Wilcoxon Signed-Rank Test Single-Sample (Ade Heryana, SST, MKM) April 16, 2017

1

BINOMIAL SIGN TEST FOR A SINGLE-SAMPLE

(Uji Tanda Binomial untuk Satu Sampel) Oleh: Ade Heryana, SST, MKM

Prodi Kesehatan Masyarakat, FIKES Univ. Esa Unggul

PENDAHULUAN

Uji Binomial Sign Single-sample atau uji “Tanda Binomial Satu Sampel” adalah

salah satu uji statistik non-parametrik yang digunakan untuk menguji hipotesis pada

populasi yang terdiri dari dua kategori data, yaitu menguji apakah proporsi sampel

pada satu dari dua kategori sama dengan nilai yang ditentukan.

Karakteristik dari uji tanda-binomial satu sampel adalah:

1. Berdasarkan distribusi binomial merupakan salah satu distribusi probilitas pada

data yang bersifat diskret yaitu distribusi yang nilai-nilai variabelnya terbatas.

Dalam distribusi normal, setiap n observasi yang bersifat independen dilakukan

secara acak pada sebuah populasi, dan setiap obervasi tersebut dikelompokkan ke

dalam satu dan dua kategori yang bersifat mutually exclusive (yakni hasil dari

observasi yang satu tidak dipengaruhi oleh observasi yang lain). Dalam populasi

yang berdistribusi binomial, kemungkinan sebuah observasi akan masuk dalam

kategori 1 sama dengan 𝜋1 dan kemungkinan sebuah observasi akan masuk dalam

kategori 2 sama dengan 𝜋2. Sehingga 𝜋1 + 𝜋2 = 1 atau 𝜋2 = 1 − 𝜋1. Rata-rata ()

dan standar deviasi () variabel yang terdistribusi normal adalah:

𝜇 = 𝑛𝜋1 Persamaan (1)

𝜎 = √𝑛𝜋1𝜋2 Persamaan (2)

Ada tiga kemungkinan bentuk dari distribusi binomial yaitu:

a. Simetris, jika 𝜋1 = 𝜋2 = 0,5

b. Menceng positif ke arah mendekati nol, jika 𝜋1 < 0,5

c. Menceng negatif ke arah mendekati satu, jika 𝜋1 > 0,5

2. Menggunakan distribusi binomial untuk menentukan kemungkinan bahwa x atau

lebih (atau x atau kurang) dari n observasi memiliki sampel yang masuk dalam satu

dari dua kategori.

Wilcoxon Signed-Rank Test Single-Sample (Ade Heryana, SST, MKM) April 16, 2017

2

3. Uji hipotesisnya dapat dinyatakan sebagai berikut: berdasarkan populasi yang

direpresentasikan oleh sampel, apakah terdapat perbedaan antara frekuensi

observasi pada dua kategori dengan frekuensi yang diharapkan?

4. Umumnya dipakai pada sampel dalam jumlah kecil. Bila sampel yang dipakai

berjumlah besar, maka perhitungan memerlukan bantuan aplikasi pengolah data

komputer.

CONTOH SOAL-11

Sebuah eksperimen dilakukan untuk menentukan apakah sebuah koin (yang memiliki

sisi “kepala” dan “ekor”) tidak simetris sehingga memiliki kesalahan hitung atau tidak.

Koin diputar sebanyak sepuluh kali dan menghasilkan 8 kepala dan 2 ekor. Apakah

hasil eksperimen tersebut menunjukkan bahwa koin memiliki kesalahan pengukuran?

CONTOH SOAL-22

Sepuluh wanita dikumpulkan untuk mencoba apakah dua merk obat gosok salisil yang

akan diluncurkan memiliki rasa panas atau tidak. Delapan wanita menunjukkan obat

gosok salisil merk A panas, sedangkan dua wanita menyatakan yang panas adalah

merk B. Apakah terhadap perbedaan yang signifikan terhadap jawaban sepuluh wanita

tersebut?

