BM20A5800 Funktiot, vektorit ja lineaarialgebra

Jouni Sampo

21. lokakuuta 2016

Sisältö1 Yhden muuttujan funktiot 2

1.1 Lukujoukot ja lukuvälit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Funktioista yleisesti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3 Perusfunktiot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3.1 Polynomit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3.2 Rationaalilausekkeet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.3.3 Trigonometriset funktiot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.3.4 Logaritmifunktiot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.3.5 Potenssifunktiot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.3.6 Hyperboliset funktiot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.3.7 Itseisarvo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.4 Yhdistetyt funktiot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.5 Injektio, surjektio ja bijektio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.6 Käänteisfunktiot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.7 Yhtälöt, epäyhtälöt ja yhtälöryhmät . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2 Vektorit ja usean muuttujan funktiot 282.1 Vektoreiden peruskäsitteet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.1.1 Standardikantavektorit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.1.2 Vektoreiden välinen kulma ja pistetulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.2 Suorat ja tasot vektorien avulla esitettynä . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.2.1 Tasot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.3 Vaihtoehtoisia ilmaisutapoja vektoreille . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422.4 Usean muuttujan reaaliarvoiset funktiot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422.5 Vektoriarvoiset funktiot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3 Matriisit 483.1 Matriiseihin liittyvät peruskäsitteet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.2 Matriisien laskutoimitukset . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.2.1 Matriisien yhteenlasku ja kertominen skalaarilla . . . . . . . . . . . . . . 503.2.2 Matriisien kertolasku . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.3 Lineaariset yhtälöryhmät . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533.3.1 Gaussin eliminointi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.3.2 Lineaarinen riippumattomuus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 643.3.3 Ratkaisujen yleisiä ominaisuuksia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

3.4 Käänteismatriisi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 693.5 Determinantit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

3.5.1 Determinantin määritelmä . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 733.5.2 Determinanttien perusominaisuuksia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 743.5.3 Cramerin sääntö . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

3.6 Ominaisarvot ja ominaisvektorit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 763.6.1 Määritelmä ja laskenta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 763.6.2 Ristitulo R3:ssa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

1 Yhden muuttujan funktiot

1.1 Lukujoukot ja lukuvälit

Erilaisia lukujoukkoja:

• Luonnolliset luvut: N = 0, 1, 2, 3, . . .

• Kokonaisluvut: Z = . . . ,−2,−1, 0, 1, 2, . . .

• Rationaaliluvut (jaksolliset desimaaliluvut): Q = m/n | m,n ∈ Z, n 6= 0

• Irrationaaliluvut eli jaksottomat desimaaliluvut

• Reaaliluvut eli kaikki rationaaliluvut ja irrationaaliluvut yhdessä. Merk. R

Avoimet ja puoliavoimet välit:

• Suljettu väli: [a, b] = x ∈ R | a ≤ x ≤ b

• Vasemmalta puoliavoin väli: ]a, b] = x ∈ R | a < x ≤ b

• Oikealta puoliavoin väli: [a, b[= x ∈ R | a ≤ x < b

• Avoin väli: ]a, b[:= x ∈ R | a < x < b

Lukujoukkojen A ja B välisiä operaatioita:

• Yhdiste: A ∪B = x | x ∈ A tai x ∈ B

• Leikkaus: A ∩B = x | x ∈ A ja x ∈ B

• Erotus: A \B = x | x ∈ A ja x /∈ B

Hakasulkujen sijaan voidaan käyttää merkintänä myös normaaleja aaltosulkuja kun tarkoite-taan avointa tai puoliavointa väliä, eli esimerkiksi ]3, 6] voitaisiin merkitä (3, 6].

• Avoimia ja puoliavoimia välejä: [2, 4[, ]− 1, 2[, ]−∞, 4]

• Suljettuja välejä: [4, 7], [−10, 8]

• Yhdisteitä: [4, 6] ∪ [5, 7[= [4, 7[, 7 ∪ [5, 7[= [5, 7]

• Leikkauksia: [4, 6] ∩ [5, 7[= [5, 6], [4, 6[∩[5, 7[= [5, 6[, N ∩ [3.4, 6[= 4, 5

• Erotuksia: [4, 6] \ 6 = [4, 6[, [4, 6]\]5, 8] = [4, 5]

2

1.2 Funktioista yleisesti

Sääntöä f : D(f) → B, joka liittää jokaiseen pisteeseen x ∈ D(f) täsmälleen yhden pisteenf(x) ∈ B, sanotaan funktioksi f .

x

D(f)

B

f(x)

R(f)

Kuva 1: Määrittely-, maali- ja arvojoukko.

Edellisessä joukkoa D(f) kutsutaan määrittelyjoukoksi, joukkoa B maalijoukoksi ja joukkoaR(f) := f(x) | x ∈ D(f) arvojoukoksi.

Yllä esitetyt käsitteet ovat yleisiä, tässä kappaleessa keskitytään kuitenkin vain yhden reaali-muuttujan reaaliarvoisiin funktioihin, eli oletetaan että D(f) ⊂ R ja R(f) ⊂ R.

Pisteiden (x, f(x)) muodostamaa käyrää kutsutaan funktion kuvaajaksi eli graafiksi.

Määrittelyjoukon etsintä:

• a /∈ D(f) jos jotain lausekkeessa f(x) esiintyvää välitulosta ei voida laskea kun x = a,esim. tapahtuu nollalla jakaminen.

• Edellinen pätee vaikka raja-arvo limx→a f(x) voitaisiin laskea, tai esim. sopivasti supista-malla vältyttäisiin nollalla jakamiselta.

• Käytännössä voidaan siis aina kysyä ”Osaako yksinkertainen taskulaskin laskea tämän vaiantaako virheen”.

Esimerkki 1.1. Etsi funktioiden a) f(x) =√

1− 1xb) g(x) = x

x−1 −2x−1x−1 arvo- ja

määrittely joukot.

Ratkaisu:a)

f(x) =

√1− 1

x

f : D(f)→ ROngelmia esiintyy jos juuren alla on negatiivista tai jos on nollalla jako.

⇒D(f) = x ∈ R | x 6= 0, 1− 1

x≥ 0

R(f) = [0, 1[∪]1,∞[= [0,∞[\1

3

b)

g(x) =x

x− 1− 2x− 1

x− 1

g : D(g)→ RNollalla jako taas ongelmana⇒D(g) = x ∈ R|x 6= 1, x 6= 1 = R \ 1

Mitäs jos oltaisiin sievennelty?

g(x) =x

x− 1− 2x− 1

x− 1=x− (2x− 1)

x− 1=−x+ 1

x− 1=−1(x− 1)

x− 1= −1

g:n kuvaaja

1

−1

x

y

0

R(g) = −1

Kuva 2

Esimerkki 1.2. xy-tason käyrä y = x2 on funktion f(x) = x2 kuvaaja eli graafi (katsokuva 3). Määrittelyjoukko D(f) = R ja arvojoukko R(f) = [0,∞[= R+ ∪ 0.

y

x

y = x2

Kuva 3: Graafi.

4

1.3 Perusfunktiot

1.3.1 Polynomit

Polynomit ovat funktioita jotka voidaan kirjoittaa muodossa

f(x) = a0 + a1x+ a2x2 + · · ·+ anx

n =n∑i=0

aixi , (1)

missä kertoimet ai ∈ R ja n ∈ N. Luku n on polynomin asteluku (olettaen että an 6= 0)Edellä esitetty muoto (1) polynomille ei ole aina käytännöllisin: usein polynomit ilmaistaan

nollakohtiensa avulla seuraavan lauseen mukaisesti.

Lause 1.1. Polynomilla on enintään astelukunsa verran reaalisianollakohtia (poikkeuksena tri-viaalitapaus f(x) = 0). Jos polynomilla f(x), jonka asteluku on n, on reaaliset nollakohdat xi,i = 1, ...,m niin se voidaan kirjoittaa muodossa

f(x) = g(x)(x− x1)(x− x2) · · · (x− xm) = g(x)m∏i=1

(x− xi) , (2)

missä g(x) on polynomi jonka asteluku on n−m.

5

x

y

y = x3

(a)

x

y

y = −2x3 + x

(b)

x

y

y = x4

(c)

x

y

y = 4x4 − 3x2 + 14

(d)

Kuva 4: Polynomifunktioiden nollakohtia.

Yleisesti korkean asteen polynomin nollakohtien analyyttinen etsintä on hankalaa, jopa mahdo-tonta. Kuitenkin jos tunnetaan valmiiksi muutama nollakohta niin voidaan esim. jakokulmassalaskemalla etsiä e.m. polynomi g(x), jonka nollakohdat löydetään helposti jos n−m ≤ 2.

Esimerkki 1.3. Olkoon f(x) = 4x3 + 6 ja g(x) = 6x4 − x3 + x2 Määritä polynomienf(x) + g(x) ja f(x)g(x) kertoimet ja asteluvut.Ratkaisu:

f(x) + g(x) = (4x3 + 6) + (6x4 − x3 + x2)

= 6 + x2 + 4x3 − x3 + 6x4

= 6 + (0 + 0)x+ (0 + 1)x2 + (4− 1)x3 + (0 + 6)x4

= 6︸︷︷︸a0

+ 0︸︷︷︸a1

x+ 1︸︷︷︸a2

x2 + 3︸︷︷︸a3

x3 + 6︸︷︷︸a4

x4

6

x

y

0 1 20

306090

Kuva 5

Esimerkki 1.4. Laske polynomin f(x) = −3 + 4x + 2x2 − 4x3 + x4 nollakohdat kuntiedetään että f(1) = f(−1) = 0.Ratkaisu:

x

y

-3 -2 -1 0 1 2 3

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

Kuva 6: f(x) = −3 + 4x+ 2x2 − 4x3 + x4

f(x) = −3 + 4x+ 2x2 − 4x3 + x4

f(1) = 0 x1 = 1

f(−1) = 0 x2 = −1f(x) = g(x)(x− 1)(x− (−1)) = g(x)(x− 1)(x+ 1) (?)n = 4 Polynomin astem = 2 Tunnettujen nollakohtien määrän−m = 4− 2 = 2

g(x) = b0 + b1x+ b2x2

7

Kertomalla auki ja ryhmittelemällä eri asteisiin termeihin saadaan

(?)⇒ f(x) = (b0 + b1x+ b2x2)(x− 1)(x+ 1)

= (b0 + b1x+ b2x2)(x2 − 1)

= b0x2 + b1x

3 + b2x4 − b0 − b1x− b2x2

= −b0 − b1x+ (b0 − b2)x2 + b1x3 + b2x

4

= f(x) (F)= −3 + 4x+ 2x2 − 4x3 + x4

Siirtämällä termejä puolittain ja

0 = −3 + b0 + 5x+ b1x+ 2x2 − (b0 − b2)x2 − 4x3 − b1x3 + x4 − b2x4

= −3 + b0 + (4 + b1)x+ (2− b0 + b2)x2 + (−4− b1)x3 + (1− b2)x4

Täytyy päteä kaikilla x:n arvoilla.Valitaan

x = 0⇒0 = −3 + b0

⇒ b0 = 3

Valitaan

x = 1

x = −1⇒ Kaksi yhtälöä josta b1 ja b2 ratkeavat.

Edellinen ei toki ole ainut tapa: vertailemalla suoraan vaiheessa (F) kertoimia saa-taisiin pikkuisen vauhdikkaammin tulos.

b0 = 3

b1 = −4b2 = 1

Ja sitten olisi vielä mahdollisuus hoitaa tämä jakokulmassa.

8

x

y

-3 -2 -1 0 1 2 3

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

Kuva 7: g(x) = 3− 4x+ x2

Jokatapauksessa, nyt on saatu että g(x) = 3− 4x+ x2 = 0. Loput f :n nollakohdatsaadaan sitten tästä toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla:

x =−(−4)±

√(−4)2 − 4 · 3

2 · 1

=4±√16− 12

2

=4± 2

2= 3 tai 1

Esimerkki 1.5. Ratkaise epäyhtälö x4 − 4x3 > −2x2 − 4x+ 3.Ratkaisu: Epäyhtälö voidaan kirjoittaa muotoon

x4 − 4x3 + 2x2 + 4x− 3 > 0

Funktio on sama kuin kohdassa (1.5), joten se voidaan kirjoittaa muodossa

(x− 1)(x− (−1))(x− 3)(x− 1) > 0

(x− 1)(x+ 1)(x− 3)(x− 1) > 0

(x− 3)(x+ 1)(x− 1)2 > 0

Tekemällä kulkukaavion saamme:

9

x− 3

x+ 1

(x− 1)2

f(x)

−1 1 3

− − − +

− + + +

+ + + +

+ − − +

eli x ∈]−∞,−1[ ∪ ]3,∞[

1.3.2 Rationaalilausekkeet

• Rationaalilausekkeet ovat muotoa P (x)Q(x)

jossa P (x) ja Q(x) ovat polynomeja.

• Rationaalilausekkeet eivät ole määriteltyjä pisteissä joissa Q(x) = 0.

• Näidenkin lausekkeiden sieventämisessä pätevät normaalit laskusäännöt, eli voidaan su-pistaa ja laventaa kuten reaaliluvuilla laskettaessa yleensäkin.

Rationaalilausekkeita sisältävät epäyhtälöt on helppoa ratkaista mikäli esiintyvien polyno-mien nollakohdat saadaan ratkaistua. Mikäli lauseke ei ole valmiiksi sopivassa muodossa taiusempia termejä (oikea puoli 0), niin turvallinen tapa on siirtää kaikki termit vasemmalle puo-lelle ja laventaa sopivasti. Tämä tosin voi johtaa korkeamman asteen polynomien nollakohtienetsimiseen.

Esimerkki 1.6. Missä pisteissä lauseke on määritelty? Sievennä lauseke a) x2−1x+1

b)x3−6x2+9x5x2−15x c) x+3

x2−1 −x+1x2−x d) ab−b2

4a2−b2 ·2a2+abb−a e) xy2−x

y2: xy+x

y

Ratkaisu:a) Nimittäjä ei saa saada arvoa 0. Lauseke saadaan lisäksi sievennettyä muotoon:

x2 − 1

x+ 1=

(x+ 1)(x− 1)

x+ 1= x− 1

b) Ratkaisemalla nimittäjän nollakohdat saamme ehdot x 6= 0 ∨ x 6= 3. Sieventämällälauseketta saamme:

x3 − 6x2 + 9x

5x2 − 15x=x(x2 − 6x+ 9)

x(5x− 15)=

(x− 3)2

5(x− 3)=x− 3

5

c) Määritelty kun R\±1, 0 Sievennettynä:

x+ 3

x2 − 1− x+ 1

x2 − x=

(x2 − x)(x+ 3)− (x+ 1)(x2 − 1)

(x2 − 1)(x2 − x)

=x3 + 3x2 − x2 − 3x− (x3 − x+ x2 − 1)

(x2 − 1)(x2 − x)

=x2 − 2x+ 1

(x2 − 1)(x2 − x)=

(x− 1)2

x(x2 − 1)(x− 1)=

x− 1

x(x2 − 1)

10

d) Nimittäjistä saamme ehdot b− a 6= 0 ja 4a2 − b2 6= 0 ja sieventämällä:

ab− b2

4a2 − b2· 2a

2 + ab

b− a=b(a− b)4a2 − b2

· a(2a+ b)

b− a

=b(a− b)

(2a+ b)(2a− b)· a(2a+ b)

−(a− b)=−ba2a− b

e) y 6= 0

xy2 − xy2

:xy + x

y=x(y2 − 1)

y2:x(y + 1)

y

x(y − 1)(y + 1)

y2· y

x(y + 1)=y − 1

y

Esimerkki 1.7. Ratkaise epäyhtälöt (x−1)2(x+1)x−3 ≥ 0 ja 1

x−2 >xx+1

Ratkaisu:

(x− 1)2(x+ 1)

x− 3= f(x) ≥ 0

-1 1 3 (x 6= 3)(x− 1)2 + + + +(x+ 1) − + + +x− 3 − − − +f(x) + − − +

V:x ∈]−∞,−1] ∪ 1∪]3,∞[

1

x− 2− x

x+ 1> 0

x+ 1− x(x− 2)

(x− 2)(x+ 1)> 0

x+ 1− x2 + 2x

(x− 2)(x+ 1)> 0

−x2 + 3x+ 1

(x− 2)(x+ 1)> 0

h(x) =−(x− (3

2+√132))(x− (3

2−√132))

(x− 2)(x+ 1)> 0

−1 32−√132 2

32+√132

h(x)

x− (−1)

x− 2

x− (32−√132)

−(x− (32+√132))

−

−

−

−

+

+

+

−

−

+

−

+

−

+

+

+

+

+

+

+

−

+

+

+

−

V:x ∈]− 1, 32−√132[∪]2, 3

2+√132[

11

1.3.3 Trigonometriset funktiot

Funktiot sin ja cos määritellään yksikköympyrän avulla (katso kuva 8).

t (radiaaneja)

O

x2 + y2 = 1

C

kaaren pituus t

x

y

Pt = (cos t, sin t)

Pπ/2

A = (1, 0)

Pπ

P−π/2

Kuva 8: Ympyrä.

