Click here to load reader
Upload
vudat
View
303
Download
9
Embed Size (px)
Citation preview
SISTEM BILANGAN REAL
A. MACAM-MACAM BILANGAN REAL
Dari segi kegunaannya, bilangan adalah suatu ide yang digunakan untuk
menggambarkan atau mengabstraksi banyaknya anggota suatu himpunan.
Bilangan adalah suatu ukuran dari besaran dan dapat digolongkan menjadi
beberapa macam, yaitu :
1. Bilangan Asli
Bilangan yang pertama kali dikenal orang adalah bilangan asli. Bilangan
asli adalah bilangan yang anggotanya dimulai dari 1,2,3, … dst,
dilambangkan dengan huruf “A” dan ditulis A= dst.
Bilangan asli menurut konsep terdiri atas :
a. Bilangan genap : 2,4,6, …
b. Bilangan ganjil : 1,3,5, …
c. Bilangan prima : 2,3,5, …
d. Bilangan komposit : 4,6,8,10, …
2. Bilangan Cacah
Bilangan cacah adalah suatu bilangan yang anggotanya terdiri dari semua
bilangan asli dan bilangan nol, dilambangkan dengan huruf “C” dan ditulis
C=
3. Bilangan Bulat
Bilangan bulat anggotanya merupakan gabungan dari bilangan cacah dan
bilangan asli negatif, dilambangkan dengan “B” dan ditulis B=
4. Bilangan Rasional
Bilangan cacah merupakan gabungan dari himpunan bilangan bulat dan
bilangan pecahan. Bilangan rasional adalah bilanagan yang dapat
dinyatakan dalam bentuk , dimana a,b B dan b 0. Bilangan rasional
dilambangkan dengan huruf “Q” dan ditulis Q =
Sistem Bilangan Real
1
Contoh: -5, 3, 7, , , , … dst.
5. Bilangan Irasional
Bilangan rasional adalah bilangan yang tidak dapat di nyatakan dalam
bentuk , dimana a,b B , b 0, dilambangkan dengan huruf “I“.
Contoh: log 2, log 3 dsb .
6. Bilangan Pecahan
Bilangan cacah adalah bilangan yang dinyatakan dalam bentuk , dengan
a,b B dan b bukan faktor dari a. a disebut pembilang dan b disebut
penyebut. Contoh dst
Bilangan pecahan ada dua macam .
a. Bilangan pecahan murni ( a < b ) , Contoh: dst
b. Bilangan pecahan campuran (a>b), contoh: dst
7. Bilangan Real (Nyata)
Bilangan real anggotanya merupakan gabungan dari bilangan rasional dan
bilangan irasional. Bilangan real dilambangkan dengan huruf “R”.
8. Bilangan Imajiner
Didefinisikan sebagai i= atau 12 = -1. Bilangan imajiner
dilambangkan dengan huruf “I”.
Contoh :
9. Bilangan Kompleks
Adalah himpunan semua struktur bilangan, dilambangkan dengan huruf
“Ck”. Ditulis a ± bi.
Contoh: -1 + 4i, 5-4i, 2+5i, … dst.
B. SIFAT-SIFAT BILANGAN REAL
1. Operasi penjumlahan Sistem Bilangan Real
2
a. Tertutup: hasil penjumlahan dari beberapa bilangan real hasilnya
bilangan real
b. Komutatif: a + b = b + a, dimana a,b R
c. Asosiatif: a + ( b + c) = ( a + c ) + c
d. Elemen identitas/ netral terhadap operasi penjumlahan adalah 0
sehingga a + 0 = a, sedangkan elemen inversnya adalah lawan dari
bilangan tersebut sehingga a + (-a) = 0
2. Operasi Perkalian
a. Tertutup
b. Komutatif : a x b = b x a
c. Asosiatif : a x (b x c ) = (a x b) x c
d. Distributif : a ( b + c ) = (a x b) + ( a x c)
a,b,c R
a ( b – c ) = (a x b ) – ( a x c )
Elemen identitas terhadap operasi perkalian adalah 1, sehingga a x 1 =
a, sedangkan elemen inversnya adalah kebalikan dari bilangan tersebut
sehingga a x = 1
C. OPERASI BILANGAN REAL
a. Penjumlahan dan pengurangan
Jika a,b,c dan d P, maka:
1) a – b = a – (-b)
2) a – b = a + (-b)
3) –a + (-b) = - (a + b)
4) –a + b = b – a
5)
6)
7)
Sistem Bilangan Real
3
8)
b. Perkalian dan pembagian
Jika a,b,c dan d R, maka:
1) a x b = b + b + b + … + b
2)
3)
4)
5)
6) a.(+) x b (+) = c (+)
a (+) x b (-) = c (-)
a (-) x b (+) = c (-)
a (-) x b (-) = c (+)
7) a (+) : b (+) = c (+)
a (-) : b (+) = c (+)
a (+) : b (-) = c (-)
a (-) : b (-) = c (+)
catatan :
Operasi (x) dan (:) kedudukannya sama kuat, sehingga dikerjakan suku
yang lebih dahulu.
