Upload
huynh-ict
View
149
Download
10
Embed Size (px)
Citation preview
Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh - ðà Lạt Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân
1
Chöùng minh raèng : 3
4
4
3
4
12
2
60
11. dx
3 2 sin x 23 cotg 1
2. dx12 x 31 1
3. dx2 61 x
ππππ
ππππ
ππππ
ππππ
π ππ ππ ππ π−−−−
ππππ
−−−−
∫∫∫∫
∫∫∫∫
∫∫∫∫
4
� �
� �
� �
1
0
2
5 4 3
14. ln 2 dx
41 x x1
5. dxx x 1 8
x6. dx
18 x x x 3 9 3
ππππ< << << << <
++++ππππ
+ ++ ++ ++ +
π ππ ππ ππ π+ + ++ + ++ + ++ + +
∫∫∫∫
∫∫∫∫
∫∫∫∫
1
0
1
0
�
� �
Baøi giaûi :
3 3 3 34 4 4 4
4 4 4 4
2 2 22
2 2
3 1 1 1 11. x sin x 1 sin x 1 1 2 sin x 2 1 3 2 sin x 2 1
4 4 2 2 3 2 sin x21 1 1
dx dx dx dx2 3 2 sin x 4 3 2 sin x 2
π π π ππ π π ππ π π ππ π π π
π π π ππ π π ππ π π ππ π π π
π ππ ππ ππ π−−−−
−−−−
π ππ ππ ππ π− −− −− −− −∫ ∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫
⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒
⇒ ⇒
� � � � � � � � � � � �
� � � �
3 3 3
4 4 4
3
4
cotgx 13 cotgx 4 3 cotgx 4
2. x dx dx dx4 x x3 1 4
x
3 cotgx 1dx
12 x 3
π π ππ π ππ π ππ π π
π π ππ π ππ π ππ π π
ππππ
ππππ
π ππ ππ ππ π
π π π ππ π π ππ π π ππ π π π π ππ ππ ππ π
∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫
∫∫∫∫
1
3⇒ ⇒ ⇒3
⇒
� �
� � � � � �
� �
� �
Baøi toaùn naøy coù theå giaûi theo phöông phaùp ñaïo haøm.
1 12 2
6 2 2 6 2 6 2 6
6 2 60
13. 0 x 1 0 x .... x 1 1 x x 0 0 1 x 1 x 1 1 x 1 x 1
21 1 1
1 dx dx1 x 1 x 1 x
I
< < − − − − − − −< < − − − − − − −< < − − − − − − −< < − − − − − − −
− − −− − −− − −− − −∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫0
⇒ ⇒ ⇒ ⇒
⇒ ⇒
� � � � � � � � � � � � �
� � � �
Vôùi 12
20
1I = dx1- x∫ Ñaët x sin t ; t ; dx cos tdt
2 2π ππ ππ ππ π
= − == − == − == − = ⇒ ∈ �
1 12 2
20 0
1x 0 cos tdt2 I dt6t 0 1 sin t6
ππππ= = == = == = == = =
ππππ −−−−∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫⇒
Vaäy
12
60
1 1dx
2 61 x
ππππ
−−−−∫∫∫∫ � �
2 24. 0 x 1 x x 1 x x x x 1 x 1 x x 1 x+ + ++ + ++ + ++ + +⇒ ⇒ ⇒ � � � � � � � �
(((( )))) [[[[ ]]]]2
1 1 11 ; x 0,1
x 1 1 x1 x x+ ++ ++ ++ +++++⇒ ∀� � ∈
Daáu ñaúng thöùc trong (1) xaûy ra khi : x = 0x = 1
(1) (1)
(1) (1)
VT VGx
VG VP∅∅∅∅⇒
�∈
�
Do ñoù :1 1 1 1
20 0 0 0
1 1 dx 1dx dx ln2 dx
1 x x 1 41 x x 1 x xππππ
< < < << < < << < < << < < <+ ++ ++ ++ ++ ++ ++ ++ +∫ ∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫⇒
Chuù yù :1
20
1dx
1 x 4ππππ
====++++∫∫∫∫ Xem baøi taäp 5 .
Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh - ðà Lạt Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân
2
2 2 2 2 2 22 2
1 1 1
2 2 20 0 0
1 15. 0 1 2 2 2
2 2( 1)1 1 1 1
; 2 2 1 1
+ + + + ++ + + + ++ + + + ++ + + + ++ + ++ + ++ + ++ + +
====+ + + ++ + + ++ + + ++ + + +∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫
⇒ ⇒ ⇒ ⇒
⇒
� � � � � �
�
x x x x x x x x x xx x x
dx dx I dxx x x x
Ñaët x tgt dx dt ( tg t)dtcos t
= = = += = = += = = += = = + 22
11⇒
π ππ ππ ππ π+ π π+ π π+ π π+ π π= = = == = = == = = == = = =
ππππ ++++∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫4 42
20 0
0 1 11 4 40 4
⇒ ⇒
x tg tI dt dt I
tg tt Vaäy
ππππ+ ++ ++ ++ +∫∫∫∫
1
20
12 8�dx
x x
(((( ))))
5 35 4 3 3 5 4 3 3
4 3
3 5 4 3 3 3 5 4 3 3
3 5 4 3 3
1 1
1 3 30 0
6. 0 1 0 2 3 3 3 30
1 1 13 3 3 3 3 3 3 3
13 3 3 3
1 ; Ñaët
3 3 3 1
+ + + + + ++ + + + + ++ + + + + ++ + + + + +
+ + + + + + + + + ++ + + + + + + + + ++ + + + + + + + + ++ + + + + + + + + +
+ + + + ++ + + + ++ + + + ++ + + + +
= = == = == = == = =+ ++ ++ ++ +
∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫
∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫°
1 1 1
0 0 0
0⇒ ⇒ ⇒
⇒ ⇒
⇒
� �� � � � � �
� �
� � � �
� �
x xx x x x x x x x x
x x
x x x
x x x x x x x x x x
x x xdx dx dx
x x x x x
x xI dx dx x
x x2 0 1;( 0) 2
0====⇒
1�
xt t dx tdt
t
21 1
1 6 3 20 0
1 2 2 3 .3 1 9 ( ) 1
= == == == =+ ++ ++ ++ +∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫t t dt
I dtt t
Ñaët = == == == =3 2 0 13
0 1⇒
tu t du t dt
u
ππππ= == == == =
++++∫∫∫∫1
1 20
29 1 18
⇒du
Iu
Keát quaû :ππππ
====4
I (baøi taäp 5)
ππππ= == == == =
++++∫∫∫∫1
2 30°
3 9 3
xI
x(töông töï) Vaäy ( )
+ + ++ + ++ + ++ + +∫∫∫∫1
1 25 4 301
3⇔ � �
xI dx I
x x x
π ππ ππ ππ π+ + ++ + ++ + ++ + +∫∫∫∫ 5 4 318 3 9 3
1
0� �
xdx
x x x
1,Chöùng minh raèng :(((( )))) (((( ))))
2
4 40 121 1+ ++ ++ ++ +∫∫∫∫sin .cos
sin cos�
x xdx
x x
ππππ ππππ
2.Neáu : (((( ))))
= >= >= >= > ∫∫∫∫
4
00 , 0 , ;
cos 2 4∀ ∈
t
tg xI dx t
x
t ππππ thì : (((( ))))2 33
3
4
++++ + >+ >+ >+ >
tg t tgt
tg t eππππ
Baøi giaûi :
1. Ta coùcos x sin x sin x cos x
:( sin x)( cos x) ( sin x)( cos x) ( sin x)( cos x)
+ + + ++ + + ++ + + ++ + + +====
+ + + + + ++ + + + + ++ + + + + ++ + + + + +
2 2 4 4
4 4 4 4 4 4
3 2 21 1 1 1 1 1
�
sin cos( sin )( cos ) ( sin )( cos ) sin cos
+ + ++ + ++ + ++ + += += += += +
+ + + + + ++ + + + + ++ + + + + ++ + + + + +
4 4
4 4 4 4 4 4
3 1 1 1 11 1 1 1 1 1
⇒ �x x
x x x x x x
Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh - ðà Lạt Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân
3
sin . cos sin .cos sin . cos sin .cos sin sin( sin )( cos ) sin cos ( sin )( cos ) sin cos
sin . cos sin sin( sin )( cos ) sin cos
π ππ ππ ππ π
+ ++ ++ ++ + + + + + + + + ++ + + + + + + ++ + + + + + + ++ + + + + + + +
+++++ + + ++ + + ++ + + ++ + + +
∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫2 2
4 4 4 4 4 4 4 4
4 4 4 40 0
3 1 2 21 1 1 1 1 1 6 1 1
3 1 2 21 1 6 1 1
⇒ ⇒
⇒
� �
�
x x x x x x x x x x
x x x x x x x x
