Berechnung stationärer Strömungen in Fließgewässern

Olaf A. Cirpka, Eawag W+TWolfgang Kinzelbach, ETH IfU

Variablen + Relationen

• Durchfluss Q [m3/s]• Laterale Zuflüsse q [m2/s]• Fließgeschwindigkeit u = Q/A [m/s]• Querschnittsfläche A [m2]• Abflusstiefe h [m]• Gewässerbreite b [m]• Sohlgefälle I0 [-]

• Reibungsgefälle IE [-]• Benetzter Umfang U [m]• Hydraulischer Radius rhyd = A/U [m]

h

dbhA0

)()(

Definition von Höhenh Abflusstiefe

u2/(2g)Geschwindigkeitshöhe

H0

spezifische EnergiehöhezGeodätische Höhe des Talweges

HE

Energiehöhe

Reibungsansätze• Darcy-Weisbach

– Rohrhydraulik– Reibungsbeiwert

• Gauckler-Manning-Strickler– Beiwert hängt von rhyd ab– Neuer, dimensionsbehafteter

Koeffizient• Strickler Koeffizient kSt [m1/3/s]• Manning’s n [s/m1/3]

hydE gr

uI8

2

3/42

2

3/4

22

hydSthydE rk

ur

nuI

Typische Reibungsbeiwertekst [m1/3/s] n [s/m1/3]

gerader Fluss mit glatter Sohle

30-40 0.025-0.033

mäandrierend, verkrautet 20-30 0.035-0.050mit vielen Büschen und Becken

7-14 0.070-0.150

grasiges Vorland 20-40 0.025-0.050Vorland mit Büschen 6-30 0.035-0.160bewaldetes Vorland mit Unterholz

5-12 0.080-0.200

Normalabfluss

• Gleichförmiger Abfluss: h(x) = h x• Reibungsgefälle = Sohlgefälle• Wird über lange Fließstrecken ohne Änderungen

erreicht

nrI

u

rnuI

II

hyd

hyd

E

3/22/10

3/4

22

0

0

03/2

3/52/10 nU

AIQ

UAr

AQu hyd ;

Normalabflusstiefe

• Newton Verfahren

)(

35

32

)(

)(

0)(

3/2

3/22/10

3/5

3/52/10

3/2

3/52/10

1

1

hbhA

nUAI

hU

nUAI

hf

nUAIQhf

hfhfhh

hf

iiii

h

f

f(h)

f(hi)

hi+1

Gegliederter Querschnitt

• Überströmung von Vorländern:– größere Rauhigkeit als in Flussschlauch– geringere Abflusstiefe– Niedrigere Geschwindigkeit

linkes Vorland rechtes VorlandFlussschlauch

Normalabfluss in gegliederter Querschnitten

• Gleiches Energieliniengefälle in Flussschlauch und auf Vorländern: IE,F = IE,V = I0

• Berechne für jeden Abschnitt Fläche, Umfang und Durchfluss

• Addiere alle Teilabflüsse• Umkehrung h(Q) erfordert

Iteration

03/2

3/52/10

i ii

i

UnAIQ

linkes Vorland rechtes VorlandFlussschlauch

Ungleichförmiger stationärer Abfluss

• Veränderung mit dem Fließweg• Ursachen der Ungleichförmigkeit:

– Rückstau– Änderung des Gefälles– Änderung des Profils– Änderung der Rauhigkeit

• Erfordert Integration der stationären Saint-Venant Gleichungen (Volumen- und Impulsbilanz)

Annahmen

• Erhalt von Volumen und Impuls in einer infinitesimal dünnen Flussscheibe

• Eindimensionale Betrachtung• Gleichförmige Geschwindigkeitsverteilung über

den Querschnitt:

• Reibung nach Gauckler-Manning-Strickler

AQdAu

A

22

Impulserhalt 1:Speichergröße und Flüsse

• Impulsdichte s = u• Gesamtimpuls im Querschnitt

• Impulsflussdichte in Längsrichtung: konvektive Impulsübertragung plus hydrostatische Druck

• Gesamtimpulsstrom [Kraft])(2 hguf

)()()(

2

0

2grav

h

hhgAA

QdbhgdAuF

QdAuS

Impulserhalt 2:Quellen/Senken

• Reibung an der Sohle

• Beschleunigung durch Sohlgefälle

• (Druckkräfte auf die Sohle bei Veränderung des Querschnitts)

0AgIxzAg

EAgIU 0

Impulserhalt 3:Bilanzgleichung

SenkenQuellenxF

tS

Allgemeine Bilanzgleichung:

Egrav

Egrav

IIAghhgAA

Qxt

Q

IIAghhgAA

Qxt

Q

0

2

0

2

)(

)(

Einsetzen der Terme:

Impulserhalt 4:Divergenz des Impulsstroms

xhgA

AQ

x

hbhxhhb

xhhA

xhg

AQ

x

dbhx

hdbhx

hhdbxhg

AQ

x

dbdbhx

gA

Qx

dbhx

gA

Qx

dbhgdAuxx

F

hhh

hh

h

h

2

2

000

2

00

2

0

2

0

2

)()(

)()()(

)()(

)()(

)()(

• Hier für konstantes ProfilGilt nur, wenn Zustandsgrößen stetig differenzierbar sind!

