1

BAB I

BILANGAN

I. SKEMA HIERARKIS BILANGAN

Bilangan non prima

Bilangan asli

Bilangan prima

Bilangan Bulat

Rasional

Bilangan Real Bilangan Cacah Bilangan Bulat

Irasional Bilangan Nul (Nol)

Bilanan Kompleks

Bilangan Imajiner

II. PENGERTIAN BILANGAN-BILANGAN

Bilangan kompleks : Sub total dari seluruh bilangan yang terdiri dari bilanganReal

dan imajiner

Bilangan Real : Bilangan yang nyata .. (0.02, -V3) macam-macam bilangan

Bilangan Imajiner : Adalah bilangan khayal yang mempunyai akar negative

Contoh : V-2, V-0,05, V-3

Simbolnya (xi)

Bilangan Rasional : Bilangan yang terbentuk dalam p/q

(Dimana P & Q adalah bilangan bulat), dan bilangan

desimalnya selalu berulang misalnya 1 = 0,3333 (berulang)

Bilangan Irasional : Bilangan yang akar bilangan rasional yang hasilnya tidak

rasional

Misalnya : V2

V3 Tak berulang

V

Atau disebut juga bilangan berbentuk akar

2

Bilangan Bulat : terdiri dari B.B + & B.B –

Misal : -3, -2, -1, 0 ,1 ,2 ,3

Bilangan Cacah : disebut juga sebagai bilangan bulat positif

Bilangan Asli : yang terdiri 1,2,3 dst

Bilangan Prima : bilangan yang hanya dapat dibagi dengan 1 dan bilangan itu

sendiri

Bilangan Non Prima : bilangan yang bukan bilangan prima

III. OPERASI HITUNG PADA REAL & TURUNANNYA

1) Penjumlahan = (+) 2+3

2) Penguranngan = (-) 2-3

3) Perkalian = (X 3 . ) 2*2*2 = 2+1+1 = 23

4) Pembagian = (: ; . . .) 24 = 2 4-1 = 2 3

2

Hukum-hukum operasi pada Bilangan Real Aturannya :

1. Hukum Komulatif

2.3 = 3.2 ; 2+3 = 3+2

Tapi 2-3 # 3-2

2. Hukum Asosiatif

(2+3) +4 = 2+ (3+4)

(2.3) . 4 = (2.3) . 4

3. Hukum Distributif

2 (3+4) = (2.3) + (2.4)

2 (3-4) = (2.3) – (2.4)

A. PENJUMLAHAN, PENGURANGAN, & PERKALIAN BILANGAN IRASIONAL

PENJUMLAHAN

3

i) Va + Va = 2 Va

Contoh :

1. V3 + V3 = 2 V3

2. V7 + V7 = 2 V7

ii) Va + Vb = Va + Vb ( Tetap karena bilangan pokoknya berbeda )

Contoh :

V2 + V3 = V2 + V3

iii) a Vb + c Vb = (a+c) Vb

Contoh :

3 V5 + 2 V5 = (3+2 V5 = 5 V5 Irasional Irasional

PENGURANGAN

i) Va – Va = 0

Note : Va – Va = (1-1) Va

= 0 Va = 0

Contoh :

1. V2 – V2 = 0

2. V5 – V5 = 0

ii) Va – Vb = Va – Vb

Contoh :

1. V3 – V5 = V3 – V5

2. V7 – V3 = V7 – V3

iii) aVb – cVb = (a-c) Vb

contoh :

1. 5V7 – 2V7 = (5-2) V7

Kesimpulan : Penjumlahan dan Pengurangan irasional hasilnya selalu irasional

4

PERKALIAN

i) Va x Va = a Note : Va x Va

Contoh : = Va.a = Va2

V2 x V2 = 2 = (a2) ½

V5 x V5 = 5 = a 2/2 = a1 = a

ii) Va x Vb = Vab

Contoh :

1. V3 . V5 = V15

2. V5 . V7 = V35

iii) aVb x cVb = (a.x) Vb b

= (ac) (b2) ½

= (ac) b 2/2

= acb atau abc

Kesimpulannya : pengoperasian bilangan irasional dikali dengan irasional hasilnya bias

rasional/irsaional.

PEMBAGIAN

I) a (Penyebutnya harus dijadikan bilangan irasional)

Vb

Note :

a = a x vb

vb vb vb

= a vb = a vb

b b

contoh :

1. 1 = 1 x V2

V2 V2 V2

5

= 1 V2 = 1 V2

2 2

2. V3 = V3 x V5

V5 V2 V2

= V15 = 1 V15

5 5

II) 1 = 1 x Va + Vb

Va + Vb Va+Vb Va – Vb

= 1 ( Va – Vb )

( Va + Vb ) ( Va – Vb )

= 1 ( Va – Vb )

a ( Vab + V ab )

= Va = Vb ( Sudah Rasional )

a – b

contoh :

1 = 1 x V3 + V5

Va + Vb V3+V5 V4 – V5

= V3 + V5

V3 . V3 – V5 V5

MENYEDERHANAKAN ANGKA

1. V20 = V4 . V5 = 2 V5

2. V32 = V16 . V2 = 4 V2

3. V200 = V100 . V2 = 10 V2

Contoh soal :

1. 2 V2 + V8 + V32 + 2 V3 + V12

= 2 V2 + 2V2 + 4 V2 + 2 V4 + 2 V3

= (2+2+4) V2 + (2+2) V3

= 8 V2 + 4 V3

6

2. (1+3+V2) = (4-V50) + V243

= 1 + 3V2 – (4-5 V2) + 9 V3

= 1 – 4 + 3 V2 + 5 V2 + 9 V3

= -3 + 3 V2 + 5 V2 + 9 V3

= -3 + 8 V2 + 9 V3

3. V11 – V13 = V11 – V13 x V11 – V13

= V11 – V13 x V11 – V13

= (V11 – V13) (V11 – V13)

= (V11 + V13) (V11 – V13)

= 11 – V143 + V143 + 13

11 – V143 – V143 – 13

= 11 – V143 – V143 + 3

11 – 3

= 11 – 2 V143 + 13 = 24 – 2 V143 = 24 – 2 V14

11 – 13 11 – 13 -2

= -12 + 2 V143

4. 3 V2 – 2 V3 = 3 V2 – 2 V3 x 2 V3 + 3 V2

2 V3 – 3V2 2 V3 – 3 v2 2 V3 + 3 V2

= 6 V6 + 9 V4 – 4 V9 – 6 V6

4 V9 – 9 V4

= 9 V4 – 9 V9 = 9.2 – 4.3

4 V9 – 9 V4 4.3 – 9.2

= 18 – 12

12 – 18

= 6/-6 = .1

5. (V10 – V8)2

= (V10 – V8) (V10 – V8)

= 10 – V80 – V80 + 8

= 18 – 2 V180

7

B. PENJUMLAHAN, PENGURANGAN DAN PERKALIAN PADA ALJABAR

Ditulis : a x b ; a + b atau ab (maksudnya a kali b) biasanya berbentuk symbol huruf (a … z)

jika satu factor dalam sebuah perkalian adalah bilangan dan symbol bilangan lain disebut

koefisien dari symbol.

