Béton Final

Institut de Technologie du Cambodge Département de Génie Civil

Professeur: MEAS Sokhom 1

Laboratoire

No 1: (Essai du Béton)


ESSAI DU BÉTON

I. LE BUT

Le but de cet essai est de trouver la résistance à la compression du béton, c’est-à-dire, la résistance de compression à l’âge de 2jours, 7jours, 28jours, 90jours et 360jours. Et aussi, déterminer la résistance caractéristique à la compression du béton à l’age 28jours.

II. PRINCIPE

L’éprouvette à étudier est soumise à un change croissant jusqu’à la rupture. La résistance à la compression est le rapport la charge de rupture et la section transversale de l’éprouvette.

III. EQUIPEMENT NÉCESSAIRE

Les appareils qu’on utilise pour cet essai est le suivant :

- Une balance pour peser la chaque composant du béton et les éprouvettes.

- Un Malaxeur pour mixer la composante du béton

- 21 Cylindres pour couler le béton

-Une machine d’essai qui est une presse de force et de dimension appropriées à l’éprouvette à tester et répondant aux pressions des normes.

- Un moyen pour rectifier les extrémités des éprouvettes : surfaçage au soufre, ou disque

diamante.


Moule cylindre

Malaxeur Compresseur


IV. GACHAGE DU BETON

1. Soit on a 21 éprouvettes cylindriques standard :

Il y avait 9 éprouvettes noires avec sa dimension (15cm x 30cm) ; Il y avait aussi 12 éprouvettes blanches avec sa dimension (16cm x 32cm). Ciment ; Sable ; Eau ; Gravier ; Machine de mélange du béton.

Quantité des Compositions par 1m3 de béton

En évidence, on a le volume total des cylindres (Vtotal) à expérimenter :

Vtotal = Volume de cylindre noire + celui de cylindre blance

= 0,128m3

Donc : Avec cette valeur, on va prendre une autre quantité réel des compositions par rapport à cette volume totale réel.

Où 1.10, c’est le coefficient de la perte pendant réalisation

Dont, la composition du béton :

- eau :188 l/m3 x0.1408m3 = 26.47 l

- sable : 800 kg/m3 x0.1048= 112.64kg

- gravier : 940.6 kg/m3 x0.1048m3 = 132.44kg

- ciment : 421 kg/m3 x 0.1408m3 = 59.27kg

Etant donné que la capacité de malaxeur ne peut pas mixer le volume total de ces compositions, nous divisons ces compositions en mixant 3 fois equivalent.


2 215 16

9 (3,14 30) 12(3,14 32)2 2

Des Compositions

Densité Quantité (Kg)

Ciment (C) 3 421

Sable (S) 2,55 800

Gravier (G) 2,45 940.6

Eau (E) 1 188


Nous obtenons l’affaissement (slump) de ces béton est 16cm, 15cm, et 16cm.

V. LE MÉLANGE

Après préparer les compositions, nous commençons en introduit :

1. la moitié de la pierraille et une partie de l’eau

2. le ciment (ne jamais commencer par le ciment)

3. le sable et le reste de la pierraille

4. l’eau nécessaire pour« consistance plastique»

5. poursuivre le malaxage pendant 2 à 3 minutes

6. vider la cuve et mettre le béton dans la moule (en faisans l’affaissement d’avant)

7. nettoyer soigneusement la bétonnière en fin de travail. Bac de conservation d’éprouvettes

Après réaliser les cylindre, ils durcissent jusqu’au moment qu’on peut démouler (24h) et on les mettre dans le bac de réservation.

VI. CONDUITE DE L’ESSAI

- Après avoir soulever l’éprouvette de l’eau et la laisser sécher, rectifier son extrémité par le

surfaçage au soufre (assurer la planéité et la perpendicularité à la génératrice de l’éprouvette

cylindrique)

- Vérifier les dimensions de l’éprouvette, et peser

- Centrer l’éprouvette sur la presse d’essai

- Effectuer la mise en charge

- Enregistrer la charge de rupture.


cubecylindre

P

PP

P


Formule de calcul de la résistance de compression (fc) : fc = S

P

Où fc : la résistance de compression en MPa

P : charge de rupture N

S : section orthogonale de l’éprouvette [mm2]

+ Pour l’éprouvette cylindrique :

fc cyl = S

P

; S= 4.

2d (d :diamètre de l’éprouvette en mm)

VII. RÉSULTAT

Pour chercher la résistance mécanique à la compression par jours

N0

Durée

Masse

Hauteur

Diamètre

Masse volummique Force

Contrainte

(jour) (kg) (mm) (mm) (kg/m3) (kN) (MPa)

17

12.5 300 150 23582359

348.2 19.720.3

2 12.51 300 150 2360 369.8 20.9

114

15.3 320 160 2378 2354.5

605.8 30.127.6

2 15 320 160 2331 502.4 25

128

15.000 320 160 2331

2339566.2 28.2

28.15

215.10

0 320 160 2347 564.7 28.1

Pour chercher la résistance caractéristique du béton



VIII. DÉTERMINATION LA RÉSISTANCE DU BÉTON PAR LA FORMUL EMPÉRIQUE


N0

Durée

Masse

Hauteur

Diamètre

Masse volumique Force

Contrainte

(jour) (kg) (mm) (mm) (kg/m3) (kN) (MPa)

1

28

15.000 320 160 2331

2378.9

566.2 28.2

27.05

215.10

0 320 160 2347 564.7 28.1

315.00

0 320 160 2331 312.3 15.5

415.20

0 320 160 2362 665.6 33.1

515.15

0 320 160 2355 335.6 16.7

615.20

0 320 160 2362 684.8 34.1

715.20

0 320 160 2362 580.4 28.9

815.10

0 320 160 2347 690.6 34.3

915.00

0 320 160 2331 629.4 31.3

10

12.876 300 150 2429 472.7 26.7

11

12.856 300 150 2425 481.2 27.02

12

12.850 300 150 2426 377.9 21.4

13

12.860 300 150 2427 473.4 26.8

14

12.857 300 150 2425 480.4 27.2

15

12.870 300 150 2424 464.5 26.3

2

1

vE

cvE

c

kfjbc


La résistance à la compression du béton est considérée comme la caractéristique principale de cette dernière. Plusieurs chercheurs arrivent à la conclusion que la résistance à compression du béton fbc à un age dépendre de la qualité du ciment (même la qualité des granulats) aussi au facteur important. La formule empirique suivant peut définie à priori la résistance approximative du béton.

Avec :

-fbcj : respectivement la résistance à la compression à l’age de j jours.

-fbtj : respectivement la résistance à la traction à l’age de j jours.

-c : dosage en ciment (en kg/m3 du béton).

-E : dosage en eau (en l/m3 du béton).

- : poids volumique du ciment (ρ = 3.1)

-v : volume d’air (ou de vide) de 30~40 l/m3 de béton.

-k1 et k2 sont des coefficients dépendant de l’age du béton.

Résistance à l’age de 2 jours




vE

cvE

c

kfjbt 2

(MPa)(MPa)

j (jours) 2 7 28 90 365

K1 60 180 270 300 320

K2 6 12 15 17 17




Dont, on obtient la résistance à compression du béton dans le tableau suivant :

L’âge du béton 2jours 7jours 28jours 90jours 365joursFormule empirique

8.84MPa 26.51MPa 39.77MPa 44.19MPa 47.13

Essai de cylindre

20.3MPa 27.05MPa

IX. RÉSISTANCE CARACTÉRISTIQUE DU BÉTON fbck

Par définition la résistance caractéristique fbck et défini par :

Avec : fm – la résistance moyen

; n : nombre d’éprouvettes en compression

1

2

n

ffs bcim



Le coefficient k dépend de la probabilité fixée à priori, d’obtenir un résultat d’essai inférieur de fk .

Probabilité 0.001 0.005 0.01 0.025 0.05 0.1 0.2

k 3.9 2.58 2.33 1.96 1.64 1.28 0.84

En pratique on prend les valeurs de k en fonction du nombre d’essai réalisé :

Donc, nous pouvons prendre k = 1.94

On a :

La résistance caractéristique du béton est 16.225MPa

X. CONCULSION

Après le fait de l’essai du béton, on a observé que la valeur de la résistance caractéristique du béton dans laboratoire n’a pas la même valeur de la résistance a calculée par la méthode empérique. Il est différent tel que l’inattention de travailleur, la condition dans laboratoire et aussi la température variable tout temps. Quelquefois les résultats obtenus de l’essai ne sont pas toujours corrects parce que les conditions de laboratoire sont différentes des conditions réelles


N. d’essai 15 30 50 100

k 1.94 1.69 1.53 1.46


ESSAI DE L’ACIER

I - DEFINITION :

L' aciers sont les armatures qu'on utilise pour équilibrer les efforts de traction dans les éléments fléchis en béton armé, par exemples : les poutres, les dalles , les planchés... Et ils servent aussi dans les pièces comprimées; les poteaux ou dans les zones comprimées des éléments fléchis. Il y a deux types de l'acier pour faire construction c'est l'acier à rond lise et l'acier à haute adhérence

II - LE BUT :

Les constructions en B.A. doivent résister sans risque de rupture, de détérioration ou d’usure prématurée. En conséquence, les propriétés mécaniques des aciers employés doivent être connues avec précision. Cependant, dans cette laboratoire on n’a trouvé que les propriétés mécaniques importants comme :

- E : Module d’élasticité ou module d’Young- Rp0.2 : Limite d’allongement de 0.2%- ReH: Limite d’élasticité maximale- ReL: Limite d’élasticité minimale- Fm: Charge maximale- Rm: Résistance à la rupture par traction- A* : Extension à la rupture (manuelle) ou allongement en %.

III - MÉTHODOLOGIE :

III -1- EPROUVETTE:

Les éprouvettes utilisées dans cette essai de traction sont les aciers à haute adhérence et les aciers à rond lise. Ils comportent des verrous ou nervures qui favorisent l’ancrage de la barre sur le béton. Le diamètre des aciers à haute adhérence est mesuré à la surface extérieure de deux nervures d’acier comme d’illustration de la section AA danse le fig.1

Dans cet essai on a fait de l’essai de traction sur 6 éprouvettes(trois type de dimensions) :

1 - RB = 10mm, S = 78.54mm2

3 - DB = 12 mm, S = 113.1mm2

4 – DB = 16 mm, S = 201.1mm2


Fig.1: Acier à haut adhérence

Fig.2: Acier AD et RL


III -2- APPAREILS DE L’ESSAI DE TRACTION:

Les appareils nécessaires utilisés dans cet essai de traction sont :

Machine à l’essai de traction et flexion à la force 400KN (walter + bai) C’est la machine est plus utilisé grâce à sa facilité avec à l’aide de l’ordinateur qui donne le résultat automatiquement et correctement.

Extensiomètre :c’est un appareil pour régler la courbe de l’essai de traction être linéaire et donner la valeur de limite d’élastique précise.

Pièrre colis :Un mètre, on utilise seulement pour mesurer le diamètre de l’acier.

III -3- PROCESSUS DE L’ESSAI DE TRACTION:

- Tout d’abord, on prend l’éprouvette coupée environ 30 cm avec les diamètres différents.

- On la mesure 2cm et note sur l’éprouvette avec le mètre, quelquefois on peut noter aussi 3cm sur l’éprouvette. (Fig.6)

- Encore, on la met dans la machine de traction comme illustrer à la (Fig.7) et la mesure le distance entre deux pinces c’est la longueur libre.(Fig.8)

- Après avoir mis en extensomètre comme illustrer à la (Fig. 9) (c’est un instrument qui peut déterminer la limite d’élastique et rendre la courbe linéaire) sur l’éprouvette, on commence à régler le programme dans l’ordinateur (met le nom d’essai, met les données…).

- Laisse l’ordinateur marche jusqu’à il nous permet se reprend l’extensomètre.

- Ensuite, en attendant quelque minutes, on obtient le résultat, ça veut dire l’éprouvette est interrompue (Fig. 10).


Fig.3: Machine à l’essai de traction

Fig. 4- Extensomètre


- On reprend l’éprouvette interrompue. On la mesure son allongement et tape sur l’ordinateur (Fig. 11).

- Finalement, On donc obtient un résultat par l’imprimeur.

IV – RÉSULTATS :

Après avoir fait cet essai de traction, on a obtenue le résultat avec la courbe de contrainte et de déformation donnée par l’ordinateur dans les pages de l’annexe 2.

. Déterminer fe et fr résistance élastique, rupture et la module d’élasticité Es


Fig.5: Eprouvette est noté à 2cm Fig.6: Mettre éprouvette dans

les deux pinces

Fig.7: Mesurer la distance libre Fig.8: Mettre l’extansomètre

Fig.9: Eprouvette interrompue

Fig.10: Allongement de l’éprouvette


D’après le rapport d’essai, je peut déterminer ci-dessous:

Pour STEEL RB 10:

Pour POMINA DB12 SD 390:

Pour VINA KYOEI DB16 G60:

Pour la dernière valeur de E peut être I’l y a l’erreur parce qu’ils sont très différent entre les deux valeurs.

Déterminer la valeur théorique et forfaitaire de la longueur d’ancrage ls de barre d’acier de Ø16 ci-dessus dans le béton ayant de résistance obtenue par le labo No.1 ?

A L’ELU



On a

Alors

Donc: la valeur théorique et forfaitaire de la longueur d’ancrage ls de barre d’acier de Ø16 est

V – DISCUSSION DE RÉSULTAT :

A partir des résultats d’essai, on constate que nos aciers contiennent la résistance et le module d’élasticité longitudinale plus élevée. Tous les aciers sont les matériaux ductiles avec palier d’écoulement parce que les courbe contrainte-déformation composent en 3 zones : élastique, palier de ductilité, et plastique.

Pour comprendre bien les résultats obtenus au-dessus, je vais premièrement analyser sur le schéma de principe du diagramme de l’essai de traction. Ensuite, les propriétés fondamentales d’acier seront mentionnés ; et finalement, nous palerons de l’effet d’un changement de température sur les déformations.

VIII CONCLUSION :

Nous avons vu que, à partir du simple essai de traction, nous pouvons déterminer les propriétés mécaniques des aciers comme : STEEL RB 10,POMINA DB12 SD 390, VINA KYOEI DB16 G60 qui nous aident de réalliser ses qualité pour analyser et calculer des structures.