JAWABAN

Pada prinsipnya kedua soalnya tersebut memiliki data yang sama, sehingga jawaban

keduanya adalah sebagai berikut

Hipotesis

Hipotesis nol 𝐻0: 𝜋1 = 0,5

Hipotesis alternatif 𝐻1 ≠ 0,5 (two-tailed)

1 Sumber: Sheskin (2004, hal. 269) 2 Sumber: Sheskin (2004, hal. 269)

Wilcoxon Signed-Rank Test Single-Sample (Ade Heryana, SST, MKM) April 16, 2017

3

Perhitungan statistik

Sesuai dengan contoh-1 maka hipotesis nol dan hipotesis alternatif

menggambarkan bahwa bila koin tersebut dalam keadaan baik (simetris) maka

probabilitas untuk menghasilkan “kepala” adalah 0,5 atau 𝜋1 = 0,5. Begitu pula

probabilitas untuk memunculkan sisi “ekor” adalah 0,5 atau 𝜋2 = 0,5.

Sementara itu sesuai contoh-2 diasumsikan bahwa bila tidak ada perbedaan

dalam pemilihan kedua merk obat gosok salisil, maka probabilitas seorang wanita

memilih merk A adalah 0,5 atau 𝜋1 = 0,5 dan probabilitas seorang wanita memilih

merk B adalah 0,5 atau 𝜋2 = 0,5.

Dari kedua contoh di atas, pertanyaan yang harus dijawab adalah bila n = 10

dan 𝜋1 = 𝜇2 = 0,5 berapakah probabilitas bahwa 8 atau lebih observasi berada dalam

1 dari 2 kategori?

Dari kedua contoh soal di atas maka frekuensi munculnya sisi “kepala” dari koin

atau wanita memilih merk A adalah 8 atau x = 8. Sedangkan frekuensi munculnya sisi

“ekor” dari koin atau wanita memilih merk B adalah 2 atau n - x = 8, dimana n = 10.

Maka proporsi observasi untuk kategori 1 (sisi “kepala” atau merk A) adalah 𝑝1 =8

10=

0,8. Sedangkan proporsi observasi untuk kategori 2 (sisi “ekor” atau merk B) adalah

𝑝2 =2

10= 0,2.

Perhitungan untuk menyimpulkan hasil uji hipotesa bisa menggunakan cara

probabilistik (dengan rumus dan aplikasi komputer) dan cara klasik (dengan tabel).

a. Cara probalistik (dengan rumus distribusi binomial)

Formula yang dipakai untuk menghitung probabilitas bahwa x tepat berada dalam

satu dari dua kategori dari n observasi adalah:

𝑃(𝑥) = (𝑛𝑥

) (𝜋1)𝑥(𝜋2)(𝑛−𝑥) Persamaan (3)

dimana:

(𝑛𝑥

) = koefisien binomial atau secara umum menjelaskan jumlah kombinasi dari n

terhadap x pada waktu tertentu, dan dihitung dengan persamaan berikut:

Wilcoxon Signed-Rank Test Single-Sample (Ade Heryana, SST, MKM) April 16, 2017

4

(𝑛𝑥

) =𝑛!

𝑥! (𝑛 − 𝑥)!

Persamaan (4)

Pada contoh soal-1 dan contoh soal-2 di atas, koefisien binomialnya adalah (108

)

yaitu kombinasi 10 terhadap 8. Bila nilai koefisien ini dikalikan dengan (0,5)8 dan

(0,5)2 menghasilkan probabilitas terjadinya tepat 8 sisi “kepala”/merk A dari 10

observasi yang diberi notasi 𝑃(8

10). Nilai 𝑃(

8

10) dihitung dengan persamaan (3) di

atas menghasilkan:

𝑃(8/10) = (108

) (0,5)8(0,5)(10−2) = (45)(0,5)8(0,5)2 = 0,0439

Untuk menjawab permasalahan contoh soal-1 dan soal-2 di atas, tidak cukup

hanya mendapatkan probabilitas terjadinya tepat 8 kejadian saja, namun juga

perlu dihitung probalilitas kumulatif jika x = 8, 9 dan 10, sehingga dengan

persamaan (3):

𝑃(9/10) = (109

) (0,5)9(0,5)(10−1) = (45)(0,5)9(0,5)1 = 0,0098

𝑃(10/10) = (1010

) (0,5)10(0,5)(10−10) = (45)(0,5)10(0,5)0 = 0,0010

Sehingga probabilitas kumulatif 𝑃(8,9, 𝑎𝑡𝑎𝑢 10 10⁄ ) = 0,0439 + 0,0098 +

0,0010 = 0,547.

b. Cara tabel

Cara lain menghitung probabilitas kumulatif x = 8,9, dan 10 adalah dengan tabel

Distribusi Binomial Probabilitas Kumulatif (Lihat lampiran). Dengan n = 10, x = 8

dan = 0,5 maka probabilitas kumulatifnya adalah 0,9453. Sehingga probabilitas

tepat x = 8,9, dan 10 adalah 1 – 0,9453 = 0,0547.

