9
Physikpraktikum für Pharmazeuten Universität Regensburg Fakultät Physik 4. Versuch: Fadenpendel In diesem Versuch werden Sie mit den mechanischen Grundlagen ver- traut gemacht. Anhand eines Fadenpendels bestimmen Sie die Erdbe- schleunigung g.

4. Versuch: Fadenpendel - UKR · 2 Theorie 2.1 Dichteberechnung eines Körpers Die Dichte ρeines Körpers ist definiert als der Quotient aus der Masse mund dem VolumenV ρ= m V

  • Upload
    others

  • View
    2

  • Download
    0

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: 4. Versuch: Fadenpendel - UKR · 2 Theorie 2.1 Dichteberechnung eines Körpers Die Dichte ρeines Körpers ist definiert als der Quotient aus der Masse mund dem VolumenV ρ= m V

Physikpraktikum für PharmazeutenUniversität RegensburgFakultät Physik

4. Versuch: Fadenpendel

In diesem Versuch werden Sie mit den mechanischen Grundlagen ver-traut gemacht. Anhand eines Fadenpendels bestimmen Sie die Erdbe-schleunigung g.

Page 2: 4. Versuch: Fadenpendel - UKR · 2 Theorie 2.1 Dichteberechnung eines Körpers Die Dichte ρeines Körpers ist definiert als der Quotient aus der Masse mund dem VolumenV ρ= m V

1 Einführung

In diesem Versuch werden wir, was wir bisher über Statistik und Fehlerrechnung gelernthaben, zur Analyse eines physikalischen Experiments anwenden. Wir beginnen mit einemder frühesten Experiment, die in der Physik untersucht wurden, dem Pendel. Es bestehteinfach aus einem relativ kompakten und dichten Objekt mit der Masse m, das an einemleichten Draht mit konstanter Länge l aufgehängt ist und sich leicht um seine Ruhelageherum bewegt. Galileo Galilei fand bereits 1592 heraus, dass, wenn die Auslenkungklein genug ist (ein paar Grad), alle Oszillationen die selbe Zeit benötigen. AufgrundGalileos Beobachtungen wurde das Pendel als eine Uhr benutzt und war bis 1930 (!)die genaueste Technologie zur Messung der Zeit. Das Pendel ist das erste Beispiel füreinen harmonischen Oszillator, ein Konzept, welches allgegenwärtig in der Physik ist. Eingroßer Teil von in der Physik untersuchten Systemen kann als harmonischer Oszillatormodelliert werden (z.B. Massen an Federn, Radioantennen, Erdbeben, RLC Schaltungen,atomare Übergänge, Vibrationen in Kristallen, Quantenpunkte, Elektronen in starkenMagnetfelder, etc., etc.).Dies ist das erste physikalische System, dem Sie begegnen. Daher müssen wir zuerst einigeGrundlagen von physikalischen Konzepten überdenken. Eigentlich brauchen wir nur einPrinzip, das Zweite Newtonsche Gesetz oder Grundgesetz der Dynamik. Sie haben esvielleicht bereits in der Schule kennengelernt, wo es „F=ma“ genannt wurde. F=ma istalles das Sie sich (im Umfang dieses Praktikums) über Mechanik merken müssen. Dasist alles. Es ist wirklich nicht viel, behalten Sie es bitte daher gut im Gedächtnis. Wirwerden dem Gesetz im Versuch 4 wieder begegnen.Für diesen Versuch müssen Sie die Konzepte der Fehleranalyse und Fehlerfortpflanzungverstanden haben (siehe dazu Versuch 1). Wir starten daher mit einer einführendenAufgabe zur Berechnung des Fehlers der Dichte eines gegebenen Materials. Um sichangemessen auf diesen Versuch vorzubereiten, lesen Sie bitte dieses und das Skript desersten Versuches.

