Beitrag zur Theorie des Massenausgleiches von Sternmotoren

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    10-Jul-2016

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  • I 6 Riekert: Beitrag zur Theorie des Massenausgleiches yon Sternmotoren. Ingenieur-Archiv

    Beitrag zur Theorie des Massenausgleiches yon Sternmotoren. Von P. Riekert in Ludwigshafen.

    i. AUgemeines. Der Massenausgleich yon Stemmotoren wurde bisher stets unter der Voraussetzung untersucht, dab alle Schubstangen direkt am Kurbelzapfen angreifen 1. Konstruktiv liiBt sich dies nicht durchfiihren, wean alle Zylinderachsen in einer Ebene liegen sollen. Man li~gt daher nut die Schubstange eines Getriebes, des Hauptgetriebes, am Kurbelzapfen angreifen und lenkt die Schubstangen der Nebengetriebe an der Haupt- schubstange an. In den folgenden Abschnitten wird dieser Umstand bei der Ermittlung

    ~_~s~s~ ~ t ] , ~ des Massenausgleiches be- rticksichtigt werden.

    ,__~ 2. Kinematik des Haupt- ' ~ ~ und eines Nebengetriebes.

    An die Kurbel OB (Abb. I), die mit der

    i G ~ ~ ~ . -~..~ ] xr AchsedesHauptgetriebes ~ ~ ~ (H.G.) den Winkel ~P1

    bildet, ist die Haupt- schubstange B C 1 ange- lenkt. An dieser greift die Sehubstange G,~C,, des Nebengetriebes (N.G.) im Punkte G,~ an. Der

    Abb. t. Sehematische Darstelhmg und Bezeichnungen des Haupt- uad eines Nebengetriebes. Punkt G. ist dabei geo-

    metrisch durch den (festen) Winkel ?a und die Strecke BG, = cn bestimmt ; ferner ist der Winkel zwischen Haupt- and Nebengetriebeachse ft,. Fiihrt man noch als HilfsgrSBen die Winkel ~v 1 und ~v~ der Schubstangen mix den Getriebeachsen ein, so folgt aus Abb. i die Beziehung

    5~ BG,,F., = ~x --l- ?. --fla. (I)

    Der Punkt C x des Hauptgetriebes, der mit dem Mittelpunkt des Kreuzkopfzapfens bzw. Kolbenbolzens identisch ist, ist in dem Koordinatensystem (x 1 , Yx) dutch die Streeke x 1 festgelegt. Aus Abb. I ergibt sich

    x~ = -- r cos 91 -- lx cos ~o 1 (2) und auBerdem

    r sin ~o x = l x sin ~x" (3)

    Auf iiahnliche Weise gewinnt man aus Abb. I unter Beachtung yon Gleichung (I)

    x~ = -- r cos (q~x + fl,~) -- ca cos (~o x + ?;, -- fin) -- I,, cos ~o~ und

    (4)

    (5) r sin (~1 + fla) = ca sin (~o 1 + ))~ -- fl~) -t- In sin ~a.

    Mit der Abkfirzung 21 = ~ (= Lenkstangenverh/iltnis) erh~ilt man aus (3)

    sin ~o I ---- 21 sin ~01, (6)

    1 Als ausfahrlichste Darstellung vgl. man etwa: P. Riekert, Der Massenausgleich yon Reihen- motorem insbesondere fiir die Glieder h0herer Ordnung, Diss. Stuttgart I928.

  • I . Band z9~9 , Riekert: Beitrag zur Theorie des Massenausgleiches yon Sternmotoren. x7

    und da 2 ,

  • 18 Riekert: Beitrag zur Theorie des Massenausgleiches yon Sternmo Ingenieur-Archiv

    den Gesam'tschwerpunkt aller Getriebeteile zu einem ruhenden Punkte zu machen, was aber unabh~ingig yore gleichf6rmigen oder ungleichf6rmigen Gang der Maschine geschehen kann.

    Nimmt man also der Einfaehheit halber gleichf6rmigen Gang des Motors an, so folgt aus (IO) und (II) durch zweimalige Differentiation nach der Zeit t (mit iibergesetzten

    dq~ Punkten angedeutet) unter der Voraussetzung 7, = fl,; und mit eo = ~7 fiir die Beschleu-

    nigung ~n bzw. ~ 1.

    r eo 2 { -- sin 91 sin fl~ + cos 91 cos

    + sin 2 91 I - / . s in 2 fl,~ + 2 u. ;tlsin ~ 1

    r + cos 2 91/~. , , cos 2 fl,, - - 2 n,, ;tl cos ,e , , + / J I... und

    x'l = rr [COSTx + ~lcos 2~x] 9 (13)

    Die Beschleunigung des Schwerpunktes S der Kurbel, der yon 0 den Abstand s hat, er- mittelt sich bezogen auf das Koordinatensystem (xl, Yl) mit Xl als reeller und Yl als ima- gin/irer Achse zu

    d' (sei(~_~,)) ~e_ i~ ' bs = ~ = s . (14)

    Die Beschleunigung der Punkte B und X folgt hieraus, indem man s durch r bzw. -- x ersetzt.

