Invariancia de Norma como principio dinámico, el

Modelo Estandard y la simetria de familias

Ezequiel Rodŕıguez Jáuregui

April 7, 2006

Resumen:En esta charla derivaremos una teoŕıa de las interacciones fundamentales,

para esto usaremos la analoǵıa de esta con la electrodinámica cuantica QED,usando como guia el principio de invariancia de norma local de la teoŕıa,formulado por Yang-Mills.

Posteriormente estudiaremos la posibilidad de extender el Modelo Es-tandard para incluir una simetria de familias que incorpore a los nutrinoscon masa.

1 Invariancia de norma en las ecuaciones de Maxwell

Iniciaremos a partir del estudio de las leyes básicas del electromagnetismo,conocidas como las leyes de Maxwell, en el sistema de unidades naturales ,en el cual 6 h = c = 1, las leyes de Maxwell son las siguientes:

∇ ·E = ρ Ley de Gauss. (1)

∇×E = −∂B∂t

Ley de Faraday Lenz. (2)

∇ ·B = 0 Ausencia de cargas magneticas. (3)

∇×B− ∂E∂t

= j Ley de Ampere modificada. (4)

1

En electomagnetismo clásico y en especial en mecánica cuántica, es con-veniente introducir el potencial vectorial A(x) y el escalar V para utilizarloen lugar de los campos E y B,

B = ∇×A, E = −∇V − ∂A∂t

(5)

estas ecuaciones definen el potencial vectorial A y el potencial escalar V .

Con esta definición, las ecuaciones de Maxwell (2) y (3) secumplen au-tomticamente

∇(∇×A) = 0 ∇×∇V = 0 (6)

Para mostrar que las ecuaciones de Maxwell (1) y (4) se satisfacen, esconveniente trabajar con las ecuaciones de Maxwell escritas en forma covari-ante, por este y otros motivos cambiamos a la notación tensorial siguiente:

Xµ : (t,X)

Aµ : (V,A) con V = φ

∂µ =∂

∂xµ:(∂

∂t,−∇

)(7)

Estamos trabajando en la métrica de Minkowski, y el tensor métrico es;

gµν :

1 0 0 00 −1 0 00 0 −1 00 0 0 −1

(8)este tensor nos permite subir y bajar indices,

Xµ = gµνXν :

1 0 0 00 −1 0 00 0 −1 00 0 0 −1

txyz

= (t,−X) (9)

2

Las ecuaciones de Maxwell también se pueden escribir en forma covari-ante si introducimos el tensor de estres Fµν del campo electromagneticocomo el tensor antisimetrico siguiente:

Fµν = ∂µAν − ∂νAµ (10)

cuyas componentes son:

F 0i = ∂0Ai − ∂iA0 = ∂Ai

∂t+∇iA0 = −Ei

F ij = ∂iAj − ∂jAi = −�ijkBk

(Fµν) =

0 −E1 −E2 −E3E1 0 −B3 B2E2 B3 0 −B1E3 −B2 B1 0

.Si definimos el tensor jµ de la cuadricorriente,

Jµ : (ρ, j) (11)

en esta notación, la ecuación de continuidad, (o de conservacion de lacarga)

∂ρ

∂t+∇j = 0 (12)

se escribe de la manera siguiente,

∂µJµ = 0 (13)

Las ecuaciones de Maxwell (1) y (4) restantes, se cumplen con

∂µFµν = Jν (14)

La ley de Gauss se obtiene de la componente cero de esta ecuación;

∂µFµ0 = ∂iF i0 = ∂iEi = J0

La ley de Ampere modificada se obtiene de las componentes restantes

∂µFµ1 = ∂0F 01 + ∂2F 21 + ∂3F 31 = J1

∂µFµ2 = ∂0F 02 + ∂1F 12 + ∂3F 32 = J2

∂µFµ3 = ∂0F 03 + ∂1F 13 + ∂2F 23 = J3

3

El origen de la invariancia de norma en electromagnetismo clásico estaen el echo que para E y B dados, los potenciales vectorial A y escalar V noson únicos.

Se llaman transformaciones de norma a las transformaciones que puedenexperimentar los potenciales vectorial A y escalar V , pero que dejan in-variante a los campos f́ısicos E y B, y en consecuencia a las ecuaciones deMaxwell, decimos por este motivo que las ecuaciones de Maxwell son invari-antes de norma.

La transformación de norma esta dada por las ecuaciones siguientes;

A → A′ = A +∇χ, V → V ′ = V − ∂χ∂t

(15)

estas ecuaciones expresan el echo de que un cambio local en el potencialelectrostatico V se compensa por un cambio local en el potencial vecto-rial magnetico A, de tal manera que quedan invariantes las ecuaciones deMaxwell.

En notación tensorial, las ecuaciones de transformación de norma tomanla siguiente forma:

Aµ → A′µ = Aµ + ∂µχ (16)

es claro que bajo esta transformacin el tensor de estres Fµν cambia altensor primado .

Fµν → F ′µνF

′µν = ∂µA′ν − ∂νA′µ

F′µν = ∂µ(Aν + ∂νχ)− ∂ν(Aµ + ∂µχ)

F′µν = Fµν (17)

como el tensor de estress del campo electromagnetico Fµν es invariante antela transformación de norma de la Ec.( 16), las ecuaciones de Maxwell dadaspor las Ecs. (1)-(4) son invariantes de norma.

4

Sustituyendo la Ec. (10), en la ecuacioón (14), esta se puede escribir conel potencial vectorial Aµ de la manera siguiente,

∂µ∂µAν − ∂ν(∂µAµ) = jν (18)

de aqui vemos que las ecuaciones del cuadripotencial Aµ estan acopladas.Si en la ecuación ( 16) escogemos a χ tal que Aµ satisfaga la condición

invariante,

∂µAµ = 0 (19)

conocida como la condición de Lorentz, en esta norma, las ecuacionespara el cuadripotencial se reducen a

∂µ∂µAν = jν (20)

En electromagnetismo, decimos que una condición como la dada por laecuacion ( 19), es una condicion que fija la norma. Una consecuencia de lainvariancia de norma es que diferentes elecciones de la condición que fija lanorma llevan a formas diferentes para el propagador del fotón.

