Numerische Simulation des Stofftransports

Olaf A. Cirpka, Eawag W+TWolfgang Kinzelbach, ETH IfU

Advektions-Dispersionsgleichung

outin

outinin

qqAxQ

tA

cAqcAqxcAD

xxQc

tAc

)()(

Massen- und Volumenbilanz einer infinitesimal schmalen Flussscheibe

ccqxcD

xxcu

tc

inin

Transportgleichung nach Einsetzen

Integrale Betrachtungsweise

ioutiiiniini

iiiii

cqVcqVxcAD

xcADQcQcVc

t

,,

2/12/12/12/1

J: Massenflussdichte [kg/s/m2]

Stationäre Strömung ohne laterale Zu-/Abflüsse

02/12/1

2/12/1

iiii

ii x

cADxcADQcQc

tcV

• Geometrie an Querschnitten i 1/2 gegeben: Vi = x · (Ai-1/2 + Ai+1/2)/2

• Primäre Unbekannte: Konzentration ci in Zelle i– Dispersion: Gradient an i 1/2?– Advektion: Welche Konzentration an i 1/2?

• Zeitliche Integration?

Dispersion:Ermittlung von Gradienten

• Differenzenquotient statt Differentialquotient:

xcc

xc ii

i

1

2/1

i i + 1

cTatsächliche Konzentration

Zellenmittelwert

x

Advektion:Konzentration am Interface

• Upwind: ci+1/2 = ci

• Downwind: ci+1/2 = ci+1

• Zentrale Differenzen: ci+1/2 =(ci + ci+1)/2

i i + 1

c

u

Zentrale Differenzen

ci+1/2 =(ci + ci+1)/2

• Pro: Genauer im Sinne einer Taylorreihen-Analyse

• Contra: Oszillationen

Oszillationen durch Zentrale Differenzen

01

tci

i i + 1

c

i - 1 i + 2i - 2

u5.05.1 ii cc

0

Richtig

Oszillationen durch Zentrale Differenzen

01

tci

5.05.0 ii cc

0

tci

i i + 1

c

i - 1 i + 2i - 2

u5.05.1 ii cc

Falsch! Müsste abnehmen.

0

Richtig

Oszillationen durch Zentrale Differenzen

01

tci

5.05.0 ii cc

0

tci

i i + 1

c

i - 1 i + 2i - 2

u5.05.1 ii cc5.15.0 ii cc

01

tci

Falsch! Müsste abnehmen.Völlig Falsch! Führt zu negativerKonzentration

0

Simulation des advektiven Transports mit zentralen Differenzenerzeugt nachlaufende Oszillationen

Richtig

Upwind Differenzen

ci+1/2 = ci bei positiver Geschwindigkeit

ci+1/2 = ci+1 bei negativer Geschwindigkeit

• Pro: Keine Oszillationen• Contra: Numerische Dispersion

Verhinderung von Oszillationen durch Upwind-Differenzen

01

tci

i i + 1

c

i - 1 i + 2i - 2

u5.05.1 ii cc

0

Richtig

Verhinderung von Oszillationen durch Upwind-Differenzen

01

tci

5.05.0 ii cc

0

tci

i i + 1

c

i - 1 i + 2i - 2

u5.05.1 ii cc

Richtig

0

Richtig

Verhinderung von Oszillationen durch Upwind-Differenzen

01

tci

5.05.0 ii cc

0

tci

i i + 1

c

i - 1 i + 2i - 2

u5.05.1 ii cc5.15.0 ii cc

01

tci

Richtig

Richtig

0

Richtig

Numerische Dispersion durch Upwind-Differenzen

i i + 1

c

i - 1 i + 2i - 2

u

0

Numerische Dispersion durch Upwind-Differenzen

i i + 1

c

i - 1 i + 2i - 2

u

0

Numerische Dispersion durch Upwind-Differenzen

i i + 1

c

i - 1 i + 2i - 2

u

0

Mittelwert inJeder Zelle

Mittelwertbildung in den Zellen führt zu verschmiertenKonzentrationsverteilungen sieht aus wie Dispersion

Numerische Fehler in der Simulation der Advektion

• Oszillationen– Negative Konzentrationen sind unphysikalisch,– führen zu “erstaunlichem” Reaktionsverhalten

(z.B. Zunahme statt Abnahme)– oder zu Instabilität (z.B. unendliche Raten)

• Numerische Dispersion– führt zu falscher Mischung von Stoffen– und damit zu überhöhten Reaktionsraten.

