Belirsizlik ve Belirsizlik ve

Sigorta OlgusuSigorta Olgusu

22

BelirsizliBelirsizliğğin Olasin Olasııllıık Dak Dağığıllıımmııyla Tanyla Tanıımlanmasmlanmasıı

Bazı olayların gerçekleşmesi, olasılık kullanılarak

tanımlanabilir. Örneğin bir sınıfta bulunan öğrencilerin boy

uzunluklarını belirlediğimizi düşünelim. Daha sonra bu sınıfa

katılacak bir öğrencinin boy uzunluğu, olasılıklı olarak

söylenebilir.

OlasOlasııllıık dak dağığıllıımmıı, tesadüfi bir değişkenin alacağı bir değerin

olasılığını tanımlar.

33Örneğin boyu 165 c. Olan bir öğrencinin sınıfa katılma olasılığı

%33.3, boyu 175 cm. olanın olasılığı %33.3 biçiminde olasılık

dağılımıyla gösterebiliriz. Bunu basit olarak tablolaştıralım:

Tablo 6.1. Tablo 6.1. ÜçÜç FarklFarklıı Boy Boy UzunluUzunluğğunun Olasunun Olasııllıık Dak Dağığıllıımmıı

Boy UzunluBoy Uzunluğğuu OlasOlasııllııkk

165 cm. ⅓

175 cm. ⅓

180 cm. ⅓

44

Bu örneğe göre, beklenen boy uzunluğunu hesaplayalım:

, 0 1 , 1

1 1 1(165) (175) (180)3 3 3173.33

i i i iBeklenen Değer v

Beklenen Boy Uzunluğu

= π ≤π ≤ π =

= + +

=

∑ ∑

Burada πi , i olayının gerçekleşme olasılığı; vi , i olayının gerçek-

leştiğinde alacağı değerdir.

55

Bu örneği grafik olarak da gösterebiliriz.

00.250.50.751

165 175 180Boy Uzunluğu

Şekil 6.1. Kesikli Olasılık Dağılımı

Ola

sılık

66Olay sayısı sonsuz olarak ifade edildiğinde, yukarıda üç olayın

olasılığı için çizdiğimiz kesikli olasılık dağılım grafiği, sürekli

biçime dönüşmüş olacaktır.

Şekil 6.2. Olasılık Dağılımı1

0

A

B

Ola

sılı

k

Boy Uzunluğu

77Yukarıdaki şekilde mavi dağılımın (A) varyansı, kırmızı

dağılımdan (B) büyüktür.

( )22

2 2

i i

A B

v xσ = π −

σ > σ

∑

İlerleyen konularda, tesadüfi bir değişkenin varyansının, risk

kavramıyla nasıl ilişkilendirilebileceğini göreceğiz.

Belirsizlik KoBelirsizlik Koşşullarullarıı AltAltıında Karar Vermenda Karar Verme

Geleneksel tüketici teorisinde tüketicinin karar verme sürecini

tam bir belirlilik altında gerçekleştirdiğini varsaymıştık. Ancak

gerçek dünyada bireyler belirsizliklerle karşı karşıya kalarak

iktisadi kararlar verirler. Örneğin bir bireyin farklı risklere

sahip iki yatırım karşısında karar verme durumunda olduğunu

kabul edelim. Aşağıdaki tablo, her bir yatırımın getirisinin

gerçekleşme olasılığını vermektedir.

88

99

Tablo 6.2. FarklTablo 6.2. Farklıı BBöölgelerde Bulgelerde Buğğday day ÜÜretme retme GiriGirişşimiimi

A YatA Yatıırrıımmıı B YatB Yatıırrıımmıı

KazanKazançç(YTL)(YTL)

GeGeççekleekleşşme me OlasOlasııllığıığı

KazanKazançç(YTL)(YTL)

GeGeççekleekleşşme me OlasOlasııllığıığı

10 0.10 10 0.00

20 0.30 20 0.30

30 0.20 30 0.40

40 0.20 40 0.30

50 0.20 50 0.00

Girişimci A ve B yatırımlarının sağlayacağı kazançların belirsiz-

liği altında hangi yatırımı yapacağına karar verecektir.

Yukarıdan aşağıya her bir olay sırasıyla şu anlama gelmektedir:

Birinci olay kurak hava koşulları; ikinci olay yağışlı hava

koşulları; üçüncü olay soğuk hava koşulları; dördüncü olay

dondurucu hava koşulları; beşinci olay aşırı yağışlı hava

koşullarıdır.

1010

Bu tabloyu, kesikli olasılık dağılım grafikleri yoluyla da aşağıda

gösterdik. Şimdi her iki yatırımın beklenen parasal değerini

hesaplayalım.