5

2 Invariancia de Norma en la Mecánica Cuántica

En el caso de una part́ıcula relativista con carga eléctrica q y masam inmersaen un campo electromagnético externo su dinámica se obtiene a partir delHamiltoniano clásico

H =√

(P− qA)2 +m2 + qV (21)

para velocidades pequeñas comparadas con la velocidad de la luz, esteHamiltoniano se escribe como

H ≈ m+ 12m

(P− qA)2 + qV (22)

restando una constante de la enerǵıa obtenemos

H −m = 12m

(P− qA)2 + qV (23)

Con el descubrimiento de la mecánica cuántica, se aprendió a cuantizary a construir el análogo cuántico de los problemas clásicos si cambiamosnuestras funciones por operadores

x → x̂ = x

Pi → P̂i = −i∂

∂xi

E → Ê = i ∂∂t

{Pi, xj} →[P̂i, x̂j

]= δij (24)

construimos la ecuación del equivalente cuántico para una part́ıcula concarga eléctrica q y masa m inmersa en un campo electromagnético externoconocida como ecuación de Schrodinger(

12m

(−i∇− qA)2 + qV)

Ψ(x, t) = i∂Ψ(x, t)∂t

(25)

6

Ahora estudiaremos el comportamiento de esta ecuación ante la trans-formación de norma del potencial vectorial A y escalar V ,

A → A′ = A +∇χ, V → V ′ = V − ∂χ∂t

Si hacemos solo la transformación de norma dada por las ecuaciones (15),la ecuación de Schrodinger (25) cambia en(

12m

(−i∇− qA′

)2 + qV ′)Ψ(x, t) = i∂Ψ(x, t)∂t

(26)

sustituimos A′ y V ′ dados por las ecuaciones (15) y tenemos que

(1

2m(−i∇− qA−∇χ)2 + q(V − ∂χ

∂t))

Ψ(x, t) = i∂Ψ(x, t)∂t

(27)

esta ecuación cambia su forma. Si no queda invariante esto significa quela mecánica cuántica está en conflicto con las ecuaciones de Maxwell.

Este problema se evita, si damos la regla de transformación de la funciónde onda Ψ(x, t), esto es, necesitamos encontrar una ley de transformacióndefinida que nos permita pasar de la función de onda

Ψ(x, t) → Ψ′(x, t) (28)

tal que la ecuación de Schroedinger quede invariante bajo la transformaciónde norma dada por la ec (15), y tome la forma;(

12m

(−i∇− qA′

)2+ qV

′)

Ψ′(x, t) = i

∂Ψ′(x, t)∂t

(29)

si reescribimos esta ecuación de la manera siguiente:

12m

[−i(∇− iqA′

)]2Ψ

′(x, t) = i

(∂

∂t+ iqV

′)

Ψ′(x, t) (30)

Vemos que aqui podemos identificar a los operadores;

D′ = ∇− iqA′ D′0 =∂

∂t+ iqV ′ (31)

en función de estos operadores la ecución de Schodinger se escribe como

12m

(−iD′

)2Ψ

′(x, t) = iD

′0Ψ

′(x, t) (32)

7

Asi que si encontramos una regla de transformación que permita pasarde Ψ(x, t) → Ψ′(x, t) , en este caso, la transformación combinada

A → A′ = A +∇χ,

V → V ′ = V − ∂χ∂t

Ψ(x, t) → Ψ′(x, t) (33)

de la función de onda Ψ y de los campos vectorial A y escalar V dejaninvariante la ecuación de Schrodinger y preserva la invariancia de normade las ecuaciones de Maxwell en la mecánica cuántica.

La regla de transformación de la función de onda Ψ requerida, que dejainvariante la f́ısica es la siguiente

Ψ(x, t) → Ψ′(x, t) = eiqχ(x,t)Ψ(x, t) (34)

esta ecuación nos dice que la transformación de norma del potencial elec-tromagnético ec (15) induce un cambio de fase en la ecuación de onda Ψ, yal ir de un punto a otro del espacio tiempo, cambia la fase de la part́ıculadescrita por Ψ. Vemos pues que una traslacion de los potenciales electro-magnéticos en espacio de Minkowsky induce una traslación de la función deonda en el espacio de Hilbert.

Veamos como se transforma el termino izquierdo de la ecuación (29),(−i∇− qA′

)Ψ

′(x, t) = [−i∇− qA− q∇χ] eiqχ(x,t)Ψ(x, t)

= q∇χeiqχ(x,t)Ψ(x, t) + eiqχ(x,t)(−i∇Ψ(x, t))

+ eiqχ(x,t)(−qAΨ(x, t))− q(∇χ)eiqχ(x,t)Ψ(x, t)

el primer y el último termino de la derecha se cancelan, con lo que obtenemos

(−i∇− qA′

)Ψ

′(x, t) = eiqχ(x,t) (−i∇− qA) Ψ(x, t) (35)

escrita con los operadores de la ec. (31),

−iD′Ψ′(x, t) = eiqχ(x,t) (−iDΨ(x, t)) (36)

8

De igual manera tenemos para el operador de derivada temporal que

iD′0Ψ

′(x, t) = i(

∂

∂t+ iqV

′)eiqχ(x,t)Ψ(x, t)

= i(∂

∂t+ iq(V − ∂χ

∂t))eiqχ(x,t)Ψ(x, t)

= eiqχ(x,t) (iD0Ψ(x, t)) (37)

para el término de la derivada segunda en la ecuación de Schrodingerobtenemos

12m

(−iD′

)2Ψ

′(x, t) = eiqχ(x,t)

12m

(−iD)2 Ψ(x, t) (38)

si hacemos uso de la Ec. de Schodinger no transformada, el lado derechose escribe como

12m

(−iD′

)2Ψ

′(x, t) = eiqχ(x,t)iD0Ψ(x, t) (39)

y sustituyendo la ecuacion (37) obtenemos

12m

(−iD′

)2Ψ

′(x, t) = iD

′0Ψ

′(x, t) (40)

como se requiere.