Contoh: 6 x 5 : 3 = 30 : 3 = 10
30 : 5 x 4 = 6 x 4 = 24
Operasi (x) dan (:) lebih kuat kedudukannya daripada operasi (+) dan
(-)
Contoh: 15 + 3 x 6 = 15 + 18 = 33
13 – 15 : 5 = 13 – 3 = 10
Operasi perkalian dan perpangkatan, yang lebih kuat keududukannya
perpangkatan.
Sistem Bilangan Real
4
Contoh: 2 x 33 = 2 x 27 = 54
D. KONVERSI PECAHAN
Bilangan itu ditulis tergantung dari asal dan fungsinya. Apabila kita ingin
merubah bentuk pecahan ini yang perlu diperhatikan adalah pembilang dan
penyebut suatu pecahan dapat dikalikan atau dibagi oleh bilangan yang sama.
a. Mengubah bentuk pecahan ke persen dan persen ke pecahan desimal
Contoh :
1.
2.
b. Mengubah bentuk pecahan ke desimal dan desimal ke persen
Contoh :
(1)
(2)
E. APLIKASI PERSENTASE
a. Aplikasi Bidang Bisnis
Persentase banyak digunakan dalam bidang bisnis perbankan untuk
menghitung laba, rugi, bunga, bonus, rabat, diskon/ potongan harga, suku
bunga dsb.
Contoh :
Harga 1 kodi baju batik Rp. 1.200.000 mendapat diskon 20% maka harga
setiap baju batik adalah :
Jawab :
1 kodi = 20 potong
Diskon 20 % =
Harga setelah didiskon
Sistem Bilangan Real
5
Rp. 1.200.000 - Rp. 240.000 = Rp. 960.000
Harga 1 potong baju batik = =
Jadi, harga setiap baju batik adalah Rp. 48.000,-
b. Aplikasi Bidang Kesekretarisan
Dalam hal ini banyak membantu diskon perhitungan gaji, kenaikan gaji,
meningkatkan semangat kerja, antara lain dengan menerangkan komisi
bonus dan tip.
1) Komisi
Ada 3 macam komisi
a) Komisi penuh
K = J x R
Dimana K = Komisi
J = Penjualan
R = suku komisi
Contoh :
Pak A menjual barang seharga Rp. 1000.000 atas dasar komisi 5%
banyak komisi yang diterima ?
Jawab : K = Jr
= Rp. 1.000.000 x 5%
= Rp 50.000
b) Upah tetap ditambah komisi
Upah = upah tetap + K
Contoh :
Seorang pegawai menerima upah Rp. 90.000,- perbulan ditambah 6%
dari penjualan. Jika penjualan tiap bulan Rp. 1.500.000,- maka tentukan
upah yang diterima.
Jawab : Upah = upah tetap + K
= Rp. 90.000 + 6% Rp. 1.500.000
= Rp. 90.000 + Rp 90.000Sistem Bilangan Real
6
= Rp. 180.000
Jadi upah yang diterima Rp. 180.000,-
c) Jaminan Komisi
Yaitu presentase komisi yang diterima ditambah dengan pertambahan
penjualan
2) Bonus
Yaitu jumlah tambahan yang diterima pegawai
3) Diskon / potongan
Ada 3 macam potongan Tunai
a) Potongan Tunai
,
dimana R = suku potongan
P = Potongan
D = harga daftar
b) Potongan Pembuatan
Adalah Potongan yang diberikan pada pembeli apabila memesan barang
pada pembuat barang tersebut dan
c) Potongan berantai
c. Aplikasi Bidang Koperasi
Dalam bidang ini sering untuk menghitung bunga dan pembagian SHU.