2

Page 3: 4. Versuch: Fadenpendel - UKR · 2 Theorie 2.1 Dichteberechnung eines Körpers Die Dichte ρeines Körpers ist definiert als der Quotient aus der Masse mund dem VolumenV ρ= m V

2 Theorie

2.1 Dichteberechnung eines KörpersDie Dichte ρ eines Körpers ist definiert als der Quotient aus der Masse m und demVolumen V

ρ = m

V=[ kgm3

]. (2.1)

Das Volumen eines Zylinders setzt sich aus der kreisförmigen Grundfläche und der Höhedes Zylinders zusammen:

V = Fläche×Höhe = A× h = πr2h. (2.2)

Die Dichte wird standardmäßig in der Einheit kg/m3 angegeben, jedoch können auchandere Größen, wie zum Beispiel 1 g/cm3 ≡ 1000 kg/m3 verwendet werden, die einenzusätzlichen Umrechnungsfaktor aufweisen.Die Präzisionswaage erlaubt eine genaue Messung des Gewichts und wird Ihnen von

den Betreuern vor dem Versuch erklärt. Nach der Formel 2.1 kann die Dichte berechnetwerden. Hierbei ist auf die Umrechnung der Einheiten zu achten.Um den Fehler der Dichte zu berechnen, benutzen wir die Regel der Summe der

Relativfehler für das Produkt und die Division, die im ersten Versuch erklärt wurde 1.Deswegen ist der Relativfehler für die Dichte ρp eines Parallelepipeds mit Kanten a, b,c:

∆ρpρp

=∣∣∣∣∆mm

∣∣∣∣+ ∣∣∣∣∆aa∣∣∣∣+ ∣∣∣∣∆bb

∣∣∣∣+ ∣∣∣∣∆cc∣∣∣∣ , (2.3)

und für die Dichte ρz eines Zylinders mit Höhe h und Radius r:

∆ρzρz

=∣∣∣∣∆mm

∣∣∣∣+ 2∣∣∣∣∆rr

∣∣∣∣+ ∣∣∣∣∆hh∣∣∣∣ . (2.4)

Der relative Fehler wird im Ergebnis immer in Prozent angegeben. Der absolute Fehlerfür diese Rechnung ergibt sich aus der Multiplikation des relativen Fehlers mit demZahlenwert der Dichte.

1Wiederholung: Der Relativfehler eines Produkts (oder einer Division) ist die Summe der Faktoren(oder des Dividends und des Divisors). Zum Beispiel, wenn

y = a1a2a3...

b1b2b3...,

dann∆yy

=∣∣∣∣∆a1

a1

∣∣∣∣+∣∣∣∣∆a2

a2

∣∣∣∣+∣∣∣∣∆a3

a3

∣∣∣∣+ ...+∣∣∣∣∆b1

b1

∣∣∣∣+∣∣∣∣∆b2

b2

∣∣∣∣+∣∣∣∣∆b3

b3

∣∣∣∣ ...,wobei ai und bi die Größen sind und ∆ai und ∆bi ihre Fehler.

3

Page 4: 4. Versuch: Fadenpendel - UKR · 2 Theorie 2.1 Dichteberechnung eines Körpers Die Dichte ρeines Körpers ist definiert als der Quotient aus der Masse mund dem VolumenV ρ= m V

2.2 Das FadenpendelEin Fadenpendel (auch mathematisches Pendel genannt) ist einfach ein Körper der Mas-se m, der am Ende eines Faden (mit vernachlässigbarer Masse) befestigt ist. Wenn derKörper aus dem Massenmittelpunktes am tiefsten Punkt ausgelenkt wird, beginnt derKörper bzw. das Pendel zurück in die Ruhelage zu schwingen. Durch den Schwung be-wegt sich der Körper weiter zu einem zweiten Umkehrpunkt, bevor sich die Bewegungwiederholt. Im idealen Fall ohne Reibung würde dieser Ablauf unendlich lange andauern.Jedoch in unserem Fall im Labor wird die Bewegung bei jedem Durchlauf abgebremstbis sich der Körper wieder in der Ruhelage befindet.Die verschiedenen Kräfte die auf den Körper wirken, werden in Abb. 2.1 dargestellt.