Contoh : 5 koef x dari 5x

Tetapi sering juga koefisien terdiri dari symbol juga

Contoh : 5q adalah koefisien x3 dari 5 qx3

Penjumlahan pada aljabar :

Contoh = (a+b+c) + (a+b+c)

= (a+b) + (b+b) + (c+)

Atau

A + b + c

A + b + c

2a + 2b +2c

Pengurangan pada aljabar

Contoh :

(-a – b + c) – (a + b – c) = samakan variable yang sama

Perkalian pada bilangan aljabar

Hitunglah :

a.b2 x a2b3 = a1+2b2+3 = a3b5 (lihat sifat pada bilangan eksponen)

latihan :

1. Hitunglah 2a – 3b + 4c +2 (a-b)

2. Sederhanakanlah 3 (2-3 (2a + 4)) – 4a

3. Hitunglah : 22 . b2 aVb : untuk a = 2 : b 3

8

C. OPERASI HITUNG PADA PECAHAN

Pecahan

1 & 3 dinamakan pembilang

4 dinamakan penyebut

Berbentuk a semakin besar penyebut

b semakin kecil nilai pecahan itu

pecahan-pecahan yang senilai

1 = 5 didepan 1 x 5 = 5

2 10 2 x 5 = 10

3 = 9 3 x 3 = 9

4 12 4 x 3 = 12

Membandingkan 2 pecahan

7 dengan 6

8 8

Caranya samakan penyebut dulu

7 x 7 6 x 8

8 x 7 7 x 8

49 > 48

56 56

7 < 6

8 7

Pecahan campuran

Ubahlah pecahan barikut dalam bentu campuran

5 = 5 + 1 = 1 1

5 5 5 5

9

7 = 4 + 6 = 1 3

4 4 4 4

Hanya pecahan yang nilainya >1

Mencari bilangan antara dua pecahan

Tentukan bilangan antara 2/5 dan 5/11

Jawab : 2 dan 5 2 x 4 … … … 5 x 5 = 22 . 33 . 25 . 25

5 11 5 x 11 11 x 1 55 55 55 15

Penjumlahan :

a. 5 + 1 = 5 + 1 = 6 bukan 6

2 2 2 2 4

b. 3 + 1 samakan penyebut 9 + 4 = 13

4 3 x 4 12 12 12

Pengurangan

a. 5 – 1 = 5 – 1 = 4

2 2 2 2

b. 3 x 3 – 1 samakan penyebut 9 – 4 = 5

4 x 3 3 12 12 12

Perkalian

2 x 1 = 2 x 1 = 2

5 3 5 x 3 15

5 x 1 = 5 x 1 = 5

3 1 x 3 3

2 x -1 = 2 x -1 = -2

3 1 x 2 -2

2 x 1 = 2 x -1 = 2 = 1

2 1 x 2 2

10

Pembagian

a. 1 : 1 = 1 x (kebalikan dari 1 = 2)

2 2 1

= 1 x 2

1

= 1 x 2 = 2

b. 2 : 1 = 2 x 2

4 2 4 1

c. 1 : 1 = 1 x 9 = 9 = 3

3 9 3 1 3

Pecahan Desimal

Berasal dari kata decimus (bahasa latin) yang berarti persepuluh milsanya :

= 1 = 0,1 : 1 = 0,01

10 100

Setiap pecahan dapat dirubah ke dalam pesilam Contoh :

2 / 5 ubahlah pecahan berikut dalam decimal

2 = 2 x 2 = 4 = 0,4

5 5 2 10

4 = 4 x 125 = 29 375 = 0,375

8 8 x 125 = 40 1000

Kuncilnya : Penyebutnya harus dibuat kelipatan 10

Pecahan persen

Cirinya : Pecahan yang penyebutnya berbentuk 100

Conoh : 25 / 100 : 25%

Pecahan dapat diubat dalam bentuk persen begitu juga sebaliknya

11

Contoh :

4 persen = 4 : 4 = 1 x 100 = 50%

8 8 : 4 2

2 persen = 2 x 100 = 200%

7 7 1

35% pecahan biasa (sama juga dengan menyederhanakan bilangan)

35% : 5 = 7

100 : 5 10

Pecahan campuran pada bilangan persen contoh = 22 (1) % = 25 x 1 1

2 2 100

= 25 /100

D. OPERASI HITUNG PADA BILANGAN BULAT

1. Penjumlahan

a. 5 + 1 = 6

b. 2 + 3 = 5

c. -2 + 3 = 1

d. -3 + 4 = 1

2. Pengurangan

a. 8 – 3 = 5

b. 7 – 3 = 10

c. 6 – 7 = -1

d. 7 + (-10) = 7 – 10 = 3

e. -6 – 3 = -9

f. -6 – (-3) = -6 + 3 = -3

12

3. Perkalian

a. 2 x 3 = 6 - x - = +

b. -2 x -3 = 6 - x - = -

c. 2 x -3 = -6 - x + = -

d. -2 x 3 = -6

4. Pembagian

a. 10 : 5 : 10/2 = 2

b. -10 : 5 – 10/5 = -2

c. 10 – 2 10/5 = -10/5 = -2

I. PERBANDINGAN (RATIO)

Do tandai dengan bentuk pembagian atau pecahan

Contoh : dari 25 orang crew kapal 10 orang adalah perwira. Berapa perbandingan banyaknya

perwira dari seluru crew?