x x x xdx dx dx
x x x x
sin Ñaët sin sin
sin
ππππ
ππππ
= = == = == = == = =++++
∫∫∫∫
∫∫∫∫
2
2
0
21 40
2° 2
1⇒
xJ dx t x dt xdx
x
ππππ ππππ⇒ = =⇒ = =⇒ = =⇒ = =
++++∫∫∫∫1
1 20
0 20 1 41
x dtJ
t t (keát quaû I=
4π baøi taäp 5)
sin Ñaët cos sin
cos
ππππ
= = = −= = = −= = = −= = = −++++∫∫∫∫ 2 2
2 40
2° 2
1⇒
xJ dx u x du xdx
x
ππππ ππππ= == == == =
++++∫∫∫∫1
2 20
0 20 1 4
⇒
1
x duJ
u u(keát quaû I=
4π baøi taäp 5)
sin .cos( )
( sin )( cos )
ππππ
+++++ ++ ++ ++ +∫∫∫∫ 2
4 40
11 1 6
⇒ �x x
dx I Jx x
Vaäy sin .cos
( sin )( cos )
ππππ ππππ+ ++ ++ ++ +∫∫∫∫ 2 4 40 1 1 12
�x x
dxx x
2. Ñaët ( )= = + == = + == = + == = + =++++
221
1⇒ ⇒
dtt tgx dt tg x dx dx
t
42 3 3
2 2 2 20 0 00
2
4 tgttgt tgt tgtt dt t dt 1 1 1 t -1 1 1 tgt -1I = . = = -t -1+ dt = - t - t - ln = - tg t - tgt - ln1- t 1+ t 1- t 1- t 3 2 t +1 3 2 tgt +11+ t
t
∫ ∫ ∫
Vì
( )>>>> 0 I t neân 31 1 tgt -1 : - tg t - tgt - ln > 0
3 2 tgt +1
ln ln
++++− π π− π π− π π− π π = + > + + >= + > + + >= + > + + >= + > + + > ++++
33 31 1 1 1
2 1 2 4 3 4
23⇔ ⇒
tg t tgttgttg t tg t tgt tg t e
tgt
2
nx
1. I =x +1
Chöùng minh : ( )
≤ ≤≤ ≤≤ ≤≤ ≤+ ++ ++ ++ +∫∫∫∫
1
0
1 12 1 1nI dx
n n vaø lim
→+∞→+∞→+∞→+∞==== 0
n nI dx
( )-n xn2. J = x 1+ e Chöùng minh : nJ dx
n<<<<
++++∫∫∫∫01 2
01
� vaø n nlim J dx 0→+∞
=
Baøi giaûi :
. ++++++++
1 11 0 1 1 1 2 1
2 1⇒ ⇒ � � � � � �x x
x ;
n n nn n nx x x
x x dx dx x dxx x+ ++ ++ ++ +∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫
1 1 1
0 0 0
12 1 2 1
⇒� � � �
(((( )))) (((( ))))
n n nnx x x xdx dx
n x n n x n
++++++++
+ + + + ++ + + + ++ + + + ++ + + + +∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫1 1
1 1
0 000
11 12 1 1 1 1 1
1⇒ ⇒
2 +1� � � �
Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh - ðà Lạt Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân
4
Ta coù : (((( ))))1
02 1
011
01
→∞→∞→∞→∞
→∞→∞→∞→∞
→∞→∞→∞→∞
==== ++++ ====++++ ==== + + + +
nn
n
n
limn
limx
limn
x⇒
(((( )))) (((( ))))
(((( )))) (((( ))))
0
1
0 0 0
11
2 0 1 1 1 1 2 1 2 0 1 2
20 1 2 0 1
1
− − −− − −− − −− − −
− −− −− −− −
−−−−= + + += + + += + + += + + +
+ ++ ++ ++ +++++∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫
. .⇒ 0 ⇒ ⇒
⇒ ⇒
� � � � � � � � � �
� � � �
n n n n n
n x n n
x x
x
x xx e e e x x e x hay x e x
x e dx x dx x e dxn
Ta coù : (((( ))))20 1 0
1
−−−−
→∞ →∞→∞ →∞→∞ →∞→∞ →∞= + == + == + == + =
++++n xx e dx
nlim lim⇒n n
Chöùng minh raèng : 2
2
3 4
4
2
1
0
4 6
0
-1. cosx(4 3 cos x)(2 cosx 2)dx 8 2. lnx(9 3 lnx 2 lnx)dx 8(e 1)
2 493. sinx(1 2 sinx)(5 3 sin x)dx 4. tgx(7 4 tgx)dx 3 64
2435. sin x. cos xdx6250
π
π
π π
π
π
− + ≤ π − − ≤ −
π π+ − < − ≤
π≤
∫ ∫
∫ ∫
∫
Baøi giaûi : Ñaët f(x) = cosx(4 - 3 cosx)(2 cosx + 2)
cos x cos x cosxf(x)
f(x)dx dx cosx( cosx)( cos x )dx2 2 2
2 2 2
34 3 2 2 8
3
8 4 3 2 2 8− − −
⇒ ⇒
cauchy �
� �
π π π
π π π
+ − + + =
− + π∫ ∫ ∫
2. Ñaët ( ) ln ( ln ln ) ln ( ln )( ln )9 3 2 3 3 2 f x x x x x x x= − − = + −
ln ln ln( )
( ) ln ( ln ln ) ( )1 1 1
33 3 2
83
8 9 3 2 8 1⇒ ⇒
�
� �e e e
x x xf x
f x dx dx x x x dx e
+ + + − =
− − −∫ ∫ ∫
3. Ñaët ( ) sin ( sin )( sin )1 2 5 3 f x x x x= + − ; sin x sinx sinxf(x)3
1 2 5 38
3� � + + + −
Ñaúng thöùcsinx sin x sin x
xsinx sinx sinx
= + = −= + = −= + = −= + = − ⇔ ⇔ ⇔ ∈∅⇔ ⇔ ⇔ ∈∅⇔ ⇔ ⇔ ∈∅⇔ ⇔ ⇔ ∈∅
= − == − == − == − =
1 2 1
5 3 4 5
f(x) f(x)dx dx sinx( sinx)( sin x)dx3 3 3
4 4 4
28 8 1 2 5 3
3
π π π
π π π
π⇒ < ⇒ < ⇒ + − <∫ ∫ ∫
4. Ñaët f(x) tgx( tgx) . tgx( tgx)17 4 4 7 4
4 = − = −
Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh - ðà Lạt Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân
5
( ) ( )
2
0 0 0
4 4 4
4 7 41 49( )
4 2 16
49 497 4
16 16x
tgx tgxf x
f dx dx tgx tgx dx∏ ∏ ∏
+ −≤ =
∏
⇒ ⇒ −∫ ∫ ∫� �
4 6 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
4 6 4 6
0
5
5. sin .cos (1 cos ).(1 cos ).cos . cos . cos
1(2 2cos )(1 cos ).cos .cos .cos2
1 2 2cos 1 cos cos cos cos
2 5
243 243sin .cos sin .cos
6250 6250
x x x x x x x
x x x x x
x x x x x
x x x xdx
= − −
= − −
− + − + + +≤
∏
⇒ ≤ ⇒ ≤
∏
∫
Chöùng minh raèng :
( )2 2 2 22
3
5 21. cos 3sin sin 3cos
3x x x x dx
−
∏
∏
∏+ + +∫ �
( ) ( )2 2
12. 3 2 ln 5 2ln 4 1
ex x dx e+ + − −∫ �
2
3 cos sin3.
4 44
x xdx
x
∏ + ∏−
+∫� �
Baøi giaûi : 1. Ñaët 2 2 2 2
( ) 1 cos 3sin 1. sin 3cosxf x x x x= + + +
( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
3 3 3
2
2 cos 3sin 3cos sin 2 2
5 22 2 cos 3sin sin 3cos
3
x x
x
f x x x x f
f dx dx x x x x dx∏ ∏
− − −∏ ∏ ∏
∏
+ + + ⇒
∏⇒ ⇒ + + +∫ ∫ ∫
� �
� �
2. Ñaët ( )
2 21 3 2ln 1 5 2lnxf x x= + + −
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2
1 1 1
2 3 2ln 5 2 ln 4
4 3 2 ln 5 2 ln 4 1
x x
x
e ee
f x x f
f dx dx x x dx e
≤ + + − ⇒ ≤
⇒ ⇒ + + − ≤ −∫ ∫ ∫�
( )2 2 2
2 2 2 20 0
2 2
3. 3 cos sin ( 3) 1 cos sin
3 cos sin 3 cos sin22
4 4 4 4
x x x x
x x x x dx
x x x x
+ ≤ + +
+ +⇒ ≤ ⇒ ≤
+ + + +∫ ∫
Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh - ðà Lạt Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân
6
Ñaët ( )22 2 1x tgt dx tg t dt= ⇒ = +
( )( )
2
2 20 0 0
2 20 0
4 42
2 2
2 10 1 1
4 2 84 104
3 cos sin 3 cos sin
4 4 4 4 4
tg tx dxdt dt
x tg tt
x x x xdx dx
x x
∏ ∏+ ∏⇒ = = =
∏ + +
+ ∏ ∏ + ∏⇒ ⇒ −
+ +
∫ ∫ ∫
∫ ∫
� � �
ÑAÙNH GIAÙ TÍCH PHAÂN DÖÏA VAØO TAÄP GIAÙ TRÒ
CUÛA HAØM DÖÔÙI DAÁU TÍCH PHAÂN
Chöùng minh raèng :
2 2
0 0
0 0
2 2
1 1
441. sin 2 2 cos
2. sin 2 2 sin
1 2 13.
1
xdx xdx
xdx xdx
x xdx dx
x x
∏ ∏
∏∏
≤
− −<
+
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
�
2
20
2 22
1 1
0 0
4 4
sin sin4..