Cependant, les résultats de cet essai sont insuffisants, par exemple, on ne peut pas savoir le coefficient de Poisson et le coefficient de dilatation thermique. En plus, le module d’élasticité transversale n’existe pas dans le rapport de résultat. Cet à dire, on peut seulement pousser les aciers en longueur.

Quelquefois les résultats obtenus de l’essai ne sont pas toujours corrects parce que les conditions de laboratoire sont différentes des conditions réelles. Par exemple, la condition de température est différente et nous voyons que lorsque la température est élevée, le module d’élasticité peut diminuer. En outre, les conditions de l’essai demandent sections planes restent planes et distribution uniforme des contraintes et déformation ; tandis que les conditions réelles ne peuvent pas toujours respecter à ces condition.



CHAPITRE I: INTRODUCTION

I. STRUCTURE EN BETON ARME (BA):

Le Béton Armé est un matériau le plus abondant en construction des bâtiments et d'ouvrage d'art:

Structure de sous-sol Réservoir d'eau Tour de Télévision Offshore d'exploitation de Pétrole Barrages Routes, ponts, ports et aussi des bateaux

II. MECANIQUE EN BETON ARME: Béton est fort en compression mais il est faible en traction.

Aciers sont forts en compression et en traction.

III. ÉLEMENTS EN BETON ARME:

On utilise normalement le béton armé dans les bâtiments comme ci-dessous:

Toiture Terrasse: Isolation, Porteur (plancher) Poutres (en flexion) Colonne ou poteau (en compression et flexion) Semelles de fondation (en compression et flexion)

IV. FACTURES POSITIFS DE CHOIX BETON ARME:

Dans la construction, les matériaux importants sont: Béton, Acier, Bois, Briques…..

Pour l'utilisation de béton armé, il y a des Avantages et aussi les Inconvénients.



1. AVANTAGES DE BETON ARME:

Les Avantages de béton Armé sont:

Matériau stable pour l'architecture et la structure Résistance au feu Rigidité Avoir besoin peu de maintenance Matériaux très abondant dans la nature

2. INCONVENIENTS DE BETON ARME:

Les Inconvénients de béton Armé sont:

Contrainte de traction très faible Besoin des moules: formes et des étais Matériau lourd (poids propre) Temps de durcissement

V. HISTOIRE DE DEVELOPPEMENT DU BETON ET BETON ARME: 1. LE CIMENT ET LE BETON:

Mortier de chaux: 2000 ans avant JC Dôme de Panthéon: Romains en année 26 avant JC

Ciment composé de chaux éteinte et d'argile: Ca(OH )2+SiO2+Al2O3

Découvert par Jonh Smeaton Ir. Anglais en 1800 après JC Joseph Aspdin: 1er Inventeur du Ciment Portlant en 1824 Brunel a fait construit Tunnel Thames River en 1828 et Pieux de pont en 1835 Johnson améliorait le ciment comme aujourd'hui en 1845 D.O. Saylor: Cimenterie aux États-Unis en 1871 T. Millen: Seconde Cimenterie aux États-Unis en 1880

2. BETON ARME: 1850: Ir. Thaddeux Hyatt testait une poutre en béton. 1854: W.B. Wilikinson a obtenu en patent d'utilisation le béton armé pour la dalle 1855: Lambot construisait un bateau en béton armé en 1848 et recevait un

Brevet. 1861: French Man et Coignet publiaient le système d'application béton armé 1877: Thaddeux Hyatt publiait son œuvre en béton armé. 1880-1881: Monier avait reçu Patent de l'Allemagne pour les Tubes, Château

d'eau, réservoir, dalles, ponts, et des escaliers en béton armé. 1886: Fondation des compagnies Wayss et Freitage avec le support des Prof.

Mörsh et Bach. 1886: Koenen avait publié sa découverte en béton armé. 1875: 1ère construction en béton armé était réalisé à Long Island, aux États-Unis. 1884: EL. Ransome avait de Patent en béton armé. 1888: EL. Ransome construisait un bâtiment en béton armé. 1890: Jr. Museum à San Francisco. 1903: Premier Bâtiment à Pennsylvanie. 1875 – 1904: 15 patents en France, 14 en Allemagne, 8 aux États-Unis, 3 en

Angleterre et 3 aux autres pays.



1900-1950: formation de la Société Française des Ingénieurs Civil Développement de la recherche et de l'application de béton armé en construction.

VI. NORMES ET STANDARD DU BETON ARME:

Il y a quelques Norme et Standard de béton armé qui sont utilisés aux divers pays du monde. Par exemple:

Commission Européenne de Béton CEB-1978:- Les Règles CCBA – 68

- ICE – Anglais 1972

- BAEL – 80 modifiée en 1991 et 1999

- EUROCODE – 2000 (EC2): appliqué dans tous les pays membre EU.

ACI avant 1997, modifié en 2000: est appliqué en Nouvelle Zélande, Australie, Canada et autres pays Amériques Latines.

- UBC (Uniform Building Code)

- SBC (Standard Building Code)

IBC: depuis 2000 (International Building Code) ASCE7-98: American Society of Civil Engineers (Contreventement)



CHAPITRE II: MATERIAUX POUR LE BETON ARME

I. BETON

1. DEFINITION ET PROPRIETES : DEFINITION :

Béton est un matériau artificiel de construction qui est mélangé de la substance granuleuse, de liant et d'eau et qui est dosé de façon bien définie.

PROPRIETES :

Les propriétés de béton sont:

- Durcit dans l'aire et dans l'eau.

- État liquide au moment de la mise en œuvre.

- État solide en exploitation.

- Masse Volumique: ρ=24à25 KN /m3

- Consistance ou affaissement: 4 cm à 16 cm

- Résistance varie: C/E < 2

- Coefficient de dilatation thermique ~ 10

2. COMPOSITION DU BETON FRAI :

En cas courant le dosage par 1m3 du béton est contient de:

C – Ciment Portland : 300 à 450 kg S – Sable : 0.4 à 0.6 m3

G – Gravier: 0.85 à 0.9 m3 ou Pierre concassée: 0.8 à 0.85 m3

E – Eau: 150L à 200L ; Adjuvant: Accéléré, Retardé, Étanchéité, entraineur d'air, hydrofuges

En proportion C-S-G: 1-2-3 (en volume)

3. RESISTANCES :

Résistance mécanique du béton:

- Résistance à la compression fc

- Résistance à la traction fbt ~ (1/12:1/15)fc

- Résistance à l'âge de j jour fcj et fbtj

La résistance du béton varie avec:

- Conditions de fabrication

- Dosage en ciment et en eau: C/E < 2

- Consistance: maniabilité 4cm à 16cm

- Son âge



a. FORMULE DE FERRET :

Formules empiriques à prévoir les résistances:

b. RESISTANCE CARACTERISTIQUE f ck:

fck = fcm – Ks avec fcm = ∑fci /n – résistance moyenne

- K: Coefficients de probabilité:

Probabilité 0.001 0.005 0.01 0.025 0.05 0.1 0.2

K 3.9 2.58 2.33 1.96 1.64 1.28 0.84

- K: Coefficient en fonction du nombre d'essais:

No. Essais 15 30 50 100

K 1.94 1.69 1.57 1.46

En pratique on prend la probabilité P = 0.05 ≥ K = 1.64

fck = fcm – 1.64S

fc28 – résistance en compression à l'âge de 28 jours d'un éprouvette cylindrique de 16 et h =32cm.


- C- Ciment (kg)- E- Eau (kg)- V- Volume d'air (l)- ρ- Densité du ciment (3.1)

- K1 et K2 coefficients fonction de la nature du ciment et du temps.

- S: coefficient de déviation- n: nombre d'Essais

f cj=K 1 M2et f btj=K2 M (MPa)

M=

CE+VC

E+V+ ρ

j (jours) 2 7 28 90 365

K1 60 180 270 300 320

K2 6 12 15 17 17

S=√∑( f cm−f ci)2

n−1


c. REGLE BAEL :

- Pour j ≤ 28

- Pour 28 < j < 60 et fc28 ≤ 40 MPa (1) est valable,- Pour j ≥ 60, fcj = 1.1fc28

d. RELATION ENTRE fcj et fbtj:

4. MODULE DE DEFORMATION :

Module de déformation longitudinale instantanée Eij

Module de déformation totale Evj


Eij Evj

ε bc

fcj

2 ε 3 εε

(1) f cj=j

4.76+0.83 jf c 28 pour f c 28≤40 MPa

(2) f cj=j

1.4+0.95 jf c 28 pour f c 28>40 MPa

f btj=0.06 f cj+0.6

Eij=11000 f cj1 /3(t<24heurs)

E vj=3700 f cj1/3≅ 1

3E ij

Modulede déformation= contrainte normaledéformationunitaire longitudinale

; E=6ε


5. COEFFICIENT DE POISSON :

On prend: ν=0.20 pour justifier à l' ELS

υ=0dans≤casdes ELU

6. DIAGRAMME CONTRAINTE – DEFORMATION ( σ−ε):

Raccourcissement unitaire (mm/mm)

Le calcul aux États Limite: 0.002<εb<0.0035


L

Δd/2

Δd/2

P

d

3 ε

E=σε

0.0040.0030.0020.0010

0.5 f c28

f c28

ε b

σ (MPa)

ν=∆ L/L∆d /d


7. FLUAGE ET RETRAIT : Causes de déformation du béton

Fluage: la propriété physique du béton se déformer dans le temps sous l'action des contraintes.

Retrait: le changement de volume ou déformation dans le temps indépendamment l'action des contraintes.

Exemple: Le raccourcissement unitaire du béton dû au retrait égal à 0.0002.


APPLICATION

1-2









II. ACIER POUR LE BÉTON ARMÉ

1. GENERALITE :

L'élément en BA travaille, en générale, pour résister les efforts extérieurs dont sa section est soumise à des contraintes de compression, de traction ou de torsion.

Le béton est très faible en traction L'acier est bien en traction Les deux matériaux réagissent ensemble

aux efforts extérieurs Ils ont de meilleure adhérence Ils n'ont pas de réaction chimique

2. CLASSIFICATION DES ACIERS :a. SELON LEURS ROLES :

Armature principale : obtenue par le calcul des sollicitations. Armature de montage ou secondaire résiste aux efforts secondaires.

b. PAR LA FABRICATION :

Fils de fer de Ø=4 à 10mm, présentent en rouleau Barres de Ø=10 à 40mm de longueur 12m et de profil lisse (RL) ou nervuré

(HA). Treillis soudés : TSRL ou TSHA Câble : plusieurs torons en fils fins. (Béton précontraint)

3. PROPRIETES MECANIQUES :



a. CARACTERISTIQUES : La résistance est garantie par le fabricant. Module d’Young Es = 200 000 MPa

b. RESISTANCES : Limite élastique : fe = 215-235 pour les RL

fe = 400-500 pour les HA Résistance à la rupture : fr = 330-490 MPa pour les RL

fr = 480-550 MPa pour les HA

c. DIAGRAMME σ s−εs:

CARACTERISTIQUES DES ACIERS RL ET HA :






III. PROPRIETES COMPLEXES BETON-ACIER

1. ADHERENCE :a. DEFINITION :

Adhérence est la liaison tangentielle à l’interface acier béton due au frottement et à l’arc boutement des bielles de béton.

b. ESSAI D’ARRACHEMENT :

F – effort de traction dans l’acier :

F=π∅ 2

4σ s

Fa – effort d’adhérence :

Fa=π∅0

l

τ s xdx

Où : τ s ( x )−contrainte d 'adhérence réelle

τ s−valeurmoyennede τ s( x)

F=Fa→π∅ 2

4σ s=π∅ τ sla→la=

σs∅4 τ s

À l’ELU : τ su=0.6ψs2 f btj

CAS DES CONTRAINTES :



Traction : OA définit proportionnelle.

A(E s=f e

εs

;6 s=f e)

6 s=Es . εs

[AK ] ;6 s=cte

Compression : Diagramme symétrique par rapport à l’origine 0.

c. LA LONGUEUR D’ANCRAGE :

C’est la longueur d’enfoncement de barre d’un élément dans le béton d’un autre pour assurer la liaison des deux éléments en BA.

i. LONGUEUR DE SCELLEMENT DROIT :

À l’ELU : ls=f su∅

4×0.6ψ s2 f btj

Avec ψs coefficient de scellement de barre égale : 1 pour les RL

1.5 pour les HA

f su−résistancede calculd ' acier àl ' ELU

f btj−résistancede traction dubéton



- Parquets de barres :

2 barres : ls2=1.22 ls ; périmètre U=(2+π )∅

3 barres : ls2=1.53 ls ; périmètre U=(3+π )∅

- La longueur forfaitaire de scellement pour les pièces comprimées ou tendues :

Pour fc28 < 60 MPa : ls=40∅ pour les HA 400

ls=50∅ pour les HA 500

Pour fc28 >= 60 MPa : ls=20∅ pour les HA 400

ls=25∅ pour les HA 500

ii. LONGUEUR DE RECOUVREMENT ls :

Barre jointives Barre éloignées

lr=ls=40∅ pour les RL lr=ls+d

50∅ pour lesHA

iii. RECOUVREMENT DES BARRES COMPRIMEES :



lr=24∅ pour lesHA 400

lr=30∅ pour les HA 500et RL

Exception les têtes de pieux battus : lr=2ls

iv. ANCRAGE PAR COURBURE DES BARRES TENDUES :

Condition de non écrasement du béton :

r ≥3∅ pour les aciers doux

5.5∅ pour lesHA

Longueur de recouvrement :

0.4 l s (RL )ou0.6 ls (HA ) si c≤5∅

0.4 l s (RL )ou0.6 ls+c (HA ) si c>5∅

v. Cadres, épingles, étriers :

Cadres Épingles Étrier



Les ancrages des extrémités de barres façonnées en cadres, étriers, épingles sont

assurés par courbure suivant le rayon minimal, si les parties courbes sont prolongées par

des parties rectilignes au moins égales à:

5Φ à la suite d'un arc de 180°





2. DISPOSITION CONSTRUCTIVE : a. DISTANCE ENTRE 2 BARRES :

b. ENROBAGE OU COUCHE DE PROTECTION :

1 cm pour la dalle avec abri 2 cm pour la dalle sans abri 3 cm à 4 cm pour les éléments protégés 5 cm à 7 cm pour les éléments se trouvent dans le

milieu agressif

Afin d’éviter les problèmes de corrosion des aciers, il convient de les enrober par une

épaisseur de béton suffisante. Cette épaisseur, l’enrobage, dépend des conditions

d’exposition de l’ouvrage. On adoptera les valeurs suivantes

- 5cm : pour les ouvrages à la mer ou exposés aux embruns, aux brouillards salins,

ainsi qu’à des atmosphères très agressives = cas des fissurations très préjudiciable. Cet

enrobage peut être ramené à 3cm si les armatures ou le béton sont protégés.

