Embed Size (px)
Citation preview
BILANGAN KOMPLEKS
A. Bilangan Kompleks
1. Definisi Bilangan Kompleks
Bilangan kompleks z :
Merupakan pasangan berurut ( x , y ) dengan x , y∈ℜ .
Ditulis : z=( x , y ) .
Merupakan bilangan yang berbentuk x+iy dengan x , y∈ℜ dan
i=(0,1 )=√−1 . Ditulis : z=x+iy .
Jika z=( x , y )=x+ iy maka
x=Re ( z ) = bagian riil z,
y=Im ( z ) = bagian imajiner z,
i = satuan imajiner dan i2=−1 .
Ada beberapa hal yang perlu diperhatikan dalam bilangan kompleks yaitu
a. C = himpunan bilangan kompleks
= {z | z=x+iy , x , y∈ℜ ∧ i2=−1} .b. Jika Re ( z )=0 dan Im ( z )≠0maka z dinamakan bilangan imajiner
murni.
c. Jika Re ( z )≠0 dan Im ( z )=0maka z merupakan bilangan riil.
d. Kesamaan bilangan kompleks.
Misalkan z1=x1+ iy1 dan z2=x2+iy2 .
z1=z2 jika dan hanya jika x1=x2 dan y1= y2 .
2. Operasi – operasi Aljabar Bilangan Kompleks
Operasi aljabar pada bilangan kompleks sesuai dengan operasi aljabar pada
bilangan riil.
Misalkan z1=x1+ iy1 dan z2=x2+iy2 .
a.Penjumlahan : z1+z2=(x1+x2)+ i ( y1+ y2)
b.Pengurangan : z1−z2=(x1−x2)+i ( y1− y2)
c.Perkalian :
z1 z2=( x1+iy1 ) (x2+iy2 )=(x1 x2− y1 y2 )+i (x1 y2+x2 y1)
d.Pembagian :
z1
z2
=z1 z2−1=
x1 x2+ y1 y2
x22+ y
22
+ ix2 y1−x1 y2
x22+ y
22
, z2≠0
Perlu diperhatikan :
1. −z ( negatif z ).
Jika z=x+iy maka −z=−x−iy .
2. z−1=1
z ( kebalikan z )
Jika z=x+iy maka z−1= x
x2+ y 2−i
y
x2+ y2.
3. Sifat Operasi Aljabar
a. Hukum Komutatif
Untuk setiap z1, z2∈C berlaku
1) z1+ z2=z2+z1
Bukti:
z1+ z2=(x¿¿1+i y1)+(x2+i y2)¿¿(x¿¿1+x2)+i( y1+ y2)¿
¿(x¿¿2+x1)+i( y2+ y1)¿¿ z2+ z1
2) z1 z2=z2 z1
Bukti:
z1 z2=( x1+i y1 ) ( x2+i y2 )
¿(x¿¿1 x2− y1 y2)+i( y1 x2+x1 y2)¿
¿(x¿¿2 x1− y2 y1)+i( y2 x1+x2 y1)¿
¿ z2 z1
b. Hukum Asosiatif
Untuk setiap z1, z2 , z3∈C berlaku
1) z1+(z¿¿2+z3)=(z¿¿1+z2)+z3¿¿
Bukti:
z1+(z¿¿2+z3)=( x1+i y1 )+¿¿¿ ( x1+i y1 )+¿¿¿¿¿¿¿¿(z¿¿1+z2)+z3 ¿
2) z1(z¿¿2 z3)=(z1 z2)z3 ¿
Bukti:
z1(z¿¿2 z3)=( x1+ i y1 )¿¿¿ ( x1+i y1 )¿
¿ ( x1 x2 x3−x1 y2 y3− y1 x2 y3− y1 x3 y2)+ i( x1 x2 y3+x1 x3 y2+ y1 x2 x3− y1 y2 y3)
¿(x¿¿3 ( x1 x2− y1 y2 )+ y3( y1 y2−x1 y2))+i(x3 ( x1 y2+ y1 x2 )+ y3(x1 x2− y1 y2))¿
¿ (( x1 x2− y1 y2 )+i ( x1 y2+ y1 x2 )) (x3+i y3)¿(z1 z2) z3
c. Hukum Distributif
1) Distributif Kanan
Jika z1=x1 + iy1 , z2= x2 + iy2 , z3= x3 + iy3
