Makalah Teori Bilangan

BILANGAN RASIONAL DAN IRASIONAL

Dosen Pengampu Mata Kuliah : Rahayu Condro Murti, M.Si

Disusun oleh :

1. Riang Prinandi A ( 09108241029 )

2. Arif Muhammad A ( 09108241048 )

3. Desy Sigit R ( 09108244068 )

4. Zhepty Dyah N ( 09108244099 )

5. Nur Rahman ABA ( 09108244117 )

S 9B / III B

PENDIDIKAN GURU SEKOLAH DASAR

FAKULTAS ILMU PENDIDIKAN

UNVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA

2010

BILANGAN RASIONAL DAN IRASIONAL

Bilangan Rasional

Kalau menurut kaidah bahasa Indonesia, bilangan irasional adalah bilangan yang tidak

rasional. Jadi, kita harus tahu dulu apa itu bilangan rasional. Bilangan rasional adalah

bilangan Real yang dapat disusun ulang dalam bentuk pecahan di mana a dan b harus

integer. Jadi, Bilangan irasional adalah bilangan Real yang TIDAK dapat disusun ulang

dalam bentuk pecahan .

Sebuah bilangan dikatakan rasional jika ia dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan dua

bilangan bulat. Sebagai contoh, 5/9. Ia adalah bilangan rasional, karena 5 dan 9 keduanya

bilangan bulat. Contoh lain adalah 5. Ia dapat dinyatakan sebagai 5/1 dan karena 5 dan 1

keduanya bilangan bulat, otomatis 5 adalah bilangan rasional. Karenanya bilangan bulat

sudah pasti bilangan rasional, tapi bilangan rasional belum tentu bilangan bulat.

Bilangan rasional yang bukan bilangan bulat ada dua jenis. Bilangan dengan desimal

berujung dan bilangan dengan desimal berulang. Contohnya 3/10. Ia adalah bilangan dengan

desimal berujung, karena dalam bentuk desimal, ia ditulis 0.3. Contoh lain adalah 2.14 atau

4.614 dst. Bilangan desimal berulang contohnya 2/99. Dalam bentuk desimal, ia tidak

memiliki ujung tapi terlihat berulang terus. Coba aja cek pake kalkulator. Ia sama dengan

0.020202020202020202020 …… tanpa akhir.

Contoh:

1. Angka 4. Angka ini dapat disusun ulang menjadi .a=4 dan b=1. Jadi, 4 bilangan rasional.

2. Pecahan . Pecahan ini jelas merupakan bilangan rasional, karena a=2 dan b=3.

3. Pecahan . Ambil a=35 dan b=42. Jelas, bilangan ini merupakan bilangan rasional juga.

Bagaimana dengan bilangan ..???

Jawab:

Bilangan adalah bilangan imajiner, bilangan yang tidak real (bilangan yang

sesungguhnya tidak ada, karena bilangan negatif tidak bisa diakar 2). Jadi, jelas kalau

bilangan itu tidak termasuk bilangan rasional maupun bilangan irasional.

Bagaimana dengan bilangan 0,98787768638?

Jawab:

Tentu saja bilangan rasional. Itu khan bisa diubah menjadi .

Bagaimana dengan bilangan desimal tak hingga banyaknya dan memiliki pola desimal

yang berulang-ulang seperti bilangan 0,25252525...?

Jawab:

Misalkan

A= 0,2525252525.... _____._(persamaan pertama)

Kalikan A dengan 100 menghasilkan:

100A=25,2525252525.... ___(persamaan kedua)

Kurangi persamaan kedua dengan persamaan kesatu:

100A-A = 25,2525252525... - 0,252525252525...

99A = 25

A = .

Ternyata bilangan 0,252525252525... dapat dibentuk menjadi pecahan di mana a=25 dan

b=99.

Jadi, bilangan 0,25252525... adalah bilangan rasional.

Apakah 0,12111111... adalah bilangan rasional?

Jawab:

Jangan terkecoh dengan angka 2. Ini juga bagian dari bilangan berpola.

Anggap

A=0,121111...