1111

0.10(10) 0.30(20) 0.20(30) 0.20(40) 0.20(50) 31

0(10) 0.30(20) 0.40(30) 0.30(40) 0(50) 30

A Yatırımının Beklenen Parasal Değeri

YTL

B Yatırımının Beklenen Parasal Değeri

YTL

= + + + + =

= + + + + =

Farklı yatırım olanaklarından hangisinin seçileceği, beklenen

kazancın parasal değerine bağlıdır. Beklenen parasal değeri en

büyük olan yatırım, ekonomik karar birimi tarafından tercih

edilecektir. Yukarıdaki beklenen değer hesabına göre, girişimci

A yatırımına karar verecektir. Ancak belirsizlik altında bu

şekilde karar vermek olanaklı değildir. Bazı durumlarda çelişik

sonuçlar elde edilebilir. Bunu iki örnekle görelim.

1212

1313

Şekil 6.3. A Yatırımının Kazanç Olasılık Dağılımı

0

0.25

0.5

0.75

1

10 20 30 40 50

Ola

sılık

Kazanç

1414

Şekil 6.4. B Yatırımının Kazanç Olasılık Dağılımı

0

0.25

0.5

0.75

1

10 20 30 40 50

Ola

sılık

Kazanç

ÖÖrnek 1: Sadist Yardrnek 1: Sadist Yardıımsevermsever

Bir hastanın doktordan önemli bir rahatsızlığı olduğunu ve

20000 YTL değerindeki bir operasyon yapılmadığında iki aylık

ömrünün kaldığını öğrendiğini varsayalım. Bu hasta operasyon

masrafını karşılamak için yakınlarına ulaşamamıştır. Son bir

çare olarak, bir sadist yardımsever başvurur. Sadist

yardımsever bu hastanın önüne iki kumar seçeneği koyar. Bu

seçenekler aşağıdaki tabloda gösterilmiştir.

1515

Tablo 6.3.Tablo 6.3.

A KumarA Kumarıı B KumarB Kumarıı

Fiyat(YTL)

OlasılıkKazanç(YTL)

Fiyat(YTL)

OlasılıkKazanç(YTL)

10000 0.50 0 0 0.99 0

15000 0.50 0 20000 0.01 1

Beklenen Parasal Değer:

1250012500

Beklenen Kazanç:

0

Beklenen Parasal Değer:

200200

Beklenen Kazanç:

00

1616

Örneğimizdeki hasta birey kazancını (yararını) maksimize

etmeye çalıştığından dolayı, A kumarını tercih edecektir. Ancak

burada oluşan bityeniğine dikkat edelim. Birey A’yı tercih

ederse bir saat içinde ölecek (çünkü operasyon için 20000 YTL

gerekli), B’yi tercih ederse %1 yaşama olasılığı var. Bu nedenle

A tercihinin sağladığı kazancın hiçbir değeri yoktur. B ise bir

yaşam umudu sağlamaktadır. Tabii ki böyle bir durumda

bireyler B’yi tercih edeceklerdir.

1717

Ölümün sağlayacağı yararı 0, yaşamın sağlayacağı yararı 1 ile

tanımlarsak, hasta gözünde A ve B kumarlarının beklenen

yararlarını şöyle hesaplayabiliriz:

1818

0.50(0) 0.50(0) 0

0.99(0) 0.01(1) 0.01

A Kumarının Beklenen Yararı

B Kumarının Beklenen Yararı

= + =

= + =

Bireyin amacı beklenen yararı maksimize etmekse, bu durumda

B’yi tercih edecektir. Bu örnek bize, belirsizlik durumlarında

beklenen (parasal) kazancı maksimize etmenin, açık bir çözüm

üretemeyebileceğini göstermektedir. Şimdi ikinci örneğe

geçelim. Bu örnek St. Petersburg paradoksu olarak

anılmaktadır ve çözümü ilk kez Daniel Bernoulli tarafından

yapılmıştır.

1919

2020

ÖÖrnek 2: rnek 2: StSt. . PetersburgPetersburg ParadoksuParadoksu

Eşit beklenen parasal getiriye sahip iki farklı kumarla karşı

karşıya olan bir bireyi dikkate alalım. A kumarında 100 YTL

elde etme şansı %100, 0 YTL elde etme şansı %0; B kumarında

200 YTL elde etme şansı %50, 0 YTL elde etme şansı %0 ’dır.

Bireyin, herhangi bir adiladil kumarkumarda yer alabilmek için yapacağı

ödeme, elde edeceği beklenen kazancına bağlıdır. Örneğin B

kumarında yer alabilmek için, 100 YTL ödeme yapacaktır.

Bernoulli, bir yazı tura oyunu yoluyla, bireylerin kazançlarını

maksimize edemeyebileceğini göstermiştir. Genel olarak, çok

sayıda para atımında yazı ve tura gelme olasılıkları yarı

yarıyadır. Parayı ilk tura gelinceye kadar atalım ve sonra oyunu

durduralım. Bu atışlardaki ödeme sistemimizde şöyle olsun:

Birinci atışta tura gelirse 2 YTL, ikinci atışta gelirse (2)2 YTL,

üçüncü atışta gelirse (2)3 YTL…

2121

2222

Tüm yazı-tura atışları birbirinden bağımsızdır. Birinci atışta

tura gelme olasılığı ½ , ikinci atışta olasılık (½)2 , üçüncü

atışta olasılık (½)3 ... Buna göre, bu oyunun beklenen getirisini

hesaplayalım:

( ) ( ) ( ) ( )2 3

2 31 1 1 12 2 2 ..... 2 .....2 2 2 2

1 1 1 ..... 1 .....

nn⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= + + + + +

Bu toplam ıraksaktır.

