I 6 Rieker t : Bei t rag zur Theorie des Massenausgleiches yon Sternmotoren. Ingenieur-Archiv

Beitrag zur Theorie des Massenausgleiches yon Sternmotoren. Von P. Riekert in Ludwigshafen.

i. AUgemeines. Der Massenausgleich yon Stemmotoren wurde bisher stets unter der Voraussetzung untersucht, dab alle Schubstangen direkt am Kurbelzapfen angreifen 1. Konstruktiv liiBt sich dies nicht durchfiihren, wean alle Zylinderachsen in einer Ebene liegen sollen. Man li~gt daher nut die Schubstange e ines Getriebes, des Hauptgetriebes, am Kurbelzapfen angreifen und lenkt die Schubstangen der Nebengetriebe an der Haupt- schubstange an. In den folgenden Abschnitten wird dieser Umstand bei der Ermit t lung

~ _ ~ s ~ s ~ ~ t ] , ~ des Massenausgleiches be- rticksichtigt werden.

,__~ 2. Kinematik des Haupt- ' ~ ~ und eines Nebengetriebes.

An die Kurbel OB (Abb. I), die mit der

i G ~ ~ ~ . -~..~ ] xr AchsedesHauptgetriebes ~ ~ ~ (H.G.) den Winkel ~P1

bildet, ist die Haupt- schubstange B C 1 ange- lenkt. An dieser greift die Sehubstange G,~C,, des Nebengetriebes (N.G.) im Punkte G,~ an. Der

Abb. t. Sehematische Darstelhmg und Bezeichnungen des Haupt- uad eines Nebengetriebes. Punkt G. ist dabei geo-

metrisch durch den (festen) Winkel ?a und die Strecke BG, = cn bestimmt ; ferner ist der Winkel zwischen Haupt- and Nebengetriebeachse ft, . Fiihrt man noch als HilfsgrSBen die Winkel ~v 1 und ~v~ der Schubstangen mix den Getriebeachsen ein, so folgt aus Abb. i die Beziehung

5~ BG,,F., = ~x --l- ?. --fla. (I)

Der Punkt C x des Hauptgetriebes, der mit dem Mittelpunkt des Kreuzkopfzapfens bzw. Kolbenbolzens identisch ist, ist in dem Koordinatensystem (x 1 , Yx) dutch die Streeke x 1 festgelegt. Aus Abb. I ergibt sich

x~ = - - r cos 91 - - lx cos ~o 1 (2) und auBerdem

r sin ~o x = l x sin ~x" (3)

Auf iiahnliche Weise gewinnt man aus Abb. I unter Beachtung yon Gleichung (I)

x~ = - - r cos (q~x + fl,~) -- ca cos (~o x + ?;, - - fin) - - I,, cos ~o~ und

(4)

(5) r sin (~1 + fla) = ca sin (~o 1 + ))~ - - fl~) -t- In sin ~a.

Mit der Abkfirzung 21 = ~ ( = Lenkstangenverh/iltnis) erh~ilt man aus (3)

sin ~o I ---- 21 sin ~01, (6)

1 Als ausfahrlichste Darstel lung vgl. man etwa: P. Riekert, Der Massenausgleich yon Reihen- motorem insbesondere fiir die Glieder h0herer Ordnung, Diss. S tu t tga r t I928.

I . B a n d z 9 ~ 9 , Riekert: Beitrag zur Theorie des Massenausgleiches yon Sternmotoren. x 7

und da 2 , < 1 ,

2 ~ 2~ cos ~01 = i Z - - t~ sin z/0. ~ I - - "'~ sin ~ 9x = I - - ~- (�89 - - �89 cos 2 9x)-

Aus GIeichung (5) ergibt sich mit den Abkiirzungen

(7)

die Beziehung

w o r a u s

~ t . = ~ und 2 n = i-? (8)

sin *Pn ---- In sin (gh + fi.) - - un sin (Vz + ~'n - - f in ) , (9)

cos ~o n ~ I -- �89 sin ~ Vn ---- I -- ~ [I~ sin ~ (~o I +/g.)- 2 ~n An sin (~o, +/gn) sin (V, + Zn -- 13.)