Asi que en conclusión, la invariancia de norma de las ecuaciones deMaxwell se preserva en la mecánica cuántica siempre y cuando se haga latransformación combinada dada en las ecs. (41)- (34)

A → A′ = A +∇χ,

V → V ′ = V − ∂χ∂t

Ψ(x, t) → Ψ′(x, t) = eiqχ(x,t)Ψ(x, t) (41)

9

3 El argumento invertido: La invariancia de normacomo principio dinámico.

Si no conocemos las leyes de interacción fundamentales, podemos derivarlasde la ecuación de movimiento de una part́ıcula libre si demandamos queesta sea invariante bajo transformaciones de fase que dependen del espacio-tiempo.

Ψ(x, t) → Ψ′(x, t) = eiqχ(x,t)Ψ(x, t) (42)

En mecánica cuántica la ecuación de Schrodinger de una particula librede masa m y carga q esta dada de la manera siguiente

12m

(−i∇)2 Ψ(x, t) = i∂Ψ(x, t)∂t

(43)

Vamos a invertir el argumento, demandamos que esta ecuación quedeinvariante bajo la transformación de fase de la ec.(42):

(−i∇)2

2mΨ(x, t) = i

∂Ψ(x, t)∂t

→ (−i∇)2

2mΨ

′(x, t) = i

∂Ψ′(x, t)∂t

(44)

para el termino derecho obtenemos que

i∂Ψ

′(x, t)∂t

= ieiqχ(x,t)(∂Ψ(x, t)∂t

+ iqΨ(x, t)∂χ(x, t)∂t

)(45)

Vemos que el segundo término arruina la invariancia de fase de la ec.(44), y en consecuencia, la transformación de fase local no es una simetŕıade la part́ıcula libre.

Si deseamos que la teoŕıa sea invariante de fase y elevar la invarianciade fase local a principio dinámico, devemos de ver la manera de eliminarel término extra, asi que si sumamos un término adicional a la derivadaordinaria ∂∂t , podriamos anular el término extra:

∂

∂t→ D0 =

∂

∂t+(algo que cancele a iq

∂χ(x)∂t

)(46)

y podriamos restaurar la invariancia de fase de la teoŕıa.

10

Si introducimos un campo escalar V ′ conocido como el campo de norma,en abos lados de la Ecuación (45),

(i∂

∂t− qV ′)Ψ′(x, t) = ieiqχ(x,t)

{∂Ψ(x, t)∂t

+ iqΨ(x, t)∂χ(x, t)∂t

+ iqV ′Ψ(x, t)}

(47)

encontramos que siempre que V ′ = V − ∂χ(x,t)∂t obtenemos que este ter-mino se transforma de la manera correcta.

i(∂

∂t+ iqV ′)Ψ

′(x, t) = ieiqχ(x,t)

(∂

∂t+ iqV

)Ψ(x, t) (48)

Bajo la accion de la transformación de fase, D0 se transforma

D0Ψ(x, t) → D′0Ψ′(x, t) = eiqχ(x,t)D0Ψ(x, t) (49)

Para el término de la derivada espacial tenemos:

−i2m

∇Ψ′(x, t) = −i2m

∇(eiqχ(x,t)Ψ(x, t)

)=

−i2m

eiqχ(x,t) (iq∇χΨ(x, t) +∇Ψ(x, t)) (50)

vemos que el término iq∇χ arruina la invariancia de fase de la ecuaciónde Schrodinger.

Si deseamos que la teoŕıa sea invariante de fase y elevar la invarianciade fase local a principio dinámico, devemos de ver la manera de eliminarel término extra, asi que si sumamos un término adicional a la derivadaordinaria ∂∂x , podriamos anular el término extra:

∇ → D = ∇+ (algo que cancele a iq∇χ) (51)

y podriamos restaurar la invariancia de fase de la teoŕıa.Para restaurarla, debemos de introducir un campo qA′ conocido como

campo de norma de tal manera que cancele este término.

12m

(−i∇− qA′

)Ψ

′(x, t) =

−ieiqχ(x,t)

2m(iq∇χ+∇− iqA′

)Ψ(x, t) (52)

el término extra se cancela solo si A′ = A +∇χ, y obtenemos que;

DΨ(x, t) → D′Ψ′(x, t) = eiqχ(x,t)DΨ(x, t) (53)

11

4 RESUMEN

Si demandamos que la ecuación de Schrodinger de una part́ıcula libre

12m

(−i∇)2 Ψ(x, t) = i∂Ψ(x, t)∂t

(54)

sea invariante ante una transformación de fase local

Ψ(x, t) → Ψ′(x, t) = eiqχ(x,t)Ψ(x, t) (55)

vemos que la invariancia de fase local no es una posible para una teoŕıade part́ıcula libre, y requiere que introduscamos los campos de interacción

A y V (56)

conocidos como campos de norma, con leyes de transformación biendefinidas

A → A′ = A +∇χ V → V ′ = V − ∂χ(x, t)∂t

(57)

Asi que la ecuación de Scrodinger que es invariante de fase local

12m

(−i (∇− iqA))2 Ψ(x, t) = i(∂

∂t+ iqV

)Ψ(x, t) (58)

describe a una part́ıcula que no es libre y está sujeta a interacciones conlos campos de norma.

Solo si se cumple que A y V se transforman de acuerdo a la ecuación(57) podemos elevar la invariancia de norma a principio dinṕamico.

12

5 Transformación de fase global

La dinámica de una part́ıcula relativista de masa m y espin 12 esta dada porla lagrangiana de Dirac,

L0 = Ψ̄ (γµpµ −m)Ψ (59)

con

pµ = −i 6 h∂

∂xµ(60)

De donde obtenemos a partir del principio de mı́nima acción la ecuaciónde Dirac de una part́ıcula libre.

