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Introduccion a la topologıa

Beatriz Abadie

CENTRO DE MATEMATICAS

FACULTAD DE CIENCIAS

UNIVERSIDAD DE LA REPUBLICA

Agosto de 2013

i

Indice general

Capıtulo 1. Elementos de la teorıa de conjuntos 11.1. Preliminares 11.2. Cardinalidad 51.3. Numerabilidad 9

Capıtulo 2. Espacios metricos 172.1. Definiciones y ejemplos 172.2. Conjuntos abiertos en espacios metricos 202.3. Metricas equivalentes 24

Capıtulo 3. Espacios topologicos 273.1. Definiciones y ejemplos 273.2. Axiomas de separacion 333.3. Axiomas de numerabilidad 35

Capıtulo 4. Convergencia en espacios topologicos 454.1. Definiciones y ejemplos 454.2. Redes y propiedades topologicas 484.3. Ejemplos de convergencia en espacios de funciones 50

Capıtulo 5. Funciones continuas 525.1. Definiciones y ejemplos 525.2. El conjunto de Cantor 59

Capıtulo 6. Topologıa producto 656.1. Definiciones y ejemplos 656.2. Propiedades de la topologıa producto 66

Capıtulo 7. Espacios topologicos conexos 697.1. Definiciones y ejemplos 697.2. Conexion local y conexion por caminos 75

Capıtulo 8. Espacios metricos completos 818.1. Definiciones y ejemplos 818.2. Completacion de un espacio metrico 868.3. Algunos resultados en espacios metricos completos 90

Capıtulo 9. Espacios compactos 979.1. Definiciones y ejemplos 979.2. Compacidad secuencial y propiedad de Bolzano-Weierstrass 102

Capıtulo 10. Topologıa cociente 109

ii

Indice general iii

10.1. Definiciones y ejemplos 109

Bibliografıa 116

Lista de sımbolos 117

Indice alfabetico 118

Capıtulo 1

Elementos de la teorıa de conjuntos

1.1. Preliminares

En lo que sigue se dan por conocidas las nociones de union, interseccion ycomplemento de conjuntos. Repasaremos brevemente algunos resultados basi-cos.

Proposicion 1.1.1. (leyes de De Morgan)Sea {Aα}α∈I una familia no vacıa de subconjuntos de un conjunto U .

Entonces ( ⋃α∈I

Aα)c

=⋂α∈I

Acα y( ⋂α∈I

Aα)c

=⋃α∈I

Acα,

donde, si X ⊆ U , Xc indica el complemento de X con respecto a U .

Demostracion. Si x ∈ U ,

x ∈( ⋃α∈I

Aα)c⇐⇒x 6∈ ⋃

α∈I

Aα⇐⇒x 6∈ Aα ∀α ∈ I⇐⇒x ∈⋂α∈I

Acα.

Analogamente,

x ∈( ⋂α∈I

Aα)c⇐⇒x 6∈ ⋂

α∈I

Aα ⇐⇒∃ α0 ∈ I tal que x 6∈ Aα0⇐⇒x ∈⋃α∈I

Acα.

�

Definicion 1.1.2. Sean A1, A2, · · · , An conjuntos. El producto carte-siano A1 × A2 × · · · × An es el conjunto

A1 × A2 × · · · × An = {(a1, a2, ..., an) : ai ∈ Ai ∀i = 1, 2, · · · , n},donde (a1, a2, ..., an) = (b1, b2, ..., bn) si y solo si ai = bi para todo i = 1, · · · , n.

Repasamos a continuacion algunos subconjuntos especialmente importan-tes del producto cartesiano A × B: las funciones y, en el caso en que A = B,las relaciones de orden y las de equivalencia.

Definiciones 1.1.3. Una funcion f : A −→ B es un subconjunto delproducto cartesiano A×B que verifica la siguiente condicion: para todo a ∈ Aexiste un unico elemento b ∈ B tal que (a, b) ∈ f .

Como es habitual, escribiremos f(a) = b en lugar de (a, b) ∈ f . El conjuntoA es el dominio de la funcion f y B es su codominio.

La imagen por f de un subconjunto A0 de A es el conjunto

f(A0) = {f(a) : a ∈ A0}.La imagen Im(f) o rango de f es el conjunto f(A).

1

1.1. PRELIMINARES 2

La preimagen de un subconjunto B0 de B por f es el conjunto

f−1(B0) = {a ∈ A : f(a) ∈ B0}.La funcion

f : A −→ B

es inyectiva si a1, a2 ∈ A y a1 6= a2 implica que f(a1) 6= f(a2), y es sobre-yectiva si B = f(A). Una funcion es biyectiva o invertible si es inyectivay sobreyectiva.

Dadas dos funciones

f : A −→ B g : B −→ C,

su composicion g ◦ f es la funcion

g ◦ f : A −→ C

definida mediante(g ◦ f)(a) = g(f(a)).

Si f : A −→ B es biyectiva, su inversa es la funcion

f−1 : B −→ A

definida porf−1(f(a)) = a.

En ese caso, f−1 tambien es biyectiva y

(f−1)−1 = f.

La funcion identidad en un conjunto A es la funcion

idA : A −→ A

definida poridA(a) = a

para todo a ∈ A. Cuando esto no de lugar a confusion, escribiremos id enlugar de idA.

Observese que si f : A −→ B es invertible, entonces

f ◦ f−1 = idB y f−1 ◦ f = idA. (1.1.1)

Se prueba sin dificultad que una funcion

f : A −→ B

es biyectiva si y solo si existe una funcion

f−1 : B −→ A

que verifica (1.1.1).

Observacion 1.1.4. Sean A y B dos conjuntos. Si alguno de ellos es vacıo,tambien lo es el producto cartesiano A×B.

Si A es vacıo, la unica funcion

f : A −→ B

es la funcion vacıaf = ∅ = A×B,

1.1. PRELIMINARES 3

que es, ademas, inyectiva.Si A 6= ∅ y B = ∅, no existe una funcion

f : A −→ B,

porque el subconjunto vacıo, que es el unico subconjunto de A×B, no es unafuncion.

Definicion 1.1.5. Sea A un conjunto no vacıo. Una relacion de or-den (o de orden parcial) ≤ en A es un conjunto ≤ ⊆ A × A que verificalas siguientes propiedades (escribiendo, como es habitual, a ≤ b en lugar de(a, b) ∈ ≤):

1. (Propiedad reflexiva) a ≤ a, para todo a ∈ A.2. (Propiedad antisimetrica) Si a y b ∈ A verifican a ≤ b y b ≤ a,

entonces a = b.3. (Propiedad transitiva) Si a, b, c ∈ A verifican a ≤ b y b ≤ c, enton-

ces a ≤ c.

Si ≤ es una relacion de orden en A, se dice que (A,≤) es un conjunto par-cialmente ordenado.

Una relacion de orden ≤ en A es total si dados a, b ∈ A, se tiene quea ≤ b o que b ≤ a.

Ejemplos 1.1.6.

1. El orden habitual en el conjunto R de numeros reales es un orden total.

2. Dado un conjunto A sea P(A) su conjunto potencia o conjunto departes

P(A) = {B : B ⊆ A}.El conjunto P(A) es un conjunto parcialmente (y no totalmente) orde-nado tanto con la inclusion ⊆ como con ⊇.

3. Todo subconjunto de un conjunto ordenado es un conjunto ordenadocon la restriccion del orden.

Definiciones 1.1.7. Sean E un conjunto parcialmente ordenado, A ⊆ E,e ∈ E.

1. Se dice que e es una cota superior (inferior) de A si e ≥ a (e ≤ a)para todo a ∈ A.

2. Se dice que e es el maximo (mınimo) de A si es una cota superior(inferior) de A y e ∈ A. Notese que, por la propiedad antisimetrica de≤, existe a lo sumo un maximo (mınimo).

3. Se dice que e es el supremo (ınfimo) de A si es el mınimo (maximo)del conjunto de cotas superiores (inferiores).

4. Un elemento a0 de A es un elemento maximal (minimal) de A sino existe a ∈ A tal que a 6= a0 y a ≥ a0 (a ≤ a0).

5. Un subconjunto A de E es una cadena si es un conjunto totalmenteordenado con la restriccion del orden en E.

Ejemplo 1.1.8. Sea P(A) el conjunto potencia de un conjunto A con elorden ⊆. Todo subconjunto U ⊆ P(A) tiene supremo

⋃S∈U S e ınfimo

⋂S∈U S.

1.1. PRELIMINARES 4

Observacion 1.1.9. Todo conjunto finito y totalmente ordenado tienemaximo y mınimo. La demostracion, por induccion en el numero de elementosdel conjunto, se deja a cargo del lector.

En este curso recurriremos a menudo al siguiente resultado de la teorıa deconjuntos, cuya demostracion no veremos.

Teorema 1.1.10. (Lema de Zorn) Sea (X,≤) un conjunto parcialmenteordenado tal que toda cadena de X tiene una cota superior en X. Entonces Xtiene un elemento maximal.

Definiciones 1.1.11. Sea E un conjunto no vacıo. Una relacion deequivalencia ∼ en E es un subconjunto de E × E que verifica las siguientespropiedades (escribiendo, como es habitual, x ∼ y en lugar de (x, y) ∈ ∼):

1. (Propiedad reflexiva) x ∼ x, para todo x ∈ E.2. (Propiedad simetrica) x ∼ y implica que y ∼ x, para todo x, y ∈ E.3. (Propiedad transitiva) Si x, y, z ∈ E verifican x ∼ y e y ∼ z,

entonces x ∼ z.

Si ∼ es una relacion de equivalencia en E y x ∈ E, la clase de equiva-lencia de x es el conjunto

[x]∼ = {y ∈ E : x ∼ y}.

El espacio cociente E/∼ es el conjunto de las clases de equivalencia. Laproyeccion canonica es la funcion sobreyectiva

π∼ : E −→ E/∼

dada por

π∼(x) = [x]∼

para todo x ∈ E.

Proposicion 1.1.12. Sea ∼ una relacion de equivalencia en E.

1. Si x, y ∈ E y [x]∼ 6= [y]∼, entonces [x]∼ ∩ [y]∼ = ∅.2. E =

⋃x∈E[x]∼.

Demostracion. Si z ∈ [x]∼ ∩ [y]∼, entonces z ∼ x y z ∼ y. Por lapropiedad transitiva, x ∼ y y, de nuevo por la propiedad transitiva,

[x]∼ = [y]∼.

La segunda afirmacion es evidente porque x ∈ [x]∼ para todo x ∈ X. �

Observacion 1.1.13. Sean E 6= ∅ y {Ci}i∈I una familia de subconjuntosde E tal que

1. Ci ∩ Cj = ∅ si i 6= j.2. E =

⋃i∈I Ci.

Entonces “x ∼ y si y solo si existe i ∈ I tal que x, y ∈ Ci” define una relacionde equivalencia, y E/ ∼ = {Ci}. La demostracion de este resultado es directay queda a cargo del lector.

1.2. CARDINALIDAD 5

Definicion 1.1.14. Sea {Aα}α∈I una familia no vacıa de conjuntos. Elproducto cartesiano

∏α∈I Aα es el conjunto∏

α∈I

Aα = {f : I −→⋃α∈I

Aα : f(α) ∈ Aα para todo α ∈ I}.

Para cada α0 ∈ I, la proyeccion sobre Aα0 es la funcion

pα0 :∏i

Ai −→ Aα0 ,

dada por pα0(f) = f(α0).

Observacion 1.1.15. En el caso en que la familia de conjuntos en ladefinicion 1.1.14 es finita, las definiciones 1.1.14 y 1.1.2 coinciden. Se puedesuponer que I = {1, 2, · · · , n} e identificar la n-upla (a1, a2, · · · , an) de ladefinicion 1.1.2 con la funcion

f : I −→⋃

Ai

de la definicion 1.1.14, dada por f(i) = ai para todo i = 1, 2, · · · , n.

El siguiente axioma de la Teorıa de Conjuntos, que es equivalente al lemade Zorn, sera de gran utilidad a lo largo del curso.

Axioma 1.1.16. (Axioma de eleccion) Sea {Aα}α∈I una familia no vacıade conjuntos no vacıos. Entonces∏

α∈I

Aα 6= ∅.

1.2. Cardinalidad

Definicion 1.2.1. Se dice que dos conjuntos A y B son equipotentes,coordinables, o que tienen el mismo cardinal, y se indica

card(A) = card(B),

si existe una funcion biyectiva f : A −→ B.

Ejemplos 1.2.2.

1. Los conjuntos A = {n ∈ Z : n ≥ 0} y B = {n ∈ Z : n ≥ 1} tienen elmismo cardinal: la funcion f : A −→ B, dada por f(k) = k+ 1, es unabiyeccion.

2. El conjunto N de los numeros naturales y el conjunto Z de los numerosenteros tienen el mismo cardinal: la funcion f : N −→ Z, dada por

f(2n) = −n y f(2n+ 1) = n+ 1

para todo n ≥ 0, es una biyeccion.

1.2. CARDINALIDAD 6

3. El conjunto R de los numeros reales y el intervalo (−π2, π

2) tienen el

mismo cardinal, porque la funcion Arcotangente es una biyeccion de Ren (−π

2, π

2).

4. Sean a, b ∈ R tales que a < b. Entonces los intervalos (a, b), (a, b], [a, b],[a, b] tienen el mismo cardinal que R. Esto es consecuencia del ejemplo3 y del hecho de que son biyecciones las funciones:

a) f : (a, b) −→ (0, 1) dada por f(x) = f(x)−ab−a .

b) g : (a, b] −→ [a, b) dada por g(b) = a y g(x) = x si x 6= a.

c) h(a, b] −→ [a, b], donde, si xn := a+ b−an

, para todo n ≥ 1,

h(x) =

x si x 6∈ {xn : n ≥ 1},a si x = x1,

xn−1 si x = xn para algun n ≥ 2.

d) La restriccion h′ : (a, b) −→ [a, b) de la funcion h definida arriba.

Observacion 1.2.3. Sean A,B y C conjuntos.

1. A tiene el mismo cardinal que A, porque la identidad es una biyeccion.2. Si A tiene el mismo cardinal que B, entonces B tiene el mismo cardinal

que A, porque sif : A −→ B

es una biyeccion, tambien lo es su inversa

f−1 : B −→ A.

3. Si A tiene el mismo cardinal que B y B el mismo cardinal que C,entonces A tiene el mismo cardinal que C, porque la composicion debiyecciones es una biyeccion.

El lector observara que “tener el mismo cardinal” tiene las propiedades deuna relacion de equivalencia. No podemos, sin embargo, decir que lo es, porque,de serlo, serıa una relacion de equivalencia en la familia de todos los conjuntosno vacıos, que no es un conjunto, como prueba la paradoja de Russell.

Definicion 1.2.4. Sean A y B dos conjuntos. Diremos que el cardinalde A es menor o igual que el cardinal de B, y lo indicaremos

card(A) ≤ card(B),

si existe una funcion inyectiva

f : A −→ B.

Notacion 1.2.5. La notacion

card(A) ≥ card(B), card(A) card(B), card(A) � card(B)

tiene el significado obvio.

Ejemplos 1.2.6.

1.2. CARDINALIDAD 7

1. En virtud de la observacion 1.1.4, se tiene que

card(∅) ≤ card(A),

para todo conjunto A, y que card(A) ≤ card(∅) solo si A = ∅.

2. Sean A y B conjuntos equipotentes. Entonces

card(A) ≤ card(B) y card(B) ≤ card(A).

Probaremos en el teorema 1.2.9 que la afirmacion recıproca tambienvale.

3. Sean A y B conjuntos tales que A ⊆ B. Entonces

card(A) ≤ card(B),

porque la funcion inclusion i : A −→ B es inyectiva.

Proposicion 1.2.7. Sean A y B conjuntos no vacıos. Entonces

card(A) ≤ card(B)

si y solo si existe una funcion sobreyectiva g : B −→ A.

Demostracion. Sea g : B −→ A una funcion sobreyectiva. El conjunto

g−1({a}) := {b ∈ B : g(b) = a}es no vacıo para todo a ∈ A.

Por el axioma de eleccion, existe

f ∈∏a∈A

g−1({a}).

Entoncesf : A −→

⋃a∈A

g−1({a}) = B, y g ◦ f(a) = a,

porque f(a) ∈ g−1({a}).Esto implica que f es inyectiva: si f(a1) = f(a2), entonces

a1 = g ◦ f(a1) = g ◦ f(a2) = a2.

Por lo tanto,card(A) ≤ card(B).

Supongamos ahora que card(A) ≤ card(B), y sea

f : A −→ B

una funcion inyectiva. Sea a0 ∈ A. Definimos

g : B −→ A

por

g(b) =

{a si f(a) = b

a0 si no existe a ∈ A tal que f(a) = b.

Es claro que f es sobreyectiva. �

1.2. CARDINALIDAD 8

Teorema 1.2.8. (Cantor) Sean A un conjunto y P(A) su conjunto poten-cia.

card(A) � card(P(A)).

Demostracion. Si A = ∅, entonces

P(A) = {∅} 6= ∅,y el teorema es consecuencia de la observacion 1.1.4.

Si A 6= ∅,card(A) ≤ card(P(A)),

porque la funcionf : A −→ P(A)

definida por f(a) = {a} es inyectiva.Supongamos que card(A) = card(P(A)); sea

f : A −→ P(A)

una funcion biyectiva. Definimos

U = {a ∈ A : a 6∈ f(a)}.Sea u ∈ A tal que f(u) = U . Entonces

u ∈ U⇐⇒u 6∈ U,contradiccion que resulta de suponer que f es sobreyectiva. �

Teorema 1.2.9. (Cantor-Bernstein) Sean A y B conjuntos tales que

card(A) ≤ card(B) y card(B) ≤ card(A).

Entonces A y B tienen el mismo cardinal.

Demostracion. Podemos suponer que A y B son no vacıos, porque si unode ellos lo es, tambien lo es el otro por la observacion 1, y en ese caso tienenel mismo cardinal. Sean f : A −→ B y g : B −→ A funciones inyectivas.Definimos

A0 = A, A1 = g(B) y An = (g ◦ f)(An−2) para todo n ≥ 2.

Se define ahora el grado de un elemento a ∈ A como

gr(a) = max{n : a ∈ An} ∈ N ∪ {∞}.Analogamente, sean

B0 = B, B1 = f(A), Bn = (f ◦ g)(Bn−2) y gr(b) = max{n : b ∈ Bn}.Sean ahora Ap, Ai y A∞ (Bp, Bi y B∞ ) los conjuntos de elementos de A (B)de grado par, impar e infinito, respectivamente. Es claro que A y B son lasuniones disjuntas

A = Ap t Ai t A∞, B = Bp t Bi t B∞. (1.2.1)

Observese ahora que

f(An) = Bn+1 y g(Bn) = An+1 para todo n ≥ 0. (1.2.2)

En efecto,

f(A0) = f(A) = B1, f(A1) = (f ◦g)(B) = B2.

1.3. NUMERABILIDAD 9

La primera igualdad en (1.2.2) se obtiene, entonces, por induccion en n ya que,si n ≥ 2,

f(An) = f((g◦f)(An−2)

)= (f ◦g)(f(An−2)) = (f ◦g)(Bn−1) = Bn+1.

La segunda igualdad se prueba en forma analoga.Se concluye inmediatamente a partir de las igualdades (1.2.2 ) que

a) f(Ap) = Bi, b) f(A∞) = B∞ y c) g(Bp) = Ai. (1.2.3)

Las igualdades (1.2.1) y (1.2.3 c)) permiten definir

h : A −→ B

por

h(a) =

{f(a) si a ∈ Ap ∪ A∞,g−1(a) si a ∈ Ai.

Probaremos a continuacion que h es una biyeccion, concluyendo ası la demos-tracion.

Por un lado, h es inyectiva: supongamos que h(a0) = h(a1). Si h(a0) ∈ Bp,entonces, por (1.2.3),

ak ∈ Ai y h(ak) = g−1(ak), para i = 0, 1.

En ese caso se tiene que g−1(a0) = g−1(a1) y, por lo tanto, a0 = a1.Si, en cambio, h(a0) 6∈ Bp, entonces h(ak) = f(ak), para k = 0, 1. Como f

es inyectiva, tambien se concluye en ese caso que a0 = a1.Finalmente, la sobreyectividad de h es consecuencia directa de las igualda-

des (1.2.1) y (1.2.3). �

1.3. Numerabilidad

Definiciones 1.3.1.

1. Se dice que un conjunto es finito si es vacıo o si tiene el mismo cardinalque un conjunto de la forma {1, 2, · · · , n} para algun numero enteron ≥ 1.

2. Un conjunto es infinito si no es finito.3. Un conjunto es infinito numerable si tiene el mismo cardinal que N.

Observese que, en virtud del ejemplo 1.2.2.1, esta definicion no dependedel hecho de que se incluya o no el cero en el conjunto de los numerosnaturales.

4. Un conjunto es numerable si es finito o infinito numerable.

Ejemplos 1.3.2.

1. El conjunto potencia de un conjunto finito es finito.

2. El conjunto Z de los numeros enteros es infinito numerable (ejemplo1.2.2.2).

La siguiente proposicion prueba que ningun conjunto infinito tiene cardinalestrictamente menor que el de N.

Proposicion 1.3.3. Todo subconjunto de N es numerable.


Demostracion. Sea A ⊆ N. Si A es vacıo, es numerable. Supondremosentonces que A no es vacıo. Sea

a0 = mınA.

Dados a0, a1, · · · , ak ∈ A, A es numerable si A = {a0, a1, · · · , ak}. En casocontrario, sea

ak+1 = mın(A \ {a0, · · · , ak}).Si A 6= {a0, · · · , ak} para todo k ∈ N, consideremos

f : N −→ A,

dada por f(k) = ak. La funcion f es inyectiva, porque es estrictamente cre-ciente. Concluimos que A es infinito numerable, a partir del ejemplo 1.2.6.3y del teorema 1.2.9. (Tambien se puede observar directamente que f es unabiyeccion, porque para todo a ∈ A se tiene que a = f(k), donde k es el numerode elementos de A estrictamente menores que a.) �

Proposicion 1.3.4. Sea A un conjunto. Las siguientes afirmaciones sonequivalentes:

1. A es numerable.2. Existe una funcion inyectiva f : A −→ N.

Demostracion. Si A es vacıo, por la observacion 1.1.4, existe una funcioninyectiva f : A −→ N. Si A es numerable e infinito, entonces existe unabiyeccion f : A −→ N y vale 2).

Finalmente, si A es finito y no vacıo, existe una biyeccion

g : A −→ {1, 2, · · · , n}.Sea inc : {1, 2, · · · , n} −→ N la funcion inclusion. Entonces

inc ◦ g : A −→ Nes inyectiva.

Recıprocamente, si f : A −→ N es inyectiva, entonces A tiene el mismocardinal que la imagen de f que, por la proposicion 1.3.3, es numerable �

Proposicion 1.3.5. Sean A un conjunto y B un conjunto numerable.

1. Si existe una funcion inyectiva f : A −→ B, entonces A es numerable.2. Si existe una funcion sobreyectiva f : B −→ A, entonces A es nume-

rable.

Demostracion.

1. Si B es numerable, existe, por la proposicion 1.3.4, una funcion inyec-tiva g : B −→ N. Por lo tanto, g◦f es inyectiva, lo cual implica que Aes numerable, de nuevo por la proposicion 1.3.4.

2. La hipotesis implica que A 6= ∅ por la observacion 1.1.4 y, en ese caso,la afirmacion 2) es equivalente a la 1), por la proposicion 1.2.7.

�

Corolario 1.3.6. Sean B un conjunto numerable y A ⊆ B. Entonces Aes numerable.


Demostracion. Si A es vacıo, es numerable. Si A 6= ∅, la inclusion

i : A −→ B

es inyectiva y, por la proposicion 1.3.5, A es numerable. �

Ejemplo 1.3.7. Sean A 6= ∅ un conjunto numerable y ∼ una relacion deequivalencia en A. El espacio cociente A/∼ es numerable, porque la proyeccioncanonica π : A −→ A/∼ es sobreyectiva.

Proposicion 1.3.8. El conjunto Nk es numerable para todo entero positivok.

Demostracion. Sean p1, p2, · · · , pk numeros primos dos a dos diferentes.Entonces la funcion

f : Nk −→ N dada por f(n1, n2, · · · , nk) = pn11 p

n22 · · · p

nkk

es inyectiva. Por lo tanto, Nk es numerable por la proposicion 1.3.4 �

Proposicion 1.3.9. Sean A1, A2, · · ·Ak conjuntos numerables. EntoncesA1 × A2 × · · · × Ak es numerable.

Demostracion. Si Ai = ∅ para algun i, el producto A1 × · · · × Ak esvacıo y, por lo tanto, numerable.

En otro caso, seaφi : Ai −→ N

una funcion inyectiva para i = 1, 2, · · · , k.Entonces

φ : A1 × A2 × · · · × Ak −→ Nk,dada por

φ(a1, a2, · · · , ak) = (φ1(a1), φ2(a2), · · · , φk(ak))es inyectiva. Resulta entonces de la proposicion 1.3.8 y de la proposicion 1.3.5que A1 × A2 × · · · × Ak es numerable. �

Ejemplo 1.3.10. El conjunto Q de numeros racionales es numerable, por-que Z× (N \ {0}) es numerable y la funcion

f : Z× (N \ {0}) −→ Qdefinida por

f(m,n) = m/n

es sobreyectiva.

Proposicion 1.3.11. Sean I un conjunto numerable y Ai un conjuntonumerable para cada i ∈ I. Entonces la union

⋃i∈I Ai es numerable.

Demostracion. Alcanza con probar la afirmacion en el caso en que I 6= ∅y Ai 6= ∅ para todo i ∈ I. En ese caso, existen funciones sobreyectivas

f : N −→ I y fi : N −→ Ai para todo i ∈ I.Sean

g : N× N −→⋃I∈I

Ai por g(m,n) = ff(m)(n).


La funcion g es sobreyectiva: si a ∈⋃I∈I Ai, sea i ∈ I tal que a ∈ Ai. Sean m

y n tales que i = f(m) y a = fi(n). Entonces a = g(m,n). �

Notacion 1.3.12. Sea A un conjunto. Indicaremos con PF (A) el conjun-to de partes finitas de A, es decir, la familia de subconjuntos finitos deA.

Proposicion 1.3.13. El conjunto PF (N) es numerable.

Demostracion. Dado k ≥ 0, sea Pk(N) la familia de subconjuntos de Nque tienen exactamente k elementos.

Si k 6= 0, sea fk la funcion

fk : Pk(N) −→ Nk

dada por

fk(A) = (a1, a2, · · · , ak),donde

A = {a1, a2, · · · ak} ∈ PF (A) y a1 < a2 < · · · < ak.

Como fk es inyectiva, concluimos que Pk(N) es numerable para k 6= 0. Tambienlo es cuando k = 0, porque P0(N) = {∅}.

En virtud de la proposicion 1.3.11, se tiene que

PF (N) =⋃k∈N

Pk(N)

es numerable. �

Corolario 1.3.14. Sea A un conjunto numerable. Entonces PF (A) esnumerable.

Demostracion. Sea f : A −→ N una funcion inyectiva. Entonces lafuncion

f∗ : PF (A) −→ PF (N)

definida por

f∗(S) = {f(s) : s ∈ S}, f∗(∅) = ∅tambien es inyectiva, y resulta de las proposiciones 1.3.5 y 1.3.13 que PF (A)es numerable. �

Proposicion 1.3.15. Todo conjunto infinito tiene un subconjunto infinitonumerable.

Demostracion. Sea A un conjunto infinito. Para cada n ≥ 1, sea Pn(A)la familia de subconjuntos de N que tienen exactamente n elementos. Por elaxioma de eleccion (1.1.16), existe una sucesion {Sn}n∈N tal que Sn ∈ Pn(A)para todo n ∈ N.

Sea ahora

S =⋃n∈N

Sn.

Entonces S es numerable por la proposicion 1.3.11, y es infinito porque Sn 6=Sm si n 6= m. �


Corolario 1.3.16. Sean A un conjunto numerable y B un conjunto infi-nito. Entonces A ∪B y B tienen el mismo cardinal.

Demostracion. Como el conjunto A′ = {a ∈ A : a 6∈ B} es numerabley A ∪ B = A′ ∪ B, podemos suponer que A y B son disjuntos. Sea B0 unsubconjunto infinito numerable de B. Entonces A ∪ B0 y B0 son infinitos ynumerables; sea

f : A ∪B0 −→ B0

una biyeccion.Entonces

φ : A ∪B −→ B, dada por φ(x) =

{f(x) si x ∈ A ∪B0

x en caso contrario

es una biyeccion. Es claro que φ es sobreyectiva y que, si x 6= y, y ni x ni ypertenece a A ∪B0,

φ(x) = x 6= y = φ(y).

Por otro lado, si x ∈ A ∪B0 y φ(x) = φ(y), entonces φ(y) ∈ B0. Por lo tanto,φ(y) ∈ A ∪B0, lo cual implica que y ∈ A ∪B0, y que

f(y) = φ(y) = φ(x) = f(x).

Como f es inyectiva, concluimos que x = y. �

Notacion 1.3.17. En lo que sigue, indicaremos con R el conjunto de su-cesiones con valores en {0, 1} que toman infinitas veces el valor 1.

Proposicion 1.3.18. (Descomposicion binaria) Sea r ∈ (0, 1]. Enton-ces existe una unica sucesion {an}, con an ∈ {0, 1} para todo n ∈ N y talque:

1. r =∞∑n=1

an2n

.

2. El conjunto {n : an = 1} es infinito.

La correspondencia

φ : (0, 1] −→ R tal que φ(r) = {an}

es una biyeccion cuya inversa esta dada por

φ−1({an}n≥1

)=∞∑n=1

an2n. (1.3.1)

Demostracion. Definiremos la sucesion {an} por recurrencia.Sea

a1 =

{0 si 0 < r ≤ 1

2,

1 si 12< r ≤ 1.

(1.3.2)

Entonces

0 < r − a1

2≤ 1

2.


Dados a1, a2, · · · , an ∈ {0, 1} tales que

0 < r −n∑k=1

ak2k≤ 1

2n,

se define

an+1 =

{0 si 0 < r −

∑nk=1

ak2k≤ 1

2n+1 ,

1 si 12n+1 < r −

∑nk=1

ak2k≤ 1

2n

(1.3.3)

Se tiene entonces que

0 < r −n+1∑k=1

ak2k≤ 1

2n+1,

lo cual permite construir por recurrencia la sucesion y prueba, ademas, que

r =∞∑n=1

an2n.

Las sucesion {an} ası construida toma infinitas veces el valor 1: supongamosque para algun r ∈ (0, 1] se tuviera aN = 1 y an = 0 para todo n > N .

Entonces

r =∞∑k=1

ak2k

=N∑k=1

ak2k.

Pero entonces

r −N−1∑k=1

ak2k

=1

2N

y, por (1.3.3), aN = 0, en contradiccion con lo supuesto.Es claro ahora, en virtud de la condicion 1), que la correspondencia φ es

inyectiva. Demostraremos a continuacion que tambien es sobreyectiva y quesu inversa esta dada por (1.3.1). Sea {bn} ∈ R.

0 <∞∑n=1

bn2n≤

∞∑n=1

1

2n= 1,

donde la desigualdad estricta se debe a que, como {bn} ∈ R, no puede serbn = 0 para todo n ≥ 1.

Sea

r =∞∑n=1

bn2n∈ (0, 1].

Probaremos ahora, por induccion en n, que an = bn para todo n ∈ N, donde{an} = φ(r). En primer lugar, b1 = a1:

b1 = 0 ⇒ r =∞∑k=2

bk2k≤

∞∑k=2

1

2k=

1

2.

Entonces, por(1.3.2), a1 = 0.Por otro lado,


b1 = 1 ⇒ r >b1

2=

1

2.

