signala ispod razine zasićenja. Katkad je potrebno zadržati razinu komponenti izobličenja 50 dB do 80 dB ispod razine izlaznog signala. Napredak tehnologije poluvodiča omogućio je uporabu jeftinih silicijskih tranzistora za radiofrekvencijska pojačala do nekoliko gigaherca. Za više frekvencije koristi se tehnologija galijeva arsenida, ali je njegova obrada znatno skuplja i nespojiva s proizvodnjom integriranih krugova zasnovanih na siliciju. To ograničava razinu integracije i povećava cijenu mikrovalnih sklopova. Vrlo obećavajuća je tehnologija silicij-germanija kojeg je uz nižu cijenu od galijeva arsenida moguće koristiti na višim frekvencijama od silicija. Miješalo (engl. mixer) je sklop s tri pristupa kod kojeg su u savršenom slučaju na izlazu sinusoidalni signali čija je frekvencija jednaka zbroju i razlici frekvencija dva ulazna sinusoidalna signala. To omogućuje nužnu pretvorbu frekvencije u superheterodinskom odašiljaču i prijamniku. U slučaju odašiljača prikazanog na slici 1.4.a) moduliranom prijenosnom signalu se miješanjem sa signalom lokalnog oscilatora povećava frekvencija; to je pretvorba frekvencije naviše. U superheterodinskom prijamniku (slika 1.4.b) željenom prijenosnom signalu frekvencija se miješanjem sa signalom lokalnog oscilatora pretvara u međufrekvenciju; to je pretvorba frekvencije naniže. U oba slučaja potrebni su filtri kojima se izdvaja signal željene frekvencije od ostalih komponenti nastalih miješanjem. Općenito, pretvorbu frekvencije je moguće ostvariti svakim nelinearnim elektroničkim elementom (dioda, tranzistor) ili vremenski promjenljivim elektroničkim elementom (prekidač). U stvarnim miješalima pored željene sume i razlike ulaznih signala nastaju i brojne harmoničke komponente ulaznih signala te njihove kombinacije. Kod pasivnog

10

miješala izlazni međufrekvencijski signal uvijek je niže razine snage od ulaznog radiofrekvencijskog signala. Posljedica je to gubitaka rasipanja u miješalu i gubitaka samog postupka pretvorbe frekvencije. Gubitak pretvorbe (engl. conversion loss) miješala je mjera spomenutih gubitaka. Miješala koja koriste aktivne elektroničke elemente imaju manji gubitak pretvorbe, odnosno mogu imati pojačanje pri pretvorbi frekvencije. Kao i kod pojačala važni parametri miješala su šum i izobličenje. Katkad u superheterodinskim prijamnicima nije nužno niskošumno pojačalo ako je razina primanog signala dostatno velika. Tada je miješalo ulazni sklop pa njegov šum i gubitak pretvorbe presudno određuju svojstva prijamnika. U tom slučaju i signal lokalnog oscilatora može dospjeti na ulaz pa ga zrači antena prijamnika. Takvo zračenje je nepoželjno jer može uzrokovati interferencije pa miješalo mora imati primjerenu izolaciju između ulaza za signal lokalnog oscilatora i ulaza za radiofrekvencijski signal. Aktivna miješala redovito dobro izoliraju RF pristup od LO pristupa jer su tranzistori unilateralni elementi. Ukupno uzevši projektiranje miješala je kompromis između šuma, izolacije i gubitka pretvorbe. Oscilatori su u odašiljačima i prijamnicima nužni za generiranje prijenosnog signala i pretvorbu frekvencije. Uobičajeni radiouređaj može sadržavati 4 do 6 ovakvih sklopova s frekvencijom signala u rasponu od nekoliko kiloherca do više gigaherca. Često ovi izvori signala moraju biti promjenljive frekvencije u određenom rasponu i imati vrlo točnu frekvenciju.

Najjednostavniji oscilatori koriste tranzistor i LC mrežu za određenje frekvencije osciliranja. Frekvenciju je moguće mijenjati promjenom vrijednosti LC mreže, primjerice pomoću varikap diode (varaktor). Takvi oscilatori su jednostavni i jeftini, ali im frekvencija signala zavisi o promjeni napona napajanja, impedancije opterećenja i temperature. Bolju stalnost frekvencije omogućuje uporaba kristala kvarca umjesto LC mreže. Oscilator upravljan kristalom kvarca (XCO, engl. crystal-controlled oscilator) može imati vrlo točnu frekvenciju izlaznog signala pogotovo ako je kristal u temperaturno nadziranom kućištu. Oscilatorima s kristalom kvarca nije jednostavno mijenjati frekvenciju. Fazom sinkronizirana petlja (PLL, engl. phase locked loop) koristi krug povratne veze i točni referentni izvor signala (često s kristalom kvarca) kako bi izlazni signal bio promjenljiv i vrlo velike točnosti frekvencije. Fazom sinkroniziranu petlju i dodatne sklopove koji omogućuju točnu i promjenljivu izlaznu frekvenciju naziva se sintezatorom frekvencije. Važni parametri sintezatora frekvencije su područje ugađanja frekvencije, vrijeme promjene frekvencije, razlučivost frekvencije, cijena i potrošak snage. Posebno važan parametar je fazni šum oscilatora pridružen spektru izlaznog signala koji je presudan za mnoge radiosustave.

Nakon pretvorbe frekvencije naniže međufrekvencijski signal u prijamniku valja demodulirati. Većina suvremenih radiosustava koristi koherentne digitalne modulacijske postupke pa demoduliranje iziskuje lokalni oscilator sinkroniziran po fazi i frekvenciji s prijenosnim međufrekvencijskim signalom. Taj postupak, kojeg se naziva zahvat prijenosnog signala i sinkroniziranje na prijenosni signal, teško je provediv bez integriranih krugova za složenu digitalnu obradu signala. Demodulirani signal u osnovnom frekvencijskom pojasu, čak s ispravljenim pogreškama, rezultat je digitalne obrade signala. Ako je izvorni signal analogni, kao u slučaju prijenosa govora, primljeni signal nakon demoduliranja treba pretvoriti ponovno u analogni oblik pretvornikom digitalno-analogno.

11

2. PRIJENOSNE LINIJE I MIKROVALNE MREŽE Prijenosne linije su temeljne sastavnice radiokomunikacijskih uređaja; rabi ih se za spajanje antene i odašiljača ili prijamnika, za prilagođenje impedancije u miješalima i pojačalima te kao rezonatore u oscilatorima i filtrima. Važno je zato razmotriti širenje elektromagnetskog vala prijenosnom linijom, odbijanje (refleksiju) i prijenos (transmisiju) električnog signala, transformaciju impedancije i Smithov dijagram. Te spoznaje su primijenjene pri definiranju raspršnih parametara, kod postupaka prilagođavanja impedancije i za analizu mikrovalnih mreža. Pritom su prijenosne linije i mikrovalne mreže nadomještene električnim krugom. Valja upozoriti da je analiza prijenosnih linija utemeljena na rigoroznoj primjeni teorije elektromagnetskih polja pa spomenuto modeliranje prijenosne linije elementima električnog kruga ne obuhvaća sve pojave. Na primjer, tako nije moguće predvidjeti pojavu viših modova elektromagnetskog polja na prijenosnoj liniji kad je razmak vodiča veći od četvrtine valne duljine ili zbog diskontinuiteta impedancije. 2.1. Prijenosne linije Ključnu razliku između konvencionalne analize električnog kruga i teorije prijenosnih linija čini zavisnost električnih veličina o prostoru. Analiza električnog kruga pretpostavlja da su fizičke dimenzije mreže zanemarivo male u odnosu na električnu valnu duljinu, a prijenosna linija može imati dimenzije koje su značajan dio ili čak više valnih duljina. Zato je prijenosna linija električna mreža s raspodijeljenim parametrima na kojoj se električni napon i struja mogu mijenjati po iznosu i fazi duž linije. Kratki odsječak ∆z prijenosne linije moguće je nadomjestiti električnim krugom s koncentriranim parametrima kao na slici 2.1.

i(z,t)

∆z

+

−u(z,t)

z

a)

b)

+ +

− −

i(z,t) i(z+∆z,t)R∆z L∆z

G∆z C∆zu(z,t) u(z+∆z,t)

i(z+∆z,t)

u(z+∆z,t)+

−

Slika 2.1. Kratki odsječak prijenosne linije: a) shematski prikaz; b) nadomjesni krug s koncentriranim parametrima

12

Pritom je R električni otpor po jedinici duljine zbog konačne električne provodnosti vodiča, L je vlastiti induktivitet po jedinici duljine oba vodiča, G je električna vodljivost po jedinici duljine zbog dielektričnih gubitaka između vodiča i C je električni kapacitet po jedinici duljine između vodiča. Prijenosnu liniju se uobičajeno shematski prikazuje kao dvožičnu (slika 2.1.a) iako je to često struktura dva vodiča paralelnih osi različitog oblika poprečnog presjeka. Prijenosnu liniju konačne duljine moguće je nadomjestiti kaskadnim spojem nadomjesnih mreža za svaki kratki odsječak. Primjenom Kirchoffovog pravila za napon i struju na električni krug sa slike 2.1.b) slijede odgovarajuće relacije:

0),(),(),(),( =∆+−∂

∂∆−⋅∆− tzzu

ttzizLtzizRtzu (2.1.a)

0),(),(),(),( =∆+−∂

∆+∂∆−∆+⋅∆− tzzi

ttzzuzCtzzuzGtzi (2.1.b)

Dijeljenjem ovih relacija s ∆z i graničnim procesom kad ∆z → 0 dobiju se diferencijalne jednadžbe za napon i struju na prijenosnoj liniji u vremenskom području (telegrafistove jednadžbe):

ttziLtziR

ztzu

∂∂

−⋅−=∂

∂ ),(),(),( (2.2.a)

ttzuCtzuG

ztzi

∂∂

−⋅−=∂

∂ ),(),(),( (2.2.b)

Uz sinusoidalnu zavisnost o vremenu, u ustaljenom stanju, moguće je pomoću fazora ove relacije prikazati u jednostavnijem obliku:

)()(d

)(d zILjRzzU

⋅+−= ω (2.3.a)

)()(d

)(d zUCjGzzI

⋅+−= ω (2.3.b)

Deriviranjem po z pojedine diferencijalne jednadžbe i uvrštavanjem preostale moguće je dobiti valnu jednadžbu odgovarajuće za napon i struju na prijenosnoj liniji:

0)(d

)(d 22

2

=⋅− zUz

zU γ (2.4.a)

0)(d

)(d 22

2

=⋅− zIz

zI γ (2.4.b)

gdje je γ kompleksna konstanta propagacije:

))(( CjGLjRj ωωβαγ ++=+= (2.5)

13

Realni dio konstante propagacije α je konstanta atenuacije, a imaginarni dio β je fazna konstanta. Konstanta propagacije je, općenito, funkcija frekvencije. Rješenje valne jednadžbe 2.4.a) i 2.4.b) su putujući valovi odgovarajuće napona i struje na prijenosnoj liniji:

zz UUzU γγ ee)( 00−−+ += (2.6.a)

zz IIzI γγ ee)( 00

−−+ += (2.6.b) gdje je član s e−γz val koji se širi u +z smjeru, a s eγz val koji se širi u −z smjeru. Ako se rješenje za napon (relacija 2.6.a) derivira po z i uvrsti u relaciju 2.3.a), onda je struju na liniji moguće prikazati u obliku:

( )zz UULjR

zI γγ

ωγ ee)( 00

−−+ −+

=

Usporedba s relacijom 2.6.b) pokazuje da ako se definira karakteristična impedancija Z0 prijenosne linije:

CjGLjRLjRZ

ωω

γω

++

=+

=0 (2.7)

onda je omjer odgovarajućeg vala napona i struje:

00

0

0

0 ZI

UI

U=−= −

−

+

+

Tada je moguće relaciju 2.6.b) prikazati u obliku:

zz

ZU

ZUzI γγ ee)(

0

0

0

0−

−+

−= (2.8)

Poznatim postupkom moguće je prikaz pomoću fazora pretvoriti u trenutnu vrijednost, primjerice napona (relacija 2.6.a):

zz ΦztUΦztUtzu αα βωβω e)cos(e)cos(),( 00−−−++ ++++−= (2.9)

gdje je Φ± fazni kut odgovarajuće kompleksnog napona . Valna duljina putujućeg vala određena je udaljenošću između dvije uzastopne točke jednake faze na valu u određenom trenutku:

±0U

βλ π2

= (2.10)

Brzina kojom se točka konstantne faze putujućeg vala pomiče u pravcu osi z je fazna brzina:

14

ftzv p ⋅=== λ

βω

dd (2.11)

gdje je f frekvencija, a kutna frekvencija je ω = 2πf. Navedene relacije vrijede općenito za prijenosnu liniju s gubicima pa su konstanta propagacije i karakteristična impedancija kompleksne veličine. U mnogim praktičnim slučajevima gubici linije su zanemarivo mali što rezultira pojednostavljenjem prethodnih rezultata. Ako se u relaciju 2.5. uvrsti R = G = 0, konstanta propagacije je imaginarna:

LCjj ωβαγ =+= ili

0=α (2.12.a)

LCωβ = (2.12.b) Kao što se i očekuje za prijenosnu liniju bez gubitaka konstanta atenuacije α iščezava. U tom slučaju karakteristična impedancija (relacija 2.7) je realna:

CLZ =0 (2.13)

Rješenje valne jednadžbe za električni napon i struju na prijenosnoj liniji bez gubitaka moguće je odgovarajuće prikazati u obliku:

zjzj UUzU ββ ee)( 00−−+ += (2.14.a)

zjzj

ZU

ZUzI ββ ee)(

0

0

0

0−

−+

−= (2.14.b)

Valna duljina na liniji bez gubitaka je:

LCωβλ π2π2

== (2.15)

a fazna brzina je:

LCvp

1==

βω (2.16)

Na slici 2.2. prikazana je prijenosna linija bez gubitaka zaključena opteretnom impedancijom ZL. Na ovom primjeru bit će razmotren prijenos i odbijanje vala napona i struje što je temeljno svojstvo prijenosne linije. Neka izvor u točki z < 0 razmatrane prijenosne linije generira upadni val . Omjer napona i struje ovakvog putujućeg vala jednak je karakterističnoj impedanciji Z

zjU β−+e0

0. Ako je linija zaključena impedancijom ZL ≠ Z0, omjer napona i struje na opterećenju mora biti jednak ZL. To znači da na opterećenju mora nastati reflektirani val kako bi bio ispunjen ovaj uvjet. Ukupni napon na liniji jednak je zbroju upadnog i reflektiranog vala napona (relacija 2.14.a). Slično, ukupna struja se sastoji od upadnog i reflektiranog vala struje na liniji (relacija 2.14.b).

15

z0-l

ZL

IL

+

−ULZ0, β

U(z), I(z)

Slika 2.2. Prijenosna linija zaključena opteretnom impedancijom ZL

U točki prijenosne linije z = 0 omjer ukupnog napona i struje određen je impedancijom opterećenja:

000

00

)0()0( Z

UUUU

IUZL −+

−+

−+

==

pa rješavanjem za U slijedi: −0

+−

+−

= 00

00 U

ZZZZU

L

L

Faktor refleksije napona ΓL određen je omjerom amplitude reflektiranog i upadnog vala napona na opteretnoj impedanciji:

0

0

0

0

ZZZZ

UUΓ

L

LL +

−== +

−

(2.17)

Uzgred, moguće je definirati faktor refleksije struje koji je prema relaciji 2.14.b) jednak negativnom faktoru refleksije napona. Pomoću faktora refleksije napona moguće je ukupni napon i struju na prijenosnoj liniji prikazati u obliku:

( )zjL

zj ΓUzU ββ ee)( 0 += −+ (2.18.a)

( zjL

zj ΓZUzI ββ ee)(

0

0 −= −+

) (2.18.b)

Razabire se da se napon i struja na prijenosnoj liniji sastoje od superponiranih upadnog i reflektiranog vala; takve valove se naziva stojnim valovima. Samo kad faktor refleksije iščezava, ΓL = 0 ne postoji reflektirani val. Da se to postigne opteretna impedancija mora biti jednaka karakterističnoj impedanciji linije, ZL = Z0 (relacija 2.17). Takvu impedanciju se onda naziva prilagođenom na prijenosnu liniju budući da ne postoji refleksija upadnog vala. Vremenski srednja snaga koju se kroz točku z prenosi linijom je:

222*

0

2

0* ee1Re21)()(Re

21

Lzj

Lzj

Lavg ΓΓΓZ

UzIzUP −+−=⋅= −

+ββ

gdje su uvrštene relacije 2.18.a) i 2.18.b). Srednja dva pribrojnika u vitičastoj zagradi su oblika A − A* = 2jImA pa su imaginarni. To pojednostavljuje relaciju:

16

( )2

0

2

0 121

Lavg ΓZ

UP −=

+

(2.19)

koja pokazuje da je stalna srednja snaga u svakoj točki prijenosne linije (ne ovisi o z) te da je ukupna snaga na opterećenju jednaka razlici upadne |U |+

02⁄(2Z0) i reflektirane (|U ||Γ+

0 L|)2⁄(2Z0) snage. Ako faktor refleksije iščezava, ΓL = 0, na opterećenje se prenosi maksimalnu snagu, a ako je |ΓL| = 1, upadna snaga se potpuno reflektira na opterećenju. Pritom je pretpostavljeno da je unutarnja impedancija generatora prilagođena na prijenosnu liniju pa ne postoji naknadno odbijanje već reflektiranog vala. Kad opterećenje nije prilagođeno na liniju ne prenosi mu se sva raspoloživa snaga iz generatora. To se naziva povratnim gubitkom (RL, engl. return loss), a iskazan u decibelima je:

LΓRL log20dB

−= (2.20)

Za prilagođeno opterećenje, |ΓL| = 0 povratni gubitak je ∞ dB (ne postoji reflektirana snaga), a uz totalnu refleksiju, |ΓL| = 1 povratni gubitak je 0 dB (sva upadna snaga je reflektirana). Ako je opterećenje prilagođeno, ΓL = 0, stalna je amplituda napona na prijenosnoj liniji, |U(z)| = |U | pa se za takvu liniju kaže da je "ravna". Međutim, neprilagođeno opterećenje uzrokuje reflektirani, a time i stojni val kad amplituda napona na liniji nije konstantna:

+0

)2(

02

02

0 e1e1e1)( lΘjL

ljL

zjL ΓUΓUΓUzU βββ −+−++ +=+=+= (2.21)

gdje je l = −z udaljenost od opterećenja u z = 0 prema generatoru (slika 2.2), a Θ je faza faktora refleksije (ΓL = |ΓL|ejΘ). Ova relacija pokazuje da amplituda napona oscilira s položajem z duž linije. Kad je fazni član ej(Θ−2βl) = 1 (relacija 2.21) maksimalna je vrijednost amplitude napona:

( )LΓUU += + 10max (2.22.a) a za fazni član ej(Θ−2βl) = −1 vrijednost amplitude napona je minimalna:

( )LΓUU −= + 10min (2.22.b) Prema relaciji 2.21. udaljenost između dva uzastopna maksimuma ili minimuma stojnog vala na prijenosnoj liniji je l = 2π/(2β) = λ/2, a udaljenost između maksimuma i minimuma je l = π/(2β) = λ/4, gdje je λ valna duljina (relacija 2.15). Mjera neprilagođenja opteretne impedancije na prijenosnu liniju je omjer stojnog vala (SWR, engl. standing wave ratio; VSWR, voltage SWR):

L

L

ΓΓ

UUSWR

−+

==11

min

max (2.23)

17

Moguće je razabrati da je omjer stojnog vala realni broj u rasponu 1 ≤ SWR ≤ ∞ gdje je SWR = 1 pridruženo prilagođenom opterećenju. Faktor refleksije određen je omjerom amplitude reflektiranog i upadnog vala napona na opteretnoj impedanciji (l = 0), ali ga je moguće odrediti za svaku točku l ≥ 0 na liniji. Prema relaciji 2.14.a) uz z = −l omjer reflektiranog i upadnog vala napona je:

ljLlj

lj

ΓUUlΓ β

β

β2

0

0 eee)( −

+

−−

== (2.24)

gdje je ΓL faktor refleksije na opteretnoj impedanciji, z = 0 određen relacijom 2.17. Ova relacija prikazuje transformaciju učina neprilagođenja opteretne impedancije duž linije. Pokazano je da je srednja snaga u svakoj točki prijenosne linije stalna, ali se amplituda napona u slučaju neprilagođene opteretne impedancije mijenja s položajem duž linije. To je moguće jedino ako se i impedancija mijenja s položajem duž prijenosne linije. Na udaljenosti l = −z od opterećenja ulazna impedancija prijenosne linije je:

ljL

ljL

ljL

ljL

lj

in ΓΓZ

ΓΓ

UUZ

lIlUZ β

β

ββ

ββ

2

2

0lj0

00 e1

e1eeee

)()(

−

−

−

−

+

+

−+

=

−+

=−−

= (2.25)

gdje je za U(z) i I(z) uvrštena odgovarajuće relacija 2.18.a) i 2.18.b). Uvrštavanjem relacije 2.17. za ΓL slijedi uobičajeni oblik relacije:

( ) ( )( ) ( ) )sin()cos(

)sin()cos(eeZee

0

00

00L

000 ljZlZ

ljZlZZZZZZZZZZZ

L

Llj

Llj

ljL

ljL

in ββββ

ββ

ββ

++

=−−+−++

= −

−

)tan()tan(

0

00 ljZZ

ljZZZZL

Lin β

β++

= (2.26)

za ulaznu impedanciju prijenosne linije karakteristične impedancije Z0, duljine l koja je zaključena opteretnom impedancijom ZL. Primjer 2.1. Prijenosna linija karakteristične impedancije 50 Ω, duljine 0,3λ zaključena je opteretnom impedancijom (130 + j90) Ω. Odrediti faktor refleksije na opterećenju, faktor refleksije na ulazu linije, omjer stojnog vala na liniji, povratni gubitak i ulaznu impedanciju prijenosne linije.

Faktor refleksije na opterećenju je (relacija 2.17):

°∠=++−+

=+−

= 8,21598,050)90130(50)90130(

0

0

jj

ZZZZΓ

L

LL

Faktor refleksije na ulazu linije moguće je odrediti pomoću relacije 2.24. uz:

°==⋅= 108π6,03,0π2 λλ

βl

°°−°−°− ==⋅⋅== 8,1652,19410828,212 e598,0e598,0ee598,0e)( jjjjlj

LΓlΓ β

18

Omjer stojnog vala na liniji je (relacija 2.23):

98,3598,01598,01

11

=−+

=−+

=L

L

ΓΓ

SWR

Prema relaciji 2.20. povratni gubitak je:

dB 47,4598,0log20log20 =−=−= LΓRL Ulaznu impedanciju razmatrane prijenosne linije moguće je odrediti pomoću relacije 2.26:

Ω+=°⋅++°⋅++

=++

= )83,575,12(108tan)90130(50108tan50)90130(50

)tan()tan(

0

00 j

jjjj

ljZZljZZZZ

L

Lin β

β

Neka je prijenosna linija bez gubitaka zaključena kratkim spojem, ZL = 0 Ω (slika 2.3). U tom slučaju faktor refleksije na opterećenju je ΓL = −1 (relacija 2.17), a omjer stojnog vala je SWR = ∞ (relacija 2.23).

z0-l

ZL= 0

IL

Z0, β

U(z), I(z)

Slika 2.3. Prijenosna linija zaključena kratkim spojem Prema relaciji 2.18.a) i 2.18.b) napon i struja na kratkospojenoj liniji je odgovarajuće:

( ) )sin(2ee)( 00 zjUUzU zjzj βββ +−+ −=−= (2.27.a)

( ) )cos(2ee)(0

0

0

0 zZU

ZUzI zjzj βββ

+−

+

=+= (2.27.b)

Na opterećenju za z = 0 napon iščezava, a struja je maksimalna kako se i očekuje za kratki spoj. Ulazna impedancija kratkospojene linije je (relacija 2.26):

)tan(0 ljZZin β= (2.28) imaginarna za svaku duljinu l, a vrijednosti su joj u rasponu od −j∞ Ω do j∞ Ω. Primjerice kad je l = 0 ulazna impedancija je Zin = 0 Ω, a za l = λ/4 ulazna impedancija je Zin = j∞ Ω (otvoreni krug). Relacija 2.28. pokazuje da je ulazna impedancija periodična s duljinom linije l i ponavlja se svakih λ/2. Na slici 2.4. prikazana je zavisnost napona, struje i ulazne reaktancije kratkospojene linije o duljini.

19

+02)(

jUzU

1

1−

+0

0

2)(

UZzI

0ZX in

1

1−

4λ

−2λ

−λ− z

z4λ

−4

3λ−

λ− 2λ−

43λ−

4λ

−

2λ

−

43λ

−

λ− 0

0

0

a)

b)

c)

z

Slika 2.4. Zavisnost o duljini kratkospojene linije: a) napona; b) struje; c) ulazne reaktancije

Neka je prijenosna linija bez gubitaka zaključena otvorenim krugom, ZL = ∞ Ω (slika 2.5). Dijeljenjem brojnika i nazivnika relacije 2.17. sa ZL i graničnim procesom kad ZL → ∞ slijedi da je u ovom slučaju faktor refleksije na opterećenju ΓL = 1 pa je omjer stojnog vala ponovno SWR = ∞ (relacija 2.23).

z0-l

ZL=ULZ0, β

U(z), I(z)

∞+

−

Slika 2.5. Prijenosna linija zaključena otvorenim krugom Prema relaciji 2.18.a) i 2.18.b) napon i struja na otvorenoj liniji je odgovarajuće:

( ) )cos(2ee)( 00 zUUzU zjzj βββ +−+ =+= (2.29.a)

20

( ) )sin(2ee)(0

0

0

0 zZjU

ZUzI zjzj βββ

+−

+ −=−= (2.29.b)

Na opterećenju za z = 0 struja iščezava, a napon je maksimalan kako se i očekuje za otvoreni krug. Ulazna impedancija otvorene linije je (relacija 2.26):

)cot(0 ljZZin β−= (2.30) imaginarna za svaku duljinu l, a vrijednosti su joj u rasponu od −j∞ Ω do j∞ Ω. Na slici 2.6. prikazana je zavisnost napona, struje i ulazne reaktancije otvorene linije o duljini.

+02)(

UzU

1

1−

+− 0

0

2)(jUZzI

0ZX in

1

1−

4λ

−

2λ

−

λ− z

z

43λ

−

λ−

2λ−

4λ

−

2λ

−

43λ

−

λ−0

0

0

a)

b)

c)

z

4λ−4

3λ−

Slika 2.6. Zavisnost o duljini otvorene linije: a) napona; b) struje; c) ulazne reaktancije

Prijenosne linije bez gubitaka određenih duljina imaju posebna svojstva. Na primjer ako je linija duljine l = n·λ/2 za n = 0, 1, 2, ..., onda je ulazna impedancija (relacija 2.26):

Lin ZZ = (2.31) jednaka opteretnoj impedanciji neovisno o karakterističnoj impedanciji linije. Ako je duljina prijenosne linije l = λ/4 + n·λ/2 za n = 0, 1, 2, ..., prema relaciji 2.26. ulazna impedancija je:

21

Lin Z

ZZ20= (2.32)

Takvu liniju se naziva četvrtvalnim transformatorom, a koristi se za prilagođenje impedancije. Razmotrene su prijenosne linije bez gubitaka uz pretpostavku da ne postoji refleksija na generatoru, odnosno da je unutarnja impedancija generatora prilagođena na prijenosnu liniju. Općenito, i generator i opterećenje mogu imati impedanciju koja nije prilagođena na prijenosnu liniju. U tom slučaju mogu nastati višestruke refleksije jer se valovi reflektirani na opterećenju ponovno reflektiraju od generatora i tvore beskonačni niz refleksija na liniji. U ustaljenom stanju postoji ukupni upadni val koji se širi prema opterećenju i ukupni reflektirani val koji se širi prema generatoru. Na slici 2.7. prikazan je krug s prijenosnom linijom bez gubitaka, duljine l i karakteristične impedancije Z0 koja je priključena na generator unutarnje impedancije Zg i zaključena opteretnom impedancijom ZL.

z0-l

ZL

Iin

+

−Uin Z0, βUg

+

−

Zg ΓLΓg

Γ

Zin

Slika 2.7. Električni krug s prijenosnom linijom Ulazna impedancija zaključene prijenosne linije je (relacije 2.25. i 2.26):

)tan()tan(

e1e1

0

002

2

0 ljZZljZZZ

ΓΓZZ

L

Llj

L

ljL

in ββ

β

β

++

=−+

= −

−

(2.33)

gdje je ΓL faktor refleksije na opterećenju:

0

0

ZZZZΓ

L

LL +

−= (2.34)

Napon na ulazu prijenosne linije, za z = −l određen relacijom 2.18.a), jednak je dijelu napona generatora:

( )ljL

lj

gin

ing ΓU

ZZZUlU ββ −+ +=+

=− ee)( 0

pa je moguće odrediti amplitudu upadnog vala na liniji:

ljL

ljgin

ing ΓZZ

ZUU ββ −+

++=

ee1

0 (2.35)

Uvrštavanjem relacije 2.33. slijedi:

22

ljgL

lj

gg ΓΓZZ

ZUU β

β

20

00 e1

e−

−+

−+= (2.36)

gdje je Γg faktor refleksije na generatoru:

0

0

ZZZZ

g

gg +

−=Γ (2.37)

Snaga koju iz generatora linija prenosi opterećenju je:

+=

=⋅=ingin

ing

ininininL ZZZ

ZUZ

UIUP 1Re211Re

21Re

21

222* (2.38)

Ako je ulazna impedancija prijenosne linije Zin = Rin + jXin, a unutarnja impedancija generatora Zg = Rg + jXg, onda je relaciju 2.38. moguće iskazati u obliku:

( ) ( )22

2

21

gingin

ingL XXRR

RUP+++

= (2.39)

Moguće su različite vrijednosti unutarnje impedancije generatora i impedancije opterećenja u odnosu na karakterističnu impedanciju prijenosne linije. Neka je impedancija opterećenja prilagođena na prijenosnu liniju, ZL = Z0. U tom slučaju faktor refleksije na opterećenju iščezava, ΓL = 0, omjer stojnog vala na liniji je SWR = 1, a ulazna impedancija linije je Zin = Z0. Snaga prenesena opterećenju je (relacija 2.39):

( ) 220

02

21

gggL XRZ

ZUP++

= (2.40)

Neka je u drugom slučaju impedancija generatora prilagođena na neprilagođeno zaključenu liniju, ZL ≠ Z0. Tada su impedancija opterećenja ZL i/ili parametri prijenosne linije βl i Z0 odabrani tako da je ulazna impedancija linije jednaka unutarnjoj impedanciji generatora, Zin = Zg. Faktor refleksije na ulazu linije iščezava:

0=+−

=gin

gin

ZZZZ

Γ

Valja upozoriti da je u ovakvom slučaju, općenito, faktor refleksije na opterećenu i faktor refleksije na generatoru različit od ništice, ΓL ≠ 0 i Γg ≠ 0 pa može postojati stojni val na liniji. Snaga prenesena opterećenju je (relacija 2.39):

( )22

2

421

gg

ggL XR

RUP

+= (2.41)

Razabire se da snaga prenesena opterećenju u slučaju kad je neprilagođeno zaključena linija prilagođena na generator (relacija 2.41) može biti manja nego u slučaju kad je prilagođeno

23

zaključena linija neprilagođena na generator (relacija 2.40). Nameće se pitanje: koja je optimalna ulazna impedancija linije za prijenos najveće snage na opterećenje iz generatora zadane unutarnje impedancije? Pretpostavi li se da je unutarnja impedancija generatora Zg nepromjenljiva moguće je mijenjati ulaznu impedanciju Zin dok se ne postigne maksimalni prijenos snage na opterećenje. Tako definirani Zin lako je transformirati duž linije i odrediti potrebnu vrijednost impedancije opterećenja ZL. Maksimum snage koju linija prenosi opterećenju slijedi ako se derivaciju relacije 2.39. po realnom i po imaginarnom dijelu ulazne impedancije linije izjednači s ništicom:

( ) ( )( )

( ) ( )[ ] 02

R1 0 22222

in

=+++

+−

+++⇒=

∂∂

gingin

ginin

gingin

L

XXRR

RRRXXRR

P

( ) 0222 =++− gining XXRR (2.42.a)

( )

( ) ( )[ ] 02

0 222=

+++

+−⇒=

∂∂

gingin

ginin

in

L

XXRR

XXXXP

( ) 0=+ ginin XXX (2.42.b)

Rješenja ovih jednadžbi su Xin = −Xg i Rin = Rg ili:

*gin ZZ = (2.43)

Ovaj poznati uvjet se naziva konjugirano kompleksno prilagođenje, a njegovo ispunjenje rezultira najvećom snagom prenesenom na opterećenje za određenu impedanciju generatora:

ggL R

UP4

121 2

= (2.44)

Moguće je zapaziti da je u ovakvom slučaju snaga prenesena na opterećenje veća ili jednaka u odnosu na prenesenu snagu prema relaciji 2.40. ili 2.41. Treba upozoriti da faktori refleksije ΓL, Γg i Γ mogu biti različiti od ništice. To znači da su katkad višestruke refleksije napona na neprilagođeno zaključenoj liniji jednakih faza pa se zbrajaju i na opterećenje prenose veću snagu nego u slučaju kad je linija prilagođena (ne postoje refleksije). Ova dva spomenuta slučaja se izjednačavaju kad je unutarnja impedancija generatora realna, Xg = 0. Snaga koju se u tom slučaju prenosi na opterećenje je najveća kad je unutarnji otpor generatora prilagođen na ulazni otpor zaključene linije, Rin = Rg uz Xin = Xg = 0. Konačno, valja uočiti da ni prilagođenje u odnosu na refleksiju (ZL = Z0) ni konjugirano kompleksno prilagođenje ne rezultira nužno električnim krugom s najvećom efikasnošću. Primjerice, ako je impedancija i generatora i opterećenja realna i prilagođena na prijenosnu liniju, Z

)( *gin ZZ =

g = ZL = Z0, ne postoje refleksije, ali se samo polovina snage iz generatora prenosi na opterećenje (druga polovina se rasipa na Zg) uz efikasnost kruga 50 %. Rasipanu snagu moguće je smanjiti jedino smanjivanjem realnog dijela unutarnje impedancije generatora.

24

2.2. Smithov dijagram Smithov dijagram (slika 2.8) je pomagalo za rješavanje problema prijenosnih linija grafičkim postupkom. Iako su numeričke metode projektiranja, općenito, potisnule grafičke postupke Smithov dijagram je još uvijek vrlo prikladan način prikaza pojava na prijenosnim linijama.

1.0

0.9

0.8

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0 0.1

0.2

0.3

0.4

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

2.0

3.0

10

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0.2

0.4

0.6

0.81.0

1.2

1.4

1.6

1.8

2.0

6.0

7.0

8.0

9.0

50

10

1.00.90.

8

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

2.0

6.0

7.08.0

9.0

50

10

160

140

120

100 80

60

40

20

0

-20

-40

-60

-80-100

-120

-140

-160

±180

170

150

130

110

90

70

50

30

10-10

-30

-50

-70

-90

-110

-130

-150

-170

50

0.2 50.24

0.23

0.22

0.21

0.20

0.19

0.18

0.17

0.16

0.150.14

0.130.120.11

0.10

0.09

0.08

0.07

0.06

0.05

0.04

0.03

0.02

0.01

0.00

0.49

0.48

0.47

0.46

0.45

0.44

0.43

0.42

0.41

0.400.39

0.38 0.370.36

0.35

0.34

0.33

0.32

0.31

0.30

0.29

0.28

0.270.26

0. 250 .26

0.27

0.28

0.29

0.30

0.31

0.32

0.33

0.34

0.350.36

0.370.380.39

0.40

0.41

0.42

0.43

0.44

0.45

0.46

0.47

0.48

0.49

0.0 0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

0.100.11

0.12 0.130.14

0.15

0.16

0.17

0.18

0.19

0.20

0.21

0.22

0.230.24

Wav

elen

gths

Tow

ard

Gen

erat

or

205.0

4.0

0.5

3.0

4.0

5.0

20

20

5.0

4.0

3.0

InC

oefficientR

eflectionD

egreesAngle

Of

Resistance Component (R/Z0), Or Conductance Component (G/Y0)

Indu

ctiv

eRe

acta

nce Co

mpo

nent

(+jX/Z 0

),Or C

apacitive

Susceptance (+jB/Y0)

0.6

0.7

CapacitiveReactanceCompo

nent(-jX

/Z0),

OrInd

uctiv

eSu

scep

tanc

e(-j

B/Y

0)

0.7

0.6

Load

Tow

ard

Wav

elen

gths

Slika 2.8. Smithov dijagram Na prvi pogled Smithov dijagram može izgledati zamršeno, ali to je u osnovi polarni dijagram faktora refleksije napona. Ako je faktor refleksije iskazan u polarnom obliku, Γ = |Γ|ejΘ, onda se iznos |Γ| ≤ 1 crta kao radijus od središta dijagrama, a kut faznog zakreta −180°≤ Θ ≤ 180° se mjeri od desne polovice vodoravnog promjera. Svakom faktoru refleksije, kojeg ostvaruje pasivna mreža, moguće je jednoznačno pridružiti točku na Smithovom dijagramu. Stvarna korisnost Smithovog dijagrama je u mogućnosti pretvorbe faktora refleksije u normaliziranu impedanciju (admitanciju) i obratno pomoću ucrtanih kružnica impedancije (admitancije). Za

25

normaliziranje impedancije Z redovito se rabi karakteristična impedancija prijenosne linije Z0; normalizirana impedancija je z = Z/Z0. Neka je u određenoj točki prijenosne linije bez gubitaka faktor refleksije:

Θ=+−

= jΓzzΓ e

11 (2.45)

gdje je z normalizirana impedancija. Moguće je prikazati zavisnost normalizirane impedancije o faktoru refleksije:

Θ

Θ

−+

= j

j

ΓΓ

ze1e1

(2.46)

Obje međuzavisne veličine su kompleksne, z = r + jx i Γ = Γr + jΓi pa uvrštavanjem slijedi:

( )( ) ir

ir

jΓΓjΓΓjxr

−−++

=+11

Racionaliziranjem nazivnika razlomka s desne strane jednakosti moguće je izjednačiti realni i imaginarni dio:

( ) 22

22

11

ir

ir

ΓΓΓΓr

+−−−

= (2.47.a)

( ) 2212

ir

i

ΓΓΓx

+−= (2.47.b)

Ove jednadžbe određuju dvije porodice kružnica u ΓrΓi ravnini:

22

2

11

1

+=+

+−

rΓ

rrΓ ir (2.48.a)

( )22

2 111

=

−+−

xxΓΓ ir (2.48.b)

(Napomena: jednadžba kružnice u xy ravnini je (x − x0)2 + (y − y0)2 = R2, gdje je središte kružnice u točki (x0, y0), a R je radijus.) Jednadžba 2.48.a) određuje kružnice otpora, a jednadžba 2.48.b) kružnice reaktancije. Sve kružnice otpora imaju središte na vodoravnoj osi, Γi = 0 i prolaze točkom Γ = 1 na desnoj strani Smithovog dijagrama. Primjerice za r = 1 središte kružnice otpora je u točki Γr = 0,5 i Γi = 0, a radijus je 0,5 pa prolazi središtem Smithovog dijagrama. Središta svih kružnica reaktancije leže na okomitom pravcu Γr = 1 (izvan Smithovog dijagrama), a kružnice također prolaze točkom Γ = 1. Kružnice otpora i kružnice reaktancije su ortogonalne. Ulazna impedancija prijenosne linije bez gubitaka, karakteristične impedancije Z0, duljine l koja je zaključena opteretnom impedancijom ZL (relacija 2.33) u normaliziranom obliku je:

26

ljL

ljL

in ΓΓz β

β

2

2

e1e1

−

−

−+

= (2.49)

gdje je ΓL faktor refleksije na opterećenju (relacija 2.34). Moguće je zapaziti da relacije 2.46. i 2.49. imaju jednaki oblik; različit je samo kut faznog zakreta faktora refleksije. Ako se na Smithovom dijagramu nacrta točka faktora refleksije na opterećenju, ΓL = |ΓL|ejΘ, normaliziranu ulaznu impedanciju razmatrane prijenosne linije moguće je odrediti rotirajući ucrtanu točku oko središta dijagrama u smjeru pomicanja kazaljke sata za kut 2βl (oduzimajući 2βl od Θ). Iznos faktora refleksije pritom ostaje nepromijenjen jer je linija bez gubitaka. Da se olakšaju ovakve transformacije Smithov dijagram ima skalu duž oboda s podjeljcima u valnim duljinama prema generatoru i prema opterećenju (slika 2.8). Ove skale su relativne jer je značajna samo razlika u valnim duljinama između dvije točke na Smithovom dijagramu. Raspon vrijednosti koje obuhvaća skala je od 0 do 0,5 valnih duljina što odražava periodičnost pojava s duljinom na prijenosnoj liniji. Tako linija duljine l = n·λ/2 za n = 0, 1, 2, ... iziskuje rotiranje za kut 2βl = 2π oko središta dijagrama prema generatoru pri transformaciji impedancije opterećenja u ulaznu impedanciju. Primjer 2.2. Prijenosna linija karakteristične impedancije 50 Ω, duljine 0,3λ zaključena je opteretnom impedancijom (130 + j90) Ω. Odrediti faktor refleksije na opterećenju, faktor refleksije na ulazu linije, omjer stojnog vala na liniji, povratni gubitak i ulaznu impedanciju prijenosne linije. (Zadatak je jednak kao u primjeru 2.1.) Normalizirana impedancija opterećenja je:

8,16,250

90130

0

jjZZz L

L +=+

==

Ovu točku moguće je ucrtati na Smithov dijagram (slika 2.9), a kružnica iz središta koja prolazi ovom točkom na desnoj polovici vodoravnog promjera presjeca točku SWR = 3,98. To je kružnica konstantnog omjera stojnog vala, odnosno geometrijsko mjesto točaka faktora refleksije (normaliziranih impedancija) koje opterećenje može uzrokovati duž linije. Prema relaciji 2.23. iznos faktora refleksije na opterećenju je:

6,0198,3198,3

11

=+−

=+−

=SWRSWRΓ L

Fazni kut faktora refleksije moguće je odrediti ucrtavanjem pravca kroz središte Smithovog dijagrama i točku zL koji na obodnoj skali prolazi podjeljkom 21,9°. Na skali valne duljine prema generatoru (WTG, engl. wavelengths toward generator) ovaj pravac određuje referentni položaj opterećenja 0,2198λ. Rotiranje za kut koji odgovara 0,3λ prema generatoru, odnosno u položaj 0,2198λ + 0,3λ = 0,5198λ transformira normaliziranu impedanciju opterećenja u ulaznu impedanciju. Budući da se faktor refleksije i impedancija ponavlja svakih 0,5λ to odgovara položaju 0,0198λ na WTG skali. Crtanje radijalne linije na tom kutu određuje normaliziranu ulaznu impedanciju u presjecištu s kružnicom konstantnog SWR, zin = 0,253+ j0,117. Ulazna impedancija linije je:

Ω+=Ω⋅+=⋅= )85,565,12( 50)117,0253,0(0 jjZzZ inin

27

Faktor refleksije na ulazu linije ima iznos 0,6, a fazni kut 165,9° je moguće očitati za spomenutu radijalnu liniju na obodnoj skali. Povratni gubitak je (relacija 2.20):

dB 4,46,0log20log20 =−=−= LΓRL Treba spomenuti da su često Smithovom dijagramu pridodane pomoćne skale na kojima je moguće izravno očitati iznos faktora refleksije, omjer stojnog vala, povratni gubitak, itd.

1.0

0.9

0.8

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0 0.1

0.2

0.3

0.4

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

2.0

3.0

10

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

2.0

6.0

7.0

8.0

9.0

50

10

1.00.90.

8

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

2.0

6.0

7.08.0

9.0

50

10

160

140

120

100 80

60

40

20

0

-20

-40

-60

-80-100

-120

-140

-160

±180

170

150

130

110

90

70

50

30

10-10

-30

-50

-70

-90

-110

-130

-150

-170

50

0.2 50.24

0.23

0.22

0.21

0.20

0.19

0.18

0.17

0.16

0.150.14

0.130.120.11

0.10

0.09

0.08

0.07

0.06

0.05

0.04

0.03

0.02

0.01

0.00

0.49

0.48

0.47

0.46

0.45

0.44

0.43

0.42

0.41

0.400.39

0.38 0.370.36

0.35

0.34

0.33

0.32

0.31

0.30

0.29

0.28

0.270.26

0.250.26

0.27

0.28

0.29

0.30

0.31

0.32

0.33

0.34

0.350.36

0.370.380.39

0.40

0.41

0.42

0.43

0.44

0.45

0.46

0.47

0.48

0.49

0.00

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

0.100.11

0.12 0.130.14

0.15

0.16

0.17

0.18

0.19

0.20

0.21

0.22

0.230.24

Wav

elen

gths

Tow

ard

Gen

erat

or

205.0

4.0

0.5

3.0

4.0

5.0

20

20

5.0

4.0

3.0

InC

oefficientR

eflec tionD

egreesAngle

Of

0.6

0.7

0.7

0.6

Load

Tow

ard

Wav

elen

gths

zL=2,6+j1,8

zin=0,253+j0,117

SWR=3,98

Slika 2.9. Smithov dijagram za primjer 2.2.

Smithov dijagram olakšava pretvorbu normalizirane impedancije u admitanciju i obratno. Postupak se zasniva na činjenici da je ulazna impedancija prijenosne linije duljine λ/4 koja je zaključena impedancijom ZL (relacija 2.32) u normaliziranom obliku:

Lin z

z 1= (2.50)

28

što ima učin pretvorbe normalizirane impedancije u normaliziranu admitanciju. Budući da je rotiranje za puni krug na Smithovom dijagramu pridruženo duljini linije λ/2, onda je duljini linije λ/4 pridruženo rotiranje za 180°. To također odgovara preslikavanju u odnosu na središte Smithovog dijagrama određene točke impedancije (admitancije) u odgovarajuću točku admitancije (impedancije). Kružnice otpora na Smithovom dijagramu su istovjetne kružnicama vodljivosti, kružnice induktivne reaktancije su istovjetne kružnicama kapacitivne susceptancije, a kružnice kapacitivne reaktancije su istovjetne kružnicama induktivne susceptancije (slika 2.8). Tako je Smithov dijagram moguće istodobno koristiti kao dijagram normalizirane impedancije ili normalizirane admitancije. Primjer 2.3. Prijenosna linija karakteristične impedancije 50 Ω, duljine 0,15λ zaključena je opteretnom impedancijom (100 + j50) Ω. Odrediti opteretnu admitanciju i ulaznu admitanciju linije.

1.0

0.9

0.8

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0 0.1

0.2

0.3

0.4

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

2.0

3.0

10

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

2.0

6.0

7.0

8.09.0

50

10

1.00.90.

8

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

2.0

6.0

7.08.0

9.0

50

10

160

140

120

100 80

60

40

20

0

-20

-40

-60

-80-100

-120

-140

-160

±180

170

150

130

110

90

70

50

30

10-10

-30

-50

-70

-90

-110

-130

-150

-170

50

0. 250.24

0.23

0.22

0.21

0.20

0.19

0.18

0.17

0.16

0.150.14

0.130.120.11

0.10

0.09

0.08

0.07

0.06

0.05

0.04

0.03

0.02

0.01

0.00

0.49

0.48

0.47

0.46

0.45

0.44

0.43

0.42

0.41

0.400.39

0.38 0.370.36

0.35

0.34

0.33

0.32

0.31

0.30

0.29

0.28

0.270.26

0 .250.26

0.27

0.28

0.29

0.30

0.31

0.32

0.33

0.34

0.350.36

0.370.380.39

0.40

0.41

0.42

0.43

0.44

0.45

0.46

0.47

0.48

0.49

0.00

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

0.100.11

0.12 0.130.14

0.15

0.16

0.17

0.18

0.19

0.20

0.21

0.22

0.230.24

Wav

elen

gths

Tow

ard

Gen

erat

or

205.0

4.0

0.5

3.0

4.0

5.0

20

20

5.0

4.0

3.0

InC

oefficientR

eflectionD

egreesAngle

Of

0.6

0.7

0.7

0.6

Load

Tow

ard

Wav

elen

gths

zL=2+j1

SWR=2,63

yL=0,4-j0,2

yin=0,6+j0,665

Slika 2.10. Smithov dijagram za primjer 2.3.

29

Normalizirana impedancija opterećenja je:

1250

50100

0

jjZZz L

L +=+

==

Ucrtana na Smithov dijagram određuje kružnicu konstantnog omjera stojnog vala SWR = 2,63 (slika 2.10). Normaliziranu admitanciju opterećenja određuje presjecište kružnice konstantnog omjera stojnog vala te pravca kroz točku zL i središte Smithovog dijagrama, yL = 0,4 − j0,2. Na skali valne duljine prema generatoru dijagrama admitancije ovaj pravac određuje referentni položaj opterećenja 0,463λ. Rotiranje za kut koji odgovara 0,15λ prema generatoru, odnosno u položaj 0,463λ + 0,15λ = 0,613λ transformira normaliziranu admitanciju opterećenja u ulaznu admitanciju. Budući da se admitancija ponavlja svakih 0,5λ to odgovara položaju 0,113λ na WTG skali. Crtanje radijalne linije na tom kutu određuje normaliziranu ulaznu admitanciju u presjecištu s kružnicom konstantnog SWR, yin = 0,6 + j0,665. Ulazna admitancija linije je:

S )013,0012,0( 50

665,06,0

0

jjZyY in

in +=Ω

+==

2.3. Analiza mikrovalnih mreža Na slici 2.11. prikazana je mikrovalna mreža s N pristupa. Svaki pristup je moguće promatrati kao prijenosnu liniju bez gubitaka za koju su određeni odgovarajuće upadni i reflektirani val napona, i U za n = 1, 2, ... N te upadni i reflektirani val struje, i za n = 1, 2, ... N. Također je za svaki pristup određena referentna ravnina (engl. terminal plane), odnosno koordinata točke s referentnom fazom vala napona i struje, t

+nU −

n+nI −

nI

n za n = 1, 2, ...N.

mikrovalnamreža

++11 , IU

+

+

22 , I

U

+

+N

NI

U,

++nn IU ,

−−11 , IU

−

−

22 , I

U

−−nn IU ,

−

−N

NI

U,

t1

t2

tn

tN

Slika 2.11. Mikrovalna mreža s N pristupa Prema relaciji 2.14.a) i 2.14.b) ukupni napon i ukupna struja na n-tom pristupu u referentnoj ravnini tn je odgovarajuće:

30

−+ += nnn UUU (2.51.a) −+ += nnn III (2.51.b)

jer je referentna ravnina točka u kojoj je zaključena prijenosna linija, z = 0.

Matrica impedancije [Z] razmatrane mikrovalne mreže povezuje ukupne napone i ukupne struje na svim pristupima u referentnim ravninama:

=

NNNNN

N

N

N I

II

ZZZ

ZZZZZZ

U

UU

M

L

MMMM

L

L

M2

1

21

22221

11211

2

1

ili u simboličnom obliku: [ ] [ ][ ]IZU = (2.52)

Slično, matrica admitancije [Y] razmatrane mikrovalne mreže povezuje ukupne struje i ukupne napone na svim pristupima u referentnim ravninama:

=

NNNNN

N

N

N U

UU

YYY

YYYYYY

I

II

M

L

MMMM

L

L

M2

1

21

22221

11211

2

1

ili u simboličnom obliku: [ ] [ ][ ]UYI = (2.53)

Naravno, matrica admitancije mikrovalne mreže jednaka je invertiranoj matrici impedancije:

[ ] [ ] 1−= ZY (2.54) Iz relacije 2.52. slijedi da je element matrice impedancije Zij za i = 1, 2, ... N i j = 1, 2, ... N jednak omjeru ukupnog napona na i-tom pristupu i ukupne struje na j-tom pristupu kad ukupna struja na svim ostalim pristupima iščezava:

jkIj

iij

kIUZ

≠=

=za 0

(2.55)

To znači da je j-ti pristup pobuđen ukupnom strujom Ij dok su svi ostali pristupi mikrovalne mreže zaključeni otvorenim krugom tako da je Ik = 0 za k = 1, 2, ... N i k ≠ j. Razvidno je Ui ukupni napon otvorenog kruga na i-tom pristupu kojeg uzokuje struja Ij. Zato je Zij prijenosna impedancija između i-tog i j-tog pristupa, a Zii je ulazna impedancija i-tog pristupa kad su svi ostali pristupi zaključeni otvorenim krugom. Element matrice admitancije Yij za i = 1, 2, ... N i j = 1, 2, ... N (relacija 2.53) jednak je omjeru ukupne struje na i-tom pristupu i ukupnog napona na j-tom pristupu kad ukupni napon na svim ostalim pristupima iščezava:

31

jkUj

iij

kUIY

≠=

=za 0

(2.56)

U ovom slučaju na j-ti pristup narinut je napon Uj, a svi ostali pristupi mikrovalne mreže zaključeni su kratkim spojem tako da je Uk = 0 za k = 1, 2, ... N i k ≠ j. Razabire se da je Ii ukupna struja kratkog spoja i-tog pristupa kojeg uzrokuje napon Uj. Ulazna admitancija i-tog pristupa je Yii, a Yij je prijenosna admitancija između i-tog i j-tog pristupa kad su svi ostali pristupi zaključeni kratkim spojem. Općenito, svaki element [Z] ili [Y] matrice može biti kompleksan. Matrica impedancije (admitancije) za električnu mrežu s N pristupa ima dimenzije N×N pa postoji 2N2 neovisnih veličina ili stupnjeva slobode koje treba odrediti. Međutim, mnoge mreže su recipročne i/ili bez gubitaka. Ako je električna mreža recipročna (ne sadrži nerecipročne sastavnice, na primjer feritne ili aktivne elemente), njezina matrica impedancije i admitancije je simetrična pa je Zij = Zji i Yij = Yji. Ako je električna mreža bez gubitaka, pa snaga rasipanja u mreži iščezava, onda su svi elementi matrice impedancije i admitancije imaginarni. Svaki od ovih posebnih slučajeva smanjuje broj neovisnih veličina ili stupnjeva slobode električne mreže.

Na visokim frekvencijama nije jednostavno mjeriti ukupni napon i struju, a često nije moguće zaključiti pristupe mikrovalne mreže otvorenim krugom ili kratkim spojem. Nasuprot tome razmjerno je lako izmjeriti upadni i reflektirani val napona na N pristupa mikrovalne mreže (slika 2.11). Matrica raspršenja (engl. scattering matrix) [S] razmatrane mikrovalne mreže povezuje reflektirane i upadne valove napona na svim pristupima u referentnim ravninama:

=

+

+

+

−

−

−

NNNNN

N

N

N U

UU

SSS

SSSSSS

U

UU

M

L

MMMM

L

L

M2

1

21

22221

11211

2

1

ili u simboličnom obliku: [ ] [ ][ ]+− = USU (2.60)

Element matrice raspršenja Sij za i = 1, 2, ... N i j = 1, 2, ... N jednak je omjeru reflektiranog vala napona na i-tom pristupu i upadnog vala napona na j-tom pristupu kad ukupni val napona na svim ostalim pristupima iščezava:

jkza 0 ≠=

+

−

+

=kUj

iij U

US (2.61)

Znači da je j-ti pristup pobuđen upadnim valom napona dok su svi ostali pristupi

mikrovalne mreže zaključeni prilagođenim opterećenjem tako da je U za k = 1, 2, ... N i k ≠ j. U tom slučaju iščezavaju valovi reflektirani od zaključenja koji bi stvarali upadne valove na tim pristupima. Reflektirani val napona na i-tom pristupu uzrokovan je upadnim valom napona na j-tom pristupu. Moguće je zapaziti da je S

+jU

0=+k

−iU

ii faktor refleksije u referentnoj ravnini i-tog pristupa, a Sij je faktor prijenosa (transmisije) između referentne ravnine i-tog i j-tog pristupa kad su svi ostali pristupi zaključeni prilagođenim opterećenjem.

32

Elemente matrice raspršenja mikrovalne mreže (S parametre) moguće je izravno izmjeriti vektorskim mrežnim analizatorom. Određenu matricu raspršenja lako je po potrebi pretvoriti u druge matrične oblike. Neka je karakteristična impedancija svih N pristupa mikrovalne mreže jednaka, Z0 = 1 Ω. Tada je ukupni napon i ukupna struja na n-tom pristupu u referentnoj ravnini tn odgovarajuće (relacija 2.51):

−+ += nnn UUU (2.62.a)

−+−+ −=+= nnnnn UUIII (2.62.b) pa je relaciju 2.52. moguće iskazati u obliku:

[ ][ ] [ ][ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ]−+−+ +==−= UUUUZUZIZ

[ ] [ ]( )[ ] [ ] [ ]( )[ ]+− −=+ UZUZ 11 (2.63) gdje je [1] jedinična matrica:

[ ]

=

100

010001

1

L

MMMM

L

L

(2.64)

Uvrštavanje matrične jednadžbe 2.60. u relaciju 2.63. daje matricu raspršenja iskazanu matricom impedancije:

[ ] [ ] [ ]( ) [ ] [ ]( )11 1 −+= − ZZS (2.65) Za mikrovalnu mrežu s jednim pristupom ova relacija je:

11

11

1111 +

−=

zzS

u skladu s relacijom 2.45. za faktor refleksije na normaliziranoj ulaznoj impedanciji u referentnoj ravnini. Matričnom jednadžbom 2.65. moguće je iskazati matricu impedancije pomoću matrice raspršenja:

[ ][ ] [ ][ ] [ ] [ ]11 −=+ ZSSZ

[ ] [ ] [ ]( ) [ ] [ ]( )SSZ +−= − 11 1 (2.66) Valja podsjetiti da su elementi matrice impedancije normalizirani s jedan pa ih treba pomnožiti sa stvarnom vrijednošću karakteristične impedancije linija koje tvore pristupe mikrovalne mreže.

33

Primjer 2.4. Odrediti elemente matrice raspršenja (S parametre) električne mreže (slika 2.12) koja ostvaruje atenuator atenuacije 3dB ako je karakteristična impedancija 50 Ω. Referentnu ravninu određuju priključnice pojedinog pristupa.

8,55 Ω 8,55 Ω

141,93 Ωpristup 1 pristup 2

Slika 2.12. Električna mreža za primjer 2.4. Prema relaciji 2.61. element matrice raspršenja S11 je faktor refleksije na pristupu 1 kad je pristup 2 zaključen prilagođenim opterećenjem, ZL(2) = Z0 = 50 Ω:

0

2

2 )2(0

00

01

111 )1(

)1()1(ZZin

inU

U LZZZZΓ

UUS

==

=+

−

+−

=== +

+

gdje je Zin(1) ulazna impedancija pristupa 1 kad je pristup 2 zaključen prilagođenim opterećenjem. U tom slučaju prema slici 2.12. je:

Ω=Ω+++⋅

+Ω= 50 5055,893,141

)5055,8(93,141 55,8)1(inZ

pa je S11 = 0, a zbog simetričnosti mreže je i S22 = 0. To znači da je ulazni pristup razmatrane mreže prilagođen kad je izlazni pristup zaključen prilagođenim opterećenjem. Faktor prijenosa s pristupa 1 na pristup 2 je (relacija 2.61):

01

212

2 =+

−

+

=UU

US

pa treba odrediti izlazni val napona kad je na ulaz narinut val napona . Zbog S

−2U +

1U11 = S22 = 0 reflektirani val napona na ulazu iščezava, kad je izlaz zaključen

prilagođenim opterećenjem, a tada iščezava i upadni val na izlazu, . Dvostrukim dijeljenjem ulaznog vala napona slijedi izlazni val napona (slika 2.12):

01 =−U02 =+U

++− ⋅=

+

+= 112 708,0

5055,850

45,4155,845,41 UUU

gdje je 41,45 Ω otpor paralelno spojenih otpornika 141,93 Ω te otpornika 8,55 Ω i 50 Ω spojenih serijski. Faktor prijenosa razmatrane mreže je S12 = S21 = 0,708. Ako je srednja snaga na ulazu |U |+

12/(2Z0), onda je snaga na izlazu:

34

0

1

0

12

0

2

12

21

0

2

121

0

2

2

221

2708,0

222 ZU

ZU

ZUS

ZUS

ZU ++++−

====

jednaka polovini ulazne snage kako se i očekuje kod atenuatora atenuacije 3 dB.

Mikrovalnu mrežu s N pristupa moguće je opisati matricom raspršenja, impedancije ili admitancije, ali se brojni mikrovalni sklopovi sastoje od kaskadno spojenih mreža s dva pristupa. U tom slučaju uobičajeno je odrediti 2×2 prijenosnu ili ABCD matricu za svaku mrežu s dva pristupa. Ukupna ABCD matrica jednaka je umnošku ABCD matrica kaskadno spojenih mreža s dva pristupa.

A BC D

+

−

+

−U1 U2

I1 I2

pristup 1 pristup 2

a)

A1 B1C1 D1

+

−

+

−U1

I1

b)

A2 B2C2 D2

+

−U2 U3

I2 I3

Slika 2.13. a) Mreža s dva pristupa; b) kaskadno spojene mreže s dva pristupa Za mrežu s dva pristupa ABCD matrica je određena pomoću ukupnih napona i struja (slika 2.13.a):

221 BIAUU +=

221 DICUI += ili u matričnom obliku:

=

2

2

1

1

IU

DCBA

IU

(2.67)

Pritom je dogovorni smjer struje I2 suprotan u odnosu na prije naznačeni smjer kod izvoda matrice impedancije i admitancije. Zato je ulazna struja jednog stupnja kaskadnog spoja jednaka izlaznoj struji prethodnog stupnja. Za kaskadno spojene dvije mreže s dva pristupa ABCD matrica svakog stupnja je odgovarajuće (slika 2.13.b):

=

2

2

11

11

1

1

IU

DCBA

IU

(2.68.a)

=

3

3

22

22

2

2

IU

DCBA

IU

(2.68.b)

35

Uvrsti li se relaciju 2.68.b) u 2.68.a) slijedi:

=

3

3

22

22

11

11

1

1

IU

DCBA

DCBA

IU

(2.69)

što pokazuje da je ABCD matrica kaskadno spojenih mreža s dva izvoda jednaka umnošku ABCD matrica pojedinih stupnjeva. Valja upozoriti da redoslijed množenja matrica mora odgovarati redoslijedu kaskadnog spajanja pojedinih mreža jer za množenje matrica ne vrijedi pravilo zamjene (komutacije). Svrhovito je sastaviti biblioteku ABCD matrica elementarnih mreža s dva pristupa (tablica 2.1) koje se kaskadno spojene koristi za ostvarenje složenijih mikrovalnih mreža.

Tablica 2.1. Elementi ABCD matrice nekih mreža s dva pristupa

mreža s dva pristupa elementi ABCD matrice

Z

A = 1 B = Z

C = 0 D = 1

Y

A = 1 B = 0

C = Y D = 1

Z0,β

l

A = cos(βl) B = jZ0sin(βl)

C = jY0sin(βl) D = cos(βl)

N :1

A = N B = 0

C = 0 D = 1/N

Z1 Z2

Z3

3

11ZZA +=

3

2121 Z

ZZZZB ++=

3

1Z

=C 3

21ZZD +=

Y1

Y3

Y2

3

21YYA +=

3

1Y

B =

3

2121 Y

YYYYC ++= 3

11YYD +=

36

Elemente ABCD matrice određene mreže moguće je iskazati pomoću elemenata matrice impedancije, admitancije ili raspršenja. Primjerice iskazivanje pomoću elemenata matrice impedancije iziskuje promjenu predznaka izlazne struje u relaciji 2.52:

1221111 ZIZIU −= (2.70.a)

2222112 ZIZIU −= (2.70.b) a zatim je prema relaciji 2.67:

21

11

211

111

02

1

2ZZ

ZIZI

UUA

I

====

(2.71.a)

21

2112221112

21

221112

02

111

02

122111

02

1

222Z

ZZZZZZZZZ

IIZ

IZIZI

IUB

UUU

−=−=−=

−==

===

(2.71.b)

21211

1

02

1 1

2ZZI

IUIC

I

====

(2.71.c)

21

22

2

21222

02

1

2ZZ

IZZI

IID

U

====

(2.71.d)

Ako je mreža recipročna, onda je Z21 = Z12 pa uvrštavanje u relacije 2.71. pokazuje da je tada i AD − BC = 1. 2.4. Prilagođenje impedancije Načelo prilagođenja impedancije prikazano je na slici 2.14. gdje je mreža za prilagođenje impedancije spojena između opterećenja i prijenosne linije. Savršena mreža za prilagođenje je bez gubitaka, a njezina ulazna impedancija najčešće je jednaka karakterističnoj impedanciji prijenosne linije, Z0. Tada reflektirani val na prijenosnoj liniji iščezava iako može postojati višestruka refleksija između mreže za prilagođenje i opterećenja.

mreža zaprilagođenje

opterećenjeZL

Z0

Slika 2.14. Mreža za prilagođenje impedancije opterećenja na prijenosnu liniju Više je razloga zbog kojih je važno prilagoditi impedancije u radiosustavu:

- na prilagođeno opterećenje linija prenosi maksimalnu snagu ako je i generator prilagođen;

37

- prilagođenje impedancije ulaznih sklopova prijamnika (antena, niskošumno pojačalo, miješalo) poboljšava omjer signala i šuma radiouređaja, odnosno povećava brzinu prijenosa podataka;

- prilagođenje impedancije sklopova odašiljača smanjuje potrebnu radiofrekvencijsku snagu, odnosno smanjuje elektromagnetske poremetnje, opasnost od neionizirajućeg elektromagnetskog zračenja i snagu istosmjernog izvora napajanja.

Prilagodnu mrežu je moguće odrediti za opteretnu impedanciju s pozitivnim realnim dijelom. Dostupna su mnoga praktična rješenja prilagodnih mreža, ali je razmotreno samo prilagođenje četvrtvalnim transformatorom, mreža za prilagođenje s koncentriranim elementima i prilagođenje jednim ogrankom prijenosne linije. U potpoglavlju 2.1. spomenuti četvrtvalni transformator rabi se za prilagođenje realne impedancije opterećenja na prijenosnu liniju. Kompleksnu impedanciju opterećenja moguće je transformirati u realnu spajanjem prijenosne linije određene duljine između opterećenja i četvrtvalnog transformatora. Prilagođenje se ostvaruje samo na frekvencijama za koje je duljina transformatora neparni broj četvrtina valne duljine. Prilagođenje u širem frekvencijskom području omogućuju četvrtvalni transformatori s više odsječaka. Na slici 2.15. prikazan je četvrtvalni transformator koji realnu impedanciju opterećenja ZL prilagođava na liniju karakteristične impedancije Z0. Prilagodni odsječak linije je karakteristične impedancije:

LZZZ 01 = (2.72) a njegova duljina je l = λ0/4 na frekvenciji f0.

l

Z1Z0 ZL (realno)

Slika 2.15. Prilagođenje četvrtvalnim transformatorom Ulazna impedancija odsječka prilagodne linije duljine l je:

tjZZtjZZZZ

L

Lin +

+=

1

11 (2.73)

gdje je t = tan(βl) = tanΘ i βl = Θ = π/2 na zadanoj frekvenciji. Faktor refleksije na ulazu prilagodne linije je:

( ) ( )( ) ( )LL

LL

in

in

ZZZjtZZZZZZjtZZZ

ZZZZΓ

02101

02101

0

0

+++−+−

=+−

= (2.74)

Prema relaciji 2.72. vrijedi jednakost pa je moguće pojednostavniti izraz za faktor refleksije :

LZZZ 021 =

LL

L

ZZtjZZZZΓ

00

0

2++−

= (2.75)

38

Iznos faktora refleksije na ulazu prilagodne linije je:

( )( )

( )( )

( )2 2

0

202

20

02

0

022

0

0 1414

4

2

−−

−+

+=−

++=

++

−=

ZZtZZ

ZZZZtZZ

ZZtZZ

ZZΓ

L

L

L

LL

LL

L

( )2

22

0

0 sec41−−

+= ΘZZZZΓ

L

L (2.76)

gdje je 1 + t2 = 1 + tan2Θ = sec2Θ. Pretpostavi li se frekvencija u okolišu zadane vrijednosti f0, onda je l ≈ λ0/4, Θ ≈ π/2 i sec2Θ >> 1 pa je:

2πza cos2 0

0 ≈−

≈ ΘΘZZZZ

ΓL

L (2.77)

Na slici 2.16. prikazana je približna frekvencijska zavisnost faktora refleksije (relacija 2.77) na ulazu četvrtvalnog transformatora u okolišu zadane frekvencije; to je mjera neprilagođenja impedancije opterećenja na prijenosnu liniju.

|Γ |

Γm

0 Θm π-Θmπ/2 π Θ =βl

∆Θ

Slika 2.16. Frekvencijska zavisnost iznosa faktora refleksije na ulazu četvrtvalnog transformatora u okolišu zadane frekvencije

Ako je Γm najveća prihvatljiva vrijednost iznosa faktora refleksije, moguće je odrediti širinu frekvencijskog pojasa četvrtvalnog transformatora (slika 2.16):

−=∆ mΘΘ

22 π (2.78)

Frekvencijska zavisnost iznosa faktora refleksije je simetrična oko Θ = π/2, a |Γ| = Γm za Θ = Θm i Θ = π − Θm. Uvrštavanjem ovih vrijednosti u relaciju 2.76. moguće je odrediti Θm:

2

0

02 sec

211

−+= m

L

L

m

ΘZZZZ

Γ

ili:

39

0

0

2

2

1cos

ZZZZ

ΓΓΘ

L

L

m

mm −−

= (2.79)

Za prijenosnu liniju duljine λ0/4 je (relacije 2.10. i 2.11):

00 242

ff

fv

vflΘ p

p

ππβ ===

gdje je vp fazna brzina. Relativna širina frekvencijskog pojasa četvrtvalnog transformatora je:

ππmΘΘ

ff 422

0

−=∆=∆

gdje je za ∆Θ uvrštena relacija 2.78, a za Θm je moguće uvrstiti relaciju 2.79. pa je:

−−−=

∆

0

0

20

2

1arccos42

ZZZZ

ΓΓ

ff

L

L

m

m

π (2.80)

Relativnu širinu frekvencijskog pojasa često se iskazuje u postocima, 100∆f/f0 %. Valja upozoriti da širina frekvencijskog pojasa četvrtvalnog transformatora zavisi o najvećoj prihvatljivoj vrijednosti iznosa faktora refleksije, Γm, ali i o razini neprilagođenja opteretne impedancije. Na slici 2.17. prikazana je frekvencijska zavisnost iznosa faktora refleksije na ulazu četvrtvalnog transformatora uz normaliziranu impedanciju opterećenja, ZL/Z0 kao parametar. Razabire se povećanje širine frekvencijskog pojasa za nižu razinu neprilagođenja impedancije opterećenja (bliže vrijednosti ZL i Z0).

|Γ |

f/f00

1,0

0,5

0,75

0,25

1 2

ZL/Z0 = 10; 0,1

ZL/Z0 = 4; 0,25

ZL/Z0 = 2; 0,5

Slika 2.17. Frekvencijska zavisnost iznosa faktora refleksije na ulazu četvrtvalnog transformatora

Kompleksnu impedanciju opterećenja moguće je prilagoditi na prijenosnu liniju pomoću L odsječka koji sadrži dva reaktivna elementa (slika 2.18). Ako je normalizirana impedancija opterećenja, zL = ZL/Z0 unutar kružnice 1 + jx u Smithovom dijagramu (kružnica otpora r = 1), prilagođenje je moguće ostvariti mrežom sa slike 2.18.a). U suprotnom, kad je

40

normalizirana impedancija opterećenja izvan kružnice 1 + jx za prilagođenje valja koristiti mrežu sa slike 2.18.b). Kod obje prilagodne mreže reaktivni elementi mogu biti induktivni ili kapacitivni ovisno o impedanciji opterećenja. Na nižim radiofrekvencijama ostvaruje ih se odgovarajuće zavojnicom i kondenzatorom, ali na višim frekvencijama, na kojima je teško ostvariti koncentrirane reaktivne elemente, treba koristiti odsječke prijenosnih linija. Analitičkim je postupkom moguće odrediti reaktanciju uzdužne, jX i susceptanciju poprečne, jB grane prilagodne mreže, ali je česta i uporaba Smithovog dijagrama.

jX

jB ZL

jX

jB ZLZ0

a)

Z0

b)

Slika 2.18. Prilagodni L odsječak: a) zL unutar kružnice 1 + jx; b) zL izvan kružnice 1 + jx Primjer 2.5. Projektirati mrežu u obliku L odsječka za prilagođenje opteretne impedancije (200 − j100) Ω na prijenosnu liniju karakteristične impedancije 100 Ω na frekvenciji 500 MHz. Normalizirana impedancija opterećenja zL = 2 − j1 ucrtana na Smithov dijagram je točka unutar kružnice 1 + jx (slika 2.19) pa prilagodna mreža ima oblik kao na slici 2.18.a). U tom slučaju korisno je impedanciju opterećenja pretvoriti u admitanciju yL jer je element uz opterećenje paralelna susceptancija. U presjecištu kružnice konstantnog SWR te pravca kroz točku zL i središte Smithovog dijagrama moguće je očitati admitanciju opterećenja yL = 0,4 + j0,2. Ukupna admitancija paralelno spojene admitancije opterećenja yL i susceptancije ±jb mora biti točka na kružnici 1 + jx koja je rotirana za 180° oko središta Smithovog dijagrama (središte rotirane kružnice je u točki 0,333 na lijevoj polovici vodoravnog promjera). Tada će ukupna admitancija pretvorena u impedanciju biti točka na kružnici 1 + jx kojoj je moguće serijski spojiti reaktanciju ±jx tako da ulazna impedancija prilagodne mreže bude točka u središtu Smithovog dijagrama, zin = 1 + j0. Jedna mogućnost je da se admitanciji opterećenja, yL = 0,4 + j0,2 pribroji susceptancija +j0,29 pa se ukupna admitancija transformira u impedanciju 1,0 − j1,22; za prilagođenje ovoj impedanciji treba pribrojiti reaktanciju +j1,22 (na slici 2.19. prikazano iscrtkano). Prilagodni krug sadrži kondenzator u poprečnoj i zavojnicu u uzdužnoj grani (slika 2.20.a) s odgovarajućim vrijednostima:

( ) pF 92,0100105002

29,02 6

01 =

⋅⋅==

ππfZbC ( ) nH 8,38

10500210022,1

2 60

1 =⋅

⋅==

ππfxZL

Druga mogućnost je da se admitanciji opterećenja, yL = 0,4 + j0,2 pribroji susceptancija −j0,69 pa se ukupna admitancija transformira u impedanciju 1,0 + j1,22; za prilagođenje ovoj impedanciji treba pribrojiti reaktanciju −j1,22 (na slici 2.19. prikazano crtica-točkom). Prilagodni krug sadrži zavojnicu u poprečnoj i kondenzator u uzdužnoj grani (slika 2.20.b) s odgovarajućim vrijednostima:

( )( ) nH 1,4669,0105002

1002 6

02 =

−⋅−

=−

=ππfb

ZL

( )( ) pF 61,210022,1105002

12

16

02 =

⋅−⋅−

=−

=ππfxZ

C

41

1.0

0.9

0.8

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0 0.1

0.2

0.3

0.4

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

2.0

3.0

10

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

2.0

6.0

7.0

8.0

9.0

50

10

1.00.90.

8

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

2.0

6.0

7.08.0

9.0

50

10

160

140

120

100 80

60

40

20

0

-20

-40

-60

-80-100

-120

-140

-160

±180

170

150

130

110

90

70

50

30

10-10

-30

-50

-70

-90

-110

-130

-150

-170

50

0.2 50.24

0.23

0.22

0.21

0.20

0.19

0.18

0.17

0.16

0.150.14

0.130.120.11

0.10

0.09

0.08

0.07

0.06

0.05

0.04

0.03

0.02

0.01

0.00

0.49

0.48

0.47

0.46

0.45

0.44

0.43

0.42

0.41

0.400.39

0.38 0.370.36

0.35

0.34

0.33

0.32

0.31

0.30

0.29

0.28

0.270.26

0. 250 .26

0.27

0.28

0.29

0.30

0.31

0.32

0.33

0.34

0.350.36

0.370.380.39

0.40

0.41

0.42

0.43

0.44

0.45

0.46

0.47

0.48

0.49

0.0 0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

0.100.11

0.12 0.130.14

0.15

0.16

0.17

0.18

0.19

0.20

0.21

0.22

0.230.24

Wav

elen

gths

Tow

ard

Gen

erat

or

205.0

4.0

0.5

3.0

4.0

5.0

20

20

5.0

4.0

3.0

InC

oefficientR

eflectionD

egreesAngle

Of

0.6

0.7

0.7

0.6

Load

Tow

ard

Wav

elen

gths

yL

zL

+j0,29

kružnica 1+jxrotirana za 180°

+j1,22

-j1,22

-j0,69

Slika 2.19. Smithov dijagram za primjer 2.5.

a) b)

Z0100 Ω

Z0100 Ω

ZL(200-j100) Ω

ZL(200-j100) Ω

L138,8 nH

C10,92 pF

L246,1 nH

C22,61 pF

Slika 2.20. Električna mreža za primjer 2.5. s paralelnom susceptancijom: a) kapacitivnom; b) induktivnom

U razmatranom primjeru približno je jednaka širina frekvencijskog pojasa za dvije moguće prilagodne mreže; općenito, razlika u širini frekvencijskog pojasa može biti značajna.

42

Impedanciju opterećenja s pozitivnim realnim dijelom moguće je prilagoditi kratkospojenim ili otvorenim prilagodnim ogrankom (engl. stub) koji je na određenoj udaljenosti od opterećenja spojen serijski ili paralelno prijenosnoj liniji (slika 2.21). Pritom treba odrediti udaljenost između opterećenja ZL i točke u kojoj je spojen ogranak, d te duljinu ogranka, l prijenosne linije karakteristične impedancije Z0. Ako je ogranak paralelno spojen na prijenosnu liniju, onda se duljinu d odabire tako da je ulazna admitancija zaključenog odsječka prijenosne linije Y0 ± jB (slika 2.21.a). Duljinu l treba odrediti tako da je ulazna admitancija prilagodnog ogranka odgovarajuće Ako je ogranak na prijenosnu liniju spojen serijski, duljinu d

.jBm

se odabire tako da je ulazna impedancija zaključenog odsječka prijenosne linije Z0 ± jX (slika 2.21.b). Duljinu l treba odrediti tako da je ulazna impedancija prilagodnog ogranka odgovarajuće .jXm

YL

l

d

Y0 Y0

Y0

Y0 jB-

jB+

otvoreno ilikratkospojeno

a)

ZL

l

d

Z0 Z0

Z0

Z0 jX-

jX

otvoreno ilikratkospojeno

b)

+

+--

+

Slika 2.21. Prilagođenje jednim odsječkom prijenosne linije spojenim: a) paralelno; b) serijski

Valja upozoriti da za neke vrste prijenosnih linija nije ostvariv i serijski i paralelni spoj prilagodnog ogranka. Primjerice na mikrotrakastu prijenosnu liniju prilagodni ogranak se može spojiti samo paralelno. Ni zaključenje prilagodnog ogranka kratkim spojem ili otvorenim krugom nije podjednako prikladno za svaku vrstu prijenosne linije; za mikrotrakaste prijenosne linije lakše je ostvariti zaključenje ogranka otvorenim krugom. Primjer 2.6. Prilagoditi impedanciju opterećenja (20 − j15) Ω na prijenosnu liniju karakteristične impedancije 50 Ω pomoću jednog paralelno spojenog, otvorenog prilagodnog ogranka. Poznatim postupkom na Smithov dijagram je ucrtana točka normalizirane impedancije opterećenja zL = 0,4 − j0,3 koja je pretvorena u normaliziranu admitanciju yL = 1,6 + j1,2 (slika 2.22). Kružnica konstantnog SWR koja prolazi ovim točkama siječe kružnicu 1 + jb u dvije točke, Pravac kroz središte Smithovog dijagrama i svaku od ovih točaka određuje na skali valne duljine prema generatoru odgovarajuće vrijednosti 0,336λ i 0,164λ. Na WTG skali referentni položaj opterećenja je 0,1963λ pa je udaljenost između opterećenja i točke u kojoj je spojen prilagodni ogranak:

.06,1j1m

λλλ 1397,01963,0336,01 =−=d λλλ 4677,0164,0)1963,05,0(2 =+−=d

Normalizirana ulazna admitancija prilagodnog ogranka treba biti odgovarajuće ±j1,06. Na WTG skali referentni položaj normalizirane admitancije zaključenja ogranka (otvoreni krug) je 0λ pa potrebnu ulaznu admitanciju ostvaruje ogranak odgovarajuće duljine:

43

λ1295,01 =l λ3705,02 =l Najčešće se odabire manju udaljenost između opterećenja i prilagodnog ogranka jer se tako povećava širinu frekvencijskog pojasa prilagođenja i smanjuje gubitak zbog stojnog vala na tom dijelu prijenosne linije.

1.0

0.9

0.8

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0 0.1

0.2

0.3

0.4

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

2.0

3.0

10

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0.2

0.4

0.6

0.81.0

1.2

1.4

1.6

1.8

2.0

6.0

7.0

8.0

9.0

50

10

1.00.90.

8

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

2.0

6.0

7.08.0

9.0

50

10

160

140

120

100 80

60

40

20

0

-20

-40

-60

-80-100

-120

-140

-160

±180

170

150

130

110

90

70

50

30

10-10

-30

-50

-70

-90

-110

-130

-150

-170

50

0 .250.24

0.23

0.22

0.21

0.20

0.19

0.18

0.17

0.16

0.150.14

0.130.120.11

0.10

0.09

0.08

0.07

0.06

0.05

0.04

0.03

0.02

0.01

0.00

0.49

0.48

0.47

0.46

0.45

0.44

0.43

0.42

0.41

0.400.39

0.38 0.370.36

0.35

0.34

0.33

0.32

0.31

0.30

0.29

0.28

0.270.26

0.2 50 .26

0.27

0.28

0.29

0.30

0.31

0.32

0.33

0.34

0.350.36

0.370.380.39

0.40

0.41

0.42

0.43

0.44

0.45

0.46

0.47

0.48

0.49

0.00

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

0.100.11

0.12 0.130.14

0.15

0.16

0.17

0.18

0.19

0.20

0.21

0.22

0.230.24

Wav

elen

gths

Tow

ard

Gen

erat

or

205.0

4.0

0.5

3.0

4.0

5.0

20

20

5.0

4.0

3.0

InC

oefficientR

eflectionD

egreesAngle

Of

0.6

0.7

0.7

0.6

Load

Tow

ard

Wav

elen

gths

zL

yL

1+j1,06

1-j1,06

l1

l2

d1

d2

Slika 2.22. Smithov dijagram za primjer 2.6.

44

3. ŠUM I IZOBLIČENJE U RADIOSUSTAVIMA Jedno od najvažnijih razmatranja kod procjene svojstava radiosustava je efekt šuma jer u konačnici o njemu zavisi najmanja razina električnog signala koju je u prijamniku moguće pouzdano detektirati. Šum je naziv za spontane električne fluktuacije pridružene različitim izvorima izvan ili unutar radiosustava. Izvori šuma izvan radiosustava su prirodni, primjerice šum atmosfere, svemirskih tijela (najznačajnije Sunce), Zemlje te galaktički i svemirski šum (pozadinsko zračenje svemira) ili su posljedica ljudskih djelatnosti, na primjer šum industrijskih postrojenja i velikih naselja, šum elektroenergetskih, radiokomunikacijskih i rasvjetnih uređaja, šum sustava paljenja benzinskih motora, šum sustava za namjerno ometanje, itd. Najznačajniji unos šuma vanjskih izvora u radiosustav ostvaruje prijamna antena, ali često nisu zanemarivi ni drugi načini unosa u obliku zračenih i/ili vođenih elektromagnetskih poremetnji. Šum unutar radiosustava generiraju sastavnice i sklopovi, primjerice termički šum elemenata s gubicima, šum poluvodičkih komponenti, šum vakuumskih elektronki, kontaktni šum, itd. Šum je slučajni proces pa ga je nužno analizirati metodama matematičke statistike i teorije vjerojatnosti. Snagu šuma koju generiraju pasivne i aktivne radiofrekvencijske komponente moguće je podjednako prikazati temperaturom šuma ili faktorom šuma, a s motrišta radiosustava važno je odrediti širenje šuma kaskadno spojenim mrežama s dva pristupa. Pritom parametri radiosustava, primjerice omjer signala i šuma, učestalost pogrešnog bita, dinamičko područje ili osjetljivost izravno zavise o učinima šuma. Naravno, razina šuma određuje donju granicu dinamičkog područja radiosustava, a gornja granica zavisi o prihvatljivoj razini izobličenja signala. Općenito, izobličenje uzrokuje nelinearnost radiofrekvencijskih komponenti pa taj učin na visokim razinama upotpunjuje učin šuma na niskim razinama električnog signala. 3.1. Slučajni procesi

Slučajni događaj je onaj koji se uz određene uvjete može, ali ne mora dogoditi. Vjerojatnost (engl. probability) je kvantitativna ocjena mogućnosti nastupa određenog slučajnog događaja, Pdogađaj. To je brojčana vrijednost u rasponu od ništice do jedan; vjerojatnost nemogućeg događaja iščezava, a vjerojatnost sigurnog događaja je jedan. Vjerojatnost događaja uključuje i pojavu jednakosti, primjerice Px = 5 ili pojavu događaja u odnosu na raspon vrijednosti, na primjer Px ≤ 5. Nasuprot uobičajenom nazivu slučajna varijabla nije ni slučajna ni varijabla; to je funkcija koja vrijednosti uzoraka slučajnog događaja ili procesa preslikava na skup realnih brojeva. Slučajnu varijablu moguće je primijeniti i na diskretne i na kontinuirane procese. Primjeri diskretnih procesa su bacanje novčića ili kocke, brojanje pješaka koji prelaze ulicu te pojava pogreški u prijenosu podataka. Kontinuiranom slučajnom varijablom moguće je modelirati razmjerno sporo promjenljive fizikalne veličine, na primjer temperaturu, napon šuma te amplitudu i fazu primljenog signala. U ovom poglavlju bit će pretežito razmatrane kontinuirane slučajne varijable za koje nisu uvedene posebne oznake jer je iz konteksta jasno koje su varijable slučajne, a koje su determinističke. Neka kontinuirana slučajna varijabla x opisuje slučajni proces s realnim kontinuiranim vrijednostima uzoraka tako da je −∞ < x < ∞. Slučajna varijabla može poprimiti bilo koju od beskonačnog broja vrijednosti pa iščezava vjerojatnost da je x jednak određenoj vrijednosti x0,

45

Px = x0 = 0. Naprotiv, vjerojatnost da je x manji ili jednak određenoj vrijednosti x0 može biti veća od ništice, 0 ≤ Px ≤ x0 ≤ 1. U graničnom procesu kad x0 → ∞ događaj postaje siguran pa mu vjerojatnost teži vrijednosti jedan, Px ≤ x0 → 1. Funkcija kumulativne razdiobe (CDF, engl. cumulative distribution function), Fx(x0) slučajne varijable x jednaka je vjerojatnosti da je x manji ili jednak vrijednosti x0:

( ) 00 xxPxFx ≤= (3.1) Funkcija kumulativne razdiobe ima sljedeća svojstva:

( ) 10 0 ≤≤ xFx (3.2.a) ( ) 1=∞xF (3.2.b) ( ) 0=∞−xF (3.2.c) ( ) ( ) 2121 za xxxFxF xx ≤≤ (3.2.d)

Relacija 3.2.d) je svojstvo monotonosti (monotonog porasta) funkcije kumulativne razdiobe, a usporedba s relacijom 3.1. pokazuje:

( ) ( )1221 xFxFxxxP xx −=≤< Funkcija gustoće vjerojatnosti (PDF, engl. probability density function) slučajne varijable jednaka je derivaciji po x funkcije kumulativne razdiobe:

( ) ( ) xxxx

xx x

xxPx

xFxf==

≤==

000

0

0

0

dd

dd (3.3)

gdje je za Fx

)

(x0) uvrštena relacija 3.1. Funkcija kumulativne razdiobe ima svojstvo monotonog porasta pa je funkcija gustoće vjerojatnosti nenegativna, fx(x) ≥ 0 za sve x. PDF može sadržavati delta funkcije, na primjer za diskretne slučajne varijable kada je CDF stepenastog oblika. Poznatim postupkom relaciju 3.3. je moguće invertirati:

( ) ( ) (∫=−=≤<2

1

d1221

x

xxxx xxfxFxFxxxP (3.4)

Kad x1 → −∞ prema relaciji 3.2.c) slijedi izravna zavisnost CDF i PDF:

( ) ( )∫∞−

=0

d0

x

xx xxfxF (3.5)

Prema relaciji 3.2.b) kad x0 → ∞ slijedi da je jedinična ukupna ploština ispod funkcije gustoće vjerojatnosti:

( )∫∞

∞−

= 1dxxf x (3.6)

46

Ove rezultate je moguće proširiti na više slučajnih varijabli. Funkcija kumulativne združene razdiobe (engl. joint CDF) slučajnih varijabli x i y je:

( ) 0000 , yyxxPyxFxy ≤∧≤= (3.7) a funkcija gustoće združene vjerojatnosti (engl. joint PDF) je:

( ) ( )

yyxx

xyxy yx

yxFyxf

==∂∂

∂=

00 ,00

002 ,

, (3.8)

Analogno relaciji 3.4. vjerojatnost da x i y poprime vrijednosti u odgovarajućem rasponu je:

∫ ∫=≤<∧≤<2

1

2

1

dd,2121

x

x

y

yxy yxyxfyyyxxxP ( ) (3.9)

Pojedinačnu funkciju gustoće vjerojatnosti slučajne varijable x i y moguće je odrediti integriranjem združene PDF po odgovarajućoj varijabli:

( ) ( )∫∞

∞−

= xyxfyf xyy d, (3.10.a)

( ) ( )∫∞

∞−

= yyxfxf xyx d, (3.10.b)

Ako su slučajne varijable x i y statistički neovisne, funkcija gustoće združene vjerojatnosti:

( ) ( ) ( )yfxfyxf yxxy =, (3.11) jednaka je umnošku pojedinačnih funkcija gustoće vjerojatnosti. Između za radiokomunikacije važnih funkcija gustoće vjerojatnosti najjednostavnija je ona jednolike razdiobe koju se definira kao konstantu u konačnom rasponu slučajne varijable:

( ) 2112

za 1 xxxxx

xf x ≤≤−

= (3.12.a)

Konstanta 1/(x2−x1) je odabrana tako da normalizira PDF prema relaciji 3.6. Mnoge slučajne varijable imaju Gaussovu (normalnu) razdiobu s funkcijom gustoće vjerojatnosti:

( ) ∞<<∞−= −− xxf mxx za e

21 )2()(

2

22 σ

πσ (3.12.b)

gdje je m srednja vrijednost razdiobe, a σ2 je varijanca. Kod razmatranja fedinga i digitalne modulacije koristi se Rayleighova razdioba s funkcijom gustoće vjerojatnosti:

( ) ∞<≤= − xxxf xx 0za e

22 22

σ

σ (3.12.c)

47

Za sve nabrojene razdiobe funkcija gustoće vjerojatnosti ispunjava uvjet normalizacije (relacija 3.6).

Očekivana vrijednost (engl. expected value), Ex koju se katkad naziva i srednjom vrijednošću ili aritmetičkom sredinom, x diskretne slučajne varijable x je:

∑=

===N

iii xxPxxEx

1

(3.13.a)

a kontinuirane slučajne varijable x je:

( )∫∞

∞−

== xxxfxEx x d (3.13.b)

Očekivana vrijednost slučajne varijable je linearna operacija pa vrijedi:

xcEcxE = (3.14.a)

yExEyxE +=+ (3.14.b) gdje je c konstanta, a x i y su slučajne varijable. Ako funkcija y = g(x) preslikava vrijednost slučajne varijable x na novu slučajnu varijablu y, onda je očekivana vrijednost diskretne slučajne varijable y:

( ) ( ) ∑=

====N

iii xxPxgxgEyEy

1

(3.15.a)

a očekivana vrijednost kontinuirane slučajne varijable y je:

( ) ( ) ( )∫∞

∞−

=== xxfxgxgEyEy x d (3.15.b)

Pomoću relacije 3.15.b) moguće je odrediti statističke sredine višeg reda, odnosno n-ti moment slučajne varijable x je:

( )∫∞

∞−

== xxfxxEx xnnn d (3.16)

Na primjer, varijanca slučajne varijable, σ2 je drugi moment razlike slučajne varijable x i njezine srednje vrijednosti x :

( ) ( ) ( ) 2222222 2d xxxxxxExxfxxxxE x −=+−=−=−= ∫∞

∞−

σ (3.17)

Korijen kvadrata srednje vrijednosti (rms, engl. root-mean-square) razdiobe, σ je standardno odstupanje (devijacija) i jednak je kvadratnom korijenu varijance. Ako je slučajna varijabla x napon ili struja električnog signala čija srednja vrijednost iščezava, onda je varijanca slučajne

48

varijable, σ2 jednaka snazi signala na otporu 1 Ω. U tom je slučaju standardno odstupanje, σ jednako efektivnoj vrijednosti električnog signala. Očekivana vrijednost funkcije dvije slučajne varijable, g(x,y) sadrži funkciju gustoće združene vjerojatnosti:

( ) ( ) ( ) ( )∫∞

∞−

== yxyxfyxgyxgEyxg xy dd,,,, (3.18)

Primijeni li se ova relacija na umnožak dvije statistički neovisne slučajne varijable, g(x,y) = xy očekivana vrijednost je:

( ) ( ) ∫ ∫∞

∞−

∞

∞−

=== yExEyyyfxxxfxyExy yx dd (3.19)

gdje je za funkciju gustoće združene vjerojatnosti uvrštena relacija 3.11. Važna značajka i determinističkih i slučajnih signala je brzina promjene s vremenom vrijednosti uzoraka koju je moguće opisati funkcijom autokorelacije (engl. autocorrelation function). Za deterministički, kompleksni signal x(t) funkcija autokorelacije:

( ) ( ) ( ) ttxtxRx d*∫∞

∞−

+= ττ (3.20)

jednaka je vremenski usrednjenom umnošku konjugirano kompleksne funkcije x*(t) i vremenski pomaknute funkcije x(t + τ). Svojstva funkcije autokorelacije su Rx(0) ≥ Rx(τ), Rx(τ) = Rx(−τ) i Rx(0) je normalizirana energija signala. Za stacionarne slučajne procese, primjerice za šum funkcija autokorelacije je:

( ) ( ) ( ) ττ += txtxERx* (3.21)

Nadalje, za stacionarne slučajne procese spektralna gustoća snage (PSD, engl. power spectral density), Sx(ω) jednaka je Fourierovoj transformaciji funkcije autokorelacije:

( ) ( )∫∞

∞−

−= ττω ωτ de jxx RS (3.22.a)

gdje je ω kutna frekvencija. Pomoću inverzne Fourierove transformacije moguće je iz poznate spektralne gustoće snage odrediti funkciju autokorelacije:

( ) ( )∫∞

∞−

= ωωπ

τ ωτ de21 j

xx SR (3.22.b)

Ako je električni napon u(t) slučajni proces, onda je ukupna normalizirana snaga (na opterećenju otpora 1 Ω):

49

( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫∫∞

∞−

∞

∞−

===== ffSSRtuEtuP uuuL d2d21022 πωωπ

(3.23)

gdje je Su(ω) spektralna gustoća snage slučajnog procesa u(t). Uobičajen je oblik relacije iza posljednjeg znaka jednakosti gdje je ω = 2πf jer je jedinica spektralne gustoće snage W/Hz. Primjer 3.1. Neka je sinusoidalni napon U0cosω0t slučajno u vremenu uzorkovan tako da tvori slučajni proces u(t) = U0cosΘ gdje je Θ = ω0t slučajna varijabla koja predstavlja vrijeme uzorkovanja s jednolikom razdiobom u rasponu 0 ≤ Θ ≤ 2π. Odrediti srednju i efektivnu vrijednost uzoraka napona, srednju snagu na opterećenju otpora 1 Ω, funkciju autokorelacije slučajnog procesa i spektralnu gustoću snage.

Θ je (relacija 3.12.a): Funkcija gustoće vjerojatnosti slučajne varijable

( ) ππ

20za 21

≤≤= ΘΘfΘ

pa je srednja vrijednost uzoraka napona (relacija 3.13.b):

( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫ ====π π

π

2

0

2

0

0dcos21d ΘΘΘΘftutuEtu Θ

Srednja vrijednost napona iščezava pa je varijanca od u(t) jednaka srednjoj snazi na opterećenju otpora 1 Ω (relacija 3.17):

( ) ( ) ( ) ( )2

dcos2

d20

2

0

220

2

0

222 UΘΘUΘΘftutuEtuP ΘL ===== ∫∫ππ

π

a efektivna vrijednost napona jednaka je standardnom odstupanju, odnosno kvadratnom korijenu varijance, .20U Prema relaciji 3.21. moguće je odrediti funkciju autokorelacije za u(t):

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )[ ]

( )τω

τωτωπ

τωπ

τωωττππ

0

20

2

000

20

2

00

20

0020

cos2

d2coscos4

dcoscos2

coscos

U

ΘΘUΘΘΘU

ttEUtutuERu

=

=++=+=

=+=+=

∫∫

Razabire se da je ( ) 20 2

0URu = što je varijanca od u(t). Prema relaciji 3.22.a) moguće je odrediti spektralnu gustoću snage za u(t):

( ) ( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( )[ ]00

20

20

2

dee4

de 00

ωωδωωδπ

τττω τωωτωωωτ

++−=

=+== ∫∫∞

∞−

+−−−∞

∞−

−

U

URS jjjuu

50

jer je, općenito, Diracova delta (jedinična impulsna) funkcija:

( ) ∫∞

∞−

±= dyx xyj πδ 2e

odnosno, Fourierova transformacija funcije cos(ω0τ) je π[δ(ω − ω0) + δ(ω + ω0)]. Rezultat pokazuje da je snaga sinusoidalnog signala koncentrirana na kutnoj frekvenciji ω0 i njezinoj zrcalnoj slici −ω0. Ukupna normalizirana snaga (na opterećenju otpora 1 Ω, relacija 3.23) je:

( ) ( ) ( )[ ]2

d4

d21 2

000

20 UUSP uL =++−== ∫∫

∞

∞−

∞

∞−

ωωωδωωδωωπ

jer je, općenito, svojstvo pomaka delta funkcije:

( ) ( ) ( )∫∞

∞−

=− 00 d xyxxxxy δ

pa je rezultat jednak prije određenoj vrijednosti varijance.

3.2. Termički šum Najčešću vrstu šuma u radiosustavu, termički šum (Nyquistov ili Johnsonov šum, engl. thermal noise), uzrokuje slučajno gibanje termički pobuđenih nosilaca naboja. Generira se u svakom pasivnom elementu električnog kruga s gubicima, na primjer otporniku ili prijenosnoj liniji, ali nastaje i širenjem elektromagnetskog vala kroz prostor s gubicima ili zbog pozadinskog zračenja svemira. Naravno, u radiokomunikacijskom sustavu su prisutne i ostale vrste šuma, primjerice zrnati šum (šum sačme, engl. shot noise) zbog slučajnog gibanja nosilaca naboja u vakuumskim elektronkama i poluvodičkim elementima, šum treperenja (1/f ili ekscesni šum, engl. flicker noise) koji također nastaje u vakuumskim elektronkama i poluvodičkim elementima, šum plazme (engl. plasma noise) zbog slučajnog gibanja nosilaca naboja u ioniziranom plinu ili električnom luku te kvantni šum (engl. quantum noise) zbog kvantne prirode nosilaca naboja i fotona. Iako su ishodište i značajke tih vrsta šuma različite moguće ih je, općenito, razmatrati jednako kao i termički šum. Na slici 3.1.a) prikazan je otpornik otpora R na temperaturi T. Ako nije narinuto vanjsko električno polje, elektroni se u otporniku slučajno gibaju s kinetičkom energijom koja je razmjerna temperaturi. Takvo gibanje elektrona uzrokuje slučajne fluktuacije napona na priključnicama otpornika, odnosno termički šum (slika 3.1.b). Srednja vrijednost tog napona iščezava, ali je njegova efektivna vrijednost u uskom frekvencijskom pojasu različita od ništice:

kTBRUn 4= (3.24) gdje je k = 1,380·10−23 J/K Boltzmannova konstanta, T je termodinamička temperatura, B je širina frekvencijskog pojasa, a R je električni otpor. Ovu relaciju se naziva Rayleigh- -Jeansovom aproksimacijom i vrijedi za frekvencije znatno više od mikrovalnih.

51

R

T

un(t)

a)

t

un(t)

0

b)

Slika 3.1. Termički šum: a) izvor otpornik na temperaturi T; b) valni oblik napona Otpornik s termičkim šumom moguće je nadomjestiti Theveninovim ekvivalentom koji sadrži serijski spojene naponski izvor šuma i bešumni otpornik (slika 3.2.a). Raspoloživa snaga šuma je najveća snaga koju izvor šuma može predati prilagođenom opterećenju. Naravno, tada je impedancija opterećenja jednaka konjugirano kompleksnoj vrijednosti unutarnje impedancije izvora. Raspoloživa snaga šuma nadomjesnog kruga otpornika je (slika 3.2.b):

kTBR

UR

UP nnn ==

=

41

2

22

(3.25)

gdje je za efektivnu vrijednost napona šuma, Un uvrštena relacija 3.24. Ova temeljna relacija pokazuje da je snaga šuma razmjerna širini frekvencijskog pojasa, ali ne ovisi o središnjoj frekvenciji propusnog pojasa. To znači da električna mreža s manjom širinom propusnog frekvencijskog pojasa prenosi manju snagu šuma opterećenju. Budući da je snaga termičkog šuma neovisna o frekvenciji naziva ga se bijelim šumom (engl. white noise) analogno bijeloj svjetlosti koja sadrži sve frekvencije vidljivog spektra. Mjerenjem je potvrđeno da je termički šum neovisan o frekvenciji u rasponu približno od 0 Hz do 1 THz. Također je moguće razabrati (relacija 3.25) da je snaga termičkog šuma razmjerna temperaturi; na nižoj temperaturi manja je snaga interno generiranog šuma.