Perbandingan ditulis : 10 : 25 atau 10/25

II. PROPORSI

Adalah sebuah bentuk persamaan dari pasangan ratio. Dapat juga dikatakan bahwa pasangan

ratio sama dengan pasangan yang lain. Proporti disebut dengan double titik dua (::)

Contoh : ratio 5 : 10 = ratio 20 : 40

5 : 10 :: 20 : 40

Atau

5 : 10 = 20 : 40

5 = 20

10 40

A. INVERSE PROPORSI (BERBALIK HARGA)

Ditulis : a/b = c/d

Artinya : jia nilai objek a bertambah maka nilai objek c berkurang begitu juga sebaliknya

13

Contoh 1 :

25 orang bekerja dikapal selama 54 hari berapa harikah jika pekerjaan itu diselesaikan oleh 18

orang

Jawab :

Jika orangnya banyak waktu pekerjaan jadi lebih cepat (“kecil”)

Banyaknya pekerja lama mengerjarkan (hari)

25 54

18 x

25/18 = x/54

X = 125 hari (catatan : VARIABEL yang dinyatakan sebagai pembilang)

B. DIRECT PROPORSI

10 : 20 = 25 : 50 = ½

a/b = c/d

artinya : semakin besar nilai objek a semakin besar pula nilai c begitu sebaliknya

contoh 2 :

Seorang pekerja setiap 4 jam memperoleh upah Rp. 17.000 berapa upah yang diterima jika

bekerja 7 jam.

Jawab :

Semakin banyak jam bekerja semakin besar upahnya (senilai)

Banyaknya jam bekerja besarnya upah (Rp)

4 17.000

7 x

4 = 17000

7 x

4.x = 17000 x 7

4

Catatan : VARIABEL yang dinyatakan diletakan sebagai penyebut

14

Contoh 3 :

Jika ada 8 pekerja mampu merakit 2 mesin dalam 18 jam. Berapa lama waktu yang dapat

diambil oleh 12 orang bekerja dengan jalur yang sama untuk merakit 5 mesin

Jawab :

Banyaknya pekerja banyaknya mesin yang dirakit banyaknya hari

8 2 18

12 5 ?

Pertama-tama kita buat proposi banyaknya pekerja dengan banyaknya mesin yang dapat

dirakit (direct proporsi) kemudian dengan banyaknya hari (inverseproportion)

8 . 5 = x

12 2 10

40 = x

24 18

24.x = 40 . 18

X = ….. hari

III. VARIASI

Adalah tahapan selanjutnya dari bentuk ratio lalu proporsi. Dapat dijelaskan sebagai berikut,

saat suatu pertambahan quantitas tergantung pada pertambahan quantitas yang lain saling

ketergantungan itu disebut direct variasi. Sebaliknya jika suatu pertambahan quantitas dapat

menyebabkan berkurangnya quantitas yang lain maka variasi itu disebut : inverse viarisi : notasi

untuk variasi adalah ( : = )

A = B

A = Konstant

B Direct Proporsi

A1 = A2

B1 B2

A = 1

B

A1B1 = A2B2 Inverse proporsi

15

Contoh :

Resistance suatu tali sebanding dengan panjang tali tersebut dan berbanding terbalik dengan

luasnya. Sebuah tali panjangnya 100m dengan luas 1 mm memiliki 2 ohm. Berapakah resistan

suatu tali dengan bahan yang sama yang panjangnya 250 m dan luasnya 0,5 mm ?

Jawab :

R adalah resistan tali R1 = 2 ohm

L adalah luas tali L1 = 0,0001 m L2 = 0,00005 m

P adalah panjang tali P1 = 100 m P2 = 250 m

Ditanya R2

Penyelesaiannya :

Karena :

1) R sebanding dengan panjang tali, maka R : = L

R1 = R2

L1 L2

2) R berbanding terbalik dengan luasnya, maka :

R = 1/P

R1P1 = R2P2

L1 L2

Coba anda cari nila R2

Bentuk baku Notasi Ilmiah

Perhatikan bentuk decimal

0, 1 : 0,0 : 0 , 000 0. 1 = 1 10-1

1. 10 – 1 1. 10-2 1 x 10-4 10

1/a = _ a-n

Banyaknya bilangan dibelakang koma

0,0075 = 75 x 10-4

: : : = 7,5 x 10-3

123

Pertidak samaan bilangan

16

“ ditandai dengan tanda pertidaksamaan

Contoh :

Symbol-symbol pertidaksamaan

<, >, <, >

A & b adalah dua bilangan bulat

A = b a sama dengan b

A > b dibaca a lebih dari b

A < b dibaca a kurang dari b

Sedangkan :

A > b dibaca a lebih dari satu sama dengan b

A < b dibaca a kurang dari atau sama dengan b

Contoh 1 :

2 < 2 -4 < 0

-1 > -3

1. Carilah nilai x yang memenuhi

X + 2 < 3 x anggota bilangan real

Jawab :

X < = 3 – 2

X < 1

Hp = (1,2,3….)

Contoh 2 :

I. Pertidaksamaan linear

( pangkat terendah x1 )

3x > 5

3x – 5 > 5

3 x > 5

X > 5/3

Garis bilangan

17

Hp ( X > 5/3 )

Apabila x > 5/3

Maka garis bilangannya

HP { x > 5/3 }

1. -2x + 5 > 0

-2x > -5 x (-)

2x < 5

X < 5/2

HP { x < 5/2 }

II. Pertidaksamaan Irasional

1. V5x + 2 > 4

Syarat Va > 0

Solusi V5 x + 2 > 4 (dikali 2)

= 5x + 2 > 42

= 5x + 2 > 16

= 5x > 14

= x > 14/5

= x > 2 4/5

Syarat Va > 0

= V5x + 2 > 0

5x + 2 > 0

5x > -2

X > -2/5

Garis bilangan

Hp { x > 2 2/4 }

2. V7x + 3 < v3 + 7

Va Vb

= (7x + 3) < (3x + 7)

7x – 3x < 7 – 3

4x < 4

X < 1

18

Syarat

Va > 0

V7x + 3 > 0

7x + 3 > 0

7x > -3/7

X > -3/7

Vb > 0

V3x + 7 > 0

3x + 7 > 0

3x > -7

3 > -3/7

Garis bilangan

__________________

Hp {-3/7 < x < 1}

Notes dalam penulisan Hp :

1 > x > -3/7

7/3 > x salah x

-2 < x

3. Pertidaksamaan nasional dan irasionak

15x + 3 < 0 dan V7x + 5 > 0

15x < -3 7x + 5 > 0

X < -3/15 7x > -5

X > -5/7

19

III. PERBANDINGAN FUNGSI KUADRAD

1. –x2 + 5x + 14 > 0 ( - )

Menjadi :

X2 – 5x -14 < 0

(x + 2) (x – 7) <

X1 = -2

X2 = 7

HP {-2 < x < 7}

2. X2 – 3x < 4 dan x2 – 2x > 8

X2 – 3x – 4 <0 x2 – 2x – 8 > 0

(x + 2) (x – 4) (x + 2) (x – 4)

X1 = 1 x3 = -2

X2 = 4 x4 = 4

Hp {x < -2 atau -1 < x atau x > 4}

3. (x – 2) (x2 + 3x – 18) >

X2 – 25

(x – 2) (x – 3) (x + 6) > 0

(x + 5) (x – 5)