Bu sonuç, beklenen kazancı maksimize etme amacındaki bir

bireyin bu tür bir oyunda yer alabilmek için, sınırsız miktarda

ödeme yapması gerektiğini söylemektedir. Ancak gerçek

yaşamda, kendisine küçük bir şans veren bir oyun için hiçbir

birey sınırsız ödeme yapmaz. Bu nedenle, bireyler beklenen

kazancı maksimize etmeyebilirler.

2323

Beklenen FaydanBeklenen Faydanıın Maksimizasyonu: Kardinal Faydan Maksimizasyonu: Kardinal Fayda

Yukarıda incelediğimiz örnekler, belirsizlik (risk) altında seçim

yapan bireylerin, tercihlerini beklenen kazancın maksimizas-

yonu yerine, beklenen faydanın maksimizasyonuna göre oluş-

turduklarını göstermiştir. Bu, beklenen fayda hipotezibeklenen fayda hipotezi olarak

anılmaktadır. Konuyla ilgili iktisatçılar, risk altında seçim yapan

bireylerin, adeta bir (kardinal) fayda ölçeği oluşturarak tercih

belirlediklerini düşünmektedirler.

2424

Bu anlamda, bireylerin birer kardinal fayda fonksiyonuna sahip

olduklarını düşünerek analiz yapacağız. Ordinal fayda

kavramının yerine kardinal faydayı ikame etmemizin nedeni,

belirsizlik durumlarında ordinal fayda ölçeğinin zayıf

kalmasıdır. Bunu bir örnekle görelim. Bize üç şey arasında bir

seçim olanağı sağlanmış olsun: Çikolata (100 birim fayda),

elma (70 birim fayda) ve portakal (50 birim fayda). Bu

durumda birey fayda maksimizasyonu gereği, çikolatayı tercih

edecektir.

2525

Benzer şekilde sayısal faydalar (aynı sırayla) 5, 4 ve 2 olsaydı,

tercihimiz yine aynı şekilde olacaktı. Sıralama esaslı bir fayda

yaklaşımı yaptığımızda, sıralama bireyin tercihlerini doğru

yansıttığı sürece, atfedilen sayıların bir önemi yoktur. Ancak

böyle bir durumda birey tercihini açık bir belirlilik altında

yapmaktadır. Gerçek dünyada belirsizlik durumlarında bu

yaklaşım (ordinal fayda) yetersiz kalacaktır. İktisatçılar bu

yaklaşım yerine, kardinal fayda yaklaşımını önermektedirler.

2626

Bunu aynı örneğe devam ederek açıklayalım. Yine yukarıda

yaptığımız gibi iki farklı ordinal fayda fonksiyonu düşünelim.

Ancak şimdi bireye sunulan seçenek biçimini değiştirelim.

Seçeneklerden biri elma, diğeri de yarı yarıya bir şansla

çikolata ve portakal olsun. Yani birey ya kesin olarak elmayı

seçecek, ya da bir kumar oynayarak daha çok sevdiği çikolata

ile daha az sevdiği portakal arasında bir karar verecektir. Şimdi

ordinal bir fayda fonksiyonu çerçevesinde, beklenen faydayı

maksimize etmeye çalışalım.

2727

Eğer bireyi doğrudan (kesin bilgi sahibi olduğu) elmayı

seçerse, faydası 70 birimdir. İkinci seçenek üzerinde (%50-

%50 şansla) kumar oynarsa, beklenen faydası

½(100)+½(50)=75 birim olacaktır. Bu durumda birey, ikinci

seçeneğin beklenen faydası daha yüksek olduğundan kumar

oynamayı tercih edecektir. Şimdi aynı durumu ikinci ordinal

fayda fonksiyonu için uygulayalım. doğrudan elmayı seçerse,

faydası 4 birim; kumar oynarsa, beklenen faydası

½(5)+½(2)=3.5 birim olacaktır. Bu durumda ise elmayı

seçmek rasyonel davranıştır.

2828

Bireyin her iki fayda fonksiyonundaki sıralama tercihleri aynı

olmasına karşın, çelişik sonucun ortaya çıkışı, bizi belirsizlik

durumlarında kardinal fayda fonksiyonlarını kullanmaya

zorlamaktadır.

Şimdi bireyin, ödülleri (A1 , A2 ,…, An) olan bir kumarla karşı

karşıya bulunduğunu ve A1’i A2’ye , A2’yi A3’e ,…, An-1’i An’e

tercih ettiğini varsayalım ve bireyin her bir ödüle atayacağı

sayısal (kardinal) fayda belirleyelim.

