Beispiel eines angeordneten, abernicht-archimedisch angeordneten Körpers

Thomas El Khatib

16. November 2007

MotivationEs blieb unklar, ob Anordnung in einem Körper in jedem Fall auch archimedischeAnordnung dieses impliziert, vor allem, weil nur wenige angeordnete Körper vorgestelltwurden - R, Q und Q[x]/(x2 − 2)Q[x] =

{a+√

2 · b | a, b ∈ Q}

. Stattdessen wurdeauf Literatur (Behrends) verwiesen, die dem Autor zu dem Zeitpunkt der Niederschriftdieses Artikels nicht zur Verfügung stand (und er zu faul war, sie sich aus der Biblio-thek auszuborgen).Außerdem finden sich bei der Untersuchung des hier betrachteten Körpers viele Be-griffe und Konzepte aus den Lehrveranstaltungen zur Analysis und zur Linearen Al-gebra der ersten Wochen des ersten Semesters wieder. Es ist sogar so, dass die Kon-struktion dieses Beispiels sich vollständig auf diesem Kenntnisstand durchführen lässt,wovon sich die LeserIn überzeugen sollte.

Hauptteil

ErinnerungEs wird als bekannt vorausgesetzt, dass (K[x],+, ·) für einen Körper K die struk-turierte Menge aller Polynome mit Koeffizienten aus K darstellt und als solche einkommutativer, nullteilerfreier Ring mit Einselement ist.

DefinitionenNaive Grundmenge

Im Folgenden wird der (Funktionen-)Körper der rationalen Funktionen konstruiert/untersucht.Wir beginnen mit der vermeintlichen Grundmenge:

Definition. Es sei

R ={p

q| p, q ∈ Q[x], q 6= 0

}also die Menge aller Paare von rationalen Polynomen, wobei die zweite Komponentenicht das Nullpolynom sein darf.

Man beachte, dass die Schreibweise als Bruch rein suggestiv ist und an die Kon-struktion der rationalen Zahlen erinnern soll, a priori aber noch nichts über die Strukturauf R aussagt.

1

Partitionierung der Ausgangsmenge

Man könnte dem Körper zwar R zu Grunde legen, müsste sich dann aber mit Zwei-deutigkeiten beschäftigen oder diese gekonnt ignorieren. Im Zuge des Versuchs dersauberen Definition, wird dieses „Hinwegsehen“ über gleiche „Brüche“ so formalisiert,wie man es auch bei den rationalen Zahlen tun sollte.Zu dem Zweck wird die Äquivalenzrelation ∼ wie folgt definiert:

Definition. Seien r, s ∈ R mit r = pq , s = p̃

q̃ , dann sei

r ∼ s ⇔ p · q̃ = p̃ · q̃

Wir lüften hier also das Geheimnis um die Schreibkonvention mit dem Bruchstrichund sehen solche rationalen Funktionen als äquivalent an, die sich durch „Kürzen“ und„Erweitern“ auf dieselbe Form bringen lassen.∼ ist eine Äquivalenzrelation, weil sie auf der Gleichheitsrelation basiert. Hier nur derNachweis der Transitivität:

Beweis. Seien r1 = p1q1, r2 = p2

q2, r3 = p3

q3∈ R mit r1 ∼ r2 und r2 ∼ r3, d.h.

p1 · q2 = p2 · q1 ∧ p2 · q3 = p3 · q2

Daraus lässt sich folgern

p1 · q2 = p2 · q1q3 6=0⇔

q3 · p1 · q2 = q3 · p2 · q1 ⇔(p1 · q3) · q2 = q1 · (p2 · q3) ⇔(p1 · q3) · q2 = q1 · (p3 · q2) ⇔

(p1 · q3) · q2 = (p3 · q1) · q2Nullteilerfreiheit⇒

p1 · q3 = p3 · q1

also r1 ∼ r3.