Un

+_

+

_

Un

R

a)

savršenipojasnopropusnifiltar, B

R

RUn

+_

b)

Un/2

+

_

Slika 3.2. Otpornik s termičkim šumom: a) nadomjesni krug; b) s prilagođenim opterećenjem

Snaga termičkog šuma (relacija 3.25) je neovisna o frekvenciji pa je takva i spektralna gustoća snage (relacija 3.23):

( )222

0nkTB

PS nn ===ω (3.26)

koju se naziva dvostranom jer se odnosi na frekvencijski pojas B i njegovu zrcalnu sliku, odnosno širina frekvencijskog pojasa je 2B. Pritom je za dvostranu spektralnu gustoću snage

52

bijelog šuma uvedena oznaka n0/2 = kT/2. (Napomena: indeks uz konstantu n0 je 0 i treba ga razlikovati od indeksa o.)

Konstantna spektralna gustoća snage rezultira funkcijom autokorelacije u obliku delta funkcije (relacija 3.22.b):

( ) ( )τδωπ

τ ωτ

2de

221 00 nnR j

n == ∫∞

∞−

− (3.27)

Prema centralnom graničnom teoremu funkcija gustoće vjerojatnosti bijelog šuma ima oblik Gaussove krivulje za koju iščezava srednja vrijednost:

( ) )2(

2

22

21 σ

πσn

n enf −= (3.28)

gdje je n signal šuma, a σ2 je varijanca koja je u tom slučaju jednaka snazi prenesenoj na opterećenje otpora 1 Ω. Varijanca zbroja neovisnih slučajnih varijabli jednaka je zbroju pojedinačnih varijanci pa se snaga šuma neovisnih izvora zbraja na zajedničkom opterećenju. To je različito u odnosu na slučaj više izvora determinističkih signala kad se zbrajaju naponi na zajedničkom opterećenju. Primjer 3.2. Dva serijski spojena otpornika otpora odgovarajuće R1 i R2 su na temperaturi T (slika 3.3). Odrediti raspoloživu snagu šuma iz ovih izvora promatrajući ih pojedinačno. Ako se otpornici nadomjeste jednim otpornikom otpora R1 + R2 na temperaturi T, odrediti raspoloživu snagu šuma. Pretpostaviti da je u oba slučaja širina frekvencijskog pojasa B.

R1

R2

T R1+R2

Slika 3.3. Električni krug za primjer 3.2. Efektivna vrijednost napona šuma pojedinog otpornika odgovarajuće je (relacija 3.24):

11 4kTBRUn = 22 4kTBRUn = Najveći prijenos snage je na opterećenje otpora R1 + R2. U tom slučaju raspoloživa snaga šuma iz pojedinog izvora odgovarajuće je (relacija 3.25):

21

1

21

21

11

2 RRkTBR

RRUP n

n +=

+

=

21

2

21

22

21

2 RRkTBR

RRUP n

n +=

+

=

pa je ukupna raspoloživa snaga šuma:

53

kTBPPP nnn =+= 21 Nadomjesti li se dva otpornika jednim otpora R1 + R2, raspoloživa snaga šuma na opterećenju otpora R1 + R2 je (relacija 3.25):

kTBPn = što je jednako prije određenoj vrijednosti.

3.3. Šum u linearnim sustavima U radiouređaju se i željeni signal i neželjeni šum obrađuju različitim sklopovima, na primjer RF pojačalima, filtrima i miješalima. Općenito, takvi sklopovi mijenjaju statistička svojstva šuma pa je uputno razmotriti učin linearnog sustava pri prijenosu šuma. Odziv linearnog, vremenski nepromjenljivog (invarijantnog) sustava na pobudu determinističkim signalom moguće je u vremenskom području odrediti pomoću konvolucije s impulsnim odzivom sustava, a u frekvencijskom području pomoću frekvencijskog odziva sustava. Impulsni odziv je rješenje diferencijalne jednadžbe sustava koji je pobuđen Diracovom delta funkcijom, a frekvencijski odziv je prijenosna funkcija sustava u ustaljenom stanju za sinusoidalnu pobudu. Slično, u slučaju pobude slučajnim procesom koji je u širem smislu stacionaran odziv je moguće odrediti pomoću funkcije autokorelacije u vremenskom i spektralne gustoće snage u frekvencijskom području.

Na slici 3.4. prikazan je linearni, vremenski nepromjenljivi sustav sa slučajnim procesom na ulazu, x(t) koji ima funkciju autokorelacije Rx(τ) i spektralnu gustoću snage Sx(ω) te slučajnim procesom na izlazu, y(t) s odgovarajućim veličinama Ry(τ) i Sy(ω).

linearnisustav

h(t)H(ω)

ulazx(t)

izlazy(t)

Rx(τ)Sx(ω)

Ry(τ)Sy(ω)

Slika 3.4. Linearni sustav s impulsnim odzivom h(t)

i frekvencijskim odzivom H(ω) Ako je impulsni odziv sustava h(t), onda je moguće odrediti signal na izlazu:

( ) ( ) ( )∫∞

∞−

−= uutxuhty d (3.29.a)

a signal na izlazu s vremenskim pomakom je:

( ) ( ) ( )∫∞

∞−

−+=+ vvtxvhty dττ (3.29.b)

Funkcija autokorelacije signala y(t) je:

54

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ∫ ∫∞

∞−

∞

∞−

−+−=+= vuvtxutxEvhuhtytyERy ddτττ

( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫∞

∞−

∞

∞−

−+= vuvuRvhuhR xy ddττ (3.30)

gdje je relacija 3.29.a) i 3.29.b) uvrštena odgovarajuće za y(t) i y(t+τ). Ovaj rezultat pokazuje da je funkcija autokorelacije signala na izlazu jednaka dvostrukoj konvoluciji impulsnog odziva sustava s funkcijom autokorelacije signala na ulazu ili u simboličnom obliku:

( ) ( ) ( ) ( )ττττ xy RhhR ⊗−⊗= Odgovarajući rezultat u frekvencijskom području slijedi ako se za obje strane jednakosti 3.30. odredi Fourierovu transformaciju u smislu relacije 3.22.a):

( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫ ∫∫∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−

−∞

∞−

− −+= vuvuRvhuhR jx

jy dddede ττττ ωτωτ

Uvede li se novu varijablu α = τ + u − v uz dα = dτ, moguće je ovu relaciju prikazati u obliku:

( ) ( ) ( ) ( ) vuRvhuhR jx

vjujjy dddeeede ααττ ωαωωωτ ∫∫∫∫

∞

∞−

−∞

∞−

−∞

∞−

∞

∞−

− =

Frekvencijski odziv sustava, H(ω) jednak je Fourierovoj transformaciji impulsnog odziva sustava, h(t):

( ) ( )∫∞

∞−

−= tthH tj de ωω (3.31)

pa je prethodnu relaciju moguće sažeti:

( ) ( ) ( )ωωω xy SHS 2= (3.32) Ovaj važan rezultat pokazuje da je spektralna gustoća snage signala na izlazu jednaka umnošku kvadrata amplitude frekvencijskog odziva sustava i spektralne gustoće snage signala na ulazu. Neka je bijeli šum napona ni(t) i srednje snage Ni na ulazu savršenog niskopropusnog filtra, a na izlazu je šum napona no(t) i srednje snage No (slika 3.5.a). Filtar ima frekvencijski odziv H(f) i graničnu (odreznu) frekvenciju ∆f (slika 3.5.b). Dvostrana spektralna gustoća snage bijelog šuma na ulazu je konstanta (relacija 3.26):

( ) fnfSni svakiza 2

0= (3.33)

Prema relaciji 3.32. spektralna gustoća snage šuma na izlazu je:

55

( ) ( ) ( )

∆>

∆<==

ff

ffnfSfHfS nino za 0

za 202 (3.34)

gdje su za H(f) uvrštene vrijednosti prema slici 3.5.b), a za Sni(f) je uvrštena relacija 3.33.

H(f)

ni(t) no(t)

Ni No

a)

H(f)

f−∆f ∆f0

1

b)

Slika 3.5. Prijenos bijelog šuma kroz savršeni niskopropusni filtar:

a) blok-shema; b) frekvencijski odziv filtra Snaga šuma na izlazu (relacija 3.26):

( ) ( ) 02 nffSfN noo ⋅∆=∆= (3.35) razmjerna je širini propusnog frekvencijskog pojasa savršenog filtra. Integratore se često rabi za detektiranje i demoduliranje digitalnih signala. Neka je napon bijelog šuma ni(t) narinut na ulaz savršenog integratora (slika 3.6). Na izlazu je napon šuma no(t) jednak vrijednosti integrala ulaznog signala u trenutku T.

( )∫ ′T

t0

d...ni(t) no(t)

Ni No

Slika 3.6. Prijenos bijelog šuma kroz savršeni integrator Frekvencijski odziv integratora je:

( ) ( )Tj

jH ω

ωω −−= e11 (3.36)

gdje je T vrijeme integriranja. Kvadrat iznosa ove relacije je:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )2

2

2

2

22*2 sin2sin4cos22e1e1

ffTTTHHH

TjTj

ππ

ωω

ωω

ωωωω

ωω

==−

=−−

==−

( ) ( ) 222 sin

=

fTfTTH

ππω (3.37)

gdje je ω = 2πf. Pretpostavi li se bijeli šum na ulazu sa Sni(ω) = n0/2, onda je snaga šuma na izlazu savršenog integratora (relacije 3.23. i 3.32):

56

( ) ( ) ( )2

dsin2

d2

02

020 TnfTfT

fTTnffHnNo =

== ∫∫

∞

∞−

∞

∞−

ππ

ππ

(3.38)

razmjerna vremenu integriranja. Pritom je vrijednost posljednjeg integrala određena zamjenom varijabli x = πfT uz dx = πTdf i pomoću tabličnog integrala:

∫ =

πx

xx dsin 2

U superheterodinskim uređajima redovito se promjenu frekvencije naviše ili naniže ostvaruje miješanjem ulaznog signala sa signalom lokalnog oscilatora. Na slici 3.7. prikazano je savršeno miješalo koje množi spomenute signale.

cos(ω0t+Θ)

n(t) u(t)

Slika 3.7. Prijenos bijelog šuma kroz savršeno miješalo Neka je n(t) signal bijelog, frekvencijski ograničenog Gaussovog šuma s varijancom, odnosno srednjom snagom σ2 = En2(t). Signal lokalnog oscilatora je cos(ω0t + Θ) gdje je faza Θ slučajna varijabla s jednolikom razdiobom u rasponu 0 < Θ < 2π i statistički neovisna o ulaznom signalu n(t). Signal na izlazu savršenog miješala je:

( ) ( ) ( )Θttntu += 0cos ω (3.39) Srednju snagu na izlazu miješala moguće je odrediti kao varijancu od u(t):

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ΘtEtnEΘttnEtuENo +=+== 022

0222 coscos ωω

( )2

dcos2

22

00

22 σω

πσ π

=+= ∫ ΘΘtNo (3.40)

Razabire se da razmatrano miješanje smanjuje srednju snagu šuma na polovinu. U ovom slučaju faktor ½ rezultat je usrednjavanja člana cos2(ω0t) u rasponu slučajne varijable. Ako se pretpostavi deterministički signal lokalnog oscilatora cos(ω0t) (bez slučajne faze), varijanca izlaznog signala je:

( ) ( ) ( ) ( )tttnEtuE 022

0222 coscos ωσω == (3.41)

Ovaj rezultat slijedi jer na član cos2(ω0t) ne djeluje operator očekivane vrijednosti budući da to više nije slučajna varijabla. (Osim toga izlazni signal u(t) više nije stacionaran pa nema funkciju autokorelacije ni spektralnu gustoću faze.) Varijanca je u ovom slučaju funkcija

57

vremena pa je jednaka trenutnoj snazi izlaznog signala. Vremenski srednja varijanca, odnosno vremenski srednja snaga na izlazu miješala je:

( ) ( )2

dcos2

d1 22

00

220

0

20 σωσ

πω ωπ

∫∫ === ttttuET

NT

o (3.42)

gdje je T = 1/f = 2π/ω0. Zapaža se da je jednaka srednja snaga na izlazu miješala neovisno o tome je li usrednjavanje izvršeno po slučajnoj fazi ili po vremenu. Primjer 3.3. Na izlazu savršenog miješala je signal ( ) ( ) tjtntx 0e ω= nastao množenjem napona šuma n(t) i napona kompleksnog eksponencijalnog signala. Ako je funkcija autokorelacije i spektralna gustoća snage signala šuma odgovarajuće Rn(τ) i Sn(ω), odrediti funkciju autokorelacije i spektralnu gustoću snage izlaznog signala x(t). Funkcija autokorelacije slučajnog procesa je (relacija 3.21):

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) τωτωτωω τττττ 0000 eeee* jn

jtjtjx RtntnEtntnEtxtxER =+=+=+= +−

Valja upozoriti da je x(t) još uvijek stacionarni proces jer ima odgovarajuću funkciju autokorelacije. Prema relaciji 3.22.a) spektralna gustoća snage je:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )0dede 00 ωωττττω τωωτω −=== ∫∫∞

∞−

−−∞

∞−

−n

jn

jxx SRRS

gdje je:

( ) ( )∫∞

∞−

−= ττω ωτ de jnn RS

pa razmatrano miješanje uzrokuje pomak frekvencije šuma.

Signal i šum se u radioprijamniku redovito obrađuje pojasno propusnim filtrom pa je tom slučaju primjereniji uskopojasni prikaz šuma. Neka je bijeli, Gaussov šum na ulazu savršenog pojasno propusnog filtra sa središnjom frekvencijom ω0 i širinom frekvencijskog pojasa ∆ω (slika 3.8.a). Ako je dvostrana spektralna gustoća snage šuma na ulazu n0/2, onda je spektralna gustoća snage šuma na izlazu, Sn(ω) prikazana na slici 3.8.b).

n(t)

a)

Sn(ω)

ω

∆ω ∆ω

0

n0/2

b)

bijelišum

ω0-ω0

Slika 3.8. Prijenos bijelog šuma kroz savršeni pojasno propusni filtar:

a) blok-shema; b) spektralna gustoća snage šuma na izlazu Uz uvjet da je širina frekvencijskog pojasa filtra puno manja u odnosu na njegovu središnju frekvenciju, ∆ω << ω0 moguće je signal šuma na izlazu filtra prikazati u obliku:

58

( ) ( ) ( ) ( ) ( )ttyttxtn 00 sincos ωω −= (3.43) gdje su x(t) i y(t) sporo promjenljivi (zbog male širine frekvencijskog pojasa) slučajni procesi. Ovu tvrdnju opravdava sklop kojim je moguće generirati x(t) i −y(t) (slika 3.9). Pritom je signal šuma s izlaza savršenog pojasno propusnog filtra, n(t) odvojeno pomiješan sa signalom 2cos(ω0t) i 2sin(ω0t):

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ttyttxtxtttyttxttn 000002

0 2sin2coscossin2cos2cos2 ωωωωωω −+=−= )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ttxttytyttytttxttn 0002

000 2sin2cossin2sincos2sin2 ωωωωωω ++−=−= Propuštanjem pomiješanih signala kroz niskopropusni filtar granične frekvencije fc = ∆ω/4π preostaje odgovarajuće samo član x(t) i y(t). Tako je signal šuma na izlazu ograničen na frekvencijski pojas ∆ω/2, odnosno to je šum u propusnom pojasu sa središnjom frekvencijom ω0 pomaknutom na ništicu. Signal x(t) je istofazna (engl. in-phase), a y(t) je kvadraturna (ortogonalna, engl. quadrature) komponenta šuma, n(t) pa se katkad relaciju 3.43. naziva kvadraturnim prikazom uskopojasnog šuma.

fc=∆ω/4π

fc=∆ω/4π

2cos(ω0t)

2sin(ω0t)

n(t)

x(t)

-y(t)

x(t)cos(ω0t)

-y(t)sin(ω0t)n(t)

Slika 3.9. Sklop za generiranje niskopropusnog iz pojasno propusnog šuma Kakva su ostala statistička svojstva slučajnih procesa x(t) i y(t)? Srednja vrijednost razmatranog signala šuma iščezava, En(t) = 0 pa je (relacija 3.43):

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0sincos 00 =−= ttyEttxEtnE ωω Ova jednakost je ispunjena jedino u slučaju kad je:

( ) ( ) 0== tyEtxE jer se funkcije cos(ω0t) i sin(ω0t) različito mijenjaju s vremenom. To znači da srednja vrijednost slučajnih procesa x(t) i y(t) iščezava. Funkcija autokorelacije razmatranog signala šuma s uvrštenom relacijom 3.43. je: ( ) ( ) ( ) =+= ττ tntnERn

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )( ) ( ) (( ))[ ] τωττωτωω ++−++−= ttyttxttyttxE 0000 sincossincos

59

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) −+−+= τωωττωωττ ttRttRR xyxn 0000 sincoscoscos

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )τωωττωωτ +++− ttRttR yyx 0000 sinsincossin gdje je Rxy(τ) = Ex(t)y(t + τ) i Ryx(τ) = Ey(t)x(t + τ) funkcija križne (poprečne) korelacije (engl. cross-correlation) za x(t) i y(t). Primjenom poznatih jednakosti za umnožak trigonometrijskih funkcija slijedi:

( ) ( ) ( ) ( )( )[ ] ( ) ( ) ( )( )[ ]−++−++= τωτωττωτωττ tRtRR xyxn 2sinsin212coscos

21

0000

(3.45)

( ) ( ) ( )( )[ ] ( ) ( ) ( )( )[ ]τωτωττωτωτ +−+++−− tRtR yyx 2coscos212sinsin

21

0000

Ako je razmatrani šum stacionarni proces, onda funkcija autokorelacije za n(t) mora zavisiti samo o τ i ne smije se mijenjati s t. Zato koeficijenti uz članove cos(ω0(2t + τ)) i sin(ω0(2t + τ)) moraju iščeznuti:

( ) ( )ττ yx RR = (3.46.a)

( ) ( )ττ yxxy RR −= (3.46.b) pa se relacija 3.45. sažima u oblik:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )τωττωττωττωττ 0000 sincossincos yxyxyxn RRRRR +=−= (3.47) Razabire se da signali n(t), x(t) i y(t) imaju jednaku varijancu jer je Rn(0) = Rx(0) = Ry(0). Funkciju autokorelacije razmatranog signala šuma, Rn(τ) moguće je izravno odrediti pomoću inverzne Fourierove transformacije spektralne gustoće snage, Sn(ω) koja je prikazana na slici 3.8. Funkcija autokorelacije Rn(τ) je realna, a spektralna gustoća snage Sn(ω) je simetrična u odnosu na ω = 0 pa je (relacija 3.22.b):

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ==== ∫∫∫∆+

∆−

∞

∞−

∞

∞−

2

2

00

0

dcos2

dcos21de

21 ωω

ωω

ωτ ωωτπ

ωωτωπ

ωωπ

τ nSSR nj

nn

( )τωτωπτ

τωωτωωπτ 0

000

0 cos2

sin2

sin2

sin2

⋅∆

=

∆

−−

∆

+=nn (3.48)

Usporedba relacija 3.47. i 3.48. otkriva da je:

( ) ( )

⋅∆

==2

sin0 τωπτ

ττ nRR yx (3.49.a)

( ) ( ) 0== ττ yxxy RR (3.49.b)

60

Relacija 3.49.b) iskazuje činjenicu da su signali x(t) i y(t) statistički neovisni. Konačno, moguće je odrediti spektralnu gustoću snage za x(t) i y(t) pomoću Fourierove transformacije funkcije autokorelacije (relacija 3.22.a):

( ) ( ) ( )

∆>

∆<=== ∫

∞

∞−

−

2za 0

2za de 0

ωω

ωωττωω ωτ

nRSS j

xyx (3.50)

gdje je za Rx(τ) uvrštena relacija 3.49.a), a za funkciju:

τω

τω

πτω

2

2sin

2 ∆

∆

⋅∆

Fourierova transformacija je:

∆>

∆<

2za 0

2za 1

ωω

ωω

Na slici 3.10. prikazana je spektralna gustoća snage za signale x(t) i y(t) koju je moguće promatrati kao spektralnu gustoću snage signala n(t) (slika 3.8.b) frekvencijski pomaknutu odgovarajuće naviše i naniže za vrijednost ω0 i propuštenu kroz niskopropusni filtar. Pritom je vršna vrijednost spektralne gustoće snage za x(t) i y(t) dvostruko veća od odgovarajuće vrijednosti za n(t).

Sx(ω)=Sy(ω)

ω-∆ω/2 ∆ω/20

n0

Slika 3.10. Spektralna gustoća snage za signale x(t) i y(t) 3.4. Osnovni prag detekcije Neka se u radiosustavu odašilje binarni signal u prisustvu uskopojasnog, bijelog, Gaussovog šuma. Primljeni signal, r(t) sadržavat će napon odaslanog signala, s(t) i napon šuma, n(t):

( ) ( ) ( )tntstr += (3.51) gdje za n(t) srednja vrijednost iščezava, a varijanca je σ2. Mogući valni oblik primljenog napona prikazan je na slici 3.11. Kad je odaslana binarna 1 napon signala je s(t) = u0, a za binarnu 0 napon signala je s(t) = 0. Obradom primljenog signala u prijamniku treba otkriti koji je binarni znak odaslan. U odsustvu šuma moguće je jednostavno uzorkovati primljeni signal i otkriti je li napon uzorka iznad ili ispod razine praga detekcije. U tom slučaju logičan

61

izbor napona praga je u0/2; kad je r(t) > u0/2 prijamnik će detektirati 1, a u slučaju kad je r(t) < u0/2 bit će detektirana 0. Ovakav postupak detekcije moguće je ostvariti sklopom za uzorkovanje i komparatorom.

s(t)+n(t)

t0

u0

u0/2

pragdetekcije

znak 1

znak 0

Slika 3.11. Napon ulaznog signala i šuma za osnovni prag detekcije Zbog šuma dodanog signalu napon uzorka ponekad može biti manji (veći) od praga detekcije za odaslanu binarnu 1 (0). Takvi slučajevi rezultirat će pogreškom detekcije; na tablici 3.1. navedeni su svi mogući rezultati detekcije binarnog signala.

Tablica 3.1. Mogući rezultati detekcije binarnog signala

odaslani odaslani signals(t)

primljeni signal0/2

detektirani detekcija

0 0 ne 0 ispravna

0 0 da 1 pogrešna

1 u0 da 1 ispravna

1 u0 ne 0 pogrešna

znak znak r(t) > u

Za odaslanu binarnu 1 pogreška detekcije nastaje ako je napon primljenog signala i šuma u trenutku uzorkovanja manji od razine praga. Ako je napon praga detekcije u0/2, vjerojatnost takvog događaja je:

( ) ( ) ( ) ∫∫∞−

−−∞

∞−

==+==2

2

)2()(

0)1(

022

0

d2

edu ur

re rrrftnutrPPπσ

σ

(3.52)

gdje su korištene relacije 3.1. i 3.5. te Gaussova funkcija gustoće vjerojatnosti (relacija 3.12.b). Budući da signal šuma n(t) ima Gaussovu razdiobu sa srednjom vrijednošću koja iščezava, primljeni signal r(t) također ima Gaussovu razdiobu, ali sa srednjom vrijednošću u0 kad je odaslana binarna 1. Uvođenjem nove nepoznanice:

20

2σrux −

=

moguće je relaciju 3.52. sažeti u standardni oblik:

62

∫∞

−=0

2

de1)1(

x

xe xP

π (3.53)

gdje je donja granica integrala:

20

022 σux = (3.54)

Određeni integral u relaciji 3.53. ima oblik komplementarne funkcije pogreške (engl. complementary error function):

( ) ∫∞

−=z

y yz de2erfc2

π (3.55)

Dostupne su približne relacije za izračunavanje vrijednosti ove funkcije. Konačni oblik relacije za vjerojatnost pogrešne detekcije odaslane binarne 1 je:

( )

==

20

0)1(

22erfc

21erfc

21

σ

uxPe (3.56)

Sličnim razmatranjem moguće je odrediti vjerojatnost pogrešne detekcije, u

slučaju odaslane binarne 0. Zbog simetričnosti koja je posljedica odabira napona praga detekcije u

)0(eP

0/2 vjerojatnost ovih pogreški je jednaka, Razabire se da vjerojatnost pogrešne detekcije zavisi o omjeru u

.)1()0(ee PP =

0/σ (relacija 3.56), odnosno o omjeru signala i šuma (SNR, engl. signal-to-noise ratio) jer je u0 maksimalna vrijednost napona signala, a σ je efektivna vrijednost napona šuma. Budući da se funkcija erfc(z) monotono smanjuje, veći omjer signala i šuma rezultira manjom vjerojatnošću pogrešne detekcije.

Na slici 3.12. prikazana je odgovarajuća funkcija gustoće vjerojatnosti za primljeni signal i šum u slučaju odaslane binarne 0 i 1. U prvom slučaju Gaussova krivulja je simetrična u odnosu na vrijednost r = 0, a u drugom slučaju u odnosu na vrijednost r = u0. Pritom je prag detekcije aritmetička sredina ovih vrijednosti, u0/2. Vjerojatnost pogrešne detekcije je ploština ispod dijela Gaussove krivulje koji je odgovarajuće veći ili manji od praga detekcije.

fr(r)

r0 u0/2 u0-u0 -u0/2 3u0/2 2u0

pragdetekcije

r(t)=u0+n(t)znak 1

r(t)=n(t)znak 0

Pe(0)Pe

(1)

Slika 3.12. Funkcija gustoće vjerojatnosti za primljeni signal i šum Primjer 3.4. Odrediti vjerojatnost pogreške za osnovni prag detekcije u zavisnosti o omjeru signala i šuma, u0/σ iskazanog u decibelima. U grafičkom prikazu za vjerojatnost pogreške koristiti logaritamsku skalu. Omjer napona signala i šuma iskazan u decibelima je:

63

=

σσ 00 log20

dBuu

pa, na primjer 6 dB odgovara omjeru:

995,110 2060 ==σu

Za ovu vrijednost omjera napona signala i šuma argument komplementarne funkcije pogreške je (relacija 3.54):

705,022

995,122 2

00 ===

σux

Vrijednost komplementarne funkcije pogreške moguće je odrediti pomoću približne relacije:

( )

≥+

≤+

−≈

−

71,2za 21

e132,1

96,0za 3

372,31erfc

2

2

2

zz

z

zz

z

zz

Prema relaciji 3.56. vjerojatnost pogreške je:

( ) ( ) 160,0320,021705,0erfc

21erfc

21

0)1( ==== xPe

Postupak je moguće ponoviti za ostale vrijednosti omjera signala i šuma (slika 3.13). Za velike vrijednosti omjera signala i šuma vjerojatnost pogrešne detekcije postaje iznimno mala. Praktično je ova vjerojatnost najčešće u rasponu od 10−5 do 10−8 što odgovara omjeru signala i šuma približno u rasponu od 18,5 dB do 21 dB.

0 5 10 15 20 2510-10

10-910-810-710-6

10-510-4

10-310-2

10-1

100

Pe(1)=Pe

(0)

u0/σdB

Slika 3.13. Zavisnost vjerojatnosti pogrešne detekcije o omjeru signala i šuma

64

3.5. Temperatura šuma i faktor šuma Istaknuto je da šum u radiosustavu uzrokuju vanjski izvori, ali ga također generiraju pasivne i aktivne sastavnice radiouređaja. Zato je nužno odrediti parametre koji opisuju svojstva u pogledu šuma komponenti poput pojačala, miješala, filtara ili prijenosnih linija, ali i širenje šuma kroz mrežu kaskadno spojenih komponenti. Ako izvor generira bijeli šum, odnosno šum s frekvencijski neovisnom spektralnom gustoćom snage (barem u promatranom frekvencijskom području), moguće ga je nadomjestiti izvorom termičkog šuma i opisati ekvivalentnom temperaturom šuma (engl. equivalent noise temperature). Na slici 3.14. prikazan je izvor bijelog šuma unutarnjeg otpora R koji na prilagođeno opterećenje otpora R prenosi snagu šuma N0.

izvorbijelog šuma

RN0

RTe

RN0

Slika 3.14. Ekvivalentna temperatura izvora bijelog šuma Razmatrani izvor šuma moguće je nadomjestiti otpornikom otpora R koji je na takvoj ekvivalentnoj temperaturi, Te da je snaga šuma prenesena opterećenju, N0 nepromijenjena:

kBNTe

0= (3.57)

Pomoću ekvivalentne temperature šuma moguće je opisati svojstva komponenti, sklopova i uređaja. Pritom je temperatura šuma Te ≥ 0 K, ali može biti manja ili veća od normirane fizikalne temperature T0 = 290 K. Valja upozoriti da relacija 3.57. pretpostavlja stalnu širinu frekvencijskog pojasa, B koja je, općenito, jednaka širini propusnog pojasa komponente ili sustava. Neka pojačalo sa šumom ima pojačanje snage G i frekvencijski propusni pojas B (slika 3.15.a). Pojačalo je prilagođeno na bešumni izvor i zaključeno prilagođenim opterećenjem. Ako je unutarnji otpor izvora, R na hipotetičnoj temperaturi Ts = 0 K, onda iščezava snaga šuma na ulazu pojačala, Ni = 0 pa snagu šuma na izlazu, No generira samo pojačalo.

pojačalopojačanja Gsa šumom

R R

Ni= 0 No

Ts= 0 K

bešumnopojačalo

pojačanja GR R

No= GkTeB

Te= No/(GkB)a) b)

Slika 3.15. a) Pojačalo sa šumom i bešumnim izvorom;

b) bešumno pojačalo s ulaznim otporom na temperaturi šuma Pobuđujući jednako, ali bešumno pojačalo otpornikom otpora R na ekvivalentnoj temperaturi šuma:

65

GkBNT o

e = (3.58)

snaga šuma na izlazu, No = GkTeB neće se promijeniti (slika 3.15.b). Pritom je snaga šuma na ulazu bešumnog pojačala Ni = kTeB pomnožena pojačanjem snage G. Valja spomenuti da je moguće ekvivalentni izvor šuma odrediti i u odnosu na izlaz sklopa. Pri izravnom načinu mjerenja ekvivalentne temperature šuma treba ispitivanu komponentu pobuditi izvorom šuma poznate snage i izmjeriti povećenje snage šuma na izlazu. Snaga termičkog šuma generiranog otpornikom nedostatne je razine za tu namjenu pa su dostupni aktivni izvori šuma. Najčešće su to generatori šuma s poluvodičkom ili vakuumskom diodom koji u određenom frekvencijskom području imaju umjerenu (baždarenu) snagu šuma na izlazu. Moguće ih je opisati ekvivalentnom temperaturom šuma, ali proizvođači najčešće navode omjer dodatnog šuma (ENR, engl. excess noise ratio):

−=

−=

0

0

0

0 log10log10dB T

TTN

NNENR gg (3.59)

gdje su Ng i Tg odgovarajuće snaga šuma i ekvivalentna temperatura generatora šuma, a N0 = kT0B i T0 = 290 K su odgovarajuće snaga šuma i temperatura pridružene pasivnom izvoru (otpornik prilagođenog otpora) na normiranoj temperaturi. Poluvodički generatori šuma imaju ENR najčešće u rasponu od 20 dB do 40 dB; to znači da je snaga šuma na izlazu takvih generatora 102 do 104 puta veća od snage termičkog šuma prilagođenog otpora na normiranoj temperaturi. Većina radiofrekvencijskih komponenti generira razmjerno nisku razinu šuma koju je izravno teško pouzdano mjeriti pa je prikladnija omjerna ili metoda Y faktora (slika 3.16). Pritom je na ulaz ispitivanog sklopa priključen jedan od dva otpornika prilagođenog otpora koji su na različitim temperaturama, T1 i T2.

ispitivanisklop

G, B, Te

N1N2

T1 (vruće)

T2 (hladno)

R

R

Slika 3.16. Postav za mjerenje Y faktora Neka je T1 (vruće) viša od temperature T2 (hladno) pa je ukupna snaga šuma na izlazu ispitivanog sklopa odgovarajuće:

BGkTBGkTN e+= 11 (3.60.a)

BGkTBGkTN e+= 22 (3.60.b) Prvi član na lijevoj strani jednakosti je snaga šuma koju uzrokuje izvor priključen na ulaz, a drugi član je snaga šuma koju generira ispitivani sklop. Ova dva izvora šuma su statistički neovisna, odnosno funkcija križne korelacije iščezava. Sustav jednadžbi (relacije 3.60.a) i 3.60.b) sadrži dvije nepoznanice: traženu ekvivalentnu temperaturu šuma, Te te umnožak

66

pojačanja snage i širine frekvencijskog pojasa, GB ispitivanog sklopa. Razmatrani Y faktor određen je omjerom ukupnih snaga šuma na izlazu:

12

1

2

1 ≥++

==e

e

TTTT

NNY (3.61)

i ne ovisi o umnošku GB, a nejednakost je posljedica pretpostavke T1 > T2. Relaciju je moguće riješiti za Te, ekvivalentnu temperaturu šuma ispitivanog sklopa:

121

−−

=Y

YTTTe (3.62)

Uputno je temperaturu šuma mjeriti uz što veći iznos Y faktora, odnosno što veću razliku između temperatura T1 i T2. Praktično, jedan izvor šuma može biti prilagođeni otpornik na sobnoj temperaturi, a drugi izvor šuma je na višoj ili nižoj temperaturi ovisno o tome je li ekvivalentna temperatura, Te veća ili manja od normirane temperature, T0. Generator šuma može biti izvor na višoj temperaturi, a prilagođeni otpornik uronjen u tekući dušik (77 K) ili tekući helij (4 K) izvor šuma na nižoj temperaturi. Osim ekvivalentnom temperaturom šuma svojstava komponenti, sklopova i uređaja moguće je opisati i faktorom šuma (engl. noise figure). To je mjera degradacije omjera snage signala i šuma (SNR, engl. signal-to-noise ratio) između ulaza i izlaza električne mreže. Kad su željeni signal i šum narinuti na ulaz bešumne električne mreže omjer signala i šuma bit će jednak i na izlazu jer su oba signala podjednako pojačana ili oslabljena prijenosom kroz mrežu. Ako je električna mreža sa šumom, omjer signala i šuma na izlazu bit će manji od omjera na ulazu pa je faktor šuma:

1≥=oo

ii

NSNSF (3.63)

gdje je Si i Ni odgovarajuće snaga signala i šuma na ulazu, a So i No je odgovarajuće snaga signala i šuma na izlazu. Pritom je izvor šuma na ulazu prilagođeni otpornik na normiranoj temperaturi T0 = 290 K, odnosno Ni = kT0B. Faktor šuma se najčešće iskazuje u decibelima, F/dB = 10logF. (Napomena: katkad se u engleskom jeziku brojčanu vrijednost omjera F naziva noise factor, a odgovarajuću vrijednost u decibelima noise figure.) Ekvivalentna temperatura šuma i faktor šuma su veličine koje opisuju isto svojstvo električne mreže. Neka električna mreža sa šumom ima dva pristupa, pojačanje snage G, širinu frekvencijskog pojasa B i ekvivalentnu temperaturu šuma Te (slika 3.17). Na ulaz ove mreže narinut je električni signal snage Si i šum snage Ni. Treba upozoriti da je izvor šuma na ulazu prilagođeni otpornik na normiranoj temperaturi pa je Ni = kT0B, kako je i pretpostavljeno pri određenju faktora šuma. Snaga signala na izlazu razmatrane mreže je So = GSi, a snaga šuma na izlazu je zbroj pojačane snage šuma s ulaza i snage šuma generiranog u mreži, No = kGB(T0 + Te). Uvrštavanjem ovih rezultata u relaciju 3.63. slijedi faktor šuma:

( ) 110

0

0

≥+=+

=TT

GSTTkGB

BkTSF e

i

ei (3.64)

ili ekvivalentna temperatura šuma:

67

( ) 01 TFTe −= (3.65) Za bešumnu mrežu ekvivalentna temperatura šuma iščezava, a faktor šuma je 1 ili 0 dB. Iako su ove veličine istoznačne uobičajeno je za pojačala i miješala navesti faktor šuma, a za antene i prijamnike temperaturu šuma.

mrežasa šumomG, B, Te

Si

T0= 290 K

RR

Pi= Si+ NiNi= kT0B

Po= So+ No

Slika 3.17. Zavisnost temperature šuma i faktora šuma električne mreže Označi li se dodana snaga šuma razmatrane mreže s Nadd (referirano na ulaz), onda je snaga šuma na izlazu:

( )addio NNGN += pa je pomoću relacije 3.63. moguće faktor šuma prikazati u obliku:

( )[ ] i

add

addii

ii

NN

NNGGSNSF +=

+= 1 (3.66)

Šum na ulazu električne mreže i dodani šum su statistički neovisni pa faktor šuma bjelodano zavisi o odabranoj vrijednosti snage šuma na ulazu; dogovorna vrijednost je Ni = kT0B. Prijenosne linije su neizbježne sastavnice radiokomunikacijskih uređaja pa je nužno opisati njihova svojstva u pogledu šuma. Neka je prijenosna linija s gubicima, karakteristične impedancije Z0 = R, na fizikalnoj temperaturi T (slika 3.18). Ako je na ulazu linije otpornik prilagođenog otpora R na temperaturi T, onda je cijela mreža termički uravnotežena pa je raspoloživa snaga šuma na izlazu linije No = kTB.

R

T

L, T, Z0= R

Ni= kTB No= kTB

Slika 3.18. Faktor šuma linije s gubicima Snagu šuma na izlazu linije moguće je promatrati kao zbroj snage šuma kojeg generira prilagođeni otpornik na ulazu, a prenosi linija i snage dodanog šuma generiranog na gubicima prijenosne linije. Označi li se dodana snaga šuma razmatrane linije s Nadd (referirano na ulaz), onda je snaga šuma na izlazu:

68

( )addo NkTBGkTBN +== (3.67) gdje je G < 1 pojačanje snage prijenosne linije. Rješavanjem ove jednadžbe za Nadd slijedi:

( )kTBLkTBG

GNadd 11−=

−= (3.68)

gdje je L = 1/G > 1 faktor gubitka snage (atenuacija) prijenosne linije. Usporedba s relacijom 3.57. pokazuje da je ekvivalentna temperatura šuma linije s gubicima:

( )TLkB

NT adde 1−== (3.69)

a faktor šuma je (relacija 3.64):

( )00

111TTL

TTF e −+=+= (3.70)

Za prijenosnu liniju bez gubitaka, L = 1 pa je temperatura šuma Te = 0 K i faktor šuma F = 1 (0 dB). To je očekivani rezultat jer komponente bez gubitaka ne generiraju termički šum. Ako je prijenosna linija s gubicima na normiranoj temperaturi, T0 = 290 K, onda je faktor šuma jednak faktoru gubitka snage prijenosne linije, F = L. Ove rezultate moguće je primijeniti na sve pasivne komponente s gubicima. Primjerice atenuator s atenuacijom 6 dB na sobnoj temperaturi ima jednaki faktor šuma, F = 6 dB. Naravno, na višoj temperaturi faktor šuma će biti veći. Treba podsjetiti da je razmatranje provedeno za prijenosnu liniju s prilagođenom impedancijom na ulazu i izlazu. Takav savršeni slučaj je iznimka, a stvarne mikrovalne mreže su najčešće s neprilagođenim pristupima pa u razmatranje njihovih svojstava u odnosu na šum valja uključiti raspršne parametre. Radiouređaj sadrži više kaskadno spojenih komponenti, na primjer filtara, pojačala, miješala i prijenosnih linija. Nameće se pitanje kako svojstva u pogledu šuma pojedinih komponenti utječu na cjelinu. Neka je za dvije kaskadno spojene električne mreže zadano odgovarajuće pojačanje snage, faktor šuma i temperatura šuma, G1, F1, Te1 i G2, F2, Te2 (slika 3.19.a). Snaga šuma na ulazu ovog kaskadnog spoja je Ni = kT0B u skladu s određenjem faktora šuma. Nadomjesti li se ove dvije mreže jednom s pojačanjem snage G1G2, treba odrediti ukupni faktor šuma, F i ekvivalentnu temperaturu šuma, Te (slika 3.19.b).

G1F1Te1

G2F2Te2

Ni= kT0B N1 No

a)

G1G2FTe

Ni= kT0B No

b)

Slika 3.19. Faktor šuma i ekvivalentna temperatura šuma: a) dvije kaskadno spojene mreže; b) njihove nadomjesne mreže

Pomoću odgovarajuće ekvivalentne temperature šuma moguće je iskazati snagu šuma na izlazu prvog stupnja razmatrane mreže:

BkTGBkTGN e11011 += (3.71)

69

i snagu šuma na izlazu drugog stupnja razmatrane mreže:

++=+=

1

210212212 G

TTTkBGGBkTGNGN eeeo (3.72)

Za nadomjesnu mrežu (slika 3.19.b) snaga šuma na izlazu je:

( )021 TTkBGGN eo += (3.73) Izjednačavanjem relacija 3.72. i 3.73. slijedi ekvivalentna temperatura šuma nadomjesne mreže:

1

21 G

TTT eee += (3.74)

pa je ukupni faktor šuma nadomjesne mreže (relacija 3.64):

1

21

1G

FFF −+= (3.75)

Općenito, za n kaskadno spojenih mreža ukupna ekvivalentna temperatura šuma i ukupni faktor šuma je odgovarajuće:

12121

3

1

21

−⋅⋅++++=

n

eneeee GGG

TGG

TGTTT

KK (3.76)

12121

3

1

21

111

−⋅⋅−

++−

+−

+=n

n

GGGF

GGF

GFFF

KK (3.77)

Razabire se da ulazni stupnjevi presudno utječu na ukupna svojstva radiouređaja u pogledu šuma; doprinos izlaznih stupnjeva je zanemariv jer se dijeli umnoškom pojačanja prethodnih stupnjeva. Ako su potrebna dobra svojstva u pogledu šuma, primjerice radioprijamnika, djelotvorno je odabrati prvi (katkad i drugi) stupanj prijamnika s malim faktorom šuma i primjerenim pojačanjem. Primjer 3.5. Odrediti ukupni faktor šuma ulaznog dijela (engl. front end) radioprijamnika koji sadrži niskošumno pojačalo s pojačanjem snage 10 dB i faktorom šuma 2 dB, pojasno propusni filtar s faktorom gubitka snage 1 dB te miješalo s faktorom gubitka snage 3 dB i faktorom šuma 4 dB (slika 3.20). Ako je snaga šuma na ulazu razmatranog dijela prijamnika Ni = kTaB gdje je ekvivalentna temperatura šuma prijamne antene Ta = 15 K, odrediti snagu šuma na izlazu iskazanu u dBm. Kolika je dvostrana spektralna gustoća snage šuma na izlazu? Ako je minimalni omjer snage signala i šuma na izlazu razmatranog dijela prijamnika 20 dB, koliki je najmanji napon signala na ulazu? Pretpostaviti da je uređaj na normiranoj temperaturi T0, sve impedancije su 50 Ω i širina propusnog pojasa je 10 MHz. Brojčana vrijednost veličina iskazanih u decibelima je:

70

58,1dB 210dB 10

1

1

====

FG

26,1dB 1

79,0dB 1

2

2

====−=−=

LFLG

2,51dB 4F

0,50dB 3

3

3

===−=G

miješalo

pojasnopropusni

filtarniskošumno

pojačalo

Si, Ni So, No

G1 = 10 dBF1 = 2 dB L2 = 1 dB L3 = 3 dB

F3 = 4 dB

Slika 3.20. Blok-shema ulaznog dijela radioprijamnika za primjer 3.5. Ukupni faktor šuma razmatranog dijela prijamnika je (relacija 3.77):

79,010151,2

10126,158,111

21

3

1

21 ⋅

−+

−+=

−+

−+=

GGF

GFFF

dB 55,280,1 ==F

Snagu šuma na izlazu razmatranog dijela prijamnika najjednostavnije je odrediti pomoću ukupne ekvivalentne temperature šuma (relacija 3.65):

( ) ( ) K232290180,11 0 =−=−= TFTe Ukupno pojačanje je 95,350,079,010321 =⋅⋅== GGGG pa je snaga šuma na izlazu:

( ) ( ) 723 101232151038,195,3 ⋅+⋅⋅=+= −BTTGkN eao

m13 dB 7,98W 1035,1 −=⋅= −

oN Dvostrana spektralna gustoća snage šuma na izlazu u propusnom pojasu je (relacija 3.26):

( ) HzW 1075,61021035,1

221

7

13−

−

⋅=⋅⋅

==B

NS on ω

Za omjer signala i šuma na izlazu 20 dB = 100 snaga signala na ulazu je:

95,31035,1100

13−⋅===

GN

NS

GSS o

o

ooi

m

12 dB 7,84W 1042,3 −=⋅= −iS

71

Za mrežu s impedancijom 50 Ω ova snaga odgovara efektivnoj vrijednosti napona ulaznog signala:

µV 1,131042,350 120 =⋅⋅== −

ii SZU (Napomena: Pokuša li se odrediti snagu šuma na izlazu pomoću faktora šuma slijedi:

W 1047,195,380,1101151038,1 14723 −− ⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅===

= BFGkTFGN

SSFNN ai

i

oio

što je netočan rezultat. Neslaganje s prije dobivenim rezultatom uzrokuje pri određenju faktora šuma pretpostavljena snaga šuma na ulazu kT0B, a u ovom slučaju snaga šuma na ulazu je kTaB uz Ta = 15 K.)

3.6. Dinamičko područje i intermodulacijsko izobličenje Savršena linearna komponenta ili mreža je ona kod koje je odziv na izlazu uvijek točno razmjeran ulaznoj pobudi. Stvarne radiofrekvencijske komponente i mreže nisu linearne u navedenom smislu jer se električnom signalu niskih razina pridodaju učini šuma, a električnom signalu visokih razina učini izobličenja. Ovi učini uspostavljaju granice raspona stvarne snage signala ili dinamičko područje (engl. dynamic range) u kojem određena komponenta ili mreža obrađuje signal na željeni način. Napon ui i uo odgovarajuće je na ulazu i izlazu nelinearne električne mreže. Zavisnost odziva o pobudi nelinearnog kruga moguće je razviti u Taylorov red:

K++++= 33

2210 iiio uauauaau (3.78)

gdje su koeficijenti uz konstantni, linearni, kvadratni i kubni član odgovarajuće:

( )00 oua = (3.79.a)

01 d

d

=

=iui

o

uua (3.79.b)

02

2

2 dd

=

=iui

o

uua (3.79.c)

03

3

3 dd

=

=iui

o

uua (3.79.d)

Nelinearnom mrežom je moguće ostvariti različite funkcije ovisno o dominantnom članu u redu potencija (relacija 3.78). Primjerice ako je samo a0 ≠ 0, krug je pretvornik izmjeničnog signala u istosmjerni napon (detektor ili ispravljač); ako je samo a1 ≠ 0, mreža je linearni

72

atenuator (a0 < 0) ili linearno pojačalo (a0 > 0); ako je samo a2 ≠ 0, mreža ostvaruje miješanje i ostale pretvorbe frekvencije signala. Stvarni sklopovi su opisani redom potencija koji sadrži više članova pa nastaje kombinacija nekoliko spomenutih funkcija. Neka je na ulaz nelinearne mreže narinut sinusoidalni signal kutne frekvencije ω0:

( )tUui 00 cos ω= (3.80) pa je napon na izlazu (relacija 3.78):

( ) ( ) ( ) =++++= KtUatUatUaauo 033

03022

020010 coscoscos ωωω (3.81)

( ) ( ) ( ) K+++

++

+= tUatUatUaUaUaa 0

3030

2020

30301

2020 3cos

412cos

21cos

43

21 ωωω

Pritom su korištene poznate trigonometrijske jednakosti: cos2α = (1 + cos2α)/2, cos3α = (cos3α + 3cosα)/4, cosα·cosβ = [cos(α − β) + cos(α + β)]/2. Naponsko pojačanje komponente signala kutne frekvencije ω0 je (relacija 3.81):

( )

( )2031

0

3034

301

43

0

0

UaaU

UaUauuG

i

ou +=

+== ω

ω

(3.82)

gdje su zadržani članovi reda samo do kubnog. Naponsko pojačanje je prema očekivanju jednako koeficijentu a1 uz linearni član, ali je razmjerno i umnošku koeficijenta a3 uz kubni član i kvadrata amplitude signala na ulazu. Kod stvarnih pojačala koeficijent a3 je najčešće negativan pa se pojačanje smanjuje za velike vrijednosti U0. Smanjenje pojačanja (engl. gain compression) ili zasićenje (engl. saturation) je često posljedica ograničenja trenutnog napona na izlazu razinom napona napajanja.

Na slici 3.21. prikazana je zavisnost snage signala na izlazu o snazi signala na ulazu nelinearnog pojačala. Naravno, radi se o komponenti signala na izlazu čija je frekvencija jednaka frekvenciji ulaznog signala.

-40 -30 -20 -10 0 10 20-30

-20

-10

0

10

20

1dB

Pi/dBm

Po/dBm

nagib

1

P1(ref. na ulaz)

P1(ref. na izlaz)

točka smanjenjapojačanja za 1 dB

Slika 3.21. Smanjenje pojačanja nelinearnog pojačala

73

Za savršeno pojačalo razmatrana zavisnost prikazana je iscrtkano; to je pravac s jediničnim nagibom. Stvarno pojačalo je linearno u ograničenom rasponu snaga, a za veće snage signala na ulazu nastupa zasićenje, odnosno smanjenje pojačanja. Točka smanjenja pojačanja za 1 dB (engl. 1 dB compression point) je razina snage signala na ulazu ili izlazu, P1 pri kojoj je pojačanje snage manje za 1 dB od pojačanja savršenog pojačala. Veličinu P1 se za pojačala načešće navodi u odnosu na izlaz, a za miješala u odnosu na ulaz. Treba upozoriti da se dio sinusoidalnog signala kutne frekvencije ω0 (ton) s ulaza nelinearne mreže pretvara u komponente različite frekvencije na izlazu (relacija 3.81), primjerice istosmjernu komponentu te komponentu s frekvencijom nω0 za n = 2, 3, ... (n-ti harmonik). Najčešće su sve komponente frekvencije različite od osnovne izvan propusnog frekvencijskog pojasa pojačala pa ne interferiraju sa željenim signalom. Ako signal na ulazu sadrži više komponenti bliskih frekvencija, nastupaju dodatni učini.

Neka je signal na ulazu nelinearne mreže dvotonski, odnosno s dvije sinusoidalne komponente jednake amplitude i bliske frekvencije, ω1 ≈ ω2:

( ) ( )[ ]ttUui 210 coscos ωω += (3.83) Napon na izlazu razmatrane mreže je (relacija 3.78):

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] +++++= 221

20221010 coscoscoscos ttUattUaauo ωωωω

( ) ( )[ ] =+++ K3

21303 coscos ttUa ωω

( ) ( ) ( )[ ]+++++= tUatUatUaa 12022011010 2cos1

21coscos ωωω

( )[ ] ( )( ) (( ) +++−+++ tUatUatUa 2120221

2022

202 coscos2cos1

21 ωωωωω )

( ) ( ) ( ) ( ) +

++

++ ttUattUa 22

30311

303 3cos

41cos

433cos

41cos

43 ωωωω

( ) ( )( ) ( )( ) +

++−++ tttUa 21212

303 2cos

432cos

43cos

23 ωωωωω

( ) ( )( ) ( )( ) K+

++−++ tttUa 12121

303 2cos

432cos

43cos

23 ωωωωω (3.84)

Pritom su korištene iste trigonometrijske jednakosti kao u relaciji 3.81. Razabire se da u ovom slučaju signal na izlazu ima spektar s komponentama na frekvenciji mω1 + nω2 za m = 0, ±1, ±2, ... i n = 0, ±1, ±2, ..., odnosno s komponentama (|m| + |n|)-tog reda. Osim već spomenutih komponenti na izlazu sada postoje i intermodulacijske komponente (engl. intermodulation products); njihova je frekvencija jednaka nekoj kombinaciji frekvencija signala na ulazu. Na primjer kvadratni član u relaciji 3.84. pridonosi istosmjernoj komponenti, uzrokuje druge harmonike 2ω1 i 2ω2 te intermodulacijske komponente drugog reda ω1 − ω2 i ω1 + ω2. Kubni član uzrokuje treće harmonike 3ω1 i 3ω2 te intermodulacijske komponente trećeg reda 2ω1 − ω2, 2ω1 + ω2, 2ω2 − ω1 i 2ω2 + ω1. Na slici 3.22. prikazan je spektar signala na izlazu razmatrane mreže uz pretpostavku da je za signale na ulazu ω1 < ω2. Većina komponenti ima frekvenciju znatno različitu od frekvencije dva osnovna tona pa ih je razmjerno lako otkloniti filtriranjem. Samo dvije intermodulacijske komponente trećeg reda, 2ω1 − ω2 i 2ω2 − ω1 imaju frekvenciju u okolišu frekvencije signala na ulazu, ω1 i ω2 pa ih

74

praktično nije moguće otkloniti iz propusnog pojasa pojačala. Intermodulacijske komponente u propusnom pojasu uzrokuju izobličenje signala na izlazu.

ω2-ω1 ω1 ω2ω2+ω1

2ω1 2ω22ω1-ω2 2ω2-ω1 2ω1+ω2

3ω1 3ω2

2ω2+ω1

ω0

U

Slika 3.22. Spektar dvotonskog signala na izlazu nelinearne mreže Amplituda intermodulacijske komponente trećeg reda razmjerna je kubu amplitude signala na ulazu nelinearne mreže (relacija 3.84). Zato grafički prikaz zavisnosti snage komponente prvog i trećeg reda o snazi signala na ulazu ima odgovarajuće nagib 1 i nagib 3 ako su snage iskazane u decibelima (slika 3.23). Pritom je niska razina snage dvotonskog signala na ulazu razmatrane mreže. Na oba grafička prikaza nastupa smanjenje pojačanja za više razine snage signala na ulazu. Pravci povučeni početnim linearnim dijelom ovih grafova (iscrtkano na slici 2.23) se sijeku zbog različitih nagiba. Presječna točka trećeg reda (engl. third-order intercept point) je razina snage signala na ulazu ili izlazu, P3 pri kojoj je jednaka snaga komponente prvog i trećeg reda na izlazu. Veličinu P3 se za pojačala načešće navodi u odnosu na izlaz, a za miješala u odnosu na ulaz. Presječna točka trećeg reda je, općenito, na višoj razini snage od točke smanjenja pojačanja za 1 dB. Brojna pojačala ostvaruju P3 za 12 dB do 15 dB veći od P1.

-60 -50 -40 -30 -20 -10 0 10 20Pi/dBm

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

Po/dBm

nagib

1

nagi

b 3

1dB

P1(ref. na izlaz)

P3(ref. na izlaz)

P1(ref. na ulaz)

P3(ref. na ulaz)

presječnatočka

Slika 3.23. Presječna točka trećeg reda nelinearnog pojačala Normalizirana snaga na izlazu razmatrane mreže željenog signala kutne frekvencije ω1 i intermodulacijske komponente trećeg reda kutne frekvencije 2ω1 − ω2 je odgovarajuće (relacija 3.84):

75

20

212

11

UaP =ω (3.85)

60

23

23032 32

943

21

21UaUaP =

=−ωω (3.86)

U presječnoj točki trećeg reda ove dvije snage su jednake pa izjednačavanjem relacija slijedi:

623

221 32

921

IPIP UaUa =

gdje je U0 = UIP maksimalna vrijednost napona signala na ulazu za presječnu točku:

3

1

34aaU IP = (3.87)

Uvrštavanje ove vrijednosti napona u relaciju 3.85. (ili u relaciju 3.86) daje presječnu točku trećeg reda u odnosu na izlaz razmatrane mreže:

3

3122

13 32

21

01 a

aUaPP IPUU IP===

=ω (3.88)

Za presječnu točku trećeg reda u odnosu na ulaz treba relaciju 3.88. podijeliti pojačanjem snage razmatrane mreže. U najširem smislu dinamičko područje je raspon razina za koje sklop ili sustav ima željene značajke. Za pojačalo snage to može biti područje snaga koje je na niskoj razini ograničeno snagom šuma, a na visokoj razini točkom smanjenja pojačanja za 1 dB. To je u osnovi područje linearnog rada pojačala ili linearno dinamičko područje (DRl, engl. linear dynamic range, slika 3.24).

-150 -120 -90 -60 -30 0 30 60 Pi/dBm

-120

-90

-60

-30

0

30

60

Po/dBm

razinašuma

P1

P1 P3

P3

1dB

DR

f

DR

l

Slika 3.24. Linearno i bezparazitno dinamičko područje

76

Linearno dinamičko područje jednako je omjeru snage za koju nastupa smanjenje pojačanja za 1 dB i snage šuma u odnosu na izlaz sklopa:

ol N

PDR 1= (3.89)

Iskazano u decibelima je:

ol NPDR

−= 1dB (3.90)

gdje su P1 i No u dB ili dBm.

Za niskošumna pojačala ili miješala dinamičko područje je na niskoj razini ograničeno snagom šuma, a na visokoj razini snagom pri kojoj intermodulacijsko izobličenje postaje neprihvatljivo. U tom rasponu snaga neželjene komponente u spektru signala na izlazu su minimalne pa je to dinamičko područje bez parazitinih komponenti (DRf, engl. spurious--free dynamic range, slika 3.24). Bezparazitno dinamičko područje jednako je omjeru snage željenog signala kutne frekvencije ω1 i snage intermodulacijske komponente trećeg reda kutne frekvencije 2ω1 − ω2 u odnosu na izlaz sklopa:

oNP

f PP

DR=−

−

=212

21

1

2ωω

ωω

ω (3.91)

Pritom je snaga intermodulacijske komponente trećeg reda, P2ω1−ω2 jednaka snazi šuma na izlazu sklopa, No. Pomoću relacija 3.88. i 3.85. moguće je prikazati zavisnost snage intermodulacijske komponente trećeg reda o presječnoj točki, P3 i snazi željenog signala, Pω1:

( )( )2

3

3

23

61

60

616

023

21

21

94

81

329

PP

aa

UaUaP ωωω ===− (3.92)

Ova relacija bjelodano pokazuje da je snaga intermodulacijske komponente trećeg reda razmjerna kubu snage željenog signala. Rješavanjem jednadžbe 3.92. za Pω1 i uvrštavanjem rezultata u relaciju 3.91. slijedi za dinamičko područje bez parazitnih komponenti:

32

3

2212

21

1

==

=−−

oNP

f NP

PP

DRoωω

ωω

ω (3.93)

ili iskazano u decibelima:

( of NP

DR−= 33

2dB

) (3.94)

gdje su P3 i No u dB ili dBm. Valja upozoriti da je umjesto snage šuma kao donju granicu dinamičkog područja radioprijamnika primjerenije odrediti najmanju razinu snage koju je moguće pouzdano detektirati (osjetljivost) jer ona zavisi i o ostalim značajkama sustava, primjerice o vrsti primijenjene modulacije i kodiranja, omjeru signala i šuma, itd. Ako je naveden omjer signala i šuma na izlazu razmatrane mreže, moguće ga je dodati snazi šuma pri određivanju dinamičkog područja bez parazitnih komponenti. Iako su izvedene relacije za

77

intermodulacijsku komponentu trećeg reda s kutnom frekvencijom 2ω1 − ω2 isto vrijedi i za komponentu s kutnom frekvencijom 2ω2 − ω1. Primjer 3.6. Radioprijamnik ima pojačanje snage 40 dB i faktor šuma 7 dB, a točka smanjenja pojačanja za 1 dB je 25 dBm (referirano na izlaz) i presječna točka trećeg reda je 35 dBm (referirano na izlaz). Ako je na ulaz prijamnika priključena antena s ekvivalentnom temperaturom šuma 150 K, a najmanji omjer signala i šuma na izlazu je 10 dB, odrediti linearno i bezparazitno dinamičko područje prijamnika. Pretpostaviti da je propusni pojas prijamnika 100 MHz. Ekvivalentna temperatura šuma je (relacija 3.65):

( ) ( ) K9,1162290101,51 0 =−=−= TFTe pa je snaga šuma na izlazu prijamnika:

( ) ( )9,1162150101038,110 8234 +⋅⋅⋅=+= −eAo TTGkBN

m

8 dB 4,47W 1081,1 −=⋅= −oN

Linearno dinamičko područje je (relacija 3.90):

( ) dB 4,724,47251 =−−=−= ol NPDR Prema relaciji 3.94. i uz dodani SNR snazi šuma na izlazu dinamičko područje bez parazitnih komponenti je:

( )[ ] ( ) dB 3,48104,473532

32

3 =−+=+−= SNRNPDR of

Zapaža se da je linearno dinamičko područje prijamnika znatno veće od bezparazitnog dinamičkog područja, DRl >> DRf.

Kao i u slučaju faktora šuma kaskadno spojene radiofrekvencijske komponente degradiraju ukupnu presječnu točku trećeg reda. Ali za razliku od slučajnog signala šuma intermodulacijske komponente su deterministički signali pa im se zbrajaju naponi. Neka je za dvije kaskadno spojene električne mreže zadano odgovarajuće pojačanje snage i presječna točka trećeg reda, G1, i G3P′ 2, (slika 3.25.a). Na ulazu ovog kaskadnog spoja su dva sinusoidalna signala jednake amplitude i bliskih frekvencija, ω

3P ′′

1 i ω2. Nadomjesti li se ove dvije mreže jednom s pojačanjem snage G1G2, treba odrediti ukupnu presječnu točku trećeg reda, P3 (slika 3.25.b). Snaga intermodulacijske komponente trećeg reda na izlazu prvog stupnja razmatrane mreže je (relacija 3.92):

( )( )2

3

3

21

21 PP

P′

′=′ −

ωωω (3.95)

gdje je snaga željenog signala na izlazu prvog stupnja. Efektivna vrijednost napona pridružena ovoj snazi je:

1ωP′

78

( )3

03

0221

2121 PZP

ZPU′

′=′=′ −−

ωωωωω (3.96)

gdje je Z0 ulazno-izlazna impedancija (realna) kaskadno spojenih mreža.

G1P3'

G2P3"

G1G2P3

ω1 ω2

U ', P ' U", P"

a) b)

Slika 3.25. Presječna točka trećeg reda: a) dvije kaskadno spojene mreže; b) njihove nadomjesne mreže

Napon intermodulacijske komponente trećeg reda na izlazu drugog stupnja razmatrane

mreže jednak je zbroju napona odgovarajuće komponente na izlazu drugog stupnja generirane njegovom nelinearnošću i napona odgovarajuće komponente na izlazu prvog stupnja pomnožene naponskim pojačanjem drugog stupnja:

( ) ( )3

03

3

03

22

11

21 PZP

PZPG

U′′

′′+

′

′=′′ −

ωωωω

Snaga željenog signala na izlazu drugog stupnja je 121 ωω PGP ′=′′ pa je prethodnu relaciju moguće prikazati u obliku:

( ) 03

3322 121

11 ZPPPG

U ωωω ′′

′′

+′

=′′ − (3.97)

Valja upozoriti da je to efektivna vrijednost napona intermodulacijske komponente trećeg reda na izlazu drugog stupnja u najnepovoljnijem slučaju jer je pretpostavljen jednaki fazni zakret napona koji se zbrajaju. Općenito, faza intermodulacijske komponente generirane nelinearnošću odgovarajuće prvog i drugog stupnja nije jednaka pa se naponi ovih komponenti na izlazu drugog stupnja mogu djelomično poništavati.

Ukupna snaga intermodulacijske komponente trećeg reda na izlazu drugog stupnja razmatrane mreže u najnepovoljnijem slučaju je:

( ) ( ) ( )2

3

33

2

3320

22

21

1

21

21

11PP

PPPGZ

UP ω

ωωω

ωω

′′=′′

′′

+′

=′′

=′′ −− (3.98)

gdje je uvrštena relacija 3.97, a dobiveni izraz izjednačen s relacijom 3.92. Prema posljednjoj jednakosti u prethodnoj relaciji ukupna presječna točka trećeg reda dvije kaskadno spojene mreže je:

1

3323

11−

′′

+′

=PPG

P (3.99)

79

U graničnom slučaju kad nelinearnost drugog stupnja iščezava, ∞→′′3P ukupna presječna točka trećeg reda jednaka je odgovarajućoj presječnoj točki prvog stupnja pomnoženoj pojačanjem snage drugog stupnja, 323 PGP ′= . Ovaj rezultat se rabi i za pretvorbu presječne točke trećeg reda referirane na ulaz u vrijednost referiranu na izlaz mreže. Općenito, za n kaskadno spojenih mreža ukupna presječna točka trećeg reda u odnosu na izlaz, P3 je:

( ) ( ) ( ) ( )nnnnn PPGPGGPGGP 3

13

233

1323

11111+++

⋅⋅+

⋅⋅= −K

KK (3.100)

gdje je Gi+1 za i = 1, 2, ... (n−1) pojačanje snage (i+1)-tog stupnja, a za i = 1, 2, ... n je presječna točka trećeg reda i-tog stupnja referirana na izlaz. Linearnost kaskadno spojenih mreža zavisi o linearnosti i pojačanju snage svake komponente. Relacija 3.100. ima oblik jednadžbe za otpor paralelno spojenih otpornika. Zato nije moguće kaskadnim spajanjem nove komponente poboljšati postojeću linearnost mreže. Ako jedna od kaskadno spojenih komponenti ima znatno nižu presječnu točku trećeg reda, ona će presudno utjecati na ukupnu presječnu točku. Razborito je približno izjednačiti presječne točke kaskadno spojenih komponenti.

( )iP3

Primjer 3.7. Niskošumno pojačalo s pojačanjem snage 20 dB i presječnom točkom trećeg reda 22 dBm (referirano na izlaz) kaskadno je spojeno s miješalom koje ima faktor gubitka snage 6 dB i presječnu točku trećeg reda 13 dBm (referirano na ulaz). Odrediti ukupnu presječnu točku trećeg reda ovog sklopa (slika 3.26).

G, P´3 L, P˝3

Slika 3.26. Blok-shema sklopa za primjer 3.7. Za miješalo je navedena presječna točka trećeg reda u odnosu na ulaz pa treba odrediti vrijednost u osnosu na izlaz:

mmm2m3 dB 7dB 6dB 13dB 13dB 13 =−=−=+=′′ LGP Brojčana vrijednost veličina iskazanih u decibelima je:

mW 5,158dB 22P100dB 20

m3

1

==′==G

mW 0,5dB 7P

0,25dB 6

m3

2

==′′=−=−= LG

Ukupnu presječnu točku kaskadno spojenih komponenti dominantno određuje znatno niža presječna točka miješala (relacija 3.99):

80

11

3323 0,5

15,15825,0

111 −−

+

⋅=

′′

+′

=PPG

P

m3 dB 6,5mW 44,4 ==P

Intermodulacijske komponente osim aktivnim sklopovima mogu biti generirane nelinearnim učinima pasivnih sastavnica radiosustava, na primjer u konektorima, kabelima, antenama i često na spoju dva metala. Ovaj efekt se naziva pasivnom intermodulacijom (PIM, engl. passive intermodulation), a sastoji se u miješanju signala bliskih frekvencija i generiranju intermodulacijskih komponenti. Osim toga pasivnu intermodulaciju mogu uzrokovati okolni kompozitni materijali s ugljičnim vlaknima, feromagnetski materijali ili termički učini pri velikim snagama. Zbog brojnih uzroka gotovo je nemoguće predvidjeti razinu komponenti pasivne intermodulacije pa se pribjegava mjerenju. Praktično je pasivna intermodulacija značajna samo u slučaju signala razmjerno visoke razine. Na primjer bazna postaja u sustavu pokretnih komunikacija odašilje veći broj signala bliskih frekvencija sa snagama od 30 dBm do 40 dBm. Pritom je često poželjno zadržati razinu komponenti pasivne intermodulacije nižu od −125 dBm. To je iznimno široko dinamičko područje koje iziskuje pažljiv odabir sastavnica odašiljača uključujući kabele, konektore i antenu. Te komponente su redovito izložene fizikalnom i kemijskom utjecaju okoliša pa nastale promjene valja otkloniti pomnim održavanjem.

81

4. ANTENE I ŠIRENJE ELEKTROMAGNETSKOG VALA Širenje (propagacija) energije prostorom u obliku elektromagnetskog vala ključna je fizikalna pojava koja omogućuje radiokomunikacije. Nužno je zato razmotriti antene kojima se generira elektromagnetski val i efekte propagacije koje je moguće promatrati kao uspostavljanje radiokanala između odašiljača i prijamnika. U žiži interesa nije teorija antena i njihovo projektiranje. Cilj je opisati antene s motrišta radiosustava, odnosno odrediti relacije koje omogućuju izračun snage prijamnog signala i šuma u zavisnosti o odaslanoj snazi, udaljenosti, dobitku antene, efikasnosti i pozadinskom šumu. Valja također razmotriti učine propagacije stvarnim prostorom u blizini površine Zemlje, primjerice odbijanje (reflektiranje), ogib (difragiranje), raspršenje i slabljenje (atenuiranje) elektromagnetskog vala. Ti učini su često presudni u pokretnim komunikacijskim sustavima naročito kad višestazno širenje uzrokuje feding primanog signala. 4.1. Parametri antena Antena je naprava koja energiju elektromagnetskog vala vođenog prijenosnom linijom efikasno pretvara u energiju elektromagnetskog vala koji se širi prostorom. To je neizostavni dio radiokomunikacijskog sustava namijenjen zračenju ili primanju elektromagnetskog vala. Parametrima su opisana svojstva antena kako u odnosu na električni krug tako i u odnosu na zračeno elektromagnetsko polje. Pasivne antene su redovito recipročne, odnosno moguće ih je koristiti i za odašiljanje i za prijam. Na slici 4.1. prikazano je načelo rada odašiljačke i prijamne antene. Odašiljač je nadomješten Theveninovim ekvivalentom koji sadrži naponski izvor i serijski spojenu impedanciju; ovaj krug na odašiljačku antenu prenosi snagu Pt. Iz velike udaljenosti moguće je odašiljačku antenu promatrati kao točkasti izvor; ona odašilje sferni val kojem je fazno središte sama antena. Kod sfernog vala površina jednake faze (ekvifazna površina) je površina kugle sa središtem u faznom središtu antene.

Ug

Rg

Pt Pr

odašiljačkaantena

prijamnaantena

sferni val ravni val

ZL

Slika 4.1. Načelo rada odašiljačke i prijamne antene U ograničenom prostoru na velikoj udaljenosti od točkastog izvora sferni val je moguće nadomjestiti ravnim (planarnim) valom kojem je ekvifazna površina ravnina. Prijamna antena zahvaća dio elektromagnetskog vala i na opterećenje prenosi snagu Pr. Pritom je prijamnik nadomješten impedancijom ZL.

82

Neka je antena u ishodištu sfernog koordinatnog sustava (slika 4.2). Na velikoj udaljenosti od antene gdje blisko polje iščezava jakost zračenog električnog polja je:

( ) ( ) ( )[ ] ΦΦΘΘ

rjk

ΦΦΘΘ eEeEr

eΦΘFeΦΘFΦΘrE rrrrr+=+=

− 0e,,,, (4.1)

gdje su FΘ i FΦ funkcije dijagrama zračenja, Θer i Φer su jedinični vektori sfernog koordinatnog sustava, r je radijalna udaljenost od ishodišta, a konstanta propagacije praznog prostora k0 = 2π/λ zavisi o valnoj duljini ili frekvenciji, λ = c/f. Ova relacija pokazuje da se električno polje iz ishodišta širi u radijalnom pravcu uz promjenu amplitude 1/r i promjenu faze Vektor jakosti električnog polja može imati komponente samo u .e 0rjk−

Θer i e pravcu, ali ne i u radijalnom pravcu. To su neke između značajki transverzalno elektromagnetskog (TEM, engl. transverse electromagnetic) vala.

Φr

z

xy

Θr

Φ

rer

ΘerΦer

Slika 4.2. Sferni koordinatni sustav Zavisnost odgovarajućih komponenti električnog i magnetskog polja transverzalnog elektromagnetskog vala je:

0ηΘ

ΦEH = (4.2.a)

0ηΦ

ΘEH −= (4.2.b)

gdje je η0 = 120π ≈ 377 Ω valna impedancija praznog prostora. Naravno, i vektor jakosti magnetskog polja može imati samo transverzalne komponente u odnosu na pravac širenja vala. Gustoća snage elektromagnetskog polja (jedinica W/m2) određena je Poyntingovim vektorom:

*HESrrr

×= (4.3) ili u vremenski srednjem obliku:

*Re21Re

21 HESSavg

rrrr×== (4.4)

83

Spomenuto je blisko polje antene i polje u dalekim točkama prostora pa se nameće pitanje praktične granice između ovih područja. Udaljenost dalekog polja (engl. far-field) nastupa kad u ograničenom prostoru ravni val dobro aproksimira sferni val kojeg zrači antena. Ako je D najveća dimenzija antene, onda je udaljenost dalekog polja:

λ

22DR ff = (4.5)

Pritom je razlika faze između sfernog i ravnog vala na površini određenoj najvećom dimenzijom antene manja ili jednaka π/8 = 22,5°. Za električno male (u odnosu na valnu duljinu) antene, na primjer kratku dipol-antenu ili malu petlja-antenu ova relacija može dati premalu udaljenost dalekog polja. U tom slučaju najmanja udaljenost dalekog polja je 2λ. Primjer 4.1. Parabolična reflektor-antena radiodifuzijskog sustava za izravni prijam sa satelita (DBS, engl. direct broadcast system) ima promjer 45,7 cm. Ako je frekvencija prijenosnog signala 12,4 GHz, odrediti valnu duljinu i udaljenost dalekog polja za ovu antenu. Valna duljina prijenosnog vala u praznom prostoru je:

cm 42,2104,12

1039

8

=⋅

⋅==

fcλ

Prema relaciji 4.5. udaljenost dalekog polja za razmatranu antenu je:

m 3,171042,2

457,0222

22

=⋅

⋅== −λ

DR ff

Satelit u geosinkronoj orbiti udaljen je približno 36 000 km od površine Zemlje pa je potpuno opravdano pretpostaviti da je prijamna antena u dalekom polju odašiljačke antene.

Intenzitet zračenja (engl. radiation intensity) je snaga po uglu (prostornom kutu) koju zrači antena u određenom pravcu. Zračena snaga je jednaka umnošku gustoće snage zračenog polja i ploštine kugle radijusa r, a intenzitet zračenja (jedinica W/sr) je omjer zračene snage i punog prostornog kuta 4π sr:

( ) =×+×== ΘΘΦΦΦΦΘΘavg eHeEeHeErSr

ΦΘU rrrrr

**22

Re24

4,

π

π

(4.6)

[ ] [ ]22

0

22

0

2

21

2 ΦΘΦΘ FFEEr+=+

ηη=

Pritom su uvrštene relacije 4.4, 4.2. i 4.1. Ukupnu zračenu snagu moguće je odrediti pomoću integrala Poyntingovog vektora po površini kugle radijusa r koja obuhvaća antenu:

( )∫ ∫∫ ∫= == =

=⋅=π ππ π 2

0 0

2

0 0

2 ddsin,ddsinΦ ΘΦ Θ

ravgrad ΦΘΘΦΘUΦΘΘreSP rr (4.7)

gdje je uvršten početni dio relacije 4.6.

84

Dijagram zračenja (engl. radiation pattern) antene je grafički prikaz prostorne razdiobe veličine koja opisuje zračeno elektromagnetsko polje u dalekim točkama prostora. Moguće ga je nacrtati kao zavisnost o kutnoj koordinati Θ ili Φ funkcije dijagrama zračenja FΘ(Θ, Φ) i FΦ(Θ, Φ) ili intenziteta zračenja U(Θ, Φ). Dijagram zračenja koji je najčešće normaliziran jednak je za ove veličine iskazane u decibelima, 20log|F(Θ, Φ)| i 10log|U(Θ, Φ)|. Dijagram zračenja antene u vodoravnoj ravnini, Θ = 90° prikazan na slici 4.3. sadrži više snopova; glavni snop (engl. main beam) u pravcu Φ = 0° ima najvišu razinu maksimuma (0 dB), a ostali u pravcu Φ = ±60°, ±120°, 180° su sporedni (bočni) snopovi (engl. sidelobes).

0°Φ

30°

60°

90°

120°

150°180°

210°

240°

270°

300°

330°

F/dB0-10-20-30-40

Slika 4.3. Dijagram zračenja antene Temeljno svojstvo antene je mogućnost fokusiranja zračenja u određenom pravcu, a mjera ove mogućnosti je širina snopa za polovinu (−3 dB) snage (HPBW, engl. half-power beamwidth). To je kut na dijagramu zračenja između pravaca kroz točku razine −3 dB s obje strane pravca maksimuma zračenja glavnog snopa. Dijagram zračenja s razmjerno malom širinom snopa u vodoravnoj i okomitoj ravnini pripada antenama s igličastim snopom (engl. pencil beam) koje se rabi u primjenama usmjerenih radioveza. Antena brodskog radara ima razmjerno malu širinu snopa u vodoravnoj ravnini i razmjerno veliku širinu snopa u okomitoj ravnini; to je antena s lepezastim snopom (engl. fan beam). Antene koje imaju dijagram zračenja konstantan (kružni) u vodoravnoj ravnini naziva se omnidirekcijskim, a prikladne su za pokretne radiokomunikacije. Druga mjera mogućnosti fokusiranja zračenja je usmjerenost (engl. directivity) antene koja je određena omjerom najvećeg intenziteta zračenja u pravcu maksimuma glavnog snopa i srednjeg intenziteta zračenja u cijelom prostoru:

( )∫ ∫= =

=== π π

ππ2

0 0

maxmaxmax

ddsin,

44

Φ Θ

radavg ΦΘΘΦΘU

UPU

UUD (4.8)

gdje je za zračenu snagu uvrštena relacija 4.7. Često se usmjerenost antene iskazuje u decibelima, D/dB = 10logD. Izotropna antena zrači podjednako u svim pravcima pa je u tom

85

slučaju intenzitet zračenja U(Θ, Φ) = Umax = 1. Vrijednost integrala u nazivniku relacije 4.8. je:

∫ ∫= =

=π π

π2

0 0

4ddsinΦ Θ

ΦΘΘ

pa je usmjerenost izotropne antene 1 ili 0 dB. Takvu antenu nije moguće ostvariti, ali se često usmjerenost stvarnih antena iskazuje u decibelima relativno u odnosu na izotropnu antenu, dBi. I širina snopa i usmjerenost opisuju isto svojstvo antene pa je opravdano očekivati njihovu izravnu razmjernost. Međutim, širina snopa zavisi samo o glavnom snopu, a usmjerenost uključuje integriranje po cijelom dijagramu zračenja. Zato je moguće da više antena s različitim dijagramom zračenja ima jednaku širinu snopa, ali sasvim različite usmjerenosti zbog razlike u sporednim snopovima ili postojanja više glavnih snopova. Za antene s dijagramom zračenja koji sadrži samo jedan glavni snop znatno više razine od sporednih vrijedi približno:

dB3dB3

004 32

−−

≈ΦΘ

D (4.9)

gdje je Θ−3dB i Φ−3dB širina snopa za polovinu snage u stupnjevima odgovarajuće u okomitoj i vodoravnoj ravnini. Primjer 4.2. Električno polje u dalekim točkama prostora koje zrači električno mala (u odnosu na valnu duljinu) žičana dipol-antena, postavljena u ishodište koordinatnog sustava duž z osi, je:

( )r

ΘUΦΘrErjk

Θ

0esin,, 0

−

= ( ) 0,, =ΦΘrEΦ

Odrediti pravac glavnog snopa dipola, širinu snopa i usmjerenost. Intenzitet zračenja razmatrane antene je (relacija 4.6):

( ) [ ] ΘCEErΦΘU ΦΘ222

0

2

sin2

, =+=η

gdje je konstanta ( ).2 0

20 ηUC = Razabire se da je intenzitet zračenja, jednako kao i dijagram

zračenja, neovisan o kutnoj koordinati Φ pa je razmatrana antena omnidirekcijska. Dijagram zračenja ima oblik torusa (presjek u okomitoj ravnini ima oblik položenog broja 8) s maksimumom u vodoravnoj ravnini, Θ = 90° i minimumom u pravcu Θ = 0° i Θ = 180° (pravac z osi). Kut, za koji se intenzitet zračenja smanji na polovinu, određen je rješenjem jednadžbe:

5,0sin2 =Θ °±= 45Θ pa je širina snopa razmatrane antene u okomitoj ravnini Θ−3dB = 90°. Prema relaciji 4.8. usmjerenost razmatrane antene je:

86

( )∫ ∫= =

= π π

π2

0 0

max

ddsin,

4

Φ Θ

ΦΘΘΦΘU

UD

Vrijednost integrala u nazivniku ove relacije je:

( )3

8dsin2ddsin,0

32

0 0

CΘΘCΦΘΘΦΘUΦ Θ

ππππ π

∫∫ ∫ === =

gdje je tablični integral:

∫ =π

0

3

34dsin ΘΘ

Maksimalna vrijednost intenziteta zračenja jednaka je konstanti C = Umax pa je usmjerenost kratkog dipola:

23

38

4 max ==C

UDπ

π

idB 76,15,1 ==D

Kod stvarnih antena dio snage s ulaza se rasipa zbog nesavršenih vodiča i dielektrika antenske strukture. Efikasnost zračenja antene, erad jednaka je omjeru zračene i snage s ulaza:

in

loss

in

lossin

in

radrad P

PP

PPPPe −=

−== 1 (4.10)

gdje je Ploss rasipana snaga. Efikasnost zračenja se uobičajeno iskazuje u postocima. Treba napomenuti da osim antenske strukture gubitke mogu uzrokovati ostali čimbenici, primjerice neprilagođena ulazna impedancija i/ili neprilagođena polarizacija antene. Te gubitke je moguće otkloniti odgovarajuće uporabom prilagodne mreže na ulazu antene i odabirom prijamne antene usklađene polarizacije. Na usmjerenost antene, D kao funkciju samo dijagrama zračenja, bjelodano, ne utječe efikasnost zračenja, erad. Dobitak antene (engl. antenna gain) obuhvaća i gubitke antenske strukture:

inrad P

UDeG max4π== (4.11)

gdje su uvrštene relacije 4.8. i 4.10. Hipotetična izotropna antena je savršena u pogledu gubitaka, odnosno i dobitak i usmjerenost izotropne antene su jednaki 1 ili 0 dB, G = D = 1 za erad = 1. Dobitak stvarne antene često se iskazuje u decibelima relativno u odnosu na izotropnu antenu, G/dBi = 10logG. Neke vrste antena pripadaju skupini otvor-antena (engl. aperture antennas) za koje je lako uočljiva površina (otvor) iz koje ishodi zračeni elektromagnetski val. Takve su, na

87

primjer reflektor-antene, lijevak-antene, leća-antene i neki antenski nizovi. Najveća usmjerenost antene s ploštinom otvora A je:

2max4λπAD = (4.12)

gdje je λ valna duljina zračenog vala u praznom prostoru. Primjerice najveća usmjerenost pravokutne lijevak-antene s otvorom dimenzija 2λ×3λ je 24π. Usmjerenost stvarnih otvor--antena je najčešće manja od najveće zbog niza uzroka, na primjer nesavršene razdiobe amplitude i faze elektromagnetskog polja na otvoru, zaslanjanja (blokiranja) otvora dijelovima antenske strukture ili prelijevanja (engl. spillover) snage primarnog izvora preko ruba reflektora. Efikasnost otvora (engl. aperture efficiency), eap je omjer ostvarene usmjerenosti otvor-antene i najveće usmjerenosti prema relaciji 4.12, odnosno usmjerenost otvor-antene je:

24λπAeD ap= (4.13)

Gustoću snage elektromagnetskog polja koju u određenom pravcu zrači odašiljačka antena moguće je odrediti pomoću usmjerenosti, efikasnosti i dobitka antene. Na prijamnu antenu upada ravni val određene gustoće snage pa u tom slučaju valja odrediti raspoloživu snagu na pristupu antene. Iznos Poyntingovog vektora upadnog vala, Savg i primljena raspoloživa snaga, Pr su razmjerni:

avger SAP = (4.14) gdje je Ae efektivna ploština (engl. effective area) prijamne antene koja zavisi o usmjerenosti:

πλ

4

2DAe = (4.15)

Učin gubitaka na antenskoj strukturi moguće je obuhvatiti ako se u ovoj relaciji usmjerenost D zamijeni dobitkom antene G. Za električno velike otvor-antene često je efektivna ploština približno jednaka fizikalnoj ploštini antene. Za ostale vrste antena, primjerice za dipole ili petlja-antene ne postoji jednostavna relacija između efektivne i fizikalne ploštine. Polarizaciju ravnog elektromagnetskog vala određuje pravac i smjer vektora jakosti električnog polja. Neka transverzalno elektromagnetski val koji se širi u pravcu pozitivne z osi ima vektor jakosti električnog polja:

( ) zjkyyxx eEeEE 0e00

−+=rrr

(4.16) gdje je E0x i E0y amplituda odgovarajuće x i y komponente, xer i yer su jedinični vektori pravokutnog koordinatnog sustava, a k0 = 2π/λ je konstanta propagacije praznog prostora. Ako su x i y komponenta vektora jakosti električnog polja jednake faze, elektromagnetski val ima linearnu polarizaciju. Na primjer za E0x = 1 i E0y = 0 polarizacija je okomita, za E0x = 0 i E0y = 1 polarizacija je vodoravna, a za E0x = 1 i E0y = 1 polarizacija je linearna s kutem 45°. Ako su x i y komponenta vektora jakosti električnog polja jednake amplitude i fazno zakrenute za 90°, elektromagnetski val ima kružnu polarizaciju. Primjerice za E0x = 1 i E0y = j

88

polarizacija je kružna lijeva. To je moguće zaključiti ako se u tom slučaju odredi trenutna vrijednost vektora jakosti električnog polja; pritom se uzima realni dio relacije 4.16. pomnožene s ejωt:

( ) ( ) =+=+= +−−− )2/()( 000 eeReeeRe,,, πωωω zktjy

zktjx

tjzjkyx eeejetzyxE rrrrr

(4.17)

( ) ( )zktezkte yx 00 sincos −−+= ωω rr U određenoj točki na z osi s povećanjem vremena, t vektor jakosti električnog polja rotira od x osi prema −y osi. To je rotiranje u suprotnom smjeru pomicanja kazaljke sata kad se promatra u pravcu širenja elektromagnetskog vala pa se takvu polarizaciju naziva kružnom lijevom (LHCP, engl. left-hand circular polarization). Kružna desna polarizacija (RHCP, engl. right--hand circular polarization) nastaje promjenom predznaka E0y komponente. Ako x i y komponenta vektora jakosti električnog polja nisu jednake amplitude i/ili nisu fazno zakrenute za 90°, elektromagnetski val ima eliptičnu polarizaciju koja može biti lijeva ili desna. Polarizacija antene je jednaka polarizaciji zračenog elektromagnetskog polja u određenom pravcu kad je antena u funkciji odašiljanja. Na primjer dipol-antena postavljena u ishodište koordinatnog sustava duž z osi (primjer 4.2) u dalekim točkama prostora ima samo EΘ komponentu zračenog električnog polja. Glavni snop antene u ravnini Θ = 90° zrači polje okomite linearne polarizacije pa je takve polarizacije i dipol. Maksimalni prijenos snage između dvije antene iziskuje da one imaju jednaku polarizaciju. U odnosu na električni krug odašiljačku antenu je u ravnini njezinih priključnica moguće nadomjestiti impedancijom ZA (slika 4.4.a). Pritom je odašiljač nadomješten Theveninovim ekvivalentom: naponskim izvorom Ug i unutarnjom impedancijom Zg. Impedancija antene je opterećenje ovog generatora na kojem se rasipa snaga jednaka zbroju zračene snage i snage rasipane na gubicima antenske strukture.

ZA ZL

ZAZg

Ug UA

a) b)

Slika 4.4. Nadomjesni krug za: a) odašiljačku antenu; b) prijamnu antenu Prijamnu antenu je u ravnini njezinih priključnica moguće nadomjestiti Theveninovim ekvivalentom: naponskim izvorom UA i serijski spojenom impedancijom ZA (slika 4.4.b). Ovaj generator snagu primljenu iz upadnog elektromagnetskog vala prenosi opteretnoj impedanciji ZL kojom je nadomješten prijamnik. Vlastita impedancija, ZA je svojstvo antene u praznom prostoru neovisno o funkciji odašiljanja ili prijama. 4.2. Friisova jednadžba Friisova jednadžba povezuje primljenu snagu s odaslanom snagom, dobitkom antena, udaljenošću i valnom duljinom ili frekvencijom. To je temeljna relacija za razmatranje radiosustava. Neka je R udaljenost između odašiljačke i prijamne antene koja u pravcu

89

maksimuma zračenja ima dobitak odgovarajuće Gt i Gr (slika 4.5). Pritom su antene na razmaku većem od udaljenosti dalekog polja (relacija 4.5), snaga signala na ulazu odašiljačke antene je Pt, a raspoloživa snaga signala na izlazu prijamne antene je Pr.

odašiljač prijamnikRPt Pr

Gt Gr

λ

Slika 4.5. Veličine radiosustava koje povezuje Friisova jednadžba

Iznos gustoće snage elektromagnetskog polja na udaljenosti R od izotropne antene je:

24 RPS t

avg π= (4.18)

gdje je Pt zračena snaga. U tom slučaju zračena snaga je jednaka snazi signala na ulazu jer izotropna antena nema gubitaka. Relacija iskazuje činjenicu da je ukupna zračena snaga jednoliko raspodijeljena na površini kugle radijusa R koja okružuje izotropnu antenu. Stvarna antena ima usmjerenost u pravcu maksimuma zračenja veću od 1 ili 0 dBi, a zračena snaga je zbog gubitaka na antenskoj strukturi manja od snage signala na ulazu. Iznos gustoće snage elektromagnetskog polja u dalekim točkama prostora u pravcu maksimuma zračenja odašiljačke antene na udaljenosti R je:

24 RPGS tt

avg π= (4.19)

gdje je Gt dobitak antene, a Pt je snaga signala na ulazu antene. Raspoloživa snaga na izlazu prijamne antene koja se nalazi u dalekom polju odašiljačke antene je (relacija 4.14):

24 RAPGSAP ett

avger π==

gdje je Ae efektivna ploština prijamne antene, a za Savg je uvrštena relacija 4.19. Ako se za efektivnu ploštinu prijamne antene uvrsti relacija 4.15, slijedi:

( ) trt

r PR

GGP 2

2

4πλ

= (4.20)

gdje je Gr dobitak prijamne antene jer je uključen učin njezinih gubitaka, a λ = c/f je valna duljina zračenog vala u praznom prostoru. Naravno, ovo je najveća moguća vrijednost raspoložive snage na izlazu prijamne antene jer su brojni čimbenici u stvarnom radiosustavu koji je mogu smanjiti, primjerice neprilagođena impedancija na pristupu obje antene, neprilagođena polarizacija antena, učini propagacije koji uzrokuju slabljenje i depolarizaciju elektromagnetskog vala te višestazno širenje koje može uzrokovati feding. Uzgred, depolarizacija je pojava promjene nazivne polarizacije elektromagnetskog vala, a feding je pojava vremenske zavisnosti snage primanog signala.

90

Moguće je zapaziti (relacija 4.20) da je primana snaga, Pr obrnuto razmjerna kvadratu udaljenosti, 1/R2 između odašiljača i prijamnika. Ovakva zavisnost je posljedica širenja sfernog elektromagnetskog vala, odnosno to je zavisnost gustoće snage zračenog polja o udaljenosti (relacija 4.18). Na prvi pogled to može izgledati neprihvatljivo veliki gubitak snage, ali valja podsjetiti da je snaga na prijenosnoj liniji eksponencijalno zavisna o udaljenosti, e−2αz gdje je α konstanta atenuacije linije, a z odgovara udaljenosti R. Poznato je da se s povećanjem udaljenosti negativna eksponencijalna funkcija znatno brže smanjuje od algebarske, recipročno-kvadratne funkcije pa je za prijenos signala na velike udaljenosti često efikasnija radioveza od prijenosne linije. Primjer 4.3. Satelit u geosinkronoj orbiti na udaljenosti 36 900 km od površine Zemlje odašilje signal snage 2 W i frekvencije 20 GHz pomoću antene s dobitkom 37 dBi. Ako prijamna postaja na Zemlji ima antenu s dobitkom 45,8 dBi, odrediti primljenu snagu. Zanemariti moguće učine neprilagođenja i slabljenja elektromagnetskog vala. Friisovu jednadžbu je moguće iskazati u decibelima (relacija 4.20):

dB

4log20

dBdBdBdB miim

−++= λπR

PGGP trtr

ali treba odrediti pribrojnike:

0,331102log10

mW 1Wlog10

dB

3

m

=

⋅=

= tt PP

8,209103

102010900,364log20dB

4log20

dB

4log20

8

96

=

⋅

⋅⋅⋅⋅=

=

ππ

λπ

cRfR

Uvrštavanjem vrijednosti u Friisovu jednadžbu iskazanu u decibelima slijedi primljena snaga u razmatranom radiosustavu:

8,2090,330,378,45dBm

−++=rP

pW 0,4mW 1098,3dB 0,94 10

m ≈⋅=−= −rP

Ponovno treba upozoriti na iznimno veliko slabljenje elektromagnetskog vala uzrokovano velikom udaljenošću pa je unatoč vrlo velikom dobitku antena primljena snaga iznimno mala.

Friisova jednadžba (relacija 4.20) pokazuje da je primljena snaga razmjerna umnošku snage signala na ulazu odašiljačke antene i njezinog dobitka, PtGt. Ekvivalentna izotropno zračena snaga (EIRP, engl. effective isotropic radiated power) jednaka je ovom umnošku:

ttGPEIRP = (4.21)

91

Za određenu frekvenciju signala, udaljenost i dobitak prijamne antene primljena snaga je razmjerna EIRP; primljenu snagu je moguće povećati povećanjem snage odašiljanja i/ili povećanjem dobitka odašiljačke antene. Na slici 4.6.a) prikazan je dijagram zračenja antene s dobitkom G > 1 i snagom signala na ulazu P1. Na velikoj udaljenosti R u pravcu maksimuma zračenja antene gustoća snage elektromagnetskog polja je (relacija 4.19):

21

0 4 RGPS

π= (4.22.a)

Na slici 4.6.b) prikazan je dijagram zračenja izotropne antene s dobitkom G = 1 i snagom signala na ulazu P2.

R

21

0 4 RGPS

π=

R

22

0 4 RPSπ

=

a) b)

Slika 4.6. Gustoća snage zračenog polja: a) stvarnog; b) ekvivalentnog izotropnog Na velikoj udaljenosti R gustoća snage izotropno zračenog elektromagnetskog polja je (relacija 4.18):

22

0 4 RPSπ

= (4.22.b)

Gustoća snage zračenog polja u oba slučaja (relacije 4.22.a) i 4.22.b) je jednaka ako je snaga signala na ulazu izotropne antene jednaka EIRP, P2 = P1G. Katkad se umjesto izotropne za referentu antenu odabire poluvalni dipol zbog njegove široke primjene. Ekvivalentna zračena snaga (ERP, engl. effective radiated power) iskazana u decibelima relativno u odnosu na poluvalni dipol, dBd je:

iid dB2,2

dBdB+=

EIRPERP (4.23)

jer je dobitak poluvalne dipol-antene približno 2,2 dBi. Pri izvođenju Friisove jednadžbe (relacija 4.20) pretpostavljena je prilagođena impedancija između odašiljača i odašiljačke antene te između prijamne antene i prijamnika. Općenito, neprilagođenje između tih komponenti radiosustava smanjuje prenesenu snagu signala. U tom slučaju vrijednost prenesene snage određenu Friisovom jednadžbom valja pomnožiti faktorom gubitka zbog neprilagođenja impedancije (engl. impedance mismatch factor):

( )( )22 11 rtimp ΓΓe −−= (4.24) gdje je Γt faktor refleksije na ulazu odašiljačke antene, a Γr je faktor refleksije na izlazu prijamne antene. Treba podsjetiti da dobitak antene ne uključuje učin neprilagođenja

92

impedancije na njezinom ulazu. Naime, prilagođenje impedancije na pristupu antene ovisi o impedanciji vanjskog kruga, a nije svojstvo same antene. Prilagođenje impedancije na pristupu antene moguće je ostvariti vanjskom prilagodnom mrežom. Osim spomenutog pri izvođenju Friisove jednadžbe (relacija 4.20) pretpostavljena je i jednaka polarizacija odašiljačke i prijamne antene. U slučaju kad taj uvjet nije ispunjen treba vrijednost prenesene snage određenu Friisovom jednadžbom pomnožiti faktorom gubitka zbog neusklađene polarizacije (engl. polarization mismatch factor, polarization efficiency):

2ripol eee rr

⋅= (4.25) gdje je ier jedinični vektor polarizacije električnog polja upadnog vala, a je jedinični vektor polarizacije električnog polja prijamne antene kad je u funkciji odašiljanja:

rer

rjk

iii EeE 0e−=rr

rjkrrr EeE 0e−=

rr

Primjer 4.4. Odašiljačka antena ima kružnu lijevu polarizaciju, LHCP i zrači elektromagnetski val u pravcu vodoravne z osi. Odrediti faktor gubitka zbog neusklađene polarizacije ako je prijamna antena s linearnom okomitom polarizacijom, s kružnom lijevom polarizacijom, LHCP i s kružnom desnom polarizacijom, RHCP. Jedinični vektor kružne lijeve polarizacije električnog polja upadnog vala je (relacija 4.17):

2yx

i

ejee

rrr +

=

(Napomena: jedinični vektor jednak je omjeru pripadajućeg vektora i njegovog iznosa; u ovom slučaju iznos vektora jakosti električnog polja je 211 22 =+ .) Neka je x os okomita pa je jedinični vektor polarizacije za antenu s linearnom okomitom polarizacijom:

xr ee rr=

Faktor gubitka zbog neusklađene polarizacije u tom slučaju je (relacija 4.25):

( )21

2

22 =

⋅+=⋅= xyx

ripol

eejeeee

rrrrr

dB 35,0 −==pole

Prijamna antena s linearnom okomitom polarizacijom zahvaća samo polovinu snage upadnog elektromagnetskog vala s kružnom polarizacijom. Jednaki rezultat vrijedi za svaku prijamnu antenu s linearnom polarizacijom. Ako je prijamna antena s kružnom lijevom polarizacijom kad je u funkciji odašiljanja u pravcu −z osi, jedinični vektor polarizacije je:

2yx

r

ejee

rrr −

=

Faktor gubitka zbog neusklađene polarizacije u tom slučaju je (relacija 4.25):

93

( ) ( )411

22

222 +

=⋅

−⋅+=⋅= yxyx

ripol

ejeejeeee

rrrrrr

e dB 01 ==pol

Uz jednaku polarizaciju prijamne i odašiljačke antene iščezavaju gubici zbog neusklađene polarizacije. Ako je prijamna antena s kružnom desnom polarizacijom kad je u funkciji odašiljanja u pravcu −z osi, jedinični vektor polarizacije je:

2yx

r

ejee

rrr +

=

Faktor gubitka zbog neusklađene polarizacije u tom slučaju je (relacija 4.25):

( ) ( )411

22

222 −

=⋅

+⋅+=⋅= yxyx

ripol

ejeejeeee

rrrrrr

e dB 0 −∞==pol

Uz ortogonalnu polarizaciju prijamne i odašiljačke antene iščezava snaga primanog signala. Ortogonalne su, na primjer kružna lijeva i desna polarizacija te linearna vodoravna i okomita polarizacija.

4.3. Temperatura šuma antene Antena u radioprijamnik unosi šum koji potječe iz vanjskih izvora i termički šum generiran na gubicima antenske strukture. Na dio šuma koji se posredstvom antene iz okoliša unosi u prijamnik najčešće nije moguće utjecati. Važno je zato razmotriti značajke prijamnih antena u pogledu šuma. Na slici 4.7. prikazana su tri ekvivalentna izvora termičkog šuma s raspoloživom snagom na izlazu:

kTBNo = (4.26) gdje je k Boltzmannova konstanta, T je temperatura, a B je širina frekvencijskog pojasa. U prvom slučaju na temperaturi T je otpornik s otporom R (slika 4.7.a). Elektromagnetski neječna (gluha) komora na temperaturi T potpuno okružuje antenu u drugom slučaju (slika 4.7.b). Neječna komora (engl. anechoic chamber) savršeno upija elektromagnetski val i u termičkoj je ravnoteži zajedno s antenom. Zato je raspoloživa snaga šuma na izlazu antene jednaka kao u prvom slučaju. Na slici 4.7.c) jednaka antena je razmjerno uskim glavnim snopom usmjerena prema jednolikom dijelu prostora na temperaturi T. I u ovom slučaju je raspoloživa snaga šuma na izlazu antene određena relacijom 4.26. Stvarna antena je redovito u složenijem okruženju jer glavni snop može zahvaćati više izvora šuma koji mogu biti prirodni ili uzrokovani ljudskim djelatnostima. Šumu pridonose i sporedni snopovi dijagrama zračenja antene bilo da su usmjereni prema izvorima šuma ili da zahvaćaju elektromagnetski val reflektiran od površine Zemlje i ostalih velikih objekata.