De nuevo por (1.3.2), a1 = 1.Supongamos ahora que bk = ak para todo k ≤ n.Entonces

r −n∑k=1

ak2k

= r −n∑k=1

bk2k.

Por lo tanto,

bn+1 = 0 ⇒ r −n∑k=1

ak2k

=∞∑

k=n+2

bk2k≤

∞∑k=n+2

1k2k

=1

2n+1.

Por (1.3.3) se tiene que an+1 = 0.Finalmente,

bn+1 = 1 ⇒ r −n∑k=1

ak2k

>bn+1

2n+1=

1

2n+1,

lo cual implica, por (1.3.3), que an+1 = 1.�

Observacion 1.3.19. La descomposicion binaria no es unica si no se im-pone la segunda condicion en la proposicion 1.3.18:

1.1

2=∞∑k=2

1

2k.

Se puede probar que ese tipo de situacion es la unica posible. Es decir, que∞∑1

ak2k

=∞∑1

bk2k

, donde ak, bk ∈ {0, 1} para todo k ∈ N

si y solo si (cambiando, eventualmente, los roles de {ak} y {bk}) existe k0 ≥ 1tal que

1. ak = bk para todo k < k0.2. ak0 = 1 y bk0 = 0.3. ak = 0 y bk = 1 para todo k > k0.

Proposicion 1.3.20. El conjunto R tiene el mismo cardinal que el con-junto potencia P(N) del conjunto de los numeros naturales.

Demostracion. Sea T el conjunto de sucesiones con valores en {0, 1}.Es claro que la correspondencia

ψ : P(N) −→ Tdada por

(ψ(A))n =

{1 si n ∈ A,

0 en caso contrario.

es una biyeccion, ası como su restriccion

ψ0 : P(N) \ PF (N) −→ R.


Por otro lado, como PF (N) es numerable por la proposicion 1.3.13, se siguedel corolario 1.3.16 que P(N) y R tienen el mismo cardinal. �

Corolario 1.3.21. El conjunto R de los numeros reales tiene el mismocardinal que el conjunto potencia P(N) del conjunto de los numeros naturales.

Demostracion. El teorema 1.3.18 prueba que R tiene el mismo cardinalque el intervalo (0, 1], el cual, a su vez, tiene el mismo cardinal que R, porel ejemplo 1.2.2.4. Finalmente, por la proposicion 1.3.20, R y P(N) tienen elmismo cardinal. �

Corolario 1.3.22. El conjunto R de los numeros reales es no numerable.

Demostracion. La afirmacion se sigue directamente del corolario 1.3.21y del teorema de Cantor (1.2.8). �

Capıtulo 2

Espacios metricos

2.1. Definiciones y ejemplos

Definicion 2.1.1. Un espacio metrico (E, d) consiste en un conjunto Ejunto con una funcion

d : E × E −→ R,

llamada metrica o distancia, que cumple con las siguientes condiciones paratodo x, y, z ∈ E:

1. d(x, y) ≥ 0.2. d(x, y) = 0 si y solo si x = y.3. d(x, y) = d(y, x).4. (Desigualdad triangular)

d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z). (2.1.1)

Ejemplos 2.1.2.

1. Si d es una metrica en E, un subconjunto F de E es un espacio metricocon la restriccion de d a F×F , llamada metrica o distancia relativa.

2. La distancia habitual en R, es decir, la funcion

d(x, y) = |x− y|,

es efectivamente una distancia. Es la metrica que consideraremos en Ry sus subconjuntos, salvo indicacion contraria.

3. Son distancias en Rn las funciones d1, d2 y d∞ dadas por:

d1(x, y) =n∑i=1

|xi − yi|,

d2(x, y) =( n∑i=1

|xi − yi|2) 1

2 ,

d∞(x, y) = max{|xi − yi| : i = 1, · · · , n},donde

x = (x1, x2, · · · , xn), y = (y1, y2, · · · , yn).

Observese que las tres metricas coinciden con la del ejemplo 2.1.2.2cuando n = 1.

17

2.1. DEFINICIONES Y EJEMPLOS 18

4. Espacio metrico discreto. La metrica discreta en un conjunto Ees la funcion

d : E × E −→ R, dada por d(x, y) =

{0 si x = y,

1 si x 6= y.

Para verificar la desigualdad triangular, observese que los dos lados de(2.1.1) valen cero si x = y = z. En caso contrario, el lado derecho esmayor o igual a uno, y, por lo tanto, vale la desigualdad. Las demaspropiedades se verifican facilmente.

5. El conjunto C([a, b])de funciones continuas con valores complejos en elintervalo [a, b] es un espacio metrico con la distancia

d(f, g) = sup{|f(x)− g(x)| : x ∈ [a, b]}.Observese que la definicion tiene sentido, por el teorema de Weierstrassy la continuidad de las partes real e imaginaria de un numero complejo.La desigualdad triangular es consecuencia directa de la desigualdadtriangular en R:

supx∈[a,b]

|f(x)− h(x)| ≤ supx∈[a,b]

(|f(x)− g(x)|+ |g(x)− h(x)|

)≤ sup

x∈[a,b]

|f(x)− g(x)|+ supx∈[a,b]

|g(x)− h(x)|. (2.1.2)

Tambien es un espacio metrico, por el ejemplo 2.1.2.1, el conjuntoCR([a, b]) de funciones continuas con valores reales en el intervalo [a, b]con la restriccion de la metrica d.

6. Metricas provenientes de normas. Si V es un espacio vectorial realo complejo, una norma en V es una funcion

‖ ‖ : V −→ Rque verifica para todo x, y ∈ V :a) ‖x‖ ≥ 0.b) ‖x‖ = 0 si y solo si x = 0V .c) ‖λx‖ = |λ|‖x‖ para todo escalar λ.d) (Desigualdad triangular)

‖x+ y‖ ≤ ‖x‖+ ‖y‖. (2.1.3)

Se verifica en forma inmediata que una norma ‖ ‖ en V define unametrica d en V por

d(x, y) = ‖x− y‖.Las metricas d1, d2 y d∞ del ejemplo 2.1.2.3 provienen, respectivamente,de las normas

‖x‖1 =n∑i=1

|x1|, ‖x‖2 =( n∑i=1

|xi|2)1/2

(2.1.4)

y ‖x‖∞ = maxi|xi|, (2.1.5)


donde x = (x1, x2, · · · , xn) ∈ Rn.Las formulas en (2.1.4) y (2.1.5) definen tambien normas en el es-

pacio vectorial complejo Cn. Por lo tanto, las formulas de las distanciasd1, d2 y d∞ en el ejemplo 2.1.2.3 tambien definen metricas en Cn.

Las distancias definidas en el ejemplo 2.1.2.5 tambien provienen denormas. El conjunto C([a, b]) es un espacio vectorial complejo con lasoperaciones

(f + g)(x) = f(x) + g(x), (λf)(x) = λf(x), (2.1.6)

para todo f, g ∈ C([a, b]) y todo escalar λ.Se verifica inmediatamente, usando (2.1.2), que la siguiente funcion

‖ ‖sup, llamada norma del supremo, es una norma en C([a, b]) queinduce la distancia del ejemplo 2.1.2.5:

‖f‖sup = supx∈[a,b]

|f(x)|. (2.1.7)

Analogamente, las formulas en (2.1.6) definen en CR([a, b]) una es-tructura de espacio vectorial real, con una norma definida como en(2.1.7), que induce la metrica del ejemplo 2.1.2.5.

7. Normas en espacios de sucesiones.Sea `1 el conjunto de sucesiones complejas x tales que∑

n

|xn| <∞, (2.1.8)

donde, como se hara de aquı en adelante, dada una sucesion x, se indicax = {xn}. El conjunto `1 es un espacio vectorial con las operacionesdefinidas por

(x+ y)n = xn + yn, (λx)n = λxn, (2.1.9)

para todo x, y ∈ `1 y para todo escalar λ. En efecto, es claro, a partirde las desigualdades

N∑n=1

|xn + yn| ≤N∑n=1

|xn|+N∑n=1

|yn| ≤∞∑n=1

|xn|+∞∑n=1

|yn|, (2.1.10)

N∑n=1

|λxn| = λ

N∑n=1

|xn| ≤ λ∞∑n=1

|xn|, (2.1.11)

para todo N ∈ N, que las formulas en 2.1.9 definen, efectivamente,elementos de `1, y que la funcion ‖ ‖1 dada por

‖x‖1 =∞∑n=1

|xn| (2.1.12)

define una norma en `1.El subconjunto `1

R ⊆ `1 de sucesiones con valores reales es un espaciovectorial real, con la estructura definida por las formulas en (2.1.9), enel que (2.1.12) define una norma.

2.2. CONJUNTOS ABIERTOS EN ESPACIOS METRICOS 20

Otros ejemplos importantes de espacios normados de sucesiones son

`2 = {{xn} ⊆ C :∞∑n=1

|xn|2 <∞} (2.1.13)

y

`∞ = {{xn} ⊆ C : supn|xn| <∞}. (2.1.14)

Razonando en forma analoga a la empleada en el caso de `1, se pruebaque las formulas en (2.1.9) definen una estructura de espacio vectorialcomplejo tanto en `1 como en `∞ con norma ‖ ‖2 y ‖ ‖∞, respectiva-mente, donde

‖x‖2 =(∑

n

|xn|2)1/2

y ‖x‖∞ = supn|xn|. (2.1.15)

Como en el caso de `1, los subconjuntos `2R ⊆ `2 y `∞R ⊆ `∞ de suce-

siones reales son espacios vectoriales reales normados, con las mismasformulas.

Observacion 2.1.3. Sea (E, d) un espacio metrico. Si x, y, z ∈ E, entonces

d(y, z) ≥ |d(x, z)− d(x, y)|.

Demostracion. Por la desigualdad triangular,

d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) y d(x, y) ≤ d(x, z) + d(y, z).

Esto implica que

d(x, z)− d(x, y) ≤ d(y, z) y d(x, y)− d(x, z) ≤ d(y, z),

lo cual concluye la demostracion. �

2.2. Conjuntos abiertos en espacios metricos

Definicion 2.2.1. Sea (E, d) un espacio metrico. Dados x ∈ E y ε > 0,la bola abierta de centro x y radio ε es el conjunto

Bε(x) = {y ∈ E : d(x, y) < ε}.Cuando pueda haber lugar a confusion con respecto al espacio metrico E en elque se considera la bola, la indicaremos con BE

e psilon(x).

Ejemplo 2.2.2. Sean (E, d) un espacio metrico discreto, x ∈ E y ε > 0.Entonces

Bε(x) =

{{x} si ε ≤ 1,

E si ε > 1.

Observacion 2.2.3. Sean (E, d) un espacio metrico, F ⊆ E, x ∈ F yε > 0. Sean BE

ε (x) y BFε (x) la bola de centro x y radio ε en E y en F con la

metrica relativa, respectivamente.Entonces

BFε (x) = F ∩BE

ε (x).


Observacion 2.2.4. Sean (E, d) un espacio metrico, x ∈ E y 0 < ε1 ≤ ε2.Entonces

Bε1(x) ⊆ Bε2(x).

Proposicion 2.2.5. Sean (E, d) un espacio metrico, x, y, z ∈ E y ε1, ε2 >0.

1. Si y ∈ Bε1(x), entonces Bε1−d(x,y)(y) ⊆ Bε1(x).2. Si y ∈ Bε1(x) ∩Bε2(z), entonces

Bδ(y) ⊆ Bε1(x) ∩Bε2(z),

donde δ = mın{ε1 − d(x, y), ε2 − d(z, y)}.

Demostracion.

1. Si u ∈ Bε1−d(x,y)(y), entonces

d(u, x) ≤ d(u, y) + d(y, x) < ε1 − d(x, y) + d(x, y) = ε1.

Por lo tanto, u ∈ Bε1(x).2. Por la parte anterior,

Bε1−d(x,y)(y) ⊆ Bε1(x) y Bε2−d(z,y)(y) ⊆ Bε2(z).

La afirmacion es ahora consecuencia de la observacion 2.2.4.

�

Definicion 2.2.6. Sea (E, d) un espacio metrico. Un subconjunto A de Ees abierto (en E) si para todo a ∈ A existe ε > 0 tal que Bε(a) ⊆ A.

Ejemplos 2.2.7.

1. Las bolas abiertas en un espacio metrico son conjuntos abiertos, por laparte 1 de la proposicion 2.2.5.

2. El intervalo I = (0, 1] no es abierto en R: 1 ∈ I pero, para todo ε,Bε(1) 6⊆ I porque 1 + ε

26∈ I.

3. El intervalo I = (0, 1] es abierto en (−∞, 1], por la observacion 2.2.3 yporque

Bx(x) ⊆ I ∩ (−∞, 1],

para todo x ∈ I.

4. Todo intervalo abierto (a, b) en R es abierto en R: alcanza con obser-var, en virtud del ejemplo 2.2.7.1, que (a, b) es la bola abierta de centroa+ b−a

2y radio b−a

2.

5. Todo subconjunto de un espacio metrico discreto es abierto, por elejemplo 2.2.2.

6. El conjunto

A = {x ∈ `1 : x0 6= 0}


es abierto en `1 porque, si x ∈ A, entonces B|x0|(x) ⊆ A. En efecto, siz ∈ B|x0|(x), entonces

|z0 − x0| ≤ ‖z − x‖1 < |x0|.Entonces, por la observacion 2.1.3,

|z0| ≥∣∣|z0 − x0| − |x0|

∣∣ > 0.

Proposicion 2.2.8. Sea (E, d) un espacio metrico.Entonces:

1. Los conjuntos E y ∅ son abiertos.2. Si {Ai}i∈I es una familia de conjuntos abiertos en E, entonces

⋃iAi

es abierto.3. Si A1, A2, · · · , An son conjuntos abiertos en E, entonces

⋂ni=1Ai es

abierto.

Demostracion.

1. La afirmacion es obvia.2. Dado x ∈

⋃iAi, sea i0 ∈ I tal que x ∈ Ai0 . Como Ai0 es abierto, existe

ε > 0 tal que

Bε(x) ⊆ Ai0 ⊆⋃i

Ai,

como querıamos probar.3. Dado x ∈

⋂ni=1 Ai, para cada i = 1, 2, · · · , n existe εi > 0 tal que

Bεi(x) ⊆ Ai. Sea ε = mın{εi : i = 1, 2. · · · , n}. Entonces ε > 0 y

Bε(x) ⊆⋂i

Ai.

�

Observacion 2.2.9. La afirmacion 3 de la proposicion 2.2.8 no vale si lacantidad de conjuntos no es finita, como lo prueba el siguiente ejemplo:

∞⋂n=1

(− 1

n,

1

n) = {0}.

Proposicion 2.2.10. Sea (E, d) un espacio metrico. Un subconjunto novacıo de E es abierto si y solo si es union de bolas abiertas.

Demostracion. Sea A ⊆ E un conjunto abierto. Entonces, para cadaa ∈ A existe εa > 0 tal que a ∈ Bεa(a) ⊆ A y, por lo tanto,

A =⋃a∈A

Bεa(a).

La afirmacion recıproca es consecuencia del ejemplo 2.2.7.1 y de la parte 2 dela proposicion 2.2.8. �

Observacion 2.2.11. Se probo, en particular, en la demostracion de laproposicion 2.2.10 que si A es un conjunto abierto en un espacio metrico, paracada a ∈ A existe εa > 0 tal que

A =⋃a∈A

Bεa(a).


Definicion 2.2.12. Sea (E, d) un espacio metrico. Un subconjunto F deE es cerrado (en E) si su complemento es abierto.

Ejemplos 2.2.13.

1. Bolas cerradas. Si x es un elemento de un espacio metrico E y r > 0,la bola cerrada de centro x y radio r es el conjunto:

B−r (x) = {y ∈ E : d(x, y) ≤ r}.Una bola cerrada es un conjunto cerrado: si y 6∈ B−r (x) y z ∈ Bd(x,y)−r(y),entonces

d(x, z) ≥ d(x, y)− d(y, z) > d(x, y)− d(x, y) + r = r.

Se probo ası que

Bd(x,y)−r(y) ⊆ B−r (x)c

si y ∈ B−r (x)c, lo cual prueba que B−r (x)c es abierto, es decir, queB−r (x) es cerrado.

2. Un intervalo cerrado [a, b] es cerrado en R porque es la bola cerrada decentro a+ b−a

2y radio b−a

2.

3. Por el ejemplo 2.2.7.6, el conjunto

F = {x ∈ `1 : x0 = 0}es cerrado en `1.

Proposicion 2.2.14. Sean (E, d) un espacio metrico y F ⊆ E.

1. Un subconjunto A de F es abierto en F si y solo si A = F ∩ S, dondeS es un conjunto abierto en E.

2. Un subconjunto A de F es cerrado en F si y solo si A = F ∩ S, dondeS es un conjunto cerrado en E.

Demostracion.1) Si A es abierto en F , entonces, por la proposicion 2.2.10, existe una

familia de bolas abiertas {BFεi

(xi)} tal que

A =⋃

BFεi

(xi).

Entonces, por la observacion 2.2.3,

A =⋃

BFεi

(xi) =⋃(

F ∩BEεi

(xi))

= F ∩⋃

BEεi

(xi) = F ∩ S, (2.2.1)

donde S =⋃BEεi

(xi) es abierto en E.Recıprocamente, si A = F ∩S, donde S es abierto en E, dado a ∈ A, existe

ε > 0 tal que Bε(a) ⊂ S. Por lo tanto,

BFε (a) = F ∩Bε(a) ⊂ F ∩ S = A,

lo cual prueba que A es abierto en F .

2.3. METRICAS EQUIVALENTES 24

2) Es consecuencia directa de la parte anterior y del hecho de que el com-plemento en F de F ∩ S, con S ⊆ E, es F ∩ Sc, donde Sc es el complementode S en E. �

Ejemplo 2.2.15. El conjunto A = [0, 1) es abierto y cerrado en E =[0, 1) ∩ (2, 3], porque

[0, 1) = [0, 1] ∩ E = (−1, 1) ∩ E.

Proposicion 2.2.16. Sean d1 y d2 metricas en un conjunto E. Las si-guientes afirmaciones son equivalentes:

1. Para toda bola abierta Bd1ε (x) en (E, d1) existe δ > 0 tal que

Bd2δ (x) ⊆ Bd1

ε (x),

donde Bd2δ (x) es la bola abierta en (E, d2).

2. Todo conjunto abierto en (E, d1) es abierto en (E, d2).

Demostracion.1 ⇒ 2: Sea A un conjunto abierto en (E, d1). Entonces, como en la obser-

vacion 2.2.11,

A =⋃a∈A

Bd1εa (a).

Sea ahora, para cada a ∈ A, δa > 0 tal que

Bd2δa

(a) ⊆ Bd1εa (a).

EntoncesA ⊆

⋃a∈A

Bd2δa

(a) ⊆⋃a∈A

Bd1εa (a) = A.

Por lo tanto,

A =⋃a∈A

Bd2δa

(a)

y, por la proposicion 2.2.10, A es abierto en (E, d2).2 ⇒ 1: La bola abierta Bd1

ε (x) es abierta en (E, d2) y contiene a x. Por lotanto, existe δ > 0 tal que

Bd2δ (x) ⊆ Bd1

ε (x).

�

2.3. Metricas equivalentes

Definicion 2.3.1. Dos metricas d1 y d2 en un conjunto E son equiva-lentes si un subconjunto A de E es abierto en (E, d1) si y solo si lo es en(E, d2).

Observacion 2.3.2. En virtud de la proposicion 2.2.16, las metricas d1 yd2 son equivalentes si y solo si, dadas bolas abiertas Bd1

ε1(x) y Bd2

δ1(x), existen

ε2 > 0 y δ2 > 0 tales que

Bd2δ2

(x) ⊆ Bd1ε1

(x) y Bd1ε2

(x) ⊆ Bd2δ1

(x).


Ejemplo 2.3.3. La metrica discreta y la metrica habitual en Z son equi-valentes: con ambas son abiertos todos los subconjuntos de Z.

Suele probarse en cursos de Calculo que las metricas d1, d2 y d∞ en Rn sonequivalentes. La siguiente proposicion extiende ese resultado a otros productoscartesianos de espacios metricos.

Proposicion 2.3.4. Sea (Ei,mi) un espacio metrico para i = 1, 2, · · · , n,y sea E el producto cartesiano

E = E1 × E2 × · · · × En.Sean d1, d2 y d∞ las funciones

d1, d2, d∞ : E × E −→ Rdefinidas por

d1(e, f) =n∑i=1

mi(ei, fi), d2(e, f) =( n∑i=1

(mi(ei, fi)2)1/2

(2.3.1)

y d∞(e, f) = maxi{mi(ei, fi) : i = 1, · · · , n}.

donde e = (e1, e2, · · · , en) y f = (f1, f2, · · · , fn).Entonces d1, d2 y d∞ son metricas equivalentes en E.

Demostracion. No es difıcil probar directamente que dα es una metricapara α ∈ {1, 2,∞}. Tambien se puede observar que

dα(e, f) = ‖m(e, f)‖α para todo α ∈ {1, 2,∞}, e ∈ E y f ∈ F,donde, si e = (e1, e2, · · · , en) y f = (f1, f2, · · · , fn), m(e, f) ∈ Rn es el vector

m(e, f) = (m1(e1, f1),m2(e2, f2), · · · ,mn(en, fn))

y ‖ ‖1, ‖ ‖2, ‖ ‖∞ son las normas en Rn definidas en (2.1.4) y (2.1.5).Si x, y ∈ Rn, x = (x1, x2, · · · , xn), y = (y1, y2, · · · , yn) son tales que

0 ≤ xi ≤ yi, ∀i = 1, · · · , n,entonces, como

|yi − xi| = yi − xi ≤ yi,

para todo i = 1, 2, · · · , n, se tiene que

‖x‖α ≤ ‖yα‖ para todo α ∈ {1, 2,∞}.Por lo tanto, dados e, f, g ∈ E, y α ∈ {1, 2,∞},dα(e, g) =‖m(e, g‖α ≤ ‖m(e, f) +m(f, g)‖α (2.3.2)

≤ ‖m(e, f)‖α + ‖m(f, g)‖α = dα(e, f) + dα(d, g), (2.3.3)

lo cual prueba la desigualdad triangular.El resto de las propiedades en la definicion de distancia se verifican facil-

mente a partir del hecho de que mi es una distancia y ‖ ‖α una norma paratodo i = 1, · · · , n y α ∈ {1, 2,∞}.

Las tres metricas son equivalentes por la observacion 2.3.2, ya que

Bd1ε (e) ⊆ Bd2

ε (e) ⊆ Bd∞ε (e) ⊆ Bd1

nε(e), (2.3.4)


para todo e ∈ E y ε > 0. Las dos ultimas inclusiones son claras, y la primerase debe a la desigualdad( n∑

i=1

ai)2 ≥

n∑i=1

a2i , si ai ≥ 0 para todo i = 1, 2, · · ·n,

que se verifica desarrollando el termino de la izquierda. �

Definiciones 2.3.5.

1. Sea F un subconjunto de un espacio metrico (E, d). El diametro deF es cero si F = ∅, y es

diam(F ) = sup{d(x, y) : x, y ∈ F} ∈ R ∪ {+∞}.2. Se dice que un subconjunto F de un espacio metrico (E, d) esta aco-

tado si su diametro es finito.3. Se dice que una distancia d en un conjunto E esta acotada si el diame-

tro de E es finito (es decir, si E es un conjunto acotado).

Observacion 2.3.6. Un subconjunto F de un espacio metrico E esta aco-tado si y solo si esta contenido en una bola cerrada. Por un lado, si F esta aco-tado y D es el diametro de F ,

F ⊆ B−D(x) (2.3.5)

para todo x ∈ F .Por otro lado, si F verifica (2.3.5) para algun D > 0, entonces

diam(F ) ≤ 2D.

En particular, la nocion de acotacion definida en la definicion 2.3.5.2 coincide,en Rn, con la habitual.

Proposicion 2.3.7. Toda distancia d en un conjunto E es equivalente auna distancia acotada d0 que verifica

d0(x, y) ≤ 1,

para todo x, y ∈ E.

Demostracion. Sea d0(x, y) = mın{1, d(x, y)}. Para probar que d0 veri-fica la desigualdad triangular

d0(x, z) ≤ d0(x, y) + d0(y, z), (2.3.6)

observese que si uno de los dos sumandos en el lado derecho de (2.3.6) es iguala uno, la desigualdad se verifica porque

d0(x, z) ≤ 1 ≤ d0(x, y) + d0(y, z).

En caso contrario, se tiene que

d0(x, z) ≤ d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) = d0(x, y) + d0(y, z).

Se verifica ahora sin dificultad que d0 es una distancia. Finalmente, d0 esequivalente a d porque, como

Bdε = Bd0

ε para todo ε tal que 0 < ε ≤ 1,

las dos metricas inducen los mismos conjuntos abiertos. �

Capıtulo 3

Espacios topologicos


Se prueba a menudo en los cursos de Calculo que, a muchos efectos, trabajarcon cualquiera de las tres metricas habituales en Rn es equivalente. Esto sedebe, en el fondo, a que las tres metricas inducen los mismos conjuntos abiertos(proposicion 2.3.4), y sugiere la idea de concentrarse no en la metrica sino enla familia de conjuntos abiertos. Ese es el mecanismo por el cual uno pasadel estudio de los espacios metricos al de una clase mas general: la de losespacios topologicos, en los que hay una nocion de “conjunto abierto” queno necesariamente proviene de una distancia en el espacio. Formalizamos estaidea en la siguiente definicion.

Definicion 3.1.1. Un espacio topologico (X, τ) consiste en un conjuntoX junto con una familia τ de subconjuntos de X, llamada topologıa, queverifica:

1. X ∈ τ , ∅ ∈ τ .2. Si {Ai}i∈I ⊆ τ , entonces

⋃i∈I Ai ∈ τ .

3. Si A1, A2, · · ·An ∈ τ , entonces A1 ∩ A2 ∩ · · · ∩ An ∈ τ .

Los elementos de τ se llaman conjuntos abiertos de X. Los elementos deX a menudo se llaman puntos.

Ejemplos 3.1.2.

1. Sea (E, d) un espacio metrico. La proposicion 2.2.8 prueba que

τd = {A ⊆ E : A es abierto en (E, d)}define una topologıa en E. Ademas, dos metricas d1 y d2 en E sonequivalentes si y solo si las topologıas que inducen son iguales.

Se dice que una topologıa es metrizable si proviene de una distan-cia.

2. La topologıa discreta en un conjunto X es

τ = P(X).

Observese que, por el ejemplo 2.2.7.5, la topologıa inducida por lametrica discreta es la topologıa discreta.

3. La topologıa indiscreta en un conjunto X es

τ = {∅, X}.

27


4. La topologıa de los complementos numerables en un conjunto Xes la topologıa

τ = {A ⊆ X : A = ∅ o Ac es numerable}.

En efecto, por las leyes de De Morgan (proposicion 1.1.1), si Ai ∈ τpara todo i ∈ I, entonces(⋃

i∈I

Ai)c

=⋂

Aci ,

que es numerable, a menos que Ai = ∅ para todo i ∈ I, en cuyo caso⋃i∈I Ai = ∅. En cualquier caso, entonces,

⋃i∈I Ai ∈ τ .

Por otro lado, si A1, A2, · · · , An ∈ τ , entonces( n⋂i=1

Ai)c

=⋃i

Aci ,

que es numerable por la proposicion 1.3.11, a menos que Ai = ∅ paraalgun i = 1, · · · , n, en cuyo caso

n⋂i=1

Ai = ∅ ∈ τ.

5. La topologıa de los complementos finitos en un conjunto X es latopologıa

τ = {A ⊆ X : A = ∅ o Ac es finito}.

La verificacion de que τ es una topologıa es analoga a la del ejemplo4, y se deja a cargo del lector.

6. Sean (X, τ) un espacio topologico e Y ⊆ X un subconjunto. La topo-logıa relativa a τ en Y es

τY = {A ∩ Y : A ∈ τ}.

Se prueba facilmente que τY es, efectivamente, una topologıa en Y .Observese que, por la proposicion 2.2.14 , si τ esta inducida por unametrica d en X, entonces la topologıa relativa τY esta inducida por lametrica relativa dY en Y .

7. La topologıa del cero en R es la topologıa con respecto a la cual unconjunto A ⊆ R es abierto si es vacıo o si contiene al cero.

Mencionamos esta topologıa porque sera un ejemplo importante alo largo del curso, pero es un caso particular de la topologıa que, comose prueba sin dificultades, se obtiene en un conjunto no vacıo X al ele-gir x0 ∈ X y declarar abiertos los conjuntos que son vacıos o contienena x0.


8. La topologıa par-impar en Z es

τ = {A ⊆ Z : 2n ∈ A⇐⇒2n− 1 ∈ A, para todo n ∈ Z}.Se verifica facilmente que τ es una topologıa.

Definicion 3.1.3. Sean (X, τ) un espacio topologico y x ∈ X. Un conjuntoU ⊆ X es un entorno de x si existe un conjunto abierto A tal que

x ∈ A ⊆ U.

Indicaremos con Nx la familia de entornos del punto x.

Ejemplos 3.1.4.

1. En la topologıa de los complementos numerables (finitos) en un con-junto X, para todo x ∈ X

Nx = {A ⊆ X : A es abierto y x ∈ A}.Es claro que los conjuntos abiertos que contienen a x son entornos dex. Por otro lado, si U ∈ Nx, existe un conjunto abierto A ⊆ X tal que

x ∈ A ⊆ U.

Entonces U c ⊆ Ac, y, por lo tanto, U c es numerable (finito). EntoncesU es abierto.

2. En el espacio topologico del ejemplo 3.1.2.8, un conjunto V ⊆ Z es unentorno de 3 si y solo si {3, 4} ⊆ V . Por un lado, si V ∈ N3 existeun abierto A tal que 3 ∈ A ⊆ V . Por lo tanto, 4 ∈ A y se tiene que{3, 4} ⊆ V .

Recıprocamente, como {3, 4} es abierto, V ∈ N3 si {3, 4} ⊆ V .

Proposicion 3.1.5. Sean (X, τ) un espacio topologico y x ∈ X.Entonces

1. Nx 6= ∅.2. Si V ∈ Nx y V ⊆ U ⊆ X, entonces U ∈ Nx.3. Si V ∈ Nx, existe U ∈ Nx tal que U es abierto y U ⊆ V .4. Si U, V ∈ Nx, entonces U ∩ V ∈ Nx.5. Un subconjunto A de X es abierto si y solo si A ∈ Na para todo a ∈ A.

Demostracion.1) X ∈ Nx.2) y 3) son obvios a partir de la definicion.4) Sean A y B conjuntos abiertos tales que

x ∈ A ⊆ U y x ∈ B ⊆ V.

Entonces A ∩B es abierto y

x ∈ A ∩B ⊆ U ∩ V,de donde resulta que U ∩ V ∈ Nx.

5) Es claro que si A es abierto, entonces A ∈ Na para todo a ∈ A. Recıpro-camente, si A es un entorno de todos sus puntos, para cada a ∈ A existe unconjunto abierto Ua tal que

a ∈ Ua ⊆ A.


Por lo tanto, A =⋃a∈A Ua es abierto. �

Definiciones 3.1.6. Sean (X, τ) un espacio topologico y A ⊆ X. Un puntoa ∈ A es interior a A si A ∈ Na. El interior de A es el conjunto

A = {a ∈ A : a es interior a A}.

Observaciones 3.1.7.

1. Por la parte 5 de la proposicion 3.1.5, un conjunto A es abierto si ysolo si A = A.

2. Sea (X, τ) un espacio topologico. Si A y B son subconjuntos de X tales

que A ⊆ B, entonces A ⊆ B: Si a ∈ A, entonces A ∈ Na. Por la parte2 de la proposicion 3.1.5, B ∈ Na; es decir, a ∈ B.