Kalikan A dengan 100 menghasilkan

100A = 12,1111... _____._(persamaan pertama)

Kalikan lagi dengan 10 menghasilkan

1000A = 121,1111... ____(persamaan kedua)

Kurangi persamaan kedua dengan persamaan kesatu

1000A-100A = 121,1111... - 12,1111...

900 A = 109

A = .

Jadi, a = 109 dan b=900. Jadi, 0,1211111... merupakan bilangan rasional.

Apakah semua bilangan bulat, bilangan pecahan, dan bilangan desimal, bilangan

desimal tak hingga berpola merupakan bilangan rasional?

Jawab:

Ya. Secara keseluruhan itu benar. Akan tetapi, pecahan yang pembilang atau penyebutnya

bukan bilangan rasional belum tentu rasional.

Bagaimana menentukan suatu pecahan dari bilangan desimal berpola dengan cepat?

Jawab:

Sangat mudah. Pertama tentukan dulu berapa banyak bilangan yang berulang. Lalu, bilangan

yang berulang itu tinggal dibagi 9 atau 99 atau 999 dan seterusnya (tergantung dari banyak

bilangan yang berulang tadi). Lihat contoh di bawah.

Contoh:

1. Tentukan bilangan pecahan paling sederhana dari bilangan 0,123123123123123....

Jawab:

Terlihat bahwa ada 3 bilangan yang berulang. maka pecahan itu adalah .

Setelah disederhanakan maka menjadi .

2. Jika adalah suatu pecahan dari bilangan 0,0142857142851714285171428517....

Tentukan a+b positif terkecil!

Jawab:

Terlihat bahwa ada 6 bilangan yang berulang, yaitu 142857. Jadi, supaya semua desimal

bergeser ke kiri, kalikan saja dengan 10, sehingga menjadi

0,142857142851714285171428517....

Dengan cara yang sama seperti di atas, maka pecahan tersebut adalah: .

Setelah disederhanakan, maka hasilnya adalah . Dengan demikian, a+b positif terkecil

yang diminta adalah 70+1 = 71.

BILANGAN IRRASIONAL

A. Pengertian Bilangan Irrasional

Bilangan irrasional merupakan bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam

bentuk pecahan desimal dengan nilai yang bulat. Bilangan irrasional tidak memiliki pola

yang teratur jika ditulis dalam bentuk desimal. Supaya lebih mudah memahaminya,

berikut merupakan penjelasan lebih lanjut:

a. Jika suatu bilangan dikalikan dengan dirinya sendiri maka akan didapatkan kuadrat

bilangan tersebut, atau dapat kita tulis:

a x a = a2

√a2 = a

Sekarang mari kita masukkan angka-angka berikut ini.

1. a2 = 4

maka, √a2 = √4 = 2

bilangan ini disebut dengan bilangan rasional, karena dapat dinyatakan dalam bentuk

desimal secara bulat.

2. a2 = 0,09

maka, √a2 = √0,09 = 0,3

bilangan ini pun disebut dengan bilangan rasional, karena dapat dinyatakan dalam

bentuk desimal secara bulat.

3. a2 = 3

maka, √a2 = √3 = 1,732050807… (tak terhingga)

bilangan ini tidak dapat dikatakan sebagai bilangan rasional, karena tidak dapat

dinyatakan dalam bentuk desimal secara bulat. Bilangan ini disebut dengan bilangan

irrasional (tidak rasional)

b. Di dalam logaritma dan fungsi trigonometri terdapat daftar nilai logaritma dan fungsi

trigonometri (nilai fungsi sinus (sin), kosinus (cos), tangen (tan), kotangen (ctg), sekan

(sec), dan kosekan (cosec)). Meskipun nilai logaritma dan nilai fungsi trigonometri

tersebut tercantum di dalam sebuah daftar, nilai tersebut bukan merupakan nilai

sesungguhnya melainkan nilai pendekatan. Sehingga nilai logaritma dan nilai fungsi

trigonometri dapat dikelompokkan ke dalam bilangan irrasional pula.

Semua bilangan rasional dan irrasional membentuk himpunan bilangan baru yang

disebut dengan himpunan bilangan real. Ciri penting dari bilangan real adalah setiap

bilangan real mempunyai korespondensi satu-satu dengan suatu titik pada suatu garis

lurus.