X1 = 2 x4 = -5

X2 = 3 x5 = 5

X3 = 06

HP {-6 < x < -5 atau x > 5}

4. X2 < 81

X2 – 81 < 0

(x +9) (x-9)

X1 = -9 HP (-9 < x < 9)

X2 = 9

20

X = -10 x = 10

(-10 + 9) 10 + 9

= -1 = 19

= 10 – 9 10 – 9

= -19 = 1

-19 * -1 19 * 1

=19 = 19

IV. NILAI MUTLAK

| X | < a -a < x < a

| X | > a x < -a atau x > a

(x + 1) > 3

X + 1 < -3 x + 1 > 3

X < -3 – x > 2

X < - 4

Absolut : membuat hal-hal menjadi +

Contoh :

1. |x| < 5 -2 < x – 3 < 2

2. |x – 3| < 3 -2 < x – 3 < 2

= -2 + 3 < x < 2 + 3

= -1 < x < 5

3. |x| > 5/2 x < - 5/2 atau x > 5/2

Nilai absolut (x + 1) > 3

X + 1 < -3 / x + 1 > 3

4. |2x – 5| < 1

(dikuadratkan karena ada koefisiennnya 3)

= (2x – 5)2 < 12

= (1x – 5)2 – 12 < 0

= ( (2x -5) - 1) (2x -5) + 1)< 0

Font note :

(2x -5)2 +(2x -5) – (2x) -5) -12

21

= (2x – 6) (2x -4) < 0

X1 < -3 x = <-2

X1 = 3 x2 = 2

Hp {2 < x < 3}

5. (3x -2) > 4

(3x – 2)2 > 42

((3x – 2) – 4) ((3x – 2) + 4 ) > 0

(3x -6) (3x + 2) > 0

X1 = 2 x2 = -2/3

Hp {x < -2/3 atau x > 2}

(x2 – 4) (x2 – 2 x -2) < 0

(x + 2) (x – 2) (x + 1) (x – 3) < 0

X1 = -2 x3 = -1

X2 = 2 x4 = 3

Hp {(-2 < x < -1) atau (2 < x < 3)}

X = -3 x -2 -3 + 1

X + 2 -3 – 2 – 2

3 + 2 -5 – 3 – 3

-1 -6

= 5 =12

0

X = -1 1/2 -1 ½ - 2 -1 ½ + 1 -1 ½ -3

-1 ½ + 2 = -3 ½ = - ½ = -4 ½

0 = ½

Aritmatika

Dalam bentuk social

Contoh :

22

Pada suatu ruang muatan yang terdiri dari mobil-mobil yang akan dikirim ke daerah

A jika mobil itu dibeli dengan harga Rp. 100.000.000 dan pemilik menghendaki

untung Rp. 800.000 berapa harga jualnya ?

Jawab :

Harga beli Rp. 100.000.000

Untung Rp. 800.000

Harga jual Rp. ?

U = J – B

800.000 = J – 100.000.000

100.000.000 + 800.000 = 100.800.000

Harga spare part tipe A Rp. 210.000 dan dijual oleh si empunya Rp. 250.000

berapakah % keutungannya ?

Jawab :

Harga beli Rp. 210.000

Harga jual Rp. 250.000

Laba (untung) Rp. 250.000 – Rp. 210.000 Rp. 40.000

Persen keuntungan = 40.000/250.000 x 100% = 10%

Untuk jika J > B

Rugi jika J > B

Limpas jika J = B

Untung jika J – B

Rugi kita B – J

Persen keuntungan = U/B x 100%

Persen kerugian = R/B x 100%

Persen keuntungan dari harga jual = U/J x 100%

23

Latihan BAB I

Hitunglah

1. X4 . x2 . x3 =

2. 2a . -5a3 . 3a4 =

3. -4 . 3xy . 2x 3y5 =

4. 3x5 y . 15 x 2y =

-9x 3y

5. a. 3V2 + V12 – V72 + V50

b. 1 / V23 . 1/V2+3

c. V2 + V3 / V2 – V3

d. (22 – V5)2

6. 18 – (-15) – 3

7. (18 – 8 ) – 4

8. 20 – (4 – 3)

9. 13 – (8 – 4)

10. Pada musim dingin disebuah kota A suhu siang hari (pkl. 12.00) = 180C 15 suhu

pada malam hari (23.00) adalah -30C, berapa derajat penurunan suhu

11. – 108 : 9

12. 4 – x + -2 . 8

11 – (-5)

Sederhanakanlah

13. 4/6 =

14. 12/18 =

15. 7/35 =

16. 36/56 =

Gunakan tanda > , < atau =

17. 6/5 … 6/4

18. 3/15 … 4/22

19. 3/16 ,,, 1/5

24

BAB II

SISTEM PERSAMAAN LINEAR

a) Bentuk umum persamaa linear : Determinan persamaan kalimat matematika yang ditandai

dengan tanda (*=*) dengan 1 variabel / symbol 1. Ax + b = 0. Dengan ketentuan a tidak boleh

o. a dan b adalah konstanta

Contoh :

1) 4x + 5 = 0

4x = -5

X = -5/4

2) 3 / 5x + 2 = 4 / 2x – 2

= 3 (2x – 2) = 4 (5x + 2)

= 6x – 6

= 6x – 20x = 8 + 6

= -14x = 14

X = 14/-144 = -1

3) 2x – 8 = 15

2x = 15 + 8

= 23

X = 23/2 = 11 ½

4) 5x + 6 = -2x – 8

5x + 2x = -8 – 6

7x = -14

X = -14/7 = -2

5) 3x + 7 = 0

3x = -7

X = -7/3

25

6) A memiliki $20 lebih dari B, tetapi nilainya ½ dari C, jika jumlah ketiganya adalah = $80 ,

berapa masing-masing uang mereka

Jawab :

Mis : uang B = $ x mata uang A = $20 + x dan A = ½ C atau C = 2A

Jumlah A + B + C = 20 + x + x + 2 (20 + x) = 80

60 + 2x + 4x = 80 – 80 4x = 20

X= 5

Jadi B = 15$

A = 25$

C = 36$

b) System persamaan linear dengan 2 peubah (variable) bentuk umum dari (P,S,L dengan 2

peubah adalah :

1. A1x + b1y + c1 = 0 a1x + b1y = -c1

2. A2x + b27 + c2 = 0 a2x + b2y = -c2

- C1 a1, b1, c1, a2, b2, c2 = R

- C2

Persamaan 1 a 1 / b1 boleh ( 0 ) tetapi tidak boleh kedua-duanya 0, demikian juga pada persamaan

ke 2. Persamaan tersebut diatas adalah persamaan garis lurus. Sehingga penyelesaian dari system

penyelesaian diatas dapat ditentukan sebagai koordinat titik potong antara 2 buah garis lurus (x, y)

dan himpunan penyesuaiannya (x,y) untuk menentukan penyelesaian tersebut dapat dilakukan

beberapa cara :

a) Metode grafik

b) Metode subtitusi

c) Metode eliminasi

d) Metode determinan

a. METODE GRAFIK

Dengan metode ini, setiap garis pada persamaan linear tersebut diatas kita gambar grafiknya

pada system koordinat cartesius. Yaitu koordinat titik potong antara ke 2 garis yang hasilnya akan

sama dengan cara hitung metode subtitusi dan metode eliminasi.