Proposicion 3.1.8. Sea A un subconjunto de un espacio topologico X.Entonces A es el mayor subconjunto abierto de X contenido en A.

Demostracion. Es claro que A ⊆ A. Ademas, A es abierto: si a ∈ A,existe un conjunto abierto U tal que a ∈ U ⊆ A. Entonces todos los puntos deU son puntos interiores de A. Por lo tanto, a ∈ U ⊆ A, de donde se concluyeque a es interior a A; es decir, A es un entorno de a. Entonces A es abierto,por la parte 5 de la proposicion 3.1.5 .

Finalmente, si B ⊆ X es abierto y esta contenido en A, por las observa-ciones 3.1.7,

B = B ⊆ A.

�

Corolario 3.1.9. Sea A un subconjunto de un espacio topologico X. En-tonces

˚A = A.

Demostracion. La afirmacion es consecuencia inmediata de la observa-cion 3.1.7.1, y de la proposicion 3.1.8. �

Ejemplo 3.1.10. Consideremos el espacio topologico R con la topologıadel cero. Dado A ⊆ R, es claro, a partir de la proposicion 3.1.8, que

A =

{A si 0 ∈ A,∅ si 0 6∈ A,

Definiciones 3.1.11. Sean (X, τ) un espacio topologico y A ⊆ X.

1. La clausura de A es el conjunto

A = {x ∈ X : V ∩ A 6= ∅ para todo V ∈ Nx}.2. Un punto x ∈ X es un punto de acumulacion de A si(

V \ {x})∩ A 6= ∅,

para todo V ∈ Nx.3. Un punto x ∈ A es un punto aislado de A si no es de acumulacion

de A.


4. La frontera de A es el conjunto

∂A = A ∩ Ac.5. Se dice que el conjunto A es cerrado si A = A.

Observacion 3.1.12. Sean (X, τ) un espacio topologico y A ⊆ X. Unpunto x ∈ A es aislado si y solo si el conjunto {x} es abierto en A. En efecto,si x es un punto aislado de A, por la parte 3 de la proposicion 3.1.5, existe unentorno abierto U de x tal que(

U \ {x})∩ A = ∅.

Es decir,{x} = U ∩ A,

que es abierto en A.Es claro que vale la afirmacion recıproca.

Observaciones 3.1.13. Sean A y B subconjuntos de un espacio topologico(X, τ). Es claro, a partir de la definicion de clausura, que

1. A ⊆ A.2. Si A ⊆ B, entonces A ⊆ B.

El siguiente resultado muestra que, como cabe esperar, las definiciones deconjunto cerrado en un espacio topologico y en un espacio metrico coinciden.

Proposicion 3.1.14. Sean (X, τ) un espacio topologico y A ⊆ X. El con-junto A es cerrado si y solo si Ac es abierto.

Demostracion. Si Ac es abierto, sea x ∈ A. Para cualquier V ∈ Nx setiene que V ∩ A 6= ∅; es decir V 6⊆ Ac. Por lo tanto, x no es interior a Ac.Como Ac es abierto, se tiene que x ∈ A. Se probo ası que A ⊆ A, de donde seconcluye que A es cerrado, por la observacion 3.1.13.1.

Recıprocamente, si A es cerrado y x ∈ Ac, entonces x 6∈ A = A. Por lotanto, existe V ∈ Nx tal que V ∩ A = ∅. Es decir, existe V ∈ Nx tal queV ⊆ Ac. Entonces x es interior a Ac. En consecuencia, Ac es abierto. �

Corolario 3.1.15. Sea (X, τ) un espacio topologico.Entonces

1. X y ∅ son cerrados.2. Si {Ai}i∈I es una familia de conjuntos cerrados en X, entonces

⋂i∈I Ai

es cerrado.3. Si A1, A2, · · ·An son conjuntos cerrados en X, entonces

A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ Anes cerrado.

Demostracion. Las afirmaciones se obtienen directamente a partir de ladefinicion 3.1.1, la proposicion 3.1.14 y las leyes de De Morgan. Por ejemplo,para probar 2), (⋂

i∈I

Ai)c

=⋃i∈I

Aci ,


que es abierto. Entonces, por la proposicion 3.1.14,⋂i∈I Ai es cerrado. Las

demas afirmaciones se prueban en forma analoga. �

Ejemplos 3.1.16.

1. Sea (X, τ) un espacio topologico discreto. Todo subconjunto de X escerrado, por la proposicion 3.1.14. Por lo tanto, todo conjunto A ⊆ Xtiene frontera vacıa:

∂A = A ∩ Ac = A ∩ Ac = ∅.

Ademas, como el conjunto {x} es abierto, todo punto x ∈ X es aislado.

2. En R, con la topologıa del cero, un conjunto A 6= R es cerrado si y solosi 0 6∈ A.

El unico punto aislado es 0, ya que {0} ∈ N0 y que, para todox ∈ R, 0 ∈ V para todo V ∈ Nx.

Si A ⊆ R,

A =

{R si 0 ∈ A,A si 0 6∈ A.

3. En Z con la topologıa par-impar, un conjunto es cerrado si y solo si esabierto: A ⊆ Z es cerrado si y solo si Ac es abierto, es decir, si y solosi, para todo n ∈ Z,

2n 6∈ A⇐⇒2n− 1 6∈ A.

Es decir, si

2n ∈ A⇐⇒2n− 1 ∈ A,que es equivalente a que A sea abierto.

4. Sean (E, d) un espacio metrico, x ∈ E y r > 0.Entonces

Br(x) ⊆ B−r (x).

En efecto, si y 6∈ B−r (x), entonces d(y, x) > r. Eso implica, por ladesigualdad triangular, que

Bd(y,x)−r ∩Br(x) = ∅

y, por lo tanto, que y 6∈ Br(x).La inclusion puede ser estricta: si E es un espacio metrico discreto

con mas de un punto y x ∈ E, entonces

B1(x) = B1(x) = {x} ( E = B−1 (x).

Proposicion 3.1.17. Sean (X, τ) un espacio topologico y A ⊆ X.

Entonces (A)c =◦

(Ac) .

3.2. AXIOMAS DE SEPARACION 33

Demostracion. Sea x ∈ X.

x ∈ (A)c⇐⇒x 6∈ A⇐⇒ existe U ∈ Nx tal que U ∩ A = ∅⇐⇒

⇐⇒ existe U ∈ Nx tal que U ⊆ Ac⇐⇒x ∈◦

(Ac) .

�

Proposicion 3.1.18. Sean (X, τ) un espacio topologico y A ⊆ X. Laclausura de A es el menor subconjunto cerrado de X que contiene a A.

Demostracion. Por la proposicion 3.1.17 y la observacion 3.1.13.1 A escerrado y contiene a A.

Por otro lado, si F es cerrado y F ⊇ A, entonces F c es abierto y F c ⊆ Ac.Se sigue entonces de la proposicion 3.1.8 que

F c ⊆◦

(Ac)= (A)c.

Por lo tanto, F ⊇ A. �

Corolario 3.1.19. Sean (X, τ) un espacio topologico y A ⊆ X. Entonces

¯A = A.

Observacion 3.1.20. La frontera de todo subconjunto A de un espaciotopologico es cerrada por el corolario 3.1.15 y la proposicion 3.1.18.

3.2. Axiomas de separacion

Definicion 3.2.1. Un espacio topologico (X, τ) es To si, para todo x, y ∈X,

Nx = Ny ⇒ x = y.

Ejemplos 3.2.2.

1. El conjunto de los enteros con la topologıa par-impar no es T0, porque,como en el ejemplo 3.1.4.2, para todo n ∈ Z se tiene que

N2n = {A ⊆ Z : {2n, 2n− 1} ⊆ A} = N2n−1.

2. R con la topologıa del cero es T0: dados x, y ∈ R, x 6= y. Uno de losdos, por ejemplo y, es distinto de cero, y

{0, x} ∈ Nx \ Ny.

Proposicion 3.2.3. Sea (X, τ) un espacio topologico. Las siguientes afir-maciones son equivalentes:

1. (X, τ) es T0.2. Si x, y ∈ X y x 6= y, entonces existe U ∈ Nx tal que y 6∈ U o existeV ∈ Ny tal que x 6∈ V .

3.2. AXIOMAS DE SEPARACION 34

Demostracion.1⇒ 2: Como (X, τ) es T0, existe A ∈ Nx\Ny o A ∈ Ny\Nx. Si A ∈ Nx\Ny,

sea U un conjunto abierto tal que

x ∈ U ⊆ A.

Si y ∈ U, por la parte 5 de la proposicion 3.1.5, U ∈ Ny. Pero en ese caso, porla parte 2 de la proposicion 3.1.5, A ∈ Ny, en contradiccion con lo supuesto.Por lo tanto, y 6∈ U y U ∈ Nx.

Si A ∈ Ny \ Nx. se procede en forma analoga.2 ⇒ 1: Si vale la afirmacion 2, dados x, y ∈ X, x 6= y, existe U ∈ Nx \ Ny

o U ∈ Ny \ Nx y, por lo tanto, X es T0. �

Definicion 3.2.4. Un espacio (X, τ) es T1 si, para todo x ∈ X,⋂U∈Nx

U = {x}.


1. (X, τ) es T1.2. Si x, y ∈ X y x 6= y, entonces existen U ∈ Nx tal que y 6∈ U y V ∈ Ny

tal que x 6∈ V .

Demostracion. Basta con observar que

y 6∈⋂U∈Nx

U⇐⇒ existe U ∈ Nx tal que y 6∈ U.

�

Corolario 3.2.6. Todo espacio topologico T1 es T0.

Demostracion. La afirmacion es obvia a partir de las proposiciones 3.2.3y 3.2.5. �

Corolario 3.2.7. Un espacio topologico (X, τ) es T1 si y solo si el con-junto {x} es cerrado para todo x ∈ X.

Demostracion. El conjunto {x} es cerrado si y solo si {x}c es abierto, esdecir, si y solo si para todo y 6= x existe V ∈ Ny tal que V ⊆ {x}c. Finalmente,la ultima afirmacion es equivalente a que, para todo y 6= x, exista V ∈ Ny talque x 6∈ V , es decir, a que (X, τ) sea T1. �

Ejemplos 3.2.8.

1. Se vio en el ejemplo 3.2.2.2 que R con la topologıa del cero es T0. Noes T1: si x 6= 0 ⋂

U∈Nx

U = {0, x} 6= {x}.

2. Un conjunto X no vacıo con la topologıa de los complementos nume-rables (finitos) es T1, porque si x 6= y, el conjunto {y}c es un entornoabierto de x que no contiene a y.

3.3. AXIOMAS DE NUMERABILIDAD 35

Definicion 3.2.9. Un espacio topologico (X, τ) es de Hausdorff o T2 sidados dos puntos distintos x, y ∈ X, existen U ∈ Nx y V ∈ Ny tales que

U ∩ V = ∅.

Observacion 3.2.10. Un espacio topologico (X, τ) es de Hausdorff si da-dos dos puntos distintos x, y ∈ X, existen entornos abiertos U y V, de x ey respectivamente, tales que U ∩ V = ∅, porque, si U0 ∈ Nx y V0 ∈ Ny sondisjuntos, existen conjuntos abiertos U y V tales que

x ∈ V ⊆ V0 y y ∈ W ⊆ W0,

y es claro que U y V tambien son disjuntos.

Observacion 3.2.11. Todo espacio topologico de Hausdorff es T1 (y, porel corolario 3.2.6, tambien es T0).

Demostracion. La afirmacion es consecuencia inmediata de las proposi-ciones 3.2.3 y 3.2.5. �

Ejemplos 3.2.12.

1. Todo espacio metrico (E, d) es de Hausdorff, porque, si x 6= y, las bolas

Bε(x) y Bε(y), con ε < d(x,y)2

, son disjuntas: si z ∈ Bε(x), entonces

d(z, y) ≥ d(y, x)− d(x, z) > d(y, x)− ε > ε.

Por lo tanto, z 6∈ Bε(y).

2. Sea X un conjunto no numerable con la topologıa de los complementosnumerables. Vimos en el ejemplo 3.2.8.2 que X es T1.

Veremos a continuacion que no es de Hausdorff. Sean A y B entor-nos de dos puntos diferentes en X. Por el ejemplo 3.1.4.1, A y B sonabiertos no vacıos.

Por lo tanto

(A ∩B)c = Ac ∪Bc,

que es numerable y, en consecuencia, no es todo X.Es decir,

A ∩B 6= ∅.El mismo argumento prueba que un conjunto infinito con la topologıade los complementos finitos no es de Hausdorff.

3.3. Axiomas de numerabilidad

Definicion 3.3.1. Sea (X, τ) un espacio topologico. Un subconjunto Y deX es denso en X si

Y = X.

Proposicion 3.3.2. Un subconjunto Y de un espacio topologico X es den-so si y solo si Y ∩ U 6= ∅ para todo subconjunto abierto no vacıo U de X.


Demostracion. Si Y es denso en X y U ⊆ X es abierto y no vacıo, seau ∈ U . Entonces U ∈ Nu y u ∈ Y , por lo que se tiene que

U ∩ Y 6= ∅.

Recıprocamente, si Y ∩U 6= ∅ para todo subconjunto abierto no vacıo U deX, sea x ∈ X. Dado V ∈ Nx, existe un conjunto abierto U tal que x ∈ U ⊆ V .Entonces Y ∩ U 6= ∅ y, en consecuencia, Y ∩ V 6= ∅. Se ha probado ası quex ∈ Y para todo x ∈ X. Por lo tanto, Y es denso en X. �

Ejemplos 3.3.3.

1. El conjunto Q de los numeros racionales es denso en R. Todo entornode un numero real x contiene una bola

Br(x) = (x− r, x+ r),

y en todo intervalo abierto hay algun numero racional. Por lo tantox ∈ Q.

2. Ningun subconjunto propio de un espacio topologico discreto es denso:si Y ⊆ X y x 6∈ Y , entonces {x} es abierto y {x} ∩ Y = ∅.

3. El conjunto {0} es denso en R con la topologıa del cero, por el ejemplo3.1.16.2.

4. El conjunto P = {2n : n ∈ Z} es denso en Z con la topologıa par-impar.Por el ejemplo 3.1.16.3 y la proposicion 3.1.18, la clausura de P es elmenor abierto que contiene a P, que es Z.

5. Sea X un conjunto infinito con la topologıa de los complementos finitos.Todo subconjunto infinito Y es denso en X: si U ⊆ X es abierto,entonces U c es finito. Por lo tanto, Y 6⊆ U c, es decir, Y ∩ U 6= ∅.

En forma analoga se prueba que todo conjunto no numerable esdenso en un conjunto no numerable con la topologıa de los comple-mentos numerables.

Definicion 3.3.4. Un espacio topologico (X, τ) es separable si tiene unsubconjunto denso y numerable.

Ejemplos 3.3.5.

1. El conjunto R de los numeros reales es separable por el ejemplo 3.3.3.1.

2. R con la topologıa del cero es separable por el ejemplo 3.3.3.3.

3. Como por la proposicion 1.3.15 todo conjunto infinito tiene un subcon-junto numerable, se sigue del ejemplo 3.3.3.5 que un conjunto infinitocon la topologıa de los complementos finitos es separable.

4. Un conjunto no numerable X con la topologıa de los complementosnumerables no es separable: si Y ⊆ X es numerable, entonces Y c es un


abierto no vacıo disjunto con Y , lo cual implica que Y no es denso.

5. El conjunto `∞ definido en (2.1.14) y (2.1.15) no es separable. Seaτ ⊆ `∞ el conjunto de sucesiones con valores en {0, 1}. Como se vio enla demostracion de la proposicion 1.3.20, τ no es separable. Si x, y ∈ τy x 6= y, entonces

d(x, y) = ‖x− y‖∞ = 1

y, por la desigualdad triangular,

B 12(x) ∩B 1

2(y) = ∅.

Entonces la familia

A = {B 12(x) : x ∈ τ}

es una familia no numerable de conjuntos abiertos dos a dos disjuntos.Si Y ⊆ `∞ es un subconjunto denso, en cada abierto A ∈ A hay

algun punto yA ∈ Y . Como las bolas son dos a dos disjuntas, yA 6= yBsi A y B son abiertos distintos en A.

Por lo tanto, la correspondencia

A 7→ yA

es una funcion inyectiva del conjunto no numerable A en Y . Eso pruebaque Y no es numerable, porque si fuera numerable tambien lo serıa elconjunto {yA : A ∈ A}. Se probo ası que `∞ no tiene subconjuntosdensos numerables, es decir, que no es separable.

Definicion 3.3.6. Sea (X, τ) un espacio topologico. Una familia de con-juntos abiertos B ⊆ τ es una base de τ si todo conjunto abierto no vacıo deX es union de elementos de B.

En forma equivalente, se dice que B es una base de τ si para todo conjuntoabierto A ∈ τ existe B0 ⊆ B tal que

A =⋃U∈B0

U.

Esta ultima forma de enunciar la definicion tiene la ventaja de que no exigetratar separadamente el caso A = ∅, para el cual se toma B0 = ∅.

Ejemplos 3.3.7.

1. La proposicion 2.2.10 prueba que la familia de bolas abiertas en unespacio metrico es una base de la topologıa inducida por la distancia.

2. Si B es una base de la topologıa τ en X, e Y ⊆ X, entonces

BY = {U ∩ Y : U ∈ B}es una base de la topologıa relativa en Y .

3. La familia B = {{x} : x ∈ X} es una base de la topologıa discreta enel conjunto X.


4. La familia B = {{0, x} : x ∈ R} es una base de la topologıa del ceroen R.

5. La familia B = {{2n, 2n−1} : n ∈ Z} es una base de Z con la topologıapar-impar.

Proposicion 3.3.8. Una familia no vacıa B de subconjuntos de un con-junto X es base de una topologıa en X si y solo si verifica las siguientescondiciones:

1.⋃U∈B U = X.

2. Dados U, V ∈ B y x ∈ U ∩ V, existe A ∈ B tal que

x ∈ A ⊆ U ∩ V.

Demostracion. Supongamos primero que B es base de una topologıa τ .Como X ∈ τ , existe una subfamilia B0 ⊆ B tal que

X =⋃U∈B0

U,

lo cual implica 1). Ademas, dados U, V ∈ B, U ∩ V es abierto y, por lo tanto,existe B1 ⊆ B tal que

U ∩ V =⋃A∈B1

A.

Entonces, si x ∈ U ∩ V , existe Ax ∈ B1 tal que

x ∈ Ax ⊆ U ∩ V.

Supongamos ahora que B satisface las condiciones 1) y 2). Probaremos que

τ = {W ⊆ X : W =⋃U∈B0

U para algun subconjunto B0 ⊆ B}

es una topologıa en X. Es claro que, en ese caso, B es una base de τ .Por la condicion 1), X ∈ τ .Ademas,

∅ =⋃U∈∅

U ∈ τ.

Es claro que la union de miembros de τ pertenece a τ .Finalmente, si W1,W2 · · · ,Wn ∈ τ , se va a probar que ∩ni=1Wi ∈ τ . Sea

Bi ∈ B tal que

Wi =⋃U∈Bi

U,

para i = 1, 2, · · ·n.Entonces

W1 ∩W2 · · · ∩Wn =⋃Ui∈Bi

U1 ∩ U2 · · · ∩ Un,

y alcanza con probar que

U1 ∩ U2 · · · ∩ Un ∈ τ


si U1, U2, · · · , Un ∈ B. Dado x ∈ U1 ∩ U2 · · · ∩ Un, por la propiedad 2) (einduccion en n) existe Ax ∈ B tal que

x ∈ Ax ⊆ U1 ∩ U2 · · · ∩ Un.Es claro ahora que

U1 ∩ U2 · · · ∩ Un =⋃

x∈∩Ui

Ax ∈ τ.

�

Definicion 3.3.9. Sea (X, τ) un espacio topologico. Una familia de con-juntos abiertos S ⊆ τ es una subbase de τ si la familia

B = {U1 ∩ U2 · · ·Un : n ∈ N, Ui ∈ S, para todo i = 1, · · · , n}es una base de τ . Se dice en ese caso que τ es la topologıa generada porS.

Observacion 3.3.10. Se concluye inmediatamente a partir de la proposi-cion 3.3.8 que una familia no vacıa S de subconjuntos de X es subbase de unatopologıa si y solo si

X =⋃U∈S

U.

Ejemplos 3.3.11.

1. La familia

S = {(−∞, a), (b,+∞) : a, b ∈ R}es una subbase de la topologıa habitual en R.

Observese primero que los elementos de S son, efectivamente, con-juntos abiertos, porque

(−∞, a) =⋃n∈N

(−n, a) y (b,+∞) =⋃n∈N

(b, n).

Ademas, toda bola abierta es interseccion de una cantidad finita deelementos de S:

Br(x) = (x− r, x+ r) = (−∞, x+ r) ∩ (x− r,+∞).

Entonces, por el ejemplo 3.3.7.1, S es una subbase.

2. La familia

S = {{x}c : x ∈ X}es una subbase de la la topologıa de los complementos finitos en elconjunto X, porque, si A ⊆ X es abierto y no vacıo, entonces

Ac =n⋃i=1

{xi} y, por lo tanto, A =( n⋃i=1

{xi})c

=n⋂i=1

{xi}c.

Definicion 3.3.12. Sean τ1 y τ2 topologıas en un conjunto X. Se dice queτ1 es mas fina o mayor que τ2, o que τ2 es menor que τ1, si τ2 ⊆ τ1.


Proposicion 3.3.13. Sean (X, τ) un espacio topologico y sea S una sub-base de τ . Entonces τ es la menor topologıa en X que contiene a S.

Demostracion. Sea σ una topologıa en X que contiene a S.Entonces

B = {U1 ∩ U2 · · ·Un : n ∈ N, Ui ∈ S para todo i = 1, · · · , n} ⊆ σ.

Ahora, dado U ∈ τ , existe B0 ⊆ B tal que

U =⋃V ∈B0

V ∈ σ.

�

Definicion 3.3.14. Se dice que un espacio topologico (X, τ) verifica elsegundo axioma de numerabilidad, o que es N2, si tiene una base nume-rable.

Ejemplos 3.3.15.

1. Un espacio topologico (X, τ) es N2 si tiene una subbase numerable S,porque, en ese caso, la base

B = {U1 ∩ U2 · · ·Un : n ∈ N, Ui ∈ S, para todo i = 1, · · · , n}es numerable, ya que la correspondencia

ψ :⋃n≥1

Sn −→ B, dada por ψ({U1, · · · , Un) = U1 ∩ U2 · · ·Un,

es sobreyectiva.

2. Un conjunto X con la topologıa de los complementos finitos es N2 si ysolo si es numerable. Por un lado, si X es numerable, entonces verifica elsegundo axioma de numerabilidad, por los ejemplos 3.3.11.2 y 3.3.15.1.

Por otro lado, si X no es numerable y {Bn} es una base numerablede conjuntos no vacıos de la topologıa de los complementos finitos enX, entonces (⋂

n

Bn

)c=⋃n

Bcn

es numerable y, por lo tanto,(⋂n

Bn

)c 6= X, es decir,⋂n

Bn 6= ∅.

Sea x ∈⋂nBn. Entonces {x}c es abierto, pero Bk 6⊆ {x}c para todo

k ∈ N, lo cual contradice el hecho de que {Bn} es una base.

3. Un espacio topologico discreto X es N2 si y solo si es numerable. Sies numerable, es N2 por el ejemplo 3.3.7.3. Si no es numerable, y B esuna base, cada conjunto {x} es union de elementos de B. Por lo tanto,{x} ∈ B para todo x ∈ X y, en consecuencia, B no es numerable.

4. Sea (X, τ) un espacio topologico N2. Entonces todo subconjunto de Xes N2 con la topologıa relativa, por el ejemplo 3.3.7.2.


Proposicion 3.3.16. Todo espacio topologico N2 es separable.

Demostracion. Dada una base numerable {Bn}n∈N de la topologıa τen X, sea bn ∈ Bn para cada n ∈ N. El conjunto {bn}n∈N es denso, por laproposicion 3.3.2, porque, si A ⊆ X es abierto

A =⋃k∈K

Bk, para algun subconjunto K de N.

Entonces bk ∈ A para todo k ∈ K. �

El siguiente ejemplo muestra que, en general, no vale el recıproco de laproposicion 3.3.16.

Ejemplo 3.3.17. Sea X un conjunto no numerable con la topologıa de loscomplementos finitos. Entonces X es separable, por el ejemplo 3.3.5.3, pero,por el ejemplo 3.3.15.2, no es N2.

Probamos a continuacion que el recıproco de la proposicion 3.3.16 vale, sinembargo, para espacios metricos.

Proposicion 3.3.18. Un espacio metrico es N2 si y solo si es separable.

Demostracion. Dado un subconjunto numerable y denso {xn} de unespacio metrico separable (E, d), sea

B = {B 1m

(xn) : m,n ∈ N}.

Se va a probar que B es una base de la topologıa inducida por la metrica.Dados un conjunto abierto A ⊆ E y a ∈ A, sea ma ∈ N tal que

B 1ma

(a) ⊆ A. (3.3.1)

Sea ahora na ∈ N tal que

xna ∈ B 12ma

(a). (3.3.2)

Por la desigualdad triangular, y por (3.3.1) y (3.3.2),

a ∈ B 12ma

(xna) ⊆ B 1ma

(a) ⊆ A.

Entonces

A =⋃a∈A

B 12ma

(xna).

Por lo tanto, B es una base, y es claro que es numerable. En consecuencia, Ees N2.

El recıproco se probo en la proposicion 3.3.16. �

Ejemplo 3.3.19. Resulta de la proposicion 3.3.18 y del ejemplo 3.3.5.1 queR, con la topologıa habitual, es N2.

Definiciones 3.3.20. Sean (X, τ) un espacio topologico e Y ⊆ X. Uncubrimiento abierto de Y es una familia {Uλ}λ∈Λ de conjuntos abiertos enX tal que

Y ⊆⋃λ∈Λ

Uλ.


Un subcubrimiento abierto del cubrimiento abierto {Uλ}λ∈Λ de Y esuna subfamilia {Uλ}λ∈Λ0, donde Λ0 ⊆ Λ, tal que

Y ⊆⋃λ∈Λ0

Uλ.

Definicion 3.3.21. Un espacio topologico (X, τ) es de Lindelof si todocubrimiento abierto de X tiene un subcubrimiento numerable.

Teorema 3.3.22. (Lindelof) Todo espacio topologico N2 es de Lindelof.

Demostracion. Dado un espacio topologico N2 (X, τ), sean {Bn}n∈N unabase numerable de τ y {Uλ}λ∈Λ un cubrimiento abierto de X.

Para cada n ∈ N, sea

Ln = {λ : Uλ ⊇ Bn}.Para cada n ∈ N tal que Ln 6= ∅, se elige λn ∈ Ln.

Se va a probar que {Uλn} es un subcubrimiento abierto de {Uλ}λ∈Λ. Seax ∈ X. Entonces x ∈ Uλ′ para algun λ′ ∈ Λ. Como Uλ′ es abierto, existeK ⊆ N tal que

Uλ′ =⋃k∈K

Bk.

Sea k0 ∈ K tal que x ∈ Bk0 . Entonces Lk0 6= ∅ y x ∈ Bk0 ⊆ Uλk0 .Por lo tanto,

X =⋃n

Uλn

y {Uλn}n∈N es un subcubrimiento abierto de {Uλ}λ∈Λ. Es claro que es nume-rable. Se ha probado ası que (X, τ) es de Lindelof. �

El siguiente ejemplo muestra que no vale el recıproco del teorema de Lin-delof (3.3.22).

Ejemplo 3.3.23. Sea X un conjunto no numerable con la topologıa de loscomplementos finitos. Se vio en el ejemplo 3.3.15.2 que X no es N2. Sı es deLindelof, incluso cuando no es numerable: dado un cubrimiento abierto {Uλ}de X, sea λ0 tal que Uλ0 6= ∅.

EntoncesU cλ0

= {x1, x2, · · ·xn}.Sea ahora λi tal que xi ∈ Uλi , para i = 1, 2, · · · , n. Entonces {Uλ0 , Uλ1 , · · · , Uλn}es un subcubrimiento finito de {Uλ}.

Definicion 3.3.24. Sean (X, τ) un espacio topologico y x ∈ X. Una basede entornos o base local de x consiste en una familia {Vα}α∈A ⊆ Nx deentornos de x tal que para todo entorno U ∈ Nx existe Vα0 ∈ A tal queVα0 ⊆ U .

Ejemplos 3.3.25.

1. Obviamente, para cualquier punto x de un espacio topologico, Nx esuna base de entornos.


2. Por la parte 3 de la proposicion 3.1.5, la familia de entornos abiertosde un punto es una base local.

3. Sean (E, d) un espacio metrico, x ∈ E y {rn}n∈N una sucesion denumeros positivos que tiende a cero. Entonces la familia

{Brn(x) : n ∈ N}es una base de entornos de x. En efecto, dado un entorno V ∈ Nx,existe un conjunto abierto A tal que

x ∈ A ⊆ V.

Sean r > 0 tal que Br(x) ⊆ A y rn tal que rn < r. Entonces

Brn(x) ⊆ Br(x) ⊆ A ⊆ V.

4. Sea (X, τ) un espacio topologico. Si B es una base de τ , entonces

Bx = {V ∈ B : x ∈ V }es una base de entornos de x: si U ∈ Nx, sea A un conjunto abierto talque

x ∈ A ⊆ U.

Existe entonces B0 ⊆ B tal que

A =⋃

W∈B0

W.

Sea W0 ∈ B0 tal que x ∈ W0. Entonces W0 ∈ Bx y

W0 ⊆ A ⊆ U.

5. Sean X un espacio topologico discreto y x ∈ X. Entonces, por el ejem-plo 4 y el ejemplo 3.3.7.3,

Bx = {{x}}es una base local de x.

6. En R con la topologıa del cero, para todo x ∈ R,

Bx = {{0, x}}es una base local de x, por el ejemplo 4 y el ejemplo 3.3.7.4.

Definicion 3.3.26. Un espacio topologico (X, τ) verifica el primer axio-ma de numerabilidad, o es N1, si todo punto de X tiene una base deentornos numerable.

Observacion 3.3.27. Todo espacio N2 es N1 por el ejemplo 3.3.25.4.

Ejemplos 3.3.28.

1. El ejemplo 3.3.25.3 prueba que todo espacio metrico es N1.


2. Todo espacio discreto es N1 por el ejemplo 3.3.25.5.

3. R con la topologıa del cero es N1 por el ejemplo 3.3.25.6.

4. Un conjunto X con la topologıa de los complementos finitos es N1 si ysolo si es numerable. Si es numerable, se vio en el ejemplo 3.3.15.2 quees N2. Resulta entonces de la observacion 3.3.27 que es N1.

Por otro lado, si es N1 y no es numerable, entonces, dada una baselocal numerable {Nk} de un punto x ∈ X, se tiene que(⋂

k

Nk

)c=⋃k

N ck ,

que es numerable y, por lo tanto, esta estrictamente contenido en {x}c.Entonces

⋂kNk 6= {x}, y existe y ∈

⋂kNk, y 6= x. Pero entonces

{y}c ∈ Nx y, para todo k, Nk 6⊆ {y}c, lo cual contradice el hecho deque {Nk} es una base local de x.

Observacion 3.3.29. Sea (X, τ) un espacio topologico. Si x ∈ X tiene unabase de entornos numerable, entonces tiene una base de entornos numerable ydecreciente: dada una base numerable {Un}n∈N, sean

V1 = U1 y Vk = Uk ∩ Vk−1 para todo k > 1.

Es claro que Vk ⊆ Vk−1 para todo k ≥ 1. Ademas, dado V ∈ Nx, sea Uk talque Uk ⊆ V .

EntoncesVk ⊆ Uk ⊆ V,

lo cual prueba que {Vk} es una base de entornos de x.