(6 p−m) Ψ = 0 (61)

Si exigimos que la lagrangiana de Dirac de la part́ıcula libre sea invariantebajo la transformación de fase global

U = e+iα (62)

esto es, bajo esta transformación de fase,

L0 → L′= Ψ̄

′(γµpµ −m)Ψ

′y

Ψ → Ψ′ = e+iαΨ

Ψ̄ → Ψ̄′ = Ψ̄e−iα (63)

como la fase α no depende del espacio-tiempo x, el término con laderivada cambia de la manera siguiente

∂µΨ → (∂µΨ)′ = e+iα∂µΨ

= e+iα∂µU−1UΨ

= ∂µΨ′ (64)

vemos que la lagrangiana queda invariante

L′= L0 (65)

13

6 Transformación de fase local y Abeliana

Las transformaciones de fase que varian de punto a punto en el espaciotiempo se llaman transformaciones locales, en este caso, la fase depende delespacio tiempo a travez de las coordenadas x,

α = α(x) (66)

Si demandamos que la lagrangiana de la part́ıcula libre

L0 = Ψ̄ (γµpµ −m)Ψ (67)

sea invariante bajo la transformación de fase local

U = e+iα(x) (68)

bajo la acción de U , las funciones Ψ y Ψ̄ se transforman como,

Ψ → Ψ′ = UΨΨ̄ → Ψ̄′ = Ψ̄U † (69)

y para el termino con la derivada tenemos,

∂µΨ(x) → (∂µΨ(x))′ =(

+i∂α(x)∂xµ

Ψ(x) +∂Ψ(x)∂xµ

)e−iα(x) (70)

el termino que rompe la invariancia de fase de la lagrangiana es

∂α(x)∂xµ

y la transformación de fase local no es una simetŕıa de la part́ıcula libre.

Si deseamos que la teoŕıa sea invariante de fase local como principiodinámico, devemos de ver como se transforma la derivada es claro que sicambiamos derivada ordinaria ∂µ por la derivada covariante Dµ

∂µ → Dµ = ∂µ +(algo que cancele a i

∂α(x)∂xµ

Ψ(x))

(71)

podriamos restaurar la invariancia de fase de la teoŕıa.

14

Asi que deseamos tener una derivada covariante Dµ tal que se transformede la manera siguiente

DµΨ → (DµΨ)′= eiα(x)DµΨ (72)

Si multiplicamos por la unidad 1 = U−1U ,

DµΨ → (DµΨ)′= eiα(x)DµU−1UΨ (73)

vemos que la derivada covariante se debe de transformar de la manera sigu-iente

Dµ → (Dµ)′= UDµU−1 (74)

si introducimos un campo vectorial Aµ conocido como el campo de norma,tal que,

Dµ = ∂µ − ieAµ (75)en este caso, bajo la transformación de fase la derivada covariante se escribecomo:

(∂µ − ieAµ) →(∂µ − ieA

′µ

)= U (∂µ − ieAµ)U−1

= ∂µ + U∂µU−1 − ieUAµU−1 (76)

escribimos U a primer orden de la manera siguiente,

U(x) ≈ 1 + iα(x) (77)

con esto obtenemos que la lagrangiana de una part́ıcula libre qj queda in-variante si Aµ se transforma como

Aµ → A′µ = Aµ +

1e∂µα(x) (78)

Vemos que demandando invariancia de face local, hemos introducido uncampo de norma Aµ que se acopla a la particula de Dirac con carga eléctricae, esto es, hemos obtenido partiendo de la lagrangiana de una particula libre,la lagrangiana de una particula inmersa en un campo Aµ.

Lo → L = Ψ̄ (γµDµ −m)Ψ (79)la particula ya no es libre, esta sujeta a fuerzas electromagneticas queaparecieron de forma geometrica, Aµ es el potencial vectorial y la inde-pendencia de la norma la garantizamos con el termino

Fµν = ∂µAν − ∂νAµ (80)

Si deseamos que Aµ sea un campo f́ısico devemos agregar a L el termino dela enerǵıa cinetica de este campo, con esto tenemos la lagrangiana completade la electrodinámica cuántica o QED por sus siglas en ingles

L = Ψ̄ (γµpµ −m)Ψ + eΨ̄γµAµΨ −14

FµνFµν (81)

15

7 Transformación de fase local y no-abeliana

Veremos ahora como generalizar del caso electromagnético, el principio deinvariancia local de fase.

Un elemento U del grupo no abeliano G esta dado de la manera siguiente;

U = e−igTaαa(x) (82)

U esta definido por N constantes αa, T a son los generadores del grupo G ysatisfacen el algebra de Lie[

T a, T b]

= ifa,b,cT c a, b, c = 1, 2, ..., N (83)

La acción del grupo G sobre los campo Ψ y Ψ̄ es la siguiente

U : Ψ → Ψ′ = UΨU : Ψ̄ → Ψ̄′ = Ψ̄U−1 (84)

en cada caso, los generadores T del grupo se eligen apropiados para la rep-resentación de Ψ.