Muutamia muita määritelmästä suoraan seuraavia hyödyllisiä ominaisuuksia:

•cos2 t+ sin2 t = 1

• 2π-jaksollisuus elicos(t+ 2π) = cos(t), sin(t+ 2π) = sin(t)

• cos on parillinen ja sin pariton funktio eli

cos(−t) = cos(t), sin(−t) = − sin(t)

• Arvojen vaihteluväli [−1, 1] eli cos(t) ∈ [−1, 1] ja sin(t) ∈ [−1, 1].

Funktioiden cos(t) ja sin(t) avulla voidaan määritellä muita trigonometrisia funktioita joistatärkein on tangentti

tan(t) := sin(t)/ cos(t) (3)

12

π/4

1

t−π−π

2π2

π

y = tan t

(a)

−3π/2−π/2

π/2

3π/21

−1

t−π π

y = sin t

(b)

−2π−π π

2π−1

t−π/2

π/2

y = cos t1

(c)

Kuva 9: Käyrät y = tan t (a), y = sin t (b) ja y = cos t (c)

Määritelmistä suoraan seuraavat suorakulmaisen kolmion (katso kuva 10) ominaisuudet onmyös hyvä muistaa

sin t =a

c, tan t =

a

b, cos t =

b

c(4)

tb

ac

0 < t < 90

Kuva 10: Kolmio.

13

1.3.4 Logaritmifunktiot

Kuten trigonometriset funktiot, luonnollinen logaritmi ln(t) voidaan myös määritellä graafisesti.Olkoon t piste positiivisella x-akselilla xy-koordinaatistossa ja At on se pinta-ala joka jää suorienx = t ja x = 1, x-akselin ja käyrän y = 1/x väliin.

t1x

y

At

y = 1/x

Kuva 11: Luonnollinen logaritmi graafisesti määriteltynä.

ln(t) =

At , t ≥ 1−At , 0 < t < 1

Luonnollisen logaritmifunktion f(t) = ln(t) ominaisuuksia:

• Määrittelyjoukko D(f) =]0,∞[.

• Arvojoukko R(f) =]−∞,∞[ (Tämän osoittamiseksi tarvitsisimme määrätyn integraalinkäsitettä.)

• Aidosti kasvava koko määrittelyjoukossaan (⇒ f ′(t) > 0 kaikilla t ∈ D(f))

• ln(1) = 0

Yleinen (a-kantainen) logaritmi voidaan määritellä luonnollisen logaritmin avulla

loga(t) :=ln(t)

ln(a). (5)

Logaritmien laskusääntöjä. Olkoon a > 0, b > 0, x > 0, y > 0, a 6= 1 ja b 6= 1. Tällöin

i) loga 1 = 0 ii) loga(xy) = loga(x) + loga(y)iii) loga

(1x

)= − loga(x) iv) loga(x/y) = loga(x)− loga(y)

v) loga (xy) = y loga(x) vi) loga(x) =

logb(x)logb(a)

(6)

14

x

y

ln(x)

log10(x)

log2(x)

log0,5(x)

log0,1(x)

1

Kuva 12: Erikantaisia logaritmifunktioita.

1.3.5 Potenssifunktiot

Määrittelemme ensin funktion f(x) = exp(x), tai tuttavallisemmin kirjoitettuna funktion f(x) =ex, missä e on n.k. Neperin luku. Tämä voidaan tehdä yksinkertaisesti vaihtamalla luonnollisenlogaritmifunktion muuttujan ja funktion arvon roolit päinvastaisiksi:

y = ex ⇔ ln(y) = x (7)

Funktiot exp ja ln ovat itseasiassa toistensa käänteisfunktoita (joita käsittelemme yleisemminmyöhemmin). Funktion f(x) = ex ominaisuuksia:

• Määrittelyjoukko D(f) =]−∞,∞[.

• Arvojoukko R(f) =]0,∞[

• Aidosti kasvava koko määrittelyjoukossaan (⇒ f ′(x) > 0 kaikilla x ∈ D(f))

• e1 = e = limn→∞ (1 + 1/n)n = 2.721828 . . .

• eln(x) = x kaikille x ≥ 0 ja ln(ex) = x kaikille x ∈ R.

Yleinen potenssifunktio voidaan määritellä vastaavasti yleisen logaritmin avulla:

y = ax ⇔ loga(y) = x ,

eliloga(x) =

ln(x)

ln(a).

Potenssifunktion ominaisuuksia. Jos a > 0 ja b > 0 niin

i) a0 = 1 ii) ax+y = axay

iii) a−x = 1/ax iv) ax−y = ax

ay

v) (ax)y = axy vi) (ab)x = axbx(8)

15

1

1x

y

y = ex

y = ln(x)

Kuva 13: Eksponentti- ja logaritmifunktio.

Esimerkki 1.8. a) Laske limx→∞ log1/2(x). b) Mitä on x jos log2(x0.7) = 10?Ratkaisu:a)

limx→∞

log1/2(x) = limx→∞

log10(x)

log10(1/2)︸ ︷︷ ︸<0

= −∞

b)

log2(x0.7) = 10

ln(x0.7)

ln(2)= 10

0.7 ln(x) = 10 ln(2)

ln(x) =10 ln(2)

0.7

x = e10 log10(2)

0.7 ≈ 19972.3

Esimerkki 1.9. Sievennä lausekkeet:a) loga (x4 + 3x2 + 2) + loga (x

4 + 5x2 + 6)− 4 loga(√

x2 + 2)

b) logπ (1− cosx) + logπ (1 + cos x)− 2 logπ (sinx)c) (√32)4, d) (

√x)2, e)

√x2

Ratkaisu:Nämä menee logaritmin laskusäännöillä 6.

16

b)

logπ(1− cos(x)) + logπ(1 + cos(x))− 2 logπ sin(x)∣∣ii),v)

= logπ((1− cos(x))(1 + cos(x)))− logπ((sin(x))2)

= logπ(12 − cos(x)2)− logπ((sin(x))

2)∣∣iv)

= logπ1− (cos(x))2

(sin(x))2

= logπ(sin(x))2

(sin(x))2

= logπ(1)

=0

1.3.6 Hyperboliset funktiot

Hyperboliset funktiot cosh(x) ja sinh(x) voidaan määritellään kaavoilla

cosh(x) =ex + e−x

2, sinh(x) =

ex − e−x

2

• Laskukaavoja on esim. Beta pullollaan.

x

y

y = sinh(x)

y = cosh(x)

Kuva 14: Hyperboliset funktiot.

Esimerkki 1.10. Osoita että cosh2(x)− sinh2(x) = 1

17

Ratkaisu:

cosh2(x)− sinh2(x) = 1

⇔(ex + e−x

2

)2

−(ex − e−x

2

)2

= 1

⇔(ex + e−x)2

4− (ex − e−x)2

4= 1

⇔(ex)2 + 2exe−x + (e−x)2

4− (ex)2 − 2exe−x + (e−x)2

4= 1

⇔(ex)2 + 2e0 + (e−x)2 − (ex)2 + 2e0 − (e−x)2

4= 1

⇔(ex)2 − (ex)2 + 2e0 + (e−x)2 − (e−x)2 + 2e0

4= 1

⇔2e0 + 2e0

4= 1

⇔2 · 1 + 2 · 14

= 1

⇔4

4= 1

⇔1 = 1

1.3.7 Itseisarvo

|x| =x, x ≥ 0−x, x < 0

(9)

Katso kuva 15.

|x| |x|

−x 0 x

|y − x| = |x− y|

x y

Kuva 15: Itseisarvo.

Huomaa että määritelmän kaavassa (9) voidaan x:n tilalle myös sijoittaa suurempi lauseke.

• Jos itseisarvoja on useampia, pahimmassa tapauksessa jokainen täytyy käsitellä erikseenja tarkasteltavien vaihtoehtojen määrä lisääntyy kuten seuraavista kohdista voi huomata:

|(x+ 3)(x− 4)| =

(x+ 3)(x− 4) , (x+ 3)(x− 4) ≥ 0−(x+ 3)(x− 4) , (x+ 3)(x− 4) < 0

|f(x)|+ |g(x)| =

f(x) + g(x) , f(x) ≥ 0 ja g(x) ≥ 0−f(x) + g(x) , f(x) < 0 ja g(x) ≥ 0f(x)− g(x) , f(x) ≥ 0 ja g(x) < 0−f(x)− g(x) , f(x) < 0 ja g(x) < 0

18

Esimerkki 1.11. Ratkaise | 2x+ 5 |= 3Ratkaisu:Merkitään f(x) =| 2x+ 5 | Paloittain määrittelemällä funktion saamme

f(x) =

2x+ 5, x ≥ −5

2

−2x− 5, x < −52

Ratkaisemalla kummastakin yhtälöstä f(x) = 3 saamme:2x+ 5 = 3⇔ x = −1, x ≥ −5

2

−2x− 5 = 3⇔ x = −4, x < −52

Yhtälön ratkaisut ovat siis x = −1 ja x = −4.

1.4 Yhdistetyt funktiot

Käytännön toteutuksen ja suunnittelun monimutkaisuuden välttämiseksi jaetaan prosessit useinpienempiin, toisiaan seuraaviin, vaiheisiin. Siis ensin x:lle tehdään operaatio f ja sitten loppu-tulokselle operaatio g. Matemaattisesti tämä tarkoittaa arvon g(f(x)) laskentaa. Luonnollisestikaikkien välivaiheiden laskennan täytyisi onnistua, eli myös funktion g(f(x)) määrittelyjoukkokiinnostaa.

Olkoon f ja g funktioita. Yhdistetyn funktion

(g f)(x) = g f(x) = g(f(x))

määrittelyjoukko onD(g f) = x | x ∈ D(f) ja f(x) ∈ D(g) (10)

Esimerkki 1.12. Olkoon f(x) = x + 5 ja g(x) = x2 − 3. Laske f g(0) ja g f(−5).Mikä on f g:n määrittelyjoukko? Entä g f :n?Ratkaisu:

f(x) = x+ 5

g(x) = x2 − 3

f g(x) = f(g(x))

= g(x) + 5

= x2 − 3 + 5

= x2 + 2

f g(0) = 02 + 2 = 2

D(f g) = x | x ∈ D(g) ja g(x) ∈ D(f)= x | x ∈ R ja g(x) ∈ R= R

19

g f(x) = g(f(x)) = (f(x))2 − 3

= (x+ 5)2 − 3

D(g f) = Rg f(−5) = (−5 + 5)2 − 3 = −3

Huomaa että erityisesti jos ulkofunktion lauseke olisi pitkä (muuttuja esiintyisi monessapaikassa) niin olisi järkevämpää laskea ensin sisäfunktion arvo. Edellisessä tapauksessasiis laskenta olisi voitu tehdä seuraavasti:

f(−5) = −5 + 5 = 0

g f(−5) = g(f(−5)) = g(0)

= 02 − 3 = −3

Tämä on tyypillisesti se laskentajärjestys jossa asiat tietokoneilla tehdään.

Esimerkki 1.13. Määritä f g, gf sekä näiden määrittely- ja arvojoukot kun f(x) =√x ja g(x) = x+ 1.

Esimerkki 1.14. Määritä f f , D(f f) ja R(f f) kun f(x) = 1−x1+x

.

Esimerkki 1.15. Määritä D(h (g f)) ja D((h g) f) kun f(x) =√x+ 2, g(x) =√

x− 1 ja h(x) = 1/x.

1.5 Injektio, surjektio ja bijektio

Matemaattinen määritelmä: Funktio f on injektio jos ja vain jos

f(x1) = f(x2) ⇒ x1 = x2 ∀x1, x2 ∈ D(f).

Sanallisesti tämä määritelmä tulkitaan siis seuraavasti: Aina kun funktio saa saman arvon pis-teissä x1 ja x2 niin nämä kaksi pistettä ovatkin yksi ja sama piste. Tietysti tämä voitaisiinsanoa vielä yksinkertaisemmin: Injektio on funktio joka ei saa samaa arvoa kahdessa eri pis-teessä. Myös matemaattinen määritelmä voitaisiin kirjoittaa samaa tarkoittavassa mutta erinäkäisessä muodossa.Määritelmästä seuraa että jatkuva funktio on injektio jos ja vain jos se on joko aidosti kasvavatai aidosti vähenevä.

Yhtälöitä käsitellessä on suhteellisen turvallista ottaa puolittain funktio joka on injektiivinen:huolta täytyy kantaa lähinnä määrittelyjoukosta. Funktion puolittain ottaminen ei lisää eikävähennä yhtälön ratkaisuiden määrää.

Epäyhtälöiden yhteydessä puolittain funktioita otettaessa vain aidosti kasvavat tai aidostivähenevät funktiot ovat helppoja soveltaa, muiden kanssa täytyy olla todella tarkkana.

20

A B

(a) Surjektio.

A B

(b) Injektio.

A B

(c) Bijektio.

x

y

y ∈ B

x ∈ A

f : A→ B

(d) Surjektiivinen funktio.

x

y

y ∈ B

x ∈ A

f : A→ B

(e) Injektiivinen funktio.

x

y

y ∈ B

x ∈ A

f : A→ B

(f) Bijektiivinen funktio.

Kuva 16: Surjektio, injektio ja bijektio.

Injektio, surjektio ja bijektio voidaan voidaan ajatella myös yhtälöiden ratkaisujen kautta:

• Jos f : D(f) → B on injektio ja a ∈ B niin yhtälöllä f(x) = a on korkeintaan yksiratkaisu.

• Jos f : D(f) → B on surjektio ja a ∈ B niin yhtälöllä f(x) = a on aina vähintään yksiratkaisu.

• Jos f : D(f)→ B on bijektio ja a ∈ B niin yhtälöllä f(x) = a on täsmälleen yksi ratkaisu.

Esimerkki 1.16. Olkoon f ja g injektioita. Osoita että f g on injektio.

Esimerkki 1.17. Piirrä esimerkkejä funktion kuvaajista sellaisille funktioille jotka a)ovat injektioita, b) eivät ole injektioita. Todista, että funktio on tai ei ole injektio.Ratkaisu: a)

21

x

y

0 1 2 3

-1

0

1

2

3

Kuva 17: f(x) = (x− 1)3

f(x) = (x− 1)3

Oletetaan f(x1) = f(x2)

⇒ (x1 − 1)3 = (x2 − 1)3 |↑ 1

3

⇒((x1 − x)3

) 13 =

((x2 − x)3

) 13

⇒ (x1 − 1)3·13 = (x2 − 1)3·

13

⇒ (x1 − 1)1 = (x2 − 1)1

⇒ x1 − 1 = x2 − 1

⇒ x1 = x2

eli f on injektio.

Esimerkki 1.18. Tutki onko f injektio koko määrittelyjoukossaan. Jollei ole, kuinkamäärittelyjoukkoa pitäisi rajoittaa jotta f olisi injektio?

a) f(x) = (x− 1)3 b) f(x) =√x2 − 2 |x|

Ratkaisu:a)

f(x) = a

(x− 1)3 = a

x− 1 = 3√a

x = 3√a+ 1

3√a+ 1 on selvästi yksikäsitteinen luku joten f(x) on injektio

Esimerkki 1.19. Ovatko funktiot cos(x), sin(x) ,logb(x), xn ja ex injektioita, surjek-tioita tai bijektioita kun maalijoukko B on a) B = R, b) B = R(f)?

22

1.6 Käänteisfunktiot

Käänteisfunktio f−1 voidaan määritellä kaikille funktioille f jotka ovat injektioita seuraavasti:

f(x) = y ⇔ x = f−1(y) (11)

Käänteisfunktiolla pätee siis seuraavat ominaisuudet:

• D(f−1) = R(f)

• R(f−1) = D(f)

• f (f−1(x)) = x

• f−1 (f(x)) = x

• (f−1)−1

(x) = f(x)

x f(x)

f

f−1

Kuva 18: Käänteisfunktio.

Mikäli käänteisfunktio on annettu, voidaan yhtälöstä y = f(x) ratkaista mitä on x. Tämätapahtuu yksinkertaisesti ottamalla yhtälöstä funktio f−1 puolittain.

Vaikka käänteisfunktiota ei tunnettaisikaan, on usein tärkeä tietää onko sellainen edes ole-massa, jotta ongelman ratkaisemiseksi osataan valita oikea algoritmi (tämä korostuu kun funk-tion lähtö- ja maalijoukot ovat monimutkaisempia kuin R.Graafisesti f(x) ja f−1 voidaan piirtää samaan koordinaatistoon peilaamalla f(x) suoran y = xsuhteen.

23

x

y

x = cos y

y = cosx

y = x

(a) Kosinifunktiolla ei ole käänteisfunktiota, kunD(f) = R.

x

y

x = y2

y = x2

y = x

(b) Parillisella polynomifunktiolla ei ole käänteis-funktiota, kun D(f) = R.

x

y

x = ln y

y = lnxy = x

(c) Eksponenttifunktio on logaritmifunktion kään-teisfunktio.

x

y

y =√x

x =√y

y = x

(d) Neliöjuurifunktiolla on käänteisfunktio.