Capıtulo 4

Convergencia en espacios topologicos


Veremos en este capıtulo (proposicion 4.1.3) que el comportamiento de lassucesiones en un espacio topologico N1 determina la topologıa y como, paraextender ese resultado a otros espacios topologicos, es necesario considerarfunciones mas generales que las sucesiones: las redes.

Definicion 4.1.1. Se dice que una sucesion {xn}n∈N en un espacio to-pologico (X, τ) converge al punto x ∈ X si para todo entorno V ∈ Nx existen0 ∈ N tal que xn ∈ V para todo n ≥ n0.

Observacion 4.1.2. Se verifica inmediatamente que se obtiene una defi-nicion equivalente a la definicion 4.1.1 si se reemplaza la familia de entornosNx por una base de entornos Bx del punto x.

Proposicion 4.1.3. Sean (X, τ) un espacio topologico, A ⊆ X y x ∈ X.

1. Si existe una sucesion contenida en A que converge a x, entonces x ∈A.

2. Si X es N1 y x ∈ A, entonces existe una sucesion contenida en A queconverge a x.

Demostracion. Si hay una sucesion contenida en A que converge a x, esclaro que en todo entorno de x hay puntos de A y, en consecuencia, que x ∈ A.

Para probar el recıproco, si x ∈ A, tomemos una base numerable y decre-ciente {Vn} de entornos de x. Como Vn ∩ A 6= ∅, para cada n ∈ N podemoselegir xn ∈ Vn ∩ A. La sucesion ası construida converge a x. En efecto, dadoun entorno V de x, sea n0 ∈ N tal que Vn0 ⊆ V . Entonces, para todo n ≥ n0

se tiene que

xn ∈ Vn ⊆ Vn0 ⊆ V.

�

El siguiente ejemplo muestra que la parte 2) de la proposicion 4.1.3 no valesi el espacio no es N1.

Ejemplo 4.1.4. Consideremos el espacio R de los numeros reales con latopologıa de los complementos numerables y A = R\{0}. El punto 0 esta en laclausura de A: si V ∈ N0, entonces V c es numerable y por lo tanto A∩V 6= ∅.Sin embargo, no existen sucesiones contenidas en A que converjan a 0: si {xn}es una sucesion contenida en A, entonces el conjunto {xn : n ∈ N}c es unentorno de 0 en el que no hay puntos de la sucesion.

45


Este ejemplo muestra que las sucesiones no alcanzan, en general, paraacercarse a los puntos de un espacio topologico. Se necesitan funciones condominios mas generales, como los que definiremos a continuacion.

Definicion 4.1.5. Un conjunto dirigido (D,≤) consiste en un conjuntono vacıo D con una relacion ≤ que verifica:

1. d ≤ d para todo d ∈ D.2. La relacion ≤ es transitiva: si d0 ≤ d1 y d1 ≤ d2, entonces d0 ≤ d2

para todo d0, d1, d2 ∈ D.3. Dados d0 y d1 en D, existe d ∈ D tal que di ≤ d para i = 0, 1.

Observacion 4.1.6. Se prueba facilmente por induccion en n, a partir dela condicion 3 de la definicion 4.1.5, que, dados n elementos d1, d2, · · · , dn deun conjunto dirigido D, existe d ∈ D tal que

d ≥ di para todo i = 1, 2, · · · , n.

Ejemplos 4.1.7.

1. El conjunto de los numeros naturales con el orden habitual es un con-junto dirigido.

2. Sea X un conjunto no vacıo. La familia P(X) es un conjunto dirigido,tanto con el orden ⊆ como con el orden ⊇: es claro que ambos ordenestienen las dos primeras propiedades en la definicion; en cuanto a latercera, dados A1, A2 ∈ P(X), se tiene que

A1 ∩ A2 ⊆ Ai ⊆ A1 ∪ A2 para i = 1, 2.

3. Si (X, τ) es un espacio topologico y x ∈ X, la familiaNx es un conjuntodirigido, tanto con el orden ⊆ como con ⊇. La verificacion es igual a ladel ejemplo 4.1.7.2, dado que la union y la interseccion de dos entornosson entornos.

4. El par ({a, b, c},≤), donde a ≤ b, c ≤ b y x ≤ x para todo x ∈ {a, b, c},es un conjunto dirigido.

5. Dadas dos sucesiones {an} y {bn} tales que an 6= am y bn 6= bm si n 6= m,y an 6= bm para todo n,m ∈ N, sea D = {an : n ∈ N} ∪ {bn : n ∈ N}con el orden ≤ dado por

am ≤ an si y solo si m ≤ n,

bm ≤ an si y solo si m+ 1 ≤ n,

bm ≤ bn si y solo si m = n.

Se comprueba facilmente que esta relacion es transitiva.


Ademas,

am, an ≤ amax{m,n},

bm, an ≤ amax{m+1,n},

bm, bn ≤ amax{m+1,n+1}.

6. Dados dos conjuntos dirigidos (Di,≤i), i = 1, 2, el producto cartesianoD1 ×D2 es un conjunto dirigido tanto con el orden lexicografico:

(d1, d2) ≤ (e1, e2) si d1 � e1 o si d1 = e1 y d2 ≤ e2,

como con el orden:

(d1, d2) ≤ (e1, e2) sii di ≤ ei, i = 1, 2.

Se deja la verificacion de los detalles a cargo del lector.

Definiciones 4.1.8. Sea (X, τ) un espacio topologico.

1. Una red en (X, τ) es una funcion T : D → X, donde D es un conjuntodirigido. Escribiremos, en general, Td en lugar de T (d).

2. Se dice que una red {Td}d∈D ⊆ X converge a un punto x ∈ X si paratodo entorno V ∈ Nx existe d0 ∈ D tal que Td ∈ V para todo d ≥ d0.

Observacion 4.1.9. Al igual que en el caso de las sucesiones, se obtieneuna definicion equivalente si se reemplaza en la definicion 4.1.8 la familia deentornos Nx por una base de entornos Bx.

Ejemplos 4.1.10.

1. Las sucesiones son redes y las dos nociones de convergencia coinciden.

2. Una red en un conjunto X con la topologıa indiscreta converge a todoslos puntos de X.

3. Una red {Td}d∈D en un conjunto X con la topologıa discreta convergea x ∈ X si y solo si existe d0 ∈ D tal que Td = x para todo d ≥ d0, yaque {x} ∈ Nx.

4. Sea D el conjunto dirigido del ejemplo 4.1.7.4. Toda red {Td}d∈D en unespacio topologico (X, d) converge (por lo menos) a Tb, ya que d ≥ bimplica que d = b.

5. Sea D el conjunto dirigido del ejemplo 4.1.75. Se considera la red

T : D → R2, Tan = (1

n, 0) y Tbn = (

1

n, 1− 1

n).

La red {Td} converge al punto (0, 0). En efecto, dado ε > 0, sea n0 ∈ Ntal que 1

n0< ε. Si d ∈ D es tal que d ≥ an0 , entonces d = am y m ≥ n0.

Por lo tanto, Td = ( 1m, 0) dista de (0, 0) en menos de ε.

4.2. REDES Y PROPIEDADES TOPOLOGICAS 48

4.2. Redes y propiedades topologicas

El siguiente resultado muestra que las redes cumplen, en espacios topologi-cos en general, el papel que juegan las sucesiones en espacios N1.

Proposicion 4.2.1. Sean (X, τ) un espacio topologico, A ⊆ X y x ∈ X.Entonces x ∈ A si y solo si existe una red contenida en A que converge a x.

Demostracion. Si una red contenida en A converge a x, entonces entodo entorno de x hay puntos de la red y, por lo tanto, hay puntos de A. Enconsecuencia, x ∈ A.

Supongamos ahora que x ∈ A. Consideramos el conjunto dirigido (Nx,⊇).Para cada V ∈ Nx elegimos TV ∈ V ∩ A. La red {TV }V ∈Nx esta contenida enA y converge a x: dado un entorno W de x, para todo V ∈ Nx tal que V ⊂ Wse tiene que TV ∈ V ⊆ W . �

Corolario 4.2.2. Sean (X, τ) un espacio topologico y A ⊆ X. EntoncesA es cerrado si y solo si para toda red {Td} ⊂ A que converge a un punto x deX se tiene que x ∈ A.

Proposicion 4.2.3. Sean σ y τ topologıas en un conjunto X. Entoncesτ ⊆ σ si y solo si toda red que σ-converge a un punto x ∈ X tambien τ -converge a x.

Demostracion. Si τ ⊆ σ y {Td}d∈D σ-converge a x, dado un τ -entorno Vde x, V es tambien un σ-entorno, porque existe A ∈ τ ⊆ σ tal que x ∈ A ⊆ V .Por lo tanto, existe d0 ∈ D tal que Td ∈ V para todo d ≥ d0, y concluimos que{Td} τ -converge a x.

Supongamos ahora que toda red σ-convergente a un punto x es τ -convergentea x. Dado un conjunto τ -cerrado F , sea x un punto en la σ-clausura de F . Porla proposicion 4.2.1, existe una red {Td}d∈D ⊆ F que σ-converge a x. Entonces{Td}d∈D ⊆ F τ -converge a x y, por el corolario 4.2.2, x ∈ F . Resulta entoncesdel corolario 4.2.2 que F es σ-cerrado. Finalmente, si A ∈ τ , entonces Ac esτ -cerrado, lo cual, como se acaba de probar, implica que Ac es σ-cerrado y,por lo tanto, que A ∈ σ. �

Concluimos ası que el comportamiento de las redes en un espacio topologicodetermina la topologıa:

Corolario 4.2.4. Sean τ y σ topologıas en un conjunto X. Las afirma-ciones siguientes son equivalentes:

1. τ = σ.2. Una red en X τ -converge a un punto x ∈ X si y solo si σ-converge ax.

No es de sorprender, a partir del corolario 4.2.4, que las propiedades to-pologicas puedan traducirse a propiedades de las redes, como ilustra el siguien-te resultado.

Proposicion 4.2.5. Un espacio topologico (X, τ) es de Hausdorff si y solosi toda red en X converge a lo sumo a un punto.

4.2. REDES Y PROPIEDADES TOPOLOGICAS 49

Demostracion. Si X es de Hausdorff, sea {Td}d∈D ⊆ X una red queconverge a los puntos x1 y x2. Si x1 6= x2, sean V1 y V2 entornos disjuntos dex1 y x2, respectivamente. Existen entonces di ∈ D, i = 1, 2, tales que Td ∈ Visi d ≥ di. Sea ahora d0 ≥ di, para i = 1, 2. Se tiene entonces que Td0 ∈ V1 ∩V2,lo cual contradice el hecho de que estos entornos son disjuntos. Por lo tanto,x1 = x2.

Suponemos ahora que toda red en X converge a lo sumo a un punto. Seanx, y ∈ X tales que no existen U ∈ Nx y V ∈ Ny disjuntos. Se va a probar quex = y, de donde se concluye que X es de Hausdorff.

Sea D = Nx × Ny, dirigido con la relacion (veanse los ejemplos 4.1.7.3 y4.1.7.6)

(V,W ) ≤ (V ′,W ′) si y solo si V ⊇ V ′ y W ⊇ W ′.

Dado (V,W ) ∈ D, existe un punto T(V,W ) ∈ V ∩ W ; veremos que la redası construida converge tanto a x como a y. Dado un entorno V0 de x, si(V,W ) ≥ (V0, Y ), entonces T(V,W ) ∈ V ∩ W ⊆ V0. Por lo tanto, {Td}d∈Dconverge a x. Un razonamiento analogo prueba que tambien converge a y. Seconcluye entonces que x = y. Por lo tanto, X es de Hausdorff. �

Definiciones 4.2.6. Sean (X, τ) un espacio topologico y {Td}d∈D ⊆ Xuna red.

1. Un punto x ∈ X es un punto de aglomeracion de {Td}d∈D ⊆ X si,dados d0 ∈ D y V ∈ Nx, existe d1 ∈ D, d1 ≥ d0, tal que Td1 ∈ V .

2. Una subred de {Td} es una red de la forma {Ti(e)}e∈E}, donde E esun conjunto dirigido e i : E → D es una funcion que verifica: paratodo d0 ∈ D existe e0 ∈ E tal que i(e) ≥ d0 para todo e ≥ e0.

Ejemplo 4.2.7. Una subsucesion {xnk} es una subred de la sucesion {xn},porque la funcion k 7→ nk verifica la propiedad exigida.

Pero no toda subred de {xnk} se obtiene de esta manera. Consideremos, porejemplo, el conjunto dirigido R+ de los reales positivos con su orden habitual,y sea E : R+ → N la funcion que toma la parte entera, es decir,

E(r) = max{n ∈ N : n ≤ r}.Se verifica facilmente que {xE(r)}r∈R+ es una subred de {xn}, y no esta inde-xada en un conjunto numerable

Proposicion 4.2.8. Sea {Td}d∈D una red en un espacio topologico (X, τ).Un punto x ∈ X es de aglomeracion de {Td} si y solo si existe una subred de{Td} que converge a x.

Demostracion. Sea {Ti(e)}e∈E una subred de {Td} que converge a x.Dados un entorno V ∈ Nx y d0 ∈ D, sean e0 y e1 en E tales que para todoe ∈ E se tiene que i(e) ≥ d0, si e ≥ e0, y que Ti(e) ∈ V si e ≥ e1. Sea ahorae ∈ E tal que e ≥ ei para i = 0, 1. Entonces i(e) ≥ d0 y, ademas, Ti(e) ∈ V .Por lo tanto, x es un punto de aglomeracion.

Recıprocamente, dado un punto de aglomeracion x ∈ X, sea E = Nx×D,dirigido con el orden

(V0, d0) ≤ (V1, d1) si V0 ⊇ V1 y d0 ≤ d1.

4.3. EJEMPLOS DE CONVERGENCIA EN ESPACIOS DE FUNCIONES 50

Para cada (V, d) ∈ E, sea i(V, d) ∈ D tal que i(V, d) ≥ d y Ti(V,d) ∈ V . EntoncesTi(V,d) es una subred de {Td): dado d0 ∈ D, i(e) ≥ d0 para todo e ∈ E tal quee ≥ (X, d0).

Ademas, Ti(V,d) converge a x, porque Ti(e) ∈ V0 para todo e ∈ E tal quee ≥ (V0, d0), donde d0 es un elemento cualquiera de D. �

4.3. Ejemplos de convergencia en espacios de funciones

Notacion 4.3.1. Dados conjuntos S y T , indicaremos con F(S, T ) el con-junto

F(S, T ) = {f : S −→ T}.

Proposicion 4.3.2. Sean S un conjunto no vacıo e Y un espacio topologi-co. Dados s ∈ S y un conjunto abierto U ⊆ Y , sea

Ws,U = {f ∈ F(S, Y ) : f(s) ∈ U}.La familia

R = {Ws,U : s ∈ S, U abierto en Y }es subbase de una topologıa τ en F(S, Y ).

Ademas, una red {fd}d∈D converge a f en (F(S, Y ), τ) si y solo si fd(s)converge a f(s) en Y para todo s ∈ S.

Demostracion. Para probar que R es subbase de una topologıa alcanzacon probar, en virtud de la observacion 3.3.10, que

F(X, Y ) =⋃s,U

Ws,U .

Esto es claro porque Ws,Y = F(S, Y ) para todo s ∈ S.Probemos ahora la segunda afirmacion. Sea {fd}d∈D una red que converge

a f en F(S, Y ). Dados s ∈ S y un entorno abierto V ∈ Nf(s), el conjuntoWs,V es un entorno de f . Entonces existe d0 ∈ D tal que fd ∈ Ws,V para todod ≥ d0. Es decir, fd(s) ∈ V para todo d ≥ d0. Por lo tanto, por la observacion4.1.9, fd(s) converge a f(s).

Recıprocamente, si fd(s) converge a f(s) para todo s ∈ S, dado un entornoW de f en F(S, Y ), sean Wsi,Ui ∈ R, i = 1, · · · , n, tales que

f ∈n⋂i=1

Wsi,Ui ⊆ W .

Como fd(si) converge a f(si) y Ui ∈ Nf(si), para todo i = 1, · · · , n existe dital que fd(si) ∈ Ui para todo d ≥ di. Sea d0 ∈ D tal que d ≥ di, para todoi = 1, · · · , n.

Entonces

fd ∈n⋂i=1

Wsi,Ui ⊆ W , para todo d ≥ d0.

Se probo ası que {fd}d∈D converge a f . �

Definicion 4.3.3. La topologıa τ de la proposicion 4.3.2 es la topologıade la convergencia puntual en F(S, Y ).

4.3. EJEMPLOS DE CONVERGENCIA EN ESPACIOS DE FUNCIONES 51

Definicion 4.3.4. Sean S un conjunto no vacıo y (E, dE) un espaciometrico. Se dice que una funcion f : S −→ E esta acotada si su imagenes un conjunto acotado, es decir, si existe Mf > 0 tal que

dE(f(s), f(t)) ≤Mf , para todo s, t ∈ S.Se indica con Fb(S,E) el conjunto

Fb(S,E) = {f : S −→ E : festa acotada}.

Proposicion 4.3.5. Sean S un conjunto no vacıo y E un espacio metrico.La funcion

d : Fb(S,E)×Fb(S,E) −→ Rdada por

dsup(f, g) = sups∈S

dE(f(s), g(s))

es una metrica en Fb(S,E).

Demostracion. Sea s0 ∈ S y, dadas f y g en Fb(S,E), sean Mf y Mg

constantes tales que

dE(f(s), f(t)) ≤Mf y dE(g(s), g(t)) ≤Mg para todo s, t ∈ S.Entonces

dE(f(s), g(s)) ≤ dE(f(s), f(s0)) + dE(f(s0), g(s0)) + dE(g(s0), g(s))

≤Mf + dE(f(s0), g(s0)) +Mg,

para todo s ∈ S y, por lo tanto,

sups∈S

dE(f(s), g(s)) <∞.

Dadas f, g, h ∈ Fb(S,E), para todo s ∈ S se tiene que

dE(f(s), h(s)) ≤ dE(f(s), g(s)) + dE(g(s), h(s)) ≤ dsup(f, g) + dsup(g, h),

de donde resulta que

dsup(f, h) ≤ dsup(f, g) + dsup(g, h).

La demostracion de que dsup satisface las demas propiedades de una distanciaes elemental y se deja a cargo del lector. �

Observacion 4.3.6. Una red {fd}d∈D en el espacio metrico(Fb(S,E), dsup

)definido en la proposicion 4.3.5 converge a f ∈ Fb(S,E) si y solo si, dado ε > 0,existe d0 ∈ D tal que

dE(fd(s), f(s)) < ε, para todo s ∈ S y d ≥ d0.

Esta convergencia es la convergencia uniforme de una red de funciones.

Definicion 4.3.7. La distancia dsup en Fb(S,E) definida en la proposicion4.3.5 es la distancia del supremo o de la convergencia uniforme.

Capıtulo 5

Funciones continuas


Definicion 5.1.1. Sean X e Y espacios topologicos, y sea

f : X −→ Y

una funcion. Se dice que f es continua en un punto x ∈ X si, dado W ∈Nf(x), existe V ∈ Nx tal que

f(V ) ⊆ W.

Se dice que la funcion f es continua si es continua en todos los puntos de X.

Observacion 5.1.2. Se verifica sin dificultad que se obtiene una definicionequivalente a la definicion 5.1.1 si se reemplaza Nf(x) por una base Bf(x) deentornos de f(x).

Proposicion 5.1.3. Sean (E, dE) y (F, dF ) espacios metricos, x ∈ E y

f : E −→ F.

Las siguientes afirmaciones son equivalentes:

1. f es continua en x.2. Dado ε > 0, existe δ > 0 tal que

dF (f(x), f(y)) < ε para todo y ∈ E tal que dE(x, y) < δ. (5.1.1)

Demostracion.1 ⇒ 2: Dado ε > 0, existe V ∈ Nx tal que

f(V ) ⊆ Bε(f(x)),

existe una bola Bδ(x) ⊆ V .Entonces

f(Bδ(x)) ⊆ f(V ) ⊆ Bε(f(x)),

de donde resulta (5.1.1).2 ⇒ 1: La igualdad (5.1.1) prueba que para toda bola abierta Bε(f(x))

existe un entorno Bδ(x) ∈ Vx tal que

f(Bδ(x)) ⊆ Bε(f(x)).

De ahı resulta la continuidad de f en x, por la observacion 5.1.2, tomandocomo base de entornos de f(x) la coleccion de bolas abiertas {Bε(f(x)) : ε > 0}(vease ejemplo 3.3.25.3). �

52


Observacion 5.1.4. La proposicion 5.1.3 prueba, en particular, un hechoque el lector probablemente haya observado en casos particulares: la conti-nuidad de una funcion entre espacios metricos solo depende de las topologıasinducidas por las metricas y no se altera si se cambian las metricas por metricasequivalentes.

Ejemplo 5.1.5. Sea (E, d) un espacio metrico. La funcion distancia

d : E × E −→ Res continua con cualquiera de las tres metricas definidas en la proposicion 2.3.4:si x, x′, y, y′ ∈ E,

|d(x, y)− d(x′, y′)| ≤ |d(x, y)− d(x, y′)|+ |d(x, y′))− d(x′, y′)|≤ d(y, y′) + d(x, x′),

por la observacion 2.1.3. Por lo tanto, la funcion distancia es continua con lametrica dE×E1 y, en consecuencia, por la observacion 5.1.4, con cualquiera delas tres metricas habituales en el producto E × E.

El siguiente resultado describe la continuidad en terminos de redes.

Proposicion 5.1.6. Sean X e Y espacios topologicos y x ∈ X. Una fun-cion

f : X −→ Y

es continua en x si y solo si, para toda red {Td}d∈D ⊆ X que converge a x, lared {f(Td)}d∈D converge a f(x) en Y .

Demostracion. Si f es continua en x y {Td}d∈D ⊆ X converge a x, seaW ∈ Nf(x). Entonces existe V ∈ Nx tal que

f(V ) ⊆ W.

Sea d0 ∈ D tal que Td ∈ V para todo d ≥ d0.Entonces

f(Td) ∈ f(V ) ⊆ W para todo d ≥ d0.

Por lo tanto, {f(Td)} converge a f(x).Se supone ahora que f no es continua en x. Entonces existe W ∈ Nf(x) tal

que para todo V ∈ Nx se tiene que

f(xV ) 6∈ W para algun xV ∈ V. (5.1.2)

Se obtiene ası una red {xV }V ∈Nx , al ordenar Nx con ⊃. Es claro que {xV }converge a x ya que, dado V0 ∈ Nx, xV ∈ V0 para todo V ⊆ V0.

Por otro lado, {f(xV )} no converge a f(x) por (5.1.2). �

Proposicion 5.1.7. Sean X e Y espacios topologicos y

f : X −→ Y.

Las siguientes afirmaciones son equivalentes:

1. f es continua.2. Para todo x ∈ X, W ∈ Nf(x) implica que f−1(W ) ∈ Nx.3. f−1(A) es abierto en X para todo conjunto abierto A ⊆ Y .


4. Si B es una base de la topologıa en Y , entonces f−1(A) es abierto enX para todo conjunto abierto A ∈ B.

5. Si S es una subbase de la topologıa en Y , entonces f−1(A) es abiertoen X para todo conjunto abierto A ∈ S.

6. f−1(F ) es cerrado en X para todo conjunto cerrado F ⊆ Y .

Demostracion.1 ⇒ 2: Si W ∈ Nf(x), existe V ∈ Nx tal que

f(V ) ⊆ W y, por lo tanto, V ⊆ f−1(W ),

lo cual prueba que f−1(W ) ∈ Nx, por la parte 2 de la proposicion 3.1.5.2 ⇒ 3: Si A ⊆ Y es abierto, entonces A ∈ Na para todo a ∈ A. Por 2),

f−1(A) ∈ Nx para todo x ∈ f−1(A). Se concluye entonces, a partir de la parte5 de la proposicion 3.1.5, que f−1(A) es abierto.

Es claro que 3 ⇒ 4 y que 4 ⇒ 5.5⇒ 6: Sea S una subbase de la topologıa en Y . Dado un conjunto cerrado

F ⊆ Y , se tiene que

F c =⋃α∈Λ

⋂V ∈Cα

V,

donde Cα es un subconjunto finito de S para todo α ∈ Λ.Entonces

(f−1(F ))c = f−1(F c) =⋃α∈Λ

⋂V ∈Cα

f−1(V ),

que es abierto. Por lo tanto, f−1(F ) es cerrado.6 ⇒1: dados x ∈ X y W ∈ Nf(x), sea A un conjunto abierto tal que

f(x) ∈ A ⊆ W.

Entoncesf−1(A) = (f−1(Ac))c

es abierto.Por lo tanto,

f−1(A) ∈ Nx y f(f−1(A)) ⊆ A ⊆ W.

En consecuencia, f es continua en x. �

Observacion 5.1.8. Sean τ y σ topologıas en un conjunto X. Resultaclaro, a partir de la proposicion 5.1.7, que σ ⊆ τ si y solo si

id : (X, τ) −→ (X, σ)

es continua.

Ejemplos 5.1.9.

1. Toda funcion f : X −→ Y es continua si X es discreto, porque todosubconjunto de X es abierto.

2. Toda funcion f : X −→ Y es continua si Y es indiscreto, porque elunico subconjunto abierto no vacıo de Y es Y , y f−1(Y ) = X, que esabierto.


3. Toda funcion constante es continua, porque la preimagen de un abiertoes vacıa o es todo el dominio.

4. Si f : X −→ Y es continua, tambien lo es su restriccion a un subcon-junto Z ⊆ X no vacıo, porque, si A ⊆ Y es abierto

(f |Z)−1(A) = f−1(A) ∩ Z,que es abierto en Z con la topologıa relativa.

5. Si f : X −→ Y es continua, y f(X) ⊆ Z ⊆ Y , entonces la correstriccion

fZ : X −→ Z,

dada por fZ(x) = f(x) para todo x ∈ X, es continua, porque, si A ⊆ Zes abierto en Z, entonces

A = B ∩ Z,donde B es abierto en Y , y

(fZ)−1(A) = f−1(B ∩ Z) = f−1(B),

que es abierto en X.

6. Seanf : X −→ Y y g : Y −→ Z

funciones continuas. Entonces g◦f es continua: si A ⊆ Z es abierto,entonces g−1(A) es abierto en Y y, por lo tanto,

(g◦f)−1(A) = f−1(g−1(A))

es abierto en X.

7. Consideremos Z con la topologıa par-impar.La funcion

f : Z −→ Z,dada por f(n) = n+ 1 no es continua, porque

f−1({2n− 1, 2n}) = {2n− 2, 2n− 1},que no es abierto.

8. Sea τ0 la topologıa del cero en R; una funcion

f : (R, τ0) −→ (R, τ0)

es continua si y solo si es constante o f(0) = 0.Ya se vio en el ejemplo 5.1.9.3 que las funciones constantes son

continuas.Por otro lado, si f(0) = 0, la funcion f es continua: si A ⊆ R es

abierto y no vacıo, entonces 0 ∈ A. En consecuencia, 0 ∈ f−1(A) yf−1(A) es abierto.

Si f no es constante, y f(0) 6= 0, f no es continua: sea α 6= f(0) enla imagen de f . Entonces f−1({0, α}) no es vacıo y no contiene al cero,


y, por lo tanto, no es abierto.

9. Sean (E, d) un espacio metrico y x0 ∈ E.La funcion

fx0 : E −→ R,dada por fx0(x) = d(x, x0), es continua: dados x ∈ E y ε > 0, siy ∈ Bε(x), entonces

|fx0(x)− fx0(y)| = |d(x, x0)− d(y, x0)| ≤ d(x, y) < ε.

Definicion 5.1.10. Sean (E, dE) y (F, dF ) espacios metricos.Una funcion

f : E −→ F

es una inmersion isometrica si

dF (f(x), f(y)) = dE(x, y) para todo x, y ∈ E. (5.1.3)


1. Resulta inmediato, a partir de (5.1.3), el hecho de que toda inmersionisometrica es inyectiva.

2. Una inmersion isometrica f es continua, porque

f−1(Bε(f(x))

)= Bε(x),

para todo x ∈ E y ε > 0.

Definicion 5.1.12. Una isometrıa es una inmersion isometrica sobre-yectiva.


1. Toda isometrıa es invertible, por la observacion 5.1.11.1.2. Se prueba facilmente que la inversa de una isometrıa y la composicion

de isometrıas son isometrıas.

Ejemplo 5.1.14. Sean X un espacio normado y u ∈ X. La funcion

Tu : X −→ X,

dada por Tu(x) = x+ u, es una isometrıa:

d(Tu(x), Tu(y)) = ‖Tu(x)− Tu(y)‖ = ‖x+ u− (y + u)‖ = ‖x− y‖ = d(x, y).

Ademas, T−1u = T−u.

Definicion 5.1.15. Dos espacios metricos E y F son isometricos si exis-te una isometrıa entre ellos.

Definicion 5.1.16. Sean (E, dE) y (F, dF ) espacios metricos.Una funcion

f : E −→ F

es uniformemente continua si, dado ε > 0, existe δ > 0 tal que

dF (f(x), f(y)) < ε (5.1.4)

para todo x, y ∈ X tales que dE(x, y) < δ.


Observacion 5.1.17. Es claro, a partir de la proposicion 5.1.3, que todafuncion uniformemente continua es continua. Por otro lado, en la proposicion5.1.3, dado ε > 0, el valor de δ depende, en principio, del punto en el cual seestudia la continuidad, mientras que en el caso de la continuidad uniforme elmismo δ garantiza que se cumple (5.1.4) para todo x, y.

Ejemplo 5.1.18. Una inmersion isometrica es uniformemente continua: seobtiene (5.1.4) tomando δ = ε.

Definicion 5.1.19. Sean X e Y espacios topologicos. Una funcion

f : X −→ Y

es un homeomorfismo si es continua e invertible, y su inversa es continua.Dos espacios topologicos X e Y son homeomorfos si existe un homeomorfis-mo f : x −→ Y .

Observacion 5.1.20. Sean X e Y espacios topologicos. Las siguientesafirmaciones se prueban facilmente.

1. Si f : X −→ Y es un homeomorfismo, tambien lo es

f−1 : Y −→ X.

2. Si f : X −→ Y y g : Y −→ Z son homeomorfismos, tambien lo es

g◦f : X −→ Z.

Ejemplos 5.1.21.

1. Una isometrıa entre espacios metricos es un homeomorfismo. Por lotanto, dos espacios metricos isometricos tambien son homeomorfos. Elrecıproco no vale: la funcion

Arctg : (−π2,π

2) −→ R

es un homeomorfismo entre R y (−π2, π

2), que no son isometricos, ya

que d(x, y) ≤ π si x, y ∈ (−π2, π

2), mientras que la distancia en R no

esta acotada.

2. Sean X un espacio normado y λ un escalar. La funcion

Mλ : X −→ X,

dada por Mλ(x) = λx, es un homeomorfismo si λ 6= 0.En efecto, Mλ es uniformemente continua: dado ε > 0,

d(Mλ(x),Mλ(y)) = ‖λx− λy‖ = |λ|‖x− y‖ < ε (5.1.5)

si ‖x− y‖ < ε|λ| .

Ademas,

M−1λ = M 1

λ.

Como muestra (5.1.5), Mλ es una isometrıa si y solo si |λ| = 1.


Observacion 5.1.22. Sean X un espacio normado y A ⊆ X. Dados x ∈ Xy un escalar λ, se definen los conjuntos

A+ {x} = {a+ x : a ∈ A} y λA = {λa : a ∈ A}.(Se escribe a veces A+ x en lugar de A+ {x}).

En la notacion de los ejemplos 5.1.14 y 5.1.21.2,

A+ x = Tx(A) y λA = Mλ(A).