+ ~.~ sin~ (~0, + r . - - fin)].

Durch trigonometrische Umformungen l~iBt sich hieraus mit Hilfe von (6) und (7) Vx eliminieren. Da die Gr613en 1,, 2n und ~. praktisch yon ungefihr gleieher Gr613en- ordnung sind, so kann man entsprechend den schon oben gemachten VernachlRssigungen sehreiben

x ;~. ;L~" sin 2 fin sin - - ~n tn t , COS fin cOS 0'n - - fin) cos ~ . = z ~ - - ~ c o s 2 fi. cos 2 ~v x + ~- 2 9~

+ ~nl .2x cos fin Cos (~n - - ft.) cos 2 i% - - 2 ~.2n cos fin sin (Yn - - fin) sin 9%

- - ~ , . t n t z s in fin cos (Tn, - - fi-) sin 2 9x - - 2 ~t . / . sin fin sin (7,, - - fin) cos 9z

+ ~" ~ ] - - ~ "" cos 2 0 ' . - - fin) + ~ t x sin 2 (y. - - fin) sin 9x �9

Mit dem Wert yon cos %en geht man sodann in (4) ein und bekommt nach geh~rigem Ordnen, wenn man noch die iiir die folgende Untersuchung unwesentliehen konstanten Glieder summariseh mit an bezeichnet,

Zt* 2 ~ " x. = a,,+ sin 9~ [-- In ~. I. COS fin sin O'n -- fiD + y ~n 'q sm 2 (r- -- fi-)

+ c. ~,sin ( 7 - - fi-) + r sin fin]

+ .sm l

l ~ I. 19

]~benso folgt aus (2) und (7)

x1 = , [al - - cos ~ - - ~ cos 2fvz] �9 (II)

Die Gleichung (IO) liiI]t sich dadurch vereinfachen, dab man P. = fin vc~hlt; diese Verein- fachung bedeutet keine EinschriEnkung, da sich diese Forderung im Laufe der weiteren Rechnung als notwendig erwiesen hRtte, um den bestm6glichen Massenausgleich zu gew~hrleisten.

Bei der Ermit t lung des Massenausgleiches diirfen wir vom Ungleichf6rmigkeits- grade der Maschine absehen, also gleichf6rmigen Umlauf annehmen, ohne dab sich die Bedingungen des Ausgleiches ~ndern wiirden; denn eine Maschine ausgleichen bedeutet,

18 Riekert: Beitrag zur Theorie des Massenausgleiches yon Sternmo• Ingenieur-Archiv

den Gesam'tschwerpunkt aller Getriebeteile zu einem ruhenden Punkte zu machen, was aber unabh~ingig yore gleichf6rmigen oder ungleichf6rmigen Gang der Maschine geschehen kann.

Nimmt man also der Einfaehheit halber gleichf6rmigen Gang des Motors an, so folgt aus (IO) und (II) durch zweimalige Differentiation nach der Zeit t (mit iibergesetzten

dq~ Punkten angedeutet) unter der Voraussetzung 7, = fl,; und mit eo = ~7 fiir die Beschleu-

nigung ~n bzw. ~ 1.

r eo 2 { - - sin 91 sin fl~ + cos 91 cos

+ sin 2 91 I - / . s i n 2 fl,~ + 2 u. ;tlsin ~ 1

r + c o s 2 91 /~ . , , c o s 2 fl,, - - 2 n,, ;tl c o s , e , , + / J I...

und

x'l = rr [COSTx + ~lcos 2~x] �9 (13)

Die Beschleunigung des Schwerpunktes S der Kurbel, der yon 0 den Abstand s hat, er- mittelt sich bezogen auf das Koordinatensystem (xl, Yl) mit Xl als reeller und Yl als ima- gin/irer Achse zu

d' (sei(~_~,)) ~ e _ i ~ ' bs = ~ = s . (14)

Die Beschleunigung der Punkte B und X folgt hieraus, indem man s durch r bzw. -- x ersetzt.