2929

3030

Sayısal (kardinal) faydayı belirlemek için üç örnek ödülü

dikkate alalım: A1 ,en iyi ödül; Ak , orta derecede ödül; An , en

kötü ödül.

İlk aşamada Ak ,ödülüne atanacak sayıyı belirleyelim. Örneğin

basit biçimde en kötü ödüle (An) 0, en iyi ödüle (A1) 1 değerini

verebiliriz. Olasılıklar da sırasıyla %40 ve %60 ise, bu

durumda ödülünün beklenen sayısal faydası (U( Ak )):

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )1 1 0

0.6 1 0.4 0 0.6kU A p p p= + − =

= + =

Bu süreci bu şekilde sürdürdüğümüzde, tüm öneriler için fayda

sayılarına ulaşmış oluruz. Başlangıçta belirlediğimiz en iyi ödül

için 1, en kötü ödül için 0 değerleri tesadüfi seçilmiştir. Bu

değerler yerine, örneğin 1000 ve 100 değerleri de alınarak, bu

araya düşen diğer fayda sayıları hesaplanabilir. Dolayısıyla

ölçeği değiştirmemiz, bireyin kardinal fayda fonksiyonunu

etkilememektedir. Örneğin ısı ölçümünde ölçeği Fahrenheit ya

da Celcius almamızın ölçüm üzerinde bir önemi yoktur.

3131

3232Fayda Fonksiyonu ve Risk AltFayda Fonksiyonu ve Risk Altıında Davrannda Davranışış

Riske KarRiske Karşışı YansYansıız Tutumz Tutum

Bazı bireyler riske karşı kayıtsız (yansız) davranabilirler. Şu

örneği dikkate alalım. Aşağıdaki şekilde yatay eksende YTL

olarak kazançlar, dikey eksende de bu parasal kazancın fayda

karşılığı yer almaktadır. Orijinden çıkan doğru (kırmızı),

bireyin fayda fonksiyonudur. Doğrusal fayda fonksiyonu

nedeniyle, marjinal fayda sabittir.

3333ŞŞekil 6.5. Riske Karekil 6.5. Riske Karşışı YansYansıızlzlııkk

Fayda

Kazanç (YTL)

(0)U (50)U(100)U

0 50 100a

b

e

( )U YTLKumarın ve Kesin Tercihin Beklenen Faydası

Burada olduğu gibi, doğrusal fayda fonksiyonuna sahip birey,

riske karşı yansız tutum takınır (risk-neutral). Riske karşı

yansız olmak, bireyin kumarlar arasında yapacağı seçimini,

elde edeceği beklenen parasal değere dayandırması anlamına

gelmektedir. Eğer bir kumarın getirisinin varyansı artarsa, riski

de giderek büyür. Örneğin kesin belirlilik altında 50 YTL öneren

G1 kumarı, %50 olasılık altında 100 YTL öneren G2 kumarından

daha az risklidir. Kesin belirli bir seçim, bir kumardan daha az

risklidir.

3434

Riske karşı yansız olan birey, belirsizliklerin farkında

olmayacak, iki seçeneğin (kumarın) beklenen getirileriyle

ilgilenecektir. G1 ve G2 kumarları eşit beklenen getiriye sahip

olduğundan, birey bu iki seçeneğe karşı yansızdır. Şekil 6.5’de

G2 tercihi e noktasıyla gösterilmiştir. Bu kumarın beklenen

faydasını bulurken en iyi durum (b noktası 100 YTL) ile en kötü

durumu (a noktası 0 YTL) kullanıyoruz:

3535

( ) ( )2 (0.50) 0 (0.50) 100 50G U YTL U YTL YTL= + =

G1 kumarının beklenen faydası, e noktasının yatay eksenden

yüksekliğine eşittir. Yani 50 YTL’dir.

3636Riskten KaRiskten Kaççıınma Tutumunma Tutumu

Bazı bireyler riske karşı kaçınma davranışında olabilirler.

Aşağıdaki şekilde (Şekil 6.6.) fayda fonksiyonu konkav biçimde

çizilmiştir. Marjinal fayda giderek azalmaktadır. Birey bu

durumda risk almaktan kaçınan bir tutum izleyecektir. Artık

birey kesin bilinen tercih ile kumar tercihi arasında kayıtsız

değildir. Bunu anlayabilmek için bir önceki örneği kullanmayı

sürdürelim.

Şekil 6.6.’da b noktası yine en yüksek kazanç düzeyini (100

YTL) göstermektedir. Bireyin seçimi (yansızlık örneğindeki

gibi) ya kesin bilinenden yana (50 YTL) ya da %50-%50

olasılıklarla en iyi olan (100 YTL) ile en kötü olan (0 YTL)

arasında oluşacaktır. Kumarın beklenen faydası, a ile b

noktalarının tam ortası, yani e noktasıdır. Ancak fayda

fonksiyonumuz artık doğrusal değil, konkav biçimlidir. Bu

nedenle, fayda eğrisi (mavi eğri) üzerindeki d noktası, belirli

olan seçimin sağlayacağı parasal faydadır.