5. (ln ) ln
6. sin cos
x xdx dx
x x
x dx xdx
xdx xdx
∏
∏
∏
∏ ∏
>
<
<
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
Baøi giaûi :
∏ ∏
0 0
4 4
0 sin 11. 0; 2sin .cos 2cos
0 cos 14
sin2 2cos sin2 2 cos
xx x x x
x
x x xdx xdx
≤ ≤ ∏ ∀ ∈ ⇒ ⇒ ≤ ≤ ≤
⇔ ≤ ⇒ ≤∫ ∫
Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh - ðà Lạt Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân
7
∏ ∏
0 0
2 2
cos 12. 0; 2sin2 .cos 2sin
0 sin2
sin2 2sin sin2 2 sin
xx x x x
x
x x xdx xdx
≤ ∏ ∀ ∈ ⇒ ⇒ ≤ ≤
⇔ ≤ ⇒ ≤∫ ∫
[ ]� 3. 1;2x∀ ∈ Xeùt hieäu : 2-1 2 1 10
1 ( 1)x x x x
x x x x
− − + −− = <
+ +
1 1
2 21 2 1 1 2 11 1
x x x xdx dx
x x x x
− − − −⇒ < ⇒ <
+ +∫ ∫
4. Ñaët - -x u dx du= ∏ ⇒ =
∏∏
∏ 0∏
∏ ∏
∏
0 2
22
sin sin( ) sin2 ( )02
1 10 0
2
x x u xdx du dx
x u xu
x x xx x
∏−⇒ = − =
∏− ∏−
∏< < ⇒ < <∏− ⇒ <
∏−
∫ ∫ ∫
Vì :∏ ∏
∏0
2 2sin sin sin sinsin 0
x x x xx dx dx
x x x x> ⇒ < ⇒ <
∏− ∏−∫ ∫
∏
∏
∏2
20
sin sinx xdx dx
x x⇒ >∫ ∫
5. Haøm soá y = f(x) = lnx lieân tuïc treân [1,2] neân y = g(x) = (lnx)2 cuõng lieân tuïc treân [1,2]
[ ]
⇒ ⇒
∀ ⇒
2
2
1 1
2 2
1 2 0 ln ln2 1(*) 0 (ln ) ln
1,2 (ln ) ln
x x x x
x x dx xdx
< <
<∫ ∫
� � � � �
∈ �
Chuù yù : daáu ñaúng thöùc (*) xaûy ra taïi x0 = 1⊂⊂⊂⊂ [1,2]
0
∏ ∏
∏ ∏⇒ ⇔
⇔ ⇔0
4 4
sin6. 0 0 1 1
4 4 cos
sin cos sin cos
xx tgx tg
x
x x xdx xdx
< < < < = <
< <∫ ∫
Chöùng minh raèng :
2x1
0
1
0
1
0 1
8
25
3 03
1. 2 4 5
1 12. 12 1
1 13.
2626 2 1
dx
dxx
xdx
x
+
+
+
∫
∫
∫
� � �
� �
� �
<
2
8
∏
∏ ∏
1
0
21
2 30
1
3
.sin4. 1 ln2
1 .sin.sin
5.121
6.6 4
x
x xdx
x x
e xdx
ex
dx
x x
−
−+
+
− −
∫
∫
∫
0
�
�
� �
Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh - ðà Lạt Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân
8
Baøi Giaûi:
≤ ≤ ⇒ ≤ ≤ ⇒ ≤ + ≤ ⇒ + ≤
⇒ ≤ + ≤ ⇒ ≤ + ≤∫ ∫ ∫ ∫
2 2 2
1 1 1 12 2
0 0 0 0
1. 0 1 0 1 4 4 5 2 4 5
2 4 5 2 4 5
x x x x
dx x dx dx x dx
�
≤ ≤ ⇒ ≤ ≤ ⇒ ≤ + ≤
⇒ ≤ + ≤ ⇒ ≤ ≤+
⇒ ≤ ≤ ⇒ ≤ ≤+ +
∫ ∫ ∫ ∫
8 8
8
8
1 1 1 1
0 0 0 08 8
2. 0 1 0 1 1 1 21 1
0 1 2 12 1
1 11
2 21 1
x x x
xx
dx dxdx dx
x x
≤ ≤ ⇒ + ⇒ +
⇒ ⇔+ +
⇒ ⇒+ +
∫ ∫ ∫ ∫
310 10 3
25 2525
3 33 310 10
25 251 1 1 125 25
3 30 0 0 03 310 10
3. 0 1 1 1 2 1 1 2
1 11
2 21 11 1 1
262 26 21 1
x x x
x xx
x x
x xx dx dx x dx dx
x x
� � � �
� � � �
� � � �
4. Tröôùc heát ta chöùng minh : [ ]sin;(1) 0,1 .
1 sin 1x x x
xx x x
∀+ +
� ∈
Giaû söû ta coù : (1).
[ ](1) ⇔ ∀ ⇔1 1 1 1
1 1 ; 0.11 sin 1 1 sin 1
xx x x x x x
− −+ + + +
� �
⇔ ⇔1 1 .sin (1 sin ) 0x x x x x+ + − � � ñuùng [ ]∀ 0,1x ∈
Vaäy (1) ñaúng thöùc ñuùng , khi ñoù: ( )
⇔
⇔
⇒
1 1 1
0 0 0
1 1
00
1
0
sin 1(1) 1
sin 1 1.sin
ln 1 1 ln21 sin.sin
1 ln2.1 .sin
x x xdx dx dx
x x x x x
x xdx x x
x x
x xdx
x x
= − + + +
− + = −+
−+
∫ ∫ ∫
∫
∫
�
�
�
( )( )2 2
2 2 21 1 1
3 3 3
1 10 sin 1
5. 1, 3 0, 01 1
0 sin 1
sin 1 10 ;
1 1 1
xx
x
xe e xx ee
x e xx
e x dx dxdx I I
e ex x x
− −
−
< = ⊂ ∏ ⇒ ⇒ < < + + < <
⇒ < < = =+ + +∫ ∫ ∫
�
∈
Ñaët 2
2
1(1 )
cosx tgt dx dt tg t dt
t= ⇒ = = +
Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh - ðà Lạt Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân
9
( )3 3
2
32
44 4
11 3
1 124
tg txdt dt t
tg tt
∏ ∏ ∏
∏∏ ∏
+ ∏⇒ Ι = = = =
∏ ∏ +∫ ∫
4
Vaäy21
3 sin0
121
xe xdx
ex
− ∏< <
+∫
3 2 2 3
2 2 3 2
2 2 3 2
2 2 3 2
1 1 1
0 0 02 2 3 2
6. 0 1 0 0
4 2 4 4
4 2 4 4
1 1 1
4 2 4 4
1 1 1
4 4 4 2
x x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
I dx dx dx Jx x x x
⇒ ⇒ − −
⇒ − − − −
⇒ − − − −
⇒− − − −
⇒ = =− − − −
∫ ∫ ∫
� � � � � �
� �
� �
� �
�� ��
Ñaët 2sin 2cosx t dx tdt= ⇒ =
( )20 0
6 60 1 2cos
60 4 2sin6
x tdtI dt
t t
∏ ∏ ∏⇒ = = =
∏ −∫ ∫
Ñaët 2 sin 2 cosx t dx tdt= ⇒ = 0 1
04
x
t ∏
( )
4
0 2
0
4 2 cos 2 2
2 84 2 2 sin
tdtJ
t
∏∏ ∏
⇒ = = =−
∫
1
0 2 3
2
6 84
dx
x x
∏ ∏⇒ ≤ ≤
− −∫
Chöùng minh raèng :
2
2
1
0
sin2
0
11. 1
2.2 2
x
x
ee dx
e
e dx e
−
∏
−
∏ ∏
∫
∫
� �
� �
2 2
0
1
40
1 63. 1 sin .2 2 4
14. 0.88 1
1
x dx
dxx
∏∏ ∏≤ + ≤
< <+
∫
∫
Baøi giaûi :
Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh - ðà Lạt Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân
10
( )
( )
2
2
2
2 2
2
0
1. 0 1 0 1 0
1 11
0 1 1 2
x x
x x
xx
x x
x x x e e
e eee
e e e
− −
−
⇒ ⇒ <
⇒ ⇔
⇒ = ⇒
� � � � � �
� �
� � �2
°
°x
Töø (1) vaø (2) suy ra2
: 1x xe e− − � � 2 2 21 1 1 1
0 0 0 0
11x x xe
e dx e dx dx e dxe
− − −−⇒ ⇒∫ ∫ ∫ ∫� � � �
2
2 2
2 sin
2 2 2 2sin sin
0 0 0 0
2. 0 sin 1 1
.2 2
x
x x
x e e
dx e dx e dx e dx e∏ ∏ ∏ ∏
⇒
∏ ∏⇒ ⇒∫ ∫ ∫ ∫
� � � �
� � � �
2 2 2
2 2 2 22 2
0 0 0 0
1 1 1 33. 0 sin 1 0 sin 1 1 sin
2 2 2 2
1 3 1 61 sin 1 sin .2 2 2 2 4
x x x
dx x dx dx x dx∏ ∏ ∏ ∏
⇒ ⇒ +
∏ ∏⇒ + ⇒ +∫ ∫ ∫ ∫
� � � � � �
� � � �
4. Caùch 1:
( )0,1x∀ ∈ thì 4 2 4 2
4 2
1 11 1
1 1x x x x
x x< ⇒ + < + ⇒ >
+ +
( )1
2
4 20
1 1ln 1 ln 1 2 0,88
1 1dx dx x x
x x
1 1
0 0⇒ > = + + = + >
+ +∫ ∫
Maët khaùc :1
4
4 40
1 11 1 1 1
1 1x dx
x x+ > ⇒ < ⇒ <
+ +∫
Vaäy :1
40
10,88 1
1dx
x< <
+∫
Chuù yù : hoïc sinh töï chöùng minh 2 2
2 2
1lndx x x a C
a x= + + +
+∫ baèng phöông phaùp tích phaân töøng
phaàn . Caùch 2 :
( ) 4 2 2
1
4 2 40
0,1 1
1 1 1
1 1 1
x x x x x
dx Ix x x
4⇒ < ⇒1+ < +
⇒ > ⇒ >+ + +
∫
∈
Vôùi :1
20
1
1I dx
x=
+∫
Ñaët ( )2
2
11
cosx tgt dx dt tg t dt= ⇒ = = +
Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh - ðà Lạt Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân
11
( )( )
4 4
4
2
0 02
20
10 1 1
cos0 14
cos
1 sin
tg txI dt dt
tt tg t
tI dt
t
∏ ∏
∏
+= =
∏ +
=−
∫ ∫
∫
Ñaët 0
4sin cos0
tu t du tdt
u
∏= ⇒ =
12
( )( )20 0 0
12
0 00
1 1 1 1 1 1
1 2 1 1 2 1 1
1 1 1 1 1 1ln
2 1 2 1 2 1
du u uI du du
u u u u u
udu duu u u
1 12 2
1 12 2
12− + + = = = + − − + + −
+= + =
+ − −
∫ ∫ ∫
∫ ∫
4
1 2 2 1ln 0,88 0,882 2 2 1
I dxx
1
0
+= > ⇒ >
− +∫
Maët khaùc 4
4
1:1 1 1
1x
x+ > ⇒ <
+
( )4
11 2
1dx dx
x
1 1
0 0⇒ < =
+∫ ∫
Töø (1) vaø (2) suy ra : 1
40
10.88 1
1dx
x< <
+∫
Chöùng minh raèng :
4
2
0
1
0
3
21
1. 032
cos2. ln 2
1
.sin3.