∼ induziert eine Partitionierung von R in paarweise disjunkte Äquivalenzklassen.Für r, s ∈ R gelte also

[r] = [s] ⇔ r ∼ s

Definition. Man definiert nun den Grundmenge des Körpers der rationalen Funktionenals Menge der Äquivalenzklassen von R

K = R/ ∼= {[r] | r ∈ R}

Der Bequemlichkeit halber verwenden wir weiterhin die vonR gewohnte Schreibkon-vention. Mit r ∈ K ist also im Folgenden immer [r] ∈ K gemeint.

Operationen

Definition. Es sei

+ : K ×K → K(p

q,r

s

)7→ p · s+ r · q

q · s

die Addition auf K.

2

Beweis. Es wird gezeigt, dass die Operation abgeschlossen und wohldefiniert ist.(K,+) ist abgeschlossen, denn es ist p · s+ r · q ∈ Q[x] und q · s ∈ Q[x]∗ wegen derNullteilerfreiheit von Q[x].+ ist wohldefiniert:Seien p

q = p̃q̃ und r

s = r̃s̃ , dann gilt

(p · s+ r · q) · (q̃ · s̃) = p · s · q̃ · s̃+ r · q · q̃ · s̃= (p · q̃) · s · s̃+ (r · s̃) · q · q̃= (p̃ · q) · s · s̃+ (r̃ · s) · q · q̃= p̃ · s̃ · (q · s) + r̃ · q̃ · (q · s)= (p̃ · s̃+ r̃ · q̃) · (q · s)

und damitp · s+ r · q

q · s=p̃ · s̃+ r̃ · q̃

q̃ · s̃

Definition. Weiterhin sei

· : K ×K → K(p

q,r

s

)7→ p · r

q · s

die Multiplikation auf K.

Beweis. Es ist auch hier die Abgeschlossenheit und Wohldefiniertheit zu zeigen:(K, ·) ist abgeschlossen, denn es ist p · r ∈ Q[x] und q · s ∈ Q[x]∗ wegen der Nullteil-erfreiheit von Q[x].+ ist wohldefiniert:Seien p

q = p̃q̃ und r

s = r̃s̃ , dann gilt

(p · r) · (q̃ · s̃) = (p · q̃) · (r · s̃)= (p̃ · q) · (r̃ · s)= (p̃ · r̃) · (q · s)

und damitp · rq · s

=p̃ · r̃q̃ · s̃

Die rationalen Funktionen bilden einen KörperKörperaxiome

Beweis. Nun werden die Körperaxiome gezeigt:

3

A1 Seien pq ,

rs ,

tu ∈ K, dann gilt(

p

q+r

s

)+t

u=p · s+ r · q

q · s+t

u

=(p · s+ r · q) · u+ t · (q · s)

(q · s) · u

=p · s · u+ r · q · u+ t · q · s

q · s · u

=p · (s · u) + q · (r · u+ t · s)

q · (s · u)

=p

q+r · u+ t · s

s · u

=p

q+(r

s+t

u

)A2 Seien p

q ,rs ∈ K, dann gilt

p

q+r

s=p · s+ r · q

q · s=r · q + p · s

s · q=r

s+p

q

A3 01 ∈ K ist Nullelement, denn es gilt für alle p

q ∈ K

p

q+

01

=p · 1 + 0 · q

q · 1=p

q

A4 Sei pq ∈ K, dann ist −pq ∈ K sein additives Inverses:

p

q+−pq

=p · q + (−p) · q

q · q=p · q + (−(p · q))

q · q=

0q · q

=01

Das letzte Gleichheitszeichen begründet sich durch

0 · 1 = 0 = 0 · (q · q)

M1 Seien pq ,

rs ,

tu ∈ K, dann gilt(

p

q· rs

)· tu

=p · rq · s

· tu

=(p · r) · t(q · s) · u

=p · (r · t)q · (s · u)

=p

q· r · ts · u

=p

q·(r

s· tu

)