94

R

TNo No

T

T

No

a) b) c)

Slika 4.7. Ekvivalentni izvori šuma: a) otpornik na temperaturi T; b) antena u neječnoj komori na temperaturi T; c) antena usmjerena prema prostoru na temperaturi T

Temperatura šuma pozadine (engl. background noise), TB je ekvivalentna temperatura otpornika koji generira jednaku raspoloživu snagu šuma kao i prostor prema kojem je usmjerena antena. Primjerice na nižim frekvencijama mikrovalnog područja ekvivalentna temperatura šuma neba u pravcu zenita, Θ = 0° je 3 K do 5 K, neba u pravcu obzora, Θ = 90° je 50 K do 100 K, a ekvivalentna temperatura šuma površine Zemlje je 290 K do 300 K. Temperatura šuma neba u pravcu zenita (3 K do 5 K) nadomješta pozadinsko zračenje svemira koje se smatra ostatkom "velikog praska" u trenutku nastanka svemira. To je ekvivalentna temperatura šuma pozadine za antenu s velikom efikasnošću zračenja i razmjerno uskim igličastim glavnim snopom usmjerenim u pravcu zenita, ali ne i u pravcu ostalih izvora šuma, na primjer Sunca, svemirskih tijela ili galaktičkog središta. Povećanjem kuta Θ, odnosno pomicanjem glavnog snopa antene iz pravca zenita u pravac obzora povećava se ekvivalentna temperatura šuma pozadine. Takva promjena pravca povećava debljinu sloja atmosfere zahvaćene glavnim snopom pa šumu pozadine pridonosi i šum atmosfere. Usmjeravanje glavnog snopa antene prema površini Zemlje dodatno povećava temperaturu šuma pozadine. Na slici 4.8. prikazana je frekvencijska zavisnost ekvivalentne temperature šuma pozadine na razini mora za neke vrijednosti kuta Θ.

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90f/GHz

50

150

200

250

300

100

TB/K

H2O O2

Θ = 90°

Θ = 85°

Θ = 80°

Θ = 0°

Slika 4.8. Frekvencijska zavisnost temperature šuma pozadine

95

Moguće je zapaziti (slika 4.8) skokovite promjene temperature šuma pozadine u okolišu frekvencije 22 GHz i 60 GHz. Uzrokuje ih rezonancija odgovarajuće molekule vode i molekule kisika. Obje rezonancije povećavaju gubitke atmosfere, a time i temperaturu šuma pozadine. Gubitak je tako velik u okolišu frekvencije 60 GHz da je atmosferu u pogledu šuma moguće nadomjestiti prilagođenim otporom na temperaturi približno 290 K spojenim na ulaz prijamnika umjesto antene. Ovom slučaju odgovara antena u elektromagnetski neječnoj komori na temperaturi približno 290 K (slika 4.7.b). Ako dijagram zračenja antene zahvaća područja s različitom temperaturom šuma pozadine, treba odrediti ekvivalentnu temperaturu svjetline (engl. brightness temperature) u odnosu na priključnice antene:

( ) ( )

( )∫ ∫

∫ ∫

= =

= == π π

π π

2

0 0

2

0 0

ddsin,

ddsin,,

Φ Θ

Φ ΘB

b

ΦΘΘΦΘD

ΦΘΘΦΘDΦΘTT (4.27)

gdje je TB(Θ, Φ) prostorna razdioba temperature šuma pozadine, a D(Θ, Φ) je prostorna razdioba usmjerenosti (intenzitet zračenja ili funkcija dijagrama zračenja) antene. Ove dvije ekvivalentne temperature šuma su jednake u slučaju kad je prostorna razdioba temperature šuma pozadine konstanta, Tb = TB. Valja upozoriti da ekvivalentna temperatura svjetline (relacija 4.27) ne uključuje termički šum generiran na gubicima antenske strukture. Stvarne antene sadrže nesavršene vodiče i dielektrike pa im je efikasnost zračenja (relacija 4.10) manja od jedan, erad < 1. To znači da je raspoloživa snaga primljenog signala, ali i primljenog šuma na pristupu prijamne antene smanjena s faktorom erad. Međutim, snazi primljenog šuma se pribraja snaga termičkog šuma koji se generira na gubicima antenske strukture. Stvarnu antenu s gubicima, erad < 1 na fizikalnoj temperaturi Tp moguće je nadomjestiti kaskadnim spojem savršene antene i atenuatora s faktorom gubitka snage (atenuacijom) L = 1/erad na temperaturi Tp (slika 4.9). Pritom antenu okružuje prostor s razdiobom ekvivalentne temperature šuma pozadine TB(Θ, Φ) pa je ekvivalentna temperatura svjetline u odnosu na pristup antene određena relacijom 4.27.

atenuatorL = 1/eradna temp.

Tp

TB(Θ, Φ)

savršenaantena

Tb TA

Slika 4.9. Ekvivalentna temperatura šuma antene Ekvivalentna temperatura šuma antene, TA uključuje doprinos vanjskih izvora šuma pomoću ekvivalentne temperature svjetline, Tb i termičkog šuma generiranog antenskom strukturom na temperaturi Tp:

( ) ( ) pradbradpb

A TeTeL

TLLTT −+=

−+= 1

1 (4.28)

96

Temperatura šuma antene je ekvivalentna temperatura otpornika koji generira raspoloživu snagu termičkog šuma jednaku raspoloživoj snazi ukupnog šuma na pristupu antene na određenoj frekvenciji. Ako gubici antenske strukture iščezavaju, erad = 1, onda je ekvivalentna temperatura šuma antene jednaka temperaturi svjetline, TA = Tb. U suprotnom slučaju kad efikasnost zračenja antene iščezava, erad = 0 antena ne prima signal ni šum vanjskih izvora pa je ekvivalentna temperatura šuma antene jednaka fizikalnoj temperaturi, TA = Tp. Izmjeri li se, primjerice postupkom opisanim u potpoglavlju 3.5, ekvivalentnu temperaturu šuma antene koja je usmjerena prema prostoru poznate temperature šuma pozadine, moguće je prema relaciji 4.28. odrediti efikasnost zračenja antene. Valja upozoriti da ekvivalentnu temperaturu šuma otvor-antene nije moguće odrediti ako se efikasnost otvora koristi umjesto efikasnosti zračenja. Efikasnost otvora je mjera smanjenja usmjerenosti otvor-antene (relacija 4.13) pa ne uključuje gubitke antenske strukture ni njima pridruženo generiranje termičkog šuma. Primjer 4.5. Antena velikog dobitka ima prostornu razdiobu usmjerenosti, D(Θ, Φ) u Φ ravnini konstantnu (omnidirekcijska antena, kružni dijagram zračenja), a zavisnost o Θ koordinati je prikazana na slici 4.10. (po kružnim isječcima dijagram zračenja konstantan). Ako je antena usmjerena prema području u kojem je prostorna razdioba temperature šuma pozadine:

( )

°≤<°

°≤=

9030za K 100

30za K 10,

Θ

ΘΦΘTB

odrediti ekvivalentnu temperaturu šuma antene. Pretpostaviti da gubici antenske strukture iščezavaju, erad = 1.

0 30° 60° 90°-30°-60°-90° Θ

D(Θ)/dBi

30

20

10

2°

Slika 4.10. Prostorna razdioba usmjerenosti za primjer 4.5. Za antenu bez gubitaka, erad = 1 ekvivalentna temperatura šuma jednaka je temperaturi svjetline, TA = Tb (relacija 4.28). Prema relaciji 4.27. ekvivalentna temperatura svjetline uz normaliziranu razdiobu usmjerenosti najvećom vrijednošću je:

( ) ( )

( )∫ ∫

∫ ∫

= =

= == π π

π π

2

0 0

2

0 0

ddsin,

ddsin,,

Φ Θ

Φ ΘB

b

ΦΘΘΦΘD

ΦΘΘΦΘDΦΘTT

97

=⋅+⋅

⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=

∫∫

∫∫∫°

°=

°

=

°

°=

°

°=

°

=90

1

1

0

90

30

30

1

1

0

dsin01,0dsin1

dsin01,0100dsin01,010dsin110

ΘΘ

ΘΘΘb

ΘΘΘΘ

ΘΘΘΘΘΘT

0102,0866,00134,000152,0

cos01,0cos

coscos1,0cos1090

1

1

0

90

30

30

1

1

0 ++=

⋅−−

−⋅−⋅−= °

°

°

°

°

°

°

°

ΘΘ

ΘΘΘ

AT K4,86 ==bT

Moguće je razabrati da u ovom primjeru ekvivalentnoj temperaturi šuma antene najviše pridonose sporedni snopovi dijagrama zračenja. Nerijetko se i kod stvarnih radiosustava najveći dio snage šuma u prijamnik unosi preko sporednih snopova dijagrama zračenja antene.

Ekvivalentna temperatura šuma prijamne antene razmjerna je raspoloživoj snazi šuma na njezinom izlazu. Osim ovog parametra prikladna mjera kakvoće prijamne antene je i omjer G/T (engl. G/T ratio) iskazan u decibelima:

=

ATGT

Glog10

dB (4.29)

gdje je G dobitak antene, a TA je ekvivalentna temperatura šuma antene. (Napomena: uobičajeno se za veličinu G/T pogrešno navodi jedinica dB/K.) Ako je snaga signala na ulazu prilagođenog prijamnika (Friisova jednadžba, relacija 4.20):

( )2

2

4 RPGGS ttr

i πλ

=

i snaga šuma na ulazu prilagođenog prijamnika (relacija 4.26):

BkTN Ai = onda je omjer signala i šuma, SNR na ulazu prijamnika:

( )2

2

4 RkBPG

TG

NS tt

A

r

i

i

πλ

= (4.30)

Treba uočiti da je omjer signala i šuma na ulazu prilagođenog prijamnika razmjeran omjeru G/T prijamne antene, Gr/TA. To je jedina veličina na koju je moguće utjecati u prijamniku jer se ostale veličine odnose na odašiljač ili radiosustav: Gt je dobitak odašiljačke antene, Pt je snaga signala na njezinom ulazu, R je udaljenost između odašiljačke i prijamne antene, B je širina frekvencijskog pojasa radiosustava, a λ = c/f je valna duljina zračenog vala u praznom prostoru. Za određeni odašiljač radiosustav ima najbolje značajke ako je maksimalna vrijednost G/T prijamne antene. Povećati omjer G/T prijamne antene bjelodano je moguće

98

povećanjem dobitka antene, Gr jer se tako povećava brojnik razmatranog omjera i najčešće smanjuje ekvivalentna temperatura šuma antene, TA. Nažalost, veći dobitak iziskuje antene većih dimenzija i cijene, a za primjene koje pretpostavljaju omnidirekcijski dijagram zračenja nije ni poželjan. Prijamnici velike osjetljivosti, primjerice za satelitske radioveze, često imaju prvo pojačalo i/ili miješalo u obliku izdvojenog stupnja postavljeno tik uz prijamnu antenu, a do preostalog dijela prijamnika signal na međufrekvenciji ili u osnovnom frekvencijskom pojasu prenosi linija. Tako je izbjegnuta razmjerno duga prijenosna linija s gubicima prije prvog stupnja prijamnika čime se u skladu s relacijom 3.77, za faktor šuma kaskadno spojenih mreža, postiže značajno poboljšanje ukupnog faktora šuma. Komponentu pojačalo/miješalo u obliku izdvojenog stupnja s malim faktorom šuma često se naziva niskošumnim sklopom (LNB, engl. low-noise block) prijamnika. U tom slučaju omjer G/T redovito uključuje ekvivalentnu temperaturu šuma antene i niskošumnog sklopa. Primjer 4.6. Izravni satelitski radiodifuzijski sustav (DBS, engl. direct broadcast system) sa širinom propusnog pojasa 20 MHz u frekvencijskom području od 12,2 GHz do 12,7 GHz ima najveću udaljenost (s kutem elevacije 30°) između DBS odašiljača u geosinkronoj orbiti i DBS prijamnika na površini Zemlje 39 000 km (slika 4.11). Na ulazu odašiljačke antene s dobitkom 34 dBi snaga signala je 120 W, a prijamna reflektor-antena (s promjerom 45,7 cm) ima dobitak 33,5 dBi i ekvivalentnu temperaturu svjetline 50 K. Ako je faktor šuma niskošumnog sklopa prijamnika 1,1 dB, odrediti ekvivalentnu izotropno zračenu snagu odašiljača, omjer G/T za prijamnu antenu i niskošumni sklop, snagu prijenosnog signala na izlazu prijamne antene te omjer snage prijenosnog signala i snage šuma (CNR, engl. carrier-to-noise ratio) na izlazu niskošumnog sklopa.

DBS odašiljač DBS prijamnik - LNB

R

Pt

Gt

Tb

GrF

CNR

TB(Θ, Φ)

Slika 4.11. Shema DBS sustava za primjer 4.6. Brojčana vrijednost veličina iskazanih u decibelima je:

2512dB 34 i ==tG 2239dB 5,33 i ==rG 1,29dB 1,1 ==F Neka je radna frekvencija jednaka srednjoj vrijednosti navedenog raspona, f = 12,45 GHz pa je valna duljina zračenog vala λ = c/f =0,0241 m. Ekvivalentna izotropno zračena snaga odašiljača je (relacija 4.21):

W5 dB 54,8W 1001,32512120 =⋅=⋅== ttGPEIRP

Ekvivalentna temperatura šuma kaskadno spojene antene i niskošumnog sklopa referirana na ulaz niskošumnog sklopa je:

99

( ) ( ) K134290129,1501 0 =−+=−+=+= TFTTTT bLNBAe Pritom je pretpostavljeno da je ekvivalentna temperatura šuma prijamne antene jednaka temperaturi svjetline, TA = Tb, a primjenom relacije 3.65. faktor šuma niskošumnog sklopa je pretvoren u ekvivalentnu temperaturu šuma u odnosu na ulaz. Omjer G/T za prijamnu antenu i niskošumni sklop je (relacija 4.29):

( )KdB dB 2,121342239log10log10 =

=

=

e

r

TG

TG

Prema Friisovoj jednadžbi raspoloživa snaga prijenosnog signala na izlazu prijamne antene je (relacija 4.20):

( ) ( ) W12

27

25

2

2

dB 9,117W 1063,1109,34

0241,022391001,34

−=⋅=⋅⋅

⋅⋅⋅== −

ππλ

RGGPP rtt

r

Pretpostavi li se da je LNB prilagođen na prijamnu antenu omjer snage prijenosnog signala i snage šuma na izlazu niskošumnog sklopa je:

dB 4,161,4410201341038,1

1063,1623

12

==⋅⋅⋅⋅

⋅=== −

−

BkTP

BGkTGPCNR

e

r

LNBe

LNBr

gdje je GLNB pojačanje snage niskošumnog sklopa. Za dobru kakvoću slike dostatan je omjer snage prijenosnog signala i snage šuma na izlazu niskošumnog sklopa 16 dB uz digitalnu modulaciju s ispravljanjem pogreške kakvu se koristi u DBS sustavu.

4.4. Antene jednostavne strukture Elektromagnetsko polje generiraju električni naboji s promjenljivom brzinom pa svaka struktura koja ostvaruje ubrzanje naboja može biti izvor elektromagnetskog vala. Antena mora imati i dodatna svojstva: primjerenu efikasnost zračenja i određenu prostornu razdiobu zračenog polja. Zavisnost električnih parametara o dimenzijama i elektromagnetskim svojstvima antenske strukture slijedi iz prikaza elektromagnetskog polja sfernim valovima. To su rješenja Maxwellovih jednadžbi za neograničeni, izotropni i homogeni prostor s izvorima koji iščezavaju svugdje osim u ishodištu sfernog koordinatnog sustava. Rezultirajuća rješenja su modovi (oblici) elektromagnetskog polja praznog prostora. Ako je ispunjen uvjet zračenja, odnosno ako postoje samo iz ishodišta divergentni sferni valovi, onda su njihovi koeficijenti jednoznačno određeni tangencijalnom komponentom električnog ili magnetskog polja na zatvorenoj površini koja potpuno okružuje izvore u ishodištu. Drukčije iskazano zračeno polje u dalekim točkama prostora jednoznačno je određeno tangencijalnom komponentom polja na zatvorenoj površini koja potpuno okružuje izvore elektromagnetskog polja. Nasuprot tome ne postoji jednoznačnost između geometrije antenske strukture, odnosno razdiobe gustoće struje na antenskoj strukturi i tangencijalne komponente polja na zatvorenoj površini koja okružuje antenu. To znači da antene različite strukture mogu imati jednako zračeno polje u dalekim točkama prostora pa dvojbenim ostaje najpovoljniji oblik. Pritom najveću poteškoću uzrokuje

100

pobuda potrebne razdiobe gustoće struja ili polja na otvoru antenske strukture u željenom frekvencijskom području.

Prikaz zračenog elektromagnetskog polja s izvorima u ishodištu redom divergentnih sfernih valova pokazuje odrezni učin neograničenog prostora. Broj značajnih članova (prostornih harmonika) ovog reda razmjeran je omjeru promjera najmanje sferne površine koja okružuje izvore i valne duljine zračenog polja. Parametar dijagrama zračenja antene, na primjer najveći dobitak je funkcija broja značajnih prostornih harmonika pa očigledno zavisi o dimenzijama antene u odnosu na valnu duljinu. Antene je moguće razvrstati prema različitim kriterijima; podjela prema osnovnom načinu zračenja, odnosno prema frekvencijskom području uobičajene primjene je prikazana na slici 4.12. Primjerice u skupinu antena u obliku zračećeg strujnog elementa (engl. current elements) pripadaju dipol, monopol, petlja, prorez, bikonična, disk, mikrotrakasta i ostale antene. Neke iz skupine antena s putujućim valom (engl. travelling-wave antennas) su duga žičana, romb, prorezani valovod, spiralna, helikoidalna, log-periodička, dielektrična i mikrotrakasta, a neke iz skupine antena u obliku zračećeg otvora (engl. aperture antennas) su reflektor, lijevak i leća. Antenski niz (engl. array antenna) sadrži više pravilno raspoređenih elementarnih antena s takvom pobudom da ostvaruju zadani dijagram zračenja. Iako postoje brojne iznimke navedene skupine se razlikuju dimenzijama antene u odnosu na valnu duljinu zračenog polja (slika 4.12.a). Naravno, to utječe na frekvencijsko područje uobičajene primjene (slika 4.12.b).

0,01 0,1 1 10 100 1000(dimenzije antene)/λ

104 105 106 107 108 109 1010 1011

f/Hza) b)

strujni element strujni element

putujući val putujući val

antenski niz antenski niz

zračeći otvor zračeći otvor

Slika 4.12. Podjela antena: a) prema osnovnom načinu zračenja; b) prema frekvencijskom području uobičajene primjene

Najjednostavniju strukturu imaju linearne (žičane) antene koje sadrže vodiče zanemarivo malog promjera u odnosu na duljinu. Ovaj uvjet opravdava pretpostavku da je razdioba elektične struje duž strukture linearne antene funkcija samo jedne prostorne koordinate. Elementarni električni dipol (Hertzov električni dipol) je linearna antena s neizmjerno malom (infinitezimalnom) duljinom koja je uvijek puno manja od valne duljine, ∆L << λ. Neka je elementarni električni dipol postavljen duž osi z simetrično u odnosu na ishodište (slika 4.13.a). Zbog usvojenih pretpostavki razdioba struje duž elementarnog električnog dipola je konstanta, I(z) = I0 (slika 4.13.b). Naravno, ovo nije stvarna antena jer bi u tom slučaju električna struja iščezavala na otvorenim krajevima vodiča. Unatoč tome elementarni električni dipol ima iznimni značaj jer se svaku linearnu antenu može prikazati serijskim spojem velikog broja takvih antena pri čemu je svaka protjecana odgovarajućom strujom. Najsličnija elementarnom električnom dipolu je antena male ukupne duljine u odnosu na valnu duljinu s velikim završnim kapacitetom u obliku ploče ili kugle na krajevima. Ako završni kapaciteti zanemarivo malo zrače, struja duž ravnog dijela vodiča koji ih spaja je približno konstantna. Zračeno električno polje razmatranog elementarnog električnog dipola u dalekim točkama prostora je:

101

( ) rjkΘ Θ

rLIjkE 0esin

4000 −∆

=π

η

(4.31) 0=ΦE

gdje je k0 konstanta propagacije, a η0 je valna impedancija praznog prostora. Relacija vrijedi za vrijednosti kutne koordinate u rasponu 0 ≤ Θ ≤ π. U ograničenom prostoru na velikoj udaljenosti od ishodišta zavisnost odgovarajućih komponenti električnog i magnetskog polja određena je relacijom 4.2. Razabire se da je električno i magnetsko polje u dalekim točkama prostora sinusna funkcija kutne koordinate Θ pa elementarni električni dipol, iako infinitezimalnih dimenzija, nije izotropna antena.

z

xy

Θ

r

Φ

∆L

a)

z

∆L/2

-∆L/2

I0 I(z)

b)2a

0I0

Slika 4.13. Elementarni električni dipol: a) geometrijske veličine; b) razdioba struje Dijagram zračenja okomito postavljenog elementarnog električnog dipola prikazan je na slici 4.14; glavni snop je u vodoravnoj ravnini, Θ = 90°, širina snopa za polovinu snage, Θ−3dB je 90°, a usmjerenost, D je 1,5 ili 1,76 dBi (primjer 4.2). Razmatrani dipol ima okomitu linearnu polarizaciju jer zračeno električno polje u dalekim točkama prostora ima samo EΘ komponentu (relacija 4.31).

0°Θ

30°

60°

90°

120°

150°180°

210°

240°

270°

300°

330°

F/dB-10-20-30 0-40

Slika 4.14. Dijagram zračenja elementarnog električnog dipola

102

Dipol-antena je linearna struktura koja sadrži dva najčešće jednaka vodiča konačne duljine postavljena na pravac i odvojena uskim prorezom. Neka je dipol-antena postavljena duž osi z simetrično u odnosu na ishodište (slika 4.15.a). Za električno kratki dipol (engl. electrically short dipole) ukupna duljina, L je mala u odnosu na valnu duljinu, λ pa je moguće pretpostaviti linearnu (trokutastu) razdiobu struje duž antenske strukture; maksimalna vrijednost I0 je na sredini, a na krajevima struja iščezava (slika 4.15.b).

z

xy

L

a)

z

L/2

-L/2

I0 I(z)

b)

2a

0

c)

Rrad Rloss

jXZin

sinusoidalnarazdioba

linearnarazdioba

Slika 4.15. Dipol-antena: a) geometrijske veličine; b) razdioba struje; c) nadomjesni krug

Zračeno električno polje kratkog dipola u dalekim točkama prostora jednako je polovini odgovarajuće vrijednosti za elementarni električni dipol (relacija 4.31):

( ) rjkΘ Θ

rLIjkE 0esin

421 000 −=

πη

(4.32) 0=ΦE

Normalizirani dijagram zračenja kratkog dipola jednak je dijagramu zračenja elementarnog električnog dipola (slika 4.14). Naravno, jednaki su im i parametri koji se odnose na dijagram zračenja, primjerice širina glavnog snopa za polovinu snage i usmjerenost. Ukupnu snagu koju zrači razmatrani kratki dipol moguće je odrediti pomoću integrala Poyntingovog vektora po površini kugle radijusa r sa središtem u ishodištu (relacije 4.6. i 4.7):

( )=== ∫ ∫∫ ∫

= == =

π ππ π

πη

η

2

0 0

32

020

220

2

0 0

2

0

2

ddsin48

ddsin2 Φ ΘΦ Θ

Θrad ΦΘΘkLIΦΘΘErP

2

22200

20

220 10

48 λπ

πη LIkLI

==

gdje je za konstantu propagacije praznog prostora uvršteno k0 = 2π/λ, a za valnu impedanciju η0 = 120π Ω. Ukupna zračena snaga iskazana pomoću elemenata nadomjesnog kruga je (slika 4.15.c):

radrad RIP 202

1=

103

Otpor zračenja antene je otpor ekvivalentnog otpornika koji protjecan efektivnom vrijednošću struje u točki napajanja antene rasipa snagu jednaku ukupnoj zračenoj snazi. Izjednačavanjem relacija za ukupnu zračenu snagu slijedi otpor zračenja kratkog dipola:

2220

=

λπ LRrad (4.33)

Ova relacija približno vrijedi za dipol-antene do četvrtvalne duljine, L < λ/4. Gubici nastaju zbog konačne električne provodnosti vodiča antenske strukture. Nadomjesni otpor gubitaka kratkog dipola ostvarenog vodičima ukupne duljine L i promjera 2a je:

aLRR s

loss π6= (4.34)

Površinski otpor vodiča je:

σωµ2

0=sR (4.35)

gdje je ω = 2πf kutna frekvencija prijenosnog signala, σ je električna provodnost vodiča, a µ0 = 4π·10−7 H/m je permeabilnost praznog prostora. Efikasnost zračenja kratkog dipola je (relacija 4.10):

lossrad

rad

lossrad

radrad RR

RPP

Pe+

=+

= (4.36)

Znatno složeniji postupak valja primijeniti pri određivanju reaktivnog dijela ulazne

impedancije kratkog dipola (slika 4.15.c):

−

−= 1ln60

aL

LX

πλ (4.37)

gdje su L i a odgovarajuće ukupna duljina i polumjer vodiča dipola, a λ je valna duljina prijenosnog vala u praznom prostoru. Ako su gubici kratkog dipola zanemarivo mali, odnosno ako je efikasnost zračenja velika ulazna impedancija je približno Zin = Rrad + jX. Moguće je razabrati da je realni dio ulazne impedancije kratkog dipola nekoliko oma (relacija 4.33), a imaginarni dio je kapacitivan vrijednosti nekoliko stotina oma (relacija 4.37). To otežava prilagođenje ulazne impedancije kratkog dipola na prijenosnu liniju standardne karakteristične impedancije; najčešće je nužna prilagodna mreža velikog Q faktora. Primjer 4.7. Radiosustav s frekvencijom prijenosnog signala 930 MHz sadrži dipol-antenu koja je ostvarena bakrenim vodičem ukupne duljine 3,0 cm i polumjera 0,01 cm. Ako je električna provodnost bakra 5,8·107 S/m, odrediti ulaznu impedanciju i efikasnost zračenja dipola. Frekvenciji 930 MHz odgovara valna duljina λ = c/f = 32,3 cm pa je razmatrana antena kratki dipol. Otpor zračenja i kapacitivna reaktancija kratkog dipola odgovarajuće je (relacije 4.33. i 4.37):

104

Ω=

=

= 70,1

3,320,32020

22

22 π

λπ LRrad

Ω=

−

⋅⋅

−=

−

−= 9671

01,00,3ln

0,33,32601ln60

ππλ

aL

LX

Prema relaciji 4.35. površinski otpor bakrenog vodiča je:

Ω⋅=⋅⋅

⋅⋅⋅⋅== −

−

1096,7108,52

1041093022

37

760 ππ

σωµ

sR

pa je otpor gubitaka kratkog dipola (relacija 4.34):

Ω=⋅

⋅⋅==

−

13,001,06

31096,76

3

ππaLRR s

loss

Ulazna impedancija razmatrane dipol-antene je (slika 4.15.c):

( )Ω−=−+=−+= 96783,196713,070,1 jjjXRRZ lossradin a efikasnost zračenja je (relacija 4.36):

% 9393,013,070,1

70,1==

+=

+=

lossrad

radrad RR

Re

Povećanje duljine dipol-antene povećava otpor zračenja i smanjuje kapacitivnu reaktanciju. Kad je duljina dipola približno jednaka polovini valne duljine, L ≈ 0,48λ nastupa rezonancija, odnosno iščezava imaginarni dio ulazne impedancije. Rezonantni poluvalni dipol ima ulaznu impedanciju približno (72 + j0) Ω što je znatno lakše prilagoditi na prijenosnu liniju standardne karakteristične impedancije. Razdioba struje duž poluvalnog dipola približno je u obliku pozitivne polovine kosinusoide (slika 4.15.b); maksimalna vrijednost I0 je na sredini, a na krajevima struja iščezava. Zračeno električno polje u dalekim točkama prostora dipol-antene duljine L = λ/2 postavljene duž osi z simetrično u odnosu na ishodište (slika 4.15.a) je:

rjkΘ Θ

Θ

rIjE 0e

sin

cos2

cos

200 −

=

π

πη

(4.38) 0=ΦE

gdje je η0 valna impedancija praznog prostora, a k0 je konstanta propagacije. Dijagram zračenja okomito postavljenog poluvalnog dipola sličan je dijagramu zračenja odgovarajućeg elementarnog električnog dipola (slika 4.14) s užim glavnim snopom. Maksimum zračenja je u vodoravnoj ravnini, Θ = 90°, širina snopa za polovinu snage, Θ−3dB je 78°, a usmjerenost, D je 1,64 ili približno 2,2 dBi. (Napomena: usmjerenost 2,2 dBi je zbog jednostavnosti

105

zaokružena vrijednost 2,15 dBi.) Razmatrani poluvalni dipol ima okomitu linearnu polarizaciju jer zračeno električno polje u dalekim točkama prostora ima samo EΘ komponentu (relacija 4.38). Otpor gubitaka poluvalnog dipola je usporediv s otporom gubitaka kratkog dipola (relacija 4.34), ali mu je otpor zračenja puno veći pa je efikasnost zračenja poluvalnog dipola (relacija 4.36) najčešće blizu 100 %. U tom slučaju dobitak poluvalnog dipola, G je približno jednak usmjerenosti, D (relacija 4.11). Dipol se najčešće sastoji od dvije jednake polovice ravnog vodiča koje su u sredini uravnoteženo napajane. Ako se polovica ravnog vodiča postavi okomito iznad savršeno vodljive uzemljene ravnine, onda nastaje monopol-antena s neuravnoteženim napajanjem. Na slici 4.16.a) prikazan je dipol napajan generatorom napona U0 i struje I0. Ako se izvor signala podijeli na dva serijski spojena generatora napona U0/2 i struje I0, neće se promijeniti zračeno polje, odnosno dijagram zračenja dipol-antene (slika 4.16.b). Središtem antene (spojištem generatora) prolazi ravnina simetrije na kojoj iščezavaju tangencijalne komponente zračenog polja. U tom slučaju ravnina simetrije može biti savršeno provodna i uzemljena (na električnom potencijalu Zemlje), a da se pritom nigdje ne promijeni zračeno polje. Monopol (unipol) nastaje ako se s jedne strane savršeno provodne uzemljene ravnine odstrani polovica dipol-antene s pripadajućim generatorom (slika 4.16.c). Monopol ima jednaki dijagram zračenja kao i dipol, dakako, samo u poluprostoru iznad uzemljene ravnine; u poluprostoru ispod uzemljene ravnine elektromagnetsko polje iščezava.

a) b) c)

+++

+I0

I0I0

I0U0U0/2U0/2

U0/2uzemljena

ravnina

Slika 4.16. Pretvorba dipola u monopol: a) dipol; b) dipol s ravninom simetrije; c) monopol

Električno polje u dalekim točkama gornjeg poluprostora, 0 ≤ Θ ≤ π/2 kojeg zrači

kratki monopol postavljen duž osi z s nožištem u ishodištu je:

( ) rjkΘ Θ

rLIjkE 0esin

421 000 −=

πη

(4.39) 0=ΦE

Ovo polje ima maksimalnu vrijednost jednaku kao i polje kratkog dipola (relacija 4.32), ali je ukupna snaga zračena monopolom jednaka polovini snage zračene dipolom. Zato je usmjerenost električno kratkog monopola dvostruko veća od usmjerenosti kratkog dipola, D = 1,67 dBi + 3 dB = 4,76 dBi. Slično, usmjerenost četvrtvalnog monopola je dvostruko veća od usmjerenosti poluvalnog dipola, D = 2,2 dBi + 3 dB = 5,2 dBi.

106

Struja na ulazu monopola i odgovarajućeg dipola je jednaka, ali je napon na ulazu monopola upola manji (slike 4.16.a) i 4.16.c). Zato je ulazna impedancija monopola upola manja od ulazne impedancije odgovarajućeg dipola:

dipolamonopola ZZ21

= (4.40)

Na primjer ulazna impedancija rezonantnog četvrtvalnog monopola je približno (36 + j0) Ω. Dostupne su brojne inačice dipola i monopola; neke imaju poboljšana svojstva, a ostale su za posebne primjene. Poteškoću pri uporabi dipol-antene nerijetko uzrokuje njezino uravnoteženo napajanje. U nekim primjenama napajanje je moguće ostvariti pomoću uravnotežene dvožične prijenosne linije (engl. twin-lead), primjerice napajanje odašiljačkih dipola radiodifuzijskih (televizijskih i FM radio) sustava. U većini slučajeva napajanje uravnoteženog dipola se ostvaruje neuravnoteženom koaksijalnom prijenosnom linijom pa je nužno koristiti prilagodnik uravnoteženja (engl. balun, balanced-to-unbalanced). Monopol omogućuje neuravnoteženo napajanje, ali iziskuje neograničenu savršeno provodnu uzemljenu ravninu kao dio antenske strukture. U nekim primjenama moguće je ovu ravninu ostvariti provodnom površinom konačnih dimenzija, na primjer kod monopola postavljenih na vozila, brodove ili letjelice, ali je to neprikladno za prijenosne radiokomunikacijske uređaje. Kod koaksijalne monopol-antene (engl. sleeve monopole) otklonjena su oba spomenuta nedostatka (slika 4.17).

lL

monopol

koaksijalnikabel

koaksijalnacijev

Slika 4.17. Koaksijalna monopol-antena Koaksijalni monopol se sastoji od metalne cijevi kroz koju bez izravnog kontakta prolazi koaksijalni kabel kojim se ostvaruje napajanje. Središnji vodič koaksijalnog kabela je od vrha metalne cijevi produžen u obliku standardnog monopola. Antenska struktura ima ukupnu duljinu približno jednaku četvrtini valne duljine, L + l ≈ λ/4. Na koaksijalnoj cijevi generira se razdioba struje koja iščezava na dnu cijevi jednako kao što iščezava i na vrhu vodiča monopola. Dijagram zračenja, širina snopa i usmjerenost koaksijalnog monopola usporediva je s odgovarajućim parametrima monopol-antene. Žičana petlja-antena (engl. loop antenna) također pripada skupini linearnih antena. U primjenama u kojima je radioprijamnik u blizini ljudskog tijela petlja-antena ima prednosti u odnosu na dipol i monopol. Na njezine parametre znatno manje utječe razmjerno velika električna provodnost ljudskog tijela. Neka je kružna petlja-antena postavljena u xy ravninu koncentrično s ishodištem (slika 4.18.a). Za električno malu petlja-antenu polumjer petlje, b je mali u odnosu na valnu duljinu, λ pa je moguće pretpostaviti konstantnu razdiobu struje duž petlje, I(Φ) = I0 (slika 4.18.b).

107

z

xy

Θ

r

Φ

a)

Φ

bπ

-bπ

I0 I(Φ)

b) c)

Rrad Rloss

jXZin

0b

2a

I0

Slika 4.18. Mala petlja-antena: a) geometrijske veličine; b) razdioba struje; c) nadomjesni krug

Zračeno električno polje razmatrane petlja-antene u dalekim točkama prostora je:

0=ΘE (4.41)

( ) rjkΦ Θ

rbIkE 0esin

4

200

20 −=

ππη

gdje je k0 konstanta propagacije, η0 je valna impedancija praznog prostora, a vrijednosti kutne koordinate su u rasponu 0 ≤ Θ ≤ π. Usporedba s relacijom 4.31. pokazuje da je dijagram zračenja male petlja-antene jednak dijagramu zračenja elementarnog električnog dipola (slika 4.14). To znači da je glavni snop u vodoravnoj ravnini, Θ = 90°, širina snopa za polovinu snage, Θ−3dB je 90°, a usmjerenost, D je 1,5 ili 1,76 dBi. Međutim, polarizacija razmatrane petlja-antene je vodoravna linearna jer zračeno električno polje u dalekim točkama prostora ima samo EΦ komponentu (relacija 4.41). Elementarni magnetski dipol (Hertzov magnetski dipol) je strujna petlja s neizmjerno malom (infinitezimalnom) ploštinom. Jednakim postupkom kao i u slučaju kratkog dipola moguće je odrediti otpor zračenja razmatrane petlja-antene:

2

2

24320

=

λππ bRrad (4.42)

Relacija vrijedi za petlja-antene s malim polumjerom u odnosu na valnu duljinu, b < λ/10. Otpor gubitaka razmatrane petlja-antene je:

sloss RabR = (4.43)

gdje je b i a polumjer odgovarajuće kružne petlje i vodiča kojim je ostvarena antenska struktura, a Rs je površinski otpor vodiča (relacija 4.35). Prema relaciji 4.36. moguće je odrediti efikasnost zračenja male petlja-antene. Reaktancija joj je induktivna (slika 4.18.c):

−

= 75,18ln240 2

abX

λπ (4.44)

108

Moguće je razabrati da je otpor zračenja male petlja-antene najčešće nekoliko oma (relacija 4.42), a induktivna reaktancija nekoliko kilooma (relacija 4.44). Povećanjem broja zavoja moguće je povećati otpor zračenja, ali i otpor gubitaka petlja-antene; N zavoja povećava otpor zračenja s faktorom N2, a otpor gubitaka s faktorom N. Katkad su male petlja-antene kvadratičnog ili pravokutnog oblika. Ako je opseg takve petlje L, a ploština A, onda je otpor zračenja i otpor gubitaka odgovarajuće:

2

24320

=

λπ ARrad (4.45)

sloss Ra

LRπ2

= (4.46)

gdje je a polumjer vodiča kojim je ostvarena antenska struktura, Rs je površinski otpor vodiča, a λ je valna duljina zračenog vala u praznom prostoru. Primjer 4.8. Radiosustav s frekvencijom prijenosnog signala 930 MHz sadrži kružnu petlja-antenu koja ima promjer 3,0 cm i ostvarena je bakrenom žicom promjera 0,02 cm. Ako je električna provodnost bakra 5,8·107 S/m, odrediti ulaznu impedanciju i efikasnost zračenja dipola. Valna duljina i površinski otpor vodiča su jednaki kao u primjeru 4.7; λ = 32,3 cm i Rs = 7,96·10−3 Ω. Otpor zračenja i otpor gubitaka male petlja-antene odgovarajuće je (relacije 4.42. i 4.43):

Ω=

⋅=

= 43,1

3,325,1320320

2

2

24

2

2

24 ππ

λππ bRrad

Ω=⋅⋅== − 19,11096,701,05,1 3

sloss RabR

Prema relaciji 4.44. induktivna reaktancija razmatrane antene je:

Ω=

−

⋅

=

−

= 161 3975,1

01,05,18ln

323,024075,18ln240 22 π

λπ

abX

Ulazna impedancija male petlja-antene je (slika 4.18.c):

( )Ω+=++=++= 161 j392,62161 3919,143,1 jjXRRZ lossradin a efikasnost zračenja je (relacija 4.36):

% 5555,019,143,1

43,1==

+=

+=

lossrad

radrad RR

Re

Efikasnost zračenja male petlja-antene je znatno manja od efikasnosti zračenja odgovarajuće kratke dipol-antene (primjer 4.7).

109

Elementarna otvor-antena (Huygensov izvor) je otvor neizmjerno male (infinitezimalne) ploštine, ∆A u neograničenoj, za elektromagnetsko polje savršeno upijajućoj ravnini. Dimenzije otvora su uvijek puno manje od valne duljine, ∆A << λ2, a izvan otvora svi izvori elektromagnetskog polja iščezavaju. Neka je elementarna otvor-antena postavljena u xy ravninu; elektromagnetsko polje na otvoru ima poznata svojstva ravnog vala, 0EeE xa

rr i =

00 ηEeH yarr

= (slika 4.19.a).

z

x

y

Θr

Φ

a)

0°Θ

30°

60°

90°

120°

150°180°

210°

240°

270°

300°

330°

F/dB-10 0-20-30

b)

∆AEa

Ha

Slika 4.19. Elementarna otvor-antena: a) geometrijske veličine; b) dijagram zračenja Zračeno električno polje razmatrane elementarne otvor-antene u dalekim točkama prostora je:

( ) ΦΘAEjkErjk

Θ coscos1r4e 0

00 +∆

=−

π

(4.47)

( ) ΦΘAEjkErjk

Φ sincos1r4e 0

00 +∆

−=−

π

gdje je k0 konstanta propagacije praznog prostora, a vrijednosti kutne koordinate su u rasponu 0 ≤ Θ ≤ π i 0 ≤ Φ < 2π. Elementarna otvor-antena zrači linearno polarizirani elektromagnetski val jer komponente električnog polja EΘ i EΦ imaju jednaku fazu. Pravac polarizacije se mijenja zavisno o kutu Θ i Φ. Dijagram zračenja razmatrane elementarne otvor-antene je ½(1+cosΘ) = cos2(Θ/2) što je jednadžba srcolike krivulje (kardioida, slika 4.19.b). Razabire se da je dijagram zračenja neovisan o kutnoj koordinati Φ pa je to omnidirekcijska antena; glavni snop je u pravcu Θ = 0°, širina snopa za polovinu snage, Θ−3dB je 131°, a usmjerenost, D je 3 ili 4,77 dBi dvostruko veća od usmjerenosti elementarnog električnog dipola. 4.5. Širenje elektromagnetskog vala Elektromagnetski val koji se širi radiokomunikacijskim kanalom između odašiljačke i prijamne antene izložen je različitim učinima propagacije koji mu mogu promijeniti

110

amplitudu, fazu ili frekvenciju. Za elektromagnetski val s frekvencijom u mikrovalnom području najznačajniji učini propagacije jesu:

- odbijanje (refleksija) od površine Zemlje i velikih objekata - ogib (difrakcija) na rubovima i uglovima reljefa i građevina - raspršenje na raslinju i ostalim malim objektima - slabljenje (atenuacija) zbog padalina i u atmosferi - Dopplerov pomak zbog promjene duljine staze.

Na frekvencijama nižim od približno 100 MHz na širenje elektromagnetskog vala mogu utjecati dodatne pojave, na primjer Zemljin površinski val (engl. ground surface wave), atmosferski valovod (engl. atmospheric ducting) i reflektiranje od ionosfere (engl. ionospheric reflection). Općenito, ovi učini propagacije smanjuju snagu primanog signala pa ograničavaju domet uporabe ili širinu frekvencijskog pojasa radiosustava. Friisova jednadžba (relacija 4.20) pokazuje da se primljena snaga smanjuje s kvadratom udaljenosti od odašiljača. Taj gubitak staze nastaje pri širenju elektromagnetskog vala praznim prostorom gdje nema refleksije, difrakcije, raspršenja ili dodatne atenuacije. Praktično je Friisovu jednadžbu moguće primijeniti samo za pravocrtnu nezasjenjenu stazu optičke vidljivosti (LOS, engl. line-of-sight), primjerice u slučaju usmjerenih radioveza, veza satelit - satelit i Zemlja - satelit. Pritom je nužno da barem jedna antena radiosustava ima uski glavni snop, odnosno veliki dobitak (slika 4.20.a).

izravni val

iščezavajućireflektirani

val

staza optičke vidljivosti

odašiljač

a)

b)

prijamnik

izravni val

raspršeni val

reflektirani val

difragirani valreflektirani val

Slika 4.20. Širenje elektromagnetskog vala: a) stazom optičke vidljivosti; b) višestazno U ostalim praktičnim slučajevima odbijanje, raspršenje i ogib uzrokuju višestazno (engl. multipath) širenje elektromagnetskog vala između odašiljača i prijamnika (slika 4.20.b). Višestazna propagacija je vrlo vjerojatna kad antene imaju široki glavni snop (mali dobitak) i u blizini su (u odnosu na valnu duljinu) površine Zemlje ili ostalih reflektirajućih površina. U najnepovoljnijem slučaju može potpuno izostati propagacija stazom optičke vidljivosti; to je česta pojava kod pokretnih komunikacija. Pritom je primani signal u određenoj mjeri izložen destruktivnoj ili konstruktivnoj interferenciji zbog promjenljivog faznog zakreta (kašnjenja) signala koji se šire duž različitih staza. Naravno, u slučaju višestaznog širenja nije moguće primijeniti Friisovu jednadžbu i vrlo je teška zadaća odrediti snagu primljenog signala. Neka je radioveza ostvarena izravnim valom i jednim valom reflektiranim od površine Zemlje (slika 4.21). Odašiljačka antena s dobitkom Gt i snagom signala na ulazu Pt je na

111

visini h1 iznad ravne površine, a prijamna antena s dobitkom Gr i snagom signala na izlazu Pr je na visini h2. Udaljenost između odašiljačke i prijamne antene, d je puno veća od visine antena, odgovarajuće h1 i h2. Duljina staze izravnog vala je Rd, a staze reflektiranog vala Rr. Prema Snellovom pravilu kut odbijanja Θ jednak je kutu upada, a Γ je faktor refleksije.

d

odašiljačkaantena Gt, Pt

prijamnaantena Gr, Pr

h 1

h 2

Rd

Rr

Γ ΘΘ

Slika 4.21. Geometrijske veličine za radiovezu s izravnim i reflektiranim valom

Napon primljenog signala prenesenog izravnim valom je:

d

RjkRjk

d

rttRjkrd R

CR

ZGPGZPU

ddd

000

ee4

e2

00

−−− ===

πλ

(4.48)

gdje je za primljenu snagu Pr uvrštena relacija 4.20. (Friisova jednadžba), a Z0 je ulazna impedancija (realna) prijamnika. Treba istaknuti da primljeni napon ima jednaku zavisnost o udaljenosti kao i zračeno polje u dalekim točkama prostora (relacija 4.1). Znak C sadrži samo električne veličine:

04ZPGGC trtπ

λ= (4.49)

Redovito je udaljenost između odašiljačke i prijamne antene puno veća od visine na kojoj su postavljene, d >> h1 i d >> h2. U tom slučaju duljina staze izravnog vala je približno:

( ) ( )dhhdhhdRd 2

2212

212 −

+≈−+= (4.50)

Pritom su zadržana samo dva početna člana reda potencija, (1 + x)½ ≈ 1 + x/2 za x << 1.

Istovjetno, napon primljenog signala prenesenog reflektiranim valom je:

r

Rjk

r ReCΓU

r0−

= (4.51)

gdje je C određen relacijom 4.50, a duljina staze reflektiranog vala je približno:

( ) ( )dhhdhhdRr 2

2212

212 +

+≈++= (4.52)

112

Veličina Γ u relaciji 4.51. je faktor refleksije ravnog vala na površini Zemlje; zavisi o kutu upada, frekvenciji i polarizaciji elektromagnetskog vala te o dielektričnosti i provodnosti površine Zemlje. Na frekvenciji 100 MHz prosječna vrijednost relativne permitivnosti (dielektrične konstante) i električne provodnosti je za tlo εr = 15 i σ = 0,005 S/m, a za morsku vodu εr = 81 i σ = 5 S/m. Za okomito linearno polarizirani elektromagnetski val koji približno tangencijalno (s malim kutom Θ) upada na površinu Zemlje faktor refleksije, Γ je približno −1. Ako je dobitak odgovarajuće odašiljačke i prijamne antene jednak u pravcu širenja izravnog i reflektiranog vala, ukupni napon primljenih signala je:

−=+=

−−

r

Rjk

d

Rjk

rd RRCUUU

rd 00 ee (4.53)

gdje je za Ud i Ur uvršena odgovarajuće relacija 4.48. i 4.51. uz Γ = −1. U dijelu ove relacije kojim je određena amplituda ukupnog napona moguće je pretpostaviti da su duljine staza približno jednake udaljenosti između odašiljačke i prijamne antene, Rd ≈ Rr ≈ d. Naravno, ovakva pretpostavka nije moguća za dio relacije kojim je određena faza ukupnog napona jer mala razlika duljine staze izravnog i reflektiranog vala može uzrokovati znatnu razliku faznog zakreta. Sažeta relacija 4.53. je:

[ ] ( )dhhjkdjk

RRjk

d

Rjk

dC

RCU rd

d/2)( 210

00

0

e1ee1e −−

−−−

−=−= (4.54)

gdje je za Rd i Rr u eksponentu uvrštena odgovarajuće relacija 4.50. i 4.52. Faktor dobitka staze (engl. path gain factor):

=−= −

dhhkF dhhjk 210/2 sin2e1 210 (4.55)

ima vrijednost u rasponu 0 ≤ F ≤ 2 pa ukupni primljeni napon može iščeznuti (izravni i reflektirani val protufazni) ili se može udvostručiti (izravni i reflektirani val istofazni) u odnosu na primljeni napon prenesen samo izravnim valom. Primjer 4.9. Odašiljačka antena radiosustava s frekvencijom prijenosnog signala 1 800 MHz je na visini 8,33 m. Ako je udaljenost između odašiljačke i prijamne antene 1 km, a signal se prenosi izravnim valom i jednim valom reflektiranim od površine Zemlje, odrediti najmanju visinu prijamne antene za koju je ukupni napon primljenih signala maksimalan. Frekvenciji 1 800 MHz odgovara valna duljina λ = c/f = 0,1667 m pa je visina odašiljačke antene iskazana valnim duljinama h1 = 8,33 m = 50λ. Faktor dobitka staze ima maksimum kad je argument sinusne funkcije u relaciji 4.55. jednak:

K 0,1,2,nza 2

210 =+= ππ nd

hhk

Najmanja visina prijamne antene pri kojoj je ukupni napon primljenih signala maksimalan je za n = 0:

m 5504

1000222 110

2 =⋅

===λλ

πλππ

hd

hkdh

113

gdje je za konstantu propagacije praznog prostora uvršteno k0 = 2π/λ.

Za vrlo veliku udaljenost između odašiljačke i prijamne antene vrijednost sinusne funkcije u relaciji 4.55. približno je jednaka vrijednosti argumenta, sinx ≈ x za mali x:

dhhk

dhhkF 210210 2sin2 ≈

=

Uvrsti li se ovaj rezultat u relaciju 4.54. slijedi da je ukupni napon primljenih signala:

2210

0e2d

hhCkUdjk−

= (4.56)

razmjeran recipročnoj vrijednosti kvadrata udaljenosti između odašiljačke i prijamne antene, 1/d2. U tom slučaju primljena snaga je razmjerna 1/d4:

4

22

21

40

22

21

20

2

0

24

dhhGGP

dZhhkC

ZU

P rttr === (4.57)

gdje je za C uvrštena relacija 4.49. Provedeno razmatranje vrijedi za k0h1h2/d < π/10 ili za udaljenost odašiljačke i prijamne antene:

λπ21210 20

10hhhhkd => (4.58)

Stvarno višestazno širenje elektromagnetskog vala s višestrukim odbijanjem, ogibom i raspršenjem je znatno složenije od razmotrenog jednostavnog slučaja pa iziskuje mjerenje gubitka staze u određenom okolišu. Općenito, gubitak (atenucija) staze je razmjeran gdje je d

nd udaljenost odašiljačke i prijamne antene, a eksponent n je broj u rasponu od 2 (staza u

praznom prostoru) do 6 (zasjenjena staza u gradskom području ili unutar zgrade). Ako su odašiljačka i prijamna antena u blizini površine Zemlje, njezina zakrivljenost ograničava duljinu staze optičke vidljivosti, LOS čak i u slučaju kad ne postoji reljef, primjerice na površini mora. Pritom staza optičke vidljivosti elektromagnetskog vala seže preko geometrijskog obzora jer se blago savija prema površini Zemlje zbog smanjivanja indeksa loma (refrakcije) atmosfere s visinom. Tu pojavu je moguće uključiti u razmatranje propagacije ako se pretpostavi pravocrtno širenje izravnog vala iznad površine Zemlje oblika kugle polumjera koji iznosi 4/3 stvarnog. U tom slučaju najveća duljina kružnog luka između odašiljačke i prijamne antene za površinom Zemlje nezaklonjenu stazu je:

( )213

max 1012,4 hhd +⋅= (4.59) gdje je h1 i h2 visina odgovarajuće odašiljačke i prijamne antene. Dodatno slabljenje snage elektromagnetskog vala uzrokuje širenje atmosferom ili kroz prepreke. Na slici 4.22. prikazana je frekvencijska zavisnost srednje atenuacije, A u atmosferi na dvije visine za elektromagnetski val s vodoravnom linearnom polarizacijom. Razabire se da je atenuacija u atmosferi najčešće zanemarivo mala za elektromagnetski val s frekvencijom nižom od približno 10 GHz. Lokalni maksimumi atenuacije u okolišu frekvencije 22 GHz,

114

60 GHz i višim su, kao i u slučaju šuma atmosfere (slika 4.8), posljedica rezonancije molekule vode ili kisika. Atenuacija se smanjuje s visinom zbog smanjene gustoće tih molekula. Efektivna duljina staze kroz atmosferu za radiovezu Zemlja - satelit je najčešće u rasponu od 4 km do 5 km.

10 20 30 40 50 100 200 300 4000,001

0,01

0,1

1

10

100

f/GHz

A/(dBkm-1)

H2O

H2OH2O

O2

O2

razinamora

visina9150 m

Slika 4.22. Frekvencijska zavisnost atenuacije u atmosferi Oborine u obliku kiše ili snijega mogu znatno povećati atenuaciju u atmosferi elektromagnetskog vala mikrovalnih frekvencija. Na primjer za intenzitet kiše 5 milimetara po metru četvornom u satu atenuacija je približno 0,1 dB/km, ali je približno 3 dB/km za intenzitet kiše 100 milimetara po metru četvornom u satu. 4.6. Feding Feding (engl. fading) je vremenska promjena snage primanog signala uzrokovana promjenama u prijenosnom sredstvu ili stazi širenja elektromagnetskog vala. Interval u kojem je razina primanog signala niža od nazivne vrijednosti je trajanje fedinga (engl. fade duration) koji može biti kratkotrajni ili dugotrajni. Srednji broj tih pojava u jedinici vremena je učestalost fedinga (engl. fading rate). Dubina fedinga (engl. fade depth) je omjer, najčešće iskazan u decibelima, nazivne snage signala i snage signala za trajanja fedinga. Općenito, dubina i učestalost fedinga se povećavaju s frekvencijom prijenosnog signala. Njegovo trajanje je praktično neovisno o frekvenciji sve do približno 10 GHz kad se trajanje fedinga ipak povećava zbog atenuacije u atmosferi s oborinama. U nekim slučajevima dubina fedinga je 20 dB do 30 dB. Učestalost i dubina fedinga izravno utječu na kakvoću radioveze; povećanje dubine fedinga smanjuje omjer signala i šuma na izlazu prijamnika. Kod vrlo dubokog fedinga može nastati potpuni prekid radioveze. Težiti da se radioveza može uvijek ostvariti nije opravdano jer povećanje snage odaslanog signala povećava cijenu i vjerojatnost interferencija s ostalim radiosustavima. Postotak ostvarenih veza je približno od 50 % kod pokretnih radiosustava na granici dometa do 99,99 % kod radiorelejnih sustava. U osnovi feding uzrokuju promjene faznog zakreta pojedine staze u kratkom intervalu ili na maloj udaljenosti pri višestaznom prijenosu. Katkad je vremenskoj promjeni amplitude pridružena i promjena frekvencije primljenog signala uzrokovana Dopplerovim učinom ili

115

promjenom kašnjenja u pojedinoj stazi. Zato se feding naziva učinom malog razmjera i valja ga razlikovati od promjene srednje vrijednosti snage primljenog signala uzrokovanih sporim promjenama na razmjerno velikim udaljenostima pri širenju elektromagnetskog vala. Takvi učini velikog razmjera su, primjerice gubitak staze ili atenuacija u atmosferi. Na slici 4.23. feding je prikazan kao brza promjena snage primljenog signala, Pr u zavisnosti o udaljenosti od odašiljača, d. Učin velikog razmjera je prikazan iscrtkano kao monotono smanjenje srednje vrijednosti snage primljenog signala pri povećanju udaljenosti od odašiljača; u slučaju radioveze izravnim i jednim reflektiranim valom ovo smanjenje je razmjerno 1/d4.

10 12 14 16 18 20 22 24 d/m-70

-60

-50

-40

-30

-20

Pr/dBm

feding

srednjavrijednost

Slika 4.23. Zavisnost snage primljenog signala o udaljenosti od odašiljača Između više vrsta praktično je najčešći ravnomjerni feding (engl. flat fading) koji nastaje kad je širina propusnog pojasa radiokanala veća od širine frekvencijskog pojasa signala, a Dopplerov učin zanemariv. U tom slučaju frekvencijski odziv radiokanala ima konstantnu amplitudu i linearnu zavisnost faze o frekvenciji. Neka se elektromagnetski val između odašiljača i prijamnika širi velikim brojem staza, ali ne i stazom optičke vidljivosti, LOS. Za N primljenih višestaznih signala ukupni napon je:

( ) ( )∑=

+=N

nnn ΦtUtU

1

cos ω (4.60)

gdje su neovisne slučajne varijable Un i Φn odgovarajuće amplituda i faza n-te komponente, n = 1, 2, ... N, a ω je frekvencija prijenosnog signala zajednička svim komponentama. Ako je veliki broj staza (veliko N), amplitude Un će imati Gaussovu (normalnu) razdiobu sa srednjom vrijednošću koja iščezava, a faze Φn jednoliku razdiobu u rasponu od 0 do 2π. (Napomena: konvergenciju normalnoj razdiobi niza slučajnih varijabli dokazuje se primjenom centralnog graničnog teorema.)

Jednakost za kosinus zbroja argumenata, cos(ωt + Φn) = cos(ωt)cosΦn − sin(ωt)sinΦn omogućuje relaciju 4.60. iskazati u kvadraturnom obliku (pomoću istofazne i ortogonalne komponente):

( ) ( ) ( ) ( ) ( )ttyttxtU ωω sincos −= (4.61) gdje je:

( ) ∑=

=N

nnn ΦUtx

1

cos (4.62) ( ) ∑=

=N

nnn ΦUty

1

sin

116

Funkcije x(t) i y(t) su slučajne varijable s Gaussovom razdiobom i srednjom vrijednošću koja iščezava jer srednja vrijednost amplituda Un, n = 1, 2, ... N iščezava kao i srednja vrijednost (očekivana vrijednost) sinusoidalnih funkcija, EcosΦn = EsinΦn = 0. Funkcija gustoće vjerojatnosti ovih slučajnih varijabli odgovarajuće je (relacija 3.12.b):

( )2

)2(

2e

22

πσ

σx

x xf−

= (4.63.a)

( )2

)2(

2e

22

πσ

σy

y yf−

= (4.63.b)

gdje je σ2 varijanca, odnosno snaga primljenog signala na otporu 1 Ω.

Pretvorbom relacije 4.61. iz kvadraturnog u polarni oblik:

( ) ( ) ( )( )tΘttrtU += ωcos (4.64) slijedi odgovarajuće ovojnica, r(t) i faza, Θ(t) valnog oblika ukupnog napona primljenih signala:

( ) ( ) ( )tytxtr 222 += (4.65)

( ) ( )( )

=

txtytΘ arctan (4.66)

Ovojnica, r(t) ukupnog napona primljenih signala prikazana je iscrtkano na slici 4.24.

U(t)

t

cosωt r(t)

a)b) r0 σ 2σ

1/(2σ)

fr(r)

Slika 4.24. Ukupni napon uz ravnomjerni feding: a) ovojnica; b) Rayleighova razdioba Funkcija gustoće združene vjerojatnosti statistički neovisnih slučajnih varijabli x(t) i y(t) je (relacija 3.11):

( ) ( ) ( )( ) ( )

2

2

2e,

222

πσ

σyx

yxxy yfxfyxf+−

== (4.67)

gdje je za funkciju gustoće vjerojatnosti fx(x) i fy(y) uvrštena odgovarajuće relacija 4.63.a) i 4.63.b). Pomoću relacija 4.65. i 4.66. moguće je funkciju gustoće združene vjerojatnosti

117

(relacija 4.67) iskazati u zavisnosti o ovojnici, r(t) i fazi, Θ(t) valnog oblika ukupnog napona primljenih signala:

( ) ππσ

σ

20 i 0za 2

e, 2

)2( 22

≤≤∞<≤=−

ΘrrΘrfr

rΘ (4.68)

Pritom je element površine dxdy = rdrdΘ. Integriranjem funkcije gustoće združene vjerojatnosti po slučajnoj varijabli Θ(t) moguće je odrediti funkciju gustoće vjerojatnosti slučajne varijable r(t):

( ) ( ) ∞<≤==−

∫ rrΘΘrfrfr

rΘr 0za ed, 2

)2(2

0

22

σ

σπ

(4.69)

To je funkcija gustoće vjerojatnosti Rayleighove razdiobe (relacija 3.12.c) pa ovojnica valnog oblika ukupnog napona primljenih signala u slučaju ravnomjernog fedinga ima Rayleighovu razdiobu (slika 4.24.b). Vrijednosti ovojnice su pozitivne, 0 ≤ r < ∞, a srednja vrijednost je (π/2)½σ = 1,253σ.

118

5. FILTRI Filtri su frekvencijski selektivne mreže s dva pristupa. Signale s frekvencijom u propusnom pojasu (engl. passband) filtri prenose s ulaza na izlaz, a signale s frekvencijom u nepropusnom pojasu (engl. stopband) atenuiraju. Prema rasporedu propusnog i nepropusnog frekvencijskog pojasa razlikuju se niskopropusni (engl. low-pass), visokopropusni (engl. high-pass), pojasno propusni (engl. bandpass) i pojasno nepropusni (engl. bandstop, band reject) filtri. Te komponente radiosustava imaju iznimni značaj. Primjerice u prijamnicima ih se rabi za potiskivanje signala izvan radnog frekvencijskog područja, za slabljenje neželjenih signala pri miješanju i za uspostavljanje međufrekvencijskog propusnog pojasa. U odašiljačima se filtrima atenuiraju neželjeni signali pri pretvorbi frekvencije naviše, izdvaja se željeni bočni frekvencijski pojas i ograničava širina frekvencijskog pojasa zračenog signala. Između brojnih tehnika analize i projektiranja filtara najčešće se zbog jednostavnosti i točnosti koristi metoda unesenog gubitka. To je postupak sinteze električnih mreža određenog frekvencijskog odziva. Rezultat je prototip niskofrekvencijskog filtra normalizirane granične frekvencije i impedancije. Transformacijom oblika i denormaliziranjem slijedi filtar traženih svojstava. Dodatni postupci, na primjer Richardova transformacija, Kurodini identiteti te invertor impedancije i admitancije olakšavaju ostvarenje filtara pomoću odsječaka ili ogranaka prijenosnih linija i rezonatora. 5.1. Projektiranje prototipa metodom unesenog gubitka Savršeni filtar ima u propusnom pojasu uneseni gubitak koji iščezava i linearnu fazu frekvencijskog odziva, a u nepropusnom pojasu beskonačno veliku atenuaciju. Naravno, ovakvi filtri praktično ne postoje pa za određenu primjenu treba optimirati najznačajnije svojstvo, na primjer najmanji uneseni gubitak u propusnom pojasu, najstrmiji prijelaz između propusnog i nepropusnog pojasa ili što linearniju fazu frekvencijskog odziva. Metoda unesenog gubitka omogućuje sustavno projektiranje filtra zadanog amplitudnog i faznog frekvencijskog odziva u propusnom i nepropusnom pojasu. Neka je filtar priključen na izvor signala raspoložive snage Ps i zaključen opterećenjem na koje prenosi snagu PL. Uneseni gubitak (engl. insertion loss) ili faktor gubitka snage (engl. power loss ratio) filtra je omjer ovih snaga:

( ) 211

ωΓPPP

L

sLR

−== (5.1)

gdje je Γ(ω) faktor refleksije na ulazu filtra. Razabire se da je ova veličina jednaka recipročnom iznosu faktora prijenosa (transmisije), 1/|S12|2 u slučaju kad su i izvor i opterećenje prilagođeni. Uneseni gubitak iskazan u decibelima je PLR/dB = 10logPLR. Zbog svojstva uzročnosti pasivnih mreža |Γ(ω)|2 je parna funkcija kutne frekvencije, ω koju je moguće prikazati u obliku:

( ) ( )( ) ( )22

22

ωωωω

NMMΓ

+= (5.2)

119

gdje su M i N realni polinomi ω2. (Napomena: uzročnost električnog kruga je svojstvo da signal na izlazu postoji samo u slučaju kad je na ulaz narinut konačni signal.) Uvrštavanjem u relaciju 5.1. slijedi uneseni gubitak fizikalno ostvarivog filtra:

( )( )2

2

1ωω

NMPLR += (5.3)

Treba istaknuti da je faktor refleksije na ulazu filtra, Γ(ω) određen faktorom gubitka snage, PLR. Niskopropusni filtar s maksimalno glatkom amplitudom frekvencijskog odziva (binomni ili Butterworthov odziv, engl. maximally flat) ima uneseni gubitak:

N221

+=

cLR kP

ωω (5.4)

gdje je N red filtra, a ωc je granična (odrezna, engl. cutoff) frekvencija. Propusni pojas se proteže od ω = 0 do ω = ωc; na gornjoj granici pojasa uneseni gubitak je 1 + k2. To je frekvencija na kojoj je uneseni gubitak ½ ili −3 dB pa je k = 1. Za frekvencije više od granične, ω > ωc uneseni gubitak se monotono povećava s frekvencijom (slika 5.1). Ako je frekvencija puno viša od granične, ω >> ωc, uneseni gubitak je približno:

N22

≈

cLR kP

ωω (5.5)

Pritom je brzina promjene (nagib) unesenog gubitka 20N decibela po frekvencijskoj dekadi. Uzgred, početnih 2N − 1 derivacija unesenog gubitka po frekvenciji iščezava za ω = 0.

PLR

1+ k2

10 0,5 1 1,5 2 ω/ωc

jednolikovalovit

maksimalnogladak

Slika 5.1. Frekvencijska zavisnost unesenog gubitka niskopropusnog filtra trećeg reda Niskopropusni filtar s jednoliko valovitom amplitudom frekvencijskog odziva (Chebyshevljev odziv, engl. equal-ripple) ima uneseni gubitak:

+=

cNLR TkP

ωω221 (5.6)

120

gdje je, općenito, TN(x) Chebyshevljev polinom N-tog reda, a ωc je granična frekvencija. Frekvencijska zavisnost unesenog gubitka kod jednoliko valovitog odziva ima strmiji prijelaz iz propusnog u nepropusni pojas u odnosu na maksimalno glatki odziv, ali u propusnom pojasu ima valovanje s amplitudom 1 + k2 (slika 5.1). Posljedica je to osciliranja vrijednosti Chebyshevljevog polinoma, TN(x) u rasponu ±1 za |x| ≤ 1. Za veliko x vrijednost Chebyshevljevog polinoma je približno TN(x) ≈ (2x)N/2 pa je za frekvenciju puno višu od granične, ω >> ωc, uneseni gubitak:

N22 24

≈

cLR

kPωω (5.7)

Pritom je brzina promjene (nagib) unesenog gubitka 20N decibela po frekvencijskoj dekadi jednaka kao i u slučaju maksimalno glatkog odziva, ali je uneseni gubitak (22N)/4 puta veći (relacija 5.5). U nekim primjenama, primjerice kod filtra za multipleksiranje u radiosustavu s višestrukim prijenosom s razdiobom po frekvenciji, presudno je što manje izobličenje signala pa je nužno da filtar ima što linearniju fazu frekvencijskog odziva u propusnom pojasu. Takav je niskopropusni filtar s linearnom fazom frekvencijskog odziva (Besselov odziv, engl. linear phase):

( )

+=

N2

1c

pAΦωωωω (5.8)

gdje su A i p konstante, ωc je granična frekvencija, a N je red filtra. Veličina pridružena fazi je grupno kašnjenje (engl. group delay):

( )

++==

N2

1N21dd

cg pAΦ

ωω

ωτ (5.9)

koje je u propusnom pojasu, ω < ωc približno konstantno, odnosno ima oblik maksimalno glatke funkcije (relacija 5.4). Na slici 5.2. prikazan je prototip niskopropusnog filtra drugog reda, N = 2. Vrijednost unutarnjeg otpora izvora signala je normalizirana, Rs = 1 jednako kao i granična frekvencija, ωc = 1. Kako odrediti normalizirane vrijednosti elemenata kruga, L i C za Butterworthov odziv?

Rs=1 L

C RL

Zin

Slika 5.2. Prototip niskopropusnog filtra drugog reda

Prema relaciji 5.4. uneseni gubitak, za ωc = 1, k = 1 i N = 2, je:

121

41 ω+=LRP (5.10) Ulazna impedancija prototipa razmatranog filtra je (slika 5.2):

( )2221

1CR

CRjRLjZL

LLin ω

ωω+

−+= (5.11)

Faktor refleksije na ulazu ove mreže je:

11

+−

=in

in

ZZΓ

pa je uneseni gubitak moguće prikazati u obliku (relacija 5.1):

( )*

2

*

*2 21

11

111

11

1

inin

in

in

in

in

inLR ZZ

Z

ZZ

ZZΓ

P++

=

+−

+−

−=

−=

Prema relaciji 5.11. je:

222*

12

CRRZZ

L

Linin ω+

=+ 2

222

22

2222

11

11

+

−+

+

+=+

CRCRL

CRRZ

L

L

L

Lin ω

ωωω

pa uvrštavanjem u prethodnu relaciju slijedi za uneseni gubitak prototipa razmatranog filtra:

=

+

−+

+

++

=2

222

22

222

222

11

141

CRCRL

CRR

RCRP

L

L

L

L

L

LLR ω

ωωω

ω

( ) ( )[ ]4222222222 214

11 ωω LLLLL

RCLLCRLCRRR

+−++−+= (5.12)

Očekivano, ova relacija je polinom ω2, a usporedba s relacijom 5.10. pokazuje da je RL = 1 jer je PLR = 1 za ω = 0. Koeficijent uz ω2 iščezava pa je C2 + L2 − 2LC = ( C − L )2 = 0 ili L = C. Da bi koeficijent uz ω4 bio jednak jedan mora biti ¼L2C2 = ¼L4 = 1 ili L = C = .2 Prikazani postupak određivanja normalizirane vrijednosti elemenata prototipa niskopropusnog filtra nije prikladan za veliko N. Međutim, dostupne su tablično prikazane normalizirane vrijednosti elemenata za prototip niskopropusnog filtra u obliku ljestvičaste mreže (slika 5.3). U slučaju savršenih elemenata električnog kruga oba prototipa niskopropusnog filtra ostvaruju jednaki frekvencijski odziv pa su to dualne mreže. Na tablici 5.1. navedene su normalizirane vrijednosti elemenata prototipa niskopropusnog filtra od prvog do desetog reda s maksimalno glatkom amplitudom frekvencijskog odziva (Butterworthov odziv). Vrijednosti elemenata prototipa niskopropusnog filtra N-tog reda su gk, k = 0, 1, 2, ... N+1. Pritom je g0 normalizirani unutarnji otpor ili vodljivost generatora, gk, k = 1, 2, ... N je normalizirani induktivitet zavojnice u uzdužnoj grani ili kapacitet kondenzatora u poprečnoj grani, a gN+1 je normalizirani otpor ili vodljivost opterećenja.

122

Moguće je zapaziti (tablica 5.1) da su za N = 2 navedene vrijednosti elemenata jednake prije određenim vrijednostima, L = C = 2 i RL = 1 za prototip niskopropusnog filtra u obliku ljestvičaste mreže prikazane na slici 5.3.b).

Rs= g0= 1

C1= g1 C3= g3 RL= gN+1

GL= gN+1Gs= g0= 1 C2= g2

L2= g2

L1= g1 L3= g3

a)

b)

Slika 5.3. Ljestvičasta mreža prototipa niskopropusnog filtra s ulaznim elementom: a) kondenzator u poprečnoj grani; b) zavojnica u uzdužnoj grani

Tablica 5.1. Vrijednosti elemenata prototipa niskopropusnog filtra s maksimalno glatkom amplitudom frekvencijskog odziva (g0 = 1, ωc = 1, 1 ≤ N ≤ 10)

N g1 g2 g3 g4 g5 g6 g7 g8 g9 g10 g11

1 2,0000 1,0000

2 1,4142 1,4142 1,0000

3 1,0000 2,0000 1,0000 1,0000

4 0,7654 1,8478 1,8478 0,7654 1,0000

5 0,6180 1,6180 2,0000 1,6180 0,6180 1,0000

6 0,5176 1,4142 1,9318 1,9318 1,4142 0,5176 1,0000

7 0,4450 1,2470 1,8019 2,0000 1,8019 1,2470 0,4450 1,0000

8 0,3902 1,1111 1,6629 1,9615 1,9615 1,6629 1,1111 0,3902 1,0000

9 0,3473 1,0000 1,5321 1,8794 2,0000 1,8794 1,5321 1,0000 0,3473 1,0000

10 0,3129 0,9080 1,4142 1,7820 1,9754 1,9754 1,7820 1,4142 0,9080 0,3129 1,0000

Preostaje važno praktično pitanje kako odrediti red filtra. Odabir je najčešće na temelju specifikacije o najmanjem unesenom gubitku na određenoj frekvenciji u nepropusnom pojasu filtra. Na slici 5.4. za niskopropusni filtar s maksimalno glatkom amplitudom frekvencijskog odziva prikazana je zavisnost unesenog gubitka o normaliziranoj frekvenciji uz red filtra kao parametar. Ako je uneseni gubitak filtra desetog reda nedostatan, katkad je moguće ostvariti traženi uneseni gubitak kaskadnim spojem dva filtra nižeg reda.

123

Naravno, red filtra, N je moguće odrediti prema relaciji 5.4. za određeni uneseni gubitak, PLR na normaliziranoj frekvenciji ω/ωc za k = 1.

0,1 0,2 0,3 0,5 0,7 1,0 2,0 3,0 5,0 7,0 10|ω/ωc| -1

0

10

20

30

40

50

60

70

PLR/dB

N =1

N =10 9 8

2

3

4567

Slika 5.4. Zavisnost unesenog gubitka o normaliziranoj frekvenciji za niskopropusni filtar s maksimalno glatkom amplitudom frekvencijskog odziva

Primjer 5.1: Odrediti red niskopropusnog filtra s maksimalno glatkom amplitudom frekvencijskog odziva ako je granična frekvencija 8 GHz i uneseni gubitak najmanje 20 dB na frekvenciji 11 GHz. Apscisa grafa na slici 5.4. je normalizirana frekvencija:

375,011082101121 9

9

=−⋅⋅⋅⋅

=−ππ

ωω

c

pa je moguće očitati da filtar osmog reda, N = 8 ostvaruje uneseni gubitak veći od 20 dB na toj frekvenciji. Jednaki rezultat (zaokruženo na veću cjelobrojnu vrijednost) slijedi iz relacije 5.4. uz k = 1:

N2

1

+=

cLRP

ωω

( ) 2,7

108210112log2

)1100log(

log2

1logN

9

9=

⋅⋅⋅⋅

−=

−

=

ππ

ωω

c

LRP

8N =

124

Ako je granična frekvencija niskopropusnog filtra s Chebyshevljevim odzivom normalizirana, ωc = 1, uneseni gubitak je (relacija 5.6):

( )ω221 NLR TkP += (5.13) gdje je 1 + k2 amplituda valovanja frekvencijskog odziva u propusnom pojasu. Kvadrat vrijednosti Chebyshevljevog polinoma za kutnu frekvenciju koja iščezava, ω = 0 je:

( )

=parnoN za 1neparnoN za 0

02NT

pa je u tom slučaju uneseni gubitak PLR(ω = 0) = 1 za filtar neparnog reda i PLR(ω = 0) = 1 + k2 za filtar parnog reda. Neka je na slici 5.2. prikazan prototip niskopropusnog filtra drugog reda, N = 2 s Chebyshevljevim odzivom; kolike su normalizirane vrijednosti elemenata kruga, L i C? Općenito, Chebyshevljev polinom drugog reda je T2(x) = 2x2 − 1 pa uvrštavanjem u relaciju 5.13. slijedi:

( )1441 242 +−+= ωωkPLR Izjednači li se ovu relaciju s relacijom 5.12. za uneseni gubitak razmatrane električne mreže:

( ) ( ) ( )[ ]4222222222242 214

111441 ωωωω LLLLL

RCLLCRLCRRR

k +−++−+=+−+ (5.14)

moguće je odrediti vrijednosti RL, L i C ako je zadano k. Za ω = 0 je:

( )L

L

RRk

4111

22 −

+=+

22 1221 kkkRL +±+= (5.15)

a izjednačavanje koeficijenata uz ω2 i ω4 (relacija 5.14) daje odgovarajuće:

L

LL

RLCRLCRk

424

22222 −+

=−

L

L

RRCLk

44

2222 =

sustav jednadžbi čija su rješenja L i C. Treba upozoriti da je normalizirana vrijednost opteretnog otpora razmatranog filtra drugog reda različita od jedan, RL ≠ 1 (relacija 5.15). Impedanciju prilagođenog opterećenja moguće je transformirati na potrebnu vrijednost, na primjer pomoću četvrtvalnog transformatora.

Umjesto izračunavanja ovih složenih analitičkih izraza jednostavnije je koristiti tablično prikazane vrijednosti za prototip filtra u obliku ljestvičaste mreže (slika 5.3). Na

125

tablici 5.2. navedene su normalizirane vrijednosti elemenata prototipa niskopropusnog filtra od prvog do desetog reda s jednolikim valovanjem amplitude frekvencijskog odziva u propusnom pojasu (Chebyshevljev odziv) 0,5 dB i 3 dB. Vrijednosti elemenata prototipa niskopropusnog filtra N-tog reda su gk, k = 0, 1, 2, ... N+1; g0 je normalizirani unutarnji otpor ili vodljivost generatora, gk, k = 1, 2, ... N je normalizirani induktivitet zavojnice u uzdužnoj grani ili kapacitet kondenzatora u poprečnoj grani, a gN+1 je normalizirani otpor ili vodljivost opterećenja. Za parno N normalizirani otpor ili vodljivost opterećenja je veća od jedan, gN+1 > 1 pa treba ili transformirati impedanciju prilagođenog opterećenja na potrebnu vrijednost ili odabrati filtar neparnog reda.

Tablica 5.2. Vrijednosti elemenata prototipa niskopropusnog filtra s jednoliko valovitom amplitudom frekvencijskog odziva (g0 = 1, ωc = 1, 1 ≤ N ≤ 10)

valovanje amplitude 0,5 dB

N g1 g2 g3 g4 g5 g6 g7 g8 g9 g10 g11

1 0,6986 1,0000

2 1,4029 0,7071 1,9841

3 1,5963 1,0967 1,5963 1,0000

4 1,6703 1,1926 2,3661 0,8419 1,9841

5 1,7058 1,2296 2,5408 1,2296 1,7058 1,0000

6 1,7254 1,2479 2,6064 1,3137 2,4758 0,8696 1,9841

7 1,7372 1,2583 2,6381 1,3444 2,6381 1,2583 1,7372 1,0000

8 1,7451 1,2647 2,6564 1,3590 2,6964 1,3389 2,5093 0,8796 1,9841

9 1,7504 1,2690 2,6678 1,3673 2,7239 1,3673 2,6678 1,2690 1,7504 1,0000

10 1,7543 1,2721 2,6754 1,3725 2,7392 1,3806 2,7231 1,3485 2,5239 0,8842 1,9841

valovanje amplitude 3 dB

N g1 g2 g3 g4 g5 g6 g7 g8 g9 g10 g11

1 1,9953 1,0000

2 3,1013 0,5339 5,8095

3 3,3487 0,7117 3,3487 1,0000

4 3,4389 0,7483 4,3471 0,5920 5,8095

5 3,4817 0,7618 4,5381 0,7618 3,4817 1,0000

6 3,5045 0,7685 4,6061 0,7929 4,4641 0,6033 5,8095

7 3,5182 0,7723 4,6386 0,8039 4,6386 0,7723 3,5182 1,0000

8 3,5277 0,7745 4,6575 0,8089 4,6990 0,8018 4,4990 0,6073 5,8095

9 3,5340 0,7760 4,6692 0,8118 4,7272 0,8118 4,6692 0,7760 3,5340 1,0000

10 3,5384 0,7771 4,6768 0,8136 4,7425 0,8164 4,7260 0,8051 4,5142 0,6091 5,8095

Zavisnost unesenog gubitka o normaliziranoj frekvenciji za niskopropusni filtar s jednolikim valovanjem amplitude frekvencijskog odziva 0,5 dB i 3 dB prikazana je na slici 5.5. Odabir reda filtra je najčešće na temelju specifikacije o najmanjem unesenom gubitku na određenoj frekvenciji u nepropusnom pojasu filtra. Ako je ova specifikacija za frekvenciju puno višu od granične, red filtra, N je moguće odrediti prema relaciji 5.7.

126

0,01 0,03 0,05 1 2 3 5 7 10|ω/ωc| -1

0

10

20

30

40

50

60

70PLR/dB

N =1

N =10 9 8

2

34567

N =10PLR/dB

|ω/ωc| -1

70

60

50

40

30

20

10

00,01 0,03 0,05 0,7 1 2 3 5 7 10

9 8 4567

3

2

N =1

0,1 0,50,30,2

0,1 0,2 0,3 0,50,7

a)

b)

Slika 5.5. Zavisnost unesenog gubitka o normaliziranoj frekvenciji za niskopropusni filtar s jednolikim valovanjem amplitude frekvencijskog odziva: a) 0,5 dB; b) 3 dB

Istovjetnim postupkom, uz povećanu složenost analitičkih izraza, moguće je odrediti normalizirane vrijednosti elemenata prototipa niskopropusnog filtra s linearnom fazom frekvencijskog odziva, odnosno s maksimalno glatkim grupnim kašnjenjem (Besselov odziv). Za prototip niskopropusnog filtra u obliku ljestvičaste mreže (slika 5.3) od prvog do desetog reda dostupne su tablično prikazane normalizirane vrijednosti elemenata (tablica 5.3). Vrijednosti elemenata prototipa niskopropusnog filtra s Besselovim odzivom N-tog reda su

127

gk, k = 0, 1, 2, ... N+1, a imaju jednako značenje kao i u slučaju filtra s maksimalno glatkom amplitudom frekvencijskog odziva.

Tablica 5.3. Vrijednosti elemenata prototipa niskopropusnog filtra s linearnom fazom frekvencijskog odziva (g0 = 1, ωc = 1, 1 ≤ N ≤ 10)

N g1 g2 g3 g4 g5 g6 g7 g8 g9 g10 g11

1 2,0000 1,0000

2 1,5774 0,4226 1,0000

3 1,2550 0,5528 0,1922 1,0000

4 1,0598 0,5116 0,3181 0,1104 1,0000

5 0,9303 0,4577 0,3312 0,2090 0,0718 1,0000

6 0,8377 0,4116 0,3158 0,2364 0,1480 0,0505 1,0000

7 0,7677 0,3744 0,2944 0,2378 0,1778 0,1104 0,0375 1,0000

8 0,7125 0,3446 0,2735 0,2297 0,1867 0,1387 0,0855 0,0289 1,0000

9 0,6678 0,3203 0,2547 0,2184 0,1859 0,1506 0,1111 0,0682 0,0230 1,0000

10 0,6305 0,3002 0,2384 0,2066 0,1808 0,1539 0,1240 0,0911 0,0557 0,0187 1,0000

5.2. Denormaliziranje i transformacija oblika filtra Denormaliziranjem impedancije i granične frekvencije te transformacijom oblika moguće je prototip niskopropusnog filtra pretvoriti u niskopropusni, visokopropusni, pojasno propusni ili pojasno nepropusni filtar traženih svojstava. Vrijednosti elemenata prototipa filtra N-tog reda, Rs = 1, RL, Lk i Ck, k = 1, 2, ... N denormalizirane impedancijom R0 su:

10 ⋅=′ RRs (5.16.a)

kk LRL ⋅=′ 0 (5.16.b)

0RCC k

k =′ (5.16.c)

LL RRR ⋅=′ 0 (5.16.d)

Denormaliziranje graničnom frekvencijom ωc postiže se množenjem frekvencijski

zavisnih vrijednosti elemenata prototipa s 1/ωc, odnosno supstitucijom:

cωωω ← (5.17)

Ovu zamjenu je moguće prikazati kao širenje jediničnog pojasnog propusta prototipa (slike 5.6.a) i 5.6.b). Reaktancije u uzdužnoj grani i susceptancije u poprečnoj grani ljestvičaste mreže prototipa filtra N-tog reda odgovarajuće su:

128

kkc

k LjLjjX ′== ωωω

kkc

k CjCjjB ′== ωωω

za k = 1, 2, ... N. Razabire se da su vrijednosti elemenata prototipa, Lk i Ck, k = 1, 2, ... N denormalizirane graničnom frekvencijom ωc:

c

kk

LLω

=′ (5.18.a)

c

kk

CCω

=′ (5.18.b)

Ako su vrijednosti elemenata prototipa, L Ck denormalizirane i impedancijom R0 i graničnom frekvencijom ωc, vrijednosti elemenata niskopropusnog filtra N-tog reda su:

k i

c

kk

LRLω0=′ (5.19.a)

c

kk R

CCω0

=′ (5.19.b)

za k = 1, 2, ... N. Pritom je denormalizirana vrijednost unutarnjeg otpora izvora signala i otpora opterećenja filtra određena odgovarajuće relacijom 5.16.a) i 5.16.d).

PLR PLR PLR

ω ω-1 0 1 -ωc ωc0 0 ωc-ωca) b) c) ω

Slika 5.6. Frekvencijska zavisnost unesenog gubitka filtra:

a) prototipa; b) niskopropusnog; c) visokopropusnog Transformaciju oblika iz prototipa niskopropusnog u visokopropusni filtar granične frekvencije ωc moguće je ostvariti supstitucijom:

ωωω c−← (5.20)

Ova zamjena međusobno preslikava kutne frekvencije ω = 0 i ω = ±∞ (slike 5.6.a) i 5.6.c). Negativni predznak je nužan za pretvorbu induktiviteta (kapaciteta) u ostvarivi kapacitet (induktivitet). Nakon navedene transformacije reaktancije u uzdužnoj grani i susceptancije u poprečnoj grani ljestvičaste mreže prototipa filtra N-tog reda odgovarajuće su:

129

kk

ck Cj

LjjX′

=−=ωω

ω 1

kk

ck Lj

CjjB′

=−=ωω

ω 1

za k = 1, 2, ... N. Razabire se da su vrijednosti elemenata prototipa, Lk i Ck, k = 1, 2, ... N odgovarajuće transformirane:

kck L

Cω

1=′ (5.21.a)

kck C

Lω

1=′ (5.21.b)

Ako su vrijednosti elemenata prototipa, Lk i Ck denormalizirane impedancijom R0, vrijednosti elemenata visokopropusnog filtra s graničnom frekvencijom ωc su:

kck LR

Cω0

1=′ (5.22.a)

kck C

RLω

0=′ (5.22.b)

za k = 1, 2, ... N. Pritom je denormalizirana vrijednost unutarnjeg otpora izvora signala i otpora opterećenja filtra određena odgovarajuće relacijom 5.16.a) i 5.16.d). Primjer 5.2. Odrediti vrijednosti elemenata niskopropusnog filtra s maksimalno glatkom amplitudom frekvencijskog odziva ako je granična frekvencija 2 GHz, impedancija 50 Ω i uneseni gubitak najmanje 15 dB na frekvenciji 3 GHz. Na slici 5.4. apscisa grafa je normalizirana frekvencija:

5,01102210321 9

9

=−⋅⋅⋅⋅

=−ππ

ωω

c

pa je moguće očitati da filtar petog reda, N = 5 ostvaruje uneseni gubitak veći od 15 dB na toj frekvenciji. Normalizirane vrijednosti elemenata prototipa niskopropusnog filtra (tablica 5.1. za N = 5) su:

sRg == 10 11 6180,0 Cg == 22 6180,1 Lg == 33 0000,2 Cg ==

44 6180,1 Lg == 55 6180,0 Cg == LRg == 0000,16 gdje je odabrana ljestvičasta mreža s ulaznim kondenzatorom u poprečnoj grani (slika 5.3.a). Vrijednosti elemenata niskopropusnog filtra petog reda denormalizirane impedancijom 50 Ω i graničnom frekvencijom 2 GHz (relacije 5.19.a) i 5.19.b) su:

130

pF 984,0102250

6180,09

0

11 =

⋅⋅⋅==′

πωcRCC nH 438,6

10226180,150

920

2 =⋅⋅

⋅==′

πωc

LRL

pF 183,3102250

0000,29

0

33 =

⋅⋅⋅==′

πωcRCC nH 438,6

10226180,150

940

4 =⋅⋅

⋅==′

πωc

LRL

pF 984,0102250

6180,09

0

55 =

⋅⋅⋅==′

πωcRCC

Denormalizirana vrijednost unutarnjeg otpora izvora signala i otpora opterećenja filtra odgovarajuće je (relacija 5.16.a) i 5.16.d):

Ω=⋅=⋅=′ 501500 ss RRR Ω=⋅=⋅=′ 500000,1500 LL RRR Električni krug niskopropusnog filtra traženih svojstava prikazan je na slici 5.7. Katkad ljestvičasta mreža s ulaznom zavojnicom u uzdužnoj grani (slika 5.3.b) ima lakše ostvarive vrijednosti elemenata kruga.

Rs'50 Ω

L2'6,438 nH

L4'6,438 nH

C1'0,984 pF

C5'0,984 pF

C3'3,183 pF

RL'50 Ω

Slika 5.7. Krug niskopropusnog filtra za primjer 5.2. Odredi li se vrijednosti elemenata niskopropusnog filtra petog reda s jednoliko valovitom amplitudom (tablica 5.2) i linearnom fazom (tablica 5.3) frekvencijskog odziva moguće je usporediti frekvencijsku zavisnost unesenog gubitka i grupnog kašnjenja za sva tri filtra (slika 5.8).

f/GHz f/GHz0 1,0 2,0 3,0 4,0 0 1,0 2,0 3,0 4,0

0

10

20

30

40PLR/dB τg/ns

0

0,5

1,0

1,5

jednolikovalovit

maksimalnogladak

linearnefaze

linearnefaze

maksimalnogladak

jednolikovalovit

a) b)

Slika 5.8. Frekvencijska zavisnost niskopropusnog filtra za primjer 5.2: a) unesenog gubitka; b) grupnog kašnjenja

131

Bjelodano su brzina promjene unesenog gubitka na prijelazu iz propusnog u nepropusni pojas filtra i stalnost grupnog kašnjenja suprotni zahtjevi; ovisi o primjeni što ima veći značaj.

Transformaciju oblika iz prototipa niskopropusnog u pojasno propusni filtar graničnih frekvencija ω1 i ω2 ostvaruje supstitucija:

−=

−

−←

ωω

ωω

ωω

ωω

ωωωω 0

0

0

012

0 1∆

(5.23)

gdje je ∆ relativna širina propusnog frekvencijskog pojasa:

0

12

ωωω −

=∆ (5.24)

Središnju frekvenciju, ω0 moguće je odrediti kao aritmetičku sredinu graničnih frekvencija, ω1 i ω2, ali slijede jednostavnije relacije ako je jednaka geometrijskoj sredini:

210 ωωω = (5.25) Na slici 5.9.a) i 5.9.b) prikazano je preslikavanje kutne frekvencije koju ostvaruje ova zamjena (relacija 5.23).

PLR PLR PLR

ω ω-1 0 1

-ω0 ω0

0 0

ω0-ω0

a) b) c) ω-ω2 -ω1 ω1 ω2 -ω2 -ω1 ω1 ω2

Slika 5.9. Frekvencijska zavisnost unesenog gubitka filtra: a) prototipa; b) pojasno propusnog; c) pojasno nepropusnog

Transformirana reaktancija u uzdužnoj grani ljestvičaste mreže prototipa filtra N-tog reda za k = 1, 2, ... N:

kk

kkkk C

jLj∆Lj

∆LjL

∆jjX

′−′=−=

−=

10

0

0

0

ωω

ωωω

ωω

ωω

pokazuje da je zavojnica induktiviteta Lk pretvorena u serijsko rezonantni krug s vrijednostima elemenata:

∆LL k

k0ω

=′ (5.26.a)

kk L

∆C0ω

=′ (5.26.b)

132

Slično, transformirana susceptancija u poprečnoj grani ljestvičaste mreže prototipa filtra N-tog reda za k = 1, 2, ... N:

kk

kkkk L

jCj∆Cj

∆CjC

∆jjB

′−′=−=

−=

ωω

ωω

ωω

ωω

ωω 10

0

0

0

pokazuje da je kondenzator kapaciteta Ck pretvoren u paralelno rezonantni krug s vrijednostima elemenata:

kk C

∆L0ω

=′ (5.26.c)

∆CC k

k0ω

=′ (5.26.d)

Treba istaknuti da serijsko i paralelno rezonantni krug imaju jednaku rezonantnu frekvenciju, ω0. Vrijednosti elemenata pojasno propusnog filtra denormalizirane impedancijom R0 moguće je odrediti odgovarajuće pomoću relacija 5.16. a), b), c) i d). Transformaciju oblika iz prototipa niskopropusnog u pojasno nepropusni filtar graničnih frekvencija ω1 i ω2 ostvaruje u odnosu na prethodnu recipročna supstitucija:

1

0

0

−

−←

ωω

ωωω ∆ (5.27)

gdje je ∆ relativna širina nepropusnog frekvencijskog pojasa (relacija 5.24), a ω0 je središnja frekvencija (relacija 5.25). Ova zamjena pretvara zavojnicu induktiviteta Lk, za k = 1, 2, ... N u uzdužnoj grani ljestvičaste mreže prototipa filtra N-tog reda u paralelno rezonantni krug s vrijednostima elemenata:

0ωk

k∆LL =′ (5.28.a)

kk ∆C

C0

1ω

=′ (5.28.b)

a kondenzator kapaciteta Ck, za k = 1, 2, ... N u poprečnoj grani u serijsko rezonantni krug s vrijednostima elemenata:

kk ∆C

L0

1ω

=′ (5.28.c)

0ωk

k∆CC =′ (5.28.d)

Vrijednosti elemenata pojasno nepropusnog filtra denormalizirane impedancijom R0 moguće je odrediti odgovarajuće pomoću relacija 5.16. a), b), c) i d).

133

Sve razmotrene transformacije oblika prototipa niskopropusnog filtra zbirno su prikazane na tablici 5.4. Pritom su Lk i Ck, k = 1, 2, ... N vrijednosti elemenata prototipa denormalizirane impedancijom R0 i graničnom frekvencijom ωc, odnosno središnjom frekvencijom ω0 (relacija 5.25) i relativnom širinom propusnog ili nepropusnog frekvencijskog pojasa ∆ (relacija 5.24).

Tablica 5.4. Transformacije oblika prototipa niskopropusnog filtra

niskopropusni

filtar visokopropusni

filtar pojasno propusni

filtar pojasno nepropusni

filtar

uzdužna

mreže c

kLRω0

kcLR ω0

1

kLR∆

00ω∆LR k

0

0

ω

( ) 00 ωk∆LR

( )k∆LR 001 ω

poprečna grana mreže c

k

RCω0

kcC

Rω

0

∆R

Ck

00ωkC∆R

0

0

ω

00ωR∆Ck

k∆CR

0

0

ω

grana

Primjer 5.3. Odrediti vrijednosti elemenata pojasno propusnog filtra trećeg reda s jednoliko valovitom amplitudom frekvencijskog odziva 0,5 dB ako je središnja frekvencija 1 GHz, relativna širina propusnog frekvencijskog pojasa 10 % i impedancija 50 Ω.

Normalizirane vrijednosti elemenata prototipa niskopropusnog filtra s valovanjem amplitude 0,5 dB su (tablica 5.2. za N = 3):

sRg == 10 11 5963,1 Lg == 22 0967,1 Cg ==

33 5963,1 Lg == LRg == 0000,14 gdje je odabrana ljestvičasta mreža s ulaznom zavojnicom u uzdužnoj grani (slika 5.3.b). Središnja kutna frekvencija i relativna širina propusnog frekvencijskog pojasa odgovarajuće je:

190 s 1012 −⋅⋅= πω 1,095,005,1

0

00

0

12 =−

=−

=ω

ωωω

ωω∆

Vrijednosti elemenata pojasno propusnog filtra trećeg reda s Chebyshevljevim odzivom denormalizirane središnjom frekvencijom, širinom propusnog pojasa i impedancijom su (tablica 5.4):

nF 0,1271,01012

5963,1509

0

101 =

⋅⋅⋅⋅

==′πω ∆

LRL

134

pF 199,05963,1101250

1,09

1001 =

⋅⋅⋅⋅==′

πω LR∆C

nH 726,00967,11012

1,0509

20

02 =

⋅⋅⋅⋅

==′πω C

∆RL

pF 91,341,0101250

0967,19

00

22 =

⋅⋅⋅⋅==′

πω ∆RCC

nF 0,1271,01012

5963,1509

0

303 =

⋅⋅⋅⋅

==′πω ∆

LRL

pF 199,05963,1101250

1,09

3003 =

⋅⋅⋅⋅==′

πω LR∆C

Električni krug pojasno propusnog filtra traženih svojstava prikazan je na slici 5.10, a frekvencijska zavisnost unesenog gubitka na slici 5.11.

Rs'50 Ω

L1'127,0 nH

L2'0,726 nH

C1'0,199 pF

C2'34,91 pF

RL'50 Ω

L3'127,0 nH

C3'0,199 pF

Slika 5.10. Krug pojasno propusnog filtra za primjer 5.3.

f/GHz0,5 0,75 1,0 1,25 1,5

PLR/dB

0

10

20

30

40

50

Slika 5.11. Frekvencijska zavisnost unesenog gubitka pojasno propusnog filtra za primjer 5.3.

135

5.3. Niskopropusni i visokopropusni filtri ostvareni ograncima prijenosne linije Električnom mrežom s koncentriranim parametrima moguće je ostvariti filtar samo u početnom dijelu radiofrekvencijskog područja. Na višim frekvencijama postaju usporedive vrijednosti nazivnih i parazitnih veličina diskretnih elemenata električnog kruga filtra. Nasuprot tome, na frekvencijama mikrovalnog područja razmjerno je jednostavno ostvariti induktivitet i kapacitet mrežom s raspodijeljenim parametrima, odnosno prijenosnom linijom. Richardova transformacija omogućuje ostvarenje induktiviteta i kapaciteta odgovarajuće kratkospojenim i otvorenim ogrankom prijenosne linije bez gubitaka. Primjenom Kurodinih identiteta moguće je ogranke prijenosne linije međusobno odvojiti odsječcima koji ne utječu na frekvencijski odziv filtra. Ovakav postupak se naziva zalihosnom (redundantnom) sintezom filtra koji nema dualan oblik u mreži s koncentriranim parametrima. Richardova transformacija preslikava vrijednosti kutne frekvencije, ω na područje varijable Ω koja se ponavlja s periodom (ωl)/vp = π:

( )

==

pvllΩ ωβ tantan (5.29)

gdje je β fazna konstanta, l je duljina prijenosne linije, a vp je fazna brzina. Zamjenom kutne frekvencije, ω varijablom Ω u relaciji za induktivnu reaktanciju i kapacitivnu susceptanciju slijedi odgovarajuće:

( )ljLΩLjjX L βtan== (5.30.a)

( )ljCCjΩjBC βtan== (5.30.b) Prva od ovih relacija jednaka je izrazu za ulaznu impedanciju kratkospojene linije bez gubitaka karakteristične impedancije L (relacija 2.28), a druga je relacija jednaka izrazu za ulaznu admitanciju otvorene linije bez gubitaka karakteristične impedancije 1/C (recipročna vrijednost relacije 2.30). Ako je duljina prijenosne linije jednaka jednoj osmini valne duljine, l = λ/8, onda je za normaliziranu graničnu frekvenciju, ωc = 1 i varijabla Ω normalizirana, Ω = 1. Na graničnoj frekvenciji filtra, ωc moguće je induktivitet i kapacitet ostvariti odgovarajuće kratkospojenim i otvorenim ogrankom prijenosne linije duljine λ/8 (slika 5.12). Ogranke jednake duljine se naziva primjerenim linijama (engl. commensurate lines). Treba istaknuti da na frekvencijama različitim od granične, ω ≠ ωc nije jednak frekvencijski odziv filtra ostvarenog primjerenim ograncima i filtra ostvarenog diskretnim elementima.

Z0=L

l=λ/8 na ωc

L CjXL jXL jBC jBC Z0=1/C

a) b)

l=λ/8 na ωc

Slika 5.12. Ogrankom prijenosne linije ostvaren: a) induktivitet; b) kapacitet Kurodini identiteti omogućuju uporabu redundantnih odsječaka prijenosne linije:

- za razdvajanje ogranaka prijenosne linije - za transformiranje serijskog u paralelni ogranak i obratno - za promjenu karakteristične impedancije ogranka prijenosne linije.

136

Redundantne odsječke prijenosne linije bez gubitaka se naziva i jediničnim elementima. Duljina im je λ/8 na graničnoj frekvenciji filtra, ωc pa su primjereni ograncima prijenosne linije određenim Richardovom transformacijom. Na tablici 5.5. prikazana su četiri para istovjetnih električnih mreža; blokom je nadomješten jedinični element naznačene karakteristične impedancije, a zavojnica i kondenzator nadomješta odgovarajuće kratkospojeni ili otvoreni ogranak prijenosne linije.