- 3cm : pour les parois coffrées ou non qui sont soumises (ou susceptibles de l'être) à

des actions agressives, ou à des intempéries, à des condensations, ou encore, eu égard à la

destination des ouvrages, au contact d'un liquide = cas des fissurations préjudiciable.

Cette valeur peut être ramenée à 2cm si fc28 > 40 MPa.

- 2cm:pour la dalle sans abri ou sans protection.Par exemple: Terasse.

- 1cm : pour des parois qui seraient situées dans des locaux couverts et clos et non

exposées aux condensations = cas des fissurations peu préjudiciable.


Nappe supérieure (2 lits)

eh= ev = max (1.5D;Ø)

D – grande dimension de granulat

Nappe inférieure (2 lits)

a≥a' ≥c=¿


CHAPITRE III: CALCUL AUX ÉTATS-LIMITES

I. NOTION D’ETAT-LIMITES

1. INTRODUCTION :

Toutes les structures doivent être conçues et calculées de façon à répondre aux deux exigences suivantes :

Résister avec un degré de sécurité acceptable aux charges et déformation qu’elles soumissent pendant leur construction et leur exploitation.

Avoir une bonne tenue en service durant leur vie utile.

Ces deux exigences soient satisfaites sont formulées en termes d’états-limites.

2. DEFINITION :

Un état-limite d’un élément est un état au-delà duquel l’élément n’assure par sa fonction :

Pendant la construction (court temps) Pendant leur exploitation (long temps)

Le calcul selon BAEL-91 a deux État-Limites : État-limite Ultime (ELU) et État-limite de Service ou d’Exploitation (ELS).

a. ETAT-LIMITES ULTIMES :

L’élément doit assurer :

De la résistance et de la fatigue des matériaux De l’équilibre statique

b. ETATS-LIMITES DE SERVICES :

L’élément doit avoir le bon comportement en service : Ils imposent des limites :

Aux déformations ou flèches excessives. A l’ouverture des fissures et aux vibrations.

3. METHODE DE CALCUL AUX ETATS-LIMITES :

Consiste à dimensionner une structure et ses éléments de façon à éviter d’atteindre tout état-limite par :

Majoration des charges par des coefficients de sollicitation (ψ i>0)

Diminution de la résistance du matériau ; par les coefficients de sécurité (δ>0) 4. ACTIONS OU CHARGES :

Ce sont l’ensemble des causes qui entrainent es déformations de la structure :

Forces Couples Retrait Variation de to etc…



Les valeurs des actions sont définies par les règlements en vigueur ou par les textes particuliers à l’ouvrage. Elles sont classées en trois catégories :

Permanente (G) Variable (Q) Accidentelle (A)

a. ACTIONS PERMANENTES (G):

L’intensité (G) est constante avec le temps :

Poids propre de la structure

P= ρV ( ρ – poids volumique ) Les charges de superstructure Equipements fixes La pression de terre ou de liquide Efforts due aux déformations permanentes imposées à la construction.

b. ACTIONS VARIABLES (Q) :

Intensité (Q) est variable avec le temps :

Charges d’exploitation ou surcharges Actions climatique et naturelle (neige vent…) Actions dues à la température Actions appliquées en cours d’exécution.

c. ACTIONS ACCIDENTELLES (A):

Existent rare dans la région où se trouve l’ouvrage :

Séisme Chocs Explosions Feu etc…

Elles sont à considérer que si le marché les prévoir.

5. SOLLICITATIONS :

Sollicitations sont des efforts provoqués par les actions, en chaque point et sur chaque section de la structure, et son déterminées par les lois des résistances des matériaux ou d’analyses des structures :

Moment de flexion (M) Effort Tranchant (V) Couple de Torsion (T) Force longitudinale (N)

6. COMBINAISON DES CHARGES :



Le groupement d’actions de tout type pour que les sollicitations de calcul ne provoquent pas le phénomène que l’on veut éviter :

A l’ELU : S (u )=ψ gG+ψ qQ+ψa A

Où ψg - coefficient pour l’action accidentelle

¿1.35G+1.5Q+(0.6−0.77)A A l’ELS : S(s) = G + Q (ψ=1)

Où S – solicitation (actions extérieures)Il faut que : S(x)<= R(x)

Sollicitation <= Résistance

7. RESISTANCE DE CALCUL AUX ETATS-LIMITES : À l’ELU : BETON :

f cu=0.85 f cj

θ γ b

Où : ρb – coefficient réduction de la résistance du béton est prise : γb = 1.5Θ – coefficient dépend de la mise en œuvre du béton, en cas courant

ou prend Θ = 1 ACIER :

f su=σ su=f e

γ s

Où : γs – coefficient réduction de la résistance de l’acier est prise égale γs=1.15

À l’ELS :

BETON : ¿0.6 f cj Acier : la résistance de calcul dépend les cas de fissuration :

Fissuration peu ou non préjudiciable :

σ s≤σ su=f e

1.15

Fissuration préjudiciable :

σ s=min {23 f e ;max (0.5 f e ;110 √η f bt )}

Fissuration très préjudiciable :

σ s=0.8×min {23 f e ;max (0.5 f e ;110√η f bt )}Où Fe – limite élastique de l’acier

1 pour RL

1.6 pour HA ; Ø >= 6 mm

1.3 pour HA ; Ø < 6 mm


η=¿η=¿η=¿η=¿η=¿η=¿η=¿η=¿η=¿η=¿η=¿η=¿η=¿η=¿η=¿η=¿η=¿η=¿η=¿η=¿η=¿η=¿η=¿η=¿η=¿η=¿η=¿η=¿η=¿η=¿η=¿η=¿η=¿η=¿η=¿η=¿η=¿η=¿η=¿η=¿η=¿η=¿η=¿η=¿η=¿η=¿η=¿η=¿η=¿η=¿η=¿η=¿η=¿η=¿η=¿η=¿η=¿η=¿η=¿η=¿η=¿η=¿η=¿η=¿η=¿η=¿η=¿η=¿η=¿η=¿η=¿η=¿η=¿η=¿η=¿η=¿η=¿η=¿η=¿η=¿η=¿η=¿η=¿η=¿η=¿η=¿η=¿η=¿η=¿η=¿η=¿η=¿η=¿η=¿η=¿η=¿η=¿η=¿η=¿


8. DEGRESSION DE SURCHARGE (CHARGE VARIABLES) : a. DEGRESSION HORIZONTALE :

C’est la minoration des surcharges appliquées à des grandes surfaces ou majoration pour des petites surfaces.

Garage : S <= 20 m2 on prend q =2.5 kN/m2

20 m2<= S < 60 m2 → q = (3-0.025S) kN/m2

S > 60 m2 → q = 1.5 kN/m2

Bâtiment d’habitation : S <= 15 m2 on prend λ = 115 m2 < S <= 50 m2 on prend λ = (190-S)/175 S >= 50 m2: λ = 0.8

b. DEGRESSION VERTICALE :




APPLICATION

4-5-6



Application 4:

12 cm

35 cm

30 cm

2,8m

2,8m

2,8m

2,8m

30x2,8 m

8m

So

So =Sn



Application 5:

Application 6:



II. HYPOTHESES DE CALCUL AUX ETAT-LIMITES

1. ÉTAT-LIMITE ULTIME DE RESISTANCE (ELU) :a. HYPOTHESE DE CALCUL :

H1 : (hypothèse de Navier) les sections droites restent planes après déformation

H2 : il n’y a pas de glissement relatif entre les armatures d’acier et le béton grâce à l’adhérence.

H3 : la résistance à la traction du béton est négligée à cause de la fissuration (fbt = 0).

H4 : le diagramme contraintes-déformations du béton est celui défini au paragrahpe2.

H5 : le diagramme contrainte-déformations de l’acier est celui défini au paragraphe 3.

H6 : les positions que peut prendre le diagramme des déformations d’une section droite passent au moins par l’un des trois pivote définis au paragraphe 4.

H7 : on peut supposer concentrée en son centre de gravité la section d’une groupe de plusieurs barres, tendes ou comprimées, pourvu que l’erreur ainsi commise sur la déformation unitaire ne dépasse pas 1%.

b. DIAGRAMME σ c - εc DU BETON :

On prend :

Pour : 0 <= εc <= 0.2% : σc = 0.25.fc .103.εc(4.103. εc)

Pour : 0.2% <= εc <= 0.35% :

σ c=f cu=0.85 f cj

θ γ b



c. DIAGRAMME σ s – εs DES ACIERS :

ε s=f e/ γe

E s

Où : E s=200 000 MPa

γ s=1.15 sauf≤cas exceptionnel

0.2 %=ε se≤εs≤1 %

⟹σ su=f e

γe

ε s≤ εse⇒σ s=E s . εs

DETAIL DES CONTRAINTES DE COMPRESSION σ s (ELU) :



2. ÉTAT-LIMITE DE SERVICE (ELS) :a. HYPOTHESES DE CALCUL :

H1 : (hypothèse de Navier) les sections droites restent planes après déformation.

H2 : Il n’y a pas de glissement relatif entre les armatures d’acier et le béton.

H3 : La résistance à la traction du béton est négligée à cause de la fissuration (fbt=0).

H4 : l’acier et le béton sont considérés comme des matériaux élastiques linéaires et il est fait abstraction du retrait et du fluage du béton.

H5 : Coefficient d’équivalence acier-béton est n=Es

Eb

=15

b. REGLES DE S TROIS PIVOTS :

Pivot 1 : rupture par l’acier, flexion composée avec traction (N-faible)

Pivot 2 : rupture par le béton, flexion simple ou composée (M-forte)

Pivot 3 : rupture par le béton section entièrement comprimée ou compression simple (N-forte)

c. DETAIL DES CONTRAINTES DU BETON (ELS) :



VERIFICATION DES CONTRAINTES ELS :

dS=b( y)dy

S(x)−moment statique dubétoncomprimé par rapport AN (σ c=0)

σ y=σ cyx

d Fb=σ ydS=σ c

xb(y ) ydy⇒Fb=

0

x σc

xb( y) ydy=

σ c

xS( x)

Finalement : σ c=MxI

Par conséquence : σ s=nM (d−x )

I




III. CALCUL DES TIRANTS

1. DEFINITION ET HYPOTHESES DE CALCUL :

Le tirant est une poutre droite soumise uniquement la traction simple centrée.

Un élément soumis le phénomène traction simple lorsque le point d’application est en centre de gravité de la section d’élément.

Dans le cas de tirant la résistance de traction de béton est négligée car sa résistance de traction est trop faible. Donc, le centre de gravité de la section se trouve sur celui d’armature longitudinale d’élément.

Le tirant est utilisé pour assurer l’équilibre

Poussées horizontales, par exemple les poussées engendrées aux appuis

Action verticale, cas d’utilisation suspendue

Les centres de gravité des aciers et la section du béton tendu sont confondus en G.

2. EXEMPLES D’ELEMENT EN TRACTION SIMPLE :



3. DIMENSIONNEMENT :

Le dimensionnement d’un tirant se fera en respectant les 4 conditions suivantes :

a. CONDITION DE RESISTANCE A L’ELU :

Equation d’équilibre des forces :

Nu≤N RU (1)

Avec : NU – effort de traction à l’ELU.

NRU – force de résistance à l’ELU.

On a : NU = 1.35NG + 1.5NQ

NRU = Nbt +Nsu =Nsu ; (fbt=0)

De (1) => Nu = Nsu = σsu.Asu

Où : Asu = Nu/ σs

b. CONDITION DE RESISTANCE A L’ELS :

Comme précédemment la totalité de l’effort de traction est supportée par les

armatures de section Aser ayant de résistance de calcul σ s :

On a : N ser≤σ s . A ser

⇒ A ser≥N ser

σ s

c. CONDITION DE NON-FRAGILITÉ :

On doit prendre une quantité de section minimale d’acier pour une section de béton B = b x h :

A s . f e≥B . f tj



d. DISPOSITION CONSTRUCTIVE :

Il faut mettre les armatures principales :6 mm en fissuration peu préjudiciable8 mm en fissuration préjudiciable ou très préjudiciable

La section du béton doit être suffisante pour assurer : Bon enrobage des armatures Bonne jonction de barres par recouvrement

i. LA SECTION A S DE DIMENSIONNEMENT RETENUE :

A s≥max {Nu

σsu

;N ser

σ s

;B .f tj

f e}

ii. ARMATURE TRANSVERSALES : Zone de recouvrement : au moins 3 cadres :

Dans lr = ls = ∅ f e

4 τ su

Section et diamètre :

f e .A t

S t

=m .π .∅ . τ su

Avec : At – section totale des brins de Ø

St – espacement des cadres

m – nombre de barres joncture en place étudiée

fe – résistance à la limite d’élasticité de l’acier

τ su - contrainte tangente limite

En zone courante : St = b, le petit coté de la section


Øl >=Øl >=Øl >=Øl >=Øl >=Øl >=Øl >=Øl >=Øl >=Øl >=Øl >=Øl >=Øl >=Øl >=Øl >=Øl >=Øl >=Øl >=Øl >=Øl >=Øl >=Øl >=Øl >=Øl >=Øl >=Øl >=Øl >=Øl >=Øl >=Øl >=Øl >=Øl >=Øl >=Øl >=Øl >=Øl >=Øl >=Øl >=Øl >=Øl >=Øl >=Øl >=Øl >=Øl >=Øl >=Øl >=Øl >=Øl >=Øl >=Øl >=Øl >=Øl >=Øl >=Øl >=Øl >=Øl >=Øl >=Øl >=Øl >=Øl >=Øl >=Øl >=Øl >=Øl >=Øl >=Øl >=Øl >=Øl >=Øl >=Øl >=Øl >=Øl >=Øl >=Øl >=Øl >=Øl >=Øl >=Øl >=Øl >=Øl >=Øl >=Øl >=Øl >=Øl >=Øl >=Øl >=Øl >=Øl >=Øl >=Øl >=Øl >=Øl >=Øl >=Øl >=Øl >=Øl >=Øl >=Øl >=Øl >=



APPLICATION

7



A s≥max {Nu

σsu

;N ser

σ s

;B .f tj

f e}





IV. CALCUL DES POTEAUX

1. HYPOTHESES DE CALCUL :a. DEFINITION :

Un poteau est une poutre verticale soumise uniquement à la compression centrée.