Kuva 19: Funktioita ja käänteisfunktioita.

Käänteisfunktion lausekkeen määrittäminen voi olla hyvin haastavaa, joskus jopa mahdotonta:Täytyisi ratkaista y lausekkesta x = f(y).Jos funktio ei ole injektio, täytyy määrittelyjoukkkoa (eli käänteisfunktion arvojoukkoa) rajoit-taa mikäli käänteisfunktio tahdotaan määrittää. Näin menetellään esimerkiksi trigonometristenfunktioiden kohdalla: R(cos−1) = [0, π], R(sin−1) = [−π/2, π/2], R(tan−1) =]− π/2, π/2[.

Esimerkki 1.20. Ratkaise käänteisfunktio f−1(x) kun f(x) on

a) 4x+ 1 b) (x− 1)3 c) ex + e−x

Ratkaisu: a)

24

x

y

0 1 2 302468

101214

Kuva 20: f(x) = 4x+ 1

f(x) = 4x+ 1 = y (eli x = f−1(y))

4x = y − 1

x =y − 1

4= f−1(y)(

x− 1

4= f−1(x)

)R(f) =]−∞,∞[= D(f−1)

Ratkaisu: b)

(x− 1)3 = y

x− 1 = 3√y

x = 3√y + 1 = f−1(y)

f−1(x) = 3√x+ 1

Ratkaisu: c)

ex + e−x = y

ex + (ex)−1 = y Merkitään ex = u

u+ u−1 = y

u+1

u= y

u2 + 1 = yu

u2 − yu+ 1 = 0

u =y ±

√y2 − 4

2

x = ln(y ±

√y2 − 4

2)

Koska (käänteis)funktion arvon pitäisi olla toki yksikäsitteinen, täytyy nyt valita vaintoinen haara ratkaisusta. Tämä johtuu siitä että alkuperäinen funktio ei ole ollut in-jektio koko määrittelyjoukossaan. Jos valitaan esim. D(f) = [0,∞[ niin tällä välillä f

25

on injektio. Valinta x = ln(y−√y2−42

) johtaisi ristiriitaisiin (negatiivisiin x:n arvoihinkaikilla muilla luvuilla paitsi luvulla y = 2 ja täten valitsemme siis

x = ln(y +

√y2 − 4

2) = f−1(y).

Esimerkki 1.21. Sievennäa) sin (cos−1 (−1/3))b) sin

(sin−1 (0.6)

)c) tan−1 (−1)Ratkaisu:a)Trigonometristen funktioiden käänteisfunktioiden määritelmän perusteella cos−1

(−1

3

)∈ [0, π],

joten sin(cos−1(−1

3

)) ≥ 0.

Toisaalta trigonometristen funktioiden määritelmästä (yksikköympyrä)

(sinα)2 + (cosα)2 = 1⇒ (sinα)2 = 1− (cosα)2

⇒ sinα = ±√

1− (cosα)2

Voimme siis päätellä että muutettaessa sin neliöjuurilausekkeeksi täytyy meidän valitanyt nimenomaan positiivinen neliöjuuri.

⇒ sin

(cos−1

(−1

3

))=

√1−

(cos

(cos−1

(−1

3

)))2

=

√1−

(−1

3

)2

=

√1− 1

9=

√8

9

=2√2

3.

1.7 Yhtälöt, epäyhtälöt ja yhtälöryhmät

Yhden muuttujan yhtälöt voidaan kirjoittaa muotoon g(x) = f(x), missa f ja g ovat siis x:nfunktioita.

Epäyhtälöt voidaan kirjoittaa samoin muotoon g(x) < f(x), g(x) > f(x), g(x) ≤ (x) taig(x) ≥ f(x).

Luonteeltaan erilaisia ratkaisutyyppejä:

• Tarkka (analyyttinen) ratkaisu.

– Usein paras jos tarvitaan täsmällinen ratkaisu tai lausekkeet sisältävät vapaita pa-rametreja

– Ei aina mahdollinen eikä käyttökelpoisin

– 1. vuoden kursseissa yleensä käytetty

• Numeerinen ratkaisu

26

– Tiettyjen reunaehtojen vallitessa helpohko

– Tuloksien luotettavuus kyseenalainen jollei tiedetä täsmälleen mitä ja miten ollaantekemässä

– Jos yhtälöllä useampia ratkaisuja niin usein hankalaa löytää kaikki ratkaisut

– Ratkaisut ovat likimääräisiä (mutta laskenta-aikaa lisäämällä oikeita desimaalejayleensä voidaan saada kuinka paljon vain tarvitaan)

– Ei juuri käsitellä 1. vuoden kursseissa

• Graafinen ratkaisu

– Suoraviivainen ratkaisutapa

– Ratkaisut ovat likimääräisiä, mutta voidaan tarkentaa (”zoomaamalla” ratkaisun ym-päristöön).

– Hankalille lausekkeille käyrien piirtäminen ei triviaalia. Laskutarkkuudesta virheitä.

– Sallii jossain määrin vapaita parametreja

– Ei yleisty hyvin useamman muuttujan funktioille (joita käsitellään 1. vuoden keväänkursseissa)

Yhtälöryhmien erittäin lyhyt oppimäärä:

• Yhtälöryhmät muodostavat useammista yhtälöstä joilla on useampia muuttujia.

• Yhtälörymien ratkaisemisesta (tarkka-, graafinen- ja numeerineratkaisu) voidaan todetasamat asiat mitä todettiin edellä yhtälöiden ratkaisuista.

• Yksittäinen kahdenmuuttujan yhtälö esittää tasokäyrää.

• Kahden muuttujan ja kahden yhtälön yhtälöryhmän ratkaisuja ovat tasokäyrien leikkaus-pisteet.

• Kolmen muuttujan yhtälöryhmän ratkaisut ovat tasopintojen leikkauspisteitä (joita voiolla myäs ääretän määrä).

Yhtälöryhmiä muodostuu oleellisesti kun sanallinen informaatio puetaan matemaattiseenmuotoon.

Esimerkki 1.22. Hae seuraaville yhtälöille graafinen ratkaisu. Jos mahdollista, etsimyös tarkka ratkaisu.

a) x2 − 2x = a b) cos(x) = 1/√2 c) sin(x) = 2x

5π

Esimerkki 1.23. Hae seuraaville epäyhtälöille graafinen ratkaisu ja/tai tarkka ratkai-su.a) x2 − 2x < a b) cos(x) ≥ 1/

√2 c) sin(x) > 2x

5πd) x+1

6x−10 >1

x−1

Esimerkki 1.24. Etsi seuraaville yhtälöryhmille graafinen ratkaisu ja/tai tarkka rat-kaisu.a)y = x2

x = y2b)

cos(y) = (cos(x))2

(sin(y))2 = 1− x c)

(x− 1)2 + y2 + z2 = 2(x+ 1)2 + y2 + z2 = 2

27

Esimerkki 1.25. Määritä sen toisen asteen polynomin kertoimet joka kulkee (x, y)pisteiden (1, 0), (2, 4) ja (3, 16) kautta.

Esimerkki 1.26. Kännykän etäisyys pisteessä (0, 10) sijaitsevasta tukiasemasta on4km ja pisteessä (5,0) sijaitsevasta tukiasemasta etäisyys on 8 km. Millainen yhtälö-ryhmä on ratkaistava jos tahdotaan tietää missä pisteessä kännykkä on? Saadaankokännykän koordinaatti selville yksikäsitteisesti?

2 Vektorit ja usean muuttujan funktiotAlkuun muutama sana avaruuksista R2 ja R3 joissa pääasiassa pyörimme tässä kappaleessa.

Kolmiulotteisessa avaruudessa pisteen paikan määrää kolme lukua. Nämä luvut ilmoitetaanyleensä etäisyyksinä origosta, mitattuna kolmen toisiaan vastaan kohtisuoran akselin suunnassa.Näitä akseleita kutsutaan x–, y– ja z–akseleiksi, ja ne muodostavat karteesisen koordinaatiston.

Pisteen P koordinaatit 3–ulotteisessa avaruudessa muodostavat järjestetyn kolmikon (x, y, z),missä reaaliluvut x, y ja z ovat pisteen etäisyydet origosta x–, y– ja z–akselin suunnassa.

Kolmiulotteista avaruutta merkitään symbolilla R3. Vastaavasti 2–ulotteista tasoa merkitäänsymbolilla R2. On syytä huomata että kolmiulotteiseen avaruuteen voidaan taso asettaa mo-nessa eri asennossa, eli pelkkä merkintä R2 ei kerro kaikkea mahdollista informaatiota vaan onoleellista mitä avaruuden koordinaatiston akselit edustavat.

2.1 Vektoreiden peruskäsitteet

Vektori on otus jolla on suunta ja suuruus (koko, pituus). Geometrinen esitys: nuoli alkupisteestäloppupisteeseen. Vektoria pisteestä A pisteeseen B merkitään

v =−→AB (12)

Erityisesti käsin kirjoitettaessa myös vaihtoehtoiset merkinnät v, −→v ja v−→ ovat käteviä. Varsintavallista on myös käyttää vain merkintää v, ja jättää lukijan vastuulle arvata asiayhteydestäonko kyseessä vektori vai ei.

Vektorin v suuruus = ”nuolen” pituus, merkitään |v| tai |−→AB|.

Vektorit u ja v ovat yhtäsuuria, jos niillä on sama pituus ja suunta.

Edellä käytetyt geometriset esitykset toimivat hyvin havainnollistavasti kun käsittelemme vek-toreita avaruudessa R2 tai R3. Keskitymmekin aluksi näihin avaruuksiin, vaikka lähes kaikkiominaisuudet ja kaavat joita esitämme toimisivat myös Rn:ssä.

Vektorien u ja v summa saadaan asettamalla vektorin v häntä vektorin u kärkeen. Summavek-tori u + v on vektori u:n alkupäästä v:n kärkeen.

Skalaarilla kertominen: Jos v on vektori ja t on skalaari, skalaarimonikerta tv on vektori, jonkapituus on |t| kertaa v:n pituus ja suunta sama kuin v:llä, jos t > 0 ja vastakkainen suunta, jost < 0. Jos t = 0, pituus on nolla, kyseessä on nollavektori, merkitään 0.

28

u

v

u+ v

2v

−12v

Kuva 21: Vektorien summa ja skalaarilla kertominen.

Esimerkki 2.1. Piirrä vektorit u ja v siten että niiden suunta on sama ja u on tuplas-ti pidempi kuin v. Voidaanko vektorit piirtää useammalla eri tavalla?

2.1.1 Standardikantavektorit

Määritellään R2:ssa vektorit i ja j seuraavasti: i on vektori origosta pisteeseen (1, 0) ja j origos-ta pisteeseen (0, 1). Nämä vektorit ovat standardikantavektorit tasossa.

Jokainen vektori r origosta pisteeseen (x, y) voidaan ilmaista vektorien i ja j avulla:

r = xi + yj. (13)

Vaikka vektorin merkintä itsessään ei sisälläkkään yleisesti tietoa vektorin alkupisteestä, useinoletamme että se alkaa origosta. Jos tätä tahdotaan korostaa, voidaan puhua paikkavektorista.Paikkavektorin r pituus on |r| =

√x2 + y2

y

x

(x, y)

x

y

1

1

i

j

r

Kuva 22: Standardikantavektorit ja paikkavektori.

Vektorien u = u1i+u2j ja v = v1i+v2j summa ja skalaarilla kertominen komponenttien avulla:

u + v = (u1 + v1)i + (u2 + v2)j (14)

tu = (tu1)i + (tu2)j (15)

Nollavektori: 0 = 0i + 0j

29

Vektoria jonka pituus on 1 kutsutaan yksikkövektoriksi. Mistä tahansa vektorista v voidaanmuodostaa yksikkövektori v jakamalla se pituudellaan:

v =

(1

|v|

)v (16)

Kaikki edelliset määritelmät yleistyvät suoraan R3:n vektoreille suoraviivaisesti. Kolmiu-lotteisessa avaruudessa standardikannan muodostavat vektorit i, j ja k, ts. vektorit origostapisteisiin (1, 0, 0), (0, 1, 0) ja (0, 0, 1).

Kaikki R3:n vektorit voidaan esittää kantavektorien lineaarikombinaatioina, esim. paikka-vektori pisteeseen (x, y, z)

r = xi + yj + zk (17)

x, y ja z ovat r:n komponentit. r:n pituus

|r| =√x2 + y2 + z2 (18)

Vektori v =−−→P1P2 pisteestä P1 = (x1, y1, z1) pisteeseen P2 = (x2, y2, z2) voidaan esittää kanta-

vektorien avulla:v =−−→P1P2 = (x2 − x1)i + (y2 − y1)j + (z2 − z1)k (19)

Vektorit n–ulotteisessa avaruudessa Rn voidaan ilmaista yksikkövektorien e1, e2, · · · , enavulla muodossa

x = x1e1 + x2e2 + · · ·xnen (20)

2.1.2 Vektoreiden välinen kulma ja pistetulo

R2:n vektorien u = u1i + u2j ja v = v1i + v2j pistetulo u · v määritellään

u · v = u1v1 + u2v2 (21)

Vastaavasti R3:ssa vektorien u = u1i + u2j + u3k ja v = v1i + v2j + v3k pistetulo

u · v = u1v1 + u2v2 + u3v3 (22)

Samoin määriteltäisiin pistetulo myös avaruuden Rn vektoreille.

Pistetulon ominaisuuksia:

u · v = v · uu · (v + w) = u · v + u ·w(tu) · v = u · (tv) = t(u · v)

u · u = |u|2 (23)

Jos θ on vektorien u ja v välinen kulma (0 ≤ θ ≤ π), niin

u · v = |u||v| cos θ (24)

Esimerkki 2.2. Laske vektorien 2i + 3j ja −i + 2j välinen kulma.Ratkaisu:

30

u =2i + 3j

v =− 1i + 2j

(24)⇒ cos(θ) =u · v| u || v |

=2 · (−1) + 3 · 2√

22 + 32√(−1)2 + 22

=4√13√5

⇒ cos−1(cos(θ)) = cos−1(

4√13√5

)θ = cos−1

(4√13√5

)θ ≈ cos−1

(1

2

)

Esimerkki 2.3. Määritä kaikki vektorit jotka ovat kohtisuorassa vektoria u = 2i +3j− k vastaan.Ratkaisu:

u = 2i + 3j− k

v = v1i + v2j + v3k = 0

u ⊥ v⇔ u · v = 0⇔ 2v1 + 3v2 − v3 = 0⇔ v3 = 2v1 + 3v2

v = v1i + v2j + (2v1 + 3v2)k (?)

Lisäkysymys: Millaisen tason kaikki yhtälön (?) mukaiset vektorit muodostavat?

v =

t1︷︸︸︷v1 (

v1︷ ︸︸ ︷i + 2k) +

t2︷︸︸︷v2 (

v2︷ ︸︸ ︷j + 3k) +

r0︷︸︸︷0

Eli tämä on origon kautta kulkeva taso. Toisaalta myös kaikki muut tasot jotka ovatsamansuuntaisia tämän edellä mainitun tason kanssa kelpaisivat jos etsitään u:n kanssakohtisuoraa tasoa.

2.2 Suorat ja tasot vektorien avulla esitettynä

Perinteinen tapa esittää suora R2:ssa (xy-koordinaatistossa) on yhtälö y = kx+ c. Vektoreidenavulla esitettynä kaikkien suoran pisteiden paikkavektorit saadaan kun parametrin t ∈ R arvoavaihdetaan yhtälössä

r = (r0 + tv), (25)

missä r0 on suoran minkä tahansa pisteen paikkavektori ja v on suoran suuntainen vektori.Tämä esitystapa kelpaa suoralle sekä R2:ssa että R3:ssa ja yleisemminkin.

31

x

y

r0

tv

r

L

L ‖ v

Kuva 23: Suora vektorien avulla esitettynä.

Jos parametrin t arvot rajoitetaan välille [a, b] niin muodostuu jana. Mikäli suuntavektorinv pituus on 1, tällöin janan pituus on |b− a|.