1 12
x
x tgx dx
nxdx
x
e xdx
x e
∏
−
∏< <
+
∏<
+
∫
∫
∫
�
( )
200
100
3
21
1
1 10
cos4.
1 12
cos 15.
200
1 1 16. 1 1
1 2 1 21
x
x
nn n
e xdx
x e
xdx
x
e edx
n nx
∏
∏
−
− −
∏<
+
∏
− − − − +
∫
∫
∫
�
� �
Baøi giaûi :
1. 0 0 1 0 1 04
x tgx tgx x tgx x∏
⇒ ⇒ ⇒ � � � � � � � �
Xeùt : 04
xα β∏
< < < < ta coù :
4 4
0 0
0 1
00
4
tgx
x tgx xx
I x tgx dx x tgx dx x tgx dx x tgx dxα β
α β
∏ ∏
< <
⇒ <∏< <
= = + +∫ ∫ ∫ ∫
�
Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh - ðà Lạt Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân
12
Ta coù :
4 4
4 4
4
0 0
0 0
2
0
0
0 0
0
032
x tgx dx xdx
x tgx dx xdx x tgx dx xdx
x tgx dx xdx
x tgx dx
α α
β β
α α
β β
∏ ∏
∏ ∏
∏
< < ⇒ <
∏⇒ < <
∫ ∫
∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫
∫
� �
�
� �
Chuù yù : ( ) [ ], ,a bα β ⊂ thì ( ) ( ) ( ) ( )
b b
x x x xa bf dx f dx f dx f dx
α β
α β= + +∫ ∫ ∫ ∫
Tuy nhieân neáu : ( )xm f M� � thì :
( ) ( ) ( ) ( )b b b b
x xa a a am dx f dx M dx m b a f dx M b a⇒ − −∫ ∫ ∫ ∫� � � �
Nhöng ( ) [ ], ,a bα β ⊂ thì ( ) ( )
b b b
x xa a am dx f dx M f dx< <∫ ∫ ∫
(Ñaây laø phaàn maéc phaûi sai laàm phoå bieán nhaát )Do chöa hieåu heát yù nghóa haøm soá ( )xf chöùa ( ),α β lieân
tuïc [ ],a b maø ( ),α β ⊂ [ ],a b )
1 1 1 1 1
00 0 0 0
1
0
coscos cos 12. ln 1 ln 2
1 1 1 1
cosln 2
1
nxnx nxdx dx dx x
x x x x
nxdx
x
= = + =+ + + +
⇒+
∫ ∫ ∫ ∫
∫
� �
�
1
3 3 3
2 2 21 1
13. 1 3
sin 1
1.sin .sin
1 1 1
x
x x
e eex
x
e x e x edx dx dxx x x
− −
− −
=⇒
⇒+ + +∫ ∫ ∫
�
�� �
�
� �
3
21
.sin 1.
1
xe xdx I
x e
−
⇒+∫ � vôùi
3
21
1
1I dx
x=
+∫
Ñaët ( )21x tgt dx tg t dt= ⇒ = +
( )3 3
4 4
2
2
11 3
1 124 3
tg txdt dt
tg tt
∏ ∏
∏ ∏
+ ∏⇒ Ι = = =
∏ ∏ +∫ ∫
( )3
1
.sin*
1 12
xe xdx
x e
− ∏⇒
+∫ � (Caùch 2 xem baøi 4 döôùi ñaây )
Ñaúng thöùc xaûy ra khi :
Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh - ðà Lạt Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân
13
1 1, 1, 3
sin 1sin 1
x xe ex x
xx
− − = = ⇔ ⇒ ∅ ∀ == ∈ ∈
Vaäy3
21
.sin:
1 12
xe xdx
x e
− ∏<
+∫
Xem laïi chuù yù treân , ñaây laø phaàn sai laàm thöôøng maéc phaûi khoâng ít ngöôøi ñaõ voäi keát luaän ñaúng thöùc (*) ñuùng . Thaät voâ lyù
3 3 3
2 2 21 1 1
cos cos4.
1 1 1
x x xe x e x edx dx dx
x x x
− − −
+ + +∫ ∫ ∫ � �
Do xy e−= giaûm ( ) 1 1max xe e
e
− −⇒ = =
3 3
2 21 1
cos 1 1
1 1 12
xe xdx dx
x e x e
− ∏⇒ =
+ +∫ ∫� ;do I baøi 3
Daáu ñaúng thöùc :
1 1, 1, 3
cos 1cos 1
x xe ex x
xx
− − = = ⇔ ⇔ ∅ ∀ == ∈ ∈
Vaäy3
21
cos
1 12
xe xdx
x e
− ∏<
+∫
5. Ñaët 211
cos sin
du dxux x
dv xdx v x
= −= ⇒
= =
200200 200
2100 100100
200200 200
2100 100100
cos 1 sinsin
cos 1 1 1
200
x xdx x dx
x x x
xdx dx
x x x
∏∏ ∏
∏ ∏∏
∏∏ ∏
∏ ∏∏
⇒ = +
⇒ = − =∏
∫ ∫
∫ ∫�
Vaäy200
100
cos 1
200
xdx
x
∏
∏ ∏∫ �
Baøi toaùn naøy coù theå giaûi theo phöong phaùp ñaïo haøm .
Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh - ðà Lạt Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân
14
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )( )
( )
1 1 1
0 0 0
1 11 1
1
0
0 0
16. 0 1 1
1 1 1
1 1
1 1 1
1 1.
1 11
xx
n n n
x
n n n
n nx
n
e ex e e
x x x
edx dx e dx
x x x
x xedx e
n nx
− −
⇒ ⇒+ + +
⇒+ + +
+ +⇔
− −+
∫ ∫ ∫
∫
� � � � � �
� �
� �
Vaäy( )1
1 10
1 1 1: 1 1 ; 1
1 2 1 21
x
nn n
e edx n
n nx− −
− − > − − +∫ � �
Baøi toaùn naøy coù theå giaûi theo phöông phaùp nhò thöùc Newton . Chöùng minh raèng : neáu f(x) vaø g(x) laø 2 haøm soá lieân tuïc vaø x xaùc ñònh treân [a,b] , thì ta coù :
( ) ( )( ) ( ) ( )
22 2. . .
b b b
x x x xa a af g dx f dx g dx∫ ∫ ∫ �
Caùch 1 : Cho caùc soá 1α , tuyø yù ( )1,i n∈ ta coù :
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 1 2 2... ... ... 1n n n nα α α β β β α β α β α β+ + + + + + + + + �
Ñaúng thöùc (1) xaûy ra khi : 1 2
1 2
... n
n
αα αβ β β
= =
Thaät vaäy : phaân hoaïch [a,b] thaønh n ñoaïn nhoû baèng nhau bôûi caùc ñieåm chia : a = x0 < x1 < x2 < …. <xn = b vaø choïn :
[ ]1 1, ,i i
b ax x i i n
nξ −
−= ∀ ∈ ∈
Do f vaø g lieân tuïc , ta coù :
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2
1
2 2
1
lim 2
lim 3
nb
ixa ni
nb
ixa ni
n
b af dx f
n
b ag dx g
n
ξ
ξ
→+∞=
→+∞=
→∞
−=
− =
∑∫
∑∫
Khi ñoù (1)
( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2
1 1
2
1
lim . lim .