En fait les charges appliquées ne sont jamais centrées à causes de :

Dissymétrie de chargement Imperfections d’exécution Solidarité avec les poutres Même le béton résiste très bien à la compression,

on introduit des armatures longitudinales seules sont médiocres aux flambements. Donc on a besoin des armatures transversales pour y remédier.

b. LONGUEUR DE FLAMBEMENT ET ELANCEMENT :

LE FLAMBEMENT : un risque la ruine d’un poteau sous un effort de compression très inférieur à sa résistance théorique à la compression.

La longueur de flambement : lf=μ .la

Où : la – la hauteur du poteau est la distance entre 2 faces supérieures des 2 planchers

μ – coefficient de flambement

L’ELANCEMENT λ :

Avec i=√ Imin

B – rayon de giration de la section

Où Imin – moment d’inertie de la section dans le plan de flambement

B – aire de la section


b

h

λ=√12b

l f λ=4alf

a

250 mm

12AD18

RL8@110

250 mm


2. DIMENSIONNEMENT : Le calcul est mené seulement à l’état-limite ultime

(pas de déformation et fissuration) Soient : B – aire de béton

A – aire des armaturesAvec : Stmax ≤ 15ØL

Asmin > 4u (cm2)Où u – périmètre de la section B en m

0.2% < As < 5% Si l’élancement λ > 35 ; il faut disposer aussi les

armatures dans le grande côté de la section.a. FORCE RESISTANTE DU POTEAU :

Pour ε bc=ε 's=0.2 %

f bu=0.85 f c 28

θ . γb

On a: Nultim .th=B . f bu+A .σsc 2 (1 )

La force résistance réelle est obtenue par la correction de la formule théorique (1).

Imperfection d’exécution Négligent des effets du second ordre.


Nu≤N ultim=α [ Br . f c28

0.9 γb

+Af e

γs](2)

En introduisant f bu=0.85 . f c 28

θ . γb

avecθ=1 on obtiendra

K . β . Nu≤Br . f bu

0.9+0.85 . A . f bu(3)

0.85α=β=|1+0.2( λ

35 )2

si λ≤50

0.85λ2

1500si λ>50

Si ¿70 , il faut agrandir la section B


Et :

1.1 si plus de la moitié des charges est appliquée avant 90 jours.

1.2 si fc28 est pris par fcj pour la majorité des charge est appliquée avant 28 jours

1 dans les autres cas

b. DETERMINATION DES ARMATURES LONGITUDINALES :

La section B et la sollicitation Nu sont connues :

La formule corrective (3) donne :

Force équilibrée par le béton comprimé :

Nb=Br . f bu

0.9 Force équilibrée par les aciers :

N s=k .β .N u−Nb

0.85=

k .β .N u−Br . f bu

0.90.85

En fin A su=N s

f su

c. DETERMINATION COMPLETE DE LA SECTION :

Seul Nu est connue, on cherche les sections B et A.

i. LE CHOIX DE B EST TOTALEMENT LIBRE :

Br≥β . Nu

f bu

0.9+0.85

ABr

f su

AvecABr=1% on aura:

Br≥β .N u

f bu

0.9+0.0085 f su

Posons k ( f c 28; f e)=

1f bu

0.9+0.0085 f su

soit Br≥k . β . Nu


K =

avec|A smin≤ A s≤ A smax

A smin=max {4U cm2

0.2B

100

A smax=5B

100

K =K =K =K =K =K =K =K =K =K =K =K =K =K =K =K =K =K =K =K =K =K =K =K =K =K =K =K =K =K =K =K =K =K =K =K =K =K =K =K =K =K =K =K =K =K =K =K =K =K =K =K =K =K =K =K =K =K =K =K =K =K =K =K =K =K =K =K =K =K =K =K =K =K =K =K =K =K =K =K =K =K =K =K =K =K =K =K =K =K =K =K =K =K =K =K =K =K =


i.a POTEAU RECTANGULAIRE (b<h) :

Il est préférable de prendre λ < 35 .

Avec : λ=35=√12b

Lf

⇒b=√1235

Lf

On obtient alors :

b=L f

10

Et h=0.02+ Brb−0.02

Si on trouve h < b, on peut prendre un poteau carré de côté égale à L f

10

i.b POTEAU CIRCULAIRE DE DIAMETRE a :

On prend :

a≥max( L f

9;0.02√ Br

π )


b

h

aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa


ii. SECTION RECTANGULAIRE AVEC UN COTE IMPOSE :

On donne une dimension imposée c par exemple, mais on ignore s’il s’agit de b ou de h ?

On calcul λ=√12c

L f

puis β

puis cr=0.02+√Br

Si c < cr , on prend b = c et h=0.02+ Brc−0.02

Si c > cr on prend h = c et b=0.02+ Brh−0.02

Ou par itération k0, en fixant λ : k 0=

N u

( f bu

0.9+0.0085 f su) (h−0.02 )

On choit λ0 ≈ λ → β0 est définit côté b0

b0=k 0 β0+0.02 puis λ1 → b1 = k0b0 + 0.02 puis b2….

d. DETERMINATION DES ARMATURES TRANSVERSALES :

Elles se déterminent par les règles forfaitaires.

i. DIAMETRE Ø t :

1/3 ØL

12 mm


b

h

Øt ≤Øt ≤Øt ≤Øt ≤Øt ≤Øt ≤Øt ≤Øt ≤Øt ≤Øt ≤Øt ≤Øt ≤Øt ≤Øt ≤Øt ≤Øt ≤Øt ≤Øt ≤Øt ≤Øt ≤Øt ≤Øt ≤Øt ≤Øt ≤Øt ≤Øt ≤Øt ≤Øt ≤Øt ≤Øt ≤Øt ≤Øt ≤Øt ≤Øt ≤Øt ≤Øt ≤Øt ≤Øt ≤Øt ≤Øt ≤Øt ≤Øt ≤Øt ≤Øt ≤Øt ≤Øt ≤Øt ≤Øt ≤Øt ≤Øt ≤Øt ≤Øt ≤Øt ≤Øt ≤Øt ≤Øt ≤Øt ≤Øt ≤Øt ≤Øt ≤Øt ≤Øt ≤Øt ≤Øt ≤Øt ≤Øt ≤Øt ≤Øt ≤Øt ≤Øt ≤Øt ≤Øt ≤Øt ≤Øt ≤Øt ≤Øt ≤Øt ≤Øt ≤Øt ≤Øt ≤Øt ≤Øt ≤Øt ≤Øt ≤Øt ≤Øt ≤Øt ≤Øt ≤Øt ≤Øt ≤Øt ≤Øt ≤Øt ≤Øt ≤Øt ≤Øt ≤Øt ≤Øt ≤Øt ≤


ii. ESPACEMENT : (hors des zones de recouvrement)

S 't≤min {15∅ L ; 40cm;b+10cm }

*** Dans les zones de recouvrement, S’t est pris en respectant la valeur précédent mais il faut au moins 3 nappes décadres sur ls.




APPLICATION

8-9-10










CHAPITRE III: CALCUL AUX ÉTATS-LIMITES ULTIMES (ELU)

V. ELEMENTS EN FLEXION SIMPLE

1. GÉNÉRALITÉ:

Un élément est soumis à de la flexion simple si les sollicitations se réduisent à un moment fléchissant M et un effort tranchant V.

En béton armé on distingue l’action du moment fléchissant qui conduit au dimensionnement des aciers longitudinaux de l’action de l’effort tranchant qui concerne le dimensionnement des aciers transversaux (cadres, épingles ou étriers). Ces deux calculs sont menés séparément.

Les éléments d’une structure soumis à de la flexion simple sont principalement les poutres, qu’elles soient isostatiques ou continues. Pour une poutre isostatique, le calcul des sollicitations M et V est simple et il est conduit en utilisant les méthodes de la résistance de matériaux (RdM). Pour une poutre continue, l’hyperstaticité rend les calculs plus compliqués et le BAEL propose deux méthodes qui permettent d’évaluer les sollicitations dans les poutres continues en béton armé. Ces deux méthodes sont la Méthode forfaitaire et la méthode de Caquot.

2. HYPOTHÈSES DE CALCUL:

On suit tous les hypothèses de calcul auc états limites, avec:

- Section à simple ferraillage

- Section à double ferraillage

- Section rectangulaire et en T

- Résistance à l'ELU et l'ELS

3. METHODE GENERAL DE CALCUL A L'ELU:

Fig : Notations utilisées pour les calculs de flexion simple à l’ELU.

Pour les calculs aux ELU, on utilise les notations de la Figure ci-dessus, où:

b et h sont la largeur et la hauteur de la section de béton. As est la section d’acier, dont le centre de gravité est positionné à d de la fibre la plus

comprimée du coffrage. y est la position de l’axe neutre par rapport à la fibre la plus comprimée du coffrage.



σs est la valeur de la contrainte de calcul des aciers, limitée à fsu.

a. CALCUL DE POUTRE:

i. CALCUL DES ARMATURES LONGITUDINALES POUR UNE SECTION

RECTANGULAIRE:

En fonction des hypothèses, l’ELU peut être atteint de deux façons:

- par écoulement plastique des aciers ɛc = 10 ‰ ; ɛc < 3,5 ‰ ,

- par écrasement du béton ɛs < 10 ‰ ; ɛc =3,5 ‰

Règle de trois Pivote (droites de déformation):

Pour les calculs à l’ELU, on suppose qu’un point de la droite de d teformation dans la section est fixé. Ce point s’appelle le pivot. Soit il correspond à la déformation limite de traction dans les aciers εst = 10‰ : c’est le Pivot A, soit il correspond à la déformation limite en compression du béton εbcmax = 3.5‰ : c’est le Pivot B. Toutes les droites de déformation comprises entre la droite (Pivot A, εbcmax = 0) et (εst = 0‰ , Pivot B) sont possibles, comme le montre dans la figure. Le bon fonctionnement de la section de Béton Armé se situe aux alentours de la droite AB, car les deux matériaux - acier et béton - travaillent au mieux.

Pour y < 0,167d => ɛc = 2 ‰ => Section B est trop grande, l’état limite est

atteint par l’acier tendu0,167d< y < 0,259d => Section B est économique avec le besoin de

l’acier tendu seul.y > 0,259d => Section B est insuffisante il faut avoir la section A’

s



i.a SECTION A SIMPLE FERRAILLAGE

Equations de forces : Nb

= Ns

0,8 αu

d bfbu

= Asu

. fbu

Equation des moments : Mu

= MR

Mu

= Nb

.Z = 0,8 αu

d bfbu

.Z

Mu

= 0,8 αu

bd2

fbu

(1-0,4 α)

Soient:

i.bSECTION A DOUBLE FERRAILLAGE

Schéma 1



Dans le cas où la section a d'α > αlim ou bu > lim on admet que la partie comprimé de la section du béton est atteinte sa valeur limite. On doit donc l'introduire la section d'acier comprimé A's.

Cas où bu < 0.667

La schéma 1 nous donne:

Mu ≤ Mc + Ms' + Ms

Mc - moment équilibre pour le béton comprimé

Ms' et Ms - respectivement le moment équilibre par l'acier comprimé et tendu

1. ΣMAS : Mu ≤ Mc + Ms' + Ms = lim.bd2.fbu + As'.fsu.(d-a')

De 1. =>

et Ms = Mc + Ms'

qui donne

ou selon les coefficients βu et βu' de la pages 123 BAEL 91.

On peut définit directement:

et

Cas où bu > 0.667

On doit, si possible, agrandie la section du béton, si non on peut prendre:

μcal = 0.6.μbu => αcal = 1.25(1- )

Le déformation εs et εs' sont respectivement:



εs = 3.5‰ ; εs' = 3.5‰

Les contraintes d'acier σs et σs' sont en fonction de εs et εs' ; et les armatures seront:

ii. SECTION EN T :

i.a GENERALITE

Normalement les éléments de structure en B.A. sont souvent étre coulé en par exemple le système de plancher est composé par la poutre et la dalle qui sont coulées en même temps. Il y a donc une distribution des efforts.

i.bLA GEOMETRIE DE LA SECTION EN T

b - la longueur de table comprimée



b0 - largueur de nervure

bt - aile de la table de compression

La largueur b' est prise par la plus restrictive de condition suivantes:

+

On doit prendre bt =

Li - la distance entre axes des appuis

+ bt - la plus proche distance et la section considérée à l'appuis

ls - longueur de la section étudié à l'appuis la plus proche

i.c METHODE DE CALCUL LA SECTION EN T

La calcul de la résistance d'un section en T s'éffectue différemment que l'axe neutre est dans la table ou dans la nervure c'est-à-dir y < h0 ou y > h0.

y = h0 soit α0 =

À partir de α0 on détermine μ0 , avec:



+

0 ≤ α0 ≤ 0.166 =>

+

0.167 ≤ α0 ≤ 0.259 =>

+ 0.259 ≤ α0 =>

Ou on peut utiliser le tableau à la page 127 BAEL 91 pour trouver la valeur μ0 en

fonction de α0.

On détermine le moment capable de la table: Mt = μ0bd2fbu

Et on compare Mt avec Mu

+ Si Mu < Mt => l'axe neutre est dans la table

+ Si Mu > Mt => l'axe neutre est dans la nervure

Etude le cas où l'axe neutre est dans la table

C'est le cas où σc < fbu ou μ0 < μlim . La section est simple ferraillage et la considère

comme section rectangulaire de largueur est à b' et hauteur h.