F. PERBANDINGAN
1. Pengertian perbandingan
Perbandingan dua buah besaran yang sama/ sejenis a dan b dapat ditulis
“a : b” dengan b 0
Dua buah besaran dapat dibandingkan apabila :
Sistem Bilangan Real
7
- Mempunyai besaran yang sejenis 9satuan
ukuran sama)
- Perbandingan a : b, b 0
- Bilangan yang dibandingkan dalam bentuk
sederhana
Contoh :
Umur Ayah (A) 55 tahun sedangkan umur Banu (B) 20 tahun. Berapakah
perbandingan umur Ayah dan Banu?
Jawab :
Ayah= 55 tahun, Banu= 20 tahun
Ayah: Banu = 55 kg : 20 kg
= 55 : 20
= 11 : 4
2. Jenis-jenis perbandingan
a. Perbandingan senilai
X P
Y Q
X : Y = P : Q
QX = PY
Contoh :
Harga 40 buah pensil Rp. 10.000,00. Berapa buah pensil yang didapat
jika jumlah uang Rp 27.500
Jawab :
Jumlah pensil Jumlah uang (Rp)
40 10.000
X 27.000
40 : X = 10.000 : 27.000
10.000X = 40(27.000)
X = 1.080.000 : 10.000
X = 108
Sistem Bilangan Real
8
Jadi uang Rp. 27.000. mendapat 108 pensil
b. Perbandingan berbalik nilai
X P
Y Q
X : Y = P : Q
PX = QY
Contoh :
Dalam menyambut HUT RI diadakan kerja kerja bakti membuat
gapura, jika pekerjaan yang dibutuhkan 12 orang dapat selesai
dalam waktu 5 hari. Berapa hari waktu yang dibutuhkan jika
pekerjaan ditambah sehingga berjumlah 20 orang?
Jawab :
12 5
20 X
12 : 20 = 5 : X
20X =12(5)
X = 60 : 20
X = 3
Jadi waktu yang dibutuhkan 3 hari, jika jumlah pekerjaan 20 orang.
Sistem Bilangan Real
9
OPERASI PADA BILANGAN BERPANGKAT
Dalam dunia perbankan, kita sering dihadapkan pada masalah menghitung suatu
bilangan yang sangat besar seperti 9.000.000.000 dan bilangan yang sangat dan
bilangan yang sangat kecil yaitu 0,0000007. kedua bilangan tersebut dapat
dituliskan menjadi 9.000.000.000 = 9 x 109 dan 0,0000007 = 7 x 107
Bentuk-bentuk tersebut sering disebut dengan notasi ilmiah atau bentuk baku
dengan rumus umum a x 10n, 1 n bilangan bulat.
A. PANGKAT BULAT POSITIF
Contoh:
Secara umum misalnya a suatu bilangan real dan n bilangan bulat
an merupakan hasil perkalian dari a sebanyak n faktor.
an =
Keterangan
an dibaca pangkat n
a adalah bilangan pokok (basis)
n adalah pangkat (eksponen)
B. SIFAT-SIFAT BILANGAN BERPANGKAT
1.
2.
3.
4.
5. , untuk a,b dan n bilangan bulat.
Contoh:
Sistem Bilangan Real
10
C. PANGKAT BULAT NEGATIF DAN NOL
Jadi dari uraian di atas untuk a dan a berlaku :
a0 = 1
a-n =
Perhatikan:
Latihan 1
A. Ubahlah menjadi pangkat positif kemudian hitunglah hasilnya.
1. 5-2
2. 4-2
Sistem Bilangan Real
11
3.
4.
5. (-5)-3
6.
7.
8.
9.
10.
B. Ubahlah bentuk pecahan berikut ke bentuk pangkat negatif atau perkalian
bilangan berpangkat.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
Sistem Bilangan Real
12
10.
C. Ubahlah menjadi bentuk 2n dengan n bilangan bulat.
1.