Akan dibuktikan (z1 + z2) z3 = z1z3 + z2z3
(z1 + z2) z3 = {(x1+iy1 )+(x2+ iy2 ) } (x3+iy3 )
= {(x1+iy1 ) (x3+iy3 )}+ {(x2+ iy2) (x3+iy3) }
= (x1+iy1) (x3+iy3)+ (x2+iy2 )( x3+iy3 )
= (x1 x3+x1 iy3+iy1 x3+iy1 iy3)+( x2 x3+x2 iy3+iy2 x3+ iy2 iy3)
={(x1 x3+x1 iy3 )+( iy1 x3+ iy1 iy3) }+ {(x2 x3+x2 iy3 )+( iy2 x3+ iy2 iy3) }
= [ {x1 (x3+iy3 )}+ {iy1 (x3+iy3 )}]+[ {x2 (x3+iy3 )}+ {iy2 ( x3+iy3) }]
= {(x1+iy1 ) (x3+iy3 )}+ {(x2+ iy2) (x3+iy3) }
= (z1 . z3)+( z2 z3 )
= z1z3 + z2z3 (Terbukti)
2) Distributif Kiri
Jika z1=x1 + iy1 , z2= x2 + iy2 , z3= x3 + iy3
Akan dibuktikan z1(z2 +z3) = z1z2 + z1z3
z1(z2 +z3) = (x1+iy1) {(x2+iy2 )+(x3+ iy3) }
= {(x1+iy1 ) (x2+iy2 )}+ {(x1+ iy1) ( x3+iy3) }
= (x1+iy1) (x2+ iy2)+ (x1+iy1 ) (x3+iy3 )
= (x1 x2+x1 iy2+iy1 x2+iy1 iy2)+( x1 x3+x1iy3+iy1 x3+iy1 iy3 )
= {(x1 x2+x1iy2 )+( iy1 x2+iy1 iy2) }+ {(x1 x3+x1 iy3 )+( iy1 x3+iy1 iy3 )}
= [ {x1 (x2+iy2 )}+ {iy1 (x2+iy2 )}]+[ {x1 (x3+iy3 )}+ {iy1 (x3+iy3 )}]
= {(x1+iy1 ) (x2+iy2 )}+ {(x1+ iy1) ( x3+iy3) }
= (z1 . z2)+(z1 z3 )
= z1z2 + z1z3 (Terbukti)
3) Unsur Identitas
1) Identitas Penjumlahan
Ambil sebarang z=a+bi . Misal I adalah elemen identitas maka
berlaku
z+ I=z(a+bi)+ I=(a+bi)I =(a+bi)−(a+bi)=( a+bi)+(a−bi)=( a−a)+(b−b ) i=0+0 i
Jadi elemen identitas penjumlahan pada bilangan kompleks adalah
0+0i
2) Identitas Perkalian
Ambil sebarang z=a+bi . Misal I adalah elemen identitas maka
berlaku
z⋅I=z(a+bi)⋅I=( a+bi)
I =(a+bi)(a+bi)
=( a+bi)( a+bi)
⋅(a−bi)(a−bi)
=a2−abi+abi+b2
a2−abi+abi+b2
¿a2+b2
a2+b2
¿1+0i
Jadi elemen identitas penjumlahan pada bilangan kompleks adalah
0+0i
4) Unsur Balikan (invers)
1) Untuk setiap z∈C terdapat −z∈C sehingga berlaku z+(−z )=0 (−z
lawan dari z)
Bukti:
Misalkan z=¿) maka −z=−x−iy
z+(−z )=¿)+(−x−iy)
¿ ( x−x )+i ( y− y )
¿0
2) Untuk setiap z∈C−{0 } terdapat z−1∈C berlaku zz−1=1 (z−1 kebalikan
dari z)
Misalkan z=a+ib , a ,b∈R , z ≠ 0 dan z−1=x+iy maka diperoleh
zz−1=1
(a+ ib) ( x+iy )=1
ax+iay+ibx−by=1+ i0
ax−by+ i (bx+ay )=1+ i0
Sehingga diperoleh persamaan
ax−by=1 …1¿
bx+ay=0 …2¿
Dengan menggunakan determinan, penyelesaian system persamaan
tersebut adalah
x=|1 −b0 a ||a −bb a |
= aa2+b2
y=|a 1b 0|
|a −bb a |
= −ba2+b2
Terbukti bahwa terdapat z−1=
a
a2+b2 +i( −b
a2+b2 )∈C sehingga zz−1=1.