3. Die Massenkriifte des Sternmotors und deren Ausgleich. Wir nehmen nunmehr an, dab ein Motor mit einem Hauptgetriebe und ( z - I) Nebengetrieben, also z Zylindern, vorliege. Die Ermitt lung der Massenkriifte wird am einfachsten, wenn man die Schubstangen durch Ersatzmassen ersetzt, die an geeignete Punkte gelegt werden. Naeh delia Schwerpunktssatze der Dynamik kann man hinsichtlich des Spieles der Massen- kriifte mit zwei Ersatzmassen auskommen, wobei diese einen mit der zu ersetzenden Masse gemeinsamen Schwerpunkt haben mfissen. Ist S~ der Schwerpunkt der Nebenpleuel G~ C~, die das Gewicht G n habe, und hat S n yon G,; den Abstand sn, so sind die Ersatz- .:) O:s, massen der Nebenschubstange in G~ und C,~ bzw. T I - - ~ T ~ " Ist G~ das Kolben-

G'.' G" s, gewicht des Nebengetriebes, so ist die gesamte in C,, vereinigte Masse m n = -~- + -~- ]-~-.

Unter S t sei der Schwerpunkt der Hauptschubstange B C x einschlieBlich der Ersatzmassen in G n verstanden. Ist ferner G~ das Gewicht der Hauptschubstange samt den Ersatzmassen in G, und s~ der Abstand des Schwerpunktes S t vom Kurbelzapfen, so kann diese durch

die Massen Gg ( i - - 71s~) in B und G~y x-~s~ in Cx ersetzt werden. Bedeutet G~' das Kolbengewicht

G'~' G'~ s'x Das Gewicht der des Hauptgetriebes, so entf/illt auf C 1 die Masse ml = -~- + g 11 �9 x

Kurbel sei G. Auf der Gegenseite der Kurbel bringen wit im Abstand x yon 0 eine Masse ~-

an, die im Laufe der weiteren Rechnung bestimmt wird. Die gesamte Massenkraft des Ge- triebes erhalten wir, indem wir die in Cn, CI, B , S und X sitzenden Massen mit den in (x2), (I3) und (14) ermittelten Beschleunigungen multiplizieren und addieren. Wir legen auch dabei das Koordinatensystem (x 1, Yl) mit x 1 als reeller und Yl als imaginiirer Achse zugrunde. Beachten wir noch, dab die Massenkraft m,, ~. mit der xyAchse den Winkel fin bildet, also bei komplexer Rechnung mit m, ~n e ~8" einzusetzen ist, so wird die Gesamt- massenkraft

I'Ban4x929. IZiekert: Beitrag zur Theorie des Massenausgleiches yon Sternmotoren. 19

z -~- ZSqq 'n J" tog/'[ei~~ e - - i F l I ~ ei3'* -- e -- ~/~'*I e i / ~ 2 i -

+ e2iFx -- e - 2 i t ~ l I e2/fl" - - e--~i~" ~ - - 2** 2i -{- 2 U ' ~ 1 - -

e 2 i ~ + e - 9'i~I I~ne 2i3" + e -2 i0 . el3. + e - i 3 .

a'~, c; sl Hieraus fo]gt unter Beachtung yon m~ = - - ~ - + ~-~-

n = 2

1 �9 g r ~/r

e i~" --zi_e -*/~I eie"

(z5)