Tablica 5.5. Kurodini identiteti (n2 = 1 + Z2/Z1)

1. Z11/Z2 Z2/n2

Z1/n2

2. Z2

Z1

n2Z1 1/(n2Z2)

3. Z2Z1

Z2/n2 Z1/n

2

1:n2

4. Z1

1/Z2

n2Z1

n2:11/(n2Z2)

Dvije prema prvom Kurodinom identitetu istovjetne mreže su prikazane na slici 5.13. Ulazna impedancija identičnih mreža jednaka je na svim frekvencijama. U električnom krugu na slici 5.13.a) ulazna admitancija jediničnog elementa karakteristične impedancije Z1 i zaključenog otporom RL je (relacija 2.26):

( )( )[ ] ( )ΩjZRZ

ΩjRZljZRZ

ljRZYL

L

L

L

11

1

11

1

tantan

++

=+

+=′

ββ (5.31)

gdje je Ω = tan(βl) (relacija 5.29). Ulazna admitancija otvorenog ogranka prijenosne linije karakteristične impedancije Z2 je (relacija 2.30):

( )22

tanZjΩl

ZjYstub == β (5.32)

Ukupna ulazna admitancija razmatranog električnog kruga je:

137

( )( )

( )ΩjZRZΩRjnΩZZ

ΩjZRZΩjRZ

ZjΩYYY

L

L

L

Lstubin

12

2212

11

1

2 ++−

=+

++=′+= (5.33)

gdje je n2 = 1 + Z2/Z1.

l

l

a) b)l

l

RL

RL

Z1

Z2

Ystub

Y 'Yin

Z2/n2

Z1/n2

Z '

ZstubZin

Slika 5.13. Identične električne mreže: a) izvorni krug; b) transformirani krug U električnom krugu na slici 5.13.b) ulazna impedancija kratkospojenog ogranka prijenosne linije karakteristične impedancije Z1/n2 je (relacija 2.28):

( ) 21

21 tan

nΩjZl

nZjZstub == β (5.34)

Opteretna impedancija kojom je zaključen jedinični element karakteristične impedancije Z2/n2 je:

21

nΩZjRRZZ LLstub +=+=′ (5.35)

pa je ukupna ulazna impedancija razmatranog električnog kruga (relacija 2.26):

( )( ) ΩRjnΩZZ

ΩjZRZ

ΩnZΩjR

nZ

ΩnZjΩ

nZjR

nZ

ΩZjnZ

ΩnZjZ

nZZ

L

L

L

L

in 2212

12

221

22

22

21

22

22

22

22

+−+

=−+

++=

′+

+′= (5.36)

Usporedba relacija 5.33. i 5.36. pokazuje da su jednake ulazne impedancije mreža sa slike 5.13.a) i 5.13.b), Zin = 1/Yin. Jednakost vrijedi za cijelo područje varijable Ω, odnosno za sve vrijednosti kutne frekvencije ω pa su to identične električne mreže. Sličnim razmatranjem moguće je provjeriti ostale Kurodine identitete. Valja upozoriti da je Kurodine identitete djelotvorno primijeniti kod niskopropusnih i pojasno nepropusnih filtara, ali ne i kod visokopropusnih i pojasno propusnih filtara. Primjer 5.4. Odrediti vrijednosti elemenata niskopropusnog filtra trećeg reda s jednoliko valovitom amplitudom frekvencijskog odziva 3 dB ako je granična frekvencija 4 GHz i impedancija 50 Ω. Pretpostaviti ostvarenje filtra tehnologijom mikrotrakastih linija.

138

Normalizirane vrijednosti elemenata prototipa niskopropusnog filtra s valovanjem amplitude 3 dB su (tablica 5.2. za N = 3):

sRg == 10 11 3487,3 Lg == 22 7117,0 Cg ==

33 3487,3 Lg == LRg == 0000,14 gdje je odabrana ljestvičasta mreža s ulaznom zavojnicom u uzdužnoj grani (slika 5.14.a).

Rs=1 L1=3,3487

C2=0,7117 RL=1

L3=3,3487

a)

Rs=1

RL=1

Rs=1

RL=1

l l

l

l l

ll

l

l=λ/8 na ωc=1

l=λ/8 na ωc=1

Z0=3,3487 Z0=3,3487

Z0=1,405

Z0=3,3487 Z0=3,3487

Z0=1,405Z0=1Z0=1

b)

c)

Slika 5.14. Niskopropusni filtar za primjer 5.4: a) prototip s diskretnim elementima; b) prototip s ograncima; c) prototip s dodanim jediničnim elementima

Primjenom Richardove transformacije (relacija 5.30, slika 5.12) moguće je normaliziranu induktivnu reaktanciju u uzdužnoj grani i normaliziranu kapacitivnu susceptanciju u poprečnoj grani mreže prototipa nadomjestiti odgovarajuće kratkospojenim ogrankom prijenosne linije karakteristične impedancije Z0 = L1 = L2 i otvorenim ogrankom prijenosne linije karakteristične impedancije Z0 = 1/C2 (slika 5.14.b). Primjereni ogranci prijenosne linije imaju duljinu l = λ/8 na normaliziranoj graničnoj frekvenciji ωc = 1. Serijski spojene ogranke

139

nije moguće ostvariti tehnologijom mikrotrakastih linija, a ni zaključenje ogranka kratkim spojem nije poželjno. Prije nužne transformacije serijski spojenih u paralelno spojene ogranke prijenosne linije valja dodati jedinične elemente na oba kraja mreže prototipa (slika 5.14.c). Ovi redundantni odsječci prijenosne linije imaju karakterističnu impedanciju jednaku normaliziranoj impedanciji izvora signala i opterećenja, Z0 = 1 pa ne utječu na frekvencijski odziv filtra. Primjerene su duljine ograncima prijenosne linije, l = λ/8 na normaliziranoj graničnoj frekvenciji ωc = 1. Primjenom drugog Kurodinog identiteta (tablica 5.5) moguće je jediničnom elementu serijski spojeni induktivitet transformirati u paralelno spojeni kapacitet. To odgovara pretvorbi serijski spojenog ogranka zaključenog kratkim spojem u paralelno spojeni ogranak zaključen otvorenim krugom (slika 5.14.d). Karakteristična impedancija transformiranog ogranka je Z0 = n2 ·1 = 1,299, a transformiranog jediničnog elementa je Z0 = n2 · 3,3487 = 4,350 gdje je n2 = 1+ Z2/Z1 = 1+ 1/3,3487 = 1,299. Nakon transformacije svi ogranci prijenosne linije su spojeni paralelno i zaključeni otvorenim krugom.

Rs=1

RL=1

l

l=λ/8 na ωc=1

Z04,350

Z01,405

Z01,299

d)

l l

ll

Z04,350

Z01,299

Rs50 Ω

RL50 Ω

l

Z0217,5 Ω

Z070,3 Ω

Z064,9 Ω

e)

l l

ll

Z0217,5 Ω

Z064,9 Ω

f)

50 Ω 50 Ω217,5 Ω 217,5 Ω

64,9 Ω 64,9 Ω70,3 Ω

l=λ/8 na fc=4GHz

Slika 5.14. (nastavak): d) transformirani prototip; e) denormalizirane vrijednosti elemenata; f) filtar ostvaren mikrotrakastim linijama

Na slici 5.14.e) navedene su vrijednosti karakterističnih impedancija ogranaka i odsječaka prijenosne linije denormalizirane (pomnožene) impedancijom 50 Ω, a primjerene duljine su λ/8 na graničnoj frekvenciji filtra fc = 4 GHz. Niskopropusni filtar traženih svojstava ostvaren mikrotrakastim linijama prikazan je na slici 5.14.f). Frekvencijska zavisnost unesenog gubitka razmatranog niskopropusnog filtra ostvarenog ograncima i odsječcima prijenosne linije

140

(mreža s raspodijeljenim parametrima) te ostvarenog diskretnim elementima (mreža s koncentriranim parametrima) prikazana je na slici 5.15. U propusnom pojasu značajke su im slične (valovanje amplitude 3 dB, granična frekvencija 4 GHz), ali je brzina promjene (nagib) unesenog gubitka između propusnog i nepropusnog pojasa znatno veća kod filtra ostvarenog mrežom s raspodijeljenim parametrima. Ponavljanje frekvencijskog odziva filtra svakih 4fc = 16 GHz u tom slučaju posljedica je periodičnosti varijable Ω (Richardova transformacija, relacija 5.29).

PLR/dB

f/GHz0 5 10 15 200

10

20

30

40

50

mreža sraspodijeljenimparametrima

mreža skoncentriranimparametrima

Slika 5.15. Frekvencijska zavisnost unesenog gubitka niskopropusnog filtra za primjer 5.4.

5.4. Niskopropusni filtri ostvareni prijenosnom linijom stepenaste impedancije Tehnologijom mikrotrakastih linija razmjerno je lako ostvariti niskopropusni filtar pomoću odsječaka prijenosne linije izmjenično vrlo velike i vrlo male karakteristične impedancije, odnosno prijenosnom linijom sa stepenastom karakterističnom impedancijom (engl. stepped impedance; high-Z, low-Z). Takvi filtri su manjih dimenzija od odgovarajućih filtara ostvarenih ograncima prijenosne linije, ali su im ostala svojstva često gora. Uporaba filtara sa stepenastom impedancijom je ograničena na nezahtjevne primjene kad nije nužna velika brzina promjene (nagib) unesenog gubitka između propusnog i nepropusnog pojasa, primjerice za potiskivanje komponenti miješanja koje su izvan propusnog frekvencijskog pojasa. Neka je l duljina kratkog odsječka prijenosne linije bez gubitaka vrlo velike ili vrlo male karakteristične impedancije Z0. Elementi matrice impedancije takve prijenosne linije zaključene otvorenim krugom su (relacija 2.55):

( ) 22001

111 cot

2

ZljZI

UZI

=−===

β (5.37.a)

( ) 12001

221 csc

2

ZljZI

UZI

=−===

β (5.37.b)

141

gdje je β fazna konstanta, a U1 i U2 ukupni napon odgovarajuće na ulazu i izlazu te I1 ukupna struja na ulazu otvorene linije (relacije 2.29.a) i 2.29.b). (Napomena: vrijednost funkcije kosekans jednaka je recipročnoj vrijednosti funkcije sinus, cscx = 1/sinx.) Nadomjesti li se razmatrani odsječak prijenosne linije električnom mrežom T oblika (slika 5.16.a), u uzdužnim granama je impedancija:

( )( )

=

−−=−=−

2tan

sin1cos

0021221211ljZ

lljZZZZZ ββ

β

gdje su uvrštene relacije 5.37.a) i 5.37.b). U poprečnoj grani T mreže je impedancija Z12 = Z21 (relacija 5.37.b). Razabire se da su za odsječak male duljine u uzdužnoj grani nadomjesne mreže pozitivne (induktivne) reaktancije, a u poprečnoj grani je negativna reaktancija, odnosno pozitivna (kapacitivna) susceptancija odgovarajućih vrijednosti (slika 5.16.b):

=

2tan

2 0lZX L β (5.38.a)

( )lZ

BC βsin1

0

= (5.38.b)

Z11-Z12 Z22-Z21

Z12=Z21

a)

jXL/2 jXL/2

jBC

b)

jXL=jZ0βl

c)

jBC=jY0βl

d)

Slika 5.16. Nadomjesna mreža odsječka prijenosne linije: a) T oblika; b) male duljine; c) male duljine i velikog Z0; d) male duljine i malog Z0

Neka kratki odsječak prijenosne linije, βl < π/4 ima vrlo veliku karakterističnu impedanciju Z0. U tom slučaju kapacitivna susceptancija, BC iščezava (relacija 5.38.b), a induktivna reaktancija je približno (relacija 5.38.a):

lZX L β0≈ (5.39) pa je razmatrani odsječak prijenosne linije moguće nadomjestiti krugom sa zavojnicom u uzdužnoj grani (slika 5.16.c). Ako kratki odsječak prijenosne linije, βl < π/4 ima vrlo malu

142

karakterističnu impedanciju Z0, onda induktivna reaktancija, XL iščezava (relacija 5.38.a), a kapacitivna susceptancija je približno (relacija 5.38.b):

lYBC β0≈ (5.40) gdje je Y0 = 1/Z0 karakteristična admitancija prijenosne linije. U tom slučaju je moguće razmatrani odsječak nadomjestiti krugom s kondenzatorom u poprečnoj grani (slika 5.16.d). (Napomena: vrijednost trigonometrijskih funkcija tangens i sinus malog argumenta približno je jednaka u radijanima iskazanoj vrijednosti argumenta.) Primjenom ovih rezultata moguće je zavojnice u uzdužnim granama mreže prototipa niskopropusnog filtra ostvariti kratkim odsječcima prijenosne linije vrlo velike karakteristične impedancije, Zh, a kondenzatore u poprečnim granama mreže je moguće ostvariti kratkim odsječcima prijenosne linije vrlo male karakteristične impedancije, Zl. Ljestvičastu mrežu prototipa niskopropusnog filtra ostvaruje prijenosna linija s kratkim odsječcima izmjenično vrlo velike i vrlo male karakteristične impedancije. Omjer ovih impedancija, Zh/Zl treba biti što veći i redovito se odabire vrijednost odgovarajuće najveće i najmanje karakteristične impedancije koju je moguće ostvariti određenom tehnologijom prijenosnih linija. Na graničnoj frekvenciji, ωc niskopropusnog filtra N-tog reda duljina k-tog odsječaka karakteristične impedancije Zh ili Zl je odgovarajuće (relacije 5.39. i 5.40):

h

kk Z

LRl 0=β (5.41.a)

0RCZl kl

k =β (5.41.b)

gdje su Lk i Ck, k = 1, 2, ... N vrijednosti elemenata prototipa denormalizirane impedancijom R0. Primjer 5.5. Linijom sa stepenastom karakterističnom impedancijom ostvariti niskopropusni filtar s maksimalno glatkom amplitudom frekvencijskog odziva ako je granična frekvencija 2,5 GHz, impedancija 50 Ω i uneseni gubitak najmanje 20 dB na frekvenciji 4 GHz. Pretpostaviti uporabu mikrotrakastih linija najveće i najmanje karakteristične impedancije odgovarajuće 150 Ω i 10 Ω. Na slici 5.4. apscisa grafa je normalizirana frekvencija:

6,01105,22

10421 9

9

=−⋅⋅

⋅⋅=−

ππ

ωω

c

pa je moguće očitati da filtar šestog reda, N = 6 ostvaruje uneseni gubitak veći od 20 dB na toj frekvenciji. Normalizirane vrijednosti elemenata prototipa niskopropusnog filtra (tablica 5.1. za N = 6) su:

sRg == 10 11 5176,0 Cg == 22 4142,1 Lg == 33 9318,1 Cg ==

44 9318,1 Lg == 55 4142,1 Cg == 66 5176,0 Lg == LRg == 0000,17

143

gdje je odabrana ljestvičasta mreža s ulaznim kondenzatorom u poprečnoj grani (slika 5.3.a). Električni krug prototipa razmatranog niskopropusnog filtra s normaliziranim vrijednostima elemenata prikazan je na slici 5.17.a).

Rs=1L2

1,4142L4

1,9318

C10,5176

C51,4142

C31,9318 RL=1

L60,5176

a)

Z0 Zl Zl Zl Z0Zh Zh Zh

l1 l2 l3 l4 l5 l6

b)

c)

50 Ω 50 Ω10 Ω 10 Ω 10 Ω

150 Ω 150 Ω 150 Ω

Slika 5.17. Niskopropusni filtar za primjer 5.5: a) krug prototipa filtra; b) linija sa stepenastom impedancijom; c) filtar ostvaren mikrotrakastom linijom

Električne duljine (u odnosu na valnu duljinu) odsječaka prijenosne linije karakteristične impedancije Zh = 150 Ω i Zl = 10 Ω na graničnoj frekvenciji fc = 2,5 GHz su odgovarajuće (relacije 5.41.a) i 5.41.b):

°==⋅

== 9,5104,050

5176,010

0

11 R

CZl lβ

°==⋅

== 0,27471,0150

4142,150202

hZLRlβ

°==⋅

== 1,22386,050

9318,110

0

33 R

CZl lβ

°==⋅

== 9,36644,0150

9318,150404

hZLRlβ

°==⋅

== 2,16283,050

4142,110

0

55 R

CZl lβ

°==⋅

== 9,9173,0150

5176,050606

hZLRlβ

144

Svi odsječci prijenosne linije imaju električnu duljinu manju od π/4 = 45°. Na slici 5.17.b) prikazana je linija sa stepenastom impedancijom; pritom je Z0 = 50 Ω. Niskopropusni filtar traženih svojstava ostvaren odsječcima mikrotrakaste linije prikazan je na slici 5.17.c). Frekvencijska zavisnost unesenog gubitka razmatranog niskopropusnog filtra ostvarenog prijenosnom linijom sa stepenastom karakterističnom impedancijom i ostvarenog diskretnim elementima prikazana je na slici 5.18. U propusnom pojasu značajke su im jednake, ali krug s diskretnim elementima ima veći uneseni gubitak na višim frekvencijama nepropusnog pojasa. Pretpostavka o kratkim odsječcima prijenosne linije, βl < π/4 nije ispunjena na frekvencijama višim od granične pa nisu ostvarene točne vrijednosti elemenata električnog kruga prototipa niskopropusnog filtra. Linija sa stepenastom impedancijom može imati dodatne propusne pojaseve na višim frekvencijama, ali to nije periodična pojava jer odsječci linije nisu primjerenih duljina.

PLR/dB

0

10

20

30

40

50

f/GHz0 1 2 3 4 5 6 7 8

mreža sdiskretnim

elementimalinija sa

stepenastomimpedancijom

Slika 5.18. Frekvencijska zavisnost unesenog gubitka niskopropusnog filtra za primjer 5.5.

5.5. Pojasno propusni filtri s rezonatorima ostvarenim prijenosnom linijom Rezonator je naprava kojom se ostvaruje rezonancija, odnosno jednakost induktivne i kapacitivne reaktancije u električnom krugu. Kad je frekvencija pobudnog signala jednaka rezonantnoj frekvenciji električnog kruga, nastaje brza promjena amplitude osciliranja. Pojasno propusni filtar sadrži serijski LC rezonantni krug u uzdužnim granama i paralelni LC rezonantni krug u poprečnim granama ljestvičaste mreže (tablica 5.4). Takvu mrežu je teško osvariti uporabom odsječaka prijenosne linije jer oni nisu isključivo serijski ili paralelno spojeni. Za transformaciju LC rezonanatnog kruga nisu primjenjivi ni Kurodini identiteti (tablica 5.5), ali je moguće koristiti invertor impedancije i invertor admitancije koji pretvara odgovarajuće opteretnu impedanciju, ZL i opteretnu admitanciju, YL u njoj recipročnu vrijednost (slika 5.20.a):

Lin Z

KZ2

= (5.42.a)

145

Lin Y

JY2

= (5.42.b)

gdje je K i J odgovarajuća konstanta. Tako je moguće međusobno transformirati serijski i paralelni LC rezonantni krug što je posebno korisno kod pojasno propusnih i pojasno nepropusnih filtara s malom relativnom širinom frekvencijskog pojasa.

K°± 90

J°± 90

ZL YL

Zin=K2/ZL Yin=J2/YL

invertorimpedancije

invertoradmitancije

a)

λ/4 λ/4

Z0=K Y0=J

b)

-C -C

-C -CC

C

K=1/ωC J=ωCc)

Slika 5.19. Invertor impedancije i admitancije: a) načelo rada; b) ostvaren

četvrtvalnim transformatorom; c) ostvaren T i Π kapacitivnim krugom Ulazna impedancija prijenosne linije karakteristične impedancije Z0, duljine λ/4 i zaključene opteretnom impedancijom ZL je Lin ZZZ 2

0= (relacija 2.33). Zato invertor impedancije i admitancije u najjednostavnijem obliku ostvaruje četvrtvalni transformator odgovarajuće karakteristične impedancije K i karakteristične admitancije J (slika 5.19.b). Naravno, invertor impedancije i admitancije je moguće ostvariti i mrežom s koncentriranim parametrima, primjerice T i Π kapacitivnim krugom (slika 5.19.c). Vrijednosti kapaciteta, neke s negativnim predznakom, određene su odgovarajuće konstantom K i J. Na slici 5.20. je prikazan pojasno propusni filtar ostvaren ograncima i odsječcima prijenosne linije. Četvrtvalni kratkospojeni ogranak prijenosne linije nadomješta paralelni LC rezonantni krug u poprečnoj grani ljestvičaste mreže pojasno propusnog filtra. Četvrtvalni odsječak prijenosne linije između dva ogranka je invertor admitancije koji paralelni LC rezonantni krug u poprečnoj grani transformira u serijski LC rezonantni krug u uzdužnoj grani ljestvičaste mreže pojasno propusnog filtra. Ogranci i odsječci prijenosne linije su primjerenih duljina; λ/4 na središnjoj frekvenciji propusnog pojasa, ω0. Impedancija filtra je jednaka karakterističnoj impedanciji odsječaka prijenosne linije Z0, a karakteristična impedancija ogranka prijenosne linije je Z0k, k = 1, 2, ... N. Ako je propusni pojas uzak, frekvencijski odziv ovakvog filtra s N ogranaka približno je jednak odzivu filtra N-tog reda ostvarenog

146

diskretnim elementima. Sličnom mrežom s raspodijeljenim parametrima koja sadrži otvorene ogranke prijenosne linije moguće je ostvariti pojasno nepropusni filtar.

Θ

Θ

Θ

Z0 Z0

Z01 Z02

Θ

Θ

Θ

Z0Z0

Z0N-1 Z0N

Slika 5.20. Pojasno propusni filtar ostvaren četvrtvalnim ograncima i odsječcima prijenosne linije

Ulazna admitancija kratkospojene prijenosne linije karakteristične impedancije Z0k duljine λ/4 (slika 5.21.a) je:

ΘZ

jYk

cot0

−= (5.43)

gdje je Θ = π/2 za ω = ω0. U okolišu središnje frekvencije, ω = ω0 + ∆ω i ∆ω << ω0 pa je:

∆+=Θ

0

12 ω

ωπ

što omogućuje da se admitanciju razmatrane prijenosne linije (relacija 5.43) prikaže u obliku:

000000 22tan

22cot

ωωπ

ωωπ

ωωππ

kkk Zj

Zj

ZjY ∆

≈

∆=

∆+−= (5.44)

Admitancija paralelnog LC rezonantnog kruga (slika 5.21.a) u okolišu rezonantne frekvencije, ω ≈ ω0 je:

ωωω

ωω

ωω

ωω ∆≈

−=

−=+= k

k

k

kkkk

k

k

kk jC

LCj

LCLC

LCj

LjCjY 211 0

0

(5.45)

gdje je 2

01 ω=kk LC i ∆ω = ω − ω0. Izjednačavanjem relacija 5.44. i 5.45. moguće je odrediti karakterističnu impedanciju kratkospojene prijenosne linije četvrtvalne duljine pomoću vrijednosti elemenata paralelnog LC kruga rezonantne frekvencije ω0:

k

kk C

LZ0

00 44 ω

ππω== (5.46)

147

Nadomjesti li se kratkospojene četvrtvalne ogranke prijenosne linije paralelnim LC rezonantnim krugom, a četvrtvalne odsječke prijenosne linije invertorima admitancije s konstantom J = 1/Z0, moguće je pojasno propusni filtar ostvaren mrežom s raspodijeljenim parametrima (slika 5.20) prikazati mrežom s koncentriranim parametrima (slika 5.21.b). Invertor admitancije paralelni LC rezonantni krug u poprečnoj grani transformira u serijski LC rezonantni krug u uzdužnoj grani mreže pa krug s diskretnim elementima (slika 5.21.c) nadomješta razmatrani pojasno propusni filtar zaključen prilagođenom impedancijom Z0.

J=1/Z0-90°C1 L1

J=1/Z0-90°CN-2 LN-2

J=1/Z0-90°CN-1 LN-1 CN LN Z0

Y

C '1 L'1

C 'N-2 L'N-2

C 'N-1 L'N-1

C 'N L'N

Z0

Y

b)

c)

a)

Θ

Z0k Z Lk Ck Z

Slika 5.21. Nadomjesni krug: a) kratkospojenog četvrtvalnog ogranka; b) i c) pojasno propusnog filtra sa slike 5.20.

Admitancija između čvorova u kojima je spojen paralelni LN−1CN−1 rezonantni krug (slika 5.21.b) je:

=

++++=

−

−−

1

0201

11111ZLj

CjZLj

CjN

NN

N ωω

ωωY

1

0

0

020

0

01

1 11−

−

−

+

−+

−=

ZLCj

ZLCj

N

N

N

N

ωω

ωω

ωω

ωω (5.47)

gdje je .1 2

011 ω== −− NNNN CLCL Između odgovarajućih čvorova druge nadomjesne mreže (slika 5.21.c) admitancija je:

=

+

′+′+

′+′=

−

−−

1

01

111 ZCj

LjLj

CjN

NN

N ωω

ωωY

1

00

0

0

01

1

−

−

−

+

−

′′

+

−

′′

= ZCLj

LCj

N

N

N

N

ωω

ωω

ωω

ωω (5.48)

148

gdje je .1 2011 ω=′′=′′ −− NNNN CLCL Ovi rezultati (relacije 5.47. i 5.48) su jednaki na svim

frekvencijama ako su ispunjeni uvjeti:

1

1

1

1

−

−

−

−

′′

=N

N

N

N

LC

LC (5.49.a)

N

N

N

N

CL

LCZ

′′

=20 (5.49.b)

iz kojih slijedi odgovarajuće izraz za induktivitet LN i LN−1 (slika 5.21.b):

NN L

ZL′

= 20

20

ω (5.50.a)

11 −− ′= NN LL (5.50.b)

Uvrštavanjem relacija 5.50.a) i 5.50.b) u relaciju 5.46. moguće je odrediti odgovarajuće karakterističnu impedanciju dva četvrtvalna kratkospojena ogranaka prijenosne linije na izlazu pojasno propusnog filtra (slika 5.20):

N

NN L

ZLZ′

==0

200

0 44 ωππω (5.51.a)

441010

10−−

−

′== NN

NLLZ πωπω (5.51.b)

Općenito, karakteristična impedancija k-tog četvrtvalnog kratkospojenog ogranka

prijenosne linije pojasno propusnog filtra N-tog reda je:

kk g

∆ZZ4

00

π= (5.52)

gdje je gk, k = 1, 2, ... N vrijednost elementa prototipa niskopropusnog filtra denormalizirana impedancijom Z0, središnjom frekvencijom ω0 (relacija 5.25) i relativnom širinom propusnog frekvencijskog pojasa ∆ (relacija 5.24). Valja upozoriti da prikazani postupak nije moguće primijeniti za filtar s jednoliko valovitom amplitudom frekvencijskog odziva parnog reda (tablica 5.2) jer je pretpostavljena jednaka ulazna i izlazna impedancija filtra, Z0. Primjer 5.6. Uporabom četvrtvalnih ogranaka i odsječaka prijenosne linije ostvariti pojasno propusni filtar trećeg reda s jednoliko valovitom amplitudom frekvencijskog odziva 0,5 dB ako je središnja frekvencija 2,5 GHz, relativna širina propusnog frekvencijskog pojasa 15 % i impedancija 50 Ω. Odrediti uneseni gubitak na frekvenciji 2,0 GHz. Frekvenciju 2,0 GHz odziva pojasno propusnog filtra treba preslikati u frekvencijsko područje niskopropusnog prototipa s normaliziranom graničnom frekvencijom, ωc = 1 (relacija 5.23):

149

0,3100,22105,22

105,22100,22

15,011

9

9

9

90

0

−=

⋅⋅⋅⋅

−⋅⋅⋅⋅

=

−←

ππ

ππ

ωω

ωωω

∆

Na slici 5.5.a) apscisa grafa je normalizirana frekvencija:

0,211

0,31 =−−

=−cω

ω

pa je moguće očitati da filtar trećeg reda, N = 3 ostvaruje uneseni gubitak veći od 30 dB na toj frekvenciji. Normalizirane vrijednosti elemenata prototipa niskopropusnog filtra s valovanjem amplitude 0,5 dB (tablica 5.2. za N = 3) su:

10 =g 5963,11 =g 0967,12 =g 5963,13 =g 0000,14 =g Karakteristične impedancije kratkospojenih ogranaka prijenosne linije razmatranog pojasno propusnog filtra denormalizirane impedancijom 50 Ω, središnjom frekvencijom 2,5 GHz i relativnom širinom propusnog frekvencijskog pojasa 0,15 su (relacija 5.52):

Ω=⋅

⋅⋅== 69,3

5963,1415,050

4 1

001

ππg

∆ZZ Ω=⋅

⋅⋅== 37,5

0967,1415,050

4 2

002

ππg

∆ZZ

Ω=⋅

⋅⋅== 69,3

5963,1415,050

4 3

003

ππg

∆ZZ

Svi ogranci i odsječci prijenosne linije pojasno propusnog filtra (slika 5.20) imaju duljinu λ/4 na središnjoj frekvenciji 2,5 GHz, a karakteristična impedancija odsječaka prijenosne linije je 50 Ω. Na slici 5.22. prikazana je frekvencijska zavisnost unesenog gubitka razmatranog pojasno propusnog filtra ostvarenog kratkospojenim četvrtvalnim ograncima i četvrtvalnim odsječcima prijenosne linije.

f/GHz1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,00

10

20

30

40

50

PLR/dB

Slika 5.22. Frekvencijska zavisnost unesenog gubitka pojasno propusnog filtra za primjer 5.6.

150

Razabire se da frekvencijska zavisnost unesenog gubitka ima tražene značajke, ali je ovakav pojasno propusni filtar teško ostvariv zbog malih karakterističnih impedancija ogranaka prijenosne linije.

Filtri s keramičkim rezonatorom (engl. ceramic resonator) su trenutno najčešći radiofrekvencijski pojasno propusni filtri u prijenosnim radiouređajima. Sadrže rezonatore u obliku kratkospojenog ogranka koaksijalne linije s keramičkim materijalom kao dielektrikom vrlo velike dielektrične konstante i malih gubitaka. To omogućuje da pojasno propusni filtar ima razmjerno male dimenzije čak i na frekvencijama UHF pojasa. Neka je pojasno propusni filtar N-tog reda ostvaren paralelno spojenim rezonatorima u obliku kratkospojenog ogranka prijenosne linije koji su kapacitivno spregnuti serijski spojenim kondenzatorima (slika 5.23).

l2

Z0 Z0 Z0

lNl1

C01 C12 C23 CN,N+1

Slika 5.23. Pojasno propusni filtar ostvaren kapacitivno spregnutim rezonatorima Rezonatore razmatranog filtra, približno četvrtvalne duljine, moguće je nadomjestiti paralelnim LC rezonantnim krugovima koji se izmjenjuju s invertorima admitancije (slika 5.24.a). Pritom invertori admitancije pretvaraju paralelni LC rezonantni krug u poprečnoj grani u serijski LC rezonantni krug u uzdužnoj grani ljestvičaste mreže. Dodatni invertori admitancije na krajevima mreže pretvaraju impedanciju filtra u prikladnu vrijednost. Sličnim razmatranjem, kao i u slučaju pojasno propusnog filtra ostvarenog četvrtvalnim ograncima i odsječcima, moguće je odrediti odgovarajuće konstante invertora admitancije:

1001 4

1g∆

ZJ π

= (5.53.a)

101, 4

1

++ =

kkkk gg

∆Z

J π (5.53.b)

101, 4

1

++ =

NNNN gg

∆Z

J π (5.53.c)

za k = 1, 2, ... N−1 gdje je Z0 impedancija razmatranog filtra N-tog reda relativne širine propusnog frekvencijskog pojasa ∆ (relacija 5.24), a gk, k = 1, 2, ... N−1, gN i gN+1 je normalizirana vrijednost elementa prototipa odgovarajućeg niskopropusnog filtra. Nadomjesti li se invertore admitancije Π kapacitivnim krugom (slika 5.19.c), nadomjesna mreža razmatranog filtra postaje ljestvičasta mreža s koncentriranim parametrima (slika 5.24.b), a vrijednosti sprežnih kondenzatora u uzdužnim granama su:

151

( )20100

0101

1 JZ

JC−

=ω

(5.54.a)

0

1,1, ω

++ = kk

kk

JC (5.54.b)

( )21,00

1,1,

1 +

++

−=

NN

NNNN

JZ

JC

ω (5.54.c)

za k = 1, 2, ... N−1 gdje je ω0 središnja frekvencija propusnog pojasa (relacija 5.25). Kondenzatori u poprečnim granama nadomjesnog Π kruga invertora admitancije imaju negativne vrijednosti (slika 5.24.b), ali su spojeni paralelno kondenzatorima većeg kapaciteta paralelnog LC rezonantnog kruga. Efektivna vrijednost kapaciteta paralelnog LC rezonantnog kruga je (slika 5.24.c):

1,,1 +− −−=∆+=′ kkkkkkkk CCCCCC (5.55) za k = 1, 2, ... N gdje je ∆Ck = − Ck−1,k − Ck,k+1 promjena vrijednosti kapaciteta rezonantnog kruga uzrokovana invertorom admitancije.

J01-90°

J12-90°

JN,N+1-90°L1 C1 L2 C2 LN CN

C01 C12 C23 CN-1,N CN,N+1

-C01 -C12-C12 -C23 -CN-1,N -CN,N+1L1 C1 L2 C2 LN CN

a)

b)

C01 C12 C23 CN-1,N CN,N+1

L1 C1' L2 C2' LN CN'

c)

Z0 Z0

d)

Z0

YL

l ∆l

C

l

YL

Slika 5.24.a), b) i c) Nadomjesni krug pojasno propusnog filtra sa slike 5.23; d) promjena duljine ogranka prijenosne linije zbog paralelnog kondenzatora

152

Promjena vrijednosti kapaciteta paralelnog LC rezonantnog kruga odgovara promjeni duljine četvrtvalnog kratkospojenog ogranka prijenosne linije. Ulazna admitancija kratkospojene linije karakteristične impedancije Z0 i duljine l, s paralelno ulazu spojenim kondenzatorom kapaciteta C (slika 5.24.d), na središnjoj frekvenciji propusnog pojasa filtra, ω0 je:

CjYY L 0ω+= (5.56.a) gdje je YL = (−j/Z0)cot(βl), a β je fazna konstanta. Nadomjesti li se kondenzator kratkim odsječkom prijenosne linije karakteristične impedancije Z0 i duljine ∆l, ulazna admitancija je:

( )

( ) 0

0

0

0 tan1

tan11

ZljY

ljYZ

lZ

jY

ZY L

L

L ∆+≈

∆+

∆+=

β

β

β (5.56.b)

gdje približna jednakost vrijedi ako je β∆l << 1. Izjednačavanjem relacija 5.56.a) i 5.56.b) slijedi zavisnost duljine kratkog odsječka o kapacitetu kondenzatora:

λπ

ωβω

20000 CZCZl ==∆ (5.57)

gdje je valna duljina λ = 2π/β. Vrijednost kapaciteta nadomjesnog Π kruga invertora admitancije dodana kapacitetu rezonantnog kruga je negativna pa uzrokuje skraćenje četvrtvalnog kratkospojenog ogranka prijenosne linije na ukupnu duljinu:

λπ

ωλ24

00 kk

CZl ∆+= (5.58)

za k = 1, 2, ... N gdje je kapacitet ∆Ck < 0 određen relacijom 5.55. Treba istaknuti da je u ovom slučaju karakteristična impedancija svih ogranaka prijenosne linije, Z0 jednaka impedanciji razmatranog pojasno propusnog filtra. Svojstva dielektrika presudno utječu na značajke filtra s keramičkim rezonatorom. Keramike s velikom dielektričnom konstantom omogućuju minijaturizaciju filtra sa središnjom frekvencijom propusnog pojasa u početnom dijelu mikrovalnog područja. Mali dielektrični gubici, odnosno veliki Q faktor rezultira malim (velikim) unesenim gubitkom u propusnom (nepropusnom) pojasu filtra. Mali temperaturni koeficijent dielektrične konstante osigurava temperaturnu stabilnost frekvencijskog odziva filtra. Za filtre s keramičkim rezonatorom često se koristi barijev titanat, cink-stroncij titanat i različite spojeve titanovog oksida; na primjer cink-stroncij titanat ima dielektričnu konstantu 36, Q faktor 10 000 na frekvenciji 4 GHz i temperaturni koeficijent dielektrične konstante −7·10−6(C°)−1. Primjer 5.7. Kapacitivno spregnutim rezonatorima u obliku ogranka prijenosne linije ostvariti pojasno propusni filtar trećeg reda s jednoliko valovitom amplitudom frekvencijskog odziva 0,5 dB ako je središnja frekvencija 2,5 GHz, relativna širina propusnog frekvencijskog pojasa 10 % i impedancija 50 Ω. Odrediti uneseni gubitak na frekvenciji 3,0 GHz. Frekvenciju 3,0 GHz odziva pojasno propusnog filtra treba preslikati u frekvencijsko područje niskopropusnog prototipa s normaliziranom graničnom frekvencijom, ωc = 1 (relacija 5.23):

153

667,3100,32105,22

105,22100,32

1,011

9

9

9

90

0

=

⋅⋅⋅⋅

−⋅⋅⋅⋅

=

−←

ππ

ππ

ωω

ωωω

∆

Na slici 5.5.a) apscisa grafa je normalizirana frekvencija:

667,211667,31 =−=−

cωω

pa je moguće očitati da filtar trećeg reda, N = 3 ostvaruje uneseni gubitak veći od 35 dB na toj frekvenciji. Normalizirane vrijednosti elemenata prototipa niskopropusnog filtra s valovanjem amplitude 0,5 dB (tablica 5.2. za N = 3) su:

10 =g 5963,11 =g 0967,12 =g 5963,13 =g 0000,14 =g Umnožak impedancije filtra i konstante invertora admitancije je (odgovarajuće relacije 5.53. a), b) i c):

2218,05963,14

1,04 1

010 =⋅

⋅==

ππg∆JZ

0594,00967,15963,14

1,04 21

120 =⋅

⋅==

ππgg

∆JZ

0594,05963,10967,14

1,04 32

230 =⋅

⋅==

ππgg

∆JZ

2218,00,15963,14

1,04 43

340 =⋅⋅

⋅==

ππgg

∆JZ

pa je vrijednost sprežnih kondenzatora (odgovarajuće relacije 5.54. a), b) i c):

( )pF 2896,0

2218,01105,22502218,0

1 2920100

0101 =

−⋅⋅=

−=

πω JZ

JC

pF 0756,0105,22500594,0

90

1212 =

⋅⋅==

πωJC

pF 0756,0105,22500594,0

90

2323 =

⋅⋅==

πωJC

( )pF 2896,0

2218,01105,22502218,0

1 2923400

3434 =

−⋅⋅=

−=

πω JZ

JC

154

Promjena vrijednosti kapaciteta rezonantnog kruga uzrokovana invertorom admitancije odgovarajuće je (relacija 5.55):

pF 3652,00756,02896,012011 −=−−=−−=∆ CCC

pF 1512,00756,00756,023122 −=−−=−−=∆ CCC

pF 3652,02896,00756,034233 −=−−=−−=∆ CCC pa je duljina kratkospojenih ogranaka prijenosne linije karakteristične impedancije 50 Ω odgovarajuće (relacija 5.58):

λλπ

πλλπ

ωλ 2044,02

103652,0105,2250424

129100

1 =⋅⋅⋅⋅⋅

−=∆

+=−CZl

λλπ

πλλπ

ωλ 2311,02

101512,0105,2250424

129200

2 =⋅⋅⋅⋅⋅

−=∆

+=−CZl

λλπ

πλλπ

ωλ 2044,02

103652,0105,2250424

129300

3 =⋅⋅⋅⋅⋅

−=∆

+=−CZl

malo manja od λ/4. Razmatrani pojasno propusni filtar, ostvaren kapacitivno spregnutim rezonatorima u obliku ogranka prijenosne linije (slika 5.23), ima frekvencijsku zavisnost unesenog gubitka prikazanu na slici 5.25. Brzina promjene (nagib) unesenog gubitka na prijelazu iz propusnog u nepropusni pojas je manja na višoj graničnoj frekvenciji pa je uneseni gubitak na frekvenciji 3,0 GHz približno 30 dB.

f/GHz1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0

PLR/dB

0

10

20

30

40

50

Slika 5.25. Frekvencijska zavisnost unesenog gubitka pojasno propusnog filtra za primjer 5.7.

155

6. POJAČALA Pojačanje je presudna funkcija prijamnika i odašiljača zbog iznimno velikih gubitaka snage pri prijenosu električnog signala radiosustavom. Sklop radiofrekvencijskog pojačala najčešće sadrži tranzistor određene vrste, na primjer bipolarni spojni tranzistor, heterospojni bipolarni tranzistor, tranzistor s efektom polja ili tranzistor s velikom pokretljivošću elektrona. Posebne mikrovalne cijevi, primjerice cijev s putujućim valom ili klistron su nužne samo za pojačanje signala vrlo velikih snaga i/ili vrlo visokih frekvencija. Radiofrekvencijska pojačala s tranzistorima su robusna, jeftina i pouzdana, a razmjerno lako ih je integrirati u obliku hibridnog ili monolitnog kruga. Takva pojačala se rabe na frekvencijama približno do 100 GHz u primjenama koje iziskuju male dimenzije, mali faktor šuma, široki propusni frekvencijski pojas i male ili srednje snage signala. Projektiranje radiofrekvencijskog pojačala se temelji na značajkama tranzistora u odnosu na priključnice koje je moguće prikazati ili matricom raspršenja ili nekom od nadomjesnih mreža. Svrhovito je pritom pomoću S parametara iskazati pojačanje snage i stabilnost općenite mikrovalne mreže s dva pristupa. Te rezultate se koristi pri projektiranju jednostupanjskog tranzistorskog pojačala koje za cilj može imati ostvarenje najvećeg ili određenog pojačanja snage ili najmanjeg faktora šuma. Kod pojačala snage redovito se želi ostvariti što veću efikasnost i što višu razinu snage na izlazu uz dopušteno izobličenje signala. 6.1. Značajke radiofrekvencijskih tranzistora Radiofrekvencijski tranzistori su presudni elementi radiouređaja, a u sastavu su sklopova pojačala, oscilatora, miješala, zakretača faze, aktivnih filtara i preklopnika. Moguće ih je razvrstati na spojne tranzistore i tranzistore s efektom polja. U prvu skupinu pripada bipolarni spojni tranzistor (BJT, engl. bipolar junction transistor) i heterospojni bipolarni tranzistor (HBT, engl. heterojunction bipolar transistor). Bipolarni spojni tranzistor izrađen od silicija, Si je najduže i najčešće korišteni aktivni radiofrekvencijski element zbog niske cijene i povoljnih svojstava u pogledu frekvencijskog područja, snage signala i razine šuma. U sklopu pojačala rabi ih se do frekvencije u rasponu 2 GHz do 10 GHz, a u sklopu oscilatora do frekvencije 20 GHz. Općenito, bipolarni spojni tranzistori imaju mali šum treperenja (1/f šum) u radiofrekvencijskom području pa su prikladni za oscilatore s malim faznim šumom. Razvoj tehnologije bipolarnih spojnih tranzistora od silicij-germanija, SiGe omogućio je jeftine sklopove i na frekvencijama višim od 20 GHz. Za heterospojne bipolarne tranzistore koristi se galijev arsenid, GaAs ili indijev fosfid, InP i mogu raditi na frekvencijama višim od 100 GHz. Skupini tranzistora s efektom polja (FET, engl. field effect transistor) pripadaju: FET na osnovi spoja metal-poluvodič (MESFET, engl. metal semiconductor FET), tranzistor s velikom pokretljivošću elektrona (HEMT, engl. high electron mobility transistor), pseudomorfni tranzistor s velikom pokretljivošću elektrona (pHEMT, engl. pseudomorphic HEMT) i FET na osnovi spoja metal-izolator-poluvodič (MISFET, engl. metal insulator semiconductor FET) koji je najčešće u obliku FET-a na osnovi spoja metal-oksid-poluvodič (MOSFET, engl. metal oxide semiconductor FET). Za razliku od spojnih tranzistora, koji su upravljani strujom, tranzistori s efektom polja su naponom upravljani elementi. Na frekvencijama do približno 40 GHz najčešće se rabi MESFET od galijeva arsenida, GaAs. Još više radne frekvencije ima HEMT od galijeva arsenida, GaAs. Ovi tranzistori su posebno

156

prikladni za niskošumna pojačala jer imaju najmanji faktor šuma. Na tablici 6.1. navedene su značajke nekih radiofrekvencijskih tranzistora. Valja upozoriti da je pokretljivost elektrona veća od pokretljivosti šupljina pa npn spojni tranzistor i n-kanalni tranzistor s efektom polja može raditi na višim frekvencijama od odgovarajućeg komplementarnog elementa.

Tablica 6.1. Značajke nekih radiofrekvencijskih tranzistora

vrsta tranzistora Si BJT Si MOSFET

SiGe HBT

GaAs MESFET

GaAs HBT

GaAs HEMT

najviša frekvencija f/GHz 10 20 30 40 60 100

najveće pojačanje G/dB 10 - 15 10 - 20 10 - 15 5 - 20 10 - 20 10 - 20

faktor šuma, F/dB (na frekvenciji)

2,0 )

1,0 )

0,6 )

1,0 z)

4,0 z)

0,5 z)

razina snage signala velika mala srednja srednja velika srednja

cijena niska niska umjerena umjerena visoka visoka

jednopolni izvor napajanja da da da ne da ne

(2 GHz (4 GHz (8 GHz (10 GH (12 GH (12 GH

Osnova za projektiranje radiofrekvencijskog pojačala ili oscilatora su značajke tranzistora u odnosu na priključnice koje je moguće iskazati ili vrijednostima elemenata matrice raspršenja mreže s dva pristupa ili vrijednostima elemenata nadomjesnog kruga. Uobičajeni postupak projektiranja uporabom matrice raspršenja je najtočniji iako iziskuje poznavanje, najčešće izmjerenih, S parametara tranzistora u određenoj radnoj točki u razmatranom frekvencijskom području. Ako se ne razmatra iznimno široko frekvencijsko područje, to nije ozbiljniji nedostatak jer se S parametri razmjerno sporo mijenjaju pri promjeni frekvencije. Manje točan je postupak projektiranja uz uporabu prikladnog nadomjesnog kruga tranzistora u određenoj radnoj točki koji najčešće sadrži mali broj elemenata kruga praktično nepromjenljive vrijednosti u širokom frekvencijskom području. Međutim, nadomjesni krug omogućuje bolji uvid u fizikalne procese pri radu tranzistora. Tranzistore s efektom polja moguće je koristiti na frekvencijama višim od raspona 5 GHz do 10 GHz uz primjereno pojačanje i mali faktor šuma. Zato su prikladni za izradu hibridnih i monolitnih integriranih krugova na višim frekvencijama mikrovalnog područja. Na slici 6.1. prikazan je presjek i izgled češljastih elektroda n-kanalnog radiofrekvencijskog tranzistora s efektom polja na osnovi spoja metal-poluvodič izrađenog od galijeva arsenida, GaAs. Povoljna svojstva ovakvog tranzistora u pogledu pojačanja i faktora šuma posljedica su veće pokretljivosti elektrona u galijevu arsenidu u odnosu na silicij i izostanku zrnatog šuma (šum sačme). U radu elektroni teku od uvoda ka odvodu zbog pozitivnog napona napajanja UDS. Napon ulaznog signala na upravljačkoj elektrodi upravlja tokom većinskih nosilaca električnog naboja uzrokujući naponsko pojačanje. Najviša radna frekvencija je određena širinom upravljačke elektrode; dostupni su tranzistori s efektom polja kod kojih je upravljačka elektroda širine od 0,6 µm do 0,3 µm što odgovara prijelaznoj frekvenciji od 50 GHz do 100 GHz.

157

0,3µm

100µm

S G D

n GaAs kanal

GaAs izolacijskisupstrat

n+ GaAs n+ GaAs

elektrodaodvoda

elektrodauvoda

upravljačkaelektroda

a) b)

Slika 6.1. Radiofrekvencijski GaAs MESFET: a) presjek; b) češljaste elektrode Na slici 6.2. prikazan je nadomjesni krug za male signale razmatranog tranzistora s efektom polja u spoju zajedničkog uvoda. Tipične vrijednosti elemenata nadomjesnog kruga su: serijski otpor upravljačke elektrode, Ri = 7 Ω, otpor između odvoda i uvoda, Rds = 400 Ω, kapacitet između upravljačke elektrode i uvoda, Cgs = 0,3 pF, kapacitet između odvoda i uvoda, Cds = 0,12 pF, kapacitet između upravljačke elektrode i odvoda, Cgd = 0,01 pF i strmina (transkonduktancija), gm = 40 mS. Ovaj model ne sadrži parazitne elemente pakiranja poluvodiča koje na sve tri priključnice uobičajeno unosi mali serijski otpor i induktivitet zbog omskog kontakta i izvoda za termokompresijsko spajanje (bondanje). Struja upravljanog izvora, gmUc zavisi o naponu na kondenzatoru kapaciteta Cgs između upravljačke elektrode i uvoda, odnosno u uobičajenoj radnoj točki tranzistora iznos elementa matrice raspršenja je |S21| > 1. Pritom je pristup 1 upravljačka elektroda, a pristup 2 je odvod. Prijenos signala u suprotnom smjeru uglavnom je posljedica kapaciteta Cgd između upravljačke elektrode i odvoda, a uzrokuje iznos elementa matrice raspršenja |S12| > 0. Nerijetko je kapacitet Cgd zanemarivo malen; u tom slučaju je S12 = 0 i mreža je unilateralna (jednosmjerna).

Uc

gmUc Rds Cds

Cgd

Cgs

Ri

upravljačkaelektroda

uvod

odvod

Slika 6.2. Nadomjesni krug radiofrekvencijskog GaAs MESFET-a Neka je izlaz nadomjesnog kruga razmatranog tranzistora (priključnice odvoda i uvoda na slici 6.2) kratkospojen. U slučaju unilateralne mreže kapacitet Cgd iščezava pa je strujno pojačanje uz kratkospojeni izlaz:

gs

m

g

cm

g

dSCi C

gIUg

IIG

ω=== (6.1)

Ovo pojačanje je jednako jedinici na prijelaznoj frekvenciji (širina frekvencijskog pojasa strujnog pojačanja, engl. transition frequency):

158

gs

mT C

gfπ2

= (6.2)

Željenu radnu točku tranzistora se ostvaruje prednaponskom mrežom. Njezin oblik

ovisi o namjeni pojačala (niskošumno, velikog pojačanja ili za velike snage signala), o klasi pojačala (A, B, AB, C i ostale klase) i vrsti tranzistora (BJT, HBT, MESFET, MOSFET ili HEMT). Na slici 6.3.a) prikazana je uobičajena zavisnost istosmjerne struje IDS o naponu UDS radiofrekvencijskog GaAs MESFET-a. Ako je razmatrani tranzistor u sastavu niskošumnog pojačala, najčešće se za istosmjernu struju odvoda odabire približno 15 % od vrijednosti struje zasićenja odvoda, IDSS. Za signale veće snage, općenito se odabire veću vrijednost istosmjerne struje odvoda.

0 5 10UDS/V

25

50

75ID/mA UGS=0 V

-1 V

-2 V

-3 V

a)

Cc Cc

RFC

RFC

UDDUGG

b)

Cb

Cb

Slika 6.3. Radiofrekvencijski GaAs MESFET: a) izlazne karakteristike; b) prednaponska mreža

Istosmjerni prednapon valja narinuti na upravljačku elektrodu i odvod tako da što manje utječe na radiofrekvencijski signal. To je moguće ostvariti prednaponskom mrežom koja sadrži radiofrekvencijske prigušnice (RFC, engl. RF choke) te izmjenično i istosmjerno blokirajuće kondenzatore (slika 6.3.b). Radiofrekvencijska prigušnica ima zanemarivo mali istosmjerni otpor i vrlo veliki iznos impedancije na frekvenciji signala. Tako je spriječeno da istosmjerni izvor kratkospaja signal na ulazu i izlazu pojačala. Kondenzator Cc na ulazu i izlazu pojačala ima zanemarivo mali iznos impedancije na frekvenciji signala i iznimno veliki istosmjerni otpor pa propušta signal i blokira istosmjerni prednapon. U mikrovalnom frekvencijskom području prigušnica je najčešće zamijenjena četvrtvalnom prijenosnom linijom velike karakteristične impedancije koja kratki spoj na strani kondenzatora Cb transformira u otvoreni krug na strani tranzistora. Brojni su složeniji oblici prednaponskih mreža koji omogućavaju kompenzaciju promjene temperature i promjene parametara aktivnog elementa i/ili rad s jednostrukim izvorom napajanja. U pojačalima koja rade do frekvencije u rasponu 2 GHz do 4 GHz prednost se daje silicijskim bipolarnim spojnim tranzistorima, redovito npn strukture, zbog većeg pojačanja i niže cijene u odnosu na tranzistore s efektom polja od galijeva arsenida, GaAs. Osim termičkog šuma kod bipolarnih tranzistora je izražen i zrnati šum (šum sačme) pa im je faktor šuma veći od faktora šuma tranzistora s efektom polja. Na slici 6.4. prikazan je presjek i izgled češljastih elektroda uobičajenog radiofrekvencijskog bipolarnog spojnog tranzistora izrađenog od silicija, Si. Bipolarni tranzistori su strujom upravljani elementi pa struja kolektora zavisi o struji baze. Prijelazna frekvencija bipolarnog tranzistora pretežito je određena širinom baze (0,1 µm na slici 6.4.a).

159

Nadomjesni krug za male signale razmatranog bipolarnog spojnog tranzistora u spoju zajedničkog emitera prikazan je na slici 6.5. Tipične vrijednosti elemenata nadomjesnog kruga su: otpor baze, Rb = 7 Ω, nadomjesni π otpor, Rπ = 110 Ω, nadomjesni π kapacitet, Cπ = 18 pF, kapacitet kolektora, Cc = 18 pF i strmina (transkonduktancija), gm = 900 mS. Moguće je razabrati da su strmina i kapaciteti kondenzatora nadomjesnog kruga Si BJT-a puno veći od prije navedenih vrijednosti odgovarajućih elemenata nadomjesnog kruga GaAs MESFET-a. Posljedično, bipolarni spojni tranzistor ima veće pojačanje snage na nižim frekvencijama od tranzistora s efektom polja. Predloženi model razmatranog tranzistora ne sadrži parazitni otpor i induktivitet koje uzrokuju izvodi baze i emitera; složeniji modeli su nužni za šire frekvencijsko područje.

B B BE E

C

0,15µm

0,1µm

1,5µm

200µm

a) b)

elektrodaemitera

elektrodabaze

p baza

SiO2

n kolektor

n+ kolektorskisupstrat

p+ p+ p+n+ n+

Slika 6.4. Radiofrekvencijski Si BJT: a) presjek; b) češljaste elektrode Pomoću nadomjesnog kruga (slika 6.5) moguće je odrediti prijelaznu frekvenciju, fT na kojoj je strujno pojačanje razmatranog tranzistora uz kratkospojeni izlaz jednako jedinici:

ππCgf m

T 2= (6.3)

Ovaj rezultat odgovara relaciji 6.2. za prijelaznu frekvenciju tranzistora s efektom polja što je posljedica sličnog nadomjesnog kruga.

Rb

Rπ Cπ Uc

Cc

gmUc

emiter

baza kolektor

Slika 6.5. Nadomjesni krug radiofrekvencijskog Si BJT-a Na slici 6.6.a) prikazana je uobičajena zavisnost istosmjerne struje ICE o naponu UCE radiofrekvencijskog Si BJT-a. Kao i kod tranzistora s efektom polja radna točka bipolarnog spojnog tranzistora ovisi o namjeni i klasi pojačala te vrsti tranzistora. Općenito, manja istosmjerna struja kolektora omogućuje najmanji faktor šuma tranzistora, a najveće pojačanje snage iziskuje veću struju kolektora. Pasivna prednaponska mreža za bipolarni spojni tranzistor s jednim izvorom istosmjernog napona prikazana je na slici 6.6.b). Radiofrekvencijske prigušnice te istosmjerno i izmjenično blokirajući kondenzatori imaju

160

jednaku namjenu kao i u slučaju prednaponske mreže za tranzistor s efektom polja. Brojni su složeniji oblici prednaponskih mreža poboljšanih svojstava.

0 5 10 15 20UCE/V

25

50

75IC/mA

IB=1,0 mA

0,75 mA

0,50 mA0,25 mA

a)

R1R2

RFCRFC

UCC

Cc Cc

b)

Cb Cb

Slika 6.6. Radiofrekvencijski Si BJT: a) izlazne karakteristike; b) prednaponska mreža

6.2. Pojačanje snage mreže s dva pristupa Radiofrekvencijsko pojačalo je moguće nadomjestiti mikrovalnom mrežom s dva pristupa. Neka je takva mikrovalna mreža, određena matricom raspršenja [S], priključena na izvor sinusoidalnog signala unutarnje impedancije Zs i zaključena opterećenjem impedancije ZL (slika 6.7). Pojačanje snage je moguće odrediti na više načina pomoću S parametara razmatrane mreže, faktora refleksije na izvoru, Γs i faktora refleksije na opterećenju, ΓL.

[S]

(Z0)U1Us

Zs

ΓinΓs

+1U

−1U

ZL

Γout ΓL

+2U

−2U

U2

Slika 6.7. Mikrovalna mreža priključena na izvor i zaključena opterećenjem Pojačanje snage (engl. power gain), G = PL/Pin je omjer snage rasipane na opteretnoj impedanciji ZL i snage prenesene na ulaz razmatrane mreže. Ovako određeno pojačanje je neovisno o unutarnjoj impedanciji izvora signala, Zs iako značajke nekih aktivnih sklopova zavise o ovoj impedanciji. Raspoloživo pojačanje (engl. available gain), GA = Pavn/Pavs je omjer raspoložive snage na izlazu razmatrane mreže i raspoložive snage izvora. Raspoloživu snagu se prenosi na konjugirano kompleksno prilagođenje pa ovako određeno pojačanje zavisi o unutarnjoj impedanciji izvora signala Zs, ali ne zavisi o opteretnoj impedanciji ZL. Pojačanje snage pretvornika (engl. tranducer power gain), GT = PL/Pavs je omjer snage prenesene opterećenju i raspoložive snage izvora signala. Zavisi o unutarnjoj impedanciji izvora signala Zs i opteretnoj impedanciji ZL. Kod ovih odrednica različito je određeno prilagođenje ulaza mreže na izvor signala i prilagođenje opterećenja na izlaz mreže. U slučaju

161

konjugirano kompleksnog prilagođenja na oba pristupa mreže pojačanje snage je najveće, a sva navedena pojačanja su jednaka, G = GA = GT. Ulazna impedancija mreže s dva pristupa, zaključena opteretnom impedancijom ZL, općenito nije prilagođena na unutarnju impedanciju izvora signala. Faktor refleksije na opterećenju i na izvoru signala odgovarajuće je (slika 6.7):

0

0

ZZZZΓ

L

LL +

−= (6.4.a)

0

0

ZZZZΓ

s

ss +

−= (6.4.b)

gdje je Z0 karakteristična impedancija kojom su normalizirani S parametri mreže s dva pristupa. Matrica raspršenja povezuje reflektirane i upadne valove napona na pristupima razmatrane mreže (slika 6.7):

−+++− +=+= 2121112121111 UΓSUSUSUSU L (6.5.a)

−+++− +=+= 2221212221212 UΓSUSUSUSU L (6.5.b) gdje je upadni val napona na izlazu a faktor refleksije na opterećenju, Γ,22

−+ = UΓU L−2

L je određen relacijom 6.4.a). Eliminiranjem U iz relacije 6.5.a) slijedi faktor refleksije na ulazu razmatrane mreže:

0

0

22

211211

1

1

1 ZZZZ

ΓSΓSSS

UUΓ

in

in

L

Lin +

−=

−+== +

−

(6.6.a)

gdje je Zin impedancija na ulazu mreže zaključene opteretnom impedancijom ZL. Slično, faktor refleksije na izlazu razmatrane mreže kojoj je ulaz zaključen unutarnjom impedancijom izvora signala Zs je:

s

sout ΓS

ΓSSSUUΓ

11

211222

2

2

1 −+== +

−

(6.6.b)

Ukupni napon na ulazu razmatrane mreže je (slika 6.7):

( )inins

ins ΓUUU

ZZZUU +=+=+

= +−+ 11111

Uvrsti li se u ovu relaciju rješenje za Zin (relacija 6.6.a):

in

inin Γ

ΓZZ−+

=11

0

moguće je iskazati upadni val napona na ulazu mreže, u zavisnosti o naponu izvora napajanja, U

+1U

s:

162

ins

ss

ΓΓΓUU

−−

=+

11

21 (6.7)

Ako se pretpostavi vršna vrijednost za sve napone, srednja snaga prenesena mreži je:

( ) ( )22

2

0

222

10

11

18

12

1in

ins

ssinin Γ

ΓΓ

ΓZ

UΓU

ZP −

−

−=−= + (6.8)

gdje je uvrštena relacija 6.7. Srednja snaga prenesena opterećenju je:

( 2

0

2

2 12 LL Γ

ZU

P −=−

) (6.9)

Prema relaciji 6.5.b) moguće je iskazati reflektirani val napona na izlazu, u zavisnosti o upadnom valu napona na ulazu, razmatrane mreže pa uvrštavanje relacije 6.7. za u prethodnu relaciju daje:

−2U

+1U +

1U

( ) ( )22

22

22221

0

2

222

2221

0

2

1

11

1181

12

insL

sLs

L

LL

ΓΓΓS

ΓΓSZ

U

ΓS

ΓSZ

UP

−−

−−=

−

−=

+

(6.10)

Pojačanje snage mreže s dva pristupa je:

( )( ) 2

222

2221

11

1

Lin

L

in

L

ΓSΓ

ΓSPPG

−−

−== (6.11)

gdje je za snagu PL i Pin uvrštena odgovarajuće relacija 6.10. i 6.8. Raspoloživa snaga izvora signala, Pavs je najveća snaga koju je moguće prenijeti na razmatranu mrežu zaključenu opteretnom impedancijom ZL (slika 6.7). U tom slučaju impedancija na ulazu mreže, Zin je konjugirano kompleksno prilagođena na unutarnju impedanciju izvora signala, Zs pa je prema relaciji 6.8:

( )2

2

0

2

1

18*

s

ssΓΓinavs

Γ

ΓZ

UPP

sin −

−==

= (6.12)

Slično, raspoloživa snaga na izlazu mreže, Pavn je najveća snaga koju je moguće prenijeti na konjugirano kompleksno prilagođeno opterećenje (relacija 6.10):

( )*

* 22*22

22221

0

2

11

118

outL

outL

ΓΓinsout

soutsΓΓLavn

ΓΓΓS

ΓΓSZ

UPP

=

=−−

−−== (6.13)

Pritom je faktor refleksije na ulazu mreže, Γin određen uz uvjet konjugirano kompleksnog prilagođenja na izlazu, Prema relaciji 6.6.a) vrijedi jednakost: .*

outL ΓΓ =

163

( )2*

22

22112

1

111

*

out

outs

ΓΓins

ΓS

ΓΓSΓΓ

outL −

−−=−

=

koja omogućuje sažimanje relacije 6.13. u oblik:

( )2211

2221

0

2

11

18

outs

ssavn

ΓΓS

ΓSZ

UP

−−

−= (6.14)

Treba upozoriti da je raspoloživa snaga izvora signala, Pavs (relacija 6.12) i raspoloživa snaga na izlazu mreže, Pavn (relacija 6.14) iskazana pomoću napona izvora signala, Us koji je neovisan o impedanciji na ulazu mreže i opteretnoj impedanciji. Konfuziju bi unosilo iskazivanje ovih veličina pomoću upadnog vala napona na ulazu mreže, U jer je on različit u slučaju određivanja snage P

+1

L, Pavs ili Pavn. Raspoloživo pojačanje snage mreže s dva pristupa je:

( )( )22

11

2221

11

1

outs

s

avs

avnA

ΓΓS

ΓSPPG

−−

−== (6.15)

gdje je za raspoloživu snagu Pavn i Pavs uvrštena odgovarajuće relacija 6.14. i 6.12. Pojačanje snage pretvornika za mrežu s dva pristupa je:

( )( )2

222

22221

11

11

Lins

Ls

avs

LT

ΓSΓΓ

ΓΓSPPG

−−

−−== (6.16)

gdje je za snagu PL i raspoloživu snagu Pavs uvrštena odgovarajuće relacija 6.10. i 6.12. U slučaju kad je ulaz i izlaz razmatrane mreže prilagođen tako da iščezava faktor refleksije odgovarajuće na izvoru signala i na opterećenju, Γs = ΓL = 0, pojačanje snage pretvornika je:

221SGT = (6.17)

Drugi posebni slučaj je pojačanje snage pretvornika za unilateralnu mrežu, GTu (engl. unilateral transducer power gain) za koju S12 parametar iščezava ili je zanemarivo malog iznosa. To je često značajka praktičnih pojačala. Za S12 = 0 faktor refleksije na ulazu razmatrane mreže je Γin = S11 (relacija 6.6.a) pa relacija 6.16. poprima oblik:

( )( )2

222

11

22221

11

11

Ls

LsTu

ΓSΓS

ΓΓSG

−−

−−= (6.18)

Primjer 6.1. Na frekvenciji 10 GHz, uz impedanciju normalizacije 50 Ω, vrijednosti S parametara mikrovalnog tranzistora su: ,15045,011 °∠=S ,1001,012 °−∠=S ,1005,221 °∠=S

Ako je tranzistor priključen na izvor signala unutarnje impedancije 20 Ω i zaključen opterećenjem impedancije 30 Ω, odrediti pojačanje snage, raspoloživo pojačanje i pojačanje snage pretvornika.

.15040,022 °−∠=S

164

Prema relaciji 6.4.a) i 6.4.b) faktor refleksije na opterećenju i na izvoru signala odgovarajuće je:

250,050305030

0

0 −=+−

=+−

=ZZZZΓ

L

LL 429,0

50205020

0

0 −=+−

=+−

=ZZZZΓ

s

ss

Prema relaciji 6.6.a) i 6.6.b) faktor refleksije na ulazu i na izlazu razmatrane mreže odgovarajuće je:

( ) ( )( )( )( )( ) °∠=

−°−∠−−°∠°−∠

+°∠=−

+= 4,150455,0250,015040,01

250,01005,21001,015045,01 22

211211

L

Lin ΓS

ΓSSSΓ

( ) ( )( )( )( )( ) °−∠=

−°∠−−°∠°−∠

+°−∠=−

+= 8,150408,0429,015045,01

429,01005,21001,015040,01 11

211222

s

sout ΓS

ΓSSSΓ

Pojačanje snage razmatrane mreže je (relacija 6.11):

( )( )

( )( ) ( )( )

dB 78,700,6250,015040,01455,01

250,0105,211

122

22

222

2

2221 ==

−°−∠−−

−=

−−

−=

Lin

L

ΓSΓ

ΓSG

Raspoloživo pojačanje snage je (relacija 6.15):

( )( )

( )( )( ) ( ) dB 68,786,5

408,01429,015045,01429,0105,2

11

122

22

2211

2221 ==

−−°∠−

−=

−−

−=

outs

sA

ΓΓS

ΓSG

Pojačanje snage pretvornika je (relacija 6.16):

( )( ) ( )( )( )( ) ( )( ) 22

222

222

2

22221

250,015040,014,150455,0429,01250,01429,0105,2

11

11

−°−∠−°∠−−

−−=

−−

−−=

Lins

LsT

ΓSΓΓ

ΓΓSG

dB 43,753,5 ==TG

Radiofrekvencijsko jednostupanjsko pojačalo redovito sadrži mrežu za prilagođenje na oba pristupa tranzistora (slika 6.8). Mreža na ulazu transformira unutarnju impedanciju izvora signala, Z0 u impedanciju Zs, a mreža na izlazu transformira impedanciju opterećenja, Z0 u impedanciju ZL. Najčešće se kod projektiranja pojačala koristi pojačanje snage pretvornika (relacija 6.16). Zato je korisno odrediti pojedinačne efektivne faktore pojačanja odgovarajuće za prilagodnu mrežu na ulazu, za tranzistor i za prilagodnu mrežu na izlazu:

2

2

1

1

ins

ss

ΓΓ

ΓG

−

−= (6.19.a)

2

210 SG = (6.19.b)

165

222

2

1

1

L

LL

ΓS

ΓG

−

−= (6.19.c)

Ukupno pojačanje snage pretvornika jednako je umnošku (ili zbroju kad su iskazani u decibelima) pojedinačnih faktora pojačanja, GT = GsG0GL.

Us

Z0

ΓinΓs

Z0

Γout ΓL

mreža zaprilagođenje

na ulazuGs

tranzistor[S]G0

mreža zaprilagođenje

na izlazuGL

Slika 6.8. Blok-shema radiofrekvencijskog jednostupanjskog pojačala U slučaju kad S12 parametar tranzistora iščezava, S12 = 0 pojedinačni faktori pojačanja su odgovarajuće:

211

2

1

1

s

ss

ΓS

ΓG

−

−= (6.20.a)

2

210 SG = (6.20.b)

222

2

1

1

L

LL

ΓS

ΓG

−

−= (6.20.c)

U navedenim rezultatima korišteni su S parametri, ali je odgovarajuće relacije za pojačanje moguće iskazati pomoću elemenata nadomjesnog kruga tranzistora. Primjerice pojačanje snage pretvornika za unilateralnu mrežu, GTu moguće je odrediti pomoću nadomjesnog kruga za GaAs MESFET s konjugirano kompleksnim prilagođenjem na ulazu i izlazu (slika 6.9). Ako je induktivna serijska reaktancija na ulazu X = 1/(ωCgs) i induktivna paralelna susceptancija na izlazu B = −ωCds, onda je i tako su eliminirani reaktivni elementi iz nadomjesnog kruga tranzistora s efektom polja.

*sin ZZ = ;*

Lout ZZ =

Uc

gmUc Rds Cds

Cgs

Ri

upravljačkaelektroda

uvod

odvodjXRi

Us jB Rds

Zin Zout

Slika 6.9. Nadomjesni krug GaAs MESFET-a s konjugirano kompleksnim prilagođenjem na ulazu i izlazu

166

Na kondenzatoru Cgs je napon Uc = Us/(2jωRiCgs) pa je traženo pojačanje snage:

2

22

2

2

2

44

8

81

====

ff

RR

CRRg

RU

RUg

PPG T

i

ds

gsi

dsm

i

s

dscm

avs

LTu ω

(6.21)

gdje je fT prijelazna frekvencija (relacija 6.2). Frekvencijska zavisnost pojačanja snage razmatranog pojačala je 1/f 2, odnosno brzina promjene (nagib) pojačanja snage je −20 dB po frekvencijskoj dekadi. 6.3. Stabilnost Stabilnost pojačala je otpornost na pojavu osciliranja. Neka je radiofrekvencijsko pojačalo nadomješteno krugom prikazanim na slici 6.8. U takvoj mreži s dva pristupa oscilacije mogu nastupiti ako je iznos faktora refleksije na jednom od pristupa veći od jedan, |Γin| > 1 ili |Γout| > 1. U tom slučaju veća je amplituda reflektiranog od amplitude upadnog vala napona na ulazu ili izlazu tranzistora što odgovara impedanciji s negativnim realnim dijelom. Faktor refleksije Γin i Γout, osim o S parametrima tranzistora, zavisi i o prilagodnoj mreži odgovarajuće na ulazu i izlazu pa je uvjet stabilnosti moguće iskazati u zavisnosti o faktoru refleksije Γs i ΓL. Mreža s dva pristupa može imati:

- bezuvjetnu stabilnost (engl. unconditional stability) ako je |Γin| < 1 i |Γout| < 1 za svaku unutarnju impedanciju izvora signala i impedanciju opterećenja s pozitivnim realnim dijelom, odnosno za svaki faktor refleksije |Γs| < 1 i |ΓL| < 1;

- uvjetnu stabilnost (engl. conditional stability) ako je |Γin| < 1 i |Γout| < 1 samo za određeno područje vrijednosti unutarnje impedancije izvora signala i impedancije opterećenja, odnosno samo za određeno područje vrijednosti faktora refleksije Γs i ΓL.

Katkad se uvjetnu stabilnost mreže naziva potencijalnom nestabilnošću. Treba naglasiti da je uvjet stabilnosti frekvencijski ovisan. Zato je moguće da pojačalo bude stabilno na određenoj frekvenciji, ali nestabilno na ostalim frekvencijama. Osim toga, spomenuti uvjet stabilnosti nije moguće primijeniti u slučaju nelinearne mreže ni mreže s povratnom vezom. Iskazan odgovarajuće pomoću relacije 6.6.a) i 6.6.b) za faktor refleksije na ulazu i izlazu tranzistora navedeni uvjet stabilnosti je:

11 22

211211 <

−+=

L

Lin ΓS

ΓSSSΓ (6.22.a)

11 11

211222 <

−+=

s

sout ΓS

ΓSSSΓ (6.22.b)

Ako je tranzistor unilateralan, S12 = 0, onda je za bezuvjetnu stabilnost dostatno da je iznos S parametara |S11| < 1 i |S22| < 1. U suprotnom prethodne nejednadžbe određuju područje vrijednosti odgovarajuće za faktor refleksije Γs i ΓL u kojem je pojačalo stabilno. Za prikaz ovih područja vrijednosti faktora refleksije prikladno je rabiti Smithov dijagram jer relacija 6.22.a) i 6.22.b) određuje kružnicu stabilnosti odgovarajuće na ulazu i izlazu. Kružnica stabilnosti je geometrijsko mjesto točaka ΓL (ili Γs) ravnine za koje je |Γin| = 1 (ili |Γout| = 1); to

167

je razdjelnica između stabilnog i potencijalno nestabilnog područja vrijednosti faktora refleksije. Granični slučaj |Γin| = 1 iskazan pomoću relacije 6.22.a) je:

11 22

211211 =

−+

L

L

ΓSΓSSS

ili (6.23) ( ) LLL ΓSΓSSΓSS 2221122211 11 −=+−

Determinanta matrice raspršenja je:

21122211 SSSS∆ −= (6.24) pa je prethodnu relaciju moguće prikazati u obliku:

LL ΓS∆ΓS 2211 1 −=− (6.25) Kvadriranjem ove relacije i sređivanjem slijedi:

( ) ( )LLLLLL ΓSΓSΓSSΓ∆S∆ΓΓ∆S 22*22

222211

***11

22211 1 +−+=+−+

( ) ( ) ( ) 12

11*

11**

22*1122

*2222 −=−−−−− SΓS∆SΓ∆SSΓΓ∆S LLLL

( ) ( )

2222

211

2222

*11

**22

*1122* 1

∆S

S

∆SΓS∆SΓ∆SSΓΓ LL

LL−

−=

−

−+−− (6.26)

Proširivanje obje strane jednakosti s ( )22222

2*1122 ∆S∆SS −− daje:

( )( )222

22

2*1122

2222

211

2

2222

*1122 1

∆S

∆SS

∆S

S

∆S∆SSΓ L

−

−+

−

−=

−

−−

ili

( )22

22

211222

22

**1122

∆SSS

∆S∆SSΓ L

−=

−

−− (6.27)

U kompleksnoj Γ ravnini jednadžba oblika |Γ − C| = R određuje kružnicu sa središtem u C (kompleksni broj) i polumjerom R (realni broj). Relacija 6.27. određuje kružnicu stabilnosti na izlazu tranzistora u ΓL ravnini faktora refleksije na opterećenju sa središtem i polumjerom odgovarajuće:

( )22

22

**1122

∆S∆SSCL−

−= (6.28.a)

168

2222

2112

∆SSSRL−

= (6.28.b)

Jednakim postupkom moguće je odrediti središte, Cs i polumjer, Rs kružnice stabilnosti

na ulazu tranzistora u Γs ravnini faktora refleksije na izvoru signala:

( )22

11

**2211

∆S∆SSCs−

−= (6.29.a)

2211

2112

∆SSSRs−

= (6.29.b)

Uz poznate S parametre tranzistora moguće je na Smithovom dijagramu nacrtati kružnicu stabilnosti na ulazu (izlazu) za koju je |Γout| = 1 (|Γin| = 1), ali treba odrediti s koje je strane kružnice |Γout| < 1 (|Γin| < 1). Na slici 6.10.a) i 6.10.b) prikazana je kružnica stabilnosti na izlazu tranzistora (relacije 6.28.a) i 6.28.b) u ΓL ravnini odgovarajuće za |S11| < 1 i |S11| > 1. Neka je impedancija opterećenja ZL = Z0 pa je ΓL = 0 i |Γin| = |S11| (relacija 6.22.a). Ako je |S11| < 1, onda je i |Γin| < 1 pa točka u kojoj je ΓL = 0 (središte Smithovog dijagrama) mora biti u stabilnom području. U tom slučaju područje vrijednosti faktora refleksije na opterećenju za koje je pojačalo stabilno je izvan kružnice stabilnosti na izlazu tranzistora (slika 6.10.a).

CL CLRL RL

|Γin|<1(stabilno)

|Γin|<1(stabilno)

a) b)

Slika 6.10. Kružnica stabilnosti na izlazu tranzistora uz: a) |S11| < 1; b) |S11| > 1 Ako je |S11| > 1, onda je i |Γin| > 1 pa točka u kojoj je ΓL = 0 (središte Smithovog dijagrama) mora biti u potencijalno nestabilnom području. U tom slučaju područje vrijednosti faktora refleksije na opterećenju za koje je pojačalo stabilno je unutar kružnice stabilnosti na izlazu tranzistora (slika 6.10.b). Istovjetni zaključci vrijede za kružnicu stabilnosti na ulazu tranzistora. Za bezuvjetno stabilan tranzistor cijela kružnica stabilnosti na ulazu i izlazu mora biti ili unutar ili izvan Smithovog dijagrama. Ovaj uvjet je moguće iskazati u obliku:

1za 1 11 <>− S RC LL (6.30.a)

1za 1 22 <>− SRC ss (6.30.b)

169

gdje su CL i Cs središta kružnica stabilnosti (relacije 6.28.a) i 6.29.a), a RL i Rs su im polumjeri (relacije 6.28.b) i 6.29.b). Ako je S parametar tranzistora |S11| > 1 ili |S22| > 1, pojačalo ne može biti bezuvjetno stabilno jer je u tom slučaju za ΓL = 0 ili Γs = 0 odgovarajuće |Γin| > 1 ili |Γout| > 1 (relacija 6.22.a) ili 6.22.b). Za uvjetno stabilno pojačalo vrijednosti faktora refleksije Γs i ΓL moraju biti iz stabilnog područja, a stabilnost je razborito provjeriti u nekoliko točaka oko radne frekvencije. Ako je prihvatljivo pojačalo s pojačanjem manjim od maksimalnog, bezuvjetnu stabilnost je moguće postići otpornim opterećenjem tranzistora. Bezuvjetnu stabilnost je jednostavnije provjeriti K-∆ testom nego pomoću kružnica stabilnosti. Tranzistor je bezuvjetno stabilan ako za njegove S parametre vrijedi Rolletov uvjet:

12

1

2112

2222

211 >

+−−=

SS∆SS

K (6.31)

zajedno s pomoćnim uvjetom:

121122211 <−= SSSS∆ (6.32) Pritom je ∆ determinanta matrice raspršenja. Ako provjera S parametara K-∆ testom nije potvrdna, tranzistor je potencijalno nestabilan i treba koristiti kružnice stabilnosti. Iako matematički rigorozan K-∆ test nije prikladan za usporedbu relativne stabilnosti dva ili više tranzistora jer uključuje dva faktora. Bezuvjetnu stabilnost je moguće provjeriti µ testom koji uključuje samo jedan faktor:

11

2112*1122

211 >+−

−=

SS∆SSS

µ (6.33)

Ako je µ > 1, tranzistor je bezuvjetno stabilan, a veća vrijednost µ faktora znači i veću stabilnost. Primjer 6.2. Na frekvenciji 2 GHz, uz prednapon UGS = 0 V i impedanciju normalizacije 50 Ω, vrijednosti S parametara GaAs MESFET-a su: S11 = 0,894∠−60,6°, S12 = 0,020∠62,4°, S21 = 3,122∠123,6°, S22 = 0,781∠−27,6°. Odrediti stabilnost ovog tranzistora pomoću K-∆ i µ testa te nacrtati kružnice stabilnosti na Smithovom dijagramu. Faktor ∆, K i µ odgovarajuće prema relaciji 6.32, 6.31. i 6.33. je:

( )( ) ( )( )°∠°∠−°−∠°−∠=−= 6,123122,34,62020,06,27781,06,60894,021122211 SSSS∆ 697,01,83697,0 =°−∠=∆

( )( )°∠°∠°−∠+°−∠−°−∠−

=+−−

=6,123122,34,62020,02

1,83697,06,27781,06,60894,012

1 222

2112

2222

211

SS∆SS

K

614,0=K

170

( ) ( )( ) ( )( )°∠°∠+°∠°−∠−°−∠°−∠−

=

=+−

−=

6,123122,34,62020,06,60894,01,83697,06,27781,06,60894,01

1

2

2112*1122

211

SS∆SSS

µ

865,0=µ Bjelodano je |∆| < 1, ali nije K > 1 ni µ > 1 pa tranzistor nije bezuvjetno stabilan.

1.0

0.9

0.8

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0 0.1

0.2

0.3

0.4

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

2.0

3.0

10

0.2

0.4

0.6

0.8

1.00.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

2.0

6.0

7.0

8.0

9.0

50

10

1.00.90.

8

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

2.0

6.0

7.08.0

9.0

50

10

160

140

120

100 80

60

40

20

0

-20

-40

-60

-80-100

-120

-140

-160

±180

170

150

130

110

90

70

50

30

10-10

-30

-50

-70

-90

-110

-130

-150

-170

50

0 .250.24

0.23

0.22

0.21

0.20

0.19

0.18

0.17

0.16

0.150.14

0.130.120.11

0.10

0.09

0.08

0.07

0.06

0.05

0.04

0.03

0.02

0.01

0.00

0.49

0.48

0.47

0.46

0.45

0.44

0.43

0.42

0.41

0.400.39

0.38 0.370.36

0.35

0.34

0.33

0.32

0.31

0.30

0.29

0.28

0.270.26

0.250. 26

0.27

0.28

0.29

0.30

0.31

0.32

0.33

0.34

0.350.36

0.370.380.39

0.40

0.41

0.42

0.43

0.44

0.45

0.46

0.47

0.48

0.49

0.0 0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

0.100.11

0.12 0.130.14

0.15

0.16

0.17

0.18

0.19

0.20

0.21

0.22

0.230.24

Wav

elen

gths

Tow

ard

Gen

erat

or

205.0

4.0

0.5

3.0

4.0

5.0

20

20

5.0

4.0

3.0

InC

oefficientR

eflectionD

egreesAngleO

f

Resistance Component (R/Z0), Or Conductance Component (G/Y0)

Indu

ctiv

eRe

acta

nce Co

mpo

nent

(+jX/Z 0

),Or C

apacitive

Susceptance (+jB/Y0)

0.6

0.7

CapacitiveReactanceCompo

nent(-jX

/Z0),

OrInd

uctiv

eSu

scep

tanc

e(-j

B/Y

0)

0.7

0.6

Load

Tow

ard

Wav

elen

gths

CsCL

RL

Rsnestabilnopodručje

stabilnopodručje

Slika 6.11. Kružnice stabilnosti za primjer 6.2. Središte i polumjer kružnice stabilnosti na izlazu i ulazu odgovarajuće prema relaciji 6.28.a) i 6.28.b) te 6.29.a) i 6.29.b) je:

171

( ) ( ) ( )( )[ ]°∠=

°−∠−°−∠

°∠°−∠−°−∠=

−

−= 7,4637,1

1,83697,06,27781,06,60894,01,83697,06,27781,0

22

*

2222

**1122

∆S∆SSCL

( )( ) 50,01,83697,06,27781,0

6,123122,34,62020,02222

22

2112 =°−∠−°−∠

°∠°∠=

−=

∆SSSRL

( ) ( ) ( )( )[ ]

°∠=°−∠−°−∠

°∠°−∠−°−∠=

−

−= 5,6814,1

1,83697,06,60984,06,27781,01,83697,06,60894,0

22

*

2211

**2211

∆S∆SSCs

( )( ) 20,01,83697,06,60894,0

6,123122,34,62020,02222

11

2112 =°−∠−°−∠

°∠°∠=

−=

∆SSSRs

Kružnice stabilnosti na ulazu i izlazu tranzistora su prikazane na slici 6.11. Središte Smithovog dijagrama je u stabilnom području jer je iznos S parametra |S11| < 1 i |S22| < 1. Područje vrijednosti faktora refleksije na izvoru signala, Γs i na opterećenju, ΓL za koje je pojačalo stabilno je izvan odgovarajuće kružnice stabilnosti na ulazu i izlazu tranzistora.

S6.4. Projektiranje pojačala uporabom parametara Projektiranje jednostupanjskog pojačala započinje provjerom bezuvjetne stabilnosti tranzistora pomoću K-∆ ili µ testa te crtanjem kružnica stabilnosti ako je tranzistor potencijalno nestabilan. Zatim se projektira prilagodna mreža na ulazu i izlazu tranzistora tako da se ostvari određena vrijednost pojačanja ili faktora šuma pojačala. Pojedinačni faktor pojačanja, G0 (relacija 6.19.b) je stalan za određeni tranzistor pa o faktoru pojačanja za prilagodnu mrežu na ulazu i izlazu, Gs i GL zavisi ukupno pojačanje pojačala. Najveće pojačanje je kad prilagodna mreža ostvaruje konjugirano kompleksno prilagođenje ulaza tranzistora i unutarnje impedancije izvora signala te opterećenja i izlaza tranzistora. Najčešće je znatno neprilagođenje impedancije na ulazu i izlazu tranzistora (razmjerno veliki |S11| i |S22|) pa je frekvencijski odziv prilagodnih mreža uskopojasan. Projektiranje pojačala s pojačanjem manjim od najvećeg može povećati širinu propusnog frekvencijskog pojasa. U slučaju konjugirano kompleksnog prilagođenja impedancija na ulazu i izlazu tranzistora i odgovarajući faktori refleksije su konjugirano kompleksni (slika 6.8):

*sin ΓΓ = (6.34.a)

*Lout ΓΓ = (6.34.b)

Ako je ostvaren ovaj uvjet, a prilagodne mreže su bez gubitaka, onda je najveće ukupno pojačanje snage pretvornika (relacija 6.16):

222

22

212max1

1

11

L

L

sT

ΓS

ΓS

ΓG

−

−

−= (6.35)

172

Općenito, za bilateralni (dvosmjerni) tranzistor, |S12| ≠ 0 faktor refleksije na ulazu, Γin i faktor refleksije na izlazu, Γout su međuzavisni pa je nužno ostvariti konjugirano kompleksno prilagođenje istovremeno na oba pristupa. Uvrsti li se relaciju 6.34.a) i 6.34.b) u odgovarajući izraz za faktor refleksije na ulazu i izlazu tranzistora (relacije 6.6.a) i 6.6.b) slijede jednadžbe:

L

Ls ΓS

ΓSSSΓ22

211211

*

1 −+= (6.36.a)

s

SL ΓS

ΓSSSΓ11

211222

*

1 −+= (6.36.b)

koje je moguće riješiti za Γs ako ih se prikaže u obliku:

*22*

*21

*12*

11 1 SΓ

SSSΓ

L

s

−+=

s

sL ΓS

∆ΓSΓ22

22*

1 −−

=

gdje je ∆ = S11S22 − S12S21

) (relacija 6.24). Uvrštavanje izraza za u relaciju za Γ*

LΓ s i uporaba

jednakosti ( 2*21

*12

*22

*11 ∆SSSS∆ =− daje kvadratnu jednadžbu:

( ) ( ) ( ) ( ) 22

*21

*12

222

*11

*21

*12

211

*22

*1111

*22

2222 11 SSSSSS∆SSS∆SΓS∆SΓSΓ sss +−+−−=−+−

( ) ( ) ( ) 01 22

**11

222

211

22*2211 =−+−+−+− S∆SΓSS∆Γ∆SS ss (6.37)

Rješenje za faktor refleksije na izvoru signala u općenitom obliku je:

1

21

211

24

CCBB

Γ s

−±= (6.38.a)

Jednakim razmatranjem moguće je odrediti rješenje za faktor refleksije na opterećenju:

2

22

222

24

CCBB

Γ L

−±= (6.38.b)

Varijable B1, C1, B2 i C2 (relacije 6.38.a) i 6.38.b) su odgovarajuće:

2222

2111 1 ∆SSB −−+= (6.39.a)

22

112

222 1 ∆SSB −−+= (6.39.b)

*22111 ∆SSC −= (6.39.c)

173

*11222 ∆SSC −= (6.39.d)

Moguće je pokazati da Rolletovom uvjetu stabilnosti, K > 1 (relacija 6.31) odgovara uvjet |B1/(2C1)| > 1 i |B2/(2C2)| > 1 pa je veličina pod kvadratnim korijenom u relaciji 6.38.a) i 6.38.b) pozitivna. Za svaki faktor refleksije |Γs| < 1 i |ΓL| < 1 uz B1 > 0 i B2 > 0 treba odabrati negativni predznak kvadratnog korijena u relaciji 6.38.a) i 6.38.b) što odgovara pomoćnom uvjetu stabilnosti |∆| < 1 (relacija 6.32). Bezuvjetno stabilni tranzistor uvijek je moguće konjugirano kompleksno prilagoditi istovremeno na oba pristupa i ostvariti najveće pojačanje. Naravno, za unilateralni tranzistor, S12 = 0 razmatranje je znatno jednostavnije. U tom slučaju relacije 6.36.a) i 6.36.b) prelaze u oblik i pa je najveće pojačanje snage pretvornika (relacija 6.35):

*11SΓ s = *

22SΓ L =

222

2212

11max

11

11

SS

SGTu

−−= (6.40)

Za općeniti, bilateralni tranzistor koji je bezuvjetno stabilan i konjugirano kompleksno prilagođen istovremeno na oba pristupa najveće pojačanje snage pretvornika (relacija 6.35) je moguće iskazati u obliku:

( )12

12

21max −−= KK

SS

GT (6.41)

gdje je K > 1 faktor stabilnosti (relacija 6.31). Katkad se najveće pojačanje snage pretvornika naziva prilagođenim pojačanjem (engl. matched gain). Potencijalno nestabilni tranzistor, K < 1 nije moguće konjugirano kompleksno prilagoditi istovremeno na oba pristupa. U tom slučaju korisno je odrediti najveće stabilno pojačanje snage (engl. maximum stable gain):

12

21

SS

Gmsg = (6.42)

kao najveće pojačanje snage pretvornika (relacija 6.41) za K = 1. Ono omogućuje usporedbu pojačanja različitih tranzistora u stabilnim uvjetima. Primjer 6.3. Projektirati pojačalo s najvećim pojačanjem snage na frekvenciji 4,0 GHz. Uporabiti GaAs MESFET sa S parametrima navedenim na tablici 6.2, a prilagođenje na ulazu i izlazu tranzistora ostvariti jednim ogrankom prijenosne linije.

Tablica 6.2. S parametri tranzistora za primjer 6.3. (Z0 = 50 Ω)

frekvencija, f/GHz S11 S12 S21 S22

3,0 0,80∠−89° 0,03∠56° 2,86∠99° 0,76∠−41°

4,0 0,72∠−116° 0,03∠57° 2,60∠76° 0,73∠−54°

5,0 0,66∠−142° 0,03∠62° 2,39∠54° 0,72∠−68°

174

Stabilnost razmatranog tranzistora na frekvenciji 4,0 GHz moguće je odrediti pomoću K-∆ testa (relacije 6.32. i 6.31):

( )( ) ( )( )°∠°∠−°−∠°−∠=−= 7660,25703,05473,011672,021122211 SSSS∆ 488,04,162488,0 =°−∠=∆

( )( )°∠°∠°−∠+°−∠−°−∠−

=+−−

=7660,25703,02

4,162488,05473,011672,012

1 222

2112

2222

211

SS∆SS

K

197,1=K Na razmatranoj frekvenciji tranzistor je bezuvjetno stabilan jer je K > 1 i |∆| < 1. Zato nije nužno crtati kružnice stabilnosti na Smithovom dijagramu. Za najveće pojačanje snage treba konjugirano kompleksno prilagoditi impedanciju na ulazu i izlazu tranzistora, a odgovarajuće faktore refleksije je moguće odrediti pomoću varijabli B1, C1, B2 i C2 (relacije 6.39. a), c), b) i d):

747,04,162488,05473,011672,011 2222222

2111 =°−∠−°−∠−°−∠+=−−+= ∆SSB

( ) ( )( ) °−∠=°∠°−∠−°−∠=−= 4,123370,05473,04,162488,011672,0*

22111 ∆SSC

776,04,162488,011672,05473,011 2222211

2222 =°−∠−°−∠−°−∠+=−−+= ∆SSB

( ) ( )( ) °−∠=°∠°−∠−°−∠=−= 1,61385,011672,04,162488,05473,0*

11222 ∆SSC Prema relaciji 6.38.a) i 6.38.b) faktor refleksije na izvoru signala i na opterećenju odgovarajuće je:

( ) °∠=°−∠

°−∠−−=

−−= 4,123871,0

4,123370,025,123370,04747,0747,0

24 22

1

21

211

CCBB

Γ s

( ) °∠=°−∠

°−∠−−=

−−= 1,61883,0

1,61385,021,61385,04776,0776,0

24 22

2

22

222

CCBB

Γ L

Prema relaciji 6.35. pojedinačni efektivni faktor pojačanja odgovarajuće za prilagodnu mrežu na ulazu, za tranzistor i za prilagodnu mrežu na izlazu je:

dB 17,614,44,123871,01

11

122 ==

°∠−=

−=

ss

ΓG

dB 30,876,67660,2 22

210 ==°∠== SG

175

( )( ) dB 10,262,11,61883,05473,01

1,61883,01

1

1 2

222

2

==°∠°−∠−

°∠−=

−

−=

L

LL

ΓS

ΓG

pa je najveće ukupno pojačanje snage pretvornika jednako umnošku pojedinačnih faktora pojačanja (ili zbroju pojedinačnih faktora pojačanja iskazanih u decibelima):

dB 6,1634,4562,176,614,41

1

11

0222

22

212max ==⋅⋅==−

−

−= Ls

L

L

sT GGG

ΓS

ΓS

ΓG

Prilagodnu mrežu na ulazu i izlazu tranzistora u obliku odsječka prijenosne linije s paralelno spojenim, otvorenim ogrankom moguće je odrediti pomoću Smithovog dijagrama (slika 6.12.a) i 6.12.b) postupkom opisanim u primjeru 2.6.

1.0

0.9

0.8

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0 0.1

0.2

0.3

0.4

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

2.0

3.0

10

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

2.0

6.0

7.0

8.0

9.0

50

10

1.00.90.

8

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

2.0

6.0

7.08.0

9.0

50

10

160

140

120

100 80

60

40

20

0

-20

-40

-60

-80-100

-120

-140

-160

±180

170

150

130

110

90

70

50

30

10-10

-30

-50

-70

-90

-110

-130

-150

-170

50

0 .250.24

0.23

0.22

0.21

0.20

0.19

0.18

0.17

0.16

0.150.14

0.130.120.11

0.10

0.09

0.08

0.07

0.06

0.05

0.04

0.03

0.02

0.01

0.00

0.49

0.48

0.47

0.46

0.45

0.44

0.43

0.42

0.41

0.400.39

0.38 0.370.36

0.35

0.34

0.33

0.32

0.31

0.30

0.29

0.28

0.270.26

0. 250 .26

0.27

0.28

0.29

0.30

0.31

0.32

0.33

0.34

0.350.36

0.370.380.39

0.40

0.41

0.42

0.43

0.44

0.45

0.46

0.47

0.48

0.49

0 .00

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

0.100.11

0.12 0.130.14

0.15

0.16

0.17

0.18

0.19

0.20

0.21

0.22

0.230.24

Wav

elen

gths

Tow

ard

Gen

erat

or

205.0

4.0

0.5

3.0

4.0

5.0

20

20

5.0

4.0

3.0

InC

oefficientR

eflectionD

egreesAngle

Of

Resistance Component (R/Z0), Or Conductance Component (G/Y0)

Indu

ctiv

eRe

acta

nce Com

pone

nt

(+jX/Z 0),

Or Capaciti

veSusceptance (+jB/Y0)

0.6

0.7

CapacitiveReactanceCompo

nent(-jX

/Z0),

OrInd

uctiv

eSu

scep

tanc

e(-j

B/Y

0)

0.7

0.6

Load

Tow

ard

Wav

elen

gths

zs

ys

1+j3,55

ds1

ls1

1-j3,55

ls2

ds2

a)

SWR=14,50

Slika 6.12. Pojačalo s tranzistorom za primjer 6.3: a) Smithov dijagram za prilagodnu mrežu na ulazu

176

1.0

0.9

0.8

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0 0.1

0.2

0.3

0.4

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

2.0

3.0

10

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

2.0

6.0

7.0

8.0

9.0

50

10

1.00.90.

8

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

2.0

6.0

7.08.0

9.0

50

10

160

140

120

100 80

60

40

20

0

-20

-40

-60

-80-100

-120

-140

-160

±180

170

150

130

110

90

70

50

30

10-10

-30

-50

-70

-90

-110

-130

-150

-170

50

0. 250.24

0.23

0.22

0.21

0.20

0.19

0.18

0.17

0.16

0.150.14

0.130.120.11

0.10

0.09

0.08

0.07

0.06

0.05

0.04

0.03

0.02

0.01

0.00

0.49

0.48

0.47

0.46

0.45

0.44

0.43

0.42

0.41

0.400.39

0.38 0.370.36

0.35

0.34

0.33

0.32

0.31

0.30

0.29

0.28

0.270.26

0.2 50.26

0.27

0.28

0.29

0.30

0.31

0.32

0.33

0.34

0.350.36

0.370.380.39

0.40

0.41

0.42

0.43

0.44

0.45

0.46

0.47

0.48

0.49

0 .00

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

0.100.11

0.12 0.130.14

0.15

0.16

0.17

0.18

0.19

0.20

0.21

0.22

0.230.24

Wav

elen

gths

Tow

ard

Gen

erat

or

205.0

4.0

0.5

3.0

4.0

5.0

20

20

5.0

4.0

3.0

InC

oefficientR

eflectionD

egreesAngle

Of

Resistance Component (R/Z0), Or Conductance Component (G/Y0)

Indu

ctiv

eRe

acta

nce Co

mpo

nent

(+jX/Z 0

),Or C

apacitive

Susceptance (+jB/Y0)

0.6

0.7

CapacitiveReactanceCompo

nent

(-jX/Z

0),OrI

nduc

tive

Susc

epta

nce

(-jB/

Y0)

0.7

0.6

Load

Tow

ard

Wav

elen

gths

1+j3,78

lL2

dL1

zL

yL

lL1

dL2

1-j3,78

b)

SWR=16,09

Slika 6.12. (nastavak): b) Smithov dijagram za prilagodnu mrežu na izlazu Faktor refleksije na izvoru signala, Γs = 0,871∠123,4° određen je presjecištem kružnice koja na desnoj polovici vodoravnog promjera Smithovog dijagrama presjeca točku SWR = 14,50 i radijalne linije na navedenom kutu (slika 6.12.a). Ova točka određuje normaliziranu impedanciju zs = 0,090 + j0,535 koju ostvaruje prilagodna mreža na ulazu tranzistora zaključena impedancijom Z0 = 50 Ω na strani izvora signala. Pravac kroz središte Smithovog dijagrama i točku normalizirane admitancije ys = 0,30 − j1,82 određuje na skali valne duljine prema opterećenju (WTL, engl. wavelengths toward load) vrijednost 0,1714λ. Kružnica konstantnog SWR = 14,50 siječe kružnicu 1 + jb u dvije točke, 1 ± j3,55. Pravac kroz središte Smithovog dijagrama i svaku od ovih točaka određuje na WTL skali odgovarajuće vrijednosti 0,2908λ i 0,2094λ pa je duljina odsječka prijenosne linije:

( ) λλ 119,01714,02908,01 ≈−=sd ( ) λλ 038,01714,02094,02 ≈−=sd

177

Normalizirana ulazna admitancija ogranka prijenosne linije je odgovarajuće ±j3,55. Na skali valne duljine prema generatoru (WTG skala) referentni položaj normalizirane admitancije zaključenja ogranka (otvoreni krug) je 0λ pa je duljina ogranka prijenosne linije:

λλ 206,02064,01 ≈=sl λλ 294,02938,02 ≈=sl Faktor refleksije na opterećenju, ΓL = 0,883∠61,1° određen je presjecištem kružnice koja na desnoj polovici vodoravnog promjera Smithovog dijagrama presjeca točku SWR = 16,09 i radijalne linije na navedenom kutu (slika 6.12.b). Ova točka određuje normaliziranu impedanciju zL = 0,36 + j1,67 koju ostvaruje prilagodna mreža na izlazu tranzistora zaključena impedancijom Z0 = 50 Ω na strani opterećenja. Pravac kroz središte Smithovog dijagrama i točku normalizirane admitancije yL = 0,080 − j0,585 određuje na WTL skali vrijednost 0,0848λ. Kružnica konstantnog SWR = 16,09 siječe kružnicu 1 + jb u dvije točke, 1 ± j3,78. Pravac kroz središte Smithovog dijagrama i svaku od ovih točaka određuje na WTL skali odgovarajuće vrijednosti 0,2888λ i 0,2114λ pa je duljina odsječka prijenosne linije:

( ) λλ 204,00848,02888,01 ≈−=Ld ( ) λλ 127,00848,02114,02 ≈−=Ld Normalizirana ulazna admitancija ogranka prijenosne linije je odgovarajuće ±j3,78. Na WTG skali referentni položaj normalizirane admitancije zaključenja ogranka (otvoreni krug) je 0λ pa je duljina ogranka prijenosne linije:

λλ 209,02088,01 ≈=Ll λλ 291,02914,02 ≈=Ll Za prilagodnu mrežu na ulazu tranzistora odabrana je duljina odsječka i ogranka prijenosne linije odgovarajuće 0,119λ i 0,206λ, a za prilagodnu mrežu na izlazu duljina odsječka i ogranka odgovarajuće 0,204λ i 0,209λ (slika 6.12.c). Pritom je karakteristična impedancija prijenosne linije Z0 = 50 Ω, a jedan odsječak i dva ogranka su približno jednake duljine. Naravno, električni krug pojačala iziskuje prikladnu prednaponsku mrežu.

c)

Us

50 Ω50 Ω

0,119λ

50 Ω0,206λ

50 Ω0,204λ

50 Ω0,209λ 50 Ω

Slika 6.12. (nastavak): c) radiofrekvencijski dio električnog kruga Na slici 6.13. prikazana je frekvencijska zavisnost ukupnog pojačanja snage pretvornika, GT i povratnog gubitka, RL na ulaznom pristupu razmatranog pojačala. Moguće je razabrati da je najveće pojačanje snage 16,6 dB na frekvenciji 4,0 GHz. Granice propusnog frekvencijskog pojasa su određene smanjenjem pojačanja snage za 1 dB od najveće vrijednosti. Relativna širina propusnog frekvencijskog pojasa je približno 2,5 % pa je razmatrano pojačalo razmjerno uskopojasno. Na frekvenciji 4,0 GHz povratni gubitak ima vrlo veliku vrijednost, odnosno na toj frekvenciji iščezava reflektirana snaga na ulazu pojačala. Izvan propusnog frekvencijskog pojasa pojačala povratni gubitak iščezava pa je najveći dio upadne snage na ulazu reflektiran.