Interpretasi hasil perhitungan

Berdasarkan hasil perhitungan dengan rumus atau tabel didapat p value =

0,0547 atau lebih besar dari = 0,05 sehingga hipotesis ditolak atau terdapat

perbedaan antara nilai observasi dengan nilai harapan atau tidak cukup bukti untuk

menyatakan bahwa koin memiliki bias (contoh-1) atau wanita memilih merk A

dibanding merk B (contoh soal-2).

Wilcoxon Signed-Rank Test Single-Sample (Ade Heryana, SST, MKM) April 16, 2017

5

REFERENSI

Viterel, V (NA). Tables of Binomial Cumulative Distribution. Diunduh tanggal 16 April 2017

dari https://mat.iitm.ac.in/home/vetri/public_html/statistics/binomial.pdf

Sheskin, David J. (2004). Handbook of Parametric and Nonparametric Statistical Procedures,

edisi 3. DC: Chapman & Hall/CRC

LATIHAN SOAL

1. Sebuah studi berminat melakukan uji fluorescent antibody guna meneliti adanya

reaksi serum setelah pengobatan pada penderita malaria falcifarum. Dari 25 subjek

yang telah disembuhkan, 15 subjek ditemukan bereaksi positif. Jika sampel itu

memenuhi semua asumsi yang mendasari uji binomial, dapatkah kita

menyimpulkan dari data itu bahwa proporsi reaksi positif dalam populasi yang

bersangkutan adalah lebih besar dari 0,5? Misalkan α = 0,053

2. Dari 15 mobil ambulans yang beroperasional di sebuah Rumah Sakit, 10

diantaranya rutin masuk bengkel. Berapa probabilitas bahwa ambulans yang rutin

masuk bengkel lebih besar dari yang tidak rutin masuk bengkel, dengan = 5%,

atau dengan kata lain apakah proporsi ambulans rutin masuk bengkel lebih besar

daripada tidak masuk bengkel?

3. Dari 36 mobil ambulans yang beroperasional di sebuah Rumah Sakit, 11

diantaranya rutin masuk bengkel. Berapa probabilitas bahwa ambulans yang rutin

masuk bengkel lebih besar dari yang tidak rutin masuk bengkel, dengan = 5%,

atau dengan kata lain apakah proporsi ambulans rutin tidak masuk bengkel lebih

besar daripada rutin masuk bengkel?

4. Dari 20 dokter yang bekerja di sebuah Rumah Sakit, 8 diantaranya tidak setuju

dengan kebijakan baru. Berapa probabilitas bahwa dokter yang tidak setuju lebih

besar dari yang setuju kebijakan baru, dengan = 5%, atau dengan kata lain

3 Sumber: Wayne W.Daniel, 2003, hal 67

Wilcoxon Signed-Rank Test Single-Sample (Ade Heryana, SST, MKM) April 16, 2017

6

apakah proporsi dokter yang tidak setuju lebih kecil daripada setuju kebijakan

baru?

Wilcoxon Signed-Rank Test Single-Sample (Ade Heryana, SST, MKM) April 16, 2017

7

Lampiran: Tabel Distribusi Binomial Kumulatif (Sumber: Vetrivel, Indian Institute of Technology, Madras)4

Tabel berikut menyajikan probabilitas terjadinya paling sedikit x kejadian pada n percobaan yang independen atau probabilitas

sukses (p of success). Bila X adalah jumlah sukses, maka probabilitasnya adalah 𝑃(𝑋 ≤ 𝑥) = ∑ 𝐶𝑟𝑛𝑝𝑟(1 − 𝑝)𝑛−𝑟𝑥

𝑟=0

4 Diunduh dari https://mat.iitm.ac.in/home/vetri/public_html/statistics/binomial.pdf pada tanggal 16 April 2017

Wilcoxon Signed-Rank Test Single-Sample (Ade Heryana, SST, MKM) April 16, 2017

8

Wilcoxon Signed-Rank Test Single-Sample (Ade Heryana, SST, MKM) April 16, 2017

9

Wilcoxon Signed-Rank Test Single-Sample (Ade Heryana, SST, MKM) April 16, 2017

10

Wilcoxon Signed-Rank Test Single-Sample (Ade Heryana, SST, MKM) April 16, 2017

11