Jos merkitään r = xi + yj + zk, r0 = x0i + y0j + z0k ja v = ai + bj + ck tarkastellaanyhtälössä (25) jokaista kolmea komponettia erikseen, saadaan suoran (skalaari) esitysmuoto

x = x0 + at

y = y0 + bt (−∞ < t <∞)

z = z0 + ct

(26)

Kahden geometrisen objektin välinen etäisyydellä tarkoitetaan niillä olevien kahden pisteenvälistä lyhintä etäisyyttä. Pisteen etäisyys suorasta voidaan laskea hyvin monella eri tavalla.Eräs tapa on käyttää n.k. ristitulon sisältävää kaavaa: Pisteen P0 etäisyys pisteen P1 kauttakulkevasta suorasta, joka on vektorin v suuntainen on

s =|(r0 − r1)× v|

|v|(27)

Kaavan tarvitsema ristitulo × esitellään hieman myöhemmin mutta käymme seuraavan tehtä-vän sisällä läpi periaatteen jolla saadaaan myös lähin piste, ei pelkästään etäisyyttä.Olkoon piste r1 suoralla L1 jonka suuntavektori on v1. Vastaavasti olkoon r2 suoralla L2 jonkasuuntavektori on v2. Suorien L1 ja L2 välinen (lyhin) etäisyys on

s =|(r2 − r1) · (v1 × v2)|

|v1 × v2|. (28)

Tämä kaava löytyy useimmista kaavakirjoista. Jälleen kaavan käyttö vaatisi mystisen ristitulonhallintaa. Eikä kaava anna edes tietoa siitä mitkä nuo lähimmät pisteet ovat. Kokeillaanpaseuraavan esimerkin ratkaisussa käyttää taas helppoa geometrista lähestymistapaa tähän.

32

x

y

z

v1v2

v1 × v2

L1

L2

s

Kuva 24: Suorien etäisyys

x

y

z

v1

v2

v1

v2

v1 × v2

Kuva 25: Ristitulo.

Esimerkki 2.4. Esitä suora y = 2x+ 3 vektoreiden avulla.

Ratkaisu:

33

x

y

−5 −3

3

A

B

y = 2x+ 3

r0 = 0i+ 3j

v

Kuva 26

A = (−5, 2 · (−5) + 3)

= (−5,−7)B = (−3, 2 · (−3) + 3)

= (−3,−3)

v =−→AB

= (−3− (−5))i + (−3− (−7))j= 2i + 4j

(Vaihtoehtoisesti suunta suoraan kulmakertoimesta i + 2j)Suoran erityismuoto vektorilla:

r = 0i + 3j + t(2i + 4j)

Esimerkki 2.5. Suora kulkee pisteiden (4, 5, 1) ja (2, 0, 7) kautta. Mikä on tämänsuoran yhtälö?

Esimerkki 2.6. Määrittele suora joka kulkee x−akselin suuntaisesti ja kulkee pisteen(3, 1, 2) kautta. Määrittele myös edellä mainitulta suoralta jana jonka pituus on 5 jakeskipiste (3, 1, 2).Ratkaisu:Pyydetyn suoran suuntavektoriksi kelpaa esim.

v = 1 · i + 0 · j + 0 · k = i

34

Tällöin pisteen (3, 1, 2) kulkeva vektori on muotoa

r = r0 + tv, missä r0 = 3i + j + 2k ja t ∈ R

Jana on tällöin muotoar = r0 + tv − 2, 5 ≤ t ≤ 2, 5

Esimerkki 2.7. Muodosta suoran normaali esitysmuoto eliminoimalla esitysmuodosta(26) parametri t.Ratkaisu: Jos a 6= 0, b 6= 0 ja c 6= 0, voidaan t ratkaista kaikista yhtälöistä, jolloinsaadaan standardimuoto:

x− x0a

=y − y0b

=z − z0c

(29)

Jos jokin v:n komponenteista häviää niin voidaan t toki yhä eliminoida, esim. jos c = 0niin

x− x0a

=y − y0b

, z = z0. (30)

Esimerkki 2.8. Määritä suora joka kulkee pisteen P = (3, 3, 2) kautta ja leikkaa x-akselin pisteessä x = (0, 2, 0), i) vektorimuodossa, ii) skalaarimuodossa, iii) normaali-muodossa.Ratkaisu:i) Suora siis kulkee pisteiden (3, 3, 2) ja (2, 0, 0) kautta. Vektoriksi r0 kelpaa hyvin

r0 = 2i + 0j + 0k

ja suuntavektoriksiv = (3− 2)i + (3− 0)j + (2− 0)k

elir = r0 + tv t ∈ R

ii) x = 2 + t

y = 0 + 3t

z = 0 + 2t

iii)x− 3

1=y − 3

3=z − 2

2

Esimerkki 2.9. Etsi pistettä (4,−2) lähin piste suoralta y = 2x+ 1.Ratkaisu:

35

(4,−2)P0

P1

P2

x

y

y = 2x+ 1

v

v2

Kuva 27

Suora vektorimuodossa

P1 + tv = (0, 1)︸ ︷︷ ︸P1

+t (1, 2)︸ ︷︷ ︸v=suuntavektori

v = (1, 2)⇒⊥ vektori joko (−2, 1) tai (2,−1) = v2

kysytty piste = P2 = P1 + t1v

tällöin pisteiden P0 ja P2 välinen vektori voidaan ilmaistakahdella tapaa, joillain parametrien t1 ja t2 arvoilla:

P0P2 = t2v2

⇒P1 + t1v − P0 = t2(2,−1)⇒(0, 1) + t1(1, 2)− (4,−2) = t2(2,−1)

⇒

0 + 11 − 4 = 2t21 + 2t1 + 2 = −t2

⇒t1 − 2t2 = 42t1 + t2 = −3

⇒ · · · ⇒t1 = −2

5

t2 − 115

⇒P2 = (0, 1) +

(−2

5

)(1, 2) =

(−2

5,1

5

)etäisyys =

∣∣∣∣−11

5(1, 2)

∣∣∣∣ =√

112

52(12 + 22) =

√112

5=

11√5≈ 4.9193 . . .

Esimerkki 2.10. Oletetaan että kaksi maanalaista tunnelia kulkevat suorien L1 jaL2 suuntaisesti. Olkoon nämä suorat määrittelevät paikka- ja suuntavektorit r1 =1i + 0j + 1k, v1 = 1i + 1j + 1k, r2 = 0i + 0j + 2k, r2 = 2i + 0j + 0k. Mitkä ovat netunnelien pisteet jotka ovat toisiaan lähimpänä.Ratkaisu:

36

suora 1: (1, 0, 1) + v1(1, 1, 1)suora 2: (0, 0, 2) + v2(2, 0, 0)

x

y

z

P1

P2

v1

v2

v3

L1

L2

s

Kuva 28

Lähimmän kohdan yhdistävä vektori (suora) on kohtisuorassa molempia suoria vas-taan (yksikäsitteinen!)Kyseessä oleva vektori saadaan suuntavektorien v1 ja v2 ristitulosta

→ v1 × v2 =

i j k1 1 12 0 0

= (0, 2,−2) = v3 (= 2j− 2k)

P1 = (1, 0, 1) + t1(1, 1, 1)P2 = (0, 0, 2) + t2(2, 0, 0)

kysytyt pisteet

Vektori pisteiden P1 ja P2 välillä voidaan ilmaista kahdella tapaa:

P1P2 = P2 − P1 = t3v3

⇒ (0, 0, 2) + t2(2, 0, 0)− (1, 0, 1)− t1(1, 1, 1) = t3(0, 2, 2)

⇒

0 + 2t2 − 1− 1t1 = 0t30 + 0t2 − 0− t12 + 0t2 − 1− t1 = −2t3

⇒

−t1 − 2t2 = 1−t1 − 2t3 = 0−t1 + 2t3 = −1

⇒ · · · ⇒

t1 =

12

t2 =34

t3 = −14

P1 = (1, 0, 1) +1

2(1, 1, 1) =

(3

2,1

2,3

2

)

P2 = (0, 0, 2) +3

4(2, 0, 0) =

(3

2, 0, 2

)etäisyys:

∣∣∣∣−1

4· (0, 2,−2)

∣∣∣∣ =√

1

16· (22 + 22) =

√8

16=

1√2

37

2.2.1 Tasot

Olkoon jälleen P0 = (x0, y0, z0) R3:n piste, jonka paikkavektori on r0 = x0i + y0j + z0k. Josn = Ai+Bj+Ck on nollasta poikkeava vektori, on olemassa täsmälleen yksi taso, joka kulkeepisteen P0 kautta ja on n:ää vastaan kohtisuora. Tällöin n on tason normaalivektori.

Jos P = (x, y, z) on mielivaltainen piste tasossa, jonka paikkavektori on r, tason yhtälövektorimuodossa on

n · (r− r0) = 0. (31)

Taso siis muodostuu kaikista niistä pisteistä joiden paikkavektori r toteuttaa edellisen yhtälön.Mitähän e.m. yhtälö muuten mahtaa geometrisesti merkitä?

x

y

z

P0

P

O

n

r− r0

r

r0

Kuva 29: Taso ja sen normaalivektori

Jos edellisessä yhtälössä pistetulo lasketaan auki niin saadaan tason yhtälö normaalimuo-dossa:

A(x− x0) +B(y − y0) + C(z − z0) = 0 (32)

Taso voidaan myös esittää parametrisessa muodossa (kahden parametrin avulla) kun annetaantason suunnan määrittävät suuntavektorit v1 ja v2 sekä yksi piste r0 tasolta:

r = r0 + t1v1 + t2v2 (33)

, missä t1, t2 ∈ RPisteen etäisyydelle tasosta on suoria kaavoja: Olkoon P0 mikä tahansa tason piste. PisteenP = (x1, y1, z1) etäisyys tasosta Ax+By + Cz +D = 0:

s =

∣∣∣∣∣−−→PP0 · n|n|

∣∣∣∣∣ = |(r0 − r) · n||n|

=|r0 · n− r · n|

|n|(34)

Koordinaattien (x1, y1, z1) avulla lausuttuna

s =|Ax1 +By1 + Cz1 +D|√

A2 +B2 + C2. (35)

38

x

y

z

P0

P

O

n

r− r0

rr0

s

Kuva 30: Pisteen etäisyys tasosta

Jälleen kerran nämä kaavat epäonnistuvat vastaamaan yksinkertaiseen kysymykseen: mikäon pistettä P lähin piste? Mietitään tähänkin ratkaisumallia esimerkki tehtävien yhteydessä.

Esimerkki 2.11. Kävellään pitkin pisteen (1, 2, 1) kautta kulkevaa tasoa jonka nor-maalivektori on (2, 1, 2). Ajatellaan z-koordinaattia korkeutena. Kuinka paljon liiku-taan ylöspäin (tai alaspäin) aina kun

a) x-suunnassa liikutaan yksi yksikkö ja y-suunnassa nolla yksikköä.b) y-suunnassa liikutaan yksi yksikkö ja x-suunnassa nolla yksikköäc) sekä x että y-suunnassa liikutaan yksi askel

Ratkaisu:a)

x0 = 1 y0 = 2 z0 = 1

(2, 1, 2) = 2i + j + 2k

eliA = 2 B = 1 C = 2(

Kaavassa A(x− x0) +B(y − y0) + C(z − z0) = 0)

A(x− x0) +B(y − y0) + C(z − z0) = 0

C(z − z0) = −A(x− x0)−B(y − y0)

z =−A(x− x0)−B(y − y0)

C+ z0

Kuvitellaan, että lähdetään pisteestä (a, b, c) joka on tasolla ja liikutaan pisteeseen(a+ 1, b+ 0, d). Tällöin kiinnostava asia on mitä d− c. Nyt

d =−A(a+ 1− xo)−B(b+ 0− yo)

C+ zo

39

ja

c =−A(a− xo)− b(b− yo)

C+ z0

Tällöind− c = −A

C· 1 =

−22· 1 = −1.

Siis tipumme yhden askeleen alaspäin.

Esimerkki 2.12. Oletetaan että kolmiulotteisessa avaruudessa pystytään liikkumaanaina vain vektoreiden v1 = i + 2j + 3k ja v2 = 4i + 5j + 6k suuntiin. Oletetaan lähde-tään liikkumaan pisteestä (−1, 0, 1). Esitä parametrisessa muodossa kaikki mahdollisetpisteet joihin päästään liikkumaan.

Esimerkki 2.13. Mikä on pisteen P = (2,−1, 3) etäisyys tasosta, jonka yhtälö on2x− 2y − z = 9? Mikä on tämä kyseinen piste johon matka on lyhin?Ratkaisu:

40

y

z

x

P = (2,−1, 3)

P0

P2

A

B

n

Kuva 31

tason normaalivektori:n = (2,−2,−1) (x:n, y:n ja z:n kertoimet)P0 on jokin tason piste. Valitaan vaikka x = 1, y = 1 ⇒ 2 · 1 − 2 · 1 − z = 9 ⇒ z =−9⇒ P0 = (1, 1,−9)jotta saadaan vektori P0P2, tarvitaan 2 vektoria tasolta→ tarvitaan pari pistettä lisää,vaikka:

A : x = 1, y = −1⇒ 2 · 1− 2(−1)− z = 9⇒ z = −5B : x = 2, y = −2⇒ 2 · 2− 2(−2)− z = 9⇒ z = −1

41

tällöin vektorit AB ja AP0 ovat tasolla

←−AB = (1,−1,−5)− (2,−2,−1) = (−1, 1,−4) = BA

AP0 = (1, 1,−9)− (1,−1,−5) = (0, 2,−4) = AP0

tällöin P2 = (1, 1,−9)︸ ︷︷ ︸P0

+t1 (−1, 1,−4)︸ ︷︷ ︸BA

+t2 (0, 2,−4)︸ ︷︷ ︸AP0

jolloin on olemassa yksikäsitteiset t1, t2, t3 siten että

P2P = t3n⇒ P − P2 = t3n→ saadaan kolmen yhtälön ryhmä, josta

t1 = −7

3

t2 = −1

2

t3 = −2

3

⇒ P2 = (1, 1,−9)− 7

3(−1, 1,−4)− 1

2(0, 2,−4)

=

(10

3,−7

3,7

3

)kysytty etäisyys: =| P2 − P |= . . . = 2

2.3 Vaihtoehtoisia ilmaisutapoja vektoreille

Rakkaalla lapsella on monta nimeä ja vektoreitakin voidaan merkitä monella eri tavalla. Esi-merkiksi R3:ssa olemme käyttäneet yksikkövektoreita i, j ja k vektoreita käsiteltäessä. Näidenlisäksi yleisesti käytetään ainakin kaarisulkuja ja hakasulkuja joiden väliin vain ladotaan edel-lämainittujen yksikkövektoreiden kertoimet. Nämä kertoimetkin voidaan latoa joko peräkkäintai päälleekkäin, pilkuilla erotettuna tai ilman pilkkuja, tilanteesta riippuen. Siis alla olevatmerkinnät voitaisiin tulkita samaksi vektoriksi R3:ssa

2i + 3j− k,[2 3 −1

],[2, 3, −1

],

23−1

, (2 3 −1

),(2, 3, −1

),

23−1

Samanlaisia merkintöjä voidaan käyttää myös Rn:ssä. Jollei asiayhteydestä homma selviä

niin joillaikin merkinnöillä tietysti R2:ssa on mahdollisuus sekoittaa lukujoukko ja vektori kes-kenään. Ja toiseksi viimeisintä merkintätapaahan käytetään myös avaruuden pisteiden merkit-semiseen, mutta tässä ei suurta vaaraa ole koska pistettä voidaan oleellisesti ajatella (paik-ka)vektorina.

2.4 Usean muuttujan reaaliarvoiset funktiot

Kappaleessa 1.2. esitettiin yleinen funktion määritelmä ja sitä sovellettiin yhden reaalimuut-tujan reaaliarvoisten funktioden kanssa. Tässä kappaleessa käsitellään usean reaalimuuttujanreaaliarvoisia funktioita. Esimerkiksi f(x, y, z) = x2y + cos(zx) on kolmen muuttujan funktioreaaliarvoinen funktio.

42

Usean muuttujan funktion argumenttia voidaan ajatella myös avaruuden Rn pisteenä tai vekto-rina (ja puhua vektorimuuttujan funktiosta). Esimerkiksi jos x = (x1, x2) niin g(x) = g(x1, x2) =x21e

x2 on kahden reaalimuuttujan reaaliarvoinen funktio. Edelliset funktiot olivat sillä tavallayksinkertaisia että ne olivat kaikkialla määriteltyjä ja arvojoukotkin on helppo nähdä: f :R3 → R, R(f) =]−∞,∞[, g : R2 → R ja R(g) = [0,∞[.

Suurimman mahdollisen määrittelyjoukon etsiminen usean muuttujan funktioille ei periaattees-sa ole sen vaikeampaa kuin yhden muuttujan funktoillekkaan: mietitään vain milloin laskutoi-mitukset ovat sallittuja. Sensijaan määrittelyjoukon hahmottelu voi olla haastavaa.Arvojoukon määrittäminen usean muuttujan funktioilla on yleisesti hyvinkin vaikea ongelma,laskettiin sitten käsin tai tietokoneella. Edellisen esimerkin funktioiden arvojoukot lienevät vieläpääteltävissä, mutta entäpä esim. funktion f(x, y) = cos(xy) + x3 − y2 kun D(f) = (x, y) ∈R2 | x2 + y2 < 1)? Arvojoukko jää ehkä päättelemättä/käsin laskematta.Kuten yhdenkin muuttujan funktioiden tapauksessa niin myös usean muuttujan funktioidenkäyttäytymistä voidaan arvioida funktion kuvaajaa tarkastelemalla. Ainakin jos muuttujia eiole kauhean paljoa.