178

f/GHz3,0 3,5 4,0 4,5 5,0-20

-10

0

10

20

GT/dB-RL/dB

GT

RL

Slika 6.13. Frekvencijska zavisnost pojačanja snage i povratnog gubitka pojačala za primjer 6.3.

Nerijetko osnovni cilj projektiranja pojačala nije najveće moguće pojačanje nego primjerice širi propusni frekvencijski pojas ili manji učin promjene značajki elemenata električnog kruga. Takvu zadaću je moguće ostvariti odabirom manje od najveće vrijednosti pojedinačnog efektivnog faktora pojačanja za prilagodnu mrežu na ulazu i/ili izlazu tranzistora. Drukčije iskazano neprilagođena impedancija na ulazu i/ili izlazu tranzistora smanjuje ukupno pojačanje, ali može proširiti propusni frekvencijski pojas pojačala. Postupak projektiranja pojačala određenog pojačanja olakšava crtanje kružnica konstantnog pojačanja (engl. constant gain circles) na Smithovom dijagramu. Te kružnice su geometrijsko mjesto točaka Γs ili ΓL ravnine, odnosno odgovarajuće vrijednosti impedancije, koje ostvaruju određenu vrijednost pojačanja za prilagodnu mrežu na ulazu ili izlazu tranzistora. Neka je iznos S12 parametra tranzistora zanemarivo malen, |S12| ≈ 0. Pogreška zbog pretpostavke o unilateralnom tranzistoru određena je omjerom pojačanja snage pretvornika i pojačanja snage pretvornika za unilateralnu mrežu, GT/GTu koji je u rasponu:

( ) ( )22 11

11

UGG

U Tu

T

−<<

+ (6.43)

gdje je U faktor unilateralnosti (engl. unilateral figure of merit) tranzistora:

( )( )222

211

22211211

11 SS

SSSSU

−−= (6.44)

Najčešće ova pogreška nije veća od nekoliko desetina decibela. U slučaju unilateralnog tranzistora pojedinačni faktor pojačanja za prilagodnu mrežu na ulazu i izlazu odgovarajuće je (relacije 6.20.a) i 6.20.c):

211

2

1

1

s

ss

ΓS

ΓG

−

−=

179

222

2

1

1

L

LL

ΓS

ΓG

−

−=

Ovi faktori pojačanja su najveći ako je konjugirano kompleksno prilagođena impedancija na ulazu i izlazu tranzistora, odnosno ako je i : *

11SΓ s = *22SΓ L =

211

max 1

1S

Gs−

= (6.45.a)

222

max 1

1S

GL−

= (6.45.b)

Normalizirani faktor pojačanja prilagodne mreže na ulazu i izlazu tranzistora odgovarajuće je:

( )2112

11

2

max

11

1S

ΓS

ΓG

Ggs

s

s

ss −

−

−== (6.46.a)

( )2222

22

2

max

11

1S

ΓS

ΓG

GgL

L

L

LL −

−

−== (6.46.b)

s vrijednostima u rasponu 0 ≤ gs ≤ 1 i 0 ≤ gL ≤ 1. Za zadanu vrijednost normaliziranog faktora pojačanja, gs i gL ove relacije određuju jednadžbu kružnice odgovarajuće u Γs i ΓL ravnini. Relaciju 6.46.a) je moguće prikazati u obliku:

( )( )211

2211 111 SΓΓSg sss −−=−

( ) ( ) ssssss gSΓSΓSgΓSSg −−=+−−+ 2

11**

111122

112

11 11

( )( ) ( ) 2

11

211

211

**1111*

11

1

11 Sg

gS

SgΓSΓSgΓΓ

s

s

s

sssss

−−

−−=

−−

+− (6.47)

a proširivanje obje strane jednakosti s ( )[ ]2 211

211

2 11 SgSg ss −− daje:

( )( ) ( )[ ]

( )[ ]2211

211

2211

211

2

211

*11

11

111

11 Sg

SgSggS

SgSgΓ

s

sss

s

ss

−−

+−−−−=

−−−

ili

( )( )

( ) 211

211

211

*11

11

11

11 Sg

Sg

SgSgΓ

s

s

s

ss

−−

−−=

−−− (6.48)

180

U kompleksnoj Γs ravnini to je jednadžba kružnice konstantnog faktora pojačanja ulazne prilagodne mreže sa središtem i polumjerom odgovarajuće:

( ) 211

*11

11 SgSgC

s

ss

−−= (6.49.a)

( )

( ) 211

211

11

11

Sg

SgR

s

ss

−−

−−= (6.49.b)

Jednakim postupkom moguće je odrediti središte, CL i polumjer, RL kružnice konstantnog faktora pojačanja izlazne prilagodne mreže u kompleksnoj ΓL ravnini:

( ) 222

*22

11 SgSgC

L

LL

−−= (6.50.a)

( )

( ) 222

222

11

11

Sg

SgR

L

LL

−−

−−= (6.50.b)

Središta porodice kružnica, Cs i CL leže na pravcu kroz središte Smithovog dijagrama i

odgovarajuću točku i Za najveću vrijednost normaliziranog faktora pojačanja, g*11S .*

22S s = 1 (gL = 1) kružnica degenerira u točku ( S ), a kružnica za vrijednost faktora pojačanja G

*11S *

22

s = 1 = 0 dB (GL = 1 = 0 dB) uvijek prolazi središtem Smithovog dijagrama. Ove činjenice olakšavaju crtanje kružnica konstantnog pojačanja za ulaznu i izlaznu prilagodnu mrežu. Na tim kružnicama je moguće odabrati faktor refleksije na izvoru signala, Γs i na opterećenju, ΓL tako da se ostvari željena vrijednost faktora pojačanja odgovarajuće prilagodne mreže. Treba upozoriti da izbor Γs i ΓL nije jednoznačan, ali je razborito faktor refleksije odabrati u okolišu središta Smithovog dijagrama. Tako se smanjuje neprilagođenje na pristupima i povećava širinu propusnog frekvencijskog pojasa pojačala. Druga je mogućnost odabrati neprilagođenje na ulazu tako da se ostvari niskošumno pojačalo. Primjer 6.4. Projektirati pojačalo s pojačanjem snage 11 dB na frekvenciji 4,0 GHz. Uporabiti GaAs MESFET sa S parametrima navedenim na tablici 6.3, a prilagođenje na ulazu i izlazu tranzistora ostvariti jednim ogrankom prijenosne linije.

Tablica 6.3. S parametri tranzistora za primjer 6.4. (Z0 = 50 Ω)

frekvencija, f/GHz S11 S12 S21 S22

3,0 0,80∠−90° 0 2,80∠100° 0,66∠−50°

4,0 0,75∠−120° 0 2,50∠80° 0,60∠−70°

5,0 0,71∠−140° 0 2,30∠60° 0,58∠−85°

181

Razmatrani tranzistor je unilateralan i bezuvjetno stabilan jer je S12 = 0 te |S11| < 1 i |S22| < 1. U tom slučaju najveći faktor pojačanja za prilagodnu mrežu na ulazu i izlazu je odgovarajuće (relacija 6.45.a) i 6.45.b):

dB 6,329,212075,01

11

122

11max ==

°−∠−=

−=

SGs

dB 9,156,17060,01

11

12

22max ==

°−∠−=

−=

SGL

Prema relaciji 6.40. pojedinačni faktor pojačanja za tranzistor je:

dB 0,825,68050,2 22210 ==°∠== SG

pa je najveće pojačanje snage pretvornika:

dB 5,1333,2256,125,629,21

11

1max 0max 2

22

2212

11max ==⋅⋅==

−−= LsTu GGG

SS

SG

za 2,5 dB veće od zadane vrijednosti pojačanja pojačala. Za prilagodnu mrežu na ulazu, za neke vrijednosti faktora pojačanja, Gs i normalizirane vrijednosti, gs (relacija 6.46.a), određeno je središte, Cs i polumjer, Rs kružnice konstantnog faktora pojačanja (relacije 6.49.a) i 6.49.b):

1dB 6,3=sG =sg °∠= 12075,0sC 0=sR

dB 0,3=sG 873,0=sg °∠= 120705,0sC 168,0=sR

dB 0,2=sG 690,0=sg °∠= 120627,0sC 295,0=sR Za prilagodnu mrežu na izlazu, za neke vrijednosti faktora pojačanja, GL i normalizirane vrijednosti, gL (relacija 6.46.b), određeno je središte, CL i polumjer, RL kružnice konstantnog faktora pojačanja (relacije 6.50.a) i 6.50.b):

dB 9,1=LG 1=Lg °∠= 7060,0LC 0=LR

dB 0,1=LG 808,0=Lg °∠= 70521,0LC 301,0=LR

dB 0=LG 641,0=Lg °∠= 70442,0LC 440,0=LR Kružnice konstantnog pojačanja za prilagodnu mrežu na ulazu i izlazu prikazane su odgovarajuće na slici 6.14.a) i 6.14.b). Pritom za vrijednost faktora pojačanja GL = 0 dB kružnica prolazi središtem Smithovog dijagrama pa je |CL| = RL ≈ 0,441. Za prilagodnu mrežu na ulazu odabrana je vrijednost faktora pojačanja Gs = 2 dB, a za prilagodnu mrežu na izlazu vrijednost faktora pojačanja GL = 1 dB. Te vrijednosti, uz pojedinačni faktor pojačanja za tranzistor G0 = 8 dB, ostvaruju zadano ukupno pojačanje snage pojačala 11 dB. Faktor

182

refleksije na izvoru signala, najbliži središtu Smithovog dijagrama, Γs = 0,333∠120° određen je presjecištem kružnice konstantnog pojačanja Gs = 2 dB i radijalne linije na navedenom kutu (slika 6.14.a). Ova točka određuje normaliziranu impedanciju zs = 0,62 + j0,40 koju ostvaruje prilagodna mreža na ulazu tranzistora zaključena impedancijom Z0 = 50 Ω na strani izvora signala.

1.0

0.9

0.8

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0 0.1

0.2

0.3

0.4

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

2.0

3.0

10

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

2.0

6.0

7.0

8.0

9.0

50

10

1.00.90.

8

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

2.0

6.0

7.08.0

9.0

50

10

160

140

120

100 80

60

40

20

0

-20

-40

-60

-80-100

-120

-140

-160

±180

170

150

130

110

90

70

50

30

10-10

-30

-50

-70

-90

-110

-130

-150

-170

50

0.2 50.24

0.23

0.22

0.21

0.20

0.19

0.18

0.17

0.16

0.150.14

0.130.120.11

0.10

0.09

0.08

0.07

0.06

0.05

0.04

0.03

0.02

0.01

0.00

0.49

0.48

0.47

0.46

0.45

0.44

0.43

0.42

0.41

0.400.39

0.38 0.370.36

0.35

0.34

0.33

0.32

0.31

0.30

0.29

0.28

0.270.26

0.250.26

0.27

0.28

0.29

0.30

0.31

0.32

0.33

0.34

0.350.36

0.370.380.39

0.40

0.41

0.42

0.43

0.44

0.45

0.46

0.47

0.48

0.49

0.0 0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

0.100.11

0.12 0.130.14

0.15

0.16

0.17

0.18

0.19

0.20

0.21

0.22

0.230.24

Wav

elen

gths

Tow

ard

Gen

erat

or

205.0

4.0

0.5

3.0

4.0

5.0

20

20

5.0

4.0

3.0

InC

oefficientR

eflectionD

egreesAngle

Of

Resistance Component (R/Z0), Or Conductance Component (G/Y0)

Indu

ctiv

eRe

acta

nce Co

mpo

nent

(+jX/Z 0

),Or C

apacitive

Susceptance (+jB/Y0)

0.6

0.7

CapacitiveReactanceCompo

nent(-jX

/Z0),

OrInd

uctiv

eSu

scep

tanc

e(-j

B/Y

0)

0.7

0.6

Load

Tow

ard

Wav

elen

gths

dsls

1+j0,71zs

ys

3,6 dB3 dB

2 dB

a)

Slika 6.14. Pojačalo s tranzistorom za primjer 6.4: a) Smithov dijagram za prilagodnu mrežu na ulazu

Postupkom prikazanim u primjeru 6.3. određena je duljina odsječka i duljina paralelno spojenog, otvorenog ogranka prijenosne linije za prilagodnu mrežu na ulazu:

( ) λλ 181,01666,03479,0 ≈−=sd λλ 099,00985,0 ≈=sl

183

Faktor refleksije na opterećenju, najbliži središtu Smithovog dijagrama, ΓL = 0,219∠70° određen je presjecištem kružnice konstantnog pojačanja GL = 1 dB i radijalne linije na navedenom kutu (slika 6.14.b). Ova točka određuje normaliziranu impedanciju zL = 1,06 + j0,45 koju ostvaruje prilagodna mreža na izlazu tranzistora zaključena impedancijom Z0 = 50 Ω na strani opterećenja.

1.0

0.9

0.8

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0 0.1

0.2

0.3

0.4

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

2.0

3.0

10

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

2.0

6.0

7.0

8.09.0

50

10

1.00.90.

8

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0.2

0.4

0.6

0.8

1.00.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

2.0

6.0

7.08.0

9.0

50

10

160

140

120

100 80

60

40

20

0

-20

-40

-60

-80-100

-120

-140

-160

±180

170

150

130

110

90

70

50

30

10-10

-30

-50

-70

-90

-110

-130

-150

-170

50

0.2 50.24

0.23

0.22

0.21

0.20

0.19

0.18

0.17

0.16

0.150.14

0.130.120.11

0.10

0.09

0.08

0.07

0.06

0.05

0.04

0.03

0.02

0.01

0.00

0.49

0.48

0.47

0.46

0.45

0.44

0.43

0.42

0.41

0.400.39

0.38 0.370.36

0.35

0.34

0.33

0.32

0.31

0.30

0.29

0.28

0.270.26

0 .250.26

0.27

0.28

0.29

0.30

0.31

0.32

0.33

0.34

0.350.36

0.370.380.39

0.40

0.41

0.42

0.43

0.44

0.45

0.46

0.47

0.48

0.49

0.0 0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

0.100.11

0.12 0.130.14

0.15

0.16

0.17

0.18

0.19

0.20

0.21

0.22

0.230.24

Wav

elen

gths

Tow

ard

Gen

erat

or

205.0

4.0

0.5

3.0

4.0

5.0

20

20

5.0

4.0

3.0

InC

oefficientR

eflectionD

egreesAngle

Of

Resistance Component (R/Z0), Or Conductance Component (G/Y0)

Indu

ctiv

eRe

acta

nce Co

mpo

nent

(+jX/Z 0

),Or C

apacitive

Susceptance (+jB/Y0)

0.6

0.7

CapacitiveReactanceCompo

nent(-jX

/Z0),

OrInd

uctiv

eSu

scep

tanc

e(-j

B/Y

0)

0.7

0.6

Load

Tow

ard

Wav

elen

gths

1,9 dB

1 dB

0 dB

zL

yL 1-j0,44

lL

dLb)

Slika 6.14. (nastavak): b) Smithov dijagram za prilagodnu mrežu na izlazu Poznatim postupkom određena je duljina odsječka i duljina paralelno spojenog, otvorenog ogranka prijenosne linije za prilagodnu mrežu na izlazu:

( ) λλ 045,00973,01424,0 ≈−=Ld λλ 434,04339,0 ≈=Ll Na slici 6.14.c) prikazan je radiofrekvencijski dio električnog kruga projektiranog pojačala s odsječcima i ograncima prijenosne linije karakteristične impedancije Z0 = 50 Ω. Pojačalo nužno sadrži i prednaponsku mrežu koja ostvaruje radnu točku tranzistora.

184

c)

Us

50 Ω50 Ω

0,181λ

50 Ω0,099λ

50 Ω0,045λ

50 Ω0,434λ 50 Ω

Slika 6.14. (nastavak): c) radiofrekvencijski dio električnog kruga Na slici 6.15. prikazana je frekvencijska zavisnost ukupnog pojačanja snage pretvornika, GT i povratnog gubitka, RL na ulaznom pristupu razmatranog pojačala. Moguće je razabrati da je pojačanje snage 11 dB na frekvenciji 4,0 GHz. Relativna širina propusnog frekvencijskog pojasa, određena promjenom pojačanja snage za ±1 dB od vrijednosti na središnjoj frekvenciji, približno je 25 %. Razmatrano pojačalo ima znatno širi propusni frekvencijski pojas u odnosu na pojačalo s najvećim pojačanjem snage (primjer 6.3). Nažalost, na frekvenciji 4,0 GHz povratni gubitak je 5 dB pa je veći dio upadne snage na ulazu pojačala reflektiran. To je posljedica neprilagođenja mreže na ulazu i izlazu tranzistora.

f/GHz3,0 3,5 4,0 4,5 5,0-10

0

10

GT/dB-RL/dB

GT

RL-5

5

15

Slika 6.15. Frekvencijska zavisnost pojačanja snage i povratnog gubitka pojačala za primjer 6.4.

6.5. Projektiranje niskošumnog pojačala Osim stabilnosti i pojačanja važna značajka radiofrekvencijskog pojačala je faktor šuma. Pojačalo u ulaznom dijelu prijamnika redovito je sa što manjim faktorom šuma jer ono najčešće ima dominantni učin na ukupna svojstva radiouređaja u pogledu šuma. Općenito, nije moguće ostvariti i najmanji faktor šuma i najveće pojačanje snage pojačala pa je nužan kompromis između ovih suprotnih zahtjeva. Postupak projektiranja niskošumnog pojačala olakšava uporaba kružnica konstantnog pojačanja i kružnica konstantnog faktora šuma (engl. constant noise figure circles).

Faktor šuma pojačala s dva pristupa moguće je iskazati u obliku:

185

2

min optss

N YYGRFF −+= (6.51)

gdje je Ys = Gs + jBs unutarnja admitancija izvora signala, Yopt je optimalna vrijednost admitancije izvora signala koja rezultira najmanjim faktorom šuma, Fmin je najmanji faktor šuma tranzistora za Ys = Yopt, RN je ekvivalentni otpor šuma tranzistora i Gs je unutarnja vodljivost izvora signala. Poznatom relacijom je moguće povezati admitanciju Ys i Yopt s odgovarajućim faktorom refleksije na izvoru signala, Γs i optimalnim faktorom refleksije na izvoru signala, Γopt:

s

ss Γ

ΓZ

Y+−

=111

0

(6.52.a)

opt

optopt Γ

ΓZ

Y+−

=111

0

(6.52.b)

Pritom je Z0 impedancija normalizacije. Veličine Fmin, Γopt i RN su značajke određenog radiofrekvencijskog tranzistora u pogledu šuma koje navodi proizvođač ili ih treba izmjeriti. Naziva ih se parametrima šuma (engl. noise parameters) tranzistora. Pomoću relacija 6.52.a) i 6.52.b) moguće je veličinu |Ys − Yopt|2 (relacija 6.51) iskazati u obliku:

22

2

20

2

11

4

opts

optsopts

ΓΓ

ΓΓZ

YY++

−=− (6.53)

Slično, pomoću relacije 6.52.a), moguće je unutarnju vodljivost izvora signala, Gs iskazati u obliku:

2

2

0*

*

0 1

1111

11

21Re

s

s

s

s

s

sss

Γ

ΓZΓ

ΓΓΓ

ZYG

+

−=

+−

++−

== (6.54)

Uvrštavanjem ovih jednakosti u relaciju 6.51. za faktor šuma slijedi:

( ) 22

2

0min

11

4

opts

optsN

ΓΓ

ΓΓZRFF

+−

−+= (6.55)

Za zadanu vrijednost faktora šuma, F ova relacija određuje jednadžbu kružnice u kompleksnoj Γs ravnini. Parametar faktora šuma (engl. noise figure parameter):

2

0

min2

2

141

optNs

opts ΓZR

FFΓ

ΓΓN +

−=

−

−= (6.56)

je konstanta za određeni faktor šuma, F i parametre šuma, Fmin, Γopt i RN. Relaciju 6.56. je moguće prikazati u obliku:

186

( )( ) ( )2** 1 soptsopts ΓNΓΓΓΓ −=−−

( ) 2****soptoptoptsoptsss ΓNNΓΓΓΓΓΓΓΓ −=++−

( )

11

2***

+

−=

++

−N

ΓNN

ΓΓΓΓΓΓ optoptsopts

ss

a proširivanje obje strane jednakosti s ( )22

1+NΓ opt daje:

( )1

1

1

2

+

−+=

+−

N

ΓNN

NΓ

Γoptopt

s (6.57)

U kompleksnoj Γs ravnini to je jednadžba kružnice konstantnog faktora šuma sa središtem i polumjerom odgovarajuće:

1+=

NΓ

C optF (6.58.a)

( )1

12

+

−+=

N

ΓNNR

optF (6.58.b)

Primjer 6.5. Projektirati pojačalo s faktorom šuma 2 dB i što većim pojačanjem snage na frekvenciji 4,0 GHz. Uporabiti GaAs MESFET sa S parametrima (impedancija normalizacije 50 Ω) S11 = 0,60∠−60°, S12 = 0,05∠26°, S21 = 1,9∠81°, S22 = 0,50∠−60° i parametrima šuma Fmin = 1,6 dB, Γopt = 0,62∠100°, RN = 20 Ω. Prednaponskom mrežom ostvarena je radna točka tranzistora za najmanji šum. Zbog malog iznosa S12 parametra moguće je pretpostaviti da je tranzistor unilateralan. Vrijednost faktora unilateralnosti je (relacija 6.44):

( )( ) ( )( ) 059,06050,016060,01

6050,0819,12605,06060,0

11 22222

211

22211211 =°−∠−°−∠−

°−∠∠°°∠°−∠=

−−=

SS

SSSSU

Pogreška zbog pretpostavke o unilateralnom tranzistoru određena je omjerom pojačanja snage pretvornika i pojačanja snage pretvornika za unilateralnu mrežu, GT/GTu koji je u rasponu (relacija 6.43):

( ) ( )22 11

11

UGG

U Tu

T

−<<

+ 13,1892,0 <<

Tu

T

GG

ili iskazano u decibelima:

53,0dBdB

50,0 <−<− TuT GG

187

Zbog navedene pretpostavke treba očekivati pogrešku pojačanja u rasponu ±0,5 dB. Brojčana vrijednost veličina iskazanih u decibelima je F = 2 dB = 1,585 i Fmin = 1,6 dB = 1,445 pa je prema relaciji 6.56. parametar faktora šuma:

102,010062,0150204445,1585,11

422

0

min =°∠+⋅

−=+

−= opt

N

ΓZR

FFN

Središte i polumjer kružnice konstantnog faktora šuma F = 2 dB u Γs ravnini odgovarajuće je (relacija 6.58.a) i 6.58.b):

( )°∠=

+°∠

=+

= 100563,01102,0

10062,01N

ΓC opt

F

( ) ( )246,0

1102,010062,01102,0102,0

1

1 22

=+

°∠−+=

+

−+=

N

ΓNNR

optF

Na Smithovom dijagramu nacrtana je ova kružnica zajedno s točkom najmanjeg faktora šuma, Fmin = 1,6 dB kojoj odgovara koeficijent refleksije na izvoru signala Γs = Γopt = 0,62∠100° (slika 6.16.a). Na istoj slici prikazane su i kružnice konstantnog pojačanja za prilagodnu mrežu na ulazu tranzistora za neke vrijednosti faktora pojačanja, Gs

1

:

dB 94,1=sG =sg °∠= 6060,0sC 0=sR

dB 7,1=sG 947,0=sg °∠= 60580,0sC 151,0=sR

dB 5,1=sG 904,0=sg °∠= 60562,0sC 205,0=sR

dB 0,1=sG 806,0=sg °∠= 60520,0sC 303,0=sR Pritom je normalizirana vrijednost faktora pojačanja, gs određena pomoću relacije 6.46.a), a središte, Cs i polumjer, Rs kružnice konstantnog faktora pojačanja odgovarajuće pomoću relacije 6.49.a) i 6.49.b). Razabire se da kružnicu konstantnog faktora šuma F = 2 dB tangira kružnica konstantnog pojačanja Gs = 1,7 dB pa dodirna točka određuje traženi koeficijent refleksije na izvoru signala Γs = 0,543∠74,7° (slika 6.16.a). (Iznos koeficijenta refleksije određen je pomoću kružnice konstantnog omjera stojnog vala SWR = 3,38.) Treba upozoriti da bi odabir većeg faktora pojačanja za prilagodnu mrežu na ulazu tranzistora uzrokovao i veći faktor šuma pojačala od zadanog. Najveći faktor pojačanja prilagodne mreže na izlazu unilateralnog tranzistora nastupa kad je faktor refleksije na opterećenju (relacija 6.45.b):

°∠== 6050,0*22SΓ L

dB 25,1333,16050,01

11

122

22

==°−∠−

=−

=S

GL

Pojedinačni faktor pojačanja za tranzistor je:

188

dB 58,561,3819,1 22210 ==°∠== SG

pa je: ( ) dB 8,53dB 25,158,57,10 =++=++= LsTu GGGG

najveće pojačanje snage razmatranog pojačala za zadani faktor šuma. Za bilateralni tranzistor, |S12| ≠ 0 numerički postupak daje vrijednost pojačanja snage razmatranog pojačala 8,36 dB što je u očekivanom rasponu (8,53 ± 0,5) dB.

1.0

0.9

0.8

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0 0.1

0.2

0.3

0.4

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

2.0

3.0

10

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

2.0

6.0

7.0

8.0

9.0

50

10

1.00.90.

8

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

2.0

6.0

7.08.0

9.0

50

10

160

140

120

100 80

60

40

20

0

-20

-40

-60

-80-100

-120

-140

-160

±180

170

150

130

110

90

70

50

30

10-10

-30

-50

-70

-90

-110

-130

-150

-170

50

0.250. 24

0.23

0.22

0.21

0.20

0.19

0.18

0.17

0.16

0.150.14

0.130.120.11

0.10

0.09

0.08

0.07

0.06

0.05

0.04

0.03

0.02

0.01

0.00

0.49

0.48

0.47

0.46

0.45

0.44

0.43

0.42

0.41

0.400.39

0.38 0.370.36

0.35

0.34

0.33

0.32

0.31

0.30

0.29

0.28

0.270.26

0.2 50.26

0.27

0.28

0.29

0.30

0.31

0.32

0.33

0.34

0.350.36

0.370.380.39

0.40

0.41

0.42

0.43

0.44

0.45

0.46

0.47

0.48

0.49

0.00

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

0.100.11

0.12 0.130.14

0.15

0.16

0.17

0.18

0.19

0.20

0.21

0.22

0.230.24

Wav

elen

gths

Tow

ard

Gen

erat

or

205.0

4.0

0.5

3.0

4.0

5.0

20

20

5.0

4.0

3.0

InC

oefficientR

eflectionD

egreesAngle

Of

Resistance Component (R/Z0), Or Conductance Component (G/Y0)

Indu

ctiv

eRe

acta

nce Co

mpo

nent

(+jX/Z 0

),Or C

apacitive

Susceptance (+jB/Y0)

0.6

0.7

CapacitiveReactanceCompo

nent(-jX

/Z0),

OrInd

uctiv

eSu

scep

tanc

e(-j

B/Y

0)

0.7

0.6

Load

Tow

ard

Wav

elen

gths

a)

SWR=3,38

1,6 dB2 dB 1,94 dB

1,7 dB

1,5 dB

1 dB

Γs

kružnicakonst. F kružnice

konst. Gs

Slika 6.16. Pojačalo s tranzistorom za primjer 6.5: a) kružnica konstantnog F i kružnice konstantnog Gs

Faktoru refleksije na izvoru signala, Γs = 0,543∠74,7° odgovara normalizirana impedancija zs = 0,70 + j1,04 (slika 6.16.b) koju ostvaruje prilagodna mreža na ulazu tranzistora zaključena impedancijom Z0 = 50 Ω na strani izvora signala. Slično, faktoru refleksije na opterećenju, ΓL = 0,50∠60° odgovara normalizirana impedancija zL = 1,0 + j1,16 (slika

189

6.16.b) koju ostvaruje prilagodna mreža na izlazu tranzistora zaključena impedancijom Z0 = 50 Ω na strani opterećenja.

1.0

0.9

0.8

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0 0.1

0.2

0.3

0.4

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

2.0

3.0

10

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

2.0

6.0

7.0

8.0

9.0

50

10

1.00.90.

8

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

2.0

6.0

7.08.0

9.0

50

10

160

140

120

100 80

60

40

20

0

-20

-40

-60

-80-100

-120

-140

-160

±180

170

150

130

110

90

70

50

30

10-10

-30

-50

-70

-90

-110

-130

-150

-170

50

0. 250.24

0.23

0.22

0.21

0.20

0.19

0.18

0.17

0.16

0.150.14

0.130.120.11

0.10

0.09

0.08

0.07

0.06

0.05

0.04

0.03

0.02

0.01

0.00

0.49

0.48

0.47

0.46

0.45

0.44

0.43

0.42

0.41

0.400.39

0.38 0.370.36

0.35

0.34

0.33

0.32

0.31

0.30

0.29

0.28

0.270.26

0.2 50 .26

0.27

0.28

0.29

0.30

0.31

0.32

0.33

0.34

0.350.36

0.370.380.39

0.40

0.41

0.42

0.43

0.44

0.45

0.46

0.47

0.48

0.49

0 .0 0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

0.100.11

0.12 0.130.14

0.15

0.16

0.17

0.18

0.19

0.20

0.21

0.22

0.230.24

Wav

elen

gths

Tow

ard

Gen

erat

or

205.0

4.0

0.5

3.0

4.0

5.0

20

20

5.0

4.0

3.0

InC

oefficientR

eflectionD

egreesAngleO

f

Resistance Component (R/Z0), Or Conductance Component (G/Y0)

Indu

ctiv

eRe

acta

nce Co

mpo

nent

(+jX/Z 0

),Or C

apacitive

Susceptance (+jB/Y0)

0.6

0.7

CapacitiveReactanceCompo

nent(-jX

/Z0),

OrInd

uctiv

eSu

scep

tanc

e(-j

B/Y

0)

0.7

0.6

Load

Tow

ard

Wav

elen

gths

b)

zs

zL

ys

yL

1+j1,291+j1,16

dLds

lL ls

Slika 6.16. (nastavak): b) Smithov dijagram za prilagodnu mrežu na ulazu i izlazu Postupkom prikazanim u primjeru 6.3. određena je duljina odsječka i duljina paralelno spojenog, otvorenog ogranka prijenosne linije za prilagodnu mrežu na ulazu i izlazu:

( ) λλ 226,01038,03294,0 ≈−=sd λλ 145,01450,0 ≈=sl

( ) λλ 25,00834,03334,0 =−=Ld λλ 137,01368,0 ≈=Ll Na slici 6.16.c) prikazan je radiofrekvencijski dio električnog kruga projektiranog pojačala s odsječcima i ograncima prijenosne linije karakteristične impedancije Z0 = 50 Ω.

190

c)

Us

50 Ω50 Ω

0,226λ

50 Ω0,145λ

50 Ω0,25λ

50 Ω0,137λ 50 Ω

Slika 6.16. (nastavak): c) radiofrekvencijski dio električnog kruga

6.6. Pojačala snage Pojačala snage se u izlaznom stupnju odašiljača rabi za povećanje razine zračene snage. Uobičajena razina snage električnog signala na izlazu takvih pojačala s tranzistorima je u rasponu od 100 mW do 100 W. Važne značajke radiofrekvencijskog pojačala snage su efikasnost i pojačanje te učin izobličenja i zagrijavanja. Pojedinačni tranzistor na frekvencijama UHF područja (od 300 MHz do 3 GHz) može imati najveću snagu signala na izlazu od 10 W do 100 W, ali je na višim frekvencijama najveća izlazna snaga ograničena na razinu nižu od 1 W. Za veće izlazne snage dostupne su različite tehnike združivanja više tranzistora. U prethodnim potpoglavljima razmatrana su pojačala malih signala kod kojih je razina signala na ulazu dovoljno niska pa je opravdano pretpostaviti da tranzistor radi kao linearni element. Raspršni parametri linearnog elementa jednoznačno su određeni i neovisni o razini signala na ulazu ili impedanciji opterećenja. Zato je razmjerno lako projektirati pojačalo malih signala određenog pojačanja i/ili faktora šuma. Ako je velika snaga signala na ulazu pojačala, na primjer u okolišu točke smanjenja pojačanja za 1 dB ili presječne točke trećeg reda, tranzistor je nelinearni element. To znači da impedancija na ulazu i izlazu tranzitora zavisi o razini signala pa je projektirati pojačalo snage znatno teža zadaća. Kod prijenosnih radiouređaja pojačalo snage je glavno trošilo izvora napajanja pa je efikasnost pojačala vrlo važno pitanje. Moguće je efikasnost pojačala odrediti omjerom snage radiofrekvencijskog signala na izlazu, Pout i snage istosmjernog napajanja, PDC:

DC

out

PP

=η (6.59)

Pritom se ne vodi računa o snazi signala prenesenoj na ulaz pojačala. Najčešće je ovako određena efikasnost precijenjena jer pojačalo snage ima razmjerno malo pojačanje i nužno razmjerno visoku razinu snage signala na ulazu. Efikasnost dodane snage (PAE, engl. power added efficiency) je:

ηη

−=

−=

−=

GPP

GPPP

DC

out

DC

inoutPAE

1111 (6.60)

gdje je Pin snaga radiofrekvencijskog signala prenesena na ulaz, a G je pojačanje snage pojačala. Pojačala sa silicijskim tranzistorom u frekvencijskom području od 800 MHz do 900 MHz imaju efikasnost dodane snage reda vrijednosti 80 %, ali se efikasnost naglo

191

smanjuje na višim frekvencijama. Pojačalo snage je često projektirano tako da ima najveću efikasnost i što veće pojačanje snage. Smanjeno pojačanje (engl. compressed gain), G1 je pojačanje pojačala u točki smanjenja pojačanja za 1 dB:

1dBdB

01 −=GG (6.61)

gdje je G0 pojačanje snage malih signala (linearno pojačanje). Poznato je da nelinearni sklopovi generiraju parazitne komponente na izlazu. Razinu tih komponenti kod odašiljača valja nadzirati posebno u slučaju radiosustava s više prijenosnih signala kod kojih se parazitni signali mogu pojaviti u susjednim kanalima. Linearnost pojačala snage je također presudna za radiosustave koji koriste modulaciju s promjenljivom ovojnicom prijenosnog signala, primjerice digitalnu amplitudnu modulaciju ili složene kvadraturno amplitudne modulacije. Pojačalo A klase je u osnovi linearni sklop s tako odabranom radnom točkom da tranzistor provodi u cijelom periodu ulaznog signala. Takva pojačala imaju najveću efikasnost 50 %. Većina pojačala malih signala i niskošumnih pojačala radi kao linearni sklop A klase. Tranzistor u pojačalu B klase ima tako odabranu radnu točku da provodi samo jednu polovinu perioda ulaznog signala. Uobičajeno dva komplementarna tranzistora koja rade u protutaktnom pojačalu (engl. push-pull amplifier) B klase ostvaruju pojačanje u cijelom periodu ulaznog signala. Najveća efikasnost pojačala B klase je 78 %. Radna točka tranzistora u sastavu pojačala C klase je u okolišu zapornog područja pa tranzistor ne provodi dulje od polovine perioda ulaznog signala. Redovito se rezonantnim krugom na izlazu tranzistora obnavlja valni oblik ulaznog signala. Pojačalima C klase moguće je postići efikasnost približno 100 %, ali su prikladna samo za modulirane signale s konstantnom ovojnicom. Pojačala D, E, F i S klase koriste tranzistor kao prekidač za pobudu rezonantnog kruga velikog faktora kakvoće pa dosižu vrlo veliku efikasnost. Većina odašiljača na frekvencijama UHF područja ili višim sadrži pojačalo snage A, AB ili B klase jer su nužna mala izobličenja signala. Tranzistor je linearni element za razine signala koje su znatno niže od točke smanjenja pojačanja za 1 dB, P1. Ako je razina snage signala usporediva ili viša od P1, nelinearnost tranzistora postaje značajna pa S parametri, osim o frekvenciji, radnoj točki i temperaturi, zavise i o razini ulazne snage i impedanciji zaključenja izlaza. Zato S parametri tranzistora za velike signale nisu jednoznačno određeni, ne ispunjavaju uvjet linearnosti i nije ih moguće koristiti umjesto S parametara za male signale. U tom slučaju uobičajeno je odrediti frekvencijsku zavisnost faktora refleksije na izvoru signala, ΓsP i faktora refleksije na opterećenju, ΓLP za velike signale uz koje je najveće pojačanje, GP za određenu snagu izlaznog signala. Pritom je snaga izlaznog signala često jednaka P1. Na tablici 6.4. navedene su vrijednosti S parametara za male signale i spomenutih veličina za velike signale za npn silicijski bipolarni spojni tranzistor snage na nekoliko frekvencija.

Tablica 6.4. S parametri za male signale te ΓsP, ΓLP i GP za Si BJT snage

f/MHz S11 S12 S21 S22 ΓsP ΓLP GP/dB

800 0,76∠176° 0,065∠49° 4,10∠76° 0,35∠−163° 0,856∠−167° 0,455∠129° 13,5

900 0,76∠172° 0,073∠52° 3,42∠72° 0,35∠−167° 0,747∠−177° 0,478∠161° 12,0

1000 0,76∠169° 0,079∠53° 3,08∠69° 0,36∠−169° 0,797∠−187° 0,491∠185° 10,0

192

Svojstva tranzistora za velike signale moguće je prikazati i pomoću krivulja konstantne snage na izlazu u kompleksnoj ravnini faktora refleksije na opterećenju, ΓLP uz konjugirano kompleksno prilagođenu impedanciju na ulazu. Takav prikaz konstantne snage na izlazu u zavisnosti o normaliziranoj impedanciji opterećenja na Smithovom dijagramu se naziva krivuljama povlačenja opterećenjem (engl. load-pull contours), a moguće ih je odrediti automatiziranim mjernim uređajem. Uobičajena porodica takvih krivulja za tranzistor snage s efektom polja (slika 6.17) slična je kružnicama konstantnog faktora pojačanja za izlaznu prilagodnu mrežu, ali su nepravilnog oblika zbog nelinearnosti tranzistora.

1.0

0.9

0.8

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0 0.1

0.2

0.3

0.4

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

2.0

3.0

10

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

2.0

6.0

7.0

8.0

9.0

50

10

1.00.90.

8

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

2.0

6.0

7.08.0

9.0

50

10

160

140

120

100 80

60

40

20

0

-20

-40

-60

-80-100

-120

-140

-160

±180

170

150

130

110

90

70

50

30

10-10

-30

-50

-70

-90

-110

-130

-150

-170

50

0.2 50.24

0.23

0.22

0.21

0.20

0.19

0.18

0.17

0.16

0.150.14

0.130.120.11

0.10

0.09

0.08

0.07

0.06

0.05

0.04

0.03

0.02

0.01

0.00

0.49

0.48

0.47

0.46

0.45

0.44

0.43

0.42

0.41

0.400.39

0.38 0.370.36

0.35

0.34

0.33

0.32

0.31

0.30

0.29

0.28

0.270.26

0.2 50 .26

0.27

0.28

0.29

0.30

0.31

0.32

0.33

0.34

0.350.36

0.370.380.39

0.40

0.41

0.42

0.43

0.44

0.45

0.46

0.47

0.48

0.49

0 .00

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

0.100.11

0.12 0.130.14

0.15

0.16

0.17

0.18

0.19

0.20

0.21

0.22

0.230.24

Wav

elen

gths

Tow

ard

Gen

erat

or

205.0

4.0

0.5

3.0

4.0

5.0

2020

5.0

4.0

3.0

InC

oefficientR

eflec tionD

egreesAngleO

f

Resistance Component (R/Z0), Or Conductance Component (G/Y0)

Indu

ctiv

eRe

acta

nce Co

mpo

nent

(+jX/Z 0

),Or C

apacitive

Susceptance (+jB/Y0)

0.6

0.7

CapacitiveReactanceCompo

nent(

-jX/Z

0),OrI

nduc

tive

Susc

epta

nce

(-jB/

Y0)

0.7

0.6

Load

Tow

ard

Wav

elen

gths

18 dBm

17 dBm

16 dBm

15 dBm

Slika 6.17. Krivulje povlačenja opterećenjem za FET snage Naravno, dostupni su i nelinearni nadomjesni krugovi za tranzistore snage. Primjerice za tranzistor snage s efektom polja dominantan je nelinearni učin kapaciteta Cgs i Cgd, otpora Rds i strmine gm (slika 6.2). Pri modeliranju tranzistora za velike signale valja uvažiti činjenicu da većina parametara zavisi o temperaturi elementa koja se povećava razmjerno izlaznoj snazi. Takvi nelinearni modeli tranzistora za velike signale su osnova za projektiranje pojačala snage pomoću računala.

193

Nezaobilazno pitanje je kako uporabom dostupnih parametara tranzistora za velike signale projektirati pojačalo snage, na primjer A klase? Budući da je pojačalo snage A klase u osnovi linearno katkad je za projektiranje moguće koristiti S parametre tranzistora za male signale, ali se bolji rezultat redovito postiže uporabom parametara za velike signale. Kao i u postupku projektiranja pojačala malih signala prvi je korak provjera stabilnosti. Nestabilnost nastaje na niskim razinama signala pa je za tu svrhu moguće koristiti S parametre tranzistora za male signale. Stabilnost je iznimno važna kod pojačala snage jer oscilacija razmjerno velike snage može lako oštetiti aktivni element i pripadajuće električne krugove. Odabir tranzistora je prema zadanom frekvencijskom području i izlaznoj snazi signala. Razborito je odabrati tranzistor s izlaznom snagom približno 20 % većom od zadane vrijednosti. Na frekvencijama do nekoliko gigaherca silicijski bipolarni spojni tranzistori su, općenito, s većom izlaznom snagom i jeftiniji u odnosu na tranzistore s efektom polja od galijeva arsenida. Ako je izlazna snaga veća od nekoliko desetina vata, nužno je ostvariti dobro provođenje topline između kućišta tranzistora i primjerenog hladila. Redovito se prilagodnu mrežu na ulazu tranzistora projektira za najveći prijenos snage iz izvora signala (konjugirano kompleksno prilagođena impedancija za velike signale), a prilagodnu mrežu na izlazu za najveću izlaznu snagu (impedancija određena odgovarajućim faktorom refleksije na opterećenju za velike signale). Primjerena efikasnost pojačala snage iziskuje prilagodnu mrežu s malim gubicima posebno na izlazu tranzistora gdje su najveće struje. Primjer 6.6. Projektirati pojačalo snage A klase s izlaznom snagom 3 W na frekvenciji 900 MHz. Uporabiti npn silicijski bipolarni spojni tranzistor sa S parametrima za male signale (impedancija normalizacije 50 Ω) S11 = 0,940∠165°, S12 = 0,030∠59°, S21 = 1,320∠46°, S22 = 0,557∠−165°. Uz prednapon UCE = 24 V i istosmjernu struju IC = 0,5 A izlazna snaga u točki smanjenja pojačanja za 1 dB je 3,6 W, a pojačanje je 12 dB. Za zadanu razinu izlazne snage impedancija na ulazu i izlazu tranzistora je odgovarajuće Zin = (1,2 + j3,5) Ω i Zout = (9,0 − j14,5) Ω; prilagođenje na ulazu i izlazu tranzistora ostvariti jednim ogrankom prijenosne linije.

Stabilnost razmatranog tranzistora na frekvenciji 900 GHz moguće je odrediti pomoću K-∆ testa korištenjem S parametara za male signale (relacije 6.32. i 6.31):

( )( ) ( )( )°∠°∠−°−∠°∠=−= 46320,159030,0165557,0165940,021122211 SSSS∆

535,01,4535,0 =°−∠=∆

( )( )°∠°∠°−∠+°−∠−°∠−

=+−−

=46320,159030,02

1,4535,0165557,0165940,012

1 222

2112

2222

211

SS∆SS

K

167,1=K Na razmatranoj frekvenciji tranzistor je bezuvjetno stabilan jer je K > 1 i |∆| < 1. Za zadanu impedanciju na ulazu i izlazu tranzistora za velike signale moguće je odrediti odgovarajući faktor refleksije:

( )( ) °∠=

++−+

=+−

= 172953,0505,3j2,1505,3j2,1

0

0

ZZZZΓ

in

inin

194

( )( ) °−∠=

+−−−

=+−

= 7,146716,0505,j140,9505,j140,9

0

0

ZZZZΓ

out

outout

Izlazna snaga pojačala (3 W) je manja od točke smanjenja pojačanja za 1 dB (3,6 W) pa je moguće pretpostaviti da je tranzistor linearan. U tom slučaju uporabom S parametara tranzistora za male signale moguće je odrediti faktor refleksije na izvoru i na opterećenju uz konjugirano kompleksno prilagođenu impedanciju na ulazu i izlazu tranzistora (relacije 6.38.a) i b):

( ) °−∠=°∠

°∠−−=

−−= 9,166962,0

9,166643,029,166643,04287,1287,1

24 22

1

21

211

CCBB

Γ s

( ) °∠=°−∠

°−∠−−=

−−= 8,131697,0

8,1310657,028,1310657,04140,0140,0

24 22

2

22

222

CCBB

Γ L

gdje je varijabla B1, C1, B2 i C2 odgovarajuće (relacije 6.39. a), c), b) i d):

287,11,4535,0165557,0165940,011 2222222

2111 =°−∠−°−∠−°∠+=−−+= ∆SSB

( ) ( )( ) °∠=°∠°−∠−°∠=−= 9,166643,0165557,01,4535,0165940,0*

22111 ∆SSC

140,01,4535,0165940,0165557,011 2222211

2222 =°−∠−°∠−°−∠+=−−+= ∆SSB

( ) ( )( ) °−∠=°−∠°−∠−°−∠=−= 8,1310657,0165940,01,4535,0165557,0*

11222 ∆SSC Konjugirano kompleksna vrijednost i nije jednaka odgovarajućoj vrijednosti Γ*

sΓ *LΓ in i Γout

(relacije 6.34.a) i b) što je posljedica činjenice da S parametri tranzistora za male signale ne vrijede uz visoku razinu snage. Točnije rezultate daje uporaba parametara tranzistora za velike signale. Neka je u tom slučaju faktor refleksije na izvoru signala i na opterećenju odgovarajuće:

°−∠== 172953,0*insP ΓΓ °∠== 7,146716,0*

outLP ΓΓ Prilagodnu mrežu na ulazu i izlazu tranzistora u obliku odsječka prijenosne linije s paralelno spojenim, otvorenim ogrankom moguće je odrediti pomoću Smithovog dijagrama (slika 6.18.a). Faktoru refleksije na izvoru signala, ΓsP = 0,953∠−172° odgovara normalizirana impedancija zs = 0,024 − j0,07 koju ostvaruje prilagodna mreža na ulazu tranzistora zaključena impedancijom Z0 = 50 Ω na strani izvora signala. Slično, faktoru refleksije na opterećenju, ΓLP = 0,716∠146,7° odgovara normalizirana impedancija zL = 0,18 + j0,29 koju ostvaruje prilagodna mreža na izlazu tranzistora zaključena impedancijom Z0 = 50 Ω na strani opterećenja. Postupkom prikazanim u primjeru 6.3. određena je duljina odsječka i duljina paralelno spojenog, otvorenog ogranka prijenosne linije za prilagodnu mrežu na ulazu i izlazu:

( ) λλ 0134,02612,02746,0 =−=sd λλ 225,02251,0 ≈=sl

195

( ) λλ 108,02038,03116,0 =−=Ld λλ 178,01776,0 ≈=Ll Na slici 6.18.b) prikazan je radiofrekvencijski dio električnog kruga projektiranog pojačala s odsječcima i ograncima prijenosne linije karakteristične impedancije Z0 = 50 Ω.

1.0

0.9

0.8

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0 0.1

0.2

0.3

0.4

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

2.0

3.0

10

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

2.0

6.0

7.0

8.0

9.0

50

10

1.00.90.

8

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

2.0

6.0

7.08.0

9.0

50

10

160

140

120

100 80

60

40

20

0

-20

-40

-60

-80-100

-120

-140

-160

±180

170

150

130

110

90

70

50

30

10-10

-30

-50

-70

-90

-110

-130

-150

-170

50

0.2 50.24

0.23

0.22

0.21

0.20

0.19

0.18

0.17

0.16

0.150.14

0.130.120.11

0.10

0.09

0.08

0.07

0.06

0.05

0.04

0.03

0.02

0.01

0.00

0.49

0.48

0.47

0.46

0.45

0.44

0.43

0.42

0.41

0.400.39

0.38 0.370.36

0.35

0.34

0.33

0.32

0.31

0.30

0.29

0.28

0.270.26

0 .250 .26

0.27

0.28

0.29

0.30

0.31

0.32

0.33

0.34

0.350.36

0.370.380.39

0.40

0.41

0.42

0.43

0.44

0.45

0.46

0.47

0.48

0.49

0 .00

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

0.100.11

0.12 0.130.14

0.15

0.16

0.17

0.18

0.19

0.20

0.21

0.22

0.230.24

Wav

elen

gths

Tow

ard

Gen

erat

or

205.0

4.0

0.5

3.0

4.0

5.0

20

20

5.0

4.0

3.0

InC

oefficientR

eflectionD

egreesAngle

Of

Resistance Component (R/Z0), Or Conductance Component (G/Y0)

Indu

ctiv

eRe

acta

nce Com

pone

nt

(+jX/Z 0

),Or C

apacitive

Susceptance (+jB/Y0)0.

6

0.7

CapacitiveReactanceCompo

nent(-jX

/Z0),

OrInd

uctiv

eSu

scep

tanc

e(-j

B/Y

0)

0.7

0.6

Load

Tow

ard

Wav

elen

gths

zs

ys

1+j6,3

ds

ls

dL

lL

zL

yL

1+j2,04

a)

b)

Us

50 Ω50 Ω

0,0134λ

50 Ω0,225λ

50 Ω0,108λ

50 Ω0,178λ 50 Ω

Slika 6.18. Pojačalo snage klase A za primjer 6.6: a) Smithov dijagram za prilagodnu mrežu na ulazu i izlazu; b) radiofrekvencijski dio električnog kruga

196

Za snagu signala na izlazu 3 W potrebna je pobudna snaga na ulazu pojačala:

mW 191dB 22,8dB 12dB 8,34 mm ==−=−= Poutin GPP pa je efikasnost dodane snage (relacija 6.60):

% 4,235,024191,00,3

=⋅

−=

−=

DC

inoutPAE P

PPη

197

7. MIJEŠALA Miješalo (engl. mixer) je sklop za pretvorbu (konverziju) frekvencije električnog signala. To je mreža s tri pristupa koja sadrži nelinearni ili vremenski promjenljivi element električnog kruga. Frekvencija signala na izlazu savršenog miješala jednaka je zbroju i razlici frekvencije signala s dva ulaza. Kod stvarnih radiofrekvencijskih miješala nelinearnost je najčešće ostvarena poluvodičkom diodom ili tranzistorom. Poznato je da nelinearni element može generirati više komponenti signala na izlazu različitih frekvencija pa je nužno željenu komponentu izdvojiti filtriranjem. Radiouređaji često sadrže nekoliko miješala za pretvorbu frekvencije signala između osnovnog i propusnog pojasa. Pretvorbu frekvencije neizostavno prati gubitak pretvorbe, učin šuma i intermodulacijsko izobličenje. 7.1. Značajke miješala Na slici 7.1. prikazana je blok-shema i spektar signala na izlazu savršenog miješala u slučaju pretvorbe frekvencije naviše i naniže. Znak miješala pokazuje da je signal na izlazu razmjeran umnošku dva ulazna signala.

miješalo

miješalo

lokalnioscilator

lokalnioscilator

a)

b)

IFoscilator

fLO

fIF

±fRF= fLO fIF

RFoscilator

±fIF= fRF fLO

fLO

fRF

f

f

amplitudaizlaznogsignala

amplitudaizlaznogsignala

0

0

fIF fLO

fLO fRFfRF− fLO fRF+ fLO

fLO− fIF fLO+ fIF

Slika 7.1. Blok-shema miješala i spektar izlaznog signala pri pretvorbi frekvencije: a) naviše; b) naniže

U odašiljaču se redovito frekvenciju signala pretvara naviše (engl. frequency up-conversion, slika 7.1.a). Na jedan ulaz miješala narinut je sinusoidalni signal lokalnog oscilatora (LO, engl. local oscillator) jedinične amplitude i razmjerno visoke frekvencije, fLO:

( ) ( )tftu LOLO π2cos= (7.1)

198

Na drugi ulaz miješala narinut je signal s frekvencijom u osnovnom pojasu ili razmjerno niskom međufrekvencijom (IF, engl. intermediate frequency). Taj signal uobičajeno sadrži informaciju koju treba odaslati, ali neka je zbog jednostavnosti i to sinusoidalni signal jedinične amplitude razmjerno niske frekvencije, fIF:

( ) ( )tftu IFIF π2cos= (7.2) Na izlazu savršenog miješala radiofrekvencijski signal jednak je umnošku ulaznih signala:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) === tftfKtutKutu IFLOIFLORF ππ 2cos2cos

( )[ ] ( )[ ] tfftffKIFLOIFLO ++−= ππ 2cos2cos

2 (7.3)

gdje je K konstanta zbog gubitka pri pretvorbi. Frekvencija signala na izlazu jednaka je zbroju i razlici frekvencije ulaznih signala:

IFLORF fff ±= (7.4) Moguće je razabrati da miješanje uz pretvorbu frekvencije naviše ima učin modulacije LO signala IF signalom. Frekvenciju fRF se naziva bočnim pojasevima (engl. sidebands) frekvencije prijenosnog signala, fLO (engl. carrier frequency); pritom frekvencija fLO + fIF pripada gornjem bočnom pojasu (USB, engl. upper sideband), a frekvencija fLO − fIF donjem bočnom pojasu (LSB, engl. lower sideband). Dvobočni (DSB, engl. double-sideband) signal na izlazu miješala sadrži gornji i donji bočni pojas (relacija 7.3), a jednobočni (SSB, engl. single-sideband) signal je moguće ostvariti filtriranjem dvobočnog signala ili uporabom jednobočnog miješala. Na slici 7.1.b) prikazan je postupak pretvorbe frekvencije signala naniže (engl. frequency down-conversion) kojeg se redovito provodi u prijamniku. Neka je na jedan ulaz miješala narinut sinusoidalni radiofrekvencijski signal jedinične amplitude:

( ) ( )tftu RFRF π2cos= (7.5) a na drugom ulazu je signal lokalnog oscilatora (relacija 7.1). Međufrekvencijski signal na izlazu savršenog miješala sadrži zbroj i razliku frekvencije ulaznih signala:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) === tftfKtutKutu LORFLORFIF ππ 2cos2cos

( )[ ] ( )[ ] tfftffKLORFLORF ++−= ππ 2cos2cos

2 (7.6)

gdje je K konstanta zbog gubitka pri pretvorbi. Najčešće su razmjerno bliske frekvencija RF i LO signala pa je njihov zbroj približno jednak dvostrukoj frekvenciji RF signala, a razlika je puno manja od fRF. Niskopropusnim filtrom na izlazu miješala moguće je izdvojiti željeni međufrekvencijski signal s frekvencijom:

LORFIF fff −= (7.7) Valja istaknuti da nelinearni element kod stvarnih miješala generira veći broj komponenti izlaznog signala različitih frekvencija koje najčešće treba odstraniti filtriranjem.

199

Antena i sklopovi ulaznog dijela prijamnika mogu na ulaz miješala prenijeti signal iz razmjerno širokog radiofrekvencijskog pojasa. Radiofrekvencija koju je moguće pretvoriti naniže miješalom u prijamniku s određenom frekvencijom lokalnog oscilatora, fLO i određenom međufrekvencijom, fIF je (relacija 7.7):

IFLORF fff += (7.8.a) Zrcalnom frekvencijom (IM, engl. image frequency) se naziva onu radiofrekvenciju koja pomiješana s frekvencijom lokalnog oscilatora daje jednaku međufrekvenciju:

IFLOIM fff −= (7.8.b) Razlika željene radiofrekvencije i zrcalne frekvencije jednaka je dvostrukoj međufrekvenciji i one su simetrične u odnosu na frekvenciju lokalnog oscilatora. Signal sa zrcalnom frekvencijom nakon miješanja nije moguće razlučiti od željenog radiofrekvencijskog signala pa ovom problemu valja posvetiti primjerenu pozornost pri projektiranju prijamnika. Pretvorbu naniže određenog radiofrekvencijskog signala u određenu međufrekvenciju ostvaruje signal lokalnog oscilatora frekvencije (relacija 7.4):

IFRFLO fff m= (7.9) Ove dvije frekvencije odgovaraju donjem i gornjem bočnom pojasu kod pretvorbe naviše. Prijamnik signala s frekvencijom u određenom radiofrekvencijskom pojasu često ima lokalni oscilator s promjenljivom frekvencijom u gornjem bočnom pojasu, fLO = fRF + fIF jer je u tom slučaju manji omjer potrebne najviše i najniže frekvencije. Primjer 7.1. Prijamnik u sustavu IS-54 pokretnog telefona koristi radiokanal širine 30 kHz u radiofrekvencijskom pojasu (869 - 894) MHz. Ako je prva međufrekvencija 87 MHz, odrediti moguća područja frekvencije lokalnog oscilatora i područje zrcalne frekvencije za frekvenciju lokalnog oscilatora u gornjem bočnom pojasu. Dva moguća područja frekvencije lokalnog oscilatora su (relacija 7.9):

( ) ( )( )

=== MHz981 - 956 MHz807 - 782

87894 - 869 mm IFRFLO fff

Razlika željene radiofrekvencije i frekvencije lokalnog oscilatora u gornjem bočnom pojasu je (relacija 7.7):

( ) ( ) MHz87981 - 956894 - 869 −=−=−= LORFIF fff pa je područje zrcalnih frekvencija (relacija 7.8.b):

( ) ( ) MHz1068 - 104387981 - 956 =+=−= IFLOIM fff izvan željenog radiofrekvencijskog pojasa. Pritom je omjer najviše i najniže potrebne frekvencije lokalnog oscilatora 981/956 = 1,026. (Odabere li se frekvenciju lokalnog oscilatora u donjem bočnom pojasu, područje zrcalnih frekvencija je (695 - 720) MHz, a omjer najviše i najniže potrebne frekvencije lokalnog oscilatora je 807/728 = 1,109.)

200

Kod električne mreže miješala potrebno je prilagoditi impedanciju na tri pristupa, a otežavajuća okolnost je postojanje više signala s različitom frekvencijom. U slučaju savršenog miješala impedancija je na svakom pristupu prilagođena na odgovarajućoj frekvenciji, fRF, fLO i fIF, a neželjene frekvencijske komponente su apsorbirane otpornim opterećenjem ili blokirane reaktivnim zaključenjem. Međutim, otporno opterećenje povećava gubitak miješala, a reaktivno zaključenje je često frekvencijski znatno zavisno. Osim toga, gubici su neizbježni i u samom postupku pretvorbe frekvencije zbog generiranja neželjenih komponenti signala na izlazu miješala. Mjera kakvoće miješala je gubitak pretvorbe (engl. conversion loss) kojeg uzrokuju otporni gubici u miješalu i gubitak u postupku pretvorbe frekvencije. U slučaju pretvorbe frekvencije naniže jednak je omjeru raspoložive snage radiofrekvencijskog signala na ulazu i međufrekvencijskog signala na izlazu, a iskazan u decibelima je:

dB 0izlazu IFna snaga a raspoloživulazu na RFsnaga a raspoloživlog10 ≥

=cL (7.10)

Naravno, moguće je gubitak pretvorbe odrediti i u slučaju pretvorbe frekvencije naviše, ali ovaj parametar ima veći značaj za miješalo u sastavu prijamnika nego za miješalo u sastavu odašiljača. U prijamniku su znatno niže razine snage signala i gubici u radiofrekvencijskom dijelu presudno utječu na ukupni faktor šuma. Vrijednost gubitka pretvorbe stvarnih miješala s diodom je u rasponu od 4 dB do 7 dB u frekvencijskom području od 1 GHz do 10 GHz. Miješala s tranzistorom umjesto gubitka pretvorbe mogu imati pojačanje pretvorbe (engl. conversion gain) od nekoliko decibela. Gubitak pretvorbe znatno zavisi o razini snage signala lokalnog oscilatora; njegova vrijednost je često najmanja za snagu signala lokalnog oscilatora u rasponu od 0 dBm do 10 dBm. Takva razina signala često iziskuje nelinearnu analizu za točno određivanje značajki miješala. Izvor šuma u miješalu je poluvodička dioda ili tranzistor, a termički šum generiraju i otporni gubici. Vrijednost faktora šuma stvarnih miješala je u rasponu od 1 dB do 5 dB; općenito, miješala s diodom imaju manji faktor šuma nego miješala s tranzistorom. Faktor šuma miješala u prijamniku ovisi i o tome je li ulazni radiofrekvencijski signal jednobočni ili je dvobočni. U oba slučaja miješalo pretvara naniže frekvenciju šuma iz gornjeg i donjeg bočnog pojasa, ali je uz jednaku amplitudu snaga jednobočnog signala jednaka polovini snage dvobočnog signala. Neka je na ulazu miješala za pretvorbu frekvencije naniže dvobočni radiofrekvencijski signal:

( ) ( )( ) ( )( )[ ]ttAtu IFLOIFLODBS ωωωω ++−= coscos (7.11) gdje je ωLO = 2πfLO i ωIF = 2πfIF odgovarajuća kutna frekvencija. Međufrekvencijski signal, nakon miješanja sa signalom lokalnog oscilatora i niskopropusnog filtriranja, je:

( ) ( ) ( )[ ] ( )tKAttKAtu IFIFIFIF ωωω coscoscos2

=−+= (7.12)

gdje je K konstanta zbog gubitka pri pretvorbi frekvencije za svaki bočni pojas. Snaga radiofrekvencijskog signala na ulazu miješala je (relacija 7.11):

222

22AAASi =+=

201

a snaga međufrekvencijskog signala na izlazu je (relacija 7.12):

2

22 AKSo =

Prema relaciji za faktor šuma snaga šuma na ulazu razmatranog miješala je Ni = kT0B, gdje je k = 1,380·10−23 J/K Boltzmannova konstanta, T0 = 290 K normirana temperatura i B širina međufrekvencijskog pojasa. Snaga šuma na izlazu je:

c

addo L

NBkTN += 0

gdje je Nadd dodana snaga šuma razmatranog miješala (referirano na ulaz), a Lc je gubitak pretvorbe. Faktor šuma miješala za pretvorbu frekvencije naniže dvobočnog radiofrekvencijskog signala je:

+==

BkTN

LKNSNSF add

cio

oiDBS

02 12 (7.13)

gdje su prethodne relacije uvrštene odgovarajuće za Si, So, Ni i No. Ako je na ulazu razmatranog miješala jednobočni radiofrekvencijski signal:

( ) ( )( )tAtu IFLOSSB ωω −= cos (7.14) onda je, nakon miješanja sa signalom lokalnog oscilatora i niskopropusnog filtriranja, međufrekvencijski signal:

( ) ( )tKAtu IFIF ωcos2

= (7.15)

gdje je K konstanta zbog gubitka pri pretvorbi frekvencije. Snaga radiofrekvencijskog signala na ulazu miješala je (relacija 7.14):

2

2ASi =

a snaga međufrekvencijskog signala na izlazu je (relacija 7.15):

8

22 AKSo =

Snaga šuma na ulazu i izlazu jednaka je kao i u slučaju dvobočnog signala pa je faktor šuma miješala za pretvorbu frekvencije naniže jednobočnog radiofrekvencijskog signala:

+==

BkTN

LKNSNSF add

cio

oiSSB

02 14 (7.16)

202

Usporedba s relacijom 7.13. pokazuje da je faktor šuma miješala za pretvorbu frekvencije naniže u slučaju jednobočnog signala na ulazu dvostruko veći nego u slučaju dvobočnog signala:

DSBSSB FF 2= (7.17) Osim gubitka pretvorbe i faktora šuma za primjenu su značajna svojstva miješala u pogledu intermodulacijskih izobličenja i izoliranja između pristupa lokalnog oscilatora i radiofrekvencijskog pristupa. Poznato je da dva ulazna signala bliskih frekvencija generiraju na izlazu nelinearne mreže intermodulacijske komponente. Ako su te komponente u propusnom međufrekvencijskom pojasu, uzrokuju izobličenje signala na izlazu miješala. Vrijednost presječne točke trećeg reda miješala za pretvorbu frekvencije naniže uobičajeno je u rasponu od 15 dBm do 30 dBm (referirano na ulaz). Kod stvarnog miješala za pretvorbu frekvencije naniže dio signala s pristupa lokalnog oscilatora se prenosi na radiofrekvencijski pristup. Tako preneseni signal prijamnik će zračiti ako je radiofrekvencijski ulaz miješala izravno priključen na antenu. Zbog mogućih interferencija s ostalim radiouređajima odgovarajućim normama ograničena je razina zračene snage prijamnika. Ovu pojavu uspješno otklanja pojasno propusni filtar i/ili radiofrekvencijsko pojačalo priključeno između antene i miješala. Izolacija između pristupa lokalnog oscilatora i radiofrekvencijskog pristupa miješala pretežito zavisi o obliku mreže za spajanje ovih ulaza na nelinearni element; uobičajene vrijednosti su iz raspona od 20 dB do 40 dB. 7.2. Miješala s poluvodičkom diodom Spomenuto savršeno miješalo ima na izlazu signal razmjeran umnošku dva ulazna signala. U slučaju sinusoidalnog valnog oblika množenje ulaznih signala ima učin zbrajanja i oduzimanja njihovih frekvencija, odnosno pretvorbe frekvencije signala. Stvarna miješala s nelinearnim elementom, na primjer poluvodičkom diodom, imaju na izlazu komponentu razmjernu umnošku ulaznih signala, ali i veliki broj ostalih komponenti različitih frekvencija. Nelinearna strujno-naponska karakteristika poluvodičke diode (slika 7.2) omogućuje njezinu primjenu u sklopu ispravljača, detektora ili miješala. Nažalost, analiza nelinearne električne mreže nije jednostavna; različiti postupci rezultiraju odgovarajućim nadomjesnim krugom miješala s poluvodičkom diodom.

I

U

Is

Slika 7.2. I-U karakteristika poluvodičke diode Poznatom relacijom određena je zavisnost električne struje, I o naponu, U poluvodičke diode:

( ) ( )1e −= UsIUI α (7.18)

203

gdje je Is inverzna struja zasićenja, a konstanta α = q/(nkT) povezuje električni naboj elektrona q, faktor savršenosti diode n, Boltzmannovu konstantu k i termodinamičku temperaturu T. Vrijednost inverzne struje zasićenja radiofrekvencijske diode uobičajeno je u rasponu od 10−15 A do 10−6 A, a vrijednost konstante α približno je 1/(28 mV) na temperaturi 290 K. Faktor savršenosti diode (engl. diode ideality factor) je u rasponu od 1,2 za diode sa Schottkyevom barijerom do približno 2,0 za točkaste silicijske diode. Neka je ukupna struja i ukupni napon poluvodičke diode odgovarajuće:

( )tiII += 0 (7.19.a)

( )tuUU += 0 (7.19.b) gdje su I0 i U0 istosmjerne vrijednosti radne točke, I0 = I(U0) (relacija 7.18), a i(t) i u(t) su električni signali razmjerno male amplitude. Ako izmjenična komponenta ostvaruje mala odstupanja od nepromjenljive vrijednosti istosmjerne komponente, moguće je zavisnost ukupne struje o narinutom izmjeničnom naponu iskazati Taylorovim redom:

( ) ( ) ( ) K+′++= tuGtuGIUI dd2

0 21 (7.20)

gdje je Gd dinamička vodljivost diode, a dG′ je njezina derivacija:

( )sU

sUU

d IIIUIG +===

=0

0

0

edd αα α (7.21.a)

dU

sUUUU

dd GI

UI

UGG αα α ====′

==

0

00

edd

dd 2

2

2

(7.21.b)

Skraćeni Taylorov red (relacija 7.20) aproksimacija je stvarne karakteristike diode (relacija 7.18) za male signale. Pretvorbu frekvencije signala omogućuje samo kvadratni član reda, a konstantni i linearni član uzrokuju neželjene komponente izlaznog signala. Električni krug neuravnoteženog (jednostranog) miješala (engl. single-ended mixer) s diodom prikazan je na slici 7.3.a).

UDD

RFC

CcCc

niskopropusnifiltar

spajalosignala

uRF(t)

uLO(t)

iIF(t)

RF ulaz

LO ulaz

IF izlaz

a) b)

i(t)

u(t)

uRF(t)

uLO(t)

Slika 7.3. Neuravnoteženo miješalo s diodom: a) električni krug; b) nadomjesni krug za ulazne signale

204

Spajalo signala (engl. combiner) na ulazu spaja radiofrekvencijski signal i signal lokalnog oscilatora i istovremeno izolira ova dva pristupa. Funkciju spajanja signala moguće je ostvariti pasivnom električnom mrežom s tri pristupa (djelilo snage, engl. power divider) ili s četiri pristupa (usmjereni sprežnik, engl. directional coupler). Takva mreža često sadrži hibridni transformator (transformator s tri namota) za spajanje signala nižih radiofrekvencija, odnosno različito spojene odsječke prijenosne linije za spajanje mikrovalnih signala. Na diodu može biti narinut istosmjerni prednapon, ali tako da što manje utječe na radiofrekvencijske signale. Zato prednaponska mreža sadrži radiofrekvencijsku prigušnicu, RFC i istosmjerno blokirajuće kondenzatore, Cc. Niskopropusni filtar na izlazu izdvaja željeni međufrekvencijski signal. Nadomjesni krug razmatranog miješala za ulazne signale sadrži naponski izvor radiofrekvencijskog signala i naponski izvor signala lokalnog oscilatora koji su spojeni serijski (slika 7.3.b). Neka su ovi ulazni signali sinusoidalnog valnog oblika odgovarajuće amplitude i kutne frekvencije:

( ) ( )tUtu RFRFRF ωcos= (7.22)

( ) ( )tUtu LOLOLO ωcos= (7.23) Narine li se ove superponirane napone na diodu za koju vrijedi aproksimacija za male signale, ukupna struja diode je (relacija 7.20):

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]20 2

1 tutuGtutuGIUI LORFdLORFd +′+++= (7.24)

gdje je dinamička vodljivost diode Gd i njezina derivacija dG′ određena odgovarajuće relacijom 7.21.a) i 7.21.b). Prvi član s desne strane jednadžbe 7.24. je istosmjerna komponenta struje koja teče prednaponskom mrežom diode jer je ne propuštaju istosmjerno blokirajući kondenzatori. Drugi član je razmjeran ulaznim signalima, odnosno to je komponenta struje s kutnom frekvencijom ωRF i ωLO pa će je odstraniti niskopropusni IF filtar na izlazu miješala. Treći član s desne strane razmatrane jednadžbe je komponenta struje koju je moguće prikazati u obliku:

( ) ( ) ( )[ ] =+′

= 2coscos2

tUtUGti LOLORFRFd ωω

( ) ( ) ( ) ( )[ ]tUttUUtUGLOLOLORFLORFRFRF

d ωωωω 2222 coscoscos2cos2

++′

=

gdje su uvrštene relacije 7.22. i 7.23. Primjenom poznatih trigonometrijskih jednakosti slijedi:

( ) ( )[ ] ( )[ ]

( )( ) (( )[ ]ttUUG

tUtUGti

LORFLORFLORFd

LOLORFRFd

ωωωω

ωω

++−′

+

++++′

=

coscos2

2cos12cos14

22

)

Razabire se da ova relacija prikazuje nekoliko komponenti struje među kojima je samo jedna željene kutne međufrekvencije, ωIF = ωRF − ωLO:

205

( ) ( )tUUGti IFLORFd

IF ωcos2′

= (7.25)

koju niskopropusni IF filtar izdvaja na izlazu miješala. Ostale komponente struje na izlazu miješala iščezavaju: istosmjerna komponenta je zapriječena istosmjerno blokirajućim kondenzatorom, a komponente kutne frekvencije 2ωRF, 2ωLO i ωRF + ωLO odstranjuje niskopropusni IF filtar. Provedeno razmatranje miješala uz aproksimaciju karakteristike diode za male signale pridonosi boljem razumijevanju procesa pretvorbe frekvencije, ali redovito ne omogućuje točnu procjenu gubitka pretvorbe. Tome je glavni uzrok razmjerno visoka razina snage signala lokalnog oscilatora pa ne vrijedi pretpostavka da ulazni signali ostvaruju malo odstupanje napona i struje diode od istosmjerne vrijednosti u radnoj točki. Točnije rezultate omogućuje modeliranje diode nelinearnim otporom. Pritom je zbog jednostavnosti zanemarena nelinearna reaktancija pridružena spoju diode i parazitne rektancije pakiranja diode. Naravno, dostupni su nelinearni modeli diode za velike signale koji su osnova za projektiranje miješala pomoću računala. Neka je na poluvodičku diodu s nelinearnom strujno-naponskom karakteristikom (relacija 7.18) narinut radiofrekvencijski signal (relacija 7.22) niske razine snage i signal lokalnog oscilatora (relacija 7.23) razmjerno visoke razine snage. Na diodu može biti narinut istosmjerni prednapon, ali istosmjerna struja ne utječe izravno na izlazni signal. Opravdano je očekivati komponente struje diode niske razine s kutnom frekvencijom ωRF, ωIF = ωRF − ωLO, ωIM = ωLO − ωIF i nωLO ± ωIF, za n = 2, 3, ... (bočni pojasevi harmonika signala lokalnog oscilatora) te komponente struje diode razmjerno visoke razine s kutnom frekvencijom ωLO i nωLO, za n = 2, 3, ... (harmonici signala lokalnog oscilatora). Uobičajeno su harmonici signala lokalnog oscilatora i njihovi bočni pojasevi reaktivno zaključeni pa ne pridonose gubitku snage u miješalu. U pogledu gubitka snage u miješalu najznačajniji su signali s kutnom frekvencijom ωRF, ωIF i ωIM. Zrcalni i radiofrekvencijski signal su bliskih frekvencija pa su zaključeni približno jednakom impedancijom. Približno polovina snage radiofrekvencijskog signala se pretvara u zrcalni signal. Treba upozoriti da signal sa zrcalnom kutnom frekvencijom, ωIM = ωLO − ωIF = 2ωLO − ωRF nije spomenut u prethodnom razmatranju miješala jer ga uzrokuje izostavljeni kubni član Taylorovog reda. U skladu s relacijom 7.10. za gubitak pretvorbe valja odrediti raspoloživu snagu na RF ulazu i raspoloživu snagu na IF izlazu miješala. Ako je radiofrekvencijski signal male amplitude, moguće je zavisnost izmjenične struje diode o narinutom izmjeničnom naponu odrediti razvojem u Taylorov red u okolišu trenutne vrijednosti napona lokalnog oscilatora:

( ) ( ) K+++===

LOLO uUuULO U

IuUIuuIui 2

22

dd

21

dd (7.26)

Ovaj red je sličnog oblika kao i relacija 7.20, ali je aproksimacija karakteristike diode za male signale određena razvojem u Taylorov red u okolišu vrijednosti istosmjernog napona radne točke. Prvi član reda (relacija 7.26) zavisi samo o naponu lokalnog oscilatora pa ne utječe na gubitak konverzije. Drugi član reda je funkcija napona radiofrekvencijskog signala i signala lokalnog oscilatora i obuhvaća komponente struje diode s kutnom frekvencijom ωRF, ωIF i ωIM uz pobudni signal lokalnog oscilatora visoke razine. Koeficijent ovog člana je diferencijalna vodljivost diode:

206

( ) ( )tUsuU

Us

uU

LOLO

LOLO

IIUItg ωαα αα cosee

dd

====

=

(7.27)

gdje je funkcija I(U) određena relacijom 7.18. Ako je mali napon u(t) narinut na diodu, rezultirajuća struja je:

( ) ( ) ( )tutgti = (7.28)

Diferencijalna vodljivost diode (relacija 7.27) je realna funkcija periodična s periodom T = 2π/ωLO pa ju je moguće iskazati trigonometrijskim Fourierovim redom u polarnom obliku:

(7.29)

gdje su Fourierovi koeficijenti:

( ) ( )∑∞

=

+=1

0 cos2n

LOn tnggtg ω

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) K 2, 1, 0,nza dcose2

dcose2

dcos1

2

0

cos

2

0

cos

0

===

===

∫

∫∫

LOnsΘUs

LOtUsLO

T

LOn

UIIΘnΘI

ttnIttntgT

g

LO

LO

LOLO

ααπ

α

ωπ

αωω

πα

ωπωα

(7.30)

a In(x) je modificirana Besselova funkcija prve vrste n-tog reda:

( ) ( ) ΘnΘxI Θxn dcose

21 2

0

cos∫=π

π

Neka izmjenična struja diode sadrži tri sinusoidalne komponente s odgovarajućom kutnom frekvencijom ωRF, ωIF i ωIM:

( ) ( ) ( ) ( )tItItIti IMIMIFIFRFRF ωωω coscoscos ++= (7.31) gdje je IRF, IIF i IIM amplituda struje odgovarajuće radiofrekvencijskog, međufrekvencijskog i zrcalnog signala koju treba odrediti. Ako je na diodu narinuti radiofrekvencijski napon (relacija 7.22) iz izvora s unutarnjim otporom Rg, a dioda je na međufrekvenciji i zrcalnoj frekvenciji zaključena odgovarajuće otporom RIF i Rg, onda je napon na diodi:

( ) ( ) ( ) ( ) ( tRItRItRItUtu IMgIMIFIFIFRFgRFRFRF )ωωωω coscoscoscos −−−= (7.32) Nadomjesni krug miješala s diodom za velike signale sadrži tri pristupa (slika 7.4); jedan za svaku frekvenciju komponente signala. Ovakav model se naziva otpornim miješalom jer su zanemarene sve reaktancije. Pretpostavljen je jednaki otpor zaključenja diode na radiofrekvenciji i zrcalnoj frekvenciji jer su to redovito bliske frekvencije. Diferencijalna vodljivost diode, iskazana pomoću prva tri člana Fourierovog reda (relacija 7.29), je:

207

( ) ( ) ( )tgtggtg LOLO ωω cos2cos2 210 ++= (7.33) Umnožak diferencijalne vodljivosti (relacija 7.33) i napona na diodi (relacija 7.32) jednak je struji diode prema relaciji 7.28. koju je moguće izjednačiti s relacijom 7.31. Grupiranje pribrojnika jednake kutne frekvencije daje sustav tri jednadžbe za tražene struje pristupa:

(7.34)

gdje je URF amplituda napona radiofrekvencijskog signala, a g0, g1 i g2 su Fourierovi koeficijenti određeni relacijom 7.30. za n = 0, 1, 2. Treba upozoriti da množenjem relacija 7.33. i 7.32. nastaje još nekoliko komponenti s frekvencijom različitom od ωRF, ωIF i ωIM, ali se pretpostavlja reaktivno zaključenje diode na tim frekvencijama pa ne nastaju gubici.

−−

−

=

gIM

IFIF

gRFRF

IM

IF

RF

RIRI

RIU

ggggggggg

III

012

101

210

URF

poluvodičkadioda

[g]

Rg

IRF

RIF

Rg

IIF UIF

IIM UIM

Slika 7.4. Nadomjesni krug otpornog miješala s diodom za velike signale

Najlakše je raspoloživu snagu na međufrekvencijskom pristupu odrediti pomoću Nortonovog ekvivalentnog kruga (slika 7.5). Pritom je Isc struja kratkog spoja, a GIF = Isc/Uoc je vodljivost jednaka omjeru struje kratkog spoja i napona otvorenog kruga na međufrekvencijskom pristupu.

GIFIsc

IIF

UIF RIF

Slika 7.5. Nortonov ekvivalentni krug IF pristupa otpornog miješala Struja kratkog spoja slijedi iz matrične jednadžbe ( relacija 7.34) uz RIF = 0:

gg

RFRIFsc RgRg

UgIIIF

20

10 1 ++

=−==

(7.35)

Uvrsti li se IIF = 0 u relaciju 7.34, moguće je odrediti napon na otvorenom IF pristupu:

( )ggg

RFIIFoc RggRggRg

UgUUIF

002021

10 12 +−−

===

(7.36)

208

Vodljivost Nortonovog ekvivalentnog kruga je:

gg

g

oc

scIF RgRg

Rgg

UIG

20

21

0 12

++−== (7.37)

gdje je za Isc i Uoc uvrštena odgovarajuće relacija 7.35. i 7.36. Raspoloživa snaga iz izvora radiofrekvencijskog signala i raspoloživa snaga na međufrekvencijskom pristupu nadomjesnog kruga otpornog miješala odgovarajuće je:

g

RFavRF R

UP

8

2

= (7.38.a)

( ) ( )[ ]ggggg

RF

IF

scavIF RgRgRggRgRg

UgGI

P 2120020

221

2

21188 −++++== (7.38.b)

gdje je za Isc i GIF uvrštena odgovarajuće relacija 7.35. i 7.37. Prema relaciji 7.10. brojčana vrijednost gubitka pretvorbe razmatranog miješala je:

( ) ( )[ ]g

ggggg

avIF

avRFc Rg

RgRgRggRgRgPPL 2

1

2120020 211 −++++

== (7.39)

gdje je za PavRF i PavIF uvrštena odgovarajuće relacija 7.38.a) i 7.38.b). Razabire se da je gubitak pretvorbe otpornog miješala neovisan o otporu zaključenja diode na međufrekvenciji, ali zato zavisi o otporu zaključenja diode na radiofrekvenciji i zrcalnoj frekvenciji. Izborom optimalne vrijednosti otpora R moguće je ostvariti najmanji gubitak pretvorbe. Označi li se

g

,1 gRx = 20 gga += i ,2 021 ggb = moguće je relaciju 7.39. prikazati u

obliku:

( )( )bx

baxaxLc−++

=2 (7.40)

Deriviranje ovog izraza po x i izjednačavanje rezultata s ništicom daje optimalnu vrijednost:

( )baaxopt −= (7.41) za koju je najmanja vrijednost gubitka pretvorbe:

( )[ ] ( )[ ]( )

( )

abab

bbaa

baabbaababaaa

Lc

−−

−+=

−+=

−−+−−+

=11

11222

2

min (7.42)

Da bi se odredilo ovu vrijednost nužno je procijeniti vrijednost varijabli a i b, odnosno vrijednost Fourierovih koeficijenata g0, g1 i g2. Ako je snaga signala lokalnog oscilatora 10 mW, onda je amplituda napona ULO = 1 V (na otporu 50 Ω). Uz vrijednost konstante

209

α = 1/(28 mV) argument modificirane Besselove funkcije prve vrste n-tog reda (relacija 7.30) je αULO ≈ 36 pa je moguće primijeniti aproksimaciju za veliki argument:

( ) xx

xIx

n za veliki 2eπ

≈

U tom slučaju izraz za Fourierove koeficijente (relacija 7.30):

( ) K 2, 1, 0,nza 2

=≈=LO

U

sLOnsn UeIUIIg

LO

παααα

α

(7.43)

ne ovisi o redu n pa su im jednake vrijednosti, g0 = g1 = g2. Tada je omjer varijabli b i a:

( ) 12

200

21 ≈+

=ggg

gab (7.44)

pa je prema relaciji 7.42. najmanja vrijednost gubitka pretvorbe Lc min = 2 = 3 dB. To znači da je u najpovoljnijem slučaju snaga međufrekvencijskog signala u razmatranom miješalu jednaka polovini snage radiofrekvencijskog signala; preostala polovica se pretvara u snagu signala sa zrcalnom frekvencijom. Načelno je moguće smanjiti gubitak pretvorbe ako se diodu na zrcalnoj frekvenciji zaključi reaktancijom, ali je praktično teško odvojiti zaključenje na radiofrekvenciji od zaključenja na bliskoj zrcalnoj frekvenciji. Treba podsjetiti da su zanemarene reaktancije diode i gubici na frekvenciji viših harmonika. Zato kod stvarnih miješala valja očekivati veći gubitak pretvorbe. Pomoću jednakog modela otpornog miješala s diodom za velike signale moguće je odrediti i ekvivalentnu temperaturu šuma u slučaju jednobočnog radiofrekvencijskog signala:

( )12

−= ce LnTT (7.45)

gdje je n faktor savršenosti diode, T je fizikalna temperatura diode, a Lc je gubitak pretvorbe miješala.

Razmotreni model miješala za velike signale ukazuje na mogućnost da se diodu promatra kao prekidač. Dostatno veliki napon sinusoidalnog signala lokalnog oscilatora uzrokuje da dioda odgovarajuće provodi ili ne provodi. Pritom se i vodljivost diode (omjer struje i napona diode) mijenja u rasponu od vrlo velike vrijednosti do vrlo male vrijednosti s frekvencijom signala lokalnog oscilatora. U savršenom slučaju moguće je vremensku zavisnost diferencijalne vodljivosti diode, g(t) prikazati pravokutnim valnim oblikom periodičnim s periodom signala lokalnog oscilatora T = 2π/ωLO (slika 7.6.a). Funkcija g(t) iskazana trigonometrijskim Fourierovim redom u polarnom obliku je:

( ) ( )∑∞

=

+=

1

cos2

sin221

nLOtnn

ntg ωπ

π (7.46)

Ovakvu vremensku zavisnost vodljivosti ostvaruje nadomjesni krug prikazan na slici 7.6.b). Pritom je dioda nadomještena prekidačem koji prekida i zatvara električni krug u odgovarajućoj polovici perioda signala lokalnog oscilatora.

210

uLO(t)

g(t)

t-T/4 0

1

T/4 T/2 3T/4 T 5T/4 3T/2 7T/4 2T 9T/4 5T/2

ω LO

uRF(t)

1 Ωi(t)

a) b)

Slika 7.6. Dioda s velikim LO signalom: a) valni oblik diferencijalne vodljivosti; b) nadomještena prekidačem

Struja diode jednaka je umnošku diferencijalne vodljivosti (relacija 7.46) i napona

radiofrekvencijskog signala (relacija 7.22):

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) (( )[ ]

−++

+=

=

+==

∑

∑∞

=

∞

=

1

1

coscos2

sin2cos21

coscos2

sin2cos21

nLORFLORFRFRF

nRFLORFRFRF

tntnnn

tU

ttnnn

tUtutgti

ωωωωππ

ω

ωωππ

ω

)(7.47)

Niskopropusni IF filtar na izlazu miješala izdvaja samo komponentu signala najniže frekvencije, (URF/π)cos(ωIFt) za n = 1 gdje je ωIF = ωRF − ωLO. U ovom slučaju vremenski promjenljivi element električnog kruga ostvaruje pretvorbu frekvencije signala. Uzgred, prekidačem je prikladno nadomjestiti i ostale nelinearne elemente miješala s velikim signalom lokalnog oscilatora. 7.3. Miješala s unipolarnim tranzistorom Umjesto poluvodičke diode moguće je koristiti i tranzistor kao nelinearni element u sklopu miješala. U odnosu na bipolarne tranzistori s efektom polja omogućuju miješala s manjim faktorom šuma i lakše integriranje s ostalim sklopovima. Uobičajene vrijednosti nekih specifikacija miješala s diodom i miješala s unipolarnim tranzistorom navedene su na tablici 7.1. Miješala s FET-om imaju pojačanje pretvorbe (negativni gubitak pretvorbe iskazan u decibelima), ali i veći faktor šuma od miješala s diodom. Dinamičko područje miješala s FET-om znatno je šire nego miješala s diodom. Treba upozoriti da pouzdana usporedba različitih vrsta miješala iziskuje razmatranje učina okolnih kaskadno spojenih stupnjeva u sastavu radiouređaja.

Tablica 7.1. Specifikacije miješala s diodom i miješala s FET-om

vrsta miješala

gubitak pretvorbe, Lc/dB

faktor šuma, F/dB

točka smanjenja pojačanja za 1 dB, P1/dBm

presječna točka trećeg reda, P3/dBm

s diodom 5 5 - 7 −6 - −1 5

s FET-om −6 7 - 8 5 - 6 20

211

Između više nelinearnih parametara tranzistora s efektom polja nelinearnost strmine (transkonduktancije) ima najveći značaj za pretvorbu frekvencije signala. Na slici 7.7. prikazana je uobičajena zavisnost strmine, gm o istosmjernom naponu između upravljačke elektrode i uvoda, UGS za FET u spoju zajedničkog uvoda. U sklopu pojačala tranzistor s efektom polja ima radnu točku u okolišu najveće vrijednosti strmine pa je približno linearni element. Ako je napon upravljačke elektrode jednak naponu praga, vrijednost strmine iščezava, a mala promjena napona upravljačke elektrode uzrokuje veliku promjenu strmine. To je značajka nelinearnog elementa. U sklopu miješala veliki napon signala lokalnog oscilatora, narinut na upravljačku elektrodu, preklapa strminu FET-a između male i velike vrijednosti. Tako je pretvorba frekvencije signala u miješalu s FET-om ostvarena na jednaki način kao i kod miješala s diodom, a tranzistor s efektom polja je moguće nadomjestiti prekidačem.

gm/mS

UGS/V0-1-2-3-40

1020

3040

naponpraga

Slika 7.7. Zavisnost strmine FET-a o naponu između upravljačke elektrode i uvoda Na slici 7.8. prikazan je električni krug neuravnoteženog (jednostranog) miješala s FET-om. Pomoću spajala signala radiofrekvencijski signal i signal lokalnog oscilatora su narinuti na upravljačku elektrodu tranzistora s efektom polja. Spajalo signala ujedno prilagođava impedanciju jer je impedancija na ulazu FET-a redovito malog iznosa. Prednaponskom mrežom ostvarena je radna točka tranzistora, a na njegovom izlazu premosni kondenzator, CLO kratkospaja signal lokalnog oscilatora. Niskopropusni filtar na izlazu miješala izdvaja željeni međufrekvencijski signal.

CLO

RFC

RFC

UDD

niskopropusnifiltar

spajalosignala

LO ulaz

RF ulaz

UGG

IF izlaz

Slika 7.8. Električni krug neuravnoteženog miješala s FET-om Pojednostavljena nadomjesna mreža neuravnoteženog miješala s FET-om prikazana je na slici 7.9. Pritom je tranzistor s efektom polja nadomješten unilateralnom mrežom, odnosno zanemaren je kapacitet između upravljačke elektrode i odvoda, a izostavljen je i kapacitet između odvoda i uvoda (slika 6.2). Neka je napon radiofrekvencijskog signala i signala

212

lokalnog oscilatora određen odgovarajuće relacijom 7.22. i 7.23. Unutarnja impedancija izvora radiofrekvencijskog signala je Zg = Rg + jXg, a međufrekvencijski pristup miješala je zaključen opteretnom impedancijom ZL = RL + jXL. Ove impedancije omogućuju konjugirano kompleksno prilagođenje na ulaznom i izlaznom pristupu miješala za najveći prijenos snage. Unutarnja impedancija izvora signala lokalnog oscilatora je Z0 jer se ne razmatra najveći prijenos snage na tom pristupu.

Uc

gm(t)Uc Rds

Cgs

Ri

upravljačkaelektroda

uvod

odvod

ULO

URF

Zg

Z0

ZL(IF)

Slika 7.9. Nadomjesni krug neuravnoteženog miješala s FET-om Tranzistor s efektom polja u sklopu razmatranog miješala moguće je promatrati kao prekidač. Razmjerno veliki napon sinusoidalnog signala lokalnog oscilatora uzrokuje značajnu promjenu vrijednosti strmine FET-a (omjer struje međufrekvencijskog signala i napona radiofrekvencijskog signala) s frekvencijom ωLO. Vremensku zavisnost diferencijalne strmine (transkonduktancije) FET-a moguće je iskazati trigonometrijskim Fourierovim redom u polarnom obliku:

(7.48)

Struja na izlazu FET-a jednaka je umnošku diferencijalne strmine i napona ulaznog radiofrekvencijskog signala. Željenu međufrekvenciju ima komponenta izlaznog signala za n = 1 pa je nužno odrediti samo Fourierov koeficijent g1; uobičajeni red vrijednosti određen mjerenjem je 10 mS. Brojčana vrijednost pojačanja pretvorbe razmatranog miješala jednaka je omjeru raspoložive snage na međufrekvencijskom pristupu i raspoložive snage iz izvora radiofrekvencijskog signala:

( ) ( )∑∞

=

+=1

0 cos2n

LOnm tnggtg ω

2

22

2

4

81

21

RF

IFds

L

Lg

g

RF

LL

IFds

avRF

avIFc U

UZ

RR

RU

RZ

U

PPG === (7.49)

gdje je amplituda napona međufrekvencijskog signala na izlazu FET-a, URF je amplituda napona izvora radiofrekvencijskog signala, a impedancija je konjugirano kompleksno prilagođena na ulazu i izlazu miješala. Amplituda napona radiofrekvencijskog signala na kondenzatoru Cgs je (slika 7.9):

IFdsU

213

( ) ( )gigsRF

RF

gsRFgigsRF

RFRFc ZRC

U

CZRC

UU++

=

++

=ω

ωω

j1j

1j (7.50)

Umnožak diferencijalne strmine (relacija 7.48) i napona ( ) ( tUtu RF

RFc

RFc ωcos= ) je

beskonačni red s početnim članovima:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) K++= ttUgtUgtutg LORFRFcRF

RFc

RFcm ωωω coscos2cos 10 (7.51)

Pomoću poznate trigonometrijske jednakosti moguće je komponentu struje odvoda željene međufrekvencije, koju određuje drugi član ovog reda, prikazati u obliku:

( ) ( ) ( )tUgtutg IFRFc

RFcm

IFω

ωcos1= (7.52)

gdje je ωIF = ωRF − ωLO. Amplituda odgovarajućeg napona na izlazu FET-a je:

( ) Lds

Lds

gigsRF

RF

Lds

LdsRFc

IFds ZR

ZRZRCj

UgZR

ZRUgU+++

−=+

−=ω1

11 (7.53)

gdje je za uvrštena relacija 7.50. Uvrsti li se ovaj rezultat u relaciju 7.49, slijedi brojčana vrijednost pojačanja pretvorbe razmatranog miješala:

RFcU

( )( ) 222

2

2

1

1

2

LLds

L

gsRFggi

g

gsRF

dsc XRR

R

CXRR

RCRgG

++

−++

=

ω

ω

U slučaju konjugirano kompleksno prilagođene impedancije na ulazu i izlazu FET-a, Rg = Ri, Xg = 1/(ωRFCgs), RL = Rds i XL = 0 (slika 7.9) prethodni rezultat ima jednostavniji oblik:

igsRF

dsc RC

RgG 22

21

4ω= (7.54)

Pritom su g1, Rds, Ri i Cgs parametri tranzistora s efektom polja. Kod stvarnog miješala najčešće se impedanciju RF, LO i IF pristupa prilagodnom mrežom prilagođava na 50 Ω. Primjer 7.2. Neuravnoteženo miješalo s FET-om u sastavu je prijamnika radiofrekvencijskog signala s frekvencijom 2,4 GHz. Ako su parametri tranzistora s efektom polja g1 = 10 mS, Rds = 300 Ω, Ri = 10 Ω i Cgs = 0,3 pF, odrediti najveće pojačanje pretvorbe miješala. Najveće pojačanje pretvorbe razmatranog miješala nastupa u slučaju konjugirano kompleksno prilagođene impedancije na ulazu i izlazu tranzistora s efektom polja pa je prema relaciji 7.54:

214

dB 6,1565,3610300

103,0104,24101

4

2

129

2

22

21 ==

⋅⋅⋅⋅

⋅== −

−

πω igsRF

dsc RC

RgG

Treba upozoriti da je ova vrijednost pojačanja pretvorbe precijenjena jer nisu uključeni gubici mreže za prilagođenje impedancije na ulazu i izlazu FET-a.

Dostupno je nekoliko inačica miješala s FET-om. Na slici 7.10. prikazano je neuravnoteženo miješalo s FET-om s dvostrukom upravljačkom elektrodom (engl. dual-gate FET). Pritom je signal lokalnog oscilatora i radiofrekvencijski signal narinut na zasebni dio upravljačke elektrode. Tako se ostvaruje veliku izolaciju između LO i RF pristupa miješala, ali je faktor šuma redovito veći u odnosu na miješalo s FET-om s jednostrukom upravljačkom elektrodom. Kondenzator CLO kratkospaja signal lokalnog oscilatora na međufrekvencijskom izlazu.

CLO

niskopropusnifiltar

LO ulaz

RF ulaz IF izlaz

prilagodnikimpedancije

prilagodnikimpedancije

Slika 7.10. Miješalo s FET-om s dvostrukom upravljačkom elektrodom

Pretvorbu frekvencije signala moguće je ostvariti i tranzistorima s efektom polja u diferencijskom spoju (slika 7.11). Prilagodnik uravnoteženja na LO i IF pristupu miješala omogućuje prijelaz između neuravnotežene prijenosne linije i uravnoteženih priključnica FET-ova u diferencijskom spoju. Moguće ga je ostvariti hibridnim transformatorom s tri namota ili hibridnim spojem s faznim zakretom 180° između dva izlazna signala. Na RF i LO ulazu miješala je prilagodnik impedancije, a na IF izlazu je niskopropusni filtar koji izdvaja željeni međufrekvencijski signal i odstranjuje veliki signal lokalnog oscilatora. Diferencijski par tranzistora radi kao izmjenični prekidač s radnom točkom malo iznad napona praga. Tako uvijek jedan od ovih tranzistora provodi pa je tranzistor u krugu zajedničkog uvoda stalno u zasićenju.

prilagodnikuravnoteženja

prilagodnikuravnoteženja

RF ulaz

LO ulaz

IF izlaz

Slika 7.11. Miješalo s FET-ovima u diferencijskom spoju

215

Miješalo s Gilbertovim elementom (engl. Gilbert cell) složeniji je oblik miješala s dvostrukim diferencijskim spojem tranzistora s efektom polja (slika 7.12). To je dvostruko uravnoteženo (balansirano) miješalo (engl. double balanced mixer) kojim se ostvaruje veliku izolaciju između LO i RF pristupa, široko dinamičko područje i poništava intermodulacijske komponente parnog reda. Takav sklop se često primjenjuje u integriranom krugu miješala.

prilagodnikuravnoteženja

prilagodnikuravnoteženja

RF ulaz

LO ulaz

IF izlaz

prilagodnikuravnoteženja

Slika 7.12. Miješalo s Gilbertovim elementom 7.4. Ostali sklopovi miješala Razmotreni oblici neuravnoteženih miješala s diodom ili s FET-om omogućavaju pretvorbu frekvencije signala, ali im je radiofrekvencijski pristup često s neprilagođenom impedancijom i nedostatno izoliran od pristupa lokalnog oscilatora. To narušava ukupna svojstva radiosustava. Poboljšanje spomenutih značajki moguće je združivanjem dva ili više neuravnoteženih miješala pomoću hibridnog spoja ili hibridnog transformatora. Električni krug uravnoteženog (balansiranog) miješala (engl. balanced mixer) s diodama i hibridnim spojem s faznim zakretom 90° te 180° između dva izlazna signala prikazan je odgovarajuće na slici 7.13.a) i 7.13.b). Savršeni hibridni spoj (engl. hybrid junction) je pasivna mikrovalna mreža bez gubitaka i s četiri prilagođena pristupa. To je usmjereni sprežnik sa spregom 3 dB, odnosno polovina snage signala narinutog na jedan ulaz (označen s 1 ili 4 na slici 7.13) prenosi se na oba izlaza (označeni s 2 i 3 na slici 7.13). Pritom je preostali ulaz izoliran, odnosno nema prijenosa signala između dva ulaza. Kod hibridnog spoja s faznim zakretom 90° signali na izlazu imaju navedeni fazni zakret neovisno o ulazu na koji je narinut signal. Ako je signal kod hibridnog spoja s faznim zakretom 180° narinut na ulaz Σ (ili 1 na slici 7.13.b), onda su izlazni signali istofazni. U slučaju kad je signal narinut na ulaz ∆ (ili 4 na slici 7.13.b) izlazni signali su protufazni. Stvarni hibridni spoj ima svojstva približno jednaka savršenom samo u ograničenom frekvencijskom području. Neka su na RF i LO ulaz uravnoteženog miješala s diodama i hibridnim spojem s faznim zakretom 90° (slika 7.13.a) narinuti signali sinusoidalnog valnog oblika odgovarajuće amplitude i kutne frekvencije:

( ) ( )tUtu RFRFRF ωcos= (7.55)

( ) ( )tUtu LOLOLO ωcos= (7.56)

216

hibridni spoj3 dB, 90°

1 2

34

RF ulaz

LO ulaz

niskopropusnifiltar

IF izlaz

a)

RFΓU

LOΓU

1ΓU

2ΓU

i1

i2

u1

u2

hibridni spoj3 dB, 180°

1 2

34

RF ulaz

LO ulaz

niskopropusnifiltar

IF izlaz

b)

RFΓU

LOΓU

1ΓU

2ΓU

i1

i2

u1

u2

Σ

∆

Slika 7.13. Uravnoteženo miješalo s diodama i hibridnim spojem:

a) s faznim zakretom 90°; b) s faznim zakretom 180° Matrica raspršenja savršenog hibridnog spoja s faznim zakretom 90° je:

[ ]

−=

0j10j001100j01j0

21S (7.57)

Izmjenični napon narinut na pojedinačnu diodu odgovarajuće je:

( ) ( ) ([ ])

( ) ( )[ ]tUtU

tUtUtu

LOLORFRF

LOLORFRF

ωω

ωω

cossin2

1

180cos90cos2

11

−=

=°−+°−= (7.58.a)

( ) ( ) ([ ])

( ) ( )[ ]tUtU

tUtUtu

LOLORFRF

LOLORFRF

ωω

ωω

sincos2

1

90cos180cos2

12

+−=

=°−+°−= (7.58.b)

Zadrži li se samo kvadratni član reda pri aproksimaciji karakteristike diode za male signale (relacija 7.20), struja diode na koju je narinut izmjenični napon odgovarajuće je:

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ([ ]tUttUUtUKtKuti

LOLOLORFLORFRFRF ωωωω 2222

211

coscossin2sin2

+−=

==

) (7.59.a)

217

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )[ ]tUttUUtUKtKuti

LOLOLORFLORFRFRF ωωωω 2222

222

sinsincos2cos2

+−−=

=−= (7.59.b)

gdje je za u1(t) i u2(t) uvrštena odgovarajuće relacija 7.58.a) i 7.58.b), K je konstanta kvadratnog člana, a negativni predznak u izrazu za struju i2(t) posljedica je suprotnog smjera propusne struje odgovarajuće diode. U čvoru električnog kruga razmatranog miješala ispred niskopropusnog filtra (slika 7.13.a) ove struje se zbrajaju, a primjenom jednakosti za kvadrat i umnožak trigonometrijskih funkcija slijedi:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]tUtUUtUKtiti LOLOIFLORFRFRF ωωω 2cossin22cos2

2221 −+−=+

gdje je ωIF = ωRF − ωLO. Pritom se istosmjerna komponenta ovih struja poništava. Na izlazu miješala niskopropusni IF filtar izdvaja željenu međufrekvencijsku komponentu struje:

( ) ( )tUKUti IFLORFIF ωsin−= (7.60) Neka obje diode u sastavu uravnoteženog miješala s hibridnim spojem s faznim zakretom 90° (slika 7.13.a) imaju jednaki faktor refleksije Γ za radiofrekvencijski signal. Na diodi reflektirani val napona radiofrekvencijskog signala odgovarajuće je:

2j

11RF

ΓΓUΓUU −== (7.61.a)

222RF

ΓΓUΓUU −== (7.61.b)

gdje je U1 i U2 odgovarajući upadni val napona radiofrekvencijskog signala određen matricom raspršenja hibridnog spoja (relacija 7.57), a URF je amplituda napona radiofrekvencijskog signala narinutog na odgovarajući ulaz hibridnog spoja. Pomoću matrice raspršenja moguće je odrediti i val napona radiofrekvencijskog signala prenesen s izlaza na odgovarajući ulaz hibridnog spoja:

021

21

22j 21 =+−=−−= RFRF

ΓΓRFΓ ΓUΓUUUU (7.62.a)

RFRFRFΓΓLO

Γ ΓUΓUΓUUUU jj21j

21

2j

212 =+=−−= (7.62.b)

gdje je za UΓ1 i UΓ2 uvrštena odgovarajuće relacija 7.61.a) i 7.61.b). Razvidno je da u savršenom slučaju iščezava reflektirani val napona na RF ulazu hibridnog spoja s faznim zakretom 90° pa je taj pristup prilagođen. Međutim, izoliranje između RF i LO ulaza hibridnog spoja (i obratno jer je to recipročna električna mreža) zavisi o faktoru refleksije na diodi za radiofrekvencijski signal. Nije jednostavna zadaća ostvariti prilagođenje diode za radiofrekvencijski signal u širokom frekvencijskom području. Matrica raspršenja savršenog hibridnog spoja s faznim zakretom 180° je:

218

[ ]

−

−−=

011010011001

0110

2jS (7.63)

Razmatranje slično provedenom pokazuje da je u savršenom slučaju potuno izoliran RF od LO ulaza uravnoteženog miješala s diodama i hibridnim spojem s faznim zakretom 180° (slika 7.13.b). Pritom RF ulaz nije prilagođen. Neovisno o vrsti hibridnog spoja u uravnoteženom miješalu se poništavaju intermodulacijske komponente parnog reda. Treba upozoriti da električni krug uravnoteženog miješala koji sadrži diode mora biti zatvoren za istosmjernu struju. U tu svrhu najčešće je jedna priključnica zavojnice spojena između diode i hibridnog spoja, a preostala priključnica je spojena u zajedničku točku na referentnom električnom potencijalu ili na jedan pol istosmjernog izvora prednapona. Vrijednost induktiviteta zavojnice je tako odabrana da ostvaruje impedanciju vrlo velikog iznosa za radiofrekvencijski signal i signal lokalnog oscilatora bliske frekvencije te impedanciju malog iznosa za međufrekvencijski signal. Na taj način ova zavojnica može zatvoriti i međufrekvencijski električni krug. Katkad su nužni i istosmjerno blokirajući kondenzatori na strani hibridnog spoja prema zavojnici i/ili na strani niskopropusnog filtra prema diodi. Uravnoteženo miješalo s diodama za radiofrekvencije niže od približno 500 MHz najčešće umjesto hibridnog spoja sadrži hibridni transformator s tri namota (slika 7.14). Dva namota sekundara ostvaruju fazni zakret 180° između radiofrekvencijskih signala narinutih na diode. Signal lokalnog oscilatora se dijeli na dva protufazna dijela u namotima sekundara pa se ne prenosi na primarni namot. Uporaba hibridnog transformatora umjesto hibridnog spoja s faznim zakretom 180° rezultira približno jednakim značajkama uravnoteženog miješala s diodama.