Diese sind zum Einen die Gewichtskraft G und zum Anderen die Spannungskraft desFadens R. Der Betrag der Gewichtskraft G zeigt immer nach unten in Richtung Erdmit-telpunkt und ist für den Körper immer gleich groß. Die Gewichtskraft |G| = mg hängtdabei nur von der Masse des Körpers m und der Erdbeschleunigung g = 9, 81m/s2 ab.Die Gewichtskraft kann dabei in zwei Komponenten zerlegt werden: die longitudinale

m

𝑅

𝐺

𝛼

𝐺𝑙

𝐺𝑡

Abbildung 2.1: Die verschiedenen Kräfte eines Fadenpendels.

Komponente Gl parallel zum Faden und eine transversale Komponente Gt, die senk-recht zum Fadens liegt. Die Komponente entlang des Fadens Gl wird komplett von derSpannungskraft R ausgeglichen. Die senkrechte Komponente Gt verursacht hingegen ei-ne Beschleunigung der Masse zum Ruhemittelpunkt. Der Betrag dieser Kraft ist gegebendurch

|Gt| = mg sinα, (2.5)wobei der Winkel α dem Auslenkwinkel des Fadens vom Ruhepunkt entspricht. Das

4

Page 5: 4. Versuch: Fadenpendel - UKR · 2 Theorie 2.1 Dichteberechnung eines Körpers Die Dichte ρeines Körpers ist definiert als der Quotient aus der Masse mund dem VolumenV ρ= m V

zweite Gesetz von NewtonF = ma (2.6)

beschreibt, dass die Änderung einer Bewegung durch eine Kraft F verursacht wird, wobeia die Beschleunigung und m die Masse des Körpers ist. Diese Gleichung lässt sich fürdie beschleunigende, transversale Komponente ebenfalls schreiben als

Gt = mat. (2.7)

Diese Kraft kann durch die Formel 2.5 ersetzt werden und man erhält folgende Glei-chung:

��mat(t) = −��mg sinα(t), (2.8)

in der wir das Minus-Vorzeichen benutzen, weil die Auslenkung α · l entgegengesetztder transversalen Komponente der Beschleunigung Gt ist. Der Winkel des Fadens unddie Beschleunigung hängen dabei von der Zeit t ab. Die Masse des Körpers m kommtauf beiden Seiten der Gleichung vor und kann deshalb gekürzt werden. Dies bedeutet,dass die Bewegung des Fadens unabhängig von der Masse des Körpers ist. Für kleine(α < 10◦) Auslenkwinkel hängt die Periodendauer T für eine Schwingung nur noch vonder Länge des Fadens ab2:

T = 2π√l

g. (2.9)

2.3 AufbauIn dem zweiten Teil des Versuchs wird die Periodendauer T der Schwingung des Pendelsals Funktion der Pendellänge l gemessen. Bei dem Pendel wird auf Grund der Aufhän-gung angenommen, dass es reibungsfrei schwingen kann. Die Reibung des Fadens undder Widerstand der Luft ist äußerst gering und kann daher vernachlässigt werden. DasFadenpendel ist wie in Abb. 2.1 aufgebaut.

2.4 Bestimmung der Erdbeschleunigung mithilfe des Graphensder Messwerte

Die Länge des Fadens l kann in einem Graphen auf der x-Achse und die Periodendauer Tauf der y-Achse aufgetragen werden. Die resultierende Kurve zeigt dabei eine gekrümmteForm (Abb. 2.2). Die Krümmung der Kurve deutet darauf hin, dass kein linearer Zu-sammenhang zwischen der Periodendauer und der Länge des Fadens besteht.

2−g sin(α) = d2

dt2 x ≈ d2

dt2 (lα). Weil für kleine Winkel sinα ≈ α gilt, kann man die folgende Differenti-algleichung schreiben: d2

dt2α(t) = − glα(t), wobei der Winkel α eine Funktion der Zeit ist. Die Lösung

dieser Gleichung ist bekannt: α(t) = c1 sin(√

glt+ c2), wobei c1 und c2 zwei Integrationskonstanten

sind. Für eine solche Funktion der Zeit ist die Frequenz durch f = 12π

√glund deswegen die Periode

durch T = 2π√

lggegeben.