• Kahden muuttujan funktion f(x, y) kuvaajaa voidaan ajatella pintana kolmiulotteisessaavaruudessa: Jos koordinaattiakselit ovat x, y ja z niin merkitään z = f(x, y). Esimerkiksifunktion f(x, y) =

√1− x2 − y2 kuvaaja on yksikköpallon xy-tason yläpuoleinen osa.

• Kolmen muuttujan funktion kuvaajaa voi ajatella vaikka ”animaationa” jossa yhtä muut-tujaa ajatellaan vaikkapa aikana. Tällöin pinta muuttuisi ajansuhteen. Esim. funktionf(x, y, t) =

√(1 + cos(t))− x2 − y2 kuvaajaa voisi demonstroida xy-tason yläpuoleisena

osana pallosta jonka säde ensin pienenee, sitten suurenee, sitten pienenee jne.

Myös tasa-arvo käyriä voidaan käyttää kuvaajien hahmottelussa. Kahden muuttujan funktiollef(x, y) tasa-arvo käyrät ovat sellaisia xy-tason käyriä joissa funktio saa aina saman arvon.Jos funktion arvoa ajattelee korkeuskoordinaattina ja kuvaajaa pintana niin tasa-arvokäyrätovat samassa roolissa kuin suunnistuskartassa näkyvät käyrät ovat maaston korkeudelle. Elijos muuttujien arvoja vaihdellaan vain niin että pysytään tasa-arvokäyrällä niin kuvaajalla eiliikuta ylös- eikä alaspäin.Injektiivisyys, surjektiivisuus ja bijektiivisyys määritellään usean muuttujan funktioille aivansamoin kuin yhden muuttujan funktioille. Nämä eivät kuitenkaan ole kovin mielenkiintoisiakäsitteitä jos funktion maalijoukko on R sillä tällöin injektiiviset funktiot ovat aika harvassajolleivat määrittelyjoukot ole hyvin rajoittuneita (oleellisesti yksiulotteisina ajateltavia).

Esimerkki 2.14. Etsi ja hahmottele suurin mahdollinen määrittelyjoukkko funktioillef(x, y) = 1

x−2y +√−x2 − y + 5 ja f(x, y, z) =

√x2 + y2 + z2 − 1 + ln(x+ y).

Ratkaisu:

f(x, y) =1

x− 2y+√−x2 − y + 5

D(f) = (x, y) ∈ R2 | x− 2y 6= 0,−x2 − y + 5 ≥ 0

43

x

y

−√5

√5

ei kelpaa

y = 12x

Kuva 32

f(x, y, z) =√x2 + y2 + z2 − 1 + ln(x+ y)

D(f) = (x, y, z) ∈ R2 | x2 + y2 + z2 − 1 ≥ 0, x+ y ≥ 0

x

y

z

y = −x

Kuva 33

44

Esimerkki 2.15. Funktion f(x, y) = 2y+x2 tasa-arvokäyrät ovat muotoa 2y+x2 = Celi alaspäin aukeavia paraabeleja. Kun tässä lukua C kasvatetaan niin funktion arvokasvaa ja samalla nämä paraabelit siirtyvät ylospäin. Tästä voimmekin nähdä että kunotetaan yksi askel y-suunnassa niin kuvaaja nousee kaksi askelta korkeammalle. Toisiinsuuntiin kuvaajan muutosten tarkka hahmottaminen ei olekkaan niin helppoa.Ratkaisu:

C = 2y + x2

y = −x2

2+−C

2f(x, y) = 2y + x2

12

x

y

y = −x2

2

y = −x2

2 + 12

y = −x2

2 + 1

y = −x2

2 + 32

C = 0

C = 1

C = 2

C = 3

Kuva 34

2.5 Vektoriarvoiset funktiot

Aikaisemmin funktioidemme maalijoukko on ollut aina R tai sen osajoukko. Vektoriarvoisistafunktioista puhuttaessa ajattelemme että maalijoukko voi olla myös useampiulotteinen avaruus.Esim. f(x) =

[x2, x3

]on funktio f : R→ R2 ja f(x) =

[x2,

√x,√1− x

]on funktio f :

[0, 1] → R3. Edellisten esimerkkien kaltaisten yhden muuttujan vektoriarvoisten funktioidenkuvaajat voidaan ajatella käyrinä maaliavaruudessa: kyseinen käyrä muodostuu niistä kaikistapisteistä joita funktio arvokseen saa kun sen (ainut) muuttuja saa kaikki arvonsa.

Usein tälläisen funktion muuttujaa t voidaan ajatella aikana ja funktion arvo f(t) kertoomissä pisteessä ollaan tänä ajanhetkenä.

45

Yleisimmillään tällä kurssilla funktion määrittelyjoukko on Rn (tai sen osajoukko) ja maalijouk-ko on Rm. Tälläisiä funktioita syntyy esimerkiksi kun sähköisten piirien toimintaa mallintaessa:

- Funktion f muuttujina olisi esimerkiksi jännitelähteiden (n kappaletta) jännitteet vektorissaU ja funktion arvona vektori I joka sisältää piirissä kulkevien meitä kiinnostavien virtojen ar-voja (m kappaletta). Eli f(U) = I.-Jos funktio olisi surjektio (maalijoukkona Rm) niin jännitteet sopivasti valitsemalla saataisiinvarmasti aikaiseksi mitkä tahansa virrat.- Pystyttäisiinkö jännitteet selvittämään mitatuista virroista yksikäsitteisesti riippuisi varmaansiitä mitä virtoja on mitattu. Jos tälläinen funktio olisi injektio niin mitatuista virroista voisipäätellä kaikki jännitteet käyttämällä käänteisfunktiota f−1(I) = U.

Surjektiivisuus ja injektiivisyyskäsitteet ovat siin tietysti aivan samat kuin aikaisemmin yhdenmuuttujan reaaliarvoisia funktioita käsitellessä. Käytännössä tällä kurssilla käsittelemme vek-torimuuttujan vektoriarvoisista funktioista puhuttaessa vain n.k. lineaarisia funktioita, jotkaesitellään myöhemmissä kappaleissa.

Esimerkki 2.16. Hahmottele funktioiden f(x) =[x2, 2x

]ja g(t) =

[2t, t+ 1, 2

]kuvaajia.Ratkaisu:

f(x) = [x2, 2x]

f(0) = [0, 0]

f(1) = [1, 2]

f

(1

2

)=

[1

4, 1

]f(2) = [4, 4]

f(3) = [9, 6]

46

x = 0

x = 1

x = 2

x = −1

x = −2

Kuva 35

g(t) = [2t, t+ 1, 2]

= [2t, t, 0t] + [0, 1, 2]

= t [2, 1, 0]︸ ︷︷ ︸v

+ [0, 1, 2]︸ ︷︷ ︸r0

Suora jonka suuntavektori v ja kulkee pisteen (0, 1, 2) kautta.

47

y

(0, 1, 2)

x

z

r0

r0

r0

−v

v

g(t)

Kuva 36

3 MatriisitMatriisilla tarkoitetaan luku– tai funktiojoukkoa, joka on järjestetty hakasulkujen (tai kaa-risulkujen) ympäröimäksi suorakulmaiseksi taulukoksi. Näitä lukuja tai funktioita kutsutaanmatriisin alkioiksi tai elementeiksi. Esimerkkejä matriiseista:[

4 28 −111 0.27 0

],

[47

],

[a1 a2 a3

],

[ex sinxe2x x2

](36)

Ja sitten tuhannen taalan kysymys: Mihin matriiseja tarvitaan? Vastaus tähän on: Matriisitovat monesti kätevä apuväline tiedon kompaktiin ja tehokkaaseen esittämiseen, analysointiin jamuokkaukseen. Erityisesti lineaariset yhtälöryhmät, esim.

5x− 2y + z = 0

3x+ 4z = 0(37)

on kätevää esittää kerroinmatriisin

A =

[5 −2 13 0 4

](38)

avulla. Esimerkkejä matriisien sovellusalueilta ovat mm.:

• sähkö–, tie– ym. verkostojen mallintaminen

• säätötekniikka

• kemialliset reaktiot

• tilastollisen tiedon analysointi

• mekaniikka

• tietokonegrafiikka

48

3.1 Matriiseihin liittyvät peruskäsitteet

Termillä rivi viitataan lyhyesti matriisin vaakariviin ja termillä sarake matriisin pystyriviin.Yleensä matriisia merkitään isolla kirjaimella (A, B, C jne.) tai kirjoittamalla yleinen matrii-sielementti haka- tai kaarisulkuihin: A = [ajk]. Ensimmäinen indeksi ilmoittaa rivin ja toinensarakkeen, josta kyseinen elementti löytyy.

A = [ajk] =

a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n...

... · · · ...am1 am2 · · · amn

(39)

Matriisi, jossa on m riviä ja n saraketta on m× n–matriisi. Mikäli matriiisin A elementit ovatreaalilukuja niin voidaan merkitä A ∈ Rm×n. Tärkeitä erikoistapauksia:

• Jos m = n, on kyseessä n × n– neliömatriisi. Neliömatriisin diagonaali, jolla ovat alkiota11, a22, . . . , ann on matriisin päälävistäjä.

• Jos m = 1 ja n > 1 kutsutaan matriisia yleensä rivivektoriksi tai vaakavektoriksi jamerkintänä käytetään yleensä ison kirjaimen sijasta pientä kirjainta, esim. v = [2 4 1].

• Jos n = 1 ja m > 1 kutsutaan matriisia yleensä sarakevektoriksi tai pystyvektoriksi ja

merkintänä käytetään yleensä ison kirjaimen sijasta pientä kirjainta, esim b =

[b1b2

]Matriisien yhtäsuuruus: Matriisit A ja B ovat yhtäsuuria, ts. A = B, jos niiden kaikki alkiotovat yhtäsuuria, eli ajk = bjk kaikilla j:n ja k:n arvoilla.Vektorin a transpoosi aT saadaan vaihtamalla pystyvektori vaakavektoriksi tai päinvastoin. Vas-taavasti matriisin A transpoosi AT saadaan vaihtamalla matriisin rivit ja sarakkeet keskenään:

AT = [akj] =

a11 a21 · · · am1

a12 a22 · · · am2...

... . . . ...a1n a2n · · · amn

(40)

Jos AT = A, matriisi A on symmetrinen. Symmetriset matriisit ovat varsin yleisiä sovelluksissa.Jos AT = −A, matriisi A on vinosymmetrinen (skew–symmetric).

Matriisin A ∈ Rm×n alimatriisi (tai osamatriisi, engl. submatrix) saadaan jättämällä A:starivejä ja/tai sarakkeita pois. Esim. 2× 3–matriisin

A =

[a11 a12 a13a21 a22 a23

](41)

2× 2–alimatriisit ovat [a11 a12a21 a22

],

[a11 a13a21 a23

]ja

[a12 a13a22 a23

](42)

Yo. matriisilla A on myös kaksi 1× 3–, kolme 2× 1–, kuusi 1× 2 ja kuusi 1× 1–alimatriisia.

Pienemmistä matriiseja (erityisesti vektoreita) yhdistetään usein myös suuremmiksi matriiseiksiesim. vaakavektoreista

ai =[ai1 ai2 · · · ain

], i = 1, . . . ,m (43)

49

voidaan koota m× n matriisi

A =

a1

a2...

am

(44)

Samoin esim. pystyvektoreista

bi =[b1i b2i · · · bni

]T, i = 1, . . . ,m (45)

voidaan koota n× x matriisiB =

[b1, b2, . . . ,bm

](46)

Esitysmuodossa (46) jätetään pilkut usein myös merkitsemättä tai sitten vektorit bi erotellaanväli- tai katkoviivalla.

Neliömatriisi, jonka päälävistäjän yläpuolella olevat alkiot ovat nollia, on alakolmiomatriisi.Esim. 1 0 0

−2 3 05 0 2

(47)

Neliömatriisi, jonka päälävistäjän alapuolella olevat alkiot ovat nollia, on yläkolmiomatriisi.1 6 −10 3 20 0 2

(48)

Molemmissa tapauksessa päälävistäjän alkiot voivat olla tai olla olematta nollia.

Neliömatriisi A = [ajk], jonka päälävistäjän ylä– ja alapuoliset alkiot ovat nollia, ts. ajk = 0,kun j 6= k, on diagonaalimatriisi.

Diagonaalimatriisi, jonka päälävistäjän alkiot ovat kaikki ykkösiä, on identtinen matriisi eliyksikkömatriisi, merkitään In tai I. Esim. 3× 3–yksikkömatriisi:

I =

1 0 00 1 00 0 1

(49)

3.2 Matriisien laskutoimitukset

3.2.1 Matriisien yhteenlasku ja kertominen skalaarilla

• Yhteenlasku: Jos A = [ajk] ja B = [bjk], niin

A+ B = [ajk + bjk] (50)

• Skalaarilla kertominen: Olkoon A = [ajk] m× n–matriisi ja c skalaari (yleensä reaali- taikompleksiluku). Tällöin

cA = [cajk] (51)

50

Kuten yleensäkin, luvulla −1 kertominen voidaan esittää lyhyesti: (−1)A = −A ja yleisemmin(−k)A = −kA. Negatiivisten skalaarien avulla matriisien vähennyslasku tulee määriteltyä myösluonnollisella tavalla: A+ (−B) = A− B. erotus).

Nollamatriisi: m×n–matriisi on m×n–nollamatriisi, jos kaikki sen elementit ovat nollia, mer-kitään 0 (tai 0, jos ei ole vaaraa sekoittaa nollamatriisia reaalilukuun). Toisinsanoen A = B josja vain jos A− B on nollamatriisi.

Edellisistä määritelmistä seuraa selvästi mm. seuraavat reaaliluvuille ja vektoreillekin päte-vät tutut ominaisuudet:

A+ B = B + A (52)

(U + V) +W = U+ (V +W) (53)

A+ 0 = A (54)

A+ (−A) = 0 (55)

c(A + B) = cA+ cB (56)

(c+ k)A = cA+ kA (57)

c(kA) = (ck)A (58)

1A = A (59)

Huom. Matriisien on oltava samankokoisia, jotta yhteenlasku olisi määritelty.

Selvästi pätee myös että(A + B)T = AT + BT (60)

(cA)T = cAT (61)

Esimerkki 3.1. Olkoon

A =

[1 3 2−1 2 −3

], B =

[0 4 0−1 2 1

]. (62)

Laske 4A, A+ B, 2B− 2A, AT+BT, A−BT, tai perustele miksi lasku ei ole määritelty.Määritä a siten että a2A+ 2aA+A = 0Ratkaisu:

2B− 2A =?

= (B− A)2

=

[0− 1 4− 3 0− 2

−1− (−1) 2− 2 1− (−1)

]· 2

=

[−1 1 −20 0 4

]· 2

=

[−2 2 −40 0 8

]

51

a =? kun a2A+ 2aA+A = 0

eli A(a2 + 2a+ 1) = 0

⇒ a2 + 2a+ 1 = 0

(a+ 1)2 = 0

a = −1

A− BT =

[1 3 2−1 2 −3

]−

0 −14 20 1

=

1− 0 3− (−1) 2−?−1− 4 2− 4 −3−??− 0 ?− 1 ?−?

→ Matriisit ovat erikokoiset ja erimuotoiset, joten ei voida summata tai vähentää

toisistaan.

3.2.2 Matriisien kertolasku

Tähän loppuikin sitten samankaltaisuus matriisien ja reaalinumeroiden välisten operaatioidenvälillä, matriisin kertolasku määritellään seuraavasti:

m × n–matriisin A = [ajk] ja r × p–matriisin B = [bjk] tulo C = AB on määritelty jos javain jos r = n (B:n rivien määrä = A:n sarakkeiden määrä) ja määritellään m × p–matriisinaC = [cjk], jonka elementit ovat

cjk =n∑l=1

ajlblk = aj1b1k + aj2b2k + · · ·+ ajnbnk (63)

Huom. Vaikka olisi AB = 0, niin välttämättä ei ole A = 0, B = 0 tai BA = 0. Esim.[1 12 2

] [−1 11 −1

]vs.

[−1 11 −1

] [1 12 2

](64)

Yleisessä tapauksessa siis AB 6= BA, esim.[9 3−2 0

] [1 −42 5

]vs.