La idea de Yang, Mills y Shaw al comparar con el caso del electromag-netismo fué que si la fase α es función del espacio tiempo, y el termino dela derivada arruina la invariancia de fase de la teoŕıa, en este caso, la la-grangiana invariante de norma local se construye con la derivada covarianteDµ,

U : DµΨ → (DµΨ)′ = UDµΨ

(DµΨ)′ = UDµU−1UΨ

(DµΨ)′ = D

′µΨ

′(85)

esto es, la derivada se transforma de la manera siguiente

D′µ = UDµU−1 (86)

con Dµ = ∂µ− igAµ se obtiene que bajo un grupo general y local de Lie,el potencial vectorial Aµ se transforma como

Aµ → A′µ = Aµ +

i

gU(x)∂µU−1(x) + U(x)AµU−1(x) (87)

16

ComoU = e−igα

a(x)T a ≈ 1− igαa(x)T a

obtenemos sustituyendo en la expresión (88), que

A′µ = Aµ − igαa(x) [T a, Aµ]− T a [∂µαa(x)] (88)

si expresamos al campo de norma Aµ en la base de los generadores delgrupo

Aµ = T aAaµ a = 1, ..., N (89)

obtenemos que Aaµ se transforma de la manera siguiente

Aaµ(x) → A′aµ (x) = A

aµ(x)− ∂µαa(x) + gfabcαb(x)Acµ(x) (90)

La construcción de la derivada covariante Dµ nos llevo a intrucir N cam-pos de norma Aaµ donde N es la dimensión del grupo de norma G.

Para un grupo SU(n), la dimensión del grupo es N = n2 − 1.

La lagrangiana invariante bajo el grupo de norma G es

L = −14F aµνF

µνa + L

(Ψ, Ψ̄, DµΨ, DµΨ̄

)(91)

con el campo de estress para los campos vectoriales Abµ dado por

−igT aF aµν = [Dµ, Dν ] (92)

a diferencia del fotón, los bosones de norma tienen autointeracción y estohace la teoŕıa distinta y no linenal

F bµν = ∂µAbν(x)− ∂νAbµ(x) + gf bcdAcµ(x)Adν(x) (93)

17

7.1 Cromodinámica Cuántica, QCD

De manera analoga podemos derivar la estructura de la CromodinámicaCuántica, solo que en este caso, el grupo de norma U(1) dado por

U(1) = eiα(x) (94)

es reemplazado por el grupo de norma no Abeliano SU(3), que es elgrupo de las matrices unitarias de tres por tres con determinante uno, ladimensión de SU(3) es ocho y un elemento de este grupo es

U = eiαa(x)Ta a = 1, 2, ..., 8 (95)

con Ta los generadores del grupo SU(3), estos satisfacen el álgebra deLie

[Ta, Tb] = ifa,b,cTc (96)

en esta expresión, fa,b,c son las constantes de estructura del grupo.

Al igual que en la Electrodinámica cuántica, partimos de la ecuación deDirac de una part́ıcula libre

L0 = q̄j (γµpµ −m) qj j = r , y , b (97)

en este caso qj es la función que representa al quark de color j.

Si demandamos que la lagrangiana de Dirac del quark libre sea invariantebajo una transformación de fase global U , elemento de SU(3),

L0 → L′ = UL0 (98)

bajo la acción de este grupo, las funciones qj y q̄j se transforman de lamanera siguiente

qj → q′j = Uqj

q̄j → q̄′j = q̄jU

−1 (99)

como el grupo es no abeliano, los generadores Ta no conmutan y devemosintroducir ocho campos de norma Gaµ,

Dµ = ∂µ+ igT aGaµ a = 1, ..., 8 (100)

tales que se transformen de la manera siguiente,

Gaµ → G′aµ = G

aµ −

1g∂µα

a(x)− fabcαbGcµ (101)

18

aśı que como producto final obtenemos la Lagrangiana de la CromodinámicaCuántica,

LQCD = q̄ (iγµ∂µ −m) q − g (q̄γµT aq)Gaµ −14GaµνG

µνa (102)

con

Gaµν = ∂µGaν − ∂νGaµ − fabcGbµGcν (103)

7.2 Las interacciones débiles, WI

En la descripción de las interacciones fuertes y electromagnéticas, los bosonesde norma (gluones y fotones) deven de permanecer sin masa, ya que la pres-encia de un boson de norma con masa destruye la invariancia de norma dela Lagrangiana.

El problema que surge al construir la teoŕıa de las interacciones débileses que al ser esta de corto alcanse, los bosones de norma son masivos.

Como introducimos un término de masa para los bosones de norma delas interacciones débiles?

Lmasa = m2WµWµ (104)

El mecanismo que nos permitira introducir estos bosones de norma ma-sivos sin violar la invariancia de norma es el rompimiento espontáneo de lasimetŕıa de norma SU(2).

19

Un grupo de Lie se puede definir por la representación de sus elementosU = e−iTaαa en términos de sus generadores.

1. Las generadoras del grupo SU(2) por sus siglas en ingles special uni-tary, esta formado por las matrices unitarias σi conocidas como lasmatrices de Pauli:

σ1 =(

0 11 0

), σ2 =

(0 −ii 0

), σ3 =

(1 00 −1

), (105)

el algebra de Lie de estas matrices es[σi2,σj2

]= ifijk

σk2

(106)

2. Las generadoras del grupo SU(3),son las matrices λi conocidas comolas matrices de Gell-Mann Zweig,

λ1 =

0 1 01 0 00 0 0

, λ2 = 0 −i 0i 0 0

0 0 0

, λ3 = 1 0 00 −1 0

0 0 0

,

λ4 =

0 0 10 0 01 0 0

, λ5 = 0 0 −i0 0 0i 0 0

, λ6 = 0 0 00 0 1

0 1 0

,

λ7 =

0 0 00 0 −i0 i 0

, λ8 = 1√3

1 0 00 1 00 0 −2

, (107)con el algebra de Lie

[λj2,λk2

]= ifjkl

λl2

(108)

como Tr(λj) = 0 y Tr(λkλl) = 2δkl tenemos que

fjkl =14iT r(λl[λj , λk]) (109)

f123 = 1

f147 = f246 = f257 = f345 = f516 = f637 =12

f458 = f678 =√

32

(110)

20

3. El grupo de las matrices unitarias de cinco por cinco con determinanteuno se llama el grupo SU(5), las matrices La con a = 1, ..., 24 son lasgeneradoras de este grupo,