4. Dasar-dasar Aksiomatik Sistem Bilangan Kompleks
Dari sudut pandang logika dimungkinkan untuk mendefinisikan suatu
bilangan komplek sebagai suatu pasangan terurut (a, b) dari bilangan real a
dan b terhadap operasi tertentu, yang kemudian setara dengan yang di atas.
Definisi ini adalah sebagai berikut, dimana semua huruf menyatakan
bilangan real.
a. Kesamaan
(a, b) = (c, d) jika dan hanya jika a = c, b = d
b. Jumlah
(a, b) + (c, d) = (a+c, b+d)
c. Hasilkali
(a, b) . (c, d) = (ac – bd, ad + bc)
m(a, b) = (ma, mb)
B. Bilangan Kompleks Sekawan (Conjugate) dan Modulus
1. Bilangan Kompleks Sekawan (Conjugate)
Salah satu komponen yang penting dalam bilangan kompleks adalah
konjugate (sekawan). Konjugate bilangan kompleks z=x+iy ; x , y∈R
adalah z=x−iy . Konjugate z tidak lain adalah pencerminan z terhadap
sumbu Re z. Secara grafik dapat dilihat sebagai berikut.
Grafik Ilustrasi Bilangan Kompleks Sekawan
Jika z1, z2∈C . Operasi conjugate bilangan kompleks adalah
a. z1+ z2=z1+z2
Bukti:
Ambil z1=x1+ i y1 dan z2=x2+ i y2
Maka z1+ z2=( x1+i y1 )+(x2+i y2)
¿(x¿¿1+x2)+i( y1+ y2)¿
z1+ z2=(x¿¿1+x2)+i( y1+ y2)¿
¿(x¿¿1+x2)−i( y1+ y2)¿
¿(x¿¿1−i y1)+(x2−i y2)¿
¿ z1+ z2
b. z1−z2=z1−z2
Bukti:
Ambil z1=x1+ i y1 dan z2=x2+ i y2
Maka z1−z2=( x1+i y1 )−(x2+i y2)
¿(x¿¿1−x2)+i( y1− y2)¿
z1−z2=( x¿¿1−x2)+i( y1− y2)¿
¿(x¿¿1−x2)−i( y1− y2)¿
¿(x¿¿1−i y1)−(x2−i y2)¿
¿ z1−z2
c. z1 z2=z1 z2
Bukti:
Ambil z1=x1+ i y1 dan z2=x2+ i y2
Maka z1 z2=( x1+i y1 ) ( x2+i y2 )=( x1 x2 )−( y1 y2 )+ i(x¿¿1 y¿¿2+x2 y1)¿¿
z1 z2=( x1 x2 )−( y1 y2)+i(x¿¿1 y¿¿2+x2 y1)¿¿
¿¿
¿¿
¿ ( x1−i y1) ( x2−i y2 )¿ z1 z2
d. ( z1
z2)= z1
z2
, z2
≠0
Bukti:
Ambil z1=x1+ i y1 dan z2=x2+ i y2
( z1
z2)= ( x1 x2+ y1 y2 )
x22+ y2
2 +ix2 y1−x1 y2
x22+ y2
2
¿( x1 x2+ y1 y2 )
x22+ y2
2 −ix2 y1−x1 y2
x22+ y2
2
¿x1 x2+ y1 y2−i x2 y1+ i x1 y2
x22+ y2
2
¿x1 x2+ y1 y2−i x2 y1+ i x1 y2
x22−¿¿
¿( x1−i y1) (x2+i y2)(x2−i y2)(x2+i y2)
¿( x1−i y1)(x2−i y2)
¿z1
z2
e. z=z
Bukti:
Ambil z=x+iy
Maka z=x−iy
z=x−iy
¿ x+(−iy ¿)¿
¿ x−(−iy )
¿ x+iy
¿ z
f. z z=[ℜ(z )]2+[ ℑ(z )]2
Bukti:
Ambil z=x+iy
Maka z=x−iy
z z=( x+iy )(x−iy)
¿ x2−ixy+ixy−(− y2)
¿ x2+y2
¿ [ ℜ( z)]2+ [ℑ(z )]2
g. z+z=2ℜ ( z ) atau ℜ ( z )= z+ z2
Bukti :
Ambil z=x+iy
Maka z=x−iy
z+z=( x+iy )+(x−iy)
¿ ( x+x )+ i ( y− y )
¿2 x
¿2ℜ ( z )
Bukti :
Misalz=x+iy maka z=x−iy=x+i(− y )
z+z2
=( x+iy )+( x+i(− y ))
2¿
( x+x )+i( y+(− y ))2