The Easy Way Out

• Approximationsfehler hängen von der Diskretisierung ab

Feine Auflösung hilft immer• Zentrale Differenzen:

Gitter-Peclet-Zahl<2 (Pe = uΔx/D) verhindert negative Konzentrationen

• Upwind Differenzen:Numerischer Dispersionkoeffizient ist proportional zur Gitterweite Δx

Slope Limiter Verfahren (Godunov-Verfahren höherer Ordnung)

1. Rekonstruktion der räumlichen Konzen-trationsverteilung innerhalb der Zellen

• Es dürfen keine neuen Extrema auftreten

2. Exakte Lösung des Riemann-Problems

3. Mittelwert-Bildung in den Zellen

Godunov Verfahren mit“Minmod” Limiter

Anfangsverteilung

Godunov Verfahren mit“Minmod” Limiter

Lineare Interpolation

Godunov Verfahren mit“Minmod” Limiter

Wähle kleineren Gradienten(bei Extrema null Gradient)

Godunov Verfahren mit“Minmod” Limiter

Exakte Lösung

Godunov Verfahren mit“Minmod” Limiter

Exakte LösungMittelung in Zellen

“Minmod” Limiter

• Mittlere Konzentration in Zelle i: ci

• Gradient in Zelle i: si

• Gitterweite: x

• Konzentrationsverteilung in Zelle i:

0if,minsgn

0if0

1111

1

11

iiiiiiii

ii

iiii

i ccccxcc

xcc

cc

ccccs

)()( iii xxscxc

Zeitliche Integration

1. Explizites Euler-Verfahren• Massenflüsse werden ausschließlich zum

alten Zeitpunkt ermittelt• Sehr schnell• Erfordert Limitierung der Zeitschrittweite

2. Implizites Euler-Verfahren• Massenflüsse werden (partiell) zum neuen

Zeitpunkt ermittelt• Erfordert Lösung großer Systeme linearer

Gleichungen

Zeitliche Integration

3. Semidiskretisierung• Partielle DGL wird nur im Raum diskretisiert• Führt zu System gewöhnlicher DGL’n• Verwendung von DGL-Lösern (ode solver)

• Hier behandelt:1. Explizites Euler-Verfahren2. Semidiskretisierung

Explizites Euler-Verfahren(mit Upwind Differenzen)

• Rechte Seite enthält ausschließlich Konzentrationen zum alten Zeitpunkt.

• Jede Zelle kann unabhängig berechnet werden.

)()()()(

)()()()(

12/12/1

12/12/1

2/11

2/1

tctcVDAtctc

VDA

tcV

QtcV

Qttcttc

iii

iiii

i

ii

ii

ii

i

iii

Explizite Integration des advektiven Transports mit “Minmod” Limiter

tuxtststctcxtutc

dxxcx

dxxcx

tcttc

iiiii

tu

i

tu

iii

2)()()()()(

21

21)()(

11

001

x

0 0

1

i i+1i-1

Zeitschrittbegrenzung durch Advektion

• Courant-Friedrich-Lax Kriterium

x

utctcx

utc

iii

)()(1

x

i i+1i-1

Zeitschrittbegrenzung durch Advektion

• Courant-Friedrich-Lax Kriterium

01)()(

xtu

xtutcttc ii

1

xtuCr

x

utctcx

utc

iii

)()(1

Courant Zahl

0

1

Optimale Zeitschrittweite für explizite Integration der Advektion

Cr = 1• Konzentrationen werden genau um eine

Zelle verschoben• Exakte Lösung• Erfordert unregelmäßige Gitterabstände

bei ungleichförmiger Strömung• Nicht realisierbar bei instationärer

Strömung mit ortsfestem Gitter

Zeitschrittbegrenzung durch Dispersion

• Neumann Kriterium

x

0 0

1

i i+1i-1

211

)(2)()()()(xD

xtctc

xtctc

xD

tc iiiii

Zeitschrittbegrenzung durch Dispersion

• Neumann Kriterium

x

i i+1i-1

31

)(21

)(2)()( 22

x

tDx

tDtcttc ii

31

)( 2

x

tDNe

211

)(2)()()()(xD

xtctc

xtctc

xD

tc iiiii

1/3 1/3 1/3

Neumann Zahl

Maximale Zeitschrittweite für explizite Integration der Dispersion

Ne < 1/3Extrema werden nicht umgekehrt

Ne < 1/2Es gibt keine negativen Konzentrationen

• Grundsätzlich gilt: Je kleiner der Zeitschritt, umso genauer die explizite Berechnung der Dispersion

Anfangswertproblem nach Semidiskretisierung

• Definiere Konzentration am Interface• Benötigt Anfangsbedingung c(t=0)• Integriere mit DGL-Löser (z.B. Runge-Kutta,

Adams-Bashforth, Gear)

xcc

VDA

xcc

VDA

cV

QcV

Qtc

ii

i

iiii

i

ii

ii

ii

i

ii

12/12/112/12/1

2/12/1

2/12/1

Vergleich der Diskretisierungsverfahren für die Advektion

Anwendung auf den 1D Transport in Flüssen

• Dispersionskoeffizient ist vergleichsweise groß (im Gegensatz zum Grundwasser)

• Deswegen kann bei ausreichend feiner Diskretisierung zentrale Differenzen für die Advektion gewagt werden

• Bei gleichförmigem Abfluss: Upwind-Differenzen mit Cr = 1 und explizite Zeitintegration