    3. Die Massenkriifte des Sternmotors und deren Ausgleich. Wir nehmen nunmehr an, dab ein Motor mit einem Hauptgetriebe und (z - I) Nebengetrieben, also z Zylindern, vorliege. Die Ermittlung der Massenkriifte wird am einfachsten, wenn man die Schubstangen durch Ersatzmassen ersetzt, die an geeignete Punkte gelegt werden. Naeh delia Schwerpunktssatze der Dynamik kann man hinsichtlich des Spieles der Massen- kriifte mit zwei Ersatzmassen auskommen, wobei diese einen mit der zu ersetzenden Masse gemeinsamen Schwerpunkt haben mfissen. Ist S~ der Schwerpunkt der Nebenpleuel G~ C~, die das Gewicht G n habe, und hat S n yon G,; den Abstand sn, so sind die Ersatz- .:) O:s, massen der Nebenschubstange in G~ und C,~ bzw. T I -- ~ T ~" Ist G~ das Kolben-

    G'.' G" s, gewicht des Nebengetriebes, so ist die gesamte in C,, vereinigte Masse mn= -~- + -~- ]-~-.

    Unter S t sei der Schwerpunkt der Hauptschubstange B C x einschlieBlich der Ersatzmassen in G n verstanden. Ist ferner G~ das Gewicht der Hauptschubstange samt den Ersatzmassen in G, und s~ der Abstand des Schwerpunktes S t vom Kurbelzapfen, so kann diese durch

    die Massen Gg ( i -- 71s~) in B und G~y x-~s~ in Cx ersetzt werden. Bedeutet G~' das Kolbengewicht

    G'~' G'~ s'x Das Gewicht der des Hauptgetriebes, so entf/illt auf C 1 die Masse ml = -~- + g 11 9 x

    Kurbel sei G. Auf der Gegenseite der Kurbel bringen wit im Abstand x yon 0 eine Masse ~-

    an, die im Laufe der weiteren Rechnung bestimmt wird. Die gesamte Massenkraft des Ge- triebes erhalten wir, indem wir die in Cn, CI, B, S und X sitzenden Massen mit den in (x2), (I3) und (14) ermittelten Beschleunigungen multiplizieren und addieren. Wir legen auch dabei das Koordinatensystem (x 1, Yl) mit x 1 als reeller und Yl als imaginiirer Achse zugrunde. Beachten wir noch, dab die Massenkraft m,, ~. mit der xyAchse den Winkel fin bildet, also bei komplexer Rechnung mit m, ~n e ~8" einzusetzen ist, so wird die Gesamt- massenkraft

  • I'Ban4x929. IZiekert: Beitrag zur Theorie des Massenausgleiches yon Sternmotoren. 19

    z -~- ZSqq'n J" tog/'[ei~~ e- - iF l I ~ ei3'* -- e -- ~/~'*I e i /~2 i -

    + e2iFx -- e-2 i t~l I e2/fl" - - e--~i~" ~ - - 2** 2i -{- 2U'~1 - -

    e2 i~ + e - 9'i~I I~ne 2i3" + e -2 i0. el3. + e- i3 .

    a'~, c; sl Hieraus fo]gt unter Beachtung yon m~ =- -~-+ ~-~-

    n=2

    1 9 g r ~/r

    e i~" --zi_e -*/~I eie"

    (z5)

    Aus praktischen Griinden machen wir alle Nebengetriebe einander gleich, so dab also m, ~ rn a = m4 . . . . . m wird. AuBerdem verteilen wir die Anlenkpunkte G~ auf einem Kreis, was c a = c a ~ c 4 . . . . . c bedeutet. Endlich w~ihlen wit zykl isch-symme- trische Anordnung der Gleitbahnen, d. h. der Winkel fl zwischen zwei Gleitbahnen wird fl ~ 2 ~/z. Dann sind obige Summen als geometrische Reihen in geschlossener Form SUmmierbar und wir erhalten

    e 2i/? [e (z-1)2i# - - I] = O, ( I ' ) n~ + m e~a -

    (. ,) sl r GT+r G;+G,~ +Gs, Xx ~ rG~ _ rGi ~ + , o*

    G~' G s

    n=2

    Damit Ausgleich yon ~ eintritt, mfissen - - als notwendige und hinreichende Bedin- gung - - die Faktoren yon d~l, e-~l , e~ und e -ei~~ je fiir sich verschwinden. Also

    . muft sein 2

    m~_~-L x; 'm. e~- - - o , (I)

    a' ' ~," 2 a ~ 2x 2 ~ a~ ,1 + + +~v~,~=o (II) ~ i~ "-7- 7 -7 - - g ,

    z

    2( ) mt~ 1 + m,~2~e - ta . - - 2m~,21 + m, da . = o . (IV) r

  • 20 R ieker t : BeiCrag zur Theor ie des Massenausg le iches yon Sternmotoren . Ingenieur.Archiv

    Beachtet man, dab x , . . . .

