Click here to load reader
Upload
exa-kun
View
178
Download
20
Embed Size (px)
Citation preview
MODUL 1BILANGAN KOMPLEKS
Bilangan kompleks z adalah suatu pasangan bilangan berurut (x,y) dari bilangan riil yang dinyatakan dengan, z=(x,y), ditulis :
z=x+yj = x+yi
dimana, x=Re(z) dan y=Im(z)
Contoh-contoh :(A) z = 3 + 2j(B) z= - 2+4j(C) z=-3 – 4j (D) z= 1 – 3j
DEFINISI BILANGAN KOMPLEKS
z=x+yj = x+yi
BIDANG KOMPLEK
Im(z)
Re(z)
BIDANG KOMPLEKSBidang kompleks adalah representasi bilangan kompleks dalam suatu bidang. Dalam sistem koordinat kartesius, sumbu x menyatakan bagian real, dan sumbu y menyatakan bagian immajiner
CONTOHBilangan kompleks, z=4 – 3j dalam bidang kompleks dapat digambarkan sebagai berikut.
OPERASI ARITMATIK BILANGAN KOMPLEKS
(1) Bilangan Kompleks Konjugate
(2) Penjumlahan
(3) Pengurangan
konjugate kompleks
yjxz
yjxz
jyyxx
jyxjyxzz
)()(
)()(
2121
221121
jyyxx
jyxjyxzz
)()(
)()(
2121
221121
22
22212212121
221121
))((
2)( ))((
)()(
))((
Perkalian )4(
yxyjxyjxzz
xyjyxyjxyjxz
jyxyxyyxx
jyxjyxzz
22
22
12212121
22
22
22
11
2
1
22
)()(
11
Pembagian (5)
yx
jyxyxyyxx
jyx
jyx
jyx
jyx
z
z
yx
yjxyjxyjx
yjxz
CONTOHPenjumlahan dua bilangan kompleks dalam bidang kompleks, z=z1+z2
CONTOHPengurangan dua bilangan kompleks dalam bidang kompleks, z=z1 – z2
CONTOH
8543
8519
)5()34()32()21(
2511
252
3421
)(
2035z
213z )(
1313z
510z (b)
47z (a)
:Maka
5;32
34; 21
Diketahui,
42
31
2
1
321
431
43
21
321
43
21
jijjj
zz
zz
jjj
z
zd
jzz
jzzc
jz
jz
jzz
jzjz
jzjz
j
jjj
jzz
zz
j
jjjj
zz
zze
269
2645
)32(5
21)34(
2641
263
)32()21()32)(21(
)(
34
12
31
31
Diketahui bilangan kompleks z=x+yj (lihat gambar), dengan subtitusi :
x=r cos ; y = r sin
Maka bilangan kompleks ditulis dalam bentuk polar adalah,
z = r cos + j r sin = r(cos + j sin ) = r dimana,
xy
z
yxr
1
22
tanarg
Z =2+j3=3.606 56.31∠ o
Re(z)
Im(z)
BENTUK POLAR BILANGAN KOMPLEKS
CONTOHNyatakan bilangan berikut ini dalam bentuk polar:(a) 3+j4 (b) −3+j4(c) −3−j4 (d) 3−j4Jawab :
o
o1
22
o
o1
22
13,535
13,5334
tan
543
43 )3(
13,535
13,5334
tan
543
43 )1(
z
r
jz
z
r
jz
PERKALIAN DAN PEMBAGIAN
)]2sin()2[cos(2 )4(
)]sin()[cos()(
)sin(cos
)sin(cos )3(
)2sin2(cos2 (2)
)]sin()[cos()(
))((
)sin(cos)sin(coszz (1)
: maka
)sin(cos
)sin(cos
)sin(cosz
Misalkan,
222
21212
121
2
1
22
11
222
111
2
1
2222121212121
2211
22211121
222222
111111
jrrz
jr
r
r
r
r
r
jr
jr
z
z
jrrz
jrrrr
rr
jrjr
rjrz
rjrz
rjr
CONTOH
.39.54-9.425000.6268.71204455302
Jadi,
464.3000.2)120sin120(cos41204
536.3536.3)45sin45(cos5455
0.1732.1)30sin30(cos2302
Mengingat,
1204455302 )4(
3827
))12(26(4
14
124
2614)3(
5230)804016()253(802445163 )2(
5832)6025(4)8(604258 )1(
oooo
ooo
ooo
ooo
ooo
oooo
o
ooooooo
ooooo
j
jj
jj
jj
TEOREMA De Moivre Jika z=r(cos +j sin ) dan n bilangan bulat positif, maka pangkat n dari z adalah :
nrr
njnrz
nn
nn
)(z
)sin(cos
n
Jika z=r(cos +j sin ) dan n bilangan bulat positif, maka akar pangkat n dari z diberikan oleh:
,......3,2,1,0
2sin
2cos /1
/1
k
nk
jn
kr
zz
n
nn
Kasus khusus, adalah zw
)22(
221
221
2
4sin
4cos2
2sin
2cos24i
Misal,
2sin
2cos
2sin
2cos
2
1
j
j
j
j
jrw
jrw
CONTOHHitunglah, ( –7+ j5)4
Jawab
33594325
)84.217sin84.217(cos5476
84.2175476
144,464)74(
]144,4674[j5)(-7
: maka
144,4674
75
tan5(-7)j5)(-7
Karena,
oo
o
o4
4o4
o
122
j
j