[1 −42 5

] [9 3−2 0

](65)

Intuitiivisesti selvempiä matriisitulon ominaisuuksia ovat:

(kA)B = (kAB) = A(kB) (66)

A(BC) = (AB)C (67)

(A + B)C = AC + BC (68)

C(A + B) = CA + CB (69)

Vähemmän intuitiivinen taasen on ominaisuus

(AB)T = BTAT (70)

52

Matriisien tulon määritelmästä seuraa: Jos a ja b ovat n:n alkion pystyvektoreita, aT on vaa-kavektori ja vektorien kertolaskun tulos on 1× 1–matriisi, ts. reaaliluku. Tätä lukua kutsutaanvektorien a ja b sisätuloksi tai pistetuloksi, merkitään a · b:

a · b = aTb = [a1 · · · an]

b1...bn

=n∑l=1

albl = a1b1 + · · ·+ anbn. (71)

Esimerkki 3.2.A =

[1 3 2−1 2 −3

], B =

[0 4 0−1 2 1

]. (72)

Laske AB, BA, ATB, ABT, ATBT ja BTAT tai perustele miksi kertolasku ei ole mää-ritelty.Ratkaisu:

ABT =

[1 3 2−1 2 −3

] 0 −14 20 1

=

[1 · 0 + 3 · 4 + 2 · 0 1 · (−1) + 3 · 2 + 2 · 1

−1 · 0 + 2 · 4 + (−3) · 0 −1 · (−1) + 2 · 2 + (−3) · 1

]=

[12 178 2

]

BA =

[0 4 0−1 2 1

] [1 3 2−1 2 −3

]=

[0 · 1 + 4 · (−1) + 0·? . . .

... . . .

]

→ Ei määritelty!

Esimerkki 3.3. Jos A on 4 × 5 matriisi ja B on 3 × 4 matriisi niin minkä kokoisiatäytyy matriisien C ja D olla jotta lauseke AC+DB olisi määritelty?

3.3 Lineaariset yhtälöryhmät

Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x1, · · · , xn on joukko yhtälöitä,jotka ovat muotoa

a11x1 + · · ·+ a1nxn = b1

a21x1 + · · ·+ a2nxn = b2

· · ·am1x1 + · · ·+ amnxn = bm

(73)

Esim. kahden yhtälön ja kolmen tuntemattoman yhtälöryhmä:5x1 + 2x2 − x3 = 4

x1 − 4x2 + 3x3 = 6(74)

53

Lukuja ajk kutsutaan ryhmän kertoimiksi.

• Jos kaikki luvut bi ovat nollia, kyseessä on homogeeninen yhtälöryhmä.

• Jos ainakin yksi bi on nollasta poikkeava, on kyseessä epähomogeeninen ryhmä.

Yhtälöryhmän ratkaisu on lukujoukko x1, · · · , xn, joka toteuttaa kaikki m yhtälöä. Yhtälö-ryhmän ratkaisuvektori on vektori x, jonka komponentit muodostavat ryhmän ratkaisun. Josyhtälöryhmä on homogeeninen, on olemassa ainakin triviaaliratkaisu x1 = 0, · · · , xn = 0.

Erityisen kiinnostavia kysymyksiä

• Kuinka yhtälöryhmä ratkaistaan algoritmillisesti? (Muutama tapa esitetään tällä kurssil-la)

• Ratkaisujen määrä: Onko ratkaisua? Jos on, niin millaisia erilaista ratkaisua löytyy? (tä-män kurssin ydinainesta)

• Kuinka herkkä ratkaisu on matriisin lukujen aij tai bi muutoksille, eli tilanteelle jossa jokosysteemi muuttuu tai häiriöitä esiintyy? (käsitellään hieman myös tällä kurssilla)

Yhtälöryhmä (73) voidaan kirjoittaa matriisien avulla:

Ax = b , (75)

missä kerroinmatriisi A = [ajk] on m× n–matriisi

A =

a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n...

... · · · ...am1 am2 · · · amn

(76)

ja pystyvektorit

x =

x1...xn

b =

b1...bm

(77)

Matriisi

A =

a11 a12 · · · a1n b1a21 a22 · · · a2n b2...

... · · · ......

am1 am2 · · · amn bm

(78)

on yhtälöryhmän lisätty matriisi (augmented matrix). Matriisi A sisältää yhtälöryhmän kaik-ki annetut luvut ja määrittää siten yhtälöryhmän täydellisesti. Yhtälöryhmän ratkaisemiseksitarvitsee näin ollen tarkastella ainoastaan lisättyä matriisia. Käytännön resepti: Gaussin elimi-nointi.

Esimerkki 3.4. Kirjoita yhtälöryhmä5x1 + 2x2 − x3 = 4

x1 − 4x2 + 3x3 = 6(79)

54

matriisimuodossa ja esitä myös yhtälöryhmää kuvaava lisätty matriisi.Ratkaisu:Merkitään

A =

[5 2 −11 −4 3

]B =

[46

]

x =

x1x2x3

Ax = B

⇔[

5 · x1 + 2 · x2 − 1 · x31 · x1 + (−4) · x2 + 3 · x3

]=

[46

]⇔

5x1 + 2x2 − x3 = 4

x1 − 4x2 + 3x3 = 6

3.3.1 Gaussin eliminointi

Tässä kappaleessa esitetään eräs yksinkertainen algoritmi, Gaussin eliminaatio, lineaarisin yh-tälöryhmän ratkaisemiseksi. Tämä algoritmi ei ole erityisen tehokas (vaatii paljon laskutoimi-tuksia) mutta antaa tarkan ratkaisun ja on käyttökelpoinen pieniä yhtälöryhmiä käsin ratkais-taessa.

Yleisesti: yhtälöryhmän ratkaisut pysyvät samoina, jos tehdään perusoperaatiot yhtälöille:

• Yhtälöiden järjestys vaihdetaan (ei vaikuta ratkaisuihin)

• Yksi tai useampi yhtälö kerrotaan nollasta poikkeavalla vakiolla

• Yhtälö lisätään (puolittin) toiseen yhtälöön.

Gaussin eliminointi käyttää näitä operaatioita lineaariseen yhtälöryhmään. Jos yhtälöryhmäkuvataan lisätyn matriisin avulla niin operaatiot on nopeampi suorittaa koska xi symboleja jaylimääräisiä ”+” symboleja ei tarvitse kirjoittaa näkyviin. Vastaavat lineaarisenvyhtälöryhmänkäsittelyn perusoperaatiot lisätylle matriisille:

• Vaihdetaan kaksi riviä keskenään

• Yksi tai useampi rivi kerrotaan nollasta poikkeavalla vakiolla

• Lisätään vakiolla kerrottu rivi toiseen riviin

Gaussin eliminaation tarkoituksena on muokata yhtälöryhmän lisättymatriisi niinkutsut-tuun porrasmuotoon.

1. Vähennetään ylin rivi sopivalla kertoimella kerrottuna kaikista muista riveistä. Kerroinvalitaan aina siten että ensimmäisen sarakkeeseen tulee nolla. Tämän toimenpiteen jälkeenensimmäisessä sarakkeessa on ainoastaan ylimmällä rivillä nollasta poikkeava alkio.

2. Vähennetään toinen rivii sopivalla kertoimella kerrottuna kaikista alapuoleisista riveistä.Kerroin valitaan aina siten että kullakin rivillä toiseen sarakkeeseen (lävistäjän alapuo-lella) tulee nollia.

55

3. Jatketaan vastaavasti kunnes lävistäjän alapuolella on pelkkiä nollia.

4. Ratkaistaan alimmalta riviltä viimeisen muuttujan arvo ja sijoitetaan se toiseksi alimpaanyhtälöön (riviin).

5. Ratkaistaan toiseksi alimmalta riviltä (yhtälöstä) toiseksi viimeisen muuttujan arvo jasijoitetaan se kolmanneksi alimpaan yhtälöön (riviin). Jatketaan muuttujen ratkaisuatällä tavalla kunnes kaikki muuttujat on ratkaistu.

HUOM! Edellisessä algoritmissa voi tulla välillä vastaan tilanne jossa ei voida edetä koskalävistäjällä on jossain vaiheessa lukuarvo 0. Tällöin voidaan toimia seuraavasti:

a) Jos kyseisessä sarakkeessa on lävistäjän alapuolella vielä nollasta poikkeavia arvoja, vaih-detaan rivejä keskenään.

b) Jos lävistäjäalkio ja kaikki sen alapuolella ovat nollia niin siirrytään seuraavaan sarakkee-seen. Jotta tällöin algoritmissa voitaisiin puhua vielä lävistäjäalkioista, pitää ”unohtaa”matriisin ensimmäinen saraka (jota ei muutenkaan enää tarvita mihinkään) ennen vaihei-ta 4 ja 5. Tätä ”lävistäjäalkiota” kutsutaankin yleensä tukialkioksi”.

Huomionarvoista on myös että mikä tahansa rivi voidaan missä tahansa vaiheessa kertoa millätahasa nollasta poikkeavalla luvulla: näin kannattaa tehdä joskus esim. murtolukujen välttämi-seksi tai algoritmin numeerisen stabiilisuuden parantamiseksi (ei käsitellä tällä kurssilla).Edellistä algoritmia voidaan käyttää myös tapauksissa joissa muuttujia on enemmän kuin yh-tälöitä. Tässä tapauksessa (mikäli ratkaisua on ylipäätään olemassa) jotkut luvuista xj jäävätvarmasti vapaasti valittaviksi. Ratkaisuja voi siis olla äärettömän monta. Esimerkiksi kolmenmuuttujan (x1, x2 ja x3) tapauksessa voidaan sanoa että yhtälörymän ratkaisuiksi kelpaavat(x1, x2, x3) pisteet muodostavat jonkin seuraavista

a) tyhjän joukon (eli ei ole olemassa ratkaisua)

b) yksittäisen pisteen avaruudessa R3

c) suoran avaruudessa R3

d) tason avaruudessa R3 (melko harvinainen tapaus)

Kappaleen lopuksi esittelemme vielä hieman kehittyneen version edellä esitetystä algoritmis-ta: Gaussin-Jordan eliminaation. Tässä algoritmissa suoritetaan edellisen algoritmin vaiheen 3jälkeen seuraavat askeleet

1. ”nollataan” viimeisen ”ei nolla” rivin ensimmäisen nollasta poikkeavan alkion (n.k. tu-kialkion) yläpuolelta kaikki luvut lisäämällä kyseistä riviä yläpuoleisiin riveihin sopivillakertoimilla kerrottuna.

2. Siirrytään seuraavaksi ylimpään ”ei nolla” riviin ja toistetaan edellinen. Jatketaan niinkauan että kaikki rivit on käyty läpi.

Tällöion saatavassa porrasmatriisissa on yleensä huomattavasti enemmän nollia ja alkuperäi-sen algoritmin vaiheet 4 ja 5 on nopeampi suorittaa. Lisäksi usein Gaussin tai Gauss-Jordanineliminaatiossa muutetaan ensin arvoon 1 tukialkio, eli se lisättävän rivin alkio jonka alapuo-leisia alkioita viedään nollaksi. Tämä tapahtuu yksinkertaisesti kertomalla koko kyseinen rivisopivalla luvulla.

56

Esimerkki 3.5. Olkoon x ∈ R3 ja

A =

1 0 −4−2 0 3−1 2 1

(80)

a) Ratkaise Gaussin eliminoinnilla yhtälöryhmä Ax = 0.b) Etsi ne vektorit x ∈ R3 joille Ax = x.

Ratkaisu:a) 1 0 −4 0

−2 0 3 0−1 2 1 0

+2R1

+1 ·R1

∼

1 0 −4 00 0 −5 00 2 −3 0

R2 ↔ R3

∼

1 0 −4 00 2 −3 00 0 −5 0

·(−1

5

)∼

1 0 −4 00 2 −3 00 0 1 0

(?)

x =

x1x2x3

⇒ alin rivi: x3 = 0

2. rivi: 2x2 − 3 · x3 = 0

⇒ 2x2 − 3 · 0 = 0

⇒ x2 = 0

1. rivi: x1 + 0 · x2 − 4x3 = 0

⇒ x1 + 0 · 0− 4 · 0 = 0

⇒ x1 = 0

Tehdäämpä muodosta (?) Gauss-Jordan eliminaatio.1 0 −4 00 2 −3 00 0 1 0

+4R3

+3R3

∼

1 0 0 00 2 0 00 0 1 0

· (12

)

∼

1 0 0 00 1 0 00 0 1 0

57

x1 = 0

x2 = 0

x3 = 0

b)

Ax = x

⇔Ax− x = 0

⇔Ax− Ix = 0

⇔(A− I)x = 0

Esimerkki 3.6. Yhtälö 1 0 −4−2 0 3−1 2 1

x =

11a

(81)

kuvaa erästä prosessia jossa x on alkutuotteiden määrä ja oikean puolen vektori ilmai-seen haluttujen lopputuotteiden määrään. Millä parametrin a arvoilla yhtälöllä

a) on yksi ratkaisu?

a) ei ole yhtään ratkaisua?

c) on ääretön määrä ratkaisuja?

Ratkaisu: 1 0 −4−2 0 3−1 2 1

x =

11a

58

1 0 −4 1−2 0 3 1−1 2 1 a

+2R1

+R1

∼

1 0 −4 10 0 −5 30 2 −3 a+ 1

R2 ↔ R3

∼

1 0 −4 10 2 −3 a+ 10 0 −5 3

·(−1

5

)∼

1 0 −4 10 2 −3 a+ 10 0 1 −3

5

+4R3

+3R3

∼

1 0 0 1− 125

0 2 0 a+ 1− 95

0 0 1 −35

· (12

)

∼

1 0 0 1− 125

0 1 0 12a− 4

10

0 0 1 −35

x1 = −7

5

x2 =1

2a− 4

10

x1 = −3

5

a) Millä tahansa a:n arvolla tulee tasan yksi ratkaisu

Esimerkki 3.7. Tutkitaan yhtälöryhmää Ax = b. Yhtälöryhmää kuvaava lisätty mat-riisi A = [A b] voidaan Gaussin reduktiolla muokata porrasmatriisimuotoon. Merki-tään näin saatua porrasmatriisia symbolilla B. Tutkitaan viittä erilaista yhtälöryhmää :

(i) B =

[2 4 00 2 1

], (ii) B =

[2 4 00 0 1

](iii) B =

2 4 0 20 0 0 00 0 0 0

, (iv) B =

2 4 0 1 00 0 1 1 10 0 0 0 0

, (v) B =

2 4 0 1 10 0 1 1 00 0 0 2 40 0 0 0 0

Kussakin tapauksessa vastaa seuraaviin kysymyksiin:

a) Onko yksikään edellisessä kohdassa tutkituista yhtälörymistä homogeeninen? Jol-lei, niin kuinka matriisi B muuttuisi jos alkup yhtälöryhmä olisi homogeeninen(mutta A ei muuttuisi)?

b) Ratkaise matriisin B kuvaama yhtälöryhmä. Mikäli mahdollista, anna ratkaisumuodossa x = b + c1v1 + . . . ckvk, missä ci ∈ R (eli etsi vektorit b ja vi).

59

c) Tulkitse geometrisesti edelliset ratkaisut kohtien (i)-(iii) matriiseille.

d) Ratkaise vastaavat homogeeniset yhtälöryhmät. Tulkitse ratkaisut geometrisestikohdissa (i)-(iii).

Ratkaisu:b)

x =

[x1x2

]i)

[2 4 00 2 1

]Bx⇒

0 · x1 + 2x2 = 1⇒ x2 =1

2

2 · x1 + 4 · x2 = 0⇒ 2x1 + 4 · 12= 0

⇒ x1 = −1

eli x =

[−112

]︸ ︷︷ ︸

b

ii)

[2 4 00 0 1

]0 · x1 + 0x2 = 1⇒0 = 1

epätosi

⇒ Yhtälöryhmällä ei ole ratkaisua.