La =

0 0

λa 0 00 0

0 0 0 0 00 0 0 0 0

, a = 1, 2, ..., 8 (son los generadores de SU(3)),

L9,10,11 =

0 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 σi0 0 0

, i = 1, 2, 3 (son los generadores de SU(2)),

L12 =1√15

−2 0 0 0 00 −2 0 0 00 0 −2 0 00 0 0 3 00 0 0 0 3

, e =

1 0 0 0 00 1 0 0 00 0 1 0 00 0 0 1 00 0 0 0 1

,

L13 =

0 0 0 1 00 0 0 0 00 0 0 0 01 0 0 0 00 0 0 0 0

, L14 =

0 0 0 i 00 0 0 0 00 0 0 0 0−i 0 0 0 00 0 0 0 0

,

L15 =

0 0 0 0 00 0 0 1 00 0 0 0 00 1 0 0 00 0 0 0 0

, L16 =

0 0 0 0 00 0 0 i 00 0 0 0 00 −i 0 0 00 0 0 0 0

,

L17 =

0 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 1 00 0 1 0 00 0 0 0 0

, L18 =

0 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 i 00 0 −i 0 00 0 0 0 0

,

21

L19 =

0 0 0 0 10 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 01 0 0 0 0

, L20 =

0 0 0 0 i0 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 0−i 0 0 0 0

,

L21 =

0 0 0 0 00 0 0 0 10 0 0 0 00 0 0 0 00 1 0 0 0

, L22 =

0 0 0 0 00 0 0 0 i0 0 0 0 00 0 0 0 00 −i 0 0 0

,

L23 =

0 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 10 0 0 0 00 0 1 0 0

, L24 =

0 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 i0 0 0 0 00 0 −i 0 0

, (111)

el algebra de Lie de SU(5) es

[Li2,Lj2

]= ifijk

Lk2

(112)

22

8 El Modelo Estandard de las interacciones elec-trodébiles y fuertes

El Modelo Estandard de las interacciones electrodébiles y fuertes es unateoŕıa de norma y proporciona un marco téorico consistente y bien definidoen el cual se unifican la electrodinámica cuántica y las interacciones nucle-ares débiles y nucleares fuertes.

El grupo de norma GME de la teoŕıa es un grupo semisimple local y noabeliano,

GME = SU(3)C ⊗ SU(2)L ⊗ U(1)Y (113)

con bosonoes de norma :

Gµi , i = 1, .., 8, Wµi , i = 1, 2, 3 y B

µ

y con acoplos de norma

g3, g2 y g1.

para los factores SU(3), SU(2), y U(1) respectivamente.El mecanismo de Higgs del rompimiento espontáneo de la simetŕıa de

norma SU(2)L ⊗ U(1)Y , da masas a los bosones de norma Z y W± y a losfermiones; seis quarks y tres leptones.

Las masas mf de los fermiones se obtienen de las interacciones de Yukawaformadas por los términos que acoplan el campo de Higgs con dos camposfermiónicos,

mf = (vλf )/√

2,

λf se ajusta de los datos experimentales y se conoce como el acoplo deYukawa del fermión f, y v es el valor de expectación del vacio del campo deHiggs.

En el mecanismo de Higgs, se introduce un solo campo escalar Φ conocidocomo campo o bosón de Higgs; que es singlete de SU(3)C y doblete deSU(2)L.

23

8.1 Evidencia experimental

No hay aun suficiente información experimental que confirme o que excluyade manera definitiva el bosón escalar de Higgs Φ que surgiria del mecanismode Higgs, esto nos da la libertad de postular la existencia de otros camposde Higgs.

Los datos experimentales existentes hasta hoy son consistentes con unsolo boson de Higgs del Modelo Estandard siempre y cuando la masa delbosón de Higgs

mhsm

esté en el rangomhsm ≤ 200 GeV

para que sea consistente con los analisis de presicion electrodébiles, y

mhsm ≥ 114 GeV

para que sea consistente con los ĺımites experimentales de LEP2.

Hay muchas razones teóricas para poner en duda la idea de que el Mod-elo Estandard con un solo sector de Higgs en el cual solo hay un doblete deHiggs sea la solucion correcta:

En el Modelo Estandard, no hay una explicación para el patrón de masasque se observa.

Jerarqúıa de masas: experimentalmente se observa que fermiones de lamisma carga pero de diferentes generaciones o familias tienen una gran difer-encia en sus masas.

Para obtener los valores correctos de las masas de los fermiones es nece-sario elegir de manera apropiada los parámetros de Yukawa,

λf

esto hace que tomen valores en un intervalo de

O(10−6) a O(1)

En una primera aproximación se pueden tomar como nulas las masas delas dos primeras familias.

24

La replicación de los fermiones: para explicar el espectro observado depart́ıculas se introducen tres generaciones o familias de fermiones, sin quehaya una razón teórica que explique por que la naturaleza es aśı.

Las interacciones débiles violan la simetŕıa de conjugación de carga yparidad (CP), particularmente en los decaimientos de los mesones Ko [1] yBo [2], y este problema tampoco está completamente explicado.

En el Modelo Estandard, la violación de CP se introduce agregandocomo parámetro libre adicional una fase compleja en la matriz de mezclasde los quarks para tres familias, llamada la matriz de Cabibbo-Kobayashi-Maskawa ó VCKM [3].

En el Modelo Estandard tal como está formulado, la matriz de mezclasde los leptones, análoga es una matriz unidad ya que el Modelo Estandardse formuló para neutrinos de masa nula.

Evidencia experimental reciente indica que en el sector leptónico hayf́ısica mas allá del Modelo Estándar; en particular: los experimentos deneutrinos han dejado establecido que los neutrinos se mezclan y que proba-blemente tienen masa.

En el caso particular de los neutrinos sabemos por la evidencia exper-imental obtenida de Kamiokande, del experimento Troitsk y los reultadosobtenidos en PSI y LEP que las cotas para las masas de los neutrinos sondiferentes de cero,

mνe < 3.9 eV mνµ < 170 KeV mντ < 18.2 MeV. (114)

estas cotas no nulas son la primer evidencia experimental de f́ısica nuebaque muestra la necesidad de extender el marco del Modelo Estandard.

