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Bisectrices de un triángulo
Las bisectrices de un triángulo son las rectas que
dividen a cada ángulo, de los ángulos del triángulo,
en dos ángulos iguales.
IncentroEl incentro es el punto de corte de las tres bisectrices.
El incentro se expresa con la letra I.
El incentro es el centro de una circunferencia
inscrita en el triángulo.
Ejercicio
Hallar las ecuaciones de las
bisectrices y el incentro del
triángulo de vértices: A(2, 0), B(0, 1)
y C(-3, -2).
En primer lugar hallamos las
ecuaciones de los lados del
triángulo.
Cálculo de la bisectriz que pasa por A.
Cálculo de la bisectriz que pasa por B.
Cálculo de la bisectriz que pasa por C.
Incentro
El Incentro es el punto de corte de las tres bisectrices interiores. Para calcularlo, se resuelve el sistema formado por dos de las ecuaciones.
Área de la circunferencia inscrita
El incentro es centro de la
circunferencia inscrita en el
triángulo, es decir, tangente a los
tres lados del triángulo. Por tanto el
radio es la distancia del incentro a
cualquier lado.
Mediatrices de un triángulo
Las mediatrices de un triángulo son las rectas
perpendiculares trazadas por los puntos medios de sus lados.
Circuncentro
El circuncentro es el punto de corte de las tres mediatrices .
El circuncentro se expresa con la letra O.
El circuncentro es el centro de una circunferencia circunscrita al triángulo .
Ejercicio
Hallar las ecuaciones de las mediatrices y el circuncentro del
triángulo de vértices: A(2, 0), B(0, 1) y C(-3, -2).
Ecuación de la mediatriz que pasa por el punto medio de BC
En primer lugar hallamos el punto medio de BC
Hallamos la pendiente de la perpendicular al lado BC.
Aplicamos la ecuación punto-pendiente
Ecuación de la mediatriz que pasa por el punto medio de AC
Ecuación de la mediatriz que pasa por el punto medio de AB
Circuncentro
El circuncentro es el punto de corte de las tres mediatrices . Para
calcularlo, se resuelve el sistema formado por dos de las ecuaciones.
Área de la circunferencia circunscrita
El circuncentro es el centro de la de la circunferencia circunscrita ,
es decir, la que pasa por los tres vértices.
El radio de la circunferencia circunscrita es la distancia entre dos
puntos: el incentro y cualquier vértice del triángulo .
Los centros del triángulo: incentro, baricentro, circuncentro y ortocentroComenzamos la serie de artículos dedicados a los centros del triángulo con la
presentación de los que posiblemente sean los más conocidos para todos, ya
que se definen de manera muy sencilla y se estudian en niveles relativamente
bajos de nuestra vida académica. Vamos con ellos.
Incentro
El incentro es el centro de la circunferencia inscrita al triángulo, por lo
que la distancia a cada uno de sus lados es la misma (el radio de dicha
circunferencia). Más concretamente, es el punto de intersección de las
bisectrices de cada uno de los ángulos del triángulo (siendo
una bisectriz la recta que divide a un ángulo en dos ángulos iguales), por
lo que para representarlo gráficamente debemos dibujar las tres
bisectrices y localizar el punto de intersección de las mismas. En la
imagen siguiente podéis verlo:
Baricentro
El baricentro (también llamado centroide) de un triángulo es el punto de
intersección de las medianas de dicho triángulo (siendo una mediana el
segmento que une un vértice con el punto medio del lado opuesto). Por
ello, para representar gráficamente el baricentro debemos dibujar las tres
medianas y localizar el punto en el que se cortan. Esta figura muestra el
baricentro de un triángulo:
Circuncentro
El circuncentro de un triángulo es el centro de la circunferencia
circunscrita al triángulo, por lo que la distancia a cada uno de sus vértices
es la misma (el radio de dicha circunferencia). En concreto, es el punto de
intersección de las mediatrices del triángulo (siendo una mediatriz la recta
perpendicular a un lado que pasa por el punto medio del mismo). Por
tanto, para representar gráficamente el circuncentro dibujamos las tres
mediatrices y localizamos el punto de intersección de las mismas. Puede
verse el circuncentro de un triángulo en la siguiente imagen:
Ortocentro
El ortocentro de un triángulo es el punto de intersección de las tres
alturas del triángulo (siendo una altura el segmento que parte de un
vértice y es perpendicular al lado opuesto a dicho vértice). Entonces para
representar gráficamente el ortocentro de un triángulo dibujamos las tres
alturas y nos quedamos con el punto en el que se intersecan. En esta
figura puede verse el ortocentro de un triángulo:
En la entrada de presentación de esta serie de artículos comenté que
intentaría en la medida de lo posible ilustrar cada uno de ellos con algo
de GeoGebra. Como lo prometido es deuda, ahí va un applet de GeoGebra en
el que se aparecen los cuatro puntos descritos. En él podéis ver cada uno de
ellos por separado o varios de ellos a la vez y jugar con el tamaño y la forma
del triángulo moviendo los vértices del mismo, además de una sorpresa:
Alturas de un triángulo
Las alturas de un triángulo son las rectas perpendiculares
trazadas desde un vértice al lado opuesto (o su prolongación) .