2.
3.
4.
5.
6. 0,5-10
7. 0,125-5
8.
9.
10.
Latihan 2
1.
a.
b.
c.
2. a.
a.
b.
c.
3. a.
a.
Sistem Bilangan Real
13
b.
c.
4. a.
a.
b.
c.
5. a.
a.
b.
c.
6. a.
a.
b.
c.
7. Hitunglah
a.
b.
8. a.
b.
c.
9. Hitunglah
a. 5 x 7 x 103
b. 5000 : 20
c. 82.000.000 : 500
10. a.
b.
Sistem Bilangan Real
14
c.
Latihan 3
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
OPERASI PADA BILANGAN IRASIONAL
A. KONSEP BILANGAN IRASIONAL
Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk
dengan a,b , b
contoh :
Bilangan rasional dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan desimal terbatas
atau desimal tidak terbatas (berulang)
Sistem Bilangan Real
15
Bilangan irasional adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam
bentuk
Bentuk akar
Apakah setiap bilangan dibawah tanda akar merupakan bentuk akar?.
Dari uraian tersebut mempunyai pengganti yang rasional,
sedangkan dan penggantinya bukan merupakan bilangan rasional.
Jadi dan disebut bentuk akar.
Bentuk akar adalah bilangan rasional yang penggantinya bukan bilangan
rasional.
Bentuk umum akar:
a = bilangan pokok / radikan
n = eksponen akar
n bilangan asli .
B. OPERASI PADA BILANGAN BENTUK AKAR
1. Penjumlahan dan pengurangan
Sistem Bilangan Real
16
akar merupakan kebalikan dari pangkat
Dua buah bentuk akar atau lebih dapat di jumlahkan dan di kurangkan jika
bentuk akar tersebut sejenis dan bilangan di dalam tanda akar sama.
(tidak sejenis)
(tidak sejenis)
(sejenis)
2. Hasil kali bentuk akar
3. Sifat-sifat operasi aljabar bentuk akar
a. Komutatif
b. Asosiatif
c. Distributif
C. MENYEDERHANAKAN BENTUK AKAR
Akar senama ialah akar-akar yang mempunyai pangkat akar yang sama.
Sistem Bilangan Real
17
tidak senama dengan
tidak senama dengan
senama dengan
Sifat-sifat bentuk akar:
1.
2.
3.
4.
5.
D. MERASIONALKAN PENYEBUT
Artinya: membuat penyebut menjadi bentuk rasional.
Pahami sifat-sifat berikut :
a. Bentuk
Caranya:
b. Bentuk
Caranya:
c. Bentuk
Caranya:
Sistem Bilangan Real
18
Jika a dan b bilangan rasional positif dan a maka berlaku
E. Hubungan bentuk akar dan pangkat pecahan
F. PERSAMAAN BILANGAN BERPANGKAT
Persamaan bilangan berpangkat adalah suatu sistem persamaan yang
melibatkan bilangan-bilangan berpangkat
Contoh:
Latihan 4
1. Tulislah bentuk-bentuk akar berikut ini menjadi bentuk yang paling sederhana!a.b.c.d.e.f.
2. Nyatakan pemjumlahan dan pengurangan ini dalam bentuk akar yang paling sederhana!a. =
Sistem Bilangan Real
19
b. =c. =d. =e. =f.
3. Hitunglah tiap hasil kali bilangan-bilangan dibawah ini!a.b.c.d.e.f.
4. Diketahui p = 4 dan q = 4- , maka tentukanlah : a. p + q =b. 2p + 2q =c. 4pq =d.e. (p+q) =
5. Rasionalkan penyebut tiap pecahan berikut :
a.
b.
c.
d.
e.
f.
6. Rasionalkan penyebut tiap pecahan berikut :
a.
b.
c.
d.
e.
Sistem Bilangan Real
20
f.
g.
h.
Latihan 5
1. a.
b.
c.
2. a.
b.
c.
3. a. b. c.
4. a. b. c.
5. a. b. c.
6. a. b. c.
7. a.
b.
c.
8. a.
b.
Sistem Bilangan Real
21
c.
9. a.
b.
c.
10. a.
b.
c.