5

Page 6: 4. Versuch: Fadenpendel - UKR · 2 Theorie 2.1 Dichteberechnung eines Körpers Die Dichte ρeines Körpers ist definiert als der Quotient aus der Masse mund dem VolumenV ρ= m V

Nach Formel 2.9 aus der Vorbereitung besteht für ein Fadenpendel folgender Zusammen-hang: T ∼

√l. Durch Quadrieren dieses Ausdrucks und durch Auftragen des Quadrats

der Periodendauer T 2 auf der y-Achse und der Länge l auf der x-Achse erhält man einengeraden Verlauf des Graphen (Abb. 2.3)).Es gibt viele verschiedene Möglichkeiten, wie die Werte voneinander abhängig sein kön-nen. Dieser neue quadratische Zusammenhang zwischen den beiden Größen kann ineinem weiteren Graphen sichtbar gemacht werden. Dazu wird einfach eine weitere Spal-te in Qti-Plot eingefügt, die mittels der Funktion „Spaltenwert setzen” versehen wird.Die Werte für T werden dabei in der neuen Spalte quadriert. Der neue Graph aus demQuadrat der Periodendauer und der Fadenlänge sollte nun eine Gerade ergeben. Dabeiist auf die geänderte Achsenbeschriftung zu achten.

Abbildung 2.2: Gekrümmter Verlauf der Periodendauer T in Bezug zur Fadenlänge l.

Mithilfe der Abbildung 2.3 kann die Erdbeschleunigung g [m/s2] bestimmt werden. DasQuadrat der Periodendauer ist nach obiger Formel (Gl. 2.9):

T 2 = 4π2

gl. (2.10)

6

Page 7: 4. Versuch: Fadenpendel - UKR · 2 Theorie 2.1 Dichteberechnung eines Körpers Die Dichte ρeines Körpers ist definiert als der Quotient aus der Masse mund dem VolumenV ρ= m V

Abbildung 2.3: Linearer Zusammenhang zwischen dem Quadrat der Periodendauer T 2

und der Fadenlänge l.

Ersetzt man nun die Periodendauer T 2 = y und die Fadenlänge l = x so entstehtzwischen den Größen x und y folgender, linearer Zusammenhang:

y = 4π2

gx. (2.11)

Dabei entspricht der Bruch vor dem x dem Anstieg des Graphen und wird als SteigungA = 4π2

g bezeichnet.

• Bestimmen Sie mithilfe der Qti-Plot Funktion Analyse - Linearer Fit die SteigungA der Graphen und dessen Fehler.

Durch Umformen der Gleichung 2.11 kann die Erdbeschleunigung berechnet werden:

g = 4π2

A. (2.12)

7

Page 8: 4. Versuch: Fadenpendel - UKR · 2 Theorie 2.1 Dichteberechnung eines Körpers Die Dichte ρeines Körpers ist definiert als der Quotient aus der Masse mund dem VolumenV ρ= m V

3 Versuchsdurchführung

3.1 Hinweise für den MessvorgangDie Pendellänge wird in diesem Versuch zwischen 10 und 90 cm variiert und lässt sichdurch eine cm-Skala sehr gut einstellen. Die menschliche Reaktionszeit beim Bedienender Stoppuhr verursacht den größten Messfehler. Die Reaktionszeit ist eine Zufallsvaria-ble, die einen zufälligen Fehler verursacht. Im ersten Versuch haben wir gelernt, dass derzufällige Fehler mit der Standardabweichung von wiederholten Messungen dargestelltwerden kann.Als erster Schritt dieses Versuchsteils sollen Sie zehn Mal die Dauer einer einzelnen