¿ 2 x+i .02
¿ 2 x2
¿ x
¿ℜ(z)Terbukti
Re z
Im z
x
iy
h. z−z=2 i ℑ ( z ) atau ℑ ( z )= z−z2 i
Bukti:
Ambil z=x+iy
Maka z=x−iy
z−z=( x+iy )−(x−iy)
¿ ( x−x )+i ( y+ y )
¿ i(2 y)
¿2 iy
¿2 i ℑ (z )
Bukti :
z−z2
=( x+iy )−( x+i(− y))
2 i¿
( x−x )+i( y−(− y ))2 i
¿0+i(2 y)
2i¿ 2 y
2 ii¿ y
¿ ℑ(z)Terbukti
2. Modulus
Coba perhatikan gambar berikut:
Representasi grafis modulus bilangan kompleks
Gambar di atas adalah bentuk penulisan bilangan kompleks yang
disebut bentuk sudut siku-siku atau bentuk retacngular. Penggal garis yang
menghubungkan titik asal dengan z disebut dengan Modulus. Buku lain
menggunakan istilah magnitude atau nilai mutlak. Biasanya modulus ini
dilambangkan dengan r atau z.
Dari gambar di atas diketahui z = x + iy dengan
x∈ R , y∈R dani2=−1. Maka kita peroleh
|z|=√x2+ y2 .
Sedangkan untuk sifat-sifat modulus adalah sebagai berikut :
a.|z1 z2|=|z1||z2|
Bukti :
Misal z1=x1+ iy1 dan z2=x2+iy2 maka berlaku
|Z1 . Z2|=¿¿|( x1 x2− y1 y2 )+i ( x1 y2+x2 y1 )|¿√ ( x1 x2− y1 y2 )2+( x1 y2+x2 y1)2
¿√ x12 x2
2+ y12 y2
2−2 x1 x2 y1 y2+x12 y2
2+x22 y1
2+2 x1 x2 y1 y2
¿√ (x12+ y1
2 ) ( x22+ y2
2 )¿√(x12+ y2
2) ∙√ (x22+ y1
2)|Z1 . Z2|=|z1|.|z2|
b.|
z1
z2
|=|z1||z2|
Bukti :
Misal z1=x1+ iy1 dan z2=x2+iy2 maka berlaku
|Z1
Z2|=|x1+ i y1
x2+ i y2
.x2−i y2
x2−i y2|¿|x1 x2+ y1 y2
x22+ y2
2 + ix2 y1−x1 y2
x22+ y2
2 |¿√( x1 x2+ y1 y2
x22+ y2
2 )2
+( x1 y1−x1 y2
x22+ y2
2 )2
¿√ x12+x2
2+ y12 y2
2+2 x1 x2 y1 y2+ x22 y1
2+x12 y2
2−2x1 x2 y1 y2
( x22+ y2
2 ) 2¿√ (x1
2+ y12 ) .¿¿¿
¿√ x1
2+ y12
√x22+ y2
2¿|z1||z2|
c. |z|=|z|Bukti:
Misal: z=x+iy danz=x−iy
Maka |z|=√x2+ y2
|z| =|x−iy|=√x2+(− y2)=√x2+ y2
=|z|(Terbukti)d. z . z=|z|2
Bukti :Misalz=x+iy maka z=x−iy=x−iy
z . z=( x+iy ) ( x−iy )¿ x2−ixy+ixy+ y2
¿ x2+ y2
¿|√ x2+ y2|2
z . z=|z|2
e. Pertidaksamaan Segitiga |z1+z2|≤|z1|+|z2|Bukti :Misal z1=x1+ iy1, dan z2=x2+ iy2
Maka |z1|=|x1+iy 1|=√ x12+ y1
2
|z2|=|x2+iy 2|=√ x22+ y2
2
|z1+z2|=|( x1+iy1 )+( x2+iy 2)|¿|( x1+x2 )+( y1+ y2 )i|¿√ (x1
2+2 x1 x2+x22+ y1
2+2 y1 y2+ y22 )¿√ x1
2+ y12+x2
2+ y22+2 x1 x2+2 y1 y2
Akan dibuktikan bahwa |z1+z2|≤|z1|+|z2|√ x1
2+ y12+x2
2+ y22+2 x1 x2+2 y1 y2 ≤√x1
2+ y12+√ x2
2+ y22
x12+ y1
2+x22+ y2
2+2 x1 x2+2 y1 y2≤ (x12+ y1
2 )+2√x12+ y1
2 √x22+ y2
2+(x22+ y2
2 )2 ( x1 x2+ y1 y2 ) ≤ 2√ x1
2+ y12√ x2
2+ y22( x1 x2+ y1 y2) ≤√ x1
2+ y12 √x2
2+ y22
x12 x2
2+2 x1 y1 x2 y2+ y12 y2
2≤ x12 x2
2+x12 y2