CONTOHHitunglah akar-akar dari , ( 5+ j3)1/2
Jawab
6646.0327.2
)18048.15(415.2j3)(5
6646.0327.2
48.15415.2
30.9621
)34(j3)(5
: maka
96,3034
53
tan35j3)(5
Karena,
oo1/2
o
o2/11/2
o
122
j
j
CONTOHHitunglah, akar dari, z3=1Jawab
CONTOHHitunglah, akar dari, z4=1Jawab
PENERAPAN BILANGAN KOMPLEKS
Perhatikan Gambar berikut ini : Dari gambar rangkaian R-L, dan diagram Phasor diperoleh ,
V = VR + jVL
Mengingat, VR = IR VL= IXL,dan XL=2fL reaktansi induktasiMaka : V = I(R+jXL), atau,
impedansi disebut jXRZ
2
L
ZV
fLRV
jXRV
IL
PENERAPAN BILANGAN KOMPLEKSPerhatikan Gambar berikut ini : Dari gambar rangkaian R-C, dan
diagram Phasor diperoleh ,
V = VR – jVC
Mengingat, VR = IR
XC-kapasitas reakktansi Maka : V = I(R – jXC), atau,
ohmc2
1 dan,
fCXIXV CCC
impedansi disebut 2
1
)2/1(
πfCRZ
ZV
fCRV
jXRV
IC
CONTOHHitung tahanan, dan kapasitas or induktansi dari impedansi berikut, f=50 Hz(a). Z=(4+j7) ohm(b). Z=15−60O
Jawab (a). Dari impedansi, Z=(4+j7) ohm maka diperoleh , R= 4.0 ohm XL= 7.0ohmKarena, XL=2fL, dan f=50Hz, maka induktansi
mH 22.3
H 0223.0 50 2
ohm 72
Hzf
XL L
(b). Dari impedansi, Z=15−60O
= 15(cos −60O + j sin −60O) = (7.50 − j12.99) ohmdiperoleh hasil R = 7.5 ohm XC= 12.00 ohmKarena,
μF 245
μF)99.12)(50(2
102
1C
kapasitas, maka2
1
6
C
C
fX
fCX
CONTOHHitung besarnya arus pada rangkaian RLC yang dipasang secara paralel seperti pada gambar
Jawab
A28.1532.82
)28.15343.0)(0240(I
Maka,
28.15343.00904.0331.0
1
0296.00171.0512
11
10.01011
120.0160.034
11
111Z1
: dimana ,
o
oo
o
321
33
22
11
321
j
YYYZ
Y
jjZ
Y
ZY
jjZ
Y
ZZZZV
I
SOAL-SOAL LATIHAN
Diketahui, z1 = 1+2j, z2=2 – j,z3= –2–3j dan z4= –3+2jHitunglah :(1) z1 z2 + z3z4(2) z1(z2 + z3 – z4)(3) z2(z1 + z3 – z4)(4) (z1 + z3)(z2 + z4)(5) (z2 – z3)(z1 – z4)
4321
42
432
1
43
21
43
21
4
3
2
1
)10(
)9( )8(
)7( )6(
zzzz
zz
zzz
z
zz
zz
zz
zz
z
z
z
z
4/3
4/1
3/2
3/1
1/2
6
5
4
3
2
)128)(20(
)84)(19(
)34)(18(
)48( )17(
3j)-(2 )16(
j3)(2 )15(
j2)(-1 )14(
)3j-(1 )13(
j4)(2 )12(
)3j-(3 (11)
hitunglah, polar
koordinat pendekatan Dengan
j
j
j
j
SOAL-SOAL LATIHAN1. Determine the resistance R and
series inductance L (or capacitance C) for each of the following impedances assuming the frequency to be 50 Hz. (a) (3+j8) (b) (2−j3) (c) j14 (d) 8 −60◦ ∠
2. Two impedances, Z1 =(3+j6) and Z2 =(4−j3) are connected in series to a supply voltage of 120V. Determine the magnitude of the current and its phase angle relative to the voltage.
3. If the two impedances in Problem 2 are connected in parallel determine the current flowing and its phase relative to the 120V supply voltage.
4. A series circuit consists of a 12 resistor, a coil of inductance 0.10H and a capacitance of 160 μF. Calculate the current flowing and its phase relative to the supply voltage of 240V, 50 Hz.
5. Applying mesh-current analysis to an a.c. circuit results in the following equations:
(5 − j4)I1 − (−j4)I2 = 100 0◦∠ (4 + j3 − j4)I2 − (−j4)I1 = 0 Solve the equations for I1 and I2.
6. Mesh-current analysis produces the following three equations:
20 0◦ = (5 + 3 − ∠ j4)I1 − (3 − j4)I2 10 90◦ = (3 − ∠ j4 + 2)I2 − (3 − j4)I1 −
2I3 −15 0◦ − 10 90◦ = (12 + 2)∠ ∠ I3 − 2I2 Solve the equations for the loop
currents I1, I2 and I3.7. Untuk rangkaian seperti pada
gambar hitunglah besarnya arus dan sudut phasanya.