Upload
blogmuria
View
1.765
Download
411
Embed Size (px)
Citation preview
Bilangan Berpangkat dan Logaritma
Kegiatan Pembelajaran I
Bilangan Berpangkat
Contoh bilangan berpangkat adalah : 52, (-3)7, ( )9 dan seterusnya. Lambang bilangan 2, 7 dan 9
dinamakan pangkat dan angka-angka 5, (-3), ( ) dinamakan bilangan pokok.
Perhatikan Tabel berikut ini !
Bentuk Bilangan
BerpangkatDibaca Faktor Nilai
52
(-3)7
( )9
an
5 pangkat dua
negatif tiga pangkat tujuh
pangkat sembilan
a pangkat n
5 x 5 = 2 faktor
-3 x (-3) x (-3) x (-3) x (-3) x (-3) x (-3) = 7 faktor
x x x x x x x x = 9 faktor
a x a x a ….. x a = n faktor
25
-2187
an
Pangkat Nol dan NegatifJika a ≠ o dan n bilangan bulat positif (- n adalah bilangan bulat negatif) maka
Contoh : 30 = 1
3-1 = =
3-2 = = dst
Formulasi Bilangan Berpangkat
Problem Faktor Pengelompokan Nilai
25 x 21 ( 2 x 2 x 2 x 2 x 2 ) x ( 2 )
5 faktor 1 faktor
2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2
5 faktor 1 faktor
26
26 x 22 ( 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 ) x ( 2 x 2 )
5 faktor 2 faktor
2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 28
2m x 2n ( 2 x 2 x ….. x 2 ) x ( 2 x 2 x ….. x 2 )
m faktor n faktor
2 x 2 x 2 ….. x 2 2m+n
ao = 1 dan a-n =
am x a-n = am-n
Definisi : a ≠ o, m dan n sebarang bilangan bulat.
Pembagian Bilangan Berpangkat dengan Bilangan Pokok Tetap dan Perpangkatan Bilangan Berpangkat
ProblemPenulisan
LainNilai
57 = 51 57 . 5-1 = 57-1 = 56
57 = 52 57 . 5-2 = 57-2 = 55
5m = 5n 5m . 5-n = 5m-n
Problem Nilai
( 21 )3 21 . 21 . 21 = 2 . 2 . 2 = 23
( 23 )5 23 . 23 . 23 . 23 . 23 = (2 . 2 . 2) . (2 . 2 . 2) . . . (2 . 2 . 2)
5 faktor 3 faktor 3 faktor 3 faktor
= 2 . 2 . 2 . . . 2 = 215
Definisi :
Pangkat dari Perkalian dan Pembagian Suatu BilanganContoh :
1. (2 x 3 x 5)3 = 23 x 33 x 53
2. (a x b x c)8 = a8 x b8 x c8
Definisi : a ≠ o, b ≠ o, dan c ≠ o
Contoh :
1. = 3. = =
2. = 4. = =
Definisi : ; a ≠ o dan b ≠ o
( a x b x c )n = an bn cn
am : an = = am-n
( am )n = am.n = amn
=
Pangkat Bilangan Pecahanam . an = am . an dan( am ) n = amn untuk m dan n bilangan bulat
Definisi diatas juga berlaku untuk m dan n bilangan pecahan. Jadi untuk m = dan n = dengan
p, q, r, s bilangan bulat dan q ≠ o, s ≠ o
Contoh :
1. = 4 sebab 42 = 16 dan 470
2. = – 4
3. = =
KEGIATAN BELAJAR 2
Terapan Bilangan Berpangkat, Notasi Baku ( Scientific Notation )
Setiap bilangan dapat ditulis dalam notasi baku, dan terapannya digunakan pada disipin ilmu kimia, fisika, anatomi, dan yang lain
Definisi 9.9Penulisannya dinyatakan dengan notasi baku : a x 10n dengan 1< a < 10 dan n bilangan bulat.