3737

3838ŞŞekil 6.6. Riskten Kaekil 6.6. Riskten Kaççıınmanma

Fayda

Kazanç (YTL)

( )(0.50) (0) (0.50) 100U U+

0 50 100a

b

e

( )U YTL

( )50U •

Kesin Bilinen Seçimin Faydası

Kumarın Beklenen Faydası

d•

3939

Belirli seçimin faydası, belirsiz seçimin faydasından büyük

olduğundan, birey risk taşıyan belirsiz bir seçimden kaçmayı

daha rasyonel bulacaktır.

4040Riski Tercih Etme TutumuRiski Tercih Etme Tutumu

Son olarak, bazı durumlarda bireylerin risk taşıyan seçimleri

tercih edebileceği durumu inceleyelim. Bu durum, aşağıdaki

Şekil 6.7 ile gösterilmiştir. Fayda fonksiyonu konvekstir.

Riskten kaçınma durumunun tersine, burada bireyin belirli

seçimde elde edeceği fayda, belirsiz (risk taşıyan) seçime göre

daha düşüktür. Bireyin daha yüksek parasal fayda sağlayan

riskli seçimi tercih etmesi rasyonel bir davranıştır.

4141ŞŞekil 6.7. Riski Tercih Etmeekil 6.7. Riski Tercih Etme

Fayda

Kazanç (YTL)0 50 100a

b

e

( )U YTL

( )50U

•

Kesin Bilinen Seçimin Faydası

Kumarın Beklenen Faydası

•d

4242Bireylerin Sigorta Talepleri: Riskten KaBireylerin Sigorta Talepleri: Riskten Kaççıınmanma

Riskten Kaçınma tutumuna sahip bir bireyin, 100 YTL

değerinde bir eve sahip olduğunu ve ayrıca, evin yanması

durumunda, evin bulunduğu arsanın 20 YTL olduğunu kabul

edelim. Evin yanma olasılığının da %20 olduğunu (yanmama

olasılığı %80) düşünelim. Buna göre bireyin risk taşıyan

(kumar) seçeneğini şöyle ifade edebiliriz:

( )20 , 0.20 ; 100 ,0.80G YTL YTL

Örneğimizi aşağıdaki Şekil 6.8. ile gösteriyoruz. Eğer birey

hiçbir şey yapmazsa (evini sigorta yaptırmazsa) elde edeceği

fayda e′e dir. Ancak birey aynı fayda düzeyini (g′g), evini

sigorta yaptırarak da elde edebilir. Birey yıllık 20 YTL’den evini

sigortalarsa, evin bedeli olarak 80 YTL’yi garanti altına almış

olacaktır (belirli seçim). 20 YTL’lik bir sigorta primi düzeyinde

birey sigorta yaptırıp yaptırmamakta kayıtsızdır. Sigorta bedeli

20 YTL’nin altında ise, sigorta yaptırmak (riskten kaçınmak)

daha rasyonel bir davranıştır.

4343

4444ŞŞekil 6.8. Sigorta ve Riskten Kaekil 6.8. Sigorta ve Riskten KaççıınmanmaFayda

Kazanç (YTL)

(0.20)(20) (0.80)(100)+

0 20a

e( )U YTL

•

80 YTL’ninFaydası

Bir Eve Sahip Olmanın Beklenen Faydası

•

•

80 84 85 100

( )20U

gh

g′ e′ h′

15 YTL

Örneğin 15 YTL’lik bir sigorta primi öderse, elde edeceği belirli

fayda 85 YTL eşdeğerindeki h′h yüksekliğine eşittir. Böylesi bir

sigortalama eylemi, bireyin tercih edebileceği (yani riskten

kaçacağı) bir olanak sağlar. Fakat bu tür durumlarda dahi riski

tercih eden bireyler açısından ne gibi sonuçların ortaya

çıkabileceğine de bakalım. Şekil 6.9. bu durumu göstermek-

tedir. Böylesi bir fayda fonksiyonuna sahip birey için evin %20

olasılıkla yanmasının yol açacağı beklenen kayıp 16 YTL’dir.

4545

46

Kazanç (YTL)

Fayda

0

e•

84 9020 100e′

10 YTL

ŞŞekil 6.9. Sigorta ve Riskin Tercih Edilmesiekil 6.9. Sigorta ve Riskin Tercih Edilmesi 46

Bireyin sigorta yaptırmaya razı olacağı (ya da bir başka

ifadeyle, sigorta yaptırmadığında elde ettiği faydayı

yakalayabileceği) en yüksek prim 10 YTL’dir (e′e ’nin eşdeğer

yüksekliği). Bu kumarın sonucunda beklenen kazanç 16

YTL’dir. Çünkü evin yanma olasılığı %20 ve kaybedilecek para

da 80 YTL’dir. Bir önceki örnekte birey riskten kaçma davranışı

içindeyken, sigorta primi olarak en çok 20 YTL ödemeye

razıydı. Buradaki durumda ise bireyin sigorta için ödeyeceği en

yüksek prim 10 YTL’dir.