RF ulaz

LO ulaz

IF izlaz

niskopropusnifiltar

Slika 7.14. Uravnoteženo miješalo s diodama i hibridnim transformatorom Dvostruko uravnoteženo miješalo s diodama sadrži dva hibridna spoja, ili dva hibridna transformatora, ili njihovu kombinaciju (slika 7.15). Radiofrekvencijski signal je narinut na ulaz ∆ hibridnog spoja s faznim zakretom 180° pa su izlazni signali protufazni. Na ulazu Σ hibridnog spoja prilagođeno je zaključenje. Signal lokalnog oscilatora narinut je na primarni namot hibridnog transformatora. Gubitak pretvorbe dvostruko uravnoteženog miješala malog je iznosa, ali radiofrekvencijski ulaz nije prilagođen. Takvo miješalo ima veliku izolaciju između RF, LO i IF pristupa, najšire dinamičko područje, a odstranjeni su i svi parni harmonici RF i LO signala. Na tablici 7.2. zbirno su prikazane značajke neuravnoteženog, uravnoteženog s hibridnim spojem s faznim zakretom 90°, uravnoteženog s hibridnim spojem s faznim zakretom 180° i dvostruko uravnoteženog miješala s diodama. Pridodane su i značajke uravnoteženog miješala s diodama koje odstranjuje signal zrcalne frekvencije.

219

RF ulaz

LO ulaz

IF izlaz

niskopropusnifiltar

hibridni spoj3 dB, 180°

1 2

34

Σ

∆

Z0

Slika 7.15. Dvostruko uravnoteženo miješalo s diodama

Tablica 7.2. Značajke nekih vrsta miješala s diodama

vrsta miješala

broj dioda

SWR na RF ulazu

izolacija RF-LO ulaza

gubitak pretvorbe

presječna točka 3. reda

neuravnoteženo 1 velik osrednja mali osrednja

uravnoteženo (90°) 2 mali mala mali osrednja

uravnoteženo (180°) 2 osrednji najveća mali osrednja

dvostruko uravnoteženo 4 velik najveća najmanji najviša

s odstranjivanjem zrcalnog signala 2 ili 4 mali velika mali visoka

Spomenuto je da dva različita ulazna radiofrekvencijska signala s kutnom frekvencijom ωRF = ωLO ± ωIF, pomiješana sa signalom lokalnog oscilatora s frekvencijom ωLO, daju na izlazu miješala međufrekvencijske signale jednake frekvencije ωIF. Takav radiofrekvencijski signal je dvobočan; gornjem bočnom pojasu, USB pripada signal s frekvencijom ωLO + ωIF, a donjem bočnom pojasu, LSB signal s frekvencijom ωLO − ωIF. Pomoću miješala koje odstranjuje signal zrcalne frekvencije (engl. image reject mixer) moguće je razdvojiti odgovarajuće međufrekvencijske signale (slika 7.16). Pretvorbu frekvencije naviše moguće je ostvariti jednakim sklopom kojeg se uobičajeno naziva jednobočnim modulatorom (engl. single-sideband modulator). U tom slučaju međufrekvencijski signal je narinut na LSB ili USB pristup IF hibridnog spoja, a izlazni radiofrekvencijski signal je na RF pristupu miješala. Neka je na RF ulaz miješala koje odstranjuje signal zrcalne frekvencije narinut dvobočni signal:

( ) ( )( ) ( )( )tUtUtu IFLOLIFLOURF ωωωω −++= coscos (7.64) gdje je UU i UL amplituda signala odgovarajuće u gornjem i donjem bočnom pojasu.

220

RF hibridni spoj3 dB, 90°

1 2

34

IF hibridni spoj3 dB, 90°

1 2

34

RF ulaz

Z0

ARFu

BRFu

AIFu

BIFu

1u

2u

LSB

USB

LO ulaz

niskopropusnifiltar

niskopropusnifiltar

Slika 7.16. Uravnoteženo miješalo s diodama koje odstranjuje zrcalni signal

Pomoću matrice raspršenja hibridnog spoja s faznim zakretom 90° (relacija 7.57) moguće je odrediti napon radiofrekvencijskog signala na odgovarajućem izlazu (slika 7.16):

( ) ( ) ([ ])

( )( ) ( )( )[ ]tUtU

ttUttUtu

IFLOLIFLOU

IFLOLIFLOUARF

ωωωω

ωωωω

−++=

=°−−+°−+=

sinsin2

1

90cos90cos2

1

(7.65.a)

( ) ( ) ([ ])

( )( ) ( )( )[ ]tUtU

ttUttUtu

IFLOLIFLOU

IFLOLIFLOUBRF

ωωωω

ωωωω

−++−=

=°−−+°−+=

coscos2

1

180cos180cos2

1

(7.65.b)

Nakon miješanja ovih signala sa signalom lokalnog oscilatora (relacija 7.56) na izlazu odgovarajućeg niskopropusnog filtra je međufrekvencijski signal:

( ) ( ) ( tUUKUtu IFLULOA

IF ωsin22

−= ) (7.66.a)

( ) ( ) ( tUUKUtu IFLULOB

IF ωcos22

+−= ) (7.66.b)

gdje je K konstanta kvadratnog člana aproksimacije stvarne karakteristike diode za male signale. Ovi međufrekvencijski signali su narinuti na odgovarajuće ulaze hibridnog spoja s faznim zakretom 90°. Pomoću matrice raspršenja hibridnog spoja (relacija 7.57) moguće je odrediti odgovarajući napon signala na LSB i USB izlazu miješala:

( ) ( ) ( ) ( ) ([ ])

( )tUKU

tUUtUUKUtu

IFLLO

IFLUIFLULO

ω

ωω

cos2

180cos90sin41

=

=°−+−°−−= (7.67.a)

221

( ) ( ) ( ) ( ) ([ ])

( )tUKU

tUUtUUKUtu

IFULO

IFLUIFLULO

ω

ωω

sin2

90cos180sin42

−=

=°−+−°−−= (7.67.b)

Fazni zakret između signala u bočnim pojasevima je 90°. Kod miješala koje odstranjuje signal zrcalne frekvencije gubici, a time i faktor šuma, uobičajeno su veći nego kod miješala jednostavnije topologije. Osim toga, teško je ostvariti hibridni spoj s faznim zakretom 90° na razmjerno niskoj međufrekvenciji.

222

8. OSCILATORI I SINTEZATORI FREKVENCIJE U radiokomunikacijskom sustavu oscilatori i sintezatori frekvencije su izvor signala točne frekvencije. Takvi sklopovi generiraju prijenosni signal u odašiljaču i signal lokalnog oscilatora nužan za pretvorbu frekvencije u prijamniku. Jednostavni oscilator s tranzistorom najčešće nema dostatnu stabilnost frekvencije i niskošumna svojstva kakva iziskuju suvremeni radiosustavi. Primjerice, uobičajeni zahtjev je relativna promjena frekvencije pri promjeni temperature u rasponu od 2·10−6/°C do 0,5·10−6/°C ili razina faznog šuma u rasponu od −80 dBc/Hz do −110 dBc/Hz na frekvenciji pomaknutoj za 10 kHz od prijenosne. Oscilator stabiliziran kristalom kvarca ili mikrovalnim rezonatorom može ostvariti izvor signala točne frekvencije. Na temelju takvog signala moguće je postupkom sinteze frekvencije generirati veliki broj točnih frekvencija s proizvoljnim korakom. Zato su sintezatori frekvencije neizostavna komponenta višekanalnog radiosustava. 8.1. Radiofrekvencijski oscilatori U najširem značenju oscilator je nelinearni električni krug koji snagu istosmjernog izvora pretvara u izmjenični valni oblik. Oscilatori u sastavu radiouređaja najčešće generiraju sinusoidalni signal jer se tako smanjuje razinu neželjenih harmoničkih komponenti i širinu bočnih pojaseva, odnosno razinu šuma. Načelo rada oscilatora s izlaznim sinusoidalnim signalom moguće je prikazati linearnim krugom povratne veze (slika 8.1).

A

H(ω)

Ui(ω) Uo(ω)+

Slika 8.1. Blok-shema oscilatora sa sinusoidalnim signalom Napon Uo je na izlazu pojačala s naponskim pojačanjem A. Dio tog napona mreža povratne veze s frekvencijski zavisnom prijenosnom funkcijom H(ω) prenosi na ulaz kruga gdje mu se pribraja ulazni napon Ui. Izlazni napon je:

( ) ( ) ( ) ( )ωωωω oio UAHAUU += (8.1) pa je zavisnost napona na izlazu o naponu na ulazu razmatranog kruga:

( ) ( ) ( )ωω

ω io UAHAU

−=

1 (8.2)

gdje je ω kutna frekvencija sinusoidalnog signala. Ako na određenoj frekvenciji nazivnik u ovoj relaciji iščezava, AH(ω) = 1, onda izlazni napon može biti konačan i u slučaju kad ulazni

223

napon iščezava. U ovom uvjetu za nastup oscilacija s određenom frekvencijom (Nyquistov ili Barkhausenov kriterij) sadržan je zahtjev da je na toj frekvenciji pojačanje petlje jediničnog iznosa i da je fazni zakret u petlji 0° (ili 2nπ, za n = 0, 1, 2, ...). U razmatranom krugu oscilacije započinju kao posljedica male poremetnje, na primjer učina šuma ili prijelazne pojave pri uključivanju istosmjernog napajanja. Redovito je u početnom trenutku iznos pojačanja petlje veći od jedan, |AH(ω)| > 1 pa se amplituda signala na izlazu eksponencijalno povećava s vremenom. Uz dostatno veliku amplitudu signala nastupa zasićenje pojačala, odnosno smanjenje pojačanja petlje dok se ne ustali amplituda signala na izlazu oscilatora. Za razliku od pojačala, rad oscilatora ovisi o nestabilnosti električnog kruga. Brojne vrste radiofrekvencijskih oscilatora s bipolarnim ili unipolarnim tranzistorom najčešće se razlikuju oblikom mreže povratne veze. Sve takve inačice moguće je nadomjestiti općenitim krugom oscilatora prikazanim na slici 8.2. Pritom je aktivni element nadomješten pojednostavljenom, unilateralnom mrežom koja vrijedi za male signale. Tako je moguće odrediti frekvenciju osciliranja jer oscilacije započinju s niskom razinom signala. Želi li se odrediti amplitudu ustaljenih oscilacija treba analizirati nelinearni električni krug.

gm(U1-U2) GoGi

baza/uprav.elektroda

emiter/uvod

kolektor/odvodU1

Y1 U1-U2

Y2

Y3 U2

U3

U4

U2

mreža povratne veze BJT/FET

emiter/uvod

Slika 8.2. Nadomjesni krug općenitog radiofrekvencijskog oscilatora Zbog jednostavnosti je pretpostavljena realna vrijednost svih elemenata nadomjesnog kruga tranzistora (slika 8.2): ulazne i izlazne admitancije, odgovarajuće Gi i Go te strmine (transkonduktancije) gm. Mreža povratne veze najčešće sadrži samo reaktivne elemente (zavojnice i kondenzatore) odgovarajućih admitancija Y1, Y2 i Y3. To je frekvencijski selektivna mreža s faktorom kakvoće, Q redovito velike vrijednosti. Bilo koja priključnica tranzistora može biti spojena u točku referentnog električnog potencijala; na primjer za bipolarni tranzistor u spoju zajedničkog emitera napon odgovarajuće priključnice iščezava, U2 = 0 V. Povratnu vezu moguće je ostvariti kratkospajanjem određenih čvorova razmatrane mreže; na primjer kratki spoj priključnice kolektora i čvora između elemenata s admitancijom Y2 i Y3 uzrokuje jednakost odgovarajućih napona, U4 = U3. Primijenom Kirchoffovog pravila za struju na razmatrani nadomjesni krug oscilatora (slika 8.2) slijedi sustav jednadžbi kojeg je moguće iskazati u matričnom obliku:

( ) ( )( ) ( )

( )( )

0

00

0

4

3

2

1

3223

2211

3131

=

+−+−−

−−++++++−−+−++

UUUU

GgGgYYYY

GYgGGYYgGYYGYGYY

omom

omoimi

ii

(8.3)

224

Valja podsjetiti da spajanje i-tog čvora električne mreže u točku referentnog električnog potencijala, Ui = 0 eliminira i-ti redak i i-ti stupac matrice admitancije, odnosno snizuje red matrice za jedan. Jednak učin na red matrice admitancije ima kratki spoj i-tog i j-tog čvora električne mreže, Ui = Uj. Pritom se zbraja i-ti i j-ti redak te i-ti i j-ti stupac. Neka oscilator sadrži bipolarni spojni tranzistor u spoju zajedničkog emitera i povratnu vezu s kolektora pa je U2 = 0 i U3 = U4 = U. U tom slučaju matrica admitancije nadomjesnog kruga oscilatora (relacija 8.3) je drugog reda:

(8.4)

Ako mreža povratne veze sadrži samo reaktivne elemente bez gubitaka, onda je Y1 = jB1, Y2 = jB2 i Y3 = jB3. Strmina, gm i ulazna vodljivost bipolarnog tranzistora, Gi imaju realnu vrijednost, a izlazna vodljivost osim toga ima i zanemarivo malu vrijednost, Go ≈ 0. Relacija 8.4. vrijedi za konačne vrijednosti napona U1 i U ako iščezava determinanta matrice admitancije pa je uz navedene pretpostavke:

( )( ) ( ) 01

323

331 =

++−

−++UU

GYYYgYGYY

om

i

( )( ) 0jj

jj

323

331 =+−

−++BBBg

BBBG

m

i (8.5)

Izjednačavanje realnog i imaginarnog dijela determinante s ništicom daje dvije jednadžbe:

0111

321

=++BBB

(8.6.a)

0111

23

=

++

BGg

B i

m (8.6.b)

Recipročna vrijednost susceptancije jednaka je reaktanciji, X1 = 1/Y1, X2 = 1/Y2 i X3 = 1/Y3 pa je moguće relaciju 8.6.a) prikazati u obliku:

0321 =++ XXX (8.7.a) Ako se pomoću relacije 8.6.a) eliminira susceptancija B3 iz relacije 8.6.b) i susceptancije zamijene reaktancijama, onda je:

21 XGgX

i

m= (8.7.b)

Veličine gm i Gi imaju samo pozitivne vrijednosti pa relacija 8.7.b) pokazuje da su X1 i X2 istovrsne reaktancije, odnosno odgovarajući elementi mreže povratne veze su ili kondenzatori ili zavojnice. U tom slučaju prema relaciji 8.7.a) reaktancija X3 je suprotne vrste. Colpittsov oscilator u mreži povratne veze sadrži kondenzator na mjestu reaktancije X1 i X2 te zavojnicu na mjestu reaktancije X3. Neka je X1 = −1/(ω0C1), X2 = −1/(ω0C2) i X3 = ω0L3 pa je prema relaciji 8.7.a):

225

011130

210

=+

+− L

CCω

ω

što određuje kutnu frekvenciju izlaznog signala:

21

21

30

1CC

CCL

+=ω (8.8)

Uvrštavanje izraza za reaktanciju X1 i X2 u relaciju 8.7.b) daje nužni uvjet osciliranja:

i

m

Gg

CC

=1

2 (8.9)

Na slici 8.3.a) prikazan je električni krug Colpittsovog oscilatora s bipolarnim tranzistorom u spoju zajedničkog emitera.

UCC

CE

R1

L3

C1

C2

R2 RE

RC

Cc

izlaz

a)

R1

UCC

C3RC

L1

L2

R2 RE CE

Cc

izlaz

b)

Slika 8.3. Električni krug oscilatora s BJT u spoju zajedničkog emitera: a) Colpittsov oscilator; b) Hartleyev oscilator

Hartleyev oscilator u mreži povratne veze sadrži reaktancije suprotne vrste od Colpittsovog oscilatora; na mjestu reaktancije X1 i X2 zavojnicu, a na mjestu reaktancije X3 kondenzator. Neka je X1 = ω0L1, X2 = ω0L2 i X3 = −1/(ω0C3) pa je prema relaciji 8.7.a):

( ) 01

30210 =−+

CLL

ωω

što određuje kutnu frekvenciju izlaznog signala:

( )2130

1LLC +

=ω (8.10)

Uvrsti li se izraz za reaktanciju X1 i X2 u relaciju 8.7.b) slijedi nužni uvjet osciliranja:

226

i

m

Gg

LL

=2

1 (8.11)

Električni krug Hartleyevog oscilatora s bipolarnim tranzistorom u spoju zajedničkog emitera prikazan je na slici 8.3.b). Naravno, Colpittsov ili Hartleyev oscilator moguće je ostvariti i s nekom drugom priključnicom tranzistora spojenom u točku referentnog električnog potencijala. Neka oscilator sadrži tranzistor s efektom polja u spoju zajedničke upravljačke elektrode i povratnu vezu s odvoda pa je U1 = 0 i U3 = U4 = U (slika 8.2). U tom slučaju matrica admitancije nadomjesnog kruga oscilatora je drugog reda, a relacija 8.3. se sažima u oblik:

( ) ( )( ) ( ) 02

322

221 =

++++−

+−++++UU

GYYgGYGYgGGYY

omo

omoi (8.12)

Mreža povratne veze sadrži samo reaktivne elemente bez gubitaka pa im je admitancija jednaka susceptanciji. Strmina, gm i izlazna vodljivost tranzistora s efektom polja, Go imaju realnu vrijednost, a ulazna vodljivost ima i zanemarivo malu vrijednost, Gi ≈ 0. Relacija 8.12. vrijedi za konačne vrijednosti napona U2 i U ako iščezava determinanta matrice admitancije pa je uz navedene pretpostavke:

( ) ( )( ) ( ) 0

jjjj

322

221 =++−+−

−−+++BBGBgG

BGBBgG

omo

omo (8.13)

Izjednačavanje realnog i imaginarnog dijela determinante s ništicom daje dvije jednadžbe:

0111

321

=++BBB

(8.14.a)

( ) 01

13

=++B

gGBG

moo (8.14.b)

Recipročna vrijednost susceptancije jednaka je reaktanciji pa je moguće relaciju 8.14.a) prikazati u obliku:

0321 =++ XXX (8.15.a) Koristeći relaciju 8.14.a) za eliminiranje susceptancije B3 iz relacije 8.14.b) i zamjenom susceptancije s reaktancijom slijedi:

12 XGgX

o

m= (8.15.b)

Veličine gm i Go imaju samo pozitivne vrijednosti pa relacija 8.15.b) pokazuje da su X1 i X2 istovrsne reaktancije, a prema relaciji 8.15.a) reaktancija X3 je suprotne vrste. Mreža povratne veze Colpittsovog oscilatora s FET-om u spoju zajedničke upravljačke elektrode sadrži kapacitivnu reaktanciju X1 = −1/(ω0C1) i X2 = −1/(ω0C2) te induktivnu reaktanciju X3 = ω0L3 pa je prema relaciji 8.15.a) kutna frekvencija izlaznog signala:

227

21

21

30

1CC

CCL

+=ω (8.16)

Ova relacija jednaka je relaciji 8.8. za kutnu frekvenciju signala na izlazu Colpittsovog oscilatora s bipolarnim tranzistorom u spoju zajedničkog emitera. Rezultat je očekivan jer je frekvencija izlaznog signala određena mrežom povratne veze koja je u oba slučaja jednaka. Relacija 8.15.b) određuje nužni uvjet osciliranja:

o

m

Gg

CC

=2

1 (8.17)

Za Hartleyev oscilator s FET-om u spoju zajedničke upravljačke elektrode mreža povratne veze sadrži induktivnu reaktanciju X1 = ω0L1 i X2 = ω0L2 te kapacitivnu reaktanciju X3 = −1/(ω0C3) pa je kutna frekvencija izlaznog signala (relacija 8.15.a):

( )2130

1LLC +

=ω (8.18)

Očekivano, ovaj rezultat jednak je relaciji 8.10. za kutnu frekvenciju signala na izlazu Hartleyevog oscilatora s bipolarnim tranzistorom u spoju zajedničkog emitera. Nužni uvjet osciliranja je (relacija 8.15.b):

o

m

Gg

LL

=1

2 (8.19)

Provedeno razmatranje oscilatora je krajnje pojednostavljeno. Međutim, uspješno projektiranje oscilatora nije moguće ako se ne razmotri učin reaktancije pridružene ulaznom i izlaznom pristupu tranzistora, promjene temperature, prednaponske mreže i gubitaka u reaktivnim elementima. Redovito se pritom koristi dostupne programe za projektiranje oscilatora pomoću računala. Razmjerno lako je obuhvatiti učin gubitaka u reaktivnim elementima mreže povratne veze, na primjer u zavojnici. Neka je zavojnica u sastavu Colpittsovog oscilatora s bipolarnim tranzistorom u spoju zajedničkog emitera nadomještena serijski spojenim otporom i induktivitetom, Z3 = 1/Y3 = R + jω0L3. Uvrsti li se Y3 u relaciju 8.4. i ponovi provedeni postupak moguće je odrediti kutnu frekvenciju signala na izlazu razmatranog oscilatora:

21

21

321312130

1111111CC

CCLCCLC

RGCCL

i

′+′

=

+

′=

++=ω (8.20)

gdje je:

iRGCC

+=′

11

1 (8.21)

i uvjet osciliranja:

1

3

2120

1

CL

CCGg

GR i

m

i

−+

=ω

(8.22)

228

Uvjet osciliranja određuje najveću vrijednost serijskog otpora zavojnice, R za koju još nastupaju oscilacije; stvarna zavojnica mora imati gubitke manje od te granične vrijednosti. Primjer 8.1. Projektirati Colpittsov oscilator s bipolarnim tranzistorom u spoju zajedničkog emitera za izlazni signal s frekvencijom 50 MHz. Faktor strujnog pojačanja tranzistora je β = gm/Gi = 30, ulazni otpor mu je Ri = 1/Gi = 1200 Ω, a dostupna je zavojnica s induktivitetom L3 = 0,10 µH i faktorom kakvoće Q = 100. Kolika je najmanja vrijednost Q faktora zavojnice za koju još nastupaju oscilacije? Prema relaciji 8.20. kapacitet serijski spojenih 1C ′ i C2 je:

( ) pF 3,1011010,010502

11626

32021

21 =⋅⋅⋅⋅

==+′′

−πω LCCCC

Neka je između brojnih mogućnosti odabrano pF. 20021 ≈=′ CC Poznata je zavisnost faktora kakvoće zavojnice o serijskom otporu, Q = ωL/R pa je serijski otpor razmatrane zavojnice:

Ω=⋅⋅⋅⋅

==−

31,0100

1010,010502 6630 πω

QLR

Prema relaciji 8.21. kapacitet kondenzatora C1 je:

( ) pF 05,2001200

31,01102001 1211 =

+⋅=+′= −

iRGCC

praktično nepromijenjen u odnosu na vrijednost .1C ′ Uvrštavanje odgovarajućih vrijednosti u relaciju 8.22:

1

3

2120

1CL

CCGR

i

−+

=ω

β

( ) ( ) 12

6

21226 102001010,0

1020010502301120031,0 −

−

− ⋅⋅

−⋅⋅⋅

+<⋅

π

4,7352372 <

pokazuje da je ispunjen uvjet osciliranja za razmatrani oscilator. Najveća vrijednost serijskog otpora, odnosno najmanja vrijednost faktora kakvoće zavojnice za koju još nastupaju oscilacije odgovarajuće je:

Ω==

−

+= 13,6

12004,735211

1

3

2120

max CL

CCRR

i ωβ

1,513,6

1010,010502 66

max

30min =

⋅⋅⋅⋅==

−πωR

LQ

229

Prema Nyquistovom kriteriju oscilacije nastupaju na frekvenciji na kojoj je fazni zakret u petlji povratne veze 0°. Ako petlja povratne veze sadrži rezonantni krug s velikim faktorom kakvoće, onda je u okolišu rezonantne frekvencije iznimno brza promjena faznog zakreta. Tako je moguće ostvariti oscilator primjerene stabilnosti frekvencije. Na frekvencijama nižim od nekoliko stotina megaherca za tu svrhu prikladan je kristal kvarca, SiO2. Dok LC rezonantni krug rijetko ima Q faktor veći od nekoliko stotina kristal kvarca može imati vrijednost Q faktora neopterećenog kruga čak 100 000 i temperaturno zanošenje (engl. temperature drift) frekvencije manje od 0,001 %/°C. Oscilator stabiliziran kristalom ima široku primjenu u radiouređajima kao izvor signala točne frekvencije. Nadzorom temperature kristala moguće je povećati stabilnost frekvencije. Rezonator ostvaren kristalom sadrži pločicu kvarca između dvije elektrode. Pomoću piezoelektričnog učina moguće je pobuditi vibracije u kristalu. Na slici 8.4.a) prikazan je nadomjesni krug takvog rezonatora u okolišu najniže rezonancije. Pritom je C0 kapacitet između elektroda, a induktivitet L nadomješta masu kristala, kapacitet C elastičnost i otpor R trenje koje je uzrokom zagrijavanja pločice.

0

X

ωωs

ωp

L

R

C

C0

a) b)

Slika 8.4. Rezonator s kristalom kvarca: a) nadomjesni krug; b) ulazna reaktancija

Na prikazu frekvencijske zavisnosti ulazne reaktancije nadomjesnog kruga rezonatora (slika 8.4.b) postoji serijska i paralelna rezonancija na odgovarajućoj kutnoj frekvenciji:

LCs1

=ω (8.23.a)

CCCCL

p

+

=

0

0

1ω (8.23.b)

Razabire se da je između ove dvije rezonantne frekvencije reaktancija induktivna. To znači da u tom uskom frekvencijskom području kristal kvarca može zamijeniti zavojnicu u električnom krugu oscilatora. Takva je primjena ostvarena u krugu Pierceovog oscilatora s kristalom kvarca (slika 8.5). U brojnim primjenama presudna je mogućnost promjene frekvencije oscilatora, na primjer kod lokalnog oscilatora u prijamniku višekanalnog radiosustava. Frekvencija signala na izlazu oscilatora određena je LC mrežom povratne veze pa je nužna promjena njezinog induktiviteta ili kapaciteta. Najčešće se koristi elektroničku promjenu kapaciteta koju omogućuje varaktor (engl. varactor). To je dioda kod koje kapacitet pn spoja zavisi o narinutom istosmjernom naponu nepropusne polarizacije. Uobičajena je promjena kapaciteta pn spoja u rasponu od 5 pF do 30 pF pri promjeni napona nepropusne polarizacije od 20 V do

230

1 V. Sklop s takvom mogućnošću promjene frekvencije izlaznog signala naziva se naponom upravljani oscilator (VCO, engl. voltage-controlled oscillator). Frekvencija izlaznog signala razmjerna je C1 pa je moguća linearna promjena frekvencije s naponom upravljanja, U ako je kapacitet pn spoja razmjeran 1/U 2. Varaktor s iznimno strmim prijelazom na pn spoju (engl. hyperabrupt junction) ima približno takvu značajku.

R2 RE

C1

C2

Cc

CE

izlaz

kristalkvarca

UCC

R1

RC

Slika 8.5. Krug Pierceovog oscilatora s kristalom kvarca Varaktor se najčešće spaja serijski ili paralelno s kondenzatorom u mreži povratne veze oscilatora. Tako se ostvaruje dobru ugodljivost frekvencije izlaznog signala. Na slici 8.6. prikazan je električni krug Clappovog oscilatora s varaktorom spojenim paralelno kondenzatorima u mreži povratne veze. Naravno, treba onemogućiti značajniji utjecaj istosmjerne prednaponske mreže tranzistora i varaktora na rad oscilatora. Uobičajeno se za tu namjenu rabi istosmjerno i izmjenično blokirajuće kondenzatore te radiofrekvencijske prigušnice.

RC

RB

UCC

RE

C1

C2

Cc

Cb

izlaz

Cb

L3

UDD

varaktor

Slika 8.6. Krug naponom upravljanog Clappovog oscilatora

Redovito je moguće varaktor dodati radiofrekvencijskom oscilatoru s bipolarnim ili unipolarnim tranzistorom. Rezultirajući naponom upravljani oscilator važna je komponenta sintezatora frekvencije i fazom sinkronizirane petlje. Neki od brojnih parametara naponom upravljanog oscilatora su radna frekvencija, područje promjene frekvencije, jednobočni fazni

231

šum, osjetljivost i linearnost moduliranja, nepromjenljivost razine izlaznog signala, zanošenje nakon promjene frekvencije, preskok na neželjenu frekvenciju, parazitni izlazni signali te utjecaj temperature, izvora napajanja i vibracija. 8.2. Mikrovalni oscilatori Projektiranje oscilatora za mikrovalne frekvencije različito je od postupka korištenog na nižim radiofrekvencijama. Posljedica je to različitih značajki aktivnih elemenata, posebnog načina ostvarivanja pasivnih elemenata električnog kruga uključujući i rezonatore te specifične tehnike mjerenja. Osim tranzistora za mikrovalne oscilatore svojstvena je uporaba lavinske (IMPATT, engl. impact avalanche transit time) i Gunnove diode. To su aktivni elementi s jednim pristupom koji u određenoj radnoj točki ostvaruju ulaznu impedanciju s negativnim realnim dijelom.

Na slici 8.7. prikazan je nadomjesni krug oscilatora s negativnim otporom. Pritom ulazna impedancija aktivnog elementa s jednim pristupom, Zin(I, jω) = Rin(I, jω) + jXin(I, jω) zavisi o električnoj struji, I (ili naponu) i kutnoj frekvenciji, ω. Aktivni element je zaključen impedancijom pasivnog opterećenja ZL = RL + jXL.

jXin

Rin

jXL

RLΓL Γin

(ZL) (Zin)element snegativnim

otporom

I

Slika 8.7. Nadomjesni krug oscilatora s negativnim otporom Primjena Kirchoffovog pravila za napon na ovaj krug rezultira jednadžbom:

( ) 0=+ IZZ inL (8.24) Ako su nastupile oscilacije u krugu pa struja I ima konačnu vrijednost, onda vrijede uvjeti:

0=+ inL RR (8.25.a)

0=+ inL XX (8.25.b) Uzgred, ove relacije odgovaraju izjednačavanju s ništicom realnog i imaginarnog dijela determinante matrice admitancije nadomjesnog kruga oscilatora s tranzistorom u relaciji 8.5. i 8.13. Pasivno opterećenje ima pozitivni realni dio impedancije, RL > 0 pa uvjet osciliranja (relacija 8.25.a) iziskuje negativni realni dio ulazne impedancije aktivnog elementa, Rin < 0. Pritom pozitivna vrijednost otpora označava rasipanje energije u električnom krugu, a negativna vrijednost otpora odgovara izvoru energije. Relacijom 8.25.b) određena je frekvencija osciliranja. Uvjet za ustaljene oscilacije koji slijedi iz relacije 8.24, ZL = −Zin moguće je iskazati pomoću odgovarajućeg faktora refleksije na opterećenju, ΓL i faktora refleksije na aktivnom elementu, Γin (slika 8.7):

232

inin

in

in

in

L

LL ΓZZ

ZZZZZZ

ZZZZΓ 1

0

0

0

0

0

0 =−+

=+−−−

=+−

= (8.26)

gdje je Z0 impedancija normalizacije. Proces osciliranja ovisi o nelinearnim svojstvima ulazne impedancije aktivnog elementa. U početnom trenutku nužna je nestabilnost električnog kruga, Rin(I, jω) + RL < 0 na određenoj frekvenciji. U tom slučaju oscilacije s kutnom frekvencijom ω započinju kao posljedica male poremetnje, na primjer učina šuma ili prijelazne pojave pri uključivanju istosmjernog napajanja. Početno povećanje amplitude struje I smanjuje iznos negativnog otpora aktivnog elementa, Rin(I, jω) dok se za amplitudu struje I0 ne uspostavi jednakost Rin(I0, jω0) + RL = 0 i Xin(I0, jω0) + XL(jω0) = 0. Tada se ustale oscilacije u razmatranom krugu. Općenito, kutna frekvencija ustaljenih oscilacija, ω0 nije jednaka kutnoj frekvenciji ω na kojoj nastupaju oscilacije jer ulazna reaktancija aktivnog elementa, Xin zavisi o amplitudi struje pa je Xin(I, jω) ≠ Xin(I0, jω0). Ustaljene oscilacije se mogu održati samo u električnom krugu u kojem se prigušuje svaka poremetnja struje I0 i kutne frekvencije ω0. Bjelodano uvjet osciliranja određen samo relacijom 8.25.a) nije dostatan za ustaljene oscilacije. Neka je u razmatranom krugu oscilatora s negativnim otporom nastupila mala promjena struje, δI i mala promjena kompleksne frekvencije s = α + jω, δs = δα + jδω. Ukupna impedancija kruga funkcija je dvije varijable, ZT(I, s) = Zin(I, s) + ZL(s) koju je moguće razviti u Taylorov red u okolišu radne točke I0, ω0:

( ) ( ) 0δδ,,0000 ,,

00 =∂

∂+

∂∂

+= II

Zss

ZsIZsIZIs

T

Is

TTT (8.27)

gdje je s0 = jω0 kompleksna frekvencija u radnoj točki, a skraćeni Taylorov red je izjednačen s ništicom jer ZT(I, s) iščezava ako u razmatranom krugu postoje oscilacije. Pomoću ove relacije uz jednakosti ZT(I0, ω0) = 0 i ω∂∂−=∂∂ TT ZsZ j moguće je odrediti δs:

( )( ) IZ

ZIZIsZIZs

T

TT

IsT

T δjδδjδδ 2

*

, 00ω

ωωα∂∂

∂∂∂∂−=

∂∂∂∂−

=+= (8.28)

Ako treba prigušiti malu promjenu struje i kutne frekvencije, odgovarajuće δI i δω, onda mora biti δα < 0. Realni dio izraza s desne strane posljednjeg znaka jednakosti u relaciji 8.28. nastaje množenjem imaginarnog dijela s imaginarnom jedinicom pa je uvjet δα < 0 za δI > 0 moguće prikazati u obliku:

0Im*

<

∂∂

∂∂

ωTT Z

IZ

ili

0>∂∂

∂∂

−∂

∂∂

∂ωω

TTTT RI

XXI

R (8.29)

Za impedanciju pasivnog opterećenja vrijedi ∂RL/∂I = ∂XL/∂I = ∂RL/∂ω = 0 pa se relacija 8.29. sažima u oblik:

( ) 0>∂∂

∂∂

−+∂∂

∂∂

ωωinin

inLin R

IXXX

IR (8.30)

233

Najčešće je ∂Rin/∂I > 0 pa nejednakost 8.30. vrijedi ako je ∂(XL + Xin)/∂ω >> 0. To znači da će ustaljene oscilacije ostvariti krug s velikim faktorom kakvoće, Q. Zato mikrovalni oscilator redovito sadrži rezonator ostvaren šupljinom, prijenosnom linijom ili dielektrični. Kao i u slučaju radiofrekvencijskog oscilatora provedeno razmatranje mikrovalnog oscilatora krajnje je pojednostavljeno. Projektiranje mikrovalnog oscilatora između ostalog uključuje odabir radne točke aktivnog elementa te razmatranje učina velikih signala, povlačenja frekvencije osciliranja zbog promjene impedancije opterećenja i značajki šuma. Primjer 8.2. Oscilator s negativnim otporom sadrži diodu s faktorom refleksije na pristupu Γin = 1,25∠40° na frekvenciji 6,0 GHz (impedancija normalizacije 50 Ω). Projektirati prilagodnu mrežu za impedanciju zaključenja 50 Ω, a prilagođenje na pristupu diode ostvariti jednim ogrankom prijenosne linije. Prilagodnu mrežu na pristupu diode u obliku odsječka prijenosne linije s paralelno spojenim, otvorenim ogrankom moguće je odrediti pomoću Smithovog dijagrama (slika 8.8).

1.0

0.9

0.8

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0 0.1

0.2

0.3

0.4

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

2.0

3.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

2.0

6.0

7.0

8.0

9.010

1.00.90.

8

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

2.0

6.0

7.08.0

9.010

160

140

120

100 80

60

40

20

0

-20

-40

-60

-80-100

-120

-140

-160

±180

170

150

130

110

90

70

50

30

10-10

-30

-50

-70

-90

-110

-130

-150

-170

0. 250.24

0.23

0.22

0.21

0.20

0.19

0.18

0.17

0.16

0.150.14

0.130.120.11

0.10

0.09

0.08

0.07

0.06

0.05

0.04

0.03

0.02

0.01

0.00

0.49

0.48

0.47

0.46

0.45

0.44

0.43

0.42

0.41

0.400.39

0.38 0.370.36

0.35

0.34

0.33

0.32

0.31

0.30

0.29

0.28

0.270.26

0 .250.26

0.27

0.28

0.29

0.30

0.31

0.32

0.33

0.34

0.350.36

0.370.380.39

0.40

0.41

0.42

0.43

0.44

0.45

0.46

0.47

0.48

0.49

0 .00

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

0.100.11

0.12 0.130.14

0.15

0.16

0.17

0.18

0.19

0.20

0.21

0.22

0.230.24

Wav

elen

gths

Tow

ard

Gen

erat

or

205.0

4.0

0.5

3.0

4.0

5.0

5.0

4.0

3.0

InC

oefficientR

eflectionD

egreesAngle

Of

Resistance Component (R/Z0), Or Conductance Component (G/Y0)

Indu

ctiv

eRe

acta

nce Co

mpo

nent

(+jX/Z 0

),Or C

apacitive

Susceptance (+jB/Y0)

0.6

0.7

CapacitiveReactanceCom

ponent

(-jX/Z

0),OrI

nduc

tive

Susc

epta

nce

(-jB/

Y0)

0.7

0.6

Load

Tow

ard

Wav

elen

gths

20

20

50

50

50

10

zL

yL

1-j2,68

1+j2,68

SWR=9,0

l2

d2

l1d1

a)

Slika 8.8. Oscilator s negativnim otporom za primjer 8.2: a) Smithov dijagram za prilagodnu mrežu na pristupu diode

234

Pritom je korišten postupak opisan u primjeru 2.6. Prema relaciji 8.26. ulazna impedancija diode:

( )( ) ( )Ω+−=

−°∠+°∠

−=−+

−= 11,124j45,4314025,114025,150

11

0in

inin Γ

ΓZZ

očekivano ima negativni realni dio. Impedancija pasivnog opterećenja kojim je zaključena dioda je (relacija 8.25):

( )Ω−=−= 11,124j45,43inL ZZ Na Smithov dijagram ucrtana je točka normalizirane impedancije zL = 0,87 − j2,48 koju ostvaruje prilagodna mreža na pristupu diode zaključena impedancijom Z0 = 50 Ω (slika 8.8.a). Pravac kroz središte Smithovog dijagrama i točku normalizirane admitancije yL = 0,124 + j0,359 određuje na skali valne duljine prema opterećenju, WTL vrijednost 0,4444λ. Kružnica konstantnog SWR = 9,0 siječe kružnicu 1 + jb u dvije točke Pravac kroz središte Smithovog dijagrama i svaku od ovih točaka određuje na WTL skali odgovarajuće vrijednosti 0,199λ i 0,301λ pa je duljina odsječka prijenosne linije:

.68,2j1m

( ) λλλ 255,0199,04444,05,01 ≈+−=d ( ) λλλ 357,0301,04444,05,02 ≈+−=d Normalizirana ulazna admitancija ogranka prijenosne linije odgovarajuće je Na skali valne duljine prema generatoru, WTG referentni položaj normalizirane admitancije zaključenja ogranka (otvoreni krug) je 0λ pa je duljina ogranka prijenosne linije:

.68,2jm

λ307,01 =l λ193,02 =l Za prilagodnu mrežu na pristupu diode odabrana je duljina odsječka i paralelno spojenog, otvorenog ogranka prijenosne linije odgovarajuće 0,255λ i 0,307λ (slika 8.8.b). Pritom je karakteristična impedancija prijenosne linije Z0 = 50 Ω, a krug oscilatora nužno sadrži i prednaponsku mrežu koja ostvaruje radnu točku diode.

b)

Z050 Ω

50 Ω0,255λ

50 Ω0,307λ

ΓL

(ZL)Γin

(Zin)

dioda

Slika 8.8. (nastavak): b) radiofrekvencijski dio električnog kruga

Oscilator s negativnim otporom umjesto diode može sadržavati potencijalno nestabilni tranzistor (slika 8.9). Ulaznu impedanciju s negativnim realnim dijelom ostvaruje tranzistor na izlazu zaključen mrežom s faktorom refleksije, ΓT u nestabilnom području. Pri odabiru vrijednosti ΓT moguće je koristiti kružnicu stabilnosti na izlazu tranzistora. Tranzistor je na ulazu zaključen opteretnom mrežom čije su značajke jednake kao i u slučaju aktivnog

235

elementa s jednim pristupom. Najčešće se pri projektiranju zaključne mreže tranzistora koristi S parametre za male signale, a osim toga s povećanjem amplitude osciliranja smanjuje se negativna vrijednost realnog dijela ulazne impedancije tranzistora, Rin. Zato je nužno odabrati realni dio impedancije opteretne mreže, RL tako da je RL + Rin < 0; u suprotnom započete oscilacije mogu iščeznuti. Uobičajeno je odabrati:

3in

LRR −= (8.31.a)

Imaginarni dio impedancije opteretne mreže uzrokuje rezonanciju ulaznog kruga tranzistora na željenoj frekvenciji osciliranja:

inL XX −= (8.31.b) Izlazni pristup oscilatora je ili u ulaznom ili u izlaznom krugu tranzistora jer u njima istovremeno nastupe oscilacije. Najčešće se rabi bipolarni (unipolarni) tranzistor u spoju zajedničkog emitera (uvoda) ili zajedničke baze (upravljačke elektrode), a nerijetko je nestabilnost elementa povećana pozitivnom povratnom vezom.

ΓinΓL Γout ΓT

opteretnamreža na

ulazu

tranzistor[S]

zaključnamreža na

izlazu

(ZL) (Zin) (Zout) (ZT)

Slika 8.9. Blok-shema oscilatora s negativnim otporom ostvarenim tranzistorom Relacijom 8.26. određen je uvjet za ustaljene oscilacije, ΓLΓin = 1 ili ZL = −Zin u oscilatoru s negativnim otporom. Ako se u relaciji 6.6.a) zamijeni ΓL s ΓT (u skladu s oznakom na slici 8.9), faktor refleksije na ulazu tranzistora je:

T

T

T

T

Lin ΓS

∆ΓSΓSΓSSS

ΓΓ

22

11

22

211211 11

1−

−=

−+== (8.32)

gdje je ∆ = S11S22 − S12S21 determinanta matrice raspršenja. Faktor refleksije na pristupu zaključne mreže je:

L

LT ∆ΓS

ΓSΓ−

−=

22

111 (8.33)

Zamijeni li se u relaciji 6.6.b) Γs s ΓL (u skladu s oznakom na slici 8.9), faktor refleksije na izlazu tranzistora je:

L

L

L

Lout ΓS

∆ΓSΓSΓSSSΓ

11

22

22

211222 11 −

−=

−+= (8.34)

236

Posljednje dvije relacije pokazuju da je ΓTΓout = 1 pa je onda i ZT = −Zout. To je uvjet za ustaljene oscilacije određen za izlazni pristup tranzistora. Treba upozoriti da su u ovim relacijama S parametri tranzistora za velike signale. Primjer 8.3. Projektirati oscilator s negativnim otporom za izlazni signal s frekvencijom 4,0 GHz. Kao aktivni element uporabiti GaAs MESFET u spoju zajedničke upravljačke elektrode sa S parametrima za male signale navedenim u tablici 8.1; zbog veće nestabilnosti tranzistora u krug upravljačke elektrode dodan je serijski induktivitet 5 nH. Zaključnu mrežu na izlazu tranzistora, koja sadrži i izlazni pristup oscilatora prilagođen na 50 Ω, ostvariti jednim ogrankom prijenosne linije.

Tablica 8.1. S parametri tranzistora za primjer 8.3. (Z0 = 50 Ω, f = 4,0 GHz)

spoj tranzistora S11 S12 S21 S22

sa zajedničkim uvodom 0,72∠−116° 0,03∠57° 2,60∠76° 0,73∠−54°

sa zajedničkom uprav. elektrodom i serijskim induktivitetom 5 nH

2,18∠−35° 1,26∠18° 2,75∠96° 0,52∠155°

Razabire se da FET u spoju sa zajedničkom upravljačkom elektrodom i serijskim induktivitetom 5 nH ima značajno veći iznos S11 parametra, odnosno veću nestabilnost u odnosu na spoj sa zajedničkim uvodom. Determinanta matrice raspršenja je:

( )( ) ( )( ) °−∠=°∠°∠−°∠°−∠=−= 9,6834,29675,21826,115552,03518,221122211 SSSS∆ Središte i polumjer kružnice stabilnosti na izlazu tranzistora u ravnini faktora refleksije na zaključnoj mreži, ΓT odgovarajuće je (relacije 6.28.a) i 6.28.b):

( ) ( ) ( )( )[ ]°∠=

°−∠−°∠

°∠°−∠−°∠=

−

−= 1,3308,1

9,6834,215552,03518,29,6834,215552,0

22

*

2222

**1122

∆S∆SSCT

( )( ) 665,09,6834,215552,0

9675,21826,12222

22

2112 =°−∠−°∠

°∠°∠=

−=

∆SSSRT

Na slici 8.10.a) prikazana je kružnica stabilnosti na izlazu tranzistora. Središte Smithovog dijagrama je u nestabilnom području, odnosno nestabilno područje je izvan kružnice stabilnosti jer je iznos S parametra |S11| > 1. To daje veliku slobodu u izboru vrijednosti ΓT; glavni cilj je ostvariti što veći iznos faktora refleksije na ulazu tranzistora, |Γin|, odnosno što veću vrijednost negativnog dijela ulazne impedancije. Nakon više pokušaja odabrana je vrijednost faktora refleksije na zaključnoj mreži ΓT = 0,59∠−104°. Ova točka u Smithovom dijagramu određuje normaliziranu impedanciju zT = 0,40 − j0,70 (slika 8.10.a) koju na ulazu ostvaruje zaključna mreža s impedancijom Z0 = 50 Ω na izlazu oscilatora. Postupkom prikazanim u primjeru 8.2. određena je duljina odsječka i duljina paralelno spojenog, otvorenog ogranka prijenosne linije za zaključnu mrežu na izlazu tranzistora:

( ) λλλ 320,01752,03555,05,0 ≈+−=Td λλ 346,03456,0 ≈=Tl

237

1.0

0.9

0.8

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0 0.1

0.2

0.3

0.4

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

2.0

3.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

2.0

6.0

7.0

8.0

9.010

1.00.90.

8

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

2.0

6.0

7.08.0

9.010

160

140

120

100 80

60

40

20

0

-20

-40

-60

-80-100

-120

-140

-160

±180

170

150

130

110

90

70

50

30

10-10

-30

-50

-70

-90

-110

-130

-150

-170

0. 250.24

0.23

0.22

0.21

0.20

0.19

0.18

0.17

0.16

0.150.14

0.130.120.11

0.10

0.09

0.08

0.07

0.06

0.05

0.04

0.03

0.02

0.01

0.00

0.49

0.48

0.47

0.46

0.45

0.44

0.43

0.42

0.41

0.400.39

0.38 0.370.36

0.35

0.34

0.33

0.32

0.31

0.30

0.29

0.28

0.270.26

0 .250. 26

0.27

0.28

0.29

0.30

0.31

0.32

0.33

0.34

0.350.36

0.370.380.39

0.40

0.41

0.42

0.43

0.44

0.45

0.46

0.47

0.48

0.49

0.00

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

0.100.11

0.12 0.130.14

0.15

0.16

0.17

0.18

0.19

0.20

0.21

0.22

0.230.24

Wav

elen

gths

Tow

ard

Gen

erat

or

205.0

4.0

0.5

3.0

4.0

5.0

5.0

4.0

3.0

InC

oefficientR

eflectionD

egreesAngle

Of

Resistance Component (R/Z0), Or Conductance Component (G/Y0)

Indu

ctiv

eRe

acta

nce Com

pone

nt

(+jX/Z 0

),Or C

apacitive

Susceptance (+jB/Y0)

0.6

0.7

CapacitiveReactanceCompo

nent(-jX

/Z0),

OrInd

uctiv

eSu

scep

tanc

e(-j

B/Y

0)

0.7

0.6

Load

Tow

ard

Wav

elen

gths

10

20

20

50

50

50

RT

CT

zT

yT

SWR=3,88

dT

lT

SWR=1,80 dL

a)

zL

Slika 8.10. Oscilator s negativnim otporom za primjer 8.3: a) Smithov dijagram za zaključnu i opteretnu mrežu

Za odabranu vrijednost ΓT faktor refleksije na ulazu tranzistora je (relacija 8.32):

( ) ( )( )( )( ) °−∠=

°−∠°∠−°−∠°−∠−°−∠

=−

−= 5,296,3

10459,015552,0110459,09,6834,23518,2

1 22

11

T

Tin ΓS

∆ΓSΓ

Prema relaciji 8.26. ulazna impedancija tranzistora je:

( )( ) ( )Ω+−=

−°−∠+°−∠

−=−+

−= 95,1j66,8316,296,315,296,350

11

0in

inin Γ

ΓZZ

Relacijama 8.31.a) i 8.31.b) određena je ulazna impedancija opteretne mreže:

( )Ω+=−−= 95,1j89,27j3 inin

L XRZ

238

Na slici 8.10.a) prikazana je normalizirana impedancija opteretne mreže, zL = 0,56 + j0,039 koju ostvaruje, primjerice odsječak prijenosne linije duljine:

( ) λλλ 259,025,04910,05,0 =+−=Ld zaključen otporom R = 90 Ω. Radiofrekvencijski dio električnog kruga projektiranog oscilatora s odsječcima i ogrankom prijenosne linije karakteristične impedancije Z0 = 50 Ω prikazan je na slici 8.10.b). Serijski induktivitet je moguće ostvariti odsječkom kratkospojene prijenosne linije, a krug oscilatora nužno sadrži i prednaponsku mrežu tranzistora. Vjerojatno frekvencija stvarnog signala na izlazu oscilatora neće biti 4,0 GHz jer su pri projektiranju korišteni S parametri tranzistora za male signale.

b)

R90 Ω

50 Ω0,259λ

50 Ω0,320λ

50 Ω0,346λ Z0

50 Ω

S D

G

LE5 nH

ΓinΓL ΓT

(ZL) (Zin) (ZT)

Slika 8.10. (nastavak): b) radiofrekvencijski dio električnog kruga

Spomenuto je da rezonantni krug velikog faktora kakvoće, Q u sastavu oscilatora pridonosi stabilnosti frekvencije izlaznog signala. Rezonantni krug ostvaren diskretnim elementima ili mikrotrakastom prijenosnom linijom najčešće ima vrijednost Q faktora ograničenu na nekoliko stotina. Rezonantna šupljina može imati vrijednost Q faktora veću od 10 000, ali zbog razmjerno velikih dimenzija nije prikladna za integrirane mikrovalne krugove. Dodatni nedostatak rezonantne šupljine metalnih stijenki je značajno temperaturno zanošenje frekvencije uzrokovano promjenom dimenzija pri promjeni temperature. Dielektrični rezonator nema takve nedostatke; može imati vrijednost neopterećenog Q faktora nekoliko tisuća, razmjerno je malih dimenzija, a moguće ga je izraditi od keramičkih materijala izvrsne temperaturne stabilnosti. Zato je oscilator s tranzistorom i dielektričnim rezonatorom (DRO, engl. dielectric resonator oscillator) uobičajeni izvor signala u mikrovalnom frekvencijskom području. Dielektrični rezonator je najčešće valjkastog oblika i spregnut s rasipnim magnetskim poljem mikrotrakaste linije u krugu oscilatora (slika 8.11.a). Sprega zavisi o razmaku, d između rezonatora i mikrotrakaste linije. Zbog sprege pomoću magnetskog polja rezonator je opterećenje serijski spojeno na prijenosnu liniju (slika 8.11.b). Pritom je rezonator nadomješten paralelnim RLC krugom, a sprega je modelirana omjerom broja zavoja, N savršenog transformatora. Impedancija na pristupu nadomjesnog kruga dielektričnog rezonatora je:

0

2

2j1ω

ω∆+

=Q

RNZ (8.35)

239

LC10 =ω gdje je Q = R/(ω0L) faktor kakvoće neopterećenog rezonatora, je rezonantna frekvencija, a ∆ω = ω − ω0. Faktor sprege, g između rezonatora i prijenosne linije jednak je omjeru faktora kakvoće neopterećenog rezonatora, Q i vanjskog faktora kakvoće, Qe:

0

2

02

0

2ZRN

LNR

LR

QQg

Le

===

ω

ω (8.36)

gdje je RL = 2Z0 otpor opterećenja rezonatora uzrokovan prijenosnom linijom karakteristične impedancije Z0 koja je priključena na izvor signala unutarnje impedancije Z0 i zaključena impedancijom Z0. Katkad je prijenosna linija zaključena otvorenim krugom na udaljenosti λ/4 od rezonatora; tako rasipno magnetsko polje ima najveću jakost u rezonatoru. U tom slučaju je RL = Z0 pa faktor sprege ima dvostruku vrijednost u odnosu na relaciju 8.36.

d

a)

dielektričnirezonator

mikrotrakastalinija

L

C

R

Z0

b)Z0

1

N

Γ Z

Slika 8.11. Dielektrični rezonator spregnut s mikrotrakastom linijom:

a) geometrijske veličine; b) nadomjesni krug Na rezonantnoj frekvenciji, ω0 faktor refleksije na prijenosnoj liniji karakteristične impedancije Z0 sa spregnutim rezonatorom i prilagođenim opterećenjem je (slika 8.11.b):

( )( ) g

gRNZ

RNZRNZZRNZΓ

+=

+=

++−+

=12 2

0

2

02

0

02

0 (8.37)

gdje je faktor sprege g određen relacijom 8.36. Ova zavisnost omogućuje da se razmjerno jednostavnim postupkom mjerenja faktora refleksije, Γ odredi faktor sprege, g = Γ/(1 − Γ). Naravno, dostupna su približna analitička rješenja za vrijednost faktora sprege. Treba istaknuti da je faktorom sprege određen umnožak N2R koji ostavlja slobodu u izboru pojedinačne vrijednosti N i R. Oscilator s tranzistorom i dielektričnim rezonatorom može sadržavati tranzistor u spoju s bilo kojom zajedničkom elektrodom. Pritom je dielektrični rezonator u petlji paralelne ili serijske povratne veze. Kod paralelne povratne veze dielektrični rezonator spregnut s dvije mikrotrakaste linije (slika 8.12.a) djeluje kao pojasno propusni filtar velikog Q faktora. Razina signala kojeg se tako prenosi s izlaza na ulaz tranzistora određena je spregom, odnosno razmakom između rezonatora i linija, a njegov fazni zakret zavisi o duljini linija. Serijska povratna veza jednostavnije je strukture jer sadrži dielektrični rezonator spregnut s

240

jednom mikrotrakastom linijom (slika 8.12.b), ali je manji stupanj slobode u izboru pri projektiranju oscilatora. Iako su dostupni programi za projektiranje oscilatora s dielektričnim rezonatorom pomoću računala, u slučaju serijske povratne veze moguće je primijeniti prikazani postupak projektiranja oscilatora s negativnim otporom.

zaključnamreža

a)

Z0

dielektričnirezonator

mikrotrakastalinija

zaključnamreža

b)

Z0

dielektričnirezonator

mikrotrakastalinija

Slika 8.12. Oscilator s dielektričnim rezonatorom i povratnom vezom: a) paralelnom; b) serijskom

Primjer 8.4. Projektirati oscilator s dielektričnim rezonatorom i serijskom povratnom vezom za izlazni signal s frekvencijom 2,4 GHz. Aktivni element je bipolarni tranzistor u spoju zajedničkog emitera sa S parametrima (impedancija normalizacije 50 Ω): S11 = 1,8∠130°, S12 = 0,4∠45°, S21 = 3,8∠36°, S22 = 0,7∠−63°. Zaključnu mrežu na izlazu tranzistora, koja sadrži i izlazni pristup oscilatora prilagođen na 50 Ω, ostvariti jednim ogrankom prijenosne linije. Ako je Q faktor neopterećenog rezonatora 1000, prikazati frekvencijsku zavisnost iznosa faktora refleksije na izlazu tranzistora u okolišu rezonantne frekvencije. Radiofrekvencijski dio električnog kruga razmatranog oscilatora s dielektričnim rezonatorom prikazan je na slici 8.13.a). Moguće je i u ovom slučaju projektiranje oscilatora započeti crtanjem kružnice stabilnosti na izlazu tranzistora kao u primjeru 8.3. Međutim, ako je uvjet osciliranja ispunjen na jednom pristupu linearnog pojačala s povratnom vezom, onda je istovremeno ispunjen i na preostalom pristupu. Zato je moguće odabrati vrijednost faktora refleksije na opteretnoj mreži, ΓL tako da je veliki iznos faktora refleksije na izlazu tranzistora, | Γout | (slika 8.13.a).

a)

Z050 Ωλ/4

lT

ΓTΓout

(Zout) (ZT)ΓinΓL

(ZL) (Zin)LΓ ′)( LZ ′

dT

dr

Slika 8.13. DRO za primjer 8.4: a) radiofrekvencijski dio električnog kruga Prema relaciji 8.34. je:

L

Lout ΓS

ΓSSSΓ22

211222 1 −

+=

241

pa velika vrijednost Γout slijedi ako nazivnik drugog pribrojnika, 1 − S22ΓL teži ništici. Neka je ΓL = 0,6∠−130° pa je:

( ) ( )( )( )( )( ) °∠=

°−∠°∠−°−∠°∠°∠

+°−∠= 13272,101306,01308,11

1306,0368,3454,0637,0outΓ

što odgovara izlaznoj impedanciji tranzistora:

( )( ) ( )Ω+−=

°∠−°∠+

=−+

= 12,6j73,4313272,10113272,10150

11

0out

outout Γ

ΓZZ

Primijeni li se za ulaznu impedanciju zaključne mreže jednaki uvjet kao i u slučaju opteretne mreže (relacije 8.31.a) i 8.31.b), onda je:

( )Ω−=−−= 12,6j58,14j3 outout

T XRZ

Na Smithov dijagram ucrtana je normalizirana impedancija zT = 0,29 − j0,12 (slika 8.13.b) koju na ulazu ostvaruje zaključna mreža s impedancijom Z0 = 50 Ω na izlazu oscilatora. Postupkom prikazanim u primjeru 8.2. određena je duljina odsječka i duljina paralelno spojenog, otvorenog ogranka prijenosne linije za zaključnu mrežu na izlazu tranzistora (slika 8.13.a):

λλλ 057,02708,03282,0 ≈−=Td λλ 148,01480,0 ≈=Tl Na rezonantnoj frekvenciji realna je ekvivalentna impedancija na pristupu nadomjesnog kruga dielektričnog rezonatora (relacija 8.35) pa je faktor refleksije u toj točki prijenosne linije, LΓ ′

inije, faktora

s faznim zakretom 0° ili 180°. Za podkritičnu spregu između rezonatora i prijenosne lg < 1 faza je 180°. Na prijenosnoj liniji bez gubitaka mijenja se samo fazni zakret refleksije pa vrijedi (slika 8.13.a):

LΓ ′

( ) rr djdjLL ΓΓ ββ 22 e1306,01806,0e °−∠=°∠==′

ili

λλβ

431,01804

1301802

130180=

°⋅°+°

=°+°

=rd

Ekvivalentna impedancija dielektričnog rezonatora na rezonantnoj frekvenciji je:

( )( ) Ω=

°∠−°∠+

=′−′+

=′ 5,121806,011806,0150

11

0L

LL Γ

ΓZZ

pa je faktor sprege uz RL = Z0 (relacija 8.36):

25,050

5,12

0

2

==′

==ZZ

RRNg L

L

Na slici 8.13.c) prikazana je frekvencijska zavisnost |Γout| u okolišu rezonantne frekvencije.

242

1.0

0.9

0.8

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0 0.1

0.2

0.3

0.4

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

2.0

3.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

2.0

6.0

7.0

8.0

9.010

1.00.90.

8

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

2.0

6.0

7.08.0

9.010

160

140

120

100 80

60

40

20

0

-20

-40

-60

-80-100

-120

-140

-160

±180

170

150

130

110

90

70

50

30

10-10

-30

-50

-70

-90

-110

-130

-150

-170

0 .250.24

0.23

0.22

0.21

0.20

0.19

0.18

0.17

0.16

0.150.14

0.130.120.11

0.10

0.09

0.08

0.07

0.06

0.05

0.04

0.03

0.02

0.01

0.00

0.49

0.48

0.47

0.46

0.45

0.44

0.43

0.42

0.41

0.400.39

0.38 0.370.36

0.35

0.34

0.33

0.32

0.31

0.30

0.29

0.28

0.270.26

0. 250.26

0.27

0.28

0.29

0.30

0.31

0.32

0.33

0.34

0.350.36

0.370.380.39

0.40

0.41

0.42

0.430.4

4

0.45

0.46

0.47

0.48

0.49

0.0 0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

0.100.11

0.12 0.130.14

0.15

0.16

0.17

0.18

0.19

0.20

0.21

0.22

0.230.24

Wav

elen

gths

Tow

ard

Gen

erat

or

205.0

4.0

0.5

3.0

4.0

5.0

5.0

4.0

3.0

InC

oefficientR

eflectionD

egreesAngle

Of

Resistance Component (R/Z0), Or Conductance Component (G/Y0)

Indu

ctiv

eRe

acta

nce Co

mpo

nent

(+jX/Z 0

),Or C

apacitive

Susceptance (+jB/Y0)

0.6

0.7

CapacitiveReactanceCompo

nent(-jX

/Z0),

OrInd

uctiv

eSu

scep

tanc

e(-j

B/Y

0)

0.7

0.6

Load

Tow

ard

Wav

elen

gths

10

20

20

50

50

50

zT

yT

SWR=3,49

1+j1,34

lT

dT

b)

|Γout|

0

2

4

6

8

10

12

0-1 1-2 2-3 3-4 4-5 5(∆f /f0)×104

c)

Slika 8.13. (nastavak): b) Smithov dijagram za zaključnu mrežu; c) frekvencijska zavisnost iznosa faktora refleksije

243

Razabire se velika promjena iznosa faktora refleksije na izlazu tranzistora pri relativnoj promjeni frekvencije za ±0,01 % u odnosu na rezonantnu frekvenciju. To ukazuje na veliku stabilnost frekvencije oscilatora koju je moguće ostvariti dielektričnim rezonatorom.

8.3. Postupci sinteze frekvencije Sintezatori frekvencije na temelju signala iz stabilnog oscilatora generiraju veliki broj točnih frekvencija. Izvor signala stabilne frekvencije najčešće je kristalom kvarca stabilizirani oscilator koji može biti i temperaturno nadziran. Tri su osnovna postupka za sintezu frekvencije: izravna sinteza, izravna digitalna sinteza i sinteza pomoću fazom sinkronizirane petlje.

Izravna sinteza frekvencije je analogni postupak koji uključuje uporabu miješala, množila i djelila frekvencije te pojasno propusnih filtara. Često je izvor referentnog signala temperaturno nadzirani kristalni oscilator (TXCO, engl. temperature-controlled crystal oscillator) pa izlazni signal ima veliku stabilnost frekvencije i nisku razinu faznog šuma. Nedostatak takvog postupka je razmjerno složen i skup sklop sintezatora frekvencije posebno u slučaju širokog pojasa i malog koraka promjene frekvencije. Zato se izravnu sintezu frekvencije najčešće primjenjuje za sintezatore u radiofrekvencijskoj i mikrovalnoj mjernoj opremi. Na slici 8.14. prikazana je blok-shema sklopa za izravnu sintezu frekvencije u rasponu od 25 MHz do 35 MHz s korakom promjene 1 MHz. Frekvenciju referentnog signala 3 MHz množi se s 10 i dijeli s 3 pa nastaje signal s frekvencijom odgovarajuće 30 MHz i 1 MHz. Zatim se frekvenciju signala 1 MHz množi s 2, 3, 4 i 5, a preklopnikom se odabire jedan signal s frekvencijom (1, 2, 3, 4 ili 5) MHz kojeg se miješa sa signalom frekvencije 30 MHz. Zbroj i razlika frekvencije signala s ulaza daje deset vrijednosti frekvencije signala na izlazu miješala, (25, 26, ... 34, 35) MHz. Promjenljivim pojasno propusnim filtrom na izlazu sintezatora izdvaja se signal željene frekvencije. Općenito, mjernoj namjeni primjerene značajke ima sintezator kod kojeg je omjer frekvencije signala na ulazu miješala manji od sto.

×10

÷3

×2

×3

×4

×5

3 MHzTXCO

30 MHz

1 MHz

(1, 2, 3, 4, 5) MHz

promjenljivi pojasnopropusni filtar

(25, 26, ... 34, 35) MHz

Slika 8.14. Blok-shema sklopa za izravnu sintezu frekvencije Na slici 8.15. prikazana je blok-shema sklopa za izravnu sintezu frekvencije pomoću dvostrukog miješanja i dijeljenja frekvencije signala. U tom slučaju signal frekvencije f0 se miješa sa signalom frekvencije f1, a pojasno propusni filtar izdvaja signal s frekvencijom u gornjem bočnom pojasu, f0 + f1. Zatim se ovaj signal miješa sa signalom frekvencije f2 + f *

244

gdje je f * jedna iz dekade frekvencija koju je moguće odabrati preklopnikom. Ponovno se pojasno propusnim filtrom izdvaja signal s frekvencijom u gornjem bočnom pojasu, f0 + f1 + f2 + f * koju se zatim dijeli s 10. Ako se frekvencije f1 i f2 odabere tako da je:

0210 10 ffff =++ (8.38) onda je frekvencija signala na izlazu sintezatora:

1010

*

0

*210 fffffffout +=

+++= (8.39)

Razabire se da je korak promjene frekvencije na izlazu sintezatora f */10; veću razlučivost moguće je ostvariti kaskadnim spojem potrebnog broja jednakih sklopova.

÷10

pojasnopropusni filtar

pojasnopropusni filtar

f0

f1

f0+ f1

f2+ f *

f0+ f1+ f2+ f *

f0+ f */10

Slika 8.15. Blok-shema sklopa za izravnu sintezu frekvencije Blok-shema sklopa za izravnu digitalnu sintezu frekvencije sinusoidalnog signala prikazana je na slici 8.16. Akumulator faze je posebni registar koji sadrži binarni broj pridružen određenoj diskretnoj vrijednosti faze sinusnog signala. Binarni ekvivalent željene frekvencije, W određuje korak za koji se povećava sadržaj akumulatora faze nakon svakog taktnog intervala. Sadržaj akumulatora faze određuje adresu pregledne tablice (engl. look-up table) koja pohranjuje 2N ekvidistantnih vrijednosti sinusne funkcije za određenu fazu. Digitalno-analogni pretvornik (DAC, engl. digital-to-analog converter) pretvara diskretne vrijednosti amplitude u stepenasti valni oblik. Niskopropusni filtar na izlazu sintezatora oblikuje stepenasti u sinusoidalni valni oblik. Valni oblik signala pridruženih ovom postupku prikazan je na slici 8.17.

fc

akumulatorfaze

(N bita)

tablicasinΘ

DAC(M bita)

takt

niskopropusnifiltar

upravljanjefrekvencijom

W N M Ud Uo

Slika 8.16. Blok-shema sklopa za izravnu digitalnu sintezu frekvencije

Izravna digitalna sinteza omogućuje iznimnu točnost frekvencije. Kako je to u osnovi postupak dijeljenja frekvencije moguće je ostvariti razlučivost do malog dijela herca. Nažalost, najviša frekvencija izlaznog signala najčešće dosiže nekoliko stotina megaherca što je posljedica ograničene brzine rada dostupnih digitalno-analognih pretvornika.

245

0

2π

Θ

t1/fc

Ud

t t

Uo

a) b) c)

A

Slika 8.17. Valni oblik pridružen postupku izravne digitalne sinteze frekvencije: a) ekvivalenta signala faze; b) stepenastog signala; c) izlaznog signala

Valni oblik signala na izlazu razmatranog sintezatora s amplitudom A moguće je prikazati u obliku (slike 8.16. i 8.17):

= N2

W2sin tfAU co

π (8.40)

gdje je fc frekvencija takta, a W i N je broj bita odgovarajuće na ulazu i izlazu akumulatora faze. Prema Nyquistovom teoremu uzorkovanja sinusoidalni valni oblik jednoznačno je određen s više od dva uzorka u svakom periodu signala. Kod izravne digitalne sinteze redovito se koristi najmanje četiri uzorka u periodu pa je najviša frekvencija signala na izlazu sintezatora:

4maxcff = (8.41)

Ako pregledna tablica sinusne funkcije sadrži vrijednost 2N uzoraka, onda je najniža frekvencija signala na izlazu razmatranog sintezatora:

Nmin 2cff = (8.42)

odnosno, frekvencija izlaznog sinusnog signala je u rasponu od fmin do fmax. Binarni ekvivalent vrijednosti uzorka sinusne funkcije u preglednoj tablici sadrži M bita. Zbog konačnog broja binarnih znamenki nastaje pogreška u odnosu na stvarnu vrijednost sinusne funkcije određene faze. Ova pogreška je uzrokom odstupanja razine stepenastog valnog oblika na izlazu digitalno-analognog pretvornika od odgovarajuće razine stvarnog sinusnog signala. Snaga šuma kvantizacije na izlazu digitalno-analognog pretvornika u najnepovoljnijem slučaju je:

( )dB 1M62

11M −−== −nP (8.43)

gdje je broj bita umanjen za jedan, M − 1 jer je prvim bitom određen predznak vrijednosti uzorka. Razabire se da povećanje broja bita za jedan smanjuje razinu šuma kvantizacije za 6 dB. Na primjer, razina šuma niža za 80 dB od razine signala iziskuje broj bita M ≥ 15. Snagu šuma kvantizacije smanjuje niskopropusno filtriranje stepenastog signala na izlazu sintezatora frekvencije.

246

Fazom sinkronizirana petlja (PLL, engl. phase-locked loop) također ostvaruje sintezator frekvencije (slika 8.18). Referentni oscilator je izvor signala sa stabilnom frekvencijom f0. Fazu ovog signala slijedi naponom upravljani oscilator, VCO, a frekvencija signala na izlazu je Nf0, gdje je N cijeli broj. Dijeljenjem frekvencije izlaznog signala s N nastaje signal s frekvencijom f0 i faznim zakretom u odnosu na referentni signal. Napon na izlazu detektora faze razmjeran je razlici faza ulaznih signala jednake frekvencije. Ovaj napon obrađen pojačalom i filtrom petlje narinut je na naponom upravljani oscilator. Tako se N puta višu frekvenciju izlaznog signala mijenja dok se ne ostvari istofaznost s referentnim signalom. Pritom se značajke stabilnosti frekvencije i faznog šuma referentnog oscilatora prenose na izlazni signal sintezatora. Područje zahvata (engl. capture range) je raspon frekvencije signala na ulazu faznog detektora u kojem je moguće ostvariti sinkronizaciju petlje. Raspon frekvencije ulaznih signala u kojem petlja ostaje sinkronizirana je područje sinkronizacije (engl. lock-in range) koje je redovito šire od područja zahvata. Ako je promjenljiv broj N kojim se dijeli frekvenciju (programljivo djelilo frekvencije), onda je ovim razmjerno jednostavnim sklopom moguće sintetizirati veliki broj bliskih frekvencija. Nedostatak je razmjerno dugo vrijeme ustaljivanja pri promjeni frekvencije (engl. settling time). Fazom sinkroniziranu petlju moguće je ostvariti u analognom ili digitalnom obliku, ali samo analogna petlja može generirati izlazni signal s frekvencijom u mikrovalnom području.

÷N

referentnioscilator

detektorfaze

pojačalopetlje

filtarpetlje VCO

djelilofrekvencije

izlaz

f0 Nf0

Slika 8.18. Blok-shema fazom sinkronizirane petlje Kod stvarnih sintezatora frekvencije česte su inačice i kombinacije osnovnih postupaka sinteze. Primjerice kod lokalnog oscilatora pokretnog AMPS telefona fazom sinkronizirana petlja je dopunjena miješalom i množilom frekvencije (slika 8.19).

÷N

f0=(217,5 - 222,5) MHzfout=4(f1-Nf2)

×4

f1=228,02250 MHzf1- f0

N=(737 - 1402)

f2=7,5 kHz

(f1- f0)/N

Slika 8.19. Blok-shema lokalnog oscilatora pokretnog AMPS telefona U takvom sintezatoru naponom upravljani oscilator generira signal s frekvencijom f0 u rasponu od 217,5 MHz do 222,5 MHz koju se na izlazu množi s 4. Na ulazu miješala je signal iz naponom upravljanog oscilatora s frekvencijom f0 i signal iz referentnog oscilatora s

247

frekvencijom f1 = 228,02250 MHz. Na izlazu miješala pojasno propusni filtar izdvaja signal s frekvencijom f1 − f0 u rasponu od 5,5225 MHz do 10,5225 MHz. Ovu razmjerno nisku frekvenciju moguće je jednostavnim sklopom dijeliti s N u rasponu od 737 do 1402. Na ulazu detektora faze je signal iz djelila frekvencije i signal iz referentnog oscilatora s frekvencijom f2 = 7,5 kHz. Ako je petlja sinkronizirana, frekvencija izlaznog signala je fout = 4(f1 − Nf2). Korak promjene frekvencije izlaznog signala je 4f2 = 30 kHz što odgovara širini kanala razmatranog radiosustava. Stabilnost frekvencije izlaznog signala zavisi o stabilnosti referentnih oscilatora. Spomenuto je da fazom sinkronizirana petlja sadrži djelilo s cjelobrojnim omjerom frekvencija, N (slika 8.18). To znači da je frekvencija signala na izlazu naponom upravljanog oscilatora jednaka N-terostrukoj frekvenciji signala referentnog oscilatora, a korak njezine promjene jednak frekvenciji signala referentnog oscilatora. Ako se frekvenciju izlaznog signala želi mijenjati s malim korakom, onda je potreban veliki omjer frekvencija, N i/ili niska frekvencija signala referentnog oscilatora. Međutim, to nepovoljno utječe na vrijeme ustaljivanja pri promjeni frekvencije i/ili stabilnost frekvencije izlaznog signala. Takav nedostatak ne postoji kod fazom sinkronizirane petlje s decimalnim omjerom frekvencija (engl. fractional-N phase-locked loop) koja sadrži djelilo s mogućnošću preklapanja cjelobrojnog omjera frekvencija između N i N + 1 (slika 8.20). Pritom zbrajalo/akumulator broji periode signala pa je za svaki R-ti period omjer frekvencija N + 1, a inače je N. U tom slučaju srednja frekvencija signala na izlazu sintezatora je:

0R1N ffout

+= (8.44)

gdje je f0 frekvencija signala referentnog oscilatora, a N i R je odgovarajuće cijeli i decimalni dio omjera frekvencija. Na primjer, za f0 = 100 MHz i fout = 835 MHz omjer frekvencija je 8,35 odnosno, N = 8 i 1/R = 0,35 ili R = 2,86. To znači da frekvenciju signala naponom upravljanog oscilatora treba dijeliti s N + 1 = 9 svakih 2,86 perioda (ili 35 puta u 100 perioda), a inače se dijeli s 8. Ovakvo dijeljenje frekvencije je moguće ostvariti povećavanjem za 0,35 vrijednosti u zbrajalu/akumulatoru za svaki period signala i preklapanjem djelila s omjera frekvencija 8 na 9 svaki put kad vrijednost u akumulatoru dosegne jedinicu. Pritom se u akumulatoru zadržava samo decimalni, a odbacuje cijeli dio zbroja.

÷N/(N+1)

referentnioscilator

detektorfaze

pojačalopetlje

filtarpetlje VCO

djelilofrekvencije

izlaz

f0 fout

zbrajalo/akumulator

perioda

decimalniomjer

frekvencija

Slika 8.20. Blok-shema fazom sinkronizirane petlje s decimalnim omjerom frekvencija

248

8.4. Analiza fazom sinkronizirane petlje Detaljnije razmatranje fazom sinkronizirane petlje iziskuje uključivanje nelinearnih učina, a pritom je nužna uporaba računala. Međutim, razumijevanju ograničenja u radu pridonosi i razmatranje jednostavnog, linearnog modela petlje za što je dostatno poznavanje Laplaceove transformacije. Pokazat će se da frekvencijski odziv filtra značajno utječe na svojstva fazom sinkronizirane petlje. Poznato je da je napon na izlazu detektora faze (engl. phase detector) razmjeran razlici faza ulaznih signala jednake frekvencije. Električni krug analognog detektora faze (slika 8.21) odgovara krugu uravnoteženog miješala s diodama i hibridnim spojem s faznim zakretom 90° koji je razmotren u potpoglavlju 7.4.

hibridni spoj3 dB, 90°

1 2

34

niskopropusnifiltar

i1

i2

u1

u2

cos(ω0t+Θ1)

cos(ω0t+Θ2)

uo

Slika 8.21. Analogni detektor faze Neka je na oba ulaza hibridnog spoja (označeni s 1 i 4 na slici 8.21) narinut signal sinusoidalnog valnog oblika, jedinične amplitude, kutne frekvencije ω0 i odgovarajuće faze Θ1 i Θ2. Izmjenični napon s izlaza hibridnog spoja (označeni s 2 i 3 na slici 8.21) narinut na pojedinačnu diodu odgovarajuće je:

( ) ( ) ([ ])

( ) ( )[ ]2010

20101

cossin2

1

180cos90cos2

1

ΘtΘt

ΘtΘttu

+−+=

=°−++°−+=

ωω

ωω (8.45.a)

( ) ( ) ([ ])

( ) ( )[ ]2010

20102

sincos2

1

90cos180cos2

1

ΘtΘt

ΘtΘttu

+++−=

=°−++°−+=

ωω

ωω (8.45.b)

Zadrži li se samo kvadratni član reda pri aproksimaciji karakteristike diode za male signale, struja diode na koju je narinut izmjenični napon odgovarajuće je:

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ([ ]202

2010102

211

coscossin2sin2

ΘtΘtΘtΘtKtKuti

++++−+=

==

ωωωω ) (8.46.a)

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )[ ]202

2010102

222

sinsincos2cos2

ΘtΘtΘtΘtKtKuti

++++−+−=

=−=

ωωωω (8.46.b)

249

gdje je za u1(t) i u2(t) uvrštena odgovarajuće relacija 8.45.a) i 8.45.b), K je konstanta kvadratnog člana, a negativni predznak u izrazu za struju i2(t) posljedica je suprotnog smjera propusne struje odgovarajuće diode. U čvoru električnog kruga ispred niskopropusnog filtra (slika 8.21) ove struje se zbrajaju:

( ) ( ) ( ) ( ) ([ ]20211021 2cossin22cos2

ΘtΘΘΘtKtiti +−−++−=+ ωω ) gdje je primijenjena jednakost za kvadrat i umnožak trigonometrijskih funkcija. Niskopropusni filtar odstranjuje visokofrekvencijske komponente pa je napon na izlazu detektora faze:

( ) ( ) ( )2121sin ΘΘKΘΘKtu ddo −≈−= (8.47) približno razmjeran razlici trenutnih faza ulaznih signala. Pritom je vrijednost sinusne funkcije približno jednaka vrijednosti argumenta, sinx ≈ x za mali x, a Kd je koeficijent pojačanja detektora faze (engl. phase detector gain factor, jedinica V/rad) koji zavisi o konstanti kvadratnog člana karakteristike diode i strujno-naponskoj pretvorbi u niskopropusnom filtru. Relaciju 8.47. se naziva linearnim modelom detektora faze. Na sličan način treba modelirati naponom upravljani oscilator, odnosno uspostaviti relaciju između napona upravljanja i faze izlaznog signala. Neka naponom upravljani oscilator generira sinusoidalni signal s kutnom frekvencijom ω0 koja se od frekvencije slobodnog osciliranja ωc razlikuje za prirast ∆ω:

ccc uK00 +=∆+= ωωωω (8.48) Pritom prirast frekvencije uzrokuje napon upravljanja uc, a K0 je koeficijent pojačanja naponom upravljanog oscilatora (engl. VCO gain factor, jedinica Hz/V). Ovaj model naponom upravljanog oscilatora prikazan je na slici 8.22.

VCO

uc

Acos(ωct+∆ωt)

Slika 8.22. Naponom upravljani oscilator Razabire se da je faza signala na izlazu naponom upravljanog oscilatora:

( ) tuKttΘ co 0=∆= ω (8.49) a njezina derivacija po vremenu je prirast frekvencije:

( )c

o uKt

tΘ0d

d=∆= ω (8.50)

250

Integriranjem ove relacije slijedi zavisnost faze signala na izlazu oscilatora o naponu upravljanja:

(8.51)

Laplaceova transformacija preslikava funkciju vremena u područje kompleksne frekvencije, s = σ + jω pa je:

( ) ( )∫=t

co ttuKtΘ0

0 d

( ) ( )sUs

Ks co0=Θ (8.52)

jer je, općenito:

( ) ( )ssFttf

t

=

∫0

dL

Relacijom 8.52. određena je tražena prijenosna funkcija naponom upravljanog oscilatora, Θo(s)/Uc(s) = K0/s. Nakon modeliranja detektora faze i naponom upravljanog oscilatora moguće je analizirati linearni model analogne fazom sinkronizirane petlje (slika 8.23). Neka je na jednom ulazu detektora faze napon iz referentnog oscilatora sinusoidalnog valnog oblika jedinične amplitude s kutnom frekvencijom ω0 i fazom Θi:

( ) ( )ii Θttu += 0cos ω (8.53) a na izlazu naponom upravljanog oscilatora napon sinusoidalnog valnog oblika jedinične amplitude s kutnom frekvencijom Nω0 i fazom Θo:

( ) ( )oo Θttu += 0Ncos ω (8.54) Frekvencija izlaznog signala N puta je veća od frekvencije ulaznog signala zbog dijeljenja frekvencije s N u grani povratne veze.

+

÷N

H(s)Θi(s)

ui(t)=cos(ω0t+Θi)

Ud(s) Uc(s) Θo(s)

uo(t)=cos(Nω0t+Θo)

Θf(s)

cos(ω0t+Θo/N)

+Kd K0/s

Slika 8.23. Linearni model analogne fazom sinkronizirane petlje Napon na izlazu detektora faze prikazan u području kompleksne frekvencije je:

( ) ( ) ( )[ ]ssKsU fidd Θ−Θ= (8.55) gdje je:

251

( ) ( )ss of Θ=ΘN1 (8.56)

a Θi(s) i Θo(s) je Laplaceova transformacija odgovarajuće funkcije vremena Θi(t) i Θo(t). Napon na ulazu naponom upravljanog oscilatora u području kompleksne frekvencije je:

( ) ( ) ( )sUsHsU dc = (8.57) gdje je napon Ud(s) određen relacijom 8.55, a H(s) je prijenosna funkcija filtra petlje koja uključuje i učin pojačala petlje.

Prijenosna funkcija razmatrane fazom sinkronizirane petlje slijedi ako se u relaciju 8.52. odgovarajuće uvrsti relaciju 8.57, 8.55. i 8.56:

( )( )

( )( )

( )( )sKHssKH

sHKKs

sHKKss

d

d

i

o

+=

+=

ΘΘ N

N0

0 (8.58)

gdje je konstanta K = K0Kd/N. Pomoću ove relacije moguće je napon upravljanja Uc(s) prikazati u obliku (relacija 8.52):

( ) ( ) ( )( )[ ] ( ) ( )

( ) ( )ssKHs

sHsKssKHsK

sKHssKssU i

dioc Θ

+=Θ

+=Θ=

00

N (8.59)

Pogreška faze petlje (engl. loop phase error) u području kompleksne frekvencije je:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )s

sKHsss

sssss ii

i

ofi Θ

+

=Θ

Θ

Θ−=Θ−Θ=

N1ε (8.60)

gdje je za Θf(s) i Θo(s)/Θi(s) uvrštena odgovarajuće relacija 8.56. i 8.58.

Pomoću navedenih relacija moguće je odrediti frekvenciju i fazu izlaznog signala te pogrešku faze petlje ako je poznata funkcija faze signala na ulazu. To je često stepenasta ili linearna funkcija vremena; prvi slučaj odgovara sinkronizaciji faze, a drugi skokovitoj promjeni frekvencije signala. Neka je promjena frekvencije napona na ulazu linearne petlje skokovita s korakom ∆ω (relacija 8.53):

( ) ( ) ( )ttΘttu ii ωωω ∆+=+= 00 coscos (8.61) pa je faza ulaznog signala, Θi(t) = ∆ωt linearna funkcija vremena, a u području kompleksne frekvencije je:

( ) 2ssi

ω∆=Θ (8.62)

jer je Laplaceova transformacija linearne funkcije vremena:

0za 12 >= t

stL

252

U najjednostavnijem obliku linearna, analogna fazom sinkronizirana petlja ne sadrži filtar, odnosno jedinična je prijenosna funkcija filtra petlje, H(s) = 1. U tom slučaju za skokovitu promjenu frekvencije ulaznog signala napon upravljanja je (relacija 8.59):

( ) ( ) ( )

+−

∆=

+∆

=Θ+

=KssK

KKss

KsKs

sKsU ddi

dc

11ωω (8.63)

gdje je za Θi(s) uvrštena relacija 8.62, a zatim je izvršen razvoj u parcijalne razlomke. Red fazom sinkronizirane petlje određen je stupnjem polinoma u nazivniku prijenosne funkcije (relacija 8.58) i za jedan je viši od reda filtra petlje; u ovom slučaju petlja je prvog reda. Inverznom Laplaceovom transformacijom relacije 8.63. određen je napon upravljanja u vremenskom području:

( ) ( )Ktdc K

Ktu −−∆

= e1ω (8.64)

jer je:

0za e1 i 11 11 ≥=

+=

−−− t

assatLL

Ovaj rezultat pokazuje vremensku zavisnost napona narinutog na naponom upravljani oscilator nakon skokovite promjene frekvencije signala na ulazu razmatrane petlje. U početnom trenutku, t = 0 napon upravljanja je uc(0) = 0 pa je prema relaciji 8.48. frekvencija signala na izlazu naponom upravljanog oscilatora jednaka frekvenciji slobodnog osciliranja, ω0 = ωc. U graničnom procesu kad t → ∞ napon upravljanja eksponencijalno konvergira vrijednosti:

( )0

NKK

Ku dc

ωω ∆=

∆=∞ (8.65)

Za sinkroniziranu petlju napon na izlazu naponom upravljanog oscilatora je (relacije 8.54. i 8.49):

( ) ( ) ( )( )tΘttu oo ωωω ∆+=+= 00 NcosNcos (8.66) što pokazuje da je promjena frekvencije izlaznog signala jednaka N-terostrukoj promjeni frekvencije signala na ulazu petlje. Pogreška faze razmatrane petlje u području kompleksne frekvencije nakon razvoja u parcijalne razlomke je (relacija 8.60):

( ) ( )

+−

∆=

+∆

=KssKKss

s 11ωωε (8.67)

a u vremenskom području je:

( ) ( )Kt

Kt −−

∆= e1ωε (8.68)

253

U graničnom procesu kad t → ∞ vrijednost pogreške faze ne iščezava, ε(∞) = ∆ω/K ≠ 0 pa petlja prvog reda ima statičku pogrešku. Vrijeme potrebno za sinkronizaciju petlje (engl. acquisition time) pri skokovitoj promjeni frekvencije ulaznog signala približno je jednako vremenskoj konstanti eksponencijalnog člana u relaciji 8.64. ili 8.68:

da KKK

T0

N1=≈ (8.69)

Razabire se da je i statička pogreška i vrijeme sinkronizacije obrnuto razmjerno pojačanju petlje, K0Kd. Međutim, širina frekvencijskog pojasa petlje približno je jednaka 1/Ta pa je razmjerna pojačanju petlje. Zato nije moguće po volji povećati pojačanje petlje jer može nastupiti nestabilnost, a povećava se i razina faznog šuma. Zbog ovih nedostataka petlju prvog reda rijetko se primjenjuje. Primjer 8.5. Fazom sinkronizirana petlja prvog reda generira izlazni signal s frekvencijom 200 MHz. Ako je referentni signal s frekvencijom 20 MHz, koeficijent pojačanja detektora faze 2 V/rad i koeficijent pojačanja naponom upravljanog oscilatora 2 MHz/V, odrediti vrijeme sinkronizacije i širinu frekvencijskog pojasa petlje. Izlazna frekvencija je 200 MHz, a ulazna frekvencija je 20 MHz pa djelilo frekvencije dijeli izlaznu frekvenciju s N = 10. Prema relaciji 8.69. vrijeme sinkronizacije petlje je:

µs 5,22102

10N6

0

=⋅⋅

=≈d

a KKT

Širina frekvencijskog pojasa petlje približno je:

kHz 400105,211

6 =⋅

=≈ −aT

B

Neka linearna, analogna fazom sinkronizirana petlja drugog reda sadrži niskopropusni

filtar prvog reda s prijenosnom funkcijom:

( )f

f

f

sssHω

ω

ω+

=+

=1

1 (8.70)

gdje je ωf granična frekvencija. U tom slučaju za skokovitu promjenu frekvencije, ∆ω ulaznog signala napon upravljanja u području kompleksne frekvencije je (relacija 8.59):

( )( ) ( )ff

fd

f

ff

fdc Ksss

K

sK

sss

KsU

ωωωω

ωω

ω

ωω++∆

=

+++

∆= 2 (8.71)

gdje je za Θi(s) i H(s) uvrštena odgovarajuće relacija 8.62. i 8.70. Ako je svojstvena frekvencija (engl. natural frequency), ωn i konstanta prigušenja (engl. damping constant), ζ odgovarajuće određena relacijom:

254

fn Kωω =2 KK

fn ωωζ ==2

onda je moguće relaciju 8.71. nakon razvoja u parcijalne razlomke prikazati u obliku:

( ) ( )

++

+−

∆=

++

∆= 22222 2

212 nn

n

n

fd

nn

fdc ss

ss

Ksss

KsU

ωζωζω

ωωω

ωζωωω

(8.72)

Napon upravljanja u vremenskom području određen je inverznom Laplaceovom

transformacijom relacije 8.72:

( ) ( ) ( )

−

−+−−

∆= − t

nncntt

Ktu ζωωζ

ζζωζω e1sin

11cos1N 2

2

2

0

(8.73)

jer je za t ≥ 0:

111 =

−

sL

( ) t

n

n

nn

nt

ssζω

ωζ

ωζωζω

−−

−

−=

++e

1

1sin2

12

2

221L

( ) ( ) tnn

nn

nttss

s ζωωζζ

ζωζωζω

−−

−

−−−=

++e1sin

11cos

22

2

222

1L

U početnom trenutku, t = 0 napon upravljanja je uc(0) = 0, a u graničnom procesu kad t → ∞ napon upravljanja eksponencijalno konvergira vrijednosti:

( )0

NK

ucω∆

=∞ (8.73)

što je jednako kao i u slučaju sinkronizirane petlje prvog reda pa je jednak i napon na izlazu naponom upravljanog oscilatora (relacija 8.66):

( ) ( ) ( )( )tΘttu oo ωωω ∆+=+= 00 NcosNcos (8.75) Promjena frekvencije izlaznog signala jednaka je N-terostrukoj promjeni frekvencije signala na ulazu petlje drugog reda.

Pogreška faze razmatrane petlje u području kompleksne frekvencije je (relacija 8.60):

( ) ( )( )

( )( )222 2

2

nn

n

ff

f

ssss

Kssss

sωζω

ζωωωω

ωωε

+++∆

=++

+∆= (8.76)

gdje je za Θi(s) i H(s) uvrštena odgovarajuće relacija 8.62. i 8.70. Umjesto preslikavanja funkcije pogreške faze u vremensko područje moguće je primijeniti teorem granične vrijednosti za Laplaceovu transformaciju:

( ) ( )tfssFts ∞→→

= limlim0

255

( ) ( ) . tfsF L=gdje je općenito U graničnom procesu kad t → ∞ vrijednost pogreške faze je:

( ) ( )df

f

s KKKss

00

Nlim ωω

ωωεε ∆

=∆

==∞→

(8.77)

gdje je za ε(s) uvrštena relacija 8.76. Vrijednost pogreške faze u graničnom procesu ne iščezava pa petlja drugog reda ima jednaku statičku pogrešku kao i petlja prvog reda. Širina frekvencijskog pojasa petlje drugog reda zavisi o svojstvenoj frekvenciji, ωn i konstanti prigušenja, ζ:

[ ] 21

422 44221 ζζζω +++−= nB (8.78) Vrijeme potrebno za sinkronizaciju petlje drugog reda pri skokovitoj promjeni frekvencije ulaznog signala približno je:

BTa

2,2≈ (8.79)

gdje je širina frekvencijskog pojasa B određena relacijom 8.78. Prijenosnu funkciju petlje drugog reda, Θo(s)/Θi(s) moguće je odrediti ako se relaciju 8.70. za prijenosnu funkciju filtra petlje, H(s) uvrsti u relaciju 8.58. Frekvencijski odziv je prijenosna funkcija za s = jω; amplituda frekvencijskog odziva petlje drugog reda je:

( )( ) ( ) ( )22

i 21

Njj

nn

o

ωωζωωωω

+−=

ΘΘ (8.80)

Na slici 8.24. prikazana je zavisnost amplitude frekvencijskog odziva o normaliziranoj frekvenciji ω/ωn za N = 1 i neke vrijednosti konstante prigušenja ζ.

( )( )ω

ωjj

iΘΘo

nωω0,01 0,1 1,0 100

1

2

3

4

5

0,2=ζ0,1=ζ

1,0=ζ

4,0=ζ

8,0=ζ

Slika 8.24. Amplituda frekvencijskog odziva petlje drugog reda za N = 1

256

Kritično prigušenje nastupa za vrijednost ζ = 0,707; u tom slučaju frekvencijski odziv petlje drugog reda je niskopropusni s maksimalno glatkom amplitudom (Butterworthov odziv). Za vrijednost ζ < 0,707 nastupa rezonantno nadvišenje amplitude frekvencijskog odziva obrnuto razmjerno vrijednosti konstante prigušenja. Primjer 8.6. Fazom sinkronizirana petlja drugog reda ima jednaku vrijednost veličina kao i petlja prvog reda iz prethodnog primjera: frekvenciju izlaznog signala 200 MHz i referentnog signala 20 MHz, koeficijent pojačanja detektora faze 2 V/rad i koeficijent pojačanja naponom upravljanog oscilatora 2 MHz/V. Ako je granična frekvencija niskopropusnog filtra 800 kHz, odrediti širinu frekvencijskog pojasa i vrijeme sinkronizacije petlje. Omjer izlazne i ulazne frekvencije je N = 10 pa je vrijednost konstante K, svojstvene frekvencije ωn i konstante prigušenja ζ odgovarajuće:

Hz10410

2102N

56

0 ⋅=⋅⋅

== dKKK

rad/s 10554,310821042 655 ⋅=⋅⋅⋅⋅⋅== ππωω fn K

707,010422

10554,32 5

6

=⋅⋅⋅

⋅==

πωζKn

Pritom se faktor 2π pojavljuje zbog pretvorbe frekvencije u kutnu frekvenciju. Konstanta prigušenja ima kritičnu vrijednost pa je širina frekvencijskog pojasa razmatrane petlje (relacija 8.78):

[ ] rad/s 10554,344221 621

422 ⋅==+++−= nnB ωζζζω

kHz 6,5652

10554,3 6

=⋅

=π

B

Vrijeme sinkronizacije petlje drugog reda približno je (relacija 8.79):

µs 62,010554,3

2,22,26 =

⋅=≈

BTa

četiri puta kraće od vremena sinkronizacije odgovarajuće petlje prvog reda (primjer 8.5).