Los neutrinos son dif́ıciles de detectar porque sólo participan en la in-teracción electrodébil y su carga eléctrica es nula y su masa es muy pequeña.

Si los neutrinos adquieren masa por el mecanismo de Higgs

mν =v√2λν (115)

el problema es que se requiere un acople de Yukawa muy pequeño λν < 10−10

para poder explicar la magnitud de las masas mν < 10 eV .

En el Modelo Estándar, tal como está ahora formulado, no se puedenintroducir términos de masa para los neutrinos debido a que en el modelo

25

no hay una representación del grupo de norma donde podamos acomodara los neutrinos derechos de tal modo que se puedan acoplar con sus corre-spondientes neutrinos izquierdos para formar términos de masa de Dirac.

Los términos de masa para los neutrinos se pueden clasificar en tres tiposde acuerdo al acoplamiento de los campos de quiralidad izquierda y derechadel neutrino con el campo de Higgs.

En el Modelo Estándar una masa tipo Dirac es aquella que conecta com-ponentes izquierdas ψL y derechas conjugadas ψ̄R = ψ

†Rγ

0 del mismo campo.

Para las part́ıculas que portan cualquier número cuántico U(1) , comola carga electromagnética, una masa de Dirac es el único término de masaposible, ya que para preservar estos números cuánticos U(1) es necesariotener interacción part́ıcula-antipart́ıcula.

Sin embargo, los neutrinos son una excepción a esta regla; debido aque no tienen carga electromagnética, es posible introducir otros tipos detérminos de masa ademas de los términos de masa tipo Dirac.

Estos otros términos de masa violan la conservación del número leptónicoy en algunos casos SU(2) × U(1), pero están permitidos por la invarianciade Lorentz.

Una masa de tipo Majorana es aquella que conecta componentes izquier-das ψL y derechas ψR de campos conjugados; podemos introducir dos masasde Majorana diferentes.

El primer tipo de masa de Majorana acopla part́ıcula con part́ıcula.

El segundo tipo de masa de Majorana, acopla antipart́ıcula con an-tipart́ıcula.

26

Una teoŕıa mixta que contenga masas de Dirac y Majorana se obtienecon la lagrangiana

LDM = MDψ̄LψR +MT ψ̄cLψL +MSψ̄cRψR + h.c. (116)

Una teoŕıa que contenga masas de Majorana viola la conservación decualquier número aditivo que porten los campos fermiónicos ψ, por ejemplola carga eléctrica, aśı que todos los fermiones fundamentales, excepto losneutrinos, deben tener MT = MS = 0.

Para neutrinos de Majorana, se viola el número leptónico por dos unidadesy pueden ocurrir los decaimientos doble beta: (Z − 1) → (Z + 1) + e+ e, olos decaimientos K− → π+ee del Kaón; si ocurren estos decaimientos, éstaserá una evidencia experimental clara de que existen neutrinos con masa deMajorana, hasta hoy las cotas experimentales para que ocurran estos pro-cesos son nulas.

Si los eigenvalores de MT son nulos o muy pequeños y si los eigenvaloresde MS son grandes comparados con los de MD, entonces el espectro demasas de los neutrinos se puede separar en un sector de neutrinos ligeroscuya matriz de masas de 3× 3 se escribe como;

(Mν)light = MTDM

−1S MD (117)

y un sector de neutrinos pesados cuya matriz de masas de 3×3 se escribecomo;

(Mν)heavy = MS (118)

Este es el llamado mecanismo de see-saw que nos permite entender lasmasas pequeñas para los neutrinos que son del orden de eV .

Existen varias posibilidades para dar masa a los neutrinos en el ModeloEstándar;

• Extender el sector de Higgs

• Extender el sector de leptones, agregando la parte derecha de los neu-trinos.

• Extender tanto el sector de Higgs como el sector leptónico.

Estudiado la posibilidad de que la tercer hipótesis sea correcta.

27

8.2 La simetŕıa de familias

Nos planteamos la posibilidad de construir un extensión del Modelo Es-tandard en la que agregaremos un grupo de familias o grupo de sabor quenos permita incluir de manera natural en las representaciones irreduciblesdel grupo de sabor las tres familias de fermiones fundametales que se obser-van en la naturaleza.

Una simetŕıa no abeliana de sabor podria explicar varios fenómenos dela f́ısica del sabor que en la actualidad paresen independientes, mas aun,podria dar una indicación de cual es la f́ısica correcta mas allá del ModeloEstandard.

Estudiaremos la posibilidad de que tal simetŕıa del sabor existe a la es-cala de Fermi y las implicaciónes fenomenológicas de esta hipótesis.

La simetŕıa que estudiaremos es la simetŕıa permutacional S3[?, ?], lacual es la simetŕıa no abelian mas pequeña.

El grupo S3 contiene las seis permutaciones posibles de de tres objetos

(f1, f2, f3)

La representacin de tres dimenciones de S(3) se puede descomponer enla suma directa de dos representaciones irreducibles, un singlete

fs =1√3

(f1 + f2 + f3)

y un doblete

fD =

1√2(f1 − f2)

1√6(f1 + f2 − 2 + f3)

Esta es la simetŕıa de un triángulo regular y tiene una interpretación

geométrica simple.

Si aceptamos que el grupo S3 como una simetŕıa fundamental en el sectorde materia del Modelo Estandard.

28

El producto directo de dos doblets

pD =(pD1pD2

)y qD =

(qD1qD2

)contiene un singlete simétrico que es un invariante de S(3)

rs = pD1qD1 + pD2qD2

y un singlete antisimétrico, que no es invariante de S(3)

rA = pD1qD2 − pD2qD1y un doblete

rD = ( rD1 rD2 ) = ( pD1qD2 + pD2qD1 pD1qD1 − pD2qD2 )

Esto nos lleva de manera automática a extender el sector de Higgs, comoel Modelo Estandard solo contiene un Higgs Φ que es doblete de SU(2)L,el cual solo puede ser un singlete del grupo de imetŕıa de familias S3 ycomo el grupo S3 tiene solo dos representaciones irreducibles, un singlete yun doblete, no hay una razón convinsente de por que debe existir solo uncampo de Higgs Φ que es singlete del grupo de familias S3.