4747

Buna göre, risk almayı tercih eden birey 10 YTL’ye sigorta

yaptırmakla yaptırmamak arasında kayıtsızdır. Gerçekte ise, bu

durumdaki birey 16 YTL’lik adil primi ödemekten kaçınarak,

sigorta yapmak yolunu seçecektir. Bu tür bir davranış, risk

almayı seven bireyden beklenmeyen bir durumdur.

4848

Sigortalama Sistemi ve Sigorta Piyasasının Oluşumu

Sigortacılık sisteminin (piyasasının) nasıl oluşabildiğini

görebil-mek için, iki bireyin (A ve B) yaşadığı ve meyve

toplayıcılığıyla geçindiği basit bir tarım bölgesini dikkate

alalım. Bu bireyler topladıkları elmanın kilosunu 1 YTL’den,

çileği de 6 YTL’den her sabah satmaktadır. Ayrıca A ve B

bireyinin ürünlerinin tamamını %10 olasılıkla tahrip edebilen

bir böcek riskinin var olduğunu düşünelim. Eğer A bireyi her

gün 8 kilo elma, 2 kilo çilek satarsa günlük 20 YTL

kazanacaktır.

4949

Ancak böceklerin, toplanan meyvenin tamamına %10 olasılıkla

zarar verebilmesi nedeniyle A bireyinin %90 olasılıkla geliri 20

YTL, %10 olasılıkla da 0 YTL olacaktır. Bu nedenle A bireyinin

beklenen kazancı 18 YTL, beklenen kaybı 2 YTL’dir. Eğer birey

risk almaktan hoşlanmıyorsa, durumu aşağıdaki Şekil 6.10a ile

tanımlanacaktır. Birey risk alacak olursa beklenen kazancı 18

YTL, beklenen faydası da e′e olacaktır. Böceklerden görülecek

zarara karşı korunmak için, kendisine önerildiği taktirde 4

YTL’ye kadar prim ödemeye razı olacaktır.

5050

5151ŞŞekil 6.10a. Riskten Kaekil 6.10a. Riskten Kaççıınan A Bireyinan A Bireyi

Fayda

0 16a

e

(20)U

•

18 20

4 YTL

e′Kazanç(YTL)

Bu noktada temel soru şudur: Bireyleri risklere karşı korumak

için sigorta teklifini kim ve neye göre yapacaktır? Bu soruyu

yanıtlayabilmek için, risk almaktan hoşlanan ve fayda

fonksiyonu Şekil 6.10b’de gösterilen bir başka birey (B)

dikkate alalım. Bu bireyin meyve satışından elde edeceği

günlük geliri 38 YTL’dir. Faydası şekilde b′b yüksekliğiyle

gösterilmiştir.

5252

5353ŞŞekil 6.10b. Risk Tercih Eden B Bireyiekil 6.10b. Risk Tercih Eden B Bireyi

Fayda

0

d•

d ′

10 YTL

36

(38)U

18 38

b•

(18)U•

b′

(0.10)(18) (0.90)(38)+

Kazanç(YTL)

Şimdi B bireyinin A bireyine şöyle bir öneri götürdüğünü

düşünelim: “Sen bana π kadar bir ödeme yaparsan, ürünün

böceklerden dolayı tamamen zarar gördüğünde ben sana 20

YTL ödeme yapacağım; aksi durumda hiçbir ödeme

yapmayacağım”. Eğer A bireyi bu öneriyi kabul ederse, B için

38 YTL’lik günlük gelir kesin olmaktan çıkar. Artık B bireyi

üzerine bir risk almıştır: %90 olasılıkla 38+π YTL kadar

kazanabileceği bir kumarın içerisinde yer almaktadır.

5454

Böcekler meyvelere zarar vermezse, B bireyi kazanç %10

olasılıkla 18+π YTL kazanacak; zarar verirlerse, B bireyi A

bireyine 20 YTL ödeme yapacaktır. Buna göre, B bireyi hangi

fiyattan (ya da hangi sigorta priminden, π) A bireyine sigorta

hizmeti vermek isteyecektir? Bir an için sigorta bedelini sıfır

olduğunu varsayalım. B, A’ya sigorta satarsa, kendisinin kesin

olan 38 YTL’lik gelirini risk altına sokmuş olacaktır. Çünkü %90

olasılıkla 38 YTL’yi koruyacak, %10 olasılıkla 20 YTL

kaybedecek (meyvelerin zarar görmesi nedeniyle A’ya

yapacağı ödeme).

5555

B bireyi için bu şekildeki bir kumarın beklenen faydası, Şekil

6.10b’de d′d yüksekliğiyle gösterilmiştir. Ancak bu, B bireyinin

risk altına girmeme (sigorta satmama) durumunda ortaya

çıkacak beklenen faydayı gösteren b′b yüksekliğinden daha

düşüktür. Bu nedenle B, sıfır risk primi altında A’ya sigorta

satmak istemeyecek, yani sigorta olgusu ortaya çıkmayacaktır.