2+ y12 x2
2+ y12 y2
22 x1 y1 x2 y2≤ x12 y2
2+ y12 x2
2
x12 y2
2+ y12 x2
2−2 x1 y1 x2 y2 ≥ 0( x1 y2− y1 x2 )2≥ 0
Bentuk diatas memenuhi jadi terbukti bahwa|z1+z2|≤|z1|+|z2|
f. |z1−z2|≥|z1|−|z2|Bukti :
|z1|=|z1−z2+z2|≤|z1−z2|+|z2||z1|−|z2|≤|z1−z2||z1−z2|≥|z1|−|z2| (Terbukti)
0
y
r
P (x, y)
x
Jika kita perhatikan kembali gambar Representasi grafis modulus
bilangan kompleks, ada suatu sudut yang dibentuk oleh modulus dengan
sumbu nyata yang disebut argumen (ditulis arg z). Sudut ini diberi tanda .
Jelas bahwa
A rg z=¿ tan−1 yx
,−π<arg z≤ π
C. BENTUK KUTUB BILANGAN KOMPLEKS
Perhatikan gambar di bawah ini.
Jika P adalah suatu titik di bidang kompleks yang dikaitkan dengan bilangan
kompleks (x,y) atau x + iy, maka diperoleh sebagai berikut.
x = r cos θ
y = r sin θ
sehingga bentuk z = x + iy menjadi :
z = r cos θ + i r sin θ
z = r ( cos θ+ i r sin θ)
z = r Cis θ (Bentuk kutub bilangan kompleks)
Nilai argumen (θ ¿ dari z (arg z) tidak tunggal tetapi merupakan kelipatan 2π
(sesuai dengan kudran dimana titik z berada). Sedangkan, nilai utama dari arg
z ditulis Arg z dengan – π< Arg z<π adalah tunggal.
Jelas arg z = Arg z + 2nπ , n = 0, ± 1 ,± 2 ,…
Perlu diperhatikan bahwa :
z = r ¿ z=r ¿
= r cis θ = r cis (−θ ¿
arg z = θ arg z = −θ
Operasi Aljabar Bentuk Kutub dan Sifat Argumen
Misalkan ada dua bilangan kompleks yang dinyatakan dalam bentuk kutub :
z1 = r1 ¿ dan z2 = r2 ¿
dengan r1 = |z1|, r2 = |z2|, arg z1 = θ1, arg z2 = θ2.
Apabila dua bilangan komplek tersebut dilakukan operasi perkalian maka
hasilnya adalah:
z1z2 = r1r2 cis (θ1 + θ2)
= |z1 z2| cis (θ1 + θ2)
arg z1z2= arg z1 + arg z2
Sedangkan apabila dua bilangan kompleks dilakukan operasi pembagian
maka hasilnya adalah:
z1
z2
=r1
r2
cis (θ1−θ2 )=|z1
z2|cis (θ1−θ2 )
argz1
z2
=arg z1−arg z2 dengan syarat z2≠ 0
Invers sembarang bilangan kompleks z = re iθ yaitu:
z−1=1z=1
rcis(−θ)
arg1z=−arg z
Latihan soal
1. Jika z1=8+7 i dan z2=9−2i ,maka :
a. z1+ z2
b. ( z1−z2 )2
c.z1
z2
d.1
z12
e.z2
2 z1
2. Jika z1=4+3 i dan z2=2−5i ,maka :
a. ℜ z1
b. ℑ z1
c. ( z1 z2 )
3. Jika z1=3−5i , z2=5−2 i , dan z3=−2 maka :
a. 2 z1−z2−3 z3
b. 2 z1 (−z2−3 z3 )
4. Tentukan nilai x dan y sehingga memenuhi persamaan :
( x+ y )+i ( x− y )=14,8+i 6,2
5. Sederhanakanlah hasil dari :
(5+4 i ) (3+7 i ) (2−3 i )
6. Tentukan nilai a dan b, jika diketahui :
(a+b )+i (a−b )=(2+5 i )2+i (2−3i )