4

M2 Seien pq ,

rs ∈ K, dann gilt

p

q· rs

=p · rq · s

=r · ps · q

=r

s· pq

M3 11 ist das Einselement, denn es gilt für alle p

q ∈ K

p

q· 11

=p · 1q · 1

=p

q

M4 Sei pq ∈ K mit pq 6=01 , also p 6= 0, dann ist qp ∈ K sein multiplikatives Inverses:

p

q· qp

=p · qq · p

=p · qp · q

=11

Das letzte Gleichheitszeichen begründet sich durch

p · q · 1 = p · q = 1 · p · q

D Seien pq ,

rs ,

tu ∈ K, dann gilt

p

q·(r

s+t

u

)=p

q· r · u+ t · s

s · u

=p · (r · u+ t · s)

q · (s · u)

=p · r · u+ p · t · s

q · (s · u)

=p · r · u+ p · t · s

q · (s · u)· 11

=p · r · u+ p · t · s

q · (s · u)· qq

=(p · r · u+ p · t · s) · q

q · (s · u) · q

=p · r · u · q + p · t · s · q

(q · s) · (q · u)

=p · r · q · u+ p · t · q · s

(q · s) · (q · u)

=p · rq · s

+p · tq · u

=p

q· rs

+p

q· tu

Jetzt können wir tatsächlich vom KörperK der rationalen Funktionen sprechen unddiesen auf weitere Eigenschaften untersuchen.

5

Leitkoeffizientenfunktion

Definition. Von zentraler Bedeutung für die folgende Anordnung des Körpers ist λ,sozusagen die „Leitkoeffizientenfunktion“ auf dem Ring der rationalen Polynome:

λ : Q[x]→ Qλ(a0 + a1 · x+ . . .+ an · xn) = an

Satz. Diese Funktion hat folgende Eigenschaften:

1. Wenn deg(p) = deg(q), dann ist

λ(p+ q) = λ(p) + λ(q)

2. Wenn andererseits deg(p) < deg(q), dann ist

λ(p+ q) = λ(q)

3. Für die Multiplikation gilt

λ(p · q) = λ(p) · λ(q)

Bemerkung. λ ist also ein Gruppenhomorphismus zwischen (Q[x], ·) und (Q, ·).

Beweis. Seien p, q ∈ Q[x].

1. Wenn deg(p) = deg(q), dann sind p, q also von der Form

p = p0 + p1 · x+ . . .+ pn · xn

q = q0 + q1 · x+ . . .+ qn · xn

für ein n ∈ N. Nach Definition der Polynomaddition gilt

p+ q = (p0 + q0) + (p1 + q1) · x+ . . .+ (pn + qn) · xn

und damitλ(p+ q) = pn + qn = λ(p) + λ(q)

2. Wenn deg(p) < deg(q), dann sind

p = p0 + p1 · x+ . . .+ pn · xn

q = q0 + q1 · x+ . . .+ qn · xm

mit n,m ∈ N und n < m. Nach Definition der Polynomaddition gilt

p+q = (p0+q0)+(p1+q1)·x+. . .+(pn+qn)·xn+qn+1 ·xn+1+. . .+qm ·xm

und damitλ(p+ q) = qm = λ(q)

6

3. Seien

p = p0 + p1 · x+ . . .+ pn · xn

q = q0 + q1 · x+ . . .+ qn · xm

dann ist nach Definition der Multiplikation

p · q =n+m∑k=0

(k∑i=0

pi · qk−i

)· xk

also

λ(p · q) =n+m∑i=0

pi · qn+m−i = pn · qm = λ(p) · λ(q)

Positivbereich

Behauptung. Durch P ={pq ∈ K |

λ(p)λ(q) > 0

}ist ein Positivbereich von K definiert.

Beweis. Vorab muss geklärt werden, dass eindeutig entschieden werden kann, ob pq im

Positivbereich ist oder nicht (Wohldefiniertheit).Es ist klar, dass λ(p)

λ(q) ∈ Q, weil q 6= 0 und somit λ(q) 6= 0.Sei pq = r

s , d.h. p · s = r · q. Betrachte pq ∈ P , der andere Fall pq 6∈ P verläuft analog.