60

iii)

2 4 0 20 0 0 00 0 0 0

x =

x1x2x3

eli 2x1 + 4x2 + 0 · x3 = 2

⇒ 2x1 = 2− 4x2

⇒ x1 = 1− 2x2

⇒ x =

x1x2x3

=

1− 2x2x2x3

=

100

+

−2x21 · x20 · x2

+

0 · x30 · x31 · x3

=

100

︸ ︷︷ ︸

b

+x2

−210

︸ ︷︷ ︸

v1

+x3

100

︸ ︷︷ ︸

v2

x2, x3 ∈ R

iv)

2 4 0 1 00 0 1 1 10 0 0 0 0

x =

x1x2x3x4

1 · x3 + 1x4 = 1⇒ x3 = 1− x42x1 + 4x2 + 1 · x4 = 0

⇒ x1 = −2x2 −1

2x4

⇒ x =

−2x2 − 1

2x4

x21− x4x4

=

0010

︸ ︷︷ ︸

b

+x2

−2100

︸ ︷︷ ︸

v1

+x4

−1

2

0−11

︸ ︷︷ ︸

v2

x2, x4 ∈ R

61

v)

2 4 0 1 10 0 1 1 00 0 0 2 40 0 0 0 0

2x4 = 4⇒ x4 = 2

1 · x3 + 1 · x4 = 0

⇒ x3 + 2 = 0⇒ x3 = −22x1 + 4x2 + x4 = 1

⇒ 2x1 + 4x2 + 2 = 1

⇒ x1 = −1

2− 2x2

x =

x1x2x3x4

=

−1

2− 2x2x2−22

=

−1

2

0−22

+ x2

−2100

d) Vastaavissa homogeenisissä yhtälöryhmissä viimeisenä B-matriisin sarakkeena

on vain nollia ⇒ ainut muutos edellisiin laskuihin on että b = 0

⇒i)[x1x2

]=

[00

]ii)

[2 4 00 0 0

]eli 2x1 + 4x2 = 0

⇒ x1 = −2x2

x =

[x1x2

]=

[−2x2x2

]= x2

[−21

]

iii) x =

x1x2x3

= x2

−210

+ x3

001

iv) x = x2

−2100

+ x4

−1

2

0−11

v) x = x2

−2100

Esimerkki 3.8. Ratkaise Gauss-Jordan eliminaatiolla seuraavat yhtälöryhmät

(a)

−3x+ 2y − 6z = 6

5x+ 7y − 5z = 6

x+ 4y − 2z = 8

(b)

2x1 − x2 + 1x3 = 1

3x1 + 2x2 − 4x3 = 4

−6x1 + 3x2 − 3x3 = 2

62

Ratkaisu:a)

A =

−3 2 −65 7 −51 4 −2

b =

668

−3 2 −6 6

5 7 −5 61 4 −2 8

∼...∼ 1 0 0 −20 1 0 30 0 1 1

x = −2y = 3

z = 1

b)

2 −1 1 13 2 −4 4−6 3 −3 2

∼...∼ 1 0 −0.29 00 1 −1.57 10 0 0 1

alin rivi 0 = 1⇒ ei ratkaisua

Lisäkysymys: ratkaise vastaava homogeeninen yhtälöryhmä.b) kohdassa

63

... 1 0 −0.29 00 1 −1.57 00 0 0 0

x2 + (−1.57) · x3 = 0

⇒ x2 = 1.57x3

x1 − 0.29x3 = 0

⇒ x1 = 0.29x3

x =

x1x2x3

=

0.29x31.57x3x3

= x3

0.291.571

3.3.2 Lineaarinen riippumattomuus

Vektorien a1, · · · , am lineaarikombinaatio on muotoa

c1a1 + · · ·+ cmam, (82)

missä c1, · · · , cm ovat skalaareja (tässä tapauksessa reaalilukuja).

Vektorit a1, · · · , am ovat lineaarisesti riippumattomia, jos ja vain jos

c1a1 + c2a2 + · · ·+ cmam = 0⇔ c1 = c2 = · · · = cm = 0 (83)

Jos lineaarikombinaatio on nolla siten, että jokin kertoimista on nollasta poikkeava, vektoritovat lineaarisesti riippuvia. Tällöin ainakin jokin niistä voidaan ilmaista toisten lineaarikombi-naationa.

x

y

z

v2

v1

v3

−1, 5v2

0, 5v1

Kuva 37: Lineaarisesti riippuvat vektorit.

64

x

y

z

v2

v1

v3

1, 5v2

0, 5v1

Kuva 38: Lineaarisesti riippumattomat vektorit.

Matriisin A = [ajk] lineaarisesti riippumattomien rivien tai sarakkeiden maksimimäärä on mat-riisin A aste (rank), merkitään rankA.

Edellä esitetyssä matriisin asteen määritelmä pitää sisällään seuraavan tuloksen: matriisin A jasen transpoosin AT aste on sama. Tämä tulos ei ole millään muotoa triviaali ja useissa lähteissämatriisin asteen määritelmä pitääkin sisällään vain maininnan joko sarakkeesta tai rivistä, eimolemmista. On täysin sovelluskohtaista kiinnostaako matriisin lineaarisesti riippumattomienrivi- vai sarakevektorien määrä.Gaussin eliminaation yhteydessä esitetyt perusoperaatiot (rivien vaihto etc) eivät muuta matrii-sin astetta. Matriisin aste saadaankin siis eliminaation lopputuloksena saatavan porrasmatriisinei–nollarivien lukumääränä (osaatko perustella miksi?).

Suora seuraus lineaarisen riippumattomuuden käsitteestä on että kaikki vektorit v ∈ Rn voidaanesittää vektoreiden v1, . . . ,vm lineaarikombinaatioina jos ja vain jos vektoreiden v1, . . . ,vmjoukosta n kappaletta on lineaarisesti riippumattomia. Jos näin on, niin sanomme että vektoritv1, . . . ,vm virittävät avaruuden Rn.

Esimerkki 3.9. Tutki ovatko vektorit[1 0 −3

],[3 1 −4

]ja[−2 −1 1

]line-

aarisesti riiippumattomia.Ratkaisu:Merkitään

a1 =[1 0 −3

]a2 =

[3 1 −4

]a3 =

[−2 −1 1

]

65

Täytyy siis tutkia yhtälöryhmän c1a1 + c2a2 + c3a3 = 0 ratkaisuja

c1[1 0 −3

]+ c2

[3 1 −4

]+ c3

[−2 −1 1

]=[0 0 0

]=[c1 · 1 c1 · 0 c1 · (−3)

]+[c2 · 3 c2 · 1 c2 · (−4)

]+[c3 · (−2) c3 · (−1) c3 · (1)

]=[0 0 0

]=[c1 · 1 + c2 · 3 + c3 · (−2), c1 · 0 + c2 · 1 + c3 · (−1), c1 · (−3) + c2 · (−4) + c3 · 1

]=[0 0 0

]⇔

c1 + 3c2 − 2c3 = 0

c2 − c3 = 0

−3c1 − 4c2 + c3 = 0

1 3 −2 00 1 −1 0−3 −4 1 0

+3R1

∼

1 3 −2 00 1 −1 00 5 −5 0

−5R2

∼

1 3 −2 00 1 −1 00 0 0 0

−3R2

∼

1 0 1 00 1 −1 00 0 0 0

Tästä luettuna

c2 − c3 = 0⇔ c2 = c3

c1 + c3 = 0⇔ c1 = −c3

⇔

c1c2c3

=

−c3c3c3

= c3

−111

, c3 ∈ R

eli esim. c3 = 1 valinta kelpaa ⇒ kaikkien c arvojen ei tarvitse olla nollia ⇒ vektoritlineaarisesti riippuvia

3.3.3 Ratkaisujen yleisiä ominaisuuksia

Lineaarisella yhtälöryhmälläa11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn = b2

· · ·am1x1 + am2x2 + · · ·+ amnxn = bm

(84)

eli yhtälöryhmällä Ax = b

• on ratkaisuja jos ja vain jos r = rank(A) = rank(A)

• on täsmälleen yksi ratkaisu, jos r = n

• on ääretön määrä ratkaisuja, jos r < n

66

Homogeeniselle lineaariselle yhtälöryhmällea11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn = 0

a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn = 0

· · ·am1x1 + am2x2 + · · ·+ amnxn = 0

(85)

pätee:

• Triviaaliratkaisu x = 0 aina olemassa

• Ei–triviaaliratkaisuja olemassa jos ja vain jos r = rank(A) < n

• Jos r < n, triviaali– ja ei–triviaaliratkaisut yhdessä muodostavat ratkaisuavaruuden, jonkadimensio on n− r (ei päde epähomogeenisille yhtälöryhmille, osaatko sanoa miksi?)

• Ratkaisuavaruuden dimensio = A:n nulliteetti, merk. null(A). Pätee siis

rank(A) + null(A) = n (86)

Käytännössä null(A) on yhtälöryhmän ratkaisussa vapaiksi jäävien muuttujien lukumäärä (epä-homogeenisen yhtälöryhmän tapauksessa sillä oletuksella että ratkaisua on ylipäätään olemas-sa).

Esimerkki 3.10. Olkoon B matriisi joka saadaan kun matriisi A muokataan Gaussineliminaatiolla porrasmatriisimuotoon. Määritä rank(A) , null(A) sekä yhtälöryhmänAx = 0 ratkaisuavaruuden dimensio n (eli ratkaisussa vapaaksi jäävien muuttujienlukumäärä) kun

a) B =

2 4 0 10 0 1 10 0 0 2

, b) B =

2 4 0 1 10 0 1 1 00 0 0 2 40 0 0 0 0

, c) B =

2 40 00 0

, d) B =

2 4 00 0 10 0 00 0 0

.Ratkaisu:

rank(A) + null(A) = n

a)

rank(A) = 3

A ∈ R3×4

Ax oltava määritelty

⇒ x =

x1x2x3x4

(n = 4)

⇒ null(A) = 4− 3 = 1

b)

rank(A) = 3 n = 5

null(A) = 5− 3 = 2

67

c)

rank(A) = 1 n = 2

null(A) = 2− 1 = 1

d)

rank(A) = 2 n = 3

null(A) = 3− 2 = 1

Esimerkki 3.11. Olkoon B matriisi joka saadaan kun yhtälöryhmään Ax = b liittyvälisätty matriisi A = [A b] muokataan Gaussin eliminaatiolla porrasmatriisimuotoon.Määritä rank(A) , null(A) sekä yhtälöryhmän Ax = b ratkaisussa vapaaksi jäävienmuuttujien lukumäärä kun

a) B =

2 4 0 1 −10 0 1 1 10 0 0 2 0

, b) B =

2 4 0 1 1 00 0 1 1 0 −30 0 0 2 4 00 0 0 0 0 0

, c) B =

2 4 10 0 10 0 0

, d) B =

2 4 0 −10 0 1 −20 0 0 00 0 0 0

.Ratkaisu:a)

rank(A) = 3 n = 4

null(A) = 4− 3 = 1

(rank(A) = rank(A)⇒niin ratkaisuja on ja ratkaisuavaruuden dimensio 1)

b)

rank(A) = 3 n = 5

null(A) = 5− 3 = 2

(rank(A) = rank(A)⇒ ratkaisuja on ja ratkaisuavaruuden dimensio on 2)

c)

rank(A) = 1 n = 2

null(A) = 2− 1 = 1

(rank(A) = 1 6= rank(A) = 2⇒ ei ole lainkaan ratkaisuja)

68

d)

rank(A) = 2 n = 3

null(A) = 3− 2 = 1

(rank(A) = rank(A)⇒ ratkaisuavaruuden dimensio on 1)

3.4 Käänteismatriisi

Tarkastellaan neliömatriisejan× n–matriisin A = [ajk] käänteismatriisi A−1 on matriisi, jolle pätee

AA−1 = A−1A = I (87)

Käänteismatriisi voidaan määrittää esim. Gauss–Jordan –eliminoinnilla.

• Idea: muodostetaan lisätty matriisi A = [A I] ja saatetaan se Gauss-Jordan eliminoinnillamuotoon [I K], jossa tällöin K = A−1.

• Myöhemmin esitetään menetelmä, jolla käänteismatriisin voi määrittää determinanttienavulla

Epähomogeenisella yhtälöryhmällä ei välttämättä ole ratkaisua. Niinpä käänteismatriisia-kaan ei kaikille matriiseille voida määrittää. Jos A:lla on käänteismatriisi, kutsutaan matriisiaei–singulaariseksi, muussa tapauksessa se on singulaarinen.

x Ax

A

A−1

Kuva 39: Käänteismatriisi

Mihinkä käänteismatriisia sitten käytetään? Käänteismatriisin määritelmästä seuraa että joskäänteismatriisi A−1 on olemassa niin yhtälöryhmä Ax = b voidaan ratkaista kun yhtälö ker-rotaa puolittain käänteismatriisilla: A−1Ax = Ix = x, eli x = A−1b. Siis jos kerroinmatriisinkäänteismatriisi on valmiina, voidaan yhtälöryhmä ratkaista suoraan matriisin ja vektorin kerto-laskuna. Jokainen vektorin x arvo voidaan lisäksi laskea toisistaan riippumatta, jolloin laskentaon mahdollista toteuttaa tehokkaasti esim. rinnakkaislaskentaa hyväksi käyttäen.Muutamia käänteismatriisiin liittyviä ominaisuuksia:

69

• Käänteismatriisi on yksikäsitteinen.

• n× n–matriisilla A on käänteismatriisi jos ja vain jos rank A = n

• Käänteismatriisin käänteismatriisi: (A−1)−1 = A

• Tulon käänteismatriisi: (AC)−1 = C−1A−1

Edellisistä ominaisuuksista seuraa että A,B ja C ovat n× n–matriiseja, niin

• Jos rank A = n ja AB = AC, niin B = C

• Jos rank A = n, niin AB = 0⇒ B = 0

• Jos A on singulaarinen, niin ovat myös AB ja BA

Esimerkki 3.12. Olkoon A =

[3 1−2 4

]. Muotoile lineaarinen yhtälöryhmä joka rat-

kaisemalla saataisiin käänteismatriisi A−1.

Esimerkki 3.13. Määritä matriisille A =

1 −1 10 0 15 5 0

käänteismatriisi.

Ratkaisu:

1 −1 1 1 0 00 0 1 0 1 05 5 0 0 0 1

−5R1

∼

1 −1 1 1 0 00 0 1 0 1 00 10 −5 −5 0 1

l

∼

1 −1 1 1 0 00 10 −5 −5 0 10 0 1 0 1 0

−R3

+5R3

∼

1 −1 0 1 −1 00 10 −5 −5 0 10 0 1 0 1 0

+ 110R2

∼

1 0 0 12−1

2110

0 10 0 −5 5 10 0 1 0 1 0

· 110

∼

1 0 0 12−1

2110

0 1 0 −12

12

110

0 0 1 0 1 0

A−1 =

12−1

2110

−12

12

110

0 1 0

70

Esimerkki 3.14.

Ratkaise yhtälöryhmä Ax = b käänteismatriisin avulla kun A =

1 −1 10 0 15 5 0

ja b = 20−1

Ratkaisu:

Ax = b

(Esim. 3.13 ⇒ A−1 on olemassa)⇒ A−1A︸ ︷︷ ︸

I

x = A−1b

x = A−1b (A−1 laskettiin edellä)

=

12−1

2110

−12

12

110

0 1 0

20−1

=

910

−1110

0

Esimerkki 3.15. Oletetaan että A ja B ovat ei-singulaarisia 3×3 matriiseja ja x,y jab ovat 3×1 matriiseja (sarakevektoreita). a) Ratkaise x kun tiedetään että Ab+B(x−y) = b. b) Millä ehdolla yhtälöllä Ab+B(x− y) = x on i) yksikäsitteinen ratkaisu ii)ääretön määrä ratkaisuja?Ratkaisu:a)

Ab + B(x− y) = b

⇒ B(x− y) = b− Ab (·B−1)B−1B(x− y) = B−1(b− Ab)

I(x− y) = B−1(b− Ab)

x− y = B−1(b− Ab)

x = y + B−1(b− Ab)

b)

Ab + B(x− y) = x (?)Oletetaan, että x on se vektori joka tahdotaan ratkaista.

(?)⇒B(x− y)− x = −Ab

Bx− By − x = −Ab

Bx− By − Bx = −Ab

(B− I)︸ ︷︷ ︸C

x = −Ab + By︸ ︷︷ ︸d

Cx = −Ab + By

71

i) yhtälölle on yksikäsitteinen ratkaisu jos ja vain jos C−1 on olemassa. Ratkaisuolisi

C−1C︸ ︷︷ ︸I

x = C−1(−Ab + By)

x = C−1(−Ab + By)

ii) Mahdollisesti ääretön määrä ratkaisuja jos rank(C) < 3Ratkaisua ei ollenkaan jos rank(C) 6= rank([Cd])

c)

Ratkaise

AAx + y +ABx = 0

AAx +ABx = −y

(AA + AB)x = −y

A(A + B)x = −y | · A−1

A−1A︸ ︷︷ ︸I

(A + B)x = −A−1y

(A + B)x = −A−1y

Olkoon esim.

A =

1 0 11 1 10 0 1

B =

0 1 10 0 11 1 1

ja y =

301

⇒ A+ B =

1 1 11 1 21 1 2

= C

C−1 ei ole olemassa

− A−1y = y =

−34−1

Esimerkki 3.16. Eräs tyypillinen sovellus käänteismatriisille on pienimmän neliösum-man menetelmä jossa data-pisteisiin (xi, yi), i = 1, . . . , n yritetään sovittaa malliay = a1f1(x) + a2f2(x) + · · · + amfm(x) missä m ≤ n. Mikäli tällä ongelmalla on yksi-käsitteinen ratkaisu niin se voidaan muotoilla yhtälöryhmän ATAa = ATb ratkaisuna,missä matriisi A riippuu pisteistä xi ja funktioista fj ja vektori b riippuu yi pisteistä.Mitä tässä tapauksessa voidaan sanoa matriisin ATA asteesta? Muodosta matriisi Aja vektori b kun sovitettavana on lineaarinen malli y = a1x+ a2.

72

3.5 Determinantit

Determinantti on neliömatriiseihin liittyvä käsite. Determinanttia voidaan käyttää mm. kun rat-kaistaan yhtälöryhmiä, luokitella kriittisiä pisteitä, tutkitaan lineaarista riippuvuutta, määrite-tään käänteismatriisia, tehdään muuttujanvaihtoja, määritetään ristituloa jne. Determinantinsovelluskohteet ovat siis moninaiset, joskin ilman determinanttejakin voitaisiin pärjätä: deter-minantti on pohjimmiltaan laskusääntö jolla suhteellisen monimutkainen asia voidaan joskusesittää melko helposti muistettavasa ja toteutettavassa muodossa.