lim . . 4
n n
i in n
i i
n
i in
i
b a b af g
n n
b af g
n
ξ ξ
ξ ξ
→+∞ →+∞= =
→+∞=
− −⇔
−
∑ ∑
∑
�
Töø (4) ta cuõng coù :
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2
2 2
1 1 1 1
. .n n n n
i i i i
i i i i
f g f gξ ξ ξ ξ= = = =
∑ ∑ ∑ ∑ 5�
Ñaúng thöùc xaûy ra khi : f(x):g(x) = k hay f(x) = k.g(x)
Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh - ðà Lạt Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân
15
Töø (5) ( )2
2 2( ). ( ) ( ) . ( )b b b
a a af x g x dx f x dx g x dx⇒ ∫ ∫ ∫ �
Caùch 2 : t R+∀ ∈ ta coù :
[ ]2 2 2 2
2 2 2
0 ( ) ( ) ( ) 2. . ( ). ( ) ( )
( ) ( ) 2 ( ). ( ) ( ) 0b b b
a a a
tf x g x t f x t f x g x g x
h t t f x dx t f x g x dx g x dx
− = − +
⇒ = − +∫ ∫ ∫
�
�
h(t) laø 1 tam thöùc baäc 2 luoân khoâng aâm neân caàn phaûi coù ñieàu kieän :
( )
2
22 2
22 2
0' 0
0
( ). ( ) ( ) . ( ) 0
( ). ( ) ( ) . ( )
h
h
h
b b b
a a a
b b
a a
a t
f x g x dx f x dx g x dx
f x g x dx f x dx g x dx
= >⇔ ∆
∆
⇔ − ≤
⇒
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫b
a
��
�
Chöùng minh raèng :
2
3
sin
51. 1
2
32.
2
x
x dx
e dx
+ <
∏>
∫
∫
1
0
1
0
( )2
0
1
20
13. 1 1
2
3cos 4sin 54.
1 4
xx t t x xe e e dt e e
x xdx
x
− − < + < − −
− ∏+
∫
∫
�
Baøi giaûi :
1. Ta coù ( )2
2 2: ( ). ( ) ( ) . ( )b b b
a a af x g x dx f x dx g x dx∫ ∫ ∫ � ( ñaõ chöùng minh baøi tröôùc )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
3 2 2
1 1 1 13 2 2
0 0 0 0
( ). ( ) ( ) . ( )
1 1 . 1 1 . 1
1 1 1 1 1
b b b
a a af x g x dx f x dx g x dx
x x x x x x x
x dx x x x dx x dx x x dx
⇒
+ = + − + = + − +
⇒ + = + − + < + − +
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫ ∫
�
11
21
3
0
00
13
0
3 2 51
2 23 2
51
2
x x xx dx x x
x dx
+ < + = − +
⇒ + <
∫
∫
2 2 2
2sin sin sin
02. x x xe dx e dx e dx
∏2
∏∏= +∫ ∫ ∫0 0
Ñaët 2
2 02
xxt t dx dt
t
∏ ∏= + ⇒ =
∏
Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh - ðà Lạt Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân
16
( )2
22 2
2 2 2
2sinsin sin 2
0 0 0
2 2 2sin cos sin
0 0 02
tx x
x x x
e dx e dx e dt
e dx e dx e dx
∏ ∏ ∏∏ +
∏ ∏ ∏
⇒ = +
= + =
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
Ta laïi coù2 2
2 2sin cos
2 2 2 2
0 0.
x x
edx e e dx∏ ∏ =
∫ ∫
2 2
2 2
2
2
2 2sin cos
0 0
2 2
2 2 2 2sin sin
0 0 0 0
2sin
0 0
sin
0
.
1 3;
2 2
3
2
x x
x x
x
x
e dx e dx
hay e dx e dx e dx e dx
e dx e e e
e dx
∏ ∏
∏ ∏ ∏ ∏
∏∏
∏
<
< ⇒ <
⇒ > = ∏ >
⇒ >
∫ ∫
∫ ∫ ∫ ∫
∫
∫
Chuù yù : baøi naøy coù theå giaûi theo phöông phaùp ñaïo haøm .
( ) ( )
( )( ) ( ) ( )
( )
2 22
0 0
22 22
0 0 0
22 2
22
2
12
0
3.
( ). ( ) ( ) . ( )
1 1 11 1
2 2
11 (1)
2
x x tt t t t
x t ttt t t t t
b b b
a a a
xt t x x x x
xo
t t x x
e e dt e e e dt
e e e dt e dt e e dt
vi f x g x dx f x dx g x dx
e e dt e e e ee
e e dt e e
− −
− −
−
−
+ = +
+ +
⇒ + − − − < − −
⇒ + − −
∫ ∫
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
∫
∫
�
�
�
�
Maët khaùc 2: ; 0t t te e e t x−+ > ∀ < < 2
0 01 (2)
x xt t t xe e dt e dt e−⇒ + > = −∫ ∫
Töø (1) vaø (2) suy ra ( )2
0
1: 1 1
2
xx t t x xe e e dt e e− − < + < − −
∫
( )22 2 2
2 2 2
1 1 1
2 2 20 0 0
3cos 4sin 1 54. 3 4 sin cos
1 1 1
3cos 4sin 3cos 4sin 15
1 1 1
x xx x
x x x
x x x xdx dx dx
x x x
− + − + = + + +
− −⇒
+ + +∫ ∫ ∫
�
� �
Ñaët ( )21x tgt dx tg t dt= ⇒ = +
Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh - ðà Lạt Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân
17
( )2
2 2
2
10 1 1
1 1 40
3cos 4sin 54.
1 4
tg txdx dt dt
x tg tt
x xdx
x
+ ∏⇒ = = =
∏ + +
− ∏⇒
+
∫ ∫ ∫
∫
1 1 1
0 0 0
1
0
4
�
Chöùng minh baát ñaúng thöùc tích phaân baèng phöông phaùp ñaïo haøm.
Chöùng minh raèng :
( ) ( )( )
11
7
12
0
1. 54 2 7 11 108
42. 0 1
27
x x dx
x x dx
−+ + −
< − <
∫
∫
� �
( )
2
4
0
sin
0
2sin cos
4 4
34.
2
ex
x x dx
e dx
∏∏ ∏+
∏>
∫
∫
� �
Baøi giaûi : 1. Xeùt ( ) ( ) ( ) [ ]7 11 ; 7,11f x x x x= + + − − ∈
( ) ( )11 7' ' 0 2
2 11 7
x xf x f x x
x x
− − += ⇒ = ⇔ =
− +
x -7 2 11 f’(x) + 0 - f(x) 6
3 2 3 2
ր ց
( ) ( )
( )
11 11 11
7 7 7
11
7
3 2 6 3 2 6
54 2 7 11 108
f x dx f x dx dx
x x dx
− − −
−
⇒ ⇒
⇒ + + −
∫ ∫ ∫
∫
� � � �
� �
2. Xeùt haøm soá : f(x) = x(1-x2) ; [ ] ' 20,1 ( ) 3 - 4 1x f x x x∀ ∈ ⇒ = +
⇒ f’(x)=0 1x x1
⇔ = ∨ =3
x -∞ 0 13 1 +∞
f’(x) + 0 - f(x)
0 0
ր ց
4 27
Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh - ðà Lạt Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân
18
4
0 ( )27
f x⇒ � �
( ) ( ) ( )
(0) (1)
1 1 1
0 0 0
1 1 40, ; ,03 3 27
0
4 40 ( ) 0 ( )
27 27
xx fva
f f
f x dx dx f x dx
∃ ⇒ 0 < <
= =
⇒ < < ⇒ < <∫ ∫ ∫
∈
3. Xeùt haøm soá :
'
( ) sin cos 2 sin ; 0,4 4
( ) 2 cos 0 , 0,4 4
f x x x x x
f x x x
∏ ∏ = + = + ∏ ∏ = + ∀
∈
� ∈
⇒ f(x) laø haøm soá taêng ( ) ( ) ( )04
0,4
xx f f f ∏
∏ ∀ ⇒ ∈ � �
( )4
0
21 sin cos 2 sin cos
4 4x x x x dx
∏∏ ∏⇒ + ⇒ +∫� � � �
4. Nhaän xeùt 0x∀ > thì 1xe x> + ( ñaây laø baøi taäp Sgk phaàn chöùng minh baát ñaúng thöùc baèng pp ñaïo haøm) Xeùt ( ) ( )
'1 ; 0 1 0 ; 0t t
t tf e t t f e t= − − ⇒ = − > ∀ > �
⇒haøm soá f(t) ñoàng bieán 0t∀ � Vì x > 0 neân f(x) > f(0) = 0 ( )1 0 1 1x xe x e x⇒ − − > ⇔ > +
Do vaäy : ( ) ( )2sin 20, 1 sin (1)xx thi e x do∀ ∏ > +∈
( )2
2
sin 2
0 0 0
sin
0
1 cos21 sin
2
3
2
x
x
xe dx x dx dx
e dx
∏ ∏ ∏
∏
−⇒ > + = ∏+
∏⇒ >
∫ ∫ ∫
∫
Chöùng minh raèng :
3
4
2
21
20
2 11.5 1 2
3 sin 12.4 2
3 1 2 33.