Etude le cas où l'axe neutre est dans la nervure



On décompose la section en T en 2 section fictives 1 et 2 :

+ Dans 1 : Nb1 = (b-b0)h0fbu => Mu1 = Nb1(d-½h0)

+ Dans 2 : Nb2 = 0.8αdb0fbu => Mu2 = Nb2 (d-0.4αd)

+ Dans As : Ns = Asσs


APPLICATION

11-12




Application 12 :

De la même sollicitation Mu et matériaux avec nouvelle section du béton bxh = 20 cm et 30 cm on demande de calculer A’s et As des armatures principales.

Solution

b×h=20cm×40cm

M u=230 KNm→μbu=0.23

0.2×0.372×17=0.49>μ lim ¿=0.391 ¿

Section est double ferraillage

⇒ A ' s=M u−μ lim ¿bd 2 f bu

f su(d−a ')¿

¿ 0.23−0.391×0.2×0.372 ×17348(0.37)

=4.1cm2

A s=A ' s+0.8α lim ¿ .b . d . f bu

f su

=4.1×10−4+ 0.8×0.668×0.2×0.37×17348

¿


A’s =23.30 cm2

A’s =4.1 cm2

20 cm

40 cm


¿2.33×10−3m2=23 .30c m2



APPLICATION 13

Données : La charge permanant et la charge variable

Fissuration PP avec

a. Calculer

b. Déterminer la section de l’acier

Donner la section et les ferraillages

Solution

a. Calculer

La charge permanant

Poids propre de la poutre

La charge variable

Schéma de calcul

A l’ELU

A l’ELS

b. Déterminer la section de l’acier


Donc : et


On a :

c. Donner la section et les ferraillages

On a :

On doit prendre 2DB12 = 2.26cm2

Et

On doit prendre 2DB20+3DB25=21.01cm2


Donc :


CHAPITRE III: CALCUL AUX ÉTATS-LIMITES SERVICE (ELS)

VI. ELEMENTS EN FLEXION SIMPLE

Le calcul de résistance d’une section flèche à l’ELU n’est pas suffisant pour la résistance d’exploitation. Les résultats obtenus à l’ELU doivent vérifier les contraintes

(σ c , σ s) à l’ELS. Si l’une des contraintes σ cet σs dépasse de valeur limites σ cet σs la section

sera redimensionnée à l’ELS.

1. VERIFICATION DES CONTRAINTES

d

yxA.N

s s,max/n

s c,max< s c

Les formules RDM nous permettant de définir la valeur de contraintes en un point d’ordonné x de l’axe neutre de la section étudiée sous l’effet du Mser.

σ (x)=M ser

I. x

Donc ce cas on veut vérifier la valeur σ c, maxet σs , max aux points A et B de la

section.Il faut que :

σ c, max=M ser

I. y≤σ c=0.6 f c28

et σs ,max=M ser

I.(d− y)≤σ s

n. coefficient d’équivalente (n=15)

σ c . réstistacede calculà l' ELSdes acierayant de valeur dependant dela fissuration.

L’inconnu est la valeur y la profondeur de la comprimée de la section sous Nser

a. DETERMINATION LA VALEUR DE ‘Y’



a.1) CAS OU LA SECTION EST RECTANGULAIRE : Soit n le coefficient d’équivalence de section d’acier dans la section du

béton. L’inertie de la section homogène réduite, après le Théorème Huggents, en n’égalisant l’inertie des aciers par rapport à leur propre centre de gravité donnera :

En fin

a.2) CAS OU LA SECTION EN T

De la même dimension précédant, pour la section en T,

On aura :

a.3) VERIFICATION RAPIDECette vérification nous fait connaitre la section est satisfaite ou non à l’ELS sans savoir la risque provenant du béton ou d’acier !Elle commence par la calcul de moment service maximal du béton de la section :

Les coéfficient sont obtenues des tableaux 10-I à III aux de-sous

















Si Mser,lim > Mser => Les contraintes sont vérifiésSi Mser,lim < Mser => La section n’est pas satisfait à l’ELS, il faut recalculer à l’ELS.

La valeur dépend plusieurs facteurs :



La class d’acier La résistance du béton La fissuration et,

Le moment réduit à l’ELU :

Par exemple : pour FeE400 ; fc28 = 25MPa

Fissuration préjudiciable et = 0.38

Tableau à la page 136 donnera :

Note : les chiffres dans les tableaux des valeurs peuvent être droit montre les risques est causée par le béton tendus qu’iltalique par l’acier tendu.



Application N 0 14 : ( Prenant la condition de l’exercice d’examen du 1er semestre).

Question 4 Vérifier les contraintes à l’état limite service par la fissuration très préjudicable ? (Véfrifier rapid et théorique)

Solution

Vérifier rapide

On a : Mser = 221.18 kN.m

Mser,lim = μser ,lim ¿×b×d2× f c28 ¿

Comme - fissuration très préjudiable

- = 0.412

- FeE 500

- fc28 = 25MPa

D’après le tableau 10-VII, on a μser ,lim ¿=0.120 ¿

Alors : Mser = μser ,lim ¿×b×d2× f c28=0.12× 0.25× 0.472×25=165.67 kn.m¿

Mser = 222.47 kN.m > Mser,lim

Donc : la section des aciers tendus n’est pas satisfait.

Vérification théorique :





2. REDIMENSIONNEMENT A L’ELS :

Deux cases peuvent être rencontre :

a) CAS OU s,max s

c’est-à-dire la section d’acier tendu n’est pas suffisante à l’ELS.

On a des équations :

- Force :

- Moment :

On a un système de deux équations à 3 inconnues y, la résolution est obtenu

par le calcul :

Du diagramme des contraintes ci-contre on peut avoirs :

Pour en combinaison (1) ;(2) &(3)



b) CAS OU c c

Deux possibilités qu’on peut suivre augmenter la section du béton ou introduire d’armature comprimée.

b.1.AUGMENTER LA SECTION DU BETON : on a les deux

matériaux en prenant

On a :

La résistance de la section à ELS doit vérifier :

Capacité portante du béton comprimée de (1) on peut tirer la valeur :

puis on choit la valeur b et d.

Finalement la section tendue veut :



Où :

b.2. INTRODUIRE D’ARMATURE COMPRIMEE :

La section repris par le béton comprimée est :

Le moment induit supporté pas est :

Avec : sa section correspondante :

En prenant de la proportion :

Ou on peut prendre du tableau 10-XI, page 148

Et :

Dans le cas où la section en T la valeur de Aser sera obtenue par :



Application 15 : À continuer l’application N0 14 :

Solution

σ smax>σ s: il faut redimensionner la section de l’acier tendu

σ cmax>σc: il faut redimensionner la section de l’acier comprimé

Comme f c28=25MPa=¿σ ' s=182 MPa par le tableau 10-XI, page 147 de

BAEL.

Pour A ser' on prend 2DB16 où aire = 4,02 cm2

A ser on prend 3DB32 et 2DB20

Où aire = 30,41cm2


2DB20

3DB32

2DB16



VII. DALLE EN FLEXION SIMPLE

I. CALCULER DE DALLE DE PLANCHER 1. GENERALITE

. a. DEFINITION :

La dalle est un élément plan qui a une dimension plus petite (épaisseur) que les deux autres (longueur et largeur).

Le plancher d’un bâtiment est un système d’élément composé de la poutre et la dalle :

Dalle à poutre Dalle au continues Dalle champignon

Ici nous intéressons pour la dalle au contour qui est souvent rencontrée dans la construction des bâtiments.

Les factures importantes de calcul de résistance d’une dalle sont la sollicitation et le dimensionnement : l’épaisseur (hauteur), la largeur et la longueur (h0, lx et ly).

Conventionnellement, on désigne par lx le petit côté et ly le grand côté et

. b. PRINCIPE DE CALCUL DE DALLE :

Le calcul de résistance d’une dalle dépend fortement la valeur de

Pour , on doit que la dalle liant dans une seule direction de lx.

ly

A

A

lxlx

Mat

Max Max

Coupe A-A

Pour , on admet que la dalle travaille une en 2 direction lx et ly.



A

A

lx lx

Coupe B-B

Mtx

Mtx

C C

ly

Coupe C-C

ly

h0

. c. PORTE DE CALCUL DE CALCUL :

A

A

lxlx

Coupe A-A

B B

ly

Coupe B-B

ly

lcx

lcy

b b

2. DIMENSIONNEMENT DE DALLE

Les méthodes de calcul suivantes sont applicables que si :

Aux constructions concrètes lorsque

ou (charge variable ) (charge permanant)

Les moments d’inertie de section transversale sont identiques de long de la poutre, et

Les portées successives sont dans un rapport comprise entre 0.8 et 1.25

Le dimensionnement d’une dalle est de déterminer la sollicitation M et la section d’amartres qu’on doit repartir respectivement pour résister la sollicitation M suivant les côté lx

et ly.

La détermination de sollicitation M d’une dalle est théorique fortement compliquée par l’application des théories déplacement élastique.

Mais pour les ingénieurs, on peut utiliser la méthode approchée de calcul de M que

dépend à de valeur



. a. CAS OU

x

y

l0.4 :

l

C’est le cas où la dalle travaille dans une seule direction du court côté lx :

- Dalle à plus de 2 travées :

01

2

(0,6+1,15ß)M01

- Dalle à plus de 2 travées :

-0,15M010,5M01 0,4M02

(0,5+0,15ß)M02(0,6+1,15ß)M01 (0,5+0,15ß)M03

. b. CAS OU

x

y

l0.4 :

l

le cas où la dalle travaille en 2 directions de M est basée sur la valeur de M de dalle isostatique.



My

Mx

l

l

y

x

Soient : lx et ly les portées de dalle étudiée : coefficient de lancement de la dalle.

: coefficient de répartition de moment suivant lx et ly.

: sont obtenus par le tableau ci-dessous.

Les valeurs des moments travées isostatique respectivement aux côté lx et ly, pour

sont :



Application N 0 16 :Une dalle isolée soumit des charges :g = 2kN/m2 ; q= 2kN/m2 avec lx = 4m, ly=6m,

h=12cm.

Déterminer les moments isostatiques à l’ELU et Mx et My ? à l’ELS et Mx et My ?

Solution

Déterminer les moments isostatiques à l’ELS et à l’ELU

1. Coefficient élancement :

2. Combinaison des charges- A l’état limites ultime

- A l’état limites de service

3. DALLE CONTINUES

Pour les dalles continues, on constiutées de panneaux rectangulaire considérés comme encastrée sur leurs bords, le calcul des moments de flexion s’effectue par la méthode forfaitaire suivant :

Quel que soit leur élancement , on commence par déterminer, par la méthode précédente, le moment de flexion qui se développe dans chaque panneau s’ils étaient isostatiques (simple appuyés sur leur contour) ; ces moments sont notés Mox et Moy.



Les moments dans les panneaux réels sont prise égaux à ces moments « isostatique » multipliés par des coefficients forfaitaires :

A B C D

4

3

2

1

I

III IVII

v

Il y avait de moments négatifs aux appuis et positifs aux travées. On les désigne par Max et Mtx ou Mty.

Il existe normalement 4 schémas des dalles continues

0,85Mx

0,85Mx

-0,3Mx

-0,3Mx

-0,5Mx

-0,5Mx

0,85Mx

0,85Mx

-0,3Mx

-0,3Mx

-0,3Mx

-0,5Mx

0,75Mx

0,75Mx

-0,5Mx

-0,5Mx

-0,5Mx

-0,5Mx

0,75Mx

0,85Mx

-0,5Mx

-0,3Mx

-0,5Mx

-0,5Mx

l

l

x

y

.



Application N 0 17 : Définir les valeurs Max et Mtx et Mty des dalle I, II, III, V . On a la même charge qu’au

précédent.

Épaisseur de la dalle: h=12cm

La charge variable : q=1.5kN/m2

I

III IVII

v

4m

4m

4m

4m 5m 5m

Épreuve

Combinaison de charges

- Charge permanence :- Charge variable: q=1.5kN/m2

ELU : Pu=1.35g+1.5q=1.35 3+1.5 1.5=6.3kN/m2

ELS : Pser=g+q=3+1.5=4.5kN/m2

Coefficient élancement

o Dalle I :

- ELU :

- ELS :

o Dalle II et III:

- ELU :

- ELS :

Dalle MomentsELU

[kN/m]ELS

[kN/m]

Dalle I et III 3.71 3.17



3.71 3.18

I

3.15 2.69

-1.11 -0.95

-1.85 -1.59

3.12 2.8

-1.11 -0.95

III

2.77 2.38

-1.85 -1.59

-1.11 -0.95

2.77 2.38

Dalle II et IV5.65 4.52

3.37 3.21

II et IV

4.8 3.84

-1.69 -1.35

-2.82 -2.26

2.85 2.72

-1.69 -1.35

-2.82 -2.26

4. CALCUL ES ARMATURES

Après la définir les valeurs des moments aux appuis Ma et Mt respectivement à l’ELU et l’ELS. On doit déterminer les sections d’armateurs et leur répartition.

4.1 SECTION D’ARMATEURS : la section choisie doit vérifier la condition de résistance de section minimale recommandé et la condition de non-fragilité.

CONDITION DE RESISTANCE :

Normalement, dans la dalle le moment réduit est trop petite .

Donc on peut utiliser la formule approchée pour définir la section d’armatures :

A l’ELU : Mu : peut être Ma et Mt

fsu : résistance de calcul d’armateur à l’ELU

d : la hauteur til : d = h0-a



A l’ELS :

La section d’armatures choisie doit vérifier la valeur maximale recommandée qui est égale :

s’il agit de ronde lisse (FeE215-235)

s’il agit de barres HA FeE400 ;

s’il agit de barres HAFeE500 ou TS de

Pour les dalles rectangulaire, la section d’armatures parallèle au petit côté majoré une quantité :

Le taux d’armateur dans les directions de lx et ly droit vérifié :

Dans direction lx :

Dans direction Ly :

5. DISPOSITION CONSTRUCTION :

5.1 ESPACEMENT ENTRE FILS

Direction Charge repartie Charge centré

Le plus sollicité

La moins sollicité 0min 3h ,33cm

5.2 REPARTITION D’ARMATEURS :

Dans la dalle il y 2 direction et fonction d’armatures : lx et ly, et l’armature pour le Mt en armature contrôle et Ma avec appuis :


La moins sollicité

La plus sollicité

Lx

Ly


16 L

Asax

16 L L10 L

10Astx/m-1A

A

Ly

1/4 Ly1/4 Ly 1/4 LyAsty/mlAsax/ml

Astx/ml

A B

h0

armature de contage

Coupe A-A

Coupe B-B

Lx

1/4 Ly1/4 Ly 1/4 Ly

A B

h0



Application N 0 18 Déterminer les sections d’armatures des dalle I et III leur plan de ferraillage ?