Contoh :

26

Tentukan : Hp dari s. persamaan I = x + y = 4

II = x – y = 16

Dengan metode grafik

Solusi jawaban

X + y = 4

Untuk x = 0 x + y = 4

0 + y = 4

Y = 4 x,y = (0,4)

Untuk y = 0 x + y = 4

X + 0 = 4

X = 4 x.y = (4,0)

X – 2y = 16

Untuk x = 0 x – 2y = 16

0 – 2y = 16

-2y = 16

Y = y =16/-2 = -8 x,y = (0, -8)

Untuk y = 0 x – 2y = 16

X – 0 = 16

X = 16 x,y = (16,0)

Model grafiknya :

27

b. MODEL SUBTISUSI

Subtitusi artinya : menggantikan / memasukan nilainya. Metode ini lebih tepat dipergunakan

apabila pada system persamaan linear dengan 2 perubah / variable. Terdapat persamaan

dengan salah satukoefisiend dari salah satu perubahan variablernya adalah satu.

Contoh :

1. 3x + y =1 (I)

2x – 3y = 8 (Z)

Persamaan I 3x + y = 1

Y = 1 – 3x (3)

Subs (masukkan) y = 1 – 3 x ke pers (z)

2x – 3x = 8 untuk x = 1 subs ke pers (3)

2x – 3 (1 – 3x) = 8 y = 1 – 3 x

2x – 3 + 9x = 8 y = 1 – 3 (1)

11x = 11 = 1 – 3

X = 11/11 y = - 2

Hp ( 1, -2 )

2. 2x + 3x = 20

3x – y = -3

Jawab : Pres (2) = 3x – y = 3

-y = -3 -3x (x) –

Y = 3 + 3x ….. (x)

Y = 3+ 3x subs ke pers (1)

2x + 3y = 20 11x = 11

2x + 3 (3 + 3x) = 20 x = 1

X = 1 sub ke pers (3) y = 3 + 3 (I)

Y = 6 hp (1,6)

28

c. METODE ELIMINASI

Eliminasi artinya menghilangkan salah satu unsure / variable, sehinggga dari 2 variabel semua

menjadi hanya 1 variabel. System p.s tersebut dapat diselesaikan, cara menghilangkan salah

satu variable tersebut adalah, dengen menyamakan koefisiens dari variable tersebut.

Kemudian dikurangkan apabila tanda-tandanya berlawanan / berbeda.

Contoh :

Tentukan Hp. Dengan eliminasi

1. 3x + y = 1 (1)

2x – 3y = 8 (2)

Jawab :

3x + y = 1 x2 6x + 2y = 2

2x – 3y = 8 x3 6x – 9y = 24

11y = -22

Y = -22/11

Mencari y y = -2

3x + y =1 x 3 9x + 3y = 3

2x – 3y = 8 x1 2x – 3y = 8

11x = -22

X = 11/11

Mencari x 1 = 1

Jadi Hp = (1, -2)

d. PENGGABUNGAN ELIMINASI DAN SUBTITUSI

1. 3x + y = 1… … (1)

2x – 3y = 8 … … (2)

Cara eliminasi :

3x + y = 1 .2 6x + 2y = 2

2x – 3y = 8 .3 6x – 9y = 24

11y = -22

Y = -2

Cara subtitusi

29

Y = -2 sub ke persamaan (1)

3x + y = 1

3x + y – 2 = 1

3x – 1 + 2

X = 1

a. Yang lebih umum untuk dipergunakan adalah metode eliminasi yang digabungkan

dengan subtitsi.

b. Metode subtitusi lebih tepat digunakan apabila salah satu koefisien darisalah satu

variabbel itu adalah 1

c. Metode grafik lebih tepat dipergunakan untuk memperkirakan/mengecek hasil

penyelesaian dengan metode sustitusi / eliminasi dengan cara menggambarkan grafik

garis-garis pada system persamaan tersebut dan menentukan titik potongnya.

e. METODE DETERMINAN (S)

Persamaan dengan 2 variabel

1. Ax + by = k … … (I)

Cx + dy = I … … (II)

Untuk met x dan y

X = Sy/S y = Sy/y

S = a b = ad – bc

c d

Sx = K b = kd – bl

L d

Sy = ak = al – kc

Cl

X = kd – bl y = al – kc

Ad bc ad – bc

30

Contoh :

1. X + y = 7 D.M Det

X – y = 19

Solusi

S = 1 1 = 1. ( 1) – 1 (1)

1 -1 -1 -1 2

Sx = 7 1 = 7 (-1) -1 (19)

19 -1 -7 -19 = -26

Sy = 1 7 = 19 – 7 = 12

1 19

Jadi x = 26 / -2 = 13

Y = 12 / -2

Hp ( 13, 6)

2. 2x + y = 5

2x + 3y = -1

S = 2 1 = 6 – 2 = 4

2 3

Sx = 5 1 = 15 – (-1) = 16

-1 3

Sy = 2 5 = -2 – 10 = 12

2 -1

X = 16 / 4 = 4

Y = -12 / 4 = 3

METODE DETERMINAN DENGAN 3 VARIABEL

1. Persamaan dengan 3 variabel / peubah adalah

A1x + b1y = ciz = k ( I )

A2x + b2y = c2z = I ( II )

A3x + b3y = c3z = m ( III )

31

Karena memiliki 3 variabel maka harus memiliki 3 persamaan

X = sx / s y = sy / s z = sz / s

Sy = c1 a1 k c1 a1

C2 a2 I c2 a2

C3 a3 m c3 a3

Sz = A1 b1 k a1 b1

A2 b2 I a2 b2

A3 b3 m a3 b3

X = sx / s = ** / *

Y = sz / s = **** / * HP ( X, Y, Z )

Z = sz / s = **** / *

A1x + b1y = ciz = 0 ( I )

A2x + b2y = c2z = 0 ( II )

A3x + b3y = c3z = 0 ( III )

Eliminasi pers . ( I ) & ( II )

A1x + b1y + c1z = 0 x pers (2) …

A2x + b2y + c2z = 0 x pers (1) …

Menjadi (a1 – a2) x + (b1 – b2) y = 0 …. (IV)

Eliminasi pers II dan III

A2x + b2y + c2z = 0 x pers (2) …

A3x + b3y + c3z = 0 x pers (1) …

Menjadi (a2 – a3) x + (b2 – b3) y = 0 …. (IV)

Pada * dan ** yang dicoret harus z agar mendapatkan nilai x dan y lebih mudah.