Saint Venant Gleichungen

EIIAgxhAg

AQ

xtQ

qxQ

tA

0

2

ltImpulserha

altVolumenerh

EIIAgxhAg

AQ

x

qxQ

0

2

ltImpulserha

altVolumenerh

Stationäre Strömung:

Anmerkung zu den Saint Venant Gleichungen

• Bei graduellen Veränderungen der Zustandsgrößen sind die Impulsgleichung und die Energiegleichung identisch

• Bei Diskontinuitäten ist dies nicht mehr erfüllt:– Gesamtimpulsstrom ist an der Diskontinuität

kontinuierlich (Kräftebilanz)– Mechanische Energie bleibt nicht erhalten

(lokale Verluste)

Berechnung von Durchfluss und Abflusstiefe

EIIAgxhAg

AQ

x

qxQ

0

2

ltImpulserha

altVolumenerh

xhbuuq

xh

hA

AQ

xQ

AQ

AxQ

xQ

AAQ

x

22

2

222

22

11

Umformung:

uqIIAgxhbuAg E 20

2

Einsetzen:

Berechnung von Durchfluss und Abflusstiefe

AguqII

xhFr

qxQ

E21feAbflusstie

Durchfluss

02

AgbuFr Froude Zahl:

kritische Froude-Zahl: 1

Berechnung von Durchfluss und Wassertiefe

• Durchflussberechnung immer stromabwärts

erfordert Flussrandbedingung am Zufluss

• Wasserstandsberechnung abhängig von Froude-Zahl– Fr<1 (strömender Abfluss): Integration stromaufwärts

erfordert Randbedingung am Ausfluss– Fr>1 (schießender Abfluss): Integration stromabwärts

erfordert 2. Randbedingung am Zufluss

qxxQxxQ )()(

• Strömender Abfluss:

• Schießender Abfluss:

– Werte Term in der Klammer an x 0.5x aus– Erfordert Iteration

Berechnung der Wassertiefe

xhFr

AguqIIxxhxxh E

20 2)()(

20

2)()( Frxh

AguqIIxxhxxh E

Randbedingungen

• NormalabflussIE = I0

• Kritischer AbflussFr = 1

• Wasserstand (Stauziel), ev. als Funktion des Durchflusses (Schlüsselkurve)h = hfix

Strömender Abflussunterstromiger Rand: Stauziel

Stauziel

strebt Normalabfluss an

Strömender Abfluss unterstromiger Rand: kritische Höhe

strebt Normalabfluss an

Fr = 1

Schießende Strömung oberstromiger Rand: kritische Höhe

Fr = 1

strebt Normalabfluss an

Wechselsprungschießende Strömung + Stauziel

Stauziel

Fr = 1

schießend strömend

Lage des Wechselsprunges

1. Berechne strömenden Abfluss stromaufwärts2. Berechne schießenden Abfluss stromabwärts3. Am Wechselsprung sind die beiden

Gesamtimpulsströme identisch

4. An allen anderen Stellen ist die Lösung mit dem höheren Gesamtimpulsstrom die richtige

1

2

1

2

)()(

Frgrav

Frgrav hhgA

AQhhgA

AQ

Ungleichförmiger Abfluss bei gegliedertem Querschnitt

• u variiert über den Querschnitt

EA

IIAgxhAgdAu

x

qxQ

02ltImpulserha

altVolumenerh

Stationäre Strömung (korrekt):

AQ

A

udAdAu A

A

2

2

2

Korrekturfaktor für die kinetische Energie

A

dAuQA 2

2• wird in St. Venant-

Gleichungen eingesetzt• hängt von Wassertiefe ab

• Gegliederter Querschnitt:– u jeweils im Flussschlauch

und auf Vorländern über den Querschnitt konstant

– Gleiches EnergieliniengefälleiII EiE ,

i

i

Ai A

QdAui

22

Berechnung von für gegliederten Querschnitt

3/42

3/72

3/42

3/42

ii

iE

Ai

ii

iEi

UnAIdAu

UnAIu

i

3/2

3/52/1

3/2

3/22/1

ii

iEiii

ii

iEi

UnAIAuQ

UnAIu

2

3/2

3/5

3/42

3/7

i ii

i

i ii

i

ii

UnA

UnAA

2

2

22

ii

i Ai

ii

A Q

dAuA

dAuQA i

Beispielberechnung

• Selber Reibungsbeiwert für Vorländer und Flussschlauch• Stärkster Effekt bei beginnender Vorlandüberflutung

Stationäre Saint Venant Gleichungen

EIIAgxhAg

AQ

x

qxQ

0

2

ltImpulserha

altVolumenerh

• Alle weiteren Umformungen wie für u konstant über den Querschnitt

• Berechne in den Iterationsschritten mit