Valeur de M

ELU ELS

Max Mtx Mty Max Mtx Mty

Appuis

Travée

Solution

1. Pour dalle (I)

À l’ELU : Mtx = Mty = 3.15kNm/m

À l’ELS : Mtx = Mty = 2.7kNm/m

Pour HAfe400,

Pour condition de non fragilité, il faut que :

On prend 4HA6 (As = 1.13 cm2)



* Espacement St

On prend St = 250mm

2. Pour dalle (III)

À l’ELU : Mtx = Mty =2.78kNm/m

À l’ELS : Mtx = Mty = 2.38kNm/m

Pour HAfe400,

Pour condition de non fragilité, il faut que :

On prend 4HA6 (As = 1.13 cm2)

* Espacement St

On prend St = 250mm




VIII. L'ÉFFORT TRANCHANT

I. GENERALITE

La section en flexion simple est soumise en même temps la sollicitation M de moment flexion de moment fléchissant et l’effort transversal V. La sollicitation M est résistée est résistée par les aciers longitudinaux de la section tandis que l’effort V est résistée par le béton et les aciers transversaux qui peuvent être des cadres, des épingles, des étriers ou des barres relevée, ils sont appelle aussi les armatures transversaux.

La position d’armature transversales peur être droite ou inclinée d’angle avec l’axe de la poutre.

Dans une poutre, s’il y a de résistance insuffisante, se présente de fissures incliné des ou verticaux :

`



II. VERIFICATION DE CONTRAINTE DU BETON ET D’ACIER :

Normalement la section d’élément fléchi est bien définie par résister aux moments Mu

et Mser, mais sa résistante aux efforts tranchant n’est pas sûre .

Il faut donc vérifier des contraintes : armature longitudinale, comprimée (vu béton)

1. RESISTANCE DES AMES :

La règle BAEL-91 n’enseignant que la vérification à l’ELU :

2. VERIFICATION DU BETON DE L’ARME :

Soient : OH : la perpendiculaire aux bielles amené du point O où est la 2ème point de fissure.

Fc – la force de bielle du béton comprimé. La force Fc exerce sur une

surface réelle

- est la contrainte du béton dans la bille causée par Vu.

On a :



La projection verticale des forces donne :

Condition pour le béton est : fy

Où v coefficient de minoration.

En prenant z = 0.9d, on obtiendra : v- a de valeur dépend de condition de fissuration la position des cadres :

a. POUR armature choit : Fissuration non préjudiciable (FNP)

Fissuration préjudiciable où très préjudiciable

b. POUR : Quel que soit la fissurationIl faut savoir :

c. POUR : v est obtenu par interpolation des valeurs obtenu

3. PIECES DOIT TOUTES SECTION DROITES SONT CENTIEME COMPRIMEES : (cas flexion- compression)

Il faut avoir



4. VERIFICATION DES ARMATURES D’ARMES :

On a :

Soient :

Il faut que :

Le diagramme réel et pratique de donne un décalage de

Donc : à la place de on doit prend

D’où la règle est :

Avec :

k-coefficient varie selon du type de sollicitation et la reprise du béton en flexion simple k=1 et k=0 cas où le béton reprise de bétonnage.



Le pourcentage d’armatures d’âme doit vérifier :

a.

k , coefficient varie avec la sollicitation étudiée dans la cas de la flexion simple k=1

b. L’ESPACEMENT ENTRE D’ARMATURES D’AME DOIT VERIFIER

c. DIAMETRE D’ARMATURE D’AME

: le plus petit diamètre d’armature tendu dans la section

5. DIMENSIONNEMENT DES AME :

On détermine les efforts tranchants :

Sur appuis :

Au voisinage de l’appui :

a. VERIFICATION DU BETON DE L’AME :

On calcul

Si : ou on peut continuer

Si : ou charge α ou d ou en cor b0

b. VERIFICATION DES ACIERS :

A l’appuis, on calcul



En trouvée : On déterminer la répartition des armatures transversal par différent méthodes. Ici nous prenons la méthode de Caqnot.

6. REPARTITION DES ARMATURES D’AMES PAR LA METHODE DE CAQNOT :

De (2) => la section At et St0. L’écartement suivant St1 St2……..d’armature d’âme par la méthode Caquot est :

n St0 n St3n St1

St0/2 A

A

b0

h

* Le premier cadre est placé à 0,5St0 du nu ; la suite des nombres (à partir de St0) 7-8-9-10-11-12-13-16-20-25-35-40.

: chaque espacement de mètre par excès de la demi-travée pour la coutre et égale la longueur d’une console.



7m

alors n = 4

L2 = 72 =3,5m

2m

n = 2

7. REGLE D’APPLICATION

La règle forfaitaire appliquée aux poutres de plancher ayant de longueur de travées successive sont dans un rapport entre 0,8 et 1,25 les chapeaux sur appuis doivent déborder du nu de l’appuis d’au moins :

1/5 de la travée la plus grande voisine 1/4 de la travée de rive Le plus souvent le crochet de barre sur l’application est remplacé par des sur

longueurs doit. Les armatures influences tendues de la section peuvent répartie en 2 lits.

Le premier, de section au moins égale à As/2 filant tonte la longueur de la poutre le deuxième de As/2, tontes cettes barres étant arrêtes à une distance du nu des appuis inférieur an égale à L.

L

15 L 15 L

L10 As

2 L10

8. ZONE D’APPLICATION DES EFFORTS

8.1 APPUIS DE RIVE



a45°

45°

Hu

dAsmin

a'

As

Fc

d

2cm2cm

Il faut vérifier :

a. ARMATURE LONGITUDINALES

b. COMPRESSION DU BETON :

8.2 APPUIS INTERMEDIARES

a. VERIFICATION DES ARMATURES LONGITUDINALES

; Mu : muni de signe (-)

b. CONTRAINTE DE COMPRESSION DU BETON :

Il faut : 1.

2.


6,5 m

P


Application N 0 19 : Utiliser les poutres de l’exercice 14. Calculer complètement sa résistance sous Vu ?

Avec la donnée suivante : fet=400MPa

On a : Pu=61.97kN/m

Pser=42.125kN/m

a=a’=3cm

fc28=25MPa fe=500MPa

Épreuve

- Effort tranchant maximum

- Contrainte tangentielle conventionnelle

1. Vérifier le béton

2. Vérification d’acier



Diamètre armature transversal, on prend

- Espacement entre deux aciers

- Pourcentage d’acier



Et

Donc : On peut prendre d’espacement de 13cm entre deux cadres

- Répartition des cadres

On a :

Nombre entière de mètre :

Distance première cadre:

Les distances des cadres suivantes:

2Ø25

4 x 13 4 x 16

Vérification

- Appuis de rive

Vérifier la contrainte d’acier longitudinale



- Vérifier la compression du béton



DEFORMATION DES POUTRES

I. ÉVALUATION DES FLECHES:

Le calcul des déformations est effectué pour évaluer les flèches dans le but de fixer les contreflèches à la construction ou de limiter les déformations de service.

Le calcul des déformations globales doit tenir compte des phases successives de la construction et des différentes sollicitations exercées.

Les déformations dues à la flexion sont obtenues par une double intégration des courbures. La difficulté du calcul réside dans la prise en compte de la fissuration puisqu'elle modifie la rigidité des sections.

En outre, suivant le but recherché, il faut tenir compte des déformations différées.

Dans le cas des poutres simplement appuyées ou continues et des bondes de dalles, continues ou non dirigées dans le sens de la petite portée, on peut admettre les relations:

Pour les flèches dues aux charges instantanées:

Pour les flèches dues aux charges de longue durée:

où:

L – la longueur de travée

b et b0 – largeurs de la table de compression et de la nervure

I0 – le moment d'inertie de la section totale rendue homogène avec n = 15

ft28 – la résistance caractéristique du béton à la traction

σs – contrainte de traction dans l'armature correspondant au cas de charge étudié

M – le moment de service maximal dans la travée


f i=M L2

10E i I fi

où E i=11000 f c28

13 et I fi=

1.1 I 0

1+λ iμ

mais λi=0.05 f t 28

ρ(2+3b0

b)et μ=1−

1.75 f t 28

4 ρ σ s+f t28

f v=M L2

10 Ev I fv

avec Ev=E i

3et I fv=

1.1 I 0

1+0.4 λ iμ


Pour les consoles, les flèches aux extrémités seront:

Pour effectuer des calculs plus précis que les calculs globaux ci-dessus, en particulier lorsque les résultats obtenus sont supérieurs aux limites admissibles, on peut effectuer un calcul des courbures le long de la poutre et en déduire la flèche, à l'aide des méthodes suivantes:

La courbure dans une section donnée vaut:

où: εbc – déformation de la fibre de béton la plus comprimée

εs – déformation des acier tendus

II. VALEURS LIMITES DES FLECHES: 1. FLECHES A CALCULER:

La détermination de la part de la flèche totale qui est susceptible d'affecter le bon comportement des cloisons doit être effectuée de la façon suivante, on calcule:

les flèches instantanée et différée fgi et fgv dues à l'ensemble des charges permanentes

la flèche instantanée fji due aux charges permanentes appliquées au moment de la mise en œuvre des cloisons

la flèche instantanée fpi due à l'ensemble des charges permanentes et d'exploitations supportées par l'élément considéré.

La part de la flèche totale à comparer aux valeurs admissibles vaut:

2. FLECHES ADMISSIBLES:

Les valeurs limites qui peuvent résulter des conditions particulières d'exploitation des ouvrages doivent être fixées par le C.C.T.P. Ce peut être le cas pour le bon fonctionnement de machines ou d'appareils dans certaines installations industrielles.

Celles qui sont liées au bon comportement des revêtements et des cloisons dépendent de la plus ou moins grande fragilité de ces éléments et, en ce qui concerne les cloisons notamment, de la présence éventuelle d'ouvertures ou de raidisseurs. À défaut de données plus précises, on peut admettre que la part de flèche qui est susceptible de mettre en cause le bon comportement des cloisons et des revêtements de sols ou de plafonds ne doit pas dépasser:


f (i ou v)=M L2

4 E(i ou v) I f (i ou v )

1r=

εs+ε bc

d

Δ f t=f gv−f ji+ f pi−f gi


Pour les éléments supports reposant sur deux appuis:

Pour les éléments supports en console:

III. CALCUL PRATIQUE DES FLECHES: 1. THEORIE:

La flèche u(a) dans une section quelconques d'abscisse a d'une travée de poutre de portée L soumise à un moment de flexion M(x) est égale, en négligeant en première approximation l'influence de l'effort tranchant, au moment de flexion fictif qui serait produit dans cette même section dans la travée isostatique équivalente soumise à une

charge répartie fictive M ( x )EI

=1r

:

On divise la portée L en (n-1) tronçons égaux aux limites desquels on suppose connues les n courbures 1/ri ; on suppose enfin que la courbure 1/r varie linéairement sur chaque tronçon.

On obtient ainsi, par intégration, les flèches f2 f3 et f4 aux points 2,3 et 4:

La précision de ce calcul est en général très largement suffisante pour les calculs envisagés.


f ad=L

500si L≥5m

f ad=0.5cm+ L1000

si L<5m

L250

si L≥2m

u (a )=L−aL0

aMEI

xdx+ aLa

LMEI

(L−x )dx

⇒u (a )= L−aL

0

a1rxdx+ a

La

L1r(L−x )dx

f 2=( 3r1

+14r2

+12r3

+6r4

+1r5)L2

384

f 3=( 2r1

+12r2

+20r3

+12r 4

+2r5)L2

384

f 4=( 1r 1

+6r2

+12r3

+14r4

+3r5)L2

384


Par exemple, dans le cas d'une poutre isostatique soumise à une charge répartie uniforme p :

le calcul par intégration en élasticité donne une flèche au centre

l'application de la méthode précédente donne:

L'erreur ainsi obtenues est de (4.75-5)/5 = 5%, ce qui est parfaitement compatible avec la précision des grandeurs et des hypothèses permettant ce calcul et surtout des résultats recherchés.

2. DETERMINATION DES COURBURES PAR LA METHODE GENERALE:

Les courbures sont calculées à l'état-limite de servie à partir du diagramme des contraintes dans la section considérée:

εs doit être calculé compte tenu de l'effort exercé par l'adhérence du béton tendu:

εs sera remplacé par εs* = εs - Δ εs

où :

et:

À l'état-limite de service, Es = nEb, ce qui conduit à prendre un module d'élasticité trop grand pour l'acier (et cela d'autant plus que le béton a une résistance fc28 élevée), donc à diminuer la flèche.


f= 5 p L4

384 EI

f=4.75 p L4

384 EI

1r=

εs+ε bc

doù(ε bc=

σ bc

Eb

et ε s=σs

Es

)

Δ εs=f tj

2 E sρ f

à conditionque ρ f ≥f tj

σ s

ρ f=A s

b0 c0

oùc0=max (0.3 ;2d ' ')


Le déroulement du calcul est le suivant:

on découpe la travée en quatre tronçons égaux, ce qui détermine cinq sections de calcul;

pour chaque section, les données sont: les dimensions b, h, d, d' et d''= h-d, les sections d'acier As et A's, le moment de service Mser

Les matériaux utilisés ont les caractéristiques suivantes:o Béton fc28

pour chaque section, on calcule:o La position de l'axe neutre y

o le moment d'inertie

o les contraintes σbc et σs

o les déformations: εbc et εs

o ρf


b

h

d''

d

d'

As

A's

5432

1

L/4L/4L/4L/4

f t28=0.6+0.06 f c28 et E i=11000 f c28

13

si : ρ f>f tj

σ s

: Δ εs=f tj

2 Es ρf

si : ρ f<f tj

σ s

: Δ εs=0

puis1r=

εs¿+εs

d


3. DETERMINATION DES COURBURES PAR "LA METHODE DE L'INERTIE FISSUREE":

Soit I0 le moment d'inertie de la section totale homogène (avec n = 15):

On calcule:

CALCUL GLOBAL:

Il est possible de faire une estimation majorée de la flèche maximale de la travée de poutre à partir du seul calcul dans la section à moment maximal:


I 0=bh3

12+15[A s( h2−d ' ')

2

+A 's( h2−d ')

2]section rectangulaire

mais λi=0.05 f t 28

ρ(2+ 3b0

b )avec ρ=

A s

b0 d

puis μ=1−1.75 f t28

4 ρ σs+ f t28

si μ>0 , sinon μ=0

L' inertie fissurée vaut : I fi=1.1 I 0

1+λi μ

Lescourbures valent :1r=

M ser

E i I fi

f i=M ser .max L

2

10 Ei I fi

= L2

10 ( 1r )max


Application N 0 20

Vé�rifiér la fléché dé la poutré dé l’application No18 ét donnér son plan dé férraillagé.