B. Operasi Bilangan

Operasi bilangan mempunyai daerah operasi yang merupakan himpunan bilangan

tertentu di mana operasi itu didefinisikan.

Penjumlahan adalah operasi pada himpunan bilangan asli, karena setiap kali kita

mengambil dua bilangan asli sembarang untuk dijumlahkan, kita pasti dapat menemukan

suatu bilangan asli yang merupakan hasil dari penjumlahan kedua kedua bilangan asli

tersebut. Selanjutnya, dikatakan bahwa penjumlahan merupakan operasi pada himpunan

bilangan asli dan himpunan bilangan asli tersebut merupakan daerah operasi.

Pengurangan adalah operasi pada himpunan bilangan bulat. Tidak seperti

penjumlahan, operasi pengurangan yang terjadi di dalam himpunan bilangan asli belum

hasil operasinya juga merupakan bilangan asli. Contohnya adalah 2 yang dikurangkan

dengan 5, maka hasil pengurangannya bukan merupakan bilangan asli. Oleh karena itulah,

operasi pengurangan pada himpunan bilangan asli disebut operasi tidak tertutup.

Selanjutnya, jika kita mengambil anggota dari himpunan bilangan bulat untuk kita lakukan

operasi pengurangan, maka hasilnya pasti juga merupakan bilangan bulat. Oleh karena

itulah, operasi pengurangan pada himpunan bilangan bulat disebut operasi tertutup

(disingkat operasi) dan dengan himpunan bilangan bulat sebagai daerah operasinya.

1

2

0 1 2 √2 -1 -2

Pengjuadratan adalah operasi pada himpunan bilangan asli. Hal ini dikarenakan

setiap kita mengambil sembarang bilangan asli untuk kita kuadratkan, hasilnya juga

merupakan anggota himpunan bilangan asli.

Dari ketiga contoh operasi bilangan di atas, maka dapat ditari kesimpulan bahwa

yang dimaksud dengan operasi adalah suatu himpunan bilangan tertentu yang

mengkawankan satu atau lebih unsur P dengan tepat satu unsur P juga. Operasi yang

melibatka 2 unsur untuk menghasilkan unsur ketiga disebut dengan operasi binner.

Sedangkan operasi yang hanya melibatkan satu unsur untuk menghasilkan unsur kedua

disebut dengan operasi singular.

Terdapat beberapa sifat khusus di dalam operasi bilangan, yaitu:

1. Sifat Pertukaran (Komutatif)

Suatu operasi * pada suatu himpunan disebut komutatif jika:

a * b = b * a, untuk semua a dan b anggota himpunan A.

Perkalian dan penjumlahan bersifat komutatif, sebab:

a x b = b x a dan a + b = b + a

sedangkan pengurangan dan pembagian tidak bersifat komutatif, sebab:

a : b ≠ b : a dan a – b ≠ b – a

2. Sifat Pengelompokan (Asosiatif)

Suatu operasi * pada suatu himpunan A disebut asosiatif jika:

(a * b) * c = a * (b * c) untuk a, b, dan c kesemuanya merupakan anggota himpunan A.

Perkalian dan penjumlahan bersifat asosiatif, sebab:

(a x b) x c = a x (b x c) dan (a + b) + c = a + (b + c)

sedangkan pengurangan dan pembagian tidak bersifat asosiatif, sebab:

(a : b) : c ≠ a : (b : c) dan (a - b) - c ≠ a - (b - c)

3. Unsur Identitas

Suatu unsur i dalam suatu himpunan A merupakan unsur identitas operasi * pada

himpunan A tersebut, jika berlaku:

i * a = a * i = a untuk setiap a anggota A

4. Unsur Invers

Diketahui suatu himpunan A dan unsur i ϵ A sebagai unsur identitas operasi * pada

himpunan A.

Suatu unsur b ϵ A disebut unsur invers dari unsur a ϵ A pada operasi * pada himpunan

A jika berlaku:

a * b = b * a = i

5. Sifat Penghapusan (Kanselasi)

Diketahui A adalah sebuah himpunan dan * merupakan operasi pada A tersebut. Sifat

kanselasi pada himpunan A berlaku jika:

a * c = b * c maka a = b