Es ist alsoλ(p)λ(q)

> 0

Angenommenλ(r)λ(s)

< 0

dann gälteλ(r)λ(s)

<λ(p)λ(q)

also

λ(r) · λ(q) < λ(p) · λ(s) ⇔λ(r · q) < λ(p · s) ⇒

r · q 6= p · s

was einen Widerspruch zu pq = r

s darstellt.

Es sind nun die beiden Eigenschaften des Positivbereichs zu zeigen

P1 Sei ein Element pq ∈ K mit pq 6=01 gegeben, dann gilt entweder λ(p)

λ(q) > 0 oder

−λ(p)λ(q) > 0 (weil Q angeordnet ist). Es ist −λ(p)

λ(q) = −λ(p)λ(q) = λ(−p)

λ(q) . D.h. es giltentweder pq ∈ P oder −pq = −pq ∈ P .

7

P2 Seien pq ,

rs ∈ P , d.h.

λ(p)λ(q)

> 0,λ(r)λ(s)

> 0

Für die Addition unterscheidet man zunächst:

1. Fall: λ(p), λ(q), λ(r), λ(s) > 0 oder λ(p), λ(q), λ(r), λ(s) < 0, in beidenFällen ist λ(p · s) > 0, λ(r · q) > 0 und λ(q · s) > 0, und damit folgt

λ(p · s)λ(q · s)

> 0

undλ(r · q)λ(q · s)

> 0

2. Fall: λ(p), λ(q) > 0 und λ(r), λ(s) < 0, oder λ(p), λ(q) < 0 und λ(r), λ(s) >0. Dann ist λ(p · s) < 0, λ(r · q) < 0 und λ(q · s) < 0, also ebenfalls

λ(p · s)λ(q · s)

> 0

undλ(r · q)λ(q · s)

> 0

Wenn also deg(p · s) < deg(r · g), dann gilt also

λ(p · s+ r · q)λ(q · s)

=λ(r · q)λ(q · s)

> 0

Auch wenn deg(p · s) > deg(r · g), gilt

λ(p · s+ r · q)λ(q · s)

=λ(p · s)λ(q · s)

> 0

Aus der Anordnung von Q folgt auch

λ(p)λ(q)

+λ(r)λ(s)

> 0 ⇔

λ(p) · λ(s) + λ(r) · λ(q)λ(q) · λ(s)

> 0 ⇔

λ(p · s) + λ(r · q)λ(q · s)

> 0

Wenn deg(p · s) = deg(r · q), dann gilt eben

λ(p · s+ r · q)λ(q · s)

=λ(p · s) + λ(r · q)

λ(q · s)> 0

In allen Fällen gilt also

p

q+r

s=p · s+ r · q

q · s∈ P

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Für die Multiplikation kann man direkt folgern

λ(p)λ(q)

· λ(r)λ(s)

> 0 ⇔

λ(p) · λ(r)λ(q) · λ(s)

> 0 ⇔

λ(p · r)λ(q · s)

> 0

d.h. pq ·rs = p·r

q·s ∈ P .

Ungültigkeit des Archimedischen AxiomsKommen wir also zum Kern der Untersuchung, der einem im Vergleich zur geleistetenVorarbeit kaum Anstrengung abverlangt.

Natürliche Zahlen

Jeder angeordnete Körper enthält die natürlichen Zahlen, also auch unser K. Da unserKörper auch die rationalen Zahlen umfasst, sind die natürlichen Zahlen sogar identischmit denen aus den rationalen Zahlen:

1 :=11, 2 :=

21, . . . , n :=

n

1=

n∑k=1

11, . . .

alsoNK =

{n1| n ∈ NQ

}wobei mit n das Polynom vom Grad 0 mit dem Leitkoeffizienten n ∈ NQ gemeint ist.