Aus praktischen Griinden machen wir alle Nebengetriebe einander gleich, so dab also m, ~ rn a = m4 . . . . . m wird. AuBerdem vertei len wir die Anlenkpunkte G~ auf einem Kreis, was c a = c a ~ c 4 . . . . . c bedeutet. Endlich w~ihlen wi t zykl i sch-symme- trische Anordnung der Gleitbahnen, d. h. der Winkel fl zwischen zwei Gleitbahnen wird fl ~ 2 ~/z . Dann sind obige S u m m e n als geometrische Reihen in geschlossener Form SUmmierbar und wir erhalten

e 2i/? [e ( z -1 )2 i# - - I] = O, ( I ' ) n~ + m e~a -

( . , ) sl r GT+r G;+G,~ +Gs, X x ~ rG~ _ rGi ~ + ,

o*

G~' G s

n = 2

Damit Ausgleich yon ~ eintritt, mfissen - - als notwendige und hinreichende Bedin- gung - - die Faktoren yon d~ l , e - ~ l , e ~ und e -ei~~ je fiir sich verschwinden. Also

. muft sein 2

m ~ _ ~ - L x ; 'm. e ~ - - - o , (I)

a' ' ~," 2 a ~ 2 x • 2 ~ a~ ,1 + + + ~ v ~ , ~ = o (II) ~ i~ "-7- 7 - 7 - - g ,

z

2( ) mt~ 1 + m,~2~e - t a . - - 2 m ~ , 2 1 + m , d a . = o . (IV) r

2 0 R i e k e r t : Be iCrag z u r T h e o r i e d e s M a s s e n a u s g l e i c h e s y o n S t e r n m o t o r e n . Ingenieur.Archiv

B e a c h t e t man , d a b x , . . . .

(IV") m i t m i = m

e2~# [ e ( Z - i ) 2 ~ # _ ~] e3~#[e (~-1)8 i#- x] __ 2 . m x . l i e 21# z m , 2., + re, L , e s i # - :t

+ m ~Ic e~#[e ( ' - i ) $ # _ ~] = o , ( I I I ' )

r e ~ # - z

e - s# [ e - (~ - i>~ _ x] k l * e ~# [ e ( ' - - i ) ~ # _ x.] ~ I AI "-~ ~ lm -- eft __ Z m Xn t l (Z - - I ) "-~ m - - = O. (IV')

e x r e i # - - x

AUS (II') folgt die Gr6Be des Gegengewichtes X, fal ls m a n fiber x wi l lk i i r l i ch verf t ig t . D a z/5 = 2 ~ ist , so wi rd e ~'~0 = I (k = I , 2, 3 . �9 .), so d a b s i m t l i c h e obigen B d i c h e

yon der F o r m

e k i # - I

d a n n den W e f t - - I b e k o m m e n , wenn e ~ a + I i s t , was abe r wegen /5 = 2 ~ / z auch /~ + z . # (# = I , 2, 3 �9 �9 .) bedeu te t . I m Fa l le /~ = I , also k = z, w i rd de r W e r t des Bruches (z - - x), wie e in Grenzf ibergang ergibt . U m (I') zu erfi i l len, is t z = 2 zu ve rb ie t en , d a sons t a u f de r l i nken Seite yon (I ') e in pos i t ive r W e l t s t i inde. D a n n abe r erhii l t m a n aus (I ') im Fa l l e z >

,, Gx ll ,, , s" m x=~n oder auch Gi + , s l =G~+G~-~.. (I7)

Diese Forderung ist auch I/Jr den Fall, dab G[ > G" und G~' = G~ ist, dadurcll erf/illbar, d a b m a n s~ > s[ mach t .

N i m m t m a n auBerdem z > 3, so folgt aus (In') u n d (IV')

m 1 2, - - m k , + 2 m x . ~, - - m ~ = o , ( I I I " )

m l / ~ l - - m k s 2 m ~ n t l ( z - - I ) - - m )'~ ~ ~ , o . ( IV")

- - t~ ist , so e rg ib t sich aus den Bed ingungen (IIr ') u n d I . r

x - 2~ki r

at - ~ xl

+ (z- i) 2 ~ kl

( I8 a)

( I 8 b )

Diese be iden Gle ichungen s ind nu r d a n n m i t e i n a n d e r ver t r i ig l ich, wenn z = o oder c ----- o oder endl ich i t = o ist , was abe r t r iv ia l e oder p r ak t i s ch unm6gl iche L6sungen sind.