En particular, como Tx y Mλ son homeomorfismos, para todo x ∈ X y λ 6= 0,A es abierto si y solo si A+ x y λA lo son.

Definicion 5.1.23. Sean X e Y espacios topologicos. Una funcion

f : X −→ Y

es abierta si f(U) es abierto para todo conjunto abierto U ⊆ X, y es cerradasi f(F ) es cerrado para todo conjunto cerrado F ⊆ X.


f : X −→ Y

una funcion biyectiva. Las siguientes afirmaciones son equivalentes:

1. f es un homeomorfismo.2. f es continua y abierta.3. f es continua y cerrada.

Demostracion.1 ⇒ 2: Si A es abierto en X, entonces,

f(A) = (f−1)−1(A)

es abierto en Y .2 ⇒ 3: Si F ⊆ X es cerrado, entonces, como f es biyectiva,

f(F ) = (f(F c))c

es cerrado.3 ⇒ 1: Si F ⊆ X es cerrado, entonces

(f−1)−1(F ) = f(F )

es cerrado. Por lo tanto, f−1 es continua y f es un homeomorfismo. �

Proposicion 5.1.25. Sean (X, τ) un espacio topologico y (E, d) un espa-cio metrico. El conjunto Cb(X,E) de funciones continuas y acotadas es unsubespacio cerrado de

(Fb(X,E), dsup

).

Demostracion. Sea f una funcion en la clausura de Cb(X,E) en Fb(X,E);queremos probar que f ∈ Cb(X,E), es decir, que f es continua.

Dados x ∈ X y ε > 0, sean g ∈ Cb(X,E) y V ∈ Nx tales que

dsup(f, g) < ε/3 y d(g(x), g(y)) < ε/3 si y ∈ V.Entonces, si y ∈ V :

d(f(x), f(y)) ≤ d(f(x), g(x)) + d((g(x), g(y)) + d(g(y), f(y))

< dsup(f, g) + ε/3 + dsup(g, f) < ε.

5.2. EL CONJUNTO DE CANTOR 59

Por lo tanto, f es continua. �

Observacion 5.1.26. Si X e Y son espacios topologicos, el conjunto defunciones continuas no es, en general, cerrado en F(X, Y ) con la topologıade la convergencia puntual. Por ejemplo, la sucesion de funciones continuas{fn} ∈ F([0, 1],R), fn(x) = xn, converge puntualmente a una funcion que noes continua.

5.2. El conjunto de Cantor

Notacion 5.2.1. Si I = [a, b] es un intervalo cerrado en R, se indica conI∗ el conjunto

I∗ = [a, a+b− a

3] ∪ [a+ 2

b− a3

, b].

Si J =⋃nk=1 Ik es la union de una cantidad finita de intervalos cerrados y dos

a dos disjuntos, se indica con J∗ el conjunto

J∗ =n⋃k=1

I∗k .

Definicion 5.2.2. Sean A0 = [0, 1] y An = A∗n−1, para todo n ≥ 1. Elconjunto de Cantor es el conjunto

C =∞⋂n=0

An.

Observacion 5.2.3. El conjunto de Cantor es cerrado en R, al ser lainterseccion de conjuntos cerrados.

Proposicion 5.2.4. Para todo n ≥ 1

An =2n⋃k=1

In,k,

donde

In,k = [a(k)n , b(k)

n ], b(k)n − a(k)

n =1

3npara todo k = 1, · · · , 2n

y

{a(k)n : k = 1, · · · , 2n} = {

n∑i=1

xi3i

: xi ∈ {0, 2}}.

En particular, los intervalos In,k, con k = 1, 2, · · · 2n, son dos a dos disjuntos.

Demostracion. Procederemos por induccion en n. Para n = 1

A1 = [0,1

3] ∪ [

2

3, 1]

y la afirmacion es cierta.Supongamos ahora que la proposicion vale para n− 1. Entonces

An = A∗n−1 =2n−1⋃k=1

[a(k)n−1, b

(k)n−1]∗,


donde

{a(k)n−1 : k = 1, · · · , 2n−1} = {

n−1∑i=1

xi3i

: xi ∈ {0, 2}}

y b(k)n−1 − a

(k)n−1 = 1

3n−1 para todo k = 1, · · · , 2n−1.Ahora,

[a(k)n−1, b

(k)n−1]∗ = [a

(k)n−1, a

(k)n−1 +

b(k)n−1 − a

(k)n−1

3] ∪ [a

(k)n−1 + 2

b(k)n−1 − a

(k)n−1

3, b

(k)n−1] =

= [a(k)n−1, a

(k)n−1 +

1

3n] ∪ [a

(k)n−1 +

2

3n, b

(k)n−1].

Por lo tanto,

{a(k)n } = {a(k)

n−1, a(k)n−1 +

2

3n: k = 1, · · · , 2n−1} =

= {n−1∑i=1

xi3i,n−1∑i=1

xi3i

+2

3n: xi ∈ {0, 2}} = {

n∑i=1

xi3i

: xi ∈ {0, 2}}.

Es claro, ademas, que b(k)n − a(k)

n = 13n. �

El siguiente resultado sera de utilidad para estudiar con mas detalle elconjunto de Cantor.

Lema 5.2.5. Sean

r =∞∑j=1

xj3j

y s =∞∑j=1

yj3j,

donde xj, yj ∈ {0, 2} para todo j ≥ 1. Si n0 es tal que xn0 6= yn0 y xj = yj paratodo j < n0, entonces

|r − s| ≥ 1

3n0.

Demostracion. Por un lado,∣∣ ∞∑n0+1

xj − yj3j

∣∣ ≤ ∞∑n0+1

|xj − yj|3j

≤∞∑

j=n0+1

2

3j=

2

3n0+1

∞∑0

1

3j=

1

3n0.

Por lo tanto,

|r − s| =∣∣ ∞∑j=1

xj − yj3j

∣∣ =∣∣ ∞∑j=n0

xj − yj3j

∣∣≥∣∣ |xn0 − yn0|

3n0− |

∞∑n0+1

xj − yj3j

|∣∣

≥ 2

3n0− 1

3n0=

1

3n0.

�


Proposicion 5.2.6. Sean n,m ∈ N, n < m y

An =2n⋃l=1

In,l y Am =2m⋃l=1

Im,l,

donde, como en la proposicion 5.2.4, Ip,l = [a(l)p , b

(l)p ], para todo l = 1, · · · , 2p,

p ∈ {m,n}.Si Im,r ∩ In,s 6= ∅, entonces Im,r ⊆ In,s y existen x1, x2, · · · , xm ∈ {0, 2}

tales que

a(s)n =

n∑k=1

xk3k

y a(r)m =

m∑k=1

xk3k.

Demostracion. Probaremos primero, por induccion en m− n, que

Im,r ⊆ In,s.

Si m = n + 1, Im,r ⊆ I∗n,t(r) para algun t(r) ∈ {1, 2, · · · , 2n}. Entonces, si

s = t(r), Im,r ⊆ In,s; de lo contrario, Im,r ∩ In,s = ∅.Ahora, si Im,r ∩ In,s 6= ∅, sea t(m, r) tal que

1 ≤ t(m, r) ≤ 2m−1 e Im,r ⊆ Im−1,t(m,r).

Entonces Im−1,t(m,r) ∩ In,s 6= ∅ y, por la hipotesis de induccion,

Im,r ⊆ Im−1,t(m,r) ⊆ In,s. (5.2.1)

Se sabe, por la proposicion 5.2.4, que

a(s)n =

n∑k=1

yk3k

y a(r)m =

m∑k=1

xk3k,

donde yk, xl ∈ {0, 2} para todo k = 1, · · · , n y l = 1, · · · ,m. Solo falta probarque yk = xk para todo k = 1, · · · , n.

Por (5.2.1) tenemos que

[a(r)m , b(r)

m ] ⊆ [a(s)n , b(s)

n ],

lo cual implica que

0 ≤ a(r)m − a(s)

n <1

3n. (5.2.2)

Si existe k0, 1 ≤ k0 ≤ n, tal que yk0 6= xk0 y xk = yk para todo k < k0,entonces, por el lema 5.2.5 y por (5.2.2),

1

3k0≤ a(r)

m − a(s)n <

1

3n,

de donde se concluye que k0 > n, contra lo supuesto. �

Proposicion 5.2.7. La correspondencia

ψ : {{xn}n≥1 : xn ∈ {0, 2} para todo n} −→ C,

dada por ψ({xn}) =∑∞

n=1xn3n

, es una biyeccion.


Demostracion. Observese primero que, efectivamente, la imagen de ψesta contenida en el conjunto de Cantor. Se probo en la proposicion 5.2.6 quelas sumas finitas

∞∑n=1

xn3n

, donde {xn}n≥1 ⊆ {0, 2}

pertenecen a C. Entonces, como C es cerrado, tambien contiene a la imagen deψ.

Por otro lado, si t ∈ C, entonces t ∈ An para todo n ≥ 1. Por lo tanto,para cada n ≥ 1 existe l(n, t) ∈ {1, 2, · · · , 2n} tal que

t ∈ [a(l(n,t))n , b(l(n,t))

n ].

Por la proposicion 5.2.6, existe una sucesion {xn}n≥1 ⊆ {0, 2} tal que

a(l(n,t))n =

n∑k=1

xk3k.

Ademas, como

t− a(l(n,t))n ≤ 1

2n,

la sucesion {a(l(n,t))n }n≥1 converge a t.

Es decir,

t =∞∑k=1

xk3k,

lo cual prueba que ψ es sobreyectiva.Finalmente, la inyectividad de ψ es consecuencia inmediata del lema 5.2.5.

�

Proposicion 5.2.8. El conjunto de Cantor tiene interior vacıo en R.

Demostracion. Si C 6= ∅, existe un intervalo abierto (a, b) ⊆ C. Es decir,(a, b) ⊆ An, para todo n ∈ N. Entonces, para todo n ∈ N existe l(n) tal que

(a, b) ⊆ [a(l(n))n , b(l(n))

n ].

Por lo tanto, b − a ≤ 12n

para todo n ≥ 1, lo cual contradice el hecho deque a < b. �

Proposicion 5.2.9. Todo punto del conjunto de Cantor es un punto deacumulacion.

Demostracion. Dados t ∈ C y ε > 0, sea, como en la proposicion 5.2.7,una sucesion {xn} ⊆ {0, 2} tal que

t =∞∑n=1

xn3n.

Si existe n0 tal que xk = 0 para todo k ≥ n0, sea n1 ≥ n0 tal que 23n1

< ε.Entonces

s := t+2

3n1∈ C,


por la proposicion 5.2.7, y |s − t| < ε. Se probo ası que t es un punto deacumulacion de C.

Si, en cambio, la sucesion {xn} toma infinitas veces el valor 2, entonces en

cualquier entorno de t hay sumas parciales∑N

n=1xn3n

, que son puntos diferentesde t. Por lo tanto, tambien en ese caso t es un punto de acumulacion de C. �

Proposicion 5.2.10. Existe una funcion

f : C −→ [0, 1]

que es uniformemente continua y sobreyectiva.

Demostracion. En virtud de la proposicion 5.2.7, podemos definir

f(∞∑n=1

xn3n

) =∞∑n=1

xn/2

2n,

donde {xn} ⊆ {0, 2}, es decir, {xn/2} ⊆ {0, 1}. En consecuencia, por la pro-posicion 1.3.18, f es sobreyectiva.

Ademas f es uniformemente continua: dado ε > 0, sea k ≥ 1 tal que 12k< ε.

Sean r, s ∈ C tales que |r − s| < 13k+1 . Si

r =∞∑j=1

xj3j

y s =∞∑j=1

yj3j,

entonces, por el lema 5.2.5,

xj = yj para todo j ≤ k.

Por lo tanto,

|f(r)− f(s)| =∣∣ ∞∑j=k+1

(xj − yj)/22j

∣∣≤

∞∑j=k+1

|(xj − yj)/2|2j

≤∞∑

j=k+1

1

2j

=1

2k< ε.

�

Observacion 5.2.11. La funcion f de la proposicion 5.2.10 no es inyectiva:

f(1

3) = f

( ∞∑j=2

2

3k)

=∞∑j=2

1

2k=

1

2= f(

2

3).

Proposicion 5.2.12. El conjunto de Cantor tiene el mismo cardinal queel intervalo [0, 1].


Demostracion. La inclusion es una funcion inyectiva de C en [0, 1]. Porotro lado, por la proposicion 5.2.10 y la proposicion 1.2.7, existe una fun-cion inyectiva en la otra direccion. La afirmacion es, entonces conscuencia delteorema de Cantor-Bernstein (1.2.9).

�

Capıtulo 6

Topologıa producto


Definicion 6.1.1. Sean X un conjunto y {Xi}i∈I una familia de espaciostopologicos. Dada una familia F = {fi}i∈I de funciones

fi : X −→ Xi,

la topologıa inicial en X con respecto a F es la topologıa generada por

S = {f−1i (U) : Ues un subconjunto abierto de Xi, i ∈ I}. (6.1.1)

Observacion 6.1.2. Es claro, a partir de la proposicion 3.3.13, que latopologıa inicial es la menor topologıa en X para la cual la funcion fi escontinua para todo i ∈ I.

Definicion 6.1.3. Sea {Xi}i∈I una familia de espacios topologicos. Latopologıa producto en el producto

∏i∈I Xi es la topologıa inicial con respecto

a la familia de proyecciones {pj}j∈I , dadas por

pj :∏i∈I

Xi −→ Xj, pj(f) = f(j).

Observacion 6.1.4. Los miembros de la subbase en (6.1.1) de la topologıaproducto son de la forma

p−1i (U) = Si,U = {f ∈

∏i∈I

Xi : f(i) ∈ U},

donde U es un subconjunto abierto de Xi.Los miembros de la correspondiente base de la topologıa producto son de

la forman⋂k=1

p−1ik

(Uk) = Si1,U1 ∩ · · · ∩ Sin,Un =∏i∈I

Yi, (6.1.2)

con n ∈ N e ik ∈ I para todo k = 1, · · · , n, donde

Yi =

{Xi si i 6∈ {ik : k = 1, · · · , n},Uk si i = ik.

Observacion 6.1.5. Si se toma el producto de una cantidad finita defactores X1, X2, · · · , Xn, los miembros de la base descritos en (6.1.2) son lossubconjuntos de X1 ∩X2 ∩ · · · ∩Xn de la forma

U1 ∩ U2 ∩ · · · ∩ Un,donde Ui es un subconjunto abierto de Xi para todo i = 1, · · · , n.

65

6.2. PROPIEDADES DE LA TOPOLOGIA PRODUCTO 66

Ejemplo 6.1.6. Sean (E1,m1), · · · , (En,mn) espacios metricos. La topo-logıa inducida por las metricas d1, d2 y d∞ estudiadas en la proposicion 2.3.4es la topologıa producto en

E = E1 × E2 · · · × En.

Por un lado, la bola abierta Bd∞ε (e), donde e = (e1, · · · , en), es abierta en la

topologıa producto porque

Bd∞ε (e) =

n∏i=1

Bmiε (ei),

y es, en consecuencia, de la forma descrita en (6.1.2). Esto prueba que latopologıa inducida por cualquiera de las tres metricas en E esta contenida enla topologıa producto.

Por otro lado, un abierto de la base de la topologıa producto

U = U1 × U2 × · · ·Un,

donde Ui es abierto en Ei, es abierto con d∞: si e = (e1, · · · , en) ∈ U , entoncesei ∈ Ui para todo i = 1, · · · , n. Por lo tanto, existe εi > 0 tal que Bmi

εi(ei) ⊆ Ui.

Tomando ahora ε ≤ εi para todo i = 1, · · · , n, se tiene que Bd∞ε (e) ⊆ U .

Entonces U es abierto con d∞, como se querıa probar.

Observacion 6.1.7. Vale un resultado mas general que el del ejemplo6.1.6: si {(En,mn)}n∈N es una familia numerable de espacios metricos, la to-pologıa producto en

∏n∈NEn es metrizable: puede probarse que esta inducida

por la distancia

d(e, f) =∑n∈N

mn(en, fn)

2n(1 +mn(en, fn)),

donde e = {en} y f = {fn}.

6.2. Propiedades de la topologıa producto

Proposicion 6.2.1. Sea {Xi}i∈I una familia de espacios topologicos.Las proyecciones

pj :∏i

Xi −→ Xj

son funciones continuas y abiertas.

Demostracion. La funcion pj es continua, para todo j ∈ I, por laobservacion 6.1.2. Para probar que pj es abierta, alcanza con probar quepj(U) es abierto si U es un abierto de la base descrita en 6.1.2, ya quepj(⋃

i Ui))

=⋃pj(Ui). Sea entonces

U =∏i∈I

Yi,

donde Yi = Xi salvo para una cantidad finita de valores i1, · · · , in, para loscuales Yik = Uik , para algun subconjunto abierto Uik de Xik .


Entonces

pj(U) =

{Xj si j 6∈ {i1, · · · , in},Uik si j = ik para algun k ∈ {1, 2, · · · , n}.

En cualquier caso, pj(U) es abierto. �

Observacion 6.2.2. No es cierto que las proyecciones sean siempre cerra-das: el conjunto

F = {(x, 1

x) : x > 0}

es cerrado en R2, pero su proyeccion sobre la primera copia de R es

p1(F ) = {x : x > 0},que no es cerrado en R.

Describimos a continuacion la topologıa producto en terminos de la con-vergencia de redes.

Proposicion 6.2.3. Sea {Xi}i∈I una familia de espacios topologicos. Unared {Td}d∈D en

∏iXi converge a un punto x ∈

∏iXi si y solo si pi(Td)

converge a pi(x) para toda proyeccion pi, con i ∈ I.

Demostracion. Sea {Td}d∈D una red converge a x en∏

iXi. Como pies continua para todo i ∈ I, la red pi(Td) converge a pi(x) por la proposicion5.1.6.

Recıprocamente, si pi(Td) converge a pi(x) para todo i ∈ I, dado V ∈ Nx,existen i1, i2, · · · , in ∈ I y conjuntos W1, · · · ,Wn abiertos en Xi1 , · · · , Xin ,respectivamente, tales que

x ∈n⋂j=1

p−1ij

(Wj) ⊆ V.

Como Wj ∈ Npij (x), para cada j = 1, · · · , n, existe dj ∈ D tal que pij(Td) ∈ Wj

para todo d ≥ dj. Sea d0 ≥ dj para todo j = 1, · · · , n.Entonces

Td ∈n⋂j=1

p−1ij

(Wj) ⊆ V,

para todo d ≥ d0. Por lo tanto, {Td} converge a x. �

Corolario 6.2.4. Sea {Xi}i∈I una familia de espacios topologicos, y sea

f : X −→∏i

Xi,

donde X es un espacio topologico. La funcion f es continua si y solo si escontinua la funcion pi◦f para todo i ∈ I, donde pi es la proyeccion sobre Xi.

Demostracion. Por la proposicion 5.1.6, la funcion f es continua en xsi y solo si, para toda red {Td} que converge a x, la red {f(Td)} converge af(x). Esto es equivalente, por la proposicion 6.2.3, a que, para todo i ∈ I,la red (pi◦f)(Td) converja a (pi◦f)(x), para toda red {Td} que converge a x.


Finalmente, por la proposicion 5.1.6, esto ultimo es equivalente a que pi◦f seacontinua en x. �

Ejemplo 6.2.5. Si S es un conjunto e Y es un espacio topologico, el espaciotopologico Y S es el conjunto

Y S =∏s∈S

Ys, donde Ys = Y para todo s ∈ S.

Observese queY S = {f : S −→ Y }

y que la proyeccion ps es la evaluacion ps(f) = f(s). Por la proposicion 6.2.3, laproposicion 4.3.2 y el corolario 4.2.4, concluimos que Y S coincide con F(S, Y )con la topologıa de la convergencia puntual.

Proposicion 6.2.6. Sea {Xi}i∈I una familia de espacios topologicos. Elproducto

∏iXi es de Hausdorff si y solo si Xi es de Hausdorff para todo i ∈ I.

Demostracion. Supongamos que Xi es de Hausdorff para todo i ∈ I, ysean x, y ∈

∏iXi, x 6= y. Sea i ∈ I tal que x(i) 6= y(i) y sean V y W entornos

disjuntos en Xi de x(i) e y(i), respectivamente. Entonces, si pi es la proyeccionsobre Xi, p

−1i (V ) y p−1

i (W ) son entornos disjuntos de x e y, respectivamente,en∏

iXi.Recıprocamente, si

∏iXi es de Hausdorff, dados xj, yj ∈ Xj, xj 6= yj, sean

x, y ∈∏

iXi tales que x(j) = xj y y(j) = yj, y x(k) = y(k) para todo k 6= j.Sean V y W entornos disjuntos de x e y, respectivamente. Sean

⋂nk=1 p

−1ik

(Uk)

y⋂ml=1 p

−1jl

(Vl) abiertos de la base en (6.1.2) tales que

x ∈n⋂k=1

p−1ik

(Uk) ⊆ V y y ∈m⋂l=1

p−1jl

(Vl) ⊆ W.

Como V y W son disjuntos y x(i) = y(i) si i 6= j, entonces existen k y ltales que ik = j = jl y Uk∩Vl = ∅. Por lo tanto, Uk y Vl son entornos disjuntosde xj y yj, respectivamente. �

Capıtulo 7

Espacios topologicos conexos


Definicion 7.1.1. Un espacio topologico (X, τ) es conexo si no existendos conjuntos abiertos, no vacıos y disjuntos A,B ⊆ X tales que

X = A ∪B.Un subconjunto Y ⊆ X es conexo si lo es con la topologıa relativa.

Ejemplos 7.1.2.

1. Un espacio con un solo elemento es conexo, porque no se puede escribircomo union de dos conjuntos disjuntos no vacıos.

2. Un conjunto X con mas de un elemento no es conexo con la topologıadiscreta: si x ∈ X se tiene que

X = {x} ∪ {x}c.

3. Un conjunto X con la topologıa indiscreta es conexo, ya que no tienesubconjuntos abiertos disjuntos y no vacıos.

4. El espacio X = [1, 2) ∪ [3,+∞) no es conexo porque [1, 2) y [3,+∞)son abiertos disjuntos en X.

5. El espacio Q de los numeros racionales no es conexo, porque

Q =((−∞,

√2) ∩Q

)∪((√

2,+∞) ∩Q).

6. Un conjunto infinito X con la topologıa de los complementos finitos esconexo: si A y B son subconjuntos disjuntos no vacıos de X, entonces

X = (A ∩B)c = Ac ∪Bc.

Por lo tanto, A o B no es abierto.

7. R con la topologıa del cero es conexo: no tiene subconjuntos abiertos,disjuntos y no vacıos.

Proposicion 7.1.3. El intervalo [0, 1] es conexo.

Demostracion. Supongamos que A y B son subconjuntos abiertos, dis-juntos y no vacıos de [0, 1] y que

[0, 1] = A ∪B. (7.1.1)

69


Podemos suponer que 0 ∈ A; en caso contrario se intercambian los papeles quecumplen A y B en lo que sigue.

Sea

S = {x ∈ A : x ≤ b para todo b ∈ B}.El conjunto S esta acotado por 1, y no es vacıo porque 0 ∈ S. Sea α = supS.

Entonces

α ∈ S ⊆ A = A.

Si α = 1, se tendrıa que B = ∅, contradiciendo lo supuesto; por lo tanto,α < 1. Sea β = mınB; se tiene que α < β, porque α ≤ β y α ∈ A ⊆ Bc.Ahora, si x ∈ (α, β), x 6∈ B porque x < β y x 6∈ A, porque es una cota inferiorde B que no pertenece a S, ya que es mayor que supS.

Por lo tanto, (α, β) ⊆ [0, 1] y

(α, β) ∩ (A ∪B) = ∅,

lo cual contradice (7.1.1). �


1. X es conexo.2. No existen A,B ⊆ X cerrados, disjuntos y no vacıos tales que

X = A ∪B.

3. Si A ⊆ X es abierto y cerrado, entonces A = ∅ o A = X.4. No existe una funcion continua y sobreyectiva

f : X −→ {0, 1}.

Demostracion.1) ⇒ 2): Si A y B son subconjuntos cerrados, disjuntos y no vacıos de X

tales que X = A∪B, entonces Ac y Bc son subconjuntos abiertos, disjuntos yno vacıos de X tales que X = Ac ∪ Bc, lo cual contradice el hecho de que Xes conexo.

2) ⇒ 3): Si A es abierto y cerrado, entonces X = A ∪ Ac, donde A y Ac

son cerrados disjuntos. Por lo tanto, uno de ellos es vacıo, es decir A = ∅ oA = X.

3) ⇒ 4): Sea f : X −→ {0, 1} una funcion continua. Como {0} es abiertoy cerrado en {0, 1}, f−1({0}) es abierto y cerrado en X.

Por lo tanto,

f−1({0}) = ∅ y f(x) = 1 para todo x ∈ X,o

f−1({0}) = X y f(x) = 0 para todo x ∈ X.En cualquier caso, f es constante y no es sobreyectiva.

4) ⇒ 1): Si X = A ∪ B, donde A y B son abiertos, disjuntos y no vacıos,la funcion

f : X −→ {0, 1},


definida por f(x) = 0 si x ∈ A, y f(x) = 1 si x 6∈ A es sobreyectiva. Ademas,es continua: los subconjuntos abiertos no vacıos de {0, 1} son {0}, {1} y {0, 1},y sus preimagenes por f son, respectivamente, A, B y X, que son abiertos.

�

Teorema 7.1.5. (Bolzano) Sean X e Y espacios topologicos y

f : X −→ Y

una funcion continua. Si X es conexo, f(X) tambien lo es.

Demostracion. Si f(X) no es conexo, existe, por la proposicion 7.1.4,una funcion continua y sobreyectiva

g : f(X) −→ {0, 1}.Entonces g◦f es una funcion continua y sobreyectiva de X en {0, 1} y, enconsecuencia, X no es conexo. �

Corolario 7.1.6. Sean X e Y espacios topologicos homeomorfos. Enton-ces X es conexo si y solo si Y lo es.

Demostracion. La demostracion es inmediata al aplicar el teorema deBolzano (7.1.5) a un homeomorfismo de X en Y y a su inversa. �

Proposicion 7.1.7. Sean (X, τ) un espacio topologico, C un subconjuntoconexo de X y D ⊆ X tal que

C ⊆ D ⊆ C.

Entonces D es conexo.

Demostracion. Supongamos que

D = (A ∩D) ∪ (B ∩D),

donde A y B son abiertos en X, y A∩D y B ∩D son disjuntos y no vacıos. Sia ∈ A∩D, entonces a ∈ C y A ∈ Na. Por lo tanto, A∩C 6= ∅. Analogamente,B ∩ C 6= ∅. Entonces C no es conexo, porque

C = D ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C),

y A ∩ C y B ∩ C son abiertos en C, disjuntos y no vacıos. �

Corolario 7.1.8. La clausura de un subconjunto conexo de un espaciotopologico tambien es conexa.

Proposicion 7.1.9. Sea (X, τ) un espacio topologico, y sea {Yi}i∈I unafamilia de subconjuntos conexos de X tal que Yi ∩ Yj 6= ∅ para todo i, j ∈ I.

Entonces⋃i∈I Yi es conexo.

Demostracion. Sea f :⋃i∈I Yi −→ {0, 1} una funcion continua. Alcan-

za, en virtud de la proposicion 7.1.4, con probar que f es constante. En efecto,dados x, y ∈

⋃i∈I Yi, sean i, j ∈ I tales que x ∈ Yi, y ∈ Yj, y sea z ∈ Yi ∩ Yj.

Entonces, como Yi e Yj son conexos,

f(x) = f(z) = f(y),

como querıamos probar. �


Proposicion 7.1.10. Un espacio topologico (X, τ) es conexo si y solo sipara todo x, y ∈ X existe un conjunto conexo C ⊆ X tal que x, y ∈ C.

Demostracion. Sea x ∈ X. Para cada y ∈ X, sea C(y) ⊆ X un conjuntoconexo tal que x, y ∈ C(y).

Entonces

X =⋃y∈X

C(y),

y x ∈ C(y)∩C(z), para todo y, z ∈ X. Por la proposicion 7.1.9, X es conexo.La afirmacion recıproca es obviamente cierta. �

Definicion 7.1.11. Sea V un espacio vectorial real o complejo. Un sub-conjunto C ⊆ V es convexo si

tx+ (1− t)y ∈ C,

para todo x, y ∈ C y t ∈ (0, 1).

Proposicion 7.1.12. Un subconjunto convexo de un espacio normado esconexo.

Demostracion. Dado un subconjunto convexo C de un espacio normadoV , sea x ∈ C. Dado y ∈ C, la funcion

fy : [0, 1] −→ V,

dada por f(t) = tx + (1 − t)y es continua: si x = y, f es constante; en otrocaso,

‖f(t)− f(s)‖ = ‖(t− s)x+ (s− t)y‖ ≤ |t− s|max{‖x‖, ‖y‖} < ε

si |t− s| < ε/max{‖x‖, ‖y‖}.Entonces la imagen de fy es conexa, por el teorema de Bolzano (7.1.5) y

la proposicion 7.1.3.Ademas, como C es convexo,

C =⋃y∈C

Imfy.

Ahora, como x ∈ Imfy ∩ Imfz para todo y, z ∈ C, se sigue de la proposicion7.1.9 que C es conexo. �

Ejemplos 7.1.13.

1. Todo espacio normado es convexo y, en consecuencia, conexo.

2. Un intervalo en R es un conjunto I ⊆ R tal que si a, b ∈ I, y a < b,entonces (a, b) ⊆ I. Todo intervalo es conexo porque es convexo: sia, b ∈ I, y a < b y t ∈ (0, 1), entonces

a = ta+ (1− t)a < ta+ (1− t)b < tb+ (1− t)b = b.

Por lo tanto, ta+ (1− t)b ∈ (a, b) ⊆ I para todo t ∈ [0, 1].


3. Las bolas abiertas y las bolas cerradas en un espacio normado sonconvexas y, por lo tanto, conexas: si y, z ∈ Bε(x) y t ∈ (0, 1):

‖ty + (1− t)z − x‖ = ‖ty + (1− t)z − (tx+ (1− t)x)‖≤ ‖t(y − x)‖+ ‖(1− t)(z − x)‖= t‖y − x‖+ (1− t)‖z − x‖ < ε.

En forma analoga se prueba que las bolas cerradas son convexas.

Teorema 7.1.14. Sea {Xi}i∈I una familia de espacios topologicos. Enton-ces el espacio producto X =

∏iXi es conexo si y solo si Xi es conexo para

todo i ∈ I.

Demostracion. Para todo j ∈ I, la proyeccion pj de X en Xj es continuay Xj = pj(X), de donde resulta, por el teorema de Bolzano (7.1.5), que cadaXj es conexo si X lo es.

Supongamos ahora que Xj es conexo para todo j ∈ I. Sea

f : X → {0, 1}

una funcion continua. Se va a probar que f es constante, lo cual implica, porla proposicion 7.1.4, que X es conexo.

En primer lugar, probaremos que para todo a ∈ X y todo subconjuntofinito F de I la funcion f es constante en el conjunto

AF (a) := {x ∈ X : pi(x) = pi(a) para todo i 6∈ F}.

Procedemos por induccion en el cardinal de F . Si F = {j}, observemosprimero que la restriccion de pj a AF (a)

pj

∣∣AF (a)

: AF (a) −→ Xj

es un homeomorfismo. En efecto, como

pi(x) = pi(y) para todo i 6= j, y x, y ∈ AF (a),

la funcion pj es inyectiva en AF (a). Ademas, es sobreyectiva porque, dadot ∈ Xj,

t = pj(x),

donde x ∈ AF (a) esta definido por x(i) = a(i) para todo i 6= j y x(j) = t.Finalmente, p

j

∣∣AF (a)

es un homeomorfismo, porque una red {xd} en AF (a)

converge a x si y solo si {pj(xd)} converge a pj(x), ya que el resto de lascoordenadas coincide con las de a.