8.5. Fazni šum oscilatora Faznim šumom (engl. phase noise) se nazivaju kratkotrajne slučajne fluktuacije frekvencije, odnosno faze električnog signala. Šum kojeg generira oscilator ili sintezator frekvencije može značajno narušiti svojstva radiosustava. Osim što pridonosi ukupnoj razini šuma prijamnika, šum lokalnog oscilatora može uzrokovati pretvorbu naniže radiofrekvencijskih signala u okolišu prijenosnog signala. To ograničava selektivnost prijamnika i najmanji razmak susjednih radiokanala. Fazni šum također unosi neodređenost

257

kod detekcije digitalno moduliranih signala, posebno u slučaju digitalne fazne i kvadraturno amplitudne modulacije. Šum fazom sinkronizirane petlje ima više izvora, primjerice prijenos referentnog signala kroz filtar petlje i naponom upravljani oscilator, harmonici koje generira naponom upravljani oscilator te parazitni signali koje generira detektor faze. Nadalje, aktivni elementi sklopa naponom upravljanog oscilatora generiraju širokopojasni šum koji određuje najmanju razinu šuma (engl. noise floor) na izlazu sintezatora frekvencije. Treba istaknuti činjenicu da je dominantan šum u propusnom frekvencijskom pojasu petlje jer je značajno pojačan. Savršeni izvor signala ima spektar koji se sastoji od jedne delta funkcije na određenoj frekvenciji, ali spektar izlaznog signala stvarnog oscilatora ili sintezatora frekvencije ima oblik prikazan na slici 8.25. Diskretni šiljci u spektru su parazitni signali zbog harmonika oscilatora ili komponenti miješanja. Fazni šum uzrokuje razmjerno široku kontinuiranu razdiobu spektra oko frekvencije izlaznog signala.

f0 f

U

diskretniparazitni

signal

slučajnapromjena

faze

Slika 8.25. Spektar izlaznog signala stvarnog izvora Razina snage faznog šuma, LP(fm) je omjer snage šuma u jednom bočnom pojasu jedinične širine na frekvenciji pomaknutoj za fm od prijenosne i snage prijenosnog signala. Uobičajeno se iskazuje u decibelima, na primjer LP(25 kHz) = −110 dBc/Hz je razina snage faznog šuma −110 decibela u odnosu na snagu prijenosnog signala po hercu na frekvenciji pomaknutoj za 25 kHz od prijenosne. Neka je napon na izlazu oscilatora ili sintezatora frekvencije:

( ) ( )[ ] ( )( )tΘttAUtuo ++= 00 cos1 ω (8.81) gdje je promjena amplitude, A(t) i promjena faze, Θ(t) uzrokovana šumom. Općenito, promjena amplitude ima manji utjecaj na svojstva radiosustava. Promjena faze može biti diskretna (parazitni signal) ili slučajna (fazni šum) i nerazlučiva je od promjene frekvencije. Malu promjenu faze moguće je prikazati kao modulaciju frekvencije prijenosnog signala:

( ) ( ) ( )tΘtfftΘ mpmm

ωω sinsin =∆

= (8.82)

gdje je fm = ωm/(2π) frekvencija moduliranja, a Θp = ∆f/fm je najveće fazno odstupanje (devijacija) ili indeks modulacije. Uvrštavanjem izraza za Θ(t) u relaciju 8.81. slijedi:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )[ ]tΘttΘtUtu mpmpo ωωωω sinsinsinsincoscos 000 −= (8.83)

258

gdje je zanemarena promjena amplitude, A(t) = 0 i primijenjena trigonometrijska jednakost za kosinus zbroja. Ako su mala fazna odstupanja tako da je Θp << 1, onda je u relaciji 8.83. moguće koristiti približnu vrijednost trigonometrijske funkcije malog argumenta iskazanog u radijanima, sinx ≈ x i cosx ≈ 1:

( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( )( ) (( )[ ]

−−+−=

=−=

ttΘ

tU

tΘtUtu

mmp

mpo

ωωωωω

ωωω

0000

000

coscos2

cos

sinsincos

) (8.84)

gdje je primijenjena trigonometrijska jednakost za umnožak sinusa. Rezultat pokazuje da mala odstupanja faze ili frekvencije izlaznog signala uzrokuju bočni pojas, ω0 ± ωm s obje strane prijenosne frekvencije. Ako su ta odstupanja uzrokovana faznim šumom, spektar signala na izlazu oscilatora ili sintezatora frekvencije imat će oblik prikazan na slici 8.25. Za signal s valnim oblikom određenim relacijom 8.84. razina snage faznog šuma je:

( )24

21

221

22

20

20

rmsp

p

c

nmP

ΘΘ

U

ΘU

PPfL ==

== (8.85)

gdje je 2prms ΘΘ = efektivna vrijednost faznog odstupanja. Dvostrana spektralna gustoća snage pridružena faznom šumu uključuje snagu u oba bočna pojasa:

( ) ( ) 22

22 rms

pmPmΘ Θ

ΘfLfS === (8.86)

Fazni šum je moguće prikazati pomoću bijelog šuma kojeg generira električna mreža s dva pristupa. U potpoglavlju 3.5. spomenuto je da je snaga šuma na izlazu takve mreže jednaka kT0BFG gdje je k = 1,380·10−23 J/K Boltzmannova konstanta, T0 = 290 K je normirana temperatura, a B, F i G su odgovarajuće širina frekvencijskog pojasa, faktor šuma i pojačanje snage mreže. Za jediničnu širinu frekvencijskog pojasa, B = 1 Hz omjer gustoće snage šuma i snage signala na izlazu jednak je spektralnoj gustoći snage:

( )cc

mΘ PFkT

GPFGkTfS 00 == (8.87)

gdje je Pc snaga signala na ulazu razmatrane mreže. Spektralnu gustoću snage faznog šuma oscilatora moguće je odrediti pomoću Leesonovog modela kod kojeg je oscilator nadomješten bešumnim pojačalom s povratnom vezom (slika 8.26). Neka je naponsko pojačanje pojačala uključeno u frekvencijski odziv grane povratne veze, H(ω) pa je ukupni frekvencijski odziv nadomjesnog kruga:

( )( ) ( )ωωω

HUU

i

o

−=

11 (8.88)

259

Oscilator u grani povratne veze često sadrži rezonantni krug velikog Q faktora, primjerice Colpittsov, Hartleyev ili Clappov oscilator. U tom slučaju frekvencijski odziv grane povratne veze jednak je frekvencijskom odzivu paralelne RLC mreže:

( )

0

0

0

j21

1

j1

1

ωω

ωω

ωω

ω∆

+=

−+

=QQ

H (8.89)

gdje je ω0 rezonantna frekvencija, odnosno frekvencija izlaznog signala oscilatora, a ∆ω = ω − ω0 je frekvencijski pomak.

+ A=1

H(ω)

Ui(ω) Uo(ω)

SΘ(ω) SΦ(ω)

bešumnopojačalo

Slika 8.26. Leesonov model oscilatora s povratnom vezom Poznato je (potpoglavlje 3.3) da je spektralna gustoća snage signala na izlazu, SΦ(ω) jednaka umnošku kvadrata amplitude frekvencijskog odziva sustava (relacija 8.88) i spektralne gustoće snage signala na ulazu, SΘ(ω):

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )ωω

ωωω

ω

ω

ωωωω

ωω

ω

Θh

Θ

ΘΘΦ

SSQ

SQ

QS

HS

∆

+=

∆

+=

=∆

∆+

=−

=

2

2

22

20

20

22

20

22

2

14

1

4

41

11

(8.90)

gdje je za H(ω) uvrštena relacija 8.89, a ωh = ω0/(2Q) je širina frekvencijskog pojasa rezonantnog kruga na polovini snage (−3 dB). Na slici 8.27. prikazana je uobičajena frekvencijska zavisnost snage šuma na izlazu pojačala s tranzistorom i sinusoidalnim signalom s frekvencijom f0 narinutim na ulazu.

Pn/dB

0 fα f0 f

1/f šum

termičkišum

1/f šum okoprijenosnefrekvencije

Slika 8.27. Frekvencijska zavisnost snage šuma na izlazu pojačala s tranzistorom

260

Osim termičkog šuma tranzistor generira i šum treperenja ili 1/f šum. Vjerojatno ga uzrokuju slučajne fluktuacije gustoće nosilaca naboja u poluvodičkom elementu. Na frekvencijama nižim od fα šum treperenja je razmjeran recipročnoj vrijednosti frekvencije. Zbog nelinearnosti tranzistora 1/f šum modulira narinuti sinusoidalni signal pa nastaju bočni pojasevi oko prijenosne frekvencije f0. Tako je 1/f šum dominantna komponenta faznog šuma pa ga valja uključiti u razmatrani model oscilatora. Spektralna gustoća snage šuma na ulazu Leesonovog modela, SΘ(ω) prikazana je na slici 8.28. Pritom komponenta K/(∆ω) prikazuje 1/f šum u okolišu prijenosne kutne frekvencije ω0 = 2πf, a kT0F/P0 termički šum:

( )

∆+=

ωωω αK

PFkTSΘ 1

0

0 (8.91)

gdje je P0 snaga signala na ulazu, K je konstanta razmjerna razini 1/f šuma, a ωα = 2πfα je lomna frekvencija 1/f šuma. Vrijednost lomne frekvencije (engl. corner frequency) ovisi o vrsti tranzistora u sklopu oscilatora s povratnom vezom. Na primjer silicijski tranzistor s efektom polja najčešće ima lomnu frekvenciju, fα u rasponu od 50 Hz do 100 Hz, bipolarni tranzistor u rasponu od 5 kHz do 50 kHz, a FET od galijeva arsenida u rasponu od 2 MHz do 10 MHz.

SΘ(ω)

ωω0 ωα

K/(∆ω)

kT0F/P0

Slika 8.28. Spektralna gustoća snage šuma na ulazu Leesonovog modela Uvrsti li se u relaciju 8.90. izraz za spektralnu gustoću snage šuma na ulazu (relacija 8.91), slijedi spektralna gustoća snage šuma na izlazu Leesonovog modela oscilatora s povratnom vezom:

( )

+

∆+

∆+

∆=

=

+

∆+

∆+

∆=

1

144

2

2

3

2

0

0

22

20

32

20

0

0

ωω

ωω

ωωω

ωω

ωω

ωωωω

αα

αα

KKP

FkT

KQQ

KP

FkTS

hh

Φ

(8.92)

Na slici 8.29. ovaj rezultat je prikazan pomoću asimptota; razlikuje se dva slučaja ovisno o vrijednosti drugog i trećeg pribrojnika u zagradama. U oba slučaja na frekvencijama bliskim prijenosnoj, ω0 funkcija spektralne gustoće snage ima asimptotu s nagibom −30 dB po frekvencijskoj dekadi. Ako rezonantni krug u grani povratne veze oscilatora ima razmjerno malu vrijednost Q faktora tako da je ωh > ωα, onda je asimptota funkcije spektralne gustoće snage između ovih frekvencija s nagibom −20 dB po frekvencijskoj dekadi (slika 8.29.a). U slučaju velikog Q faktora kad je ωh < ωα nagib ove asimptote je −10 dB po frekvencijskoj dekadi (slika 8.29.b). Osim toga razabire se da je najveća razina faznog šuma na frekvenciji koja teži prijenosnoj. Relacija 8.92. pokazuje da je prvi pribrojnik u zagradama razmjeran

261

1/Q2 pa manju razinu faznog šuma ostvaruje oscilator s rezonantnim krugom velikog Q faktora u grani povratne veze.

SΦ(ω)

ωω0 ωα ωha)

SΦ(ω)

ωω0 ωαωhb)

−30 dB/dek.

−20 dB/dek.

−30 dB/dek.

−10 dB/dek.

0 dB/dek. 0 dB/dek.

Slika 8.29. Spektralna gustoća snage šuma na izlazu Leesonovog modela: a) za ωh > ωα; b) za ωh < ωα

Na frekvencijama udaljenijim od prijenosne spektralna gustoća snage ima značajke

termičkog šuma: neovisna je o frekvenciji i razine razmjerne faktoru šuma. Leesonov model oscilatora sadrži bešumno pojačalo, F = 1 (ili 0 dB) pa je najmanja razina spektralne gustoće snage na izlazu kT0 = −174 dBm/Hz. Treba podsjetiti da je prema relaciji 8.86. jednobočna razina snage faznog šuma, LP(fm) jednaka polovini dvobočne spektralne gustoće snage šuma, SΦ(ω) (relacija 8.92). Provedeno razmatranje faznog šuma za oscilator s povratnom vezom moguće je, sa sličnim rezultatom proširiti na fazom sinkroniziranu petlju. Međutim, preostaje razmotriti učin faznog šuma na značajke prijamnika i njegovu najveću prihvatljivu razinu u određenom radiosustavu. Spomenuto je da fazni šum može povećati učestalost pogrešnog bita, ali i još češće degradirati selektivnost prijamnika. Vjerojatnost pogreške za digitalne modulacijske postupke zavisi o varijanci (snazi) šuma, σ2. Ukupnu snagu faznog šuma moguće je odrediti integriranjem njegove spektralne gustoće snage u propusnom, međufrekvencijskom pojasu prijamnika. Općenito, to je složen postupak pa se snagu faznog šuma najčešće određuje mjerenjem. Za grubu procjenu učestalosti pogrešnog bita moguće je koristiti i relaciju 8.85. kojom je određena efektivna vrijednost fazne pogreške. Na primjer za razmjerno visoku razinu snage faznog šuma −80 dBc/Hz u propusnom pojasu širine 30 kHz efektivna vrijednost fazne pogreške je približno 1,4° što ima zanemarivo mali učin za većinu modulacijskih postupaka. Fazni šum lokalnog oscilatora degradira selektivnost prijamnika tako što uzrokuje pretvorbu frekvencije naniže i neželjenih signala u okolišu prijenosnog signala (slika 8.30).

IF IF

IF0 f0

f

U

IF signal

LO signal

faznišum

željeniRF signal

neželjeniRF signal

Slika 8.30. Prikaz recipročnog miješanja zbog faznog šuma lokalnog oscilatora

262

Dio spektra faznog šuma koji uzrokuje ovu pretvorbu i frekvencija neželjenog signala razlikuju se za vrijednost međufrekvencije. Na taj način razina faznog šuma ograničava najmanju razliku frekvencije željenog i neželjenog signala, odnosno selektivnost prijamnika. Ovaj proces se naziva recipročnim miješanjem (engl. reciprocal mixing). Moguće je razabrati (slika 8.30) da je uz potiskivanje neželjenog signala (selektivnost) za S ≥ 0 dB najveća dopuštena razina snage faznog šuma:

( )

−−−=

Hzlog10

dBdBdBHzdB mmc

BISCfL mP (8.93)

gdje je C razina snage željenog prijenosnog signala, I je razina snage neželjenog interferirajućeg signala, a B je širina propusnog međufrekvencijskog pojasa. Primjer 8.7. Za sustav GSM pokretnog telefona predviđeno je najmanje potiskivanje za 9 dB interferirajućeg signala s navedenom razinom snage i pomakom frekvencije od prijenosne (tablica 8.2). Ako je razina snage željenog prijenosnog signala −99 dBm i širina propusnog međufrekvencijskog pojasa (širina radiokanala) 200 kHz, odrediti najveću dopuštenu razinu snage faznog šuma lokalnog oscilatora.

Tablica 8.2. Najveća razina snage faznog šuma lokalnog oscilatora za neke interferirajuće signale (C = −99 dBm, S = 9 dB i B = 200 kHz)

pomak frekvencije od

prijenosne, fm/MHz razina interferirajućeg

signala, I/dBm razina faznog šuma lokalnog oscilatora, LP(fm)/(dBcHz−1)

3,0 −23 −138

1,6 −33 −128

0,6 −43 −118

Prema relaciji 8.93. najveća dopuštena razina snage faznog šuma lokalnog oscilatora za navedene značajke interferirajućeg signala je:

( ) ( ) ( ) ( )m

3

mc dB16110200log10

dB999

HzdBmmmP fIfIfL

−−=⋅−−−−=

( ) ( ) HzdB 13823161 MHz0,3 c−=−−−=PL

( ) ( ) HzdB 12833161 MHz6,1 c−=−−−=PL

( ) ( ) HzdB 11843161 MHz6,0 c−=−−−=PL

Ove razine faznog šuma (tablica 8.2) iziskuju uporabu sintezatora frekvencije s fazom sinkroniziranom petljom. U GSM sustavu pokretnog telefona recipročno miješanje najčešće uzrokuje primljene pogrešne bitove, a učin termičkog šuma antene i prijamnika je zanemariv.

263

9. MODULACIJSKI POSTUPCI Iako je načelno moguće izravno odaslati signal s frekvencijom u osnovnom pojasu, redovito je znatno djelotvornije odaslati poruku moduliranu na prijenosni signal više frekvencije. To omogućuje potpuni nadzor nad spektrom zračenog signala, efikasniju uporabu pridijeljenog radiofrekvencijskog pojasa i prilagodljivost različitim oblicima signala iz osnovnog frekvencijskog pojasa. Sinusoidalni prijenosni signal moguće je modulirati promjenom jedne njegove značajke: amplitude, frekvencije ili faze. Većina suvremenih radiosustava koristi digitalne modulacijske postupke kod kojih se modulirajuća varijabla mijenja u diskretnim koracima. Tako je moguće efikasnije koristiti spektar i najčešće smanjiti snagu odašiljanja u odnosu na analogne modulacijske postupke. Nadalje, digitalna modulacija ostvaruje bolja svojstva u radiokomunikacijskom kanalu s fedingom, a prilagođena je i kodiranju za ispravljanje pogreški. Svrhovito je razmatranje započeti od analognih modulacijskih postupaka, ali zatim punu pozornost valja usmjeriti na digitalne postupke. Pritom treba razmotriti sklopove za modulaciju i detekciju, učin šuma na proces detektiranja i zavisnost učestalosti pogrešnog bita o šumu. 9.1. Analogna modulacija

Blok-shema radiosustava prikazana je na slici 9.1. Odašiljač sadrži modulator jer je njegova temeljna zadaća transformirati signal poruke iz osnovnog u propusni frekvencijski pojas. Suprotna je zadaća demodulatora u sklopu prijamnika; izvornu poruku u osnovnom frekvencijskom pojasu treba obnoviti iz primljenog moduliranog prijenosnog signala. U oba slučaja radiouređaj je superheterodinski jer je modulator/demodulator sučelje između modulacijskog i IF signala. Osim željenog signala u prijamniku je uvijek prisutan i šum pa značajke demodulatora imaju presudan utjecaj na ukupna svojstva radiosustava.

modulatorpretvornikfrekvencije

naviše

radiofrekvencijskistupanj

modulacijskisignal

IFsignal

RFsignal

RFsignal

demodulatorpretvornikfrekvencije

naniže

radiofrekvencijskistupanj

RFsignal

RFsignal

IFsignal

modulacijskisignal

a)

b)

Slika 9.1. Blok-shema radiosustava: a) odašiljač; b) prijamnik

264

U postupku analogne modulacije valni oblik modulacijskog signala je kontinuirana funkcija vremena. Spektar modulacijskog signala je u ograničenom, osnovnom frekvencijskom pojasu. Rezultirajući modulirani signal je prijenosni sinusoidalni signal kojem se amplituda ili frekvencija, odnosno faza mijenja u zavisnosti o razini modulacijskog signala. U prvom slučaju postupak je modulacija amplitude (AM, engl. amplitde modulation), a u drugom je modulacija argumenta (kuta, engl. argument (angle) modulation), odnosno odgovarajuće modulacija frekvencije (FM, engl. frequency modulation) i modulacija faze (PM, engl. phase modulation). Općenito, valni oblik modulacijskog signala je slučajan, ali neka je zbog jednostavnosti sinusoidalan, m(t) = cos(2πfmt) s frekvencijom u rasponu 0 ≤ fm ≤ fM, gdje je fM gornja granična frekvencija osnovnog pojasa. Spektar prijenosnog signala s moduliranom amplitudom sadrži dva bočna pojasa oko prijenosne frekvencije. Bočni pojas je osnovni frekvencijski pojas modulacijskog signala premješten u okoliš prijenosne frekvencije. Obradom moduliranog signala u frekvencijskom području moguće je ostvariti posebne vrste modulacije amplitude, na primjer modulaciju amplitude s potisnutim prijenosnim signalom, s jednim bočnim pojasom, s djelomično reduciranim bočnim pojasom, s dva neovisna bočna pojasa ili kvadraturnu modulaciju amplitude. Na slici 9.2. prikazana je blok-shema radiokomunikacijskog sustava s modulacijom amplitude i jednim bočnim pojasom, SSB. Pritom je odašiljač i prijamnik modeliran odgovarajuće SSB modulatorom i SSB demodulatorom, a zanemaren je učin radiofrekvencijskog stupnja. Na izlazu miješala u sastavu SSB modulatora signal je s moduliranom amplitudom i dva bočna pojasa, DSB. Pojasno propusni filtar na izlazu SSB modulatora izdvaja jedan bočni pojas. Umjesto filtrom bočnog pojasa zahtjevnih svojstava moguće je signal u gornjem (donjem) bočnom pojasu, USB (LSB) izravno generirati jednobočnim modulatorom (miješalo koje odstranjuje signal zrcalne frekvencije, potpoglavlje 7.4). Spektar SSB signala je u propusnom frekvencijskom pojasu od fIF do fIF + fM, gdje je fM najviša frekvencija modulacijskog signala, m(t).

+

kanal i prijamnikSSB modulator SSB demodulator

fMm(t)

fIFn0/2

(AWGN)

ui(t) u1(t) uo(t)

fIF

Si, Ni N1 So, Nofiltar

bočnogpojasa

IF filtarfiltar

osnovnogpojasa

DSB SSB

Slika 9.2. Blok-shema radiosustava s modulacijom amplitude i jednim bočnim pojasom

Zbrajalom je modeliran bijeli, Gaussov šum pridodan signalu (AWGN, engl. additive white Gaussian noise) u prijenosnom kanalu i generiran ulaznim stupnjem prijamnika. Dvostrana spektralna gustoća snage tog šuma je n0/2. Međufrekvencijski, IF filtar propušta SSB signal i šum u propusnom frekvencijskom pojasu od fIF do fIF + fM. U demodulatoru se SSB signal miješa sa signalom lokalnog oscilatora s frekvencijom fIF. Razliku frekvencija ovih signala u osnovnom pojasu izdvaja niskopropusni filtar na izlazu SSB demodulatora. Treba istaknuti da je jednaka frekvencija i faza signala lokalnog oscilatora u sastavu demodulatora i modulatora. To se naziva sinkronom ili koherentnom demodulacijom (engl. synchronous demodulation, coherent demodulation).

Neka je napon jednobočnog signala na ulazu demodulatora (slika 9.2):

265

( ) ( )( ) ( )tntAtu mIFi ++= ωωcos (9.1) gdje je ωIF = 2πfIF i ωm = 2πfm kutna frekvencija odgovarajuće signala lokalnog oscilatora u sastavu SSB modulatora i modulacijskog signala, a n(t) je signal bijelog, Gaussovog šuma s frekvencijom ograničenom propusnim pojasom IF filtra. Za takav uskopojasni šum vrijede rezultati iz potpoglavlja 3.3. pa ga je moguće prikazati u kvadraturnom obliku:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )ttyttxtn IFIF ωω sincos −= , gdje je x(t) istofazna, a y(t) kvadraturna (ortogonalna) komponenta šuma. Uvrštavanje u relaciju 9.1. daje:

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )ttyttxtAtu IFIFmIFi ωωωω sincoscos −++= (9.2) Uz sinusoidalni signal lokalnog oscilatora, cos(2πfIFt) napon signala na izlazu miješala u sastavu SSB demodulatora (slika 9.2) je:

( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )ttyttxtAtAttutu

IFIFmIFm

IFi

ωωωωω

ω

2sin212cos1

212cos

2cos

2

cos1

−++++=

== (9.3)

gdje je za ui(t) uvrštena relacija 9.2. i primijenjena jednakost za umnožak trigonometrijskih funkcija. Pritom je zanemarena konstanta pretvorbe miješala. Nakon filtriranja niskopropusnim filtrom napon signala na izlazu SSB demodulatora je:

( ) ( ) ( )txtAtu mo 21cos

2+= ω (9.4)

Razabire se da signal na izlazu razmatranog radiosustava sadrži ulazni modulacijski signal i istofaznu komponentu pridodanog bijelog, Gaussovog šuma u propusnom pojasu IF filtra. Kvadraturna komponenta šuma iščezava zbog sinkrone demodulacije. Srednju snagu jednobočnog signala na ulazu demodulatora moguće je odrediti usrednjavanjem u vremenu kvadrata napona (relacija 9.1):

2

2ASi = (9.5)

Jednakim postupkom nad relacijom 9.4. moguće je odrediti srednju snagu signala na izlazu demodulatora:

48221 22

io

SAAS ==

= (9.6)

Prema rezultatima iz potpoglavlja 3.3. srednja snaga uskopojasnog šuma na ulazu SSB demodulatora je (relacije 9.1. i 9.2):

( ) ( ) ( ) tyEtxEtnENi222 === (9.7)

266

a srednja snaga uskopojasnog šuma na izlazu SSB demodulatora je (relacija 9.4):

( ) ( ) 44

121 2

2i

oNtxEtxEN ==

= (9.8)

Omjer snage signala i šuma na izlazu razmatranog demodulatora (relacije 9.6. i 9.8):

i

i

i

i

o

o

NS

NS

NS

==4

4 (9.9)

jednak je omjeru snage signala i šuma na ulazu. Obrada signala u SSB demodulatoru podjednako utječe na ulazni signal i šum te je njihov omjer stalan. Sinkrona demodulacija amplitudno moduliranog signala s jednim bočnim pojasom u osnovi je bez gubitaka u odnosu na omjer signala i šuma. Naravno, stvarni demodulator sadrži komponente koje imaju gubitke i generiraju šum pa je smanjen omjer signala i šuma na izlazu. Spektralna gustoća snage pridodanog bijelog, Gaussovog šuma na ulazu IF filtra (slika 9.2) je n0/2. Na slici 9.3.a) prikazana je spektralna gustoća snage šuma na izlazu IF filtra s propusnim frekvencijskim pojasom od fIF do fIF + fM. Snaga šuma na ulazu SSB demodulatora uključujući i negativni dio spektra je:

MMi fnnfN 00

22 == (9.10)

Miješanje pojasnog šuma sa signalom lokalnog oscilatora ima učin pomaka spektra šuma naviše i naniže za fIF (slika 9.3.b).

iNS1NS

oNS

f f f

n0/2

0 fIFfIF+fM

-fIF-fIF-fMa)

n0/8 n0/8

fM-fM 0-2fIF-2fIF-fM

2fIF2fIF+fMb)

-fM 0 fM

c)

Slika 9.3. Spektralna gustoća snage šuma u SSB demodulatoru: a) na ulazu miješala; b) na izlazu miješala; c) na izlazu niskopropusnog filtra

Spektralna gustoća snage šuma na izlazu miješala u sastavu SSB demodulatora je n0/8 jer se miješanjem snaga šuma smanjuje na polovinu (potpoglavlje 3.3):

284 00

1M

MfnnfN == (9.11)

Na slici 9.3.c) prikazana je spektralna gustoća snage šuma na izlazu niskopropusnog filtra osnovnog frekvencijskog pojasa do fM. Snaga šuma na izlazu razmatranog demodulatora uključujući i negativni dio spektra je:

267

4482 00 iM

MoNfnn

fN === (9.12)

gdje je uvrštena relacija 9.10. Pomoću ovog rezultata moguće je omjer snage signala i šuma na izlazu SSB demodulatora (relacija 9.9) prikazati u zavisnosti o spektralnoj gustoći snage šuma na ulazu, n0/2 i širini osnovnog frekvencijskog pojasa, fM:

M

i

o

o

fnS

NS

0

= (9.13)

Na slici 9.4. prikazana je blok-shema radiokomunikacijskog sustava s modulacijom amplitude i dva bočna pojasa, DSB. Množenjem modulacijskog signala i signala lokalnog oscilatora na izlazu miješala u sastavu DSB modulatora nastaje dvobočni amplitudno modulirani signal. Ako je miješalo savršeno, prijenosni signal s frekvencijom fIF iščezava na izlazu; izlazni signal je s moduliranom amplitudom te dva bočna pojasa i potisnutim prijenosnim signalom (DSB-SC, engl. double sideband suppressed carrier). Za takav signal kod stvarnih miješala nužno je filtriranje na izlazu. Spektar DSB-SC signala je u propusnom frekvencijskom pojasu od fIF − fM do fIF + fM, gdje je fM najviša frekvencija modulacijskog signala, m(t). To je dvostruka širina propusnog pojasa u odnosu na SSB signal. Međufrekvencijskim, IF filtrom ograničena je širina propusnog frekvencijskog pojasa na 2fM, simetrično oko frekvencije fIF, za modulirani signal s pridodanim bijelim, Gaussovim šumom.

+

kanal i prijamnikDSB modulator DSB demodulator

2fMm(t)

fIFn0/2

(AWGN)

ui(t) u1(t) uo(t)

fIF

Si, Ni N1 So, No

IF filtarfiltar

osnovnogpojasa

DSB-SC

Slika 9.4. Blok-shema radiosustava s modulacijom amplitude te dva bočna pojasa i potisnutim prijenosnim signalom

Neka je napon DSB-SC signala na ulazu demodulatora (slika 9.4):

( ) ( )( ) ( )( ) tntAtAtu mIFmIFi +++−= ωωωω cos2

cos2

( ) (9.14)

Pritom je srednja snaga dvobočnog signala na ulazu demodulatora jednaka snazi odgovarajućeg jednobočnog signala (relacija 9.5), odnosno u oba slučaja jednaka je snaga odaslanog signala:

2221

221 222 AAASi =

+

= (9.15)

Uz kvadraturni prikaz uskopojasnog šuma n(t) relacija 9.14. prelazi u oblik:

268

( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )ttyttxtAtAtu IFIFmIFmIFi ωωωωωω sincoscos2

cos2

−+++−= (9.16)

Napon signala na izlazu miješala u sastavu DSB demodulatora (slika 9.4) je:

( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) (( )[ ])

( ) ( )[ ] ( ) ( )ttyttx

ttAtAttutu

IFIF

mIFmIFm

IFi

ωω

ωωωωω

ω

2sin212cos1

21

2cos2cos22

cos2

cos1

−++

+++−+=

==

(9.17)

gdje je za ui(t) uvrštena relacija 9.16. i primijenjena jednakost za umnožak trigonometrijskih funkcija, a zanemarena je konstanta pretvorbe miješala. Nakon filtriranja niskopropusnim filtrom napon signala na izlazu DSB demodulatora:

( ) ( ) ( )txtAtu mo 21cos

2+= ω (9.18)

sadrži ulazni modulacijski signal i istofaznu komponentu pridodanog bijelog, Gaussovog šuma u propusnom pojasu IF filtra. Kvadraturna komponenta šuma iščezava zbog sinkrone demodulacije. Srednju snagu signala na izlazu DSB demodulatora moguće je odrediti usrednjavanjem u vremenu kvadrata izlaznog napona (relacija 9.18):

24221 22

io

SAAS ==

= (9.19)

gdje je srednja snaga ulaznog signala, Si određena relacijom 9.15. Ovaj rezultat za DSB demodulator, So = Si/2 je dvostruko veći od rezultata za SSB demodulator, So = Si/4 (relacija 9.6). To je zato što su odgovarajući signali u bočnim pojasevima istofazni pa im se naponi udvostručuju nakon miješanja sa signalom lokalnog oscilatora. Međutim, svaki bočni pojas DSB signala prenosi polovinu snage SSB signala pa je izlazna snaga dva puta veća. Srednja snaga uskopojasnog šuma na izlazu DSB demodulatora je (relacija 9.18):

( ) ( ) 44

121 2

2i

oNtxEtxEN ==

= (9.20)

gdje je Ni = En2(t) = Ex2(t) = Ey2(t) srednja snaga šuma na ulazu kao i u slučaju SSB demodulatora (relacija 9.7). Omjer snage signala i šuma na izlazu razmatranog DSB demodulatora (relacije 9.19. i 9.20):

i

i

i

i

o

o

NS

NS

NS 24

2== (9.21)

269

pokazuje prividno udvostručenje u odnosu na omjer snage signala i šuma na ulazu. To je posljedica spomenutog udvostručenja snage izlaznog signala. Međutim, snaga šuma na ulazu DSB demodulatora uključujući i negativni dio spektra je:

MMi fnnfN 00 2

24 == (9.22)

gdje je n0/2 spektralna gustoća snage pridodanog bijelog, Gaussovog šuma na ulazu IF filtra s propusnim frekvencijskim pojasom širine 2fM (slika 9.4). Uvrsti li se ovaj izraz za Ni u relaciju 9.21, slijedi za omjer signala i šuma na izlazu razmatranog demodulatora:

M

i

o

o

fnS

NS

0

= (9.23)

što je jednaki rezultat kao i u slučaju SSB demodulatora (relacija 9.13). To znači da koherentni DSB-SC demodulator i koherentni SSB demodulator imaju jednake značajke u pogledu omjera signala i šuma. Primjer 9.1. Odrediti omjer snage signala i šuma na izlazu koherentnog DSB-SC demodulatora (slika 9.4) ako je napon ulaznog signala ui(t) = m(t)cos(ωIFt) + n(t), gdje je modulacijski signal m(t) slučajni proces sa srednjom vrijednošću Em(t) = 0 i varijancom Em2(t) = m2/2 (snaga signala na otporu 1 Ω), a n(t) je signal pridodanog bijelog, Gaussovog šuma s frekvencijom ograničenom propusnim pojasom IF filtra. Uz sinusoidalni signal lokalnog oscilatora, cos(ωIFt) napon na izlazu miješala u sastavu razmatranog demodulatora je:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( )ttyttxttm

tttyttxttmttutu

IFIFIF

IFIFIFIFIFi

ωωω

ωωωωω

2sin2

2cos12

2cos12

cossincoscoscos 221

−+++=

=−+==

gdje je uskopojasni šum prikazan u kvadraturnom obliku. Nakon filtriranja niskopropusnim filtrom napon na izlazu razmatranog demodulatora je:

( ) ( ) ( )txtmtuo 21

21

+=

Srednja snaga ulaznog i izlaznog signala odgovarajuće je:

( ) 42

1 22 mtmESi == ( )

2821 22

io

SmtmES ==

=

Srednja snaga šuma na izlazu razmatranog demodulatora je (relacija 9.20):

( ) ( ) 44

121 2

2i

oNtxEtxEN ==

=

Omjer snage signala i šuma na izlazu koherentnog DSB-SC demodulatora:

270

i

i

i

i

o

o

NS

NS

NS 24

2==

jednak je kao i u slučaju sinusoidalnog modulacijskog signala (relacija 9.21).

Amplitudno modulirani signal može pored dva bočna pojasa sadržavati i prijenosni signal razmjerno velike razine (DSB-LC, engl. double sideband large carrier). Kod takvog postupka modulacije moguće je prijenosnim signalom sinkronizirati lokalni oscilator u sastavu koherentnog demodulatora. Blok-shema radiosustava s modulacijom amplitude te dva bočna pojasa i prijenosnim signalom velike razine jednaka je kao i u slučaju dvobočne modulacije s potisnutim prijenosnim signalom (slika 9.4). Neka je napon DSB-LC signala na ulazu demodulatora:

( ) ( )[ ] ( ) ( )tnttmAtu IFi ++= ωcos1 (9.24) gdje je m(t) = mcos(ωmt) sinusoidalni modulacijski signal, a n(t) je signal bijelog, Gaussovog šuma s frekvencijom ograničenom propusnim pojasom IF filtra. Indeks modulacije (engl. modulation index) je omjer amplitude modulacijskog signala, m i amplitude prijenosnog signala, A. Srednja snaga pridružena ovom ulaznom signalu je:

42

222 AmASi += (9.25)

gdje je prvi član snaga prijenosnog signala, a drugi član je snaga signala u bočnim pojasevima. Snaga prijenosnog signala povećava ukupnu snagu signala na ulazu DSB-LC demodulatora, ali ne pridonosi snazi signala na izlazu jer ne sadrži nikakvu informaciju. Uskopojasni šum je moguće prikazati u kvadraturnom obliku, a nakon miješanja ulaznog signala sa signalom lokalnog oscilatora i niskopropusnog filtriranja na izlazu DSB-LC demodulatora napon je:

( ) ( ) ( )txtmAtu mo 21cos

2+= ω (9.26)

Srednja snaga signala na izlazu razmatranog demodulatora je:

( )2

2

222

2222

2242

88 mSm

AmASAmAmS ii

o +=

+== (9.27)

gdje je pomoću relacije 9.25. iskazana zavisnost o ulaznoj snazi. Širina propusnog pojasa međufrekvencijskog, IF filtra je 2fM pa je srednja snaga uskopojasnog šuma na ulazu i izlazu razmatranog demodulatora određena odgovarajuće relacijom 9.22. i 9.20. Zato je omjer snage signala i šuma na izlazu DSB-LC demodulatora:

( )20

2

2

2

222

mfnSm

mm

NS

NS

M

i

i

i

o

o

+=

+= (9.28)

271

Ako je indeks modulacije m >> 1, odnosno snaga prijenosnog signala zanemarivo mala u odnosu na snagu signala u bočnom pojasu, relacija 9.28. približno je jednaka relaciji 9.23. za omjer signala i šuma na izlazu DSB-SC demodulatora. Kad snaga prijenosnog signala nije zanemariva omjer signala i šuma na izlazu DSB-LC demodulatora je manji u odnosu na SSB ili DSB-SC demodulator. Na primjer uz indeks modulacije m = 1 (ili 100 %) prema relaciji 9.28. je m2/(2+m2)=1/3, a to znači manji omjer signala i šuma za približno 4,8 dB. Spomenuto je da SSB i DSB-SC demodulator nužno sadrži sinkronizirani lokalni oscilator. Ako je u postupku modulacije zadržan prijenosni signal, moguće je izvršiti demodulaciju bez lokalnog oscilatora i miješala uporabom detektora anvelope. Pritom nije nužno poznavanje faze primljenog signala pa je detektor anvelope primjer nekoherentnog demodulatora. Asinkrona demodulacija omogućuje znatno jednostaviji krug prijamnika. To je prednost kod radiosustava s velikim brojem prijamnika, primjerice sustava AM radiodifuzije. Napon DSB-LC signala na ulazu demodulatora (relacija 9.24) moguće je prikazati u obliku:

( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )ttrttmAtu IFIFi ωω coscos1 =+= (9.29) gdje je r(t) vremenska zavisnost amplitude, odnosno ovojnica (anvelopa) prijenosnog signala. Na slici 9.5. prikazan je uobičajeni valni oblik određen relacijom 9.29. Treba istaknuti da se modulacijski signal, m(t) i ovojnica, r(t) razlikuju samo za konstantni član.

ui(t)

t

r(t )cos(ωIFt )

Slika 9.5. Uobičajeni valni oblik DSB-LC signala Osnovni električni krug detektora anvelope prikazan je na slici 9.6.a). Ako je na ulaz ovog kruga narinut DSB-LC signal (relacija 9.29), onda propusno polarizirana dioda omogućuje nabijanje kondenzatora, C u dijelu perioda prijenosnog signala. Naravno, u preostalom dijelu perioda prijenosnog signala dioda je nepropusno polarizirana pa se kondenzator prazni kroz otpornik, R. Napon na izlazu detektora anvelope, r(t) prikazan je na slici 9.6.b). U stvarnosti je frekvencija prijenosnog signala u odnosu na najvišu frekvenciju modulacijskog signala redovito puno viša od prikazanog pa napon na izlazu primjereno projektiranog detektora anvelope znatno bolje aproksimira ovojnicu.

u(t)

t

r (t)

R Cui(t) r (t)

a) b)

ovojnica prijenosnisignal

Slika 9.6. Detektor anvelope: a) električni krug; b) valni oblik izlaznog signala

272

Vrijednost vremenske konstante, RC treba biti dovoljno velika da se napon na kondenzatoru ne smanjuje prebrzo dok je dioda nepropusno polarizirana, ali i dovoljno mala da izlazni napon može slijediti najveći negativni nagib ovojnice. Signal na izlazu sadrži istosmjernu komponentu koju valja odstraniti serijski spojenim kondenzatorom. To može ograničiti odziv detektora anvelope na niskim frekvencijama.

Razabire se da ovojnica, r(t) može poprimiti negativnu vrijednost ako je indeks modulacije veći od jedan, m > 1 (relacija 9.29). To se naziva premodulacijom (engl. overmodulation) prijenosnog signala. U tom slučaju modulacijski signal nije moguće potpuno obnoviti detektorom anvelope jer je napon na njegovom izlazu uvijek pozitivan. Zato u sustavu AM radiodifuzije indeks modulacije mora uvijek biti manji od 100 %. Naravno, koherentnim demodulatorom moguće je čak i u slučaju premodulacije obnoviti modulacijski signal.

Blok-shema DSB-LC radiokomunikacijskog sustava s asinkronom demodulacijom pomoću detektora anvelope prikazana je na slici 9.7. Kao i u slučaju sinkrone demodulacije međufrekvencijskim, IF filtrom ograničena je širina propusnog frekvencijskog pojasa na 2fM, simetrično oko frekvencije fIF, za modulirani signal s pridodanim bijelim, Gaussovim šumom. Pritom je fM najviša frekvencija modulacijskog signala, m(t).

+

kanal i prijamnikDSB modulator DSB demodulator

2fMm(t)

fIFn0/2

(AWGN)

ui(t) uo(t)

Si, Ni So, No

IF filtar detektoranvelope

DSB-LC

Slika 9.7. Blok-shema DSB-LC radiosustava s asinkronom demodulacijom Neka je modulacijski signal sinusoidalan, m(t) = mcos(ωmt). Napon DSB-LC signala na ulazu detektora anvelope (relacija 9.24) moguće je prikazati u obliku:

( ) ( )[ ] ( ) ( )( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) (( )tΘttrttyttxtAmA

tnttmAtu

IFIFIFm

IFi

+=−++= )=++=

ωωωωω

cossincoscos cos1

(9.30)

gdje je r(t) ovojnica, a Θ(t) faza moduliranog signala određena odgovarajuće:

( ) ( ) ( )[ ] ( )tytxtAmAtr m22cos +++= ω (9.31)

( ) ( )( ) ( )

++

=txtAmA

tytΘmωcos

arctan (9.32)

Pritom je signal pridodanog bijelog, Gaussovog šuma u propusnom pojasu IF filtra prikazan u kvadraturnom obliku, n(t) = x(t)cos(ωIFt) − y(t)sin(ωIFt). Srednja snaga pridružena ovom ulaznom signalu je (relacija 9.25):

273

42

222 AmASi += (9.33)

Srednju snagu signala na izlazu detektora anvelope moguće je odrediti usrednjavanjem u vremenu kvadrata napona ovojnice (relacija 9.31):

2

222 AmASo += (9.34)

gdje je prvi član snaga istosmjerne komponente koju se redovito odstranjuje serijski spojenim kondenzatorom. Snagu šuma sadržanog u naponu ovojnice nije lako odrediti zbog nelinearne zavisnosti u relaciji 9.31. Ako je na ulazu detektora anvelope veliki omjer signala i šuma, odnosno x(t) << A i y(t) << A, onda za ovojnicu signala na izlazu približno vrijedi:

( ) ( ) ( )[ ] ( )( ) ( )[ ]

( ) ( )txtAmAtxtAmA

tytxtAmAtr

m

mm

++≈

≈++

+++=

ωω

ω

cos cos

1cos 2

2

(9.35)

U tom slučaju srednja snaga uskopojasnog šuma na izlazu detektora anvelope je:

( ) io NtxEN == 2 (9.36) pa je omjer snage signala i šuma na izlazu:

iii

i

o

o NSm

mNS

NS za veliki

22

2

2

+= (9.37)

gdje je za So uvrštena relacija 9.27. To je jednaki rezultat kao i za sinkronu demodulaciju DSB-LC signala (relacija 9.28). Međutim, ako na ulazu nije veliki omjer signala i šuma, onda je na izlazu detektora anvelope omjer signala i šuma manji u odnosu na koherentni demodulator.

Na poteškoću asinkrone demodulacije DSB-LC signala uz mali omjer signala i šuma na ulazu ukazuje općeniti prikaz ovojnice signala na izlazu (relacija 9.31):

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] 21222222 222 tytxtmAtxtAmtAxtmAAtr ++++++= (9.38)

Bjelodano napon na izlazu detektora anvelope, r(t) nije linearno zavisan o modulacijskom signalu, m(t). To znači da nije moguće pouzdano obnoviti modulacijski signal, odnosno uz mali omjer signala i šuma na ulazu neprikladna je uporaba detektora anvelope. Na slici 9.8. prikazana je zavisnost izlaznog o ulaznom omjeru signala i šuma, SNR pri sinkronoj i asinkronoj demodulaciji DSB-LC signala. Za veliki omjer signala i šuma na ulazu, Si/Ni jednak je omjer signala i šuma na izlazu, So/No i koherentnog demodulatora i detektora anvelope. U tom slučaju zavisnost izlaznog o ulaznom omjeru signala i šuma prikazana je pravcem kroz ishodište s jediničnim nagibom. Za omjer signala i šuma na ulazu manji od približno 10 dB omjer signala i šuma na izlazu detektora anvelope smanjuje se s većim

274

nagibom od jediničnog nagiba za koherentni demodulator. To se naziva učinom praga (engl. treshold effect).

dBii NS

dBoo NS

40

30

20

10

10 20 30 40-10-20-30-40-10

-20

-30

-40

detektoranvelope

koherentnidemodulator

nagib

1

nagi

b 2

Slika 9.8. Zavisnost izlaznog o ulaznom SNR pri demodulaciji DSB-LC signala Blok-shema radiokomunikacijskog sustava s modulacijom frekvencije prijenosnog signala prikazana je na slici 9.9. Trenutna frekvencija FM signala razmjerna je razini modulacijskog signala. Zato FM modulator sadrži naponom upravljani oscilator, VCO na koji je narinut napon modulacijskog signala, m(t). To je izravni postupak generiranja frekvencijski moduliranog signala. Demodulator FM signala sadrži limiter (ograničavalo) amplitude, diskriminator i detektor anvelope. Za demodulaciju FM signala moguće je rabiti i fazom sinkroniziranu petlju.

+

kanalFM modulator FM demodulator

m(t)

n0/2(AWGN)

ui(t) uo(t)

Si, Ni So, No

limiter detektoranvelope

VCO

ddt

diskriminator

u1(t)

N1

Slika 9.9. Blok-shema radiosustava s modulacijom frekvencije Napon frekvencijski moduliranog signala moguće je prikazati u općenitom obliku:

( ) ( )( )tΘAtu cos= (9.39) gdje je u radijanima iskazana trenutna faza, Θ(t) funkcija kutne međufrekvencije, ωIF i napona modulacijskog signala, m(t):

(9.40) ( ) ( )∫+=t

IF mKttΘ0

dττω

275

Trenutna kutna frekvencija, odnosno brzina promjene faze FM signala jednaka je derivaciji trenutne faze po vremenu:

( ) ( )tKmttΘ

IF +== ωωd

d (9.41)

gdje je za Θ(t) uvrštena relacija 9.40, a K je konstanta odstupanja frekvencije. Neka je sinusoidalni modulacijski signal, m(t) = mcos(ωmt) pa prema relaciji 9.40. slijedi:

( ) ( )tKmttΘ mm

IF ωω

ω sin+= (9.42)

Označi li se najveće odstupanje (devijacija) frekvencije s ∆ω = Km i indeks modulacije s β = ∆ω/ωm, onda je napon signala s frekvencijom moduliranom sinusoidalnim signalom moguće prikazati u obliku (relacija 9.39):

( ) ( )( )ttAtu mIF ωβω sincos += (9.43) Sinusna funkcija je periodična pa je za razliku od AM signala širina bočnih pojaseva FM signala beskonačna. Spektar razmatranog FM signala moguće je odrediti ako se relaciju 9.43. prikaže kao realni dio kompleksne eksponencijalne funkcije:

( ) ( ) ( ) tjtjtjΘ mIFAAtu ωβω sineeReeRe == (9.44) dio koje je moguće razviti u kompleksni Fourierov red:

Pritom su Cn kompleksni Fourierovi koeficijenti:

( ) ∑∞

−∞=

=n

tjnn

tj mm C ωωβ ee sin

( )∫−

−=2

2

sin dee1 T

T

tjntjn t

TC mm ωωβ (9.45)

gdje je T = 2π/ωm period modulacijskog signala. Zamjenom varijabli u ovoj relaciji, x = ωmt slijedi:

( ) ( )βπ

π

π

βn

nxxjn JxC == ∫

−

− de21 sin (9.46)

gdje je Jn(β) Besselova funkcija prve vrste n-tog reda. Uvrste li se ovi rezultati u relaciju 9.44, napon signala s frekvencijom moduliranom sinusoidalnim signalom je:

(9.47) ( ) ( ) ( ) ( )( )∑∑∞

−∞=

∞

−∞=

+=

=n

mIFnn

tjnn

tj tnJAJAtu mIF ωωββ ωω coseeRe

276

Razabire se da diskretni spektar razmatranog FM signala sadrži simetrično oko prijenosne frekvencije, ωIF beskonačni broj komponenti na frekvenciji ωIF + nωm, za cjelobrojno n. Amplituda tih komponenti je odgovarajuće AJn(β), za indeks modulacije iz raspona 0 ≤ β < ∞. Na slici 9.10. prikazan je spektar amplitude razmatranog FM signala normalizirane s AJ0(0) za neke vrijednosti indeksa modulacije.

U

1,0

fIF fa) b) c)

fm

U U

1,0 1,0

fIF fIFf f

fm fm

Slika 9.10. Spektar amplitude FM signala za sinusoidalni modulacijski signal i indeks modulacije: a) β = 0,1; b) β = 1,0; c) β = 5,0

Treba podsjetiti da se vrijednost Besselove funkcije, Jn(β) općenito smanjuje za veliki cijeli broj n. Naravno, to je značajka i amplitude komponenti spektra, AJn(β) FM signala. Zato je stvarna širina propusnog frekvencijskog pojasa FM signala konačna jer je dostatno prenositi samo one komponente spektra čija je amplituda jednaka ili veća 1 % od amplitude prijenosnog signala. Ovaj uvjet je ispunjen ako je širina propusnog frekvencijskog pojasa približno:

βωβωω za veliki 222 ∆=≈= mmnB

βωω maliza 22 mmnB ≈= Carsonovo pravilo objedinjuje ove rezultate pa je za prijenos signala s frekvencijom moduliranom sinusoidalnim signalom potreban propusni pojas približne širine:

( ) ( )βωωω +=+∆≈ 122 mmB (9.48) Neka je napon signala na ulazu FM demodulatora (slika 9.9):

( ) ( )( ) ( )( )ttAtΘAtu mIFi ωβω sincoscos +== (9.49) gdje je ωIF i ωm kutna frekvencija odgovarajuće prijenosnog i modulacijskog sinusoidalnog signala, a β je indeks modulacije. Srednju snagu prijenosnog signala na ulazu demodulatora moguće je odrediti usrednjavanjem u vremenu kvadrata napona (relacija 9.49) za β = 0:

2

2ASi = (9.50)

Limiter u sastavu FM demodulatora odstranjuje svaku promjenu amplitude signala na ulazu diskriminatora koji djeluje kao derivator (slika 9.9). Pretpostavi li se jedinična konstanta limitera, napon signala na izlazu diskriminatora ima moduliranu amplitudu i modulirani argument:

277

( ) ( ) ( )[ ] ( )( )tttttutu mIFmmIF

i ωβωωβωω sinsincosd

d1 ++−== (9.51)

Napon na izlazu detektora anvelope jednak je ovojnici ovog signala, odnosno razmjeran je modulacijskom signalu, m(t):

( ) ( )ttu mmo ωβω cos= (9.52) Istosmjernu komponentu na izlazu (član ωIF u relaciji 9.51) moguće je odstraniti serijski spojenim kondenzatorom. Srednja snaga signala na izlazu FM demodulatora je:

2

22m

oS ωβ= (9.53)

Neka indeks modulacije iščezava, β = 0 pa signal na ulazu FM demodulatora sadrži sinusoidalni prijenosni signal, si(t) i propusnim pojasom ograničeni signal pridodanog bijelog, Gaussovog šuma, ni(t). Uz kvadraturni prikaz uskopojasnog šuma moguće je izraz za takav ulazni signal pretvoriti u polarni oblik:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (( )tΦttrttyttxtAtnts IFIFIFIFii − )=−+=+ ωωωω cossincoscos (9.54) gdje je funkcija ovojnice i faze odgovarajuće:

( ) ( )[ ] ( )tytxAtr 22 ++=

( ) ( )( )

+

=txA

tytΦ arctan

Ako je razina šuma niska u odnosu na razinu prijenosnog signala, odnosno x(t) << A i y(t) << A, onda je za fazu iskazanu u radijanima moguće koristiti približnu vrijednost inverzne tangens funkcije malog argumenta, arctanx ≈ x za mali x:

( ) ( )AtytΦ ≈ (9.55)

Limiter s jediničnom konstantom u sastavu FM demodulatora odstranjuje svaku promjenu amplitude, r(t) pa je napon šuma na izlazu diskriminatora (slika 9.9):

( ) ( )( )[ ] ( ) ( )( )tΦtttΦtΦt

ttn IFIFIF −

−−=−= ωωω sin

ddcos

dd

1 (9.56)

Nakon detekcije anvelope i s odstranjenom istosmjernom komponentom napon šuma na izlazu FM demodulatora je:

( ) ( ) ( )tty

AttΦtuo d

d1d

d== (9.57)

278

gdje je za Φ(t) uvrštena relacija 9.55. Frekvencijski odziv diskriminatora u sastavu FM demodulatora je H(ω) = jω jer je općenito, Fourierova transformacija derivacije funkcije:

( ) ( )ωωFttf j

dd

=

F

Prema rezultatima iz potpoglavlja 3.3. dvostrana spektralna gustoća snage šuma na izlazu diskriminatora je:

( ) ( ) ( ) myno nA

SHS ωωωωωω <== za 02

22 (9.58)

gdje je Sy(ω) = n0 za |ω| < ωm spektralna gustoća snage kvadraturne komponente šuma. Snaga šuma na izlazu FM demodulatora u propusnom frekvencijskom pojasu od −ωm do ωm je:

( ) 2

30

3d

21

AnSN m

noo

m

mπωωω

π

ω

ω

== ∫−

(9.59)

gdje je za Sno(ω) uvrštena relacija 9.58. Snaga šuma na ulazu FM demodulatora u propusnom frekvencijskom pojasu jednake širine 2ωm je:

πω

πω

222

200 mm

innN == (9.60)

Omjer snage signala i šuma na izlazu FM demodulatora je (relacije 9.53. i 9.59):

i

ii

mm

m

o

o

NSS

nnA

NS 2

0

2

30

222

2333

2β

ωπβ

ωπωβ

=== (9.61)

gdje je zavisnost o snazi signala i šuma na ulazu iskazana pomoću relacija 9.50. i 9.60. Razabire se da je s faktorom 3β2/2 moguće povećati SNR demoduliranog FM signala.

Kako usporediti ovaj rezultat s odgovarajućim SNR demoduliranog AM signala? Prema relaciji 9.28. uz indeks modulacije m = 1 omjer signala i šuma na izlazu DSB-LC demodulatora je:

imAMo

o SnN

Sωπ

032

=

pa je omjer SNR demoduliranog FM i AM signala:

2

29 β=

AMoo

FMoo

NSNS

(9.62)

279

gdje je za So/No|FM uvršena relacija 9.61. Treba istaknuti da je u oba slučaja jednaka snaga signala na ulazu demodulatora, Si. Uz veliku vrijednost indeksa modulacije, β propusni frekvencijski pojas FM signala je fIF ± βfm pa mu je širina:

mFM fB β2= Za dvobočni AM signal propusni frekvencijski pojas je fIF ± fm pa mu je širina:

mAM fB 2= Pomoću ovih izraza za širinu propusnog pojasa moguće je relaciju 9.62. prikazati u obliku:

2

29

=

AM

FM

AMoo

FMoo

BB

NSNS

(9.63)

Relacije 9.62. i 9.63. zorno pokazuju glavnu prednost modulacije frekvencije u odnosu na modulaciju amplitude. U radiosustavu s modulacijom frekvencije moguće je povećati omjer snage signala i šuma na izlazu demodulatora, ali uz povećanje širine propusnog frekvencijskog pojasa. Na primjer uz indeks modulacije β = 4 SNR demoduliranog FM signala je 72 puta veći od SNR demoduliranog AM signala, a širina propusnog frekvencijskog pojasa je 4 puta veća. Zato se postupak modulacije frekvencije često primjenjuje, primjerice u sustavu FM radiodifuzije, u sustavu televizije za prijenos zvuka i u sustavima pokretnih komunikacija. 9.2. Binarna digitalna modulacija U suvremenim radiosustavima prevladavaju postupci digitalne modulacije. U usporedbi s postupcima analogne modulacije imaju bolja svojstva u prisutnosti šuma i fedinga, iziskuju nižu razinu odaslane snage te su prikladniji za prijenos poruka u digitalnom obliku, kodiranje za ispravljanje pogreški (engl. error correction coding) i zaštitno kodiranje (engl. encryption). Kod digitalne modulacije amplituda, frekvencija ili faza sinusoidalnog prijenosnog signala, Acos(ω0t + Φ) poprima jednu od dvije moguće vrijednosti u skladu s nastupom znaka 0 ili 1 binarnog modulacijskog signala. Ovisno o diskretno promjenljivoj značajki moduliranog signala razlikuje se postupak digitalne modulacije amplitude (ASK, engl. amplitude shift keying; OOK, engl. on-off keying), digitalne modulacije frekvencije (FSK, engl. frequency shift keying) i digitalne modulacije faze (PSK, engl. phase shift keying). Na slici 9.11. prikazan je valni oblik binarnog modulacijskog signala u osnovnom frekvencijskom pojasu te valni oblik odgovarajućeg ASK, FSK i PSK signala u propusnom frekvencijskom pojasu. Modulacijski signal pridružen slijedu binarnih znamenki (bit, engl. binary digit; bit) može imati različite valne oblike. Kod binarnog signala s vraćanjem na ništicu (RZ, engl. return-to-zero) napon iščezava prije isteka perioda bita (slika 9.12.a). Manju širinu osnovnog frekvencijskog pojasa zauzima binarni signal bez vraćanja na ništicu (NRZ, engl. non-return-to-zero) kod kojeg napon zadržava određenu vrijednost svo vrijeme trajanja bita (slika 9.12.b). Ako se binarnom znaku 1 i 0 pridijeli odgovarajuće pozitivna i negativna vrijednost napona, rezultirajući signal je bipolarni bez vraćanja na ništicu (engl. polar NRZ). Kod takvog valnog oblika (slika 9.12.c) iščezava srednja vrijednost, odnosno istosmjerna komponenta.

280

m(t )

uASK

uFSK

uPSK

0

0

0

0

t

t

t

t

ω0

ω0

ω1 ω2

znak: 1 0 1 10 0

Slika 9.11. Valni oblik modulacijskog i odgovarajućeg ASK, FSK i PSK signala

t

t

t

0

0

0

1 1 1 1 10 0 0 0 0

a)

b)

c)

m(t)

m(t)

m(t)

Slika 9.12. Valni oblik binarnog modulacijskog signala: a) unipolarni RZ; b) unipolarni NRZ; c) bipolarni NRZ

U postupku digitalne modulacije amplitude, ASK prijenosni sinusoidalni signal se uključuje/isključuje u skladu s binarnim modulacijskim signalom. Kako je prikazano na slici 9.13.a) ASK modulator sadrži samo lokalni oscilator i miješalo na koje je narinut unipolarni modulacijski signal bez vraćanja na ništicu, NRZ. U osnovi je jednak DSB-SC modulatoru (slika 9.4). Digitalnu modulaciju amplitude moguće je na drugi način ostvariti pomoću lokalnog oscilatora kojeg uključuje/isključuje prekidač upravljan modulacijskim unipolarnim NRZ signalom. Spektar ASK signala je s dva bočna pojasa i potisnutim prijenosnim signalom. Koherentni ASK demodulator sadrži sinkronizirani lokalni oscilator i miješalo (slika 9.13.b). Moguća je i asinkrona demodulacija pomoću detektora anvelope (slika 9.13.c).

281

R C

a) b)

c)

m(t)

cos(ω0t) co ω0t)

m(t)cos(ω0t) m(t)cos(ω0t) m(t)/2

m(t)cos(ω0t) m(t)

1 10

s(

1 10

unipolarniNRZ

Slika 9.13. Digitalna modulacija amplitude: a) ASK modulator; b) koherentni ASK demodulator; c) detektor anvelope

Neka je napon ASK signala na ulazu koherentnog demodulatora:

( ) ( ) ( )ttmtu 0cos ω= (9.64) gdje amplituda m(t) ima vrijednost 1 ili 0. Zanemari li se konstantu pretvorbe miješala u sastavu razmatranog demodulatora, napon na njegovom izlazu je:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]ttmttutu 001 2cos121cos ωω +==

gdje je za u(t) uvrštena relacija 9.64. i primijenjena jednakost za umnožak trigonometrijskih funkcija. Nakon filtriranja niskopropusnim filtrom napon signala na izlazu koherentnog ASK demodulatora razmjeran je modulacijskom signalu:

( ) ( )tmtuo 21

= (9.65)

Sinkrona demodulacija iziskuje jednakost frekvencije i faze signala lokalnog oscilatora u sastavu modulatora i demodulatora. Ako ovaj uvjet nije ispunjen, moguće je izobličenje modulacijskog signala. Prema relaciji 9.64. ovojnica ASK signala jednaka je modulacijskom signalu. Zato je moguće uporabom detektora anvelope (slika 9.13.c) asinkrono demodulirati ASK signal jednako kao i u prije razmotrenim slučajevima analogne modulacije. Treba podsjetiti da detektorom anvelope nije moguće demodulirati AM signal s potisnutim prijenosnim signalom, primjerice DSB-SC signal. Međutim, uporaba detektora anvelope za asinkronu demodulaciju ASK signala je moguća jer unipolarni NRZ modulacijski signal nema negativne vrijednosti. Primjer 9.2. Odrediti napon signala na izlazu kvadratičnog detektora (slika 9.14) ako je napon ASK signala na ulazu određen relacijom 9.64.

282

Rui(t) uo(t )

Slika 9.14. Električni krug kvadratičnog detektora Električni krug kvadratičnog detektora za razliku od detektora anvelope ne sadrži paralelno spojeni kondenzator na izlazu. Ako je prednapon poluvodičke diode takav da je radna točka u kvadratičnom dijelu strujno-naponske karakteristike (početni dio karakteristike za propusnu polarizaciju), onda je napon na otporniku R razmjeran kvadratu ulaznog napona:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]ttmKttKmtKutu iR 02

0222 2cos1

2cos ωω +===

gdje je K konstanta, a za napon ui(t) uvrštena je relacija 9.64. i primijenjena jednakost za kvadrat kosinusne funkcije. Nakon filtriranja niskopropusnim filtrom napon signala na izlazu kvadratičnog detektora jednak je modulacijskom signalu:

( ) ( ) ( )tmKtmKtuo 222 ==

Izraz m2(t) = m(t) vrijedi jer modulacijski signal ima vrijednost amplitude 1 ili 0.

Frekvencija prijenosnog signala u procesu digitalne modulacije frekvencije, FSK poprima vrijednost ω1 ili ω2. Te frekvencije su najčešće odabrane simetrično:

ωωω ∆−= 01 ωωω ∆+= 02 gdje je ∆ω odstupanje (devijacija) frekvencije. Napon FSK signala moguće je prikazati u obliku:

( ) ( ) ( )( )

==

==0za 1za

,cos2

1

tmtm

ttuωω

ωω (9.66)

Općenito, spektar FSK signala nije jednostavno odrediti zbog u osnovi slučajne izmjene dvije vrijednosti frekvencije. Ako je razlika tih vrijednosti 2∆f = 2∆ω/(2π), a T je period binarnog znaka (bita), onda je efektivna širina propusnog frekvencijskog pojasa FSK signala B = 2(∆f + 2/T). Digitalno frekvencijski modulirani signal moguće je generirati naponom upravljanim oscilatorom, VCO na kojeg je narinut binarni modulacijski signal bez vraćanja na ništicu, NRZ (slika 9.15.a). Koherentni FSK demodulator sadrži dva sinkronizirana lokalna oscilatora koji generiraju sinusoidalni signal frekvencije odgovarajuće ω1 i ω2 (slika 9.15.b). Neka je napon FSK signala na ulazu koherentnog demodulatora određen relacijom 9.66. uz ω = ω1. Na izlazu miješala je napon odgovarajuće (slika 9.15.b):

283

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]ttttutu 112

11 2cos121coscos ωωω +=== (9.67.a)

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) (( )[ ]tt

ttttutu

2121

2122

coscos21

coscoscos

ωωωω

ωωω

++−=

===

) (9.67.b)

Nakon filtriranja niskopropusnim filtrom na izlazu FSK demodulatora preostaje samo istosmjerni član s pozitivnom vrijednošću 1/2 (relacija 9.67.a). Ako FSK signal na ulazu razmatranog demodulatora ima frekvenciju ω = ω2, na izlazu preostaje istosmjerni član s vrijednošću −1/2. Razvidno je da je na izlazu koherentnog FSK demodulatora bipolarni NRZ valni oblik razmjeran modulacijskom signalu, m(t)/2.

m(t )

cos(ω2t)

cos(ωt)

+VCO

a)

cos(ω1t)

ω=ω1, ω2cos(ωt)

ω=ω1, ω2

u1(t)

u2(t)

n1(t)

n2(t)

m(t)/2

b)

bipolarniNRZ

Slika 9.15. Digitalna modulacija frekvencije: a) FSK modulator; b) koherentni FSK demodulator

Asinkrona demodulacija FSK signala ne iziskuje uporabu sinkroniziranih lokalnih oscilatora; dostatni su pojasno propusni filtri i detektori anvelope (slika 9.16.a).

+

m(t )

u1(t )

Acos(ωt )

0

0

0

0

t

t

t

t

ω1 ω2

znak: 1 0 1 10 0

u2(t )

cos(ωt)

ω=ω1, ω2

m(t)/2

bipolarniNRZ

u1(t)

u2(t)

pojasnopropusnifiltar ω1

detektoranvelope

a)

b)

detektoranvelope

pojasnopropusnifiltar ω2

Slika 9.16. Asinkrona demodulacija FSK signala: a) nekoherentni FSK demodulator; b) razlaganje FSK signala na dvije ASK sastavnice

284

Pritom se pojasno propusnim filtrima razlaže FSK signal na dvije ASK sastavnice (slika 9.16.b). Tako dobivene ASK signale moguće je pojedinačno demodulirati detektorom anvelope ili kvadratičnim detektorom. Na izlazu nekoherentnog FSK demodulatora je bipolarni NRZ modulacijski signal, m(t). Treba istaknuti da su frekvencije ω1 i ω2 najčešće pretvorene naniže u međufrekvencijsko područje; na višim radiofrekvencijama nije moguće ostvariti pojasno propusni filtar traženih svojstava. Faza prijenosnog sinusoidalnog signala s frekvencijom ω0 najčešće poprima vrijednost 0° i 180° u procesu digitalne modulacije faze, PSK binarnim modulacijskim signalom. U tom slučaju moguće je napon PSK signala prikazati relacijom:

( ) ( ) ( )ttmtu 0cos ω= (9.68) gdje je m(t) = ±1. Signal s digitalno moduliranom fazom moguće je generirati miješanjem bipolarnog NRZ modulacijskog signala sa signalom lokalnog oscilatora (slika 9.17.a). Zbog skokovitog u osnovi slučajnog zakreta faze za 180° spektar PSK signala ima razmjerno široki propusni frekvencijski pojas. Iako je moguće filtriranjem ograničiti širinu propusnog pojasa PSK signala najčešće je neprikadan za višekanalni radiosustav.

a) b)

m(t)

cos(ω0t) cos(ω0t)

m(t)cos(ω0t) m(t)cos(ω0t) m(t)/2

bipolarniNRZ

u1(t)

Slika 9.17. Digitalna modulacija faze: a) PSK modulator; b) koherentni PSK demodulator

Koherentni PSK demodulator sadrži sinkronizirani lokalni oscilator koji generira sinusoidalni signal s frekvencijom ω0 (slika 9.17.b). Miješanje ovog signala s ulaznim PSK signalom (relacija 9.68) uzrokuje napon na izlazu miješala:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]ttmttmttutu 002

01 2cos121coscos ωωω +===

Nakon filtriranja niskopropusnim filtrom napon signala na izlazu PSK demodulatora razmjeran je izvornom bipolarnom NRZ modulacijskom signalu:

( ) ( )tmtuo 21

= (9.69)

Uzgred, PSK signal nije moguće asinkrono demodulirati, a zbog stalnosti ovojnice nije moguća uporaba detektora anvelope. U svim razmotrenim slučajevima digitalno moduliranog signala moguća je sinkrona demodulacija uporabom koherentnog demodulatora koji sadrži sinkronizirani lokalni oscilator. To znači da je jednaka frekvencija i faza signala lokalnog oscilatora u sastavu modulatora i demodulatora. Naravno, to je teško ostvariti, a učin fazne pogreške, ∆Φ i frekvencijske pogreške, ∆ω je smanjenje amplitude demoduliranog signala s faktorom odgovarajuće cos(∆Φ) i cos(∆ωt). Primjerice želi li se faznu pogrešku manju od 45° uz prijenosnu frekvenciju 1 GHz, onda vremenska usklađenost signala lokalnih oscilatora treba

285

biti bolja od T/8 = 0,125 ns. Redovito ovaj uvjet nije moguće ispuniti zbog temperaturnog zanošenja frekvencije lokalnog oscilatora, Dopplerovog učina i promjene kašnjenja duž staze širenja elektromagnetskog vala. Postupak digitalne modulacije amplitude, ASK i frekvencije, FSK ima prednost u odnosu na postupak digitalne modulacije faze, PSK jer je moguća asinkrona demodulacija, na primjer uporabom detektora anvelope. Međutim, učestalost pogrešnog bita je veća nego pri uporabi koherentnog demodulatora.

Lokalni oscilator u sastavu koherentnog demodulatora moguće je sinkronizirati uporabom pomoćnog prijenosnog signala (engl. pilot carrier) ili obnavljanjem prijenosnog signala (engl. carrier recovery). Prvi način sinkroniziranja je jednostavniji. Pomoćni signal je prijenosni signal niske razine koji u radiosustavu poprima jednake promjene kao i modulirani signal. Zato je njime moguće fazno sinkronizirati lokalni oscilator u sastavu demodulatora. Sklop za obnavljanje prijenosnog signala koristi podatak o fazi ili frekvenciji sadržan u primljenom moduliranom signalu. Brojne inačice ovog sklopa u osnovi su fazom sinkronizirana petlja (potpoglavlja 8.3. i 8.4). Na slici 9.18. prikazana je blok-shema sklopa za obnavljane prijenosnog signala u radiosustavu s digitalnom modulacijom faze, PSK.

(.)2 ÷2

sklop zakvadriranje

pojasnopropusnifiltar 2ω0

djelilofrekvencije

miješalo

( )Φt +± 0cos ω ( )Φt +02cos ω ( )Φt +02cos ω ( )Φt +0cos ω

( ) 1±=tm

Slika 9.18. Sklop za obnavljanje prijenosnog signala u PSK radiosustavu Na ulazu sklopa je PSK signal (relacija 9.68) s m(t) = ±1. Kašnjenje elektromagnetskog vala duž staze širenja između odašiljača i prijamnika uzrokuje fazni zakret, Φ. Sklop za kvadriranje, na primjer poluvodička dioda s radnom točkom u kvadratičnom području I-U karakteristike, odstranjuje digitalnu modulaciju faze prijenosnog signala. Pojasno propusni filtar izdvaja komponentu s frekvencijom 2ω0 pa je na izlazu djelila frekvencije s 2 signal cos(ω0t + Φ). To je obnovljeni prijenosni signal, odnosno signal sinkroniziranog lokalnog oscilatora. Miješanjem signala lokalnog oscilatora i primanog PSK signala nastaje bipolarni NRZ modulacijski signal, m(t) = ±1. U radiokomunikacijskim sustavima s digitalnom modulacijom najčešće se demodulira međufrekvencijski signal nakon pretvorbe frekvencije naniže. Za složenu obradu signala koja uključuje kondicioniranje moduliranog signala, obnavljanje prijenosnog signala i sinkroniziranje, demoduliranje, dekodiranje te formatiranje modulacijskog signala redovito se rabi sklopove za digitalnu obradu signala (DSP, engl. digital signal processing). To je u osnovi specijalizirani procesor koji u stvarnom vremenu obavlja manji broj povezanih zadaća. 9.3. Vjerojatnost pogreške za binarnu modulaciju Binarnu digitalnu modulaciju amplitude, frekvencije ili faze moguće je promatrati kao posebni slučaj impulsno kodne modulacije (PCM, engl. pulse code modulation). Općenito, u postupku impulsno kodne modulacije napon signala s(t) za vrijeme trajanja bita, T poprima vrijednost s1(t) za binarni znak 1 i vrijednost s2(t) za binarni znak 0. U odašiljaču se takav

286

PCM signal koristi za moduliranje amplitude, frekvencije ili faze prijenosnog signala. U savršenom slučaju prijamnik će ispravno detektirati odaslani binarni znak, ali zbog šuma dodanog signalu u radiokomunikacijskom kanalu detekcija može biti pogrešna. Demodulacija u prijamniku ASK i FSK signala može biti sinkrona i asinkrona, a u prijamniku PSK signala samo sinkrona. O demoduliranom signalu ovisi odluka je li primljen binarni znak 1 ili 0. U odsutnosti šuma to je lako odlučiti postavljanjem praga detekcije (engl. detection treshold). Pritom se komparatorom određuje je li razina primljenog signala viša ili niža od razine praga detekcije. Na tablici 9.1. prikazane su vrijednosti napona primljenog PCM signala, s1(t) i s2(t) za binarni znak 1 i 0 te prag detekcije za digitalnu modulaciju amplitude, frekvencije i faze. U slučaju FSK i PSK kad je napon primljenog PCM signala simetričan, ±U optimalna razina praga detekcije iščezava. Za ASK optimalna razina praga detekcije je U/2. Činjenica da prag detekcije zavisi o razini primljenog signala značajni je nedostatak digitalne modulacije amplitude.

Tablica 9.1. Napon primljenog PCM signala i prag detekcije za različite vrste digitalne modulacije

vrsta

modulacije signal s1(t)za znak 1

signal s2(t)za znak 0

prag detekcije

ASK U 0 U/2

FSK U −U 0

PSK U −U 0

U prisutnosti šuma znatno je teže na temelju demoduliranog signala odlučiti je li primljen binarni znak 1 ili 0. Pokazuje se da je u tom slučaju moguće ostvariti optimalnu (u smislu najmanje vjerojatnosti pogreške) detekciju PCM signala pomoću korelacijskog prijamnika (engl. correlation receiver). On se sastoji od integratora (ili niskopropusnog filtra), sklopa za uzorkovanje (engl. sampler) i komparatora (slika 9.19.a). Uzgred, krugu korelatora ekvivalentan je PCM signalu optimalno (u smislu najvećeg omjera signala i šuma na izlazu) prilagođeni filtar(engl. matched filter).

det .prag>/<∫ ′

T

t0

d(.)Tso(t)+no(t) so(T )+no(T)s(t)+n(t) m(t)

1, 1, 0, 1 ...

integrator sklop zauzorkovanje

komparator

a)

U

-U

t0 T 2T 3T 4T

UT

-UT

t0 T 2T 3T 4T

s(t)

b)

so(t)

Slika 9.19. Korelacijski prijamnik: a) blok-shema; b) valni oblik signala na ulazu i izlazu integratora

287

Integrator integrira primljeni signal i šum u vremenu trajanja bita, T (slika 9.19.b). Na kraju tog perioda uzorkuje se signal na izlazu integratora, a komparator uspoređuje razinu uzorka i praga detekcije. Signal na izlazu korelatora dobro nadomješta izvorni modulacijski signal, m(t). Iako je učin šuma znatno smanjen integriranjem, odnosno usrednjavanjem u periodu bita, ipak može nastupiti pogreška detekcije primljenog signala. Vjerojatnost pogreške (engl. probability of error) ili učestalost pogrešnog bita (BER, engl. bit error rate) je vjerojatnost da je pojedini primljeni binarni znak pogrešan.

Neka je na ulazu korelacijskog prijamnika (slika 9.19.a) napon signala i pridodanog bijelog, Gaussovog šuma koji je frekvencijski ograničen s(t) + n(t), gdje je s(t) = s1(t) za binarni znak 1 i s(t) = s2(t) za binarni znak 0. Nakon integriranja u periodu bita, T napon signala na izlazu sklopa za uzorkovanje je:

(9.70)

gdje je integrirani napon signala i šuma odgovarajuće:

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )∫ +=+=T

ooo TnTsttntsTu0

d

( ) ( )( )( )( )

=−=−

=== ∫

0za 0za za

d0 ts

UtsUTUtsUT

ttsTsT

o (9.71)

(9.72)

Energija bita (engl. bit energy) je normalizirana energija (na opterećenju otpora 1 Ω) konačnog napona PCM signala u periodu jednog binarnog znaka:

(9.73)

Srednja snaga frekvencijski ograničenog šuma na izlazu savršenog integratora razmjerna je vremenu integriranja (potpoglavlje 3.3):

( ) ( )∫=T

o ttnTn0

d

( )∫ ==T

b TUttsE0

22 d

20

2σ==

TnNo (9.74)

gdje je n0/2 dvostrana spektralna gustoća snage, PSD bijelog šuma, a σ2 je varijanca Gaussove funkcije gustoće vjerojatnosti. (Napomena: valja razlikovati znak za napon šuma na izlazu, no od znaka za PSD šuma n0.) Neka je radiokomunikacijskim sustavom s digitalnom modulacijom amplitude, ASK i sinkronom demodulacijom prenesen binarni znak 0 u prisutnosti frekvencijski ograničenog, bijelog, Gaussovog šuma. U tom slučaju napon signala na ulazu integratora i izlazu sklopa za uzorkovanje u sastavu korelacijskog prijamnika odgovarajuće je s(t) = s2(t) = 0 i so(T) = 0. Prag detekcije također treba integrirati u periodu bita, T pa je njegova razina UT/2. Ako je napon signala i šuma na izlazu sklopa za uzorkovanje manji od razine praga, detekcija je ispravna. U suprotnom, kad je napon signala i šuma veći od razine praga detekcija je pogrešna. Vjerojatnost pogreške za odaslanu binarnu 0 je (potpoglavlje 3.4):

288

( ) ( ) ( ) ( )( )

∫∞ −

=

>=

>+=

202

2

00 d

2e

22

220

UT

n

ooe nUTTnPUTTnTsPPπσ

σ

(9.75)

jer je so(T) = 0. Uvede li se novu varijablu ( )σ20nx = , moguće je vjerojatnost pogreške iskazati komplementarnom funkcijom pogreške, erfc(z):

( )

( )

== ∫

∞−

σπ σ 22erfc

21de1

22

0 2 UTxPUT

xe

Argument komplementarne funkcije pogreške moguće je prikazati u zavisnosti o energiji bita, Eb i spektralnoj gustoći snage bijelog, Gaussovog šuma, n0/2 (relacije 9.73. i 9.74):

00 42

2222 nE

TnT

TEUT bb ==

σ

Uvrštavanjem slijedi konačni oblik izraza za vjerojatnost pogreške ako je binarni znak 0 odaslan u ASK radiosustavu sa sinkronom demodulacijom:

( )

=

0

0

4erfc

21

nEP b

e (9.76)

Za odaslanu binarnu 1 jednaka je vjerojatnost pogrešne detekcije, uz jednaku razinu praga detekcije, UT/2. Ako je jednaka vjerojatnost nastupa 0 i 1 u slijedu binarnih znamenki, ukupna vjerojatnost pogreške pojedinog primljenog bita je:

( ) ( )01ee PP =

( ) ( ) ( ) ( )

===+=

0

1010

4erfc

21

21

21

nEPPPPP b

eeeee (9.77)

Neka je radiokomunikacijskim sustavom s digitalnom modulacijom faze, PSK i

sinkronom demodulacijom prenesen binarni znak 0 u prisutnosti frekvencijski ograničenog, bijelog, Gaussovog šuma. U tom slučaju napon signala na ulazu integratora i izlazu sklopa za uzorkovanje u sastavu korelacijskog prijamnika odgovarajuće je s(t) = s2(t) = −U i so(T) = −UT, a razina praga detekcije iščezava. Pogreška detekcije će nastupiti ako je uzorkovani napon signala i šuma veći od razine praga. Vjerojatnost pogreške za odaslanu binarnu 0 u PSK radiosustavu sa sinkronom demodulacijom je:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

=

==

=>=>+=

∫∞ −

002

2

0

erfc21

2erfc

21d

2e

022

0

nEUTn

UTTnPTnTsPP

b

UT

n

oooe

σπσ

σ (9.78)

Pritom je ponovno zamijenjena varijabla, ( )σ20nx = te pomoću relacija 9.73. i 9.74. prikazana zavisnost vjerojatnosti pogreške o energiji bita, Eb i spektralnoj gustoći snage

289

bijelog, Gaussovog šuma, n0/2. Za odaslanu binarnu 1 jednaka je vjerojatnost pogrešne detekcije, zbog simetričnosti PSK signala i postupka sinkrone demodulacije. Valja uočiti da je u argumentu komplementarne funkcije pogreške omjer energije bita i spektralne nage šuma četiri puta veći za PSK signal u odnosu na ASK signal (relacije 9 To znači da za jednaku vjerojatnost pogreške PSK radiosustav iziskuje samo e snage u odnosu na ASK radiosustav. Međutim, ASK signal iščezava polovinu pa je srednja odaslana snaga u ASK radiosustavu jednaka polovini odaslane radiosustavu uz jednaki napon signala, odnosno jednaku vršnu snagu. Ukupno usporedbi srednje odaslane snage za jednaku vjerojatnost pogreške PSK

bolji (veći za 3 dB) rezultat od ASK radiosustava. unikacijskim sustavom s digitalnom modulacijom frekvencije, FSK i

sinkronom odulacijom prenesen binarni znak 0 u prisutnosti frekvencijski ograničenog, bijelog, G šuma. U tom slučaju napon signala na ulazu integratora i izlazu sklopa za uzorkovanje sastavu korelacijskog prijamnika odgovarajuće je s(t) = s2(t) = −U i so(T) = − praga detekcije iščezava. To je jednaka razina signala i praga detekcije kao i u radiosustava, ali je različita razina šuma. Moguće je razabrati (slika 9.15.b) d a izlazu koherentnog FSK demodulatora jednak razlici šuma iz dijela sklopa za demodulaciju signala frekvencije ω1 i ω2:

( ) ( )01ee PP =

gustoće s.78. i 9.76).

četvrtinu odaslanvremena

snage u PSK uzevši, u

radiosustav ostvaruje dvostruko Neka je radiokom

demaussovog

u UT, a razina slučaju PSK a je šum n

Gaussovog je ( ) 2

1 tnEfunkcije p

ova svojstva srednja snaga šum

2= nENo

dvostruko je veća u odnojerojatnost

odulacijom

binarnu FSK s

gustoće veći za

vjerojatnost FSK r

relacije 9.81. amo polovinu

snaga ASK

( ) ( ) ( )tntntn 21 −= (9.79) Za napon šuma n (t) i n (t) srednja vrijednost iščezava, En1(t) = En2(t) = 0, a varijanca

1 2

( ) .222 σ== tnE To je u osnovi bijeli šum propušten kroz filtre različite

prijenosne a su n1(t) i n2(t) statistički neovisni, En1(t)n2(t) = En1(t)En2(t). Uz a na izlazu koherentnog FSK demodulatora:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 22

221

2221

21 22 σ=+=+−= tnEtnEtntntntnEt (9.80)

su na koherentni ASK i PSK demodulator.

V pogreške za odaslanu binarnu 0 u FSK radiosustavu sa sinkronom dem jednaka je rezultatu za PSK radiosustav ako se σ2 zamijeni s 2σ2:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

=

==

=>−=>+=

∫∞ −

002

4

210

2erfc

21

2erfc

21d

4e

022

0

nEUTn

UTTnTnPTnTsPP

b

UT

n

ooe

σπσ

σ (9.81)

Za odaslanu 1 jednaka je vjerojatnost pogrešne detekcije, zbog simetričnosti ignala i postupka sinkrone demodulacije. Očigledno je omjer energije bita i spektralne snage šuma u argumentu komplementarne funkcije pogreške dvostruko (za 3 dB) PSK signal u odnosu na FSK signal (relacije 9.78. i 9.81). To znači da za jednaku pogreške PSK radiosustav iziskuje samo polovinu odaslane snage u odnosu na adiosustav. Usporedba FSK i ASK radiosustava na temelju vršne snage ASK signala ( i 9.76) pokazuje da za jednaku vjerojatnost pogreške FSK radiosustav iziskuje s odaslane snage u odnosu na ASK radiosustav. Spomenuto je da je srednja signala jednaka polovini vršne snage jer mu amplituda iščezava polovinu vremena. Zato u usporedbi srednje odaslane snage za jednaku vjerojatnost pogreške FSK radiosustav ostvaruje jednaki rezultat kao i ASK radiosustav.

( ) ( )01ee PP =

290

Bjelodano je lakše ostvariti asinkronu nego sinkronu demodulaciju ASK signala, ali je teže odrediti vjerojatnost pogrešne detekcije. U radiokomunikacijskom sustavu s digitalnom modulacijom amplitude, ASK i asinkronom demodulacijom određivanje vjerojatnosti pogreške otežava učin nelinearnosti detektora anvelope na šum. Neka je na ulazu detektora anvelope napon primljenog ASK signala i šuma:

( ) ( ) ( ) ( )tnttmtu += 0cos ω (9.82) gdje je m(t) jednak U ili 0 odgovarajuće odaslanom binarnom znaku 1 ili 0. Uz kvadraturni prikaz frekvencijski ograničenog, bijelog, Gaussovog šuma, n(t) = x(t)cos(ω0t) − y(t)sin(ω0t) moguće je prethodnu relaciju prikazati u obliku:

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )tΘttrttyttxtmtu +=−+= 000 cossincos ωωω (9.83) gdje je funkcija ovojnice, r(t) i faze, Θ(t) odgovarajuće:

( ) ( ) ( )[ ] ( )tytxtmtr 22 ++= (9.84)

( ) ( )( ) ( )

+

=txtm

tytΘ arctan (9.85)

Ovojnica ASK signala s pridodanim šumom, r(t) na izlazu je detektora anvelope (slika 9.13.c). Nakon toga se komparatorom određuje je li razina primljenog PCM signala viša ili niža od razine praga detekcije. Vjerojatnost pogrešne detekcije zavisi o statističkim svojstvima slučajne varijable r(t) koja nema Gaussovu razdiobu, odnosno ovisi o tome je li radiosustavom prenesen binarni znak 0 ili 1. Neka je u razmatranom radiosustavu odaslana binarna 0 pa je m(t) = 0. Komponente šuma u kvadraturnom prikazu uskopojasnog šuma, x(t) i y(t) statistički su neovisne slučajne varijable koje imaju Gaussovu razdiobu pa je funkcija gustoće združene vjerojatnosti (potpoglavlje 3.1):

( ) ( ) ( )( ) ( )

∞<<∞−==+−

yxyfxfyxfyx

yxxy ,za 2

e, 2

2 222

πσ

σ

(9.86)

Uvrsti li se m(t) = 0 u relaciju 9.84. i 9.85. slijedi odgovarajuće r2(t) = x2(t) + y2(t) i tan(Θ(t)) = y(t)/x(t) pa je moguće pravokutne koordinate pretvoriti u polarne:

( ) ( ) ( )( )tΘtrtx cos= ( ) ( ) ( )( )tΘtrty sin= Za element površine vrijedi jednakost dxdy = rdrdΘ. Primjena ove transformacije koordinata na relaciju 9.86. daje funkciju gustoće združene vjerojatnosti slučajnih varijabli r(t) i Θ(t):

( )( )

πΘrrΘrfr

rΘ 20 i 0za 2

e, 2

2 22

≤≤∞<≤=−

πσ

σ

(9.87)

Funkciju gustoće vjerojatnosti, PDF slučajne varijable r(t) moguće je odrediti integriranjem združene PDF po varijabli Θ(t):

291

( ) ( )( )

∞<≤==−

∫ rrΘΘrfrfr

rΘr 0za ed, 2

22

0

22

σ

σπ

(9.88)

To je funkcija gustoće vjerojatnosti Rayleighove razdiobe koju ima slučajna varijabla s kružno simetričnim područjem vrijednosti, primjerice udaljenost pogotka od središta kružne mete. U potpoglavlju 4.6. pokazano je da Rayleighovu razdiobu ima ovojnica primljenih signala u slučaju ravnomjernog fedinga uzrokovanog višestaznim širenjem elektromagnetskog vala. Ako je r0 razina praga detekcije, vjerojatnost pogreške za odaslanu binarnu 0 u razmatranom radiosustavu je:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )220

0

22

0

2220

0 ede1d σσ

σr

r

r

rre rrrrfrtrPP −

∞−

∞

===>= ∫∫ (9.89)

gdje je za fr(r) uvrštena relacija 9.88. Kolika je vjerojatnost pogreške ako je u razmatranom radiosustavu odaslana binarna 1 pa je m(t) = U? Tada slučajna varijabla x'(t) = U + x(t) u relaciji 9.83. ima Gaussovu razdiobu sa srednjom vrijednošću U, varijancom σ2 i funkcijom gustoće vjerojatnosti:

( )( ) ( )

2

2

2e

22

πσ

σUx

x xf−′−

′ =′ (9.90)

Prema relaciji 9.84. i 9.85. odgovarajuće funkcija ovojnice, r(t) i faze, Θ(t) je:

( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )tytxtytxUtr 2222 +′=++= (9.91)

( ) ( )( )

( )( )

′

=

+

=txty

txUtytΘ arctanarctan (9.92)

Funkcija gustoće združene vjerojatnosti statistički neovisnih slučajnih varijabli x'(t) i y(t) koje imaju Gaussovu razdiobu je (relacija 9.86):

( ) ( ) ( )( )[ ] ( )

∞<′<∞−=′=′+−′−

′′ yxyfxfyxfyUx

yxyx ,za 2

e, 2

2 222

πσ

σ

Transformacija koordinata u ovoj relaciji:

( ) ( ) ( )( )tΘtrtx cos=′ ( ) ( ) ( )( )tΘtrty sin= uz jednakost za element površine, dx'dy = rdrdΘ daje funkciju gustoće združene vjerojatnosti slučajnih varijabli r(t) i Θ(t):

( )( )[ ] ( )

( ) ( ) ( )πΘrr

rΘrf

ΘUrrU

yUx

rΘ

20 i 0za 2ee

2e,

2

2cos22

2

2

2222

222

≤≤∞<≤=

==

−−−

+−′−

πσ

πσσσ

σ

(9.93)

292

jer je (x' − U)2 + y2 = (rcosΘ − U)2 + r2sin2Θ = U2 + r2 − 2UrcosΘ. Ponovno je funkciju gustoće vjerojatnosti, PDF slučajne varijable r(t) moguće odrediti integriranjem združene PDF po varijabli Θ(t):

( ) ( )( ) ( )

∞<≤== ∫∫+−

rΘerΘΘrfrf ΘUrrU

rΘr 0za d2

ed,2

0

cos2

22

0

2222 π

σσπ

πσ (9.94)

Pomoću modificirane Besselove funkcije prve vrste ništičnog reda:

( ) ∫=π

π

2

0

cos0 de

21 ΘxI Θx

moguće je relaciju 9.94. prikazati u obliku:

( ) ( ) ( ) ∞<≤

= +− rUrIrrf rU

r 0za e 202

2

222

σσσ (9.95)

To je funkcija gustoće vjerojatnosti Riceove razdiobe koja ima maksimum za r(t) = U. Očekivano, za U = 0 Riceova razdioba prelazi u Rayleighovu (relacija 9.88) jer je I0(0) = 1. Ako je napon signala, odnosno ovojnica puno veća od razine šuma, U ≈ r(t) >> σ2, Riceova razdioba približno je jednaka Gaussovoj (relacija 9.90) jer je I0(x) ≈ ex/(2πx)½ za veliki x. Vjerojatnost pogreške za odaslanu binarnu 0 ako je u razmatranom radiosustavu razina praga detekcije r0 je:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫∫

==<= +−

0222

0

020

22

00

1 dedr

rUr

re rUrIrrrfrtrPPσσ

σ (9.96)

gdje je za fr(r) uvrštena relacija 9.95. Za određeni integral u ovom izrazu ne postoji analitičko rješenje pa ga treba izračunati numerički. Rezultati za vjerojatnost pogreške ( )0

eP i ( )1eP (relacije 9.89. i 9.96) nisu jednaki jer su

statistička svojstva šuma različita za m(t) = 0 i m(t) = U. Ako je P0 i P1 vjerojatnost da je odaslan binarni znak odgovarajuće 0 i 1, ukupna vjerojatnost pogreške pojedinog primljenog bita u radiosustavu s ASK i detektorom anvelope je:

( ) ( )11

00 eee PPPPP += (9.97)

Vjerojatnost pogreške zavisi o razini praga detekcije, r0 i omjeru U/σ; moguće je iskazati u zavisnosti o omjeru energije bita i spektralne gustoće snage bijelog, Gaussovog šuma, U2/σ2 = 2Eb/n0. Na slici 9.20. prikazana je funkcija gustoće vjerojatnosti Rayleighove i Riceove razdiobe (relacije 9.88. i 9.95) u zavisnosti o ovojnici, r(t) asinkrono demoduliranog ASK signala. Vjerojatnost pogrešne detekcije kad je odaslana binarna 0 i 1 jednaka je ploštini ispod dijela ovih krivulja koji je odgovarajuće veći i manji od praga detekcije, r0. Najčešće je nastup oba binarna znaka jednako vjerojatan, P0 = P1 = 0,5. U tom slučaju ukupna vjerojatnost pogreške je najmanja ako je razina praga detekcije odabrana na presjecištu krivulja Rayleighove i Riceove razdiobe. Općenito, optimalna razina praga detekcije funkcija je U i σ te je treba odrediti numerički. Njezina vrijednost je približno U/2 ako je vrlo velik omjer signala i šuma na ulazu detektora anvelope. Činjenica da razina praga detekcije zavisi o

293

razini primljenog signala značajan je nedostatak radiosustava s digitalnom modulacijom amplitude posebno u prisutnosti fedinga.

fr(r)

0 rr0

Rayleighova razdiobaznak 0

Riceova razdiobaznak 1

( )1eP ( )0

eP

Slika 9.20. Funkcija gustoće vjerojatnosti Rayleighove i Riceove razdiobe za asinkrono demodulirani ASK signal

Spomenuto je da se u nekoherentnom FSK demodulatoru (slika 9.16.a) FSK signal

razlaže na dva ASK signala koje se pojedinačno demodulira detektorom anvelope. Zato je vjerojatnost pogrešne detekcije u radiosustavu s digitalnom modulacijom frekvencije, FSK i asinkronom demodulacijom moguće odrediti sličnim postupkom kao i u slučaju ASK radiosustava. Ako je odaslanoj binarnoj 1 pridružen sinusoidalni signal s frekvencijom ω1, onda je napon PCM signala i šuma na izlazu detektora anvelope u grani s pojasno propusnim filtrom za ω1:

( ) ( )tnUtr 11 += (9.98.a) U tom slučaju na izlazu detektora anvelope u grani s pojasno propusnim filtrom za ω2 samo je napon šuma:

( ) ( )tntr 22 = (9.98.b) Ako je odaslana binarna 0 kojoj je pridružen sinusoidalni signal s frekvencijom ω2, napon PCM signala, U i šuma, n2(t) je na izlazu detektora anvelope u grani s pojasno propusnim filtrom za ω2, a na izlazu detektora anvelope u grani s pojasno propusnim filtrom za ω2 samo je napon šuma, n1(t). Posljedica takve simetričnosti je jednaka vjerojatnost pogreške za odaslanu binarnu 1 i 0. Napon na izlazu nekoherentnog FSK demodulatora jednak je razlici izlaznog napona detektora anvelope, r1(t) − r2(t) pa razina praga detekcije iščezava. Vjerojatnost pogreške za odaslani binarni znak 1 u radiosustavu s FSK i asinkronom demodulacijom je:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) trtrPtrtrPPe 12211 0 >=<−= (9.99)

Pritom su r1(t) i r2(t) statistički neovisne slučajne varijable (relacije 9.98.a) i 9.98.b); r1(t) sadrži signal i šum pa ima Riceovu razdiobu, a r2(t) sadrži samo šum pa ima Rayleighovu razdiobu. Združeni događaj r2(t) > r1(t) nastupa kad r1(t) ima proizvoljnu pozitivnu vrijednost (napon na izlazu detektora anvelope uvijek je pozitivan) i r2(t) je veći od r1(t) pa je relaciju 9.99. moguće prikazati u obliku:

294

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫ ∫∫

∫ ∫∞

=

∞

=

∞

=

−∞

=

+−

∞

=

∞

=

==

==∞<<∧∞<<=

012

22

2

021

02

21

1221

01221211

1

1 12 12

222

1

221

2

21

1 12

21

ddeedd

dd,0

r rr rr

r

r

rUrr

r rrrre

rrrUrIrrrrfrf

rrrrftrtrtrPP

σσ

σσσ

(9.100)

gdje je za funkciju gustoće vjerojatnosti ( )11

rf r i ( )22rf r uvrštena odgovarajuće relacija 9.95. i

9.88. Izravno je moguće riješiti unutarnji integral (relacija 9.89):

( ) ( )221

1

222 2

22

22 ede σσ

σr

r

r rr −∞

− =∫

pa se relacija 9.100. sažima u oblik:

( ) ( )∫∞

−−

=

012

10

22

11 dee22

122

rUrIrP rUe σσ

σσ (9.101)

a zamjena varijabli 12rx = daje:

( ) ( ) ( )∫∞

+−−

=

020

2

241 d

2ee

21 22

22

22

xUxIxPxU

e

U

σσσσ (9.102)

Podintegralni izraz jednak je funkciji gustoće vjerojatnosti Riceove razdiobe u kojoj je U2 zamijenjeno s ½U2 (relacija 9.95). Ova funkcija ispunjava uvjet normalizacije, odnosno jedinična je vrijednost njezina integrala od 0 do ∞. Konačno, vjerojatnost pogreške za odaslani binarni znak 1 ili 0 u radiosustavu s FSK i asinkronom demodulacijom je:

( ) ( ) ( ) ( )022 2401 e

21e

21 nEU

eebPP −− === σ (9.103)

Valja podsjetiti da je vjerojatnost pogreške za sve razmotrene vrste binarne modulacije

iskazana u zavisnosti o omjeru energije bita, Eb i spektralne gustoće snage bijelog, Gaussovog šuma, n0/2. Mjerna jedinica za Eb i n0 odgovarajuće je Ws i W/Hz pa je Eb/n0 omjerna ili brojčana veličina s mjernom jedinicom 1. Energija bita, Eb te snaga prijenosnog signala, S i učestalost bita (engl. bit rate), Rb s mjernom jedinicom bit/s (bps, engl. bit per second) povezani su relacijom S = RbEb pa je omjer Eb/n0 moguće prikazati u obliku:

b

b

RnS

nE

00

= (9.104)

Zato vjerojatnost pogrešne detekcije zavisi o snazi prijenosnog signala, učestalosti bita i spektralnoj gustoći snage šuma na ulazu demodulatora. Funkcija vjerojatnosti pogreške u svim slučajevima se monotono smanjuje s povećanjem omjera Eb/n0 pa se prema relaciji 9.104. vjerojatnost pogreške povećava s povećanjem učestalosti bita uz stalnu razinu šuma. Treba istaknuti da je relacija 9.104. neovisna o širini propusnog frekvencijskog pojasa prijamnika.

295

Omjer energije bita i spektralne gustoće snage šuma moguće je povezati s omjerom snage signala i snage šuma u prijamniku. Ako je širina propusnog pojasa međufrekvencijskog filtra ∆f, snaga šuma na ulazu demodulatora uključujući i negativni dio spektra je N = (2∆f)(n0/2) = n0∆f pa je relaciju 9.104. moguće prikazati u obliku:

b

b

Rf

NS

nE ∆

=0

(9.105)

Ovisno o vrsti modulacije potrebna je širina propusnog frekvencijskog pojasa prijamnika u rasponu od jedne do nekoliko učestalosti bita. Kao istoznačnicu za učestalost bita rabi se naziv brzina prijenosa (binarnih) podataka (engl. data rate). U jednom signalizacijskom periodu kod razmotrenih vrsta digitalne modulacije sadržan je samo jedan binarni znak. Zato je efikasnost širine frekvencijskog pojasa (engl. bandwidth efficiency) binarne modulacije 1 (bit/s)/Hz. Primjerice ako se u sustavu nepokretnog telefona koji prenosi frekvencijski pojas širine 2 400 Hz (od 600 Hz do 3 kHz) koristi binarnu modulaciju frekvencije, onda je najveća brzina prijenosa podataka 2 400 Hz·1 (bit/s)/Hz = 2 400 bit/s. Znatno veću brzinu prijenosa podataka moguće je ostvariti postupkom višeznakovne modulacije kada modulirani signal u jednom signalizacijskom periodu sadrži više od jednog binarnog znaka. Tada je efikasnost širine frekvencijskog pojasa veća od 1 (bit/s)/Hz. Unatoč uvriježenoj uporabi odrednice brzina prijenosa podataka i širina frekvencijskog pojasa nemaju jednako značenje. Na slici 9.21. prikazana je vjerojatnost pogreške, odnosno učestalost pogrešnog bita, BER za binarnu digitalnu modulaciju amplitude, frekvencije i faze u zavisnosti o omjeru energije bita i spektralne gustoće snage šuma. Usporedba je na temelju vršne snage moduliranog signala.

Pe

100

10-1

10-2

10-3

10-4

10-5

10-6

10-7

dB0nEb

20-10 -5 0 5 10 15

sinkronaPSK

sinkronaFSK

asinkronaFSK

asinkronaASK

sinkronaASK

Slika 9.21. Zavisnost vjerojatnosti pogreške o omjeru Eb/n0 za neke vrste binarne modulacije

Razabire se da najmanju učestalost pogrešnog bita za određenu vrijednost omjera Eb/n0 ostvaruje sinkrona demodulacija PSK signala, ali uz nužno sinkroniziranje lokalnog oscilatora i razmjerno široki propusni frekvencijski pojas. Za jednaku vjerojatnost pogreške sinkrona demodulacija FSK signala iziskuje približno za 3 dB veći omjer Eb/n0 u odnosu na sinkronu

296

demodulaciju PSK signala. Mala je razlika između sinkrone i asinkrone demodulacije FSK

297

Radiosustav s digitalnom modulacijom faze i sinkronom demodulacijom ima najbolja svojstva u pogledu učestalosti pogrešnog bita, ali nije moguća asinkrona demodulacija. Signal

signala te između sinkrone i asinkrone demodulacije ASK signala. Za jednaku vjerojatnost pogreške asinkrona demodulacija iziskuje približno za 1dB veći omjer Eb/n0 u odnosu na sinkronu demodulaciju. U usporedbi na temelju vršne snage za jednaku vjerojatnost pogreške sinkrona i asinkrona demodulacija ASK signala iziskuje približno za 3 dB veći omjer Eb/n0 u odnosu na odgovarajuće sinkronu i asinkronu demodulaciju FSK signala. Međutim, u usporedbi na temelju srednje snage odgovarajuća demodulacija FSK i ASK signala ostvaruje približno jednaku učestalost pogrešnog bita za određenu vrijednost omjera Eb/n0. Najveća dopuštena vjerojatnost pogreške ovisi o namjeni radiokomunikacijskog sustava, ali i o kompromisu između širine propusnog frekvencijskog pojasa, snage odašiljača, dometa, složenosti prijamnika i cijene. Može biti u rasponu od 10−2 kod radiosustava za prijenos slikovnih elemenata na prvim svemirskim sondama do 10−8 kod bežičnih računalnih mreža s velikom brzinom prijenosa podataka. Uobičajena vjerojatnost pogreške kod suvremenih radiosustava je 10−5. Za ovu vjerojatnost pogreške na tablici 9.2. navedena je potrebna vrijednost omjera energije bita i spektralne gustoće snage šuma kod razmatranih vrsta digitalne binarne modulacije. Podaci su na temelju vršne snage moduliranog signala.