W i r mfissen d a h e r un te r suchen , u n t e r welchen Bed ingungen die R e s t k r a f t e inen C

Kle ins twe r t a n n i m m t . Aus (16) folgt m i t m i = m, ~ = -7 t~ u n d z/5 = 2

c k~ c'l ~. = �89 [ t I - - t~ n -~ 2 - T 2 1 1 n - - - T - ] e~**l

+ A - - ~ . - - (z - - 1) 2 -V ~l 't. - - e - 2 i ~ l ; (z9)

mi t l e i ch tve r s t~nd l i chen Abki i r zungen g i l t auch

= A e ~ l + B e - ~ ' l .

Der Max ima lwer t dieses Ausdruckes is t

= IAI + IB1.

I. Band ~r929. Riekert: Beitrag zur Theorie des Massenausgleiches yon Sternmotoren. 2I

A und B hingen linear yon 2~ ab. A wird Null, wenn 2, = ~ ist; B verschwindet f~r ;t. = 2~. Durch Vergleich yon (I8a) und (I8b) folgt, dab praktisch stets 2~' < 2~ ist. Dann aber beweist man auch leicht, dab [A [ ffir ,~ = ~,' kleiner wird als I B I ffir ,~. = ,~. In AbD. 2 wurde IAI, IB[ und ]gm~xi in Funktion yon 2~ qualitativ aufgetragen. Der g/in-

stigste Wert ffir 2n ist demnach ~, = 2~'. Jedoch wird bei Werten -~ > o mit wachsender

Zylinderzahl 2~' so klein, dab man dieses Lenk- stangenverhRltnis wegen der langen Schubstange nicht mehr ausf/ihren kann. Der Wert 2~, der in

c ( ~ o) als Para- Abb. 3 als Funktion yon ~i mit -V

meter aufgetragen ist, gibt stets Werte ~ > 2x.

o/

Abb. ~. Maximale Restkraft in Abl~ngigkeit yon ~..

~6

o,2 I.

Z

/ o o/ ot~ o,a ~r A, o~

Abb. 3- ~.~ in Abh~ingigkelt van ~i.

Macht man ~ = 2 i , also 2~ <~1 <2~, so wird gem~B (I9)]Kmax]= meo~gc2s~; dieser Wert ist wegen des Faktors z bei groBen Zylinderzahlen nicht unbetrichtlich.

Be/spiel: z = I I , c = 5 c m , r = x o c m , co----7 osek -i, ~ = o , oozkgcm-isek ~, ~l ----- o,25 gibt mit ~ ~ ~l die maximale Restkmft [Kmaxl = 33,6 kg. In diesem Falle w~ire ~ ' = ~ und damit optimal [Km~x[ = mo~ 2 z c ~';tz = 8,4 kg.

Man kann allerdings diese Restkraff grunds~tzlich dadurch beseitigen, dab man ge- m~l] (i9) zwei Gegenmassen mit doppelter Maschinendrehzahl entgegengesetzt umlaufen l~0t; man kommt mit einer Masse aus, wenn ~ = ~ bzw. An = 2~' gemacht wird.

4. Zusammenfassung. 1YIan kann einen Sternmotor mit mehr als drei Zylindern dann am besten ausgleichen, werm man die Zylinder zyklisch-symmetrisch verteilt und auch die Anlenkpunkte der Nebenpleuel m6glichst nahe dem Kurbelzapfen in zyklischer Symmetrie anordnet, ferner die auf den Kreuzkopfzapfen (Kolbenbolzen) reduzierten Massen ffir a11e Getriebe gleieh groB macht und auf der Kurbelwange eine Gegenmasse nach Gleichung (II') anbringt. Die Nebenschubstangen soUten nicht kleiner als die I-Iauptschubstange gewihlt werden.

(Eingegaugen am x. September x929.)