Por lo tanto, AF (a) es conexo, de donde se deduce que la funcion f esconstante en AF (a).

Suponemos ahora que el resultado vale para cardinales estrictamente me-nores que el de F . Sean j ∈ F y F ′ = F \ {j}. Observemos primero que

AF (a) =⋃

y∈AF ′ (a)

Aj(y).


En efecto, dado x ∈ AF (a), sea y ∈ X tal que y(i) = x(i) para todo i 6=j e y(j) = a(j). Entonces x ∈ Aj(y) e y ∈ AF ′(a). La inclusion inversa seprueba en forma inmediata.

Ahora, dado x ∈ AF (a), sea y ∈ AF ′(a) tal que x ∈ Aj(y). Por la hipotesisde induccion, f es continua en Aj(y) y en AF ′(a). Como, ademas,

y ∈ Aj(y) ∩ AF ′(A) y a ∈ AF ′(A),

se tiene quef(x) = f(y) = f(a),

y concluimos que f = f(a) en AF (a).Fijamos ahora a ∈ X y definimos

A(a) =⋃

F∈PF (I)

AF (a),

donde PF (I) indica la familia de subconjuntos finitos de I. Como a ∈ AF (a)para todo F , resulta que la funcion f es constante en A(a): si x, y ∈ A(a),entonces

f(x) = f(a) = f(y).

Para probar que f es constante en X, alcanza ahora con probar que A(a) esdenso en X, ya que f−1({f(a)}) es cerrado en X y contiene a A(a).

Sea U un abierto de la base,

U =⋂i∈F

p−1i (Ui),

donde F es un subconjunto finito de I, y Ui es abierto en Xi para todo i ∈ F .Sea x ∈ X tal que x(i) ∈ Ui si i ∈ F y x(i) = a(i) si i 6∈ F . Entoncesx ∈ U ∩ A(a). Por lo tanto, A(a) es denso en X y f es constante. �

Definicion 7.1.15. Sea (X, τ) un espacio topologico y x, y ∈ X. Se diceque x e y estan conectados, y se indicara con x ∼c y, si existe un conjuntoconexo C ⊆ X tal que x ∈ C e y ∈ C.

Observacion 7.1.16. La relacion ∼c en un espacio topologico X es unarelacion de equivalencia. Por un lado, x ∼c x para todo x ∈ X, porque {x} esconexo por el ejemplo 7.1.2.1. Es claro que la relacion es simetrica.

Finalmente, si x ∼c y e y ∼c z, sean C y D subconjuntos conexos de Xtales que x, y ∈ C e y, z ∈ D. Entonces, como y ∈ C ∩ D, C ∪ D es conexo,por la proposicion 7.1.9. Ademas, x, z ∈ C ∪D, lo cual implica que x ∼c z.

Definicion 7.1.17. Sea (X, τ) un espacio topologico. La componenteconexa Cx de un punto x ∈ X es la clase de equivalencia de x con respectoa la relacion ∼c.

Observacion 7.1.18. Resulta inmediatamente a partir de la proposicion1.1.12 que, si (X, τ) es un espacio topologico, entonces:

1. Si x, y ∈ X y Cx 6= Cy, entonces Cx ∩ Cy = ∅.2. X =

⋃x∈X Cx.

Proposicion 7.1.19. Sean (X, τ) un espacio topologico y x ∈ X.Entonces

7.2. CONEXION LOCAL Y CONEXION POR CAMINOS 75

1. La componente conexa Cx es el mayor subconjunto conexo de X quecontiene a x.

2. Cx es cerrado.

Demostracion.1) Sea D ⊆ X un conjunto conexo tal que x ∈ D. Entonces, para todo

y ∈ D, se tiene que y ∼c x y, por lo tanto, y ∈ Cx. Se probo ası que D ⊆ Cx.Ademas, Cx es conexo: si y, z ∈ Cx existe un conjunto conexo C ⊆ X quecontiene a y y a z. Por el razonamiento anterior, C ⊆ Cx y, por la proposicion7.1.10, Cx es conexo.

2) Por la proposicion 7.1.7 y la parte 1), Cx es conexo. Por la parte 1),entonces, Cx = Cx.

�

Ejemplo 7.1.20. En el espacio Q de los numeros racionales, la componenteconexa de un punto x ∈ Q es {x}: dados dos numeros racionales r < s y unconjunto C tal que r, s ∈ C ⊆ Q, C no es conexo, ya que

C = [(−∞, α) ∩ C] ∪ [(α,+∞) ∩ C],

donde α es un numero irracional tal que r < α < s. Observese que en estecaso las componentes conexas no son abiertas.

7.2. Conexion local y conexion por caminos

Definicion 7.2.1. Un espacio topologico (X, τ) es localmente conexosi todo punto de X tiene una base de entornos conexos.

Ejemplos 7.2.2.

1. Todo espacio normado es conexo por el ejemplo 7.1.13.1, y es local-mente conexo, porque la familia de las bolas abiertas de centro en x esuna base local de entornos conexos de x, por el ejemplo 7.1.13.3.

2. El espacio X = (0, 1) ∪ [2, 3) es localmente conexo, porque las bolasabiertas de radio menor que 1 forman una base de entornos conexos decada punto, pero no es conexo porque (0, 1) es abierto, cerrado y novacıo en X.

3. El espacio X = R × Q no es conexo ni localmente conexo. No esconexo porque, de serlo, tambien lo serıa Q, que es la imagen de X porla proyeccion sobre Q, en contradiccion con el ejemplo 7.1.2.5.

Tampoco es localmente conexo: dado V ∈ N(0,0), existe ε > 0 talque

Bε((0, 0)) ∩X ⊆ V.

En consecuencia, existe (t, q) ∈ V , con q > 0. Sea α un numero irra-cional tal que 0 < α < q.

Entonces

V ∩(R× {q ∈ Q : q > α}

)6= V

es abierto, cerrado y no vacıo en V , lo cual prueba que V no es conexo.


4. El espacio X =(R×Q

)∪{(x, x) : x ∈ R} es conexo y no es localmente

conexo. Es conexo porque todo punto (x, q) ∈ R × Q esta conectadocon (q, q) y dos puntos de la recta {(x, x) : x ∈ R} estan conectadosentre sı.

Por otro lado, no es localmente conexo: sea V ∈ N(0,1) tal que

V ∩ {(x, x) : x ∈ R} = ∅.

Razonando como en el ejemplo 3), se prueba que V no es conexo.


1. X es localmente conexo.2. Las componentes conexas de los subconjuntos abiertos de X tambien

son abiertas.3. Existe una base de τ cuyos miembros son conexos.

Demostracion.1 ⇒ 2: Sea A ⊆ X un conjunto abierto. Dado a ∈ A, existe un entorno

conexo V de a que esta contenido en A. Entonces, por la proposicion 7.1.19,V esta contenido en la componente conexa CA

a de a en A y, por lo tanto,CAa ∈ Na. Se probo ası que CA

a es un entorno de todos sus puntos y es, enconsecuencia, abierto.

2 ⇒ 3: Sea

B = {A ∈ τ : A es conexo}.Dado U ∈ τ ,

U =⋃u∈U

CUu , donde CU

u es la componente conexa de u en U.

Como CUu es abierto para todo u ∈ U , se tiene que CU

u ∈ B. Por lo tanto, B esuna base de τ .

3⇒ 1: Si B es una base de τ cuyos miembros son conexos, para todo x ∈ Xla familia

Bx = {A ∈ B : x ∈ A}es una base de entornos conexos de x. Por lo tanto,X es localmente conexo. �

Observacion 7.2.4. Si X es un espacio localmente conexo, entonces suscomponente conexas son abiertas, por la proposicion 7.2.3, y cerradas, por laproposicion 7.1.19.

Definicion 7.2.5. Una curva o camino en un espacio topologico (X, τ)es una funcion continua

α : [0, 1] −→ X.

Se dice que dos puntos x, y ∈ X estan conectados por caminos (o porcurvas), y se indica con x ∼cc y, si existe un camino α en X tal que α(0) = xy α(1) = y. En ese caso de dice que α conecta a x e y.

Proposicion 7.2.6. La relacion ∼cc en X es una relacion de equivalencia.


Demostracion. El camino constante α(t) = x para todo t ∈ [0, 1] conec-ta a x con x. Por otro lado, si α es un camino tal que α(0) = x y α(1) = y,sea

β : [0, 1] −→ X, dada por β(t) = α(1− t).Entonces β es un camino en X, β(0) = y y β(1) = x.

Finalmente, si α y β son caminos en X, α(0) = x, α(1) = y, β(0) = y,β(1) = z, sea

γ : [0, 1] −→ X, dada por γ(t) =

{α(2t) si α ≤ 1

2,

β(2t− 1) si α > 12.

Entonces γ es un camino en X, γ(0) = x y γ(1) = z. �

Observacion 7.2.7. Sean (X, τ) un espacio topologico y

α : [0, 1] −→ X

un camino. Entonces, para todo r, s ∈ [0, 1], los puntos α(r) y α(s) estanconectados por caminos. En efecto, la afirmacion es trivialmente cierta si r = sy, si r < s, el camino β : [0, 1] −→ X dado por

β(t) = α(r + t(s− r))conecta a α(r) y α(s).

Definicion 7.2.8. Sea (X, τ) un espacio topologico. La componente co-nexa por caminos CCx de un punto x ∈ X es la clase de equivalencia de xcon respecto a la relacion ∼cc.

Proposicion 7.2.9. Sean (X, τ) un espacio topologico y x ∈ X. La com-ponente conexa por caminos CCx es el mayor subconjunto conexo por caminosde X que contiene a x.

Demostracion. Si y, z ∈ CCx, entonces y ∼cc z.Sea

α : [0, 1] −→ X

un camino tal que α(0) = y y α(1) = z.Por la observacion 7.2.7,

α(t) ∼cc z ∼cc x,para todo t ∈ [0, 1]. Entonces la imagen de α esta contenida en CCx. Por lotanto, y esta conectado por caminos con z en CCx, de donde resulta que CCxes conexo por caminos.

Por otro lado, si D es un subconjunto conexo por caminos de X que con-tiene a x, es claro que D ⊆ CCx. �

Definicion 7.2.10. Un espacio topologico (X, τ) es conexo por caminossi x ∼cc y para todo x, y ∈ X.

Observaciones 7.2.11. Sea (X, τ) un espacio topologico.

1. Sean x, y ∈ X dos puntos conectados por caminos. Entonces x e y estanconectados, porque ambos pertenecen al conjunto conexo α([0, 1]), don-de α es un camino tal que α(0) = x y α(1) = y.


2. Se concluye inmediatamente a partir de la observacion 1 que

CCx ⊆ Cx

para todo x, y ∈ X. En particular, X es conexo si es conexo por cami-nos.

Ejemplos 7.2.12.

1. Sean X e Y espacios topologicos y f : X −→ Y una funcion conti-nua. Si X es conexo por caminos, entonces f(X) tambien lo es: dadosx, y ∈ X, si α es un camino de x a y, entonces f ◦ α es un camino def(x) a f(y).

2. Sean A = {0}× [0, 1], B = {(x, sen 1x) : x > 0} y X = A∪B. Entonces

A es conexo, pero no es conexo por caminos.Por un lado, B es conexo porque es la imagen de la funcion continua

f : (0,+∞) −→ R2, dada por f(x) = (x, sen1

x).

Como, ademas, B ⊆ X ⊆ B, resulta de la proposicion 7.1.7 que X esconexo.

Supongamos ahora que α es un camino en X tal que α(0) = (0, 1).Entonces α−1(A) es cerrado y no vacıo en [0, 1]. Probaremos a conti-nuacion que tambien es abierto. Como [0, 1] es conexo, resultara queα([0, 1]) ⊆ A y, por lo tanto, que (0, 1) no esta conectado por cami-nos con los puntos de B y, en consecuencia, que X no es conexo porcaminos.

Para probar que α−1(A) es abierto, fijamos t0 ∈ α−1(A). Sea δ > 0tal que

α(t) ∈ B1/2(α(t0)) para todo t ∈ [0, 1] tal que |t− t0| < δ.

Como, para todo t ∈ [0, 1] tal que |t− t0| < δ0, α(t) esta conectado porcaminos con α(t0), por la observacion 7.2.11.2 α(t) esta en la compo-nente conexa de α(t0) en α

(Bδ(t0)

), que es A∩α

(Bδ(t0)

). Por lo tanto,

t ∈ α−1(A) si |t− t0| < δ, de donde se concluye que α−1(A) es abierto,como se querıa probar.

Observese tambien que, segun resulta de lo anterior, B, que no escerrado, es una componente conexa por caminos de X.

Definicion 7.2.13. Un espacio topologico (X, τ)es localmente conexopor caminos si todo punto de X tiene una base de entornos conexos porcaminos.

Observacion 7.2.14. Resulta de la observacion 7.2.11.1, que si X es lo-calmente conexo por caminos, tambien es localmente conexo.

En la siguiente proposicion probamos, para el caso de la conexion porcaminos, el resultado analogo al de la proposicion 7.2.3.



1. X es localmente conexo por caminos.2. Las componentes conexas por caminos de los subconjuntos abiertos deX tambien son abiertas.

3. Existe una base de τ cuyos miembros son conexos por caminos.

Demostracion.1⇒ 2: Sea A ⊆ X un conjunto abierto. Dado a ∈ A, sea V ∈ Na un entorno

conexo por caminos contenido en A. Entonces, por la proposicion 7.2.9, se tieneque V ⊆ CCA

a y, por lo tanto, que CCAa ∈ Na. Se probo ası que CCA

a es unentorno de cada uno de sus puntos y es, en consecuencia, abierto.

2 ⇒ 3: Sea

B = {A ∈ τ : A es conexo por caminos}.Si U ⊆ X es abierto, entonces U es la union de sus componentes conexas porcaminos que, por la parte 1) y por la proposicion 7.2.9, pertenecen a B. Seprobo ası que B es base de la topologıa τ .

3 ⇒ 1: Si B es una base de τ cuyos miembros son conexos por caminos,entonces, para todo x ∈ X, la familia

Bx = {V ∈ B : x ∈ V }es una base de entornos conexos por caminos de x. �

Observacion 7.2.16. Si X es un espacio localmente conexo por caminos,entonces sus componente conexas por caminos son abiertas por la proposicion7.2, y son cerradas porque el complemento de una componente conexa porcaminos es la union de las restantes componentes, que es abierta.

Proposicion 7.2.17. Sea X un espacio localmente conexo por caminos.Entonces, para todo x ∈ X,

CCx = Cx.

Demostracion. Por la observacion 7.2.11.2, CCx ⊆ Cx. Ademas, por laobservacion 7.2.16, CCx ∩ Cx es abierto, cerrado y no vacıo en Cx, que esconexo. Por lo tanto, CCx ∩ Cx = Cx, es decir CCx ⊇ Cx. �

Corolario 7.2.18. Si X es un espacio localmente conexo por caminos yconexo, entonces tambien es conexo por caminos.


c

Capıtulo 8

Espacios metricos completos


El procedimiento de completacion del espacio Q de los numeros racionales(es decir, aquel por el que se pasa de Q a R) consiste en agregar a Q loslımites de las sucesiones racionales. Los procedimientos habituales (mediantecortaduras, pares de clases contiguas, etc.) estan vinculados al orden ≤ enQ, ya que los lımites reales de las sucesiones racionales se pueden obtenercomo lımites de sucesiones crecientes (o decrecientes). Por esta misma razon,la completitud del espacio R de los numeros reales (es decir, la propiedad deque R no se agranda si se le aplica el procedimiento por el que se pasa de Q aR) suele enunciarse tambien en terminos del orden: todo conjunto de numerosreales acotado superiormente tiene un supremo.

En este capıtulo estudiamos la completitud y completacion de espaciosmetricos. Como en general no hay un orden en el espacio que describa lametrica, las sucesiones de Cauchy, que son sucesiones que se acercan a unpunto que eventualmente no esta en el espacio y hay que agregar, juegan elpapel que juegan en el pasaje de Q a R las cortaduras de Dedekind, etcetera.

Definiciones 8.1.1.

1. Una sucesion {xn} en un espacio metrico (E, d) es de Cauchy si paratodo ε > 0 existe n0 ∈ N tal que

d(xn, xm) < ε si n,m ≥ n0.

2. Se dice que una red {Td} en un espacio metrico (E, d) esta acotada siel conjunto {Td : d ∈ D} esta acotado (vease definicion 2.3.5).

Ejemplo 8.1.2. Una sucesion convergente en un espacio metrico es deCauchy. Sea {xn} una sucesion que converge a x en un espacio metrico (E, d).Dado ε > 0, sea n0 tal que

d(xn, x) < ε/2

para todo n ≥ n0.Entonces, por la desigualdad triangular,

d(xn, xm) ≤ d(xn, x) + d(x, xm) < ε

para todo n,m ≥ n0.

Proposicion 8.1.3. Toda sucesion de Cauchy esta acotada.

Demostracion. La demostracion es similar a la del caso de sucesio-nes reales: sean n0 tal que d(xn, xm) ≤ 1 para todo n,m ≥ n0 y M =max{1, d(xk, xl) : k, l ≤ n0}.

81


Entoncesd(xn, xm) ≤ 2M

para todo k ∈ N. En efecto, es claro que

d(xn, xm) ≤M (8.1.1)

si n,m ≥ n0 o si n,m ≤ n0. Supongamos ahora que n ≤ n0 ≤ m. Entonces,por la desigualdad (8.1.1),

d(xn, xm) ≤ d(xn, xn0) + d(xn0 , xm) ≤ 2M.

�

Proposicion 8.1.4. Una sucesion de Cauchy que tiene una subsucesionconvergente es convergente.

Demostracion. Sean {xn} una sucesion de Cauchy y {xnk}k∈N una sub-sucesion que converge a x. Dado ε > 0, sean n0 tal que

d(xn, xm) < ε/2 para todo n,m ≥ n0 (8.1.2)

y k0 tal que nk0 ≥ n0 yd(xnk0 , x) < ε/2. (8.1.3)

Entonces, por (8.1.2) y (8.1.3), para todo n ≥ n0,

d(xn, x) ≤ d(xn, xnk0 ) + d(xnk0 , x) < ε/2 + ε/2 = ε.

�

Proposicion 8.1.5. Sean (E, dE) y (F, dF ) espacios metricos y sea

f : E −→ F

una funcion uniformemente continua. Si {xn} ⊆ E es una sucesion de Cauchy,entonces {f(xn)} tambien lo es.

Demostracion. Dado ε > 0, sea δ > 0 tal que

dF (f(x), f(y)) < ε si dE(x, y) < δ. (8.1.4)

Sea ahora n0 tal que

dE(xn, xm) < δ si n,m ≥ n0. (8.1.5)

Entonces, por (8.1.4) y (8.1.5),

dF (f(xn), f(xm)) < ε para todo n,m ≥ n0.

�

Definicion 8.1.6. Un espacio metrico (E, d) es completo si toda sucesionde Cauchy en E es convergente.

Ejemplos 8.1.7.

1. Como se suele probar en los cursos de Calculo, el espacio R de losnumeros reales es completo.

2. El intervalo I = (−1, 1) no es completo: la sucesion {xn} ⊆ I dada porxn = 1− 1

nes de Cauchy, pero no converge.


Proposicion 8.1.8. Sea (E, d) un espacio metrico completo. Un subcon-junto F ⊆ E es completo si y solo si es cerrado en E.

Demostracion. Sea F un subconjunto cerrado de E. Si {xn} ⊆ F es unasubsucesion de Cauchy, como E es completo, {xn} converge a x ∈ E. Como Fes cerrado, x ∈ F . Por lo tanto, toda sucesion de Cauchy en F converge (enF ), es decir, F es completo.

Recıprocamente, si F es completo, dado x ∈ F , existe, por la proposicion4.1.3, una sucesion {xn} ⊆ F que converge a x. Como F es completo, {xn}converge a y ∈ F . Ahora, por el ejemplo 3.2.12.1 y la proposicion 4.2.5, setiene que x = y ∈ F . Concluimos ası que F es cerrado. �

Observacion 8.1.9. Los espacios R y (−1, 1) son homeomorfos, porquela funcion

h : (−1, 1) −→ Rdada por h(t) = Arctg(πt

2) es un homeomorfismo. Sin embargo, como se vio en

los ejemplos 8.1.7, R es completo, mientras que (−1, 1) no lo es. Esto muestraque la completitud no es una propiedad topologica, es decir, no es una pro-piedad que un espacio comparta necesariamente con los espacios homeomorfosa el (como es, por el corolario 7.1.6, la conexion). Probaremos a continuacion(corolario 8.1.12) que sı es una propiedad metrica, es decir, una propiedadque un espacio metrico comparte con los espacios isometricos a el.

Proposicion 8.1.10. Sean (E, dE) y (F, dF ) espacios metricos y sea

i : E −→ F

una inmersion isometrica. Si E es completo, Im(i) es cerrada en F .

Demostracion. Sea {i(xn)} una sucesion en Im(i) que converge a y ∈ F .Como

dE(xn, xm) = dF (i(xn), i(xm)),

la sucesion {xn} es de Cauchy en E y, en consecuencia, converge a x ∈ E.Por la continuidad de i, i(xn) converge a i(x). Por lo tanto, como F es deHausdorff, se tiene que y = i(x) ∈ Im(i). �

Proposicion 8.1.11. Sean (E, dE) y (F, dF ) espacios metricos y

f : E −→ F

una funcion continua y biyectiva cuya inversa es uniformemente continua. SiE es completo, F tambien lo es.

Demostracion. Sea {yn} ⊆ F una sucesion de Cauchy. Por la proposi-cion 8.1.5, la sucesion {f−1(yn)} es de Cauchy y, por ser E completo, convergea un punto x ∈ E. Como f es continua e yn = f(f−1(yn)) para todo n ∈ N, lasucesion {yn} converge a f(x). �

Corolario 8.1.12. Sean (E, dE) y (F, dF ) espacios metricos isometricos.Entonces E es completo si y solo si F lo es.


Observacion 8.1.13. Sean (E1,m1), (E2,m2), · · · , (En,mn) espacios metri-cos, y sean E el producto cartesiano

E = E1 × E2 × · · · × Eny dE1 , d

E2 y dE∞ las distancias en E definidas en la proposicion 2.3.4. Se prueba

facilmente, a partir de las inclusiones en (2.3.4), que las funciones

id : (E, dEα ) −→ (E, dEβ ),

donde α, β ∈ {1, 2,∞}, son uniformemente continuas. Resulta entonces delcorolario 8.1.12 que E es completo con una de esas metricas si y solo si lo escon las restantes.

Proposicion 8.1.14. Sean (E,mE) y (F,mF ) espacios metricos. Entoncesel espacio producto E × F es completo (con cualquiera de las tres metricashabituales, en virtud de la observacion 8.1.13) si y solo si E y F son completos.

Demostracion. Consideremos la distancia d∞ en E × F , es decir, ladistancia dada por

d∞((e, f), (e′, f ′)) = max{mE(e, e′),mF (f, f ′)}.Las proyecciones pE y pF son uniformemente continuas: dado ε > 0, si

d∞((e, f), (e′, f ′)) < ε,

se tiene que

mE(pE(e, f), pE(e′, f ′)) = mE(e, e′) < d∞((e, f), (e′, f ′)) < ε

y, analogamente, mF (pF (e, f), pF (e′, f ′)) < ε.Supongamos que E y F son completos y sea {(en, fn)} una sucesion de

Cauchy en E×F . Como las proyecciones pE y pF son uniformemente continuas,las sucesiones {en} = {pE((en, fn))} y {fn} = {pF ((en, fn))} son de Cauchypor la proposicion 8.1.5 y, en consecuencia, convergen a puntos e y f en E y F ,respectivamente. Resulta ahora de la proposicion 6.2.3 que {(en, fn)} convergea (e, f) en E × F .

Supongamos ahora que el producto E×F es completo, y sea f0 ∈ F . Comola funcion

ι : E −→ E × {f0} dada por i(e) = (e, f0),

es claramente una isometrıa, alcanza con probar, en virtud del corolario 8.1.12,que E × {f0} es completo y esto, por la proposicion 8.1.8, queda, a su vez,probado si se prueba que E × {f0} es cerrado en E × F . Probemos, entonces,esta ultima afirmacion: si (e, f) 6∈ E×{f0}, sea V un entorno abierto de f talque f0 6∈ V . Entonces E × V es abierto en la topologıa producto y

(e, f) ∈ E × V ⊆ (E × {f0})c,lo cual prueba que (E × {f0})c es abierto. En forma analoga se prueba que Fes completo cuando E × F lo es. �

Corolario 8.1.15. Sean (E1,m1), (E2,m2), · · · , (En,mn) espacios metri-cos, y sea E el producto cartesiano

E = E1 × E2 × · · · × En.


El espacio producto E, con cualquiera de las tres metricas habituales, es com-pleto si y solo si Ei es completo para todo i = 1, · · · , n.

Demostracion. La demostracion, por induccion en n, es inmediata apartir de la proposicion 8.1.14, y se deja a cargo del lector. �

Proposicion 8.1.16. Sean S un conjunto y (E, d) un espacio metrico com-pleto. Entonces el espacio de funciones acotadas Fb(S,E) definido en la pro-posicion 4.3.5 tambien es completo.

Demostracion. Sea {fn} una sucesion de Cauchy en Fb(S,E). Observe-mos primero que, para cada x ∈ S, la sucesion {fn(x)} es de Cauchy en E. Enefecto, dado ε > 0, sea n0 tal que

dsup(fn, fm) < ε si n,m ≥ n0.

Entoncesd(fn(x), fm(x)) ≤ dsup(fn, fm) < ε

para todo x ∈ S, si n,m ≥ n0. En consecuencia, {fn(x)} converge a un puntof(x) para todo x ∈ S.

Probemos ahora que la funcion f ∈ F(S,E) ası obtenida esta acotada: porla proposicion 8.1.3, existe K tal que

dsup(fn, fm) ≤ K para todo n,m ∈ N. (8.1.6)

Por otro lado, como la funcion fn esta acotada, para todo n existe Mn tal que

d(fn(x), fn(y)) ≤Mn para todo x, y ∈ S.Entonces

d(fn(x), fn(y)) ≤ d(fn(x), f1(x)) + d(f1(x), f1(y)) + d(f1(y), fn(y))

≤ dsup(fn, f1) +M1 + dsup(f1, fn)

≤ 2K +M1, (8.1.7)

para todo x, y ∈ S y n ∈ N. Finalmente, por la continuidad de la funciondistancia en E × E (ejemplo 5.1.5),

d(f(x), f(y)) = d(

lımn

(fn(x), fn(y)))

= lımnd(fn(x), fn(y)) ≤ 2K +M1

para todo x, y ∈ S, por la desigualdad (8.1.7), lo cual prueba que f ∈ Fb(S,E).Por ultimo, la sucesion {fn} converge a f en Fb(S,E): dado ε > 0, sea n0

tal que dsup(fn, fm) < ε2

si n.m ≥ n0.Entonces,

d(fn(x), f(x)) = lımmd(fn(x), fm(x)) ≤ ε

2,

para todo x ∈ S y n ≥ n0, de donde resulta que

dsup(fn, f) < ε si n ≥ n0.

�

Corolario 8.1.17. Sean X un espacio topologico y (E, d) un espaciometrico completo. El conjunto Cb(X,E) de funciones continuas y acotadasdefinido en la proposicion 5.1.25, es completo.

8.2. COMPLETACION DE UN ESPACIO METRICO 86

Demostracion. Es una consecuencia inmediata de las proposiciones 5.1.25,8.1.8 y 8.1.16.

�

8.2. Completacion de un espacio metrico

Como se vera en lo que queda de este capıtulo, la completitud de un es-pacio metrico garantiza que valen resultados muy utiles como el teorema deBaire, el teorema de cerrados encajados de Cantor o el teorema del punto fijopara contracciones. Cuando un espacio metrico E no es completo, uno querrıarepetir el procedimiento por el que se pasa del espacio no completo de losnumeros racionales al espacio completo de los numeros reales. Intuitivamente,uno querrıa agregar los lımites de las sucesiones de Cauchy, sin agregar, claro,nuevas sucesiones de Cauchy no convergentes, y agrandando lo menos que seaposible el espacio original. Cuando E es un subespacio de un espacio comple-to F, esto se puede hacer tomando su clausura E en F . Probaremos en estaseccion que un procedimiento de ese tipo siempre es posible.

Definicion 8.2.1. Sea (E, d) un espacio metrico. Una completacion de

(E, d) consiste en un par (E, i) tal que

1. E es un espacio metrico completo.

2. i : E −→ E es una inmersion isometrica.3. i(E) es denso en E.

Ejemplo 8.2.2. Si (E, d) es un espacio metrico completo, (E, inc) es unacompletacion de cualquier subconjunto denso en E, donde inc es la inclusion.

En particular,

1. (R, inc) es una completacion de Q.2. (E, id) es una completacion de E cuando E es completo.

Observacion 8.2.3. El ejemplo 8.2.2 implica que si

i : E −→ F

es una inmersion isometrica entre los espacios metricos E y F , y F es completo,entonces (i(E), i) es una completacion de E.

Probaremos a continuacion que todo espacio metrico tiene una completa-cion, siguiendo el procedimiento sugerido por la observacion 8.2.3. Luego deestablecer algunos resultados preliminares, probaremos tambien que la com-pletacion es basicamente unica (corolario 8.2.8).

Proposicion 8.2.4. Todo espacio metrico tiene una completacion.

Demostracion. Sea (E, d) un espacio metrico. Probaremos que existeuna inmersion isometrica

i : E −→ Cb(E,R).

Resultara entonces la observacion 8.2.3 y del corolario 8.1.17 que (i(E), i) esuna completacion de E.


A los efectos de definir i, fijamos un punto e0 ∈ E y, para cada e ∈ E,definimos la funcion

ie : E −→ R, por ie(x) = d(e, x)− d(e0, x),

para todo x ∈ E.Como en el ejemplo 5.1.5, ie es continua para todo e ∈ E.Ademas, esta acotada:

|ie(x)| = |d(e, x)− d(e0, x)| ≤ d(e, e0),

para todo x, y ∈ E.Finalmente, i es una inmersion isometrica:

|ie(x)− if (x)| = |d(e, x)− d(e0, x)− d(f, x) + d(e0, x)|= |d(e, x)− d(f, x)|≤ d(e, f)

para todo x ∈ E, de donde se concluye que

dsup(ie, if ) = supx∈E|ie(x)− if (x)| ≤ d(e, f).

Por otro lado,

dsup(ie, if ) ≥ |ie(f)− if (f)| = d(e, f).

Se probo ası que dsup(ie, if ) = d(e, f), es decir, que i es una inmersion isometri-ca. �

Proposicion 8.2.5. Sean (E, dE) y (F, dF ) espacios metricos, X un sub-conjunto denso en E y

f : X −→ F

una funcion uniformemente continua. Si F es completo, existe una unica ex-tension continua f de f a E.

Ademas, f es uniformemente continua y es una inmersion isometrica si flo es.

Demostracion. Dado e ∈ E, sea {xn} ⊆ X una sucesion que convergea e. Entonces, por la proposicion 8.1.5, {f(xn)} tambien es de Cauchy en F ,que es completo y, por lo tanto, {f(xn)} converge a un punto m ∈ F .

Antes de definir, como es natural, f(e) := m, es necesario probar quesi {x′n} ⊆ X es otra sucesion que converge a e, entonces {f(x′n)} tambienconverge a m. Razonando como arriba, concluimos que {f(x′n)} converge am′.