3 3cos cos 1
xdx
x
xdx
x
dxx x
∏
∏
∏
+
∏ ∏
+ +
∫
∫
∫
� �
� �
� �
( )
3
6
1
20
14 4 4
1
3 cot 14.12 3
2 1 15.3 22
6. 2 2 1 1 4
gxdx
x
dxx x
x x dx
∏
∏
−
< <+ −
< + + − <
∫
∫
∫
� �
Baøi giaûi :
Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh - ðà Lạt Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân
19
1. Xeùt : ( ) [ ]2; 1,2 .
1x
xf x
x=
+ ∈ coù ( ) ( )
[ ]2
'
22
10 ; 1, 2
1x
xf x
x
−= ∀
+ � ∈
⇒haøm soá nghòch bieán [ ] ( ) ( ) ( )2 11,2
xx f f f∀ ⇒∈ � �
2 2 2
2 21 1 1
2
21
1 1
1 2 1 2
2 1
5 1 2
x xdx dx dx
x x
x
x
2 2⇒ ⇒
5 + 5 +
⇒+
∫ ∫ ∫
∫
� � � �
� �
2. Xeùt ( ) ( )'
2
sin .cos sin; ;
6 3x x
x x x xf x f
x x
∏ ∏ − = ∀ ⇒ = ∈
Ñaët .cos sin ' 0 ; ;6 3
Z x x x Z x x x∏ ∏ = − ⇒ = − < ∀
∈
⇒Z ñoàng bieán treân ;6 3
x∏ ∏ ∀
∈ vaø :
( )
( )
3
'
3 30 ; ;
6 6 3
0 ; ;6 3
x
Z Z x
f x
∏
∏− ∏ ∏ = < ∀ ∏ ∏ ⇒ < ∀
� ∈
∈
x -∞
6∏
3∏ +∞
f’(x) − f(x)
3
3 32
∏
∏
ց
( )
3 3 33
6 6 6 6
3 3 3
2
3 3 sin 3
2
3 3 sin 3 sin 1
2 4 2
Xf
xhay
x
x xdx dx dx dx
x x
∏ ∏ ∏∏
∏ ∏ ∏ ∏
⇒∏ ∏
∏ ∏
3⇒ ⇒
∏ ∏∫ ∫ ∫ ∫
:
� �
� �
� � � �
3. Ñaët [ ] [ ]cos ; 0, 1,1t x x t= ∏ ⇒ − ∈ ∈
vaø ( ) [ ]2 1; 1,1tf t t t= + + − ∈
Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh - ðà Lạt Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân
20
( ) ( )' ' 1
2 1; 02
t tf t f t= + = ⇔ = −
t -∞ -1 12
− 1 +∞
f’(t) − 0 + f(t) 1 3
34
ց ր
( ) [ ]33 ; 1,1
4tf t⇒ ∀ −� � ∈
[ ]2
2
2
20 0 0
20
3cos cos 1 3 ; 0,
4
3 1 2cos cos 1 3
2 3cos cos 1
1 1 2
cos cos 13 3
3 1 2 3
3 3cos cos 1
x x x
hay x xx x
dx dx dxx x
dxx x
∏ ∏ ∏
∏
⇒ + + ∀ ∏
1+ + ⇒
3 + +
⇒+ +
∏ ∏⇒
+ +
∫ ∫ ∫
∫
� � ∈
� � � �
� �
� �
Chuù yù : thöïc chaát baát ñaúng thöùc treân phaûi laø :
20
3 1 2 3
3 3cos cos 1dx
x x
∏∏ ∏< <
+ +∫ (hoïc sinh töï giaûi thích vì sao)
( )cot
4. ;x
gxf
x= lieân tuïc ;
4 3x
∏ ∏ ∀ ∈
coù ( )( )'
2 2
2 sin 20 ; ;
2 sin 4 3x
x xf x
x x
− + ∏ ∏ = < ∀ ⇒
∈ f(x) :nghòch bieán treân ;4 3
∏ ∏
( ) ( ) ( )3 4x
f f f∏ ∏⇒ � �
3 3 3
4 4 4
3
4
3 cot 4 cot 4
3 cot 1
12 3
gx gxdx dx dx
x x
gxdx
x
∏ ∏ ∏
∏ ∏ ∏
∏
∏
3⇒ ⇒
∏ ∏ ∏ ∏
⇒
∫ ∫ ∫
∫
� � � �
� �
( ) [ ]25. 2 ; 0,1xf x x x= + − ∀ ∈ coù f’(x)=1- 2x
( )' 1
02
xf x⇒ = ⇔ =
x -∞ 0 1
2 1 +∞
Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh - ðà Lạt Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân
21
f’(x) + 0 − f(x)
2 2
ր ց
9 4
( )9
24
xf⇒ � �
vaø ( ) ( )
( ) ( )( )
0 1
1 10, ; ,1 92 2 242
x
xf
f f
∃⇒ < <
= =
∈
2
2
1 1 1
20 0 0
1
20
9 2 1 12 2
4 3 22
2 1 1
3 22
2 1 1
3 22
x xx x
dx dx dxx x
dxx x
⇒ < + − < ⇒ < <+ −
⇒ < <+ −
⇒ < <+ −
∫ ∫ ∫
∫
6. Xeùt :
( ) [ ]
( )( ) ( )
( ) ( ) ( )
4 4
'
3 34 4
3 3' 4 4
1 1 ; 1,1
1 1 1
4 1 1
0 1 1 0
x
x
x
f x x x
fx x
f x x x
= + + − −
= − + −
= ⇔ − = + ⇔ =
∈
Maët khaùc : ( )( ) ( )
'
3 34 4
1 10 1 0
1 1x
f x
x x
> ⇔ > ⇔ − < <+ −
x -∞ -1 0 1 +∞ f’(x) + 0 − f(x)
4 42 2
ր ց
2
( )
( ) ( )
( ) ( )( )
( ) ( )
4
4
4
1 1
1 1 1 14 44 4 4 4
1 1 1 1
2 2
-1,0 ; 0,12 2
2
2 1 1 2 2 2 1 1 4
x
x
f
xva f
f f
dx x x dx dx x x dx
−
− − − −
⇒ ≤ ≤
∃ ∈⇒ < <
= =
⇒ < + + − < ⇒ < + + − <∫ ∫ ∫ ∫
Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh - ðà Lạt Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân
22
Chöùng minh raèng :
2
2
22 4
0
200-
100
100 1
10
1. 2. 2
2. 0,005
93. 90 ln10 90 ln10
200
x x
x
x
e e dx e
e dx
e dx
− −≤ ≤
<
− ≤ < + +
∫
∫
∫
2
3
2
4
40
111
0
2
0
34. 9 2 90
cos
5. 14
6. 1
x
x
tg x dx
e dx
tgdx
x
∏
∏
+
− ≤
∏≥ +
<
∫
∫
∫
�
Baøi giaûi : 1. Ñaët ( ) [ ]2 ; 0, 2
xf x x x= − ∈ coù ( )
' 1 2x
f x= −
coù ( )' 1
02
xf x= ⇔ =
x -∞ 0 12 2 +∞
f’(x) + 0 − f(x)
0 2−
ր ց
1 4
( )
2 2
2
2
2 2 212 24 44
0 0 0
22 4
0
12
4
12
4
2. 2.
x
x x x x
x x
f
hay x x
e e e e e dx e dx e dx
e e dx e
− − − −
− −
⇒ −
− −
⇒ = ⇒ ≤ ≤∫ ∫ ∫
∫
� �
� �
� � �
� �
Chuù yù : thöïc chaát baát ñaúng thöùc treân laø : 22
2 4
02. 2.x xe e dx e− −< <∫
2. Tröôùc heát ta chöùng minh : ( )2
2
1; 1 0xe x
x
− ≤ ≠
Ñaët 2 ; 0 0t x x t= ≠ ⇒ >
Giaû söû ta coù (1) vaø (1) 1; 0 ; 0t te t e t t
t
−⇔ > ⇔ > � �
( )0 2 ; 0te t t⇔ − > �
Ñaët ( ) ( )' 1 0 , 0t t
x tf e t co f e t= − = − > >
Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh - ðà Lạt Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân
23
( )tf⇒ luoân ñoàng bieán 0t∀ > vaø ( ) ( )0 1 0tf f = >�
( )2 2
2 2
1 10 , 0 x x
tf t e e dx dx
x x
200 200− −
100 100⇒ > ⇒ ≤ ⇒ ≤∫ ∫ �
2200-
1000,005xe dx⇒ <∫
3. Tröôùc heát ta chöùng minh : ( )1
2
1 1 11 1 ; 1 0
2xe x
x x x
−− − + ∀ > � �
Ñaët 1; 0 0t x t
x= − > ⇒ <
( ) ( )211 1 1 ; 2 02
tt e t t t⇔ + + + < � �
Xeùt haøm soá ( ) ( )211 ; 1 ; 0
2
t t
t tf e t h e t t t= − − = − − − <
( )' 1t
tf e= −°
t -∞ 0 +∞ f’(t) − f(t)
0
+∞
ց
( ) 0 ;
1 0 ; 0
t
t
f
hay e t t
⇒ > ∀τ < 0
− − > ∀ <
( )1 ; 0 3tt e t⇒ + < ∀ <
( )'• 1tth e t= − −
x -∞ 0 +∞ 'h t + th 0
ր
( )
( )
0 ; 0
11 0 ; 0 4
2
t
t
h t
hay e t t
⇒ < ∀ <
< + + > ∀ <
Töø (3) vaø (4) suy ra :
Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh - ðà Lạt Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân
24
2
1
2
100 100 1001
210 10 10
11 1 ; 0
2
1 1 11 1 ; 0
2
1 1 11 1
2
t
x
x
t e t t t
hay e xx x x
dx e dx dxx x x
−
−
+ + + ∀ <
− − + >
⇒ − − + ∫ ∫ ∫
� �
� �
� �
100 1
10
990 ln10 90 ln10
200xe dx− ≤ < + +∫
* Laø baøi toaùn khoù , hi voïng caùc em tìm ñieàu thuù vò trong baøi toaùn treân – chuùc thaønh coâng .