    (IV") mitm i = m

    e2~# [e(Z- i )2~# _ ~] e3~#[e (~-1)8i#- x] __ 2.mx. l i e 21# z m, 2., + re, L , e s i# - :t

    + m ~Ic e~#[e ( ' - i )$# _ ~] = o, ( I I I ' )

    r e ~#- z

    e- s# [e - (~ - i>~ _ x] k l * e ~# [e ( ' - - i )~# _ x.] ~I AI "-~ ~ lm -- eft __ Z m Xn t l (Z - - I ) "-~ m - - = O. (IV')

    e x r e i# - - x

    AUS (II') folgt die Gr6Be des Gegengewichtes X, falls man fiber x wi l lk i i r l ich verftigt. Da z/5 = 2 ~ ist, so wird e ~'~0 = I (k = I , 2, 3 . 9 .), so dab s imt l i che obigen Bd iche

    yon der Form

    e k i#- I

    dann den Wef t - - I bekommen, wenn e ~a + I i s t , was aber wegen /5 = 2 ~/z auch /~ + z .# (# = I , 2, 3 9 9 .) bedeutet . Im Fal le/~ = I , also k = z, wird der Wert des Bruches (z - - x), wie ein Grenzfibergang ergibt. Um (I') zu erfii l len, ist z = 2 zu verbieten, da sonst auf der l inken Seite yon (I') ein posit iver Wel t sti inde. Dann aber erhii lt man aus (I') im Fal le z >

    ,, Gx ll ,, , s" m x=~n oder auch Gi + , s l =G~+G~-~. . (I7)

    Diese Forderung ist auch I/Jr den Fall, dab G[ > G" und G~' = G~ ist, dadurcll erf/illbar, dab man s~ > s[ macht .

    N immt man auBerdem z > 3, so folgt aus (In') und (IV')

    m 1 2, - - mk, + 2 mx. ~, - - m ~ = o, ( I I I " )

    ml/~l - -mk s 2m~nt l ( z - - I ) - -m )'~ ~ ~ , o . ( IV")

    - - t~ ist, so ergibt sich aus den Bedingungen (IIr') und I . r

    x - 2~ki r

    at - ~ xl

    + (z- i) 2 ~ kl

    ( I8 a)

    ( I8b)

    Diese beiden Gleichungen s ind nur dann mite inander vertri igl ich, wenn z = o oder c ----- o oder endl ich i t = o ist, was aber tr iv ia le oder prakt isch unm6gliche L6sungen sind.

    Wi r mfissen daher untersuchen, unter welchen Bedingungen die Restkraf t einen C

    Kle instwert annimmt. Aus (16) folgt mi tm i = m, ~ = -7 t~ und z/5 = 2

    c k~ c'l ~. = 89 [ t I - - t~ n -~ 2-T211 n - - -T - ] e~**l

    + A - - ~ . - - (z - - 1) 2 -V ~l 't. - - e -2 i~ l ; (z9)

    mit le ichtverst~ndl ichen Abki i rzungen gi l t auch

    = A e~l + B e -~ ' l .

    Der Maximalwert dieses Ausdruckes ist

    = IAI + IB1.

  • I. Band ~r929. Riekert: Beitrag zur Theorie des Massenausgleiches yon Sternmotoren. 2I

    A und B hingen linear yon 2~ ab. A wird Null, wenn 2, = ~ ist; B verschwindet f~r ;t. = 2~. Durch Vergleich yon (I8a) und (I8b) folgt, dab praktisch stets 2~' < 2~ ist. Dann aber beweist man auch leicht, dab [A [ ffir ,~ = ~,' kleiner wird als I B I ffir ,~. = ,~. In AbD. 2 wurde IAI, IB[ und ]gm~xi in Funktion yon 2~ qualitativ aufgetragen. Der g/in-

    stigste Wert ffir 2n ist demnach ~, = 2~'. Jedoch wird bei Werten -~ > o mit wachsender

    Zylinderzahl 2~' so klein, dab man dieses Lenk- stangenverhRltnis wegen der langen Schubstange nicht mehr ausf/ihren kann. Der Wert 2~, der in

    c (~ o) als Para- Abb. 3 als Funktion yon ~i mit -V

    meter aufgetragen ist, gibt stets Werte ~ > 2x.

    o/

    Abb. ~. Maximale Restkraft in Abl~ngigkeit yon ~..

    ~6

    o,2 I.

    Z

    / o o/ ot~ o,a ~r A, o~

    Abb. 3- ~.~ in Abh~ingigkelt van ~i.

    Macht man ~ =2 i , also 2~