Dado ε > 0, sea δ > 0 tal que

dF (f(x), f(x′)) < ε si dE(x, x′) < δ,

y sea n0 tal que

dE(xn, e) < δ/2 y dE(x′n, e) < δ/2

para todo n ≥ n0.Entonces, por la desigualdad triangular,

dE(xn, x′n) < δ


y, por lo tanto,

dF (f(xn), f(x′n)) < ε (8.2.1)

para todo n ≥ n0.Tomando ahora lımite en n en (8.2.1), concluimos que

dF (m,m′) ≤ ε para todo ε > 0,

es decir, m = m′.Definimos, entonces,

f(e) := m. (8.2.2)

Observese que (8.2.2) es la unica definicion posible de la funcion f si esta escontinua.

Veamos ahora que f es uniformemente continua: dado ε > 0, sea δ tal que

dF (f(x), f(x′)) < ε/2 si x, x′ ∈ X son tales que dE(x, x′) < δ.

Dados e, e′ en E, tales que dE(e, e′) < δ/3, sean {xn} y {x′n} sucesiones en Xque convergen a e y e′, respectivamente, y sea n0 tal que

dE(xn, e) < δ/3 y dE(x′n, e′) < δ/3,

para todo n ≥ n0.Entonces

dE(xn, x′n) ≤ dE(xn, e) + dE(e, e′) + dE(e′, x′n) < δ,

para todo n ≥ n0.Por lo tanto,

dF (f(xn), f(x′n)) < ε/2

y, pasando al lımite,

dF (f(e), f(e′)) ≤ ε/2 < ε.

Finalmente, si f es una inmersion isometrica, dados e y e′ ∈ E, y sucesiones{xn} y {x′n} en X que convergen, respectivamente, a e y e′,

dF (f(e), f(e′)) = lımndF (f(xn), f(x′n) = lım

ndE(xn, x

′n) = dE(e, e′).

�

Observacion 8.2.6. La proposicion 8.2.5 no vale si se supone que f escontinua pero no uniformemente continua: la funcion

f : (0, 1] −→ R, dada por f(x) =1

x

es continua, pero no se puede extender a una funcion continua en [0, 1].

Proposicion 8.2.7. Sean (E, iE) y (F , iF ) completaciones de los espaciosmetricos E y F , respectivamente, y

f : E −→ F

una funcion uniformemente continua.Entonces


1. Existe una unica funcion continua f tal que el diagrama

Ef //

iE ��

F

iF��

Ef

// F

(8.2.3)

conmuta.2. f es uniformemente continua.

3. Si f es una inmersion isometrica, f tambien lo es y, ademas,

Im(f) = Im(iF ◦f). (8.2.4)

4. f es una isometrıa si f lo es.

Demostracion. La funcion

iF ◦f ◦i−1E : iE(E) −→ F

es uniformemente continua e i(E) es denso en E. Por la proposicion 8.2.5,

entonces, iF ◦f ◦i−1E se extiende en forma unica a una funcion continua f en E,

que es ademas uniformemente continua.

Como f hace conmutar el diagrama (8.2.3) si y solo si es una extension deiF ◦f ◦i

−1E , hemos probado las afirmaciones 1 y 2.

Si f es una inmersion isometrica, tambien lo es iF ◦f ◦i−1E , y resulta de

la proposicion 8.2.5 que f es una inmersion isometrica. Ademas, como f escontinua,

Im(f) = f((iE(E)) ⊆ (f ◦iE)(E) = Im(iF ◦f). (8.2.5)

Por otro lado, como iF ◦f = f ◦ iE,

Im(iF ◦f) ⊆ Im(f). (8.2.6)

Entonces, por (8.2.5) y (8.2.6),

Im(iF ◦f) ⊆ Im(f) ⊆ Im(iF ◦f). (8.2.7)

Finalmente, como Im(f) es cerrada por la proposicion 8.1.10, tomando clau-suras en la cadena de inclusiones (8.2.7), se obtiene

Im(f) = Im(iF ◦f),

lo cual prueba la afirmacion 3.Por ultimo, la afirmacion 4 es evidente a partir de la 3. �

Corolario 8.2.8. Si (E1, i1) y (E2, i2) son completaciones de un espaciometrico (E, d), existe una unica isometrıa j tal que el diagrama

E1j // E2

E

i1__

i2??

conmuta.

8.3. ALGUNOS RESULTADOS EN ESPACIOS METRICOS COMPLETOS 90

Demostracion. Se obtiene j al aplicar la proposicion 8.2.7 al diagrama

Eid //

i1 ��

E

i2��

E1 j// E2

�

Observacion 8.2.9. El corolario 8.2.8 establece que entre dos completa-ciones de un espacio metrico (E, d) existe una isometrıa que preserva la copiadel espacio E, lo cual hace que la completacion de un espacio metrico seaesencialmente unica. A menudo hablaremos, entonces, en un ligero abuso delenguaje, de la completacion de un espacio metrico.

Proposicion 8.2.10. Sean (E1, i1) y (E2, i2) completaciones de los espa-

cios metricos (E1,m1) y (E2,m2), respectivamente. Entonces((E1×E2, dα), i1×

i2)

es una completacion de (E1 × E2, dα), donde

(i1 × i2)(e1, e2) = (i1(e1), i2(e2)) para todo (e1, e2) ∈ E1 × E2,

y dα es la distancia definida en 2.3.4, con α ∈ {1, 2,∞}.

Demostracion. Es claro que, por ser i1 e i2 inmersiones isometricas,tambien lo es

i1 × i2 : (E1 × E2, dα) −→ (E1 × E2, dα),

para todo α ∈ {1, 2,∞}.Ademas, por la proposicion 8.1.14, (E1 × E2, dα) es completo para todo

α ∈ {1, 2,∞}. Solo falta probar, entonces, que la imagen de i1 × i2 es densa

en (E1 × E2, dα): dados (x, y) ∈ E1 × E2 y α ∈ {1, 2,∞}, sean {xn}n∈N ∈ E1

e {yn}n∈N ∈ E2 sucesiones tales que {i1(xn)} converge a x en E1 e {i2(yn)}converge a y en E2. Entonces (i1×i2)(xn, yn) converge a (x, y) en (E1×E2, dα),lo cual concluye la demostracion.

�

8.3. Algunos resultados en espacios metricos completos

Definiciones 8.3.1. Sean (E, d) un espacio metrico y

f : E −→ E.

1. Se dice que f es una contraccion en E si existe α ∈ [0, 1) tal que

d(f(x), f(y)) ≤ α d(x, y) (8.3.1)

para todo x, y ∈ E.2. Un punto x ∈ E es un punto fijo de f si

f(x) = x.


Observacion 8.3.2. Toda contraccion es uniformemente continua: el valorα de la definicion 8.3.1.1 siempre puede tomarse estrictamente positivo, ya quela desigualdad (8.3.1) se cumple para cualquier numero real mayor que α, sivale para α. En ese caso,

d(f(x), f(y)) < ε si d(x, y) <ε

α.

Teorema 8.3.3. Toda contraccion en un espacio metrico completo tieneun punto fijo y uno solo.

Demostracion. Sean (E, d) un espacio metrico completo y f una con-traccion en E. Sea α ∈ [0, 1) tal que

d(f(x), f(y)) ≤ α d(x, y),

para todo x, y ∈ E.Fijamos x0 ∈ E, y definimos

xn = f(xn−1) para todo n ≥ 1.

Veamos primero que la sucesion {xn} ası construida es de Cauchy. En efecto,como

d(xn+1, xn) = d(f(xn), f(xn−1)) ≤ α d(xn, xn−1),

se prueba sin dificultad, por induccion en n, que

d(xn+1, xn) ≤ αnd(x1, x0).

Sea ε > 0; dados n < m, aplicando sucesivas veces la desigualdad triangu-lar, se tiene que

d(xm, xn) ≤m−1∑k=n

d(xk, xk+1) ≤m−1∑k=n

αkd(x1, x0).

Como la serie∑

k αkd(x1, x0) converge, existe n0 ∈ N tal que

d(xm, xn) ≤m−1∑k=n

αkd(x1, x0) < ε.

si m,n ≥ n0.Sea

a = lımnxn.

Entonces, como f es continua,

f(a) = lımnf(xn) = lım

nxn+1 = a.

Por lo tanto, a es un punto fijo de f . Ademas, es el unico: si e ∈ E es un puntofijo de f ,

d(a, e) = d(f(a), f(e)) ≤ α d(a, e) < d(a, e)

si a 6= e. �

Observacion 8.3.4. La demostracion del teorema 8.3.3 da tambien unaforma de aproximarse al punto fijo que a veces permite calcularlo.


Teorema 8.3.5. (de cerrados encajados de Cantor) Sea (E, d) un espaciometrico. Las siguientes afirmaciones son equivalentes.

1. E es completo.2. Si {Fn} es una sucesion de subconjuntos cerrados de E tal queFn+1 ⊆ Fn para todo n ≥ 1 y lımn diam(Fn) = 0, existe a ∈ E tal que

∞⋂n=1

Fn = {a}.

Demostracion.1) ⇒ 2): Se elige xn ∈ Fn para cada n ∈ N. Si n,m ≥ n0, se tiene que

xn, xm ∈ Fn0 y, por lo tanto,

d(xn, xm) ≤ diam(Fn0).

Entonces, como diam(Fn) tiende a cero, {xn} es de Cauchy y converge aun punto a ∈ E.

Como a es el lımite de la sucesion {xn}n≥m ⊂ Fm, resulta que

a ∈ Fm = Fm

para todo m ≥ 1 y, por lo tanto,∞⋂n=1

Fn ⊇ {a}.

Sea b ∈⋂∞n=1 Fn; entonces

d(a, b) ≤ diam(Fn) para todo n ≥ 1,

de donde se concluye que d(a, b) = 0 y, en consecuencia, que a = b. Hemosprobado ası que

∞⋂n=1

Fn = {a}.

2) ⇒ 1): Dada una sucesion de Cauchy {xn} en (E, d), definamos

Fn = {xk : k ≥ n}.Es claro que la sucesion {Fn} esta en las hipotesis de 2).

Sea a ∈ E tal que∞⋂n=1

Fn = {a}.

Entonces {xn} converge a a: dado ε > 0, sea n0 tal que el diametro de Fn esmenor que ε para todo n ≥ n0.

Entoncesd(xn, a) ≤ diam(Fn) < ε

para todo n ≥ n0. �

Teorema 8.3.6. (Baire) Sean (E, d) un espacio metrico completo y {Un}n≥1

una sucesion de subconjuntos abiertos y densos en E.Entonces

⋂n≥1 Un es denso en E.


Demostracion. Por las proposiciones 2.2.10 y 3.3.2, alcanza con probarque

Br(x) ∩⋂n≥1

Un 6= ∅,

para todo punto x ∈ E y r > 0.Sea

B1 := Br(x).

Como el conjunto B1 ∩ U1 es abierto y no vacıo, existen x2 ∈ E y ε > 0 talesque

Bε(x2) ⊆ B1 ∩ U1. (8.3.2)

Sean ahora

ε2 := mın{ ε2,1

2} y B2 := Bε2(x2).

Entonces

B2 ⊆ Bε(x2) ⊆ B1 ∩ U1. (8.3.3)

Sean x2, x3, · · · , xn−1 ∈ E y ε2, · · · , εn−1 tales que 0 < εk ≤ 1k

y que

Bk ⊆ Bk−1 ∩ Uk−1,

para todo k = 2, · · · , n− 1, donde Bk = Bεk(xk).Como el conjunto Bn−1 ∩ Un−1 es abierto y no vacıo, existen xn ∈ E y

ε′ > 0 tales que

Bε′(xn) ⊆ Bn−1 ∩ Un−1.

Definiendo ahora

εn := mın{ε′

2,

1

n} y Bn := Bεn(xn),

se tiene que

Bk ⊆ Bk−1 ∩ Uk−1, (8.3.4)

para todo k = 2, · · · , n.Se construye ası por recurrencia la sucesion de bolas {Bk} que satisface

(8.3.4) para todo k ≥ 2 y tal que

diam(Bk) ≤2

k→k 0.

Tenemos entonces que {Bn}n≥2 es una sucesion decreciente de subconjuntoscerrados de E cuyo diametro tiende a cero. Concluimos, a partir del teorema8.3.5, que existe a ∈ E tal que

{a} =⋂n≥2

Bn ⊆ B1 ∩( ⋂n≥1

Un), (8.3.5)

de donde resulta que el conjunto de la derecha en (8.3.5) no es vacıo, comoquerıamos probar.

�


Observacion 8.3.7. Si bien la demostracion del teorema de Baire (8.3.6)descansa en la estructura metrica del espacio E, su conclusion vale tambienpara espacios topologicos que son homeomorfos a un espacio metrico completo(por ejemplo, para un intervalo abierto, que no es completo, pero es homeo-morfo a R):

Si

h : X −→ E

es un homeomorfismo del espacio topologico (X, τ) en el espacio metrico com-pleto (E, d), y {Un} es una sucesion de conjuntos abiertos y densos en X,entonces {h(Un)} es una sucesion de conjuntos abiertos y densos en E y, porel teorema de Baire (8.3.6),

⋂n h(Un) es denso en E.

Por lo tanto, ⋂n

Un = h−1(⋂

n

h(Un))

es denso en X.

Definiciones 8.3.8. Sea (X, τ) un espacio topologico.

1. Un subconjunto A ⊆ X es nunca denso (en X) si

A = ∅.2. Un subconjunto A ⊆ X es magro o de primera categorıa en X si

es la union de una cantidad numerable de subconjuntos nunca densosen X.

Ejemplos 8.3.9.

1. Sean X un espacio topologico T1 y x ∈ X. El conjunto {x} es nuncadenso si y solo si x no es un punto aislado, porque, por la observacion3.1.12 y el corolario 3.2.7,

˚{x} = {x} =

{{x} si x es aislado,

∅ en caso contrario.

2. El espacio de numeros racionales Q es magro, por el ejemplo 8.3.9.1,porque es numerable y sus puntos no son aislados.

3. El conjunto de Cantor C es nunca denso en R por las proposiciones5.2.3 y 5.2.8.

4. Sea (X, τ) un espacio topologico. Si A ⊆ X es abierto y no vacıo, sufrontera ∂A es un conjunto cerrado y nunca denso. Es claro, a partirde la definicion, que ∂A es cerrado; solo falta probar que tiene interiorvacıo. Si U ⊆ ∂A es abierto y no vacıo, entonces

A ∩ U ⊆ A ∩ ∂A = A ∩ ∂A = ∅,de donde se concluye que U no esta contenido en ∂A, en contradiccioncon lo supuesto.


Observacion 8.3.10. Sea (X, τ) un espacio topologico. Un conjunto A ⊆X es nunca denso en X si y solo si (Ac)◦ es denso en X, porque, por laproposicion 3.1.17,

A es nunca denso en X ⇐⇒(A)◦

= ∅ ⇐⇒ [((A)c

)c]◦ = ∅ ⇐⇒

⇐⇒[(A)c

] c= ∅ ⇐⇒

(A)c

= X ⇐⇒(Ac)◦

= X ⇐⇒ (Ac)◦ es denso en X.

Corolario 8.3.11. Sean (X, τ) un espacio topologico homeomorfo a unespacio metrico completo y F ⊆ X un conjunto magro en X. Entonces F tieneinterior vacıo.

Demostracion. Sea {Fn}n∈N una sucesion de subconjuntos nunca densosde X tales que

F =⋃n∈N

Fn.

Podemos suponer que Fn es cerrado para todo n ∈ N sin perder generalidad,porque Fn es nunca denso si y solo si Fn lo es, y porque, una vez demostradoel teorema para F ′ =

⋃n∈N Fn, se concluye que

F ⊆ F ′ = ∅.Con ese supuesto, se tiene que

F c =⋂

F cn,

donde, por la observacion 8.3.10, F cn es abierto y denso en X. Por la observacion

8.3.7, F c es denso en X y, por lo tanto,

F =(F c)c

= ∅.�

Corolario 8.3.12. Sea (X, τ) un espacio topologico homeomorfo a unespacio metrico completo. Entonces X no es magro (en sı mismo).

Demostracion. Es inmediata a partir del corolario 8.3.11�

Ejemplo 8.3.13. El conjunto de Cantor es completo, al ser cerrado en R.Por lo tanto, no es magro en sı mismo (comparese con el ejemplo 8.3.9.3).

Ejemplo 8.3.14. Sea C el conjunto de Cantor. Veremos que existe unnumero real x tal que (

C + {x})∩Q = ∅,

donde Q es el conjunto de los numeros racionales y

C + {x} = {c+ x : c ∈ C}.Si r ∈ Q, como se vio en el ejemplo 5.1.14, la funcion

Tr : R −→ R,

dada por Tr(x) = x+r, es un homeomorfismo, y lleva C en el conjunto C+{r}.Entonces, por el ejemplo 8.3.9.3, C + {r} es nunca denso en Tr(R) = R.


Por el corolario 8.3.12, entonces,

R 6=⋃r∈Q

(C + {r}

).

Sea x ∈ R \⋃r∈Q(C + {r}

), y sea x = −x. Entonces(C + {x}

)∩Q = ∅.

Capıtulo 9

Espacios compactos


Definicion 9.1.1. Sea (X, τ) un espacio topologico. Un subconjunto Y ⊆X es compacto si todo cubrimiento abierto tiene un subcubrimiento finito.

Observacion 9.1.2. Un subconjunto Y de un espacio topologico X escompacto si y solo si lo es con la topologıa relativa, porque un cubrimientoabierto de Y con la topologıa relativa consiste en una familia {Uα ∩ Y }α∈I ,donde Uα es abierto en X para todo α, y tal que

Y =⋃α∈I

Uα ∩ Y,

es decir,

Y ⊆⋃α∈I

Uα.

Proposicion 9.1.3. Un subconjunto cerrado de un espacio compacto escompacto.

Demostracion. Sean X un espacio topologico compacto e Y ⊆ X unconjunto cerrado. Sea {Uα}α∈I una familia de conjuntos abiertos en X tal que

Y ⊆⋃α∈I

Uα. (9.1.1)

Entonces {Y c} ∪ {Uα}α∈I es un cubrimiento abierto de X, y tiene un subcu-brimiento finito {Y c, Uα1 , Uα2 , · · · , Uαn}. Por lo tanto,

Y ⊆n⋃i=1

Uαi .

�

Ejemplos 9.1.4.

1. El espacio topologico R de los numeros reales no es compacto: el cu-brimiento abierto

U = {(−n, n) : n ∈ N}no tiene subcubrimientos finitos, porque la union de una cantidad fini-ta de miembros de U es un conjunto acotado, a diferencia de R.

2. Un conjunto X con la topologıa de los complementos finitos es com-pacto, como probaramos en el ejemplo 3.3.23.

97


Teorema 9.1.5. (Heine-Borel) Un subconjunto cerrado y acotado de R escompacto.

Demostracion. Por la proposicion 9.1.3, alcanza con probar que todointervalo cerrado [a, b] es compacto. Sea

U = {Uα}α∈I

una familia de conjuntos abiertos en R tal que

[a, b] ⊆⋃α∈I

Uα,

y sea X = {x ∈ [a, b] : [a, x] esta contenido en la union de una cantidad finitade miembros de U}.

Entonces X no es vacıo, porque a ∈ X. Sean c = supX, α0 ∈ I tal quec ∈ Uα0 y ε > 0 tal que

(c− ε, c+ ε) ⊆ Uα0 .

Sea x ∈ X ∩ (c− ε, c], y sean α1, · · · , αn ∈ I tales que

[a, x] ⊆n⋃i=1

Uαi .

Entonces, para todo y ∈ [x, c+ ε) ∩ [a, b], se tiene que

[a, y] ⊆n⋃i=0

Uαi

y, por lo tanto,

(c− ε, c+ ε) ∩ [a, b] ⊆ X.

Como, ademas, c = supX, concluimos que c = b ∈ X y que, en consecuencia,U tiene un subcubrimiento finito. �

Definicion 9.1.6. Sean X un conjunto y F ⊆ P(X) una familia de sub-conjuntos de X. Se dice que F tiene la propiedad de interseccion finita(PIF) si para toda subfamilia finita {F1, F2, · · · , Fn} de F se tiene que

F1 ∩ F2 ∩ · · · ∩ Fn 6= ∅.

Proposicion 9.1.7. Sean (X, τ) un espacio topologico, U ⊆ P(X) y F ={U c : U ∈ U}.

Entonces

1. La familia U es un cubrimiento abierto de X si y solo si F es unafamilia de conjuntos cerrados en X tal que⋂

F∈F

F = ∅.

2. La familia U no tiene subcubrimientos finitos si y solo si F tiene laPIF.


Demostracion. Ambas afirmaciones son consecuencia inmediata de lasleyes de De Morgan (proposicion 1.1.1): U no tiene subcubrimientos finitos siy solo si, dados U1, U2, · · · , Un ∈ U se tiene que

n⋃i=1

Ui 6= X.

Como, por las leyes de De Morgan,n⋃i=1

Ui 6= X⇐⇒n⋂i=1

U ci 6= ∅,

esto es equivalente a que F tenga la PIF.La demostracion de la primera afirmacion es analoga. �

Corolario 9.1.8. Un espacio topologico X es compacto si y solo si paratoda familia F de conjuntos cerrados en X con la PIF se tiene que⋂

F∈F

F 6= ∅.

Demostracion. La afirmacion es inmediata a partir de la proposicion9.1.7. �

Proposicion 9.1.9. Sean (X, τ) un espacio topologico de Hausdorff, K ⊆X un conjunto compacto y x ∈ X tal que x 6∈ K. Entonces existen conjuntosabiertos y disjuntos U y V tales que

x ∈ U y K ⊆ V.

Demostracion. Para cada y ∈ K, sean Uy y Vy conjuntos abiertos dis-juntos tales que x ∈ Uy e y ∈ Vy. Como

K ⊆⋃y∈K

Vy,

existen y1, y2, · · · , yn ∈ K tales que

K ⊆n⋃i=1

Vyi .

Sean

U :=n⋂i=1

Uyi y V :=n⋃i=1

Vyi .

Entonces x ∈ U , K ⊆ V y

U ∩ V =n⋂i=1

Uyi ∩n⋃j=1

Vyj =⋃(

Uy1 ∩ Uy2 ∩ · · · ∩ Uyn ∩ Vyj)

= ∅.

�

Corolario 9.1.10. Sean (X, τ) un espacio topologico de Hausdorff y K ⊆X un conjunto compacto. Entonces K es cerrado en X.

Demostracion. La afirmacion es consecuencia inmediata de la proposi-cion 9.1.9. �


Ejemplo 9.1.11. En el corolario 9.1.10 es necesaria, en general, la hipotesisde que X sea de Hausdorff: en R con la topologıa del cero, el conjunto {0} escompacto y no es cerrado.

Corolario 9.1.12. Sean (X, τ) un espacio topologico de Hausdorff y {Kα}α∈Iuna familia de subconjuntos compactos de X. Entonces

⋂α∈I Kα es compacto.

Demostracion. Sea α0 ∈ I. Por el corolario 9.1.10,⋂α∈I Kα es un sub-

conjunto cerrado de Kα0 . Entonces, por la proposicion 9.1.3,⋂α∈I Kα es com-

pacto. �


f : X −→ Y

una funcion continua. Si X es compacto, entonces f(X) tambien lo es.

Demostracion. Sea {Uα}α∈I una familia de conjuntos abiertos en Y talque

f(X) ⊆⋃α∈I

Uα.

Entonces {f−1(Uα)}α∈I es un cubrimiento abierto de X y tiene, en conse-cuencia, un subcubrimiento finito {f−1(Uαi) : i = 1, · · · , n}. Eso implica que{Uαi : i = 1, · · · , n} es un cubrimiento abierto de f(X), porque

f(X) = f(⋃

i

f−1(Uαi))

=⋃i

f(f−1(Uαi

)⊆⋃i

Uαi .

�

Corolario 9.1.14. Sean X un espacio topologico compacto, Y un espaciotopologico de Hausdorff y f : X −→ Y una funcion continua. La funcion f escerrada y es un homeomorfismo si ademas es biyectiva.

Demostracion. Sea F ⊆ X un conjunto cerrado. Por la proposicion 9.1.3F es compacto y entonces, por las proposiciones 9.1.13 y 9.1.10, el conjuntof(F ) es cerrado en Y .

La segunda afirmacion resulta de la proposicion 5.1.24. �

Lema 9.1.15. (Alexander) Sea (X, τ) un espacio topologico. Si τ tieneuna subbase S tal que todo cubrimiento U de X contenido en S tiene unsubcubrimiento finito, entonces X es compacto.

Demostracion. Sea (X, τ) un espacio topologico que no es compacto.Probaremos que no existe una subbase S de τ como en el enunciado. Sea F lafamilia (no vacıa) de cubrimientos abiertos deX que no tienen subcubrimientosfinitos, ordenada con la inclusion. Observemos primero que toda cadena {Ui}i∈Ien F esta acotada por

U =⋃i∈I

Ui.

Es claro que U es un cubrimiento abierto de X, ya que cada Ui lo es. Pa-ra probar que U ∈ F , supongamos que U tiene un subcubrimiento finito


{A1, A2, · · · , An}. Para cada k = 1, · · · , n, sea ik ∈ I tal que Ak ∈ Uik . Pero en-tonces {A1, A2, · · · , An} es un subcubrimiento finito del cubrimiento maximodel conjunto {Ui1 ,Ui2 , · · · ,Uin}, contradiciendo el hecho de que este pertenecea F .

Hemos probado que (F ,⊆) esta en las hipotesis del lema de Zorn (teorema1.1.10) y, por lo tanto, tiene un elemento maximalM. Observemos ahora quevalen las siguientes afirmaciones para todo par de subconjuntos abiertos A yB de X.

i) A 6∈ M⇐⇒∃M1,M2, ...Mn ∈M : X = A ∪M1 ∪M2 · · · ∪Mn. (9.1.2)

ii) Si A 6∈ M y B 6∈ M =⇒ A ∩B 6∈ M. (9.1.3)

iii) Si A ⊆ B y B ∈M =⇒ A ∈M. (9.1.4)

Para verificar i), observese que A 6∈ M es equivalente a que M∪ {A} 6∈ F yesto, a su vez, es equivalente a que M∪ {A} tenga un subcubrimiento finito,que es la afirmacion en el lado derecho de i).

La afirmacion ii) es consecuencia de i), porque si A 6∈ M y B 6∈ M, enton-ces existen M1, ..Mk tales que

X = A ∪M1 ∪M2 · · · ∪Mn, X = B ∪Mn+1 ∪Mn+2 · · · ∪Mk.

Por lo tanto,

X = (A ∩B) ∪M1 ∪M2 · · · ∪Mk,

que, por i), implica que A ∩B 6∈ M.Finalmente, si A ⊆ B y A 6∈ M, por la parte i) existen M1, · · ·Mn ∈ M

tales que

X = A ∪M1 ∪M2 · · · ∪Mn.

Por lo tanto,

X = B ∪M1 ∪M2 · · · ∪Mn

y B 6∈ M.Sea ahora S una subbase de τ . Sean M ∈ M y S1, S2, · · · , Sn ∈ S tales

quen⋂i=1

Si ⊆M.

Entonces, por la observacion iii),⋂ni=1 Si ∈M y, por la observacion ii), Si ∈M

para algun i ∈ {1, · · · , n}.Ahora, dado x ∈ X, sea Mx ∈ M tal que x ∈ Mx. y sean Sxi ∈ S, con

i = 1, · · · , n(x), tales que

x ∈n(x)⋂i=1

Sxi ⊆Mx.

Entonces

{Sxi : i = 1, · · · , n(x), x ∈ X} ⊆ Mes un cubrimiento abierto de X contenido en S que no tiene subcubrimientosfinitos, porque, de lo contrario, tambien M los tendrıa. �

9.2. COMPACIDAD SECUENCIAL Y PROPIEDAD DE BOLZANO-WEIERSTRASS 102

Teorema 9.1.16. (Tijonov) Sea {(Xi, τi)}i∈I una familia de espacios to-pologicos. El espacio producto X =

∏i∈I Xi es compacto si y solo si cada uno

de los espacios Xi lo es.

Demostracion. Si X es compacto, tambien lo es cada espacio Xi por laproposicion 9.1.13, ya que Xi es la imagen de X por la proyeccion pi sobre Xi.

Para probar la afirmacion recıproca, verificaremos que la subbase

S = {p−1i (A) : i ∈ I, A ∈ τi}

verifica las hipotesis del lema de Alexander (9.1.15): si U ⊆ S es un cubrimientoabierto de X, sea

Ui = {A ∈ Xi : p−1i (A) ∈ U},

para todo i ∈ I.Entonces existe i0 ∈ I tal que Ui0 es un cubrimiento abierto de Xi0 : de lo

contrario, para cada i ∈ I existirıa xi ∈ Xi tal que xi 6∈⋃A∈Ui A. Entonces, si

x ∈ X esta definido por pi(x) = xi para todo i ∈ I, se tiene que

x 6∈⋃A∈U

A,

lo cual contradice el hecho de que U es un cubrimiento de X.Finalmente, si {A1, · · · , An} ⊆ Ui0 un subcubrimiento finito de Xi0 , enton-

ces

{p−1i0

(A1), · · · , p−1i0

(An)} ⊆ Ues un subcubrimiento finito de X. �

Corolario 9.1.17. Un subconjunto K de Rn es compacto si y solo si escerrado y acotado.

Demostracion. Si K ⊆ Rn es cerrado y acotado, entonces, por la obser-vacion 2.3.6, existen a, b ∈ R tales que

K ⊆ [a, b]n.

Por el teorema de Heine-Borel (9.1.5) y el de Tijonov (9.1.16), [a, b]n es com-pacto. Entonces K es compacto, por la proposicion 9.1.3.

Recıprocamente, si K ⊆ Rn es compacto, entonces es cerrado por el coro-lario 9.1.10. Ademas, es acotado, porque el subcubrimiento {(−k, k)n : k ≥ 0}tiene un subcubrimiento finito. �

9.2. Compacidad secuencial y propiedad de Bolzano-Weierstrass

Estudiamos en esta seccion dos propiedades topologicas estrechamentevinculadas con la compacidad: la compacidad secuencial y la propiedad deBolzano-Weierstrass. Veremos en el teorema 9.2.13 que, en espacios metri-cos, ambas son equivalentes a la compacidad. Comenzamos por caracterizar lacompacidad en terminos de redes.

Teorema 9.2.1. Un espacio topologico (X, τ) es compacto si y solo si todared {Td}d∈D en X tiene una subred convergente.


Demostracion. Sea {Td}d∈D una red en un espacio topologico compactoX. Para cada c ∈ D, sea

Ac = {Td : d ≥ c}.Entonces Ac tiene la PIF: dados c1, · · · , cn ∈ D, sea c ∈ D tal que c ≥ci para todo i = 1, 2, · · · , n. Entonces

Tc ∈n⋂i=1

Aci .

Por lo tanto, {Ac : c ∈ D} es una familia de conjuntos cerrados con la PIF y,por el corolario 9.1.8, ⋂

c∈D

Ac 6= ∅.

Probaremos ahora que si x ∈⋂c∈D Ac, entonces x es un punto de aglomeracion

de {Td}. Por la proposicion 4.2.8, entonces, {Td} tiene una subred convergentea x.

Efectivamente, dados d0 ∈ D y un entorno V ∈ Nx, como x ∈ Ad0 , se tieneque

Ad0 ∩ V 6= ∅.Es decir, existe c ≥ d0 tal que Tc ∈ V .

Para demostrar la afirmacion recıproca, consideramos una familia F desubconjuntos cerrados de X con la PIF y probaremos que

⋂F∈F F 6= ∅.

Sea F0 la familia de intersecciones de una cantidad finita de miembros deF , ordenada con ⊇ ( es decir, F ≤ G si y solo si F ⊇ G). F0 es un conjuntodirigido, ya que la interseccion de dos miembros de F0 pertenece a F0.