4. Xeùt ( )4
4
32 ; 0,
cos 3xf tg x x
x
∏ = − ∈
Ñaët [ ]2
2
11 ; 0, 1;4
cos 3t tg x x x t
x
∏ = = + ⇒ ∈ ∈ ∈
( ) ( ) [ ]
( ) ( ) ( ) ( )
( )
3
2 ' 3
1 4
4 4 4
1 1 1
4
40
4 2 4 4 0 ; 1, 4
30
3 30
39 2 90
cos
t t
t t
t
f t t f t t
f f f f
dt f dt dt
tg x dx∏
⇒ = + − ⇒ = + > ∀
⇒ ⇒ 3
⇒ ≤
⇒ −
∫ ∫ ∫
∫
∈
� � � �
�
� �
5. Xeùt haøm soá ( ) 1 ; 0x
xf e x x= − − ∀ �
coù ( ) ( )' 1 0 , 0x
x xf e x f= − > ∀ ⇒ � ñoàng bieán )0,x∀ +∞∈
( ) ( )
( )
2
2
0
11
2
11 1 11
2 20 0 0
0 1 0 1 ; 0
11 ; 01
1 11 1 *1 1
x x
x
x
x
f f e x e x x
e xx
e dx dx dxx x
+
+
⇒ = ⇒ − − ⇒ + ∀
⇒ + ∀+
⇒ + = + + + ∫ ∫ ∫
� � � �
� �
�
Ñaët ( )21x tgt dx tg t dt= ⇒ = +
( )21 1
2 20 0
0 10 1
1 1 1 44
t tg t dtxdx
x x tg tt
= += ∏⇒ ⇒ = = ∏= + +=
∫ ∫
Töø (*) suy ra : 21
1 14
xe dx+ ∏+∫ �
6. Tröôùc heát ta chöùng minh : 2 ; 0,2
xtgx
x
2 ∏ < ∏ ∈
Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh - ðà Lạt Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân
25
Xeùt haøm soá ( )1. ; 0,2 2
x
xf tg x
x
∏ = ∈
( )'
2 2
sin
2 .cos2
x
x xf
xx
−=
Ñaët sin ' 1 cos 0 , 0,2
Z x x Z x x∏ = − ⇒ = − > ∀
∈
( ) ( )'
00 0 , 0,
2x
Z Z f x∏ ⇒ > = ⇒ > ∀
∈
x -∞ 0 2
∏ +∞
f’(x) + f(x) 2
∏
−∞
ր
( )
2 2 2
0 0 0
2 22
22 2 1
x
xtgf
x
x xtg tgdx dx dx
x x
∏ ∏ ∏
⇒ < ⇒ <∏ ∏
⇒ < ⇒ <∏∫ ∫ ∫
Chöùng minh raèng :
( ) ( )4
2001 20011999 2
0
12
0
2
0
11. . .2 2001 2002
1 22. ln 1 ln 1 2 1
2 2
13.
2 4
x
n
n
x e dx
x x x dx
xtg xdxn
∏
∏
+
∏ ∏> +
+ + + + −
∏ +
∫
∫
∫
�
�
Baøi giaûi : 1. Tröôùc heát ta chöùng minh : ( )2 22 ; 0xe x x x> + ∀ >
Xeùt haøm soá:
( ) ( )
( ) ( )
2 2
' 2 2
2 ; 0
2. 4 2 ; 4. 4 0 ; 0' '
x
x
x x
x x
f e x x x
f e x f e x
= − + ∀ >
= − − = − > ∀ >
( )'
xf⇒ laø haøm taêng ( ) ( )
'
0; 0 0
xx f f∀ > ⇒ > =
( )xf⇒ laø haøm taêng ( ) ( )0; 0x
x f f∀ > ⇒ >
Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh - ðà Lạt Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân
26
( ) ( )
( )
2 2 1999 2 1999 2
1999 2 1999 2
0 0
2001 20011999 2
0
2 . 2.
1.
2
1. .
2 2001 2002
x x
x
x
e x x x e x x x
x e dx x x x dx
x e dx
∏ ∏
∏
⇒ > + ⇒ > +
⇒ > +
∏ ∏⇒ > +
∫ ∫
∫
2. Tröôùc heát ta chöùng minh : ( )2 21 ln 1 1 ;x x x x x R+ + + + ∀ � ∈
Xeùt haøm soá :
( ) ( )( ) ( ) ( )
( )
2 2
' 2 ' 2
22
1 ln 1 1
ln 1 0 1 1
1 00
1 1
x
x x
f x x x x
f x x f x x
xx
x x
= + + + − +
= + + ⇒ = ⇔ + + =
− ≥⇔ ⇔ =
+ = −
vaø ( ) ( )' 20 ln 1 0 0x
f x x x< ⇔ + + < ⇔ <
x -∞ 0 +∞ f’(x) - 0 + f(x)
0
ց ր
( ) ( )
( )( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
0
2 2
2 2
11 1
2 2 2 2
0 00
12
0
0 ;
1 ln 1 1
ln 1 1 1
1 1ln 1 1 1 1 ln 1
2 2
1 2ln 1 ln 1 2 1
2 2
xf f x R
x x x x
x x x x
x x x dx x dx x x x x x
x x x dx
⇒ = ∀
⇒ + + + +
⇒ + + + −
⇒ + + + − = + + + + −
⇒ + + + + −
∫ ∫
∫
� ∈
�
�
�
�
3. Ñaët ( ) ; 0,4
xf tgx x x
∏ = − ∀ ∈
( )' 2
2
11 0 ; 0,
cos 4x
f tg x xx
∏ = − = > ∀ ∈
( )xf⇒ ñoàng bieán treân ( ) ( )00, 04
xf f
∏ ⇒ = �
Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh - ðà Lạt Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân
27
4 4
4
1 1
0
2
0
; 0,4
1
2 4
n n
n n n n
n
n
tgx x x tg x x
xtg x x xtg xdx x dx
xtg xdxn
∏ ∏
∏
+ +
0
+
∏ ⇒ ∀ ∈ ⇒
⇒ ⇒
∏ ⇒ +
∫ ∫
∫
� �
� �
�
Giaû söû f(x) coù ñaïo haøm lieân tuïc treân [0,1] vaø f(1) – f(0) = 1
Chöùng minh raèng : ( )( )21
'
01
xf dx∫ �
Ta coù : ( )( ) [ ]21
'
01 1 ; 0,1
xf dx x− ∀ ∈∫ �
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( )( )
2 21 1' ' '
1 00 0
2 2' '
2 1 0 2 1 0
2 1 0 1
x x x
x x
f dx f dx dx f dx f f
f dx f dx
1 1
0 0
1 1
0 0
⇒ − + ⇔ − − +
⇔ − + ⇒
∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫
� � �
� �
Cho f laø 1 haøm lieân tuïc treân [0;1] ñoàng thôøi thoaû maõn
( ) [ ] ( )
( ) ( )1
0
1 2 ; ; 0,1
3
2
x
x
f x a
f dx b
∀ ∈
=∫
� �
Chöùng minh ( )
1
0
2 1 3
3 4x
dxf
<∫�
Theo BÑT Bunhiacosky
( ) ( )( )
( )( )
( ) ( )( )
2
21 1 1 1
0 0 0 0
1
0
11 1. . .
3 21
2 3
x x
xx
x x
dxdx f dx f dx
ff
dx dx
f f
1
0
=
= ⇒
∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫
� �
�
Daáu “=” khoâng xaûy ra :
( )
( )
( )
( )
1
0
3
1 2
3.
2
x
x
x
x
fk f k
f
do f dx
= ⇔ = =
=∫
Töø (a) : ( ) [ ]1 2 ; 0,1xf x∀ ∈ � � thì
( )
( )
2 0
1 0
x
x
f
f
−
−
�
�
( )( ) ( )( ) ( ) ( )22 1 0 3 2 0
x x x xf f f f⇔ − − ⇔ − + � �
Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh - ðà Lạt Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân
28
( )( )
( )23 0 2
x
x
ff
− + � Ñaët ( )xt f=
1 2t⇒ ≤ ≤�� thì (2) ( )2
3 0t
t ft
⇔ − − = �
t 1 2 2 f’(t) − 0 + f(t)
2 2 3−
ց ր
( )( )
( )( )
( )
1 1 1
0 0 0
1 1 1
0 0 0
3 2 0
3 32 3
2 4
x
x
x
x x
dxf dx dx
f
dx dxdx f dx
f f
1
0
⇒ − + <
⇒ < − = ⇒ <
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫ ∫
Töø (1) vaø (2) suy ra :
( )
2 1 3
3 4x
dxf
<∫�
Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh - ðà Lạt Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân
29
BAØI TAÄP TÖÏ LUYEÄN Chöùng minh raèng :
Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh - ðà Lạt Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân
30
( )
4
2
40
0
11
0
180
0
31
10
11.