Solution :

Il faut vé�rifiér qué :

Rédiménsionnémént

On prénd As = 40.21cm2 (5DB32)



On obtiént on plan dé férraillagé :



LA FLEXION COMPOSEE

I. HYPOTHESES ET DISPOSITIONS GENERALES 1. DEFINITION:

Une section est soumise à la flexion composée lorsqu'elle subit:

Un effort Normal N appliqué en son centre de gravité G0 et un moment de flexion MG par rapport à Go;

un effort normal N excentré par rapport au centre de gravité Go d'une quantité e, le moment induit valant alors MG = e.N

Selon les cas, la section sera:

Entièrement comprimée. Partiellement comprimée (ou tendue) Entièrement tendue.

2. SOLLICITATIONS A CONSIDERER:

Le calcul statique de la structure a permis d'obtenir, pour la section considérée, les sollicitations suivantes, compte tenu des combinaisons d'actions réglementaires:

Un effort normal centré N Un moment de flexion MG exprimé par rapport au centre de gravité

géométrique Go de la section

Cette sollicitation (N + MG) est évidemment équivalente à un effort normal seul excentré de e = MG/N.

Les sollicitations obtenues sont donc:

à l'ELU: (Nu + MuG) ou (Nu excentré de eu = MuG/Nu) à l'ELS: (Nser + MserG) ou (Nser excentré de eser = MserG/Nser).

a. SOLLICITATIONS A L'ETAT-LIMITE ULTIME: FLEXION AVEC TRACTION:

On considère les sollicitations (Nu + MuG) ou (Nu excentré de eu = MuG/Nu) effectivement obtenues à partir des combinaisons d'actions relatives au cas étudié.

FLEXION AVEC COMPRESSION :

Les pièces étant comprimées, il apparaît un risque de flambement, ce qui impose de majorer l'excentricité réelle de l'effort normal appliqué.

On notera dans la suite:



L – longueur réelle de la pièce

Lf – longueur de flambement de la pièce

h – hauteur totale de la section dans la direction du flambement

e1 – excentricité (dite du premier ordre) appelée eu précédemment, de la résultante des contrainte normales, avant application des excentricités additionnelles définies ci-après.

Les sections soumises à un effort normal de compression doivent être justifiées vis-à-vis de l'état-limite ultime de stabilité de forme en remplaçant l'excentricité réelle:

ea – excentricité additionnelle traduisant les imperfections géométriques initiales (après exécution),

e2 – excentricité due aux effets du second ordre, liés à la déformation de la structure

où:

α – le rapport du moment du premier ordre, dû aux charges permanentes et

quasi-permanentes, au moment total du premier ordre, ces moments étant pris avant application des coefficients γ:

le rapport de la déformation finale due au fluage à la déformation instantanée sous la charge considérée; ce rapport est généralement pris égal à 2.

b. SOLLICITATIONS A L'ETAT-LIMITE DE SERVICE :

Dans tous les cas, les sollicitations de calcul sont égales aux sollicitations effectivement obtenues à partir des combinaisons d'actions correspondant à l'état-limite de service.


e1=MuG

N u

en f lexioncomposéee1=0encompression centrée

ea=max {2cm ;L

250 }

e2=3 L f

2

10000h(2+∝∅ )

∝=M perm

M perm+M exp∝=10(1− M u

1.5M ser)si M i=0 ,∝=0.5

⇒ e=e1+ea+e2: L' excentricité totale de calcul


II. SECTIONS ENTIEREMENT TENDUES :

Une section est entièrement tendue si elle est soumise à un effort normal de traction et si le centre de traction est situé entre les nappes d'armatures.

Il est rappelé que l'excentricité initiale e1 = MuG/Nu ou MserG/Nser n'est pas augmentée dans ce cas.

1. ÉTAT-LIMITE ULTIME :

Le béton étant entièrement tendu, il n'intervient pas dans la résistance de la section, donc dans les calculs qui sont ainsi valables quelle que soit la forme de la section (sauf pour calculer la section minimale d'armature).

L'état-limite ultime est atteint lorsque la déformation des aciers de la nappe la plus tendue vaut 10%0; la contrainte vaut alors σs10 = σsu = fe/γs

Par ailleurs, le règlement impose, pour les aciers inférieurs A2 et les aciers supérieurs A1, une section minimale Amin = Bft28/fe où B représente la section de béton.

SOLUTION LA PLUS ECONOMIQUE (avant application du pourcentage minimal):

Elle correspond à σs = σs10 dans A1: le point d'application de Nu correspond au centre de gravité des armatures; en prenant le moment successivement par rapport à A1 et A2, on obtient:


A1=max {Nu .ea2

(d−c1 ) f e

γ s

; Amin=B f t 28

f e }A2=max {N u .

ea1

(d−c1 ) f e

γ s

; Amin=B f t 28

f e }


SOLUTION AVEC ARMATURES SYMETRIQUES :

En raison de l'existence d'une valeur minimale de la section d'aciers la plus faible (Amin), la solution dite "économique" est en fait souvent moins économique que la solution "symétrique".

2. ÉTAT-LIMITE DE SERVICE :

La résistance des aciers étant seule considérée, l'ELS n'intervient que si la fissuration est préjudiciable ou très préjudiciable.

Par le même raisonnement qu'à l'état-limite ultime, on obtient les mêmes formules de dimensionnement en remplaçant Nu par Nser et fe/γs par σ s

3. DIMENSIONNEMENT GLOBAL :

En combinant les résultats de l'ELU et de l'ELS, il vient:

SOLUTION "ÉCONOMIQUE"

SOLUTION "SYMETRIQUE":

III. FLEXION COMPOSEE AVEC COMPRESSION JUSTIFICATION A L'ETAT- LIMITE ULTIME:

1. DEFINITION DE L'ETAT-LIMITE ULTIME:

La section étant soumise au moment et à l'effort normal ultime, il faut répondre aux questions suivantes:

La section est-elle entièrement ou partiellement comprimée? l'état-limite ultime peut-il être atteint?


A1=A2=max { Nu

2 f e

γ s

;B f t28

f e }

A1=max {Nu .ea2

(d−c1 ) f e

γ s

; N ser .ea2

(d−c1 )σs

; Amin

=B f t 28

f e }A2=max {N u .

ea1

(d−c1 ) f e

γ s

;N ser .ea1

(d−c1 )σs

; Amin

=B f t 28

f e }A1=A2=max { Nu

2 f e

γ s

;N ser

2σs

;B f t28

f e }


La réponse à la première question dépend évidemment de la valeur relative du moment et de l'effort normal.

La seconde question, il est évident que la réponse peut être négative: il suffit d'imaginer une section de poteau supportant un moment nul et un effort vertical très faible: la section sera entièrement comprimée et l'ELU ne sera donc pas atteint dans les aciers, la déformation du béton sera très faible et l'ELU (εbc = 2.10-3) ne sera pas atteint.

Si l'ELU n'est pas atteint dans une section entièrement comprimée, on placera une section minimale d'armatures égale à 4cm2 par mètre linéaire de parement, le pourcentage A/B étant compris entre 0.2% et 5% (comme dans les poteaux calculés par la méthode forfaitaire).

Données du problème:

On considère une section rectangulaire dont les dimensions sont notées conformément à l'usage suivi jusqu'ici; les sections d'armatures (lorsqu'elles existeront) seront:

As – section inférieure tendue ou la moins comprimée selon le cas

A's – section supérieure la plus comprimée

Les sollicitations sont (après majoration):

Un effort normal centré Nu et un moment de flexion Mu d'axe parallèle à la base b,

Ou un effort normal Nu excentré de e = Mu/Nu perpendiculairement à la base b.

Démarche à suivre: a. On calcule l''effort de compression centré maximal supportable par

le béton:

b. On calcule le coefficient de remplissage ψ1 égal au rapport entre

l'effort normal réel et la valeur ci-dessus:

c. On compare ce coefficient ψ1 à 0.81:

c.1 ψ1≤0.81 : on détermine l'excentricité critique relative ζ :


Nbmax=bh f bc

ψ1=Nu

Nbmax

=Nu/bh f bc

siψ1 ≤23

: ζ=1+√9−12ψ1

4 (3+√9−12ψ1 )

siψ1 ≥23

: ζ=(3ψ1−1 )(1−ψ1)

4ψ1


On calcule eNC:

si e ≤ e NC :

La section est entièrement comprimée et l'état-limite ultime n'est pas atteint: on place un pourcentage minimal d'armatures identique à celui des poteaux:

si e > e NC:

La section est partiellement comprimée et l'état-limite ultime peut ne pas être atteint (effort faibles)

c.2 ψ1>0.81 : on détermine le coefficient χ

En faisant l'approximation:

si χ ≥0.19: la section est partiellement comprimée si 0≤ χ<0.19 : la section est entièrement comprimée et i n'y a pas besoin

d'aciers inférieurs As, mais seulement d'aciers supérieurs A's si χ<0: la section est entièrement comprimée et i y a besoin d'aciers

inférieurs As et d'aciers supérieurs A's2. DIMENSIONNEMENT DES SECTIONS PARTIELLEMENT

COMPRIMEES:

On calcul un moment de flexion fictif:

On calcul les armatures de la section étudiée soumise à une flexion simple de moment Mu fictif; on obtient:


eNC=ζ .h

Amin=4U cm2−U : périmètre de la sectiondubéton en [m ]

χ=0.5−d '

h−ψ1(0.5−d '

h− e

h )67−d '

h

d '= h10

et ξ= eh

⇒ χ=1.32 [0.4−(0.4−ξ )ψ1 ]

M u fictif=Mu+N u(d−h2 )=Nu(e+d−h

2 )


le cas échéant une section d'aciers comprimés A's; une section d'aciers tendu As fictif

- La section réelle d'aciers comprimés est la section trouvée ci-dessus A's.

- La section réelle d'aciers tendus vaut:

- Cette dernière quantité peut être négative, on prend alors As:

3. DIMENSIONNEMENT DES SECTIONS ENTIEREMENT COMPRIMEES: a. 0≤ χ<0.19 :

Les aciers inférieurs As sont inutiles.

Les aciers supérieurs A's se calculent de la façon suivante:

On calcule la contrainte de compression de ces aciers:

avec des HA fe E 400: σ ' s=f e

γ s

=348 MPa

avec de HA fe E 500:

o si χ ≥0.004 :σ ' s=f e

γ s

=348 MPa

o si χ<0.004 :σ ' s=400+526√ χ MPa

b. χ<0:

On appelle σ's2 la contrainte de compression de ces aciers inférieurs et supérieurs

correspondant à une déformation de 2%0 (Béton au pivot C):

HA fe E 400: σ ' s2=f e

γ s

=348 MPa

HA fe E 500: σ ' s2=E s ε ' s=400 MPa

Les sections d'armatures valent :


A s=A s fictif−Nu

σ su

A s≥max { bh1000

;0.23bd .f t 28

f e}

A's=

Nu−(1− χ )bh f bc

σ 's

A s=0



A's=

Nu(d−h2+e)−bh f bc (d−

h2)

(d−d ' )σ 's2

A s=N u−bh f bc

σ 's2

−A ' s


IV. FLEXION COMPOSEE AVEC COMPRESSION VERIFICATION A L'ETAT- LIMITE DE SERVICE:

1. DEFINITION DE L'ETAT-LIMITE DE SERVICE:

Les sollicitations sont:

Un moment de flexion Mser

et Un effort normal Nser

o si Nser est compression => Nser positive et e positive

o si Nser est traction => Nser négative et e négative

l'excentricité valant : e = Mser/Nser

Si la section est partiellement comprimée, il faut vérifier que: La contrainte maximale de compression du béton ne dépasse pas la limite

admissible:

La contrainte dans les aciers tendus ne dépasse pas la limite admissible de la condition de fissuration:

o fissuration préjudiciable

o fissuration très préjudiciable

Si la section est entièrement comprimée, il n'y a à vérifier que la condition de compression du béton.

2. VERIFICATION D'UNE SECTION PARTIELLEMENT COMPRIMEE:

Le calcul est relativement complexe et s'effectue comme suit:

On résout l'équation du troisième degré:

En l'absence de machine programmable pour effectuer cette résolution, on procède comme suit:


σ bc≤σbc=0.6 f c28

σ s≤σ s

c=h2−e

p=−3c2−90 A 'sc−d '

b+90 A s

d−cb

q=−2c3−90 A 's

(c−d' )2

b−90 A s

(d−c )2

b

z3+pz+q=0


On calcule: Δ=q2+ 4 p3

27

si Δ ≥ 0 :

si Δ < 0 :

Puis:

yser = z + c pour Δ ≥ 0 yser = z + c pour Δ < 0 si z = z1 ou z2 ou z3 pour que 0 ≤ yser ≤ d

On calcule l'inertie de la section homogène réduite:

Les contraintes valent:

La section est effectivement partiellement comprimée si σs ≥ 0.

Sinon on recommence le calcul avec une section entièrement comprimée.