Si F ∈ F0, entonces F 6= ∅; sea xF ∈ F . La red {xF}F∈F0 tiene una subredconvergente y, por lo tanto, tiene un punto de aglomeracion x. Entonces, dadosF ∈ F y V ∈ Nx, existe G ∈ F0, tal que G ≥ F y xG ∈ V .

Por lo tanto,F ∩ V ⊇ G ∩ V 6= ∅.

Hemos probado ası que

x ∈⋂F∈F

F =⋂F∈F

F,

como querıamos. �

Proposicion 9.2.2. Sea (X, τ) un espacio compacto y N1. Entonces todasucesion en X tiene una subsucesion convergente.

Demostracion. Sea {xn} una sucesion en X. Por el teorema 9.2.1 {xn}tiene una subred convergente a un punto x ∈ X que, por lo tanto, es un puntode aglomeracion de {xn}. Sea {Vk}k∈N una base decreciente de entornos de x.

Sean n0 = 1 y n1 > 1 tal que xn1 ∈ V1.Dados xn1 , xn2 , · · · , xnl tales que

ni−1 < ni y xni ∈ Vi (9.2.1)

para todo i = 1, · · · , l, sea nl+1 > nl tal que xnl+1∈ Vl+1.

Entonces {xnk} es una subsucesion de {xn} que converge a x. �


Definicion 9.2.3. Sea (X, τ) un espacio topologico. Se dice que X es se-cuencialmente compacto si toda sucesion en X tiene una subsucesion con-vergente.

Ejemplo 9.2.4. Por la proposicion 9.2.2 todo espacio topologico compac-to y N1 es secuencialmente compacto. En particular, todo espacio metricocompacto es secuencialmente compacto.

Corolario 9.2.5. Todo espacio metrico compacto es completo.

Demostracion. La afirmacion se sigue inmediatamente de la proposicion8.1.4 y el ejemplo 9.2.4. �

Proposicion 9.2.6. Sea (X, τ) un espacio topologico N2 y secuencialmentecompacto. Entonces X es compacto.

Demostracion. Probaremos que si X es N2 y no es compacto, entoncesno es secuencialmente compacto. Sea U un cubrimiento abierto de X. ComoX es N2, es de Lindelof por el teorema 3.3.22, y existe un subcubrimientonumerable {Un}n∈N de U .

Como X no es compacto, existe

x1 ∈ X \ U1.

Sea n1 ∈ N tal que x1 ∈ Un1 , y sea

A1 =

n1⋃i=1

Ui.

Como X no es compacto, existe

x2 ∈ X \ A1.

Sean n2 tal que x2 ∈ Un2 y

A2 =

n2⋃i=1

Ui.

Observese que, entonces, n2 > n1.En general, dados n1, n2, · · ·nk tales que

nj−1 < nj, Aj :=

nj⋃i=1

Ui, xj ∈ Unj \ Aj−1 (9.2.2)

para 2 ≤ j ≤ k, sean xk+1 ∈ X \ Ak y nk+1 ∈ N tal que xk+1 ∈ Unk+1.

(Observese que esto implica que nk+1 > nk).Se construyen ası, por recurrencia, sucesiones {xj}, {nj} y {Aj} que veri-

fican (9.2.2) para todo j ≥ 2.Veamos ahora que la sucesion {xj} no tiene subsucesiones convergentes.

Dado x ∈ X, sea m ∈ N tal que x ∈ Um, y sea k0 ∈ N tal que

nk0−1 ≤ m < nk0 .

Entonces Um es un entorno de x tal que xk 6∈ Um si k > k0. Por lo tanto {xn}no tiene subsucesiones que converjan a x. Esto concluye la demostracion, yaque el argumento vale para todo punto x ∈ X. �


Corolario 9.2.7. Un espacio topologico N2 es compacto si y solo si essecuencialmente compacto.

Demostracion. La afirmacion resulta de la observacion 3.3.27 y de lasproposiciones 9.2.2 y 9.2.6

�

Definicion 9.2.8. Un espacio topologico (X, τ) tiene la propiedad deBolzano-Weierstrass si todo subconjunto infinito de X tiene un punto deacumulacion (en X).

Proposicion 9.2.9. Sean (X, τ) un espacio topologico N1 y T1, y {xn}n∈Nuna sucesion en X. Si x ∈ X es un punto de acumulacion del conjunto

{xn : n ∈ N},entonces {xn} tiene una subsucesion que converge a x.

Demostracion. Si x es un punto de acumulacion del conjunto {xn : n ∈N}, tambien es un punto de acumulacion del conjunto {xn : n ∈ N} \ {x}. Porlo tanto, podemos suponer que xn 6= x para todo n ∈ N.

Sea {Vk}k∈N una base decreciente de entornos de x. Como x 6= x1, existek1 > 1 tal que

x1 6∈ Vk1 . (9.2.3)

Sean k0 = n0 = 1. Como x es un punto de acumulacion de {xn}, existe n1 ∈ N,

xn1 ∈ Vk1 . (9.2.4)

Observese que, por (9.2.3) y (9.2.4), n1 > 1 = n0.En general, dados k1, · · · , kl y n1, · · · , nl tales que

kj−1 < kj, nj−1 < nj y xnj ∈ Vkj (9.2.5)

para todo j = 1, · · · l, sean kl+1 tal que para todo n ≤ nl se tiene que

xn 6∈ Vkl+1,

lo cual implica que kl+1 > kl, y nl+1 tal que

xnl+1∈ Vkl+1

,

lo cual implica que nl+1 > nl.Se construyen ası sucesiones {kj} y {nj} que verifican (9.2.5) para todo

j ≥ 1. Por lo tanto, {xnj} es una subsucesion de {xn}, y converge a x, porque,dado W ∈ Nx, si m, k0 ∈ N son tales que Vm ⊆ W y nk0 ≥ m, se tiene que

xnk ∈ Vnk ⊆ Vnk0 ⊆ Vm ⊆ W

para todo k ≥ k0. �

Ejemplo 9.2.10. En general, es necesaria la hipotesis de que X sea T1 enla proposicion 9.2.9: la sucesion

xn = n para todo n ∈ Nen Z con la topologıa par-impar no tiene subsucesiones convergentes, perocualquier numero natural es un punto de acumulacion de su imagen.

Proposicion 9.2.11. Sea (X, τ) un espacio topologico.


1. Si X es secuencialmente compacto, entonces X tiene la propiedad deBolzano-Weierstrass.

2. Si X es N1, T1 y tiene la propiedad de Bolzano-Weierstrass, entoncesX es secuencialmente compacto.

Demostracion.

1. Sea A ⊆ X un conjunto infinito. Por la proposicion 1.3.15, A tiene unsubconjunto infinito numerable {an}n∈N, donde an 6= am si n 6= m. Porser X secuencialmente compacto, {an} tiene una subsucesion (de rangoinfinito) que converge a un punto x ∈ X. Por lo tanto, x es un puntode acumulacion de A.

2. Sea {xn} una sucesion en X. Si el conjunto {xn : n ∈ N} es finito,la sucesion {xn} tiene una subsucesion constante y, por lo tanto, con-vergente. De lo contrario, el conjunto {xn : n ∈ N} tiene un punto deacumulacion x ∈ X y, por la proposicion 9.2.9, {xn} tiene una subsu-cesion que converge a x.

�

Proposicion 9.2.12. Todo espacio metrico secuencialmente compacto esseparable.

Demostracion. Sea (E, d) un espacio metrico secuencialmente compac-to. Para cada n ∈ N, sea

En = {A ⊆ E : d(x, y) ≥ 1

n, para todo par de puntos diferentes x, y ∈ A}.

Si E tiene solo un punto, entonces es separable. De lo contrario, dados x, y ∈ Etales que x 6= y, sea n0 ∈ N tal que

d(x, y) ≥ 1

n0

.

Entonces En 6= ∅ para todo n ≥ n0.Consideremos En, con n ≥ n0, ordenado con la inclusion. Toda cadena

{Aα}α∈I ⊆ En esta acotada por

A =⋃α∈I

Aα.

En efecto, A ∈ En: si x, y ∈ A, sean α1, α2 tales que x ∈ Aα1 , y ∈ Aα2 .Entonces x, y ∈ Aα, donde Aα = Max{Aα1 , Aα2}. Como Aα ∈ En, concluimosque d(x, y) ≥ 1

n.

Sea Mn un elemento maximal de En para n ≥ n0, y sea

M =⋃n≥n0

Mn.

Observemos ahora queMn es finito para todo n ≥ n0. De lo contrario, por laproposicion 1.3.15, existirıa una sucesion {xk} ⊆ Mn tal que xk 6= xl si k 6= l.Pero entonces

d(xk, xl) ≥1

npara todo k, l ∈ N,


por lo cual {xk} no tiene subsucesiones convergentes, en contradiccion con elhecho de que E es secuencialmente compacto. Por lo tanto, M es numerable.

Ademas, M es denso en E: dados x ∈ E \M y ε > 0, sea n1 ≥ n0 tal que

1

n1

< ε.

Como x 6∈ Mn1 yMn1 es un conjunto maximal en En1 , existe y ∈Mn tal que

d(x, y) <1

n1

< ε.

Hemos probado ası que M es denso en E y, por lo tanto, que E es separable.�

Teorema 9.2.13. Sea (E, d) un espacio metrico. Las siguientes afirmacio-nes son equivalentes.

1. E es compacto.2. E es secuencialmente compacto.3. E tiene la propiedad de Bolzano-Weierstrass.

Demostracion.1) ⇒ 2) se probo en el ejemplo 9.2.4.2) ⇒ 1): Por la proposicion 9.2.12 E es separable si es secuencialmente

compacto. Como, ademas, un espacio metrico separable es N2 por la proposi-cion 3.3.18, el corolario 9.2.7 prueba que X es compacto.

2) ⇔ 3) resulta de la proposicion 9.2.11.�

Corolario 9.2.14. Todo espacio metrico compacto es separable.

Demostracion. La demostracion es inmediata a partir de las proposicio-nes 9.2.12 y 9.2.13. �

Proposicion 9.2.15. Sea {Uα}α∈I un cubrimiento abierto de un espaciometrico compacto (E, d). Entonces existe un numero positivo λ tal que, paratodo x ∈ E, existe α(x) ∈ I tal que

Bλ(x) ⊆ Uα(x).

Demostracion. Dado x ∈ E, existe α(x) tal que x ∈ Uα(x). Ademas,como Uα(x) es abierto, existe r(x) > 0 tal que

Br(x)(x) ⊆ Uα(x). (9.2.6)

La familia de bolas {B r(x)2

(x) : x ∈ E} tiene un subcubrimiento finito

{B r(xi)

2

(xi) : i = 1, · · · , n}.

Sea

λ := Mın{r(xi)2

: i = 1, · · · , n}.

Ahora, dado y ∈ E, y ∈ B r(xi)

2

(xi) para algun i = 1, · · ·n.

EntoncesBλ(y) ⊆ B r(xi)

2

(y) ⊆ Br(xi)(x) ⊆ Uα(xi).

Se toma ahora α(y) = α(xi). �


Definicion 9.2.16. El numero λ de la proposicion 9.2.15 es un numerode Lebesgue del cubrimiento {Uα}α∈I .

Capıtulo 10

Topologıa cociente


Definicion 10.1.1. Sean Y un conjunto, {Xα}α∈I una familia de espaciostopologicos y fα : Xα −→ Y una funcion para cada α ∈ I.

La topologıa final en Y con respecto a {fα} es la familia

τ = {A ⊆ Y : f−1α (A) es abierto en Xα para todo α ∈ I}.

Observaciones 10.1.2. Las siguientes afirmaciones se verifican en formainmediata:

1. La familia τ es, efectivamente, una topologıa.2. τ es la mayor topologıa en Y para la cual fα es continua para todoα ∈ I.

3. Sean Z un espacio topologico y

g : Y −→ Z.

Entonces g es continua si y solo si g◦fα es continua para todo α ∈ I,ya que las dos afirmaciones son verdaderas si y solo si f−1

α (g−1(U)) esabierto para todo conjunto abierto U ⊆ Z y todo α ∈ I.

Notacion 10.1.3. Sea ∼ una relacion de equivalencia en el conjunto X.Recordamos que indicaremos con [x]∼ (o con [x], si esto no da lugar a con-fusion) la clase de equivalencia de un elemento x ∈ X, con X/∼ el conjuntocociente

X/∼= {[x]∼ : x ∈ X},y con π∼ (o con π) la proyeccion en el cociente:

π∼ : X −→ X/∼ π(x) = [x]∼.

Definicion 10.1.4. Sean X un espacio topologico y ∼ una relacion deequivalencia en X. La topologıa cociente en X/∼ es la topologıa final conrespecto a la proyeccion π∼.

Observacion 10.1.5. La proyeccion

π : X −→ X/∼

es continua con respecto a la topologıa cociente en X/∼, por la observacion10.1.2.2.

Observacion 10.1.6. Sea ∼ una relacion de equivalencia en un espaciotopologico (X, τ). La continuidad de π∼ implica queX/∼ es conexo (compacto)si X lo es.

109


Proposicion 10.1.7. Sean X e Y espacios topologicos y ∼ una relacionde equivalencia en X. Entonces una funcion

f : X/∼ −→ Y

es continua si y solo si f ◦π∼ lo es.

Demostracion. La afirmacion es consecuencia de la observacion 10.1.2.3.�

Definicion 10.1.8. Sean ∼ una relacion de equivalencia en el conjunto Xy B ⊆ X. El saturado de B es el conjunto

sat B = π−1(π(B)).

Se dice que B es saturado si B = sat B.


1. El saturado de un conjunto B es

sat B = {x ∈ X : x ∼ b para algun b ∈ B}.2. Por ser π sobreyectiva, se tiene que A = π(π−1(A)) para todo A ⊆X/∼.

Proposicion 10.1.10. Sea ∼ una relacion de equivalencia en un conjuntoX.

1. Un conjunto B ⊆ X es saturado si y solo si existe A ⊆ X/∼ tal queB = π−1(A):

2. Un conjunto A ⊆ X/∼ es abierto si y solo si A = π(B), donde B esabierto y saturado.

Demostracion.

1. Si B es saturado, B = π−1(A), donde A = π(B).Recıprocamente, siB = π−1(A), entonces, por la observacion 10.1.9.2,

sat B = π−1(π(B)) = π−1(π(π−1(A))) = π−1(A) = B.

2. Si A es abierto, se tiene que

B := π−1(A)

es abierto, y es saturado por la parte 1. Ademas, π(B) = A por laobservacion 10.1.9.2.

Recıprocamente, si A = π(B) y B es abierto y saturado, entonces

π−1(A) = π−1(π(B)) = B

es abierto. Por lo tanto, A es abierto.

�

Definicion 10.1.11. Se dice que una relacion de equivalencia ∼ en unconjunto X es abierta (cerrada) si la proyeccion π∼ es abierta (cerrada).

Observacion 10.1.12. Se verifica inmediatamente a partir de las defini-ciones que una relacion de equivalencia es abierta si y solo si el saturado detodo conjunto abierto es abierto, y es cerrada si y solo si el saturado de todoconjunto cerrado es cerrado.


Ejemplos 10.1.13.

1. Se considera la relacion de equivalencia ∼ en R definida por x ∼ y si ysolo si x− y ∈ Z. Dado un conjunto A ⊆ R,

sat A =⋃k∈Z

A+ k,

que es abierto por la observacion 5.1.22. Concluimos ası que ∼ es abier-ta.

No es cerrada, en cambio: si

F = {n+1

n: n ∈ N},

se verifica facilmente que F es cerrado, mientras que

sat F = {m+1

n: n ∈ N,m ∈ Z}

no lo es.

2. Se considera en [0, 1] la relacion de equivalencia ∼ definida como en elejemplo anterior. Esta relacion no es abierta ya que

sat ([0,1

2)) = [0,

1

2) ∪ {1},

que no es abierto en [0, 1]. Sı es cerrada, porque

sat F =

{F, si 0 6∈ F y 1 6∈ FF ∪ {0, 1}, en otro caso .

3. La relacion de equivalencia en R definida por

x ∼ y si y solo si x = y o x ∈ Z e y ∈ Zes cerrada y no es abierta, porque

sat F =

{F, si F ∩ Z = ∅F ∪ Z, en otro caso .

Veamos ahora que el espacio cociente R/∼ no verifica el primer axio-ma de numerabilidad. Supongase que {Vn} es una familia de entornosabiertos de π(0) en R/∼. Entonces π−1(Vn) es abierto en R y contienea Z.

Para cada entero n, sea an ∈ π−1(Vn)\Z tal que n < an < n+1, y seaB = {an : n ∈ Z}c. Entonces B es abierto y saturado, porque Z ⊆ B.En consecuencia, π(B) es un entorno abierto de π(0), por 10.1.10, pero,para todo n, Vn 6⊆ π(B), porque π(an) ∈ Vn y π(an) 6∈ π(B).

4. (Cocientes de espacios normados por subespacios cerrados)Sea Y un subespacio vectorial cerrado de un espacio normado X. Elespacio vectorial cociente X/Y es el espacio cociente X/∼, donde

x1 ∼ x2 si y solo si x1 − x2 ∈ Y.


Por lo tanto, la clase de equivalencia de un vector x ∈ X es

[x]∼ = x+ Y = {x+ y : y ∈ Y }.La estructura de espacio vectorial en X/∼ esta definida por

(x+ Y ) + (z + Y ) = (x+ z) + Y y λ (x+ Y ) = (λ x) + Y,

para todo escalar λ y x, z ∈ X.Veremos a continuacion que la topologıa cociente en X/Y proviene

de la norma

‖x+ Y ‖∼ = ınf{‖x+ y‖ : y ∈ Y }. (10.1.1)

Comenzamos por verificar que (10.1.1) define una norma en X/Y . Esclaro que ‖x+ Y ‖∼ ≥ 0 para todo x ∈ X. Supongamos que

‖x+ Y ‖∼ = 0.

Para cada n ∈ N podemos elegir yn ∈ Y tal que

‖x+ yn‖ <1

n.

Por lo tanto, la sucesion {−yn}n∈N ⊆ Y converge a x. Como Y escerrado, concluimos que x ∈ Y y, en consecuencia,

x+ Y = 0 + Y = 0X/Y .

Por otro lado, si λ es un escalar y x ∈ X,

‖λ(x+ Y )‖∼ = ‖λx+ Y ‖∼= ınf{‖λx+ y‖ : y ∈ Y }= ınf{‖λx+ λy‖ : y ∈ Y }= |λ| ınf{‖x+ y‖ : y ∈ Y }= |λ| ‖x+ Y ‖∼.

Probamos ahora la desigualdad triangular: dados x1 y x2 ∈ X y ε > 0,sean y1, y2 ∈ Y tales que

‖xi + yi‖ < ‖xi + Y ‖∼ +ε

2para i = 1, 2.

Entonces

‖x1 + x2 + Y ‖∼ ≤ ‖x1 + x2 + (y1 + y2)‖≤ ‖x1 + y1‖+ ‖x2 + y2‖< ‖x1 + Y ‖∼ + ‖x2 + Y ‖∼ + ε. (10.1.2)

Como (10.1.2) vale para todo ε > 0, se tiene que

‖x1 + x2 + Y ‖∼ ≤ ‖x1 + Y ‖∼ + ‖x2 + Y ‖∼.Veamos ahora que ‖ ‖∼ induce la topologıa cociente. Observemos

por un lado que la proyeccion en el cociente

π∼ : X −→ (X/Y, ‖ ‖∼)

es continua.


Efectivamente, se tiene que

‖π∼(x)− π∼(z)‖∼ = ınf{‖x− z + y‖ : y ∈ Y } ≤ ‖x− z‖para todo x, z ∈ X. Resulta entonces de la observacion 10.1.2.2 quetodo conjunto abierto con la norma ‖ ‖∼ es abierto en la topologıacociente.

Sea ahora A ⊆ X/Y un conjunto abierto en la topologıa cociente.Solo falta probar que tambien es abierto con la norma ‖ ‖∼.

En efecto, si a + Y ∈ A, como π−1∼ (A) es abierto y contiene a a,

existe δ > 0 tal que

Bδ(a) ⊆ π−1∼ (A).

Probaremos a continuacion que

BX/Yδ (a+ Y ) ⊆ A,

lo cual concluira la demostracion. Sea x+Y ∈ BX/Yδ (a+Y ). Entonces

existe y0 ∈ Y tal que

‖x− a+ y0‖ < δ.

Por lo tanto,x+ y0 ∈ Bδ(a) ⊆ π−1

∼ (A),

es decir,

x+ Y = x+ y0 + Y = π(x+ y0) ∈ A,como querıamos probar.

Proposicion 10.1.14. (Propiedad universal del cociente) Sean X e Yespacios topologicos, ∼ una relacion de equivalencia en X, y

f : X −→ Y

una funcion continua tal que f(x) = f(y) si x ∼ y. Entonces existe una unica

funcion f tal que el diagrama

X

π∼��

f // Y

X/∼f

==

conmuta. Ademas, f es continua.

Demostracion. La unica forma posible de definir f de manera de que eldiagrama conmute es por

f([x]∼) = f(x),

y la condicion f(x) = f(y) si x ∼ y permite definir f ası. La continuidad esconsecuencia directa de la proposicion 10.1.7. �

Definicion 10.1.15. La esfera Sn es el conjunto

Sn = {x ∈ Rn+1 : ‖x‖ = 1}, donde ‖(x1, · · · , xn+1)‖2 =n+1∑i=1

|xi|2.


Observacion 10.1.16. La esfera S1 es homeomorfa al espacio cociente[0, 1]/∼, donde ∼ es la relacion de equivalencia en [0, 1] definida en 10.1.13.2.

En efecto, la funcion

φ : [0, 1] −→ S1

dada por φ(t) = e2πit define, como en la proposicion 10.1.14, una funcioncontinua

φ : [0, 1]/∼−→ S1.

Claramente, φ es biyectiva. Por el corolario 9.1.14, φ es un homeomorfismo,ya que S1 es de Hausdorff y [0, 1]/∼ es compacto, por la observacion 10.1.6.

Ejemplo 10.1.17.El toro n-dimensional Tn es el espacio cociente cociente Rn/∼, donde

(x1, · · · , xn) ∼ (y1, · · · , yn) si y solo si xi − yi ∈ Z para todo i = 1, · · · , n.

Observacion 10.1.18. El toro T n es compacto para todo n ≥ 1, porquees la imagen de [0, 1]n por la proyeccion en el cociente.

Observacion 10.1.19. El toro T n es homeomorfo a (S1)n, porque la fun-cion

φ : Rn −→ (S1)n dada por φ(x1, x2, · · · , xn) = (e2πix1 , e2πix2 , · · · , e2πixn)

define, por la propiedad universal del cociente (proposicion 10.1.14), una fun-cion continua

φ : T n −→ (S1)n.

Es claro que φ es biyectiva. Ademas, su dominio es compacto, por la obser-vacion 10.1.18, y su imagen es de Hausdorff. Por el corolario 9.1.14, φ es unhomeomorfismo.

Definicion 10.1.20. Sea ∼ una relacion de equivalencia en un conjuntoX. El grafo de ∼ es el conjunto

G∼ = {(x, y) ∈ X ×X : x ∼ y}.

Proposicion 10.1.21. Sea ∼ una relacion de equivalencia en un espaciotopologico (X, τ).

1. G∼ ⊆ X ×X es cerrado si X/∼ es de Hausdorff.2. X/∼ es de Hausdorff si G∼ es cerrado en X ×X y π es abierta.

Demostracion.

1. Sea (x, y) 6∈ G∼. Entonces π(x) 6= π(y) y, por lo tanto, existen abiertosdisjuntos U y V en X/∼ tales que π(x) ∈ U y π(y) ∈ V . Entoncesπ−1(U)× π−1(V ) es abierto en X ×X y contiene a (x, y).

Probaremos a continuacion que(π−1(U)× π−1(V )

)∩G∼ = ∅.

Si u, v ∈ π−1(U)× π−1(V ), entonces π(u) ∈ U y π(v) ∈ V , por lo cualπ(u) 6= π(v), es decir, (u, v) 6∈ G∼.


2. Sean x e y en X tales que π(x) 6= π(y). Entonces (x, y) 6∈ G∼ y, porlo tanto, existen abiertos A y B en X tales que (x, y) ∈ A × B y(A×B) ∩G∼ = ∅.

Se tiene que π(A) y π(B) son abiertos por ser π abierta. Ademas,π(x) ∈ π(A) y π(y) ∈ π(B). Solamente falta probar que π(A) y π(B)son disjuntos. En efecto, si g ∈ π(A) y h ∈ π(B), sean a ∈ A y b ∈ Btales que g = π(a) y h = π(b).

Entonces(a, b) ∈ A×B ⊆ Gc

∼.

Por lo tanto,g = π(a) 6= π(b) = h.

�

Definicion 10.1.22. Dado un numero natural n ≥ 1, el espacio proyec-tivo real PRn es el espacio cociente

(Rn+1 \ {0}

)/∼, donde x ∼ y si y solo

si existe λ ∈ R tal que x = λy.

Observacion 10.1.23. PRn es conexo por la observacion 10.1.6. Ademas,es compacto, porque PRn = π∼(Sn).

Proposicion 10.1.24. PRn es homeomorfo a Sn/∼s, donde x ∼s y si ysolo si x = ±y.

Demostracion. Sea φ : Rn+1 \ {0} −→ Sn dada por φ(x) = x‖x‖ .

El diagrama conmutativo

Rn+1 \ {0}πPR

��

φ //

ψ:=π∼s◦φ

&&

Sn

πs��

PRnψ

// Sn/∼s

define una funcion ψ continua, invertible y con dominio compacto.Alcanza, entonces, con probar que Sn/∼s es de Hausdorff. Esto es conse-

cuencia de que Sn y ∼s estan en las hipotesis de 10.1.21.2. Por un lado, el grafoG∼s es cerrado: si (x, y) 6∈ G∼s , entonces x 6= ±y y existen abiertos disjuntosU0 y V0 en Sn tales que x ∈ U0 e y ∈ V0 y abiertos disjuntos U1 y V1 tales que−x ∈ U1 e y ∈ V1.

Entonces(x, y) ∈ (−U1 ∩ U0)× (V1 ∩ V0) ⊆ Gc

∼s ,

porque, dado (u, v) ∈ (−U1 ∩U0)× (V1 ∩ V0), si u = v, entonces u ∈ U0 ∩ V0 ysi u = −v, entonces −u ∈ U1 ∩ V1, contradiciendo lo anterior. Ademas, π∼s esabierta en virtud de las observaciones 5.1.22 y 10.1.12, porque

sat ∼s(B) = B ∪ −B.�

Bibliografıa

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116

Lista de sımbolos

A Interior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30A Clausura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .30Bε(x) Bola abierta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20B−r (x) Bola cerrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23C Conjunto de Cantor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59C([a,b]) Espacio de funciones complejas continuas en [a, b] . . . . . . . . . . . . . . . . . 18Cb(X,E) Espacio de funciones continuas y acotadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58CR([a,b]) Espacio de funciones reales continuas en [a, b] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18Cx Componente conexa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74CCx Componente conexa por caminos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .77dsup Distancia del supremo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51∂A Frontera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31E Completacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86E/∼ Espacio cociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4F(S,T) Espacio de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12Fb(S,E) Espacio de funciones acotadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51G∼ Grafo de una relacion de equivalencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114`1 Espacio de sucesiones complejas sumables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19`1R Espacio de sucesiones reales sumables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19`2 Espacio de sucesiones complejas de cuadrado sumable . . . . . . . . . . . . . 20`2R Espacio de sucesiones reales de cuadrado sumable . . . . . . . . . . . . . . . . . 20`∞ Espacio de sucesiones complejas acotadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20`∞R Espacio de sucesiones reales acotadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20Nx Familia de entornos de un punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29π∼ Proyeccion en el cociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4P(A) Conjunto potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3PF(A) Conjunto de partes finitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12PRn Espacio proyectivo real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115R Conjunto de sucesiones de ceros e infinitos unos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13sat B Saturado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110Sn Esfera n-dimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113Tn Toro n-dimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114[x]∼ Clase de equivalencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4‖ ‖sup Norma del supremo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19∼c Conexion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74∼cc Conexion por caminos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

117

Indice alfabetico

axiomade eleccion, 5

axiomasde separacion, 33de numerabilidad, 35

primer axioma, 43segundo axioma, 39

basede entornos, 42de una topologıa, 37local, 42

bolaabierta, 20cerrada, 23

cadena, 3camino, 76cardinal ≤, 6clase de equivalencia, 4clausura, 30cociente

espacio, 4codominio, 1completacion, 85completitud, 81componente

conexa, 74conexa por caminos, 77

composicion, 2conexion, 69

local, 75por caminos, 75

conjuntoabierto

en un espacio metrico, 21en un espacio topologico, 27

acotado, 26cerrado

en un espacio metrico, 23en un espacio topologico, 31

convexo, 72de Cantor, 59

de partes, 3de partes finitas, 12denso, 35dirigido, 46finito, 9infinito, 9infinito numerable, 9numerable, 9nunca denso, 93potencia, 3saturado, 109

conjuntoscon el mismo cardinal, 5coordinables, 5equipotentes, 5

continuidad, 52uniforme, 56

contraccion, 89convergencia

de una red, 47de una sucesion, 45uniforme, 51

cotainferior, 3superior, 3

cubrimiento abierto, 41curva, 76

descomposicion binaria, 13desigualdad

triangular, 17, 18diametro, 26distancia, 17

acotada, 26de la convergencia uniforme, 51del supremo, 51equivalente, 24relativa, 17

dominio, 1

elementomaximal, 3minimal, 3

118


entorno, 29equivalencia

relacion de, 108esfera, 112espacioN1, 43N2, 39T0, 33T1, 34T2, 34compacto, 96completo, 81conexo, 69conexo por caminos, 77de Hausdorff, 34de Lindelof, 41de primera categorıa, 93discreto, 18localmente conexo, 75localmente conexo por caminos, 78metrico, 17magro, 93secuencialmente compacto, 103separable, 36topologico, 27

espacio proyectivo real, 114espacios

homeomorfos, 57isometricos, 56

frontera, 31funcion, 1

inversa, 2abierta, 58acotada, 51biyectiva, 2cerrada, 58continua, 52invertible, 2inyectiva, 2sobreyectiva, 2uniformemente continua, 56

grafo de una relacion de equivalencia, 113

homeomorfismo, 57

imagen, 1infimo, 3inmersion isometrica, 56interior, 30intervalo, 72isometrıa, 56

lemade Zorn, 4

de Alexander, 99leyes de De Morgan, 1

maximo, 3metrica, 17

discreta, 18equivalente, 24relativa, 17

mınimo, 3

numero de Lebesgue, 107norma, 18

del supremo, 19

ordenparcial, 3total, 3

PIF, 97preimagen, 2producto cartesiano, 1, 5propiedad

de Bolzano-Weierstrass, 104de interseccion finita, 97metrica, 82topologica, 82

proyeccion, 5en el cociente, 4

puntoaislado, 30de acumulacion, 30de aglomeracion, 49fijo, 89interior, 30

puntosconectados, 74conectados por caminos, 76conectados por curvas, 76

rango, 1red, 47

acotada, 80relacion de equivalencia, 4

abierta, 109cerrada, 109

saturado de un conjunto, 109subbase, 38subcubrimiento abierto, 41subred, 49sucesion

de Cauchy, 80supremo, 3

teoremade Baire, 91


de Bolzano, 71de Cantor, 8de Cantor-Bernstein, 8de cerrados encajados de Cantor, 91de Heine-Borel, 97de Lindelof, 41de Tijonov, 101

topologıa, 27cociente, 108de la convergencia puntual, 50de los complementos finitos, 28de los complementos numerables, 28del cero, 28discreta, 27final, 108generada, 38indiscreta, 27inducida por una metrica, 27inicial, 65mas fina, 39mayor, 39menor, 39metrizable, 27par-impar, 29producto, 65relativa, 28

toro, 113

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