228 245 2 cos
12.
2 183 4sin
2 1 23.
39 78
54.
3 616
cos 55.
4 61
16.
216 105 3cos
.sin7.
2 121
8. 3 2
40032001
9. . ln .
1
dxx
dxx
dxx
xdx
x
xdx
x
dxx
xe x
dxex
xe dx
x x dx∏
∏
∏
∏
−
∏ ∏∫
+
∏ ∏∫
+
∫+
<∫+
<∫+
∏ ∏∫
+− ∏
<∫+
−+∫
< ∏∫1
10
24
� �
� �
� �
� �
�
( )12
10
0
20
10
10
10
20
10
1 20.
2 36 84
1 111. 2, 3...
22 61
22 212. 24
71
13. 03 8 81
214.1
191 1
15.3 6 2020 2 1
116 .
210 45 3cos
117. 0
1 1
dx
x x
dx n
x
x xe dx e
e
xdx
x
xe dx e
xdx
x
dxx
nxdxx n
∏
∏ ∏∫
− −
∏< =∫
∏−
−∫
< <∫+
< <∫
< <∫+
∏ ∏∫
−
∫+ +
� �
�
� �
� �
� �
12
30
10
10
34
4
11
10
10
0
10
1 318.1
2 52 8
219.1 1 2
220. 3 3 2
121.
28 73 sin
22. 2 5 4 6
223. 2 4 5
3 124.
218 82
1 125.
2004 42 1
26.7 5 3
18 273
27. 0
dx
x x
x dx
x dx
dxx
xdx
x dx
dxx x
dx
x
xdx
x x x
∏
∏
−
∫− + +
+∫
+∫
∏ ∏∫
+
−∫
+∫
∏ ∏< <∫
+ +
∏∫
−
∏ ∏ 3<∫
+ + +
� �
� �
� �
� �
� �
� �
� �
�
( )
4
1
0
1
0
0
30
20
20
11
34
10
2ln
228. 9 81 10
2 229.
3 10 3 cos 7
1 6230 . 1 sin
2 2 4
231. 0 2 3
132.
24 23 2 sin
2133. 1 1
sin( )34. ln 2
1
cos( )35. ln 2
1
36
ex xdx e
x dx
dx
x
x dx
tgx dx
dxx
xe e dx
e
nxdx
x
nxdx
x
∏
∏
−
∏
∫
< + <∫
∏ ∏∏< <∫+
∏ ∏< + <∫
< <∫
∏∏ ∫−
−− < <∫
∫+
∫+
� �
� �
�
�
( )2
0
12
1. ; 3, 42 121
237. sin 0
xdx nn
x
x dx∏
∏< =∫
−
>∫
Chöùng minh raèng :
Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh - ðà Lạt Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân
31
( )
( )( )
( )( )
( )
( )
( )
2 2
2
3
6
4
0
4 2 2
0
2 4 2
0
2 2
1. 2 cos 2 cos 2 2
3cos 4sin 52. 0
1 12
93. 3 2 sin sin 6 sin 5
2
274. 2 3 7 4
4
255. sin 2 3cos
48
1256. cos 2sin 3
54
3 37. 5 2cos 3 2sin
x x dx
x xdx
x
x x x dx
tgx tgx tgx dx
x x dx
x x dx
x x dx
∏
∏
∏
∏
∏
∏
+ + − ∏
+ ∏+
∏− + +
∏+ −
∏+ <
∏+ <
∏− + −
∫
∫
∫
∫
∫
∫
o
3
1
<
�
�
�
�
�
( )( )
( )( )( )( )
( )2
4
4
2
0
3
6
0
11
0
1
20
2
278. sin 2 3 sin 7 4 sin
2
99. 3 2 sin 5 sin 1 sin
2
10. 2sin 0
11. 0 1
1 5 112.2 1 24 2
x
x
x x x dx
x x x dx
x tgx dx
e x dx e
edx
x
∏
∏−
∏
∏
∏
∏
− −
−
∏+ −
∏− + +
+ >
+ −
++
∫
∫
∫
∫
∫
∫
�
�
� �
� �
Chöùng minh raèng :
2
2
2
2
18
40
2
0
12 2 2
0
2 1 21.13 10 3cos 7
12.14 4 3cos 8
cos3. 0,1
1
4. 1
5. sin sin
6. x x
dxx
x
xdx
x
x dx xdx
x xdx x xdx
e dx e dx
∏
0
∏
0
1 1
0
∏ ∏+
∏ ∏+
<+
+ >
<
>
∫
∫
∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
1
0
2 2
1 1
� �
� �
( )
3
2
1
0
21
20
1
1
1
0
4 40
1
20
11
12
13
14
15
16
sin 1cos. 1 1
1
1.
1 64 2
.1 2 4
.1
1. 2
sin cos
1.
2 8
x
x
x a a adx
x
a R
xdx
x
dx
e dx e
dxx x
dxx x
−
∏
+ +−
+
∏ − ∏< <
+
∏ ∏+
∏<
+ +
∫
∫
∫
∫
∫
∫
� �
∈
� �
� �
� �
Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh - ðà Lạt Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân
32
( )
21
21
10 22 2
0 0
cos 2 cos7. 2
2 cos 1
0,
8.. sin sin
x xdx
x x
xdx xdx
α αα
α
−
∏ ∏
− +− +
∏
∫
∫ ∫
�
∈
�
( )4 4
2 2
1
2
5
319
17
18
. sin cos
. 3 6 2 4 6 3
3. 25 27
2 4 5
xdx xdx
x x dx
xdx
x x
∏ ∏
−
∏ ∏
>
+ + −∫
∫− +
∫ ∫
� �
� �
( )( )
6
6
20
2
2 2 2 29. cos 2 sin sin 2 cos 6
2 2 210. 3cos sin 3sin cos 2
x x x x dx
x x x x dx
∏
∏
∏
−+ + + ∏∫
+ + + ∏∫
�
�
Chöùng minh raèng :
( )
( )
3
3
4
6
3
0
0 2
2
21
12
0
4
27
23. 0 1
3 sin 11.4 2
3 sin 22.8 6
3 1 2 34.
3 3cos cos 1
2 15.5 1 2
2 36. 0 1
9
x x dx
xdx
x
x
x
dxx x
xdx
x
x x dx
∏
∏
∏
∏
∏
< − <∫
< <
< <
∏ ∏< <
+ +
< <+
< − <
∫
∫
∫
∫
∫
( )
( )
( )
2
23
2
0
02 2
2
2
1
133
1
12 1
0
2
0
30
28
29
31
32
33
5 3. 24 5 20 2 32
cos 1.
2
. 0 8
. 2 4 3 2 0
. 0
1. 2cos 2cos 1 52
x
e ex
x x x dx
xdx
x
x e dx e
x x dx
x dx e
x x dx∏
∏
−
−
−
−
+
− − − + +∫
<∏
− − + −
< <
< + + <
∫
∫
∫
∫
∫
� �
� �
� �
( )
( )2
2
11
7
22
0
5
2
6
1
20
1
0 2
493
8
1 19 sin sin
sin sin
7
.
10
8
. 54 2 11 7 108
8. 3cos 5
3cos cos3
. 0,65 0,91
2 1 111.3 22
dxx xx x
x x dx
x dxx x
dx
x
dxx x
−
∏
∏
∏− −− − −
− + +
+ +
+
+ −
∫
∫
∫
∫
∫
� �
� �
�
� �
� �
( )
( )
( )
( )
2
0
2
0
30
24
22
21
21
34
35
7 3 5 3 636 . 3 2 sin
3 3
37
38
39
40
3. sin 1 cos
2
. sin cos 2 2
. cos 2
cos 2 3. 2cot
sin 9
7 5. 2 6
5 7
3 1. 0 10
1
x x dx
x x dx
x x dx
x x dx
xgx dx
x
x xdx
x x
x xdx
x x
∏
∏
−∏
∏
−∏
∏
∏
−
∏ ∏ +< + <
∏+ <
+ < ∏
− < ∏
∏ − <
− +−
− ++ +− +
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
� �
� �
Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh - ðà Lạt Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân
33
( )
( )
2
23
2 2
200
100
2
4
2
2
2
21
1
017.
15
16
5 9 212.2 41
cos 113.
200
1 sin 214.2 2
1. 2 3ln
ln
2 1.5 1 2
11
2
e
xdx
x
xdx
x
xdx
x
e e x dxx
xdx
x
x x dx
∏
∏
∏
∏
< <−
<∏
< <
− < −
< <+
− <
∫
∫
∫
∫
∫
∫
( ) ( )2
2
212
22
2
0
2 3
2
21
3
1
22
4 0
22
1
24
22
23
25
26
27
5 2 4 521. 15
2 1
. 0 ln
. 1 1ln
5 2. 14 1
1. ln 2 ln ln 3
2. 2
1.
2
e
e
e
x x
x
x xdx
x
x x e
xe e dx e e
x
xdx
x
xdx
x
e dx ee
ee dx e
x
−
−
+ ++
− < < −
< <+
+< <
< <
< <
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
� �
� �
( )( )
2
24 2
0
24 3 2
1
18
19
20
. cos 2 cos 1 2
. 5 2 4 5 9 2
. 141 3 8 30 72 20 369
x x dx
x x dx
x x x x dx
∏
∏
−
∏ − + ∏
− + +
− − − + + −
∫
∫
∫
� �
� �
� �