Beweis. NK ist die kleinste induktive Teilmenge von K, denn es gilt

1. 1 := 11 ∈ NK .

2. Wenn m = pq ∈ NK , also p ∈ NQ und q = 1Q, dann ist auch

m+ 1 =p

q+

11

=p

1+

11

=p · 1 + 1 · 1

1=p+ 1

1∈ NK

weil p+ 1 ∈ NQ.

3. Betrachte eine beliebige induktive Menge M . Weil M induktiv ist liegt 11 in M

und damit auch

n∑k=0

11

=

n∑k=0

1 · 1n∏k=0

1=

n∑k=0

1

1=n

1∈M

für alle n ∈ NQ.Also liegen alle n

1 in M , d.h. NK ⊆ M . Da M beliebig war, ist somit gezeigt,dass NK kleinste induktive Menge ist.

Wir können also im Folgenden schreiben: NK = N.

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Beschränktheit der natürlichen Zahlen im Körper der rationalen Zahlen

Behauptung. x1 ∈ K ist obere Schranke von N ⊂ K.

Beweis. Sei n1 ∈ N gegeben, dann gilt

λ(n)λ(1)

=n

1= n > 0

also n1 ∈ P .

Es gilt auch:λ(x)λ(1)

=11

= 1 > 0

und damit x1 ∈ P .Betrachte nun

x

1− n

1=x

1+(−n

1

)=x

1+−n1

=x · 1 + (−n) · 1

1=x+ (−n)

1

Es giltλ(x+ (−n))

λ(1)=

11

= 1 > 0

Und somit nach Schreibkonvention

x

1>n

1

Damit ist gezeigt, dass x1 obere Schranke von N ist.

FazitDamit ist also gezeigt, dass (K,+, ·, P ) ein angeordneter Körper ist, in dem das Archimedis-che Axiom nicht gilt.

Ausblick

VollständigkeitEin weiterer kritischer Punkt der Art und Weise, auf die der Stoff in den bisheri-gen Lehrveranstaltungen zur Analysis eingeführt wurde, ist die Definition der Voll-ständigkeit über Dedekind’sche Schnitte.

Erinnerung

Definition. Sei (K,+, ·, P ) ein angeordneter Körper und A,B ⊂ K, sodass gilt

i) A ∩B = ∅

ii) A ∪B = K

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iii) Für alle x ∈ A und y ∈ B gilt: x < y.

dann heißt (A,B) Dedekind’scher Schnitt von K. Falls ein x0 ∈ K existiert mit

x ≤ x0 ≤ y

für alle x ∈ A und y ∈ B, so nennt man x0 Schnittzahl von (A,B).

In der Vorlesung wurde definiert:

Definition. Ein angeordneter Körper (K,+, ·, P ) heißt vollständig, wenn jeder Dedekind’scheSchnitt (A,B) eine Schnittzahl x0 ∈ K besitzt.

Es wurde gefolgert

Satz. In einem vollständigen Körper gilt das Archimedische Axiom.

Fragen

Die obige Definition wirft gleich mehrere Fragen auf:

1. Gibt es Körper, die nicht vollständig, aber archimedisch angeordnet sind?

2. Gibt es Körper, die nicht angeordnet, aber - im Sinne der Anschauung - voll-ständig sind?

3. Gibt es Körper, die zwar angeordnet, aber nicht archimedisch angeordnet und -im Sinne der Anschauung - vollständig sind?

Antworten

1. Ja, den Körper der rationalen Zahlen, wie man leicht nachrechnen kann.

2. In der Tat, sogar einer der beiden wichtigsten Körper in der Analysis, der Körperder komplexen Zahlen C wird überlichweise als vollständig angesehen, obwohler nicht vernünftig angeordnet werden kann und somit eine der Grundvorausset-zungen für das Dedekind’sche Schnittaxiom wegfällt.

3. Wenn man den in diesem Artikel vorgestellten Körper aus reellen statt aus ratio-nalen Polynomen konstruiert, wird er anschaulich vollständig.

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