B’nin sigorta satmaya razı olacağı fiyatı (primi) görebilmek için

Şekil 6.11’i dikkate alalım. B bireyinin satış yapmadığı nokta

b′b dir. Şimdi sigorta priminin 1.50 YTL olduğunu varsayalım.

5656

5757ŞŞekil 6.11. Sigorta Satmaya ekil 6.11. Sigorta Satmaya İİstekli Olmastekli Olma

Fayda

0

k

k′

10 YTL

19.5 39.5

b

•

•b′

38 + π

••

••38

18 + π

Kazanç(YTL)

Bu durumda, böcekler A bireyinin meyvesine %10 olasılıkla

zarar verdiğinde B’nin kazancı 19.50 YTL (38 YTL asıl gelir-20

YTL A’ya yapılacak sigorta zararı gideri+1.50 YTL prim geliri);

meyveler zarar görmediğinde (%90 olasılık), B A’ya hiçbir

ödeme yapmayacağından kazancı 39.50 YTL (38 YTL asıl

gelir+1.50 YTL prim geliri) olacaktır. Bu kumarın beklenen

faydası k′k yüksekliğidir. k′k ile b′b yükseklikleri eşit

olduğundan, bu prim düzeyinde B, A’ya sigorta satıp

satmamakta kararsızdır. Bu nedenle 1.50 YTL, B’nin sigorta

yapmaya razı olacağı en düşük primdir.

5858

5959Risk Havuzu: Sigorta Risk Havuzu: Sigorta ŞŞirketlerinin Birketlerinin Büüyyüümesimesi

Yukarıda gördüğümüz gibi, günlük yaşamda belirsizliklerin

varlığı sigortanın gerekliliğini ortaya çıkartmakta ve insanların

bu belirsizlikler karşısında farklı tutumlar takınması, sigortala-

manın kârlılığını belirlemektedir. Bazı bireyler risk almaktan

kaçınmazlarken, bazıları ise riskten pek hoşlanmazlar.

Yukarıdaki A ve B bireyi örneği bir birey için sigorta olgusunun

ortaya çıkışını göstermiştir. Ancak bireyin kendisini (gelirini)

güven altına alabilmek için başka yolları da vardır.

6060Bu yollardan birisi risk havuzurisk havuzu ya da öözz--sigortasigortadır. Bu tür

sigortayı anlayabilmek için riskten kaçınan birey örneğini

yeniden ele alalım. Bunu Şekil 6.12’de görebiliriz. Şekle göre

risk almayı sevmeyen birey aynı beklenen kazancı sağlayan iki

kumarla karşı karşıyadır. Şekil 6.12a’daki birinci kumar %60

olasılıkla 100 YTL, %40 olasılıkla da 50 YTL kazandırmaktadır.

Bu kumarın beklenen kazancı 80 YTL’dir:

(0.60)(100) (0.40)(50) 80+ =

6161ŞŞekil 6.12a. Risk ve Varyansekil 6.12a. Risk ve Varyans

Fayda

Kazanç(YTL)0 50 70 80 100

( )U YTL

(0.40)(50) (0.60)(100)+

6262Kazancın varyansı:

Birey 100 YTL’lik varlığını ya %60 olasılıkla aynı düzeyde

koruyacak ya da %40 olasılıkla 50 YTL’ye düşecektir. Bu

koşullar altında birey varlıklarının değer kaybına karşılık 30

YTL’ye kadar sigorta primi ödemeye razıdır. Varlıklarının değeri

düşerse, sigortacı bireye 50 YTL’lik ödeme yapacaktır.

2 2(0.60)(100 80) (0.40)(50 80) 600− + − =

6363Şimdi de Şekil 6.12b’ye bakalım. Bu kumarda bireyin varlığı

%40 olasılıkla değerini koruyacak; %33.3 olasılıkla 80 YTL’ye

ve %26.7 olasılıkla da 50 YTL’ye düşecektir. Beklenen

kazançlar, bir önceki örnekteki kadardır:

Buna karşılık varyans daha düşüktür:

Beklenen Kazanç (0.40)(100) (0.333)(80) (0.267)(50) 80= + + =

2 2 2 2(0.40)(100 80) (0.333)(80 80) (0.267)(50 80) 400.3σ = − + − + − =

6464ŞŞekil 6.12b. Risk ve Varyansekil 6.12b. Risk ve Varyans

Fayda

Kazanç(YTL)0 50 70 80 100

( )U YTL

(0.40)(100) (0.333)(80) (0.267)(50)+ +

e••

c

b•

75

Kazançlar eşitken varyansının daha düşük olması, ikinci kumarı

daha çekici kılmaktadır. İkinci durumda risk, üç farklı olasılığın

bir bileşimidir. Şekil 6.12b’deki b noktası, ikinci kumardaki

beklenen faydayı göstermektedir. Birinci kumarın beklenen

faydası ise e noktasına karşılık gelmektedir. b ile e noktaları

arasındaki fark, % 33.3 olasılıkla 80 YTL’lik değere düşüş

olanağıyla oluşmaktadır.