3.5.1 Determinantin määritelmä

Käsitellään siis n× n–matriiseja, merkitään

A =

a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n...

... · · · ...an1 an2 · · · ann

. (88)

Tapauksessa n = 2 determinantti määritellään kaavalla

detA =

∣∣∣∣a11 a12a21 a22

∣∣∣∣ = a11a22 − a12a21 (89)

Tämä 2× 2 matriisin determinantin laskukaava on peruskaava joka löytyy useimmista kaavas-toista. Myös 3 × 3 matriisin determinantin laskukaava löytyy usein jossain muodossa kaavas-toista, esim. seuraava muoto on hyvin yleisesti käytetty:∣∣∣∣∣∣

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣ = a11

∣∣∣∣a22 a23a32 a33

∣∣∣∣− a21 ∣∣∣∣a12 a13a32 a33

∣∣∣∣+ a31

∣∣∣∣a12 a13a22 a23

∣∣∣∣ (90)

Huom. merkit: + - + Yhtälön oikealla puolella olevat alideterminantit saadaan poistamallaD:stä ko. determinantin kerrointa vastaava rivi ja sarake, esim. a11:n tapauksessa ensimmäinenrivi ja sarake jne. Tämä on itseasiassa erikoistapaus rekursiokaavasta jolla suurempien matriisiendeterminantti on kätevää määritellä:∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a11 a12 a13 · · · a1na21 a22 a23 · · · a2n...a31 a32 a33 · · · ann

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ =n∑k=1

(−1)j+kajkMjk

missä alideterminantti Mjk on n − 1:en kertaluvun determinantti, joka saadaan poistamallamatriisista j:s rivi ja k:s sarake. Indeksi j voi siis viitata mihin tahansa riviin. Tällä tavallalaskettua determinanttia kutsutaan rivin suhteen auki kehitetyksi. Determinantti voidaan myöskehittää auki sarakkeen suhteen:∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a11 a12 a13 · · · a1na21 a22 a23 · · · a2n...a31 a32 a33 · · · ann

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ =n∑k=1

(−1)j+kajkMjk,

lopputulos on sama.Usein käytetään käsitettä liittotekijä (cofactor): ajk:n liittotekijä on Cjk = (−1)j+kMjk ja

determinantti liittotekijöiden avulla:

det(A) = aj1Cj1 + aj2Cj2 + · · ·+ ajnCjn = a1kC1k + a2kC2k + · · ·+ ankCnk (91)

73

Esimerkki 3.17. Määritä det(A) käyttämällä rekursiokaavaa kunA =

0 1 0 −1−1 0 0 22 1 3 00 4 0 2

.Ratkaisu:

det(A)

=

∣∣∣∣∣∣∣∣0 1 0 −1−1 0 0 22 1 3 00 4 0 2

∣∣∣∣∣∣∣∣=(−1)4+1 · 0 ·

∣∣∣∣∣∣1 0 −10 0 21 3 0

∣∣∣∣∣∣+ (−1)4+2 · 4 ·

∣∣∣∣∣∣0 0 −1−1 0 22 3 0

∣∣∣∣∣∣+ (−1)4+3 · 0 ·

∣∣∣∣∣∣0 1 −1−1 0 22 1 0

∣∣∣∣∣∣+ (−1)4+4 · 2 ·

∣∣∣∣∣∣0 1 0−1 0 02 1 3

∣∣∣∣∣∣=(−1)6︸ ︷︷ ︸

1

·4 ·

∣∣∣∣∣∣0 0 −1−1 0 22 3 0

∣∣∣∣∣∣+ (−1)8︸ ︷︷ ︸1

·2 ·

∣∣∣∣∣∣0 1 0−1 0 02 1 3

∣∣∣∣∣∣=4 ·

((−1)1+2 · 0

∣∣∣∣−1 22 0

∣∣∣∣+ (−1)2+2 · 0∣∣∣∣0 −12 0

∣∣∣∣+ (−1)3+2 · 3∣∣∣∣ 0 −1−1 2

∣∣∣∣)+ 2

((−1)1+1 · 0

∣∣∣∣0 01 3

∣∣∣∣+ (−1)1+2 · 1∣∣∣∣−1 02 3

∣∣∣∣+ (−1)1+3 · 0∣∣∣∣−1 02 1

∣∣∣∣)=4 · (−3)

∣∣∣∣ 0 −1−1 2

∣∣∣∣+ 2 · (−1)∣∣∣∣−1 02 3

∣∣∣∣=− 12 (0 · 2− (−1) · (−1))− 2 (−1 · 3− 2 · 0)=− 12 · (−1)− 2 · (−3)=18

3.5.2 Determinanttien perusominaisuuksia

Determinantilla on useita ominaisuuksia joista kaikki eivät ensisilmäyksellä ole välttämättäaivan itsestäänselviä listaamme näistä joitakin:

• Jos determinantin rivit ja sarakkeet vaihdetaan keskenään, determinantin arvo ei muutu.

• Jos determinantin jokin rivi tai sarake kerrotaan vakiolla k, determinantin arvo muuttuuk–kertaiseksi.

• Jos jonkin rivin tai sarakkeen kaikki alkiot ovat nollia, on determinantin arvo = 0.

• Jos determinantin kaksi riviä tai saraketta vaihdetaan keskenään, vaihtuu determinantinmerkki.

• Jos jokin rivi tai sarake saadaan toisesta vakiolla kertomalla, on determinantin arvo = 0.

• Jos jokin rivi tai sarake lisätään toiseen vakiolla kerrottuna, determinantin arvo ei muutu.

74

• n× n–matriiseille A ja B,

det(AB) = det(BA) = det(A)det(B) (92)

• Jos determinantin alkiot ovat funktioita, determinantin D derivaatta D′ on

D′ = D(1) +D(2) + · · ·D(n), (93)

missä D(j) saadaan derivoimalla j:nnen rivin alkiot.

• Transpoosin determinantti:detAT = detA (94)

• Käänteismatriisin determinantti:

detA−1 =1

detA(95)

• Neliömatriisin rivit (tai sarakkeet) ovat lineaarisesti riippumattomia jos ja vain jos mat-riisin determinantti ei ole nolla.

• Homogeenisen yhtälöryhmälle (jonka kerroinmatriisi on neliömatriisi) triviaaliratkaisu onainut ratkaisu jos ja vain jos kerroinmatriisin determinantti ei ole nolla.

Edellisiä ominaisuuksia käyttäen voidaan osoittaa että determinantin arvo voidaan laskeaviemällä matriisi porrasmuotoon Gaussin eliminaatiota käyttämällä ja sen jälkeen kertomalladiagonaalialkiot keskenään.

Esimerkki 3.18. Määritä det(A) käyttämällä Gaussin eliminaatiota kun

1 0 −1−1 1 02 1 3

.Ratkaisu:

∣∣∣∣∣∣1 0 −1−1 1 02 1 3

∣∣∣∣∣∣R2 +R1;R3 − 2R1

=

∣∣∣∣∣∣1 0 −10 1 −10 1 5

∣∣∣∣∣∣R3 −R1

=

∣∣∣∣∣∣1 0 −10 1 −10 0 6

∣∣∣∣∣∣−R1

=(−1)1+1︸ ︷︷ ︸1

·1 ·∣∣∣∣1 −10 6

∣∣∣∣=1 ·

(−1)1+1︸ ︷︷ ︸1

·1 ·∣∣6∣∣

=1 · 1· | 6 |=1 · 1 · 6 = 6

75

3.5.3 Cramerin sääntö

Cramerin säääntöä voidaan käyttää tietyissä tilanteissa raktaisemaan lineaarinen yhtälöryhmädeterminantteja hyväksi käyttäen: Jos n:n yhtälön ja n:n muuttujan yhtälöryhmällä

a11x1 + · · ·+ a1nxn = b1

a21x1 + · · ·+ a2nxn = b2

· · ·an1x1 + · · ·+ annxn = bn

(96)

on nollasta poikkeava kerroin matriisin determinantti, eli D = det(A) 6= 0, ryhmällä on täsmäl-leen yksi ratkaisu, joka saadaan kaavasta

x1 =D1

D, x2 =

D2

D, · · · , xn =

Dn

D, (97)

missä Dk on determinantti, joka saadaan D:stä korvaamalla k:s sarake alkioilla b1, · · · , bn.Cramerin säännön seurauksena saadaan kääteismatriisin laskemiselle determinanttien avullasääntö

A−1 =1

detA[Ajk]

T =1

detA

A11 A21 · · · An1A12 A22 · · · An2. . · · · .

A1n A2n · · · Ann,

(98)

missä Ajk on ajk:ta vastaava liittotekijä.Huom. Cramerin sääntö on joskus kätevä käsin laskettaessa ja sitä on helppo soveltaa vaik-

ka matriisi A sisältäisi parametreja (eli jotkut tai jopa kaikki alkiot olisivat tuntemattomia).Se ei myöskään sisällä jakolaskuja, mikä usein saattaa auttaa numeriikan kanssa. Myös teo-reettisia tuloksia johdettaessa, Cramerin sääntö voi yksinkertaistaa välivaiheita huomattavasti.Kuitenkin kun lasketaan kuinka monta laskutoimenpidettä joudutaan tekemään determinant-tien aukikehityksessä, huomataan tämän olevan niin suuri ettei tätä menetelmää kovin useinsovelleta käytännön sovelluksissa.

3.6 Ominaisarvot ja ominaisvektorit

Ominaisvektorit ja ominaisarvot ovat suuressa roolissa lineaaristen systeemien käyttäytymistätutkittaessa. Monet tärkeät matemaattiset apuneuvot (mm. diagonalisointi ja singulaariarvo-hajotelma) myös käyttävät ominaisarvoja ja vektoreita hyödykseen.

3.6.1 Määritelmä ja laskenta

Olkoon A = [ajk] n× n–matriisi. Tarkastellaan vektoriyhtälöä

Ax = λx, (99)

missä λ on luku. Sellaista λ:n arvoa, jolla yhtälöllä on ratkaisu x 6= 0, kutsutaan matriisin Aominaisarvoksi (eigenvalue). Vastaavasti ratkaisut x 6= 0 ovat A:n ominaisarvoa λ vastaaviaominaisvektoreita. Suoraan määritelmästä seuraa että jos x on matriisin A ominaisarvoa λ vas-taava ominaisvektori, niin on myös kx ∀ k 6= 0.

Ominaisarvojen joukko = A:n spektri (kirjallisuudessa usein puhutaan kuvauksen tai operaat-torin A spektristä).

76

Ominaisarvoon λ liittyvät ominaisvektorit yhdessä vektorin 0 kanssa muodostavat tähän omi-naisarvoon liittyvän A:n ominaisavaruuden.

Matriisin ominaisarvojen ja –vektorien määräämistä kutsutaan ominaisarvo–ongelmaksi (eigen-value problem).

Ominaisarvoyhtälö voidaan kirjoittaa muotoon

(A− λI)x = 0 (100)

Tällä yhtälöllä on nollasta poikkeavia ratkaisuja jos ja vain jos rank(A − λI) < n. Tämä taassattuu olemaan yhtäpitävä sen kanssa että

D(λ) = det(A− λI) =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11 − λ a12 · · · a1na21 a22 − λ · · · a2n...

... . . . ...an1 an2 · · · ann − λ

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0 (101)

Yo. yhtälö on matriisin A karakteristinen yhtälö, ja D(λ) karakteristinen determinantti. KunD(λ) kehitetään, saadaan λ:n shut-in n:nnen asteen polynomi, joka on matriisin A karakteris-tinen polynomi. Etsimällä tämän polynomin nollakohdat siis löydetään ominaisarvot. Ominai-sarvoja tosin etsitään tällä tavoin vain pienille matriiseille ja lähinnä käsin laskettaessa.

Edellisestä nähdään suoraan että n× n–matriisilla on siis vähintään yksi ominaisarvo ja enin-tään n erilaista ominaisarvoa (siis jos myös polynomien kompleksijuuret sallittaisiin). Kuinkamonta erilaista (lineaarisesti riippumatonta) ominaisvektoria sitten kuhunkin ominaisarvoonliittyy? Tätä ei voi suoraan ominaisarvon perusteella täsmällisesti ennustaa sen paremmin kuinettä yksi niitä vähintään on. Etsimällä annetulle ominaisarvolle yhtälöryhmän Ax = λx yleinenratkaisu, saamme sitten kaikki ominaisarvot ja tässä ratkaisussa vapaaksi jäävien muuttujienlkm. lineaarisesti riippumattomien ominaisvektorien määrä.

Jos ajatellaan matriisia A lineaarimuunnoksena, ominaisvektorit ovat niitä vektoreita jotka säi-lyttävät suuntansa tässä kuvauksessa. Näissä tapauksissa kuvaus on siis vain tietyn skalaarinsanelema pituuden skaalaus, ja tämä skalaari on kyseistä ominaisvektoria vastaava ominaisarvo.

Käsin laskien ominaisarvot laskettava ensin, sen jälkeen voidaan laskea ominaisvektorit esim.Gaussin eliminoinnilla. Suurille matriiseille ominaisarvot (ja ominaisvektorit) lasketaan yleensätietokoneella.Jos matriisin A ominaisarvo λ on karakteristisen yhtälön Mλ:nnen kertaluvun juuri, Mλ on λ:nalgebrallinen kertaluku (algebraic multiplicity).

Ominaisarvoon λ liittyvien lineaarisesti riippumattomien ominaisvektorien lukumäärä mλ onλ:n geometrinen kertaluku (geometric multiplicity).Huom. matriisilla ei välttämättä ole reaalisia ominaisarvoja. Kompleksilukuja käyttäen löytäi-simme kuitenkin ominaisarvoja ja ominaisvektoreita mutta näitä tarvitsemme vasta kurssilla”BM20A5830 Differentiaaliyhtälöiden peruskurssi”, joten emme käsittele niitä tällä kurssilla.

Esimerkki 3.19. Määritä matriisin C =

1 0 03 0 11 1 0

ominaisarvot sekä niiden algebraa-

linen että geometrinen monikerta. Määritä myös näihin ominaisarvoihin liittyvät omi-naisvektorit.

77

Esimerkki 3.20. Onko matriisilla[0 1−1 0

]reaalisia ominaisarvoja?.

3.6.2 Ristitulo R3:ssa

R3:n vektorien u ja v ristitulo u× v on vektori, joka toteuttaa ehdot

• (u× v) · u = 0 ja (u× v) · v = 0

• |u× v| = |u||v| sin θ, missä θ on vektorien u ja v välinen kulma

• u, v ja u× v muodostavat oikeakätisen järjestelmän.

Ehdoista voidaan johtaa ristitulolle suora laskentakaava: Olkoon u = u1i + u2j + u3k ja v =v1i + v2j + v3k. Tällöin

u× v = (u2v3 − u3v2)i + (u3v1 − u1v3)j + (u1v2 − u2v1)k (102)

HUOM! Ristitulolle ei päde aivan samat säännöt kuin tavalliselle reaalilukujen kertolaskulletai vektoreiden pistetulolle, mm. u× v = −v × u.

Edellä mainittuja poikkeuksia lukuunottamatta ristitulolla on joukko samanlaisia ominai-suuksia kuin tavallisella tulolla

Ristitulon geometrisia ominaisuuksia:

• Vektorien u ja v virittämän nelikulmion pinta–ala on |u×v|. Vastaavasti kolmion pinta–ala on |u×v|

2.

• Jos vektorit u, v ja w ovat särmiön sivuja, särmiön tilavuus on V = |u · (v × w)|.Lauseketta u · (v ×w) kutsutaan skalaarikolmituloksi.

• Skalaarikolmitulolle pätee

u · (v ×w) = v · (w × u) = w · (u× v) (103)

Ristitulon sovelluksia:

• Pisteessä r olevan kappaleen, joka pyörii kulmanopeudella Ω origon suhteen, nopeus v =Ω× r.

• Planeetan, jonka massa on m kulmaliikemäärä sen kiertäessä auringon ympäri nopeudellav on h = r×mv, missä r on planeetan paikkavektori suhteessa aurinkoon, joka on origossa.

• Hiukkanen, jonka varaus on q, kulkee magneettikentässä, jonka magneettivuon tiheys onB, nopeudella v. Kentän hiukkaseen kohdistama voima on F = qv ×B.

• Voiman F pisteeseen P (paikkavektori r) kohdistama vääntömomentti pisteen P0 (paik-kavektori r0) suhteen on

T =−−→P0P × F = (r− r0)× F (104)

Ristitulo on kätevä määritellä determinantin avulla:

u× v =

∣∣∣∣∣∣i j ku1 u2 u3v1 v2 v3

∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣u2 u3v2 v3

∣∣∣∣ i− ∣∣∣∣u1 u3v1 v3

∣∣∣∣ j + ∣∣∣∣u1 u2v1 v2

∣∣∣∣k (105)

78