Ortocentro
El ortocentro es el punto de
corte de las tres alturas .
El ortocentro se expresa con
la letra H.
Recta de Euler
El
ortocentro ,
el baricentro y
el circuncentro de
un triángulo no
equilátero están
alineados , es decir,
pertenecen a una
misma recta,
llamada recta de
Euler.
Ejercicio
Hallar las ecuaciones de las alturas y elortocentro del triángulo de
vértices: A(2, 0), B(0, 1) y C(-3, -2).
Ecuación de la altura que pasa por el vétice A
Hallamos la pendiente de la perpendicular al lado BC.
Aplicamos la ecuación punto-pendiente
Ecuación de la altura que pasa por el vétice B
Ecuación de la altura que pasa por el vétice C
Ortocentro
El ortocentro es el punto de corte de las tres alturas . Para
calcularlo, se resuelve el sistema formado por dos de las ecuaciones.
Euler
Alturas de un triángulo
Altura es cada una de las rectas perpendiculares trazadas
desde un vértice al lado opuesto (o su prolongación) .
Ortocentro
Es el punto de corte
de las tres alturas.
Medianas de un triángulo
Mediana es cada una de las rectas que une el punto medio de
un lado con el vértice opuesto.
Baricentro
Es el
punto de
corte de
las tres
medianas.
El baricentro divide a cada mediana en dos segmentos, el segmento que une
el baricentro con el vértice mide el doble que el segmento que une baricentro
con el punto medio del lado opuesto.
BG =
2GA
Mediatrices de un triángulo
Mediatriz es cada una de las rectas perpendiculares trazadas a un
lado por su punto medio.
Circuncentro
Es el
punto de
corte de
las tres
mediatric
es.
Es el
centro de
una
circunferen
cia
circunscrita
al
triángulo.
Bisectrices de un triángulo
Bisectriz es cada una de las rectas que divide a un ángulo en dos
ángulos iguales.
Incentro
Es el
punto de
corte de
las tres
bisetrices
.
Es el
centro de
una
circunferen
cia inscrita
en el
triángulo.
Recta de Euler
El ortocentro, el baricentro y el circuncentro de un triángulo
no equilátero están alineados; es decir; pertenecen a la misma
recta, llamada recta de Euler.
Rectas perpendiculares
Dos rectas son
perpendiculares si sus
vectores directores son
perpendiculares.
Si dos rectas son perpendiculares tienen sus pendientes
inversas y cambiadas de signo .
Ejemplos
Calcular una recta perpendicular a r ≡ x + 2 y + 3 = 0, que pase por
el punto A(3,5).
Hallar la ecuación de la recta perpendicular a r ≡ 3x - 2y - 1 = 0, que
pasa por el punto A(-2, -3).
Sean las rectas r ≡ 3x + 5y - 13 = 0 y s ≡ 4x - 3y + 2 = 0. Determinar
la ecuación de la recta que pasa por el punto de intersección de ellas y
es perpendicular a la recta t ≡ 5x - 8y + 12 = 0
Calcula k para que las rectas r ≡ x + 2y - 3 = 0 y s ≡ x - ky + 4 = 0,
sean perpendiculares .