Persamaan (IV) dan (V) dapat dengan cara subtitsi / eliminasi

(a1 – a2) x + (b1 – b2) y = 0 dapat ditentukan variabelnya

32

(a2 – a3) x + (b2 – b3) y = 0 x dan y dengan cara subtitusi/eliminasi

Subtitusi ke salah satu persamaan awal (1) (2) dan (3) maka didapatkan hp (X,Y,Z)

Contoh soal

1. 2x – y – 2z = 15 … (I)

3x + 2y + z = 17 … (II)

X + 4y – 3z = 29 … (III)

Eliminasi pers I dan II

2x – y – 2z = 5 x 1 = 2x – y – 2z = 5

3x + 2y + z = 17 x 2 = 6x + 2z = 34

8x + 3y = 39 ….. (IV)

Eliminasi pers II dan III

3x + 2y + z = 17 x 3 9x + 6y + 3z = 51

3x + 2y + z = 17 x 2 x + 4z - 3/z = 29

10x + 10y = 80

X + y = 80 … (IV)

Pers (4 dan 5) dapat dikerjakan dengan cara eliminasi / subtitusi. Sustitusi apabila pada

persamaan 4 dan 5 terdapat 1 koefisien (apabila tidak ada maka harus dengan eliminasi)

8x + 3y = 39 … (IV)

X + y = 8 … (V)

M AB = m BP satu garis

Y2 – y1 = y – y2 y2 – y1 = x2 – x1 … (4)

X2 – x1 x – x1 y – y2 x – x2

Y – y1 = x – x1

Y2 – y1 x2 – x1

33

LATIHAN :

1. Carilah hambatan parallel untuk R1 = 2V3 ohm dan R3 = V12 ohm

2. Diketahui suatu rangkain listrik parael terdiri dari 3 hambatan yang dipasang secara prarel :

jika R total = 0,5 ohm : R1 = 2 ohm : R2 = 1 ½ ohm dan R3 = x – 2 ohm, carilah nilai x itu

3. Jumlah dari dua bilangan A dan B adalah 16, sedangkan selisih dua bilangan tersebut

adalah 4, berapakah bilangan-bilangan itu?

4. Carilah nilai x dan y dari system persamaan dibawah ini :

2x / 3 – 3y / 5 = ¾ dan x / 2 – y / 4 = 13 / 16

5. Hitunglah nilai a, b, dan c dari system persamaan linear dibawah ini :

3a + 2b – c = 4

2a + b + c = 7

A – b + c = 2

6. Dua buah kapal adalah 99 nautical mil jaraknya steaming pada kecepatan yang berbeda,

jika dua kapal tersebut mengadakan perjalanan langsung kedepan bersama-sama mereka

akan bertemu dalam waktu 3 jam. Jika mereka steaming dalam arah yang sama pada

tempat yang sama mereka akan bertemu dalam waktu 49 ½ jam. Berapakah kecepatan

kedua kapal tersebut masing-masing

7. Hokum wiliam mengenai hubungan antara konsumsi uap dan tenanga yang dikembangkan

oleh sebuah steam engine dalam kondisi tertentu dapat dijelaskan

M = a + bP

Dimana m adalah mass uap yang digunakan perjam

P adalah tenaga yang dikembangkan

A dan b adalah konstanta

Jika apda suatu ketika pada mesin itu m = 2025 kg/jam saat P = 250 kw dan m = 1515

kg/jam saat P = 175kw

a. Carilah besarnya konstanta a dan b

b. Berapa kg/jam nilai m saat p = 200kw

34

BAB III

PERSAMAAN KUADRAT

a. PENGERTIAN

Ialah suatu bentuk persamaan dengan variable x yang mempunyai pangkat tertinggi misalnya :

X2 – 3x – 2 = 0

2x2 = 3x

2x2 + 3 = 0

b. BENTUK UMUM PERSAMAAN KUADRAT

Bentuk umum : ax + bx + c = 0 ; a,b,c, E R,

A F o ( sebab bila a = o bentuk tsb menjadi bx + c = 0 yakni persamaan

linear)

c. PENYELESAIAN PERSAMAAN KUADRAT

Ialah nilai – nilai x yang memenuhi bentuk suatu persamaan kuadrat misalnya : x2 – 5x + 4 =

0, akar-akarnya adalah x = 1 dan x = 4, sebab 12 – 5,1 + 4 = 0 demikian pula 42 – 5,4 + 4 = 0

sedangkan x = 3 bukan persamaan itu, sebab 32+ - 5,3 + 4 # 0 bagaimana cara mencarinya :

d. MENCARI AKAR-AKAR PERSAMAAN KUADRAT

Dengan faktorisasi

4x2 – 9 = 0

4x2 = 9

X2 = 9/4

X = (3/2)1/2

X = I v3/2

X2 . ½ = (9/4)1/2

X1 = 3.2 x2 = -3 / 2

HP (3/2, -3/2)

Note :

Tentukan akar dapat dengan faktorisasi

Cara : (a – b) a2 – b2 = (a + b)

35

(a – b)2 = (a – b) (a + b)a2 – 2ab + b2

(a + b)2 = (a + b) (a + b) a2 + 2ab + b2

Rumus Abc

Ax2 + bx + c = 0

Ax2 + bx = -c : a x2 + bx : -c

(x + b/a)2 : -c / a a : a

Note :

(x + b/a)2

X2 + 2 . b/a . x + (b/a)2

(x + b/a)2 = -c/a + 4 b/a

(x - b/a)2 = -c/a + 4 b/a

X – b/a = + V-c/a + 4 b/a

X1 = -b/a + V-c + 4ab

A

X12 = -b + vb2 + 4ac = -b + V d/2a

2a

Contoh soal :

Tentukan hp dengan rumus abc dari :

1. 6x2 – 11x – 10 = 0

= -b + Vb2 – 4 ac

2a

= 11 + V121 + 4 (60)

