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MATEMÁTICAS ACADÉMICAS - 4º ESO Profesor: Alejandro Vigil

BLOQUE IV. FUNCIONES

UD10-11-12. FUNCIONES: LÍMITES E INICIACIÓN A LA DERIVADA

ÍNDICE CONCEPTUAL

10-11-12.1 FUNCIONES 10-11-12.1.1 DEFINICIÓN DE FUNCIÓN 10-11-12.1.2 TIPOS DE FUNCIONES 10-11-12.2 LÍMITE DE UNA FUNCIÓN 10-11-12.2.1 LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO 10-11-12.2.2 LÍMITES LATERALES 10-11-12.2.3 LÍMITES DETERMINADOS 10-11-12.2.4 INDETERMINACIONES 10-11-12.3 INICIACIÓN A LA DERIVADA 10-11-12.3.1 DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO 10-11-12.3.2 FUNCIÓN DERIVADA 10-11-12.3.3 REGLAS DE DERIVACIÓN: TABLA DE FUNCIONES ELEMENTALES

10-11-12.3.4 REGLAS DE DERIVACIÓN: TABLA DE OPERACIONES DE FUNCIONES 10-11-12.3.5 INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA

10-11-12.4 ESTUDIO COMPLETO DE FUNCIONES 10-11-12.4.1 DOMINIO 10-11-12.4.2 ASÍNTOTAS 10-11-12.4.3 SIMETRÍA 10-11-12.4.4 PUNTOS DE CORTE CON LOS EJES 10-11-12.4.5 MONOTONÍA: PUNTOS SINGULARES 10-11-12.4.6 CURVATURA: PUNTOS DE INFLEXIÓN 10-11-12.5 FUNCIONES ELEMENTALES

10-11-12.5.1 FUNCIONES POLINÓMICAS 10-11-12.5.2 FUNCIONES POLINÓMICAS DE PRIMER GRADO 10-11-12.5.3 FUNCIONES POLINÓMICAS POTENCIALES 10-11-12.5.4 FUNCIONES CUADRÁTICAS

10-11-12.5.5 FUNCIONES RACIONALES 10-11-12.5.6 HIPÉRBOLAS

10-11-12.5.7 FUNCIONES IRRACIONALES 10-11-12.5.8 FUNCIONES EXPONENCIALES 10-11-12.5.9 FUNCIONES LOGARÍTMICAS

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CRITERIOS DE EVALUACIÓN

1.- Analizar información proporcionada a partir de tablas, ecuaciones y gráficas que representen relaciones funcionales asociadas a situaciones reales obteniendo información sobre su comportamiento, evolución y posibles resultados finales. 2.- Identificar relaciones cuantitativas en una situación, determinar el tipo de función que puede representarlas, y aproximar e interpretar la tasa de variación media a partir de una gráfica, de datos numéricos o mediante el estudio de los coeficientes de la expresión algebraica. 3.- Estudiar las características principales de una función a través de su expresión algebraica o su representación gráfica. 4.- Transcribir una información a su expresión funcional y extraer conclusiones a partir del análisis matemático de sus propiedades. 5.- Construir la gráfica de funciones a partir del estudio de su dominio, asíntotas, simetría, puntos de corte, puntos singulares, monotonía, curvatura y puntos de inflexión. 6.- Elaborar y presentar informes sobre el proceso, resultados y conclusiones obtenidas en los procesos de investigación. 7.- Emplear las herramientas tecnológicas adecuadas, de forma autónoma, para resolver ecuaciones y resolución de problemas, así como utilizarlas de modo habitual en el proceso de aprendizaje.

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UD10-11-12. FUNCIONES:

LÍMITES E INICIACIÓN A LA DERIVADA

10-11-12.1 FUNCIONES 10-11-12.1.1 DEFINICIÓN DE FUNCIÓN Una función es una relación entre dos variables de forma que a cada valor de la variable independiente x , le corresponde

un único valor de la variable dependiente y

Las funciones se representan en unos ejes coordenados, donde los puntos del gráfico ),( yx son los valores de las

variables.

Ejemplos: 133 xxy es una función, ya que a cada x le corresponde un único valor de y

2522 yx no es una función, ya que a cada x le corresponde dos valores de y

10-11-12.1.2 TIPOS DE FUNCIONES

Las funciones reales de variable real ℝ, se clasifican en:

)2()(:

)23()(:

2)(:

2)(:

9

23)(:

723)(:

1

2

2

3

xsenxfricasTrigonomét

xoglxfasLogarítmic

xflesExponencia

tesTrascenden

xxfesIrracional

x

xxfRacionales

xxxfsPolinómica

gebraicasAl

Funciones

x

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10-11-12.2 LÍMITE DE UNA FUNCIÓN 10-11-12.2.1 LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO

El límite de una función )(xf en el punto 0x es L :

Lxflímxx

)(0

si, a medida que x se acerca a 0x los valores de )(xf se acercan a L tanto como se desee.

Ejemplo: Si 4)()(2

2

xflímxxfx

10-11-12.2.2 LÍMITES LATERALES El límite de una función existe, si existen los límites laterales y coinciden con el límite, es decir:

LxflímxflímLxflímxxxxxx

)()()(000

Ejemplo: Calcular )(3

xflímx

siendo

382

35)(

2

xsix

xsixxf

Como la función en 3x cambia habrá que ver los límites laterales:

)()(

286)82()(

459)5()(

33

33

2

33 xflímxflímxlímxflím

xlímxflím

xx

xx

xx

)(3

xflímx

Observación: 4)(1

xflímx

y 12)(10

xflímx

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10-11-12.2.3 LÍMITES DETERMINADOS Para el cálculo de límites sustituiremos el valor al que tiende la variable independiente en el límite y en ocasiones obtendremos un valor concreto (determinado) y en otras no (indeterminado).

Ejemplo 1: Calcular 32

2

xlím

x

732322

2

xlím

x

Ejemplo 2: Calcular 2

12

1

x

xlímx

3

1

21

1)1(·2

2

12

1

x

xlímx

Ejemplo 3: Calcular 2

12

2

x

xlímx

0

5

22

12·2

2

12

2

x

xlímx

Indeterminación

10-11-12.2.4 INDETERMINACIONES Al calcular límites pueden aparecer indeterminaciones que se resolverán según su tipo.

INDETERMINACIÓN TIPO 0

k

Esta indeterminación se resuelve calculando los límites laterales, en caso de existir los únicos resultados podrán ser

Ejemplo 1: Calcular 2

3 )3( x

xlímx

00

3

)3(2

3

k

x

xlímx

Indeterminación

23

1,32

3

9,22

3

)3(

)3(

)3(

x

xlím

x

xlím

x

xlím

x

x

x