Tablica 9.2. Potrebna vrijednost Eb/n0 za Pe = 10−5

vrsta modulacije potrebni Eb/n0

sinkrona PSK 9,6 dB

sinkrona FSK 12,6 dB

asinkrona FSK 13,4 dB

sinkrona ASK 15,6 dB

asinkrona ASK 16,4 dB

Odašiljač u radiosustavu s digitalnom modulacijom amplitude jednostavne je strukture i vrlo djelotvoran jer samo polovinu vremena odašilje signal. Ako se koristi asinkronu demodulaciju, i prijamnik ASK signala jednostavne je strukture. Učestalost pogrešnog bita je najveća u odnosu na ostale modulacijske postupke pa je brzina prijenosa podataka u ASK radiosustavu ograničena na manje vrijednosti. Činjenica da prag detekcije zavisi o razini primljenog signala čini ASK radiosustav manjkavim u prisutnosti fedinga. Zato je primjena digitalne modulacije amplitude ograničena na razmjerno jeftine radiosustave manjeg dometa, na primjer sustav za telemetriju ili radiofrekvencijsku identifikaciju (RFID, engl. RF identification). Kod radiosustava s digitalnom modulacijom frekvencije moguće je koristiti prag detekcije s razinom koja iščezava neovisno o razini primljenog signala. Odašiljač u FSK radiosustavu neznatno je složenije strukture od odašiljača ASK signala. Prijamnik FSK signala s nekoherentnim demodulatorom može biti jednostavne strukture i jeftin. Nadalje, učestalost pogrešnog bita za asinkronu i sinkronu FSK usporedive je vrijednosti i znatno je manja od učestalosti pogrešnog bita za asinkronu ASK (u usporedbi na temelju vršne snage moduliranog signala). Zbog povoljnih svojstava digitalna modulacija frekvencije s asinkronom demodulacijom ima široku primjenu u sustavima za prijenos podataka, primjerice kod modema, teleprintera i telefaksa.

s moduliranom fazom ima stalnu ovojnicu i moguće je koristiti prag detekcije čija razina iščezava. To ublažava zahtjeve koji se postavljaju na pojačalo snage u odašiljaču PSK radiosustava i čini ga nadmoćnim u odnosu na ostale vrste radiosustava u prisutnosti fedinga. Pritom je nužno prenositi razmjerno široki propusni frekvencijski pojas uobičajeno u rasponu od dvije do četiri učestalosti bita (od 2Rb do 4Rb). Općenito, primjena digitalne modulacije faze je rezervirana za radiosustave vrhunskih svojstava, na primjer sustav za satelitske i svemirske komunikacije ili globalni sustav pozicioniranja (GPS, engl. global positioning system). Primjer 9.3. Sustav bežične lokalne računalne mreže iziskuje prijenos podataka najvećom brzinom 11 Mbit/s uz najveću učestalost pogrešnog bita 10−5. Odašiljač i prijamnik tog sustava koriste monopol-antenu s dobitkom 4,5 dBi, snaga odašiljanja je 0,5 W, a prijamnik i prijamna antena zajedno imaju ekvivalentnu temperaturu šuma 600 K referirano na ulaz demodulatora. Ako je sinusoidalni prijenosni signal s frekvencijom 2,44 GHz, odrediti najveći domet radiosustava s digitalnom modulacijom frekvencije i sinkronom demodulacijom te s digitalnom modulacijom amplitude i asinkronom demodulacijom. Valna duljina zračenog elektromagnetskog vala je:

m 123,01044,2

1039

8

=⋅

⋅==

fcλ

a brojčana vrijednost dobitka antene iskazanog u decibelima je:

82,2dB 5,4 i === rt GG U slučaju radiosustava s FSK i sinkronom demodulacijom za vjerojatnost pogreške Pe = 10−5 potrebna je vrijednost omjera energije bita i spektralne gustoće snage šuma (tablica 9.2):

2,18dB 6,120

==nEb

Prema relaciji 9.104. moguće je odrediti potrebnu primljenu snagu prijenosnog signala:

W 1066,110116001038,12,18 12623

00

0

−− ⋅=⋅⋅⋅⋅⋅=== beb

bb

r RkTnERn

nEP

Friisovom jednadžbom određen je najveći domet za radiosustav s digitalnom modulacijom frekvencije i sinkronom demodulacijom:

( ) ( )km 15

1066,14123,082,25,0

4 122

22

2

2

max =⋅⋅

⋅⋅==

−ππλ

r

rtt

PGGPR

Ako je radiosustav s ASK i asinkronom demodulacijom za vjerojatnost pogreške Pe = 10−5, potrebna je vrijednost omjera energije bita i spektralne gustoće snage šuma (tablica 9.2):

7,43dB 4,160

==nEb

298

Potrebna snaga prijenosnog signala na ulazu demodulatora je (relacija 9.104):

W 1098,310116001038,17,43 12623

00

0

−− ⋅=⋅⋅⋅⋅⋅=== beb

bb

r RkTnERn

nEP

Friisovom jednadžbom određen je najveći domet za radiosustav s digitalnom modulacijom amplitude i asinkronom demodulacijom:

( ) ( )km 8,9

1098,34123,082,25,0

4 122

22

2

2

max =⋅⋅

⋅⋅==

−ππλ

r

rtt

PGGPR

Razabire se da je najveći domet radiosustava s ASK i asinkronom demodulacijom približno 35 % manji od najvećeg dometa radiosustava s FSK i sinkronom demodulacijom. Ostvareni domet bit će puno manji (najčešće nekoliko stotina metara) zbog učina pri širenju elektromagnetskog vala, na primjer zasjenjenja, atenuacije i fedinga.

9.4. Učin Rayleighovog fedinga na učestalost pogrešnog bita U potpoglavlju 4.6. razmotrena su statistička svojstva primljenog signala u slučaju ravnomjernog fedinga zbog višestaznog širenja elektromagnetskog vala između odašiljača i prijamnika. Tada nastupa znatno smanjenje snage primanog signala u kratkom intervalu zbog promjena u prijenosnom sredstvu ili stazi širenja elektromagnetskog vala. Ovojnica valnog oblika ukupnog napona primljenih signala u slučaju ravnomjernog fedinga ima Rayleighovu razdiobu. Kratkotrajno smanjenje snage ne utječe znatnije na srednju snagu primanog signala, ali kratkotrajno znatno povećava učestalost pogrešnog bita. Naravno, to povećava i srednju vjerojatnost pogreške kod radiosustava s digitalnom modulacijom. Drukčije iskazano uz stalnu ekvivalentnu izotropno zračenu snagu, učestalost pogrešnog bita i razinu šuma feding uzrokuje smanjenje dometa radiosustava. Na slici 9.22. prikazan je model radiokanala s ravnomjernim, Rayleighovim fedingom i pridodanim bijelim, Gaussovim šumom. Slučajnom varijablom r(t) i n(t) modelirana je odgovarajuće promjena amplitude primanog signala uzrokovana fedingom te šum unesen prijamnom antenom i generiran u prijamniku.

+si(t)

r(t) n(t )

so(t)=r (t )si(t )+n(t)

Slika 9.22. Model radiokanala s fedingom i pridodanim bijelim šumom Slučajna varijabla r(t) ima Rayleighovu razdiobu s funkcijom gustoće vjerojatnosti:

( ) ( ) ∞<≤= − rrrf rr 0za e

22 22

α

α (9.106)

299

Pritom je varijanca slučajne varijable r(t) označena s α2; efektivna vrijednost slučajne .2α varijable s Rayleighovom razdiobom je Znak za varijancu slučajne varijable n(t) s

Gaussovom razdiobom je σ2. Neka je Rayleighov feding prisutan u radiokomunikacijskom sustavu s digitalnom modulacijom faze i sinkronom demodulacijom. Ako je r vrijednost slučajne varijable r(t), onda je vjerojatnost pogreške za odaslanu binarnu 0 (relacija 9.78) moguće prikazati u obliku:

( ) ( ) ( )

=>=

0

2

00 erfc

21

nErrUTTnPrEP b

be (9.107)

Ukupna vjerojatnost pogreške dobije se integriranjem po vrijednosti r u granicama 0 ≤ r < ∞ umnoška ovog izraza i funkcije gustoće vjerojatnosti Rayleighove razdiobe (relacija 9.106):

( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫∫∞

−∞

==

0

22

0

2

0

00 deerfc21d

22

rrnErrrfrEPP rb

rbeeα

α (9.108)

Zamjena varijabli u = r2Eb/n0, du = (2rEb/n0)dr i r2 = un0/Eb te određenje komplementarne funkcije pogreške:

( ) ∫∞

=

−=ux

x xu de2erfc2

π

omogućuju relaciju 9.108. prikazati u obliku:

( ) ( )∫ ∫∞

=

∞

=

−−=0

22

00 ddee2

20

2

u ux

Eunx

be ux

EnP bα

απ (9.109)

Neka je Γ omjer srednje energije bita i spektralne gustoće snage šuma za signal primljen u prisutnosti fedinga:

0

22n

EΓ bα= (9.110)

pa je relaciju 9.109. moguće prikazati u jednostavnijem obliku:

( ) ∫ ∫∞

=

∞

=

−−=0

0 ddee1 2

u ux

Γuxe ux

ΓP

π (9.111)

Na vanjski integral u ovom izrazu moguće je primijeniti pravilo parcijalne integracije:

uVxUUVUVVU Γu

ux

xb

a

b

a

b

aded i de uz dd

2 −∞

=

− ==−= ∫∫ ∫

300

pa je vjerojatnost pogreške za odaslanu binarnu 0 u radiosustavu s digitalnom modulacijom faze i sinkronom demodulacijom uz prisutan Rayleighov feding:

( ) ( ) ( )

+

−=

=

−

−= ∫

∞

=

+−∞

=

−

ΓΓ

uu

ΓuΓΓ

Pu

uΓ

u

Γue

11

21

de2

erfc2

e1

0

11

0

0 ππ

(9.112)

Pritom je vrijednost komplementarne funkcije pogreške erfc(∞) = 0 i erfc(0) = 1, a određeni integral je tablični:

∫∞ −

=0

dea

uu

au π

Zbog sličnosti relacija 9.76, 9.78. i 9.81. jednakim postupkom moguće je odrediti

slična rješenja za vjerojatnost pogreške u ASK i FSK radiosustavu sa sinkronom demodulacijom u prisutnosti Rayleighovog fedinga. Relacija 9.112. iskazuje vjerojatnost pogreške u PSK radiosustavu pomoću omjera srednje energije bita i spektralne gustoće snage šuma za signal primljen u prisutnosti fedinga, Γ (relacija 9.110). Smanjenje vjerojatnosti pogreške pri povećanju ovog omjera je znatno sporije u odnosu na slučaj kad je odsutan feding. Naime, u odsutnosti fedinga smanjenje vjerojatnosti pogreške je približno eksponencijalno s povećanjem omjera energije bita i spektralne gustoće snage šuma jer je općenito:

( ) zz

zz

za veliki eerfc2

π

−

≈

Osim toga, treba uočiti da se rezultat za vjerojatnost pogreške u prisutnosti fedinga (relacija 9.112) ne svodi na rezultat za vjerojatnost pogreške u odsutnosti fedinga (relacija 9.78) kad Γ poprima vrijednost 0 ili 1. To je posljedica pretpostavke da kod Rayleighovog fedinga ne postoji izravni elektromagnetski val koji se između odašiljača i prijamnika širi stazom optičke vidljivosti. Naravno, u odsutnosti fedinga to je jedina staza širenja elektromagnetskog vala. Ako kod višestaznog širenja postoji i staza optičke vidljivosti, onda ovojnica ukupnog napona primljenih signala ima Riceovu razdiobu.

Neka je Rayleighov feding prisutan u radiokomunikacijskom sustavu s digitalnom modulacijom frekvencije i asinkronom demodulacijom. Vjerojatnost pogreške za odaslanu binarnu 0 (relacija 9.103) moguće je prikazati u obliku:

( ) ( ) ( ) ( )02 2

00

21 nEr

beberUTTnPrEP −=>= (9.113)

gdje je r vrijednost slučajne varijable r(t). Ukupna vjerojatnost pogreške jednaka je integralu po r umnoška ovog izraza i funkcije gustoće vjerojatnosti Rayleighove razdiobe (relacija 9.106) u granicama 0 ≤ r < ∞:

301

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

ΓnE

rrrrfrEPP

b

rnErrbee

b

+=

+

=

=== ∫∫∞

−−∞

21

12

1

dee21d

0

2

0

222

0

00 220

2

α

αα

(9.114)

Pritom je Γ omjer srednje energije bita i spektralne gustoće snage šuma za signal primljen u prisutnosti fedinga (relacija 9.110), a rezultat je određen pomoću tabličnog integrala:

∫∞

− =0 2

1de2

axx ax

Na slici 9.23. prikazan je učin Rayleighovog fedinga na učestalost pogrešnog bita, BER u radiosustavu s digitalnom modulacijom faze i sinkronom demodulacijom te digitalnom modulacijom frekvencije i asinkronom demodulacijom. Vjerojatnost pogreške, Pe prikazana je u zavisnosti o omjeru srednje primljene energije bita i spektralne gustoće snage šuma, Γ = 2α2Eb/n0. U slučaju s prisutnim fedingom vjerojatnost pogreške za sinkronu PSK i asinkronu FSK određena je odgovarajuće relacijom 9.112. i 9.114. U slučaju s odsutnim fedingom odabrano je 2α2 = 1, odnosno Γ = Eb/n0 pa se za vjerojatnost pogreške koristi odgovarajuće relaciju 9.78. i 9.103.

Pe

Γ /dB-10 0 10 20 30 4010-7

100

10-1

10-2

10-3

10-4

10-5

10-6 sinkrona PSKasinkrona FSK

fedingprisutan

fedingodsutan

Slika 9.23. Učin Rayleighovog fedinga na BER za sinkronu PSK i asinkronu FSK Razabire se drastično povećanje vjerojatnosti pogreške u prisutnosti fedinga i za PSK radiosustav sa sinkronom demodulacijom i za FSK radiosustav s asinkronom demodulacijom. Primjerice kod oba radiosustava uz vjerojatnost pogreške Pe = 10−5 feding ima učin povećanja potrebnog omjera energije bita i šuma za više od 30 dB. Snaga odašiljanja redovito je ograničena (tehnološki ili normama) pa feding u konačnici ima učin smanjenja dometa radiokomunikacijskog sustava uz određenu brzinu prijenosa podataka, učestalost pogrešnog bita i razinu šuma. Najčešće pogrešni bitovi u radiokanalu s fedingom nastupaju u kratkotrajnim nahrupima pa kodiranje za ispravljanje pogreški može djelotvorno smanjiti vjerojatnost pogreške.

302

Primjer 9.4. Bazna postaja staničnog telefona s antenom na visini 50 m odašilje binarno fazno modulirani signal s prijenosnom frekvencijom 882 MHz i ekvivalentnom izotropno zračenom snagom 50 W. Antena pokretnog prijamnika je na visini 2 m, a ima dobitak −1,0 dBi i ekvivalentnu temperaturu šuma 300 K. Ako je faktor šuma prijamnika 8,0 dB, a brzina prijenosa podataka 24,3 kbit/s uz učestalost pogrešnog bita 10−5, odrediti domet uporabe ovog radiosustava u slučaju odsutnosti fedinga i u slučaju prisutnosti ravnomjernog, Rayleighovog fedinga s 2α2 = −10,0 dB. Ekvivalentna temperatura šuma prijamne antene i prijamnika referirano na ulaz demodulatora je:

( ) ( ) K9,839 1290131,63001 0 =⋅−+=−+= TFTT Ae jer je brojčana vrijednost faktora šuma prijamnika iskazanog u becibelima F = 8,0 dB = 6,31. U odsutnosti fedinga kod radiosustava s PSK i sinkronom demodulacijom za vjerojatnost pogreške Pe = 10−5 potrebna je vrijednost omjera energije bita i spektralne gustoće snage šuma (tablica 9.2):

12,9dB 6,90

==nEb

Prema relaciji 9.104. moguće je odrediti potrebnu primljenu snagu prijenosnog signala:

W 1063,5103,249,839 11038,112,9 15323

00

0

−− ⋅=⋅⋅⋅⋅⋅=== beb

bb

r RkTnERn

nEP

Pretpostavi li se kao u potpoglavlju 4.5. širenje izravnim valom i jednim valom reflektiranim od površine Zemlje, domet je:

km 5,911063,5

25079,050 41

15

2241

22

21 =

⋅

⋅⋅⋅=

= −

r

rtt

PhhGGPd

jer je EIRP = PtGt i brojčana vrijednost dobitka prijamne antene iskazanog u decibelima Gr = −1,0 dB = 0,79. U prisutnosti Rayleighovog fedinga kod radiosustava s PSK i sinkronom demodulacijom za vjerojatnost pogreške Pe = 10−5 potrebna je vrijednost omjera srednje energije bita i spektralne gustoće snage šuma (relacija 9.112):

( )( )

( )( ) dB 0,4425,999 24

102111021

21121

25

25

2

2

==⋅−−

⋅−=

−−−

=−

−

e

e

PPΓ

Brojčana vrijednost veličine iskazane u decibelima je 2α2 = −10,0 dB = 0,10 pa je potrebna vrijednost omjera energije bita i spektralne gustoće snage šuma (relacija 9.110):

dB 0,541050,210,0

25,999 242

52

0

=⋅===αΓ

nEb

Pomoću relacije 9.104. moguće je odrediti potrebnu primljenu snagu prijenosnog signala u prisutnosti fedinga:

303

W 1054,1103,249,839 11038,11050,2 103235

00

0

−− ⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅=== beb

bb

r RkTnERn

nEP

Ako se ponovno pretpostavi širenje izravnim valom i jednim valom reflektiranim od površine Zemlje, onda je domet razmatranog radiosustava u prisutnosti fedinga:

km 1,71054,1

25079,050 41

10

2241

22

21 =

⋅

⋅⋅⋅=

= −

r

rtt

PhhGGPd

smanjen približno 12,9 puta u odnosu na domet u odsutnosti fedinga.

9.5. Višeznakovna digitalna modulacija Poznato je da se kod binarne digitalne modulacije odašilje samo jedan znak u periodu signaliziranja pa je ostvarena efikasnost širine frekvencijskog pojasa 1 (bit/s)/Hz. Postupak višeznakovne modulacije (engl. M-ary modulation) omogućava da se više od jednog bita odašilje u signalizacijskom periodu. Tada je uz nepromijenjenu širinu frekvencijskog pojasa veća brzina prijenosa podataka, ali je radiosustav znatno složeniji. Ako signalizacijski period sadrži n bita, onda je efikasnost širine frekvencijskog pojasa n (bit/s)/Hz, a moguće je odaslati M = 2n različitih znakova. To je moguće ostvariti pomoću M diskretnih razina amplitude, M frekvencija ili M faznih zakreta prijenosnog signala, ali i njihovim kombiniranjem tako da je M ukupni broj različitih vrijednosti značajki prijenosnog signala. Ako je učestalost znaka Rs, onda je odgovarajuća učestalost bita Rb = nRs. Signalizacijski period jednak je vremenu trajanja znaka, T = 1/Rs = n/Rb. Na slici 9.24. prikazan je višeznakovno modulirani signal koji u signalizacijskom periodu T sadrži n = 5 bita pa je moguće odaslati M = 25 = 32 različita znaka. Valja upozoriti da pogreška u procesu detektiranja jednog znaka može odgovarati pogrešnoj detekciji svih sadržanih bitova.

T=5/Rb

s(t )

t

s1 s1

s2 s2 s2

1/Rb

Slika 9.24. Višeznakovno modulirani signal s n = 5 bita Neka se u procesu višeznakovne digitalne modulacije faze koriste četiri vrijednosti faznog zakreta prijenosnog signala. Tako je moguće odaslati M = 4 različita znaka koji u signalizacijskom periodu sadrže n = 2 bita. To je četverofazna (kvadraturna) digitalna modulacija (QPSK, engl. quadrature phase shift keying). Rezultirajući QPSK signal je:

( )°+= 45cos 00 tAs ω (9.115.a)

304

( )°+= 135cos 01 tAs ω (9.115.b)

( )°−= 135cos 02 tAs ω (9.115.c)

( )°−= 45cos 03 tAs ω (9.115.d) ili u sažetom obliku:

( ) ( ) ( ) 3 2, 1, ,0iza 4

1i2 ,cos i0 =+=+=πω ΦΦtAts ii (9.116)

Ovaj četverofazno modulirani signal moguće je prikazati pomoću fazora (slika 9.25.a). Ako fazor prikazuje sinusoidalni valni oblik kosinusne funkcije, onda je na vodoravnoj osi istofazna, I komponenta, a na okomitoj osi je kvadraturna (ortogonalna), Q komponenta QPSK signala. Dijagram položaja (konstelacijski dijagram, engl. constellation diagram) prikazuje samo krajnje točke fazora u I-Q ravnini (slika 9.25.b).

Q

I

Q

I

s0 s0s1 s1

s2 s2 s3s3

a) b)

Slika 9.25. Prikaz QPSK signala: a) fazorima; b) konstelacijskim dijagramom Primijeni li se jednakost za kosinus zbroja argumenata na relaciju 9.116, moguće je QPSK signal iskazati u kvadraturnom obliku:

( ) ( ) ( )tAtAts QiIii 00 sincos ωω −= (9.117) gdje je amplituda istofazne i ortogonalne komponente odgovarajuće AIi = AcosΦi i AQi = AsinΦ za i = 0, 1, 2, 3. Vrijednost amplituda ovih komponenti uz amplitudu prijenosnog signala

i

2=A navedena je na tablici 9.3.

Tablica 9.3. Amplituda I i Q komponente QPSK signala ( 2=A )

i fazni zakret Φ i

amplituda AI i

amplituda AQ i

binarni podatak

0 45° 1 1 1, 1

1 135° −1 1 0, 1

2 −135° −1 −1 0, 0

3 −45° 1 −1 1, 0

305

Prethodni rezultati pokazuju da je moguće generirati QPSK signal pomoću dva bipolarna modulacijska signala bez vraćanja na ništicu, NRZ kojima se modulira odgovarajuće istofaznu i ortogonalnu komponentu prijenosnog signala. Svaku od četiri vrijednosti faznog zakreta moguće je koristiti za prijenos binarnog podatka s dva bita kako je prikazano na tablici 9.3. Ulazni slijed binarnih znamenki modulacijskog signala u unipolarnom NRZ obliku treba grupirati u uređene parove kojima se generira binarni I i Q podatak u bipolarnom NRZ obliku. Blok-shema QPSK modulatora prikazana je na slici 9.26. Istofaznu, cos(ω0t) i ortogonalnu, sin(ω0t) komponentu prijenosnog signala moguće je generirati pomoću jednog lokalnog oscilatora i hibridnog spoja s faznim zakretom 90°. Niskopropusnim filtrom ograničena je širina osnovnog frekvencijskog pojasa modulacijskog signala; odgovarajuće ograničenje širine propusnog frekvencijskog pojasa nakon pretvorbe frekvencije naviše nije lako ostvariti. Između dva znaka kod četverofazno moduliranog signala vjerojatnija je promjena faze za 90° nego za 180°; kod signala s binarno moduliranom fazom promjena je uvijek za 180°. Zato je spektar QPSK signala uži u usporedbi sa spektrom binarnog PSK signala pa je i propusni frekvencijski pojas QPSK signala uži. Na izlazu QPSK modulatora signal je s dva bočna pojasa i potisnutim prijenosnim signalom.

+

pohranadva bita

(pretvorbaserijski u

paraleleno)

cos(ω0t)

sin(ω0t)

binarni podaci(unipolarni NRZ)

I podaci

Q podaci

I komp.

Q komp.

Rb

si(t)

Rs=Rb/2

Slika 9.26. Blok-shema QPSK modulatora Na slici 9.27. prikazan je valni oblik modulacijskog signala na ulazu i moduliranog signala na izlazu QPSK modulatora (slika 9.26) te valni oblik I i Q podataka. Svaki par bita ulaznih podataka pretvara se u I i Q podatke prema tablici 9.3. Ako je Rb učestalost bita modulacijskog signala, onda je Rs = Rb/2 učestalost znaka QPSK signala. Zato četverofazna digitalna modulacija u odnosu na binarnu digitalnu modulaciju faze iziskuje samo polovinu širine propusnog frekvencijskog pojasa za jednaku brzinu prijenosa podataka pa ima efikasnost širine frekvencijskog pojasa 2 (bit/s)/Hz. Treba istaknuti da signal na izlazu savršenog QPSK modulatora ima stalnu ovojnicu. Četverofazno digitalno modulirani signal iziskuje sinkronu demodulaciju. Blok-shema koherentnog QPSK demodulatora prikazana je na slici 9.28. Sklop sadrži dva miješala u kojima se modulirani signal miješa s istofaznom i ortogonalnom komponentom signala sinkroniziranog lokalnog oscilatora. Tako se obnavlja signal I i Q podataka u bipolarnom NRZ obliku kojeg je moguće detektirati pomoću integratora, sklopa za uzorkovanje i komparatora, odnosno korelacijskim prijamnikom (slika 9.19). Pritom razina praga detekcije iščezava. Neka je na ulaz koherentnog demodulatora narinut QPSK signal, si(t) određen relacijom 9.116. Napon na I i Q izlazu demodulatora (slika 9.28) odgovarajuće je:

( ) ( )

( )[ ] i

T

ii

T

iI

ΦTAtΦΦtA

ttΦtAU

cos2

dcos2cos2

dcoscos

2

00

2

00

02

=++=

=+=

∫

∫

ω

ωω (9.118.a)

306

( ) ( )

( )[ ] i

T

ii

T

iQ

ΦTAtΦΦtA

ttΦtAU

sin2

dsin2sin2

dsincos

2

00

2

00

02

=−+−=

=+−=

∫

∫

ω

ωω (9.118.b)

gdje je T signalizacijski period, a Φi je fazni zakret i-tog QPSK signala. Nakon detektiranja I i Q podatka pretvornikom paralelno u serijski moguće je obnoviti odaslani binarni podatak.

0

0

0

0

t

t

t

t

01 10 0binarnipodaci

0 1 1 1 1

I podaci

Q podaci

si(t)

0 1 0 0 1

11 10 1

A

-A

s1 s0 s2 s1 s0ω0

1

-1

1

-1

Slika 9.27. Valni oblik signala u QPSK modulatoru

∫ ′T

t0

d(.)T

integratorsklop za

uzorkovanje

∫ ′T

t0

d(.)T

integrator sklop zauzorkovanje

si(t )

Acos(ω0t)

-Asin(ω0t )

I podaci

Q podaci

UI

UQ

Slika 9.28. Blok-shema QPSK demodulatora

307

Na tablici 9.4. prikazane su vrijednosti napona UI i UQ na izlazu QPSK demodulatora za 222 =TA ulazni signal si(t), i = 0, 1, 2, 3 uz (relacije 9.118.a) i 9.118.b). Usporedba s

tablicom 9.3. pokazuje da su razmatranim demodulatorom obnovljeni izvorni binarni podaci.

Tablica 9.4. Napon UI i UQ na izlazu QPSK demodulatora ( 222 =TA )

QPSK signal, si(t)

fazni zakret Φ i

napon UI

napon UQ

binarni podatak

s0 45° 1 1 1, 1

s1 135° −1 1 0, 1

s2 −135° −1 −1 0, 0

s3 −45° 1 −1 1, 0

Bjelodano nije jednoznačno pridruživanje binarnog podatka QPSK signalu. Primjerice moguće je umjesto signalu s0 binarni podatak 1, 1 pridružiti signalu s1, s2, ili s3. Međutim, navedeno pridruživanje (tablica 9.4) ima vrlo korisno svojstvo: kad nastupi pogrešna detekcija znaka vjerojatnost da je samo jedan bit pogrešno detektiran veća je od vjerojatnosti da su oba bita pogrešno detektirana. Posljedica je to veće vjerojatnosti da signalu pridodani šum uzrokuje manji fazni zakret, odnosno veća je vjerojatnost faznog zakreta za 90° nego za 180°. Zato je pridruživanje tako izvršeno da se uzastopni QPSK signali razlikuju za samo jedan bit. To je primjer kako je domišljatim kodiranjem, kojeg se naziva Grayevim, moguće smanjiti učestalost pogrešnog bita. (Napomena: Ako je b1b2 ... bn binarno iskazan jedan od 2n dekadskih brojeva, onda je odgovarajući Grayev kod g1g2 ... gn gdje je g1 = b1 i gk = bk ⊕ bk−1 za 2 ≤ k ≤ n. Pritom je ⊕ znak za izravni zbroj linearnih algebri, odnosno 1 ⊕ 1 = 0 ⊕ 0 = 0 i 0 ⊕ 1 = 1 ⊕ 0 = 1.)

Vjerojatnost pogreške u radiokomunikacijskom sustavu s četverofaznom digitalnom modulacijom moguće je odrediti jednakim postupkom kao i u slučaju radiosustava s binarnom digitalnom modulacijom faze. Zbog simetričnosti QPSK signala (slika 9.25) jednaka je vjerojatnost pogreške za svaki si(t), i = 0, 1, 2, 3. Neka je na ulazu QPSK demodulatora (slika 9.28) napon signala, s1(t) i napon pridodanog bijelog, Gaussovog šuma, n(t) koji je frekvencijski ograničen:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )tntAtntstnts +°+=+=+ 135cos 01 ω (9.119) gdje je za s1(t) uvrštena relacija 9.115.b), a dvostrana spektralna gustoća snage tog šuma je n0/2. Nakon integriranja u signalizaciskom periodu, T napon signala na izlazu sklopa za uzorkovanje u I i Q korelatoru odgovarajuće je (relacije 9.118.a) i 9.118.b):

( ) ( ) ( )TnETnTATU os

oI +−=+−=222

2

(9.120.a)

( ) ( ) ( )TnETnTATU os

oQ +=+=222

2

(9.120.b)

gdje je Es = A2T/2 energija znaka. Napon šuma na izlazu ovog sklopa:

308

( ) ( ) ( )∫=T

o tttAnTn0

0 dcos ω (9.121)

slučajna je varijabla s Gaussovom razdiobom čija srednja vrijednost iščezava pa je moguće odrediti njezinu varijancu, odnosno srednju snagu šuma (potpoglavlje 3.1):

( ) 24

002

22 nETnATnE so ===σ (9.122)

Razina praga detekcije iščezava pa je vjerojatnost da je znak primljen I korelatorom pogrešan:

( ) ( )( )

∫∞ −

=

>=>=

202

2

d2

e2

022

0

sE

ns

oII

e nETnPUPPπσ

σ

Uvede li se novu varijablu ( )σ20nx = , moguće je vjerojatnost pogreške iskazati komplementarnom funkcijom pogreške, erfc(z):

( )

( )

=

== ∫

∞−

02 2erfc

21

2erfc

21de1 2

nEExP ss

E

xIe

sσπ σ

(9.123.a)

gdje je )( ) ( 022 nEE ss =σ (relacija 9.122). Zbog simetričnosti QPSK demodulatora (slika 9.28) jednaki izraz vrijedi za vjerojatnost pogreške znaka primljenog Q korelatorom:

( )

=

02erfc

21

nEP sQ

e (9.123.b)

Vjerojatnost ispravnog prijama odaslanog znaka jednaka je umnošku vjerojatnosti ispravne detekcije oba korelatora u sastavu QPSK demodulatora pa je ukupna vjerojatnost pogreške znaka:

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )

=≈−−=−−−=

0

2

2erfc211111

nEPPPPP sI

eI

eQ

eI

es

e (9.124)

Pritom je pretpostavljeno da je << 1 i uvrštena je relacija 9.123.a). Ako je QPSK signal s Grayevim kodiranjem, onda pogrešku znaka najčešće uzrokuje pogreška samo jednog bita. Svaki znak sadrži dva bita pa je vjerojatnost pogrešnog bita jednaka polovini vjerojatnosti pogrešnog znaka:

( )IeP

=

02erfc

21

nEP s

e (9.125)

Naravno, vrijeme trajanja znaka dvostruko je duže od vremena trajanja bita pa je energija znaka jednaka dvostrukoj vrijednosti energije bita, Es = 2Eb. Zato je jednaka vjerojatnost

309

pogreške za četverofaznu digitalnu modulaciju (relacija 9.125) i za binarnu digitalnu modulaciju faze (relacija 9.78). Drukčije iskazano radiosustav s QPSK ostvaruje dvostruku brzinu prijenosa podataka u odnosu na radiosustav s PSK uz jednaku širinu frekvencijskog pojasa i učestalost pogrešnog bita. To objašnjava brojne primjene četverofazne digitalne modulacije i njezinih inačica, na primjer u sustavu pokretnog telefona s kodno raspodijeljenim višestrukim pristupom, u sustavu satelitskog pokretnog telefona ili u radiodifuzijskom sustavu za izravni prijam sa satelita. Primjer 9.5. Radiokomunikacijski sustav s četverofaznom digitalnom modulacijom i Grayevim kodiranjem prenosi podatke brzinom 20 Mbit/s uz ukupne gubitke radioveze 110 dB. Srednja snaga odaslanog QPSK signala je 2 W, a dvostrana spektralna gustoća snage šuma, n0/2 na ulazu koherentnog demodulatora je 4·10−20 W/Hz. Odrediti učestalost pogrešnog bita za ovaj radiosustav i usporediti je s vrijednošću BER za odgovarajući radiosustav s binarnom digitalnom modulacijom faze. Srednja snaga primljenog QPSK signala jednaka je za gubitke umanjenoj odaslanoj snazi, Pr = 2·10−110/10 = 2·10−11 W. Omjer energije znaka QPSK signala i spektralne gustoće snage šuma je:

251020104

1022620

11

000

=⋅⋅⋅

⋅=== −

−

b

r

s

rs

RnP

RnP

nE

Prema relaciji 9.125. vjerojatnost pogreške, odnosno BER za radiosustav s QPSK je:

( ) 7

0

1087,2536,3erfc21

225erfc

21

2erfc

21 −⋅==

=

=

nEP s

e

Vrijednost komplementarne funkcije pogreške moguće je odrediti pomoću približne relacije:

( )

≥+

≤+

−≈

−

71,2za 21

e132,1

96,0za 3

372,31erfc

2

2

2

zz

z

zz

z

zz

Omjer energije bita PSK signala i spektralne gustoće snage šuma je:

5,121020108

102620

11

00

=⋅⋅⋅

⋅== −

−

b

rb

RnP

nE

Vjerojatnost pogreške, odnosno BER za odgovarajući radiosustav s binarnom PSK (relacija 9.78):

( ) ( ) 7

0

1087,2536,3erfc215,12erfc

21erfc

21 −⋅===

=

nEP b

e

očekivano ima jednaku vrijednost kao i u slučaju radiosustava s QPSK.

310

Općenito, M-fazno digitalno modulirani signal moguće je prikazati u sažetom obliku:

( ) ( ) 1 M 2, 1, ,0iza M2i ,cos i0 −==+= Kπω ΦΦtAts ii (9.126)

Dijagram položaja M-PSK signala sadrži M točaka na kružnici u I-Q ravnini, a središnji kut između uzastopnih točaka je 2π/M. Primjerice dijagram položaja osmerofazno digitalno moduliranog signala sadrži osam točaka na kružnici međusobno zakrenutih za kut π/4 (slika 9.29). Vrijedi ponoviti da prijenos M = 2n znakova iziskuje n bita u signalizacijskom periodu. Ako je učestalost znaka Rs, onda je odgovarajuća učestalost bita Rb = nRs, a efikasnost širine frekvencijskog pojasa je n (bit/s)/Hz.

Q

I

Slika 9.29. Konstelacijski dijagram 8-PSK signala Vjerojatnost pogreške znaka za radiosustav s M-faznom digitalnom modulacijom približno je:

( ) ( ) 32

0

10 i 2za M M

sinerfc −<>

≈ s

ess

e PnEP π (9.127)

Ako je M-PSK signal s Grayevim kodiranjem, onda pogrešku znaka najčešće uzrokuje pogreška samo jednog bita. Svaki znak sadrži n bita pa je vjerojatnost pogrešnog bita:

( )

≈=

Msinerfc

n1

n1 2

0

πnEPP ss

ee (9.128)

Primijeni li se jednakost za kosinus zbroja argumenata na relaciju 9.126, moguće je M-PSK signal iskazati u kvadraturnom obliku:

( ) ( ) ( )tAtAts QiIii 00 sincos ωω −= (9.129) gdje je amplituda istofazne i ortogonalne komponente odgovarajuće AIi = AcosΦi i AQi = AsinΦi za i = 0, 1, 2, . . . M − 1. Pritom se mijenja amplituda I i Q komponente prijenosnog signala pa je to kvadraturna (ortogonalna) amplitudna modulacija (QAM, engl. quadrature amplitude modulation). Razabire se da QAM obuhvaća sve vrste digitalne modulacije amplitude i faze. Na primjer 4-QAM jednaka je QPSK ako je amplituda I i Q komponente stalnog iznosa. Iako nije nužno najčešće se vrijednost amplitude AIi i AQi odabire tako da su signali si simetrični. Dijagram položaja 16-QAM signala prikazan je na slici 9.30.

311

Q

I

Slika 9.30. Konstelacijski dijagram 16-QAM signala

Vjerojatnost pogreške znaka za radiokomunikacijski sustav s 16-QAM približno je:

( )

≈

052erfc

23

nEP bs

e (9.130)

Višeznakovnom kvadraturnom amplitudnom modulacijom moguće je ostvariti veliku efikasnosti širine frekvencijskog pojasa. Zato je česta njezina primjena u suvremenim radiosustavima, primjerice sustavu mikrovalne usmjerene radioveze, sustavu lokalne radiodifuzije i DVB-C sustavu kabelske digitalne televizije. Na tablici 9.5. zbirno su navedena svojstva u savršenom slučaju za neke vrste digitalnih modulacijskih postupaka.

Tablica 9.5. Svojstva nekih vrsta modulacijskih postupaka

vrsta modulacije

potrebni (Eb/n0)/dB za Pe = 10−5

efikasnost frekv. pojasa

binarna ASK 15,6 1

binarna FSK 12,6 1

binarna PSK 9,6 1

QPSK (4-QAM) 9,6 2

8-PSK 13,0 3

16-PSK 18,7 4

16-QAM 13,4 4

64-QAM 17,8 6

Za sve razmotrene vrste modulacija vjerojatnost pogreške se eksponencijalno smanjuje pri povećanju omjera energije bita i spektralne gustoće snage šuma. Jednako svojstvo imaju i višeznakovne digitalne modulacije višeg reda. To znači da je povećanjem omjera Eb/n0 moguće na potrebnu vrijednost smanjiti učestalost pogrešnog bita. S druge strane, energija bita jednaka je omjeru srednje snage prijenosnog signala i brzine prijenosa podataka,

312

Eb = S/Rb. Smanjivanjem brzine prijenosa podataka uz određenu snagu signala moguće je smanjiti učestalost pogrešnog bita na potrebnu vrijednost. Kapacitet kanala (engl. channel capacity) je najveća brzina prijenosa podataka koju je u prisutnosti pridodanog bijelog, Gaussovog šuma moguće ostvariti određenim radiokanalom. Shannonovom relacijom određen je kapacitet kanala:

+=

BnSBC0

2 1log (9.131)

gdje je B širina propusnog frekvencijskog pojasa, S je srednja snaga prijenosnog signala, a n0/2 je dvostrana spektralna gustoća snage šuma. Ostvarena brzina prijenosa podataka redovito je manja od kapaciteta kanala. Kodiranjem za ispravljanje pogreški moguće je postići brzinu prijenosa podataka blisku Shannonovoj graničnoj vrijednosti.

313

314

nerješiva zadaća izoliranja prijamnika i odašiljača koji koriste isti frekvencijski pojas. Štoviše,

10. PROJEKTIRANJE PRIJAMNIKA Ukupna svojstva radiokomunikacijskog sustava najčešće ovise o prijamniku. Njime se iz zamršenog spleta električnih signala, elektromagnetskih poremetnji i šuma izdvaja željeni signal, odnosno njegovom demodulacijom obnavlja izvorna poruka. Nerijetko je razina željenog signala približno −110 dBm pa prijamnik treba biti dostatne osjetljivosti. Moguća je i druga krajnost, kad je željeni signal znatno više razine, pa prijamnik treba biti otporan na preopterećenje. To iziskuje uporabu automatskog upravljanja pojačanjem. Značajke prijamnika u tom pogledu određene su najnižom razinom signala koju je moguće pouzdano detektirati i dinamičkim područjem. Usporedno s pretvorbom frekvencije nameće se i pitanje potrebnog filtriranja signala u različitim stupnjevima prijamnika u cilju otklanjanja parazitnih signala iz miješala i potiskivanja signala sa zrcalnom frekvencijom. Razložno je razmotriti i strukturu prijamnika u nekim radiokomunikacijskim sustavima. 10.1. Struktura prijamnika Od početnih jednostavnih struktura razvoj prijamnika je potican težnjom da se djelotvornije koristi radiofrekvencijski spektar, poveća udaljenost prijenosa informacije i snizi razina snage odašiljanja. Prijamnikom treba ostvariti:

- iznimno veliko pojačanje razine primljenog signala - primjerenu selektivnost primanja željenog signala - pretvorbu radiofrekvencije primljenog signala naniže - demoduliranje primljenog signala - dostatno izoliranje od odašiljača.

Često je razina željenog signala na izlazu prijamne antene tako niska da je nužno pojačanje od 100 dB do 120 dB kako bi se obnovila razina izvornog signala u osnovnom frekvencijskom pojasu reda vrijednosti 1 mW. To iznimno veliko pojačanje valja razdijeliti između radiofrekvencijskog i međufrekvencijskog pojačala te pojačala osnovnog frekvencijskog pojasa. Općenito, razborito je pojačanje razine signala u jednom frekvencijskom pojasu ograničiti na vrijednost od 50 dB do 60 dB. U suprotnom mogu nastupiti oscilacije zbog parazitne sprege između izlaza i ulaza pojačala. Razdioba pojačanja na više frekvencijskih pojasa je i isplativija jer je redovito skuplje pojačalo za više frekvencije i veće iznose pojačanja. Načelno je moguće potrebnu selektivnost primanja željenog signala ostvariti pomoću uskopojasno propusnog filtra u radiofrekvencijskom dijelu prijamnika. Međutim, filtar s malom relativnom širinom propusnog pojasa i velikom brzinom promjene (nagib) unesenog gubitka između propusnog i nepropusnog pojasa najčešće nije lako ostvariti za frekvencije iz višeg dijela radiofrekvencijskog područja. Znatno je povoljnije ako se najprije naniže pretvori razmjerno široki frekvencijski pojas oko željenog radiofrekvencijskog signala. Za rezultirajuće niže međufrekvencijsko područje dostupni su filtri primjerenih značajki pa je razmjerno lako ostvariti potrebnu selektivnost. Osim toga, odabir primanog signala moguće je izvršiti promjenom frekvencije lokalnog oscilatora; to je znatno jednostavnije od uporabe promjenljivih, uskopojasno propusnih filtara. Većina suvremenih radiokomunikacijskih sustava omogućuje obosmjerni istodobni prijenos informacije. Najčešća je pritom uporaba odvojenih frekvencijskih pojasa za odašiljanje i prijam. Tako se izbjegava teška, ali ne i

česta je uporaba samo jedne antene i za odašiljanje i za prijam. U tom slučaju obosmjernik (dupleksor, engl. duplexing filter, duplexor) ostvaruje prijenos radiofrekvencijskog signala u oba smjera (odašiljač - antena i antena - prijamnik) te izolira prijamnik od odašiljača. Na slici 10.1. prikazana je blok-shema ugođenog radiofrekvencijskog prijamnika (TRF, engl. tuned radio frequency). Pripada prvobitnim strukturama prijamnika, a sadrži nekoliko kaskadno spojenih radiofrekvencijskih pojačala i promjenljivih pojasno propusnih fitara ugođenih na prijenosnu frekvenciju željenog signala. Inačica ovog prijamnika sadrži ugođena i RF pojačala. Naravnavanje filtara i RF pojačala na razmjerno nisku prijenosnu frekvenciju u sustavu AM radiodifuzije redovito se obavlja pomoću promjenljivih kondenzatora i/ili zavojnica. U slučaju većeg broja stupnjeva to je mukotrpan postupak. Pritom selektivnost TRF prijamnika nije velika jer nije moguće ostvariti promjenljivo RF pojačalo i filtar s dostatno uskim propusnim frekvencijskim pojasom. Naravno, nedostatak je i ograničenje pojačanja signala samo u jednom frekvencijskom pojasu. Ove manjkavosti su naglašene na frekvencijama u višem dijelu radiofrekvencijskog područja pa su rijetke primjene TRF prijamnika. Uzgred, detektorski prijamnik (engl. crystal set) primjer je jednostupanjskog TRF prijamnika bez RF pojačala.

modulacijskisignal

demodulator

promjenljivipojasno prop.

filtar

antenaRF

pojačaloRF

pojačalo

RF signal

promjenljivipojasno prop.

filtarfRF fRF fRF

Slika 10.1. Blok-shema TRF prijamnika U prijamniku s izravnom pretvorbom (engl. direct conversion) iščezava međufrekvencija (ZIF, engl. zero intermediate frequency). Razabire se (slika 10.2) da signal lokalnog oscilatora ima frekvenciju jednaku željenom radiofrekvencijskom signalu pa miješanje rezultira pretvorbom frekvencije naniže izravno iz propusnog u osnovni pojas. Katkad se takav prijamnik naziva homodinskim (engl. homodyne). Prijamnik s izravnom pretvorbom amplitudno moduliranog signala ne sadrži demodulator.

modulacijskisignal

demodulator

antenaRF

pojačalopojačalo

osn. pojasa

RF signal

niskoprop.filtar

fRF fIF=0fRF

fLO= fRF

lokalnioscilator

miješalo

Slika 10.2. Blok-shema homodinskog prijamnika U usporedbi s TRF prijamnikom homodinski prijamnik ima značajne prednosti. Selektivnost prijama željenog signala određena je jednostavnim niskopropusnim filtrom osnovnog frekvencijskog pojasa. Pojačanje je razdijeljeno na radiofrekvencijski i osnovni pojas, ali je na najnižim frekvencijama osnovnog pojasa teško ostvariti stabilno pojačanje velikog iznosa. Prijamnik s izravnom pretvorbom jednostavnije je strukture i jeftiniji od superheterodinskog prijamnika jer ne sadrži sklopove međufrekvencijskog stupnja. Jedinstvena značajka

315

homodinskog prijamnika je nepostojanje zrcalne frekvencije, odnosno ona je negativna što je fizikalno nemoguće. U postupku izravne pretvorbe na izlazu miješala razlika frekvencije prijenosnog signala i signala lokalnog oscilatora jednaka je ništici, a zbroj je jednak dvostrukoj prijenosnoj frekvenciji koju je lako odstraniti filtriranjem. Ako signal lokalnog oscilatora nema iznimnu točnost i stabilnost frekvencije, nastupa zanošenje frekvencije primanog signala. Taj nedostatak je značajniji na frekvencijama u višem dijelu radiofrekvencijskog područja. Problem točnosti frekvencije signala lokalnog oscilatora ne postoji kod Dopplerovog radara jer se u prijamniku s izravnom pretvorbom koristi dio signala iz odašiljača. Zbog nabrojenih prednosti mnogi suvremeni radiokomunikacijski sustavi sadrže prijamnik s izravnom pretvorbom. U najširoj uporabi još uvijek je superheterodinski (engl. superheterodyne) prijamnik (slika 10.3). Njegova struktura je slična prijamniku s izravnom pretvorbom, ali je međufrekvencija odabrana u nižem dijelu radiofrekvencijskog područja u rasponu između osnovnog pojasa i prijenosne frekvencije. To omogućuje uporabu pojasno propusnog međufrekvencijskog filtra s velikom brzinom promjene (nagib) unesenog gubitka između propusnog i nepropusnog pojasa pa je poboljšana selektivnost prijamnika. Naravno, moguće je međufrekvencijskim pojačalom ostvariti i znatno pojačanje. Odabir primanog signala vrši se promjenom frekvencije lokalnog oscilatora, a pritom međufrekvencija ostaje nepromijenjena. Struktura superheterodinskog prijamnika rezultat je polustoljetnog razvoja, a sadrži ga većina radiodifuzijskih, televizijskih i radarskih sustava te sustava za prijenos podataka i pokretnog telefona.

modulacijskisignal

demodulator

antenaRF

pojačaloIF

pojačalo

RF signal

pojasnopropusni

filtarfRF fIFfRF

fLO

lokalnioscilator

miješalo

Slika 10.3. Blok-shema superheterodinskog prijamnika s jednostrukom pretvorbom frekvencije

Zbog nedostatne stabilnosti frekvencije lokalnog oscilatora u mikrovalnom području često je nužna višestruka pretvorba frekvencije naniže. Superheterodinski prijamnik s dvostrukom pretvorbom frekvencije sadrži dva međufrekvencijska stupnja s miješalom, lokalnim oscilatorom, pojasno propusnim filtrom i pojačalom (slika 10.4).

modulacijskisignal

demodulator

antenaRF

pojačalo1. IF

pojačalo

RF signal

pojasnopropusni

filtarfRF fIF1fRF

fLO1

1. lokalnioscilator

miješalo 2. IFpojačalo

pojasnopropusni

filtarfIF2

fLO2

2. lokalnioscilator

miješalo

Slika 10.4. Blok-shema superheterodinskog prijamnika s dvostrukom pretvorbom frekvencije

316

Obosmjerni istodobni prijenos i/ili uporaba samo jedne antene za odašiljanje i prijam iziskuje uporabu obosmjernika. Na slici 10.5. prikazana je blok-shema odašiljača-prijamnika (engl. transceiver, transmitter-receiver). Dupleksor ostvaruje prijenos radiofrekvencijskog signala između odašiljača i antene te antene i prijamnika, ali istovremeno izolira prijamnik od odašiljača.

obo-smjernik

prijamnik

odašiljač

antena

Slika 10.5. Blok-shema odašiljača-prijamnika Nerijetko se iziskuje izolaciju veću od 100 dB pa je nužno koristiti odvojene frekvencijske pojaseve za odašiljanje i prijam. U tom slučaju obosmjernik je najčešće pojasno propusni filtar s tri pristupa te različitom središnjom frekvencijom propusnog pojasa, Tx u smjeru odašiljač - antena i propusnog pojasa, Rx u smjeru antena - prijamnik (slika 10.6). Takvim sklopom moguće je potisnuti signale s frekvencijom izvan propusnog pojasa, na primjer izlazne parazitne signale odašiljača ili ulazni signal sa zrcalnom frekvencijom prijamnika. Međutim, uneseni gubitak u propusnom frekvencijskom pojasu uobičajeno je u rasponu od 1 dB do 3 dB što degradira faktor šuma prijamnika. Slično obosmjernom filtru djeluje višerezonantna antena, a obosmjerni prijenos moguće je ostvariti i pomoću nekih pasivnih mikrovalnih sklopova, primjerice usmjerenog sprežnika ili cirkulatora.

A/dB

0

40

Tx Rx f

Slika 10.6. Frekvencijski odziv obosmjernog filtra Obosmjerni neistodobni prijenos uz uporabu samo jedne antene ostvaruje preklopnik odašiljanje/prijam (T/R preklopnik, engl. transmit-receive switch, T/R switch). To je u osnovi jednopolna dvoprolazna (SPDT, engl. single-pole double-throw) sklopka koja s antenom povezuje ili odašiljač, ili prijamnik. Dostupni su poluvodički T/R preklopnici s vremenom preklapanja reda vrijednosti mikrosekunde i izoliranjem prijamnika od odašiljača većim od 40 dB. Za povećanje ove vrijednosti rabi se limitere i filtre. Primjer 10.1. Pokretna postaja sustava staničnog telefona odašilje signal u frekvencijskom području od 824 MHz do 849 MHz, a prima signal u frekvencijskom području od 869 MHz do 894 MHz. Svaki frekvencijski pojas podijeljen je na 832 kanala širine 30 kHz, a prva međufrekvencija prijamnika je 88 MHz. Odrediti relativnu širinu propusnog frekvencijskog

317

pojasa u odnosu na središnju frekvenciju prijamnog pojasa i prvu međufrekvenciju. Ako je potrebno izoliranje prijamnika od odašiljača najmanje 50 dB, odrediti red obosmjernog filtra.

Relativna širina propusnog frekvencijskog pojasa, ∆f = 30 kHz u odnosu na središnju frekvenciju prijamnog pojasa, fRF = (869 + 894)/2 = 881,5 MHz i prvu međufrekvenciju, fIF = 88 MHz odgovarajuće je:

% 0034,05,881

030,0==

∆

RFff % 034,0

88030,0

==∆

IFff

Propusni frekvencijski pojas relativne širine 0,034 % moguće je ostvariti nepromjenljivim međufrekvencijskim filtrom, na primjer kristalnim filtrom ili filtrom s površinskim akustičkim valom (SAW, engl. surface acoustic wave). Međutim, nije moguće ostvariti promjenljivi radiofrekvencijski filtar s propusnim frekvencijskim pojasom relativne širine 0,0034 %. To pokazuje da međufrekvencijski stupanj može značajno povećati selektivnost prijamnika. Najnepovoljniji slučaj u pogledu izoliranja prijamnika od odašiljača nastupa kad je frekvencija primanog signala, f = 869 MHz najbliža frekvencijskom pojasu odašiljanja. Središnja frekvencija propusnog pojasa obosmjernog filtra u smjeru odašiljač - antena i njegova relativna širina odgovarajuće je:

MHz5,8362

8498240 =

+=f 03,0

5,836824849

=−

=∆

Prema rezultatima iz potpoglavlja 5.2. za niskopropusni prototip frekvencija primanog signala, f = 869 MHz transformira se u normaliziranu frekvenciju:

54,2869

5,8365,836

86903,011 0

0

=

−=

−=′

ff

ff

∆f

Na grafu unesenog gubitka za niskopropusni filtar s maksimalno glatkom amplitudom frekvencijskog odziva (potpoglavlje 5.1) moguće je očitati da filtar šestog reda, N = 6 ostvaruje uneseni gubitak približno 50 dB na normaliziranoj frekvenciji |2,54/1| − 1 = 1,54.

10.2. Dinamičko područje U potpoglavlju 3.6. razmatrane odrednice linearno i bezparazitno dinamičko područje prikladne su za opis pojedine komponente radiosustava. Pri određenju dinamičkog područja prijamnika valja uključiti najnižu razinu primljenog signala koju je moguće pouzdano detektirati. Taj najmanji detektabilni signal (MDS, engl. minimum detectable signal) određuje donju granicu dinamičkog područja prijamnika, a osim o vrsti modulacije zavisi i o značajkama antene i prijamnika u pogledu šuma. Gornja granica dinamičkog područje određena je najvišom razinom primljenog signala za koju su izobličenja prihvatljiva. Zbog redovito vrlo velikog pojačanja visoka razina signala može uzrokovati zasićenje prijamnika. Tu negativnu posljedicu moguće je ublažiti uporabom automatskog upravljanja pojačanjem. Ako razina signala premaši točku smanjenja pojačanja za 1 dB ili presječnu točku trećeg reda, nastupa izobličenje primljenog signala. Rezultati 9. poglavlja pokazuju da je za pouzdan prijenos poruke radiosustavom nužna određena vrijednost omjera snage signala i šuma, SNR na ulazu demodulatora. Katkad je omjer snage signala, S i snage šuma, N na izlazu

318

prijamnika, odnosno ulazu demodulatora zamijenjen omjerom snage signala sa šumom i izobličenjem te snage šuma i izobličenja (SINAD, engl. signal plus noise and distortion-to-noise and distortion ratio):

NS

NNSSINAD +=

+= 1 (10.1)

Uz određenu razinu šuma najmanji SNR ili SINAD određuje najnižu razinu primljenog signala koju je moguće pouzdano detektirati. Na tablici 10.1. navedene su uobičajene vrijednosti najmanjeg omjera signala i šuma na ulazu demodulatora za neke radiosustave.

Tablica 10.1. Najmanji SNR za neke radiosustave

radiosustav (SNR)min/dB

za analogni prijenos govora 5 - 10

analognog telefona 25 - 30

analogne televizije 45 - 55

staničnog telefona 18

za prijenos AM-PCM signala 30 - 40

za prijenos QPSK signala (Pe = 10−5) 10

Model prijamnika kojeg se koristi pri određivanju najniže razine primljenog signala

koju je moguće pouzdano detektirati prikazan je na slici 10.7. Na ulaz prijamnika antena prenosi snagu primljenog signala, Si zajedno sa šumom koji je određen ekvivalentnom temperaturom šuma antene, TA. Prijamnik ima ekvivalentnu temperaturu šuma Te i ukupno pojačanje snage G. Faktor šuma prijamnika, F s ekvivalentnom temperaturom šuma, Te povezuje relacija, Te = (F − 1)T0. Omjer signala i šuma na izlazu prijamnika, odnosno na ulazu demodulatora je So/No.

Te, F, G

antena

prijamnik

demodulator

TA, Si min

o

o

NS

Slika 10.7. Model prijamnika za najmanji detektabilni signal Snaga signala i snaga šuma na izlazu prijamnika odgovarajuće je:

io GSS = (10.2)

( )eAo TTkBGN += (10.3)

319

gdje je B širina propusnog frekvencijskog pojasa prijamnika (najčešće određena međufrekvencijskim pojasno propusnim filtrom). Najniža razina primljenog signala koju je moguće pouzdano detektirati je:

( )min

min min min

+===

o

oeA

o

oooi N

STTkBN

SGN

GSS (10.4)

gdje je za No/G uvrštena relacija 10.3. Ovaj rezultat je poveznica između relacije za radiovezu (Friisova jednadžba ili jednadžba veze s izravnim i reflektiranim valom) i relacije za omjer signala i šuma, odnosno vjerojatnost pogreške. Tako je cjelovito opisan radiokomunikacijski sustav. Treba podsjetiti da za digitalno modulirani signal omjer energije bita, Eb i spektralne gustoće snage šuma, n0 zavisi o SNR i širini propusnog frekvencijskog pojasa, B prijamnika te učestalosti bita, Rb:

bo

ob

RB

NS

nE

=0

(10.5)

U posebnom slučaju kad je vrijednost ekvivalentne temperature antene jednaka referentnoj, TA = T0 = 290 K relacija 10.4. ima jednostavniji oblik:

min0min

=

o

oi N

SFkBTS (10.6)

a uobičajeno se iskazuje u decibelima:

( )

dBdBlog10

dB174

dBdBlog10log10

dB

min

m

min0

min

+++−

=

=

+++=

o

o

o

o

i

NS

FB

NS

FBkTS

(10.7)

Valja upozoriti da je stvarno takav slučaj rijedak. Neovisno o obliku relacije 10.4. najniža razina primljenog signala koju je moguće pouzdano detektirati ne ovisi o pojačanju prijamnika jer se podjednako pojačava i razinu signala i razinu šuma. Primjer 10.2. Sustav pokretnog telefona s četverofaznom digitalnom modulacijom prenosi podatke brzinom 46,6 kbit/s. Prijamna antena ima ekvivalentnu temperaturu šuma 900 K, a prijamnik sa širinom propusnog frekvencijskog pojasa 30 kHz ima faktor šuma 8 dB. Ako je za učestalost pogrešnog bita 10−5 potreban omjer energije bita i spektralne gustoće snage šuma 10 dB, odrediti najmanji detektabilni signal. Brojčana vrijednost veličina iskazanih u decibelima je:

31,6dB 8 ==F 0,10dB 100

==nEb

Prema relaciji 10.5. najmanji omjer signala i šuma na izlazu prijamnika je:

320

53,150,101030106,46

3

3

0min

=⋅⋅

==

nE

BR

NS bb

o

o

Najniža razina primljenog signala koju je moguće pouzdano detektirati je (relacija 10.4):

( )[ ] ( )[ ]

m1114

323

min0min

dB 0,108mW 1057,1W 1057,1

53,15290131,690010301038,11

−=⋅=⋅=

=−+⋅⋅⋅=

−+=

−−

−

o

oAi N

STFTkBS

Ovaj rezultat pokazuje da prijamnik mora ostvariti ukupno pojačanje snage veće od 100 dB. (Napomena: Pokuša li se najmanji detektabilni signal odrediti pomoću relacije 10.7. slijedi:

( ) m3

minmin

dB 3,10953,15log1081030log10174

log10174

−=++⋅+−=

=

+++−=

o

oi N

SFBS

što je netočan rezultat. Naravno, u ovom slučaju nije ispunjen uvjet za primjenu relacije 10.7. jer je ekvivalentna temperatura šuma antene različita od referentne vrijednosti, TA ≠ 290 K.)

Razinu snage primljenog signala moguće je iskazati naponom za određenu ulaznu impedanciju prijamnika. Naponska osjetljivost prijamnika (engl. receiver voltage sensitivity) je najmanja vršna vrijednost napona primljenog signala koju je moguće pouzdano detektirati:

min 0min 2 ii SZU = (10.8) gdje je Z0 ulazna impedancija prijamnika (najčešće 50 Ω), a Si min je snaga najmanjeg detektabilnog signala. Najčešće se naponsku osjetljivost prijamnika iskazuje u mikrovoltima. Katkad se snagu najmanjeg detektabilnog signala naziva osjetljivošću prijamnika. Dinamičko područje prijamnika (engl. receiver dynamic range) jednako je omjeru najviše razine primljenog signala za koju su izobličenja prihvatljiva i najniže razine primljenog signala koju je moguće pouzdano detektirati:

jadetektiran mogućnošću srazina najniža emizobličenj vimprihvatlji srazina najviša

=rDR (10.9)

Moguće je razabrati da dinamičko područje prijamnika osim o snazi najmanjeg detektabilnog signala, Si min zavisi i o presječnoj točki trećeg reda P3, odnosno o snazi signala za koju nastupa smanjenje pojačanja za 1 dB, P1 (potpoglavlje 3.6). Primjer 10.3. Bazna postaja u sustavu pokretnog telefona odašilje signal s prijenosnom frekvencijom 880 MHz i srednjom snagom 20 dBm. Ako se pretpostavi savršeni slučaj širenja elektromagnetskog vala u praznom prostoru, a dobitak odašiljačke i prijamne antene je 1 dBi, odrediti razinu primljene snage u zavisnosti o njihovoj udaljenosti. Odrediti dinamičko područje prijamnika ako je najmanja udaljenost između odašiljačke i prijamne antene 10 m, a snaga najmanjeg detektabilnog signala je −108 dBm. Ako je presječna točka trećeg reda u

321

odnosu na ulaz prijamnika −15 dBm, odrediti udaljenost između odašiljačke i prijamne antene za koju intermodulacijska izobličenja trećeg reda postaju znatna. Razinu primljene snage u zavisnosti o udaljenosti između odašiljačke i prijamne antene u praznom prostoru moguće je odrediti pomoću Friisove jednadžbe:

( )2

2

4 RPGGP ttr

r πλ

=

Brojčana vrijednost veličina iskazanih u decibelima i valna duljina odgovarajuće je:

26,1dB 1 i === tr GG m 100dB 20 m W==tP m 341,010880

1036

8

=⋅

⋅==

fcλ

Na tablici 10.2. navedeni su neki parovi vrijednosti udaljenosti i snage primljenog signala određeni prema Friisovoj jednadžbi.

Tablica 10.2. Neki parovi vrijednosti R i Pr prema Friisovoj jednadžbi

udaljenost, R/m 0,5 1 2 10 100 1 000 10 000

primljena snaga, Pr/dBm −3,3 −9,3 −15,3 −29,3 −49,3 −69,3 −89,3

Bjelodano se primljena snaga smanji za 6 dB kad se udaljenost udvostruči, a smanjenje primljene snage je 20 dB kad se udaljenost poveća deset puta. Ograniči li se najmanju udaljenost između odašiljačke i prijamne antene na 10 m, najviša razina primljene snage je −29,3 dBm. Uz najnižu razinu primljenog signala koju je moguće pouzdano detektirati −108 dBm dinamičko područje prijamnika je:

( ) dB 7,781083,29 =−−−=rDR Prema Friisovoj jednadžbi za udaljenost između odašiljačke i prijamne antene 1,92 m razina primljene snage jednaka je presječnoj točki trećeg reda u odnosu na ulaz prijamnika, −15 dBm. To znači da su na udaljenosti oko 2 m značajna intermodulacijska izobličenja trećeg reda.

Prethodni primjeri pokazuju da je nužno ukupno pojačanje prijamnika od 100 dB do 120 dB kako bi se snaga najmanjeg detektabilnog signala povećala na upotrebljivu razinu od približno 1 mW (vršna vrijednost napona signala 0,316 V na otporu 50 Ω). Već je spomenuto da tako veliko pojačanje snage treba razdijeliti između pojačala radiofrekvencijskog, međufrekvencijskog i osnovnog frekvencijskog pojasa. Najveći dio ukupnog pojačanja ostvaruje međufrekvencijski stupanj jer su općenito, na nižim frekvencijama jeftinija pojačala i ostale komponente. Osim zbog cijene veliko pojačanje radiofrekvencijskog pojačala nije poželjno jer razmjerno visoka razina ulaznog signala može premašiti točku smanjenja pojačanja za 1 dB ili presječnu točku trećeg reda komponenti u ulaznom dijelu prijamnika. Međutim, umjereno pojačanje u ulaznom dijelu povoljno djeluje na ukupni faktor šuma prijamnika. Na izlazu prijamnika najčešće je sklop za digitalnu obradu signala, DSP ili pretvornik digitalno-analogno (DAC, engl. digital-to-analog converter). Uobičajeno je napon na izlazu tih sklopova u rasponu od 1 mV do 1 V. Primjerice 10-bitni DAC s najvećim izlaznim

322

naponom 1 V ima razlučivost 1 V/210 = 1 V/1024 ≈ 1 mV i ostvaruje dinamičko područje 20log(1 V/1 mV) = 60 dB. To je znatno manje od dinamičkog područja na ulazu prijamnika koje je najčešće u rasponu od 80 dB do 100 dB. Ova dinamička područja moguće je prilagoditi ako se pojačanje snage prijamnika mijenja u zavisnosti o razini primanog radiofrekvencijskog signala. Na slici 10.8. prikazano je uobičajeno dinamičko područje na ulazu i izlazu prijamnika.

malopojačanje

pojačanjeprijamnika

G

velikopojačanje

obradau osn.pojasu

antena

Pr /dBm

0

-20

-40

-60

-80

-100

-120

razinaprimljenog

signala

Ub/V

1,0

0,1

0,01

0,001

dina

mič

kopo

druč

jena

ula

zu

dina

mič

kopo

druč

jena

izla

zu

Slika 10.8. Dinamičko područje na ulazu i izlazu prijamnika Funkciju promjenljivog pojačanja ostvaruje krug za automatsko upravljanje pojačanjem (AGC, engl. automatic gain control) u međufrekvencijskom, a katkad i u radiofrekvencijskom stupnju prijamnika. Blok-shema međufrekvencijskog AGC kruga prikazana je na slici 10.9. Sadrži naponom upravljano pojačalo promjenljivog pojačanja ili promjenljivi atenuator te AGC detektor koji razinu međufrekvencijskog signala pretvara u istosmjerni napon. Istosmjernim pojačalom uspoređuje se ispravljeni napon s istosmjernom referentnom razinom, a njihova razlika nakon filtriranja uzrokuje promjenu atenuacije ili pojačanja. Niskopropusni filtar mora imati dostatno dugu vremensku konstantu jer treba spriječiti da AGC krug slijedi niskofrekvencijske komponente moduliranog signala. Povećanjem napona upravljanja povećava se atenuacija ili smanjuje pojačanje najčešće za 20 dB do 30 dB.

modulacijskisignal

IFpojačalo demodulator

promjenljivopojačalo/atenuator

IF signal

niskopropusnifiltar

DCpojačalo

istosmjernaref. razina

AGCdetektor

Slika 10.9. Blok-shema međufrekvencijskog AGC kruga

323

U slučaju povećanja atenuacije povisuje se razina termičkog šuma, ali je pritom viša i razina signala. Primjereno projektiran i raspodijeljen na više stupnjeva pojačanja AGC krug može čak poboljšati omjer signala i šuma pri višim razinama primanog signala. Poznato je da razina signala viša od točke smanjenja pojačanja za 1 dB, P1 uzrokuje zasićenje, odnosno harmoničko izobličenje na izlazu pojačala ili miješala. Za razinu signala višu od presječne točke trećeg reda, P3 nastaje intermodulacijsko izobličenje. Zato je nužno da ni za jednu komponentu prijamnika snaga signala nije veća od odgovarajuće vrijednosti P1 ili P3 ako je manja. Na slici 10.10. prikazana je visoka i niska razina snage signala te razina šuma u kaskadno spojenim komponentama prijamnika. Naznačena je vrijednost P1 za RF pojačalo (referirano na izlaz) i za miješalo (referirano na ulaz).

antenaRF

pojačaloAGC/IFpojačalo

pojasnopropusni

filtarmiješalo

pojasnopropusni

filtar

pojasnopropusni

filtar

TA=300K L=1,5dB G=20dB L=2dB Lc=6dB L=4dB G=10--50dB

P/dBm

20

10

0

-10

-20

-30

-40

-50

-60

-70

-80

-90

-100

-120

-110

-130

P1 (izlaz)P1 (ulaz)

visokarazinasignala

niskarazinasignala

razinašuma

Slika 10.10. Razina snage signala i šuma u komponentama prijamnika

324

Kod razmatranog prijamnika krug za automatsko upravljanje pojačanjem djeluje samo na međufrekvencijsko pojačalo. Protegne li se djelovanje AGC kruga i na radiofrekvencijsko pojačalo, smanjuje se mogućnost njegovog zasićenja zbog visoke razine ulaznog signala. Ako AGC krug upravlja promjenljivim atenuatorom u sklopu RF stupnja, onda će povećanje atenuacije narušiti svojstvo prijamnika u pogledu šuma. Snaga signala na izlazu pojačala bez automatskog upravljanja pojačanjem ograničena je točkom smanjenja pojačanja za 1 dB. Na primjer za savršeno radiofrekvencijsko pojačalo s pojačanjem 40 dB snazi signala −10 dBm na ulazu odgovara snaga signala 30 dBm = 1 W (efektivna vrijednost napona približno 7,1 V na otporu 50 Ω) na izlazu. Kod stvarnog pojačala malih signala redovito će za ovu razinu signala na izlazu nastupiti zasićenje. Moguće je postaviti ograničenje za najveću snagu signala na ulazu radiofrekvencijskog pojačala bez automatskog upravljanja pojačanjem:

1max PGS RFi <+ (10.10) gdje je GRF pojačanje snage, a P1 je točka smanjenja pojačanja za 1 dB u odnosu na izlaz. Ako je presječna točka trećeg reda pojačala niža od točke smanjenja pojačanja za 1 dB, onda u ovoj relaciji P1 treba zamijeniti s P3. 10.3. Pretvorba frekvencije i filtriranje

Superheterodinskom prijamniku svojstvena je pretvorba frekvencije naniže te filtriranje u radiofrekvencijskom i međufrekvencijskom stupnju. Kod projektiranja takvog prijamnika presudno je odabrati prikladnu vrijednost međufrekvencije:

LORFIF fff −= (10.11) gdje je fRF i fLO frekvencija odgovarajuće željenog radiofrekvencijskog signala i lokalnog oscilatora. Frekvencija lokalnog oscilatora može biti niža (engl. low-side injection) ili viša (engl. high-side injection) od radiofrekvencije. U prvom slučaju frekvencija lokalnog oscilatora je:

IFRFLO fff −= (10.12) što je povoljno jer je na nižoj frekvenciji lakše ostvariti oscilator potrebnih svojstava. Jednaka međufrekvencija nastaje miješanjem signala lokalnog oscilatora i signala sa zrcalnom frekvencijom:

IFRFIM fff 2−= (10.13) Ako je frekvencija lokalnog oscilatora viša od radiofrekvencije, onda razliku frekvencija u relaciji 10.12. i 10.13. treba zamijeniti njihovim zbrojem.

Zrcalna frekvencija se od radiofrekvencije uvijek razlikuje za dvostruki iznos međufrekvencije (relacija 10.13). Signal sa zrcalnom frekvencijom često se potiskuje filtriranjem pa je u tom slučaju povoljno odabrati razmjerno visoku vrijednost međufrekvencije. Druga mogućnost je koristiti miješalo koje odstranjuje signal sa zrcalnom frekvencijom. Kod prijamnika signala s frekvencijom iz radiofrekvencijskog pojasa širine BRF za vrijednost međufrekvencije:

325

2RF

IFBf > (10.14)

pojas zrcalnih frekvencija se ne preklapa s radiofrekvencijskim pojasom. Pritom je povoljno odabrati frekvenciju promjenljivog lokalnog oscilatora višu od radiofrekvencije jer je tada manji omjer potrebne najviše i najniže frekvencije. Katkad pojas zrcalnih frekvencija viših i nižih od radiofrekvencijskog pojasa ne sadrži jednaku razinu elektromagnetskih poremetnji i šuma. U tom se slučaju frekvenciju lokalnog oscilatora odabire tako da pojas zrcalnih frekvencija sadrži nižu razinu interferirajućih signala. Najčešće je međufrekvencija niža od 100 MHz jer tada filtri s malom relativnom širinom propusnog pojasa i velikom brzinom promjene (nagib) unesenog gubitka između propusnog i nepropusnog pojasa imaju prikladne dimenzije, a komponente su lako dostupne i razmjerno jeftine. Međufrekvencijski pojasno propusni filtri su najčešće kristalni, keramički ili s površinskim akustičkim valom. Filtriranjem se u superheterodinskom prijamniku ostvaruje selektivnost primanja željenog signala te potiskivanje signala sa zrcalnom frekvencijom i interferirajućih signala, a sprječava se i zračenje signala lokalnog oscilatora. Na slici 10.11. prikazan je uobičajeni razmještaj filtara u radiofrekvencijskom i međufrekvencijskom stupnju superheterodinskog prijamnika.

antenaRF

pojačaloIF

pojačalo

pojasnopropusniIF filtar

lokalnioscilator

miješalo

filtar zapotiskivanjeIM signala

pred-selekcijskiRF filtar

Slika 10.11. Filtriranje u RF i IF stupnju superheterodinskog prijamnika

Predselekcijski RF filtar na ulazu je prijamnika ispred radiofrekvencijskog pojačala (ili ispred miješala ako se ne koristi RF pojačalo). To je pojasno propusni filtar za signale s frekvencijom u određenom radiofrekvencijskom pojasu; interferirajuće signale s frekvencijom izvan tog pojasa potiskuje. Interferirajući signal visoke razine može uzrokovati zasićenje RF pojačala ili miješala. Nužno je da taj filtar ima što manji uneseni gubitak jer najviše utječe na ukupni faktor šuma prijamnika. Pritom nije velika brzina promjene (nagib) unesenog gubitka između propusnog i nepropusnog pojasa pa predselekcijski filtar općenito, ne ostvaruje veliko potiskivanje zrcalnog signala.

Filtar za potiskivanje zrcalnog signala redovito je postavljen iza radiofrekvencijskog pojačala (slika 10.11) gdje njegov veći uneseni gubitak ima manji učin na ukupni faktor šuma prijamnika. Veliku brzinu promjene (nagib) unesenog gubitka između propusnog i nepropusnog pojasa ostvaruje radiofrekvencijski pojasno propusni filtar s keramičkim rezonatorom. Taj filtar također smanjuje harmoničko izobličenje signala na izlazu RF pojačala. Frekvencija signala lokalnog oscilatora se od radiofrekvencije razlikuje samo za međufrekvenciju (relacija 10.12). Zato radiofrekvencijski stupanj razmjerno visoku razinu signala lokalnog oscilatora može prenijeti od miješala na antenu. Zračeni signal lokalnog oscilatora često uzrokuje interferencije u okolnim radiouređajima pa ga treba atenuirati na zanemarivo nisku razinu. To je uobičajeno ostvariti kumulativnim djelovanjem više komponenti, primjerice izolacijom između LO i RF pristupa miješala, atenuacijom filtra za potiskivanje zrcalnog signala, izolacijom između izlaza i ulaza RF pojačala te atenuacijom

326

predselekcijskog filtra. Katkad je teže ispuniti zahtjev za dostatnim potiskivanjem zračenog signala lokalnog oscilatora nego zrcalnog signala.

Međufrekvencijski pojasno propusni filtar određuje širinu frekvencijskog pojasa prijamnika za šum i odstranjuje većinu parazitnih komponenti signala na izlazu miješala (slika 10.11). Poznato je da nelinearni element u sastavu miješala generira veliki broj harmonika signala lokalnog oscilatora i radiofrekvencijskog signala te intermodulacijskih komponenti s frekvencijom:

LORF fff nm −= (10.15) gdje je m i n pozitivni cijeli broj. Red intermodulacijske komponente jednak je zbroju faktora uz odgovarajuću frekvenciju, m + n. Osim komponente s međufrekvencijom, fIF = | fRF − fLO| sve ostale parazitne komponente signala valja odstraniti pojasno propusnim IF filtrom. To nije teško ostvariti ako je veliki iznos razlike parazitne frekvencije, f i međufrekvencije, fIF. Nažalost, neke intermodulacijske komponente mogu imati frekvenciju blisku međufrekvenciji. Međufrekvencijskim filtrom nije moguće odstraniti parazitne komponente signala s frekvencijom unutar propusnog frekvencijskog pojasa prijamnika. Pogotovo je to značajan nedostatak za višekanalne radiosustave. Zato neizostavno treba provjeriti frekvenciju svih intermodulacijskih komponenti značajnije razine. Pritom se razina intermodulacijske komponente monotono smanjuje s povećanjem njezinog reda. Praktično je dostatno provjeriti frekvenciju intermodulacijskih komponenti u rasponu od šestog do desetog reda. Treba podsjetiti da neke vrste miješala potiskuju određene komponente izlaznog signala. Na primjer dvostruko uravnoteženo miješalo potiskuje sve parazitne komponente s frekvencijom za koju je m ili n parno (relacija 10.15), a uravnoteženo miješalo potiskuje samo neke od tih komponenti. Primjer 10.4. Prijamnik pokretnog telefona prima signal s frekvencijom u području od 869 MHz do 894 MHz. Ako je radiofrekvencijski pojas podijeljen na 832 kanala širine 30 kHz, a prva međufrekvencija prijamnika je 88 MHz, odrediti intermodulacijske komponente do desetog reda s frekvencijom u propusnom pojasu prijamnika. Provjeru frekvencije svih parazitnih komponenti najlakše je obaviti računalnim programom prema sljedećem algoritmu:

- podijeliti radiofrekvencijsko područje (869 - 894) MHz na k = 832 prijenosnih frekvencija razmaknutih za propusni pojas prijamnika širine B = 30 kHz;

- za svaku prijenosnu frekvenciju, fRFk izračunati potrebnu frekvenciju lokalnog oscilatora, fLOk prema relaciji 10.12. uz fIF = 88 MHz i 1 ≤ k ≤ 832;

- izračunati frekvenciju svih intermodulacijskih komponenti, fkmn prema relaciji 10.15. za 1 ≤ m ≤ M = 10, 1 ≤ n ≤ N = 10 i 1 ≤ k ≤ 832;

- parazitnu komponentu s frekvencijom, fkmn = fIF = 88 MHz nije moguće odstraniti IF filtrom jer je unutar propusnog pojasa prijamnika.

Ukupno treba provjeriti kMN = 83 200 vrijednosti frekvencije parazitnih komponenti, a rezultati su prikazani na tablici 10.3.

Tablica 10.3. Frekvencija parazitnih komponenti za primjer 10.4.

k fRFk/MHz fLOk/MHz m n |mfRFk − nfLOk|/MHz

1 - 832 869 - 894 781 - 806 1 1 88

366 880 792 8 9 88

327

Komponenta s frekvencijom fkmn = fIF = 88 MHz za m = n = 1 i 1 ≤ k ≤ 832 je željeni signal s frekvencijom pretvorenom naniže. Parazitna intermodulacijska komponenta sedamnaestog reda s frekvencijom fkmn = fIF = 88 MHz za m = 8, n = 9 i k = 366 u propusnom je pojasu prijamnika. Ovu parazitnu komponentu mojuće je potisnuti pomoću dvostruko uravnoteženog miješala jer je m parno.

10.4. Primjeri prijamnika Provedeno razmatranje pokazuje da osjetljivost, selektivnost i potiskivanje zrcalnog signala ovisi o strukturi i izvedbi prijamnika. Pritom su nužni brojni kompromisi pa je uputno razmotriti neka stvarna rješenja, na primjer prijamnik u sustavu FM radiodifuzije, pokretnog telefona i usmjerenih radioveza.

U američkom sustavu FM radiodifuzije koristi se prijenosne signale s frekvencijom u području od 88 MHz do 108 MHz razmaknute za 200 kHz uz najveće odstupanje (devijaciju) frekvencije 75 kHz. Naponska osjetljivost prijamnika je reda vrijednosti 10 µV, a širina propusnog frekvencijskog pojasa je 150 kHz. Na slici 10.12. prikazana je blok-shema RF i IF stupnja uobičajenog superheterodinskog prijamnika u sustavu FM radiodifuzije. Antena prima signale u razmjerno širokom frekvencijskom području, a funkciju predselekcijskog filtriranja ostvaruje RF pojačalo s pojasno propusnim frekvencijskim odzivom. Tako se u određenoj mjeri potiskuje signale s frekvencijom znatno izvan propusnog radiofrekvencijskog pojasa. Željeni signal nije moguće izdvojiti u radiofrekvencijskom stupnju jer je teško ostvariti promjenljivi filtar s relativnom širinom propusnog pojasa 150 kHz/100 MHz = 0,15 %. Zato se pomoću miješala i naponom upravljanog oscilatora, VCO željenom radiofrekvencijskom signalu pretvara frekvenciju naniže u stalnu međufrekvenciju 10,7 MHz. Primjerenu selektivnost lako je ostvariti međufrekvencijskim filtrom sa stalnom središnjom frekvencijom i relativnom širinom propusnog pojasa 150 kHz/10,7 MHz = 1,4 %.

antenaRF

pojačaloIF

pojačalo

pojasnopropusniIF filtar

VCO

miješalodemodulatorfRF fIF

f /MHz88 108

f /MHz88 108

f /MHz10,7

Slika 10.12. Blok-shema dijela prijamnika u sustavu FM radiodifuzije Odabere li se frekvenciju lokalnog oscilatora nižu od radiofrekvencije, onda se naponom upravljanom oscilatoru frekvenciju mora mijenjati u rasponu fLO = fRF − fIF = = (77,3 - 97,3) MHz (relacija 10.12). Omjer potrebne najviše i najniže frekvencije lokalnog oscilatora 97,3/77,3=1,26 lako je ostvariti pomoću naponom upravljanog Colpittsovog oscilatora ili sintezatorom frekvencije, odnosno fazom sinkroniziranom petljom. Područje zrcalnih frekvencija razlikuje se za dvostruki iznos međufrekvencije od radiofrekvencijskog područja, fIM = fRF − 2fIF = (66,6 - 86,6) MHz (relacija 10.13). Ova dva područja se ne preklapaju ako je vrijednost međufrekvencije veća od polovine širine radiofrekvencijskog pojasa, fIF > BRF/2 = 10 MHz (relacija 10.14). Bjelodano je ispunjen ovaj uvjet.

328

Razmotrena struktura FM prijamnika uspješno je korištena nekoliko desetljeća uz manje izmjene. Većinu komponenti prikazanih na slici 10.12. moguće je ostvariti tehnologijom integriranih krugova. Primjerice moguće je u jednom krugu integrirati RF i IF pojačalo te naponom upravljani oscilator i miješalo, ali i demodulator i audiopojačalo. Pritom su integrirani sklopovi s većim brojem tranzistora, na primjer aktivni filtar, dvostruko uravnoteženo miješalo s Gilbertovim elementom, fazom sinkronizirana petlja ili uravnoteženo pojačalo. To je omogućilo bolja svojstva uz nižu cijenu, ali je smanjivanje prijamnika ograničeno najmanjim dimenzijama međufrekvencijskog pojasno propusnog filtra kojeg nije moguće zamijeniti integriranom pasivnom ili aktivnom mrežom. Na posljetku, daljnje smanjivanje dimenzija prijamnika omogućeno je promjenom vrijednosti međufrekvencije na 70 kHz. Miješanje sa signalom lokalnog oscilatora odgovarajuće frekvencije pretvara frekvenciju moduliranog signala u osnovni pojas (od 0 Hz do 70 kHz) pa je potrebnu selektivnost prijamnika moguće ostvariti integriranim niskopropusnim aktivnim filtrom. U tom slučaju frekvencija zrcalnog signala je između frekvencije željenog i prethodnog prijenosnog signala (slika 10.13) pa ga nije moguće potisnuti ni RF pojačalom ni predselekcijskim filtrom. Općenito, u radiofrekvencijskom području pridijeljenom FM radiodifuzijskom sustavu nema interferirajućih signala, ali će šum iz zrcalnog pojasa smanjiti omjer signala i šuma prijamnika približno za 3 dB. To je ustupak u cilju smanjivanja FM prijamnika na dimenzije ručnog sata.

f0 70 kHz

fIF

fLO

fRFnfRFn-1 fIM

70 kHz70 kHz

150 kHz

200 kHz

150 kHz

Slika 10.13. Spektar signala u FM prijamniku s međufrekvencijom 70 kHz Pokretna postaja sjevernoameričkog sustava digitalnog staničnog telefona (NADC, engl. North American digital cellular), IS-54 odašilje signal u frekvencijskom području od 824 MHz do 849 MHz, a prima signal u frekvencijskom području od 869 MHz do 894 MHz. Oba su frekvencijska pojasa podijeljena na 832 kanala širine 30 kHz što omogućuje obosmjerni istodobni prijenos uz frekvencijsko odvajanje (FDD, engl. frequency division duplexing). Ovaj digitalni radiokomunikacijski sustav nastao je nadogradnjom analognog sustava AMPS (engl. advanced mobile phone system) pa dijele jednako frekvencijsko područje i širinu kanala. Analogni je radiosustav s frekvencijskom modulacijom, a IS-54 je radiosustav s inačicom četverofazne digitalne modulacije, DQPSK (engl. differential quadrature phase shift keying) i brzinom prijenosa podataka 48,6 kbit/s. Višestruki pristup s razdiobom po vremenu, TDMA omogućuje trojici korisnika istodobnu uporabu jednog radiokanala.

Pri vrhu slike 10.14. prikazana je blok-shema prijamnika pokretnog IS-54 telefona. To je superheterodinski prijamnik s dvostrukom pretvorbom frekvencije. Antena je spojena na obosmjerni filtar (dupleksor) koji odvaja frekvencijski pojas za odašiljanje i prijam. Slijedi prvo RF niskošumno pojačalo, LNA i pojasno propusni filtar za dodatno potiskivanje interferirajućih signala i signala sa zrcalnom frekvencijom. Krug za automatsko upravljanje pojačanjem sadrži promjenljivi atenuator koji ostvaruje slabljenje radiofrekvencijskog signala

329

do 20 dB. Drugo RF niskošumno pojačalo, LNA na izlazu je radiofrekvencijskog stupnja. Izmjenom unesenog gubitka i pojačanja u ovom stupnju postiže se najpovoljnija vrijednost faktora šuma i razina presječne točke trećeg reda.

Pridijeljeni kanal odabire se promjenom frekvencije lokalnog oscilatora tako da je vrijednost prve međufrekvencije 88 MHz. Pritom je područje zrcalnih frekvencija, fIM = fRF − 2fIF = (693 - 718) MHz znatno niže od radiofrekvencijskog područja prijamnika. Prvi međufrekvencijski pojasno propusni filtar je kristalni, keramički ili s površinskim akustičkim valom jer je nužno ostvariti malu relativnu širinu propusnog pojasa i veliku brzinu promjene (nagib) unesenog gubitka između propusnog i nepropusnog pojasa. Vrijednost druge međufrekvencije je 455 kHz pa je stalna frekvencija pripadajućeg lokalnog oscilatora 87,545 MHz. Za svaku sastavnicu razmatranog prijamnika navedeno je pojačanje snage G, faktor šuma, F i presječna točka trećeg reda, P3 u odnosu na izlaz (slika 10.14). Ukupne vrijednosti tih veličina određene su pomoću relacija za kaskadno spojene mreže (potpoglavlja 3.5. i 3.6) i prikazane dijagramom.

antena

dupleksor 1. LNA 880 MHz RF AGC 2. LNA1.

miješalo 88 MHz 1. IFA2.

miješalo 455 kHz IF AGC

G/dB

F/dB

P3/dBm

80

70

60

50

40

30

20

10

0

-10

-4

4

100

11

2

7

-2

2

100

-1

1

35

11

2

7

-6

6

30

-3

3

30

18

2

10

3

10

5

-6

6

100

50

10

15

G

F

P3

Slika 10.14. Ukupna vrijednost G, F i P3 (ref. na izlaz) kaskadnih komponenti prijamnika pokretnog IS-54 telefona

330

Razabire se da pojačanje niskošumnih pojačala radiofrekvencijskog stupnja uglavnom nadoknađuje gubitke pojasno propusnih filtara, a međufrekvencijska pojačala ostvaruju najveći dio ukupnog pojačanja prijamnika. Faktoru šuma najviše pridonose ulazne komponente, a vrijednost mu se zatim monotono povećava do približno 7 dB na izlazu prijamnika. Presječna točka trećeg reda u odnosu na izlaz oscilira oko razine 0 dBm duž kaskadno spojenih komponenti prijamnika. Tržište pokretnih uređaja staničnog telefona iziskuje smanjivanje broja sastavnih dijelova, dimenzija, težine i cijene. To pobuđuje zanimanje za prijamnik s izravnom pretvorbom koji ne sadrži komponente međufrekvencijskog stupnja. Na slici 10.15. prikazana je blok-shema dijela pokretnog odašiljača-prijamnika europskog sustava digitalnog staničnog telefona, GSM (engl. global system mobile). Signal se odašilje u frekvencijskom području od 890 MHz do 915 MHz, a prima u frekvencijskom području od 935 MHz do 960 MHz. Svaki frekvencijski pojas je podijeljen na 125 kanala širine 200 kHz, a višestruki pristup s razdiobom po vremenu omogućuje osmorici korisnika istodobnu uporabu jednog radiokanala. To je radiosustav s inačicom digitalne modulacije frekvencije, GMSK (engl. Gaussian minimum shift keying) i brzinom prijenosa podataka 270,833 kbit/s. Prijamnik sadrži predselekcijski pojasno propusni filtar i RF niskošumno pojačalo. Frekvenciju pridijeljenog kanala pretvara se naniže izravno u osnovni pojas. Na I i Q izlazu miješala je niskopropusni filtar i pretvornik digitalno-analogno. Lokalni oscilator za prijamnik i odašiljač je fazom sinkronizirana petlja s decimalnim omjerom frekvencija. Obosmjerni prijenos uz uporabu samo jedne antene ostvaruje T/R preklopnik. Dva ili tri integrirana kruga mogu sadržavati većinu prikazanih komponenti.

DAC

DAC

ADC

ADC

90°

90°÷M

÷N

+

PLL

I

I

Q

Q

T/Rpreklopnik

LNA

pojačalosnage

detektorfaze

Slika 10.15. Blok-shema pokretnog GSM odašiljača-prijamnika Katkad je prijenos podataka velikom brzinom isplativije ostvariti mikrovalnom usmjerenom radiovezom nego svjetlovodom ili koaksijalnim kabelom. Primjene uključuju

331

povezivanje bazne postaje i centrale pokretnog telefona te povezivanje u privatnoj mreži za prijenos podataka. Shema ulaznog dijela prijamnika takvog radiosustava do prve međufrekvencije 1,8 GHz prikazana je na slici 10.16. Antena velikog dobitka i valovod ostvaruju funkciju predselekcijskog filtriranja na ulazu prijamnika. Signal lokalnog oscilatora generira fazom sinkronizirana petlja čiju se frekvenciju množi s 3. Pojasno propusni filtar za 36,2 GHz odstranjuje parazitne komponente signala na izlazu množila frekvencije. Razina snage faznog šuma lokalnog oscilatora približno je −85 dBc/Hz na frekvenciji pomaknutoj za 100 kHz od prijenosne. Konačnu pretvorbu frekvencije naniže ostvaruje se u sljedećem međufrekvencijskom stupnju.

×3

valovod

antena38 GHz

LNA miješalo

pojasnopropusni

filtar 1,8 GHzIF pojačalo

1,8 GHz

PLL12,067 GHz

odvojnopojačalo

množilofrekvencije

36,2 GHz

Slika 10.16. Blok-shema ulaznog dijela prijamnika u sustavu usmjerene radioveze

Za svaku komponentu razmatranog prijamnika navedeno je pojačanje snage G, faktor

šuma, F i presječna točka trećeg reda, P3 u odnosu na izlaz (tablica 10.4). Ukupna vrijednost tih veličina određena je pomoću relacija za kaskadno spojene mreže. Razabire se da je razina presječne točke trećeg reda u odnosu na ulaz prijamnika −5,3 dBm.

Tablica 10.4. Vrijednost G, F i P3 (ref. na izlaz) komponenti mikrovalnog prijamnika

komponenta valovod RF LNA RF filtar miješalo IF filtar IF pojač. ukupno

G/dB −1 20 −4 −7 −2 13 19

F/dB 1 3,5 4 7 2 2,5 5,1

P3/dBm 100 15 100 10 30 25 13,7

332

333

2001.

LITERATURA

1. Abrie, Pieter L. D. Design of RF and Microwave Amplifiers and Oscillators, Artech House, Norwood, 2000.

2. Atwater, H. A. Introduction to Microwave Theory, McGraw-Hill, New York, 1962.

3. Balanis, Constantine A. Antena Theory: Analysis and Design, John Wiley & Sons, Singapore, 1982.

4. Bowick, Chris, RF Circuit Design, Butterworth-Heinemann, Newton, 1982.

5. Bronštejn I. N. i K. A. Semendjajev, Matematički priručnik za inženjere i studente, prev. Z. Vistrička i I. Uremović, Tehnička knjiga, Zagreb, 1964.

6. Chen, Wai-Kai (editor), The Circuits and Filters Handbook, CRC Press, Boca Raton, 1995.

7. Collin, Robert E. Foundations for Microwave Engineering, McGraw-Hill, Singapore, 1966.

8. Collin, Robert E. Antennas and Radiowave Propagation, McGraw-Hill, Singapore, 1985.

9. Combes, Paul F. and Jacques Graffenil, Jean-Francois Sautereau, Microwave Components, Devices and Active Circuits, trans. W. J. Duffin, John Wiley & Sons, Chichester, 1987.

10. Couch, Leon W. Digital and Analog Communication Systems, 6th edition, Prentice-Hall, Upper Saddle River, 2001.

11. Dworsky, Lawrence N. Modern Transmision Line Theory and Applications, John Wiley & Sons, New York, 1979.

12. Dye, Norm and Helge Granberg, Radio Frequency Transistors: Principles and Practical Applications, Butterworth-Heinemann, Newton, 1993.

13. Egan, William F. Practical RF System Design, John Wiley & Sons, Hoboken, 2003.

14. Eskelinen, Pekka, Introduction to RF Equipment and System Design, Artech House, Norwood, 2004.

15. Fujimoto, K. and J. R. James, Mobile Antenna Systems Handbook, Artech House, Norwood, 1994.

16. Gandi, Om P. Microwave Engineering and Applications, Pergamon Press, Elmsford, 1981.

17. Golio, Mike (editor), The RF and Microwave Handbook, CRC Press, Boca Raton,

18. Gonzalez, Guillermo, Microwave Transistor Amplifiers: Analysis and Design, 2nd

334

2nd edition, Prentice Hall, Upper Saddle River, 1997.

edition, Prentice-Hall, Upper Saddle River, 1997.

19. Gupta, K. C. and Ramesh Garg, I. J. Bahl, Microstrip Lines and Slotlines, Artech House, Dedham, 1979.

20. Hsu, Hwei P. Schaum's Outline of Theory and Problems of Signals and Systems, McGraw-Hill, New York, 1995.

21. Johnson, Richard C. (editor), Antenna Engineering Handbook, 3rd edition, McGraw-Hill, New York, 1993.

22. Korn, Granino A. and Theresa M. Korn, Mathematical Handbook for Scientists and Engineers: Definitions, Theorems, and Formulas for Reference and Review, Dover Publications, Mineola, 2000.

23. Krauss, Herbert L. and Charles W. Bostian, Frederick H. Raab, Solid State Radio Engineering, John Wiley & Sons, New York, 1980.

24. Lathi, Bhagwandas P. Modern Digital and Analog Communication Systems, 3rd edition, Oxford University Press, New York, 1998.

25. Lee, Thomas H. The Design of CMOS Radio-Frequency Integrated Circuits, Cambridge University Press, Cambridge, 2002.

26. Liao, Samuel Y. Microwave Devices and Circuits, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, 1980.

27. Lo, Y. T. and S. W. Lee (editors), Antenna Handbook: Theory, Applications, and Design, Van Nostrand Reinhold, New York, 1988.

28. Losee, Ferril, RF Systems, Components, and Circuits Handbook, Artech House, Norwood, 1997.

29. Ludwig, Reinhold and Pavel Bretchko, RF Circuit Design: Theory and Applications, Prentice-Hall, Upper Saddle River, 2000.

30. Maas, Stephen A. Nonlinear Microwave and RF Circuits, 2nd edition, Artech House, Norwood, 2003.

31. McClaning, Kevin and Tom Vito, Radio Receiver Design, Noble Publishing, Atlanta, 2000.

32. Misra, Devendra K. Radio-Frequency and Microwave Communication Circuits: Analysis and Design, 2nd edition, John Wiley & Sons, Hoboken, 2004.

33. Modlic, Borivoj i Ivan Modlic, Titranje i oscilatori, Školska knjiga, Zagreb, 1991.

34. Modlic, Borivoj i Ivan Modlic, Pojačala snage, Školska knjiga, Zagreb, 1992.

35. Modlic, Borivoj i Ivan Modlic, Modulacije i modulatori, Školska knjiga, Zagreb, 1995.

36. Modlic, Borivoj i Juraj Bartolić, Miješanje, mješala i sintezatori frekvencije, Školska knjiga, Zagreb, 1995.

37. Motchenbacher, C. D. and J. A. Connelly, Low-Noise Electronic System Design, John Wiley & Sons, New York, 1993.

38. Oppenheim, Alan and Alan S. Willsky with S. Hamid Nawab, Signals and Systems,

335

39. Pozar, David M. Microwave and RF Design of Wireless Systems, John Wiley & Sons, New York, 2001.

40. Pozar, David M. Microwave Engineering, 3rd edition, John Wiley & Sons, Hoboken, 2005.

41. Proakis, John G. and Masoud Salehi, Contemporary Communication System using Matlab, Brooks/Cole, Pacific Grove, 2000.

42. Razavi, Behzad, RF Microelectrinics, Prentice Hall, Upper Saddle River, 1998.

43. Rhea, Randall W. HF Filter Design and Computer Simulation, Noble Publishing, Atlanta, 1994.

44. Rhea, Randall W. Oscillator Design and Computer Simulation, 2nd edition, Noble Publishing, Atlanta, 2000.

45. Roddy, Dennis and John Coolen, Electronic Communications, 4th edition, Prentice Hall, Englewood Cliffs, 1995.

46. Rohde, Ulrich L. and Jerry Whitaker, T. T. N. Bucher, Communications Receivers, 2nd edition, McGraw-Hill, New York, 1997.

47. Rohde, Ulrich L. and David P. Newkirk, RF/Microwave Circuit Design for Wireless Applications, John Wiley & Sons, New York, 2000.

48. Sayre, Cotter W. Complete Wireless Design, McGraw-Hill, New York, 2001.

49. Smith, Jack R. Modern Communication Circuits, 2nd edition, McGraw-Hill, New York, 1998.

50. Smrkić, Zlatko, Mikrovalna elektronika, Školska knjiga, Zagreb, 1986.

51. Temes, Lloyd and Mitchel E. Schultz, Schaum's Outline of Theory and Problems of Electronic Communication, 2nd edition, McGraw-Hill, New York, 1998.

52. Vendelin, George D. and Anthony M. Pavio, Ulrich L. Rohde, Microwave Circuit Design Using Linear and Nonlinear Techniques, John Wiley & Sons, New York, 1990.

53. Vizmuller, Peter, RF Design Guide: Systems, Circuits, and Equations, Artech House, Norwood, 1995.

54. Weeks, W. L. Antenna Engineering, McGraw-Hill, New York, 1968.

55. Whitaker, Jerry C. (editor), The Electronics Handbook, CRC Press, Boca Raton, 1996.

56. White, Joseph F. High Frequency Techniques: An Introduction to RF and Microwave Engineering, John Wiley & Sons, Hoboken, 2004.

57. Winder, Steve, Filter Design, Butterworth-Heinemann, Oxford, 2001.

58. Zahradka, Ivan, Radiokomunikacijski sustavi, I. dio, Školska knjiga, Zagreb, 1994.

59. Zentner, Ervin, Antene i radiosustavi, Graphis, Zagreb, 2001.

60. Zovko-Cihlar, Branka, Šum u radiokomunikacijama, Školska knjiga, Zagreb, 1987.