= 11 + V361

12

X1 = 11 + 19 = 30 = 5/2

12 12

X2 = 11 – 19 = -8 = -2/3

12 12

36

37

38

39

40

41

42

43

44

Luas bidang datar satuannya dalam pangkat 2 : m2 , cm2

1. PERSEGI PANJANG

L = P x L : Kel = 2 (P + I)

2. PERSEGI

L = Sisi x sisi : Kel = 4 x sisi

3. LINGKARAN

L = rr2 : Kel = 2rr

45

4. JAJAR GENJANG

L = P x L

5. TRAPESIUM

L = Jumlah Garis sejajar x t/2

6. SEGITIGA

L = Alas x T/2

Volume = satuannya dalam pangkat 3 : m3 , cm 3

7. KUBUS

Volume = a x a x a

46

8. BALOK

Volume = P X I X I

9. PRISMA

Volume = L alas x tinggi

10. PIRAMID

Volume = 1/3 x luas alas x tinggi

11. SILINDER

Volume = rr2t

47

12. KERUCUT

Volume = 1/3 rr2t

Contoh :

1. Sebuah ruangan penyimpanan barang ukurannya adalah 6.4 m x 4.5 m. carilah luasnya

dalam satuan feet (1m = 3.28m)

2. Sebuah persegi panjang tingginya 1 meter. Suatu segitiga yang alasnya sama memiliki luas

sama dengan 2/3 luas persegi panjang. Carilah tinggi segitiga itu

3. Sebuah tank alasnya berukuran 20 x 15 m dan sisinya tegak. Jika berisi iar 2400m3 air

berapakah tinggi tersebut ?

4. Keliling segitiga sama sisi = 240 m dan alasnya 5 cm, carilah luas

a. L permukaan silinder 2nrr2 x 2nrh

b. Luas permukaan balok 2 p.t + 2pl + 2 lt

c. Luas permukaan limas L Alas + J Luas Segiti sisi tegak

d. L Permukaan kerucut nr2 + nrs

Bola

Memiliki jari-jari = r

Luas permukaan = 4 nr2

Volumenya 4nr2 / 3

Contoh :

1. Luas permukaan bola adalah 616 c,2 berapakah volumenya

2. Diameter sebuah bola adalah 30 cm carilah luas permukaan dan biaya gelindingnya

untuk $1.50 cm2

48

IRREGULAR FIGURES

Simpsons first rule. This method of finding the area of an irregular figure is one of the most useful to

marine enginers nad neval architects. Briefly it is staled :

To the sum of the first and last ordinates, add four times the even ordinates and twice the odd

ordinate, multiply this sum by one thirs the common interval and the result is the area of the figure

An odd number of ordinates, equally spaced, must be used for this rule, step by step, the

producedure is as follow, referring figure.

1. Divide the given figure into an even number of equally spaced parts, this gives and odd

number of ordinates

2. Measure the ordinates and the common distance between them

3. Add together : the first ordinate the last ordinate, four time the event ordinates and twice the

odd ordinates

4. Multiply the aboce sum by one – the third of the third of common distance between the

ordinates.

49

Example

A flat-plate is shaped as shown in fig, the dimension being in millimeters, find its area by simson’s

rule

Working in centimeters and seting out in tabulated form :

Ordinates simpson’s Multipliers product

0 1 0

3.5.4 4 14.16

6.32 2 12.64

8.34 4 33.26

9.6 2 19.20

10.2 4 40.80

9.96 2 19.92

8.68 4 37.72

5.8 1 5.80

Sum = 180.60

Common interval = length : number of spaces = 320 : 8 = 40 ,, = 4 cm

Luas = 180.6 x 4 / 3 = 240.8 cm2

From the explanation 1.4.1

5 1.4.2.4.1

7 1.4.2.4.2.4.1

9 1.4.2.4.2.4.2.4.1

This rule is often experesed in formula fashion thus :

Area h/3 (a + 4b + 2x + 4c + e)

H being the coming interval a,b,c etc being ordinates

50

The student, however, is advised to set out the work in tabulated form as in the example shown

because, in work to follow, simpson’s rule is applied in finding first and second moments of irregular

shapes and this is most neatly done by extending the tables as for areas.

The man (average) height of an irregular figure can be obtained by dividing the area its lengtht, or can

be found direct bye simpson’s rule bye dividing the sum of the product of the ordinates and theirs

multipliers, by the total of multipliers

In the foreging example the two methods of obtaining the mean height would be :

( I ) area = 240.8 cm2

Length = 32 cm

Mean height = 240.8 : 32 = 7.525 cm = 75.25 mm

( II ) Sum of product = 180.6

Sum Multipliers = 1 + 4 + 2 + 4 + 2 + 4 + 2 + 4 + 1 = 24

Mean Height = 180.6 : 245 = 7.525 cm

Example

The ordinates measured art wart ship across a ship at her lad water line are : 0,2 : 9, 15.5 : 20 : 21.5 :

20.5 : 18.5 : 12.5 : and 1.3 meters respectively, and the length is 180 meters. Find the water plane

are

Ordinates simpson’s Multipliers product

Number ordinates =

Number of Spaces =

Commong interval = lengths : no of space

=

Water plane area =

51

Latihan

Regularly spaces semi = ordinates measured transverly across at ship the load water line are as

follow : 0,1 : 3,5.8.5 : 7.2 : 8.1: 8.4 : 8.4 : 8.25 :8.1: 7.5 : 6.3 : 3.75 and 0.5 meters respectively and

the length is 150 meters. Find the area of the water plane by simsons rule

52

Dalam mencari luas segitiga pada gambar diatas kita dapat menggunakan rumus :

1. L = s V (s-a) (s-b) (s-c)

Dimana : s = ½ (a + b + c)

2. L = ½ ab sin x

Atau

L = ½ bc sin

Atau

L = ½ ac sin

Contoh :

Dik : dalam segitiga a = 15 : b = 20 : c = 25, carilah luas segitiga itu, jawab

A = 15

B = 20 s = 15+20+25

C = 25 2

= 30

53

V. TRIGONOMETRI

a. Pengertian dan perbandingan trigonometri

< ABC disebut Betha

< BAC disebut Alpha

< BCA disebut Gamma

Nama-nama perbandingan trigonometri

1. Sinus a disingkat sin a

2. Cosines a disingkat cos a

3. Tangent a disingkat tg a

4. Cotangent a disingkat cotg a

5. Secans a disebut sec a

6. Cosecans a disingkat cosec a

Ditinjau dari a dalam segitiga

Siku-siku ABC

Sisi BC = a

Sisi AB = c

Sisi AC = b

1. Sin a = c / a

2. Cos a = b / c

3. Tg a = a / b

4. Cotg a = b / a

5. Sec a = c / b / = 1 / cosa

6. Cosec a = c / a = 1 / sina

54

PENGUKURAN SUDUT

Sudut dapat diukur dalam beberapa cara. Jika sebuah lingkaran dibagi dalam 360 derajat bagian

yang sama yang masing-masing sudut terbentuk disebut = 1 derajat masing-masin sudut dibagi

dalam 60 bagian yang sama disebut minutes .