6565

Bu şekilde bireyin karşısına çok olasılıklı bir durum çıktıkça,

beklenen fayda giderek c noktasına yaklaşacaktır. c noktasında

varyans sıfırdır. Bu nokta birey kesin olarak varlığının

değerinin 80 YTL’ye düşeceğini bilmektedir. Buna göre şunu

söyleyebiliriz:

Risk almayı sevmeyen bireyler, eş kazanç sağlayan

kumarlardan varyansı düşük olanı tercih edeceklerdir.

6666

Ayrıca bireyin ikinci kumarda ödeyeceği sigorta primi daha

düşük olacaktır. Bu örnekte en çok 25 YTL ödemeye razıdır.

Farklı iki kumarı karşılaştırdığımız bu örneklerde kumarlardaki

kazançların ortalaması aynı kalmakla beraber (80 YTL), çeşitli

olasılıklar karşısında elde edilebilecek kazançların yayılımı

giderek artmaktadır. İstatistik diliyle veri setinin ortalaması

aynı kalmakta, ancak varyansı düşmektedir de diyebiliriz.

6767

A bireyinin bu durumlar karşısında sigorta yaptırmamaya karar

verdiğini, fakat risklerini bir havuzda topladığını

(birleştirdiğini) varsayalım. Ayrıca iki tane A bireyi de

aralarında şu şekilde sözleşmiş olsunlar: Her ikimiz de üründen

zarar gördüğümüzde ya da hiçbir zarar görmediğimizde bu

durumlara katlanalım. Ancak yalnızca birimizin ürünü zarar

görürse, diğerinin gelirini eşitçe paylaşalım.

6868

Bu sözleşmeyi incelediğimizde, bireylerin sigorta yaptırmaları

ile elde edecekleri beklenen kazanç ile sözleşmeden elde

edecekleri beklenen kazançların eşit olduğu görülecektir. Her

iki bireyin ürününün zarar görme olayları birbirinden

bağımsızdır. Bu nedenle, her ikisinin birden zarar görme

olasılığı (0.10)(0.10)=0.01; her ikisinin birden zarar görmeme

olasılığı (0.90)(0.90)=0.81; yalnızca birinin zarar görme

olasılığı da (0.10)(0.90)+(0.10)(0.90)=0.18’dir.

6969

7070Her ikisi birden zarar görürse, her ikisi de 40 YTL kayba

uğrayacak, ortak bir gelir olmayacak; hiç birisi zarar görmezse,

her birinin 20 YTL geliri olacak; yalnızca biri zarar görürse,

ortak olarak 20 YTL gelirleri olacaktır. Bu durumları dikkate

alarak, sözleşmeden kaynaklanan beklenen parasal kaybı

bulalım.

Beklenen Parasal Kayıp:

(0.81)(0 2) (0.18)(20 2) (0.1)(40 2) 2= + + =

7171Her iki birey de bir risk havuzu oluşturacak sözleşme

yapmamış olsalardı beklenen parasal kayıp:

(0.10)(20) (0.90)(0) 2= + =

Sözleşme olsa da olmasa da elde edilecek beklenen parasal

kayıplar aynıdır. Ancak varyanslara baktığımızda, sözleşmenin

daha avantajlı olduğunu görebiliriz.

7272

( )( ) ( )( ) ( )( )2 2 2(0.81) 0 2 2 (0.18) 20 2 2 (0.10) 40 2 2 18sözleşmeliσ = − + − + − =

2 2(0.10)(20 2) (0.90)(0 2) 36sözleşmesizσ = − + − =

n sayıda bireyin olduğu bir ekonomide, her biri ortalaması x ve

varyansı σ2 olan bir riskle karşılaştığında, birey başına

ortalama kayıp x, varyans da σ2/n ’dir. n (birey sayısı) sonsuza

giderken, varyans sıfıra yaklaşır.

Bu sonuca göre, yukarıdaki basit ekonomiyi dikkate almaya

devam edersek, sigorta talebinde bulunan birey sayısı

yeterince çok olduğunda, sigorta şirketi her yıl oluşacak

kayıpları tazmin etmek için 2n kadar ödeme yapacağını

bildiğinden (birey başına yani ortalama beklenen kayıp 2 YTL

idi), riskini hemen hemen sıfıra yaklaştırabilir. Birey başına

sigorta priminin 4 YTL olduğunu düşünürsek, sigorta şirketinin

yıllık kârı: ( )4 2n Sigortalama Maliyetleri− −

7373

Bu koşullar altında çok sayıda şirket sigorta piyasasına

gireceğinden, tam rekabetçi piyasa yapısına doğru sigorta

primi 2 YTL’ye kadar düşer:

7474

2P MC MR YTL= = =

Tam rekabetçi yapıda sigorta şirketlerinin aşırı kârı sıfırdır.