3. VERIFICATION D'UNE SECTION ENTIEREMENT COMPRIMEE :

On calcule l'aire de la section homogène totale:

La position du centre de gravité résistant qui est située à une distance xG au-dessus du centre de gravité géométrique (centre G0 de la section):


t=0.5 (√Δ−q ) ;u=3√ t ; z=u− p3u

φ=arccos( 3q2 p √−3

p );a=2√−p3

z1=a .cos (φ3 ); z2=a .cos (φ3 +120o); z3=a .cos (φ3 +240o)avec φendegrés

z1=a .cos (φ3 ); z2=a .cos (φ3 + 2π3 );z3=a .cos(φ3 + 4 π

3 )avecφ enradians

I=b yser

3

3+15 [ A s (d− yser )

2+A ' s ( ys er−d ' )2 ]

σ bc=z N ser

Iy ser σ s=15

z N ser

I(d− y¿¿ ser)¿

S=bh+15 (A s+A ' s )


L'inertie I de la section homogène totale:

Les contraintes dans le béton valent σsup sur la fibre supérieure et σinf sur la fibre inférieure:

La section est effectivement entièrement comprimée si ces deux contraintes sont positives.

Sinon on recommence le calcul avec une section partiellement comprimée.

On vérifier enfin que:

V. FLEXION COMPOSEE AVEC COMPRESSION DIMENSIONNEMENT A L'ETAT-LIMITE DE SERVICE:

1. DIMENSIONNEMENT DES SECTIONS PARTIELLEMENT COMPRIMEES:

On calcule les armatures de flexion fictif:

On calcule les armatures de la section étudiée soumise à une flexion simple de moment Mser fictif:

si la condition de traction des aciers était seule non vérifiée, on utilise la

méthode correspondante: calcul de α à partir de u=30 M ser

bd2 σs

(chapitre

10, 7.1.1) si la condition de compression du béton n'est pas assurée, on utilise la

méthode du chapitre 10, 7.1.2 avec α=9 f cj

9 f cj+σ s


xG=15A '

s( h2−d ')−A s(d−h2)

bh+15 (A s+A ' s )

I=bh3

12+bh xG

2 +15[A 's( h2−d '−xG)

2

+A s(d−h2+xG)

2]

σ ¿=N ser

S+

N ser (e−xG ) ( h2−xG)I

σ inf=N ser

S+

N ser (e−xG )( h2+ xG)I

max (σ ¿¿¿; σ inf )≤σbc¿

M ser fictif=M ser+N ser(d−h2 )=N ser(e+d−h

2 )


On obtient alors:

Le cas échéant une section d'aciers comprimés A's Une section d'aciers tendue As fictif

La section réelle d'aciers comprimés est la section trouvée ci-dessus A's

La section réelle d'aciers tendus vaut:

Comme à l'ELU, cette dernière quantité peut être négative.

2. DIMENSIONNEMENT DES SECTIONS ENTIEREMENT COMPRIMEES:

Les formules de calcul des deux nappes d'armatures sont:


A s=A s fictif−Nu

σ su

A's=

M ser+ (N ser−bhσbc )(d−h2 )

15σbc (d−d ' )

A s=N ser−bhσbc

15σ bc

−A ' s


APPLICATION 21

Calcul ré�sistancé d’un potéau én fléxion composé�é.

Solution :

On a

Nu = 5422 kN

Ns = 3970 kN

Mu = 600 kNm

Ms = 500 kNm

Séction du potéau : b×h = 80×100cm2

Hautéur du potéau : L = 3m

On a bésoin As minimalé ét As’ principalé.

En raison dé lé momént péut changér sa diréction (action du vént), donc on prénd As = As’



SEMELLES DE FONDATION

I. GENERALITES :1. DEFINITIONS :

Les fondations d'une construction sont constituées par les parties de l'ouvrage qui sont en contact avec le sol auquel elles transmettent les charges de la superstructure.

Elles constituent donc la partie essentielle de l'ouvrage puisque de leur bonne conception et réalisation découle la bonne tenue de l'ensemble.

Les éléments de fondation transmettent les charges au sol, soit directement (cas de semelles reposant sur le sol ou cas des radiers), soit par l'intermédiaire d'autres organes (cas des semelles sur pieux par exemple).

2. STABILITE DES FONDATIONS :

Les massifs de fondations doivent être en équilibre sous l'action:

Des sollicitations dues à la superstructure qui sont:o des forces verticales ascendantes ou descendantes

o des forces obliques

o des forces horizontales

o des moments de flexion ou de torsion

Des sollicitations dues au sol qui sont:o des forces verticales ascendantes ou descendantes

o des forces obliques (adhérence, remblais…)

Les massifs de fondations doivent être stables. Des tassements uniformes sont admissibles dans certaines limites, mais des tassements différentiels sont rarement compatibles avec la tenue de l'ouvrage.

L'étude géologique et géotechnique a pour but de préciser le type, le nombre et la dimension des fondations nécessaires pour fonder un ouvrage donné sur un sol donné.

3. DIFFERENTS TYPES DE FONDATIONS :

Lorsque les couches de terrain susceptibles de supporter l'ouvrage sont:

à une faible profondeur, on réalise de fondations superficielles à une grande profondeur, on réalise des fondations profondes qui peuvent

prendre appuis sur une couche résistante ou flotter sans un terrain peu résistant

dans les situations intermédiaires, lorsque la couche d'appuis est à une distance moyenne de la base de l'ouvrage, on réalise un massif de béton grossier reposant sur cette couche et supportant la fondation proprement dite.



II. FONDATIONS SUR SEMELLES – GENERALITES :

Les fondations superficielles sont des fondations situées immédiatement sous la base de l'ouvrage; on distingue:

les fondations fonctionnelles, constituées par des semelles isolées sous poteaux

les fondations linéaires, constituées par des semelles continues sous poteaux ou murs

les fondations surfaciques, constituées par des radiers et cuvelages sous poteaux ou murs.

1. DISPOSITION GENERALES :i. CHARGE ADMISSIBLE AU SOL :

La charge admissible au sol doit être la plus faible de celles qui résultent:

de la considération des tassements maximaux ou des tassements différentiels compatibles avec le bon comportement de l'ouvrage

de la résistance du sol au poinçonnement

Si les phénomènes de tassement ne sont pas prépondérants, la charge admissible sera donc la résistance du sol au poinçonnement (ou portance ou taux de travail), pondérée par des coefficients de sécurité.

En ce qui concerne les tassements, ils doivent satisfaire aux conditions suivantes:

ils ne doivent pas imposer à l'ouvrage des désordres de structure nuisibles ils ne doivent provoquer aucun désordre aux ouvrages voisins ils ne doivent pas perturber le fonctionnement des services utilisateurs

La charge admissible au sol est une quantité déterminée par un bureau d'études techniques spécialisé; c'est donc une donnée du problème au moment de la conception des semelles en béton armé.

ii. SOLLICITATIONS ET ETATS-LIMITES :

Les calculs de fondations sont effectués à l'état-limite de service pour le dimensionnement de la surface au sol (la portance du sol intègre déjà un coefficient de sécurité de l'ordre de 3).

Le dimensionnement vis-à-vis de leur comportement mécanique s'effectue à l'état-limite ultime.

2. SEMELLES CONTINUES SOUS MURS: i. DIFFERENTS TYPES DE SEMELLES CONTINUES :

On distingue les semelles flexibles de faible épaisseur qui travaillent en flexion et les semelles rigides.

Une semelle est considérée comme rigide si:


h≥B−b

4+0.05m


Nous ne considérerons ici que les semelles rigides.

On ne prend jamais h inférieur à 15 cm.

La hauteur de rive e des semelles trapézoïdales est d'au moins 15 cm et doit permette un bon enrobage des armatures.

Dans le cas où le mur qui surmonte la semelle est en béton banché, il est bon de réserver en tête de la semelle une surlargeur de 5 cm qui facilite la pose des coffrages.

Les semelles reposent toujours sur une couche de béton de propriété de 5 à 10 cm d'épaisseur, dosé à 150kg/m3 de chaux hydraulique ou de ciment de laitier.

ii. REPARTITION DES CONTRAINTES SOUS UNE SEMELLE RIGIDE :

Sur un sol non rocheux: diagramme rectangulaire avec p =P/B Sur un sol rocheux ou un massif de béton: diagramme bi-triangulaire avec

p=2P/B

III. SEMELLES RIGIDES SOUS MUR SOUMISES A UNE CHARGE VERTICALE CENTREE:


h≤15cm


1. REPARTITION RECTANGULAIRE DES CONTRAINTES :

L'examen de tracé des isostatiques dans une semelle rigide chargée ponctuellement montre qu'on peut considérer la semelle comme une succession de bielles de béton travaillent en compression, inclinées et transmettant aux aciers inférieurs des efforts de traction.

Les contraintes sous une semelle rigide ont une répartition rectangulaire (uniforme) pour tous les types de sol sauf pour le rocher et le béton de puits pour lesquels le diagramme est bi-triangulaire.

i. DISPOSITION CONSTRUCTIVES :

Dans les fondations, il faut:

L'enrobage minimal des armatures est de c = 3 cm L'ancrage des armatures doit être particulièrement soigné: s'il ne peut être

réalisé par des barres droites, il est nécessaire de prévoir des ancrages courbes.

Les armatures verticales des murs et des poteaux doivent être prolongées jusqu'à la base de la semelle.

ii. DIMENSIONS DE LA SEMELLE :

On appelle:



σ – la contrainte limite admissible au sol

σsol – la contrainte effectivement appliquée

On doit avoir:

iii. DETERMINATION DES ARMATURES :

On considère que les bielles de béton comprimées sont limites par des droites obliques passant toutes par le même point O défini par

La contrainte au sol est:

La contrainte limite de traction de l'acier étant:

Longueur de scellement:


B≥Pser

σd ≥

B−b4

c ≥3cm

e≥max {15cm ;( 6ϕ+6cmou

12ϕ+6cm)}{ 6ϕ+6cm12ϕ+6 cm

¿crochets ¿ :barreavec crochets ¿

Bh0

=B−bd

σ sol=Pu

B×1m

A s=Pu (B−b )

8d σs

ls=ϕ4×

f e

0.6ψs2 f tj


IV. SEMELLE ISOLEE SOUS POTEAU SOUMISANT UNE CHARGE

VERTICALE CENTREE

1. GÉOMÉTRIE DE LA SEMELLE :Cette semelle a de forme rectangulaire ou circulaire dépendant de la section

du poteau. Ici nous envisagerons le cas de semelle rectangulaire sous poteau a de section rectangulaire en cas de répartition de contraintes rectangulaire.



b e h

adb

A

da

Coupe A-ACoupe B-B

15 cm est normal

PP

A

A

2. DIMENSIONS DE LA SEMELLE :Les dimensions A et B sont choisir de telle sorte que la semelle soit

homothétique du poteau:

AB=a

bet en posant

Pσ=max {Pser

σ ser

;Pu

σu}

¿>AB≥Pσ

et B≥√ ba.Pσ

ou A ≥√ ab.Pσ

B−b4

≤ (da et db )≤ A−a

Et e≥max {15cm ;( 6∅+6cm12∅+6cm)}

3. CALCUL DES ARMATURES :Dans ce cas les armatures suivants A et B sont toutes principales:

A sa=Pu ( A−a )

8da f su

; A sb=Pu (B−b )8db f su

4. RÉPARTITION DES BARRES :Tous barres selon A ou B sont prolongées jusqua'aux bouts de la valeur

d'ancrage suivant A et B par support à A4

et B4

.

Si lsa ≤A4

=> la barres suivant A n'est pas de crochets



Si lsb ≤B4

=> la barres suivant B n'est pas de crochets

Si non il faut.

V. SEMELLE SUR PIEUX SOUS LA CHARGE CENTREE :

1. SEMELLE SUR DEUX PIEUX :

a. GÉOMÉTRIE DE LA SEMELLE :

e

P C = (6cm-10cm)

c c

B

? p

b

c c

b. DIMENSIONS :Soient:

a<b - dimension du poteau

S0 - section d'un pieu

b' - distance entre axes des pieux

a. La hauteur utile: 0.5(b '−b2 )≤d ≤0.7(b'−b

2 )¿>θ=Arctg

4d2b '−b

(utile plus loin)

b. Longueur de la semelle: bs≥Pu

0.2d f c 28

ou≥∅ p+6 à10 cm

c. SECTION D'ACIERS INFÉRIEURS RÉSISTANCE:

Ai=Pu . b '4d f su

.max {1.1(1− b2b ' ); (1− b2

3b '2 )}Ces aciers inférieurs résistant doivent exercer totalement au delà du nu extérieur du pieu.



d. VERIFICATION DES SECTION DU BETON :Il faut avoir:

ab et 2S0≥Pu

0.9 f c 28 sin2θ

avec: 45°≤θ≤55° ; si non il faut augmente fc28 ou a grandir la section.

e. ACIER DE RÉPARTITION :Il est nécessaire d'ajouter les armatures supérieurs As , les cadres verticaux et

horizontaux espaces respectivement Sv et Sh et des épingles reliant des armatures de 2 faces:

A s=0.1 A i

Av

Sv

=Ah

Sh

≈0.002bs

f. SCHÉMA DE FERAILLAGE :

= 6cm

Av.sv Ah.shAs

Al

dh

As Av

As

Ah,Sh

bs

2. SEMELLE SUR QUATRE PIEUX :

a. GÉOMÉTRIE DE LA SEMELLE: Carré sur pieux



d

P

A

a'

a

As

b. HAUTEUR UTILE :

0.7 (a '−a2 )≤d≤a '−a

2

¿>θ=Arctg2√2d

2a '−a

c. SECTIONS D'ARMATURES :Les sections d'armature sont composées en 2:

armature des cerces Ac , et armature diagonals Ad

Ac=α Pu(a '−a

2 )8d f su

; Ad=1−αα√2 . Ac

avec 0.4≤α≤0.6

d

P

A

a'

a

As



d. VÉRIFICATION :Vérification de béton:

a2et 4 S0≥Pu

f c 28sin2θ

Si la condition n'est pas vérifié il faut augmenter fc28 ou agrandir la hauteur d.



APPLICATION 22

De l'application n0 6, on remplace ce poteau par un mur portant d'épaisseur b =15cm.

Calculer la semelle sous ce mur.

Solution:

5900 210

1300

150

2800


Documents

Béton Final