Berikut contoh notasi baku6,4 x 106 artinya 6.400.0000,3 x 108 artinya 30.000.0003,75 x 10-5 artinya 0,00003752,0 x 10-9 artinya 0,000000002
Bilangan negatif juga boleh ditulis dalam notasi baku
Desinisi 9.10Setiap bilangan negatif dapat dinyatakan dalam notasi baku : a x 10n dengan –10 < a < –1 dan n bilangan bulat
MODUL 9KEGIATAN BELAJAR 3Logaritma dan Terapannya
Logaritma merupakan invers dari perpangkatan suatu bilangan. Materi ini sering digunakan dalam penyelesaian masalah fisika, kalkulus, persamaan diferensial dan lain-lain.
Tabel
Problem Perpangkatan Logaritma Hasil
= 3-5 = -5
= 3-4 =
-4
Jika angka 3 Anda ganti dengan a maka dapatkan suatu bentuk umum :
Keterangan :a dinamakan bilangan pokokx bilangan yang ditarik logaritmanyan hasil penarikan logaritma
Catatan :1 = a0 = 0a = a0 = 1
Contoh :
1. = 5-4 = = -4
2. 64 = 2-6 = = 6
3. -6 = 5-4 =
SIFAT-SIFAT LOGARITMA
Pembuktian formula-formula logaritma berikut ini menggunakan pendekatan dedukatif
SifatJika p, x, dan y bilangan real positif dan p ≠ 1, maka
Bukti :Misalkan = q dan = r, maka
x = dan y = pr
x . y = .x . y =
= q + r= → terbukti
Catatan :Jika bilangan pokok logaritma tidak ditulis, berarti bilangan pokok logaritmanya adalah 10
Contoh 9.91. =
= + = + 2
2. + + –
= + + –
= + + + + + = + (–1) + + 3 + + 4 – 2 – = 2 + 4
Sifat
p dan x bilangan real positif, p = 1 dan n bilangan rasional
BuktiMisalkan ; maka x =
xn =xn =
1. =
2. =
= n :
Jika kedua ruas dilogaritmakan dengan bilangan pokok p maka== nq
Jadi = → terbukti
ContohSederhanakan :
+ – ; untuk y = 0
Penyelesaian :
+ – = + –
= – – = 0
Sifat
x : p real positif dan p ≠ 1
BuktiMisal ; maka x =
log x =log x =
q =
= → terbukti
Jadi =
Contoh :Diketahui : e = 2,72Hitunglah
Penyelesaian : =
=
=
= 2,7706Catatan :Dua bilangan pokok yang umum dipakai :
1. Logaritma yang memakai bilangan pokok 102. Logaritma naturalis yang memakai bilangan pokok e = 2,72 biasa ditulis
Sifat
p, x, y elemen bilangan real positifm, n, q : p = 1; n = 0
= :
1.2.
3.
Bukti
1. . = , = =
Jadi . = 2. Misal =
= = maka = … (ii)Dari (i) dan (ii) didapat : Jadi → terbukti
Penerapan Logaritma
A. Model Bunga Majemuk
1. Dengan rumus bunga majemuk biasa : Mt = Mo
a. Tanpa menggunakan logaritma
M2 = 10.000.000
= 10.000.000 = 10.000.000 (1,2411)= 12.411.000
b. Dengan menggunakan logaritmaM2 = 10.000.000
log M2 == 7+0,0938= 7,0938
M2 = 12.411.000
2. Dengan rumus bunga majemuk sinambung = Mt =
a. Tanpa menggunakan logaritma
Mt = 10.000.000 Mt = 10.000.000 Mt = 10.000.000 (1,2214)Mt = 12.214.000
b. Dengan menggunakan logaritmaMt = 10.000.000
ln Mt = ln 10.000.000 + 0,2 ln eln Mt = 16,1181 + 0,2ln Mt = 16,3181
Mt = 12.214.000
Jadi jumlah pelunasan hutang sekitar Rp. 12.000.000,00 sampai Rp. 12.400.000,00