Sistem Bilangan Real
22
LOGARITMA
A. Konsep logaritmaLogaritma merupakan invers dari fungsi eksponen (perpangkatan) yaitu
mencari pangkat dari suatu bilangan pokok jika hasil pengkatnya sudah
diketahui
1. 23 = … (Perpangkatan)
2. ...3 = 8 (Mencari akar)
3. = … (Logaritma)
Secara umum:
Logaritma x dengan bilangan pokok a ditulis alog x = n an = x
a = bilangan pokok , a > 0 dan a ≠ 1
x = numerus
n = hasil logaritma (dapat positif, negatif atau nol )
Catatan :
1. Untuk logaritma persepuluh / Briggs dengan bilangan pokok 10, maka
bilangan 10 boleh tidak ditulis.
2. Untuk bilangan logaritma yang dikuadratkan (alog x)2 = alog2 x
3. Pahami sifat berikut:
B. Sifat-sifat logaritma
Sistem Bilangan Real
23
Apa artinya 2log 16 ?“2log 16“ artinya dua pangkat berapa yang hasilnya 16.
C. Menentukan logaritma dengan menggunakan tabel / daftar logaritma Untuk keperluan berbagai perhitungan telah dibuat suatu daftar atau tabel
logaritma. Daftar atau tabel logaritma memuat hasil-hasil logaritma suatu
bilangan dengan bilangan pokok 10.
Log 1 = 0
Log 2,67 = 0,4265
Log 10 = 1
Log 12 = 1,0792
Log 33,33 = 1,5228
Log 100 = 2
Log 121 = 2,6210
Log 823,4 = 2,9056
Log 1000 = 3
Log 0,1 = -1
Log 0,9 = 0,9542-1
Log 0,205 = 0,3118-1
Log 0,000 = -2
Log 0,025 = 0,3979-2
Log0,001 = -3
Log 0,00128 = 0, 1072-3Bilangan di depan koma disebut karakteristik (bagian bulat), sedangkan
bilangan bagian belakang koma disebut mantise.
Sistem Bilangan Real
24
Mencari kembali (Anti Logaritma)Log a = 0,0186 a = 1,044
Log b = 2,9542 b = 900
Log c = 0,0256-2 c = 0,01061
Log d = 4,7948 d = 62340
Log e = 0,7051-3 e = 0,005071
Hal-hal yang perlu diperhatikan dalam penggunaan daftar logaritma antara
lain :
a. Daftar logaritma biasa menggunakan bilangan pokok 10, serta bilangan
pokok tersebut tidak di tulis dalam daftar.
b. Di dalam daftar memuat bilangan yang di tuliskan (radikan)
dan bagian desimal (Mantisa) dari hasil penarikan logaritma.
c. Untuk bagian bulat (karakteristik) dan hasil penarikan logaritma
ditentukan dengan cara :
1) logaritma bilangan yang lebih dari 1 karakteristiknya
= banyaknya angka-angka didepan koma dikurangi 1
2) logaritma bilangan antara 0 dan 1 karakteristiknya =
banyaknya nol di depan angka tidak nol yang pertama.
Langkah-langkah untuk mencari logaritma dari satu bilangan dengan
menggunakan daftar logaritma adalah sebagai berikut :
a.Nyatakan numeris dalam 3 angka signifikan (tabel logaritma terletak
antara 10-99, maka numeris di nyatakan sampai dua tempat desimal).
b. Cari dua angka siginifikan yang pertama dari numeris pada kolom
pertama pada tabel tersebut.
c.Tarik garis horizontal dari 2 angka signifikan pertama dari garis vertikal
dari angka ketiga numeris. Perpotongannya merupakan mantise dari
logaritma bilangan tersebut.
Ingat: Jika 0 < log x < 1 maka 1 < x < 10
Menggunakan logaritma untuk perhitungan Contoh :
1. Selesaikanlah persamaan berikut
Sistem Bilangan Real
25
Penyelesaiannya adalah
2. , hitunglah hasilnya!
Penyelesaian:
Misal
Latihan 6
1. a.
c.
d.
2. a.
b.
a.
Sistem Bilangan Real
26
3. a.
b.
a.
4. a.
b.
c.
5. Hitunglah dengan daftar logaritma!
a.
b.
c.
Sistem Bilangan Real
27