Pendelbewegung bestimmen. Der darstellerische Wert für die Periode T ist der Mittel-wert aus den 10 Einzelbewegungen. Der Fehler der Standardabweichung liegt norma-lerweise zwischen 0,1 s und 0,3 s. Dieser Fehler kann reduziert werden, wenn statt einerEinzelnen zehn aufeinanderfolgende Pendelbewegungen gemessen werden. Der Fehler fürdie gesamte Messung (d.h. 10 Pendelschwingungen) ist derselbe, jedoch reduziert sichder Fehler pro Pendelbewegung auf ein Zehntel (y = 0, 1x→ ∆y = 0, 1∆x).Im letzten Teil des Versuchs sollen Sie die Periode der Pendelbewegungen für zehn

verschiedene Längen messen. Bitte messen Sie für jede Länge zehn aufeinanderfolgendePendelbewegungen und tragen sie 1/10 der Messwerte in QTI ein. Die Messung der Zeitgeschieht über die bereitgestellten Stoppuhren.Wichtig für die Messungen sind außerdem folgende Punkte:• Lenken Sie das Pendel nicht zu weit aus. Für die Messungen sind kleine Amplitudennotwendig, daher reicht eine Auslenkung um etwa 10 Grad.

• Die effektive Länge des Pendels besteht nicht nur aus der Fadenlänge, sondern auchnoch aus dem halben Durchmesser der Kugel (bis zum Mittelpunkt der Masse).

3.2 AufgabenTeil I

• Berechnen Sie mithilfe der Formeln 2.3 und 2.4 die Dichte eines Kupfer- undAluminiumstücks inklusive der Fehlerrechnung und vergleichen Sie diese mit denLiteraturwerten von Ihren Betreuern.

Teil II

• Für l = 50 cm, messen Sie 10 mal die Zeit einer einzelnen Pendelbewegungen undbestimmen Sie den Mittelwert und die Standardabweichung (mithilfe einer Qti-

8

Page 9: 4. Versuch: Fadenpendel - UKR · 2 Theorie 2.1 Dichteberechnung eines Körpers Die Dichte ρeines Körpers ist definiert als der Quotient aus der Masse mund dem VolumenV ρ= m V

Plot Tabelle und der Spaltenfunktion Spaltenstatistik). Das ist der typische Fehlerfür Ihre einzelne Messung (ist er zufällig oder maximal?)

Teil III

• Messen Sie jetzt für l = 50 cm 10 mal eine Sequenz von 10 Oszillationen (insge-samt also 10·10=100 Oszillationen). Bilden Sie für jede Sequenz den Mittelwert.Sie werden 10 Mittelwerte haben. Bestimmen Sie den Mittelwert und die Standard-abweichung für die 10 Mittelwerte. Wie ist die Standardabweichung im Vergleichzum vorherigen Abschnitt?

• Wieso verringert sich der Fehler bei der Messung über mehrere Schwingungen?

• Führen Sie für jede Fadenlänge zwischen 10 und 90 cm (in 10 cm-Schritten) eineMessung der Zeit von einer Sequenz von 10 Schwingungen aus und bestimmen Siedie dafür benötigte durchschnittliche Zeit für 1 Schwingung. Stellen Sie das Ergeb-nis in einem Graphen mit der x-Achse (Fadenlänge l) und y-Achse (PendeldauerT 2) dar (T 2 [s2] gegen l [m], siehe Abb. 2.3) und bestimmen Sie die Erdbeschleuni-gung aus dem Graphen mithilfe von Gl. 2.9. Vergleichen Sie den ermittelten Wertmit dem Literaturwert.

3.3 Protokoll/VersuchsmitschriftNach jedem Praktikumsversuch muss von jedem Praktikant ein Protokoll angefertigtwerden. Das Protokoll sollte immer so geschrieben sein, dass es für sich selbst steht undauch ohne Anleitung noch erkennbar ist, welches Thema behandelt wurde und wie derVersuch ablief (Überschriften!!!).In der Regel wird vor jedem Versuch durch die Betreuer eine Einführung zum Themagegeben und eventuelle Aufbauten erklärt. In der Auswertung sollten die verwendetenFormeln stehen, Rechenwege und Ergebnisse gezeigt werden. Abschließend wird das Er-gebnis noch erklärt oder begründet.

Das Protokoll wird noch während des Praktikumversuchs erstellt und am Ende denBetreuern zur Durchsicht übergeben. Es kann handschriftlich oder per Computern imPraktikum erstellt werden - je nach Vorliebe des Praktikanten. Diagramme, Graphenoder Tabellen können über die Drucker im Praktikumsraum gedruckt werden.

9