- 1 minute ditulis 1’ untuk mencegah pengertian dengan minute waktu maka minute waktu

diterjemahkan dalam min of m

- Masing-masing minute dibagi dalam 60 bagian yang sama yang disebut second diluts 1

bukan 1 secong yang terbiasa digunakan dalam 1 sekon waktu.

60 secons = 1 minute 60 = 1’

60 minute = 1 60’ = 1

90 = 1 sudut siku-siku

Dalam sebuah circular measure

Circumference dari sebuah lingkaran adalah 2n sepanjang jari-jari lingkaran. N adalah ratio dan

menggunakan pendekatan 3.1416 kadang kita juga menggunakan 22/7 walaupun itu bukan

pendekatan yang bagus sudut yang dibentuk dari sebuah panjang busur dengan jari-jari disebut

radian itu lah makanya 2nrad terdapat dalam sebuah lingkaran maka :

55

b. Fungsi Trigonometri pada Koordinator

1. Letak dalam kwadran 1 (00 < Q < 900)

2. Letak dalam kewadran II (900 < a < 1800)

56

3. Letak dalam kwadran III (1800 < a < 2700)

4. Letak dalam kwadran IV (2700 < a < 3600)

Rumus – rumus Trigonometri

1. Kwadran I

a. Sin (90 – a)0 = cos a

b. Cos (90 – a)0 = sin a

c. Tg (90 – a)0 = cotg a

d. Tg a = sin a / cos a

e. Sin2a = cos2 a = 1

57

2. Kwadran II

a. Sin (180 – a) = sin a

b. Cos (180 – a) = - cos a

c. Tg (180 – a) = - tg a

d. Sin (90 + a)0 = cos a

e. Cos (90 – a)0 = - sin a

f. Tg (90 – a) = - cotg a

3. Kwadran III

a. Sin (180 + a) = - sin a

b. Cos (180 + a) = - cos a

c. Tg (180 + a) = cotg a

d. Sin (270 - a)0 = - cos a

e. Cos (270 – a)0 = - sin a

f. Tg (270 – a) = cotg a

4. Kwadran IV

a. Sin (360 - a) = - cos a

b. Cos (360 - a) = cos a

c. Tg (360 - a) = - tg a

d. Sin (270 + a) = - cos a

e. Cos (270 + a) = sin a

f. Tg (270 + a) = - cotg a

5. Sudut-sudut istimewa

Jika G = 300 Jika G = 600 maka :

Sin 300 = ½ sin 600 = ½ V3

Cos 300 = ½ V3 cos 600 = ½

Tg 300 = ½ V3 tg 600 = V3

Cotg 300 = V3 cotg 600 = ½ V3

58

BUKTI

59

DAFTAR NILAI TRIGONOMETRI UNTU (SATU) PERIODE DALAM SUDUT ISTIMEWA

Cara menghitung nilai trihonometri jika a > 3600 adalah sebagai berikut :

Sin (360 – a) = sin a

Cos (360 – a) = cos a

Tg (360 – a) = tg a

Cotg (360 – a) = cotg a

Contoh a = 9600

A = 9600 2x 3600 + 2400 maka

Sin 9600 = sin (2 x 3600) + (2400 + 2400) = sin 2400

Sin 2400 = sin (1800 + 600)

= sin 600 = ½ V3

Cos 9600 = cos (2x3600 +2400) = cos 2400

Cos 2400 = cos (1800 + 600 ) = cos 600 = ½

Tg 9600 = tg (2x3600 + 2400) = tg 2400

Tg 2400 = tg (1800 + 600) = tg 600 = V3

.

60

VI. SUDUT NEGATIF DAN GRAFIK FUNGSI

A. Sudut Negatif di ukur

B. Grafik fungsi Trigonometri

Untuk menggambar grafik trigonometri penggunaan sistim coordinator sebagai berikut : absisi

titik-titik dari grafik menyatakan besarnya sudut sedangkan ordinatnya merupakan harga

fungsi :

1. Y = sin x

Gambar

61

2. Y = cos x

3. Y = tg x

62

LATIHAN !

1. Cari nilai dari

COS 4900

Sin 6000

Tg 8550

2. Cari nilai dari

Sin – 1350

Cos – 4950

3. Sudut-sudut alas segitiga sama kaki = 450 hitung :

a. Tinggi

b. Alasnya

c. Luasnya

63

DENSITY AND SPECIFIK GRAVITY

DENSITY s the mass per unit volume : lbs/ft3+ kg/dm3+ kg/m3

SPECIFIC GRAVITY is the ration of the mass of a unit volume of a substance to the mass of the

same volume of water at standart temeperatur, usually, 40c

Density of a Subtance

S.G = Density of Water

BIRITISH SYSTEM

S.G = Density of Subtance S.G = Density of Subtance

Density of Water Density of Water

S.G = 36.2 lbs/ft3 S.G = 0.58.lbs/ft3

62.4 lbs/ft3 62.4 lbs/ft3

S.G = 0.52 S.G = 0.58

Notice that in the S.I System the density and specific gravity of a substance are the same in

numerical value with the spesifik gravity having no units.

Although kg/m3 is the base unit of measurement for density the following unit are sometime used :

Desinty of Liquid kg/dm3

Density of passport kg/dm3

To convert from one unitto the other in the S.I. System study the following :

1 kg/dm3 = 1.000 kg/m3

0,0001 kg /dm3 = 1kg/m3

When calculating the specific gravity of a liquid the density of a substance is compared to that of

water. However, when calculating the specific gravity of a vapor the density of the vapor is compared

to that of air (air = 1.0)

Density of water = 1.0 kg/dm3 or 1.000 kg/m3

Density of air = 1.0 kg/dm3

64

65

66

67

68

SOAL :

1. Sebatang bamboo yang panjangnya 6 m tersandar pada tembok rumah sedemikian, sehingga

membentuk sudut 600 dengan tanah :

Hitunglah :

a. Tinggi Ujung atas bambu

b. Jarak ujung bawah bambu dan tembok

2. Suatu kapal berlayar sejauh 24 km kejurusan 2400 kemudian 56 km dengan jurusan 2100.

Berapa jarak selatan dan jarak barat kapal itu titik keberangkatannya