Incluir en el Modelo Estandard la simetŕıa permutacional S3 implica nosolo la igualdad de tres objetos, implica también la igualdad de sus repre-sentaciones irreducibles.

Una ventaja es que este grupo permite diferencias entre las generacionesde las part́ıculas elementales que se realizan en la naturaleza.

La extención del Modelo Estandard con el grupo de familias S3 es inmedi-ata, ademas del campo de Higgs HS del Modelo Estandard, introduciremosun campo de Higgs HD que es doblete de S3.

Introduciremos también un neutrino derecho νR por cada sabor de neu-trino izquierdo νL.

29

Finalmente, el contenido de campos de materia de quarks, leptones yHiggs que se transforman como los singletes de S3 son:

QT3 = (uL, dL)3 , u3R, d3R, LT3 = (νL, eL)3 , e3R , ν3R , HS , (119)

los campos de materia de quarks, leptones y Higgs que se transforman comolos dobletes de S3 portan los indices I, J que corren de 1 a 2

QTI = (uL, dL)I , uIR , dIR , LTI = (νL, eL)I , eIR , νIR , HI (120)

de esta manera, por cada uno de los campos de materia tenemos tres especiesque forman una representación irreducible de 1S + 2. Las interacciones deYukawa renormalizables mas generales con simetria de familias exacta S3son:

LY = LYD + LYU + LYE + LYν , (121)

donde

LYD = −Yd1 QIHSdIR − Y d3 Q3HSd3R

− Y d2 [ QIκIJH1dJR +QIηIJH2dJR ]− Y d4 Q3HIdIR − Y d5 QIHId3R + h.c., (122)

LYU = −Yu1 QI(iσ2)H

∗SuIR − Y u3 Q3(iσ2)H∗Su3R

− Y u2 [ QIκIJ(iσ2)H∗1uJR + ηQIηIJ(iσ2)H∗2uJR ]− Y u4 Q3(iσ2)H∗I uIR − Y u5 QI(iσ2)H∗I u3R + h.c., (123)

LYE = −Ye1 LIHSeIR − Y e3 L3HSe3R

− Y e2 [ LIκIJH1eJR + LIηIJH2eJR ]− Y e4 L3HIeIR − Y e5 LIHIe3R + h.c., (124)

LYν = −Y ν1 LI(iσ2)H∗SνIR − Y ν3 L3(iσ2)H∗Sν3R− Y ν2 [ LIκIJ(iσ2)H∗1νJR + LIηIJ(iσ2)H∗2νJR ]− Y ν4 L3(iσ2)H∗I νIR − Y ν5 LI(iσ2)H∗I ν3R + h.c., (125)

y

κ =

(0 11 0

)and η =

(1 00 −1

). (126)

30

El Modelo Estandard extendido con simet́ıa de familias S3 nos permiteintroducir términos de Majorana para los neutrinos derechos

LM = −M1νTIRCνIR −M3νT3RCν3R, (127)

donde C es la matriz de conjugación de carga.

Debido a la presencia de los tres campos de Higgs, el potencial de HiggsVH(HS ,HD) es mas complicado que el del Modelo Estandard.

El potencial de Higgs invariante bajo SU(2)L × U(1)Y × S3 can be ex-pressed as [?],[?],[?]:

V = µ12(H1H1 +H2H2) + µ02(H3H3) + a(H3H3)2 +

b(H3H3)(H1H1 +H2H2) + c(H1H1 +H2H2)2 +

d(H1H2 −H2H1)2 + g((H1H1 −H2H2)

2 + (H1H2 +H2H1)2) +

f [(H3H1)(H1H3) + (H3H2)(H2H3)] + (128)h[(H3H1)(H3H1) + (H3H2)(H3H2) + (H1H3)(H1H3) +(H2H3)(H2H3)]

Podemos suponer que los valores de expectación sobre estados del vaciode los campos de Higgs sean reales con

< H1 >=< H2 >

.1

Estos campos de Higgs también satisfacen la constricción

< HS >2 + < H1 >2 + < H2 >2' (246 GeV)2/2

.

1Ver por ejemplo [?] en donde se considera un potencial con tres campos de Higgs consimetŕıa S3.

31

Entonces de las interacciones de Yukawa Then from the Yukawa inter-actions (122)–(125) y (127) derivamos las matrices de masa, con la formageneral siguienteone

M =

m1 +m2 m2 m5m2 m1 −m2 m5m4 m4 m3

. (129)Las masas de Majorana para los neutrinos izquierdos νL se pueden

obtener del mecanismo de see-saw[?], y esta dada por

Mν = MνDM̃−1(MνD)

T

, dondeM̃ = diag(M1,M1,M3)

.Todas las entradas en la matriz de masas pueden ser complejas; S3 no

impone ninguna restricción.

Aśı que en las matrices de masas hay 4× 5 = 20 parámetros complejos,los cuales se deben comparar con los 4 × 9 = 36 parámetros del ModeloEstandard con masas de Majorana de los neutrinos izquierdos.

Las matrices de masas se diagonalizan por matrices unitarias

U †d(u,e)LMd(u,e)Ud(u,e)R = diag(md(u,e),ms(c,µ),mb,(t,τ)), (130)

UTν MνUν = diag(mν1 ,mν2 ,mν3). (131)

Como las masas diagonales m pueden ser complejas, las masas f́ısicas estándadas por los módulos |m|.2

Las matrices de mezcla están definidas de la manera siguiente

VCKM = U†uLUdL , VMNS = U

†eLUν . (132)

2Denotaremos las masas f́ısicas de los neutrinos por mνi , pero νiL no son los eigenes-tados de masa.

32

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