7. Nyatakan bilangan kompleks z = 2 + 2i dalam bentuk kutub!
8. Diketahui z = (-1 + i)(1 + i). Tentukan bentuk kutub dari z dan nilai z.
Latihan soal dan Penyelesaiannya
1. Jika z1=8+7 i dan z2=9−2i ,maka :
a. z1+ z2=(8+7 i )+(9−2i )=17+5i
b. ( z1−z2 )2=[ (8+7 i )−(9−2 i ) ]2=[−1+9 i ]2
¿ (−1+9 i ) (−1+9 i)=(−1 )2−9 i−9 i+81
¿1−18 i−81=−80−18i
c.z1
z2
= 8+7 i9−2i
¿(8+7i)(9−2 i)
(9+2i)(9+2i)
=58+79 i81+4
=5885
+ 7985
i
d.1
z12= 1
(8+7 i)2= 1
(15+112 i )(15−112 i )(15−112 i )
¿ 15−112 i225+12544
= 1512769
− 11212769
i
e.z2
2 z1
= 9−2i2 (8+7 i)
= 9−2i16+14 i
=(9−2 i)
(16+14 i)(16−14 i)(16−14 i)
2. Jika z1=4+3 i dan z2=2−5i ,maka :
a.
Re z1=12
[ ( 4+3 i )+(4−3 i ) ]=82=4
b. ℑ z1=12
[ ( 4+3 i )−( 4−3i ) ]=3 i+3 i2
=3 i
c. ( z1 z2 )=(4−3 i ) ( 4−3 i)=−7+26 i=−7−26 i
3. Jika z1=3−5i , z2=5−2 i , dan z3=−2 maka :
a. 2 z1−z2−3 z3=(6−10 i )−(5−2 i)−(−6 )=7−8i
b. 2 z1 (−z2−3 z3 )=(6−10 i ) (1+2 i )=26+2i
4. Tentukan nilai x dan y sehingga memenuhi persamaan :
( x+ y )+i ( x− y )=14,8+i 6,2
Jawab :
x+ y=14,8
x− y=6,2
Dari (1) dan (2) : 2 x=21 berarti x=212
=10,5
Dari (2) dan (3) : 10,5− y=6,2 berarti y=10,5−6,2=4,3
5. Sederhanakanlah hasil dari :
(5+4 i ) (3+7 i ) (2−3 i )
Jawab :
(5+4 i ) (3+7 i ) (2−3 i )=(5+4 i ) ( 6−9i+14 i−21i2 )
¿ (5+4 i ) (27+5i )
¿135+25 i+108 i+20 i2
¿115+133i
6. Tentukan nilai a dan b, jika diketahui :
(a+b )+i (a−b )=(2+5 i )2+i (2−3i )
Jawab :
(a+b )+i (a−b )=−21+20 i+i (2−3 i )
¿−18+22 i
a+b=−18
a−b=22
Dari (1) dan (2) : 2 a=4berarti a=2
Dari (2) dan (3) : 2+b=−18 berarti b=−20
7. Nyatakan bilangan kompleks z = 2 + 2i dalam bentuk kutub!
Penyelesaiani:
r = √ x2+ y2 θ=arc tan22=450
=√22+22
= √4+4
= √8
Jadi, bentuk kutub dari z = 2 + 2i adalah z = √8¿ atau z=√8¿
.................................... (1)
.................................... (2)
.................................... (3)
.................................... (1)
.................................... (2)
.................................... (3)
8. Diketahui z = (-1 + i)(1 + i). Tentukan bentuk kutub dari z dan nilai z.
Penyelesaian:
Menggunakan sifat argument diperoleh:
z = (-1 + i)(1 + i) = (√2 cis
34
π )(√2 cis14
π )
= 2cis( 3π
4+ π
4 )=2cis π
dan z=2 cis (−π )
DAFTAR PUSTAKA
Bambangmathunsoed.filed.wordpress.com
Hasugian, M. Jmmy dan Agus Prijono. 2006.Menguasai Analisis Komples dalam
Matematika Teknik.Jakarta: Rekayasa Sains
IKIP PGRI Semarang
Purwosetiyono, FX.Didik dan Maya Rini Rubowo. 2013.Pengantar Analisis
Kompleks.Semarang:
